автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Развитие пространственных представлений старшеклассников при изучении геометрии с использованием элементов неевклидовых геометрий

Автореферат диссертации по теме "Развитие пространственных представлений старшеклассников при изучении геометрии с использованием элементов неевклидовых геометрий"

РОССИЙСКИЙ ОРДЕНА ТР/ДСВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А.И.ШЦЕНА

На правах рукописи УДК 51(077.2)

ЕРМАК ЕЛЕНА АНАТОЛЬЕВНА

РАЗВИТОЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ СТАННЕКЛАССНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ НЕЕВЮВДСВЫХ ГЕОМЕТШЙ

13.00.02 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург - 1991

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Российского ордена Трудового. Красного Знамени государственного педагогического университета им. А.И.Герцена.

Научный руководитель - кандидат педагогичеохих наук,

доцент 3.Г.Алексеева

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Извозчиков;

кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник НИИ НСВ АПН СССР А.С.Фомченко

Ведущая организация - Киевский государственный педагогический институт им. А.М.Горького.

Защита оостоится 1991г. в часов

на заседании специализированного совета Д 113.05.09 по гащите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Российском государственном педагогическом университете им. А.И.Герцена <191186, Санкт-Петербург, наб. р.Мойки, 48, корп. 2, ауд. 251).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан * " ^^Р^ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

З.И.Новосельцева

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ориентация общества на гуманизацию образования, осуществляемая в настоящее время, невозможна без постоянного внимания к неповторимым свойствам личности каждого учащегося средней школы. В связи с этим особенно актуальны поиски форм, методов,, средств обучения, позволяющих максимально реализоваться природным задаткам каждого человека.

Развитие пространственных представлений - одно из важнейших условий формирования творческой личности. Действительно, создание пространственных образов и их мысленная трансформация в соответствии с требованиями конкретной задачи являются существенными компонентами творческой деятельности представителей подавляющего большинства профессий, в том числе - архитектора, астрофизика,инженера, летчика, художника. Геометрические модели реальных объектов и процессов, геометрический язык при описании свойств пространства-времени все активнее используются в естественных науках, в особенности - в физике и астрономии. Указанная тенденция - результат осознания научной общественностью фундаментальной взаимосвязи между геометрическими и физическими свойствами исследуемых областей мироздания, находящей отражение в уравнениях Эйнштейна ЯЦ-^ЯдЖ = ^Л Ш где ¿Л = 0;1;2;3, ^ - метрика пространства-времени, Я ¿¿г однократная свертка тензора кривизны Рима-на, Я - скалярная кривизна, ^ - тензор энергии-импульса, характеризующий распределение материи физической системы, (г - гравитационная постоянная, с - скорость света в пустоте. В левой части каждого из этих уравнений находятся величины исключительно геометрической природа, а в правой части - физические величины. До начала 70-х годов XX в. свойства пространства-времени в конкретной выделенной области реального мира изучались в такой последовательности: экспериментально исследовались физические свойства области и лишь полученные физические данные позволяли судить об особенностях геометрии этой области. Основной недостаток подобного подхода заключается в отсутствии в физике, в отличие от геометрии , стройной единой системы описания всех реальных областей мироздания, в неизбежном сведении этого описания к частным случаям. Альтернативным является подход, осуществленный рядом выдающихся ученых, как советских (Д.И.Блохикцев, . А.Д.Линде, И.Д.Новиков, Я.Б. Зельдович и др.), так и зарубежных (Э.Виттен, М.Грин, Р.Пенроуз, С.Хокинг, Дж.Шварц и др.). Ими поставлена задача построения еда-

ной геометрической теории всех фундаментальных физических взаимодействий. Практические приложения создаваемой теории могут быть чрезвычайно разнообразными. Так, например, И.Д.Новиков предлагает, пользуясь результатами статистической обработки данных наблюдательной астрономии, сначала находить (оценивать) значение кривизны пространства-времени в изучаемой области Вселенной, и лишь затем, на основе этой геометрической характеристики объекта, судить о величине плотности вещества в рассматриваемой области. В свою очередь, порученные таким путем новые физические результаты позволят осуществлять обратную связь: 'уточнять сами геометрические свойства исследуемой области мироздания, достигать более глубокого понимания этих свойств. Нередко решение конкретной задачи существенно упрощается, если вместо сугубо формально-логического подхода осуществляется создание геометрической модели того или иного реального объекта, предполагающее гармоничное сочетание активного использования образного компонента пространственного мышления с соблюдением логической строгости. А указанное сочетание возможно только при наличии у исследователя высокого уровня развития пространственных представлений.

