Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма

Покровская, Татьяна Александровна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма

Автореферат

Автор научной работы: Покровская, Татьяна Александровна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2003
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма"

На правах рукописи

ПОКРОВСКАЯ Татьяна Александровна

ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ФУЗИОНИЗМА

Специальность 13.00.02 -теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва-2004

Диссертация выполнена на кафедре методики начального обучения Московского городского педагогического университета

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент Шадрина Ирина Вениаминовна

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Левитас Герман Григорьевич

кандидат педагогических наук, главный специалист МО РФ Рослова Лариса Олеговна

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет

на заседании диссертационного совета К 850.007.02 в Московском городском педагогическом университете по адресу: 129226, г. Москва, 2-ой Сельскохозяйственный проезд, д. 4, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГПУ.

Защита состоится ¿-¿¿¿£¿2- 2004 года в

часов

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат педагогических наук, доцент

Л. О. Деншцева

Я^ЪЧЗОУ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка проблемы и актуальность исследования. В настоящее время наблюдается активизация научно-исследовательской деятельности в области образования с целью его реформирования. Это обусловлено тем, что к началу XXI века человечество значительно расширило свои познания о скрытых механизмах функционирования человеческого организма, доказательно представило концепцию об огромных его резервах и возможностях каждой личности в самосовершенствовании, в овладении достижениями современной науки. Поэтому педагогическая наука обращается к идее гуманизации образования, в связи с чем школа должна «повернуться лицом» к личности ученика, а значит, в процессе обучения учитывать его возрастные и индивидуальные особенности.

Развитие личности предполагает синтез различных видов мышления в деятельности. Изучение геометрии в начальной школе дает возможность задействовать и развивать все типы мышления, что создает для учащегося возможность принята тот путь решения поставленной задачи, который наиболее соответствует его личностным особенностям. Но, следует признать, что в настоящее время в школе развивают, главным образом, левое полушарие, тем самым, переоценивая роль логического мышления в становлении мыслительной деятельности ребенка. Именно правое полушарие связано с развитием эмоциональной сферы, творческого мышления, интуиции и умением ориентироваться в пространстве. Поэтому для детей с преимущественным развитием правого полушария головного мозга изучение геометрии в начальных классах очень важно в прямом физиологическом смысле. В то же время умение ориентироваться в пространстве предполагает сформированность пространственных представлений, которые, согласно Б. Г. Ананьеву, являются необходимым условием развития личности ученика начальной школы.

В традиционном начальном обучении элементы геометрии представлены, по результатам исследований А. В. Белошистой, в малом объеме и довольно ограничено. Несмотря на то, что сведения о пространственных отношениях и

геометрических фигурах, причем только плоских, входят в традиционный курс математики (система М. И. Моро), их явно недостаточно в сравнении с тем значением, которое имеет формирование геометрических представлений для развития психики, интеллекта и личности в младшем школьном возрасте.

Изучение геометрии невозможно без формирования представлений о геометрических фигурах. Геометрическая фигура рассматривается либо как множество точек каким-то образом выделенного пространства, либо как абстракция от наблюдаемых форм тел физического пространства. На второй из этих подходов, по нашему мнению, и должно опираться формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах, потому что в таком случае геометрическая фигура выступает в сознании ребенка как естественное обобщение его опыта. Но в начальной школе представления о геометрических фигурах формируются путем показа их моделей и, следовательно, абстрактно, вне связи с тем реальным пространством, наблюдения которого и положили начало геометрии как науки. Значит, используемый в школе подход противоречит, с одной стороны, историческому ходу становления и развития геометрии, а, с другой, - опыту ребенка, связанного с освоением окружающего пространства.

Каждый ребенок, по мнению И. С. Якиманской, О. С. Якуниной, Н. С. Подходовой и др., является носителем самоценного и самобытного субъектного опыта, приобретенного им в период дошкольного детства при ориентации в пространстве и различных видах деятельности с трехмерными объектами. Данный опыт необходимо учитывать при обучении в школе и целенаправленно его обогащать. Отсюда следует, что формирование представлений о геометрических фигурах необходимо начинать с ознакомления детей с взаимным расположением тел в физическом пространстве и выделения их форм.

Психологи (Ж. Пиаже, Б. Г. Ананьев, М. В. Вовчик-Блакитная, В. И. Зыкова и др.) показали, что развитие геометрических представлений детей идет от топологических к проеюгавным и затем к метрическим, то есть от геометрии

«формы и положения» к геометрии «меры». Но в традиционном обучении математике преимущественно изучаются метрические свойства геометрических фигур: рассматриваются длина отрезка, площадь прямоугольника, а в некоторых курсах и объем прямоугольного параллелепипеда.

Опора на дошкольный опыт и топологические представления детей приводит к необходимости реализации в процессе формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах фузионистского подхода. Термин фузионизм происходит от латинского слова Ашо - слияние. Именно так в XIX веке называли слитное преподавание различных школьных предметов, а также слитное преподавание нескольких разделов математики, в частности, планиметрии и стереометрии. Фузионистский подход к обучению школьников геометрии предполагает, что пространственные и плоские фигуры должны изучаться взаимосвязанно и взаимозависимо. При этом выделение геометрических образов направляется «сверху вниз» (И. В. Шадрина), от пространственных (трехмерных) форм и пространственных отношений к плоским как естественным составляющим пространственных. По нашему мнению, фузионистский подход к обучению младших школьников элементам геометрии позволяет в максимальной степени использовать дошкольный опыт детей и способствует разрешению противоречия между первичностью пространственных форм, с точки зрения процесса познания мира, и абстрактностью плоских фигур в традиционной логике построения геометрических курсов, развивающихся от плоских к пространственным. Первым в России на методическую целесообразность данного подхода указал Н. И. Лобачевский. Фузионистский подход к формированию представлений о геометрических фигурах поддерживали и поддерживают многие отечественные методисты как прошлых лет (3. Б. Вулих, Ф. Гертель, С. А. Богомолов, А. Р. Кулигпер, А. М. Астряб - конец 19-ого - начало XX века), так и современности (Е. В. Знаменская, Н. С. Подходова, И. В. Шадрина - конец XX - начало XXI века). Частично элементы фузионистского подхода в системе обучения младших школьников элементам геометрии внедрены в современных

учебниках по математике Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и др. Тем не менее, остаются возможности для совершенствования методики формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах, учитывающей естественный ход развития геометрических представлений детей.

Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования определяется противоречием между: декларируемыми целями образования, направленными на интересы личности ребенка, и имеющимися достижениями психолого-педагогической науки, позволяющими их реализовать в обучении младших школьников элементам геометрии, с одной стороны, и реально существующей методической системой обучения, недостаточно учитывающей возрастные и индивидуальные особенности ученика, с другой.

Проблема исследования: поиск путей совершенствования методики формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма.

Объект исследования: процесс обучения младших школьников элементам геометрии.

Предмет исследования: формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма.

Цель исследования: теоретическое обоснование и разработка содержания, средств, форм и методов формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма.

Гипотеза исследования: если содержание учебного материала по математике строить на основе взаимосвязанного и взаимозависимого изучения пространственных и плоских фигур, а при разработке методики обучения учесть порядок развития геометрических представлений от общих недифференцированных форм к выявлению и дифференциации элементов, лежащих на более глубоких структурных уровнях, то это позволит сформировать у младших школьников представления о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства.

Задача исследования:

1) проанализировать существующие в методической науке подходы к обучению младших школьников элементам геометрии;

2) сформулировать и обосновать принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах;

3) разработать содержание обучения и методику формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах;

4) экспериментально проверить принципиальную реализуемость и эффективность разработанного содержания и методики его изучения.

Методы исследования:

• анализ цсихолого-педагогической и методико-математической литературы по теме исследования;

• анализ существующих программ и учебных пособий по математике для начальной школы;

• наблюдение за процессом обучения математике в начальных классах с целью изучения применяемой на практике методики обучения элементам геометрии младших школьников;

• педагогический эксперимент с целью проверки: а) применяемой на практике методики формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах и б) гипотезы исследования.

Теоретико-методологические основы исследования: концепции личностно-ориентированного обучения и гуманизации образования; положение о ведущей роли деятельности в обучении и развитии личности (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн и др.); теория генезиса интеллекта (Ж.. Пиаже); концепция развития пространственного мышления (И. С. Якиманская, И. Я. Каплунович); теория поэтапного формирования умственных действий и понятий (П. Я. Гальперин и др.); подходы ученых-методистов, раскрывающие содержание и методику начального геометрического образования (В. Беллюстин, 3. Б. Вулих, Ф. Гертель, А. Р. Кулишер, А. М. Астряб, А. М. Пышкало, Л. М. Фридман, К Ф. Шарыгин, И. В.

