Факультативный курс "неевклидовы геометрии" как средство реализации развивающей функции школьного математического образования

Титова, Наталья Владимировна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Факультативный курс "неевклидовы геометрии" как средство реализации развивающей функции школьного математического образования

Автореферат

Автор научной работы: Титова, Наталья Владимировна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Пенза
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Факультативный курс "неевклидовы геометрии" как средство реализации развивающей функции школьного математического образования"

На правах рукописи

ТИТОВА Наталья Владимировна

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС "НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ" КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ РАЗВИВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

13.00.02. Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск - 2006

Работа выполнена на кафедре теории и методики обучения математике ГОУ ВПО «Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского».

Научные руководители: доктор педагогических наук,

профессор Родионов Михаил Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Горшкова Любовь Степановна

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, доцент Егорченко Игорь Викторович,

кандидат педагогических наук,

доцент Харитонова Ирина Владимировна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Калужский государственный педагогический университет имени К.Э. Циолковского"

Защита состоится ** "У " И^ЯЁ^иЯ- 2006 г. в 4Ъ.СО часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени М.Е. Евсевьева по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а, ауд. 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М.Е. Евсевьева.

Автореферат разослан " 19" СШШЛ^1Л2006 г.

Ученый секретарь ^

диссертационного совета — Л.С. Капкаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время математика занимает особое положение в ряду базисных направлений развития личности учащегося и, в частности, развития его мышления. Именно математическое образование, характеризующееся рядом специфических особенностей, таких, как относительно высокий уровень абстракции рассматриваемого понятийного аппарата; диалектическое сочетание строгих логических умозаключений и правдоподобных рассуждений; ведущая роль задач, при решении которых используются различные компоненты поисковой деятельности; наличие возможности описания изучаемых фактов и закономерностей в терминах различных "математических языков", обладает весьма значительным потенциалом для развития творческих компонентов интеллекта человека, его способности к продуктивной деятельности, логическому и абстрактному мышлению, его сознания и самосознания, то есть всего того, что помогает личности в самых различных обстоятельствах проявить свою неповторимую индивидуальность.

Анализ развивающих возможностей математического содержания представлен в трудах таких известных математиков и педагогов, как

A.Д. Александров, Ж. Адамар, Г. Вейль, А. Пуанкаре, А .Я. Хинчин, Д. Пойя, В .А. Гусев, Т.А. Иванова, В.А. Крутецкий, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев,

B.А. Тестов, В.В. Фирсов, JI.M. Фридман, П.М. Эрдниев и многие другие. В этих работах подчеркивается, что содержание образования, направленное на формирование личности ученика средствами математики, может быть установлено лишь с учетом специфики творческой математической деятельности, и, в частности, ее структуры и качественного своеобразия.

Вместе с тем, многие авторы указывают на то, что традиционное содержание математического образования, изначально сориентированное на приобретение школьниками зафиксированного в соответствующих нормативных документах набора знаний, умений и навыков, не может полностью обеспечить эффективное формирование всех компонентов мышления в целостной структуре личности.

C.И. Шварцбурд, И.Ф. Шарыгин, М.А. Шубин, Л.А, Эпштейн и др., а также диссертационные исследования, посвященные, как общим вопросам

содержания, организации и проведения факультативных и внеклассных занятии, так и содержанию и методике изучения отдельных вопросов на факультативных занятиях (Н.В. Аммосова, Ашкын Суат, C.B. Бабаджанян, И.А. Барыбина, Г.Н. Бычкова, Г.А. Гинзбург, Н.П. Жукова, Н.Н. Иванова, А.Н. Колобов, И.В. Кузнецова, А.Т. Лялькина, Т.Г, Макаровская, С.М, Новиков, П.К. Одинцов, И.И. Поздняков, Ф.М. Рафикова, М.Е. Сангалова, Г.А. Симановская, В.Д. Степанов, З.А. Шилова, А.П. Шихова и др.).

В этих работах раскрывается преимущество факультативов в плане развития внутреннего потенциала учащихся, создания условий для их самореализации и саморазвития, организации индивидуального подхода к каждому учащемуся с учетом его способностей и потребностей. Однако, в организации факультативных занятий есть еще и нерешенные проблемы, связанные, в частности, с вопросом о том, какие именно компоненты мышления могут быть целенаправленно актуализированы на том или ином математическом содержании и какая методическая поддержка учащимся должна быть при этом оказана. В числе таких компонентов особое место занимает возможность восприятия человеком впечатлений, не соответствующих или даже противоречащих имеющимся у него сложившимся представлениям, которые он изначально оценивал как единственно правильные и очевидные. Наличие такой возможности, называемой различными авторами латеральным (Э. Боно), толерантным (М.А. Холодная) или дивергентным (Дж. Гилфорд) мышлением, в основном обнаруживает себя в ситуациях, для которых характерна неопределенность, двусмысленность, обеспечивая актуализацию особых способов организации интеллектуального поведения в условиях искусственно сконструированного "нарушения" "нормального" отражения действительности. Рассматриваемое качество мышления, по мнению М.А. Холодной, является достаточно валидным показателем уровня интеллекта человека, его открытости познавательным контактам с противоречиями окружающего мира и способности гибко реагировать на постоянно изменяющиеся условия реальности.

В качестве математического содержания, являющегося основой факультатива для старшеклассников соответствующей направленности, могут быть избраны элементы неевклидовых геометрий, которые можно рассматривать, как формальные или полуформальные представления альтернативных пространств ("воображаемых миров") по отношению к привычному для нас евклидову пространству, выводящие учащихся за пределы непосредственного чувственного восприятия.

Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, АЛ. Вернер, Н. Гайбулаев, И.С. Герасимова, Е.А. Ермак, П.В. Мартиросян, H.A. Масалкина, Б.А. Розенфельд, Т.И. Салматова, Е.Е. Семенов, A.B. Силин, П.И. Совертков, С.А. Франгулов, Г.Г. Шеремет, H.A. Шмакова и др.). В этих работах показывается, что ознакомление школьников с фактами неевклидовых геометрий, и, прежде всего, геометрией Лобачевского, позволяет существенно усилить логический (новая аксиоматика геометрии), познавательный (изучаются примеры неевклидовых геометрий), исторический (показывает роль великих математиков в развитии науки), прикладной (открывается математическая основа теории относительности), философский (формируются представления о геометрии реального физического пространства) и общекультурный компоненты школьного математического образования. Вместе с тем, в известных нам работах в недостаточной мере оказался затронут развивающий аспект рассматриваемого содержания, и, в частности, не выделены достаточно объективные параметры, которые могли бы служить критериальной основой для оценки характера развития школьников в ходе изучения данного содержания; не определен комплекс основных методических условий достижения этих параметров в реальной учебной практике; недостаточно "выпукло" представлено своеобразие работы школьников по поиску решения задач из содержательного тезауруса неевклидовых геометрий.

Таким образом, актуальность предлагаемого диссертационного исследования обусловлена сложившимся к настоящему времени противоречием между большим развивающим потенциалом материала о неевклидовых геометриях и слабой ориентацией базового и факультативных геометрических курсов соответствующей тематики на полноценную актуализацию данного потенциала в реальной школьной практике. Разрешение данного противоречия составляет основную проблему исследования.

Цель исследования заключается в педагогическом обосновании структуры и содержания факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии" и разработке теоретически обоснованной и экспериментально проверенной методики обучения.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии на факультативных занятиях в старших классах средней школы.

Предметом исследования являются теоретические основы и методические условия организации факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии".

Гипотеза исследования: эффективная актуализация развивающего потенциала математического образования может быть осуществлена в рамках специально разработанного факультативного курса "Неевклидовы геометрии", удовлетворяющего следующим требованиям;

- содержание материала факультатива естественным образом увязано с фактами и закономерностями базового курса геометрии;

- характер используемых методов предусматривает альтернативное рассмотрение и последующее сопоставление изучаемых "единиц содержания" (понятий, фактов, теорем, задач) с позиций евклидовой и неевклидовых геометрий;

- обеспечена возможность для проявления учениками готовности к реализации творческого поиска в режиме относительно свободной познавательной позиции.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

• уточнить роль и место факультативных занятий в системе математического образования;

• исследовать возможности раздела "Неевклидовы геометрии" в плане усиления развивающей составляющей школьного математического содержания;

• выявить систему условий, обеспечивающих эффективное изучение факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии" в старших классах средней школы;

• разработать содержание и структуру факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии";

• разработать стратегию поиска пути решения задач неевклидовых геометрий;

• экспериментально проверить эффективность разработанной методики обучения старшеклассников элементам неевклидовой геометрии.