Вместе с тем, проведенный наш констатирующий эксперимент показал, что учащиеся выпускных классов средней школы, в том числе и обладающие большими способностями в области пространственного мышления, за редчайшим исключением, даже не подозревают о наличии фундаментальной взаимосвязи между геометрическими и физическими свойствами объектов реального мира. Выходит, что даже школьники, ориентирующиеся на профессиональную деятельность в области физико-математических наук, не имеют современных представлений о геометрических свойствах реального физического пространства. Ведь, несмотря на наличие значительного количества методических исследований, посвященных проблемам формирования и развития пространственных представлений школьников, в том числе и при изучении геометрии (Г.Д.Глейзер, Г.Г.Маслова, А.М.Пышкало, А.И. . Фетисов и мн.др.), содержащих обоснование необходимости глубоких межпредоетных связей для достижения учащимися высокого уровня развития пространственных представлений, в практике школьного обучения геометрия, физика и астрономия все-таки остаются слабо связанными друг с другом. Далеко не всегда, по мнению А.Д.Алекс а;: дров а, Ы.Ы.Поотникова и др., отмеченный недостаток в развитии пространственных представлении будущего ученого устраняется и в

процессе получения им вузовского математического образования. Студент вынужден затрачивать значительные усилия на болезненную "ломку" прочно сформированных у него в средней школе косных и стереотипных пространственных представлений, соответствующих лишь ньютоновской физике, что ныне явно недостаточно для достижения будущим ученым высокого уровня физико-математической культуры.Нами выявлено, что не только старшеклассники, но и многие студенты физико-математических факультетов вузов "не видят" за физическими терминами соответствующих им пространственных, геометрических.образов, хотя сами эти образы являются наиболее часто используемыми на уроках геометрии. Выходит, что процесс познания реального мира старшеклассниками, а-впоследствии и студентами, оказывается существенно обедненным, а творческие возможности личности - ограниченными.

Одним из путей устранения указанного выше недостатка в раз- " витии пространственных представлений старшеклассников при изучении геометрии является, как мы считаем, создание факультативного курса, интегрирующего материал геометрии, физики, астрономии, географии, рассматриваемый под геометрическим углом зрения. Названный факультативный курс, знакомящий учащихся с современной геометрией Вселенной, и, в том числе - с элементами неевклидовых геометрий, представляет собой эффективное средство дальнейшего развития пространственных представлений старшеклассников. Способствуя повышению общей физико-математической культуры учащихся с любим уровнем развития пространственного мышления, факультативные занятия, вместе с тем, дают возможность добиться высокой степени дифференциации процесса дальнейшего развития пространственных представлений старшеклассников. Мы пришли к выводу, что предлагаемый курс наиболее полезен для совершенствования пространственных представлений учащихся, имеющих от природа высокий уровень развития пространственного мышления. Существенно также и мировоззренческое значение факультатива, способствующего'формированию у выпускников средней школы целостной современной геометрической картины мира.

Анализ психолого-педагогической, методической, учебной литературы по вопросам формирования и развития пространственных представлений старшеклассников при изучении геометрии показал, что несмотря на значительное количество работ .по указанной проблеме (А.Д.Александров, .А.Д.Ботвинников, Г.Д.Глейзер, Н.ФЛетверухин а

мн.др.), возможности использования межпредматных связей для совершенствования пространственных представлений учащихся реализованы далеко не полностью. На это указывает, в частности, отсутствие комплексного подхода к тесно взаимосвязанным проблемам ознакомления школьников с элементами неевклидовых геометрий и методики реализации связи обучения геометрии с физикой, астрономией, географией. Так, над первой из указанных проблем, не уделяя при . этом достаточного внимания второй, работали М.Е.Ващенко-Захарчен-ко, Г.А.Грузинцев, Б.В.ГЬеденко, И.М.Яглом и др., а над второй, не рассматривая при этом первую - Н.Т.Донченко, И.Д.Ильевский, Е.А.Морозова, С.М.Новиков, В.С.Самойлов, И.В.Скопина, И.Н.Шапо-вал и др.

