Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии

Мусавиров, Шарифхужа

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии

Автореферат

Автор научной работы: Мусавиров, Шарифхужа
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Душанбе
Год защиты: 2009
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии"

На правах рукописи

0034898Э5

Мусаввиров Шарифхуджа

Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии

13.00.02. - теория и методика обучения и воспитания (математика) (педагогические науки)

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

4 ЯНВ

Душанбе-2009

003489895

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Курган - Тюбинского государственного университета им. Носира Хусрава

Научный руководитель: доктор педагогических наук,

профессор Шарнфов Дж.

Научный консультант: доктор физико-математических

наук Комилов А. Ш.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Курбоншоев С.З.

кандидат педагогических наук, доцент Эркинбоев X.

Ведущая организация: Таджикский национальный университет

Защита состоится « » вЛхл-ё/Л 2009 г. в «9.00» часов на заседании диссертационного совета К 737.001.02 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук при Таджикском государственном педагогическом университете им. С. Айни (734003, г. Душанбе, проспект Рудаки, 121, корп. 5, ауд. 14 - кафедра методики преподавания математики).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таджикского государственного педагогического университета им. Садриддина Айни.

Автореферат разослан «

19 »« » 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат педагогических наук, доцент

Т. Раджабов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Формирование математических понятий является одной из наиболее важных и сложных проблем в методике преподавания математики. Понятия величины, расстояния, метрического пространства занимают фундаментальное место в системе математических знаний, и математика - это, в первую очередь, наука о величинах, их связях и отношениях.

Понятие величины широко используется в физике, химии, астрономии, биологии и других науках. Потребности практической деятельности человека с давних времен также требовали соизмерения различных (но однородных) физических, геометрических и других свойств реальных объектов.

Понятие величины исторически неоднократно подвергалось многократным обобщениям. Так, изучение силы скоростей, упругих напряжений привело к появлению таких понятий, как векторы и тензоры.

Числа, как и длины, и другие величины, могут быть и переменными и постоянными.

В преподавании математики проблемам формирования у учащихся понятий о величине известные математики - методисты всегда уделяли большое внимание.

Вопросы величины содержательно изложены в трудах А. Лебега и А. Н. Колмогорова, а измерения величины - в работах таких математиков -методистов, как Я. С. Дубнова, К. У. Осими, А. И. Фетисова, А. Д. Александрова, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, М.И Зайкина, М.А. Родионова, С. А. Албарова, Л. В. Теуша, М. Нугмонова, В. Н. Депутатова, И. Ф. Следзинско-го, Дж. Шарифова и др.

Вопросы методики изучения величины как пространственного компонента исследовались в работах Г. Д. Глейзера, Г. П. Бевза, Н. Д. Мацького, А. Д. Семушина, И. Ф. Тесленко, Дж. Шарифова и др.

В школьном курсе математики с этим понятием учащиеся встречаются уже на первых уроках обучения, и их представление обогащается на протяжении всего периода школьного обучения. В начальной школе преставление о величине и измерении формируется в процессе практической деятельности, в этот период обычно используются зрительные образы. Особое внимание уделяется таким понятиям, как измерение, деление, расстояние, объем, площадь масса, время, стоимость и др.

Геометрические величины - длина, площадь, объем, градусная мера углов, изучаются в систематическом курсе геометрии.

В методике преподавания математики проблема усвоения учащимися понятия величины и измерения геометрических величин является одной из наиболее важных и сложных как в теоретическом, так и в методическом плане. В школах Таджикистана к изучению систематического курса гео-

метрии учащиеся, зачастую оказываются недостаточно подготовленными, потому что сведения и представления о величинах и их измерениях у них плохо систематизированы и мало осмыслены. Это объясняется Слабой подготовленностью учащихся по математике еще в начальной школе.

До 80-х годов XX в. в учебных пособиях по геометрии был отдельный пункт, который назывался «Величины и числа», но его посчитали трудным для усвоения школьниками и отнесли к необязательным для изучения. Некоторые методисты - математики вообще предлагали исключить понятие величины из школьного курса математики.

Попытки исключить изучение понятия величины из школьного курса математики оказались безуспешными и необоснованными.

Понятие величины является стержневой основой курса математики, базисным понятием. В методике преподавания математики в начальной и средней школе проблема изучения величин и их измерения пока еще не решена в полном объеме. При этом сложности, связанные с изучением понятия величины в школе, испытывают и учителя и учащиеся.

В школьной практике не придаётся должного внимания значению этих важных понятий между тем, их роль в развитии системы знаний по математике фундаментальна. К сожалению, в школах учащиеся получают нечеткое представление о геометрических величинах, многие важные вопросы просто опускаются при обучении.

Недостаточная теоретическая разработанность данной проблемы в дидактике, частных методиках и особенно в методике обучения математике отрицательно сказывается на качестве знаний учащихся, осознанности ими не только математических знаний, но и других школьных предметов, связанных с этим понятиям на практических умениях и навыках школьников.

Назрела необходимость в коррекции обучения математике относительно изучения понятия величины и её измерений. Величины в школе необходимо изучать последовательно, целенаправленно, системно, с учетом познавательных возможностей учащихся.

Принятие концепции школьного математического образования в Таджикистане и те изменения, которые произошли в последние годы в структуре и содержании школьного образования, в целом; создание школ нового типа со всей очевидностью требуют пересмотра программ и учебников по математике, уточнения их структуры и содержания, разработки новых подходов в методике обучения математике.

Все вышесказанное и определяет актуальность темы данного исследования.

Объектом исследования является процесс формирования представле-' ний о геометрических величинах и их измерений при изучении геометрии у учащихся 7 - 9 - х классов.

Предметом исследования является система методических приемов,

методов и средств, применяемых с целью лучшего усвоения учащимися геометрических величин и их измерений при изучении математики.

Цель исследования заключается в разработке доступной для школьников и корректной в научном отношении методики изучения геометрических величин в курсе математики 7 - 9 -х классов.

Гипотеза исследования: непрерывность, последовательность и эффективность формирования геометрических величин в средней школе способствуют общему развитию личностных качеств учащихся, если:

осуществлять системно-структурный и личностно-функции-ональный подход к их изучению в средней школе;

целенаправленно и систематически использовать теоретико-методологические и методические возможности в процессе учебных и внеурочных занятий по математике;

- вводить понятие величины как количественную характеристику предметов и явлений, в соответствии с трактовкой этого понятия в физике.

В соответствии с объектом, предметом, целью и гипотезой, были определены следующие задачи исследования:

- проанализировать методические основы изучения геометрии ческих величин в школе, психолого-педагогические особенности их формирования;

- обосновать суть необходимых изменений в курсе планиметрии и их взаимосвязь с другими предметами;

- разработать содержание и методику реализации нового подхода к изучению геометрических величин в курсе планиметрии;

- экспериментально проверить эффективность подхода к изучению величин в школе.

Методологической основой исследования послужили работы ведущих психологов (Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Н. А. Менчинской, Д. В. Эльконина, Б. Н. Кабанова - Малера), педагогов (М. А. Данилова, И. Я. Лернера, М. Н. Скаткина) и методистов (М. И. Моро, А. М. Пышкало, Н. Я. Виленкина, И. Ф. Тесленко, Дж. Шарипова, М. Нугмонова, 3. И. Слепкань, Г. П. Бевза, К. У. Осими, А. Халикова, Б. Алиева и др.)

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:

- анализ действующих программ, учебников и учебных пособий по математике для начальных и старших классов; анализ школьной документации;

- теоретический анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; педагогические наблюдения; беседы; анкетирование; изучение и обобщение передового опыта учителей;

- педагогический эксперимент (констатирующий и формирующий);

- статистическая обработка результатов экспериментального обучения. Ведущим методом исследования был педагогический эксперимент, кото

рый проводился в три этапа на протяжении 2000 - 2009 учебных годов.

На первом этапе (2000 - 2003 гг.) проводилось изучение философской, психологической и методической литературы по проблеме методики изучения геометрических величин в школьном обучении и, в частности, в курсе планиметрии; был изучен и обобщен передовой педагогический опыт учителей Республики Таджикистан.

На втором этапе (2004 - 2006 гг.) на основе анализа учебных планов и программ школьной математики был выявлен уровень сформированности у учащихся представлений о величинах и их измерениях. Были разработаны экспериментальные материалы для проведения, обучающие эксперименты (карточки-задания).

На третьем этапе (2007 - 2009 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки разработанной автором методики изучения геометрических величин в курсе планиметрии и системы заданий для учащихся.

Педагогическим экспериментом были охвачены 1126 учащихся 7- 9 - х классов гимназии КГУ им. Носира Хусрава, средних школ №6 и 7 г. Курган-Тюбе, №1, 14, 26, 43 и гимназии №2 Бохтарского района Хатлонской области Республики Таджикистан.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- внесены изменения и уточнения в содержание и структуру изучения длины отрезка, меры угла, площади фигур в курсе планиметрии;

- разработана методика введения в курс планиметрии элементов метрологии и корней измерений на доступном для учащихся уровне, определены виды упражнений по формированию геометрических величин и их измерению.

Теоретическая значимость исследования заключается в научном обосновании целесообразности уточнения трактовки понятия «величина» в школьном курсе математики; определены методические условия, обеспечивающие осознанное усвоение учащимися геометрических величин и их измерений в курсе планиметрии.

Практическая значимость исследования - предложена конкретная методика единого подхода к изучению геометрических величин в курсе планиметрии и физики, уточнены особенности пропедевтики изучения величин в курсе математики 1-4-х классов. Разработанная система упражнений и методические рекомендации используются учителями математики в школе, а также преподавателями педагогических университетов при проведении лекционных и практических занятий по методике преподавания математики.