К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся:

- системный подход, основы которого заложены в трудах В.П. Кузьмина, В.Н. Садовского, А.И. Уемова, Э.Г. Юдина, М.И. Сетрова и др., а возможности реализации в методических исследованиях продемонстрированы в работах Ю.М. Колягина, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, М.И. Зайкина, В.А. Тестова и др.;

- методологические положения, определяющие развитие системы современного среднего и высшего математического образования в русле следующих направлений этого развития: фундаментализации, гуманитаризации и гуманизации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (А.Д. Александров, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, A.B. Гладкий, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, В.В. Орлов, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и др.);

- концептуальные идеи и принципы, имеющие основополагающее значение

для определения путей реализации развивающей направленности обучения математике на факультативных занятиях в школе, как в общеметодическом, так и в частно-методическом ракурсах (М.Б. Балк,

B.П. Березин, О.Л. Боковнев, Н.Я. Виленкин, С.Н. Дорофеев, О.Б. Епишева, М,П. Кашин, Л.М. Лоповок, В.М. Монахов, И.М. Смирнова, В.В.Фирсов, С.И. Шварцбурд, И.Ф. Шарыгин, Л.С. Атанасян, II.М. Бескин, ВТ. Болтянский, А.Л. Вернер, Е.Е. Семенов,

C.А, Франгулов и др).

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- теоретический анализ социально-философской, психолого-педагогической научно-методической и учебно-методической литературы в ракурсе темы исследования;

- -синтез, анализ, сравнение, обобщение, классификация, методы

описательной статистики;

- анализ организации процесса преподавания математики на факультативных занятиях в средней школе; лонгитюдные наблюдения за педагогической деятельностью учителей и учебно-познавательной деятельностью старшеклассников, посещающих факультативные занятия по математике;

- сравнительный анализ учебников и учебных пособий, учебных планов и программ по математике для факультативных курсов;

- проведение педагогических измерений (анкетирование, интервьюирование, тестирование, собеседования, анализ продуктов учебной деятельности старшеклассников, создание ситуаций свободного выбора);

- педагогический эксперимент по проверке эффективности методического обеспечения факультатива развивающей направленности "Неевклидовы геометрии";

- статистическая обработка результатов педагогического эксперимента (в соответствии с особенностями организации обучающего эксперимента был использован двусторонний критерий согласия х1 ~ Пирсона),

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе (2002-2003 гг.) осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, изучалось состояние рассматриваемой проблемы в школьной практике обучения математике.

На втором этапе (2003-2005 гг.) разрабатывались теоретические основы организации факультативного курса "Неевклидовы геометрии"; создавалось соответствующее методическое обеспечение этого курса; проводился констатирующий и поисковый эксперимент.

На третьем этапе (2005-2006 тт.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки разработанной методики, произведена интерпретация и обобщение его результатов, подведены итоги и осуществлена первоначальная экспертиза исследования.

Научная новизна выполненного исследования заключается в формулировке основных принципов, определяющих структуру и содержание факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии"; построении и исследовании структурно-логической модели данного курса, которая включает в себя критерии отбора содержания факультатива, педагогические предпосылки, принципы, методы, формы его эффективной организации, а также планируемые результаты обучения; определении специфики поисковой работы старшеклассников при решении задач неевклидовой геометрии.

Теоретическая значимость исследования заключается в раскрытии развивающей роли факультативного курса "Неевклидовы геометрии"; педагогическом обосновании содержания и структуры факультативного курса; определении возможностей расширения диапазона поиска пути решения и конструирования геометрических задач на основе идеи сопоставления и противопоставления фактов и закономерностей евклидовой и неевклидовых геометрий.

Практическая значимость результатов и рекомендаций, выработанных в ходе исследования, заключается в возможности их непосредственного использования учителями при организации и проведении факультатива "Неевклидовы геометрии", а также преподавателями педагогических вузов при разработке спецкурсов и спецсеминаров, направленных на подготовку студентов к проведению факультативных занятий в школе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Целенаправленное изучение элементов неевклидовых геометрий, изначально возникших как своеобразные альтернативы традиционной евклидовой геометрии, позволяет естественным образом усилить развивающий потенциал школьного математического образования в аспекте развития таких важных качеств поисковой математической деятельности, как способность к быстрой актуализации необычных ассоциативных связей; привития "чувства новизны"; умения видеть объект под новым "альтернативным" углом зрения, гибко переключаться с одних привычных действий на другие, легко перестраивать собственный фонд знаний в соответствии с требованиями задачи; формирования обобщенных способов действия, имеющих широкий диапазон переноса и применения к нетипичным частным случаям.

2. Возможность и эффективность полноценной реализации развивающей направленности факультатива "Неевклидовы геометрии"

определяется следующей системой принципов: альтернативности, соотнесенности, адекватного контроля, мотивационной обусловленности, незамкнутости и развивающего контекста обучения. Данные принципы лежат в основе структурно-логической модели указанного факультативного курса, представленной в тексте работы.

3. Представленная в диссертации методика работы с задачами неевклидовой геометрии имеет определенную специфику по сравнению с традиционным подходом, которая заключается в постоянном сопоставлении и противопоставлении обнаруживаемых в ходе поиска решения той или иной задачи фактов и закономерностей с соответствующими фактами, полученными при рассмотрении ее "евклидова аналога".

На защиту также выносится методическое обеспечение выдвинутых положений в виде учебного пособия "Неевклидова геометрия: факультативный курс для старшеклассников".

Достоверность и обоснованность полученных выводов обеспечивается внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их соответствием концепциям базисных наук, адекватностью используемого в исследовании методологического и методического инструментария его целям, предмету и задачам, результатами педагогического эксперимента.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов и выступлений на всероссийских научно-практических конференциях (Саранск, 2005 г.; Пенза, 2005 - 2006 гг.); на международных научно-методических конференциях (Пенза, 2004 г.; Тольятти, 2004 г.; Саратов, 2004 г.; Санкт - Петербург, 2004 -2005 гг.), а также на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Белинского (2002-2006 гг.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе апробации разработанного методического обеспечения курса "Неевклидовы геометрии" на факультативных занятиях в средней школе № 35 г. Пензы. Внедрение научных результатов осуществлялось также через подготовку учебного пособия, методических материалов и научных статей в сборниках различного ранга общим объемом более 7 п.л.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Как отмечается в многочисленных методических публикациях, в современной школе факультативные занятия призваны способствовать решению многих сложных педагогических задач: учет индивидуальных особенностей и склонностей учащихся при обучении математике, стимуляция интереса к ее изучению, достижение более высокого уровня математических знаний, расширение возможности применения индивидуальных методов работы, профессиональная ориентация старшеклассников, а также компенсация учебных планов и программ по базовому курсу математики, в настоящее время явно не обеспечивающих полноценную реализацию задекларированных целей обучения математике в школе.

Одной из ведущих функций системы факультативных занятий по математике, не нашедших пока достаточного отражения в методических исследованиях, является развивающая функция. Между тем, определенная автономность содержания факультативных курсов; относительная малочисленность группы учащихся, допускающая широкое применение индивидуальных методов обучения; уже сформированная в определенной мере познавательная самостоятельность школьников, посещающих факультатив, позволяет в значительной степени обогатить и усилить развивающие возможности школьного математического содержания.

Анализ развивающего компонента школьного математического содержания позволил выделить и охарактеризовать ряд важных качеств мышления, направленность на целенаправленное развитие которых, как показывает анализ литературы и собственные наблюдения за ходом учебного процесса, не приняла еще сколько-нибудь устойчивого характера ни в рамках базового, ни в рамках известных нам факультативных математических курсов. Данные качества, в совокупности называемые иногда "дивергентыостью" или разносторонностью мышления, проявляются, в частности, в следующих показателях:

1) Быстрота и естественность возникновения необычных ассоциативных связей; "восприимчивость к проблеме"; "чувство новизны", способность видеть объект под новым углом зрения, обнаруживать его на практике (толерантность и альтернативность мышления).

2) Способность переключаться с одних привычных действий на другие; легкость перестройки знаний в соответствии с требованиями задачи (гибкость и вариативность мышления).

3) Способность увидеть общее в частном; расширить область приложения результатов, полученных в результате разрешения проблем (широта и обобщенность мышления).

