автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Симметрии и их применения в углубленном курсе алгебры и начал анализа

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Табачкова, Марина Юрьевна, 2002 год

Введение

Глава X. Теоретико-методические особенности изучения симметрий и их применений в курсе алгебры и начал анализа в классах с углубленным изучением математики

§1. Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы

§2. Методические основы изучения геометрических преобразований и симметричных фигур в классах с углубленным изучением математики

§3. Приемы учебной деятельности и теоретические основы организации системы задач при решении уравнений функциональными (основанными на свойстве симметрии графиков функции) методами

Выводы по главе

Глава 2. Симметрии и их применения

§1. Преобразования прямой.

§2. Симметрии графиков функций

§3. Инварианты и квазиинварианты функции и уравнения

§4. ^-инварианты функций и уравнения

Выводы по главе

Глава 3. Содержание и методика экспериментального обучения

§1. Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента

§2. Организация, проведение и анализ основных результатов обучающего педагогического эксперимента

§3. Организация, проведение и анализ основных результатов контрольного педагогического эксперимента.

Выводы по главе

Введение диссертации по педагогике, на тему "Симметрии и их применения в углубленном курсе алгебры и начал анализа"

Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения учащимися расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирования у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, выработку ориентации на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Реализация этих задач вновь делает актуальной проблему содержания математического образования. В последние годы признано, что включение в программу различных разделов высшей математики не всегда целесообразно. Это объясняется как отсутствием достаточного времени для рассмотрения этих разделов в необходимом объеме, так и недостижимостью должной логической строгости изложения в силу объективных трудностей, которые представляют для учащихся те или иные методы мышления, возрастные психологические возможности школьников.

Ведущие ученые А.К. Артемов, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Да-лингер, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, В.И. Крупич, P.A. Май-ер, В.И. Мишин, Г.И. Саранцев, H.A. Терешин и др. едины во мнении, что углубленное изучение математики должно происходить в основном через решение систем задач. Личный опыт работы в университете, анализ современной педагогической и методической литературы показывает, что многие студенты-первокурсники естественно-научных факультетов университета, в том числе и выпускники математических школ и классов, испытывают серьезные трудности прежде всего на первых этапах обучения при изучении математических теорий высокого уровня абстракций. Поскольку в классах с углубленным изучением математики обучаются, как правило, те дети, которые связывают свое будущее со специальностями, тесно связанными с математикой, то безусловно, еще в средней школе следует готовить их к преодолению вышеупомянутых трудностей.

Алгебра и начала анализа изучаются отдельно от геометрии, тем более изолированно изучаются числовая функция и геометрические преобразования, которые имеют одну основу - понятие отображения.

Идея введения понятия функциональной зависимости в школьные программы по математике была выдвинута более 100 лет тому назад. Одним из выдающихся математиков, возглавивших это движение, был немецкий математик Ф. Клейн. На I Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, он выступил с четкой программой реформы, являющейся продолжением его "Эрлангенской программы", среди важнейших принципов которой было положение о перестройке преподавания математики на основе развития функционального мышления путем пронизывания всего школьного курса математики идеей функциональной зависимости, в частности перестройке преподавания геометрии на основе геометрических преобразований [20].

Сторонниками введения в школьный курс математики функциональной зависимости были многие отечественные математики в том числе М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев, Н.И. Лобачевский, A.M. Ляпунов, A.A. Марков и т.д. Однако лишь через несколько десятилетий понятие функции вошло в школьный курс математики. Этому способствовали видные ученые-математики П.С. Александров, A.M. Маркушевич, А.Я. Хинчин. Реформа математического образования, осуществленная под руководством академика А.Н. Колмогорова в 70-е годы, позволила занять функциональной зависимости, как в алгебре так и в геометрии, достойное место.

Позднее в 80-90-ые годы учебники, изданные под руководством А.Н. Колмогорова, подверглись резкой критике, а использование учебников геометрии было признано неудачным. Однако мы полностью согласны с мнением Г.И. Саранцева, что "наиболее серьезная попытка подойти к проблеме отбора содержания обучения математике, отправляясь от структуры личности, закономерностей развития мышления, была предпринята А.Н. Колмогоровым при подготовке учебника геометрии . , идейному насыщению которого нет равных на сегодняшний день в мировой практике создания учебников геометрии" [90].