Шадрина и др.); положения ученых-математиков, раскрывающие предмет и методы геометрии (Н.й. Лобачевский, Д. Гильберт, Ф. Клейн).

Теоретическая значимость исследования: в диссертации сформулированы и обоснованы принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах:

- принцип ортогенетического развития, в соответствии с которым формирование представлений о геометрических фигурах происходит «от общего к частному» и «сверху вниз», от трехмерных фигур к фигурам меньшей размерности;

- принцип взаимосвязанного и взаимозависимого изучения пространственных (трехмерных) и плоских фигур, на основании которого плоские фигуры рассматриваются как естественные составляющие пространственных;

- принцип выявления геометрических фактов путем непосредственного оперирования моделями геометрических фигур в процессе разнообразной предметно-практической деятельности учащегося с использованием индивидуального дидактического материала, в процессе которой происходит переход от внешних, моторных, действий с предметом и построения визуально-пространственного образа к описанию соответствующего понятия словесными (символическими) методами.

Научная новизна: разработано содержание обучения элементам геометрии младших школьников, специфика которого заключается во взаимосвязанном и взаимозависимом изучении трехмерных фигур и фигур меньшей размерности, в ознакомлении учащихся с геометрическими фигурами в направлении формирования у них качественных представлений.

Практическая значимость: 1) разработаны дидактические материалы, которые обеспечивают усвоение содержания на основе самостоятельной предметно-практической деятельности каждого ученика; 2) результаты исследования могут быть использованы учителями начальной школы при организации учебно-познавательной деятельности детей, направленной на ппг-шгьниками геометрического материала; при подготовке

учебников математики для начальной школы; на курсах повышения квалификации учителей начальных классов; при подготовке студентов по разделу «Методика обучения элементам геометрии в начальной школе».

Достоверность результатов и обоснованность выводов исследования обеспечивается опорой на современные достижения психологии, педагогики, физиологии, математики и методики обучения математике в начальной школе; выбором методов исследования, адекватных его целям и задачам; результатами педагогического эксперимента, подтверждающего выдвинутую гипотезу исследования.

В педагогическом эксперименте принимали участие ученики 1-ых и 4-ых классов школ № 887, № 61, №1948, № 1977, «Генезис», «Логос» г. Москвы; УВК «Снежинка» и УВК «Солнышко» № 63 г. Пушкино Московской области. В общей сложности в эксперименте участвовало около:200 учащихся.

Апробация исследования: основные теоретические и методические положения исследования обсуждались на научно-пракгаческих конференциях «Развитие младших школьников средствами математики» .(г. Москва, МГЛУ, .-2000-2002ГГ.), «Дни науки в МГПУ» (2002г.). ■ Исследование проводилось с 1999 года по 2004 год.

На первом этапе (1999-2000гг.) изучалась психолого-педагогическая и методико-математическая литература (отечественная и зарубежная), связанная с проблемой обучения младших школьников элементам геометрии; был проведен поисковый эксперимент, который позволил выявить условия и способы организации учебно-познавательной деятельности младших школьников на уроках математики по изучению геометрического материала.

На • втором этапе (2000 - 2003гг.) осуществлялась теоретическая разработка проблемы, определялась методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах, проводился констатирующий, обучающий и контрольный эксперименты.

На третьем этапе (2003 - 2004 гг.) обрабатывались и интерпретировались результаты, полученные в ходе педагогического эксперимента,

формулировались выводы об эффективности разработанного содержания и проверяемой методики, оформлялись материалы исследования. На защиту выносятся:

1. Принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах:

- принцип ортогенетаческого развития, в соответствии с которым формирование представлений о геометрических фигурах происходит «от общего к частному» и «сверху вниз», от трехмерных фигур к фигурам меньшей размерности;

2. Методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах, учитывающая естественный ход развития геометрических представлений детей и опирающаяся на принцип фузионизма.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Основные результаты исследования отражены в семи публикациях.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы проблема и цель, выделены объект и предмет исследования, сформулирована гипотеза, поставлены задачи, изложены методы и этапы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, дана информация об апробации результатов исследования.

В первой главе « Научные основы обучения младших школьников элементам геометрии» даются психолого-педагогические и методико-математические обоснования методики формирования у детей начальных геометрических представлений и раскрываются принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах.

Как показал Ж. Пиаже, начальная интеллектуальная деятельность ребенка-дошкольника носит геометрический характер. Осознание ребенком форм действительности начинается с активного взаимодействия с окружающим миром, в первую очередь с ориентировочных действий и движений относительно окружающих его предметов. Проблеме ориентировки ребенка в пространстве посвящены исследования Б. Г. Ананьева, Е. Ф. Рыбалко, Ф. И. Шемякина, А. А. Люблинской, Т. А. Мусейибовой, И. О. Ломпшера, О. С. Якуниной и др. Проблеме формирования у младших школьников пространственных представлений - исследования А. М. Пышкало, М. В. Пидручной, Ф. Н. Ибрагимова, Н. С. Подходовой и др.

Психологи (Ж. Пиаже, Б. Г. Ананьев, М. В. Вовчик-Блакитная, В. И. Зыкова и др.) установили, что геометрические представления детей формируются в следующем направлении: от топологических к проективным, аффинным и затем метрическим, то есть от геометрии «формы и положения» к геометрии «меры». Данная закономерность согласуется с аналогичным порядком устойчивости свойств геометрических фигур. Идея выделения различных свойств геометрических объектов с помощью рассмотрения соответствующих групп преобразований принадлежит Ф. Клейну. Метрические свойства являются и аффинными, и проективными, и топологическими, а, значит, наиболее устойчивыми являются топологические свойства, которые сохраняются при существенных деформациях фигуры. Качественные стороны геометрических объектов в значительной степени характеризуют топологические, проективные и аффинные свойства, с простейшими из которых можно, согласно указанной выше психологической закономерности, познакомить детей уже на начальном этапе обучения геометрии. Таким

образом., знакомство учащихся с геометрическими фигурами следует вести в направлении Формирования у них качественных представлений (о форме, взаимном расположении предметов') и лишь позднее Формировать v детей количественные представления. Следовательно, при построении системы обучения младших школьников элементам геометрии необходимо учитывать порядок формирования у детей геометрических представлений.

Формирование пространственных представлений и представлений о геометрических фигурах, согласно ортогенетическому принципу развития (Н. Werner), которому подчиняется развитие всех форм и процессов жизни, идет от состояния относительной глобальности и слабой дифференцированное™ к состоянию большей дифференциации, иерархической упорядоченности геометрических представлений; от общих представлений о пространстве и об отношениях между такими его элементами, которые выделяются непосредственно и характеризуют его структуру в самом общем виде, к выявлению и дифференцированию элементов, лежащих на более глубоких уровнях. Как считает Н. И. Чуприкова, отсюда следует дидактический принцип обучения младших школьников «от общего к частному».

В багаже знаний ребенка пяти-семи лет об окружающем мире геометрические представления, сформированные в процессе ориентировки в пространстве и различных видах деятельноста с трехмерными объектами, занимают одно из центральных мест. Данный опыт ребенка необходимо учитывать, расширять и обогащать в процессе обучения элементам геометрии в начальной школе ГИ. С. Якиманская, Н. С. Подходова, О. С. Якунина и др.). Но в традиционной системе начального обучения изучение плоских геометрических фигур предшествует изучению фигур пространственных. Однако еще Н. И. Лобачевский указывал на методическую целесообразность построения системы обучения геометрии на одновременном и взаимосвязанном изучении как трехмерных Фигур, так и фигур меньшей размерности. При этом в начальной школе геометрические фигуры следует рассматривать как абстракции от наблюдаемых форм тел физического пространства. Таким

образом, основополагающими методическими принципами обучения младших школьников элементам геометрии становятся принцип формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства и принцип фузионизма (взаимосвязанное и взаимозависимое изучение пространственных и плоских фигур), позволяющий в максимальной степени использовать дошкольный опыт детей.

Психологически обосновано, что развитие мышления происходит в результате целенаправленной деятельности, при этом особая роль отводится действиям руками (с конкретными объектами в пространстве и на плоскости). Моторные действия лежат в основе развития интеллекта учащихся (Н. А. Бернштейн, В. М. Бехтерев, А. Н. Леошъев, А. Р. Лурия и др.), соответствуют их возрастным особенностям. Таким образом, для формирования у младших школьников представлений о.геометрических Фигурах необходимой является предметно-практическая деятельность.