В качестве содержательного "полигона" для развития выделенных качеств мышления в работе был избран факультативный курс "Неевклидовы геометрии", содержание которого, с одной стороны, позволяет обогатить и усилить дидактические и воспитательные возможности традиционной евклидовой геометрии, изучающейся в базовом курсе, а с другой - привносит в геометрию идею альтернативности, то есть позволяет знакомить ученика с различными точками зрения на те или иные геометрические факты и закономерности, сопоставлять и противопоставлять различные поисковые идеологии, приучая его реализовывать собственное право на свободный выбор направления учебного поиска.

Так, например, рассматривая простейшую геометрическую конфигурацию базового курса геометрии (две пересекающиеся прямые) в рамках геометрии Лобачевского, можно сконструировать заданную ситуацию, "с традиционной точки зрения" противоречащую здравому смыслу.

Задача 1. Возьмем две прямые muí, пересекающиеся под некоторым острым углом oí (рис 1). Доказать, что прямую т можно спроектировать ортогонально на прямую I в виде некоторого конечного отрезка.

Действительно, для данного угла а найдется отрезок х=БА=5В> такой, что через точки А и В можно провести две прямые, п и р> параллельные прямой т в направлениях соответственно Вп и Ар и перпендикулярные прямой / (что следует из определения угла параллельности). Следовательно, прямая т проектируется на прямую I в виде отрезка АВ.

Неожиданность данного факта с точки зрения привычного для старшеклассников "евклидова восприятия" действительности, с одной стороны, вызывает их неподдельный интерес, а, с другой — приучает к осознанию потенциальной возможности существования альтернативных познавательных позиций.

В качестве основных критериев для отбора содержания факультатива "Неевклидовы геометрии" были избраны: значение для практической деятельности изучения смежных наук и продолжения образования;

Рис.1

интеллектуальный и общекультурный потенциал; соответствие возрастным и индивидуальным особенностям учащихся; внутренняя мотивированность содержания и возможность "деятельностного" его представления; внутренняя и внешняя преемственность изучаемых разделов н их методического обеспечения.

"Процессуальные" особенности факультатива определяются комплексом педагогических условий, к которым относятся: диалоговая форма обучения, поддержание благоприятного психологического климата, включение учащихся в систематический и последовательный процесс выполнения заданий поискового характера, а также оптимальное сочетание различных форм и методов организации учебного процесса.

Возможность полноценной реализации развивающей направленности факультатива "Неевклидовы геометрии" определяется следующей системой принципов: альтернативности, заключающегося в необходимости создания в процессе обучения возможности альтернативного рассмотрения и последующего сопоставления различных подходов к разрешению возникающих проблем; соотнесенности математического содержания, состоящего в обеспечении возможности постоянного сопоставления фактов и закономерностей в контексте евклидовой и неевклидовых геометрий; адекватного контроля, предусматривающего оценку не только самого факта выполнения задания, но и качественных особенностей процесса решения; мотивационной обусловленности, предполагающей соотнесение и дальнейшую интеграцию ситуативных и содержательно-смысловых мотивационных факторов, "заложенных" в рассматриваемом математическом содержании; незамкнутости, ориентирующего на подход к тому или иному фрагменту математического содержания как принципиально незамкнутому, допускающему расширение и восполнение (хотя бы потенциальное) за счет привлечения к анализу определенных внешних связей, как в рамках имеющегося образовательного континуума, так и вне этих рамок, и развивающего контекста обучения, обеспечивающего приоритет таких форм и методов изучения факультативного курса, при которых способы решения задач открываются самими учениками в ходе совместной и индивидуальной поисковой деятельности.

Указанные принципы легли в основу струкгурно-логической модели факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии", включающей в себя критерии отбора содержания факультатива, педагогические предпосылки, принципы, методы, формы его эффективной организации, а также планируемые результаты обучения: расширение когнитивно-идентификационного фонда (приобретение новых, знаний, умений, навыков); развитие поисковых умений старшеклассников, и углубление интереса к предмету.

МОДЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА "НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ1*

Схема 1

Критерии отбора содержания факультативного курса Дели математического образования Учет возможностей учащихся и удовлетворение их потребностей

Развитие мышления Продолжение образования Математическое моделирование Развитие мировоззрения Доступность Внутренняя мотивированность Преемственность

¿■.¿"УйШиЯг'1 № £НнС£К ¿,1 - 'г!.'. Восприятие ученика в качестве с>Сьекта активной познавательной деятельности Создание благоприятного психологического климата Включение учащихся в систематический и последовательный процесс выполнения творческих заданий

Альтернативности Соотнесенности Адекватного Незамкнутости Мотивационной Развивающего

контроля обусловленности контекста обучения

Выделе- Эврнсти-ние ческая опорных | беседа знаний

Самостоятельная работа пролонгированного характера

Объяснение и лекция учителя

Семинары

Дискуссии

"Мозговой

штурм"

Исследовательские проекты

Математические сочинения

Вторая глава начинается с обоснования содержания факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии" для старших классов средней школы, в которое с учетом выделенных в первой главе критериев были включены следующие вопросы: аксиоматический метод построения теории, абсолютная геометрия, теория параллельности, исследование проблемы пятого постулата Евклида, геометрия треугольника на плоскости Лобачевского, геометрия четырехугольника на плоскости Лобачевского, модели новой геометрии, построение теорий псевдоевклидовой и римановой геометрий.

Изучение каждого раздела целесообразно начинать с совместной актуализации необходимых сведений и постановки базовой проблемы. Новый материал вначале представляется учителем в лекционной форме, а его дальнейшее раскрытие предполагает варьирование эвристической беседы, организуемой в традиционном ключе, и групповой или индивидуальной самостоятельной работы. Текущий контроль усвоения осуществляется либо при проверке индивидуальных заданий, либо при защите рефератов. Итоговая проверка предусматривает написание контрольной работы.

В контексте проблемы исследования приобретает определенную специфику методика поиска пути решения геометрической задачи, которая в рамках неевклидовых геометрий предполагает постоянное сопоставление с уже рассмотренным в базовом курсе геометрии "евклидовым аналогом" (схема 2).

МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ ПО ПОИСКУ ПУТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ "НЕЕВКЛИДОВЫХ ГЕОМЕТРИЙ'*

Раскроем построенную схему более подробно.

На начальном этапе работы с задачей принятие некоторых задач и теорем геометрии Лобачевского может быть осуществлено на основе предварительного рассмотрения аналогичной задачи или теоремы базового курса геометрии. Разбирая эту задачу (теорему) и сопоставляя (и противопоставляя) актуализируемые факты с фактами геометрии Лобачевского (с помощью соответствующей таблицы), учащиеся относительно самостоятельно формулируют новую для них задачу (теорему) геометрии Лобачевского.

Пример:

1) Теорема базового курса: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

2) Теорема геометрии Лобачевского: Вписанный угол меньше половины дуги, на которую он опирается.

На следующем этапе актуализации ученик осуществляет самостоятельное целеполагание; апробирует отдельные ходы и процедуры, совершая скачки в логике рассуждений путем интуитивных догадок и предположений; строит гипотетическую модель будущего решения, постоянно соотнося ее с исходными параметрами.

Такие догадки и предположения также могут проистекать из актуализации "евклидового аналога", но с учетом возможных различий в привлекаемых эвристических процедурах. Так, например, при решении планиметрических задач базового курса геометрии очень часто используется построение окружности, описанной около треугольника, входящего в рассматриваемую геометрическую конфигурацию. Перенос же данного приема в процесс решения аналогичной задачи геометрии Лобачевского возможен лишь с определенными оговорками, поскольку сама возможность построения окружности, описанной около треугольника, зависит от факта принадлежности серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника пучку пересекающихся прямых.

Как известно, само по себе получение ответа задачи не означает завершения соответствующего цикла поисковой деятельности. В частности, учащийся здесь может попытаться выявить возможности переноса усвоенного способ действий на более широкий класс объектов, сопоставить этот способ с альтернативными приемами и методами и на данной основе определить его место в собственной системе смысловых координат. Например, упомянутая выше простейшая геометрическая конфигурация угла, вписанного в окружность, может стать в сознании ученика одной из узловых точек, фиксирующих возможность различного видения той или иной задачной ситуации, приучая его к "альтернативному восприятию" действительности.

Заключительным этапом диссертационного исследования явилась экспериментальная проверка выдвинутой гипотезы. Экспериментальное исследование проводилось с 2002 по 2006г. в средней школе №35 г. Пензы и

состояло из констатирующего, поискового и обучающего эксперимента. Эксперимент проводился в естественных условиях учебного процесса.

