автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях в 10,11 классах

Автореферат диссертации по теме "Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях в 10,11 классах"

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На гтравак рукописи

Жукова Наталья Петровна

Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований на Факультативных занятиям в io.il классах Сна примере геометрии Евклида и Лобачевского)

13.00.02 - теория и методика обучения математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

МОСКВА 1997

Работа выполнена на кафедре геометрии московского педагогического университета

Научный руководитель - заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математическим наук, профессор Мантуров О.В.

Официальные оппоненты - член корреспондент РАО.

доктор физико-математических наук, профессор Баврин И.И.

кандидат педагогических наук, доцент Барыбина и.А.

Ведущая организация - Поморский государственный

университет

Защита состоится "££", _ 1938 года в_часов

на заседании диссертационного Совета ДИЗ. 11, Об по специальностям 13.00.02 - теория и методика обучения математике; 13. оо.02 - теория и методика обучения физике: 13.00.08 - теория и методика прФессионального образования при московском педагогическом университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, д.Юа.

Автореферат разослан 1яяя г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат педагогических наук, доцент

Общая характеристика работы. Актуальность теш .исследования, в настоящее время в условиях современной гуманизации и гуманитаризации образования все большее значение приобретает личностный подход к обучению. Цель современной школы - развитие личности учащегося, Формирование его ценностного сознания. Современная концепция развития образования предполагает поиск новых форм и методов организации учебного процесса, которые позволят максимально раскрыть индивидуальные особенности школьника, ориентируясь на способности и склонности учащегося. Осуществление такого подхода вполне возможно на факультативных занятиях.

Основная цель Факультативных занятий - расширение, углубление и развитие образования в средней школе, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знании. Применительно к математике зта цель заключается в сближении школьного курса математики с современной наукой, в ознакомлении школьников с важнейшими современными идеями математики. Специфика факультативных курсов в современных условиях позволяет решать слошые проблемы: повышение интереса к наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний; ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути, существенным образом связанного в перспективе с математикой.

Как видно из трудов виднейших психологов и педагогов Е.Л. Рубинштейна. Л.И. Божович, п.я. Гальперина . H.A. менчинской. Н. Ф. Талызиной, психологические особенности развития учащийся старших классов благоприятствуют постановке довольно сложных по научному уровню факультативных занятой.

В качестве одной из фундаментальных теорий современной математики, элементы которой могут изучаться на факультативных занятиях, мы предлагаем теорию дискретных групп преобразований.

Теория дискретных групп преобразований - это современная и бьютро развивающаяся область геометрии, изучающая действия дискретных групп на многообразиях, стимулом развития теории дискретных групп преобразований явились потребности таких наук, как теория дифференциальных уравнений, теория Функций, геометрия, теория чисел, кристаллография и других областей науки.

Наиболее интересным и преемлемыы для изучения в средней школе материалом, на наш взгляд» является применение теоши дискретных групп преобразований е решении задачи замощения плоскости Евклида и Лобачевского. Опит научно-исследовательской работы показал, что изучение элементов теории дискретных групп преобразований Скак в плоскости Евклида, так и в плоскости Лобачевского) на факультативны« занятиях в старших классах вполне реально.

В настоящей диссертации проиллюстрированы принципы отбора содержания и организации учебного материала Факультативного курса "Дискретные группы пштпт р. плоскости Евклида и Лобачевского" и его двух частей: "Дискретнда группы движений е плоскости Евклида" и "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского" - для изучения в 10,11 классак средней школы.

Выбор зтих тем можно обосновать следующими соображениями:

- в основе факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" лежит одна из основный понятий математики - геометрическое преобразование:

- геометрические преобразования являются одной из содержательных линий школьного курса геометрии:

- множество движений плоскости относительно их суперпозиции образует группу, являщуюся примером математической структуры, которая имеет наиболее богатые приложения в различных областях науки и техники, то есть появляется возможность показа на конкретном примере целостной теории:

- школьный курс геометрии, построенный на аксиоматической основе, таит в себе благоприятные возможности и обладает достаточными резервами для изучения в рамках Факультативных занятий элементов геометрии Лобачевского:

- наиболее наглядным примером показа целостной теории является изложение элементов теории дискретных групп преобразования как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

под целостной теорией мы понимаем здесь минимальную структуру, адекватную общепринятой структурной единице науки, кото------рая состоит- из двух ^основных частей: оснований (основные тоня-

тая и иекодные посыпки) и следствий (объяснения и интерпритэ-ция известный фактов и предсказание новый).

Через применение структур появляется возможность раскрыть учащимся абстрактный характер математики, показать возникновение математических абстракций, значение математаческик методов. Умение осмыслить математику с точки зрения структур - это значит умение отвлечься от конкретного содержания, воспользоваться методом, языком математики, а чем и состоит ее практическая ценность. Понятие математической структуры позволяет установить единство в многообразии математических фактов и методов.

Понимание роли стукртур может быть доетигнуто через изучение конкретных структур и вопросов, которые помогают понять значение структурного подхода при изучении конкретного материала. Знакомство с основами аксиоматического метода при изучении элементов геометрии Лобачевского, построение новой геометрии и ее модели позволяет привеста учэдикся к общему понятию математической структуры, первым примером которой рассматривалось понятое группы геометрические преобразований.

Ознакомление учацикся с геометрией Лобачевского, само по себе, важно с различны« точек зрения: с логической - это новая аксиоматика геометрии: с познавательной - как один из примеров неевклидовой геометрии: с исторической - на примере геометрии Лобачевского можно показать учамимся роль русскик ученый в развитии науки; с прикладной - изучение геометрии Лобачевского способствует изучений других разделов науки, в частности, теории относительности: с философской - у учащихся формируются представления о геометрии реального Физического пространства и т.д. Таким образом, ознакомление с геометрией Лобачевского -элемент общей культуры, с ней должен быть знаком каждый человек.

основная цель изучения теории состоит, как известно, в том, чтобы научиться ее применять. Всякая теория может применяться либо для изучения, развития другой теории, либо для решения практических задач. Поэтому, применительно к нашей теме, необходимо показать конкретно, с одной стороны, применение элементов теории дискретных групп в геометрии СЕвклида и Лобачев-

ского), с другой - приложения теории дискретных групп преобразований к построении орнаментов, паркетов и решению практических и прикладных задач.

вопросам теории дискретных групп преобразований поевшею значительное количество литературы, касающейся как геометрии действия этак групп, так и приложений к теории функций комплексного переменного, топологии, дифференциальным уравнениям» теории чисел, кристаллографии. Этим вопросам посвящены работы А. Пуанкаре. В. Тйрегака. Б. Н. Апанасова, А. Бердона, Ю.М. Рябу-кина, э. Б. Викберга, а также Д. Гильберта, С. Кон - Фоееен, М. Барже, Г. С. м. коксегера и других авторов. Все перечисленные работы являются строго научными или научно-популярными. Практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя, на первое знакомство с предметом. Вопросы обучения этим темам в методической литературе еще не рассматривались.

Необходимой основой для изучен!«? факультативного курса является тема "Геометрические преобразования". Разработка методики обучения теш "Геометрические преобразования" привлекала внимание многих мвтодистов. Вопросам ознакомления учащикся с группами преобразований на факультативных занятияк посвящены диссертационные исследования А. Р. А. Сайед» Н. В.Аммосовой, А. М. Янченко, Т. И. Уткиной, М. А. Петровой и других авторов. Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований и ее приложений на Факультативных занятияк еще не рассматривалась.

