автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Элементы нестандартного анализа и логико-речевая символика - как средства повышения математической культуры учащихся средней школы

Автореферат диссертации по теме "Элементы нестандартного анализа и логико-речевая символика - как средства повышения математической культуры учащихся средней школы"

На правах рукописи

РГБ ОД

С 5

Часов Константен Васильевич

ЭЛЕМЕНТЫ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА И ЛОГИКО-РЕЧЕВАЯ СИМВОЛИКА- КАК СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Специальность 13.00.02- теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёпой степени кандидата педагогических пауте

Махачкала — 2000

Работа выполнена в Армавирском государственном педагогическом институте на кафедре математического анализа

Научный руководитель:

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Тульчий В.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Тульчий В.В

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Вагабов А.И.

кандидат педагогических наук, доцент Бакмаев Ш.А.

Ведущая организация: Адыгейский государственный университет

Защита состоится 2000 г. в 13 часов на заседании д

сертационного Совета К.113.59.06 по присуждению учёной степени кап, дата педагогических наук в Дагестанском государственном педагогическ университете по адресу: 367013, г. Махачкала, пр. Гамидова, 17, математи ский факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДП (ул. М. Ярагского, 57)

Автореферат разослал 2000 г.

Учёный секретарь диссертационного совета к.п.н., доцент С \ " Магомеддибирова 3./

п

Актуальность исследования. Изменяющиеся социальные условия в >ществе оказывают влияние па образовательную систему нашей страны, что шшо отражение в Законе РФ "Об образовании", п котором работникам об-гювания предоставляется возможность самостоятельно выбирать организа-иош(ые формы и дидактические приёмы обучения с целыо гуманизации и гманитаризации учебно-воспитательного процесса в школе и вузе.

В работах Батракова И.С., Дьяченко В.К., Зайкигта М.Н., Молчанова 1.Л. и др. анализируются тенденции децентрализации управления системой бразования на фоне изменяющихся социальных основ общества. Всё это да-г жизпь таким формам организации личпостно-ориентировашюго обучения, ак урок по инициативе учащихся, урок изобретательства, межпредметный рок, урок-"погруже1ше", урок- деловая игра и др.

■Исследования Зотова Ю.Б., Махмутова М.И., Онигцука В.А., Яковлева IM. и др. проявляют тенденции установления вариативности урока в форме рока-семинара, урока-дискуссии, интегрированного урока, урока-акрепления изученного материала на базе укрупнённых дидактических еди-uif (УДЕ) Эрдниева П.М..

У учителей-математиков имеется возможность самостоятельно выби->ать формы обучения, чем существенно обогащается арсенал методических гриёмов построения и проведения уроков по математике на высоком уровне. 3 этой точки зрения находят своё применение результаты исследований Во-ювича М.Б., Глейзера Г.Д., Гусева В.А, Дорофеева Г.В., Кудрявцева Л.Д., 1уканкина Г.Л., Мамия К.С., Монахова В.М., Мордковича А.Г., Фридмана I.M., Шихалиева Х.Ш., Эрдпиева U.M., Эрдниева Б.П. и др., а также передо-:ой опыт учителей-новаторов Карпа А.П., Окунева A.A., Рыжика В.И., Шата-юва В.Ф., Щетинина М.П., статьи Гузеева В.В., Дудщщына Ю.П., Зильбер-lepra Н.И., Магомедова Н.Г., Фипкелыптейна В.М., Черниковой Т.М. и др.

На наш взгляд, весьма удачными дидактическими находками являются /ДР, Ü.M. Эрдниева, теоретико-шюжествеиные технологии Х.Ш. Шихалиева г обобщённые УДЕ, или ОУДЕ В.В. 'Гульчия в школьном и вузовском курсах «тематики, учитывая, что они (С.Г. Манвелов) способствуют коллективному тюрчесгву педагога и обучающихся.

В работах многих видных математиков- А.Н. Колмогорова, А.И. Мар-гушевича, A.C. Столяра, A.M. Пышкало, Х.Ш. Шихалиева, П.М. Эрдниева и ф. рассматривается усиление логической основы школьного курса, вкшоче-те в него элементов математической логики.

Несмотря на то, что математика имеет, несомненпо, большое значение [ля формирования общей культуры учащихся, становится всё более очевид-гой тенденция в нашей системе образования па непрерывное уменьшение ¡рсмени на изучение математики в старших классах. Кроме того, из учебных танов по математике в старших классах обычных школ исчезли такие осно-юполагающие вопросы, как понягие предела функции и непрерывность. Это гакладывает определённые требования на подбор учебного материала для

создаваемых учебных пособий по школьной математике и их объем. В эт условиях возрастает роль правильного выбора рациональных методов из! жепия материала.

В отличие от классического, или стандартного анализа О. Коши, баз рующегося на понятии бесконечно малой как переменной величины, т стремящейся к нулю функции, нестандартный анализ Робинсона, предл женный им в 1960 г., следуя Г. Лейбницу, трактует это понятие как постоя пую достаточно малую (в рамках проводимого исследования) величину, и его нестандартном анализе оно является стержневым. Новая модель неста дартного анализа В.В. Тульчия, которую мы будем использовать, сохран все основополагающие концепции стандартного анализа, вводит hobi обобщённые математические понятия и предложения (такие, например, к; предел и непрерывность абстрактного неметризованного множества и др.), также принципы

• топологической эквивалентности,

• компактности и

• предельного перехода,

существенно упрощающие дидактику изложения основных разделов апали: делая его более прозрачным и доступным для учащихся старших классов, также допускают создание полиязычных (оптимально 2-И языка) учебнь пособий при небольшом увеличепии их объёма по сравнению с существу! щими моноязычными пособиями того же характера.

Как показал наш опыт проведения факультативных занятий в СШ №7 Армавира, новые обобщённые понятия и нестандартные методы доказ тельств теорем, характерные для нестандартного анализа, логико-речев, символика (JIPC), УДЕ П.М. Эрдпиева, теоретико-множествепные технол гии X.III. Шихалиева, и обобщённые (логические) укрупнённые дидактич скис единицы ОУДЕ (ЛУДЕ)- позволяют учащимся за существенно бол короткое время (по сравнению со временем освоения элементов матапали но другим учебникам) изучить основные пошгшя и предложения анали: знания по которому они углубят в вузе.

В некоторых случаях, о чём свидетельствуют результаты исследован] психологов и педагогов Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л.Рубинштейг Л.В. Занкова, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина и др., достигается не только в сокий уровень ЗУНов, но и общее развитие.

Труды физиологов U.K. Анохина, H.A. Бернштейна, И.П. Павло! И.М. Сеченова и др., психолога А.Н. Леонтьева нашли своё применение в и следовании, в них отмечается, что в коре головного мозга образуются услс но-рефлекторные связи в виде особых ансамблей нейронов, которые осуц ствляют регуляцию деяч ельносш по решению сходных задач, а также обр: ных, противоположных.

Таким образом, учитывая всё сказанное выше, в школе и вузе меж,

эебностыо в разработке новых дидактических основ учебно-1Итательпого процесса и фактическим состоянием учебного процесса по ;матике возникли противоречия, которые и обусловили а к ту ал ь-: т ь разработки проблем ы по поиску путей совершенствования со-ясапия обучения математике в старших классах в форме факультатива по ментам нестандартного анализа и изучению ло1 ико-речевой символики средств повышения математической культуры учащихся старших клас-

Ц ел ь ю исследовании является разработка содержания факультатив-о курса «Элементы нестандартного математического анализа» с примсне-:м логико-речевой символики и укрупнённых дидактических единиц, обоб-иных укрупнённых дидактических единиц, логических укрупнённых дидак-ческих единиц и методики его изучения, способствующих повышепию ма-гатической культуры учащихся.

Объектом исследования — процесс обучения учащихся старших 1ссов математическому анализу.

Предметом исследования являются содержание, методы, формы редства изучения факультативного курса нестандартного математического шиза, оказывающих формирующее влияние на математическую культуру пцихся старших классов.

В качестве рабочей гипотезы исследования выдвигается едположепие, что если разработать содержание факультативного курса по л андартному анализу с применением технологий укрупнённых дидактиче-сс единиц (УДЕ), логических укрупнённых дидактических единиц (ЛУДЕ) и общённых укрупнённых дидактических единиц (ОУДЕ) и квазиоптимально-варианта логико-речевой символики (ЛРС), то внедрение такого курса в оцесс обучения учащихся старших классов средних школ способно эффек-вно влиять на дальнейшее развитие математического языка учащихся, их тематической культуры.

Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки сфор-лированной выше гипотезы потребовалось решить следующие конкретные дачи:

• 1. Выявить роль математическою языка и технологии УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ в формировании математической культуры учащихся.

2. Разработать содержание факультативных занятий по изучению непрерывности множеств и основополагающих припципов нестандартного математического анализа, принципы отбора материала.

3. Разработать методику изложения факультатавпого курса.

4. Определить и экспериментально проверить содержание и объём упражнений УДЕ, ОУДЕ с применением ЛРС для разработки новых

нестандартных методических приёмов приобретения прочных 3' ов в области математики, формирования математической культ обучающихся.

Указанные выхне цели и дидактические задачи реализовывались этапно:

На первом этапе (1994-1997 гг.)- констатирующий эксперимент, г лизировалась психолого-дидакгаческая и методическая литература и сущс вующие учебные пособия по математике для старших классов средней ш лы. Была сформулирована проблема исследования, определены объект предмет исследования, поставлена цель, выработана гипотеза. Сформули ваны задачи и определены методы исследования.