Результаты эксперимента свидетельствуют, что содержание предлагаемого факультативного курса "Неевклидовы геометрии" оказалось вполне доступным для успевающих учеников старших классов и эффективным в контексте рассматриваемой проблематики. Различие результатов выполнения учащимися контрольного и экспериментального классов специальной диагностической работы, построенной на материале базового курса геометрии, оказалось статистически значимым. Данный факт, наряду с отзывами учителей, использовавших экспериментальные материалы, и собственными наблюдениями за ходом изучения факультативного курса, подтверждает его значимость в контексте исследуемой проблемы.

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с целями и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного научно-методического исследования были решены все поставленные задачи и получены следующие результаты:

1. Показано, что одной из ведущих функций системы факультативных занятий по математике, не нашедших пока достаточного отражения в методических исследованиях, является развивающая функция. Определенная автономность содержания факультативных курсов; относительная малочисленность группы учащихся, допускающая широкое применение индивидуальных методов обучения; уже сформированная в определенной мере познавательная самостоятельность школьников, посещающих факультатив, позволяет в значительной степени обогатить и усилить развивающие возможности школьного математического содержания.

2. Выявлено, что существенный потенциал в плане развития гибкости и обобщенности мышления старшеклассников содержит в себе факультатив "Неевклидовы геометрии", который, выводя их за пределы непосредственного чувственного восприятия, привносит в обучение геометрии идею альтернативности, то есть позволяет знакомить ученика с различными точками зрения на те или иные геометрические факты и закономерности, приучая его реализовывать собственное право на свободный выбор направления учебного поиска.

3. Сформулированы принципы, обеспечивающие возможность полноценной реализации развивающей направленности факультатива "Неевклидовы геометрии" (альтернативности; соотнесенности математического содержания; адекватного контроля; мотивационной обусловленности; незамкнутости и развивающего контекста обучения). Указанные принципы легли в основу структурно-логической модели факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии", включающей в себя критерии отбора содержания факультатива, педагогические предпосылки, принципы, методы, формы его эффективной организации, а также планируемые результаты обучения.

4. Разработано содержание факультативного курса развивающей направленности "Неевклидовы геометрии", включающее в себя следующие вопросы: аксиоматический метод построения теории, абсолютная геометрия, теория параллельности, исследование проблемы пятого постулата Евклида, геометрия треугольника на плоскости Лобачевского, геометрия четырехугольника на плоскости Лобачевского, модели новой геометрии, построение теорий Римановой и псевдоевклидовой геометрий. Изучение каждого раздела должно начинаться с совместной актуализации необходимых сведений и постановки базовой проблемы. Новый материал вначале представляется учителем в лекционной форме, а его дальнейшее раскрытие предполагает варьирование эвристической беседы, организуемой в традиционном ключе, и групповой или индивидуальной самостоятельной работы.

5. Раскрыты особенности методики поиска пути решения задач неевклидовых геометрий, которая предполагает постоянное сопоставление с рассмотренным в базовом курсе геометрии "евклидовым аналогом". Такое сопоставление, подкрепляемое вопросами и "наводками" учителя, реализуется на этапах "принятия" задачи, поиска пути решения, рефлексивной проработки полученного решения, а также дальнейшего обобщения и развития исходной заданной ситуации.

6. Результаты проведенного педагогического эксперимента свидетельствуют о большом развивающем эффекте разработанных материалов в плане формирования альтернативности, гибкости, широты и обобщенности мышления старшеклассников. Причем сформированные в ходе факультативных занятий поисковые умения, соответствующие данным качествам, оказались функционально значимы по отношению ко всему геометрическому материалу и, в частности, материалу базового курса геометрии.

Все сказанное позволяет констатировать, что проблема настоящего исследования решена, а его цель достигнута.

Основные положения исследования отражены в следующих публикациях:

1. Горшкова Л.С., Титова, Н.В. Неевклидова геометрия: факультативный курс для старшеклассников: учебное пособие /Л.С. Горшкова, Н.В. Титова. - Пенза: ПГПУ, 2005. - 153 с.

2. Горшкова, Л.С., Титова, Н.В. Методические особенности организации факультативного курса по математике в контексте предпрофильной подготовки школьников (на примере курса "Неевклидовы геометрии" /Л.С. Горшкова, Н.В. Титова //Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: материалы всерос. науч.-практ. конф. "Артемовскне чтения". - Пенза: ПГПУ, 2005, — С. 55 - 57.

3. Титова, Н.В. Возможности изучения элементов геометрии Лобачевского в школе (постановка проблемы) /Н.В. Титова //Вестник молодых ученых: межвуз. сб. науч. трудов. - Пенза: ПГПУ, 2003. - С. 112114.

4. Титова, H.B. Возможности развития мышления школьников при изучении факультативного курса "Неевклидовы геометрии в схеме Вейля" /Н.В. Титова //Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвузовский сборник научно-методических работ. - Киров: Вят ГГУ, 2004. — С. 302 - 305.

5. Титова, Н.В. К вопросу о реализации межпредметных связей математики и физики в средней школе при изучении неевклидовых геометрий /Н.В. Титова //Актуальные вопросы преподавания физико-технических дисциплин: межвузовский сборник науч. трудов. - Пенза: ПГПУ, 2004. - С. 240 - 241.

6. Титова, Н.В. Подготовка будущих учителей к проведению факультативов по математике со школьниками / Н.В. Титова //Математика. Образование. Культура: сб. трудов по материалам I междунар. науч. кокф.; под ред. P.A. Утеевой. - Тольятти: ТГУ, 2004. - С. 165 - 167.

7. Титова, Н.В., Печникова, Н.В, Особенности профессионального мышления будущих учителей математики и его роль в организации учебной деятельности школьников /Н.В. Титова, Н.В. Печникова //Инициирование и формирование стратегических векторов развития образования: сб. науч. работ, представленных на междунар. заочную науч.-метод. конф. — Саратов: СГУ, 2004. -С.211-214.

8. Титова, Н.В. Изучение неевклидовых геометрий на факультативных занятиях как средство усиления развивающего потенциала школьного курса математики / Н.В. Титова //Проблемы теории и практики обучения математике: сб. науч. работ, представленных на междунар. науч. конф. "57 Герценовские чтения"; под ред. В.В. Орлова. - СПб.: РГПУ, 2004. -С.235 — 236.

9. Титова, Н.В. Профильная дифференциация как условие фундам е нтал изац ии математического образования /Н.В. Титова //Гуманизация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики в педвузе в условиях фундаментализации образования): сб. трудов по материалам всерос. науч. конф.; под ред. Г.И. Саранцева. — Саранск: МГПИ, 2005. - С.113 — 115.

10. Титова, Н.В. Развитие гибкости мышления на факультативных занятиях по математике в старших классах средней школы /Н.В. Титова //Вестник молодых ученых: межвуз. сб. науч. трудов. — Пенза: ПГПУ, 2005. — С.- 162-163.

11. Титова, Н.В. Роль и функции курса по выбору "Неевклидовы геометрии" в системе предпрофильной подготовки школьников / Н.В, Титова //Проблемы теории и практики обучения математике: сб. науч. работ, представленных на междунар. науч. конф. "58 Герценовские чтения"; под ред. В.В. Орлова. - СПб.: РГПУ, 2005. - С.224 - 225.

12. Титова, Н.В. Актуализация толерантного стиля мышления старшеклассников на факультативных занятия по математике / Н.В. Титова //Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: материалы всерос. науч.-практ. конф. "Артемовские чтения". — Пенза: ПГПУ, 2006. - С. 136-138.

Подписано к печати 25.09.06 г. Формат 60 х 84 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman.

Объем 1 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 95/06. Цена С. 107

Издательство Пензенского государственного педагогического университета

им. В. Г. Белинского Отпечатано в типографии ПГПУ им. В. Г. Белинского 440026, г, Пенза, ул. Лермонтова, 37

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Титова, Наталья Владимировна, 2006 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ «НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ».

§1. Роль и место факультативных занятий в системе школьного математического образования.

§2. Анализ развивающего компонента школьного математического содержания.

§3. Элементы неевклидовых геометрий как компонент школьного математического содержания.

§4. Принципы организации факультатива «Неевклидовы геометрии» в старших классах средней школы.

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВА «НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ».

§1. Структурно-содержательная характеристика факультативного курса «Неевклидовы геометрии».

§2. Стратегия поиска пути решения математической задачи в рамках факультатива «Неевклидовы геометрии».

§3. Результаты педагогического эксперимента.