В процессе усвоения ребенком геометрических понятий важно помочь ему в постепенном переходе от.конкретного, наглядно-образного .мышления.,к. использованию абс^акгао-понятийных способов мышления. Но пытаться достичь этого путем формальных объяснений неэффективно, так как такой способ далек от способа мышления младшего школьника, особенно первоклассника, и малодоступен ему. Поэтому в процессе обучения лучше предложить детям раздаточный дидактический материал: тетрада с печатной основой, набор геометрических фигур, палочки с пластилином для моделирования. Такой подход позволяет каждому ученику приобретать геометрические знания осознанно. Не наблюдения за действиями одного человека (ученика или учителя перед классом), а самостоятельная работа детей с использованием индивидуального дидактического материала является, на наш взгляд, необходимым условием эффективного обучения младших школьников элементам геометрии.

Во второй главе «Развитие методики обучения младших школьников элементам геометрии (XIX - XX вв.)» рассматриваются различные подходы к обучению младших школьников элементам геометрии и формированию у них представлений о геометрических фигурах.

Проблема формирования у детей начальных геометрических представлений интересовала многих российских ученых, методистов и учителей (М. О. Косинский, 3. Б. Вулих, В. Беллюстин, Ф. Гертель, А. Туфанов, А. Р. Кулишер, А. М. Астряб, Н. М. Бескин, А. М. Пышкало, М. В. Пидручная, Г. Д. Глейзер, Ф. Н. Ибрагимов и др).

Первыми руководствами по наглядной геометрии в России были переводные книги с французского языка (Ламе-Флери, Клеро, Фан-дер-Флит -середина 19 века). В 1871 году появляются учебники по геометрии пропедевтического характера российских авторов (М. О. Косинский и др.), а в 1872-1873 годах появляются работы 3. Б. Вулиха, в которых подчеркивается необходимость построения изучаемой фигуры самими учениками на основе полной, конкретной, наглядности. Необходимость пропедевтического курса геометрии была подчеркнута первым (1911-1912) и вторым (1913-1914) Всероссийскими Съездами преподавателей математики (А. Р. Кулишер, С. А. Богомолов, Н. Н. Володкевич, К. Ф. Лебединцев и др.). Были выделены некоторые особенности методики начального обучения элементам геометрии. Предлагалось: начинать ознакомление детей с геометрическим материалом со стереометрического как менее абстрактного по сравнению с планиметрическим; геометрические знания основывать на жизненном материале; геометрические понятия формировать постепенно; развивать у учащихся потребность в доказательстве (В. Беллюстин); в процессе обучения особое внимание уделять моторным, практическим, действиям руками как наиболее способствующим развитию психических процессов детей (А. Туфанов); строить само обучение элементам геометрии на основе принципа фузионизма (С. А. Богомолов, А. Р. Кулишер). В 1918 году подготовительный курс геометрии был введен в программы обучения математике с 1 -ого по 7-ой

класс, в соответствии с которыми А. М. Астряб разработал содержание и методы обучения. Обучение, по Астрябу, начиналось с рассмотрения на эмпирической основе куба, шара, цилиндра, пирамиды и конуса. Использовались лепка, вырезание, склеивание разверток, построение каркасных моделей геометрических фигур и т. п. Несмотря на то что многие методисты поддерживали идеи взаимосвязанного изучения пространственных и плоских к ■ фигур, а также предлагали начинать обучение с рассмотрения трехмерных тел, в школьной практике придерживались взглядов Н. М. Бескина на необходимость раздельного изучения плоских и объемных фигур.

Раздельное изучение плоских и объемных фигур практиковалось с середины 30-х годов. Геометрия, как отдельный предмет, изучалась только в Ъ ых - 10-ых классах средней школы. Тем не менее, теоретические исследования ' проблем обучения младших школьников элементам геометрии продолжались. Так, А. М. Пышкало>в книге «Геометрия в 1- 4 классах» (1968) предложил систему изучения геометрического материала в начальной школе. В 1975 году М. В. Пидручная защитила кандидатскую диссертацию .по теме «Изучение 1■ пространственных.отношенишв курсе,математика.начальных классов»,,Б 1978.

......... году-Г; Д. Глейзер выделил цели обучения - элементам геометрии в начальной

школе.

В настоящее время отечественной методикой обучения младших школьников математике используются различные подходы к формированию представлений о геометрических фигурах (М. И. Моро, Н. Б. Истомина, Л. Г. Петерсон, В. Н. Рудницкая, И. И. Аргинская, В. В. Давыдов, Э. И. Александрова, И. Ф. Шарыгин, Е. В. Знаменская, В. А. Панчшцина, Н. С. Подходова, И. В. Шадрина), что отражено в учебниках и учебных пособиях для начальных классов.

Практически во всех действующих курсах математики изучаются преимущественно плоские геометрические фигуры, а с некоторыми стереометрическими фигурами такими, как куб, пирамида, цилиндр, конус, учащиеся знакомятся на уровне распознавания (Н. Б. Истомина, В. Н.

Рудницкая). В традиционной системе М. И. Моро изучение трехмерных фигур не предусмотрено. В процессе формирования у младших школьников начальных геометрических представлений происходит ознакомление учащихся с некоторыми свойствами геометрических фигур, в основном, метрическими: длина отрезка, площадь прямоугольника и прямоугольного треугольника, объем прямоугольного параллелепипеда. В курсе математики JI. Г. Петерсон рассматриваются некоторые топологические свойства фигур, например, при решении задач на взаимное расположение: «бьггь на линии (внутри, снаружи)», «находиться на границе области (внутри, снаружи)». В процессе изучения геометрического материала школьники учатся строить и вычерчивать некоторые геометрические фигуры; распознавать фигуры на «сложном» чертеже, составлять фигуры из частей; решать задачи со спичками («геометрия . спичек»). Но подобных упражнений немного, чаще всего они предлагаются случайным образом илне определенной системы. .

В конце XX - -начале XXI века появились экспериментальные курсы геометрии для младших школьников: Е. В. Знаменской (1995), реализующий - принцип .ф.узионизма;,И.. ф:,',Шарыгина (199.8), дключающиж.в себя.-большое количествозаданий на- изучение топологических,- проективных и метрических свойств геометрических фигур; В. А. Панчищиной (1997-1998), построенный на основе культурно-исторического подхода; Н. С.1 Подходовой (1998-2001), учитывающий личностный, субъектный, опыт учащихся; И. В. Шадриной (2003), реализующий системный подход к обучению, а также дополнительные пособия и сборники упражнений геометрического содержания для занятий во внеурочное время (К. В. Шевелев, С. Е. Гаврина, А. И. Савенков и др.).

Проблема обучения младших школьников элементам геометрии рассматривается не только отечественными, но и зарубежными исследователями. По мнению методистов США (G. R. Baur, L. О. George, D.D. Paige, E.F. Bazik, FJ.Budreck, D. Thiessen, M. Wild) и Германии (J.Lauter, R. Schmidt, H. Uhr и др.), начинать обучение элементам геометрии следует с рассмотрения наглядных топологических свойств геометрических фигур.

Свойства фигур целесообразно изучать в процессе ознакомления учащихся с различными преобразованиями: топологическими, проективными и метрическими.

В третьей главе «Методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах» раскрыто содержание обучения и описаны способы организации учебно-познавательной деятельности младших школьников по формированию у них представлений о геометрических фигурах.

Содержание обучения младших школьников элементам геометрии, направленное на формирование у детей представлений о геометрических фигурах, диктуется возможностью выделить наглядно-практически и наглядно-эмпирически геометрические объекты как обобщенные мысленные образы наблюдаемых предметов. Опыт ребенка-дошкольника - деятельность в пространстве, с конкретными объектами. Овладение пространством начинается с усвоения пространственных отношений. Поэтому первым этапом в процессе формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах становится изучение взаимного расположения предметов. Цель ■данного этапа - уточнение знакомых детям .пространственных отношений, а также обеспечение' постепенного перехода от бытового восприятия геометрических отношений окружающего мира к научным представлениям и выделению геометрических понятий: поверхность, линия, точка. Основной вид практической деятельности при изучении пространственных отношений -деятельность по раскрашиванию картинок. Например:

- Раскрась кольца в синий и желтый цвет так, чтобы они были зацеплены одно за другое (рис. 1).

Рис. 1

Следующим шагом в процессе формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах является ознакомление детей с поверхностью, линией, точкой. Наличие или отсутствие границ у конечных фигур позволяет выделить замкнутые и незамкнутые поверхности и линии.

Край незамкнутой поверхности формирует первые представления о линии, а

конец незамкнутой линии трактуется как точка. Рассматриваются также

плоские и кривые поверхности; области как части поверхности, ограниченные

замкнутой линией без самопересечений; прямые линии; отрезок; изучается

взаимное расположение точек, линий, отрезков. Выполняются задания типа:

- Раскрась замкнутые поверхности в красный цвет, а незамкнутые - в желтый. Незамкнутые поверхности раскрашивай только с наружной стороны (рис. 2).

