Факультативный курс "Инварианты групп симметрий некоторых многогранников" для учащихся старших классов с углубленным изучением математики

Колобов, Андрей Николаевич

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Факультативный курс "Инварианты групп симметрий некоторых многогранников" для учащихся старших классов с углубленным изучением математики

Автореферат

Автор научной работы: Колобов, Андрей Николаевич
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Пенза
Год защиты: 2005
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Факультативный курс "Инварианты групп симметрий некоторых многогранников" для учащихся старших классов с углубленным изучением математики"

На правах рукописи

КОЛОБОВ Андрей Николаевич

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС «ИНВАРИАНТЫ ГРУПП СИММЕТРИИ НЕКОТОРЫХ МНОГОГРАННИКОВ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

13,00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

I диссертации на соискание ученой степени

, кандидата педагогических наук

Саранск - 2005

Работа выполнена на кафедре математики Пензенской государственной технологической академии.

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, доцент Дорофеев Сергей Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, доцент Егорченко Игорь Викторович

кандидат педагогических наук,

доцент Харитонова Ирина Владимировна

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов

Защита состоится « » СЯМ/уЛ^Ы^^ диссертационного совета ДМ 212.11

005 г. в 118.01 по

<ь

часов на заседании защите диссертаций на

диссертационного совета ДМ соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени МЕ. Евсевьева по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 13 б, ауд. 120.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М.Е.Евсевьева.

Автореферат разослан «^ » оМл{[С*гч\. 2005 г.

Ученый секретарь ^

диссертационного совета — Л.С. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

На современном этапе школьное образование характеризуется усилением внимания к развитию личностных качеств ученика, так как, раскрывая свои способности и воплощая их в жизнь, ученик усваивает опыт, накопленный человечеством, и приносит пользу обществу. В связи этим процесс обучения школьников математике целесообразно строить так, чтобы знания, усваиваемые каждым учеником, имели бы для него личностный смысл. Все это обусловливает необходимость повышения творческого потенциала учащихся, формирования умений и навыков исследовательской работы, самостоятельности мышления.

Одним из средств достижения перечисленных целей в школе являются факультативные занятая, которые предназначены не только для углубления знаний учащихся, но и для ознакомления их с важнейшими достижениями науки; формирования умения самостоятельно пополнять знания; ориентироваться в научной информации; для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учебе.

Организация факультативных занятий способствует профильной дифференциации в обучении математике, цель которой состоит в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей.

Трактовка содержания образования, направленная на целостное развитие личности, изложена в работах Ю.К.Бабанского, ПЯ.Гальперина, В.А.Гусева, С.Н.Дорофеева, И.В.Егорченко, М.И.Зайкина, Т.А.Ивановой, Л.С.Капкаевой, В.В.Краевского, Ю.М.Колягина, И.Я.Лернера, Г.Л.Луканкина, А.Х.Назиева, Д.Пойя, М.А.Родионова, Г.И.Саранцева, В.А.Сластенина, И.М.Смирновой, Н.Ф.Талызиной, Р.А.Утеевой, П.М.Эрдниева и др.

Развитие познавательного интереса у учащихся, посещающих факультативные занятия по математике, помогает естественным образом углублять знания учебного материал обязательного курса. В связи с этим появляется возможность придать большую законченность курсу школьной математики, показать его связи с большой наукой, подчеркнуть перспективы курса и направления его содержания, убедить учащихся в том, что углубленное изучение математических теорий обогащает их знания новыми методами, позволяющими эффективно изучать явления и процессы окружающего мира.

Следует отметил», что среди факультативных курсов по математике геометрические факультативы в старших классах средней школы по своему содержанию отличаются богатством возможных направлений, важных для достижения образовательных, воспитательных и развивающих целей. Как показывает наш опыт и наблюдения; старшеклассники слабо владеют идеей симметрии и преобразований. Испытывают серьезные затруднения в применении движений к исследованию геометрических ситуаций и поиску оптимальных решений геометрических задач. В связи с этим существует проблема разработки факультативного курса, реализующего идеи симметрж^щю^^Р^^ЙНгях инвариантов в классах с углубленным изучением матеыатиквиьл йоте ка i

Целесообразность данного выбора обусловлена тем, что на примере многогранников можно в достаточно доступной форме изучить с учащимися некоторые вопросы теории групп, которая является одной из самых наукоемких и вместе с тем достаточно доступных для изучения с продвинутыми учащимися математических теорий, продолжающей активно развиваться Наиболее наглядными иллюстрациями понятия группы являются группы движений, которые, к тому же, приводят к многочисленным приложениям при изучении реальных процессов.

Формирование у учащихся представления о группе занимает важное место в школьном курсе математики, но входит в него в неявном виде (числовые группы и группы движений). Изучение приложений групп симметрии на факультативных занятиях имеет большое методологическое значение, так как дает возможность учащимся взглянуть с единой точки зрения на самые различные явления природы и производства и, тем самым, предохраняет учащихся от «ку-сочности» в знаниях.

В настоящее время выполнен ряд научных исследований по общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных занятий

Среди них математическим факультативам посвящены работы НВ.Аммосовой, Л.С.Атанасяна, Ашкьш Суата, С.В.Бабаджаняна, Н.Н.Ивановой, И.Кадырова, М.С.Маскиной, В.М.Монахова, И.И.Позднякова, М.Е. Санталовой, И.М.Смирновой, В.Д.Степанова, И.Ф.Шарыгина, В.В.Фирсова, О.А.Боковнева, С.И.Шварцбурда и др.

Схема настоящего исследования и подбор задач отличаются от схем и задач других авторов тем, что в данной работе описывается факультатив, способствующий формированию знаний, умений и навыков, адекватных основным научно-методическим линиям, понятийному аппарату теории и методики обучения математике, теории движений, теории симметрий, теории групп симмет-рий и их инвариантов; с другой стороны, разработанный факультатив призван помогать решению актуальных задач, стоящих перед школой, - формированию качеств всесторонне развитой личности

Анализ выполненных исследований в связи с вопросом разработки содержания и методики проведения факультативных занятий, способствующих формированию познавательного интереса у учащихся, позволяет нам сделать следующие выводы' 1) все работы, базирующиеся на теоретико-групповых идеях, в основном, не ставили своей непосредственной целью выявление прикладной направленности рассматриваемого материала и возможностей обучения учащихся математической постановке практических задач; 2) содержание, предлагаемых авторами, факультативов состоит, в основном, из арифметического или алгебраического материала; геометрический материал в большинстве своем рассматривается на базе планиметрии для учащихся старших классов, тогда как привлечение пространственного материала чрезвычайно важно для развития пространственного мышления учащихся; 3) ни в одной работе не рассматриваются е^ердфндар/и методика проведения факультативного курса по математике, цдсвда^даого изучению вопросов из теории групп с дальнейшим выходом на т^дашачанвариа^ов. -«» îw?

Все вышесказанное обусловливает актуальность проблемы разработки содержания и методики проведения факультативного курса по данной тематике в школе, способствующего повышению качества знаний учащихся, развивающего познавательный интерес у учащихся к математике, а также, их профессиональной ориентации.

Цель исследования заключается в разработке программы, теоретического и практического содержания, а также методического обеспечения факультативного курса, ориентированного на формирование у старшеклассников умений выделять инвариантно-структурные образы в исследуемой проблемной ситуации, организовывать самостоятельную исследовательскую деятельность, проявлять активность в поиске оригинальных решений математических задач.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в старших классах с углубленным изучением математики, а его предметом - методическая система, включающая цели, содержание, средства, методы и формы развития у старшеклассников математического мышления.

Гипотеза исследования: если в основу развития математического мышления учащихся классов с углубленным изучением математики положить идеи теоретико-группового подхода и идеи симметрии, то это приведет к: 1) формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук, а также, соответственно, формированию естественно научной картины современного мира, научного мировоззрения; 2) формированию пространственного мышления, развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников и повышению качества их знаний, навыков и умений.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Выполнить анализ существующих подходов к введению элементов теории групп в школьный курс математики.