На втором этапе (1997-1998 1т.)~ поисковом и эксперимент: ном, на факультативных занятиях по нестандартному математическому £ лизу в экспериментальных 10-х - 11-х классах Армавирской СШ №7 ра: батывалась и испытывалась методика введения нестандартной теории м жеств, непрерывности множеств, принципов нестандартного анализа- тс логической эквивалентности, предельного перехода и компактности; акти внедрялись УДЕ и ОУДЕ с использованием квазиоптимального вариа ЛРС, дающего максимально компактную запись математических текстов.

На первом- втором курсах ФМФ (специальность- "математика- ин^ матика") Армавирского государственного педагогического института ( ПИ) также проводилась экспериментальная работа по внедрению символ! УДЕ и ОУДЕ в учебный процесс.

На третьем этапе (1998-1999 г.г.) продолжалась работа по внедри УДЕ, ОУДЕ и ЛРС в школах и вузах Армавира, анализировались получен результаты эксперимента, создавалось учебно-методическое пособие студентов и учащихся школ с углублённым изучением математики. Фор даровались теоретические и практические выводы, в результате были ре ны поставленные задачи исследования.

Теоретической основой исследования являются основные ноложе отечественной психологии и дидактики- общефилософская теория позна] образования и воспитания, дсятсльностный подход в процессе обуче! труды методистов и учёных-педагогов; разработанная нестандартная гее математического анализа Тульчия В.В.

Методы исследования: анализ психолого-псдагогической, матем; ческой и методической литературы по проблеме исследования; изучеш обобщение педагогического опыта; проведение констатирующего, поисю го, и обучающего экспериментов с учащимися старших классов.

На защиту выносятся: 1. Эффективность влияния логико-речевой символики, технологий V

ТУДЕ и ОУДЕ на формирование математической кули уры обучающих-;я.

Подержание и методика факультативного курса нестандартного анализа то введению понятия непрерывности множеств и принципов нестандартного анализа на основе технологий УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ. Дидактика регулярного и фронтального использования Л ['С, УДЕ и ОУДЕ как на стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.

Научная новизна диссертационного исследования заключается и, что повышение математической культуры учащихся старших классов ней школы осуществляется на основе разработанного принципиально го факультативного курса элементов нестандартного математического иза; в реализации целостного подхода при разработке и создании новых по-методических пособий, сочетающих в себе ЛРС, УДЕ и ОУДЕ, как учителей (учащихся) школ, так и преподавателей (студентов) вузов.

Практическая значимость результатов диссертациоп-работы обусловлена возможностью их использования для: ювышения эффективности обучения математике в вузах и школах, шко-гах с повышенным уровпем преподавания математики; юлее углубленной подготовки студентов-математиков в университетах и 1едвузах;

ювышепия, посредством предложенных дидактических материалов, фовня владения учащимися логико-речевой символикой (составной час-па математического языка) и, следовательно, повышения их математиче-;кой культуры;

1спрерышгого повышения методического уровня учителей математики «срез систему повышения квалификации в институтах усовершенетвова-шя учителей;

тальнейшего аналогичного подхода других ученых-педагогов при нестандартном подходе к решению проблем дидактики высшей и средней нколы в области таких математических дисциплин как алгебра, геометрия, прикладная математика, ипформатика и др.

Достоверность и обоснованность обеспечиваетсяопо-на теорию развития личности; психологией развития мышления; приме-гем комплекса методов исследования, адекватных его объекту, предмету, [, задачам и логике; деятельностпым подходом в формировании новых пных понятий. Основные результаты исследования подтверждены мпого-11м положительным опытом внедрения ЛРС, УДЕ и ОУДЕ при чтении :а анализа в ЛГПИ, проведении факультатива "Элементы нестандартного пса" в 10-11 классах Армавирской экспериментальной общеобразова-ной школы №7, чтении курса математического анализа в Иовороссий-

ском педагогическом колледже и итогами. проведёнпой опьг экспериментальной работы.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования г верялись в вузах и школах Краснодарского края путем проведения совмес с преподавателями Армавирского педагогического института, а также Ар вирского ПУ №11, экспериментов по внедрению УДЕ, ОУДЕ, ЛУДЕ и J в учебный процесс студентов и учащихся 10-11-х классов Армавирской : перименталыюй школы № 7. Материалы исследования обсуждались :

- на межрегаоналъной научной конференции "Развитие личности в обр; вательных системах южно-российского региона" Южное отделение Рi (Пятигорск 1998 г.);

- на VI, VII Международных конференциях "Циклы природы и общест: секция "Циклы в педагогаке", проводимой РАН, РАЕН, Мипистерст] общего и профессионального образования РФ, Ставропольским унш ситетом (1998 г., 1999 г.);

- на I Международной конференции "Циклы", проводимой РАН, РА: Министерством общего и профессионального образования РФ, Стаи польским технологическим университетом (1999 г.);

- на паучной конференции «Развитие непрерывного педагогического об зовапия в новых социально-экономических условиях на Кубапи» в Ар вирском государственном педагогическом институте (1998,1999 г.);

- путём депонирования в НИИ Высшего образования (№ 87-98 от 27.04 № 88-98 от 27.04.98);

Основные результаты диссертационного исследования также освещал па межрегиональном методическом семинаре математиков (научный руке дитель, профессор В.И. Тульчий) при Армавирском межрегиональном иж туте усовершенствования учителей (1999 г.).

Основные результаты по диссертационному исследованию опубш валы в 11 работах [1]-[11].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введе! трёх глав, приложения и библиографического списка, содержащего 119 именований. В первой главе три параграфа, во второй- два, в третьей- i Объём работы 176 страниц, пабранных с использованием программы W 7.0. пакета программ семейства Microsoft Office (стиль 'Times New Roma В работе 64 рисунка, 8 таблиц, 1 гистограмма.

Содержание работы.

Во введении дается оценка существующего положения в школьной и ской методике преподавания математики, обосновывается целесообраз-. введения в школьный курс элементов нестандартного магматического 1за (Н-анализа) с использованием УДЕ, ОУДЕ, ЛУДЕ и Л PC. Обоснована актуальность и новизна предлагаемой проблемы и иракти-1Я значимость сё для дальнейшего развития методики преподавания манки в школе и вузе. Сформулирована цель исследования, указано, что гтея объектом и предметом исследования. Показаны этапы внедрения ре-атов диссертационного исследования. Изложена структура и содержа-1иссертации.

В первой главе раскрывается содержание понятий математический и математическая культура.

Понятия математического языка и математической культуры так или ; рассматриваются в исследованиях и работах педагогов-математиков :днего времени. Б.В.Гпсдепко, В.Успенский, X.IH. Шихалиев, Ю.А. шович, П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев и др. подчёркивают в своих работах (одимость развития математического языка, являющегося необходимым онентом формирования математической культуры учащихся. В научно-методической литературе понятия математического языка и магической культуры не всегда чётко и однозначно определяются. В ра: X.HI. Шихалиева наиболее точно формулируется понятие математиче-> языка: «математический язык— это система взаимосвязанных, взаи-условленных и самостоятельных компонентов (ЯБ->ЯЧ-> ЯА—>ЯТМ—>ЯМЛ), которая служит средством не только для общения >ьми, но и для познания и описания законов природы, общества и трудо-еятелыюсти человека, не прибегая к опыту и наблюдению». Учитывая, что математический язык является реальностью, не завися-)т нас, необходимо научить учащихся школы «пользоваться элементами языка в познании окружающей природы, в решении своих практиче-задач. Только в этом случае мы можем быть уверенными в том, что у ихся формируется математическая культура...» (Х.Ш. Шихалиев). 1одчёркивается (определение Х.Ш. Шихалиева), что «Математическая typa- 1) совокупность достижений человечества в его умениях пользо-:я математическим языком в качестве средства как для общения с т, так и для описания и познания окружающей действительности; 2) нь, степень развития человечества в его умениях пользоваться мате-чеекмм языком как для общения с людьми, так и для описания и позна-кружающей действительности; 3) осознанное пользование математи-м языком как для общения с людьми, так и для описания и познания ок-

ружающей действительности».

Математическая символика является органической составной част математического языка, следовательно, развитие математической тepминoJ гии и символики непосредственно влияет на формирование математическ культуры.

Математическая символика в последнее время совершенствуется линии увеличения информативной ёмкости не только символики, по выражения понятий, определений и умозаключений цепочкой символ! являющихся «сверхсимволами», па восприятие которых <аратится време почти столько же, сколько на один обычный символ, который являеп элементом сверхсимвола».

В исследовании используются факты и выводы отечественных псш логов Гальперина П.Я., Леонтьева А.Н., Талызипой Н.Ф. и др., доказавни что наиболее эффективное усвоение знаний учащихся происходит в проце< собственной деятельности—т.е. деятельностный подход к обучению.

Как известпо, развитие самостоятельности мышления учащихся п обучении математике является наиболее важным моментом в формирован математической культуры. Это подчёркивали в своих работах учёные- ш хологи Д.Б. Эльконин, Ж. Пиаже, математик Ю.М. Колягин и другие.

Кроме того, мы опирались па исследования психологов и физиоло1 (П.К. Анохип, А.Н. Леонтьев) о том, что «центральным явлением психи1 ской жизни человека выступает образование функциональных систем, 1 ансамблей нейропов, «специализирующихся» на решении сходных в ч< либо познавательных задач.

Функциональные системы обретают способность непосредственн< схватывания пространственных, количественных и логических отношений»

В нашем эксперименте мы учитывали уровень сложности задач огг деляемый на основании их информационной ёмкости, исходя из учений Л Выготского, В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, Д.В. Эльконина, И.С. Якимапс! и др.