Рис.2

На основе представлений о поверхностях, линиях, точках младшие школьники знакомятся с' многогранниками и многоугольниками. Многогранники рассматриваются как тела, ' ограниченные замкнутой поверхностью, состоящей из плоских кусков, многоугольники - как элементы (грани) многогранников. Среди многогранников выделяются пирамиды и ¡фйзКш. сз^е^гвующих курсив обучения младших:

школьников элементам геометрии, по данной системе в соответствии с принципом системной дифференциации («от общего к частному») сначала формируются общие представления о призме. Изучение свойств прямоугольного параллелепипеда (и куба, в частности) отложено, так как требует введение таких понятий, как длина, равные длины, прямой угол, прямоугольник, квадрат и др., что, в свою очередь, связано с формированием у детей количественных, а не качественных геометрических представлений. Количественные геометрические представления детей, по данным психологических исследований (Ж. Пиаже), следует формировать позднее, в возрасте 9-14 лет. Ниже приводятся варианты задач по теме «Многогранники и многоугольники»:

- С помощью палочек и пластилиновых шариков построй каркасную модель четырехгранной пирамиды (рис. 3). Убери три палочки и один пластилиновый шарик так,

чтобы на плоской поверхности осталась замкнутая фигура - грань основания пирамиды. Часть плоскости, ограниченную данной фигурой, раскрась любым цветом.

Рис. 3.

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, называется многоугольником. Стороны многоугольника - отрезки. Многоугольники - грани многогранников. Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник' Три. Это треугольник. У треугольника 3 сгоропы и 3 вершины. Начерти треугольник. Вершины треугольника обозначь буквами А, В, С (рис. 4). Этот треугольник можно назвать «треугольник ABC» и кратко записать ДАВС. Любые ли три точки могут быть вершинами треугольника?

ДАВС

Рис. 4

На рисунке изображена пирамида. Подбери к ней соответствующую каркасную модель. Раскрась нужную модель цветом пирамиды (рис. 5).

/ / \

Рис. 5.

Для формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах была организована предметно-практическая деятельность (в силу специфики возраста младших школьников) с использованием индивидуального дидактического материала: листа бумаги, куска веревки, канцелярской резинки, палочек и пластилина. Одной из особенностей предлагаемых заданий являлось то, что ученик, выполняя их, не только смотрел на картинку, думал и отвечал на поставленный вопрос, но и действовал руками: рисовал, раскрашивал, лепил, вырезал, моделировал - что позволяло ему приобретать новые знания осознанно.

Система упражнений, разработанная по блокам «Пространственные отношения» и «Геометрические фигуры», была направлена на решение следующих учебно-развивающих задач:

• обучение «чтению» графической информации и оперированию ею, а также изображению геометрического объекта, заданного вербально, с помощью предметной модели или другими способами;

• формирование умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении;

• обучение логическим обоснованиям геометрических фактов; развитие математической речи и умения комментировать свои действия;

• развитие мелкой моторики (рисование, лепка, раскрашивание, выкладывание, складывание, моделирование) и координации движений (игры, физминутки);

• развитие познавательных процессов: восприятия, памяти, внимания, мышления.

Экспериментальное обучение проводилось в 1-ом классе УВК № 63 «Солнышко» г.Пушкино Московской области. На изучение геометрического материала отводилось один-два урока в неделю по 40 минут каждый (за счет вариативного компонента учебного плана) Для проверки выдвинутых теоретических положений, принципиальной реализуемости и доступности созданной методики обучения была разработана контрольно-диагностическая работа, состоящая из 26 заданий. Каждое задание работы было направлено на выявление у младших школьников умений, характеризующих сформированность представлений о геометрических фигурах. В проведении и оценке результатов данной работы заключался контрольный эксперимент диссертационного исследования.

Задания контрольной работы предлагались учащимся экспериментального и контрольных классов в конце учебного года. В контрольную группу входили учащиеся 1-х классов, обучавшиеся по системам М.И. Моро, Б.П. Гейдмана, Л.Г. Петерсон и В.Н. Рудницкой. Та же самая контрольно-диагностическая работа была предложена изначально в 2001 году выпускникам начальных

классов (система М.И.Моро). Результаты контрольного эксперимента даны в таблице.

Сформированность у младших школьников представлений о геометрических фигурах

Сформированность представлений 1 «3» класс 1 «к» класс 4 «к» класс Примечания

о пространственных отношениях 80% 40% 55% Правильно ориентироваться в пространстве с постоянно меняющейся точкой отсчета оказалось сложным для большинства учеников начальных классов, особенно, если требовалось учитывать отношения «слева - справа».

о форме предметов в целом 75% 50% 80% Большинство учащихся 1 «э» класса без особых затруднений классифицировали предметы одной и той же формы, имеющие как одинаковый, так и разный размеры, расположенные единообразно или произвольно, имеющие между собой точки соприкосновения или нет.

о форме поверхности предмета 40% 12% 35% Представления о качественных свойствах поверхности в традиционном обучении практически не формируются. Умение различать на чертеже (рисунке) поверхности внешние и внутренние, плоские и кривые, замкнутые и незамкнутые связано также с уровнем развития пространственного мышления, которое без специально организованной деятельности развивается слабо.

об элементах фигуры 87% 6% 16% При изучении многогранников рассматривались грани, ребра и вершины как соответствующие элементы геометрических тел. Имея представления об элементах фигуры, ученик без особых затруднений строил как каркасную модель, а также подбирал к заданной фигуре подходящую каркасную модель из множества похожих объектов или изображений.

о развертке фигуры (геометрического тела, в частности, многогранника) 49% 13% 64% Задания на подбор разверток соответствующих фигур, отличие разверток от других изображений, не являющихся по форме плоскими моделями поверхности фигур, оказались сложными и связаны как с наличием у младших школьников представлений о данной фигуре, так и с уровнем развития пространственного мышления.

о свойствах фигуры 85% 5% 16% Задачи были направлены на выявление наличия представлений о замкнутых н незамкнутых линиях, сформированное«! понятий «бьпь на (внутри, вне) области, ограниченной данной линией», «пересекаться» и умения изобразить фигуры, согласно заданным свойствам н их взаимному . расположению. Без специального обучения умение выделять свойства фигуры н оперировать ими при решении задач развивается слабо.

Примечание. Используются следующие условные обозначения: 1 «э» - 1-ый экспериментальный класс; 1 «к» -1-Я контрольный класс; 4 <ас» - 4-ый контрольный класс.

Таким образом, высокие показатели, полученные в результате экспериментального обучения, позволяют сделать вывод о том, что разработанное содержание геометрического материала и методика его изучения принципиально реализуемы, доступны и способствуют формированию у младших школьников представлений о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства.

Заключение.

1. На основе анализа существующих в методической науке подходов к обучению младших школьников элементам геометрии, в данной работе раскрыты психолого-педагогические и методико-математические основы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах.

2. В работе сформулированы и обоснованы принципы формирования у младших школьников представлений о геометрические фигурах.

3. На основе выделенных принципов разработаны содержание обучения и способы организации учебно-познавательной деятельности детей по формированию у них представлений о геометрических фигурах.

4. В ходе экспериментального педагогического исследования проверена предлагаемая методика изучения геометрического материала. Принципиальная реализуемость и доступность созданной методики формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах подтверждена

результатами контрольного эксперимента. Поэтому можно считать, что методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах, построенная на основе взаимосвязанного и взаимозависимого изучения пространственных и плоских фигур, с учетом естественного хода развития геометрических представлений детей, позволяет сформировать у младших школьников представления о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства.

Таким образом, задачи исследования можно считать выполненными, а цель - достигнутой.

Публикации по теме исследования

1. Покровская Т.А. Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах: Пособие для учителя начальной школы. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 174с.: ил.

2. Покровская Т.А. Элементы геометрии в начальной школе Германии // Начальная школа. - 2002. № 3 - С.110-И6.

3. Покровская Т.А. Формирование у младших школьников представлений о • геометрических фигурах //"Материалы секции «Модернизация образования:

исследования докторантов, аспирантов и соискателей МГПУ» / Дни науки в МШУ - 2002. Научно-практическая конференция «МГПУ в реализации городской целевой программы «Модернизация московского образования (Столичное образование - 3)». - М.: МГПУ, 2002. - С. 131-135.

4. Покровская Т.А. Из палочек и пластилина // Дошкольник. Младший школьник. - 2002. - № 3. - С.20-21.

5. Покровская Т.А. Из палочек и пластилина // Дошкольник. Младший школьник. - 2002. № 4. - С. 19-21.

6. Покровская Т.А. Игры на уроках математики // Дошкольник. Младший школьник. - 2003. № 1. - С. 28-33.