Для изучения второй часта Факультативного курса предполагается знакомство учащикся с элементами геометрии Лобачевского, этим вопросам посвящены работы авторов: В. Г. Болтянского. А. В. Силина. Н. А. Шмаковой, Б. В. Кутузова, Е. Е. Семенова и других. Программы Факультативных курсов» знакомящих старшеклассников с элементами неевклидовых геометрий и методика организации ш работы предлагались в разное время Н. Р. Гайбуллаевым, П. В. Мартиросян, Т. И. Саламатовой, Е. А. Ермак. Во веек перечисленный выше работай основной акцент делается на применение геометрии Лобачевского в решении задач физики, теории относительное-

ти и астрономии, в решении практических задач с помощью сферической и гиперболической геометрии. Вопросы дискретных групп движений в плоскости Лобачевского и методика изучения этой темы в работах перечисленных выше авторов не рассматривались.

наряду с большим количеством имещикся научных работ по геометрии дискретных групп и интенсивным развитием этого направления науки, элементы теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на Факультативных занятиям в школе не изучались. Практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя. Вопрос методики изучения этой темы на Факультатавнык занятиях еще не исследовался.

Кроме того, как показывает анализ современной педагогической и методической литературы, многие студенты-первокурсники естественно-научных и математических факультетов университетов испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий высокого уровня абстракции. Поскольку на факультативах обучаются, как правило, те дета, которые связывают свое будущее если не с математикой, та с естественно-научным циклом дисциплин, безусловно. еще в средней иколе следует готовить их к преодолению упомянутых выше трудностей. Одним из вояшжных путей их преодоления мы видим усиление роли математической теории при обучении геометрии на факультативных занятиям.

Таким образом, возникает необходимость разработки, прежде всего, содержания Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников старших классов, и методики его изучения с тем, чтобы на примере конкретной теш показать учащимся особенности математической "теории и начать подготовку к более действенному изучению высоких математических: абстракций.

Проблема исдедавания заключается в поиске путей постановки Факультативного курса по изучению элементов теории дискретных групп преобразований в старших классах.

Налы) работы состоит в разработке содержания и методики изучения Факультативного курса "Дискретные группы движений в

плоскости Евклида и Лобачевского", направленной на усиление теоретических аспектов геометрии.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии на факультативных занятиях.

Предметы ..исследования является содержание учебного материала по тема:"Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" и методика его изучения.

В коде исследования была выдвинута гипотеза согласно которой, реализация методических особенностей постановки факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского", направленный на усиление роли математической теории, будет способствовать более глубокому усвоению программного материала, создаст объективные предпосылки для повышения уровня математической культуры и интеллектуального развития школьников.

Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было последовательно решить следушие задам:

1. Произвести анализ разработшости выбранной темы исследования в научной, психолого-педагогической и учебно-методической литературе.

2. Выявить методические особенности постановки факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" в современных условиях с учетом усиления теоретических аспектов геометрии.

3. разработать структуру и содержание факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников старших классов.

4. Разработать методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского ".

5. Провести экспериментальную проверку разработанных материалов.

при решении поставленных задач использовались следующие штоды исследования: ~ - изучение и анализ научной, психолого-педагогической и

учебно-методической литературы по теме исследования;

- обобщенно опыта постановки Факультативных курсов:

- беседы с учителями школ и преподавателями вузов;

- беседы и анкетирование школьников:

- организация и проведение педагогического эксперимента:

- количественная и качественная обработка данных, полученных в результате эксперимента с использованием методов математической статистики. Научная новизна проведенного

исследования состоит в разработке содержания Факультативного курса по математике "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" и методических рекомендаций по его изучению.

Теоретическая значимость исследования состоит в том. что:

- обоснована целесообразность и возможность изучения элементов теории дискретных групп преобразований на Факультативных занятиях;

- разработаны основы изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и ЛобачеЕского на факультативных занятиях по математике;

практическая значимость роботы заключается в том, что:

- разработано содержание факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского";

- предложено примерное планирование факультативных занятий по данной теме для учащихся 10,11 классов:

- разработаны методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса:

- разработанные по темам "Дискретные группы движений в плоскости Евклида." и "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского." пособия могут быть использованы учителями для проведения Факультативных занятий и занятий по выбору, как в обычных классах, так и в классах с углубленным изучением предметов естественно-математического цикла, в лицеях и гимназиях:

- отдельнье разделы факультативного курса могут быть использованы автономно и в других Факультативах, а также для разработки факультативных занятий в классах с другими специализа-

циями:

- материалы исследования могут быть использованы преподавателями педвузов для проведения спецкурсов, студентами для самостоятельного изучения.

На защиту выносятся: содержание и методика изучения темы "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на Факультативных занятияк в 10-11 классах.

Апробация результатов исследования. Основные методические выводы и результаты исследования обсуждались на кафедре геометрии МПУ. Проводились доклады: на 4-ой научно-практической межвузовской региональной конференции С Биробиджан. 1995г.), на семинарах методического объединения учителей математики г.Тобольска, на методическом семинаре преподавателей летней математической школы (Тобольск. 1996 г.), на семинаре "Шредовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом" (МПУ, 1997г.).

Экспериментальная проверка.. Для оценки эффективности выдвинутых в коде исследования положений был проведен педагогический эксперимент с 1993 по 199? г. г. на базе гимназии № 10 г.Тобольска и на базе летней математической школы г.Тобольска, где ежегодно обучается дети с целыа ик раннего отбора, профориентации и профинформации.

структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трек глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность исследования. Формулируются проблема, цель и задачи, выдвигается гипотеза, определяется объект и предмет исследования, раскрываются научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученный результатов.

Анализ научной и учебно-методической литературы по теме исследования, проведенный в начале первой главы, показал, что наряду с имеющимся достаточным количеством научной и научно-популярной литературы по теории дискретных групп, практика изучения зтик вопросов в школе практически отсутствует. Практически, не существует литературы, ^ориентированной на первое знакомство

с предметом. Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на Факультативных занятиях еще не достаточно изучена и разработана. Возникает необходимость методического описания основ изучения Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников старших классов.

Ео втором пункте первой главы рассмотрены основные методические проблемы обучения теме факультативного курса. Исследования многих психологов показали возможности изучения в школе идеи математических структур. Абстрактный характер такой структуры, как, например, группа, существенно расширяет возможность приложений ее в различных вопросах самой математики, смежных научных дисциплин, практики, поэтому, одной из проблем методики обучения геометрии является поиск единых подходов в изучении теоретического материала. Поиск таких структур организации изучения теоретического материала, которые были бы адекватны механизмам мышления учащихся определенного возраста - вторая проблема, которую необходимо решать при поиске методики обучения геометрии.

Е работах психолога Ж.Пиаже была установлена аналогия между "архитектурой" математики как науки и "архитектурой" развивающегося мышления. Алгебраические структуры, а иенно "группы", в действительности изображают наиболее определенные и характерные для мышления механизмы. Поэтому, при изучении, в частности, геометрических преобразований плоскости необходимо подчеркивать те их свойства, которые в дальнейшем позволят сформировать понятие группы соответствующих преобразовании относительно суперпозиции последних и, тем самым, позволят образовать замкнутую содержательную и мыслительную структуру.

Структура группы имеет простые иктерпритации на конечных множествах. В школьном курсе математики в неявном виде понятие группы встречается довольно часто. Так. например, множество целых чисел с операцией сложения, множество рациональных чисел с операцией умножения, движения плоскости относительно их суперпозиции. Существует больше число простых и конкретных систем.

иллюстрирующих аксиоматику группы ка весьма наглядном и знакомом школьникам материале. Аксиоматика группы может выть легко установлена школьниками индуктивно при изучении иллюстрирующих ее конкретных систем. Учащимся, испытывающим определенные затруднения при абстрактном исследовании, полезно проводить сравнения общих выводов с выводами, делящимися на конкретных примерах систем, снабженных групповой структурой.