2. Исследовать возможности школьного курса математики для развитая пространственных представлений учащихся.

3. Изучить состояние использования математических факультативов, в основу которых положены идеи теоретико-группового подхода, и исследовать возможные пути к организации учебного процесса в старшей школе на основе использования идей теории инвариантов.

4. Разработать факультативный курс, посредством которого реализуются идеи теоретико-группового подхода в обучении геометрии с дальнейшим выходом на теорию инвариантов.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методиче-I ской системы.

I Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих ме-

тодов исследования: анализ и изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; сравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; беседы с учителями о состоянии преподавания факультативных занятий в школе и о возможности

проведения разработанного факультатива в старших классах с углубленным изучением математики; выяснение знаний учащихся о преобразованиях пространства, симметриях многогранников и о желании посещать факультативные занятия, на которых они познакомятся с элементами теории инвариантов; проведение эксперимента по проверке методических положений работы, статистические методы обработки его результатов.

Методологическую основу исследования составили- структура личности и закономерности ее развития; концепции межпредметной и внутрипредметной интеграции; основные положения теории деятелыгостного подхода в обучении математике (Ю В Варданян, В А Гусев, С.Н.Дорофеев, И.В.Егорченко, Т А Иванова, Л.С.Капкаева, Ю.М.Колягин, Г.Л Луканкин, А.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев и др) 1

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялось изучение и анализ псйхолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике.

На втором этапе разрабатывались теоретические основы организации факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников»; создавалось соответствующее методическое обеспечение этого курса; были определены содержание и формы самостоятельной работы у учащихся в процессе овладения знаниями по теории групп и теории инвариантов

На третьем этане проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики Полученные результаты проанализированы и обработаны средствами математической статистики.

Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что проблема разработки теоретического и практического содержания, а также методики изучения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» решается на принципиально новой основе, которую составляют идеи теоретико-группового подхода; разработан новый подход к интеграции алгебраического и геометрического методов в обучении старшеклассников; в процессе формирования практического содержания факультативного курса выявлена позитивная роль приема пространства состояний в оценке дидактической сложности математических задач.

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли теоретико-групповых представлений в математическом образовании школьников, исследовании роли факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» при формировании целостных представлений о пространственных фигурах на современном этапе развития образования, определении значимости факультативного курса в развитии логического, наглядно-образного и аналитического мышления старшеклассников, в выделении действий и приемов, позволяющих школьникам усвоенные на факультативе знания, умения и навыки использовать в самостоятельной исследовательской деятельности.

Практическая значимость результатов исследования заключается в вооружении педагогов эффективным методическим обеспечением, на основе

использования которого в практике школьной учебной деятельности у учащихся формируются представления о теоретико-групповых основах математических теорий, сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Реализация в процессе обучения математике принципа фундаментали-зации образования предполагает необходимость формирования у учащихся представлений о базовых, фундаментальных основах математики: математических структурах, теоретико-групповых основах математических теорий.

2. Осуществление комплексного подхода, в основу которого положены идеи теоретико-группового подхода к изучению школьниками инвариантов групп симметрий многогранников, включающего целевой, содержательный и методический компоненты, и раскрывающего факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на его реализацию в ходе учебного процесса, способствует достижению основных целей математического образования: формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхождении математических абстракций, о соотношении реального и идеального, о месте математики в системе наук, а также, соответственно, содействует формированию естественно научной картины современного мира, научного мировоззрения.

3. Исследовательская деятельность учащихся, осуществляемая посредством реализации в процессе обучения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» способствует формированию пространственного мышления и развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников

4 Внедрение в учебный процесс методики изучения специального факультативного курса, включающего- свойства движений пространства, историю правильных многогранников, приложения теории многогранников к изучению кристаллов, симметрий правильных многогранников, построение моделей групп вращений некоторых многогранников способствует повышению качества математических знаний, навыков и умений учащихся старших классов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов обеспечиваются опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления, учетом современных достижений в практике методики обучения математике, а также результатами проведенного эксперимента.

нологическая академия - апрель 2005г.); на заседании научно-методического семинара кафедры геометрии Московского государственного областного университета (апрель 2005г); на заседании научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института им М.Е Евсевьева (май 2005г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики средней школы № 27 г. Пензы.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, намечены цели и задачи, определены его объект, предмет и гипотеза, раскрыты новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, охарактеризованы основные этапы исследования.

В первой главе излагаются теоретические основы использования факультативных курсов по математике в организации исследовательской деятельности учащихся, формировании опыта творческой деятельности, а также определена структура и выявлены методические особенности факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников».

Формируя содержание факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников», мы опирались на психологические особенности развития личности, на опыт изучения симметрии и групп симметрий на факультативных занятиях, на общие принципы отбора содержания.

Факультативные запятая (по математике) составляют неотъемлемую часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение школьников, углубления и расширения их знаний и навыков. Известно, что одной из задач математического факультатива является систематическое воспитание интереса учащихся к математике и ее приложениям, раскрытия перед ними огромных возможностей науки в познании закономерностей окружающего мира.

Основываясь на данном факте, можно сделать вывод о том, что математика и, в частности, геометрия обладает большими потенциальными возможностями для решения воспитательных и развивающих задач обучения, таких как. формирование научного мировоззрения, воспитание целеустремленности, принципиальности, честности и т.д.; эстетическое воспитание; развитие творческих математических способностей; развитие познавательного интереса к геометрии.

Для успешного решения этих задач при обучении геометрии необходимо, чтобы они соответствовали возрастным и индивидуальным особенностям развития школьников. Мышление старшего школьника приобретает все более активный, самостоятельный, творческий характер; старшеклассники обращают большое внимание на аргументированность и доказательность тех или иных положений. Если подросток хочет знать, что собой представляет то или иное явление, то старшие школьники стремятся разобраться в разных точках зрения на этот вопрос и составить собственное мнение. Старших школьников привлекает сам ход анализа, способы доказательства не меньше, чем конкретные сведения.

Опора на устойчивый интерес и склонность ученика к математике является той фундаментальной особенностью, которая характеризует факультативные занятая по этому предмету. Однако проведенное нами анкетирование учащихся старших классов, интересующихся математикой, показало, что не все они могут объяснить, что именно и почему их интересует в математике. В то же время практика проведения факультатива показывает, что при наличии общего интереса к математике, интересы школьников, посещающих данный факультатив, могут существенно различаться. Так, например, одни могут больше интересоваться решением трудных задач, другие - доказательством различного рода свойств и теорем, третьи - вопросами истории математики, четвертые - приложениями математики, пятые - вопросами современной математики и т.д.

Построение факультативного курса по математике, использующего только интерес учащихся к какому-либо одному ее аспекту может привести к снижению у некоторой части школьников общего интереса к математике. Использование и развитие на факультативных занятиях всесторонних интересов школьников к предмету позволяет значительно расширить и разнообразить формы и методы проведения занятий, повысить эффективность самостоятельной работы учащихся, способствует перерастанию их интереса от одного или нескольких аспектов математики ко всей математике, познанию всего окружающего нас мира.

Содержательность, идейность материала - важнейшее условие формирования положительного отношения к учению, при этом, как показывает опыт, факультатив пользуется успехом у многих учащихся, если он строится на основе углубления и расширения отдельных разделов школьного курса математики.

Содержание и методика проведения факультативных занятий должны привлекать учащихся, обеспечивая включение в содержание факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение. Изучение таких тем позволяет существенно повысить уровень математического развития учащихся, что и является одной из основных задач математических факультативов. Элементы новизны материала факультатива, содержащие в себе межпредметные связи, являются главным фактором, обеспечивающим устойчивый интерес учащихся и к нему, и к предмету в целом.

Таким образом, анализируя возможности геометрии в образовании, воспитании и развитии школьников, возрастные и индивидуальные особенности развития старшеклассников, особенности факультативной формы проведения

занятий, мы приходим к выводу о том, что факультативные занятия по геометрии с учащимися старших классов обладают всеми необходимыми возможностями для комплексного подхода к образованию, воспитанию и развитию школьников. Такой подход к постановке факультативных занятий, с одной стороны, диктуется требованиями формирования творческой личности школьника, а с другой, подкрепляется возрастными особенностями старшеклассников, возможностями факультативной формы обучения.