Вопросам методики изучения в средней школе функциональной зависимости и геометрических преобразований посвящено большое число исследований. Ими занимались почти все ведущие ученые методисты: В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, B.JI. Гончаров, И.П. Гурский, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, А.Н. Колмогоров, В.И. Крупич, П.К. Ку-чинов, Г.Л. Луканкин, Ю.Н. Макарычев, Н.Х. Розов, П.С. Моденов, A.C. Пархоменко, H.H. РогановскиЙ, Г.И. Саранцев, З.Я Скопец, H.A. Те-решин, P.C. Черкасов и др. Этим же вопросам посвящены диссертационные исследования В.А. Гуськова, Г.Л. Гукосяна, P.A. Майера, М.В. Ткачевой ([36], [33], [65], [123]) и др. Исследования главным образом касались следующих проблем: методики изучения функционального содержания школьного курса математики, раскрытия функциональной направленности школьного курса математики, в частности роли геометрических преобразований в построении школьного курса геометрии, преподавания функциональной зависимости (в частности геометрических преобразований), методики изучения элементов математического анализа и геометрических преобразований, формирования функциональных умений учащихся при решении алгебраических и геометрических задач, применение геометрических преобразований к доказательству теорем и задач на построение.

Но, несмотря на вышеизложенное, идея функционального подхода как объединяющая идея математики, полностью так и не реал и зов ана. Геометрические преобразования и числовая функция - две модели общего понятия отображения изучаются, вообще говоря, изолировано. Хотя общепризнано, что методика изучения геометрических преобразований должна быть ориентирована на подчеркивание идеи функции. Это отмечается почти во всех работах, посвященных проблемам преподавания геометрических преобразований, среди которых отметим работы Н.В. Аммосовой, A.B. Байдака, А.Н. Колмогорова, Г.И. Саранцева, Е.А. Семенко, А.Д. Семушина, A.A. Столяра, A.A. Ундуск, А.И. Фетисова ([7], [11], [56], [98], [101], [103], [112], [125], [129]) и др.

Многие ученые (Л.И. Кузнецова, Я.П. Понарин, Г.И. Саранцев и др.) отмечают определенные трудности в практике преподавания геометрических преобразований, как в усвоении понятий геометрического преобразования и симметричной фигуры относительно данного преобразования, так и в применении конкретных преобразований и симметричности фигур при решении задач.

Трудно усваиваются способы задания (определения) геометрических преобразований, действия над преобразованиями, определения обратного преобразования, симметричности и несимметричности фигуры относительно преобразования. Предлагая способы устранения этих трудностей, ученые-методисты отмечают ([98], [112], [103]), что они эффективно могут быть разрешены, используя функциональную точку зрения.

Однако до сих пор в школьном курсе математики функция не рассматривается как преобразование числовой прямой. Если же изучение геометрических преобразований начинать не с преобразований плоскости, а с преобразований прямой (в этом случае взаимно однозначные функции выступают как аналитические способы заданий преобразований числовой прямой), то эти трудности преодолеваются /достаточно легко. Кроме того появляется возможность демонстрации на простых примерах обогащения понятия геометрического преобразования в связи с ростом размерности пространства (переход от прямой к плоскости, от плоскости к пространству). Учитывая, что изучению функции уделяется в курсе алгебры и начал анализа достаточно большое время, имеется возможность ввести изучение геометрических преобразований прямой в этом курсе. Отметим также, что в курсе алгебры и начал анализа фактически затрагиваются вопросы геометрических преобразований плоскости при изучении способов построения графиков функции у = cf(ax + + исходя из графика функции у = f(x).

Таким образом, противоречие между потребностью реализации идей функционального подхода, как объединяющей идеи алгебры и начал анализа и геометрии и ее фактическим состоянием определяет актуальность проблемы обучения школьников симметрии и ее применениям в углубленном курсе алгебры и начал анализа.

Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования среднего математического образования посредством развития функциональной идеи, как объединяющей курсы алгебры и начал анализа и геометрии, отвечающей целям углубленного изучения математики, способствующей формированию логического, эвристического и алгоритмического типов мышления.

Цель исследования состоит в разработке методики обучения школьников симметрии и ее применениям в углубленном курсе алгебры и начал анализа.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в школах (классах) с углубленным изучением математики.