Все сказанное выше и определяет актуальность темы исследования.

Проблема исследования состоит в поиске путей интеграции мате-р1ала геометрии, физики, астрономии, географии в рамках единого факультативного курса для учащихся старших классов средней школы, имеющего целью повышение уровня развития пространственных представлений учащихся, формирование у них современной геометрической картины мира. *

Объектом исследования является процесс развития пространственных представлений старшеклассников в условиях их учебной деятельности на факультативе интегративного характера "Введение в современную геометрию Вселенной".

Предмет исследования - содержание и методы организации учебной деятельности старшеклассников на факультативе интегративного характера (геометрия, физика, астрономия, география) с элементами неевклидовых геометрий, рассматриваемом в качестве средства развития пространственных представлений учащихся.

Гипотеза исследования. Если организовать процесс обучения старшеклассников на факультативе интегративного характера, содержащем задачи и теоретический материал геометрии, физики, астрономии, гаогравии, рассматриваемые под геометрическим углом зрения, то это будет существенно способствовать как дальнейшему развитию имеющихся у учащихся евклидовых пространственных представлений, так и формированию у них первичных неевклидовых пространственных представлений, целостной современной геометрической картины мира.

В соответствии с поставленной проблемой исследования и для проверки выдвинутой гипотезы потребдвалось решить следующие зада-

чи: I. Изучить состояние проблемы исследования как в философском, физико-математическом, так и в психологическом, дидактическом,методическом ее аспектах, в практике обучения геометрии в старших классах средней школы.

2. Выделить основные черты современной геометрической картины мира, которую необходимо формировать у участников разрабатываемого факультатива интегративного характера.

3. Разработать содержание факультатива "Введение в современную геометрию Вселенной" и методику организации учебной деятельности старшеклассников на этом факультативе с целью совершенствования представлений учащихся о реальном физическом пространстве, дальнейшего развития имеющихся у них евклидовых пространственных представлений и формирования первичных неевклидовых.

4. Экспериментально проверить справедливость выдвинутой гипотезы о благоприятном влиянии созданного факультативного курса на уровень развития пространственных представлений старшеклассников, в особенности - имеющих от природы высокий уровень развития пространственного мышления.

5. Разработать практические рекомендации для учителей средней школы по организации учебной деятельности старшеклассников на факультативе "Введение в современную геометрию Вселенной".

Методы исследования являются традиционными для работ по методике преподавания математики.

Научная новизна исследования состоит в том, что

- отобран материал факультатива интегративного характера для учащихся старших классов средней школы "Введение в современную геометрию Вселенной" ;

- выявлены формы и методы использования названного материала с целью совершенствования пространственных представлений старшеклассников;

- вычленены существенные черты современной геометрической картинн мира, которую мы считаем/целесообразным формировать у учащихся

выпускных классов средней школы;

- разработана методика реализации глубоких межпредметных связей в процессе учебной деятельности старшеклассников на факультативе "Введение в современную геометрию Вселенной", позволяющая эффективно осущесвлять как развитие евклидовых пространственных представлений учащихся, так и формирование у них первичных неевклидовых пространственных представлений, современной,геометрической

картины мира.

Практическая значимость исследования заключается в разработке одного из вариантов методики использования факультативного курса "Введение в современную геометрию Вселенной" в качестве эффективного средства осуществления взаимосвязи в обучении геометрии с физикой, астрономией, географией. В свою очередь, указанная взаимосвязь позволяет совершенствовать пространственные представления старшеклассников..

Результаты исследования могут найти практическое применение в работе учителей геометрии старших классов средней школы, могут быть положены в основу спецкурса и спецсеминара по методике преподавания математики для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов.

На защиту выносятся содержание и методы организации учебной деятельности старшеклассников на факультативе интегративного характера "Введение в современную геометрию Вселенной", рассматриваемом как средство развития евклидовых пространственных представлений учащихся, формирования у них первичных неевклидовых пространственных представлений, современной геометрической картины мира.

Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов на Герценовских чтениях (г. Ленинград, 19Э0, 1991 гг.), на научно-практической конференции "Вклад молодых ученых и специалистов Псковщины в ускорение социально-экономического развития области" (г.Псков, 1988 г.), а также - в виде выступлений диссертанта на методологическом и методическом семинарах кафедры методики преподавания математики РИЛУ им. А.И.Герцена.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и пяти приложений. Основное содержание диссертации изложено на 147 страницах машинописного текста. Библиография включает 189 названий. В тексте диссертации имеется 20 рисунков, 2 схемы и 4 диаграммы. Приложения занимают 55 страниц, содержат 21 рисунок, одну схему и одну диаграмму.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, форгцулируется проблема исследования, определяются его объет и предмет, указывается цель и задачи работы, раскрываются новизна и практическая значимость диссертации, вычленяетоя методический факт, который выносится на защиту.

В первой главе "Психолого-педагогические основы факультативного куроа "Введение в современную геометрию Вселенной" в результате анализа психолого-педагогических и методических работ (Б.Г. Ананьев, Л.С.Выготский, Е.Н.Кабанова-Меллер, И.Я.Каплунович, А.Н. Леонтьев, Б.Ф.Ломов, В.С.Столетнев,, Б.М.Теплов, И.С.Якиманская и др.) нами получен вывод о том, что в методике обучения старшеклассников геометрии, несмотря на рекомендации психологов, недостаточно учитываются индивидуальные особенности процесса пространствен-* ного мышления йавдого из учащихся и имеющегося у него-запаса пространственных представлений. Сочетание функциональных и операционных механизмов пространственного мышления конкретного человека является своеобразным, что обусловлено, наряду о социальными,также и биологическими факторами. Именно последним долгое время не предавалось должного значения при выполнении методических исследований по проблемам развития пространственных представлений учащихся. Нами предпринята попытка устранить этот недостаток при раз-, работке методики организации учебной деятельности старшеклассников на факультативе, учесть врожденные особенности пространственного мышления личности. С этой целью мы вычленили две категории -показателей развития пространственных представлений и пространственного мышления учащихся, используемых в психологии. I. Устойчивые по отношению к воздействию обучения - наиболее ярко отражающие врожденные индивидуальные особенности пространственного мышления ученика. 2. "Гибкие" - поддающиеся быстрому изменению в результате обучения, а значит, наиболее подходящие на роль "индикаторов" воздействия экспериментального обучения на уровень развития пространственных представлений школьников. Важнейшим показателем, относящимся к первой категории, является тип оперирования пространственными представлениями, присущий данному ученику. Среди показателей, принадлежащих ко второй категории, важнейшие -полнота имеющихся пространственных представлений и шрота оперирования ими. Согласно И.С.Якиманской, тип оперирования пространственными представлениями - это доступный данному ученику способ их преобразования. И.В.Тихомирова, В.С.Столетнев, И.Я.Каплунович и др. показали, что тип оперирования пространственными представлениями, доступный .конкретному человеку, носит устойчивый характер и соответствует уровню развития пространственного мышшая этого человека. Трем вцделенным психологами типам оперирования пространственными представлениями сопоставляются и. три. уровня развития

пространственного мышления, (низкий, средний, высокий), во многом определенные врожденными психо-физиологическимя особенностями ученика. Это положение весьма важно для нашего исследования, так как позволяет сделать вывод о нецелесообразности "ломки" типа оперирования пространственными представлениями у конкретного ученика в процессе обучения. Напротив, методика развития пространственных представлений должна быть "приспособлена" к в розданным особенностям пространственного мышления учащихся (типу оперирования пространственными представлениями). Это условие хорошо укладывается в русло концепции "нового воспитания", выдвинутой в начале XX в. рядом выдающихся европейских педагогов (Э.Клапаред, Р.Кузине, С.Френе и др.), согласно которой учитель не навязывает ученику готовые методические схемы, а создает для школьника "поле деятельности", помогает обнаружить и развить в себе все ценное, что присуще личности данного ученика.