В нашем исследовании приведены содержание и методика изучения факультатива, идейной основой которого являются такие понятия математики, как комплексные числа, матрицы, движения, группы и инварианты. Принятая нами схема изучения предлагаемого материала факультатива «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» характеризуется тем, что изучение основных математических понятий и углубленное изучение теории ведется в связи с возможностью применения ее к решению задач прикладного характера.

Программа курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» предусматривает более глубокое овладение рядом специальных понятий, которые в основном курсе математики либо не рассматриваются совсем, либо рассматриваются, но в недостаточно полном объеме, не связанном определенной системой. Очевидно, что усвоение данных понятий на теоретическом уровне не является самоцелью Основной задачей курса является совершенствование и развитие у учащихся определенного уровня знаний и умений. Однако, наряду с решением задач, обусловливающих подготовку учащихся к осуществлению исследовательской и творческой деятельности, мы ставим и достигаем образовательные, воспитательные и практические цели.

Цели факультативного курса определяют содержание учебной деятельности и пути их усвоения. Анализ исследованных материалов по факультативным курсам позволил сформировать содержание факультативного курса "Инварианты групп симметрий некоторых многогранников".

Содержание разработанного курса включает, наряду с предметными знаниями, умениями и навыками, способы деятельности, адекватные понятиям, теоремам и методам, а также специальные эвристические приемы и различные эвристики. Выделенные в процессе изучения действия и их совокупности должны быть предметом специального формирования. В содержании обучения они реализуются посредством специальных упражнений, выполнение которых должно обеспечить овладение всеми этими действиями. При отборе содержания факультативного курса следует исходить из того, что математические сведения, предлагаемые учащимся, должны излагаться в полном объеме и на достаточно высоком теоретическом уровне, превышающем уровень изложения подобного содержания на уроках.

Содержание любого факультативного курса конкретизируется в учебной программе, которая представляет собой документ, устанавливающий состав, структуру, последовательность изучения материала по предмету, с распределением его по семестрам, разделам и темам. По каждой теме определяется объем знаний (понятия, теоремы, рекомендации), способы деятельности (примеры, упражнения, задачи). В программе указываются предполагаемые результаты

обучения, определяются межпредметные связи, опорные знания по данной теме или разделу и др.

Программа факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» включила в себя следующие темы.

10 класс (I полугодие - 17 часов). Комплексные числа. Комплексные числа в предлагаемом факультативном курсе занимают лидирующее положение. Всякое понятие курса в конечном итоге обязательно интерпретируется над полем комплексных чисел. Мы определяем операции сложения комплексных чисел, умножения, деления, возведение в степень, извлечения из корня. Достаточно подробпо изучаем свойства этих операций, особенно операций сложения и умножения. Связано это, прежде всего, с тем, что на основе комплексных чисел мы формируем базу для усвоения одного из важных понятий курса - понятия группы. Предлагаем систему задач и упражнений на формирование умений и навыков использовать комплексные числа при изучении алгебраических и инвариантно-геометрических структур.

Обучение учащихся приемам преобразования выражений, содержащих комплексные числа важно еще и потому, что в процессе обучения в сознании каждого ученика формируется представление о пространстве состояния и составляющих его вершинах. С целью формирования более глубокого и осознанного представления о комплексных числа мы предлагаем использовать задачи следующего типа:

т, - ( \(п .. 4 7-24/5 Уи + /

1. Выполнить действия - (1 - /) +

3^ 4-3» )) 6

2 Решить уравнения относительно неизвестных хиу.

а) (2 + 5/)* - О + 31)у = 7 + 4/,

й|5 + 2/ 2 + 3/ 3 + 2/

б )-+

х~ у х + у х2-у2

3 Найти все действительные значения неизвестных хиу, при которых равны комплексные числа и = 2х2 + Згуг-7 + Зг и V = х2 + 5хуг +11 + 8г.

— 3 + 2/3

4. Найти сумму и + «,еслим =-т + '5-

1-2/

5. Найти комплексное число г, сопряженное числу

/ (17 + 31/ 12 ) . г = — -+-- +/.

4^ 7+» (1+/)4;

6 На координатной плоскости построить изображения множеств, определяемых условиями:

а) Яег = 4; б) Ьп2 = -3; в) |г-2| = 4.

Задачи данного типа позволяют в достаточно полном объеме сформировать у учащихся представление о комплексных числах и основных операций, производимых над ними (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; нахождение числа, сопряженного данному)

10 класс (II полугодие - 34 часа!. Матрицы и определители. Понятие группы. Представление группы. При изучении данных тем учащиеся знакомятся с такими понятиями как матрица, определитель матрицы и их свойствами. С целью формирования более полного представления о матрице и ее определителе мы предлагаем использовать задачи типа:

1 Найти значение многочлена 1Е(Х) = Х2+Х + 2Е, если Е =(1 единич-

ная матрица, а А =

2 Решить уравнение Х2 +Х - 2Е = 0, где Е =

0 1

единичная матрица

третьего порядка.

3. Решить уравнение

-4 1 х

= -12.

-3 2" '-1 -5 3 '5 4 -Л

4. Даны матрицы А = 5-13 , в = -3 -6 7 , с - 3 2-1

,2 -5 б) ч-4 -5 6 ,2 1 "4,

а) матрицу А'1 С - А, б) матрицу АС+ЕГ1.

Данная серия задач позволяет сформировать у учащихся понятие о матрице, основных операциях над матрицами (сложение, умножение, нахождение обратной к данной матрице, возведение в степень), а также определителе матриц второго и третьего порядка.

11 класс (I полугодие - 34 часа). Понятие преобразования пространства. Движения пространства. Аналитическое задание движений. Представление группы симметрий на расширенной комплексной прямой. При изучении данных тем учащиеся знакомятся с основными видами движений пространства, с приемами построения подгрупп во множестве ортогональных матриц третьего порядка и унитарных ма1риц второго порядка, с методами вычисления инвариантов группы симметрий некоторых многогранников.

1. Параллельный перенос пространства. Аналитическое задание. Свойства. Решение задач. (3 ч.)

2. Центральная симметрия пространства. Аналитическое задание. Свойства Решение задач. (3 ч.)

3.Симметрия пространства относительно плоскости Аналитическое задание. Свойства. Решение задач. (3 ч.)

4. Скользящая симметрия пространства. Аналитическое задание. Свойства. Решение задач. (3 ч.)

5. Поворот пространства вокруг прямой. Аналитическое задание Свойства. Решение задач. (3 ч.)

6. Поворотное отражение Аналитическое задание. Свойства. Решение задач (Зч.)

7. Винтовое движение. Аналитическое задание. Свойства. Решение задач

8. Понятие симметрии геометрической фигуры. Группа симметрий правильной треугольной пирамиды, правильного тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда, правильной четырехугольной призмы, правильного гексаэдра, треугольного диэдра. (3 ч.)

9.Представление группы симметрий правильной треугольной пирамиды, правильного тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда, правильной четырехугольной призмы, правильного гексаэдра, треугольного диэдра подгруппой группы ортогональных матриц третьего порядка и подгруппой группы унитарных матриц второго порядка. (4 ч.)

10. Представление группы симметрий правильной треугольной пирамиды, правильного тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда, правильной четырехугольной призмы, правильного гексаэдра, треугольного диэдра, правильного октаэдра многочленами степени п от двух переменных х и у. (2 ч.)

11. Представление группы симметрий правильной треугольной пирамиды, правильного тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда, правильной четырехугольной призмы, правильного гексаэдра, треугольного диэдра, правильного октаэдра на расширенной комплексной прямой. (2 ч.)

12 Вычисление инвариантов группы симметрий правильной треугольной пирамиды, правильного тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда, правильной четырехугольной призмы, правильного гексаэдра, треугольного диэдра, правильного октаэдра. (2 ч.)