Предметом исследования являлись содержание, методы, формы, средства обучения симметрии и ее применениям в углубленном курсе алгебры и начал анализа.

Гипотеза исследования: если разработать содержание раздела "Симметрии и их применения", как объединяющего понятия функции и геометрических преобразований учащихся, обучающихся в школах (классах) с углубленным изучением математики, построить классы уравнений и задач, при решении которых использовались бы изучаемые симметрии графиков функций, разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами, создать систему соответствующих задач и внедрить это в практику, то качество знаний учащихся, как в алгебре так и в геометрии, повысится.

Достижение цели исследования и проверка сформулированной гипотезы предполагает решение ряда конкретных задач:

1. На основе анализа психолого-педагогической, методической и математической литературы исследовать целесообразность и возможность изучения симметрии графиков функций и методов их применения при решении уравнений в школах с углубленным изучением математики.

2. Ввести геометрические преобразования на прямой и на их основе определить симметрии графиков функций. Исследовать симметрии графиков основных элементарных функций.

3. Выделить специальные классы уравнений и разработать методы их решения на основе симметрий графиков функций; указать технологию конструирования таких уравнений.

4. Разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами, основанными на симметриях графиков функций.

5. Разработать систему задач, решаемых на основе симметрий графиков функций.

6. Провести экспериментальную проверку разработанной методики изучения раздела "Симметрии и их применения".

При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы, программ, учебников, методических пособий по теме и близких к теме исследования;

- изучение опыта работы учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики, с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования; опыта проведения конкурсных экзаменов в ведущие вузы страны и опыта проведения олимпиад по математике;

- исследование и анализ специальных классов уравнений, решение которых основано на использовании симметрии;

- организация и проведение факультатива "Симметрии графиков функций и их применение при решении уравнений" в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялся анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе было разработано содержание и структура раздела "Симметрии и их применения ", определена методика его изложения, разработаны приемы решения уравнений, на основе свойств симметрии и методика их обучения школьников, разработана система задач.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики.

Базой исследования явились старшие классы школы-лицея № 4 города Саранска и математический факультет Мордовского университета. Исследование проводилось с 1995 по 2000 г.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что в нем проблема обучения симметрии и ее применениям решена в контексте единства понятий функции и геометрического преобразования, а развитие функциональных приемов решения уравнений у учащихся -во взаимосвязи функциональной линии и линии уравнений.

Выделены классы уравнений, при решении которых используются стандартные (алгебраические) и нестандартные (основанные на свойстве симметрии) методы. Использование алгебраических методов в совокупности с функциональными наметило действенные резервы совершенствования методики обучения решению уравнений в углубленном курсе алгебры и начал анализа.

Теоретическая значимость результатов исследования заключается в обосновании целесообразности и возможности изучения в школах (классах) с углубленным изучением математики симметрий графика функции и способов их применения при решении уравнений; в выделении специальных классов уравнений и их решения на основе симметрий графиков функций; в создании системы задач и технологии их конструирования.

Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования разработанной методики изложения раздела "Симметрии и их применения" учителями школ с углубленным изучением математики на уроках и факультативах; в совершенствовании программы и учебных пособий для учащихся средних школ. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями педагогических институтов и университетов при подготовке лекционных и практических занятий по математическому анализу и геометрии.

Методологическую основу исследования составили работы по проблемам диалектического единства теории и практики; теории познания, образования и воспитания; теории развития личности, концепции дся-тельностного подхода.

Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций исследования подтверждаются достижениями математики и теоретическими разработками в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике, результатами работы в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики преподавателей математического факультета Мордовского государственного университета, положительной оценкой методических материалов методистами, учителями, работающими в классах с углубленным изучением математики, проведенным экспериментом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Изучение раздела "Симметрии и их применения" в курсе алгебры и начал анализа позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формирует умение решать задачи, ориентирует на профессии, связанные с математикой.

2. Использование функциональных приемов предполагает конструирование специальных классов уравнений (f(g(x)) = f(h(x)), /($(*)) + /(М*)) = f{9{x)) = <р(Жх)))> где /(*), д(х), h(x) - некоторые функции, причем график функции f{x) симметричен относительно преобразования координатной плоскости, при котором точка (х\у) переходит в точку (ф{х) \ р{х)) и других задач, допускающих стандартное (алгебраическое) и нестандартное (основанное на свойстве симметрии) решения.

