автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Элементы Н-анализа как эффективное дидактическое средства дальнейшего совершенствования процесса развивающего обучения математике

Автореферат диссертации по теме "Элементы Н-анализа как эффективное дидактическое средства дальнейшего совершенствования процесса развивающего обучения математике"

На правах рукописи

РГВ он

НЕВЕРОВ Александр Владимирович

ЭЛЕМЕНТЫ Н-АНАЛИЗА КАК ЭФФЕКТИВНОЕ ДИДАКТИЧЕСКОЕ СРЕДСТВО ДАЛЬНЕЙШЕГО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОЦЕССА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Специальность 13.00.02 - Теория и методика обучения математике

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Махачкала - 2000

Работа выполнена в Армавирском государственном педагогическом инст туте на кафедре математического анализа

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Тульчий В.И.

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент Тульчий В.В.

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Эрдниев Б.П.

кандидат физико-математических наук, доцент Умаханов А.Я.

Ведущая организация:

Дагестанский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится «.^У"» г. в /¿*ч~на заседан

диссертационного совета К 113.59.06 по присуждению учёной степе кандидата педагогических наук в Дагестанском государственн педагогическом университете по адресу: 367013, г. Махачкала, пр. Гамидо 17, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДГПУ (ул. М. Ярагского, 57)

Автореферат разослан «2000 г. Учёный секретарь

диссертационного совета ^ /г

к. п. н.,'доцент ^ Магомедцибирова З.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Роль математических знаний в общем образовании говека трудно переоценить. Формирование мышления, точности мысли и ре-развитие интеллекта, как известно, даёт математическое образование. Оче-цю, что вооружение учащихся знаниями математики всегда было, есть и бу-: одной из основных задач общеобразовательной школы.

Становление личности происходит в основном в школьном возрасте, Задача :олы — развивать мышление ребёнка, творческую фантазию, навыки самодельной работы в процессе его учебно-познавательной деятельности. Уче-к в школе должен научиться самостоятельно творить и приобрести устойчи-е навыки самообразования. Учебно-познавательная деятельность школьника :ит развивающий характер только в том случае, если она несёт в себе эле-нты субъективной новизны как способа деятельности, так и результата, учение любому школьному предмету должно опираться на активную инди-цуальнуто работу каждого учащегося, должно содействовать развитию его знавательных возможностей. Развитие в процессе обучения - одна из глав-х задач школы.

Развитие ребёнка это не только и не столько приобретение новых знаний, к отмечал один из ведущих отечественных психологов A.A. Смирнов, мственное развитие немыслимо без самостоятельности мышления». Из выбываний этого психолога следует, что умственное развитие характеризует-не умением выполнять алгоритмические действия, а эвристической, творче-ш способностью, проявляющейся в решении новых задач, в нахождении но-х путей решения.

В настоящее время продолжаются поиски новых путей дальнейшего со-эшенствования развивающего обучения математике. Учителю дано право на состоятельный выбор организационных форм и дидактических приёмов учения, способствующих решению задач общего образования подрастающе-поколения.

Традиционный для пашей страны школьный урок и вузовская лекция не поняли своей актуальности и остаются доминирующими среди других форм учения. При этом в исследованиях Зотова Ю.Б., Махмутова М.И., Онищука К., Яковлева Н.М. и др., наряду с дальнейшим развитием педагогических ей корифеев педагогической науки Коменского Я.А., Герберта И.Ф., Ушин-эго К.Д., Лернера И.Я., Блонского П.П., Скаткина М.Н., Щукиной Г.И. и др., 4ётливо просматривается тенденция установления вариативности урока в рме урока-семинара, урока-дискуссии, интегрированного урока, урока-срепления изученного материала на базе укрупнённых дидактических единиц ЦЕ) Эрдниева П.М.

Среди дополнительных форм обучения математике в учебном плане сре; ней школы особое значение имеют факультативные занятия по математике. Н таких занятиях учитель имеет право выйти за рамки школьной программы, мс жет применить нестандартные методики, апробировать новые дидактически приёмы изучения материала. Востребованность факультативных курсов мат« матики в школе достаточно велика. Многие ученики понимают необходимое! овладения математическими знаниями, серьёзно интересуются этой трудно дисциплиной и её приложениями.