В ходе изучения приведенных тем учащиеся осваивают приемы решения планиметрических задач с помощью движений Например

1. Определить площадь треугольника, если две стороны АВ и ВС, соответственно, равны 13см и 15см, а медиана ВМ, проведенная к третьей стороне, равна 6см (рис.1).

Решение данной задачи осуществляется путем параллельного переноса на вектор ВС. После этого, в треугольнике А'АВ будут известны длины всех сторон, следовательно, по формуле Герона находим в, а она равна .

(Зч.)

А'

Рис. 1

2. В параллелограмме ABCD точка О является точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник, образованный точками пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС, COD, DOA, есть параллелограмм (рис.2).

В С

В решении данной задачи рассматривается центральная симметрия с центром в точке О, которая переводит точку А в точку С, точку В в точку D и наоборот Поскольку центральная симметрия сохраняет простое отношение трех точек, то середина L отрезка ВО переходит в середину Р отрезка OD, середина М отрезка ОС переходит в середину К отрезка АО. Следовательно, в четырехугольнике O1O2O1O4 диагонали в точке О их пересечения делятся пополам Итак, четырехугольник O1O2O3O4, образованный точками пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС, COD, AOD, является параллелограммом.

Характерной особенностью учебной деятельности старшеклассника является ее активизация и до определенной степени самостоятельность.

Формированию у учащихся умения организовывать самостоятельную работу, например, при изучении темы "Поворот пространства", способствуют системы задач и упражнений на нахождение образа фигуры при осевой симметрии или повороте. Приведем примеры некоторых из них:

3. Найти образ:

1) треугольника ABC при осевой симметрии Sm, где прямая ш содержит среднюю линию, параллельную стороне АС пересекает сторону АВ;

2) треугольника ABC при осевой симметрии Sm, где прямая m содержит биссектрису угла ABC;

3) правильного треугольника при осевой симметрии Sm относительно прямой содержащей высоту, проведенную к одной из его сторон;

4) квадрата при осевой симметрии Sm, содержащего его среднюю линию;

4. Найти образ:

1) правильного треугольника ABC при повороте пространства вокруг пря- | мой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через центр треугольника на угол 60°;

2) квадрата ABCD при повороте пространства вокруг прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через центр треугольника на угол 90°;

3) правильной треугольной пирамиды SABC при повороте пространства вокруг прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через центр треугольника на угол 45°;

4) правильной четырехугольной пирамиды SABCD при повороте пространства вокруг прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через центр основания на угол 45° .

На примере задач подобного типа у учащихся обогащаются представления о пространственных фигурах, основных видах движения пространства, а также формируются навыки самостоятельной исследовательской деятельности

Из всего многообразия вопросов, связанных с многогранниками необходимо было выбрать те, которые наиболее важны для обобщения и систематизации знаний и умений учащихся по данной теме основного курса геометрии, важны для показа и понимания приложений теории инвариантов, имеют наибольшее значение для воспитания и развития учащихся.

При разработке программы данного факультативного курса мы исходили из исторического пути развития теории инвариантов; теории единства обучения, воспитания и развития учащихся; возрастных особенностей учащихся старших классов; результатов педагогического эксперимента.

Во второй главе рассматриваются методические аспекты, составляющие содержательную часть факультатива.

Цели обучения математике на факультативных занятиях обусловлены целями математического образования, которые состоят в овладении учащимися такой системой математических знаний и основанных на них умений и навыков, чтобы они понимали, что математика является методом познания действительности; могли строить математические модели важных практических задач, исследовать и решать их; понимали значимость математики для современной науки и производства; имели необходимую математическую подготовку для изучения других учебных предметов, для продолжения образования после окончания школы.

Как известно, основная работа в школе направлена на формирование у учащихся представлений о математических понятиях и фактах. Важным условием осознанного овладения ими является поэтапное формирование этих понятий, при котором учащиеся постепенно поднимаются с одной ступени абстракции на другую более высокую Ранее приобретенные знания должпы получить свое дальнейшее развитие, что и происходит при переходе от симметрии многогранников к их группам симметрий, а затем к инвариантам этих групп сим-метрий.

Факультативный курс «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» предполагает также привлечение учащихся к выполнению индивидуальных заданий и написанию рефератов, что помогает привить навыки самостоятельной творческой и исследовательской работы.

Разработанный в настоящем исследовании факультативный курс способствует развитию познавательного интереса учащихся; изучение симметрий, движений, групп симметрий и их инвариантов на материале стереометрии позволяет осуществлять длительную и целенаправленную работу по обучению

учащихся математической постановке практических задач, повышению качества знаний с учетом возрастных особенностей учащихся.

Глава заканчивается описанием педагогического эксперимента.

Эксперимент был разбит на несколько этапов. Цель первого этапа состояла в изучении состояния разработанности факультативных курсов по геометрии с учащимися старших классов и изучение воспитательных возможностей таких занятий. На данном этапе применялись такие методы исследования, как наблюдение за проведением факультативных занятий с учащимися старших классов и их анализ; беседы с учащимися и учителями; анкетирование учащихся. Анкетирование ставило своей целью выяснеть сформированность интересов учащихся, их целеустремленность. С помощью анкетирования представилось возможным более обстоятельно выяснить мнения и пожелания учащихся по постановке факультативных курсов.

В ходе поискового эксперимента уточнялся материал для повторения из курса стереометрии; отбирался материал по теории групп и теории инвариантов; отбиралась система задач и упражнений для проверки усвоения элементов данных теорий; отрабатывалась методика проведения факультатива.

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами получены следующие результаты и сделаны следующие выводы:

1. Содержание и методика проведения факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» характеризуются:

а) непосредственной взаимосвязью с основным курсом геометрии,

б) богатыми внутри - и межпредметными связями;

в) яркими приложениями, подводящими к знакомству с современными задачами науки;

г) обладанием математической занимательностью, в том числе математической красотой;

д) широкими возможностями включения учащихся в различные формы самостоятельной работы, развития их творчества.

2. Разработанный факультативный курс «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» способствует решению образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения; повышению качества знаний учащихся по математике, уровня их воспитания и развития.

3. Рекомендуемая методика изучения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» оказывает благоприятное воздействие на организацию и результаты самостоятельной работы учащихся, развитие их творческих, исследовательских способностей, содействует их сознательному подходу к выбору направления своей предстоящей деятельности.

В данной работе рассмотрены лишь некоторые да возможных путей про- i ведения факультативных занятий по математике, особенностью которых является углубленное изучение теорий, приводящих к разнообразным приложениям.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1 Колобов, А.Н. Об инвариантах групп симметрии некоторых многогранников /АН. Колобов // Тез докл. науч -практ. конф., посвяшенной 60-летию Пензенского государственного педагогического университета им В Г.Белинского. - Пенза: Изд-во ПГПУ им В.Г.Белинского, 1999.- С 32-34.

2. Колобов, А Н. К вопросу о формировании действий по распознаванию образа при обучении математике / А.Н. Колобов // Межвуз сб. науч. трудов. -Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.ПБелинского, 2000. - С.19-22.

3. Колобов, А.Н. Гуманитарная направленность факультативного курса по математике для старшеклассников / А.Н. Колобов // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвуз. сб. науч. трудов. - Пенза -МПУ: Изд-во ПГПУ им. В.Г.Белинского, 2001,- С.143.

4 Колобов А.Н Факультативный курс по математике как форма развития опыта творческой деятельности у учащихся / А.Н. Колобов // Тез. докл. на-уч.-практ. конф,- Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г.Белинского, 2001. - С.38-39.

5. Колобов А.Н. Факультативные занятия по математике в условиях модернизации математического образования / АН. Колобов // Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики: Труды XXI Всеросс. семинара препод, математики ун-тов и пед. вузов / Под ред. В В Орлова,- С-Пб.: Изд-во РГПУ им. А И Герцена, 2002 - С.176-177.