Апробация и внедрение полученных результатов исследования -разработанные рекомендации по методике изучения геометрических величин в курсе планиметрии апробировались в школах Республики Таджикистан. Материалы диссертационного исследования обсуждались на заседаниях кафедры методики преподавания математики Курган-Тюбинского

государственного университета, на заседаних научно-методического семинара Таджикского государственного педагогического университета им. С. Айни (2000 г.), на научных конференциях Кулябского, Курган-Тюбинского, Таджикского государственного педагогического университетов (2002, 2003, 2005, 2007 гг.), на совещаниях учителей-математиков, методистов, на научно-методических семинарах кафедр. Основные результаты исследования опубликованы в 17 работах автора.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- уточненная трактовка понятия «величина» как одного из основных понятий школьной математики;

- система практических заданий, требующая конструктивных методов решения с применением изменений, построений, моделирования;

- разработанные методические рекомендации по изучению геометрических величин и измерений в курсе планиметрии.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Содержание диссертации изложено на 174 страницах компьютерного набора. Список литературы насчитывает 176 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования, определены объект, предмет, цель, задачи и гипотеза исследования, указаны методические основы, методы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическое и практическое значение работы, приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Проблема изучения геометрических величин в педагогической литературе и школьной практике» автор глубоко исследовал имеющуюся литературу, школьные программы и учебники по математике, провел анализ результатов констатирующего эксперимента, определил уровень знаний учащихся по усвоению измерения геометрических величин в 5 - 9 - х классах.

Анализ методической и психолого-педагогической литературы показал, что содержание изучения понятия величины в школе тесно связано с развитием теории величины в науке. Понятие величины впервые появилось в философской литературе. Так, еще древнегреческий философ Аристотель писал: «Категория количества выражает либо множество (если количественные свойства исчислимы), либо величину (если она измерима)».

Трактовка математики как науки о величинах восходит к древним грекам, но специально идея измерения величин ими не рассматривалась. В «Началах» Евклида (III в. до н. э.) были отчетливо сформулированы свойства величин, аксиомы, описывающие общие свойства величин: равные

одному и тому же, равны между собой; если к равным прибавить равные, то целые будут равны между собой; целое больше своей части и т. д.

Ф. Энгельс указывал, что понятие величины, как и другие исходные понятия математики (натурального числа и геометрической фигуры), абстрагированы людьми из окружающего мира в связи с практическими потребностями, что они развивались и совершенствовались по мере развития и усовершенствования практической деятельности человека.

В современной математике существует несколько подходов к понятию величины. Одни ученые просто отождествляют ее с числами, другие определяют ее как функции с заданными свойствами, а третьи - как множества с некоторыми отношениями.

Первоначальные представления о величинах дети получают в дошкольном возрасте, а в 1- 4-х классах у них на основе практической деятельности формируются представления о величинах и их свойствах, приобретаются навыки измерения.

. В школьном курсе математики изучение понятия величины осуществляется концентрически. Первый концентр - пропедевтический. На этом этапе у детей развиваются интуитивные представления о величинах и их практических измерениях (непосредственное измерение длины отрезков, взвешивание, определение температуры), упоминаются так называемые «именованные числа» и вводятся простейшие единицы измерения. Этот этап соответствует работе в начальных классах. Здесь речь идет лишь о прикладной стороне вопроса, т. е. о формально-логической стороне.

На втором этапе изучаются методы косвенного измерения величин, это основной курс геометрии 7 - 9-й классы. Здесь развиваются знания и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса, позволяющие от непосредственного измерения величин перейти к вычислениям. Например, если дан прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см, то легко вычисляются его периметр и площадь. Именно на этом этапе даются четкие понятия величины и её измерений.

В 5-6 классах сведения о величинах и их измерениях расширяются, углубляются и обогащаются. До 7-го класса у учащихся должны быть сформированы представления о геометрических объектах, как носителях величин «длина», «площадь», «объем», умения выделить величину как свойство геометрических объектов, классифицировать и дифференцировать их по свойствам, величины и единицы их измерения; соотносить длину, площадь, объем (класс скалярно-аддитивных величин).

"В современной школьной геометрии учащиеся получают недостаточно информации об измерении геометрических величин, что затрудняет осмысление этого материала, приводит к формализму, школьная геометрия не интересна большинству учащихся, так как малопонятна, малодоступна. Автор предлагает изменить отношение учителей и методистов к измерени-

ям в геометрии. Само слово «геометрия» (земля - мерить) включает ка;с важнейшее качество понятия измерения.

Носителем длины является отрезок, носителем площади - прямоугольник (квадрат). Чтобы устранить ошибки и неточности, которые учащиеся допускают при усвоении этих понятий, целесообразно в процессе, практических измерений на начальном этапе предложить вычислить периметр и площадь фигур, обращая внимание на единицы их измерения.

Изучение геометрических величин важно организовать так, чтобы ученики могли постоянно соотносить каждую фигуру с носителем длины или носителем площади.

В старших классах сведения, о величинах постоянно углубляются -и. обогащаются. В школьном курсе математики учащиеся получают систематизированные сведения об основных фигурах на плоскости и их свойствах, знакомятся с геометрическими величинами, характеризующими плоские фигуры, и учатся их измерять, вычислять; знакомятся с применением ана-. литического аппарата (элементов тригонометрии и алгебры, векторов и координат) к решению геометрических задач.

Анализ учебников по геометрии показывает, что изложение материала, об измерении величин в учебниках математики до 1970 г. было вполне дос-, тупным, но оно не отвечало в достаточной мере требованиям достижений математики.

Модернизация преподавания школьной математики внесла существенные изменения в трактовку понятий о величине. В работах А.Н. Колмогорова понятие величины объясняется при помощи сравнения и сложения одноименных величин. Но этот материал был изложен сложно для понимания учащихся, и поэтому не был одобрен школьной практикой. , ■ .'

С 80 - х годов в школах начали использовать «Геометрию» A.B. Пого-релова. В этом учебнике дано общее понятие величины, тем не менее, изложение материала об измерении длин, углов, площадей фигур и объемов тел, об их свойствах дает возможность обеспечить усвоение учащимися материала о геометрических величинах.

К сожалению, этот аспект преподавания геометрии не соотнесен с курсом физики.

Поскольку любая геометрическая величина является физической величиной, то важно её рассматривать при изучении геометрии и физики в одном аспекте.

Понятие физической величины рассматривается в курсе физики 7-го класса, далее этот вопрос в курсе физики не изучается. Учитывая важность этой проблемы, целесообразно, чтобы учащиеся еще на уроках математики получили знания об измерении величин, что поможет им при изучении курса физики в школе. ■

В связи с этим, важно в 5 - 6-х классах обеспечить пропедевтику изме-

рения и построения отрезков и углов, рассмотреть вопрос о вычислении периметра и площади многоугольников, обратить внимание на понятие «расстояние» и его вычисления в зависимости от времени и скорости движения. Усвоение функциональной зависимости между расстоянием, скоростью и временем будет способствовать углублению межпредметных связей.

Следует уделять внимание и построению углов с применением транспортира, угольника, а также от руки - по клеточкам тетради, с целью развития глазомера.

При изучении длины отрезка, меры углов и площади и объема важно дать учащимся представление о том, что такое величина, вообще и, что такое геометрическая величина, в частности (на наиболее характерных примерах).

Изготовленные самими школьниками модели прямоугольных параллелепипедов способствуют лучшему осмыслению ими величины объема и мер его измерения.

При изучении геометрических величин учителю необходимо выбрать способ организации познавательной деятельности учащихся с учетом их возрастных особенностей, предусматривая овладение рациональными приемами как практических, так и умственных действий.

В основу разработанной автором методики изучения геометрических величин длины, меры углов и площади плоских фигур положена теория поэтапного формирования умственного действия П.Я Гальперина. Изучение величин в школьном обучении включает:

- формирование и развитие общих формально-логических представлений о величинах;

- практическое применение понятия величины, в связи с измерениями, вычислениями и другими операциями.

Формирование и развитие понятия величины у учащихся осуществляется путем выделения ее свойств в процессе практических измерений длины, углов, площади и вычисления объема. С измерениями и вычислениями скалярных величин неразрывно связаны формирование и развитие общего формалъно-логичес-кого представления о величине.

В основе предложенной методики изучения понятия скалярной величины лежат следующие положения:

а) при формировании понятия величины необходимо учитывать накопленный запас представлений учащихся, их жизненный опыт;

б) при изучении понятия величины необходимо учитывать и индивидуальные особенности учащихся, психолого-педагогические закономерности процесса усвоения математических понятий;

в) формирование и развитие общих представлений учащихся о скалярной величине должны происходить последовательно, в процессе изучения конкретных величин;

г) изучение конкретных величин должно осуществляться с опорой на общее определение понятия скалярной величины и ее свойств;

д) представление и понятие о величине и ее измерениях должны формироваться у учащихся в процессе практической активной умственной деятельности.

1-6—й классы - это период формирования начальных представлений р величинах и их измерении.

7-9-й классы - основной этап изучения методов косвенного измерения геометрических величин (длина, мера углов, площадь). В этот период развитие представлений учащихся о понятии величины происходит путем обобщения сведений о конкретных геометрических величинах, расширении и углублении информации о них. Расширяется кругозор учащихся, совершенствуются измерительные умения и навыки, приобретается опыт, накапливаются знания, умения и навыки, позволяющие от непосредственного измерения величин перейти к их вычислению, к преобразованиям единиц измерения.

Учащимся можно не давать определение понятия величины, но раскрыть его смысл необходимо.

При изучении величины автор использовал два метода формирования математических понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный.

Для 1-6-х классов доступен конкретно-дедуктивный метод, когда от частных фактов переходят к обобщениям, а для 7-9-х классов можно использовать оба метода. Конкретно-индуктивный метод можно реализовать по-разному. В экспериментальных классах автор использовал филологическую форму и систему практических заданий по моделированию геометрических фигур. Например:

Учитель: «В чем заключаются основные свойства измерения углов?» Ученик: «Каждый угол имеет определённую градусную меру больше нуля».

Учитель: «Чему равна градусная мера развернутого угла?» Ученик: «Градусная мера развернутого угла равна 180°». Учитель: «Чему равна градусная мера прямого угла?» Ученик: «Градусная мера прямого угла равна 90°».

Учитель: «Какой может быть градусная мера острого угла?»

Ученик: «Градусная мера острого угла больше 0° и меньше, 90°». Учитель: «Какой может быть градусная мера тупого угла?»

Ученик: «Градусная мера тупого угла больше 90° и меньше 180°».

Важно, чтобы учащиеся видели взаимную связь между .величинами, научились оперировать понятиями. Необходимо создать условия для развития логического мышления учащихся. К сожалению, пока не выделены логические приёмы мышления, которые помогли бы при изучении, геомет-

рии. Между тем, логическое мышление у значительной части учащихся развито недостаточно, что тормозит усвоению материала. Эксперимент показал, что значительная часть учащихся (67%) владеет приемами умственной деятельности плохо.