Одним из важных мотивов рассмотрения со школьниками элементов теории групп в качестве первого примера математической структуры являются разнообразные и интересные приложения теории груш в различных разделах математики, в частности, теория дискретных групп преобразований находит важное применение е решении задачи замещения плоскости и пространства. Если показать применение элементов теории дискретных групп преобразовании к решению задачи замощения не только плоскости Евклида, но и плоскости Лобачевского, то это позволит показать учащимся пример целостной математической теории, теоретический материал темы "Геометрия Лобачевского. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского" позволяет продолжить идею Формирования у учащихся представлений о замкнутой содержательной и мыслительной структуре.

В пункте 1.3. описаны принципы отбора содержания, которыми мы руководствовались при постановке Факультативного курса. Вопросам постановки факультативных курсов по математике уделяли внимание многие исследователи. Опираясь на предыдущий педагогический опыт и результаты специальных исследований в этой области мы выделили ряд требований к содержанию Факультативных курсов по математике, которые в своем большинстве являются традиционными, но имеют свои особенности.

В этом пункте показано, что тема Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" отвечает всем выделенным требованиям и обладает большими потенциальными возможностями. А именно: тема факультативного курса тесно связана с основным курсом геометрии (в основе курса лежит одна из содержательных линий школьного курса геометрии -геометрические преобразования): на материале этой темы можно

продемонстрировать глубокие межпредметные и Бнутрипредметаые связи С с химией, физикой, биологией: алгеброй, математическим анализом): изучение курса способствует развитию математической культуры школьников: тема выбранного нами Факультативного курса содержит богатый исторический материал С история развития теории дискретных групп преобразований, открытие неевклидовой геометрии и решение проблемы пятого постулата Евклида и др.), тесно связана с современностью, показывает красоту математики, которая играет большую роль для воспитания у учащихся чувства красоты в самом широком значении этого слова; развитие теории дискретных групп преобразований отражает одно из важных направлений в развитии теории и практики и имеет большую значимость для науки.

при наличии уровневой и профильной дифференциации обучения в средней школе возникает необходимость проследить возможности использования материалов факультатива в классах естественно-математического направления и других специализаций. Разработанный нами факультативный курс целиком может использоваться для проведения факультативных занятий в математических классах и школах, а отдельные его разделы могут быть использованы для проведения факультативных занятий в классах с другими специализациями, в диссертации Св пункте 2.4. главы II) предложены программа курса для шшл и классов с углубленным изучением математики.

Одной из важных задач факультативных курсов по математике мы видим усиление роли математической теории при обучении на факультативе. Эта необходимость обоснована и подтверждена проведенным педагогическим экспериментом. В результате было установлено, что теоретический материал предпочтительно изучать с учетом его целостной, структурной организации. Е пункте 1.2.3. дается обоснование принципов, лежащих в основе отбора и систематизации теоретических знаний по теме "Дискретнш группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского".

Вторая глава начинается с рассмотрения общих вопросов, входящих в методическое обеспечение проведения Факультативных занятой по теме "Дискретные группы движений в плоскости Евкли-

да и Лобачевского" с п.£.1). Факультативный курс рассчитан на годичное изучение. Общее число учебного времени, отводимое для проведения факультативных занятий составляет 55 часов. После изучения каждого раздела проводятся обобщавшие занятая, на которые отводится 8 часов, резерв времени - 3 часа - используется по усмотрению учителя. Все темы факультативного курса представляют из себя законченнье подтемы, связанные между собой и органично переходящие друг в друга.

В формы проведения факультативных занятий были включены лекции и семинарско-практические занятая. В конце изучения каждого раздела проводились последние итоговые занятия, на них обсуждались основные вопросы изученных разделов с целью их повторения и систематизации, обощения того, что сделано по основным ключевым направлениям, были подведены общие итоги, отмечены наиболее удачные сообщения учащихся, доклады. На последних занятиях по изучению куждого раздела предлагалось выполнить самостоятельные работы, а по окончании изучения обеих тем - контрольные работы.

В этом же пункте рассматриваются требования к подготовке учителя для проведения факультативных занятии по указанной теме и приводится перечень основных вопросов по геометрии Евклида и геометрии Лобачевского, с которыми должен быть знаком учитель. проводящий предлагаемый факультативный курс.

Е пунктах 2.2 и 2.3 приводятся программа курса, примерное почасовое планирование по изучению тем курса и методические рекомендации по изучению конкретных тем факультатива.

Первый раздел факультативной темы "Дискретные группы движений в плоскости Евклида" начинается с рассмотрения общего понятия отображения фигур по аналогии с понятием функции Суже изученного учащимися в рамках основной программы). Вводится понятие суперпозиции отображении. После введения основных понятий приступаем к изучению специальных видов отображений - зто: движения на плоскости и их основные виды (поворот, центральная симметрия, осевая симметрия и параллельный перенос). Изучение раздела заканчивается решением практических задач с помощью движений.

Второй раздел темы посвящен изучению группы движений плоскости. Вначале вводится понятие суперпозиции движений - групповой операции с соответствувдими свойствами. Рассматривается деление веек видов движений на собственные и зеркальные, рассматривается новый вид движения - скользящая симметрия» и изучается центральная теорема теш - теорема Шаля. После рассмотрения вводных понятая приступаем к Формированию понятия группы движений. Приводятся примеры групп движений и на отдельном занятии изучаются группы сашеовмещений плоских фигур. Изучение раздела заканчивается решением задач на применение групповых свойств движений.

Третий раздел по названию совпадает с названием темы и представляет собой новый и основной материал Факультатавного курса, необходимый в дальнейшем и для изучения групп замощений гиперболической плоскости. Этот раздел посвящен изучении дискретных групп движений в плоскости Евклида. Начинается изучение раздела с рассмотрения группы подстановок, с помощью которой будут введены понятая гомоморфизма и изоморфизма групп. Далее вводим понятия Фактор-группы, орбиты, образующих элементов и соотношений, изучаются конечные группы, теорема Лагранжа. Далее вводится понятие дискретной группы, которое сопровождается большим количеством примеров. Наиболее наглядным и интересным материалом темы является изучение кристаллографических с федоровских) групп движений - дискретных групп движений с ограниченной фундаментальной областью - и решение задачи замощения плоскости, заканчивается изучение раздела и всей первой темы рассмотрением основных задач, возникающих при решении общей задачи замощения плоскости. Рассматриваются примеры как периодических, так и непериодических замощений плоскости Евклида.

Изучение второй темы факультатавного курса начинается с рассмотрения элементов геометрии Лобачевского. В данной части курса происходит знакомство учащихся с основами аксиоматического метода, изучаются аксиомы и теоремы абсолютной геометрии. Ставится вопрос о решении поблемы пятого постулата Евклида и Формулируются аксиомы параллельности Евклида и Лобачевского. На основе изученных Фактов вводятся понятая геометрии Евклида и

Лобачевского, затем непосредственно можно приступить к изучению элементов геометрии Лобачевского. Формулируются и доказывается ряд теорем геометрии Лобачевского, рассматриваются элементарные линии в плоскости Лобачевского. Далее Нормируем у учащихся общее понятие математической структуры, приводятся примеры математических структур, вводится понятие модели. Изучение раздела заканчивается рассмотрением модели Пуанкаре геометрии Лобачевского - верхней полуплоскости.

Второй раздел посвящен изучению дискретных групп движений плоскости Лобачевского, вводится понятие движения в плоскости Лобачевского, группы движений, аналитическая запись движений в плоскости Лобачевского, дается определение дискретной группы по аналогии с Евклидовой геометрией. Далее ставится вопрос о решении задачи замощения плоскости Лобачевского по аналогии с Евклидовой плоскостью. Решением задачи является отыскание Есех возможных групп замощений - Фуксовых групп. Изучение раздела заканчивается рассмотрением разнообразных фуксовых групп, приводящих к замощению плоскости Лобачевского и решением задач на эту тему.