Факультативные занятия по математике позволяют создать условия да творческого развития учащихся, дают возможность не допустить задержек развитии особо даровитых школьников, максимально индивидуализирован обучение. Учение на факультативе основывается не на принуждении школьш ков, а на их увлечении математикой, жажде познания.

Проблеме развития личности в процессе обучения математике посвящен исследования Воловича М.Б., Глейзера Г.Д., Гусева В.А., Дорофеева Г.В., Ку, рявцева Л.Д., Луканкина Г.Л., Монахова В.М., Мордковича А.Г., Фридма! Л.М., Эрдниева П.М. и др. Передовой опыт учителей-новаторов Карпа А.Г Окунева A.A., Рыжика В.И., Шаталова В.Ф., Щетинина М.П. и др. - стал бол( востребованным для творчески работающих учителей-математиков, ради нально использующих закрепленное в Законе РФ «Об образовании» и в устав; школ право на самостоятельный выбор учителем форм обучения, в результа' чего существенно обогатился арсенал методических приемов построения и р гулярного проведения хороших уроков по математике. Такими дидактическ ми находками являются теоретико-множественные технологии Х.Ш. Шихали ва, УДЕ П.М. Эрдниева, обобщенные УДЕ, или ОУДЕ В.В. Тульчия в школ ном курсе математики.

Как известно, содержание школьного курса математики постоянно диск тируется, пересматривается, корректируется. Незатихающие споры идут включении в школьный общеобразовательный курс тех или иных вопросов м тематического анализа.

На наш взгляд, исключение из школьного курса вопросов анализа привед к обеднению не только математической, но и общекультурной подготов: школьника. Учащиеся практически будут лишены возможности освоения 6oi тейшего аналитического аппарата, оказывающего огромное влияние на разв тие мышления, творческих способностей и общей культуры. Проблемы усвс ния вопросов анализа в школе, конечно же, существуют. Но решение этих пр блем необходимо искать не в изъятии вопросов анализа из школьной програ мы, а в поиске новых работоспособных и эффективных средств обучения.

Одним из таких средств, на наш взгляд, является осуществление процесс формирования математических понятий на основе наглядных, геометризщ ванных образов. Именно такой подход заложен в новую модель нестандартно

лиза (Н-анализа), предложенную В.В. Тульчием, и на основе которой мы работали свой факультативный курс по нестандартной теории предела, рмирование новых математических понятий, с одной стороны, направляется уитивными представлениями учащихся и, с другой стороны, достаточно ого обосновывается формально-логическими средствами, что позволяет )рмировать целостное представление раскрываемого содержания и его >снования.

сим образом, возникшее в школе противоречие между потребностями воо-кения учащихся современными знаниями в области математического анали-и фактическим состояние учебного процесса по математике — обусловили уалыгасть разработки проблемы диссертации.

Объектом исследования является учебная деятельность учащихся 10-11 1ссов в процессе изучения элементов математического анализа.

Предметом исследования служит процесс формирования знаний, умений и 1ыков старшеклассников при обучении математике.

Цель исследования - разработка содержания факультативного курса ¡¡стандартная теория предела» и методики его изучения, исходя из целей вивающего обучения математике.

В ходе исследования нами была выдвинута следующая гипотеза: если раз-ютать факультативный курс теории предела с включением идей нестандартно анализа (Н-анализа), то усвоение фундаментальных теоретических полоний математического анализа происходит более доступно и наглядно, что >собствует повышению качества обучения и развитию мышлению обучаю-хся.

Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки гипотезы гребовалось решить следующие задачи, связанные с процессом обучения ма-1атике: 1) выделить из курса Н-анализа вопросы, предлагаемые для изучения ольникам; 2) разработать методику изложения Н-анализа; 3) определить со->жание самостоятельной работы учащихся в процессе изучения вопросов Н-шиза; 4) разработать дидактические материалы, обеспечивающие процесс рмирования устойчивых знаний, умений и навыков у старшеклассников; 5) леримснтально проверить эффективность разработанной методики.

Общие методы исследования. В процессе исследования применялись :и Н-анализа, предложенные Тульчием В.В., метод укрупнения дидактиче-IX единиц, разработанный Эрднисвым П.М., развитие этого метода в виде )бщённых укрупнённых дидактических единиц и широко использовалась -ико-речевая символика (ЛРС), разработанная Тульчием В.И. и Тульчи-В.В.