6. Колобов А.Н. Факультативный курс по математике как форма организации исследовательской деятельности учащихся / АН. Колобов // Гуманитаризация математического образования в школе и вузе- Межвуз. сб науч. трудов. Вып 2 - Саранск1 Поволжское отделение РАО, МГПИ им. М.Е Евсевьева, СВМО, 2002.-С.157

7. Дорофеев, С.Н., Колобов, А.Н. Факультативный курс «Геометрические преобразования» как форма организации научной деятельности старшеклассников / С.Н. Дорофеев, А.Н. Колобов // Труды кафры геометрии Мое. гос обл ун-та №1. Сб. науч.-методич. работ.- М.: Изд-во МГОУ, 2005. - С.11-15 (0,8 пл.).

Подписано в печать 17.08.2005 г. Формат 60 х 84 1/16. Тираж 100 экз.

Изготовлено и отпечатано с готового оригинал-макета в типографии «Копи-Ризо» ИП Поповой М.Г. г. Пенза, ул. Московская, 74, к.304. Тел. (841-2) 56-25-09.

IP 15 1 71

РНБ Русский фонд

2006г4 11679

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Колобов, Андрей Николаевич, 2005 год

Введение.

Глава 1. Теоретические основы реализации факультативных курсов по математике.

§1. Психолого-педагогические предпосылки изучения факультативного курса по математике в средней школе для учащихся старших классов.

§2. Роль и место исследовательской деятельности на факультативных занятиях по математике в старших классах.

§3. Структура и методические особенности факультативного курса

Инварианты групп симметрий некоторых многогранников».

Глава 2. Методические аспекты реализации факультативного курса по геометрии «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников».

§1. Содержание и формы проведения факультативной темы «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников».

§2. Эрлангенская программа Ф. Клейна. Методологические основы теоретико-группового подхода к изучению геометрии.

§3. Правильные многогранники. Группы симметрий правильных многогранников.

§4. Педагогический эксперимент и анализ его результатов.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Факультативный курс "Инварианты групп симметрий некоторых многогранников" для учащихся старших классов с углубленным изучением математики"

В последнее время значительное внимание уделяется вопросу становления каждого учащегося как творческой личности. Формирование творческой личности является одной из главных целей школьного математического образования. На современном этапе образовательное пространство характеризуется усилением внимания к развитию личностных качеств ученика, так как, раскрывая свои способности и, воплощая их в жизнь, ученик усваивает опыт, накопленный человечеством, и приносит пользу всему обществу. Учебный процесс строится так, чтобы знания, усваиваемые учеником, имели бы для него личностный смысл. Все это обусловливает необходимость развития творческого потенциала учащихся, формирования умений и навыков исследовательской работы, самостоятельности их мышления.

Одним из средств достижения перечисленных целей является введение в школе факультативных занятий, которые были бы организованы не только для углубления знаний учащихся, но и для знакомства с важнейшими достижениями науки, умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в научной информации, для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учебе.

В учебном плане средней школы, а особенно в классах и школах с углубленным изучением математики, значительное место занимает курс математики, поэтому факультативные занятия по математике выделяются среди общей системы факультативов по числу учащихся, принимающих участие в их работе. Также как и по другим предметам, в основе выбора учениками факультативного курса по математике лежит интерес к ней и ее приложениям, понимание необходимости овладения математическими знаниями, которые нужны для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования.

Современный взгляд на образование состоит в том, что образование «предполагает направленность обучения от личности, ее структуры через учебный предмет к личности (индивидуальности) конкретного ребенка. Это проявляется, прежде всего, в целях обучения и через них в содержании образования, методах, формах и средствах обучения» [101].

Трактовка содержания образования, направленная на целостное развитие личности, изложена в работах Ю.К.Бабанского [10], П.Я.Гальперина [28], В.А.Гусева [37], С.Н.Дорофеева [40], И.В.Егорченко [45], М.И.Зайкина [49], Т.А.Ивановой [53], Л.С.Капкаевой [55], В.В.Краевского [70], Ю.М.Колягина [67], И.Я.Лернера [79], А.Х.Назиева [90], Д.Пойя [100], Г.И.Саранцева [109], В.А.Сластенина [115], И.М.Смирновой [117], Н.Ф.Талызиной [121], Р.А.Утеевой [122], П.М.Эрдниева [140] и др.

По их мнению, традиционное содержание математического образования, направленное на приобретение школьниками знаний, умений и навыков, не может служить источником развития и формирования всех подструктур в целостной структуре личности. Содержание образования, направленное на формирование личности ученика средствами математики, может быть установлено с позиции усвоения математического знания, специфики творческой математической деятельности и ее приемов.

Факультативные занятия помогают поднять уровень обучения учащихся на более высокий теоретический и методический уровень и способствуют решению ряда других актуальных задач, стоящих перед школой.

В нашей работе исследуется проблема разработки теории и методики реализации факультативного курса по математике для учащихся старших классов, с максимальной полнотой отвечающего задаче реализации комплексного подхода к развитию математических способностей учащихся и их становлению как творческих личностей.

Необходимость особого внимания к таким курсам в старших классах диктуется, прежде всего, тем, что учащиеся этого возраста стоят на пороге вступления в самостоятельную жизнь. Главным для них становится выбор жизненного пути, подготовка к будущей самостоятельной деятельности.

Поэтому, прежде всего, факультативные занятия в старших классах призваны развивать стержневые познавательные интересы и творческие способности учащихся в области определенной науки, готовить их к практической деятельности, влиять на раскрытие способностей и склонностей школьников, развивать навыки самостоятельной работы учащихся с научно-популярной, справочной и научной литературой.

Также на данном этапе необходимо усиление воспитательного воздействия обучения, особенно по линии выработки научного мировоззрения, развития логического мышления и творческих способностей [88, с.28].

Развитие познавательного интереса у учащихся, посещающих факультативные занятия по математике, помогает естественным образом углублять материал обязательного курса. В связи с чем, появляется возможность придать большую законченность курсу школьной математики, показать его связи с большой наукой, показать перспективы курса и направления развития его содержания, показать, что углубленное изучение математических теорий ведет к богатым и разнообразным приложениям.

Таким образом, объективная потребность во всестороннем развитии личности подкрепляется в старшем школьном возрасте субъективными факторами развития учащихся. Это создает необходимые и благоприятные предпосылки для решения задачи становления и развития творческой личности и через систему школьных факультативов.

Следует отметить, что среди факультативных курсов по математике геометрические факультативы в старших классах средней школы по своему содержанию отличаются богатством возможных направлений, важных для достижения образовательных, воспитательных и развивающих целей.

На одном из таких возможных направлений, посвященных развитию идеи симметрии, мы и решили остановить свой выбор. Наш факультативный курс называется «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников».

Целесообразность данного выбора обусловлена тем, что на примере многогранников можно в достаточно доступной форме изучить с учащимися некоторые вопросы из теории групп, которая является одной из самых плодотворных математических теорий, продолжающей бурно развиваться. Наиболее наглядными иллюстрациями понятия группы являются группы движений, которые, к тому же, ведут к многочисленным приложениям.

Значение теории групп в современной математической науке и ее приложениях определяет значение и место элементов теории групп в программе факультативного курса по математике в средних школах: программа факультатива предусматривает более глубокое овладение рядом специальных понятий, которые в основном курсе математики либо совсем не изучаются, либо изучаются, но в недостаточно полном объеме, не связанном определенной системой. Разработанная нами программа факультатива предполагает, также, знакомство учащихся с группами симметрий некоторых многогранников.

Изучение прикладных вопросов групп симметрий позволяет сделать более полным важный в отношении задач профессионального самоопределения соответствующий раздел факультатива и усилить прикладную, практическую направленность содержания математического образования школьников.

Формирование у учащихся представления о группе занимает важное место в школьном курсе математики, но входит в него в неявном виде (числовые группы и группы движений). Изучение приложений групп симметрий на факультативных занятиях имеет большое методологическое значение, так как дает возможность учащимся взглянуть с единой точки зрения на самые различные явления природы и производства и, тем самым, предохраняет учащихся от «кусочности» в знаниях.