Учитель: «Величины двух углов равны 100° и 80°. Можно ли сказать, что эти угли смежные? Ученик: «Да». Учитель: «Почему?»

Ученик: «Потому что их сумма равняется 180°», а смежные углы в сумме дают 180°».

При решении задач большинство учеников допускают серьезные ошибки, подходит к их решению односторонне, без необходимого анализа конкретной ситуации. Причиной подобных ошибок является неумение рассуждать, учитывать все необходимые условия.

Исследования методистов показали, что, если своевременно сформулировать приемы умственных действий и работу на уроках вести планомерно и целенаправленно, то многие школьники смогут успешно справиться и с более сложными заданиями. Важно постоянно активизировать поиск учащимися верного пути решения, самоконтроль, требуя от них обоснования своих рассуждений. Своевременность контроля имеет огромное значение для предупреждения возможных ошибок и осознанности усвоения знаний.

В процессе исследования автором были использованы различные приемы контроля, четко спланированные и предусматривающие коррекцию знаний. Например, работа над темой «Построение измерения углов». «Учитель для одновременного контроля за работой всех учащихся поручает своим ассистентам (2-3 ученика из числа лучших) контроль за правильностью выполнения заданий.

Ассистент (консультант) получает от учителя методический инструктаж, чтобы объяснение и контроль были проведены правильно и доступно. Например: Учитель предлагает ученику следующие задачи:

а) По данному радиусу R = 1 м найдите длину дуги, отвечающую центральному углу: 60°, 90°, 120°.

б) По данной длине дуги найдите длину ее хорды, если дуга имеет: 60°, 90°, 120°.

в) Найдите радианную меру углов: 30°, 45°, 60°. Учащиеся решают задачи или коллективно или самостоятельно, а 2 - 3 консультанта проверяют их решения. Такой метод более доступный, чем другие методы контроля знаний и

умений учащихся.

Исследование психологов, а также школьная практика показывает, что управление умственной деятельностью учащихся при обучении методам и способам решения задач осуществляется эффективнее в условиях алгорит-

мизации обучения, широко применяемого сейчас в учебном процессе.

В последние десять лет авторы школьных учебников предлагают задавать учащимся меньше правил с тем, чтобы разгрузить их память и больше уделять внимания развитию творческого мышления. Эта тенденция привела к другой крайности - многие учащиеся перестали учить урок или многие из них недостаточно овладевают основными умениями и навыками.

Практика показывает, что лучшие результаты обучения достигаются тогда, когда учащиеся под руководством учителя после рассмотрения примеров создают алгоритм решения, доказательство и т. д.

Например, чтобы доказать, что сумма мер углов треугольника равна 180°, следует доказать что:

а) градусная мера внешнего угла треугольника равна сумме градусных мер двух углов не смежных с ним;

б) сумма мер смежных углов равна 180°.

Здесь для контроля учитель тратит мало времени и быстро исправляет ошибки.

Широкое использование ЭВМ, автоматизированных систем управления во всех сферах жизни, требует соответствующей подготовки учащихся. Понятие о величинах и их измерениях играет особую роль при применении ЭВМ.

В процессе исследования автором были выявлены следующие недостатки:

а) в учебниках по геометрии мало задач на измерение;

б) слабая связь школьной программы с жизнью школьников;

в) недооценка роли межпредметных связей в процессе изучения геометрических величин;

г) в учебниках мало задач, решение которых способствует, пониманию понятия величин.

Во второй главе «Методика изучения геометрических величин в школьном курсе геометрии» рассмотрены методы изучения величины, длины, площади, меры углов в курсе планиметрии. Здесь автор особо отмечает, как важно научить учащихся пользоваться полученными знаниями в практической деятельности, формировать у них практические навыки и умения.

В процессе обучения геометрии у школьников формируются навыки в применении измерительных приборов и инструментов. , ,

В формировании, развитии, в применении практических навыков и умений важную роль играет измерение. Возможности измерения величин особенно реализуемы при изучении геометрических объектов - носителей величин. Измерение величин позволяет широко использовать язык и методы арифметики и алгебры при изучении геометрии.

Большинство методистов считает, что основными элементами «измерительной культуры» являются следующие:

а) понимание особенностей процесса измерения и умение осуществлять его на практике;

б) установление аналогии между измерениями различных величин;

в) овладение различными методами измерений, их специфическими особенностями; умение выбрать конкретные задачи;

г) умение наиболее рациональным способом выбрать единицы измерения, пользоваться измерительными приборами;

д) умение обрабатывать информацию, полученную в результате измерений и вычислений и оперировать ею.

Эти измерения состоят из множества более мелких составляющих операций - знаний, умений и навыков. Сюда входят: знание свойств меры, например, таких, как формулы для вычисления различных геометрических величин; навыки быстрого и правильного определения показаний измерительного инструмента или прибора; навыки логической организации действий, необходимых для получения измерительной информации, навыки работы с приближенными значениями чисел.

Овладение навыками измерения при изучении математики необходимо начинать с уяснения идеи измерения и формирования приемов инструментальных измерений.

При изучении величин и их измерений следует формировать реальное представление о единице измерения, добиваться умения измерять объекты на глаз.

Для совершенствования знаний, умений и навыков учащихся автор пре лагает несколько приемов, связанных с измерениями величины. В процессе же выполнения систематических упражнений ученики гораздо лучше усваивают соотношения между единицами измерения разных величин.

Наиболее трудным при изучении темы «Измерение геометрических величин» является переход от одной единицы измерения к другой. Многие ученики заучивают соотношения между, единицами, не понимая логической связи между ними, что затрудняет свободное оперирование единицами измерения в процессе практических действий и вычислений, например, при изучении градусной меры углов. Чтобы устранить эти недостатки, автором были подготовлены специальные карточки-задания различного уровня сложности с учетом индивидуальных способностей учащихся, что весьма способствовало усвоению ими изучаемой темы.

Исследование показало, что при формировании понятия площади плоских фигур важно обратить внимание учащихся на то, что площадь является функцией, определенной на некотором множестве плоских фигур и применяющей значение положительных чисел. Учитывая возрастные особенности учащихся, специфику преподавания математики и изучения конкретных тем, важно организовать целенаправленное обучение учащихся на основе преемственной связи изучаемых тем с усилением практической направленности.

Индивидуальные практические задания должны четко учитывать особенности каждого ученика, его уровень знаний и умений, его организованность, работоспособность.

Для организации учебной деятельности учащихся на уроках математики автор использовал систему заданий, которая включала такие виды упражнений:

а) диагностические, с целью выявления уровня знаний и умений учащихся, их уточнения, коррекции и актуализации опорных заданий по образцу;

б) установочные, с целью ознакомления учащихся с измерительными инструментами и простейшими приемами работы с ними;

в) иллюстративное ознакомление учащихся с отдельными свойствами геометрических фигур;

г) тренировочные, предназначенные для закрепления изученных свойств, соотношений, фактов, а также, направленные на овладение способами построения, изображения, доказательства;

д) исследовательские, направленные на поиск новых свойств геометрических величин, которые путем практических построений, измерений затем будут логически обоснованы;

е) творческие, связанные с геометрической наглядностью, созданием на основе геометрических свойств специальных приборов и механизмов. Целью этих упражнений являются систематизация и обобщение теоретических знаний, методов построений, изображений, измерений;

ж) контролирующие, целью которых является контроль и коррекция знаний.

В процессе выполнения практических заданий учащиеся знакомятся с основными метрологическими показателями, с понятием погрешности измерений и с правилами измерений величин, углубляют свои знания по геометрии.

Педагогический эксперимент проводился на протяжении нескольких лет (2000 - 2009 гг.) в городских и сельских школах Республики Таджикистан.

На основе анализа письменных и контрольных работ, выполнения практических заданий, устного опроса учащихся 5 - 9 — х классов были выявлены причины некачественного усвоения учащимися величин и их измерений.

Анализ методической, психолого-педагогической литературы и школьной практики помог автору наметить пути предупреждения плохого усвоения знаний по исследуемой проблеме.

На первом этапе (2000 — 2003 гг.) были решены следующие задачи: а) на основании изучения опыта учителей (с разным педагогическим стажем), бесед с учащимися, изучения работы кабинетов математики, их оснащенности автором был выявлен уровень математических знаний учащихся, в частности усвоения материала, касающегося геометриче

ских величин и их измерений;

б) были выявлены наиболее рациональные методы преподавания геометрии;

в) были определены пути повышения эффективности преподавания материала, касающегося измерения геометрических величин, разработаны необходимые дидактические материалы для обучающего эксперимента, методические рекомендации.

В ходе констатирующего эксперимента были выявлены недостатки традиционных методов преподавания материала, касающегося геометрических величин, изучен передовой опыт учителей, исследована научно-методическая литература.

На втором этапе (2004 - 2006 гг.) был проведен предварительный обучающий эксперимент в 8-9-х классах.

Цель эксперимента заключалась в отборе и проверке доступности имеющихся методических материалов. При проведении массового обучающего эксперимента необходимо было:

а) проверить и уточнить первоначальные пространственные представления учащихся о величине и единицах измерения, уровень их знаний по измерению длины отрезков и меры углов; установить, какие знания и практические навыки приобрели учащиеся в ходе экспериментального обучения;

б) выявить трудности усвоения знаний учащимися, проблемы, ошибки, неточности в их практической деятельности, пути их предупреждения. Значительное внимание при подборе заданий уделялось развитию

мышления учащихся, формированию навыков конструирования самостоятельному поиску решений.

Для проведения обучающего эксперимента были выделены три городских и пять сельских школ, в которых число учащихся экспериментальных классах составило 564 человека.

Целями обучающего эксперимента было следующие:

а) определить доступность предлагаемой автором методики, оценить её эффективность;

б) экспериментально проверить эффективность предлагаемой системы упражнений и наглядных средств обучения;

в) экспериментально проверить состоятельность выдвинутой гипотезы исследования, внести в экспериментальные материалы необходимые уточнения, дополнения, коррекцию, дать качественный и количественный анализ результатов педагогического эксперимента.