Реализация сформулированных выше целей и дидактических задач осущ! ствлялась поэтапно:

На первом этапе был составлен квазиоптимальный вариант логик« речевой символики (ЛРС), способствующий компактификации записей мат матических текстов в ходе практических занятий, разработано содержание ф культативного курса «Нестандартный математический анализ», разработа! методика изложения этого курса, составлена система задач, определены соде] жание и формы самостоятельной работы учащихся в процессе изучения мат риала.

На втором этапе проводился эксперимент с целью проверки эффекта ности усвоения вопросов Н-анализа учащимися и внедрении ОУДЕ и ЛРС учебный процесс изучения математики.

На третьем этапе, наряду с продолжением внедрения ОУДЕ и ЛРС школах и вузах Армавира, проводилась большая работа по созданию учебн методического пособия по ним для студентов и учащихся школ с углублении изучением математики.

Научная новизна. В диссертации впервые применены идеи Н-анализа д: разработки эффективной методики преподавания разделов высшей математ ки, изучаемых в общеобразовательной школе. Как эффективный дидактич ский инструмент построения системы уроков используется метод укрупнен: единиц, который успешно применяется рядом творчески работающих учител« математики для проведения занятий в младшем и среднем звене школы. На» этот метод применён для изучения разделов математического анализа.

Практическая значимость результатов диссертационной работы об словлена возможностью их использования для:

- дальнейшего совершенствования учебного процесса по математике в и зах и школах с повышенным уровнем преподавания математики;

- более углубленной подготовки студентов-математиков в университетах педвузах;

- непрерывного повышения методического уровня учителей математи: через систему повышения квалификации в институтах усовершенствован учителей;

-аналогичного нестандартного подхода к решению проблем дидакти высшей и средней школы в области таких математических дисциплин к алгебра, геометрия, прикладная математика, информатика и др.

На защиту выносятся:

. Н-дидактика теории предела, позволяющая снизить интеллектуальный барьер между школой и вузом в области изучения математического анализа.

. Дидактика регулярного и фронтального использования ЛРС и ОУДЕ как на

стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.

Достоверность и обоснованность обеспечивается

- опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления;

- опорой на передовые образовательные идеи, а именно, опыт использования УДЕ, успешно апробированный многолетней практикой учителей-новаторов;

- итогами проведённого эксперимента.

Систематизированные результаты основных диссертационных исследова-ий отражены в готовящемся к публикации учебно-методическом пособии ЛРС и ОУДЕ - новый дидактический инструмент обучения математике»

Внедрение результатов диссертационного исследования проводилось в рмавирском государственном педагогичском институте со студентами 1-2 урсов физико-математического факультета, в муниципальной общеобразова-:льной средней школе № 7 г. Армавира с учащимися 10-11 классов.

На курсах повышения квалификации учителей-математиков при Армавиром межрегиональном ИУУ освещались как основные дидактические положе-ия, так и методика проведения итоговых уроков с использованием ЛРС и УДЕ.

Апробация материалов исследования осуществлялась и путем их обсуж-зния:

- на межрегиональной научной конференции "Развитие личности в образовательных системах южно-российского региона" Южное отделение РАО, (Пятигорск 1998 г.);

- на VI и VII Международной конференциях "Циклы природы и общества", секция "Циклы в педагогике", проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским университетом (1998,1999 гг.);

- на I Международной конференции "Циклы", проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским технологическим университетом (1999 г.);

- на научной конференции «Развитие непрерывного педагогического обра зования в новых социально-экономических условиях на Кубани» в Арма вирском государственном педагогическом институте (1998, 1999 гг.)

По проблемам диссертационной работы автором опубликовано и депони ровано 11 научно-методических работ.

Структура диссертации отражает концепцию, содержание и пример! внедрения результатов исследований в школе и вузе.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения и библиографии содержащей 125 наименований научно-методических первоисточников. Объс! диссертации 164 стр., включающих 45 рисунков и 6 таблиц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследования, определены объекп предмет, цель и гипотеза исследования, раскрыта теоретическая и практическа значимость работы, описаны основные этапы теоретической и эксперимек тальной работы.