В пункте S. 4 предложены тематика и примерное планирование занятий по изучению предлагаемого Факультативного курса в классах с углубленным изучением математики, мы внесли ряд изменеий в программу курса, в соответствии с проведенным анализом учебников геометрии для шсол и классов с углубленным изучением математики. В математических классах, занимающихся по базовым учебникам Ca таких на сегодняшний день немало), изучение факультативного курса предлагается проводить по основной программе.

Глава III посвящена описанию проведенного эксперимента. Главной целью экспериментального исследования было подтверждение эффективности разработанного Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" и методики его изучения. Эффективность методики проверялась по следущим критериям:

- доступность материала;

- способствование более глубокому усвоению программного

материала.

- влияние предлагаемой методики на уровень развития математической культуры и интеллекта школьников:

Экспериментальная проверка положений диссертации проходила в три зтапа.

Первый этап - констатирующий эксперимент - был начат в 1933 году. Основными задачами этого зтапа эксперимента являлись изучение и обощение опыта преподавания факультативов по математике в школе: изучение состояния рассматриваемого в наши исследовании вопроса в практике преподавания в школе и его разработанность в научной и учебно-методической литературе.

На основании опроса учителей, обобщения педагогического опыта, изучения математической, психолого-педагогической и методической литературы было выявлено состояние рассматриваемой нами проблемы в теории и практике обучения. В результате была сформулирована гипотеза исследования.

намеченная нами проблема и выдвинутая гипотеза помогли выбрать и наметить методику исследования, направленную на установление истинности гипотезы.

Второй этап эксперимента - шскоеый эксперимент. На данном этапе эксперимента автором исследования были сформулированы принципы отбора содержания Факультативного курса, подготовлены учебне материалы, разработана методика изучения тем курса, произведен отбор задач для осуществления учебной деятельности на занятиях. Были подготовлены методические рекомендации по изучению элементов теории дискретных групп преобразований на Факультативных занятиях, которые легли в основу работы по этой теме.

Следущий этап экспериментального исследования - обучающий эксперимент. Цель этого этапа заключалась в более глубокой проверке уточненной методики преподавания Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского", в проверке его доступности, способствовании более глубокому усвоению программного материала и влиянию предлагаемой методики на уровень развития математической культуры и интеллекта школьников.

В течение времени экспериментального обучения для наблюдения динамики усвоения знаний проводились три самостоятельные и две контрольные работы. Полученные результата выполнения самостоятельных и контрольной работ представлены в виде таблицы

оценка 5 4 3 2

С. Р. Ы1 38% 13% 43% —

с. р. Ы2 42% 14% 44% -

с.р.ыз 43% 36% 21% -

К. р. N1 48% 3?% 15% -

к. Р. N2 49% 39% 12% -

таблица 1

Результаты выполнения самостоятельных и контрольных работ, а также проведенный качественный анализ работ учащихся позволили сделать вывод о доступности изучаемого материала.

По окончании изучения факультативного курса мы предложили учащимся контрольную работу КЗ, задачи которой даны в соответствии со школьной программой. Эту же контрольную работу мы предложили учащимся, не занимавшимся на факультативе. Результаты решения контрольной работы в той и другой группах детей свидетельствуют о том, что более подготовленными к решению предложенных задач оказались учащиеся, с которыми проводился факультатив. Факультатив помог им более глубоко усвоить программный материал.

Для подтверждения выводов, сделанных на основании результатов контрольной работа, мы провели обработку данных с помощью метода статистической обработки х^ схи-квадрат).

Категории плохо посред. хорошо отлично

Выборка 1: п1=25 Выборка 2: п2=25 011=0 021=1 012=1 022= В 013=6 023=9 014=18 024=9

Таблица 2

Проверяется гипотеза Но: изучение факультативного курса не способствует более глубокому усвоению программного материала.

Согласно проведенным расчетам, значение статистики критерия к* Тнабл. = 8,171. Для уровня значимости а = 0,05 и числа степеней свободы v = 4 - 1 = 3 критическое значение статистики критерия Tkü. : xi-s = 7,815. Верно неравенство: Тнабл. > Ткштич. С 8,171 > 7,8153. В соответствии с правилом принятия решения полученные результата дают основавние отклонить гипотезу Но и принять альтернативную Hi: изучение факультативного курса способствует более глубокому усвоение программного материала.

Для установления влияния предлагаемой методики на уровень интеллектуально го развития школьников, до начала эксперимента и после его завершения с учащиеся проводились психологические тесты диагностики интеллекта по методикам: "Выявление существенных признаков", "Сложные аналогии", "Методика Равена". Результаты проведения тестов с обрабатывались с помощью одностороннего критерия знаков) показали, что предлагаемая методика изучения элементов теории дискретных групп преобразовании способствует интеллектуальному развитию школьников.

Возможность судить о повышении уровня математической культуры школьников дал анализ проведенного анкетирования в начале изучения факультативного курса и при его завершении.

Анкета.

1. Где используется геометрия?

2. Назовите имена ученых - математиков.

3. Назовите известные вам разделы математики, геометрии.

4. Что вам известно о роли русских ученых в мировой науке? Приведите примеры.

5. Назовите, где на практике применяются геометрические преобразования.

Отметим, что ответы на вопросы анкеты после изучения факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" стали достаточно полными. Учащиеся продемонстрировали глубокие знания по рассмотренным темам, что позволило судить о повышении уровня математической культуры школьников.

На основании анализа результатов самостоятельных и контрольных работ, проведенных психологических тестов и анкетиро-

вания шю считать проведенный эксперимент в достаточной степени удавшимся.

Таким образом, результаты проведенного обучающего эксперимента показывают, что предлагаемая методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского доступна учащимся: способствует более глубокому усвоению программного материала: способствует повышению уроеня математической культуры и интеллектуального развития школьников.

В заключении подводятся итоги проведенного исследования.

Анализ научной и учебно-методической литературы показал, что методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского еще недостаточно исследована и изучена и в традиционной практике обучения на факультативный занятиях еде нет достаточно обоснованной системы изучения этой темы.

Анализ современной педагогической и методической литературы, опросы учителей и преподавателей вузов показали, что многие студенты-первокурсники естественно-научный и особенно математически к Факультетов вузов испытывают серьезные трудности на первых этапах обучения в высшей школе при изучении математических теорий высокого уровня абстракции. Поскольку Факультативные занятия по математике посещают, как правило, учащиеся, которые связывают свое будущее с естественно-научным циклом дисциплин, то еще в школе следует готовить их к преодолению упомянутых выше трудностей. Требуется поиск таких методик, которые были бы построены на обобщении и знакомили бы учащихся с высоким уровнем абстракций математических теории. В результате било установлено, что теоретический материал предпочтительно изучать с учетом его целостной, структурной организации.

На основе выявленных методических особенностей изучения теоретического материала разработаны содержание и структура факультативного курса "Дискретные группы деижйний в плоскости Евклида и Лобачевского", выбор темы обусловлен тем, что она сама носит интегративный характер, и в настоящее Бремя в методике нет достаточно обонованной системы изучения данной темы, которая , в свою очередь, позволяет показать Еесьма интересные.

сложные и вполне доступные приложения, в диссертации разработаны программа курса и примерное планирование факультативных занятий, разработаны методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса. Произведен отбор задач для закрепления изученного теоретического материала и осуществления учебкой математической деятельности.