Мы считаем, что совершенствовать пространственные представления старшеклассников наиболее целесообразно путем повышения уровня полноты этих пространственных представлений и уровня широты оперирования ими. Полнота пространственного представления,согласно И.С.Якиманской, характеризует его структуру, то есть, набор составляющих его элементов, связи между ними, а также - степень отражения в пространственном представлении особенностей размещен-ности соответствующего ему объекта (относительно выбранной системы отсчета, заданной плоскости и др.). Широта оперирования пространственными представлениями - это степень свободы в "обращении" с ними, проявляющаяся в легкости и быстроте перехода от одной пространственной (геометрической) модели объекта к другой, в перекодировании содержания пространственных представлений: переход на другую основу, использование другой терминологии и др. Так, примером проявления широты оперирования пространственными представлениями является способность ученика "видеть" в географической долготе и астрономическом прямом восхождении один и тот же геометрический смысл: и то, и другое - угол между двумя плоскостями больших кругов сферы.

Психологами выявлено, что учащиеся, имеющие третий тип оперирования пространственными представлениями и, соответственно,высокий уровень развития пространственного мышления, обладают также и наибольшими потенциальными возможностями для повышения уровней развития полноты имеющихся у них пространственных представлений и

широты оперирования ими. И.Я.Каплунович доказал, что к указанной выше категории относится не менее 20$ всех учащихся средней школы. Однако, проведенный нами констатирующий эксперимент показал, что высокий уровень развития полноты пространственных представлений в сочетании со столь же высоким уровнем широты оперирования ими наблюдается не более, чем у 10% старшеклассников. Выходит, что у каждого второго из старшеклассников, имеющих от природы высокий уровень развития пространственного мышления, пространственные представления не достигают уровня развития,' соответствующего его большим способностям. При этом сохраняется полная иллюзия благополучия, так как требования программы средней школы к уровню развития пространственных представлений ориентированы на ученика, имеющего средние способности в области пространственного мышления (второй тип оперирования пространственными представлениями). Эти же самые требования оказываются неоправданно низкими для учащихся, обладающих третьим типом оперирования пространственными представлениями. В процессе диссертационного исследования мы пришли к выводу о том, что необходимо и еозможно дальнейшее развитие пространственных представлений учащихся, обладающих большими способностями в области пространственного мышления. Мы выявили, что многие старшеклассники, относящиеся к названной категории, ориентируются на профессиональную деятельность в области естествекно-ма-тематических наук. Поэтому поставленные нами методические задачи решались в тесной взаимосвязи с проблемой повышения общей физико-математической культуры старшеклассников. Разрабатывая методику организации учебной деятельности школьников, направленной на совершенствование их пространственных представлений, мы стремились к максимальному использованию различных форм самостоятельной работы старшеклассников (подготовка фрагментов лекций, рефератов, составление задач и др.).

Нами выделены существенные условия дальнейшего совершенствования пространственных представлений старшеклассников, обладающих высоким уровнем развития пространственного мышления. Мы считаем, что к этим условиям следует отнести:

- осуществление взаимосвязи обучения геометрии с физикой, астрономией, географией;

- формирование у учащихся, наряду с евклидовыми, первичных неевклидовых пространственных представлений;

- ознакомление старшеклассников с основами современных научных

представлений о реальном физическом пространстве; - использование школьниками в процессе решения задач различных (в том числе - разнотипных) систем координат.

Осознание же важной роли образного восприятия мира учащимися старших классов позволило нам соблюсти все перечисленные условия, избежав при этом эклектики в объединении материала разных предметов в русле факультативного курса. Мы опирались на вывод психологов о том, что мир в образах, в отличие от мира в понятиях, воспроизводится в сознании человека многолико, в самых разных связях и отношениях. Подчас они несущественны для решаемой задачи, но, вместе с тем, именно в образах мир выступает'в своем фактическом многообразии, движении, изменении, что дает возможность обнаружения (открытия) новых связей и отношений. Действительно, для получения нового результата необходим выход за пределы уже имеющейся у человека системы понятий, создание их новой системы. А осуществить названный выход невозможно без активизации образного компонента пространственного мышления, так как образные формы мышления существенно дополняют его понятийные формы. Как образный, так и логический компоненты пространственного мышления в равной степени важны, разъединить их нельзя.