Глава 1

Развитие общества на современном этапе требует от школы вывести на пер вый план в учебно-воспитательном процессе личность ученика. Необходим вооружить выпускника школы умениями саморазвития и самопознания, восш тать стремление к поиску своего места в жизни и в обществе. Целью совремег ного образования является всестороннее развитие личности, формирование ш выков социальной адаптации и обеспечение умений эффективного самообразс вания. Как отмечают известные психологи Б.М. Бим-Бад и A.B. Петровски! образованную личность характеризует богатство потребностей личности, е направленность на более полную самореализацию в сферах труда, Познани; общения; ясность и чёткость понятий, которыми оперирует человек; умею обнаруживать нерешённые проблемы; ставить вопросы и выдвигать гипотезь широта и гибкость мышления; умение видеть альтернативное решение пр( блем; преодолевать сложившиеся стереотипы; способность предвидеть разв! тие событий на основе тщательного анализа развития различных тенденцш высокая работоспособность.

Такая постановка целей образования требует и в математике на первы план вынести цели развития личности ученика. Математическое образоваш должно строиться таким образом, чтобы ученики могли видеть практическу направленность учебного материала, необходимо обращать внимание на мот) вацию обучения, его эвристическую направленность. Содержание образоваш должно формировать способность учащихся мыслить, думать, понимать окр; жающий мир.

Саморазвитие человека происходит благодаря его активной деятельности, мое главное в обучении - как ученик воспринимает материал, насколько он кет построить самостоятельную мыслительную работу. Известный русский (агог и психолог П.Ф. Каптерев отмечал, что искусство воспитателя заклю-тся в том, чтобы создать наиболее благоприятные условия для работы учеса, при которых происходит естественный ход развития личности, не подаи-:тся саморазвитие и предоставляется надлежащий простор самостоятелыю-[ учащихся. В этом заключается непременное условие развития и укрепления >собнестей школьника. Использование в школьном обучении методов и *ёмов самообразования способствует активной творческой деятельности щихся, без чего о развивающем характере школьного обучения в полном ысле говорить невозможно.

Развивающее, обучение — необходимый и важнейший элемент современного щгогического процесса. В дидактике математики развитие ребёнка подразу-вает в первую очередь интенсивное умственное развитие, развитие само-»ятельности мышления. Именно эти качества в конечном итоге являются опаляющими характеристиками интеллекта.

Проблемами умственного развития занимались многие известные педагоги гсихологи. Нам наиболее близки позиции М.А. Данилова, относящего к при-жам умственного развития стремление выхода за пределы известного, нако-:ние приёмов умственного развития, повышения уровня самостоятельно вы-пняемых мыслительных операций.

Развивающий эффект обучения определяется его содержанием и методами, ни ученики под руководством учителя самостоятельно ищут пути решения вых познавательных задач, последовательно увеличивая их сложность, то и не только получают новые знания, но и развивают своё мышление, форми-от навыки научного познания.

Организация специальной работы по умственному развитию детей на уро-с непременно предполагает точное знание индивидуального уровня развития ццегося. Развитие каждого школьника должно происходить с учётом его юнностей, способностей и интересов.

Говоря о развивающем обучении нельзя не коснуться вопроса о соотноше-и знания и мышления. Конечно, выпускник средней школы должен получить :тему знаний. Но, как показывает практика, в наш век бурно развивающихся формационных технологий конкретные знания быстро забываются, а разви-й ум, навыки познания и самообразования являются непреходящими цепно-[ми, позволяющими адаптироваться к изменяющимся условиям жизни. И ес-школа не сформировала эти качества, то они как правила отсутствуют всю знь.

Умственное развитие оказывает влияние на воспитание личности, психическое развитие в целом, вносит свой вклад в формирование духовного облика ребёнка. Только развитый ум в состоянии понять проблемы современного общества, определить своё место в нём, занять активную жизненную позицию

Идея развивающего обучения стала одним из важнейших принципов современной дидактики. Каждый учебный предмет вносит в них свою специфику. Большими потенциальными возможностями развития личности обладает математика.

Идея развивающего обучения в новых социально-политических условиях приобрела новое значение. Однако проблема развивающего обучения математике во многом ещё не решена. Это препятствует повышению уровня математической подготовки учащихся, получению ими прочных знаний, самостоятельности мышления.

Принципы развивающего обучения математике позволили нам создать факультативный курс Н-анализа, который, как показала практика, по результативности приобретения учащимися знаний, умений и навыков существенно отличается (в лучшую сторону) от традиционных факультативных курсов в области математического анализа.