В конце каждого учебного года проверялись итоговые контрольные работы. Для каждого класса предлагалось по два варианта задач, в каждом варианте которых по 3 задания, причем, 2 первых задания были обязательными, а третье - дополнительным (необязательным) - общее для обоих вариантов.

Ученики 1-го класса с первой задачей справились, при этом 20% школьников в экспериментальных классах не смогли дать правильный ответ. Со второй задачей справились 70 % учащихся экспериментального класса и 58 % учащихся контрольных классов.

Решение третьей задачи вызвало затруднение как у учащихся экспериментальных, так и контрольных классов.

Ученики 8-го класса с первым и вторым заданиями справились легко. С решением третьей задачи справились лишь 68 % учащихся.

Большинство учащихся (58%) контрольных классов с решением второй задачи не справились.

Третье задание решили 17 % учащихся.

Почти все учащиеся 9-х экспериментальных классов без затруднений справились со всеми заданиями. Учащиеся контрольных классов (56%) при решении первого задания допустили ошибки. Третье задание решили 12 % учащихся. Учащиеся затруднялись нарисовать рисунок, используя условия задачи.

Кроме письменных работ, были использованы опрос и тестирование. Вопросы тестов были составлены в объеме учебных программ и проводились во всех классах одновременно.

Кроме письменных работ и тестирования, были проведены следующие мероприятия:

а) посещение и наблюдение за процессом уроков с последующим анализом (более 200 учеников);

б) беседы с учащимися по изучаемым темам;

в) беседы с учителями, уточнение роли и места понятия величины в школьном курсе математики, особенности изложения этого материала;

г) изучение школьной документации, классных журналов, планирование учебного материала, методы проведения внеклассных и внешкольных мероприятий, рабочие тетради и контрольные работы и т. п.

В конце учебного года в 7-9-х классах (экспериментальных и контрольных) были проведены итоговые контрольные работы, где качество знаний учащихся автор определил по следующей формуле:

IV, ^^ .. .

где: относительное качество знаний; П[ - частота распределений; п - объект выборки (сумма частот выборки).

Эмпирическую функцию распределения Б* (X) .определяющую для каждого значения X относительно частоты события Х<х определялась по

формуле: Р*= !Ь., где: ^-количественные испытания меньше х; п-объем п

выборки (общее количество испытаний). " '

По этому функция Р*(х) характеризует закон изменения относительной части события Х<х в данной выборке. Функция Р*(х) имеет следующие свойства 1°. Значения функции Б*(х) принадлежит отрезку [0,1] при этом х<Х!, Р*(х) =0, а для х>хп, Р*(х)=1, 2°. Р*(х)-неубывающая функция. Неравенство Х<х в нашем случае «2», «3», «4», «5».

Согласно данным эмпирического распределения функции, теоретическая частота распределения Т(0 определялась по формуле:

где: п - сумма частот эмпирического распределения, т. е. П — ; к-величина интервала дробления эмпирического распределения (в нашем случае к = 1); ^-среднее квадратное отклонение ряда; X, -X -

нормированное отклонение, где х,-поточное значение признака, а X-

среднее арифметическое отклонение.

Для проверки достоверности полученных результатов использовался

критерий Пирсона (методом %2)- %2 = £ * ~^ • гДе п1 и п1'

(=1 п]

эмпирические и теоретические частоты. Критерий Пирсона показывает, что % 2 = о,43;Хк ~ ЗД9 (согласно таблице 5 для 7 кл.).

Для числа степени свободы в рассматриваемом случае, К = 3, а интервал - 4. Выясняется, то соответствующее 3 степеням свободы значение 2

X на 5-процентном уровне вероятности-7,81, т. е. ^ 2=7,81.

Следовательно, расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами экспериментальных классов и контрольных классов незначительно.

Для проверки гипотезы о равенстве двух выработанных дисперсий использовался критерий Фишера: р = —к- , где

и пэ - дисперсии

^ э

контрольных и экспериментальных классов. В рассматриваемом случае:

ХГ 0>63 1«»

Все вышеприведенные данные доказывают верность гипотезы автора и преимущества его методики.

Таким образом, статистическая обработка результатов экспериментального обучения показывает, что полученные автором эмпирические данные имеют характер нормального распределения и полученные выводы достоверны. Критерий Фишера-Снедокора подтверждает верность автор-

ской методики и её преимущества при развитии математических способностей на уроках геометрии.

В итоге автор констатирует, что формирование математических понятий является одной из наиболее важных проблем в преподавании математики. Понятия величины, расстояния, метрического пространства занимают фундаментальное место в системе математических понятий.

Эксперимент показал, что основными недостатками методики изучения геометрических величин в школе являются:

а) в учебниках по геометрии мало задач на измерение; . ,

б) учителя не уделяют достаточного внимания вопросам изучения геометрических величин, они не дают учащимся четких представлений о геометрических величинах, не обобщают и не систематизируют в достаточной мере необходимые сведения;

в) отсутствуют обобщающие беседы о геометрических величинах и их измерениях с учетом развития человеческих знаний;

г) нет единого подхода к трактовке понятия величины в геометрии и физике и др.;

д) школьная программа плохо связана с жизнью школьников;

е) роль межпредметных связей в процессе обучения геометрическим величинам недооценена;

ж) в учебниках мало задач, решение которых способствует закреплению знаний о понятии величин и др.

На наш взгляд, понятие геометрические величины в школе целесообразно вводить на интуитивном уровне (в пропедевтическом плаце), начиная с первого класса. Учащимся 7-9 классов достаточно разъяснить, что величина - это количественная характеристика предмета или явления, уточнить особенности этой характеристики (общая в качественном отношении для некоторого множества объектов или явлений, но индивидуальная в количественном) можно в старших классах. ,

Надо обучать учащихся так, чтобы они усвоили, что каждая геометрическая величина является и физической. Множество геометрических величин является под множеством системы физических величин. Поэтому целесообразно трактовать величину в геометрии так, как это делают на уроках физики.

Разработанная нами методика единого подхода к изучению геометрических величин в геометрии и физике позволяет успешно формировать у учащихся понятие длины, меры углов и площадей плоских фигур и свободно оперировать единицами измерений.

Важное значение при изучении геометрических величин принадлежит специальным практическим работам, требующим конструктивных методов решения с применением непосредственных измерений, построений, изображений, моделирования и конструирования. Система прдодаесщх заданий должна быть направлена на комплексное развитие конструктивных

умений и навыков, формирование умственной деятельности, творческих способностей. Практические работы должны учитывать индивидуальные особенности учащихся, их уровень подготовки, сформированности приемов умственной деятельности, способности, организованность, работоспособность, темп и ритм работы.

В процессе выполнения практических работ учащиеся знакомятся с основными метрологическими показателями: делением шкалы, ценой деления, пределом измерения по шкале, пределами измерения прибора, точностью отсчета, погрешностью показаний прибора. Они знакомятся также с понятием-погрешности измерения, с тем, что погрешность неизбежна при любых измерениях, с понятиями о систематических, случайных и грубых погрешностях. В процессе выполнения практических работ учащимся каждый раз при работе с новым прибором или инструментом разъясняются причины, от которых зависит точность измерений.

Учитель должен ознакомить учеников с правилами измерения величин, сущность которых состоит в том, чтобы:

1) правильно выбрать инструмент для измерения, руководствуясь при этом необходимой / или заданной / точностью измерения;

2) правильно установить измерительный инструмент;

3) правильно прочитать показания измерительного инструмента;

4) верно оценить погрешность инструмента;

5) выполнить несколько измерений одной и той же величины и найти среднее арифметическое этих результатов;

6) правильно записать окончательный результат измерения.

В диссертации теоретически обоснована и экспериментально подтверждена гипотеза исследования о том, что систематические и целенаправленные изучения геометрических величин в курсе планиметрии может стать важным средством совершенствования и повышения качества обучения математике.

В ходе решения поставленных в диссертации задач получены следующие результаты и выводы:

1. Исходя из концепции учебной деятельности и целостного подхода к процессу обучения школьников, разработаны теоретические основы методики изучения геометрических величин в курсе математики 5-9 классов.

2. Экспериментально определены условия успешного формирования приёмов учебной деятельности по выполнению геометрических величин в самостоятельной работе учащихся.

3. Методика изучения величин в курсе планиметрии удовлетворяющая, сформированным в диссертации требованиям, обеспечивает, как показал эксперимент, сознательное овладение учащимися механизма геометрических величин.

4. Для организации учебной деятельности учащихся на уроках математики необходимо использовать систему заданий, которая включала такие виды упражнений:

а) диагностические с целью выявления уровня знаний и умений учащихся, их уточнения и коррекции, актуализации опорных знаний;

б) установочные с целью ознакомления учащихся с оборудованием и простейшими приемами работы с ним;

в) иллюстративные для ознакомления учащихся с отдельными свойствами фигур и, геометрическими фактами;

г) тренировочные, предназначенные для закрепления изученных свойств, соотношений, фактов, а также направленные на овладение способами построения, изображения доказательства;

д) исследовательские направленные на практический поиск новых свойств, которые затем будут логически обоснованы;

е) творческие, связанные с конструированием геометрической наглядности, созданием на основе геометрических свойств специальных приборов и механизмов;

ж) обобщающие основной целью, которых является систематизация и обобщение теоретических знаний, методов построений, изображений, измерений.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях автора:

1. Некоторые способы вычисления площадей простых многоугольников //Маърифат. Душанбе, 1995. № 7 - 8.- С. 34 - 36

2. Величина и ее место в математике //Ирфон. Курган-Тюбе, 2000. № 7. - -С. 22 -26

3. Величины и обучение им в начальном классах //Ирфон. Курган-Тюбе, 2001. № 7. - С. 27-32

4. Величина углов, некоторые способы измерения углов //Ирфон. Курган-Тюбе, 2003. №13.-С. 40-43

5. Некоторые общие понятия о величине //Ирфон. Курган-Тюбе, 2004. № 17. - С. 15-18

6. Некоторые высказывания о простых фигурах и их площадях //Ирфон. Курган-Тюбе, 2005. № 18. - С. 28 - 33

7. Величины в науке и школьной практике. Курган-Тюбе, 2005. - 48 с.

8. Об одном лабораторном уроке школьной геометрии //Маърифат. Душанбе. 2007, №11.-С. 61-64

9. Практические работы и измерения на местности //Учеб. пос. для учителей ср. школ и студентов высших и ср. специальных учреждений Курган-Тюбе, 2007. -109 с.