7. Покровская Т.А. Игра «Найди домик друга». Учимся играя // Дошкольник. Младший школьник. - 2003. № 2. - С.36-37.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 23.04.04 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,44 Печать авторефератов (095) 730-47-74, 778-45-60 (сотовый)

РНБ Русский фонд

2007-4 18110

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Покровская, Татьяна Александровна, 2003 год

Введение.

Глава 1. Научные основы обучения младших школьников элементам геометрии.

1.1. Психолого-педагогические основы обучения элементам геометрии в начальной школе.

1.2. Методико-математические основы обучения элементам геометрии в начальной школе.

Глава 2. Развитие методики обучения младших школьников элементам геометрии (XIX - XX вв.).

2.1. Пропедевтический курс геометрии в русской начальной школе.

2.2. Современный подход к формированию у младших школьников представлений о геометрических фигурах в отечественной методике математики.

2.3. Элементы геометрии в зарубежной начальной школе.

Глава 3. Методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе иривдяна фузновнзмя.

3.1. Содержание обучения элементам геометрии младших школьников на основе принципа фузионизма.

3.2. Педагогический эксперимент и его организация.

3.3. Результаты педагогического эксперимента.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма"

В настоящее время наблюдается активизация научно-исследовательской деятельности в области образования с целью его реформирования. Это обусловлено тем, что к началу XXI века человечество значительно расширило свои познания о скрытых механизмах функционирования человеческого организма, доказательно представило концепцию об огромных его резервах и возможностях каждой личности в самосовершенствовании, в овладении достижениями современной науки. Поэтому педагогическая наука обращается к идее гуманизации образования, в связи с чем школа должна «повернуться лицом» к личности ученика, а значит, в процессе обучения учитывать его возрастные и индивидуальные особенности.

По данным психофизиологических исследований, созревание правого полушария происходит более быстрыми темпами; утверждается, что до девяти-десяти лет ребенок является существом «правополушарным» [Сироткж, 2000, с. 10]. Действительно, для младших школьников характерна непроизвольность и эмоциональность, а их познавательная деятельность имеет непосредственный, целостный и образный характер. Однако, при всем своем богатстве, образное мышление поступающего в школу ребенка недостаточно упорядочено, а способность к логическому мышлению еще недостаточно развита. Изучение геометрического материала в начальной школе дает возможность задействовать и развивать все топы мышления, что создает для учащегося возможность принять тот путь решения поставленной задачи, который наиболее адекватно соответствует его личностным особенностям. Но, следует признать, что в настоящее время в школе развивают, главным образом, левое полушарие, тем самым, переоценивая роль логического мышления в становлении мыслительной деятельности ребенка. Именно правое полушарие связано с развитием эмоциональной сферы, творческого мышления, интуиции и умением ориентироваться в пространстве. Поэтому для детей с преимущественным развитием правого полушария головного мозга изучение геометрического материала в начальных классах очень важно в прямом физиологическом смысле. В то же время умение ориентироваться в пространстве предполагает сформированность пространственных представлений, которые, согласно Б. Г. Ананьеву, являются необходимым условием развития личности ученика начальной школы. Таким образом, широкое включение элементов геометрии в начальный курс математики способствует, на наш взгляд, реализации личностно-ориентированного подхода к обучению младших школьников.

Но, как показано в исследовании А. В. Белошистой, в традиционном начальном обучении элементы геометрии представлены в малом объеме и довольно ограничено. Эксперимент, проведенный нами в трех выпускных классах начальных школ в 2001 году (№497, «Логос» г. Москва и УВК №63 г. Пушкино Московской области - 50 человек, все учащиеся обучались по системе М. И. Моро), показал, что пространственные представления учеников 4-х классов сформированы недостаточно. Так, например, умением ориентироваться в пространстве с учетом отношений «слева — справа — между» владеют не более 15% выпускников; умением различать внутреннюю и внешнюю стороны поверхности предмета - не более 16% учащихся. Кроме того, многие выпускники начальной школы не имеют четких представлений о тех геометрических фигурах, которые были рассмотрены в ходе обучения. Например, найти на рисунке ломаную смогли только 21% испытуемых. Таким образом, несмотря на то, что сведения о пространственных отношениях и геометрических фигурах, причем только плоских, входят в традиционный курс математики (система М. И. Моро), их явно недостаточно в сравнении с тем значением, которое имеет формирование геометрических представлений для развития психики, интеллекта и личности в младшем школьном возрасте. Так, на VI Международном конгрессе по математическому образованию, проходившем в 1988 году в Будапеште, отмечалось, что обучение математике в будущем предпочтительнее начинать с изучения элементов геометрии и лишь затем знакомить с арифметикой [94, с. 18].

Изучение геометрии невозможно без формирования представлений о геометрических фигурах. Геометрическая фигура рассматривается либо как множество точек каким-то образом выделенного пространства, либо как абстракция от наблюдаемых форм тел физического пространства. На второй из этих подходов, по нашему мнению, и должно опираться формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах, потому что в таком случае геометрическая фигура выступает в сознании ребенка как естественное обобщение его опыта. Но в начальной школе представления о геометрических фигурах формируются путем показа их моделей и, следовательно, абстрактно, вне связи с тем реальным пространством, наблюдения которого и положили начало геометрии как науки. Значит, используемый в школе подход противоречит, с одной стороны, историческому ходу становления и развития геометрии, а, с другой, — опыту ребенка, связанного с освоением окружающего пространства.

Каждый ребенок, по мнению И. С. Якиманской, О. С. Якуниной, Н. С. Подходовой и др., является носителем самоценного и самобытного субъектного опыта, приобретенного им в период дошкольного детства при ориентации в пространстве и различных видах деятельности с трехмерными объектами. Данный опыт необходимо учитывать при обучении в школе и целенаправленно обогащать его. Отсюда следует, что формирование представлений о геометрических фигурах следует начинать с ознакомления детей с взаимным расположением тел в физическом пространстве и выделением их форм.

Выдающийся швейцарский ученый Ж. Пиаже показал, что развитие геометрических представлений детей идет от топологических к проективным и затем к метрическим, то есть от геометрии «формы и положения» к геометрии «меры». Но в традиционном обучении математике преимущественно изучаются метрические свойства геометрических фигур: рассматриваются длина отрезка, площадь прямоугольника, а в некоторых курсах и объем прямоугольного параллелепипеда.

Опора на дошкольный опыт и топологические представления детей приводит к необходимости реализации в процессе формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах фузионистского подхода, на методическую необходимость которого в России первым указал Н. И. Лобачевский. Фузионистский подход предполагает, что пространственные и плоские фигуры должны изучаться взаимосвязанно и взаимозависимо. Термин фузионизм происходит от латинского слова fusio - слияние. Именно так в XIX веке называли слитное преподавание различных школьных предметов, а также слитное преподавание нескольких разделов математики: алгебры и геометрии, геометрии и арифметики, планиметрии и стереометрии. Принцип фузионизма способствует, на наш взгляд, разрешению противоречия между «первичностью пространственных форм с точки зрения процесса познания мира и абстрактностью плоских фигур в традиционной логике построения геометрических курсов, развивающихся от плоской к пространственной геометрии» [Шадрина, 2002, с. 5]. Несмотря на то что данный подход к формированию представлений о геометрических фигурах поддерживали и поддерживают многие методисты как прошлых лет (3. Б. Вулих, Ф. Гертель, С. А. Богомолов, А. Р. Кулишер, А. М. Астряб - конец XIX - начало XX века), так и современности (Е. В. Знаменская, Н. С. Подходова, И. В. Шадрина — конец XX - начало XXI века), в действующих системах обучения младших школьников элементам геометрии он не применяется.

Объект исследования: процесс обучения младших школьников элементам геометрии.

Гипотеза исследования: если содержание учебного материала по математике строить на основе взаимосвязанного и взаимозависимого изучения пространственных и плоских фигур, а при разработке методики обучения учесть дошкольный опыт ребенка и порядок развития геометрических представлений (от топологических к проективным и метрическим), то это позволит сформировать у младших школьников представления о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства. Задачи исследования:

1) проанализировать существующие в психолого-педагогической и методической науке подходы к обучению младших школьников элементам геометрии;

2) сформулировать принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах;

3) разработать содержание обучения и методику формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма;

4) экспериментально проверить эффективность разработанного содержания геометрического материала и методики его изучения.