Как известно, в процессе жизни у ребёнка формируются три вида мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное и абстрактно-теоретическое. В процессе обучения развиваются все три вида мышления, причём в тесном взаимодействии друг с другом. Это взаимодействие наглядного и теоретического мышления способствует осознанному усвоению учебного материала, определяет прочность полученных знаний. Понятийное мышление часто вообще не может существовать без наглядного.

При построении развивающего обучения необходимо, чтобы учащиеся овладели общими методами познания, общими способами познавательной учебной деятельности. Следовательно, они должны освоить эти методы и способы Как отмечает Л.М. Фридман, без опоры на какой-либо чувственный образ ов ладение методами познания невозможно. «Единственный выход состоит в том чтобы дать учащимся модели этих методов и способов в виде наглядных I легко обозримых схем, графиков или в каком-то другом виде».

Использование моделей в обучении позволяет сделать усвоение материал! более прочным и полноценным. Но самое главное, применение моделей даё возможность построить активно-творческое обучение математике.

Выносимые на изучение школьников вопросы в нашем факультативно! курсе не просты. Для их полноценного усвоения необходимо было дать уча щимся наглядные образы, позволяющие построить ассоциативные связи и ло гически связать изучаемый материал. Основой для построения таких образоЕ

издания математических моделей стала логико-речевая символика (J1PC), раз-аботанная В.И. Тульчием и В.В. Тульчием.

В математике особенно важны ясность и точность выражения мыслей, [зык, которым излагается материал, не должен создавать дополшпельных рудностей, но должен доносить идеи и факты в однозначном, не допускающем азличных толкований виде. Научное изложение должно быть кратким и впол-е определённым. На протяжении столетий вырабатывалась система математи-еских знаков, которая сегодня применяется во многих науках. Многие симво-ы стали сегодня привычными даже для людей далёких от математики.

Логико-речевая символика, широко использующаяся на факультативных анятиях, не заменяет собой математическую символику, а расширяет и допол-[яет её логическими конструкциями и предикатами. Введение обозначений для асто используемых высказываний позволяет сжать запись информации, сде-ать её легко обозримой, удобной для последующей обработки. Заметим, что IPC не оставляет место для неточности выражения мысли и расплывчатого ис-олкования написанного, но позволяет автоматизировать проведение тех дей-твий, которые необходимы для получения выводов. Проиллюстрируем эту 1ысль примером на доказательство первого замечательного предела, который осматривается в факультативном курсе.

'ассмотрим рисунок [окружность единичного радиуса]

А

-- ~ С,

ч

iF ? CD< ВС <BF для Vxl 0 <х< —.

2

D /1 /

Рис. 1.

неравенство sinx<х<tgx

й-

cosx>0, sinx>0 для 0<х<-

, * 1

1 <-<-

, sinx

1 >-> COS* .

smi cosx sin*

eC (чётных) x

•COS* x-> 1-

sinx .. X , w

Червый замечательный предел Inn-= lim-= 1. ►

*->o x sinx

Компактность, чёткость, обозримость этой записи позволяет учащимся легко её читать и понимать. Если возникает необходимость ученику воспроизвести полученную (и увиденную!) информацию, то он легко восстанавливает целостный образ или, точнее сказать, математическую модель и без особых проблем вспоминает метод доказательства или решения задачи.

Построение моделей на основе ЛРС позволяет формировать у учащихся научно-теоретический стиль мышления, необходимый для решения проблем развития личности ребёнка.

Разрабатывая факультативный курс, мы понимали, что предлагаемый для изучения материал достаточно сложен и может быть эффективно усвоен учащимися только при соответствующем подборе системы математических упражнений. Наиболее стройную и работающую на развитие ребёнка систему заданий даёт метод укрупнения единиц академика П.М. Эрдниева.

Центральным звеном процесса обучения математике является математическое упражнение. Для факультативного курса мы составили большое количество задач, применив методику укрупнения единиц. Каждая из них строится на основе взаимно-обратных связей.

Ряд задач предполагает использование метода противопоставления, при котором одновременно рассматриваются взаимно обратные понятия и операции. Такого рода задания позволяют ученику самостоятельно получить новые знания, часто опережая объяснение учителя.

Одной из характерных особенностей применённой методики является метод обратных задач. Суть этого метода заключается в том, что работа учащихся над задачей не заканчивается при получении ответа на неё. Приёмом обращения составляется и решается новая, обратная задача. Такой подход позволяет извлечь дополнительную информацию, установить новые связи между величинами исходной задачи.