Изучение материала факультативного курса с помощью разработанной методики, как показал наш эксперимент, способствует повышению уровня интеллектуального развития и математической культуры школьников. Было установлено, что материал Факультатива доступен учащимся и вызывает интерес, методика изучения предложенного факультативного курса способствует более глубокому усвоению программного материала.

Экспериментальная проверка методики проведения факультативного курса подтвердила ее эффективность.

Разработанные в диссертации материалы югут быть использованы учителями для проведения факультативных занятий и занятий по выбору как в обычных классах, так и в классах с углубленным изучением предметов естественно-математического цикла, отдельные темы Факультативного курса могут быть использованы автономно и в других факультативах С по теории вероятностей, теории относительности, теории дифференциальных уравнений), а также для разработки факультативных занятии в классах с другими специализациями.

Наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следущих публикациях:

1. Группы симметрии. - Моск. пед. ун-т. - М. 1995. - 10с. ил. - Библиого.: б назв. - деп. в ВИНИТИ N 2&98-В95.

2. О группах зашщения Ееклидовой и гиперболической плоскостей //Тезисы докладов 4-ой научно-практической межвузовской региональной конференции, 4.2 - Биробиджан, 1835 г. С. зз - 34.

3. Школьникам о группах инвариантности. - СВ.: Преподавание математики в условиях многоступенчатого обучения. - Нижневартовск, 1996 г. - С. 65 - 70.

4. Проведение факультативных занятий, посвященных проблемам организации учебного материала с усилением роли матеыати-

ческой теории. - Моск. лед. ун-т. - М. 199?. - 14с. ил. - Виб-лиогр. : 4 назв. - Леп. в ОЦНИ "Школа и педагогика" N 37-97.

5. Паркеты и дискретнш группы преобразований. - Моск. пед. ун-т. - м. 1997. - 14 с. ил. - Библиогр.: 2 назв. - Дел. в ОЦНИ "Шопа и педагогика" N 36-37.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Жукова, Наталья Петровна, 1998 год

введение. ..л

Глава i. методические особенности изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях.

1.1. Вопросы теории дискретных групп преобразований в научной и учебно-методической литературе.

1.2. Основные методические проблемы обучения теме "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского"..

1.3. Методические особенности постановки факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского".

1.3.1. Принципы отбора содержания факультативного курса.----- —

1.3.2. принципы отбора теоретического материала Факультативного курса.

Глава II. факультативный курс "дискретные группы движении в плоскости евклида и лобачевского".

2.1. Основные методические идеи обучения учащихся на Факультативе.

2.2. Методика изучения темы "Дискретные группы движений в плоскости Евклида".

2.2.1. Методика изучения раздела "Основные виды движений плоскости".бе

2.2.2. методика- изучения раздела "Группы движений плоскости".

2.2. 3. Методика изучения раздела "декретные группы движений плоскости",.

2.3. Методика изучения темы "Геометрия Лобачевского. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского".

2.3.1. Методика изучения раздела "Элементы геометрии Лобачевского".

2.3.2. Методика изучения раздела "Дискретные группы движений в плоскости Лобачевского".

2.4. Особенности изучения факультативного курса в классах с углубленным изучением математики.

Глава I II. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

3.1. Организация и основные итоги эксперимента по проведению Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевекого".

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях в 10,11 классах"

В настоящее время в условиях современной гуманизации и гуманитаризации образования все большее значение приобретает личностный подход к обучению. Цель современной школы - развитие личности учащегося, формирование его ценностного сознания. Современная концепция развития образования предполагает поиск новый Форм и методов организации учебного процесса, которые позволят максимально раскрыть индивидуальные особенности школьника, ориентируясь на способности и склонности учащегося, осуществление такого подхода вполне возможно на факультативных занятиях.

Основная цель Факультативный занятий- расширение, углубление и развитие образования в средней школе, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний. Применительно к математике эта цель заключается в сближении школьного курса математики с современной наукой» в ознакомлении школьников с важнейшими современными идеями математики. Специфика Факультативных курсов в современный условияк позволяет решать сложные проблемы: повышение интереса к (наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний: ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути, существенным образом связанного в перспективе с математикой.

Как видно из трудов виднейших психологов и педагогов С. Л Рубинштейна с813, ли. Бояювич с 163, П. Я. Гальперина С263, H.A. Менчинской С623, Н.Ф, Талызиной с943, психологические особенности развития учащихся старших классов благоприятствуют постановке довольно сложных по научному уровню Факультативных занятий.

Проблемам совершенствования математического образования, возможного сближения школьного курса математики с математической наукой, изучению на доступном для учащихся уровне идей современной математики посвящены работы известаык математиков и педагогов, среди которых: А. Р. Кулишер С48), К.Ф. Лебединцев С53), В.В. Лермантов (54), К.А. поссе С77), В.Б. Струве С77), С. И. Шокор-Троцкий С1053, Б-В- Гнеденко с 28), А. Д. Александров С 1,2,3), В. Г, Болтянский С18), Л. Д. Кудрявцев С 47), А. Я. Хин-чин С104).

В качестве одной из фундаментальный теорий современной математики, элементы которой могут изучаться на факультативных занятиях, мы предлагаем теорию дискретных групп преобразований. теория дискретных групп преобразований - это современная и быстро развивающаяся область геометрии, изучающая действия дискретных групп на многообразиях. Стимулом развития теории дискретных групп преобразований явились потребности такик наук, как теория дифференциальных уравнений, теория функций, геометрия, теория чисел, кристаллография и других областей науки. Наиболее интересным и преемлемым для изучения в средней школе материалом, на наш взгляд, является применение теории дискретных групп преобразований в решении задачи замощения плоскости Евклида и Лобачевского. Опыт научно-исследовательской работы показал, что изучение элементов теории дискретных групп преобразований Скак в плоскости Евклида, так и в плоскости Лобачевского) на Факультативных занятиях в старших классах вполне реально.

В настоящей диссертации проиллюстрированы принципы отбора содержания и организации учебного материала Факультативного курса "ЛМПК.РРТНЫР ГРУППЫ ЛРШЖРНИЙ R плпгк-л^тм Евгсшдя и Лпвачййсклгп" и его двух частей: "Дискретные группы движений в плоскости Евклида" и "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского" - для изучения в 10,11 классах средней школы.

Выбор этик тем можно обосновать следующими соображениями:

- в основе Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" лежит одно из основных понятий математики - геометрическое преобразование;

- геометрические преобразования являются одной из содержательных линий школьного курса геометрии:

- множество движений плоскости относительно их суперпозиции образует группу, являющуюся примером математической структуры, которая имеет наиболее богатые приложения в различных областях науки и техники, то есть появляется возможность показа на конкретном примере целостной теории;

- школьный курс геометрии, построенный на аксиоматической основе, таит в себе благоприятные возможности и обладает достаточными резервами для изучения в рамках факультативным занятий элементов геометрии Лобачевского;

- наиболее наглядным примером показа целостной теории является изложение элементов теории дискретных групп преобразований как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

Под целостной теорией мы понимаем здесь минимальную структуру, адекватную общепринятой структурной единице науки, которая состоит из двух основных частей: оснований сосновные понятия и исходные посылки) и следствий Собъяснения и интерпретация известных Фактов и предсказание новых).

Через применение структур появляется возможность раскрыть учащимся абстрактный характер математики, показать возникновение математических абстракций, значение математических методов. Умение осмыслить математику с точки зрения структур - это значит умение отвлечься от конкретного содержания, воспользоШ Ш ваться методом, языком математики, в чем и состоит ее практическая ценность. Понятие математической структуры позволяет установить единство в многообразии математических фактов и методов.

Понимание роли структур может быть достигнуто через изучение конкретных структур и вопросов, которые помогают понять значение структурного подхода при изучении конкретного материала. Знакомство с основами аксиоматического метода при изучении элементов геометрии Лобачевского, построение новой геометрии и ее модели позволяет привести учащихся к общему понятию математической структуры, первым примером которой рассматривалось понятие группы геометрических преобразований.