3. Методика обучения решению уравнений нестандартными методами основывается на приемах, учитывающих симметрии графика функции f(x) и вид уравнения.

На защиту также выносятся: специальные классы уравнений и других задач, позволяющих осуществить переход от традиционных способов решения к функциональным (на основе свойства симметрии); технология конструирования таких задач, которая может быть использована учителями школ (классов) с углубленным изучением математики; система учебных задач.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде докладов и выступлений на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и кафедры общей математики Мордовского университета (1994-1999 г.), на научных конференциях университета (1995-1997 гг.), на Всероссийской научной конференции (Саранск, 1998 г.), на межрегиональных научных конференциях (Киров, 1998 г., Вятка, 1998 г.), а также в форме занятий в школе-лицее № 4 и классах с углубленным изучением математики, практикума по решению задач со студентами математического факультета Мордовского университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Основное содержание изложено на 176 страницах машинописного текста. Библиография составляет 149 наименований.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 3

1) Проведенные эксперименты показали, что методика обучения нестандартным методам решения уравнений, основанным на использовании свойства симметрии, оправдана: ее использование дает значительно лучшие результаты при формировании таких умений, как умения решать задачи.

2) Выделенные классы уравнений /(д{х)) = /(Н(х)) и /(д(х)) + +/(/?(ж)) = 0 удобны для отработки навыков использования инвариантов и квазиинвариатов функций при решении уравнений учащимися. При этом технология составления задач доступна и учителю и учащимся, так как она основана на изменении функций д и Н. Класс уравнений /(д(х)) = </?(/(£(.г))) дополняет выше названные классы. Решение таких уравнений основано на использовании ^-инвариантов, которые являются обобщением понятий инвариантов и квазиинвариантов.

3) Предложенный в работе теоретический материал и система задач и внедрение их в практику школ (классов) с углубленным изучением математики дают возможность совершенствовать процесс обучения алгебре и началам анализа; позволяют установить тесную связь между алгеброй и геометрией; подготавливают учащихся к поступлению в вузы на физико-математические специальности и специальности, тесно связанные с математикой.

Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы и доказали, что разработанная методика формирует умения учащихся решать задачи на основе применения симметрии графиков функций, способствует развитию творческого мышления учащихся классов с углубленным изучением математики, позволяет систематизировать знания учащихся.

142

Заключение

Опыт работы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением математики в нашей стране говорит о том, что система создания таких школ и классов вполне себя оправдывает. Учащиеся этих школ - победители олимпиад, турниров городов, участники математических фестивалей; они чаще всего поступают в вузы с математической специализацией.

В настоящее время в России наблюдается следующая тенденция: с одной стороны, количество классов с углубленным изучением математики увеличивается, а с другой стороны - падает уровень подготовки выпускников таких классов за исключением ряда элитных математических школ Москвы, Санкт-Петербурга, Новосибирска и некоторых других городов страны. Подтверждение этому можно найти, проанализировав итоги независимой государственной аттестации выпускников указанных классов.

В то же время, анализируя базисный учебный план, можно заметить, что наметилась устойчивая тенденция снижения количества часов на преподавание математики. Это может коснуться и классов с углубленным ее изучением. Да и сейчас в ряде школ для так называемых математических классов времени, отводимого на изучение математики, меньше, чем в элитных математических школах. Решению проблемы повышения качества подготовки учащихся в классах углубленного изучения математики может способствовать содержание настоящей работы.

Сформулируем результаты и выводы, полученные в процессе исследования в соответствии с его целью и задачами.

1) Обоснованы возможность и целесообразность изучения преобразований прямой с функциональной точки зрения в курсе математики школ (классов) с ее углубленным изучением.

2) Специальные классы уравнений (/(д(х)) = /(Л(ж)), /(д(х))+ +/{1г(х)) = 0, Цд(х)) = <р(/^(х)))) позволяют осуществлять переход от стандартных методов решения к нестандартным, основанным на свойстве симметрии графиков функций; разработаны методы их решения; указана технология их построения.

3) Выделены приемы учебной деятельности учащихся, адекватные указанным классам уравнений.

4) Разработана система задач, решаемых на основе симметрии графиков функций.

5) Разработан и внедрен в практику обучения учащихся школ (классов) с углубленным изучением математики спецкурс "Симметрии графиков функций и их применение при решении уравнений".

6) Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы исследования и доказали, что изучение отобранного материала позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, способствует формированию умений учащихся решать задачи на основе применения симметрии графиков функций, позволяет систематизировать знания учащихся, ориентирует на профессии, связанные с математикой.

В итоге можно отметить, что наше исследование внесло ряд новых положений в разработку методики преподавания алгебры в классах с углубленным теоретическим и практическим изучением математики.

144

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Табачкова, Марина Юрьевна, Саранск

1. Агатипов А.Н. О некоторых видах "нестандартных" уравнений // Математика в школе. 1969. № 3. С. 49.

2. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. № 3. С.5.

3. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8-9 (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). М.: Просвещение, 1991. - 416 с.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 10-11 (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). М.: Просвещение, 1992. - 463 с.

5. Александров П.С. Научное содержание школьного курса алгебры // Математика в школе. 1946. № 5. С.21.

6. Аммосова Н.В. Движения фигур на плоскости, их приложения и композиция движений // Математика в школе. 1987. № 3. С. 25-29.

7. Аммосова Н.В. "Движения, группы движений и их приложения" в системе факультативных курсов по математике в 8-10 классах средней школы: Дис. . канд. пед. наук. М., 1987. - 212 с.

8. Аргунов Б.И. Преобразования плоскости. М.: Просвещение, 1976. - 79 с.

9. Арнольд В. Зачем мы изучаем математику? // Квант. 1993. № 1/2. С. 6.

10. Атанасян Л.О., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия 7-9 (учебник для 7-9 классов средней школы). -М.: Просвещение, 1992. 335 с.

11. Байдак В.А. Принципы построения оптимальной системы изучения свойств функции в школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М., 1971. 17 с.

12. Барчунова Ф.М., Денищева Л.О. Применение свойсв функций при решении уравнений // Математика в школе. 1992. № 6. С.11.

13. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. -М.: Наука, 1969. 379 с.

14. Башманов М.И. О решении уравнений и неравенств // Математика в школе. 1970. № 5. С. 45.

15. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. М., 1989. -191 с.

16. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967. 283 с.

17. Болтянский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задач // Математика в школе. 1988. № 1. С. 8-14.

18. Буслаева И.П. Методика формирования готовности учащихся старших классов к решению нестандартных математических задач: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1996. - 17 с.

19. Буфеев С. Авторская программа углубленного изучения математики для 8-11 кл. // Математика. Еженед. прилож. к газете "Первое сентября", 1996. № 48-49.

20. Бычков Б.П. Международное движение за реформу преподавания математики в средней школе // Кишинев, гос. ун-т им. В.И. Ленина. Кишинев: "Штиинца", 1975. - 135 с.

21. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. - 191 с.

22. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. - 318 с.

23. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для уч-ся 10 кл. школ с угл. из. мат-ки. М.: Просвещение, 1992. - 335 с.

24. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для уч-ся 11 кл. школ сугл. из. мат-ки. М.: Просвещение, 1993. - 288 с.

25. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1985. - 192 с.

26. Вступительные экзамены в вузы // Математика в школе. 1993. № 1. С. 40.

27. Вступительные экзамены в вузы // Математика в школе. 1990. № 1. С. 39.

28. Вульф Г.В. Симметрия и ее проявления в природе. М.: Сытин, 1908. - 135 с.

29. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. 1991. № 4. С. 68-71.

30. Глейзер Г.Д., Черкасов P.C. Центр творческих усилий педагогов // Математика в школе. 1993. № 5. С. 2-7; № 6. С. 2-5.

31. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

32. Груде!юв Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

33. Гукосян Г.Л. Развитие понятия функциональной зависимости в курсах арифметики и алгебры средней школы. Автореф. дис. . капд. пед. наук. Ереван, 1961. - 18 с.

34. Гурский И.П. Функции и построение графиков. Пособие для учителя. Изд. 3-е. М.: Просвещение, 1968. - 215 с.

35. Гуськов В.А. Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции в 8-летней школе. Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1984. - 18 с.

36. Гусев В.А. Методические основы дифференциального обучения математике в средней школе: Дис. . докт. пед. наук. М., 1990. 364 с.

37. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования -М.: Педагогика, 1986. 240 с.

38. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996. 544 с.