Наряду с УДЕ на занятиях применялись обобщённые укрупнённые дидактические единицы (ОУДЕ), которые требуют комплексного применения большого количества изученных понятий и операций. ОУДЕ использовались на итоговых уроках по теме или на уроках систематизации и закрепления знаний.

Уроки с применением УДЕ и ОУДЕ позволяют максимально активизировать деятельность центров подсознательного мышления, генетически связанных с эмоциональными центрами. Учащиеся, успешно усваивая материал, составляя условия и решая прямую и обратную задачи, воодушевляются процессом познания и с возрастающим энтузиазмом участвуют в процессе обучения.

Таким образом, УДЕ и ОУДЕ способствуют установлению своеобразногс псевдонейронного «мостика» между центрами логического мышления и эмо циональными центрами психической деятельности учащегося, что полностьк

ютветствует основным требованиям развивающею обучения и приводит к эстижению целостных и прочных знаний.

Необходимо особо подчеркнуть, что при использовании этих образователь-ых технологий идёт эффективная догрузка доречевой, т.е. подсознательной тстемы мышления (обусловленной инстинктом и практически одинаковой у :ех людей) за счёт эффективного использования учащимися обобщённой магматической символики.

Глава 2

Настоящая глава посвящена тезисному изложению содержания факульта-авного курса Н-анализа, который разработан нами на базе теории новой моде-и нестандартного анализа. Центральным понятие курса является понятие пре-ела. Предложенная в работе В.И. Тульчия «Основы нестандартного математи-еского анализа», Н-дидактика теории предела позволяет не только снизить нтеллектуальный барьер между школой и вузом в области такого основопола-нощего курса как математический анализ, но и открывает возможность (в амках существующего сегодня в школах и ВУЗах бюджета времени на мате-атические предметы) более глубокого изучения учащимися его современной етви - >Сфункционального анализа Ж

Понятие предела строится на таких фундаментальных понятиях как множе-гво, числовое множество, функция. Поэтому, в факультативном курсе перво-ачально отведено время на повторение этих основополагающих понятий. До-олнительно к изученному ранее в обычном курсе математики школы, учащие-я знакомятся со множеством комплексных чисел. Акцент в изложении мате-иала этой части сделан на практических заданиях, построенных по технолога УДЕ, позволяющей школьникам более эффективно усваивать изучаемый [атериал. В излагаемый материал постепенно вводятся символы ЛРС, число оторых увеличивается по мере продвижения обучения.

Нестандартное изложение теории предела начинается с § 3. Методы реше-ия задач почти не отличаются от традиционных, хотя основой по-прежнему вляется технология УДЕ. На примерах мы демонстрируем технологию по-гроения упражнений, количество которых может быть лепсо увеличено.

Приведём основные символы ЛРС, использующиеся при изучении Н-нализа.

1 - рассмотрим = - обозначим, или равно по опре-

делению

1 - построим - ДО этого

1 - предположим__-I - сейчас_

ГП — сделаем замену V — неразделительное "или"

В — существует В — существует единственное ? - подлежит определению - нетрудно видеть

? — как известно ... — далее

аВв — из А следует В с учетом ус_ловия (*)_

I > - затем, позже и т.п.

V - дизъюнктивное "или"

I - дано

II - доказать

III — доказательство А

• С, - из А следует В с учётом У *С2 С, и С2 В

^^действительно

—J — из всего предыдущего сле-_дует

Основополагающие концептуальные идеи факультативного курса Ь анализа заключаются следующем.

опираясь на понятие базы окрестностей, или базис, предельной точки некс торого множества Е,— в Н-анализе можно говорить о

Теория множеств дополняется понятием предельной точки множества а как точки (которая может ему и не принадлежать), в любой окрестности коте рой находится бесконечно много элементов дашюго множества, несовпадак щих с точкой а (в роли последнего в дальнейшем выступает база окрестносте данной точки). Используется топологическое понятие базы окрестностей, ил базис, предельной точки некоторого множества Е.

На этих понятиях теории множеств и строится изложение Н-теории пред( ла абстрактного множества.

При этом, после

- определения предела множества - как его единственной предельно точки и

- теоретико-множественного определения графика функции С(/) - ке множества точек Р(М,ДМ)), т.е.