Наряду с теорией групп богатые возможности для решения, как общих образовательных задач, так и задач воспитания и развития учащихся заключают в себе вопросы, связанные с изучением многогранников.

Данная тематика имеет яркую историю; развитую теорию; широкие практические приложения, в частности, в естествознании - в кристаллографии. Тема отличается занимательностью, математической красотой, высоким эстетическим потенциалом [117].

Анализ состояния математических факультативов в школах показал, что там, где они проводятся, к сожалению, не обращается должного внимания прикладной и практической направленности материала факультатива; учителя школ отмечают, что они испытывают трудности в проведении факультативных занятий, так как не имеют разработок факультативов прикладного характера, в основе которых лежат фундаментальные математические теории, например, теория групп.

В настоящее время выполнен ряд научных исследований по общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных занятий.

Среди них математическим факультативам посвящены работы Н.В.Аммосовой [7], Л.С.Атанасяна [5], Ашкын Суата [6], С.В.Бабаджаняна [8], Н.Н.Ивановой [52], И.Кадырова [54], М.С.Маскиной [83], В.М.Монахова [88], И.И.Позднякова [98], М.Е.Сангаловой [111], И.М.Смирновой [117],

B.Д.Степанова [120], И.Ф.Шарыгина [132], В.В.Фирсова, О.А.Боковнева,

C.И.Шварцбурда [128] и др.

Они отмечают, что факультативные занятия служат не только приобщению большого числа учащихся к углубленному изучению математики, но и важным средством индивидуализации обучения.

Без факультативных занятий трудно осуществить всемерное удовлетворение и развитие духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности.

Содержание и методика проведения факультативных занятий должна привлекать учащихся, что обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение [128, с.З].

В.М.Монахов рассмотрел проблемы и перспективы дальнейшего развития факультативных занятий в школе, отметив, что учащиеся должны иметь возможность использовать прикладную направленность изучаемого материала и, что усваиваемый учащимися математический аппарат должен обладать повышенной степенью операционности [88].

Некоторые исследования, посвященные конкретным факультативам, рассматривают математические факультативы по углубленному изучению отдельных разделов математики, в частности, теоретико-групповых, например, работы Г.А.Гинзбург [30], Ф.М.Рафиковой [105], Г.М.Бычковой [20], И.А. Барыбиной [12], Н.Н.Ивановой [52]. Другие исследования посвящены математическим факультативам прикладного характера, например, теории вероятностей (В.В.Фирсов [127]), по осуществлению межредметных связей дисциплин естественно-математического цикла с помощью изучения векторов (С.В.Бабаджанян [8]), применение движений и групп движений в системе факультативов по математике (И.М.Смирнова [117], Н.В.Аммосова [7]), обучение элементам топологии (М.Е.Сангалова [111]), использование компьютерных технологий на математическом факультативе (Ашкын Суат [6]).

Схема настоящего исследования и подбор задач отличаются от схем и задач других авторов тем, что в данной работе описывается факультатив, способствующий формированию знаний, умений и навыков, адекватных основным научно-методическим линиям, понятийному аппарату теории и методики обучения математике: теории движений, теории симметрий, теории групп симметрий и их инвариантов; с другой стороны, разработанный факультатив призван помогать решению актуальных задач, стоящих перед школой, - формированию качеств всесторонне развитой личности.

Анализ выполненных исследований в связи с вопросом разработки содержания и методики проведения факультативных занятий, способствующих формированию познавательного интереса у учащихся, позволяет нам сделать следующие выводы: 1) все работы, базирующиеся на теоретико-групповых идеях, в основном, не ставили своей непосредственной целью выявление прикладной направленности рассматриваемого материала, возможностей обучения учащихся математической постановке практических задач; 2) содержание, предлагаемых авторами, факультативов состоит, в основном, из арифметического или алгебраического материала [96], [20]; геометрический материал в большинстве своем рассматривается на базе планиметрии для учащихся старших классов [51], тогда как привлечение пространственного материала чрезвычайно важно для развития пространственного мышления учащихся старших классов; 3) ни в одной работе не рассматриваются содержание и методика проведения факультативного курса по математике, посвященного изучению вопросов из теории групп с дальнейшим выходом на теорию инвариантов.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в старших классах с углубленным изучением математики, а его предметом — методическая система, включающая цели, содержание, средства, методы и формы развития у старшеклассников математического мышления.

Гипотеза исследования: если в основу развития математического мышления учащихся классов с углубленным изучением математики положить идеи теоретико-группового подхода и идеи симметрии, то это приведет к формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук, формированию научного мировоззрения, а также, формированию пространственного мышления, развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников, повышению качества их знаний, навыков и умений.

1. Выполнить анализ существующих подходов к введению элементов теории групп в школьный курс математики.

2. Исследовать возможности школьного курса математики для развития пространственных представлений учащихся.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методической системы.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; сравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; беседы с учителями о состоянии преподавания факультативных занятий в школе и о возможности проведения разработанного факультатива в старших классах с углубленным изучением математики; выяснение знаний учащихся о преобразованиях пространства, симметриях многогранников и о желании посещать факультативные занятия, на которых они познакомятся с элементами теории инвариантов; проведение эксперимента по проверке методических положений работы, статистические методы обработки его результатов.

Методологической основой исследования явились: структура личности и закономерности ее развития; концепции межпредметной и внутрипред-метной интеграции; основные положения теории деятельностного подхода в обучении математике (Ю.В.Варданян, В.А.Гусев, С.Н.Дорофеев, И.В.Егорченко, Т.А.Иванова, Л.С.Капкаева, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев и др.).

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики. Полученные результаты проанализированы и обработаны средствами математической статистики.

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли теоретико-групповых представлений в математическом образовании школьников, исследовании роли факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» при формировании целостных представления о пространственных фигурах на современном этапе развития образования, определении значимости факультативного курса в развитии логического, наглядно-образного и аналитического мышления старшеклассников, в выделении действий и приемов, позволяющих школьникам усвоенные на факультативе знания, умения и навыки использовать в самостоятельной деятельности.

Практическая значимость результатов исследования заключается в вооружении педагогов эффективным методическим обеспечением, на основе использования которого в практике школьной учебной деятельности у учащихся формируются представления о теоретико-групповых основах математических теорий, сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Реализация в процессе обучения математике принципа фундамента-лизации образования предполагает необходимость формирования у учащихся представлений о базовых, фундаментальных основах математики: математических структурах, теоретико-групповых основах математических теорий.

4. Внедрение в учебный процесс методики изучения специального факультативного курса, включающего: свойства движений пространства, историю правильных многогранников, приложения теории многогранников к изучению кристаллов, симметрий правильных многогранников, построение моделей групп вращений некоторых многогранников способствует повышению качества математических знаний, навыков и умений учащихся старших классов.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского (1999-2002гг.); на внутривузовской научно-методической конференции (ПГПУ им. В.Г.Белинского - февраль 2001г., март, 2002г.); на заседании научно-методического семинара «Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания в вузе и школе» (Пензенский государственный университет - октябрь 2002г., декабрь 2004г.); на заседании методического семинара «Инновационные технологии обучения математике (Пензенская государственная технологическая академия - апрель 2005г.); на заседании научно-методического семинара кафедры геометрии Московского государственного областного университета (апрель 2005г.); на заседании научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е.Евсевьева (май 2005г.).

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследована проблема разработки содержания и методики проведения факультативного курса по математике «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» на материале стереометрии для учащихся 10-11 классов с углубленным изучением математики. Раскрыта роль этого факультатива в повышении качества знаний учащихся, в более глубоком и • осознанном усвоении ими изучаемого материала, в развитии их познаватель-

ных интересов.

Достижению целей повышения качества знаний учащихся, приближения обучения к практике, развитию познавательного интереса школьников способствуют применение разнообразных методических приемов, использование большого набора задач, упражнений, практических работ и т.д., описываемых в работе.

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование позволяет сделать следующие основные выводы:

1. Содержание и методика проведения факультативного курса «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» характеризуются:

1) Непосредственной взаимосвязью с основным курсом геометрии.