Далее в первой главе формулируется понятие УДЕ, ОУДЕ и ЛУДЕ частности, «укрупнённая дидактическая единица обладает' качествами с: темности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и бы рым проявлением в памяти» (П.М. Эрдниев и Б.П. Эрдниев). Перечисляю-шесть принципов укрупнения дидактической единицы, подчёркиваются п] чины результативности применяемых методов.

На уроке с УДЕ «объект постигается «через своё другое» (по Гегел! прямая задача через обратную, умножение- через деление, решение зада» через составление её, тождество- через уравнение; или обобщая: часть че целое, анализ- через синтез. Изучать не всего понемногу, а многое об одш о главном, постигая многообразие в едином, в целом!» (П.М. Эр дни а Б.П. Эрдниев).

ОУДЕ - характеризуются тем, что в холе решения составляющих сё лой и обратной задач охватывается весь комплекс математических опе-1Й, характерных для данной темы или раздела. Следовательно, ОУДЕ меняются при подведении итогов по изученной теме или разделу матема-1, или на промежуточных этапах при изучении обширных тем в виде са-гоятельных или контрольных работ.

ЛУДЕ- логико-речевая символика и ОУДЕ позволяю! разработать так лваемые логические укрупнённые дидактические единицы в виде «обоб-ных инвариантных понятий как «х-направление», «.х-сечение», гсометри-~ий предел функции и др.». Самостоятельная «формулировка обучающи-я обратных теорем, конструирование контрпримеров, решение серии ДЕ примеров и доказательство теорем с помощью ЛУДЕ, как неотьемле-составпьтх частей нестандартной технологии изучения математики, полют выявить иногда не замеченные при первом чтении важпые элементы [ки доказательства прямой теоремы (методики решения прямой задачи в ^Е) и этим способствуют ускоренному и устойчивому формированию [ов у обучающихся» (В.В. Тульчий).

На основании многолетнего успешного опыта применения УДЕ, а те> и ОУДЕ, выявлена необходимость внедрения в учебный процесс много-чонентного задания, имеющего очень важную сторону- обратные связи.

Вследствие развитие пауки-математики, между ней и школьной мате-псой возникают большие противоречия. В работах многих математиков тёркивается значении теоретико-множественного подхода в изучении малики. Это и коллектив французских математиков «Никола Бурбаки», и ерский математик А, Реньи и многие другие. В нашей стране многие пеги математики, среди которых А.Н. Колмогоров, В.И. Тульчий, В.В. >чий, Х.Ш. Шихалиев, И.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев и др., также придер-' 1ются этой точки зрепия. В нашем исследовании курс Н-апалпза основан горетико-множествепном подходе, математической логике.

Как известпо, традиционные подходы к обучению математики на дап-этапе уже не обеспечивают должного уровня математической подготов-чащихся, необходимо разрабатывать новые дидактические приёмы, спо-твующие формированию высокого уровпя математической культуры [ающихся.

Этой благородной задаче, на наш взгляд, отвечает новая модель Низа, предложенная В.И. Тульчием и В.В. Тулъчисм, построенная на рачной и более доступпой концептуальной базе курса математического иза, в котором ЛУДЕ, ОУДЕ и ЛРС играют роль обобщенного магического языка, структурные компоненты которого представляют, ря словами Х.Ш. Шихалиева, «...с одной стороны, самостоятельную ицу, а, с другой,- ступень развития, часть общего понятия, а общее ■упает как синтез взаимосвязанных частей, расположенных не только в едовательности, но и в иерархии образования новых видов абстракций».

Концептуальные положения Н-анализа состоят в том, что на базе по тия предельной точки множества такие основополагающие понятия мате! тического анализа как предел, непрерывность и равномерная непрерывно! - первоначально определяются по отношению к абстрактному отделимо множеству и, следовательно, применимы к такому множеству как град функции, при этом область определения функции- любой природы (деист тельной, вскторпой и комплексной).

Далее показано как вводятся понятия предела множества, непрерыв] сти и равномерной непрерывности множеств. Наряду с этими понятиями анализа формулируются три принципа, или ЛУДЕ

• принцип топологической эквивалентности,

• принцип предельного перехода,

• принцип компактности,

которые позволяют топологические (т.е. связанные с понятием окрестно< точки) свойства графика функции распространить на саму функцию, неза: симо от её природы.

Утверждается (и во второй главе демонстрируется), что традицио! громоздкие и трудные для восприятия доказательства теорем анализа языке «е - 8» - в Н-анализе становятся простыми и логически прозрачны] что обеспечивает устойчивые ЗУНы учащихся.

Мы даже не сравниваем приведённые в первой главе копцешуальв основы Н-анализа, лёгшие в основу факультативного курса для старп классов средней школы, с другими факультативными курсами лишь тол) потому, что они либо не касаются вопросов математического анализа о п деле и непрерывности функций, либо, если они и являются предметом рассмотрения, то основаны на традиционном подходе- «е - 6», который ляется трудным для понимания не только школьников старших классов, н даже для студентов вузов.

Во второй глаие делается вывод, что нестандартная теория предел непрерывности множеств может и должна войти органической чаегью только в вузовский курс анализа, но и в школьные учебники 10-11-х класс Показана результативность факультативного курса нестандартного анад на конкретных примерах (теорема о равномерной непрерывности фупквд Далее рассматривается методика введения темы факультативного ку "Непрерывность множеств". При изложении широко используется ЛРС также комплекс языков (русский и английский), что позволяет включ: данное исследование в международную информационную сеть internet.

Приводится возможная разбивка лекционного материала по занял (по два часа). Всего предлагается восемь пар лекций, на которых рассмат вастся семь параграфов данной темы:

« локальная непрерывность множества;

• глобальная непрерывность множества;

• непрерывность сложной функции;

• арифметические операции с непрерывными функциями; « точки разрыва функции;

• точки разрыва монотонных функций;

• принцип компактности;

• свойства непрерывных на компакте функций.

Нестандартная дидактика теории непрерывности множества опирается 'Сновополагагощие понятия локальной, глобальной и равномерной непре-пости множества Е cz 0J.

Далее, т.к. локальная непрерывность функции определяется с помо-у предела функции, то осповные свойства последнего переносятся на jyio, кроме того имеют место базовые теоремы математического анализа рифметических действиях с функциями.

• Принцип компактности, (К -principle,)

компакт К с А х В

У(Ргл К, РгдК)бС(К)

(т.е. любая проекция компакта есть также компакт).

Дальнейшим, очень важным этапом в изучепии нестандартной теории эерывности множеств является фундаментальная теорема нестандартно-шализа по отношению к действительным, векторным и комплексным кпиям, доказываемая с помощью ТЕ -principle и К -principle:

непрерывная на компакте функция ограничена и является равномерно непрерывной на нём.

Отсюда, как частные случаи, следуют четыре фундаментальные теоре-стандартного анализа: 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса, теорема Ко-теорема Кантора.

Эти фундаментальные теоремы стандартного математического анализа, ющиеся непрерывности функций, в Н-анализе доказываются несравнен-троще, что позволяет изучать их па факультативных занятиях в 10-11 :сах. В дальнейшем их можно будет включить и в учебную программу. В ъем параграфе даются методические рекомендации учителям школ для ишзации и проведения факультатива по Н-анализу.

В третьей главе рассматривается методика изучения операций над аб-ктными множествами, множествами на числовых прямой и плоскости на

основе УДЕ и ОУДЕ. Наша практика показывает, это подчеркивается и Е Эрдниевым и Б.Г1. Эрдпиевым, что используя репродуктивный метод (обе дение впервые вводимых в ходе занятия математических понятий, апал условий рассматриваемого примера, синтеза найденных решений прямо обратной задач, являющихся органическими частями УДЕ и др.).- достат но решить 3-5 примеров, чтобы, учащиеся, находясь в зоне ближайшего р вития (по Выготскому), смогли выполнить домашнее задание, состоящее самостоятельно составленных и решенных как прямых, так и обратных зад аналогичных решённым на уроках.

3.1. В первом параграфе рассматриваются абстрактные множеств. УДЕ па абстрактные множества. Применяя методы аналогии, синтеза, ана гии через синтез, эвристические методы и др., учащиеся после решения и мой задачи легко составляют и решают обратную задачу:

Далее рассматриваются УДЕ на три операции на множествах, в хс рых искомыми можно задать оба множества.

3.2. От произвольных множеств затем переходим к множествам на еловой прямой. Сначала решаются УДЕ на интервале, затем задание уел пяется- задаётся отрезок. В дальнейшем дополнение надо было найти уже до всей числовой прямой, а до некоторого отрезка, в результате чего кол* ство решений, как в прямой, гак и в обратной задаче, зависит от кардинг ного числа множества концов отрезков (включённых или не включённых множества- отрезки). Такие задачи являются более обобщёнными, следс телыю, требуется наличие у учащихся ЗУПов по более осознанному при нению JIPC при решении этих более сложных задач, повышает уровень математической культуры.

3.3. Используя теоретико-множественный подход к определению гур прямоугольника и круга (окружности), получаем целый класс задач произведение числовых множеств в IR2, чем ещё больше повышается уров абстракции, требования к точности и яспости в формулировке математ! ской мысли, математического языка учащихся.