С(/) = {(А )Р(М,/(М)): МвО) предельную точку графика Р0 (М0, а) (см. рис.2)

от

а

п !

м„

рис.2

тределяем как его предел по базе окрестностей точки Рп по множеству точек >афика, т.е.

ординату а точки Р0 называем пределом функцииf (М) в точке М0еО по базе ножества точек ее области определения Б, т.е.

Шп /(АГ) = а

Таким образом, в Н-анализе определение предела функции носит инвари-тный характер относительно типа функциональной зависимости ействительные, векторные или комплексные функции) и, как показывает эактика, легко усваивается учащимися в силу простоты своей геометрической зироды (а- ордината предельной точки графика Р0 , соответствующей точке г0е£>).

Глава 3

С целью определения уровня усвоения учащимися предложенной нестан-фтной теории анализа, эффективности применённой методики, влияния размотанного материала на развитие мышления школьников, нами проводился сперимент в муниципальной общеобразовательной средней школе № 7 г. рмавира в течении 1997-1998 учебного года. В этой школе формируются юфильные 10 и11 классы, учащиеся которых определились с выбором буду-ей профессии и проходят, обучение сочетая общеобразовательную подготов-г с пропедевтикой обучения по выбранной специальности. Для проведения сперимента нами были выбраны 4 класса, имеющих профиль «технологии )едпринимательства». Учащиеся этих классов после окончания школы плани->вали поступление в Армавирский государственный педагогический институт I соответствующий факультет. Общее количество школышков в этих классах 'ставило 107 человек.

В качестве контрольных классов мы выбрали два десятых класса муници пальной гимназии № 1 и два одиннадцатых класса МСОШ № 10 г. Армавира | Общее количество учащихся в контрольных классах составило 123 человек.

На первом этапе мы проводили констатирующий эксперимент с целью оп ределения различия развития мышления учащихся экспериментальных и кон трольных классов.

Для подтверждения или опровержения выдвинутой гипотезы об одинако вом уровне развития мышления учащихся нами был применён двустороннга критерий Колмогорова-Смирнова для выборок одинакового объёма. Обработк полученных результатов показала, что в начале экспериментальной работ! уровень развития математического мышления и знания математики учащихс контрольных и экспериментальных классов были приблизительно одинаковы.

В течении 1997-1998 учебного года учащиеся экспериментальных классо обучались на факультативном курсе Н-анализа по предлагаемой методике. I ходе обучения особое внимание уделялось приёмам активизации мыслитель ной деятельности учащихся с широким применением операций сравнения, ана лиза, синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. На уроках школьник учились самостоятельно формулировать прямые и обратные задачи, составлят задачи по аналогии, по некоторьм элементам, общим с исходной задачей, ши роко использовали логико-речевую символику и с помощью неё строили мате матические модели изучаемых понятий. В течении учебного года мы нескольк раз проводили аудиторные и домашние контрольные работы с целью контре лирования процесса формирования знаний, умений и навыков. Анализ процес са обучения показывал, что учащиеся успешно осваивают материал факульта тивного курса и в процессе обучения происходит интенсивное развитие самс стоятельности мышления, что непосредственно оказывает влияние на их умел венное развитие.

В конце учебного года мы провели повторное тестирование навыков, сс | ставляющих основу математического мышления и развития в экспериментата ных и контрольных классах.

Обработка полученных результатов с применением одностороннего Крите рий Колмогорова-Смирнова для выборок одинакового объёма показала, что кг чества, составляющие математическое мышление в экспериментальном класс* находится на более высоком уровне развития, чем в контрольном.

Таким образом, эксперимент доказал, что разработанный факультативны курса по Н-анализу способствует реализации идей развивающего обучения.

В приложениях приводятся полный вариант ЛРС и одна глава, разрабать ваемого учебного пособия «ЛРС и ОУДЕ - новый дидактический инструмен обучения математике».

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответ-вии с его целями и задачами получены следующие основные выводы:

¡.Обоснована целесообразность и возможность изучения элементов Н-ализа в старших классах средней школы.

2. Изучение факультативного курса по Н-анализу позволяет старшскласс-жам качественно усвоить многие теоретические положения математики, что особствует развитию логического и эвристического мышления, творческих особностей, интереса к предмету, самостоятельности и других качеств лич-

1сти.