10. Пропедевтические сведения о понятии величины //Мат. международ, науч. теор. конф. Душанбе, 2007,- С. 87 - 88

11. Целая и дробная часть функций. Курган-Тюбе, 2009. - 83 с.

12. Понятие геометрической величины в науке //Вопросы психологии и педагогики. Курган-Тюбе. 2008. № 3.- С. 32 - 39.

13. Понятие длины в формировании математических представлений //Вопросы психологии и педагогики. Курган-Тюбе. 2008. № 4.-С. 47-51.

14. Развитие логического мышления учащихся в формировании методов математических понятий //Вопросы психологии и педагогики. Курган-Тюбе. 2009. № 2.-С. 32-39.

15. Изучение целой и дробной части функции. Курган-Тюбе. 2009. - 83 с.

16. Изучение геометрических величин на основе потребности физики //Вестник национального университета. Серия гуманитарных, наук. Душанбе, 2009. № 6. -с. 215-220.

17. Некоторые сведения о понятии величины и методики их изучения //Вестник Таджикского национального университета. Серия гуманитарных наук. Душанбе, 2009. № 6. (53) - с. 243-246.

Сдано в набор 16.11.2009г.. Подписано в печать 18.11.2009 Формат 60x84 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 96

Типография ТГПУ им. Садриддин Айни г.Душанбе, п-тРудаки 121

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Мусавиров, Шарифхужа, 2009 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ И ШКОЛЬНОЙ ПРАКТИКЕ.

§ 1. Геометрические величины в науке.

§ 2. Анализ проблемы изучения геометрических величин в школьном курсе геометрии.

§ 3. Психолого-педагогические основы проблемы исследования.

Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

§ 4. Формирование у учащихся понятия длины.

Измерения длины.

§ 5. Особенности изучения мер углов в 5-9 классах.

§ 6. Методика изучения площади плоских фигур в 5-9 классах.

§ 7. Педагогический эксперимент.

Организация и результаты.

Выводы к второй главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии"

Формирование математических понятий является одной из наиболее важных сложных проблем в методике математики.

Понятие величины, расстояния, метрического пространств занимают фундаментальное место в системе математических знаний.

Уровень сформированности математических понятий у учащихся и умение оперировать ими при решении задач, доказательстве теорем, в различных нестандартных ситуациях определяет развитие математических способности, мышления.

Особое место в системе математических понятий занимает величина. Ф.Энгельс подчеркивал: «Математика — это наука о величинах, она исходит из понятия «величины» [173, с.223]

Понятие величины широко используется в физике, химии, астрономии, биологии и других науках. Потребности практической деятельности человека в давних времен требовали от науки соизмерения различных (по однородных) физических, геометрических и других свойств реальных. объектов. В «Началах» Евклида (III в. до н.э.) были отчетливо сформулированы свойства скалярных величин, которые являлись непосредственным обобщением более конкретных понятий? длины, площади, объема, массы и т.п.

Понятие величины исторически подвергалось многократным обобщениям. Так, изучение сил, скоростей упругих напряжений привело к векторов и тензоров.

Числа, как т длины, объема и т.д. являются частными случаями величины.

В методике математики проблемами формирования у учашихся понятий о величины уделяли большое внимание А.Н. Крылов, И.К. Андронов, Г.С. Бирюков, А.И. Маркушевич, А.Н. Колмагоров, В.И.Мишин P.C. Черкасов, З.И. Сленкань, А.М.Пышкало, Б. Гнеденко, Н.Я. Виленкин, И.

Яглом, А.П. Стахов, В.А. Гусев и др. в психологии -— В.В. Давыдов, JT.B. Занков, H.A. Менчинская, И.С. Якиманская, E.H. Кабанова - Меллер и др.

Вопросы методики изучения величин как пространственного компонента, исследовались в работах Г.Д. Глейзера, Н.М. Яковлева, Г.П. Бевза, И.Ф. Слезинский, А Д Семушкина, И Ф Тесленко, Дж. Шарипова, М. Нугманова, Б. Алиева и др.

В школьном курсе математики с этим понятием учащихся встречаются на протяжении всего периода школьного обучения. Начальные представления о величине дети получают в дошкольном возрасте. В начальной школе их представления и знания углубляются и расширяются. Особое внимание уделяется измерению величин (длины, объемов, площадей, массы, времени, стоимости и т.д.).

Геометрические величины — длины, площади, объемы, меры углов изучаются в систематическом курсе геометрии. В методике математики проблема усвоения учащимся измерения геометрических величин являются одной из наиболее трудных и сложных, как в теоретическом, так и в методическом отношении. К изучению систематического курса геометрии, учащиеся приходят недостаточно подготовленными. Сведения и представления о величинах и их измерениях у них недостаточно систематизированы, обобщены, мало осмыслены.

С целью облегчить усвоение этого материалам в школе в последние годы вносились изменения в школьные учебники и учебные пособия, уточнялись понятия, дополнялись сведения, изменялась последовательность изучения, сокращался материал и т.д. До 1960 года в школьном курсе арифметики был специальный раздел «Именованные числа и действия над ними». Позже, в связи с модернизацией школьной математики, от термина «именованные числа» отказались, заменили его термином «величина». В учебном пособии геометрия для 6-8 кл. А.Н.Колмогорова и др. в самом начале был введен отдельный пункт «Величины и числа». Но он оказался трудным для шестиклассников и его отнесли к необязательным для изучения. Некоторые математики предлагали вообще исключить из школьного курса математики понятие величины, т.к. математика без него может обойтись. Но школьный курс математики не может ограничиться только «чистой» математикой, а для прикладной математики понятие величины — одно из наиболее важных. Н.Я. Виленкин отмечает: «Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики» [37, с.180].

Попытки исключить изучение понятия величины из школьного курса математики оказались безуспешными, необоснованными.

Понятие величины является стержневой основой курса математики, базисным понятием. В методике математики, как начальной школы, как и средней, проблема изучения величин и их измерения недостаточно решена.

Сложности, связанные с изучением этого понятия в школе, встречались и встречаются. И. Яглом указывал, что «ни в одном другом пункте школьной программы мы не встречались с таким большим числом неправильных представлений и утвердившихся методических несообразностей, как при изложении этой темы» [80, с.6].

В школьной практике значению этих важных понятий не придаётся должного внимания, между тем их роль в развитии системы знаний по математике фундаментальна. К сожалению, в школах учащиеся получают нечеткое представление о геометрических величинах, многие важные вопросы просто опускаются при преподавании.

В современной концепции среднего образования Таджикистана вопросам изучения величин в школе уделяется гораздо больше внимания.

Недостаточная теоретическая разработанность данной проблемы в дидактике, частных методиках и особенно в методике преподавания математики отрицательно сказывается на качестве знаний учащихся, осознанности ими не только математических знаний, но и других школьных предметов, связанных с этими понятиями, на практических умениях и навыках школьников.

Назрела необходимость в коррекции преподавания математики относительно изучения понятия величины и её измерений, доступного для понимания учащихся.

Величины в школе необходимо изучать последовательно, целенаправленно, системно, с учетом познавательных возможностей обучающихся. Принятие концепции школьного математического образования в Таджикистане и те изменения, которые произошли в последние годы в структуре и содержании школьного образования в целом, создание школ нового типа со всей очевидностью требуют пересмотра программ и учебников по математике, уточнения их структуры и содержания, разработки новых подходов в методике изучения математики.

Все вышесказанное и определяет актуальность темы данного исследования.

Объектом исследования является процесс формирования представлений о геометрических величинах и их измерениях при изучении геометрии у учащихся 7 — 9 - х классов.

Предметом исследования является система методических приемов, методов и средств, применяемых с целью лучшего усвоения учащимися геометрических величин и их измерений при изучении математики.

-осуществлять системно — структурный и личностно — функциональный подход к их изучению величины в средней школе; целенаправленно и систематически использовать теоретико-методологические и методические возможности в процессе учебных и внеурочных занятий по математике;

В соответствии с объектом, предметом, целью и гипотезой, были определены следующие задачи исследования:

-проанализировать методические основы изучения геометрических величин в школе, психолого-педагогические особенности их формирования; -обосновать суть необходимых изменений в курсе планиметрии и их взаимосвязь с другими предметами;

-разработать содержание и методику реализации нового подхода к изучению геометрических величин в курсе планиметрии; -экспериментально проверить эффективность подхода к изучению величин в школе.

Методологической основой исследования послужили работы ведущих психологов (Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Н. А. Менчинской, Д. В. Эльконина, Б. Н. Кабанова - Малера), педагогов (М. А. Данилова, И. Я. Лернера, М. Н. Скаткина), и методистов (М.И. Моров, A.M. Пышкало, Н.Я. Виленкена, И. Ф. Тесленко, Дж. Шарипова, М. Нугманова, 3. И. Слепкань, Г. П. Бевза, К. У. Осими, А. Халикова, Б. Алиев и др.)

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:

-анализ действующих программ, учебников и учебных пособий по математике для начальных и старших классов; анализ школьной документации;

-теоретический анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; педагогические наблюдения; беседы; анкетирование; изучение и обобщение передового опыта учителей;

-педагогический эксперимент (констатирующий и формирующий);

-статистическая обработка результатов экспериментального обучения. Ведущим методом исследования был педагогический эксперимент, который проводился в три этапа на протяжении 2000 - 2009 учебных годов.

Педагогическим экспериментом были охвачены 1126 учащихся 1-9 - х классов гимназии КГУ им. Носира Хусрава, средних школ №6 и 7 г. Курган-Тюбе, №1, 14, 26, 43 и гимназии №2 Бохтарского района Хатлонской области Республики Таджикистан.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

Практическая значимость исследования — предложена конкретная методика единого подхода к изучению геометрических величин в курсе планиметрии и физики, уточнены особенности пропедевтики изучения величин в курсе математики 1 - 4-х классов. Разработанная система упражнений и методические рекомендации используются учителями математики в школе, а также преподавателями педагогических университетов при проведении лекционных и практических занятий по методике преподавания математики.