3.4. В 3-м параграфе демонстрируется применение ОУДЕ в ходе зв гая. Как показывает наша практика, и, как отмечают это П.М. Эрдние Б.П. Эрдпиев, систематическое использование УДЕ и ОУДЕ характеризуй значительным сокращением объёма упражнений для достижения глубоки устойчивых ЗУНов. В результате- значительная экономия учебного врсмс Одновременно с этим выполнение заданий порождает положительные э ции у учащихся, переводя их деятельность в зону ближайшего развития. убедительно демонстрируется следующей ОУДЕ:

Прямая задача (Direct problem). I. Л={4, а,р).

В: A\JB- ¡4,а,Р,5,б], when

d

d

Р-О),

> А\В~{а,р).

Case /.

И = {4,а,/?,5,б} л ЛПЯ =

d

0-Ц,

d

Я Д

Case 2

В = {4, я, р, 5,6} л Л15= {а, /?}.

* Л<552©5

{4,5,6}. ►

Обратная задача (Inverse problem). Set

{5,6} = tf„

{Д5,б} = B„ {4,5,6}=В4. Л: /<и5={4,а(А5,б}, when

Л

• ЛПВ =

0 = Д

d

a-D,

d

D

D

*.={5.6}, /л = К 5, б}, {¿,5,6},

в

B1 t

Case 2

Л\}В = $,а,р,5,б) лА\В=\а,р) л B4 = {4,5,б}.

i)if => 4 ={«,/?};

л

4 =&«,/*};

2) if

3) A6^{5,a,fi}, 4) Л7 = ¡6,а,/?}, 5) ^ = {4,5,«,/?}, 6) Л,=&б,а, 7) Д0 = {5,6,а,/?}, 8)Д, = {4,5,6,а,д}. ►

3.5. Далее в исследовании рассматриваются ОУДЕ на множества на число! прямой и плоскости. Задачи на эту тему охватывает уже значительно бс шее количество операций, присущих данному разделу курса Н-анализа.

Здесь же делается вывод, что УДЕ и ОУДЕ в совокупности решают кие задачи:

- максимальную индивидуализацию работы обучающихся, т.е. са обучение;

- системный подход в освоении проблемно-поисковых методов, рактерпых для развивающего обучения.

Применение ЛРС, к тому же, заметно увеличивает информативную кость используемых символов, делает более экопомным мышление обуч хцихся.

В четвёртом параграфе даются рекомендации учителям средних ш по применению системы упражнений при изучении теории множеств.

Пятый параграф посвящен проведению эксперимента, обработке зультатов и статистических данных. Применяя критерий Колмогор* Смирнова (двусторонний и односторонний), была доказана эффективне применения технологии УДЕ, ОУДЕ, логико-речевой символики при из) нии факультативного курса по Н-анализу.

В приложении подчёркивается, что в ходе занятий применение ст

IPC учащимися становилось всё более осознанным, при использовании Е концентрируются все изученные в конкретном разделе понятия и опе-и над объектами, составляющими предмет исследования и н ом разделе.

Применение JIPC в ходе решения УДЕ и ОУДГ как нельзя лучше, по ;му мнению, подходит

• для компьютеризации как самих задач факультативного курса, гак и теоретического материала по нему, что имеет огромное значение для современных технологий дистанционного обучения;

• позволяет повысить информативную емкость математического текста и графического представления задач, и,

• даёт возможность создавать наборы задач, соответствующих уровню актуального и ближайшего развития различных групп учащихся.

Тем самым, приведённые выше положения были использованы нами написании учебно-методического пособия, первая глава которого яапи-автором настоящего исследования и приведена в приложении.

Нетрудно видеть, что перечисленное выше способствует более глубо-' освоению логико-речевой символики, следовательно, более осознанно-римепению JIPC во время решения задач, формируя у учащихся матема-скую культуру, что и доказал проведённый эксперимент.

Основные результаты и выводы, полученные в процессе теоретическо-экспериментального исследования в соответствии с его целями и зада-г, приведены в заключении и сформулированы ниже:

выявлена роль математического языка и, в частности, логико-речевой имволики в укрупнении знаний, а также в формировании математиче-кой культуры. В качестве одной из частей понятия «математическая ультура» может выступать следующее предложение: «...осознанное юльзовапие математическим языком как для общения с людьми, так и [ля описания и познания окружающей действительности», которое про-вляст значение математического языка в повышении «математической ультуры».

'азработанные концептуальные основы Н-анализа, его методика и содер-сание опираются на теоретико-множественный подход, роль которого в азвптии науки-математики и школьной математики, как средства их ближения, выявлена в настоящем исследовании. Основополагающие по-ятия математического анализа- предел, непрерывность и равномерная епрерывность- определяются в Н-анализе по отношению к множеству, роме того, приметается JIPC, вследствие чего доказательство большей асти фундаментальных теорем традиционного анализа становится зна-ительно прозрачнее. Показано применение ЛУДЕ в Н-анализе: опреде-епие предела и непрерывности множества, принципы топологической квивалентности, предельного перехода и компактности.

3. Разработана методика введения операций на множествах с иснользов; ем технологий УДЕ и ОУДЕ. Экспериментально доказана их эффск ность.

4. Экспериментально доказано, что максимальная геометризация изложс материала факультатива по Н-анализу, применяемой символики ЛР решения УДЕ и ОУДЕ, способствует формированию действенны прочных знаний, умению применять их в практической деятельности, является составной частью математической культуры.

5. Экспериментально доказано, что систематическое использование УД тем более это относится к ОУДЕ) влияет на доречевую, т.е. подсознат ную систему мышления, в свою очередь при работе с ОУДЕ идёт ещё лее эффективная догрузка этой системы мышления (обусловленной стинктом и практически одинаковой у всех людей) за счёт эффектны использования учащимися обобщённой логико-речевой символики (Л! Это позволяет учащимся осознанно применять математический язы частности ЛРС) для решения сложных задач, составляемых и решае учащимися самостоятельно. Следовательно, у пих формируется мат< тическая культура.

6. Приведённое в исследовании изложепис Н-дидактики неирерышк множества убедительно доказывает возможность построения обучак контролирующих тестов в виде компьютерных программ.

Публикации но теме диссертации.

Депонированная статья- Укрупнённые дидактические единицы на занятиях по высшей математике,- НИИ Высшего Обр,- № 88-08 демон. (>i 27.Ol.'.W, 14 пр (Ц соавторстве с Гульчием В.В., Неверовым Л.В.)

Депонированная статья Обобщённые укрупнённые дидак iнческие единицы- композит проблемного обучения на занятиях по математике.- НИИ Высшего Обр,- № 87-98 lenoH. от 27.04.98, 14 стр. (В соавторстве с Гульчием В В., Неверовым Л.В.) Гезисы доклада- Обобщенные укрупнённые дидактические единицы- новая дидакти-геская структура на уроках по математике в 10-11 классах. // Развитие личности в об-адзовательных системах Южно-Российского региона. V годичное собрание Южного лделения РАО. XVII региональные пеихолого-педагогические чтения Юга России,-Ъггигорск.- 1998. с. 109-110. (В соавторстве с Тульчием В.В., Неверовым A.B.) Статья- Интенсификация самостоятельной работы учащихся на базе ОУДЕ. // Профес-;ионалъная подготовка учителей математики, информатики и физики: Межвузовский Шорник научных трудов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.- с. 66-69. (В соавторстве с Тульчием В.В., Неверовым A.B.)

Статья- ОУДЕ на занятиях по теме "Функциональные неравенства" // Профессиональ-тя подготовка учителей математики, информатики и физики: Межвузовский сборник таучных трудов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.- с. 69-71. (В соавторстве с Туль-шем В.В., Неверовым A.B.)

Гезисы доклада- Нестандартные дидактические единицы на уроках математики в 1011 классах. // Науч.практ.копф.: Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях па Кубани.- Армавир. ИЦ АГПИ,1998.-

127-128. (В соавторстве с Тульчием В.В., Неверовым A.B.) Гезисы доклада- Дидактические циклограммы типа ОУДЕ в теории функциональных неравенств. // VI Международная конференция "Циклы природы и общества".- Ставрополь. 1998 - с. 172-174. (В соавторстве с Тульчием В.В., Неверовым A.B.) Гезисы доклада- Обобщённые укрупиёшше дидактические единицы- циклограммы теории функциональных отношений. // VI Международная конференция "Циклы природы и общества",- Ставрополь. 1998.- с. 184-186. (В соавторстве с Тульчием В.В., Неверовым Л.В.)

Гезисы доклада- Н-апализ функций многих действительных переменных. // Научно-практическая конференция.- Армавир. ИЦ АГПИ, 1999. с. 204-205. (В соавторстве с Гульчием В.В.)

Гезисы доклада- Циклограммы теории непрерывности Н-анализа. // VII Международ-пая конференция "Циклы природы и общества".- Ставрополь. 1999. с. 109-111 Гезисы доклада- Цикличность в нестандартной теории предела и непрерывности множеств. //1 Международная копферепция "Циклы".- Ставрополь. 1999. с. 23-24. (В соавторстве с Неверовым A.B.)

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Часов, Константин Васильевич, 2000 год

Введение.

Глава

Элементы нестандартного анализа и логико-речевая символика- как средства формирования математической культуры учащихся 10-11 -х классов.

§ 1. Роль математического языка в формировании математической культуры.

§ 2. Теоретические основы исследования.

§ 3. Ядро концептуальных положений нестандартного анализа.

Выводы по первой главе.

Глава

Методика и средства внедрения факультативного курса по элементам нестандартного анализа.

§ 1. Результативность Н-дидактики изложения непрерывности функции- инварианта Н-анализа.

§ 2. Содержание факультативного курса «Элементы нестандартд ного анализа».

§ 3. Методические рекомендации учителям математики по изучению элементов Н-анализа.

Выводы по второй главе.