39. Демидов В.П., Саранцев Г.И. Методика преподавания математики. Учебное пособие для студентов. Саранск. 1976. 192 с.

40. Дидык Г.В. Содержание и формы углубленного изучения математики в старших классах: Дис. . канд. пед. наук. Киев, 1989. 175 с.

41. Дворянинов C.B., Розов Н.Х. Дробно-квадратическая функция в школьном курсе математики // Математика в школе. 1997. № 4. С. 50-58.

42. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990. № 6. С. 2-5.

43. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. № 7. С. 59-66.

44. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. 1978. № 2. С. 10-27.

45. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Суворова С.В., Фирсов В.В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. 1990. № 4. С. 15-21.

46. Епишева О.Б. Обучение и развитие учащихся в процессе препода-т вания математики // Математика. Еженедельное приложение кгазете "Первое сентября", 1997. № 4-5.

47. Епишева О.В., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

48. Желудев И.С. Симметрия и ее приложения. М.: Атом-издат, 1976. - 288 с.

49. Занков Л.В. Избранные педагогические труды. М.: Педагогика, , 1990. - 424 с.

50. Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М., 1978. - 128 с.

51. Землянский Ф.М. Структура и симметрия. Челябинск: Пед. институт, 1974. - 39 с.

52. Иванова Т.А. Как готовить уроки-практикумы // Математика в школе. 1990. № 6. С. 37-40.

53. Иванова Т.А. Гуманитаризация общего матеатического образова-> ния: Монография. Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998. 206 с.

54. Избранные задачи // Под. ред. В.М. Алексеева. М.: Мир, 1997. -597 с.

55. Клейман Я.М. Оси симметрии графиков функций // Математика в школе. 1972. № 3. С. 72.

56. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. 1965. № 4. С. 61.

57. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1: Математиче-^ ские задачи как средство обучения и развития учащихся. М.:1. Просвещение, 1977. 156 с.

58. Колягин Ю.М., Луканкин F.JI. Основные понятия современного школьного курса математики. Пособие для учителей / Под ред. А.И. Маркушевича. М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

59. Компанеед A.C. О симметрии. М.: Знание. 1965 - 46 с.

60. Компанеец A.C. Симметрия в микро-макромире. М.: Наука, 1978. - 208 с.

61. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников -М.: Просвещение, 1968. 416 с.

62. Кузнецова Л.И. Симметрии пространства и их применение к решению задач // Математика в школе. 1976. К® 3. С. 73-76.

63. Кузнецова Л.В. О взаимосвязи курсов алгебры и геометрии. В кн.: Преподав, алгебры в 6-8 кл. / Сост. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. - М.: Просвещение, 1980. С. 204-217.

64. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М., 1980. -96 с.

65. Майер P.A. Система задач с функциональным содержанием в курсе алгебры в восьмилетней школы. Автореф. дис. . канд. пед. наук. Енисейск, 1972. - 18 с.

66. Макшинский С.М. Роль принципа симметрии в реализации межпредметных связей курсов физики и математики средней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1992. - 19 с.

67. Матилова A.B. К вопросу о профессиональной подготовке учителей математики// Проблемы гуманизации математического образования в школе и вузе: Межрегиональная конференция: Тез. докл.- Саранск: МГПИ, 1995. С. 75.

68. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. соврем, методики математики. Мн.: Университетское, 1989. - 160 с.

69. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пеД. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М, Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский.- 2-е изд. М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

70. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

71. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин и др. М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

72. Мещерякова С.И. Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики: Дис. . канд. пед. наук. Саранск, 1997. 182 с.

73. Мишин В.И. Учитесь обучать решению геометрических задач. М.: Московский институт повышения квалиф. работ, образов. 1993.- 56 с.

74. Мишин В.И. К вопросу о методе симметрии в школьном курсе геометрии. Ученые записки МЗПИ вып. 8, 1962, С. 159-162.

75. Моденов П.С., Пархоменко A.C. Геометрические преобразования. М., Изд. Моск. ун-та, 1961. 232 с.

76. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. М.: Школа - Пресс, 1995. -80 с.

77. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. № 6. С. 28-33.

78. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математическиеолимпиады. Задачи, решения, итоги. Пособие для учащихся/ 3-е изд., испр. и доп. М.: Просвещение, 1971. - 254 с.