Апробация и внедрение полученных результатов исследования — разработанные рекомендации по методике изучения геометрических величин в курсе планиметрии апробировались в школах Республики Таджикистан. Материалы диссертационного исследования обсуждались на заседаниях кафедры методики преподавания математики Курган-Тюбинского государственного университета, на заседания научно-методического семинара Таджикского педагогического университета им. С. Айни (2000 г.), на научных конференциях Кулябского, Курган-Тюбинского, Душанбинского госуниверситетов (2002, 2003, 2005, 2007 гг.), на совещаниях учителей-математиков, методистов, на научно-методических семинарах кафедр. Основные результаты исследования опубликованы автором в 17 работах.

На защиту выносятся следующие основные положения: - уточненная трактовка понятия «величина» как одного из основных понятий школьной математики;

- система практических заданий, требующая конструктивных методов решения с применением изменений, построений, моделирования; разработанные методические рекомендации по изучению геометрических величин и измерений в курсе планиметрии.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы к второй главе

Во второй главе диссертации рассматривюется следующие темы: формирование у учащихся понятия длины; измерения длины, особенности изучения мер углов в 5-9 классах; методика изучения площади плоских фигур в 5-9 классах. Педагогический эксперимент. Организация и результаты.

Овладение навыками измерения при изучении математики необходимо начинать с уяснения идеи измерения и формирования приемов инструментальных измерении. Основными элементами «измерительной культуры» являются: а) понимание особенностей процесса измерения и умение его осуществлять на практике; б) установление аналогии между измерениями различных величин; в) овладение различными методами измерений, их специфическими особенностями. Умение выбрать конкретный способ измерения, адекватный заданной ситуации и наиболее эффективный при решении данной конкретной задачи; г) умение наиболее рациональным способом выбрать единицы измерения, пользоваться измерительными приборами; оценивать точность измерений и вычислений с приближенными значениями чисел, оценивать точность результата вычислений по сравнению с числами, полученными в результате измерения; д) умение обрабатывать информацию, полученную в результате измерения и вычисления и оперировать ею.

Обязательным результатом при изучении темы «Измерение длины отрезка» в начальной школе является умение каждого ученика измерить длину отрезков и умение строить отрезки заданной длины.

В старших классах при изучении темы «Измерение отрезков» надо познакомить учащихся с двумя способами измерения отрезков:

1) единичный отрезок укладывается при измерении данного отрезка целое число раз;

2) единичный отрезок не укладывается на измеряемом отрезке целое число раз.

На вне классных и факультативных занятиях целесо образно рассматривать и задачи, связанные с определением длин кусков параболы, гиперболы, эллипса, синусоиды. Для определениях длин можно находить их приближенные значения при помощи измерительного циркуля, курвиметра и др.

В результате изучения курса геометрии учащиеся 7-9-х классов должны овладеть умениями, представляющими обязательный минимум знании, вычислять значения величины угла с использованием формул для определения величины углов.

Если учащиеся в 5-6-х классах имеют дело с градусной мерой углов, то в 7-9-х классах расширяются понятия о величине угла и его свойствах, измерении, о центральных и вписанных углах. Угол между прямыми, между лучами, между векторами, между плоскостями, угол поворота и.т.д. - это ведь не углы, не фигуры, а величины, причем величины разные. Мы считаем необходимым объяснить школьникам что угловыми мерами измеряют повороты, вращения, углы между прямыми, углы между векторами, углы между плоскостями и т. д. Особое место при изучении градусной меры углов занимает практическая деятельность учащихся.

Понятие о площади фигур можно излагать аналогично понятию длины отрезка или меры углов.

Учитывая возрастные особенности учащихся, понятие площади необходимо рассматривать как одно из первичных в опыте многовековой практической деятельности людей.

При формировании понятия площади плоских фигур важно обратить внимание учащихся на то, что площадь является функцией, определенной на некотором классе плоских фигур и принимающей значения положительных чисел.

В теории измерения имеется при способа вычисления площадей; аналитический, графический и механический. Наиболее точным является аналитический способ. Наименее точным, но широко распространенным-механически способ.

Анализ методической, психолого-педагогической литературы, опыт школьной практики и педагогический эксперимент выявили ряд причин затруднений и ошибок учащихся, при изучении геометрических величин:

1) в существующих учебных пособиях аксиоматика скалярных величин полностью не раскрывается;

2) понятием скалярной величины в школьном курсе математики пользуются без определения;

3) неудачная традиционная терминология, связанная с величинами;

4) учителя уделяют недостаточно внимания вопросам изучения геометрических величин;

5) отсутствие единого подхода в трактовке понятия величины в геометрии и физике т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенного теоретического и экспериментального исследования мы пришли к выводам:

Формирование математических понятий является одной из наиболее сложных проблем в методике математики. Понятия величины, расстояния, метрического пространства занимают фундаментальное место в системе математических понятий.

Основными недостатками при изучении геометрических величин в школе являются: а) учителя уделяют недостаточно внимания учителей вопросам изучения геометрических величин, не дают учащимся четких представлений о геометрических величинах, не обобщают и не систематизируют в достаточной мере необходимые сведения; б) отсутствуют элементы теории измерений и метрологии как объекта изучения; в) отсутствуют обобщающие беседы о геометрических величинах и их измерениях, исторических экскурсов; г) нет единого подхода в трактовке понятия величины в геометрии и физике; д) в учебниках по геометрии мало задач на измерения; е) школьная программа плохо связана с жизнью школьников; ж) недооценена роль межредметных связей в процессе обучения геометрическим величинам; з) в учебниках мало задач, решение которых способствует усвоению и закреплению знаний понятии величины и др.

Целенаправленное изучение геометрических величин в школе с учетом возрастных особенностей учащихся, преемственность обучения и реализация межпредметных и внутри предметных взаимосвязей способствует формированию мировоззренческих знаний, обобщенных представлений о процессе измерения как основном инструменте познания, обеспечивает глубокое усвоение математических знаний, развитие мышления.

На наш взгляд, понятие геометрических величины в школе целесообразно вводить на интуитивном уровне (в пропедевтическом плане), начиная с первого класса. Учащимся 7-9 классов достаточно разъяснить, что величина - это количественная характеристика предмета или явления, уточнить особенности этой характеристики (общая в качественном отношении для некоторого множества объектов или явлений, но индивидуальная в количественном) можно в старших классах.

Надо обучать учащихся так, чтобы они усвоили, что каждая геометрическая величина является и физической. Множество геометрических величин является подмножеством системы физических величин. Поэтому целесообразно трактовать величину в геометрии так, как это делают на уроках физики.

Важное значение при изучении геометрических величин принадлежит специальным практическим работам, требующим конструктивных методов решения с применением непосредственных измерений, построений, изображений, моделирования и конструирования. Система практических заданий должна быть направлена на комплексное развитие конструктивных умений и навыков, формирование умственной деятельности, творческих способностей.

Практические работы должны учитывать индивидуальные особенности учащихся, их уровень подготовки, сформированности приемов умственной деятельности, способности, организованность, работоспособность, темп и ритм работы. При подборе системы упражнений важно обеспечивать вариативность не только по содержанию, но и по уровню их сложности, по учебной целевой направленности.

В процессе выполнения практических работ учащиеся знакомятся с основными метрологическими показателями: делением шкалы, ценой деления, пределом измерения по шкале, пределами измерения прибора, точностью отсчета, погрешностью показаний прибора. Они знакомятся также с понятием погрешности измерения, с тем, что погрешность неизбежна при любых измерениях, с понятиями о систематических, случайных и грубых погрешностях. В процессе выполнения практических работ учащимся каждый раз при работе с новым прибором или инструментом разъясняются причины, от которых зависит точность измерений.

Учитель должен ознакомить учеников с правилами измерения величин, сущность которых состоит в том, чтобы:

2) правильно установить измерительный инструмент;

3) правильно прочитать показания измерительного инструмента;

4) верно оценить погрешность инструмента;

5) выполнить несколько измерений одной и той же величины и найти среднее арифметическое этих результатов;

6) правильно записать окончательный результат измерения.

Со многими правилами работы с измерительными инструментами и приборами учащиеся ознакомлены на уроках труда, физики, географии, ч черчения.

В ходе решения поставленных в диссертации задач получены следующие результаты и выводы:

1. Исходя из концепции учебной деятельности и целостного подхода к процессу учения школьников разработаны теоретические основы методики изучения геометрических величин в курсе математики 5-9 классов

3. Методика изучение величин в курсе планиметрии удовлетворяющая, сформированным в диссертации требованиям, обеспечивает, как показал эксперимент, сознательное овладение учащимися механизмом геометрических величин.

4. Для организации учебной деятельности учащихся на уроках математики необходимо использовать систему заданий, которая включала такие виды упражнений: а) диагностические -с целью выявления уровня знаний и умений учащихся, их уточнения и коррекции, актуализации опорных знаний; б) установочные -с целью ознакомления учащихся с оборудованием и простейшими приемами работы с ним; в) иллюстративные -для ознакомления учащихся с отдельными свойствами фигур, геометрическими фактами; г) тренировочные -предназначенные для закрепления изученных свойств, соотношений, фактов, а также направленные на овладение способами построения, изображения доказательства; д) исследовательские -направленны на практический поиск новых свойств, которые затем будут логически обоснованы; е) творческие -связанные с конструированием геометрической наглядности, созданием на основе геометрических свойств специальных приборов и механизмов; ж) обобщающие -основной целью которых является систематизация и обобщение теоретических знаний, методов построений, изображений, измерений.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Мусавиров, Шарифхужа, Душанбе

1. Абдуллаев С. Диалектика качества и количества в научном познании. Авт.дис. . . канд.филос.наук — Алма-Ата, 1980 — 22 с.

2. Албаров С.А. Вопросы измерения площадей фигур при изучении геометрии в старших классах средней общеобразовательной школы: Дис. .канд.пед.наук. — М., 1963 -.221 с.

3. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И Геометрия: Пробный учебник для 6 кл.ср.шк., М., 1984. — 176 с.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Пробный учебник для 7 кл.ср.шк., М., 1985. — 192 с.

5. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Пробный учебник для 8 кл.ср.шк., М., 1986. —288 с.

6. Александров А.Д.Основания геометрии М., 1987. — 288 с.

7. Алиев Б. Геометрия. Учебник для 10 кл.ср.шк. — Душанбе: «Маориф», 2007. — 202 с.

8. Андронов И.К. Арифметика дробных чисел и основных величин -М., 1955.-244 с.