Ознакомление учащихся с геометрией Лобачевского, само по себе, важно с различных точек зрения: с логической - это новая аксиоматика геометрии: с познавательной - как один из примеров неевклидовой геометрии: с исторической - на примере геометрии Лобачевского можно показать учащимся роль русских ученых в развитии науки: с прикладной - изучение геометрии Лобачевского способствует изучению других разделов науки, в частности, теории относительности; с философской - у учащихся формируются представления о геометрии реального Физического пространства и т.д. Таким образом, ознакомление с геометрией Лобачевского -элемент общей культуры, с ней должен быть знаком каждый человек.

Основная цель изучения теории состоит, как известно, в том, чтобы научиться ее применять. Всякая теория может | применяться либо для изучения, развития другой теории, либо для реI шения практических задач. Поэтому, применительно к нашей! теме, необходимо показать конкретно, с одной стороны, применение элементов теории дискретных групп в геометрии сЕвклида и Лобачевского), с другой - приложения теории дискретных групп преобразований к построению орнаментов, паркетов и решению практическим и прикладным задач.

Вопросам теории дискретным групп преобразований посвящено значительное количество литературы, касающейся как геометрии действия этим групп, так и приложений С к теории функций комплексного переменного, топологии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, кристаллографию. Этим вопросам посвящены; работы А. Пуанкаре с 109), В. Тёрстона С110), Б.н. Апанасова С 7, 8), А. Бердона с 13), Ю.М. Рябумина с 82), з.Б. Винберга с £1,22,23), а также д. Гильберта С27), С. Кон-Фоссен с27), М.Берже с14), Г.С.М. Коксетера С42) и другим авторов. Все перечисленные работы являются строго научными или научно-популярными, практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя, на первое знакомство с предметом. Вопросы обучения этим темам в методической литературе еще не рассматривались.

Необмодимой основой для изучения факультативного курса является тема "Геометрические преобразования". Разработка методики обучения теме "Геометрические преобразования" привлекала внимание многим методистов. Вопросам ознакомления учащимся с группами преобразований на факультативным занятиям посвящены диссертационные исследования А. Р. А. Сайед С 83), Н. в. Аммосовой с 6), А.м. янченко с 108), т. и. Уткиной с 98), м.А. Петровой с 70) и другим авторов. Методика изучения элементов теории дискретным групп преобразований и ее приложений в решении задачи замощения плоскости на факультативным занятиям еще не рассматривалась.

Для изучения второй части Факультативного курса предполагается знакомство учащимся с элементами геометрии Лобачевского. Этим вопросам посвящены работы авторов: В. Г. Болтянского (18), А. В. Силина с 87), Н. А. Шмаковой С 87), Б. В. Кутузова С 49), Е.Е.

Семенова С863 и других. Программы факультативных курсов, знакомящих старшеклассников с элементами неевклидовых геометрий и методика организации их работы предлагались в разное время н.Р.гшбуллаевым с25), п.В.Мартиросян с61), Т.И.саламатовой с843, е.А.Ермак с333. Во всех перечисленных выше работах основной акцент делается на применение геометрии Лобачевского, в решении задач Физики, теории относительности и астрономии,! в решении практических задач с помощью сферической и гиперболической геометрий. Вопросы дискретных групп движений в плоскости Лобачевского и методика изучения этой темы в работая перечисленных выше авторов не рассматривались.

Наряду с большим количеством имеющихся научных работ по геометрии дискретных групп и интенсивным развитием этого направления науки» элементы теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на Факультативных занятиях в школе не изучались. Практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя. Вопрос методики изучения этой темы на факультативных занятиях не исследовался.

Кроме того, как показывает анализ современной педагогической и методической литературы, многие студенты-первокурсники естественно-научных и математических Факультетов университетов испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий вьь сокого уровня абстракции. Поскольку на Факультативах обучаются, как правило, те дети, которые связывают свое будущее если не с математикой, то с естественно-научным циклом дисциплин, безусловно, еще в средней школе следует готовить ик к преодолению упомянутых выше трудностей. Одним из вожможных путей их преодоления мы видим усиление роли математической теории при обученим геометрии на Факультативный занятиях.

Таким образом, возникает необходимость разработки содержания факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников старших классов, и методики его изучения с тем, чтобы на примере конкретной темы показать учащимся особенности математической теории и начать подготовку к более действенному изучению высоких математических абстракций.

Все сказанное выше определяет актуальнпгть темы исследования. проблема ислепования заключается в поиске путей постанов-^ ки факультативного курса по изучению элементов теории дискрет

1 ных групп преобразований в старших классах.

V Цель работы состоит в разработке содержания и методики изучения Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского", направленной на усиление теоретических аспектов геометрии. объектом исследования является процесс обучения геометрии # на Факультативных занятиях. прйпметпм исследования является содержание учебного матс-1 риала по теме: "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и

Лобачевского" и методика его изучения. в ходе исследования была выдвинута гипотеза согласно котоI рой, реализация методических особенностей постановки Факульта тивного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и

Лобачевского", направленных на усиление роли математической к теории, будет способствовать более глубокому усвоению програм

I "

1 много материала, создаст объективные предпосылки для повышения уровня математической культуры и интеллектуального развития школьников.

Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было последовательно решить следующие задачи:

1. Произвести анализ научной и учебно-методической литературы по теш исследования.

2. Выявить методические особенности постановки факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" в современный условиях с учетом усиления теоретических аспектов геометрии.

3. Разработать структуру и содержание Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников старших классов.

4. разработать методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского

5. провести экспериментальную проверку разработанный материалов.

При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- изучение и анализ научной и учебно-методической литературы по теме исследования;

- обобщение опыта постановки Факультативных курсов;

- беседы с учителями школ и преподавателями вузов;

- беседы и анкетирование школьников;

- организация и проведение педагогического эксперимента;

- количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Исследование проводилось с 1993 по 1997 г.г. и включало в себя несколько этапов: на первом этапе был проведен анализ математической, псино-лого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучен опыт постановки Факультативный курсов по математике, определен предмет исследования, организован констатирующий эксперимент. на тугпрпм этапе были подготовлены учебные материалы и методические рекомендации к ним по темам: "дискретные группы движений в плоскости Евклида" и "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского", разработаны отобран комплекс задач на основе ик непосредственной взаимосвязи с теоретическими знаниями. Организован поисковый эксперимент. на тррткрм этапе разрабатывалась методика проведения обучающего эксперимента и осуществлялась его реализация. на четвертом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию.

Научная нпшляна проведенного исследования состоит в разработке содержания Факультативного курса по математике "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" и методических рекомендаций по его изучению.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:

- обоснована целесообразность и возможность изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях;

- разработаны основы изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на факультативных занятиях по математике;

Практическая значимость работы заключается в том, что:

- разработано содержание факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского"?