Глава

Применение ЛРС, УДЕ и ОУДЕ в теории множеств.

§ 1. Операции над множествами.

1. Операция объединения.

2. Пересечение множеств.

3. Разность множеств.

4. УДЕ на три операции с множествами.

§ 2. Декартово произведение множеств.

1. Числовые множества на R.

2. Сложные задания на числовые множества на R.

3. Числовые множества на R2. Произведение множеств.

§ 3. Применение ЛРС и ОУДЕ в изучении Н-анализа.

1. ОУДЕ на тему операции над множествами.

2. ОУДЕ множеств на числовых прямой и плоскости.

§ 4. Методические рекомендации по использованию системы упражнений по изучению теории множеств в факультативном курсе.

§ 5. Педагогическая эффективность Н-дидактики математического анализа и технологии JIPC, УДЕ и ОУДЕ.

Выводы по третьей главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Элементы нестандартного анализа и логико-речевая символика - как средства повышения математической культуры учащихся средней школы"

Сама жизнь и изменяющиеся социальные обстоятельства в обществе постоянно оказывают влияние на образовательную систему нашей страны. Это нашло своё отображение в Законе РФ "Об образовании", в котором работникам образования предоставляется возможность самостоятельно выбирать организационные формы и дидактические приёмы обучения с целью повсеместной гуманизации и гуманитаризации учебно-воспитательного процесса в школе и вузе.

Путей усовершенствования математического образования достаточно много. В основах «Концепции непрерывного образования» приводятся наиболее важные их положения и идеи. Преподавателям-новаторам даются большие права для творческой работы, применения новых форм и методов обучения различным предметам, в том числе и математике.

Поэтому неудивительно, что исследования многих новаторов и творчески мыслящих преподавателей математики убеждают нас- урок из категории основной формы обучения в общеобразовательной школе переходит в разряд одной из основных форм обучения. К примеру, в работах Батракова И.С., Дьяченко В.К., Зайкина М.Н., Молчанова М.А. и многих других анализируются тенденции децентрализации управления системой образования на фоне изменяющихся социальных основ общества. Всё это даёт жизнь таким формам организации личностно-ориентированного обучения, как урок по инициативе учащихся, урок изобретательства, межпредметный урок, урок- "погружение", урок- деловая игра и др.

Конечно, учитывая, что традиционные школьный урок и вузовская лекция не потеряли актуальности и играют всё же доминирующую роль среди других форм обучения, необходимо упомянуть об исследованиях Зотова Ю.Б., Махмутова М.И., Онищука В.А., Эрдниева П.М., Яковлева Н.М. и многих других, в которых очень чётко прослеживаются тенденции установления вариативности урока в форме урока-семинара, урока-дискуссии, интегрированного урока, урока-закрепления изученного материала на базе укрупнённых дидактических единиц {УДЕ) и т.д.

Закон РФ "Об образовании" и уставы школ дают возможность учителям-математикам самостоятельно выбирать формы обучения, чем существенно обогащается арсенал методических приёмов построения и проведения уроков по математике на высоком уровне. С этой точки зрения находят своё применение результаты исследований Воловича М.Б., Глейзера Г .Д., Гусева В.А, Дорофеева Г.В., Кудрявцева Л.Д., Луканкина ГЛ., Мамия К.С., Монахова В.М., Мордковича А.Г., Фридмана JLM., Шихалиева Х.Ш., Эрдниева П.М., Эрдниева Б.П. и др., а также передовой опыт учителей-новаторов Карпа А.П., Окунева А.А., Рыжика ВЛ., Шаталова В.Ф., Щетинина М.П., статьи Гузее-ва В.В., Дудницына Ю.П., Зильберберга Н.И., Магомедова Н.Г., Финкель-штейна В.М., Черниковой Т.М. и др.

Проблемы, возникающие в связи с изменением значения традиционного урока в школе и вузовской лекции, могут быть успешно решены лишь при дальнейшем значительном совершенствовании дидактических основ, улучшающих и повышающих учебно-воспитательный уровень уроков математики, математическую культуру учащихся через совершенствование математического языка (в частности, рассматриваемой нами логико-речевой символики). Вопросы «совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики» ([56], стр. 3) рассматриваются в работах многих видных математиков- А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, А.С. Столяра, А.М. Пышкало, X.IIL Шихалиева, П.М. Эрдниева и др. Применяемые нами логико-речевые символы как раз и отвечают задачам усиления логической основы курса математики.

На наш взгляд, весьма удачными дидактическими находками являются УДЕ П.М. Эрдниева [116], теоретико-множественные технологии Х.Ш. Шихалиева [110] и обобщённые УДЕ, или ОУДЕ В.В. Тульчия [90] в школьном и вузовском курсах математики. Кроме того, они весьма хорошо соотносятся с точкой зрения С.Г. Манвелова [65], выражающейся следующей формулой:

Проводя поурочные групповые занятия необходимо добиваться того, чтобы они носили характер коллективного творчества педагога и обучающихся."

Несмотря на то, что математика имеет, несомненно, большое значение для формирования общей культуры учащихся, становится все более очевидной тенденция в нашей системе образования на непрерывное уменьшение времени на изучение математики в старших классах. Кроме того, из учебных планов по математике в старших классах обычных школ исчезли такие основополагающие вопросы, как понятие предела функции и непрерывность. Это накладывает определённые требования на подбор учебного материала для создаваемых учебных пособий по школьной математике и их объём. В этих условиях возрастает роль правильного выбора рациональных методов изложения материала.

На фоне указанных проблем нестандартная модель математического анализа (Н-анализа), предложенная А. Робинсоном в 1960 г. и интенсивно развивающаяся в настоящее время, отличается математической простотой и широтой приложений, в результате чего, как отмечает М. Девис ([28], стр.21), курс математического анализа стал ".более живым и увлекательным как для преподавателей так и для студентов". В этом убеждает опьгг преподавания нестандартного анализа во многих зарубежных вузах и школах.

Как известно, классический, или стандартный анализ О. Коши базируется на понятии бесконечно малой как переменной величины, т.е. стремящейся к нулю функции, в то время как нестандартный анализ Робинсона, следуя Г. Лейбницу, трактует это понятие как постоянную достаточно малую (в рамках проводимого исследования) величину, и в его нестандартном анализе оно является стержневым. Новая модель нестандартного анализа В.В. Тульчия

90], которую мы будем использовать, сохраняя все основополагающие концепции стандартного анализа, вводит новые обобщённые математические понятия и предложения (такие, например, как предел и непрерывность абстрактного неметризованного множества и др.), а также принципы

• топологической эквивалентности,

• компактности и

• предельного перехода, существенно упрощающие дидактику изложения основных разделов анализа, делая его более прозрачным и доступным для учащихся старших классов, а также допускают создание полиязычных (оптимально 2-ь4 языка) учебных пособий при небольшом увеличении их объёма по сравнению с существующими моноязычными пособиями того же характера.

Это убедительно показал наш эксперимент преподавания нестандартного анализа учащимся 10-11 кл. муниципальной СШ № 7 г. Армавира. Увлечение и интерес, с которым учащиеся изучали предлагаемую им модель нестандартного анализа, может быть объяснена только математической общностью и глубиной новых идей, излагаемых общедоступно и наглядно с помощью, как пишет М. Дэвис ([28], с.23): "Математически простых, элегантных и красивых нестандартных методов доказательств классических теорем", записываемых в символической форме. Это позволяет запрограммировать процесс контроля и самоконтроля знаний по курсу математики и использовать в этих целях компьютер.

Как показал наш опыт проведения факультативных занятий в СШ №7 новые обобщённые понятия и нестандартные методы доказательств теорем, характерные для нестандартного анализа, логико-речевая символика (ЛРС) ([90]), УДЕ П.М. Эрдниева ([116]), теоретико-множественные технологии Х.Ш. Ши-халиева [110-113], и обобщённые {логические) укрупнённые дидактические единицы ОУДЕ (ЛУДЕ) ([90])- позволяют учащимся за существенно более короткое время (по сравнению со временем освоения элементов матанализа по другим учебникам) изучить основные понятия и предложения анализа, знания по которому они углубят в вузе.

В своей работе нами использовались результаты исследований психологов и педагогов JI.C. Выготского, АЛ. Леонтьева, СЛ.Рубинштейна, JT.B. Занкова, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина и др., показывающих, что ([56], стр. 4) «при определённых условиях можно достичь не только высокого уровня ЗУН, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения».

В исследовании мы также опирались на труды физиологов II.К. Анохина, Н.А. Бернштейна, И.П. Павлова, И.М. Сеченова и др., психолога А.Н. Леонтьева, в которых отмечается, что в коре головного мозга образуются условно-рефлекторные связи в виде особых ансамблей нейронов, которые осуществляют регуляцию деятельности по решению сходных задач, а также обратных, противоположных. «Функциональные системы обретают способность непосредственного схватывания пространственных, количественных и логических отношений» ([118], стр. 12).

Таким образом, учитывая всё сказанное выше, в школе и вузе между потребностью в разработке новых дидактических основ учебно-воспитательного процесса и фактическим состоянием учебного процесса по математике возникли противоречия, которые и обусловили актуальность разработки проблемы по поиску путей совершенствования содержания обучения математике в старших классах в форме факультатива по элементам нестандартного анализа и изучению логико-речевой символики как средств повышения математической культуры учащихся старших классов.

Целью исследования является разработка содержания факультативного курса «Элементы нестандартного математического анализа» с применением логико-речевой символики и укрупнённых дидактических единиц,, обобщённых укрупнённых дидактических единиц, логических укрупнённых дидактических единиц и методики его изучения, спскюбствующих повышению математической культуры учащихся.