Методы исследования:

• анализ психолого-педагогической и методико-математической литературы по теме исследования;

• анализ существующих программ и учебных пособий по математике для начальной школы;

Теоретико-методологические основы исследования: концепции личностно-ориентированного обучения и гуманизации образования; положение о ведущей роли деятельности в обучении и развитии личности (JI. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, С. JI. Рубинштейн и др.); теория генезиса интеллекта (Ж. Пиаже); концепция развития пространственного мышления (И. С. Якиманская, И. Я. Каплунович); подходы ученых-методистов, раскрывающие содержание и методику начального геометрического образования (В. Беллюстин, 3. Б. Вулих, Ф. Гертель, А. Р. Кулишер, А. М. Астряб, А. М. Пышкало, Л. М. Фридман, И. Ф. Шарыгин, И. В. Шадрина и др.); положения ученых-математиков, раскрывающие предмет и методы геометрии (Н. И. Лобачевский, Д. Гильберт, Ф. Клейн).

Теоретическая значимость исследования: в диссертации дан анализ различных подходов (отечественных и зарубежных) к формированию у младших школьников представлений о геометрических фигурах; выявлены принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах.

Научная новизна: разработано содержание, определены средства, формы и методы обучения младших школьников элементам геометрии, направленные на формирование представлений о геометрических фигурах, рассматриваемых как абстракции наблюдаемых форм тел физического пространства, на основе принципа фузионизма.

Практическая значимость: результаты исследования могут быть использованы учителями начальной школы при организации учебно-познавательной деятельности детей, направленной на изучение младшими школьниками геометрического материала; при подготовке учебников математики для начальной школы; на курсах повышения квалификации учителей начальных классов; при подготовке студентов по разделу «Методика обучения элементам геометрии в начальной школе».

В педагогическом эксперименте принимали участие ученики 1-ых и 4-ых классов школ №887, №61, №1948, №1977, №497, «Генезис», «Логос» г. Москвы; УВК «Снежинка» и УВК «Солнышко» №63 г. Пушкино Московской области. В общей сложности в эксперименте участвовало около 200 учащихся.

Апробация исследования: основные теоретические и методические положения исследования обсуждались на научно-практических конференциях «Развитие младших школьников средствами математики» (г. Москва, МГЛУ, 2000-2002гг.), «Дни науки в МГЛУ» (2002г.).

Исследование проводилось с 1999 года по 2004 год.

На втором этапе (2000-2003гг.) осуществлялась теоретическая разработка проблемы, определялась методика формирования у младших школьников представлении о геометрических фигурах, проводился констатирующий, обучающий и контрольный эксперименты.

На третьем этапе (2003 - 2004 гг.) обрабатывались и интерпретировались результаты, полученные в ходе педагогического эксперимента, формулировались выводы об эффективности разработанного содержания и проверяемой методики, оформлялись материалы исследования. На защиту выносятся:

1. Принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах.

2. Методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства, построенная на основе принципа фузионизма.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

102 Выводы

1. Педагогический эксперимент состоял из нескольких частей. В 1999-2000 учебном году на базе средней общеобразовательной школы №887 ЗАО г. Москвы был проведен поисковый эксперимент, который позволил выявить условия и способы организации учебно-познавательной деятельности младших школьников на уроках математики, посвященных изучению геометрического материала; разработать систему обучения младших школьников элементам геометрии, направленную на формирование у детей представлений о геометрических фигурах; скорректировать последовательность дидактических упражнений. В 2001 году был проведен констатирующий эксперимент в трех выпускных классах начальных школ №497, «Логос» г. Москва и УВК №63 г. Пушкино Московской области, который показал, что пространственные представления учеников 4-х классов, а также представления о геометрических фигурах сформированы недостаточно.

2. Обучающий эксперимент проводился в течение 2002-2003 учебного года на базе детского сада - начальной школы №63 «Солнышко» г. Пушкино Московской области. Экспериментальное обучение, направленное на формирование у первоклассников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма, проводилось по разработанной в ходе исследования программе, состоящей из двух блоков: «Пространственные отношения» и «Геометрические фигуры». Были рассмотрены такие пространственные отношения, как: сверху — снизу; спереди — сзади; слева — справа; следовать за - между - предшествовать; внутри - вне - снаружи; быть зацепленным; находиться напротив, быть противоположным. Среди геометрических фигур были изучены следующие: поверхность (плоская, кривая, замкнутая, незамкнутая), линия (кривая, прямая, замкнутая, незамкнутая), точка, отрезок, многогранник и его виды: пирамида (четырехгранная, треугольная, четырехугольная) и призма; ломаная замкнутая, незамкнутая), многоугольник. Геометрические фигуры выделялись как абстракции от наблюдаемых форм тел физического пространства. В процессе обучения учащиеся рассматривали также взаимное расположение фигур и их топологические преобразования; работали с различными моделями фигур. Особое внимание на уроках уделялось вербализации изучаемого материала, которая является, на наш взгляд, одним из необходимых условии его осмысления.

3. В ходе исследования были выявлены умения, необходимые для формирования представлений о геометрических фигурах.

3.3. Результаты педагогического эксперимента

Для проверки эффективности выдвинутых теоретических положений и созданной методики обучения была разработана контрольно-диагностическая работа, состоящая из 26 заданий. В проведении и оценке результатов данной работы заключался контрольный эксперимент диссертационного исследования.

Контрольно-диагностическая работа по математике, направленная на выявление сформированносги у младших школьников пространственных представлений и представлений о геометрических фигурах

1. На рисунке изображены забор, ёлочка, кустик, грибок, ёжик и лисичка. Перед забором растёт кустик и собирает грибы ёжик; за забором растёт ёлочка и бегает лисичка. Раскрась картинку (рис. 67).

Рис. 67

2. Из разноцветных кубиков дети сложили игрушку. Раскрась кубики, если красный находится между синим и жёлтым, а жёлтый расположен под зелёным (рис. 68). У

Рис. 68

3. Котёнок играет в мячики. Красный мяч у него позади. Впереди котёнка -жёлтый, синий и зелёный мячи. Жёлтый находится между синим и зелёным. Зелёный - дальше всех. Раскрась мячи (рис. 69).

Рис. 69

4. Шарику, Бобику и Дружку подарили разноцветные мячи. Шарику - синий мяч, Бобику - красный, Дружку - жёлтый. Раскрась мячи, если Шарик сидит слева or Дружка, а Дружок сидит между I Париком и Бобиком. В кружочки впиши первые буквы кличек щенков (рис. 70),

О о Ш

СТ) (Т\ Чи 4D

Рис. 70

5. Ваня видит красную машину слева от зелёной и справа от жёлтой. Раскрась машины (рис. 71).

О О О h Л и I

Рис. 71

6. Две рамки зацепили одну за другую. Раскрась рамки в синий и жёлтый цвет так, чтобы зацепление было видно (рис. 72). ж т

-ь / /

Рис. 72

7. Пятачок ходит в гости к Винни-Пуху так, что каждый грибок остаётся слева от него, а каждый цветок - справа от него. Нарисуй дорожку Пятачку (рис.73). Л ft

Рис. 73

8. Наружные стенки коробок синего цвета, внутренние стенки коробок жёлтого цвета. Раскрась коробки (рис.74). J jZ—

9. Ваня, Коля, Петя и Саша собрались за столом. Петя сидит напротив Саши. Коля сидит правее Пети. Обозначь буквами на схеме, кто где сидит (рис.75). О О о

САША

Рис. 75

Ю.На рисунке найди все фигуры заданной формы и раскрась их одним цветом (рис.76). га

Рис. 76

И.На рисунке изображены детали строительного набора. Определи их в разные группы. Детали, имеющие одну и ту же форму, раскрась одним цветом (рис. 77).

О та

Рис. 77

12.Из деталей строительного набора дети построили крепость. Раскрась её так, чтобы детали, имеющие одну и ту же форму, были одного цвета (рис. 78).

Л IV А tQ г"—''

Рис. 78

13.Из палочек и пластилиновых шариков построены модели деталей строительного набора. Подбери к каждой фигуре соответствующую модель и соедини их разноцветными линиями, согласно цвету модели. Раскрась детали набора нужным цветом (рис. 79).

Рис. 79

14.На каждом рисунке плоские поверхности раскрась в синий цвет, а кривые поверхности - в жёлтый (рис.80). у Q

Рис. 80

15.Раскрась замкнутые поверхности в красный цвет, а незамкнутые — в жёлтый. Незамкнутые поверхности раскрашивай только с наружной стороны (рис.81). С

Рис. 81

16.Таня, Петя и Оля считали количество граней, вершин и рёбер пирамиды, изображённой на рисунке. Подчеркни имя ребёнка, решившего задачу правильно (рис.82). л

Рис. 82

Имена число число число детей граней рёбер вершин

Таня 4 5 4

Петя 4 6 4

Оля 3 6 4

17. На рисунке изображена пирамида. Подбери к ней соответствующую каркасную модель. Раскрась нужную модель цветом пирамиды (рис.83).