79. Обучение и развитие: Экспериментально- методические исследования/ Под ред. JI.B. Занкова. М.: Педагогика, 1975. - 440 с.

80. Олехник С.Н., Потапов М.Н., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. М.: МГУ, 1991. - 144 с.

81. Пидкасистый П.И. Организация деятельности ученика на уроке. М.: Знание, 1985. - 80 с. - (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология"; 3/1985).

82. Погорелов A.B. Геометрия: Учебн. пособие для 6-10 кл. средней школы. М.: Просвещение, 1982. - 335 с.

83. Прогностическая концепция целей и содержания образования / Под ред. И.Я. Лернера, И.К. Журавлева. М., 1994. 131 с.

84. Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. Сборник 2, ч. 1. М.: Просвещение, 1990. - 158 с.

85. Программы общеобразовательных учреждений. ЛГагематика. М.: Просвещение, 1994. - 240 с.

86. Развитие общих учебных умений и навыков: Рекомендации Министерства просвещения СССР // Воспитание школьников. 1984. № 4. С. 64-69.

87. Размас P.A. О связи исследования функций с решением уравнений и неравенств // Математика в школе. 1979. № 4. С. 40.

88. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учебное пособие Мн.: Выш. шк., 1990. - 267 с.

89. Розов Н.Х., Дворянинов C.B. Некоторые замечания об изучении функций в школе // Математика в школе. 1994. № 5. С. 27.

90. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995. № 5. С. 36-39.

91. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

92. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования. М.: Просвещение, 1981. - 112 с.

93. Саранцев Г.И. Методика изучения отображений в курсе геометрии восьмилетней школы: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

94. Саранцев Г.И. Из опыта изучения гомотетии // Математика в школе. 1975. № 1. С. 35-38.

95. Саранцев Г.И. Один из подходов к совершенствованию содержания обучения геометрии в средней школе // Новые исследования в педагогических науках / Академия пед. наук СССР. М., 1979. № 2. С. 54-57.

96. Саранцев Г.И. Изучение осевой и центральной симметрии на внеклассных занятиях // Математика в школе. 1971. № 1. С. 75-79.

97. Саранцев Г.И. Изучение параллельного переноса и поворота на внеклассных занятиях // Математика в школе. 1971. № 4. С. 7579.

98. Саранцев Г.И. Система задач на геометрические преобразования в курсе математики восьмилетней школы: Дис. . канд. пед. наук. М., 1971.-280 с.

99. Сборник задач киевских математических олимпиад. В.А. Вышен-ский, Н.В. Каргашов, В.И. Михайловский, М.И. Ядренко. Киев: Вища школа, 1984. - 240 с.

100. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие / Под ред. М.И. Сканави. 3-е изд., М.: Высшая школа, 1978. - 519 с.

101. Семенко Е.А. Обучение теме "Движение плоскости" с использованием понятия группы в классах с углубленным изучением математики: Дис. . канд. пед. наук. С.-Петербург, 1994. 165 с.

102. Семенов В.Е. О решении некоторых тригонометрических уравнений // Математика в школе. 1969. № 2. С. 46.

103. Семушин А.Д. О преподавании математики в восьмилетней школе М., Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1961. 176 с.

104. Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям. М.: Наука, 1971. - 368 с.

105. Симметрия, инвариантность, структура. / Под ред. B.C. Готта. -М.: Высш. шк., 1967. 338 с.

106. Система, симметрия, гармония. М.: Мысль, 1988. - 315 с.

107. Скаткин М.Н. О принципах обучения в советской школе. // Сов. педагогика, 1950. № 1. С. 27-44.

108. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. Киев: Рад школа, 1983. - 192 с.

109. Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Дис. в форме на-учн. докл. . докт. пед. наук. М., 1987. 47 с.

110. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дис. . докт. пед. наук. М., 1994. 364 с.

111. Стандарт среднего математического образования (проект для обсуждения) // Математика в школе. 1993. № 4. С. 10-23.

112. Столяр A.A. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. 1990. № 6. С. 5-7.

113. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание, 1983. - 96 с. - (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология"; 3/1983).

114. Табачкова М.Ю. Инварианты функций и уравнения // Тез. докл. науч. конф. "XXIV Огаревские чтения." Ч.З. Саранск: Мордовский ун-т, 1995. С. 23-24.