В I главе исследования также показано, что целесообразно упорядочивать индивидуальные совокупности пространственных представлений, имеющиеся у старшеклассников, путем естественного включения этих совокупностей в целостную современную геометрическую картину мира, формируемую у них. Под геометрической картиной мира мы понимаем внутренне согласованную систему геометрических представлений об окружающей действительности и ее закономерностях.

На основе анализа работ, посвященных как истории, так и современному состоянию вопроса (А.Д.Александров, И.Д.Новиков, И.Л. Розенталь, А.Турсунов, П.Бергман, У.Берке, П.Девис, С.Хокинг и мн.др.), мы выделили существенные черты современной геометрической картины мира, которую, следует формировать у учащихся выпускных классов средней школы. На наш взгляд, эти черты таковы: I) Первичные представления об искривлении пространства как об отличии его геометрических свойств от евклидовых; 2) Представление о теснейшей взаимосвязи пространства и времени; 3) Представление об искривлении пространства-времени у. поверхности гравитирующих тел; .4) Представления о наличии пространств.размерности/г. ^ 3, ^ как евклидовых, так. и неевклидовых; 5) Знание о возмож-

ности изучения "геометрии планковских длин" лишь посредством построения геометрической модели Вселенной как целого. Представления об использовании неевклидовых геометрий для создания этой модели; 6) Представление об относительности любой геометрической картины мира, о ее соответствии уровню познания окружающей действительности на каждой конкретной стадии развития человечества.

Учитывая сказанное выше, мы получили схему I, отражающую отношения между основными элементами содержания разработанного нами факультатива.

Схема I

Возможность осуществления дифференцированного подхода при формировании у старшеклассников современной геометрической картины мира мы видим в различной степени детализации этой картины. Если эта степень наиболее высока для учащихся, обладающих третьим типом оперирования пространственными представлениями, то для учащихся - "гуманитариев", пространственное мышление которых характеризуется первым типом оперирования пространственными представлениями, она является наиболее низкой - для этой категории старшеклассников наиболее целесообразно провести 4-6 часов лекций на богатой наглядной основе, без сложных математических выкладок. Материал для этих лекций дан в Приложениях к диссертации.

Во второй главе "Методика обучения школьников на факультативе "Введение в современную геометрию Вселенной'' выделены принципы отбора содержания в факультативный курс; сформулированы требования к задачам физики и астрономии, на основе которых развиваются пространственные представления старшеклассников в процессе создания геометрических моделей объектов и процессов,описываемых в этих задачах. Важнейшим из вычлененных принципов является принцип максимальной актуализации уже имеющихся у уча-

щнхся геометрических, пространственных представлений, обусловленный и значительной учебной нагрузкой старшеклассников. Большое значение также имеет принцип максимального разнообразия форм, в которых предлагается один и тот же материал. Этот принцип продиктован попыткой приблизиться к реализации идеи С.Френе - "гибких технологий обучения".

На основе анализа программ, учебников и научно-популярной литературы по геометрии, физике, астрономии, географии, проведенного с учетом теоретических положений главы I диссертации и принципов отбора содержания факультатива, мы выделили два "узла" наиболее тесной взаимосвязи названных предметов:' I. Задачи астрономии на темы: "Звездные карты. Небесные координаты", "Определение географической широты по астрономическим наблюдениям", для которых создание геометрических моделей описываемых в них объектов требует знакомства с элементами сферической геометрии. 2. Примеры физических эффектов, подтверждающих справедливость общей теории относительности (искривление лучей света вблизи Солнца, эффект "гравитационной линзы" и др.), рассмотрение которых с reo-, метрической.точки зрения требует знакомства с элементами геометрии Лобачевского.