2) Богатыми внутри - и межпредметными связями.

3) Яркими приложениями, подводящими к знакомству с современными задачами науки.

4) Обладанием математической занимательностью, в том числе математической красотой.

5) Широкими возможностями включения учащихся в различные формы самостоятельной работы, развития их творчества.

2. Разработанный факультативный курс «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» способствует решению образовательных, вос-

¥ питательных и развивающих задач обучения, повышению качества знаний

учащихся по предмету, уровня их воспитания и развития.

В данной работе рассмотрены лишь некоторые из возможных путей проведения факультативных занятий по математике, особенностью которых является углубленное изучение теорий, приводящих к разнообразным приложениям.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Колобов, Андрей Николаевич, Пенза

1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. - 1980. - №3. -С.56-62.

2. Александров П.С. Введение в теорию групп. - М.: Наука, 1980. - 144 с.

3. Атанасян JI.C., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. 4.1, 2. -М.: Просвещение, 1975. - 123с.

4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. 4.1, 2. М.: Просвещение, 1986.

5. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского: Книга для учащихся/ Л.С.Атанасян. -М.: Просвещение,2001.- 336с.

6. Ашкын Суат. Математический факультатив как одна из форм расширения использования компьютерных технологий. Дисс.канд. пед.наук. -М.,2003. — 186с.

7. Аммосова Н.В. Движения, группы движений и их приложения в системе факультативных курсов по математике в 8-10-х классах средней школы. Дисс.канд. пед. наук.-М., 1987. - 178с.

8. Бабаджанян С.В. Система изучения векторов на факультативных занятиях как пример осуществления межпредметных связей дисциплин естественно-математического цикла. - Дисс.канд. пед. наук. - 1970. - 192с.

9. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. - М.: Просвещение, 1985. - 208с.

10. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса: Методические основы. -М.: Просвещение, 1982. - 192с.

11. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. 4.1, 2. - М.: Просвещение, 1974. - 234с.

12. Барыбина И.А. Элементы современной алгебры на факультативных занятиях в средней школе. - Дисс.канд. пед. наук. - 1970. - 184с.

13. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. - М.: Наука, 1969.-379с.

14. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. - М.: Изд - во АПН РСФСР. - 1959. - 347с.

15. Божович JI.И. Познавательные интересы школьников и пути их изучения. - Изв. АПН РСФСР. - 1955, вып. 73. - С.3-14.

16. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. // Математика в школе. - 1982. - №2. - С.40-43.

17. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования. // Математика в школе. - 1988. - №3. -С.9-13.

18. Болтянский В.Г. Поворот и центральная симметрия. // Математика в школе. - 1989. - №6. - С. 108-120.

19. Брушлинский А.В. Проблемы психологии субъекта. М., 1994. — 154с.

20. Бычкова Г.Н. Методика изучения основных понятий современной алгебры и формирование понятий о предмете алгебры в восьмилетней школе.-Дисс.канд. пед. наук, 1975.- 193с.

21. Введение в психологию. / Под ред. А.В Петровского. - М., 1996.- 256с.

22. Вейль Г. Симметрия. -М.: Наука, 1968, - 192с.

23. Веннинджер М. Модели многогранников./ Пер. с англ. В.В. Фирсова; Под ред. и с послесловием И.М. Яглома. - М.: Мир, 1974. - 237с.

24. Викол Б.А. Формирование элементов исследовательской деятельности при углубленном изучении математики: Автореф. дисс.канд. пед. наук. -М.; 1977.-22с.

25. Виленкин Н.Я., Яглом И.М. Теория групп и школьная математика. - В кн.: Новое в школьной математике. - М.: Знание, 1972. — 200с.

26. Выготский Л.С. Развитие высших психических функций. - М.: Изд -во АПН РСФСР, 1960. - С.340-349.

27. Выготский Л.С. Педагогическая психология. — М., 1996. -210с.

28. С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1992. - 207с.

29. Гинзбург Г.А. Некоторые понятия общей алгебры /группы, кольца, поля/ в школьном курсе математики. - Дисс.канд. пед. наук, 1969. - 205с.

30. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. - М.: Просвещение, 1982. - 145с.

31. Гнеденко Б.В. Воспитание моральных принципов и математика // Математика в школе. - 1984. - №5. - С.6-10.

32. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современной мире. - М.: Просвещение, 1985. - 125с.

33. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 класс: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. - С. 162-175.

34. Гусев В.А., Тхамафокова С.Т. Преобразования пространства: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1979. - 95с.

35. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. - 1990. - №4. - С.27-31.

36. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Дисс.докт. пед. наук. -М., 1990. -452с.

37. Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии? // Математика в школе. - 2002. - №3. - С.4-8.

38. Дорофеев С.Н. Трудности методики обучения решению задач векторным методом и пути их преодоления. // Регионализация образования: проблемы, поиски, перспективы. Материалы межрегиональной практической конференции. - Пенза, 1997. - С.З89-391.

39. Дорофеев С.Н. Научно — методические основы формирования творческой активности будущих учителей математики: Монография. — М. — Пенза:- МПУ, 2000.-154с.

40. Дорофеев С.Н. Формы организации творческой деятельности на занятиях по геометрии: Уч. Пособие. - М. - Пенза: - МПУ, 2000. - 60с.

41. Дорофеев С.Н. Методы формирования творческой активности: Мето-дич. пособие. - М. - Пенза: - ЧП Попова, 2000. - 54с.

42. Дорофеев С.Н. Задачи в развитии творческих способностей: Методич. пособие. - М.- Пенза: - ЧП Попова, 2000. - 70с.

43. Дорофеев С.Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности: Монография. - Пенза: Информационно — издательский центр Пенз. Гос. Ун — та, 2002. - 218с.

44. Егорченко И.В. Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы. Дисс.доктора пед.наук.- Саранск, 2003.- 420с.

45. Ермолаев Н.К. О правильных многогранниках на занятиях кружка.// Математика в школе. - 1979. - №3. - С.73-74.

46. Желудев И.С. Симметрия и ее приложение. - М.: Атомиздат, 1976. -286с.

47. Захарова К.П. Система изучения начальных теоретико - групповых понятий в старших классах средней школы. - Дисс.канд. пед. наук., 1968.- 184с.

48. Иванова Н.Н. Развитие творческих способностей учащихся на основе системы факультативных курсов по геометрии (7-9 классы): Дисс. канд. пед. наук. - М.; 1982. - 206с.

49. Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования.-Нижний Новгород: Изд-во НГПУД998.- 206с.

50. Кадыров И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1983. — 64с.

51. Капкаева JI.C. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании: Монография / Мордов. гос. пед. ин-т.- Саранск,2004.- 287с.

52. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований /Эрлангенская программа/, 1872. - В сб.: Об основаниях геометрии. - М.: Гостехиздат, 1956. - С.399 - 434.

53. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени: Пер. с нем./ Под ред. А.Н. Тюрина. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1989.-336с.

54. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ: Пер. с нем./ Под ред. В.Г.Болтянского. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1987. -432с.

55. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т.2. Геометрия: Пер. с нем./ Под ред. В.Г. Болтянского. — 2-е изд. -М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1987. - 416с.

56. Колобов А.Н. Об инвариантах групп симметрий некоторых многогранников / Тезисы докладов научно-практич. конференции, посвящ. 60-летию Унив-та. - Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского. - 1999. — С. 32-34.

57. Колобов А.Н. К вопросу о формировании действий по распознаванию образа при обучении математике / Межвузовский сборник научных трудов. - Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского. - 2000. - С.19-22.

58. Колобов А.Н. Факультативный курс по математике как форма развития опыта творческой деятельности у учащихся / Тезисы докладов науч.-практич. конфер. - Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского. - 2001.-С.38-39.

59. Дорофеев С.Н., Колобов А.Н. Факультативный курс "Геометрические преобразования" как форма организации научной деятельности учащихся// Труды кафедры геометрии Московского государственного областного университета. Выпуск №1.-М.:МГОУ.-2005.- С.11-15.

60. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. - 1990. - №4. - С.21-27.

61. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1974. - 382с.

62. Комплексный подход к воспитанию школьников / Составители: Л.И.Филатова, Т.В. Сорокина / Под ред. Л.К. Балясной. - М.: Просвещение, 1982.-208с.

63. Краевский В.В. Методология педагогического исследования: Пособие для педагога - исследователя. - Самара, 1994. - 121с.

64. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968.-431с.

65. Крутецкий В.А., Лукин Н.С. Психология подростка. - М.: Учпедгиз, 1959.-239с.

66. Крутецкий Ю.Н. Психология обучения и воспитания школьников. -М., 1976.-214с.

67. Кузнецова Л.И. Симметрии пространства и их применение к решению задач. // Математика в школе. - 1976. - №3. - С.73-76.

68. Кулюткин Ю.Н. Творческое мышление в профессиональной деятельности учителя. // Вопросы психологии. - 1986. - №1. - С.21-25.

69. Леднев B.C. Содержание образования. - М., 1989. - 156с.

70. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. - М.: Политиздат, 1975.-304с.

71. Лернер И.Я. Качество знаний и их источники. - В кн.: Новые исследования в педагогических науках, №2 /30/. - М.: АПН СССР, 1977. - С.16-21.

72. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. - М.: Знание, 1980.- 160с.

73. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М., 1981.

74. Мантуров О.В и др. Толковый словарь математических терминов.- М.: Просвещение, 1965.- 121с.

75. Мантуров О.В. и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. 4.1,2. - М.: Просвещение, 1982. -351с.

76. Маскина М.С. Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах. Автореферат дисс.канд.пед.наук, Саранск.,2003, - 18с.

77. Махмутов М.И. Проблемное обучение. - М., 1975. - 175с.

78. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. - М., 1977.-214с.

79. Менчинская Н.А. Мышление в процессе обучения. - В сб.: Исследование мышления в советской психологии / Под ред. Е.В. Шороховой. - М.: Наука, 1966, С.354-387.

80. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я Саннинский/: Учеб. Пособие для студентов физ.-матем. фак-ов пед ин-тов. -2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Просвещение, 1980. - 368с.

81. Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике // Математика в школе. - №6. - 1981. - С.24-36.

82. Мясищев В.Н. Проблема отношений человека и ее место в психологии. -М.: Вопросы психологии, 1957, С. 142- 154.

83. Назиев А.Х. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в педагогических вузах. Автореферат дисс.доктора педа-гог.наук,- М.,2002г.- 38с.

84. Новиков С.М., Комский Д.М. Пути совершенствования факультативных занятий // Советская педагогика. - 1977. - №3. - С.28.

85. О факультативах по математике // Математика в школе. — 1987. - №4. — С.14-16.

86. Общая психология. /Петровский А.В., Брушлинский А.В., Хзинченко В.П. и др./: Под ред. А.В. Петровского. - М., 1986. - 314с.

87. Педагогика. /Под ред. Пидкасистого П.И./. - М., 1995. - 294с.

88. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. Теоретико — экспериментальное исследование. -М.: Педагогика, 1980.-240с.

89. Побережник И.Е. Формирование представлений об основных идеях современной алгебры в школьном курсе математики /на арифметическом материале/. - Дисс.канд. пед. наук. - Винница, 1972. - 185с.

90. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991.-384с.

91. Поздняков И.И. Педагогические основы факультативных занятий по математике в старших классах средней школы: Дисс. канд. пед. наук. — М.: 1971.-223с.

92. Пойа Д. Как решать задачу? - М.: Учпедгиз, 1961. - 56с.

93. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ.- 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1975. - 115с.

94. Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: Основные понятия, изучение и преподавание / Под ред. Яглома И.М. - М.: Наука, 1970.-452с.

95. Поташник М.М., Кабатченко М.В. Комплексный подход к воспитанию школьников. — М.: Просвещение, 1980. - 104с.

96. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. -М.: Учпедгиз, 1965.-200с.

97. Развитие творческой активности школьников. / Под ред. A.M. Матюшкина. -М: Педагогика, 1991. - 132с.

98. Рафикова P.M. Методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в средней школе. - Дисс.канд. пед. наук. — М., 1972. -213с.

99. Рубинштейн СЛ. Проблемы общей психологии. - М.: Педагогика, 1973.-426с.

100. Рубинштейн СЛ. Основы общей психологии: В 2-х томах. - М.: Педагогика, 1989. - 432с.

101. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования.- М.: Просвещение, 1981. — 112с.

102. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. — Саранск: Тип. «Краен. Окт.», 1999. - 208с.

103. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. -Саранск: Тип. «Краен. Окт.», 2001. - 144с.

104. Сангалова М.Е. Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе. Дисс.канд.пед.наук.-Арзамас,2003.-174с.

105. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики, 2-е изд. - М.: Педагогика, 1984. - 95с.

106. Скаткин М.Н. Методология и методика педагогических исследований (в помощь начинающему исследователю). - М., 1986. - 142с.

107. Сластенин В.А. Формирование творческой личности будущего учителя// Педагогическое образование. — 1973. - №3. - С.23-31.

108. Сластенин В.А., Филипенко Н.И. Профессиональная культура учителя. - М., 1993. - 65с.

109. Смирнов Г.Л. К вопросу о комплексном подходе к воспитанию // Советская педагогика. - 1976.-№12.-С.З-12.

110. Смирнова И.М. Многогранники и их приложения на факультативных занятиях в средней школе: Дисс.канд. пед. наук. - М.; 1987. -178с.

111. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учеб. пособие для 1011 классов естеств. — научн. профиля обучения. - М.: Просвещение, 2001. -239с.

112. Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей. / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. - М.: Просвещение, 1985.-303с.

113. Степанов В.Д. Вопросы организации и методики проведения факультативных курсов по математике в средней школе: Дисс.канд. пед. наук. - Казань: 1973. - 209с.

114. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. - М., 1983.- 136с.

115. Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средн.школе//Автореферат дисс.доктора пед.наук.- М.,1998.-37с.

116. Факультативные занятия в средней школе: Сб. статей / Под ред. М.П.Кашина, Д.А.Эпштейна. - М.: Педагогика, 1979. - Выпуск 4. - С.76-93.

117. Федоров Е.С. Начала учения о фигурах / Ред. с примеч. О.М. Ан-шелеса, И.М. Шафрановского, В.А. Франк-Каменецкого. - М.: АН СССР, 1953. -410с.

118. Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов: Основные работы./ Ред. А.В. Шубникова, И.И. Шафрановского. Симметрия правильных систем точек. - М.: АН СССР, 1949. - С.111-255.

119. Федоров Е.С. Правильное деление плоскости и пространства. -Л.: Наука, 1979.-272с.

120. Фирсов В.В. Некоторые проблемы обучения вероятностей как прикладной дисциплине. - Дисс.канд. пед. наук. -М., 1974. - 184с.

121. Фирсов В.В., Боковнев О.А., Шварцбурд С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике: Пособие для учителей / Под ред. и с пред. М.П. Кашина. - М.: Просвещение, 1977. - 48с.

122. Фирсов В.В., Шварцбурд С.И. Методы обучения на факультативных занятиях по математике. О совершенствовании методов обучения математике: Пособие для учителей: Сб. статей: Составитель В.С.Крамор. -М.: Просвещение, 1978.-С.75-82.

123. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики// Мат. Просвещение.- М.,1961, Вып.6. - С. 15-19.

124. Хинчин А.Я. Педагогические статьи / Под ред. Б.В. Гнеденко. -М.: АПН РСФСР, 1963. — С.17-18.

125. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. - М.: Наука, 1984. - / Библиотечка Квант. Выпуск 31.— 160с.

126. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. - JL: Недра, 1968. -184с.

127. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.-339с.

128. Щукина Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательных интересов учащихся. — М.: Педагогика, 1988. - 146с.

129. Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. - М., 1989.

130. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике.- М.: Учпедгиз, 1960.-169с.

131. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. - М.: Просвещение, 1986. — 174с.

132. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980. - 240с.