3. Разработан один из вариантов факультативного курса «Н-теория преде» для учащихся 10-11 классов средней школы.

4. Разработана методика проведения факультативных занятий по Н-анализу, широким использованием УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ. Её экспериментальная про-рка подтвердила справедливость гипотезы исследования и доказала, что изу-ние элементов Н-анализа повышает качество математической подготовки шускников средней школы и способствует математическому развитию.

5. Определено содержание самостоятельной работы учащихся в процессе учения вопросов Н-анализа.

6. Разработаны дидактические материалы, обеспечивающие учебный просе, основанные на применении УДЕ и ОУДЕ.

Публикации но теме диссертации

1. Интенсификация самостоятельной работы учащихся на базе ОУДЕ. // Профе сиональная подготовка учителей математики, информатики и физики. Ростов-н Дону. Изд-во РГПУ, 1998. с.66-69/ (В соавторстве с В.В. Тульчисм и К.В. Часовым).

2. ОУДЕ на занятиях по теме "Функциональные неравенства". // Профессионал ная подготовка учителей математики, информатики и физики. Ростов-на-Дону. Изд-] РГПУ, 1998. с.69-71. (В соавторстве с В.В. Тульчием и К.В. Часовым).

3.Обобщённые укрупнённые дидактические единицы - компонент проблемно: обучения на занятиях по математике. - Деп. в НИИ высшего образования. № 87-9 1998, - 14 стр. (В соавторстве с В.В. Тульчием и К.В. Часовым).

4. Укрупненные дидактические единицы на занятиях по высшей математике. Деп. в НИИ высшего образования. № 88-98, 1998, - 14 стр. (В соавторстве с В.! Тульчием и К.В. Часовым).

5. Обобщённые укрупнённые дидактические единицы - циклограммы теор] функциональных отношений. // Материалы VI Международной конференции «Цикг природы и общества». - Ставрополь. Изд-во Ставропольского университета, 1998 — 184-186 (В соавторстве с В.В. Тульчием и К.В. Часовым).

6. Дидактические циклограммы типа ОУДЕ в теории функциональных неравенст // Материалы VI международной конференции «Циклы природы и общества». - Ста рополь. Изд-во Ставропольского университета, 1998 - с.172-174. (В соавторстве с В. Тульчисм и К.В. Часовым).

7. Нестандартные дидактические единицы на уроках математики в 10 - 11 классг // Тезисы докладов научно-практической конференции «Развитие непрерывного пе; готического образования в новых социально-экономичеких условиях на Кубани». Армавир. Изд. центр АГПИ, 1998 - с.127-128. (В соавторстве с В.В. Тульчием и К. Часовым).

8. Обобщённые укрупненные дидактические единицы - новая дидактическ структура на уроках математики в 10 -11 классах // Тезисы докладов V годичного с брания Южного отделения РАО и XVII региональных психолого-педагогических чп ний Юга России. - Ростов н/Д: Изд-во РГПУ, 1998 - с.109-110. (В соавторстве с К. Часовым).

9. Н-анализ функции одной действительной переменной. // Тезисы докладов на> но-практической конференции «Развитие непрерывного педагогического образован в новых социально-экономичеких условиях на Кубани». - Армавир. Изд. центр АГП 1999 - с.204-205. (В соавторстве с В.В. Тульчисм).

10. Цикличность в нестандартной теории предела и непрерывности множеств. Материалы I Международной конференции «Циклы». - Ставрополь. Изд-во Север Кавказского государственного технологического университета, 1999 - с. 23-24. (В с авторстве с К.В. Часовым).

11. Циклограммы теории предела нестандартного математического анализа. // N тсриалы VII Международной конференции «Циклы природы и общества». - Став; поль. Изд-во Ставропольского университета, 1999 - с. 95-96.

НЕВЕРОВ Александр Владимирович

ЭЛЕМЕНТЫ Н-АНАЛИЗА КАК ЭФФЕКТИВНОЕ ДИДАКТИЧЕСКОЕ СРЕДСТВО ДАЛЬНЕЙШЕГО

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОЦЕССА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Автореферат

Подписано к печати: 16.05.2000 г. Формат 60x34/16. Усл. печ.л.1,1. Уч.изд.л.1,2. Тираж 100 экз. Заказ № 51/5. Лицензия ЛР № 021282. Издательский центр Армавирского государственного педагогического института

ИЦАГПИ, 2000.