Рис. 83

18.Пирамиды раскрась в желтый цвет, призмы - в синий (рис.84).

19. Подбери к каждой фигуре соответствующую развёртку и соедини их линиями. Раскрась развёртки, если боковые грани фигур красные, а грани оснований - жёлтые (рис. 85). а б в г \I

Рис. 85

20. Пирамида и призма потеряли свои развёртки. Найди их и раскрась согласно цвету данных фигур (рис.86). п

Г Г" — " I в

Рис. 86

Ill

21.Проведи две замкнутые линии (красную и зелёную) и одну незамкнутую (синюю).

22.3амкни линию так, чтобы все выделенные точки оказались: а) внутри области, ограниченной данной линией; б) вне области, ограниченной линией; в) на линии (рис. 87).

23.Дан отрезок АВ. Проведи кривую замкнутую линию так, чтобы: а) она не имела с отрезком общих точек; б) имела с отрезком одну общую точку — точку А; в) проходила через точки А и В; г) пересекала отрезок в четырех точках (рис. 88).

24. Данные четыре точки (рис. 89) соедини четырьмя отрезками так, чтобы образовалась замкнутая линия. Какая фигура у тебя получилась? Выбери правильный ответ и подчеркни его: а) треугольник, б) прямая, в) прямоугольник, г) четырёхугольник, д) куб.

Рис. 87

Рис. 88

Рис. 89

25.Как называется фигура, изображённая на рисунке (рис. 90)? Выбери правильный ответ (их может быть несколько) и подчеркни его: а) треугольник, б) многогранник, в) многоугольник, г) призма, д) тетраэдр, е) пирамида, ж) конус, з) четырехгранник.

Рис. 90

26. Нарисуй: мяч, коробку, крышку стола, кубик, трубу, кольцо, кривую, отрезок, пирамиду и призму.

Задания контрольной работы предлагались учащимся экспериментального и контрольных классов в конце учебного года. В контрольную группу входили учащиеся 1-х классов московских школ №61 (21 человек, система Б. П. Гейдмана), №497 (27 человек, система М. И. Моро), «Логос» (5 человек, система М. И. Моро), «Генезис» (8 человек, система JI. Г. Петерсон), №1948 (27 человек, система JI. Г. Петерсон), №1977 (23 человека, система М. И. Моро) и УВК «Снежинка» г. Пушкино Московской области (10 человек, система В. Н. Рудницкой). Та же самая контрольно-диагностическая работа была предложена изначально в 2001 году выпускникам начальных классов - учащимся школ №497 (27 человек, система М. И. Моро), «Логос» (9 человек, система М. И. Моро) г. Москвы и УВК №63 «Солнышко» (14 человек, система М. И. Моро) г. Пушкино. Что же показал проведенный контрольный эксперимент? Проанализируем его результаты, ориентируясь на выделенные умения (см. с. 98-99), которые рассматриваются нами также как критерии сформированности представлений о геометрических фигурах у младших школьников. Результаты выполнения учащимися контрольных заданий можно посмотреть в Приложении.

Критерий 1. Ученик выделяет заданный объект из фона

Заключение

В данном диссертационном исследовании раскрыты психолого-педагогические и методико-математические основы обучения младших школьников элементам геометрии; определены цели формирования у детей начальных геометрических представлений; сформулированы принципы формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах. Среди основополагающих принципов обучения выделены такие, как: учет закономерности развития детского мышления и порядка формирования у детей геометрических представлений (обучение элементам геометрии «от общего к частному», формирование представлений о геометрических фигурах на основе выделения их качественных свойств); учет опыта детей, приобретенного ими в процессе ориентирования в пространстве и оперирования трехмерными телами в период дошкольного детства; деятельностный подход (приобретение новых знаний в процессе активных действий самого ребенка с использованием индивидуального дидактического материала); формирование представлений о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства; принцип фузионизма (взаимосвязанное и взаимозависимое изучение пространственных и плоских геометрических фигур).

В исследовании рассмотрены различные подходы (отечественные и зарубежные) к обучению младших школьников элементам геометрии и формированию у них представлений о геометрических фигурах. На основе выделенных принципов обучения младших школьников элементам геометрии разработаны содержание и способы организации учебно-познавательной деятельности детей по формированию у них представлений о геометрических фигурах.

Предлагаемая методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах проверена в ходе экспериментального педагогического исследования, проведенного на базе начальных школ Москвы и Подмосковья (г. Пушкино).

Эксперимент подтверждает принципиальную реализуемость и потенциальную эффективность предлагаемой методики при использовании ее в массовом обучении. Таким образом, можно считать, что методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах, построенная с учетом дошкольного опыта детей и естественного порядка развития геометрических представлений, опирающаяся на принцип фузионизма, позволяет сформировать у младших школьников представления о геометрических фигурах как абстракций от наблюдаемых форм тел физического пространства. Кроме того, изучение предложенного геометрического материала способствует формированию у детей пространственных представлений, необходимых практически во всех видах учебной деятельности, и развитию пространственного мышления, а, значит, правого полушария головного мозга, тем самым, оказывает влияние на гармоничное интеллектуальное развитие ребенка и успешность учения в школе.

Положительные отклики первоклассников на изучение ими геометрического материала еще раз показали значимость последнего для интеллектуального, эмоционального, эстетического развития детей, а также для поддержания живого интереса младших школьников к данной области знаний.

В процессе работы над диссертационным исследованием были разработаны методические рекомендации учителю начальной школы, опубликованные в книге автора «Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах» (2003). В данной книге представлен возможный вариант организации деятельности детей по формированию у них начальных геометрических представлений. В ней также содержатся задания для младших школьников с подробным описанием процесса работы над каждым из них, а также дополнительный материал в виде игр и физминуток, способствующий уточнению и закреплению у детей тех или иных пространственных представлений.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Покровская, Татьяна Александровна, Москва

1. Ананьев Б. Г., Рыбалко Е. Ф. Особенности восприятия пространства у детей.- М.: Просвещение, 1964. — 304 с.

2. Астряб А. М. Наглядная геометрия. М. — П.: Гос. изд-во тип. «Сеятель» Е. В. Высоцкого, 1923.-159 с.

3. Астряб А. М. Задачник по наглядной геометрии. М. — П.: Гос. изд-во тип. «Сеятель» Е. В. Высоцкого, 1924. —198 с.

4. Астряб А. М. Курс опытной геометрии. JI.: Гос. изд-во, 1925. - 296 с.

5. Беллюстин В. Очерки по методике геометрии. ( В пределах начального курса). М.: Скл. изд. в кн. маг. М. Д. Наумова, 1912. — 48 с.

6. Белошистая А. В. Почему школьникам так трудно дается геометрия? // Математика в школе. 1999. №6. - С. 14-19.

7. Бернштейн Н. А. Очерки по физиологии движения и физиологические активности. М.: Медицина, 1966. - 349 с.

8. Бескин Н. М. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания в «Наглядной геометрии» А. М. Астряба». М. - Л.: Учпедгиз,1947. -276 с.

9. Богомолов С. А. Обоснование геометрии в связи с постановкой ее преподавания / Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики.- СПб., 1913. Т. 1. Общие собрания.

10. Ю.Брунер Д. Процесс обучения / Пер. с англ. О. К. Тихомирова. Под ред. А. Р. Лурия. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 84 с.

11. Брунер Д. Психология познания. М.: Прогресс, 1977. - 412 с.

12. Бурбаки Н. Архитектура математики. В кн.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература, 1963.

13. Вернье Ж. Ребенок, математика и реальность. Проблемы преподавания математики в начальной школе. — М.: Институт психологии РАН, 1998. 288 с.

14. Виленкин Н. Я., Петерсон JI. Г. Математика. 1 класс. Ч. 1-4: Учебник для 1 класса. М.: ИНПРО-РЕС, 1996. - 26 см.

15. Вовчик-Блакитная М. В. Актуальные теоретические проблемы и прикладные разработки современной психологии. Тезисы докл. VII Межресп. студенч. науч. конф. 15-17 окт. 1974г.-Киев, 1974.- 140с.

16. Вулих 3. Б. Приготовительный курс геометрии. СПб.: Ред. журнала «Семья и школа»,1873. -127 с.

17. Выготский JI. С. Мышление и речь. — М.: Лабиринт, 1996. 416 с.

18. Гаврина С. Е., Кутявина Н. Л., Топоркова И. Г., Щербинина С. В. Развиваем мышление: Рабочая тетрадь. М.: ООО «Росмэн-Издат», 2001. — 24 с.

19. Гаттеньо К. Педагогика математики // Преподавание математики. Пер. с фр.- М.: Учпедгиз, 1960. -163 с.

20. Гертель Ф. Преподавание геометрии на основании самодеятельности учащихся. Петроград: Тип. М. М. Стасюлевича. - 1914. - 58 с.