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Факультативный курс "неевклидовы геометрии" как средство реализации развивающей функции школьного математического образования"

Актуальность исследования. В настоящее время математика занимает особое положение в ряду базисных направлений развития личности учащегося и, в частности, развития его мышления. Именно математическое образование, характеризующееся рядом специфических особенностей, таких, как относительно высокий уровень абстракции рассматриваемого понятийного аппарата; диалектическое сочетание строгих логических умозаключений и правдоподобных рассуждений; ведущая роль задач, при решении которых используются различные компоненты поисковой деятельности; наличие возможности описания изучаемых фактов и закономерностей в терминах различных «математических языков», обладает весьма значительным потенциалом для развития творческих компонентов интеллекта человека, его способности к продуктивной деятельности, логическому и абстрактному мышлению, его сознания и самосознания, то есть всего того, что помогает личности в самых различных обстоятельствах проявить свою неповторимую индивидуальность.

A.Д. Александров, Ж. Адамар, Г. Вейль, А. Пуанкаре, А.Я. Хинчин, Д. Пойя,

B.А. Гусев, Т.А. Иванова, В.А. Крутецкий, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, В.А. Тестов, В.В. Фирсов, JI.M. Фридман, ГТ.М. Эрдниев и многие другие. В этих работах подчеркивается, что содержание образования, направленное на формирование личности ученика средствами математики, может быть установлено лишь с учетом специфики творческой математической деятельности, и, в частности, ее структуры и качественного своеобразия.

Одним из средств усиления развивающих возможностей школьного математического образования является организация факультативных курсов соответствующей направленности. Отечественная школа обладает большим опытом в разработке и реализации таких курсов достаточно широкого содержательного спектра. В рассматриваемом ракурсе можно отметить работы таких известных ученых, как М.Б. Балк, В.Н. Березин, О.А. Боковнев, JI.A. Басов, Н.Я. Виленкин, О.Б. Епишева, И. Кадыров, М.П. Кашин, JI.M. Лоповок, В.М. Монахов, М.А. Петрова, И.М. Смирнова, В.В.Фирсов, С.И. Шварцбурд, И.Ф. Шарыгин, М.А. Шубин, Л.А. Эпштейн и др., а также диссертационные исследования, посвященные, как общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных и внеклассных занятий, так и содержанию и методике изучения отдельных вопросов на факультативных занятиях (Н.В. Аммосова, Ашкын Суат, С.В. Бабаджанян, И.А. Барыбина, Г.Н. Бычкова, Г.А. Гинзбург, Н.П. Жукова, Н.Н. Иванова, А.Н. Колобов, И.В. Кузнецова, А.Т. Лялькина, Т.Г. Макаровская, С.М. Новиков, П.К. Одинцов, И.И. Поздняков, Ф.М. Рафикова, М.Е. Сангалова, Г.А. Симановская, В.Д. Степанов, З.А. Шилова, А.П. Шихова и др.).

В этих работах раскрывается преимущество факультативов в плане развития внутреннего потенциала учащихся, создания условий для их самореализации и саморазвития, организации индивидуального подхода к каждому учащемуся с учетом его способностей и потребностей. Однако, в организации факультативных занятий есть еще и нерешенные проблемы, связанные, в частности, с вопросом о том, какие именно компоненты мышления могут быть целенаправленно актуализированы на том или ином математическом содержании и какая методическая поддержка учащимся должна быть при этом оказана. В числе таких компонентов особое место занимает возможность восприятия человеком впечатлений, не соответствующих или даже противоречащих имеющимся у него сложившимся представлениям, которые он изначально оценивал как единственно правильные и очевидные. Наличие такой возможности, называемой различными авторами латеральным (Э. Боно), толерантным (М.А. Холодная) или дивергентным (Дж. Гилфорд) мышлением, в основном обнаруживает себя в ситуациях, для которых характерна неопределенность, двусмысленность, обеспечивая актуализацию особых способов организации интеллектуального поведения в условиях искусственно сконструированного «нарушения» «нормального» отражения действительности. Рассматриваемое качество мышления, по мнению М.А. Холодной, является достаточно валидным показателем уровня интеллекта человека, его открытости познавательным контактам с противоречиями окружающего мира и способности гибко реагировать на постоянно изменяющиеся условия реальности.

В качестве математического содержания, являющегося основой факультатива для старшеклассников соответствующей направленности, могут быть избраны элементы неевклидовых геометрий, которые можно рассматривать, как формальные или полуформальные представления альтернативных пространств («воображаемых миров») по отношению к привычному для нас евклидову пространству, выводящие учащихся за пределы непосредственного чувственного восприятия.

В настоящее время в методической литературе представлено довольно большое количество исследований, посвященных возможностям знакомства школьников с неевклидовыми геометриями (Т.А. Агафонова, JI.C. Атанасян, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, A.JI. Вернер, Н. Гайбулаев, И.С. Герасимова, Е.А. Ермак, П.В. Мартиросян, Н.А. Масалкина, Б.А. Розенфельд, Т.Н. Салматова, Е.Е. Семенов, А.В. Силин, П.И. Совертков, С.А. Франгулов, Г.Г. Шеремет, Н.А. Шмакова и др.). В этих работах показывается, что ознакомление школьников с фактами неевклидовых геометрий, и, прежде всего, геометрии Лобачевского, позволяет существенно усилить логический новая аксиоматика геометрии), познавательный (изучаются примеры неевклидовых геометрий), исторический (показывает роль великих математиков в развитии науки), прикладной (открывается математическая основа теории относительности), философский (формируются представления о геометрии реального физического пространства) и общекультурный компоненты школьного математического образования. Вместе с тем, в известных нам работах в недостаточной мере оказался затронут развивающий аспект рассматриваемого содержания, и, в частности, не задействованы достаточно объективные параметры, которые могли бы служить критериальной основой для оценки уровня развития школьников в ходе изучения данного содержания; не определен комплекс основных методических условий достижения этих параметров в реальной учебной практике; недостаточно «выпукло» представлено своеобразие работы школьников по поиску решения задач из содержательного тезауруса неевклидовых геометрий.

Цель исследования заключается в педагогическом обосновании структуры и содержания факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии» и разработке теоретически обоснованной и экспериментально проверенной методики обучения.

Предметом исследования являются теоретические основы и методические условия организации факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии».

Гипотеза исследования: эффективная актуализация развивающего потенциала математического образования может быть осуществлена в рамках специально разработанного факультативного курса «Неевклидовы геометрии», удовлетворяющего следующим требованиям:

- характер используемых методов предусматривает альтернативное рассмотрение и последующее сопоставление изучаемых «единиц содержания» (понятий, фактов, теорем, задач) с позиций евклидовой и неевклидовых геометрий;

• уточнить роль и место факультативных занятий в системе математического образования

• исследовать возможности раздела «Неевклидовы геометрии» в плане усиления развивающей составляющей школьного математического содержания;

• выявить систему условий, обеспечивающих эффективное изучение факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии» в старших классах средней школы;

• разработать содержание и структуру факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии»;

• разработать стратегию поиска пути решения задач неевклидовых геометрий;

• экспериментально проверить эффективность разработанной методики обучения старшеклассников элементам неевклидовой геометрии. К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся:

- системный подход, основы которого заложены в трудах В.П. Кузьмина, В.Н. Садовского, А.И. Уемова, Э.Г. Юдина, М.И. Сетрова и др., а возможности реализации в методических исследованиях продемонстрированы в работах Ю.М. Колягина, В. А. Гусева, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, М.И. Зайкина, В.А. Тестова и др.;

- методологические положения, определяющие развитие системы современного среднего и высшего математического образования в русле следующих направлений этого развития: фундаментализации, гуманитаризации и гуманизации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (А.Д. Александров, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, В.В. Орлов, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и др.);

- концептуальные идеи и принципы, имеющие основополагающее значение для определения путей реализации развивающей направленности обучения математике на факультативных занятиях в школе, как в общеметодическом, так и в частно-методическом ракурсах (М.Б. Балк,

B.Н. Березин, О.А. Боковнев, Н.Я. Виленкин, С.Н. Дорофеев, О.Б. Епишева, М.П. Кашин, JI.M. Лоповок, В.М. Монахов, И.М. Смирнова, В.В.Фирсов, С.И. Шварцбурд, И.Ф. Шарыгин, Л.С. Атанасян, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.Л. Вернер, Е.Е. Семенов,

C.А. Франгулов и др).

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- синтез, анализ, сравнение, обобщение, классификация, методы описательной статистики;

- педагогический эксперимент по проверке эффективности методического обеспечения факультатива развивающей направленности «Неевклидовы геометрии»;

Исследование проводилось поэтапно.