9. Аргунов В.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия М., 1966 - 366 с.

10. Ю.Асадулло Ш. Математика. 5 кл. Учебник для общеобразоват. учреждений. Душанбе: «Мавлави», 2006.-216 с.

11. П.Асадулло Ш. Математика. 6 кл. Учебник для общеобразоват. учреждений. Душанбе: «Матбуот», 2006.-344 с.

12. Астряб A.M. Курс опытной геометрии 2-е изд. - Киев, 1926. - 250 с.

13. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев C.B., Позняк Э.Г. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы. М, 1990. — 480 с.

14. Б.С.Э. Т. 26. - М., 1977 - 622 с.

15. Баев Б.П. Система изложения теории площадей и объемов с применением элементов анализа в курсе математики средней школы: Авт.дис. .канд.пед.наук Минск, 1975. - 20 с.

16. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания М., 1983- 166 с.

17. Бевз Г.П. Методика выкладания математики Киев, 1977 - 372 с.

18. Бевз Г.П., Фильчаков П.Ф., Шведов К.И., Яремчук Ф.П. Справочник по элементарной математике Киев, 1972. -528 с.

19. Бевз Г.П., Халикова А. Геометрия. Учебник для 10-11 кл.ср.шк. -Душанбе: «Маориф», 2004. 236 с.

20. Беляев Е.А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. М., 1975. - 112 с.

21. Берка К. Измерения. Понятия, теории, проблемы /Пер. с чехского. -М., 1987. -320 с.

22. Бескин K.M. Методика геометрии. М., 1947. - 276 с.

23. Бирюков Г.С. и др. Измерение геометрических величин и их метрического обеспечения. М., 1987. - 368 с.

24. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев., 1976.- 269 с.

25. Богушевский К.С. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. М., 1964. - 110 с.

26. Болтянский В.Г. Длина кривой и площадь поверхности. М., 1966.-С.89-141

27. Болтянский В.Г. О понятии площади и объема //Квант 1977 -5. - С. 20-25.

28. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Книга для учителя. М., 1985.-319 с.

29. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушкин А.Д. Геометрия для 6-8 классов. М., 1979. - 272 с.

30. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней 28 школе. Учебное пособие для пединститутов и госуниверситетов. -М., 1954. -504 с.

31. Брущева В.В. Категория "качество", "количество", "мера", как ступени развития познания и практики: Авт.дис. . .канд.пед.наук. -М., 1979.-24 с.

32. Вайман A.A. Шумеро -вавилонская математика. М., 1961. - 278 с.

33. Ван-дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. /Пер. с голландского. -М., 1959.-459 с.

34. Веденяпин H.A. Способ аналитического вычисления площадей замкнутого многоугольника.- Новочеркасск, 1951. 230 с.

35. Виленкин Н.Я. Математика 4-5 классы: Теоретические основы 1974 -180 с.

36. Виленкин Н.Я. О понятии величины /1 Математика в школе 1973-№4 С.4-7

37. Виленкин Н.Я., Дуничев К.И. и др. Современные основы школьного курса математики. М., 1980 - 229 с.

38. Виленкин Н.Я., Чесноков A.C., Шварцбурд С.И. Математика 5. М., «Русское слово», 1998.-358 с.

39. Виленкин Н.Я., Чесноков A.C., Шварцбурд С.И. Математика 6. М., Просвещение, 1990.-224 с.

40. Воловик П.М. Теория моворностей математична статистика в педагогики. Киев, 1969. - 221 с.

41. Волович М.В., Шахбазян Г.В., Учитывать потребности курса физики при изучении темы Измерение геометрических величин//Математика в школе 1986. №6 -С. 37-40.

42. Гальперин П.Я. О методе поэтапного формирования умственных действий /1 В кн.: Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии М., 1981. - С. 97- 101

43. Глаголев H.A. Элементарная геометрия для средней школы. Планиметрия. 4.1. М., 1954. - 236 с.

44. Глейзер Г.И. История математики в школе IV-VI классы М.,1981.239 с.

45. Глейзер Г.И. История математики в школе УП-УШ классы М., 1982.240 с.

46. Гусев В.А., Иванов А.И., Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. М., 1981. - 77 с.

47. Депман И.Я. Возникновение системы мер и способ измерения величин -М., 1986.-С. 76-77.

48. Депутатов В.Н. Геометрические величины // Математика в школе, -1938.-№5-6-С. 13-17.

49. Дорф П.Я., Румер А.О. Измерения на местности. 2-е изд. - М., 1957431 с.

50. Дубнов Я.С. Беседы о преподавании математики. М., 1966 - 236 с.

51. Дубнов Я.С. Величина и числа//Математическое просвещение. -Вып.5.- 1960-С. 17-55

52. Дубнов Я.С. Измерение. Беседы о преподавании математики. М.,1966 -236 с.

53. Евклид "Начала": Кн. I-VI'. М.-Л., 1948 -446 с.

54. Егоров И.П. Геометрия: спец.курс для студ.физфака пед.ин-тов. М., 1979.-256 с.

55. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М., 1978. - 576 с.

56. Земский В.А. Определение физических величин в учебниках средней школы// Физика в школе. 1955. -№ 3-е. 32-33.

57. Иванов А.И. Изучение величин и их измерении на уроках физики и математики в восьмилетней школе/Дис. . .канд.пед.наук. М.,1981.-169 л.

58. Извольский H.A. Геометрические учение о площадях // Математика в школе. 1935.-2- С.7-11.

59. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия в трех томах // Под ред. А.П.Юшкевича 1970. - Т. 1-Й -1972, - Т. III.

60. Кабанова -Миллер E.H. Формирование приёмов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М., 1968. - 288 с.

61. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963. - 571 с.

62. Кадыров Н. Математика: Учебник для 5 классов / на тадж. языке -Душанбе: Маориф, 2004 200 с.

63. Кадыров Н.Математика: Учебник для 6 классов, «ABА», 2008.-240 с.

64. Кантор П.Р., Раббот Ж.М. Площади многоугольников.// Квант. 1972.-№2 С.36-41

65. Киселев А.П. Арифметика: Учебник для 5-го и 6-го классов семилетней школы. М., 1949.- 167 с.

66. Киселев А.П. Геометрия для 6-9-х классов семилетней и средней школы. -М., 1971. 183 с.

67. Киселев А.П. Элементарная геометрия: Книга для Учителя. М.,1980. -286 с.

68. Климов И.С. Измерение геометрических величин в средней школе и их практическое приложение. Авт.дис. К.П.Н.-Пенза. 1961. -23с.

69. Колмогоров А.Н. Величина//БСЭ. Т.И. - М., 1971. -456 с.

70. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики //Математика в школе. 1971. - 2.-С.5-8

71. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов P.C. Геометрия: Учеб.пос. для 6-8 кл.ср.шк. М., - 1979. -382 с.

72. Колягин Ю.М. О понятии величины. В ж: нач.шк. - 1973. - № 7. - С. 67-71

73. Компанийц П.А. Длина окружности, площадь круга, объем цилиндра от литровой кружки до модели моделей цилиндров: Дис. . .канд.пед.наук. Л., 1976. - 252 с.

74. Корнацевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 7 классе // Под ред. И.Ф.Тесленко. М., 1983.- 144 с.

75. Корнацевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 8 классе // Под ред. И.Ф.Тесленко. М., 1984. - 144 с.

76. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. -М., 1968. -431 с.

77. Крылов А.Н. Прикладная математика и её значение для техники. М., -Л., 1931 - С. 3.

78. Кузнецова Е.П. Единый подход к изучению геометрических величин в курсе математики 6-8 классов: Дис. . .к.п.н. Минск, 1984,- 175 с.

79. Кыверялг A.A. Методы исследования в профессиональной педагогике. -Таллин, 1980. 334 с.

80. Лебег А. Об измерении величин /1 Пер.с франц. М., 1960. - 203 с.

81. Лопшиц A.M. Вычисление площадей ориентированных фигур. -М., 1956. 59 с.

82. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики М.,— 1987.-400с.

83. Малов H.H. О системе С.И. //Физика в школе 1963. -XI. с.22-24.

84. Маслов A.B. Способы и точность определения площадей. М.,1955. -227 с

85. Математическая энциклопедия. Т. 2-5: Статья о длине отрезка прямой, ломанной и кривой линии. Статья о линии. Статья о площади. Статья об угле. - М., /Т.2/. 1982 /Т.З/ и 1984 /Т.4-5/.

86. Мацкин М.С. Методика преподавания учения о геометрических величин в средней школе. Дис. . .канд.пед.наук. М., 1979. - 221 с.

87. Мельников O.A. О роли измерения в процессе познания. -Новосибирск, 1968. 96 с.

88. Мельникова Н.Б., Мышенко Т.М., Чернышева Л.Ю. Геометрия в 7 классе: Пос.для учителей. М., 1984. - 144 с.

89. Мельникова Н.Б., Мышенко Т.М., Чернышева Л.Ю. Геометрия в 8 классе: Пос.для учителей. М., 1985. - 146 с.

90. Мельникова Н.Б., Никольская И.Л., Чернышева Л.Ю. Геометрия в 6 классе: Пос.для учителей. М., 1986. - 142 с.

91. Меньчинская H.A., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М., 1965. -224 с.

92. Меражов З.Ш. О понятии величин. М., Просвещение, 1985. - 210 с.

93. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школе / Под ред. А.И.Фетисова М., 1967. - 272 с.

94. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под общ.пед.: С.Е.Ляпина. М., 1965. - 743 с.

95. Методика преподавания математики в средней школе//Под. Ред. В.И.Мишин. М., 1987. - 414 с.

96. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики / Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушкин Б.Л., Огонесян В. А., Пичурин Л.Ф., Саннинская В .Я., М., 1977. -480 с.

97. Молодший В.Н. Очерки на вопросы обоснования математики. -М., 1958. -230 с.

98. Моро М.И., Пышкало Методика обучения математике в I-III классах. -М., 1975. С. 74-287

99. Моро М.И. и др., Математика. Учебник для 2 кл. нач. шк.-М: Просвещение, 2004-96 с.

100. Моро М.И. и др., Математика. Учебник для 3 кл. нач. шк.-М: Просвещение, 2000-104 с.