- предложено примерное планирование Факультативных занятий по данной теме для учащихся 10,11 классов;

- разработаны методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса;

- разработанные по темам "Дискретные группы движений в плоскости Евклида." и "геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского." материалы могут быть использованы учителями для проведения факультативных занятий и занятий по выбору, как в обычный классах, так и в классах с углубленным изучением предметов естественно-математического цикла, в лицеях и гимназиях;

- отдельные разделы Факультативного курса могут быть использованы автономно и в других факультативах, а также для разработки факультативных занятий в классах с другими специализациями;

- материалы исследования могут быть использованы преподавателями педвузов для проведения спецкурсов, студентами для самостоятельного изучения. на защиту дьмосятся: содержание и методика изучения теш "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на факультативных занятиях в ю,и классах,

Апвпбапия результатов игеладования. основные методические выводы и результаты исследования обсуждались на кафедре геометрии МПУ. Проводились доклады: на 4-ой научно-практической межвузовской региональной конференции сБиробиджан, 1995г.3, на семинарах методического объединения учителей математики г.Тобольска, на методическом семинаре преподавателей летней математической школы еТобольск, 1996 г.З, на семинаре "Передовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом" СМПУ, 1997г.). экспериментальная проверка. Для оценки эффективности выдвинутых в ходе исследования положений был проведен педагогический эксперимент с 1993 по 1997 г.г. на базе гимназии N0 ю г.Тобольска и на базе летней математической школы г.Тобольска, где ежегодно обучаются дети с целью их раннего отбора, профориентации и профинформации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и трек приложений.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Жукова, Наталья Петровна, Москва

2. А.пександроЕ А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В* И. геометрия &- S с учебное пособие для учащикся жсол и классов с углубленным изучением математики). - М.: Просвемение 1881. - 415 с.

3. Александров А.Л. Вернер А.Л., Рыяшк В*Е геометрия 10-11 сучебное пособие для учащийся жол и классов с углубленным' изучением математики). - М.: Просвещение 1995. - 463 с.

4. Апексакдров а Мир ученого // Наука и жизнь., 1374.М 8. с. 2 - 9.

5. Алек:сандров П.С. Николай Иванович Дэбачевский.//Квант.- 1876. - W2. - 5 - 15.

6. Аммосова н. в. Движения^ группы движений и ик приложения в системе факультативный курсов. Автореф. дис..канд. пед. наук. /Моск. пед. ин-т им. в. и. Ленина, - М. 1887. - 15 с.

7. Апанасов В. Е Геометрия дискретный групп и многообразий. М.: Наука. 1891. - 426 с.

8. Апанасов Б. Н. Лискретные группы преобразований и струкТУРЫ многообразий, ньвосибирск: Наука. 1983. - 242 с.

9. АРНОЛЬД В. Зачем мы изучаем математику? // Квант.1983. - W 1/2. - 6

10. Атанасян Л.С. Бутузов В-Ф., Кадомцев СБ. познякЭ.Г. Юдина И. И. Геометрия 7 - 9, учебник для 7 - 9 классов средней жолы. - М.: Просвещение, 1882. - 335 с.

11. Барыбина И. А. Элементы современной алгебры на й^культативнык занятияк в средней жоле. АвтореФ. дис.. канд. пед. наук. / мопи им. ЕК. Крупской, -М., 1870. - 16 с.

12. Бакман Ф. Построение геометрии ш основе понятия симjLiZiA.метрии. М.г Наука, 1969. - 379 с. 13- Бердон А. геометрия дискретный групп. - М.: Наука, 1986- - 300 с.

13. Берже м. Геометрия, т.1. -М.: Мир, 1984. - 54б'с.15- Верже м., Берри Ж. - П., Паксю Н,, Сен-Р-еймон К- Задачи по геометрии с комментариями и решениями. - М.: Мир, 1Ш9. 304с.

14. Божович Л-И- познавательные интересы жольников и путит изучения. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1955- - вып. 73. - 314 с

15. Болтянский В.Г., йглом И.М. Пшобразования. Век:торы:пособие для учителей. - М.: Просвещение, 19S4. - 303 с.

16. Болтянский Е.Г. Загадка аксиомы параллельнык. /Квант.- 1976. -• N3. - 2 - 8.

17. В чворческом поиске. Вопросы психологии и методики обучения Физике и математике в школе. / Под ред. В. И. ЗЫКОВОЙ И , з.И. Калмыковой. - м., "Сов. Россия", 1872. - 143 с.

18. Вейль г. Симметрия. - м.; Наука, 1968. - 191 с.Й1. Винб'ерг Э- В. Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского // Мат. сб., 1967. т. 72. с. 471 - 488.

19. Винберг/ Э.Б. Некоторые примеры кристаллографическийгрупп в пространствак Лобачевского // Шт. сб., 1967. т. 78. с. 633-639.

20. Винберг Э.Б., Шварпман О.В. Римановы поверкности. /итоги тшт и текники, 1978, т. 16 - 245 с.

21. Гуцул И. , Макаров В. 06 одном семействе федоювскик групп пространства Лобачевского // ТР. Мат. ин-та ДН СССР. 197S. T.14S. с. 106 - 108. 31- души св., '^Шотаревскйй Б.д. От орнаментов до диФФеренциальнш уравнений. -.Минск: вьш.шк. 1988. - S53c.

22. Евклид, начала т.т. 1 Л 1 Л П . М., -П.: Гостениздат.194S - 1949, 1950. - 445, 510, 326.

23. Ермак Е. А. Развитие пространственнык представленийучащийся средней жолы при изучении евклидовой и неевклидовой геоштрии: Автореф. дис.. канд. пед. наук. - Санкт - Петербург, 1981. - 18 с.

24. Зорина Ли. Дидактические основы Формирования системности знаний старшклассников. М., 1978. - 123с.

25. Зыкова В. И. Очерки псикологии усвоения начальный геометрических знаний. Пособие для учителей. - м., Учпедгиз. 1955. 164 с.

26. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. - М.-Л.: Гостешздат. - 1948. - 30g с.

27. Калужин Jl.A.V Сущанский В.й. Преобразования и перестановки. - М.: Наука, 1985. - 160 с.

28. К.ШЙН Ф. сравнитльное Обозрение Н0Е8ЙЙШК геоме-шйческик исследований / Эрлангенская программа/, 1872. - В сб,: 06 основанияк геометрии. - М.: Гостекиэдат, 1956. - 399 - 434.

29. Клейн Ф. Элементарная штематака с точки зрения высшей: в йх томан. т. 2. Геоме'шия: Пер. с нем. / Под ред. В. Г. Болтянского. - 2-е изд. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. .шт., 1987. - 416 с.

30. Коксетер Г.СМ. Введение в геометрию. - м.: Мир, 1971.- 247 с. .

31. Коксетер Г. М., Грейцтер Л. Новые встречи с геоштрией: Пер. с англ. / Под ред. А. П. Савина. - М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 19Ж - 224 с , ил.

32. Коксетер Г.СМ., Мазер У.о.Дж. Поровдашйе з.шменты иопределящие соотношния дискретный групп: ПЁР. С англ./ под ред. Ю. И. Мерзлякова - М.: Наука. Гл. ред. ^з.-мат. лит. ,1980. - 240 с.

33. Колмогоров А. Н. паркеты из правильный многоугольников.//Квант. -1986. Мб. 3 7.

34. Колягин Ю.М., Лукашсин Г.Л., Моркушин Е. л., ОганесянВ.А., пичурин Л.Ф., саннинский В.й. Методика преподавания математики в средней жоле. С Частные методики). - М.: Просвещение, 1877. - 478 с.

35. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.й., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. СОбщая методика). - м.: Просвещение, 1875. - 461 с.

36. КрушкалБ л.^ Ананасов Б.Н., гусевский Н.А. клейновы- 185 группы и униФоршзао.ИЯ в примерак и задачак. - Новосибишк: наука. 1981. - 231 с.

37. Лаптев Б. Л. н. и. Лобачевский и его геометрия: Пособиедля учащийся. - М.: Просвещение, - 1876. - 11Й с.

38. Лермантов Б. В. Какик результатов можно требовать отпреподавания элементарной алгебры и как ее следует излагать. Прив. - доц. в. лермантова. Одесса, тап. Шпенцера, 1901. 13 с.

39. Лучшие псикологические тесты Сдля профотбора и профориентации). о/р. А.Ф. Кудряшов. - Петрозаводск.: изд-во "ШтроКОМ", 1892. - 318 с.