На втором этапе (2003-2005 гг.) разрабатывались теоретические основы организации факультативного курса «Неевклидовы геометрии»; создавалось соответствующее методическое обеспечение этого курса; проводился констатирующий и поисковый эксперимент.

На третьем этапе (2005-2006 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки разработанной методики, произведена интерпретация и обобщение его результатов, подведены итоги и осуществлена первоначальная экспертиза исследования.

Научная новизна выполненного исследования заключается в формулировке основных принципов, определяющих структуру и содержание факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии»; построении и исследовании структурно-логической модели данного курса, которая включает в себя критерии отбора содержания факультатива, педагогические предпосылки, принципы, методы, формы его эффективной организации, а также планируемые результаты обучения; определении специфики поисковой работы старшеклассников при решении задач неевклидовой геометрии.

Теоретическая значимость исследования заключается в раскрытии развивающей роли факультативного курса «Неевклидовы геометрии»; педагогическом обосновании содержания и структуры факультативного курса; определении возможностей расширения диапазона поиска пути решения и конструирования геометрических задач на основе идеи сопоставления и противопоставления фактов и закономерностей евклидовой и неевклидовых геометрий.

Практическая значимость результатов и рекомендаций, выработанных в ходе исследования, заключается в возможности их непосредственного использования учителями при организации и проведении факультатива «Неевклидовы геометрии», а также преподавателями педагогических вузов при разработке спецкурсов и спецсеминаров, направленных на подготовку студентов к проведению факультативных занятий в школе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Целенаправленное изучение элементов неевклидовых геометрий, изначально возникших как своеобразные альтернативы традиционной евклидовой геометрии, позволяет естественным образом усилить развивающий потенциал школьного математического образования в аспекте развития таких важных качеств поисковой математической деятельности, как способность к быстрой актуализации необычных ассоциативных связей; привития «чувства новизны»; умения видеть объект под новым «альтернативным» углом зрения, гибко переключаться с одних привычных действий на другие, легко перестраивать собственный фонд знаний в соответствии с требованиями задачи; формирования обобщенных способов действия, имеющих широкий диапазон переноса и применения к нетипичным частным случаям.

2. Возможность полноценной реализации развивающей направленности факультатива «Неевклидовы геометрии» определяется следующей системой принципов: альтернативности, соотнесенности, адекватного контроля, мотивационной обусловленности, незамкнутости и развивающего контекста обучения. Данные принципы лежат в основе структурно-логической модели указанного факультативного курса, представленной в тексте работы.

3. Представленная в диссертации методика работы с задачами неевклидовой геометрии имеет определенную специфику по сравнению с традиционным подходом, которая заключается в постоянном сопоставлении и противопоставлении обнаруживаемых в ходе поиска решения той или иной задачи фактов и закономерностей с аналогичными фактами, полученными при решении той же задачи в рамках евклидовой геометрии.

На защиту также выносится методическое обеспечение выдвинутых положений в виде учебного пособия «Неевклидова геометрия: факультативный курс для старшеклассников».

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе апробации разработанного методического обеспечения курса «Неевклидовы геометрии» на факультативных занятиях в средней школе № 35 г. Пензы. Внедрение научных результатов осуществлялось также через подготовку учебного пособия, методических материалов и научных статей в сборниках различного ранга общим объемом более 7 п.л.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание работы изложено на 141 странице машинописного текста. Библиография составляет 154 наименования. В тексте диссертации имеются таблицы (8), рисунки (28), схемы (4).

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ

1. В содержание факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии» целесообразно включить следующие вопросы: аксиоматический метод построения теории, абсолютная геометрия, теория параллельности, исследование проблемы пятого постулата Евклида, геометрия треугольника на плоскости Лобачевского, геометрия четырехугольника на плоскости Лобачевского, модели новой геометрии, построение теорий римановой и псевдоевклидовой геометрий.

2. Изучение каждого раздела целесообразно начинать с совместной актуализации необходимых сведений и постановки базовой проблемы. Новый материал вначале представляется учителем в лекционной форме, а его дальнейшее раскрытие предполагает варьирование эвристической беседы, организуемой в традиционном ключе, и групповой или индивидуальной самостоятельной работы. Текущий контроль усвоения осуществляется либо при проверке индивидуальных заданий, либо при защите рефератов. Итоговая проверка предусматривает написание контрольной работы.

3. В контексте проблемы исследования приобретает определенную специфику методика поиска пути решения геометрической задачи, которая в рамках неевклидовых геометрий предполагает постоянное сопоставление с уже рассмотренным в базовом курсе геометрии «евклидовым аналогом». В результате старшеклассники получают возможность относительно самостоятельного составления задач и теорем, предварительного выбора направления поисковой работы, а также дальнейшего обобщения исходной задачной ситуации.

4. Проведенные констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты с учащимися старших классов показали, что содержание предлагаемого факультативного курса «Неевклидовы геометрии» оказалось вполне доступным для успевающих учеников старших классов и эффективным в контексте рассматриваемой проблематики. Результаты выполнения специальной диагностической работы учащимися контрольных и экспериментальных классов свидетельствуют о большом развивающем эффекте разработанных материалов в плане формирования альтернативности, гибкости, широты и обобщенности мышления старшеклассников. Причем сформированные в ходе факультативных занятий поисковые умения, соответствующие данным качествам, оказались функционально значимы по отношению ко всему геометрическому материалу, в частности, материалу базового курса геометрии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. Выявлено, что существенный потенциал в плане развития гибкости и обобщенности мышления старшеклассников содержит в себе факультатив «Неевклидовы геометрии», который, выводя их за пределы непосредственного чувственного восприятия, привносит в обучение геометрии идею альтернативности, то есть позволяет знакомить ученика с различными точками зрения на те или иные геометрические факты и закономерности, приучая его реализовывать собственное право на свободный выбор направления учебного поиска.

3. Сформулированы принципы, обеспечивающие возможность полноценной реализации развивающей направленности факультатива «Неевклидовы геометрии» (альтернативности; соотнесенности математического содержания; адекватного контроля; мотивационной обусловленности; незамкнутости и развивающего контекста обучения). Указанные принципы легли в основу структурно-логической модели факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии», включающей в себя критерии отбора содержания факультатива, педагогические предпосылки, принципы, методы, формы его эффективной организации, а также планируемые результаты обучения.

4. Разработано содержание факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии», включающее в себя следующие вопросы: аксиоматический метод построения теории, абсолютная геометрия, теория параллельности, исследование проблемы пятого постулата Евклида, геометрия треугольника на плоскости Лобачевского, геометрия четырехугольника на плоскости Лобачевского, модели новой геометрии, построение теорий римановой и псевдоевклидовой геометрий. Изучение каждого раздела должно начинаться с совместной актуализации необходимых сведений и постановки базовой проблемы. Новый материал вначале представляется учителем в лекционной форме, а его дальнейшее раскрытие предполагает варьирование эвристической беседы, организуемой в традиционном ключе, и групповой или индивидуальной самостоятельной работы.

5. Раскрыты особенности методики поиска пути решения задач неевклидовых геометрий, которая предполагает постоянное сопоставление с рассмотренным в базовом курсе геометрии «евклидовым аналогом». Такое сопоставление, подкрепляемое вопросами и подсказками учителя, реализуется на этапах «принятия» задачи, поиска пути решения, рефлексивной проработки полученного решения, а также дальнейшего обобщения и развития исходной задачной ситуации.

Все сказанное позволяет констатировать, что проблема настоящего исследования разрешена, а цель достигнута.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Титова, Наталья Владимировна, Пенза

1. Агафонова, Т.А., Герасимова, И.С. и др. Задачи по объединенному курсу геометрий: Основания геометрии. Неевклидовы геометрии. Учебное пособие / Т.А. Агафонова, И.С. Герасимова. - Ярославль, 1991. - 83 с.

2. Айзенк, Г. Интеллект: новый взгляд /Г. Айзенк //Вопросы психологии, 1995, №1.- 111 с.

3. Александров, А.Д. Основания геометрии: Учебное пособие для вузов./А.Д. Александров М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит.,1987. - 288 с.

4. Александров, А.Д. и др. Геометрия: Пробный учебник для 9-10 классов средней школы /А.Г. Александров, 1986.- 218 с.

5. Александров, А.Д. О геометрии Лобачевского /А.Г. Александров //Математика в школе. 1993. - №2. С.2-7.

6. Александров, А.Д. О геометрии Лобачевского /А.Г. Александров //Математика в школе. 1993. - №3 С.2-5.

7. Александров, А.Д. Теория относительности и геометрия /А.Г. Александров //Математика в школе №3, 1991. С.4-6.