101. Моро М.И. и др., Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк.-М: Просвещение, 2000-204 с.

102. Москвин О.В. К изучении физических величин // Физика в школе. 1986.-№ 1.-С. 33-36.

103. Мацько Н.Д. Формирование пространственных представлений у учащихся 1-4 классов в процессе обучения. Авт.Дис. К.п.н. Киев, 1975. -36 с.

104. Муравин Г.К., Муравина О.В. Математика. 5 кл. Учебник для общеобразоват. Учреждений.-М: Дрофа, 2007.-315 с.

105. Муравин Г.К., Муравина О.В. Математика. 6 кл. Учебник для общеобразоват. Учреждений.-М: Дрофа, 2007.-317 с.

106. Мусаввиров Ш. Величины в математике // Научно-методический журнал «Ирфон» (на тадж.яз.) Курган-Тюбе, 2001, 7. - С. 22-26

107. Мусаввиров Ш. Длина линий // Сборник статей. Вып.ХХУ Душанбе: Госпединститут им.Т.Г.Шевченко. - 1989. - С. 22-25

108. Мусаввиров Ш. Длина окружности // Мактаби Совета (на тадж.языке). Душанбе, 1989. - 11. - С. 32-35

109. Мусаввиров Ш. Изучение величины в начальных классах // Научно-методический журнал "Ирфон" (на тадж.яз.) Курган Тюбе,2001, №7. -с. 33-36

110. Мусаввиров Ш. Изучение площади простых фигур // Научно-методический журнал "Ирфон" (на тадж.яз.) Курган-Тюбе, 2005, № 18.- С. 28-33

111. Мусаввиров Ш. Линия. Отрезок и его длина // Мактаби Совета (на тадж.языке). Душанбе, 1989. - № 2. - С. 37-40

112. Мусаввиров Ш. Некоторые сведения о математических величин // Научно-методический журнал "Ирфон" (на тадж.яз.) Курган Тюбе, 2004, № 17.-С. 19-22

113. Мусаввиров Ш. Некоторые сведения об измерение углов // Научно-методический журнал «Ирфон» (на тадж.яз.) Курган-Тюбе,2002, №10.-С. 18-23

114. Мусаввиров Ш. Некоторые способы вычислений площади, простые фигуры // Научно-методический журнал "Маърифат" (на тадж.яз.) Душанбе, 1998, .№ 7-8. - С. 34-36

115. Мусаввиров Ш .Панятие геометрической величины в науке // Вопросы психологии и педагогики.№ 3,Курган-Тюбе .- 2008,С. 32-39

116. Мусаввиров Ш Пониятие длинны в формировании математических представлений // Вапросы психологии и педагогики №4, Курган -Тюбе .- 2008,С 47-51.

117. Мусаввиров Ш Развитие логических мышлений учащихся в формировании методов матиматических понятий.// Вапросы психологии и тедагоики,№2 ,Курган -Тюбе .-2009,С32-39

118. Мусаввиров Ш Изучение геометрических величен на основе потребности физики .// Вестник национального университета, серия гуманитарных наук № Душанбе, 2009.-С.

119. Мусаввиров Ш Некаториые сведение о понятие величены и методики их изучения.//Вестник национального университета, серия гуманитарных наук№ Душанбе,2009.-С.

120. Никитин H.H. Геометрия: Учебник для 6-8 кл.- М., 1971. -208 с.

121. Нугманов М. Методические указаний по школьной математике.-Душанбе ТГПН им. С.Айни,1988-32с.

122. Нугманов М. Теоретико-методические основы системы методической учителя математики в педвузе.-М.: Прометей, 1999.-237с.

123. Нугманов М. Урок школьной математики (методические пособие).-Душанбе,2006 68 с.

124. Омеляновский М.Э. Философские аспекты теории измерений//Математическая диалектика и методы естественных наук -М., 1968. 608 с.

125. Основные направления перестройки высшего и среднего образования в стране.- М., 1987. 77с.

126. Пархоменко A.C. Что такое линия. М., 1954. - 140 с.

127. Перешкин A.B., Родина H.A. Физика: Учебник для 6-7 классов -М., 1985.-314 с.

128. Погорелов A.B. Геометрия: Учебник для 7-9 кл.-М: Просвещение, 2004.-224 с.

129. Погорелов A.B. Геометрия. М., 1983. -288 с.

130. Полищук Н.Ф. Теория окружности и площади круга в средней школе. Авт.Дис. .канд.пед.наук.- Тула, 1961. 13 с.

131. Программа по математике для средней общеобразовательной школы 5-11 классы. Душанбе - Ирфон: 2002. - 72 с.

132. Программа средней общеобразовательной школы 1-4 классы -Душанбе: Маориф, 2002. С. 64-81

133. Прочухаев В.Г. Измерения в курсе математики средней школы: Пос.для учителей. М., 1965. - 140 с.

134. Рохлин В.А. Площадь и объем: В кн. ЭЭМ; кн. У-М., 1966. С. 788.

135. Рубин К.Ф. Обоснование учения в геометрических величинах, длинах, прямолинейных отрезках, площадях простых многоугольников:Дис. . .канд.пед.наук. Киев, 1953. - 536 - 17л.

136. Садыков Р., Шуайбова О., Хамидова А. Математика: Учебник для 2 класса/на тадж.яз./- Душанбе: Маориф, 1998. 120с.

137. Садыков Р., Шуайбова О., Хамидова А. Математика: Учебник для 4 класса /на тадж.яз./- Душанбе: Маориф, 1996. 152 с.

138. Салихова М.Н. Методика формирования представлений о длине и площади в начальных классах: Дис. . .канд.пед.наук. Тошкент, 1983.- 195 л.

139. Скаткин М.Н., Лернер И.Я., Требования к современному урок. Методические указания.-М., 1969.-281 с.

140. Следзинский И.Ф. Формирование понятий расстояния и метрического пространства у учащихся общеобразовательной средней школы: Дис.канд.пед.наук. Киев, 1973. - 22 с.

141. Слепкань З.И. Психолого педагогические основы обучения математике: Методическое пособие. - Киев, 1983. - 192 с.

142. Смирнов В.И., Дунин-Баркаевский И.В. Курс теории вероятности и математической статистики для технических приложений. М., 1965.- 374 с.

143. Собиров Г.С. История развития математики в Средней Азии XV XVII веков. Душанбе, 1960. - 154 с.

144. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала. М., 1974.- 192 с.

145. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. -М.,1979.- 64 с.

146. Столяр A.A. Педагогика математики. Минск, 1986. - 413 с.

147. Стоцкий Л.Р. Физические величины и их единицы. М., 1984. -239 с.

148. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления//Советская педагогика. -1967 №1 с. 28-32

149. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М., 1975. - 343 с.

150. Тесленко И.Ф. Формирование материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики: Пос. для учителей. М., 1979. 136 с.

151. Тесленко И.Ф., Чашечников С.М., Чашечникова Л.И. Методика преподавания планиметрии. Киев, 1986. - 169 с.

152. Теуш Л.В. Угол и его измерение // Математика в школе. 1972. -№ 5. - С. 28-39

153. Турлакова З.И. Изучение скалярных величин в курсе математики 9-10 классов средне школы Дис.кан.пед.наук. М., 1954. - 331 л.

154. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1.7-е изд. - М., 1967. - 607 с.

155. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: пос. для учителей /пер.с нем. А .Я. Халамайзера. 4.1. - М., 1982. - С. 122-133.

156. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: пос. для учителей /пер.с нем. А.Я. Халамайзера. 4.2. - М., 1983. - С. 35-90

157. Хамидова А. Математика: Учебник для 3 класса (на тадж. яз.) -Душанбе, Маориф, 1998. 120 с. «Сарпараст», 2006.-144с.

158. Хамидова A.A., Математика: Учебник для 4 кл. (на тадж. яз). нач. шк. Душанбе, «МТЛ Орес», 2007.-256 с.

159. Холингер А. Геометрия: Учебник для 6 класса школ Румынской Народной Республики М., 1962. - 239 с.

160. Черкасов В.А. Дидактические основы построения системы упражнения: Учебн.пос. Челябинск, 1978. - С. 4, 63-68.

161. Чернов В.М. Изучение функциональной зависимости величин на геометрическом материале в курсе математики средней школы: Дис. .канд.пед.наук. Магнитогорск, 1963. - 331 л.

162. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. М., 1959. -391 с.

163. Шарипов Дж., Бурханов У. Геометрия: Учебник для 7 класса (на тадж. яз.),- Душаное: ООО «Ношир», 2007-112 с.

164. Шарипов Дж., Бурханов У. Геометрия: Учебник для 8 класса (на тадж. яз.),- Душанбе: ООО «Ношир», 2007-110 с.

165. Шарипов Дж., Бурханов У. Геометрия: Учебник для 9 класса (на тадж. яз.),- Душанбе: ООО «Ношир», 2007-110 с.

166. Шарипов Дж., Методика преподавания геометрии в ср.шк. (на тадж. яз.), Ч. 1. Душанбе: 2007- 204 с.

167. Шарипов Дж., Методика преподавания геометрии в ср.шк. (на тадж. яз.), 4.2. Душанбе: 2007- 198 с.

168. Шарипов Дж., Урок математики, (на тадж. яз.), Душанбе: Матбуот, 2001-72 с.

169. Шевченко И.Н. Арифметика: Учебник для 5-го и 6-го классов семилетней и средней школы. М., 1958. - 208 с.

170. Шишляникова В.Н. Измерение площадей фигур при изучении геометрии в средней школе: Дис. . .канд.пед.наук. М., 1954 - 228 с.

171. Шишляникова В.Н. Понятие площади в систематическом курсе геометрии/ТМатематика в школе.- 1984 -№6. С. 13-20

172. Эйдинов В.Я. Измерение углов в машиностроение. М., 1973. -414 с.

173. Энгельс Ф. Диалектика природы. М., 1987. - С. 223-238.

174. Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая -Геометрия. Статья о линии. М., 1979. - С. 37, 100, 185.

175. Эрдниев П.М. Математика: Экспериментальное учебное пособие для 3-го класса М., 1974. - 221 с.

176. Яковлева Н.М. Развитие пространственных представлений в процессе усвоения мер длины у учащихся 1-2 классов.

177. Авт.Дис.канд.пед.наук. Л., 1955. - 17 с.