115. Табачкова М.Ю. Симметрии графиков функций и уравнения вида f(g(x)) = f(h(x)) // Тез. докл. перв. конф. молод, уч. Морд. гос. ун-та. Саранск: Мордовский ун-т, 1997. С. 118.

116. Табачкова М.Ю. ^-инварианты функций и нетрадиционные приемы решения уравнений // Тез. докл. перв. конф. молод, уч. Морд, гос. ун-та. Саранск: Мордовский ун-т, 1997. С. 116.

117. Табачкова М.Ю. Симметрия в алгебре // Тез. докл. перв. конф. молод, уч. Морд. гос. ун-та. Саранск: Мордовский ун-т, 1997. С. 131.

118. Табачкова М.Ю. Нетрадиционные методы решения уравнений // Актуальные проблемы преподавания математики. Саранск: Министерство обр. РМ, МРИПКРО, 1998. С. 35-39.

119. Табачкова М.Ю. Симметрии графиков функций и нестандартные методы решения систем уравнений // Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и педвузе: Всероссийская конференция: Тез. докл. Саранск: МГПИ, 1998. С. 169-170.

120. Тарасов JI.B. Этот удивительный мир. М.: Просвещение, 1982. -176 с.

121. Теоретические основы содержания общего среднего образования /

122. Под ред. B.B. Краевского, И.Я. Лернера. М.: Педагогика, 1987. -352 с.

123. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. 1993. № 4. С. 3-9.

124. Ткачева М.В. Формирование функциональных умений учащихся: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1987. - 16 с.

125. Тыщенко O.A. Структуирование учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1997. - 19 с.

126. Ундуск A.A. Формирование понятия функции и установление ее связей с некоторыми другими понятиями курса математики средней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Л., 1971. - 21 с.

127. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. М.: Мысль, 1974. - 229 с.

128. Узоры симметрии / Под ред. М. Сенешаль и Дж. Флека. М.: Мир, 1980. - 269 с.

129. Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов (сб. статей 18881896 гг.) М.-Л.: АН СССР, 1940. - 285 с.

130. Фетисов А.И. Геометрические преобразования в курсе элементарной геометрии в средней школе // Математика в школе. 1962. № 4. С.50

131. Фоминых Ю.Ф. Теоретические основы развития научного мировоззрения учащихся средней школы в системе математического образования: Дис. . докт. пед. наук. М., 1993. 322 с.

132. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 208 с.

133. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о психологии. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

134. ЧирскиЙ В.Г., Шевгулидзе Е.Т. Уравнения элементарной математики. Методы решения. М.: Наука, 1992. - 176 с.

135. Чучаев И.И., Мещерякова С.И. Уравнения вида /(д(х)) ~ /(1г(х)) и нестандартные методы решения // Математика в школе. 1995. № 3. С. 48-54.

136. Чучаев И.И., Табачкова М.Ю. Симметрии графиков функций и уравнения // Математика в школе. 1997. № 6. С. 77-80.

137. Чучаев И.И., Табачкова М.Ю. Симметрия в углубленном курсе алгебры и начал анализа // Проблемы соврем, математ. образования в педвузах и школах России: Межрегиональная конференция: Тез. докл. Киров, 1998. С.159-160.

138. Чучаев И.И., Табачкова М.Ю. Симметрии графиков функций в курсе алгебры и начал анализа // Подготовка будущего учителя к работе в классах с углубленным изучением математики: Межрегиональная конференция: Тез. докл. Калуга, 1998. С.134-135.

139. Шафроновский И.И. Симметрия в природе. Л.: Недра, 1968. -184 с.

140. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 классов средней школы. М: Просвещение, 1989. - 252 с.

141. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов средней школы. М: Просвещение, 1991. - 383 с.

142. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 293 с.

143. Шубников A.B. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. -М.: АН СССР, 1951. 172 с.

144. Шунда H.H. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств // Математика в школе. 1970. JV« 3. С. 61.

145. Элиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. М.: Мир, 1983. - т. 1 - 368 с.

146. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. М.: Просвещение, 1997. - 317 с.

147. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. М.: Мир, 1987. - 224 с.

148. Яглом И.М. Геометрические преобразования и их роль в преподавании геометрии // Математика в школе. 1960. № 6. С. 20-31.

149. Яглом И.М. О школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1968. № 2. С. 55-56.

150. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. М., 1996. 96 с.