8. Аммосова, Н.В. Движения, группы движений и их приложения в системе факультативных курсов по математике в 8-10-х классах средней школы: дисс. .канд. пед. наук./Н.В. Аммосова М., 1987.

9. Артемов, А. К. Об эвристических приемах при обучении геометрии /А.К. Артемов // Математика в школе.- 1973- №6. С. 25-29.

10. Ю.Атанасян, Л.С. Геометрия Лобачевского /Л.С. Атанасян М.: Просвещение. - 2001.-335 с.

11. Атанасян, Л.С. и др. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян и др. М.: Просвещение, 1998. - 335с.

12. Ашкын Суат. Математический факультатив как одна из форм расширения использования компьютерных технологий: автореф. дисс.канд. пед.наук /Ашкын Суат М., 2003.

13. Бабанский, Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе /Ю.К. Бабанский М.: Просвещение, 1985. - 208с.

14. Бабанский, Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса: Методические основы /Ю.К. Бабанский М.: Просвещение, 1982. - 192с.

15. Базылев, В.Т., Дуничев, К.И. Геометрия /В.Т. Базылев, К.И. Дуничев М.: Просвещение, 1975. - 367 с.

16. Бахман, Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии /Ф.Бахман М.: Наука, 1969. - 379с.

17. Березин, В. Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя / В. Н. Березин. М.: Просвещение, 1985.- 185 с.

18. Березин, В. Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя / В. Н. Березин. М.: Просвещение, 1985.- 185 с.

19. Бескин, Н.М. Аксиоматический метод /Н.М. Бескин // Математика в школе, 1993, №3. С. 25 - 29.

20. Блонский, П. П. Избранные пед. и псих, сочинения. В 3 т. Т.2. Развитие мышления школьников / П. П. Блонский. М.: Педагогика, 1979.- С. 5-117.

21. Богоявленская, Д.Б., Матвейчик, З.Г. Диагностика интеллектуальной активности детей /Д.Б. Богоявленская, З.Г. Матвейчик //Вопросы диагностики психического развития, Таллин, 1974. -24 с.

22. Болодурин, B.C. Пособие по элементарной геометрии /B.C. Болодурин -Оренбург: ОГПИ, 1991. 197 с.

23. Болтянский, В.Г. Загадка аксиомы параллельных. /В.Г. Болтянский //Квант. 1976.-№3 с. 2-8.

24. Брадис, В. М. Методика преподавания математики в средней школе /В.М. Брадис.- М.: Учпедгиз, 1954. 240с.

25. Буземан, Г., Келли, П. Проективная геометрия и проективные метрики /Г. Буземан, П. Келли /под редакцией И.М. Яглома Москва, 1957. - 400 с.

26. Гайбулаев, Н. Формирование геометрический представлений учащихся средней школы при изучении евклидовой и неевклидовой геометрии, автореф. дис.канд. пед. наук /Н. Гайбулаев Ташкент. - 1972. -39 с.

27. Танеев, Х.Ж. Пути реализации развивающего обучения математике /Х.Ж. Танеев Екатеринбург, 1997.- 102 с.

28. Гильберт, Д., Кон Фоссенс. Наглядная геометрия /Д. Гильберт, Кон -Фоссенс - М.: Наука, - 1981. -344 с.

29. Гнеденко, Б.В. О развитии школьного математического образования за 60 лет. (На путях обновления школьного курса математики) /Б.В. Гнеденко -М.: Просвещение, 1978,23 с.

30. Голубева, Э.А. Способности. Личность. Индивидуальность /Э.А. Голубева Дубна: «Феникс +», 2005. - 512 с.

31. Горбачева, Н.В. Метод аналогии как средство развития творческого мышления учащихся при обучении их элементам сферической геометрии: автореф. дис. канд. пед. наук / Н.В. Горбачева Омск, - 2001. -21 с.

32. Горбачева, Н.В. Метод аналогии как средство развития творческого мышления учащихся при обучении их элементам сферической геометрии: дисс.канд. пед. наук /Н.В. Горбачева Омск: 2001. - 213 с.

33. Горшкова Л.С., Титова, Н.В. Неевклидова геометрия: факультативный курс для старшеклассников: учебное пособие / Л.С. Горшкова, Н.В. Титова. -Пенза: ПГПУ, 2005. 153 с.

34. Грабарь, М.И., Красноярская, К. А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: непараметрические методы -М.: Педагогика, 1987. 160 с.

35. Грановская, P.M., Крижановская, Ю.С. Творчество и преодоление стереотипов / P.M. Грановская, Ю.С. Крижановская СПб.: OMS, 1994.

36. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы обучения математике /Я.И. Груденов. М.: Педагогика, 1987 - 160 с.

37. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике /В.А. Гусев М.: Издательство «Вербум - М», 2003. - 432 с.

38. Гусев, В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе /В.А. Гусев // Математика в школе. 1990. - №4. - С.27-31.

39. Давыдов, В.В. Проблемы развивающего обучения /В.В. Давыдов М.: Педагогика, 1986, 240 с.

40. Далингер, В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике /В.А. Далингер М.: Просвещение, 1991.

41. Далингер, В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии /В.А. Далингер // Математика в школе, 1995, №6. С. 16 - 21.

42. Далингер, В.А. Обучение учащихся доказательству теорем: учебное пособие / В.А. Далингер. Омск: ОГПИ-НГПИ, 1990. -127с.

43. Дорофеев, С.Н. Научно методические основы формирования творческой активности будущих учителей математики: Монография /С.Н. Дорофеев - М. - Пенза:- МПУ, 2000. - 154с.

44. Дорофеев, С.Н. Формы организации творческой деятельности на занятиях по геометрии: Уч. Пособие /С.Н. Дорофеев М. - Пенза: - МПУ, 2000. -60с.

45. Дружинин, В.Н. Психология общих способностей. /В.Н. Дружинин -2-ое издание С.-Петербург, 1999. - 368 с.53 .Егоров И.П. Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям. Пособие для студентов / И.П. Егоров. Рязань, 1913.

46. Егоров, И.П. Введение в неевклидовы геометрии /И.П. Егоров Приволжское издательство, 1972. 110 с.

47. Епишева, О.Б. Некоторые методические приемы проведения факультативных занятий / О.Б. Епишева //Математика в школе, 1978, №3. -С. 65 -68.

48. Ермак, Е.А. Развитие пространственных представлений учащихся средней школы при изучении евклидовой и неевклидовой геометрии: автореф. дис. канд. пед. наук /Е.А. Ермак Санкт - Петербург, 1991. -18 с.

49. Ефимов, B.C. и др. Возможные миры или создание практики творческого мышления. Пособие для преподавателей. / B.C. Ефимов и др. М.: Интерпракс, 1994.

50. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В. Ефимов. М.: Наука, 1971. - 576 с. 526.

51. Кашин, М.П. Предисловие к книге: В.В. Фирсов, О.А. Боковнев, С.И. Шварцбурд «Состояние и перспективы факультативных занятий по математике» /М.П. Кашин М.: Просвещение, 1977. - С. 4-5.

52. Киселев, А.П. Геометрия: /Под ред. Глаголева. М.: Просвещение 1974,-ч.П.

53. Клопский, Б.М., Скопец, З.А., Ягодовский, М.И. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов /Б.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский М.: Просвещение, 1980.

54. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 8 классов средней школы /А.Н. Колмогоров. М.: Просвещение, 1979.

55. Колмогоров, А.Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы /А.Н. Колмогоров М.: Просвещение, 1982.

56. Колобов А.Н. «Факультативный курс «Инварианты групп симметрий некоторых многогранников» для учащихся старших классов с углубленным изучением математики»: дисс. канд. пед. наук /А.Н. Колобов Саранск, 2005. - 160 с.

57. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике/ Ю. М. Колягин.- М.: Просвещение, 1977., 4.1. 4.2. -1 Юс., -142с.

58. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников /В.А. Крутецкий М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

59. Кузнецова, И. В. Элементы высшей алгебры и методики их изучения на факультативных занятиях в средней школе: автореф. дисс. канд. пед. наук / И.В. Кузнецова Москва, 2000. - 19 с.

60. Кутузов, Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы основной геометрии /Б.В. Кутузов М.: Учпедгиз, 1955 -128 с.

61. Кушнир, И.А. Воспитание творческой активности на уроках геометрии /И.А. Кушнир //Математика в школе, 1991, №1. С. 12 - 16.

62. Левитес, Д.Г. Автодидактика. Теория и практика конструирования собственных технологий обучения / Д.Г. Левитес М.: Изд-во

63. Московского психолого-социального института; Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 2003. 320 с.