Определяя структуру факультативного курса, мы отказались от традиционной для факультативов по неевклидовым геометриям последовательности ознакомления с элементами этих геометрий. Если во всех созданных. ранее факультативных курсах (П.Б.Мартиросян, Г.В.Потапова, Т.И.Саламатова, Е.Е.Семенов и др.) сначала рассматривается материал геометрии Лобачевского, а затем - двумерной сферической, то в процессе нашего исследования указанная последовательность изучения материала оказывается противоречащей принцип пу максимальной актуализации уже имеющихся у школьников пространственных представлений. Ведь при изучении в качестве первой темы факультатива элементов геометрии Лобачевского образный компонент пространственного мышления, учащихся не может играть сколько-нибудь существенной роли: усвоение материала идет исключительно формально-логическим путем. Напротив, знакомство с двумерной сферической геометрией осуществляется с опорой на уже имеющиеся у школьников образы сфер! и ее элементов. Кроме того, сами астрономические задачи, решаемые с использованием сферической системы координат, представляют собой более простой для восприятия школьников материал по сравнению с элементами теории относительности:

реализуется дидактический принцип "от простого - к сложному". Наконец, именно на материале двумерной сферической геометрии наиболее целесообразно формировать у учащихся первичные представления об искривлении пространства как о нарушении в нем законов геометрии Евклида.

Для установления связи между двумя выделенными "узлами" материала необходимо знакомство учащихся с элементами геометрии Минковского. Эту геометрию не принято называть неевклидовой, но, вместе с тем, она существенно отличается от трехмерной геометрии Евклида. Представляя собой математический аппарат специальной теории относительности, эта геометрия позволяет усовершенствовать представления старшеклассников о реальном физическом пространстве, узнать о теснейшей взаимосвязи пространства и времени. Разбор эффектов релятивистской теории гравитации (общей теории относительности) затруднен без предварительного знакомства с пространственными образами, наиболее широко используемыми в специальной теории относительности. Выходит, соединять материал "узлов" должен блок, содержащий задачи специальной теории относительности, требующие использования геометрии Минковского для создания геометрических моделей описываемых в них объектов.

Завершается работа факультатива формированием представлений о геометрических свойствах Вселенной как целого. При этом используются все имеющиеся у школьников пространственные представления, как евклидовы, так и неевклидовы. Уровень объективной сложности космологических вопросов высок, что делает нецелесообразным решение учащимися задач на этом этапе работы. Проводятся обзорные лекции с использованием пространственно-временных диаграмм, рисунков.

Программа <У>акультатива "Введение в современную геометрию Вселенной" Тема I. Элементы двумерной сферической геометрии - в решении задач географии и астрономии (6 часов).

Понятие сферического треугольника и его элементов. Аналоги теорем косинусов, синусов, Пифагора для сферического треугольника (с доказательством). Понятие геодезической линии. Представление об искривлении поверхности. Главные кривизны поверхности, гауссова кривизна, формула гауссовой кривизны поверхности сферы. Общее представление об искривления пространства как об отличии его геометрических свойств от евклидовых.

Тема 2. Геометрия Минковского как математический аппарат специ-

альной теории относительности (8 часов).

Понятие мировой точки (события), мировой линии, представления о пространственно-временных диаграммах и их сечениях, о пространственно-временной координатной сетке. Построение релятивистской пространственно-временной диаграммы. Геометрический вывод формул преобразований Лоренца. Понятие изотропного гиперконуса (световых конусов), светоподобных, времениподобных, пространствен-ноподобных интервалов и направлений. Свойство инвариантности интервала в геометрии Минковского. Представление о калибровочных гиперболах. Понятие мирового проявляющего процесса. Тема 3. Геометрия Лобачевского и релятивистская теория гравитации (2 часа). Геометрическое построение Гюйгенса, Экспериментальное обоснование реализации геометрии Лобачевского у поверхности Солнца. Представление о псевдосфере как о двумерном пространстве постоянной отрицательной кривизны. (Дальнейшее знакомство с геометрией Лобачевского желающие осуществляют самостоятельно по программированному пособию А.В.Силина и Н.А.Шмаковой). Тема 4. Современная геометрия Вселенной (4 часа).