Объектом исследования — процесс обучения учащихся старших классов математическому анализу.

Предметом исследования являются содержание, методы, формы и средства изучения факультативного курса нестандартного математического анализа, оказывающих формирующее влияние на математическую культуру учащихся старших классов.

В качестве рабочей гипотезы исследования выдвигается предположение, что если разработать содержание факультативного курса по нестандартному анализу с применением технологий укрупнённых дидактических единиц (УДЕ), логических укрупнённых дидактических единиц (ЛУДЕ) и обобщённых укрупнённых дидактических единиц (ОУДЕ) и квазиоптимального варианта логико-речевой символики (ЛPC), то внедрение такого курса в процесс обучения учащихся старших классов средних школ способно эффективно влиять на дальнейшее развитие математического языка учащихся, их математической культуры.

Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие конкретные задачи:

1. Выявить роль математического языка и технологии УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ в формировании математической культуры учащихся.

2. Разработать содержание факультативных занятий по изучению непрерывности множеств и основополагающих принципов нестандартного математического анализа, принципы отбора материала.

3. Разработать методику изложения факультативного курса.

4. Определить и экспериментально проверить содержание и объем упражнений УДЕ, ОУДЕ с применением Л PC для разработки новых нестандартных методических приёмов приобретения прочных ЗУН-ов в области математики, формирования математической культуры обучающихся.

Указанные выше цели и дидактические задачи реализовывались поэтапно:

На первом этапе (1994-1997 гг.)- констатирующий эксперимент, анализировалась психолого-дидактическая и методическая литература и существующие учебные пособия по математике для старших классов средней школы. Была сформулирована проблема исследования, определены объект и предмет исследования, поставлена цель, выработана гипотеза. Сформулированы задачи и определены методы исследования.

На втором этапе (1997-1998 гт.)- поисковом и экспериментальном, на факультативных занятиях по нестандартному математическому анализу в экспериментальных 10-х - 11-х классах Армавирской CLH №7 разрабатывалась и допытывалась методика введения нестандартной теории множеств, непрерывности множеств, принципов нестандартного анализа- топологической эквивалентности, предельного перехода и компактности; активно внедрялись УДЕ и ОУДЕ с использованием квазиоптимального варианта ЛРС, дающего максимально компактную запись математических текстов.

На первом- втором курсах ФМФ (специальность- '"математика- информатика") Армавирского государственного педагогического института (АГПИ) также проводилась экспериментальная работа по внедрению символики, УДЕ и ОУДЕ в учебный процесс.

На третьем этапе (1998-1999 г.г.) продолжалась работа по внедрению УДЕ, ОУДЕ и ЛРС в школах и вузах Армавира, анализировались полученные результаты эксперимента, создавалось учебно-методическое пособие для студентов и учащихся школ с углублённым изучением математики. Формулировались теоретические и практические выводы, в результате были решены поставленные задачи исследования.

Теоретической основой исследования являются основные положения отечественной психологии и дидактики— общефилософская теории познания, образования и воспитания, деятельностным подход в процессе обучения; труды методистов и учёных-педагогов; разработанная нестандартная теория математического анализа Тульчия В.В.

Методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования; изучение и обобщение педагогического опыта; проведение констатирующего, поискового, и обучающего экспериментов с учащимися старших классов.

На защиту выносятся:

1. Эффективность влияния логико-речевой символики, технологий УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ на формирование математической культуры обучающихся.

2. Содержание и методика факультативного курса нестандартного анализа по введению понятия непрерывности множеств и принципов нестандартного анализа на основе технологий УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ.

3. Дидактика регулярного и фронтального использования Л PC, УДЕ и ОУДЕ как на стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в том, что повышение математической культуры учащихся старших классов средней школы осуществляется на основе разработанного принципиально нового факультативного курса элементов нестандартного математического анализа; в реализации целостного подхода при разработке и создании новых учебно-методических пособий, сочетающих в себе Л PC, УДЕ и ОУДЕ, как для учителей (учащихся) школ, так и преподавателей (студентов) вузов.

Практическая значимость результатов диссертационной работы обусловлена возможностью их использования для:

- повышения эффективности обучения математике в вузах и школах, школах с повышенным уровнем преподавания математики;

- более углубленной подготовки студентов-математиков в университетах и педвузах;

- повышения, посредством предложенных дидактических материалов, уровня владения учащимися логико-речевой символикой (составной части математического языка) и, следовательно, повышения их математической культуры;

- непрерывного повышения методического уровня учителей математики через систему повышения квалификации в институтах усовершенствования учителей;

- дальнейшего аналогичного подхода других ученых-педагогов при нестандартном подходе к решению проблем дидактики высшей и средней школы в области таких математических дисциплин как алгебра, геометрия, прикладная математика, информатика и др.

Достоверность и обоснованность обеспечивается опорой на теорию развития личности; психологией развития мышления; применением комплекса методов исследования, адекватных его объекту предмету, цели, задачам и логике; деятельностным подходом в формировании новых научных понятий. Основные результаты исследования подтверждены многолетним положительным опытом внедрения JIPC, УДЕ и ОУДЕ при чтении курса анализа в АГПИ, проведении факультатива "Элементы нестандартного анализа" в 10-11 классах Армавирской экспериментальной общеобразовательной школы №7, чтении курса математического анализа в Новороссийском педагогическом колледже и итогами проведённой опытно-экспериментальной работы.

Апробация и внедрение результатов диссертационного исследования проводилась в вузах и школах Краснодарского края путем проведения совместно с преподавателями Армавирского педагогического института, а также Армавирского ПУ №11, экспериментов по внедрению ЛРС, УДЕ и ОУДЕ в учебный процесс студентов АГТ1И и учащихся 10-11-х классов Армавирской экспериментальной школы № 7.

География внедрения результатов диссертационной работы расширялась путем: публикации и депонирования ее основных разделов в виде учебнометодических пособий:

1. Депонирована статья " УДЕ на занятиях по высшей математике". Москва. НИИ Высшего образования. № 88- 98 от 27.04.98

2. Депонирована статья "ОУДЕ- компонент проблемного обучения на занятиях по математике". Там же. № 87- 98

3. Доклад "ОУДЕ- новая дидактическая структура на уроках по математике в 10-11 классах". Сборник тезисов V-ro годичного собрания Юж. от д. РАО и XVO-x per. психол.- пед. чтений Юга России 1998 г.

4. Доклад "Нестандартные дидактические единицы на уроках математики в 10-11 классах". Науч.- практ. конференция АГПИ. 1998 г.

5. Статья "Интенсификация самостоятельной работы учащихся на базе ОУДЕ" Межвуз.сбор. науч.трудов. Ростов.Госпедуниверситет. 1998

6. Статья "ОУДЕ на занятиях по теме Функциональные неравенства". Там же.

7. Доклад "Дидактические циклограммы типа ОУДЕ в теории функциональных неравенств". Материалы VI международной конференции "Циклы природы и общества". Ставрополь. 1998 г.

8. Доклад "ОУДЕ- циклограммы теории функциональных отношений". Там же.

9. Доклад "Н-анализ функций многих действительных переменных". Науч.-практ. конференция АГПИ. 1999 г.

10. Доклад "Циклограммы теории непрерывности Н-анализа.". Материалы VH международной конференции "Циклы природы и общества". Ставрополь. 1999 г.

11. Доклад "Цикличность в нестандартной теории предела и непрерывности множеств.". Материалы I международной конференции "Циклы". Ставрополь. 1999 г.

Материалы исследования обсуждались:

- на межрегиональной научной конференции "Развитие личности в образовательных системах южно-российского региона" Южное отделение РАО, ( Пятигорск 1998 г.);

- на VL, VII Международной конференции "Циклы природы и общества", секция "Циклы в педагогике", проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским университетом (1998 г., 1999 г.);

- на I Международной конференции "Циклы", проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ;

- на научно-практической конференции «Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани» в Армавирском государственном педагогическом институте (1998, 1999 гг.).

Основные результаты диссертационного исследования также освещались на межрегиональном методическом семинаре математиков (научный руководитель, профессор В.И. Тульчий) при Армавирском межрегиональном институте усовершенствования учителей (1999 г.).

Структура диссертации отражает концепцию, содержание и примеры внедрения результатов исследований в школе.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения и библиографии, содержащей 119 наименований научно-методических первоисточников:

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные результаты и выводы, полученные в процессе теоретического и экспериментального исследования, в соответствии с его целями и задачами, сформулированы ниже: Выявлена роль математического языка, и в частности, логико-речевой символики в укрупнении знаний, а, следовательно, форсировании математической культуры. В качестве одной из частей понятия «математическая культура» может выступать следующее предложение: «.осознанное пользование математическим языком как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности» ([110]), которое проявляет значение математического языка в повышении «математической культуры».

2. Разработанные концептуальные основы Н-анализа, его методика и содержание опираются на теоретико-множественный подход, роль которого в развитии науки-математики и школьной математики, как средства их сближения, выявлена в настоящем исследовании. Основополагающие понятая математического анализа- предел, непрерывность и равномерная непрерывность определяются в Н-анализе по отношению к множеству, кроме того, применяется ЛРС, вследствие чего доказательство большей части фундаментальных теорем традиционного анализа становится значительно прозрачнее. Показано применение ЛУДЕ в Н-анализе: определение предела и непрерывности множества, принципы топологической эквивалентности, предельного перехода и компактности.

3. Разработана методика введения операций на множествах с использованием технологий УДЕ и ОУДЕ. Экспериментально доказана их эффективность.