64. Лоповок, Л.М. Факультативные занятия по геометрии для 7 11 классов/Л.М. Лоповок - Киев, 1990.

65. Макаровская, Т.Г. Изучение элементов четырехмерной евклидовой геометрии на факультативных занятиях в старших классах: дисс.канд. пед. наук / Т.Г. Макаровская Саранск: 1999. - 180 с.

66. Мантуров, О.В. , Исаева, М.А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии / О.В. Мантуров, М.А. Исаева // Математика в школе, 1988, №3.-С. 38-41.

67. Мартиросян, П.В. Элементы неевклидовой геометрии в средней школе: автореф. дис. канд. пед. наук / П.В. Мартиросян Баку. - 1973. -37 с.

68. Матюшкин, М.А. Проблемные ситуации в мышлении и обучении /М.А. Матюшкин. М, 1972. - 208 с.

69. Менчинская, Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника / Н.А. Менчинская М.: Педагогика, 1989.

70. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика /В.А. Оганесян, Ю.М.Колягин и др.- М.: Просвещение, 1980.-368 с.

71. Новиков, С.М. Содержание и методы проведения межпредметных факультативных занятий в 7 классах (на примере физики, математики, кибернетики): дисс.канд. пед. наук /С.М. Новиков Свердловск, 1985. -198 с.

72. Норден, А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского /А.П. Норден Москва, 1953. - 248 с.900 факультативах по математике // Математика в школе. 1987. - №4. - С. 14-16.

73. Пичурин, Л.Я. Воспитание учащихся при обучении математике /Л.Я. Пичурин М.: Просвещение, 1987. - 175 с.

74. Погорелов, А. В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. М.: Просвещение, 2001. - 224с

75. Пойа, Д. Как решать задачу? М.: Учпедгиз, 1959. - 208 с.

76. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ. 2-е изд., перераб. /Д. Пойа - М.: Наука, 1975.

77. Пойа, Д. Математическое открытие: Решение задач: Основные понятия, изучение и преподавание / Д. Пойа / Под ред. Яглома И.М. М.: Наука, 1970.-452с.

78. Польский, Н.И. О различных геометриях /Н.И. Польский Киев: Издательство АНУССР, 1962. -100 с.

79. Прасолов, В.В. Геометрия Лобачевского. 3-е изд., испр. и доп. /В.В. Просолов - М.: МЦНМО, 2004. -88 с.

80. Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. М.: Просвещение, 1990. - 142 с.

81. Программы факультативных курсов М.: Просвещение, 1973. - 126 с.

82. Родионов, М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования. Монография / М.А. Родионов Саранск: изд-во МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 2001. -252 с.

83. Родионов, М.А., Марина Е.В. Формирование вариативного мышления при решении задач на построение / М.А. Родионов, Е.В. Марина Пенза:, 2006. - 95 с.

84. Родионов, М.А., Садовников, Н.В. Взаимосвязь теоретических и практических аспектов использования задач в обучении математике /М.А. Родионов, Н.В. Садовников Пенза, 1997. - 86 с.

85. Розенфельд, Б.А. Геометрия Лобачевского / Б.А. Розенфельд М.: Издательство «Знание» - 1960. - С.48.

86. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии: В 2-х томах /С.Л. Рубинштейн М.: Педагогика, 1989.

87. Рыжик, В.И. 25000 уроков математики /В.И. Рыжик М.: Просвещение, 1993.-240 с.

88. Сангалова, М.Е. Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе. дисс.канд.пед.наук / М.Е. Сангалова Арзамас, 2003.-174с.

89. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике математики /Г.И. Саранцев Саранск: Краен. Окт., 2001.- 144 с.

90. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов /Г.И. Саранцев Саранск: Тип. «Краен. Окт.», 1999. - 208с.

91. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике /Г.И. Саранцев -М.: Просвещение, 1995.

92. Семенов, Е.Е. Аксиоматический метод в геометрии и неевклидовых геометриях: факультативные занятия в средней школе / Е.Е. Семенов -Свердловск: Издательство УрГу, -1971. -118 с.

93. Силин, А.В., Шмакова, Н.А. Открываем неевклидову геометрию /А.В. Силин, Н.А. Шмакова М.: Просвещение, 1988. -123 с.

94. Симоновская, Г.А. Факультативный курс «Комплексные числа и их приложения» для старших классов средней школы / Г.А. Симоновская -Дисс.канд. пед. наук. 1997. 209с.

95. Смирнова, И.М. Об измерении интереса на уроках математики /И.М. Смирнова // Математика в школе, 1998, №5. С. 56 - 58.

96. Степанов, В.Д. Вопросы организации и методики проведения факультативных курсов по математике в средней школе: дисс.канд. пед. наук / В.Д. Степнов Казань: 1973. - 209с.

97. Степанов, В.Д. Активизация внеурочной работы по математике /В.Д. Степнов М.: Просвещение, 1991.

98. Столяр, А. А. Методы обучения математике / А.А. Столяр М.: Высшая школа, 1966. - 190 с.

99. Титова, Н.В. Возможности изучения элементов геометрии Лобачевского в школе (постановка проблемы)/ Н.В. Титова // Вестник молодых ученых: межвуз. сб. науч. трудов. Пенза: ПГПУ, 2003. - С. 112114.

100. Титова, Н.В. Профильная дифференциация как условие фундаментализации математического образования/ Н.В. Титова

101. Титова, Н.В. Развитие гибкости мышления на факультативных занятиях по математике в старших классах средней школы/ Н.В. Титова //Вестник молодых ученых: межвуз. сб. науч. трудов. Пенза: ПГПУ, 2005.-С.-162-163.

102. Тихомиров, В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании / В.М. Тихомиров // Математика в школе, 1993, №4.-С. 3-9.

103. Тихомирова, O.K. Психология мышления / O.K. Тихомирова М.: Изд-во Московского ун-та, 1984. - 272 с.

104. Факультативные занятия в средней школе: Сб. статей /Под ред. М.П. Кашина, Д.А.Эпштейна. М.: Педагогика, 1979. - Выпуск 4. - С.76-93.

105. Фирсов, В.В., Боковнев, О.А., Шварцбург, С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике / В.В. Фирсов, О.А. Боковнев, С.И. Шварцбург М.: Просвещение, 1977. - 48 с.

106. Франгулов, С.А., Совертков П.И. Сборник задач по геометрии М.: Просвещение, 2002. - 238 с.

107. Холодная, М.А. Когнитивные стили. О природе индивидуального ума: 2-е изд-ие / М.А. Холодная сПб.: Питер, 2004. - 384 с.

108. Черкасов Р.С. К вопросу о роли обобщений в преподавании геометрий /Р.С. Черкасов // Математика в школе, 1996, №4 С. 23-26.

109. Чораян, С.Г. Естественный интеллект (физиологические, психологические и кибернетические аспекты) /С.Г. Чораян Ростов - на -Дону, 2002. - С.4-5.

110. Шарыгин, И.Ф. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы /И.Ф. Шарыгин М.: Дрофа, 1998.

111. Шарыгин, И.Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы / И.Ф. Шарыгин М., 1999 - 304с. -239 с.

112. Шилова, З.В. Факультативный курс «Средние величины» для учащихся старших классов средней общеобразовательной школы: автореф. дисс.канд. пед. наук /З.В. Шилова Киров, 2003. - 17 с.

113. Шрейдер, Ю.А. Равенство, сходство, порядок / Ю.А. Шрейдер М.: Наука, 1971.-256 с.

114. Шрейдер, Ю.А. Равенство. Сходство. Порядок / Ю.А. Шрейдер М.: Наука, 1971.-254 с.

115. Щукина, Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательных интересов учащихся /Г.И. Щукина М.: Педагогика, 1988.- 186 с.

116. Эльконин, Д. Б. Избранные психологические труды / Д. Б. Эльконин.-М.: Педагогика, 1989.- 560 с.

117. Энциклопедия элементарной математики. Книга 5. Геометрия. М.: Наука, 1966. - 612 с.

118. Эрдниев, П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике /П.М. Эрдниев М.: Учпедгиз, 1960. - 216 с.

119. Эрдниев, П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике/ П.М. Эрдниев М.: Просвещение, 1986. - 255 с.

120. Яглом, И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И.М. Яглом М.: Наука, 1968. -303с.

121. Якиманская, И. С. Принципы построения образовательных программ и личностное развитие учащихся / И.С. Якиманская //Вопросы психологии, 1999. № 3. - С. 64 - 77.1. Рис Л