40. Макаров B.C. геометрические методы построения дискретнык групп движений пространства Лобачевского // Проблемы геомечрии 15. М.: ВИНИШ. 1983. 3-59.

41. Макаров B.C. 06 одном классе двумерный Федоровскийгрупп // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1967. Т. 31. с. 531 542.

42. Макаров В. С- Об одном классе разбиений пространстваЛобачевского // МН СССР, 1965. Т. 161. S77 - 278.

43. Мантуров О.В. Исаева М. А. 06 аксиоматическом методе вшкольном курсе геоме-шии // Математика в школе. - 1988. ш : 38 -- 41.

44. Мартиросян а в. элементы неевклидовой геометрии всредней школе: Автореф. дис.. канд. пед. наук. - Баку. - 1973. - 37 с.

45. Менчинская Н.А. мышление в процессе обучения. // С6.Исследования мышления в советской псико.110гии. / Под ре д. СВ. Широковой. - М.: Шука> 354 387.

46. Методика препдавания математаки в средней школе: Общаяметодика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. "Математика" и "Физика" / А. й. шюк, Е. канин, Н. Г. Килика и др.; сост. Р. черкасов. А. А. Стляр. - М.: Просвещение, 1975. 336 с.

47. Молодшй B.R Очерки по омлософским вопросам математики. - м.: Просвещение, 1969. - 303 с.

48. Мордукай-Волтовской М.М. 0. заполнении неевклидовыкпространств пшвйльными многоугольниками и многогранниками. Уч. зап. НИИ мат. и Физ. Рост. н/Д Гос. ун-та, 1838, Т. 2. 35 37.

49. Нечипоренко К. А. Элементы, теории чисел на Факультативный занятияк в VII vril классак средней жолы. Автореф. дис.. канд. пед. наук., Киев, 1975. ™ Зй с.

50. Пеклецкий И. Д. Общая теория систем и анализ процессаобучения. - Пермь, 1976. 120 с.

51. Пиаш I., Э.Вет., Ж.Дьедоне, А. Ликнерович, Г.Жоке,К.Гаттекьо. Преподавание математики. - М. Учпедгиз, 1960. "* Ju%?fC Кал

52. Пикан В. в. совершенсшовать формы учебный занятий //Математика в жоле. 1987. - W 5. 23 - 26.

53. Погорелов А. В. Геометрия 7 - 11. Учебник для 7 - 11классов средней жолы. - М.: просвещение, 1982. - 383 с.

54. Поздняков И. И. Педагогические основы Факультативныйзанятий по математике в старшик классах средней жолы. АВтореф. дис.. канд. пед. наук., М., 1971. - 18 с.

55. Польский Н.И. О различный геометрияк. - Киев: Йзд-вооо АН УССР, 1862. 100 с.

56. Шссе К. А. Струве В. Б- О согласовании програш увшматики в средней и высшей жолак. Доклады, прочит, в общем собрании Первого Всерос. съезда преподавателей математики з января 1912 г. Одесса. 1912, 16 с.

57. Потои^ сий М.В. О педагогическик основак обучения математике. - М.: Учпедгиз, 1963. - 200 с. 78- Программы факультативный курсов для средней школы. 41. - R , 1969. - 54-66.

58. Пуанкаре А. о науке, -м.: Наука, 1980.81- Рубинштейн С-л. Проблемы общей психологии- М.: Педагогика, 1973. 426 с.

59. Рябукин Ю.М. Геометрия дискретны5{ групп. Кишенев,Xi^wU- "^ 1«зл

60. Сайед А. Р. А. Методика ознакомления учащихся среднейжолы с элементами теории групп: АвтереФ. дис.. канд. пед. наук. -• - киев, 1874. - 35 с.

61. Саламатова Т. И. Методика Ьазвитая геоме1|>ическик представлений учащийся средней жолы на внекласснык и Факультативных занятиях Сна примере геоме-шии Лобачевского и сферической геометрии): Автореф. дис.. канд-пед. наук. ^ М., 1987. - 18 с.

62. Силин А.В., Шмакова Н.А. Открываем неевклидову геометрию. - М.: Шюсвещение, - 1988. - 123 с.

63. Симоновская Г. А. Факультативный курс "Комплексные числа и их прилошния" для старших классов средней жолы: Автореф. дис-. канд. пед- наук. - М. 1897. - 16 с.

64. Смирнова И. м. многогранники и ик приложения на Фарсультатавнш занятияк в средней жоле: Автореф. дис.-.канд. пед. наук. - М., 1987. - 16 с.

65. Смирнова ЕМ. Научно-методические основы пшподавания.геометрии в условияк профильной дифференциации обучения: Автореф. дис.. докт. пед. наук /Моск. пед. гос. ун-т, - М. ^ 1995. - 38 с.

66. Степанов В. Д. Вопросы организации и методики проведения факультативный курсов по математике в средней жоле: АвтореФ. дис.. канд. пед. наук. -Казань^ 1973. - 20 с.

67. Столяр А. А. Педагогика математики. - Минск, "Вьшйш.жола", 1969. - 368 с,

68. Столяр А. А. Логические пюб.шмы пшподавания математики. - Минск. "Вышзйш. жола"; 1965. - 253 с.

69. Талызина Н.Ф. S^ пpaвлeниe процессом усвоения знаний.М.: ЙЗД-ВО ШУ, 1875. - 343 С 95- "Пеория и практика педагогического эксперимента /Под ред. Шскунова А, И., Воробьева Г. В. -М.: Педагогика, 1979. - 208 с. • .

70. Туматаев с к. Методика использования преобразованийплоскости ПРИ изучении курса геометрии в 6 - 8 классак: Авторе®, дйс.. канд. пед. наук. - тажент. 1878. - 23 с.

71. Тяшсин А. А,. Шибанов А. с. Пуанкаре. - м.: Молодаягвордия., 1979. - 415 с.

72. Уткина Т. И. ВОПРОСЫ методики изучения геоме'п:>йчески}{преобразований пространства в средней жоле. Автореф. ДИС-. канд. пед. наук. - М. 1981. - 1 6 с.

73. Факультативный курс по математике сучебное пособие для7 - 9 классов средней жолы). Сост. И. Л. Никольская - М.: Просвещение. i99i. 381 с. 100- ШетасоЕ А.И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геоштрии. -М.: Просвещение. - 1865. -• 235 с.

74. Фёдоров Е. Правильное деление плоскости и пространствэл -Л.: Наука, 1879. - 272 с.

75. Фёдоров Е.С. Сишетрия и структура кристаллов: основные работы. / Ред. А. В. Шубникова, И-И. ШафраноЕского. Симметрия правильный сисшм точек. - М.: АН ссер, 1848. - с. ill - 255.

76. Фйскович Т. т. Опыт изложения курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований. Авторе©- дис.. канд. пед. наук. >-м., 1866. - 1 5 с.

77. Хинчин А. й. Педагогические статьи. -М.: Изд-во АПНРСФСР, 1963. - 203 с.

78. Шокор-'Шощсий СИ. Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования. Спб., Журн. "F-yc. жола", 1882. - 116 с.

79. Яглом Й.М. iDMHiwn относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1869. - 303 с. 107. йглом И.М. Ф&шкс Клейн и Софус Ли. - М.: Знание, 1877. - 64 с.

80. Шченко А.М. Методические основы применения группыперемещений в курсе геоштрии. Автореф. дйс.. канд. пед. наук. - М., 1875. - 22 с.

81. Рошсаге Н. Theorie des iroupes Fuchsiens.- ActaHaih., 1882, Ed. 1, S. 1-62.

82. Thurston v. The geoiftBtry and topology of 3-raanifolds:1.cture notes. - Princeton, 1878.