4. Экспериментально доказано, что максимальная геометризация изложения материала факультатива по Н-анализу, применяемой символики ЛРС и решения УДЕ и ОУДЕ способствует формированию действенных и прочных знаний, умению применять их в практической деятельности, что является составной частью математической культуры.

5. Экспериментально доказано, что систематическое использование УДЕ (а тем более это относится к ОУДЕ) влияет на доречевую, т.е. подсознательную систему мышления, в свою очередь при работе с ОУДЕ идёт ещё более эффективная догрузка этой системы мышления (обусловленной инстинктом и практически одинаковой у всех людей) за счёт эффективного использования учащимися обобщённой логико-речевой символики (ЛРС). Это позволяет учащимся осознанно применять математический язык (в частности ЛРС) для решения сложных задач, составляемых и решаемых учащимися самостоятельно. Следовательно, у них формируется математическая культура.

6. Приведённое в исследовании изложение Н-дидактики непрерывности множества убедительно доказывает возможность построения обучающе-контролирующих тестов в виде компьютерных программ.

Заключение.

Роль математического звания в современном мире постоянно возрастает. Трудно представить область народного хозяйства, где бы в той или иной мере не применялась математика. Кроме того (международная конференция по народному образованию Женева 1956 г.), «.математика выполняет важную роль как в развитии интеллекта, так и в формировании характера», следовательно, оказывает формирующее влияние на общую культуру человека.

Несмотря на это, всё более просматривается тенденция на сокращение учебного времени и в школах, и в вузах, отводимого на математические дисциплины. Это требует от преподавателя более тщательно относиться к отбору учебного материала к занятиям, но всё же более важным является момент правильного выбора рациональных методов изложения материала. Таким образом, перед преподавателем стоит основная задача педагогики ([118])- добиться, чтобы обучающийся за меньшее время овладел большим объёмом основательных и действенных знаний. Тем самым, не только повысить общую культуру учащихся, но и математическую.

Данное исследование доказывает, что применение ЛРС в факультативе по Н-анализу приводит ([118]) к переходу к сверхснмволам, к оперированию «более длинными последовательностями символов (кибернетический эффект)». Кроме того, применение ЛРС создаёт возможность программирования процесса контроля и самоконтроля знаний учащихся на компьютерах. Один из важных результатов нашего эксперимента- возможность и насущная необходимость включения элементов нестандартной теории предела и непрерывности в учебники математики средней школы уже на данном этапе.

Материал третьей главы настоящего исследования убедительно доказывает, что во время решения обратной задачи "у,шДиеся самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они овладевают практически как новыми связями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными формами рассуждений." ([118])

Приведём мысль П.М. Эрдниева и Б.П. Эрдниева ([118]), которая, на наш взгляд, подтверждая всё ранее сказанное, отображает суть методики УДЕ и ОУДЕ: ".ценны для развития мышления не прямые и обратные задачи, взятые как таковые сами по себе; наиболее важный познавательный элемент заключается здесь в процессе преобразования одной задачи в другую, т.е. в тех "невидимых" и трудноуловимых при логическом анализе элементах мысли, которые связывают процессы решения обеих задач".

Таким образом, данный метод , наряду с ЛРС, решает очень "важную и ценную функцию обучения"- становление диалектического мышления учащихся, тем самым формируются умения и навыки осознанного пользования математическим языком, а, следовательно, повышается математическая культура.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Часов, Константин Васильевич, Махачкала

1. Акири И.К, Логические тесты на уроках математики // Математика в школе.-К? 6.-с. 27-31

2. Антипов Н.Н., Шварцбурд Д.С. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики.- М.; Просвещение, 1978.- 63 с.

3. Арнольд А.А. Урок-консультация. //Математика в школе,- 1994- № 2, с. 23-24.

4. Арутюнян Е.Б., Глазков Ю.А, Левитас Г.Г. Взаимообучение школьников на уроках математики // Математика в школе 1988.- № 4.- с. 49-50

5. Архипова В.В. Коллективная организационная форма учебного процесса.-Спб.: Дорваль; Эксклюзив, 1995.- 135 с.

6. Барыбин К.С. Методика преподавания алгебры.- М.: Просвещение. 1965.343 с.

7. Батракова И.С. Теоретические основы организации педагогического процесса в современной школе: Автореф. дис.д-ра пед. наук.-СПб,,1995.- 37 с.

8. Бессараб Г.Д. Инновационные формы организации уроков //Санкт-Петербург, гор. ИУУ.- СПб, 1991.- 35 с.

9. Бигельдинова Б.Н. Взаимотренаж на уроках математики // Математика в школе.- 1995.- № 2.- с. 9-10

10. Бдонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочиненияМ.: Педагогика, 1979.-Т.1-2.

11. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе.- 1988.- № 3.- с. 9-13

12. Василевский А.Б. Устные упражнения по алгебре и началам анализа. Минск. Народная асвета. 1981.

13. Веденеев С.В. Применение технологии мультимедиа в обучении. // ЭВТ в обучении и моделировании. Сб. материалов 1-й межвузовской науч.-теор.конференции.- Бирск.- 1996.- с. 105-108

14. Величко Е.Э. Методические приёмы использования ЭВМ в учебном процессе современной школы. // ЭВТ в обучении и моделировании. Сб. материалов 1-й межвузовской науч.-теор.конференцин.- Бирск.-1996 с. 108-109

15. Выготский Л.С. Собрание сочинений: в 6-ти т.-М.Ледагогика, 1982.-Т.1-2

16. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследование мышления в советской психологии / Отв. ред. Е.В.Шорхова. -М., 1966.- с. 236-277

17. Герберт И.Ф. Избранные педагогические сочинения, Т.1,- М: Учпедгиз, 1940.- 292 с.

18. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: изд-во Прогресс. 1976,496 с.

19. Глейзер Г Д. О дифференцированном обучении // Математика.- 1995.-№ 4.- с. 2

20. Голубцова Г.Н. Использование ЭВМ ва уроках математики. // ЭВТ в обучении и моделировании. Сб. материалов 1-й межвузовской науч.-теор. конференции.-Бирск.- 1996-с. 115-116

21. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованияхJVf.: Педагогика. 1977,136 с.

22. Губа С.Г. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей// Математика в школе — 1972.- № 3.- с. 19-22

23. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Автореф. Дис.д-ра пед.наук.-М.,1990.-39с.

24. Дахин А.Н. К вопросу о разноуровневом обучении // Математика в школе.-1993.-№4.- с. 39-40

25. Дорофеев Г.В. и др. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе -1990.- № 4.- с. 15-21

26. Дудницын Ю.П. Урок математики: применение наглядных пособий и технических средств обучения.- М.: Высш. шк., 1987.- 128 с.

27. Дьяченко В.К. Сотрудничество в обучении: О коллективном способе учебной работы.- М.: Просвещение, 1991.- 192 с.

28. Дэвис С. Прикладной математический анализ.- М.: Мир.- 1980

29. Есииов БЛ. Самостоятельная работа учащихся на уроках М : Учпедгиз, 1961.-239 с.

30. Зандер В.К. О блочном изучении математики // Математика в школе. 1991 .-№4.-с. 38-42

31. Занков Л.В. Дидактика и жизнь.- М.: Просвещение, 1968.

32. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение. М.: Просвещение, 1995.- 178 с.

33. Зорич В.А. Математический анализ. 4.1. М., Наука. 1981, 544 с.

34. Зотов Ю.Б. Организация современного урока. М.: Просвещение, 1984144 с.

35. Иванов С.В. Теория и практика урока: Автореф.дис.д-ра пед.наук- М., 1951.-42 с.

36. Карелин К.С. Пути повышения эффективности обучения математике с использованием рейтингово-балльной системы оценки учащихся средней школы. Автореф. дис. канд. пед. наук. МПУ. М. 1999.

37. Карп А.П. Даю уроки математики.,- М.: Просвещение,- 1992.-191 с.

38. Колмогоров А.Н, О профессии математика. Изд.З-е. М.: Просвещение. 1959.

39. Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения.- М.: Учпедгиз, 1955.- 651 с.

40. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе.- 1990.- № 1.- с. 2-13.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, (для научных работников иинженеров).- М.: Наука, 1973 832 с.

42. Корчевский В.Е., Салимжанов P.M. Приемы составления тестовых заданий // Математика в школе.- 1995.- № 2.- с. 41-43

43. Кудаев М.Р. Корректирующий контроль в учебном процессе. Майкоп. Адыгейский госуниверситет, 1997

44. Кудрявцев Л Д. Современная математика и её преподавание.- М.: Наука, 1980.- 143 с.

45. Ларькина Е.В. Методика формирования элементов исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии. Автореф. дис. . канд. пед. наук. МПГУ. М. 1996.

46. Левитас Г.Г. О дидактических требованиях к уроку математики // Математика в школе.- 1983.- № 3.- с. 21 -24

47. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. М.: Педагогика. 1972. с.500-528.

48. Леонтьев АЛ. Деятельность. Сознание. Личность.-М.: Политиздат, 1977304 с.

49. Лернер И.Я. Учебный предмет, тема, урок.- М: Знание, 1988.- 80с.