Одно из доказательств неприменимости геометрии Евклида на вращающемся диске. Псевдосфера как основа геометрической модели Вселенной Геделя. Идея компактификации "дополнительных" пространственных измерений. Представление о расслоенных пространствах. Проблема изучения геометрических свойств "мира планковских размеров", подход к ее решению посредством создания научного сценария возникновения и развития Вселенной, роль геометрических моделей Вселенной в решении указанных задач. Геометрический путь нахождения (оценки) средней плотности космического вещества. Первичные представления о современных геометрических моделях Вселенной (де Ситтера и Фридмана). Эволюция геометрических свойств Вселенной и отдельных ее областей.

Индивидуальные консультации _- 40 часов _

Итого: 60 часов Далее во II главе диссертации сформулированы методические принципы организации учебной деятельности школьников на факультативе "Введение в современную геометрию Вселенной", указаны основные содержательно-методические линии факультативного курса, выявлены ведущие'метода обучения (учения), даны конкретные методические рекомендации по изучению катдой из тем факультатива.

Последний параграф II главы посвящен описанию этапов и основных результатов педагогического эксперимента.

1. В процессе констатирующего эксперимента были выявлены недостатки е развитии пространственных представлений старшеклассников. Оказалось, что у большинства учащихся, в том числе и обладающих высоким уровнем развития пространственного мышления, недостаточно высоки при этом уровни развития полноты пространственных представлений и широты оперирования шли. Названные недостатки как раз и приводят к косности и стереотипности геометрических представлений учащихся.

2. Целью поискового эксперимента, осуществлявшегося в 1988-89 учебном году в ряде средних школ г. Пскова, была предварительная проверка разрабатываемых материалов факультативного курса, а также - уточнение методики совершенствования пространственных представлений старшеклассников в условиях реализации глубоких межпредметных связей, требующих- ознакомления учащихся с элементами неевклидовых геометрий.

3. Формирующий эксперимент проводился в 1989-90 учебном году о тремя экспериментальными группами, в которые осуществлялся специальный отбор учащихся (имеющих высокий уровень развития механизмов пространственного мышления и, вместе с тем, недостаточно развитые пространственные представления). Две из этих экспериментальных групп на базе школы й 22 г. Пскова и третья - в Тямшанской средней школе Псковской области - изучали разработанный нами факультативный курс. В классах же с углубленным изучением математики школы № 24 г. Пскова были сформированы контрольные группы учащихся, пространственные представления и мышление которых на начало эксперимента имели более высокие уровни развития, чем у учащихся экспериментальных групп. Развитие пространственных представлений этих школьников при изучении геометрии осуществлялось опытными учителями по традиционным методикам. Результаты формирующего эксперимента позволили сделать вывод о том, что гипотеза _ исследования подтверждается, и разработанная нами методика совершенствования пространственных представлений старшеклассников более эффективна, чем традиционные.

Основные результаты исследования: I. Разработан факультатив интегративного характера, имеющий важное мировоззренческое значение, способствующий повышению общей фи-зпко-матепатической культуры учащихся, являющийся эофекглвншл

средством развития пространственных представлений старшеклассников.

2. Выделены существенные черты современной геометрической картины мира, которую целесообразно формировать у учащихся выпускных классов средней школы, разработан и экспериментально апробирован один из вариантов методики ее формирования у учащихся.

3. Отобран материал по физике, астрономии, географии, необходимый для развития евклидовых пространственных представлений старшеклассников, формирования первичных неевклидовых пространственных представлений, целостной современной геометрической картины мира.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Конструктивные задачи стереометрии как средство развития пространственного мышления школьников, подготовки к изучению вузовского курса начертательной геометрии // Тезисы докладов научно-практической "конференции "Вклад молодых ученых и специалистов Псковщины в ускорение социально-экономического развития области".

- Псков, 1988. - С. 195-198.

2. Факультатив интегративного содержания как средство развития пространственных представлений десятиклассников, одаренных в области пространственного мышления. - В сб.: Методические рекомендации по обучению математике в средней школе (приемы и методы) //Состав, З.И.Новосельцева и др. - Л., 1990. - С. 80-90.

3. Подготовка студентов физико-математического факультета педагогического института к проведению факультативных занятий с уча-цимися одиннадцатого класса средней школы на тему "Введение в современную геометрию Вселенной" // Тезисы межвузовской конференции "Актуальные проблемы преподавания математики в школе и вузе".

- Тверь, 1990. - С.З. '