50. Луканкин ГЛ. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителей математики в пединститутах в свете требований реформы школы // Актуальные вопросы совершенствования математического образования / НИИ школ МП РСФСР.-М., 1988.- с.112-122

51. Магомедов Н.Г. Об упражнениях с числовыми равенствами и неравенствами в начальных классах. //Современные проблемы профессионализма преподавателя высшей школе//. Махачкала. ДГПУ, 1998 с. 33-34

52. Магомедов Н.Г. Альтернативный подход к решению уравнений и неравенств в начальной школе. //В кн.: Проблемы и тенденции развития высшего образования в Республике Дагестан// Махачкала, ДГТТУ, 1999.- с.42-44

53. Магомедов Н.Г. Игровые формы усвоения элементов математической логики в начальных классах. If (принята к печати) Начальная школа, 2000

54. Магомедов Н.Г. Изучение отношений на числовом множестве как средство формирования элементов математической логики у младших школьников. // Автореф. дисс . .канд.пед.наук. ДГТТУ. Махачкала 2000.

55. Макаровская Т.Г. Изучение элементов четырёхмерной евклидовой геометрии на факультативных занятиях в старших классах средней школы.- Автореф. дис. канд. пед. наук. МГПИ. Саранск, 1999.

56. Мамий К.С. Об одном способе введения понятий предела и непрерывности функции в школьном курсе математики. В сб. «Совершенствование профес-сионально-деятельностной подготовки учителя».- Майкоп, 1989.

57. Мамий К.С. Некоторые вопросы анализа в школьном курсе математики.-Майкоп, 1992.

58. Манвелов CJT. Задания на развитие самоконтроля учащихся М.: Просвещение, 1996.- 97 с.

59. Манвелов С.Г. Основы творческой разработки урока математики // Математика.- № 11.-с. 11-13

60. Манвелов С.Г. Психолого-iгедагогические основы организации изучения нового материала на уроке // Личностно-ориентированное образование: проблемы, поиски, перспективы /Армавяр.гос.пед.ин-т. Армавир, 1996.-с. 266-276

61. Манвелов С J. Разработка систем уроков при укрупнении дидактических единиц в обучении // УДЕ как технология обучения / Армавир, ин-т усо-верш. учителей.- Армавир, 1996.- с. 26-27.

62. Манвелов СХ. Проблемы форм организации обучения математике в общеобразовательных учреждений // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социальных условиях: Материалы научной конференции." Армавир, 1997

63. Махмутов МЛ. Современный урок,- М.: Педагогика, 1985.- 184 с.

64. Молчанова М.А. Гуманизация организационных форм обучения в современной общеобразовательной школе: Дие. д-ра пед.ваук. -Луганск, 1993.424 с.

65. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса.- Волгоград: Перемена, 1995.- 152 с.

66. Мордковнч А.Г. Семинар для молодых учителей // Математика.- 1994.- № 27-28.- 32 с.

67. Общая психология. Под ред.проф. А.В.Петровского М.: Просвещение, 1970.

68. Овечкина О.И. Приемы активизации познавательной деятельности И Математика в школе.-1993.- № 5.- с. 8-9

69. Онищук В.А. Урок в современной школе.-М.: Просвещение,1981.-191 с

70. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

71. Попов О.Б. Некоторые вопросы применения производных к исследованию функций (методические рекомендации для учителей старших классов средних школ). Армавир. АГПИ. 1989.

72. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. 376 с.

73. Рубинштейн СЛ. О мышлении и путях его исследования. М., Учпедгиз., 1958.

74. Рыжик В Л. 25 ООО уроков математики.- М.: Просвещение, 1993.-240с.

75. Скаткин М.Н., Лернер И Я. Современный урок // Народное образование-1985.-№1.- с. 102-111

76. Смирнов В.А., Смирнова И.М. Активизация деятельности учащихся при изучении теории // Математика в школе.- 1992.- № 2.- с. 17-18

77. Софронова Н.В. Значение вопроса на уроках математики // Математика в школе.- 1992.- № 6.- с. 12-13

78. Суворова М.В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики //Математика в школе,- 1995.- № 4.- с. 12-13

79. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики.-М.: Просвещение, 1990.- 96 с.

80. Тесленко И.Ф. О структуре профессиональной деятельности учителя математики и повышении эффективности урока // Математика в школе.- 1980.-№3.- с. 11-17

81. Тульчий В.И., Тульчий В.В. Обобщённая математическая символика в сочетании с телевидением, видеозаписью и ЭВМ— эффективное средство интенсификации процесса самообучения студентов.- М.: Деп. В НИИПВШ, № 267-90,1981

82. Тульчий В.В. Дидактическая триада образовательного процесса. // Материалы V международной конференции "Циклы природы и общества".- Ч.1.-Ставрополь, 1997.- с. 319-322

83. Тульчий В.В. Инварианты нестандартно го анализа- ключ построения ми-нициклограмм. // Материалы V международной конференции "Циклы природы и общества".- Ч.1.- Ставрополь, 1997.- с. 124-128

84. Тульчий В.В. Некоторые концепции нестандартного математического анализа и связанные с ними дидактические минициклогрммы.- // Материалы VI международной конференции "Циклы природы и общества".- Ч.1.- Ставро1. ПОЛЬ, 1998.-с. 174-176

85. Тульчий В.В. ОУДЕ, ЛУДЕ- дидактические циклы нестандартного математического анализа.- // Материалы VI международной конференции "Циклы природы и общества".- ЧЛ.- Ставрополь, 1998.- с. 186-188

86. Тульчий В.И., Тульчий В.В. Основы нестандартного математического анализа (учебно-методическое пособие для студентов).- Армавир.- 1998.- 281 с.

87. У шине кий К Д. Избранные педагогические произведения.- М.: Просвещение, 1968.- 557 с.

88. Финкельштейн В.М. Заинтересовать учеников И Математика в школе. -1993.- №2.- с. 17-21

89. Фокин Р.Р. Некоторые вопросы Internel-lntranct-TexHOлох ий и дистанционного обучения. Н Профессиональная подготовка учителей матема-тики, информатики и физики: Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.- с. 152-157

90. Фридман Л.М. Педагогический опыт глазами психолога.- М.: Просвещение, 1987.- 224 с.

91. Халилов У.М. Использование ЭВМ на лабораторных занятиях по методике преподавания математики. // ЭВТ в обучении и моделировании. Сб. материалов 1-й межвузовской науч.-теор.конференции.-Бирск.- 1996.- с.144-148

92. Часов К.В. и др. Укрупнённые дидактические единицы на занятиях по высшей математике.- НИИ Высшего Обр.- № 88-98 депон. от 27.04.98.

93. Часов К.В. и др. Обобщённые укрупнённые дидактические единицы- компонент проблемного обучения на занятиях по математике.- НИИ Высшего Обр.- № 87-98 депон. от 27.04.98.

94. Часов К.В. и др. Интенсификация самостоятельной работы учащихся на базе ОУДЕ. // Профессиональная подготовка учителей математики, информатики и физики: Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.- с. 66-69

95. Часов К.В. и др. ОУДЕ на занятиях по теме "Функциональные неравенства" // Профессиональная подготовка учителей математики, информатики и физики: Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.-с. 69-71

96. Часов К.В. и др. Нестандартные дидактические единицы на уроках математики в 10-11 классах. // Науч.практ.конф.: Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани.- Армавир. ИЦ АГПИ,1998.-С.127-128.

97. Часов К.В. и др. Дидактические циклограммы типа ОУДЕ в теории функциональных неравенств. // VI Международная конференция "Циклы природы и общества",- Ставрополь. 1998.- с. 172-174

98. Часов К.В. и др. Обобщённые укрупнённые дидактические единицы-циклограммы теории функциональных отношений. // VI Международ-ная конференция "Циклы природы и общества".- Ставрополь. 1998.- с. 184-186

99. Часов К.В., Тульчий В.В. Н-анализ функций многих действительных переменных. // Научно-практическая конференция.- Армавир. ИЦ АГПИ, 1999.

100. Часов К.В Циклограммы теории непрерывности Н-анализа. \\ VII Международная конференция "Циклы природы и общества".- Ставрополь. 1999.- с. 109-111.

101. Часов К.В., Неверов А.В. Цикличность в нестандартной теории предела и непрерывности множеств.// I Международная конференция "Циклы".- Ставрополь. 1999.

102. Черникова Т.М. Уроки в парах сменного состава И Математика в школе.-1996.-№4.-с. 45-46

103. Шаталов В.Ф. Куда и как исчезли тройки.- МгПедагогика, 1979.-136 с.

104. Шаталов В.Ф. Эксперимент продолжается.-М: Педагогика,1989.-336 с.

105. Шихалиев Х.Ш. Об альтернативной системе обучения математике в средней школе и средствах ее реализации. Махачкала. Изд-во ДГПУ.- 1995.

106. Шихалиев Х.Ш. Математика 5-6 классы. Учлюс. для учащихся 5-6 классов общеобразовательных школ. Махачкала. Изд-во ДГПУ.- 1996.

107. Шихалиев Х.Ш. Алгебра 7-9 классы. Учлюс. для учащихся 5-6 классов общеобразовательных школ. Махачкала. Изд-во ДГПУ.- 1996.

108. ИЗ. Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости. Учлюс. для учащихся 5-9 классов общеобразовательных школ. Махачкала. Изд-во ДГПУ.- 1997.

109. Щетинин М.П. Объять необъятное.- М.: Педагогика, 1976.- 176 с.

110. Щукина ГЛ. Роль деятельности в учебном процессе.- М.: Просвещение, 1986.- 144 с.

111. Пб.Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике.- М.: Просвещение, 1986.- 255 с.

112. Эрдниев П.М. Укрупнённые дидактические единицы ва уроках математики.- М.: Просвещение, 1995.

113. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе.- М.: Столетие.- 1996.- 320 с.

114. Яковлев Н.М., Сохор А,М. Методика и техника урока в школе.- М.: Просвещение, 1985.- 218 с.