21. Гильберт Д., Кон-Фонен С. Наглядная геометрия / Пер. с нем. Э. Лундберга.- М.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1931. 352 с.

22. Глейзер Г. Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978. - 104 с.

23. Ибрагимов Ф. Н. Проблема формирования пространственных представлений учащихся в обучении математике в начальной школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Баку, 1982.

24. Истомина Н. Б., Нефедова И. Б. Математика. 1 класс: Учебник. M.:Linka-Press, 1994.-208 с.

25. Истомина Н. Б., Шадрина И. В. Наглядная геометрия: Тетрадь по математике для 1-го класса четырехлетней начальной школы. М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 2001.-64 с.

26. К проблеме восприятия пространства и пространственных представлений: Материалы научных совещаний. Под ред. Б. Г. Ананьева и Б. Ф. Ломова. -Д.: Изд-во АПН ЛГУ РСФСР, 1959. 111 с.

27. Кавун И. Н. Начальный курс геометрии. В 2-х ч. Изд. 2-е. Ч. 1-2. Л.: Гос. изд-во, 1924. -2 т.

28. Каплунович И. Я. Психологические закономерности развития пространственного мышления // Вопросы психологии. 1999. №1. - С. 60 -68.

29. Каплунович И. Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. — Новгород: НРЦРО, 1996. 99 с.

30. Каплунович И. Я. Содержание мыслительных операций в структуре пространственного мышления // Вопросы психологии. — 1987. №6. — С. 115122.

31. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований // Об основаниях геометрии. М., 1956. - С. 399 - 434.

32. Комацу М. Многообразие геометрии / Пер. с япон. М.: Знание, 1981. - 208 с.

33. Косинский М. О. Наглядная геометрия. — СПб.: «Кораблев и Сиряков», 1871. -90 с.

34. Кулишер А. Р. Методика и дидактика подготовительного курса геометрии. — Петроград: Фото-лит. Багинского, 1918.-256 с.

35. Кулишер А. Р. Учебник геометрии. 4.1. СПб: П. В. Луковников, 1914. -130 с.

36. Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1975. -304 с.

37. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — Т. 1. Сочинения по геометрии.

38. Ломпшер И. О развитии понимания детьми некоторых пространственных отношений: Автореф. дис. канд пед наук. JL, 1958. -14 с.

39. Люблинская А. А. Очерки психического развития ребенка. (Ранний и дошкольный возраст). М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1959. - 546 с.

40. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчшцина и др.; Под. ред. В. А. Гусева. М.: Издательский центр «Академия». - 368 с.

41. Моро М. И. Степанова С. В. Математика: Учебник для 1 класса четырехлетней начальной школы. Под ред. Ю. М. Колягина. 12-е изд., перераб. -М.: Просвещение, 1998. 128 с.

42. Мусейибова Т. Генезис отражения пространства и пространственной ориентации у детей дошкольного возраста И Дошкольное воспитание. — 1970. №3.-С. 36-41.

43. Начальная элементарная геометрия. (Планиметрия) / Издание Т-ва И. Д. Сытина. По книге Г. Алексеева «Начальная элементарная геометрия, альбом первый планиметрия». - М.: Карапуз, 2001. - 18 с.

44. Панчшцина В. А. и др. Геометрия для младших школьников. 1-4 класс. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1997-1998.

45. Пиаже Ж., Инхельдер Б. Генезис элементарных структур. Классификация и сериация / Пер. с фр. Э. М. Пчелкиной. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 448 с.

46. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия // Вопросы психологии. 1964. №6. - С. 121-127.

47. Пиаже Ж. Роль действий в формировании мышления // Вопросы психологии. 1965. №6. - С. 33-51.

48. Пиаже Ж. Структура интеллекта / Избранные психологические труды. — М.: Просвещение, 1969. -659 с.

49. Пидручная М. В. Изучение пространственных отношений в курсе математики начальных классов: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1975. - 22 с.

50. Пидручная М. П. Развитие представлений о простейших пространственных отношениях у детей 6-летнего возраста в процессе обучения математике / Обучение шестилетних детей в школе. Материалы н-rrp. конф. 1973. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1974. - С. 87-93.

51. Поддъяков Н. Н. Формирование у дошкольников способности наглядно представлять перемещения предметов в пространстве / Сенсорное воспитание дошкольников/ Под ред. А. В. Запорожца и А. П. Усовой. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - С. 163 - 185.

52. Подходова Н. С. и др. Волшебная страна фигур. В пяти путешествиях: Пособие для развития пространственного мышления. СПб.: Питер, 2000. -26 см.

53. Подходова Н. С., Горбачева М. В., Мистоков А. А. Развивающая геометрия.1.2 классы. СПб.: Голанд, 1998-1999.

54. Подходова Н. С. Подготовка учащихся к изучению геометрии. К проблеме построения личностно-ориентированных курсов в 1-4 классах // Начальная школа. 2002. №1. - С. 67-72.

55. Подходова Н. С. Теоретические основы построения курса геометрии 1-6 классов: Дис. докт. пед. наук. СПб, 1999.

56. Подходова Н. С. Формирование пространственных представлений младших школьников при изучении геометрического материала: Дис. . канд. пед. наук.-СПб., 1992.

57. Покровская Т. А. Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах: Пособие для учителя начальной школы. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. -174 с.

58. Покровская Т. А. Элементы геометрии в начальной школе Германии // Начальная школа. 2002. №3. - С. 110-116.

59. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4). В2.х ч. М.: Просвещение, 2001.

60. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-5). По системе Д. Б. Эльконина В. В. Давыдова. - М.: Просвещение, 1996.

61. Пыишало А. М. Геометрия в 1-4 классах. (Проблемы формирования геометрических представлений у младших школьников/) М.: Просвещение, 1968. - 262 с.

62. Рослова Л. О. Геометрическая линия нового учебника математики для 5-6 классов // Математика в школе. — 1999. №5.- С. 15-22.

63. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. М.: Учпедгиз, 1946. — 704 с.

64. Рудницкая В. Н. Математика: Учебник для 1 класса четырехлетней начальной школы. 2-е изд., перераб. - М.: Вентана-Графф, 2002. - 112 с.

65. Савенков А. И., Савенкова Н. И. Развиваем объемно-пространственное мышление: Развивающая тетрадь для детей дошкольного и младшего школьного возраста. — М.: Педагогическое общество России, 2000. —16 с.

66. Сиротюк А. Л. Обучение детей с учетом психофизиологии. М.: Сфера, 2000.-122 с.

67. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. М.: Изд. центр «Академия», 1997. - 464 с.

68. Туфанов А. Методические заметки о преподавании арифметики и геометрии в первый год обучения восьмилетних детей.- СПб.: журнал «Обновление школы», 1912 /1913. -180 с. /167 с.

69. Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педвузов. М.: Моск. психолого-соц. ин-т: Флинта, 1998.-216 с.

70. Чуприкова Н. И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. М.: АО «Столетие», 1995. - 192 с.

71. Шадрина И. В. Обучение геометрии в начальных классах: Пособие для учителей, родителей, студентов педвузов. М.: Школьная Пресса, 2002. - 96 с.

72. Шадрина И. В. Обучение математике в начальных классах. М.: Школьная Пресса, 2003. -144 с.

73. Шадрина И. В. Принципы построения системы обучения младших школьников элементам геометрии // Начальная школа. — 2001. №10. С. 3747.

74. Шадрина И. В. Решаем геометрические задачи: Программа и методические рекомендации. 1-4 классы. — М.: Школьная Пресса, 2003. 4 т.

75. Шадрина И. В. Решаем геометрические задачи: Рабочие тетради. 1-4 классы. М: Школьная Пресса, 2003. - 4 т.

76. Шарыгин И. Ф., Шарыгина Т. Г. Первые шаги в геометрии: Рабочая тетрадь для 2 класса -М: «Открытый мир», 1998. 66 с.

77. Шевелев К. В. Готовимся к школе. Занятия в тетрадях. Ориентация на плоскости. — М.: Карапуз, 2000. — 17 с.

78. Шемякин Ф. Н. Некоторые теоретические проблемы исследования пространственного восприятия и пространства // Вопросы психологии. — 1968. №4. С. 18-28.

79. Шемякин Ф. Н. Ориентация в пространстве // Психологическая наука в СССР. Т.1.-М., 1959. С. 140-192.

80. Юиг Г., Юнг В. Первая книжка по геометрии. Пер с англ. М.: Тип. т-ва И. Д. Сытина, 1911.-199 с.

81. Якиманская И. С. Как развивать учащихся на уроках математики (Учебно-методическое пособие). М, 1996.

82. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. — М.: Педагогика, 1980. 239 с.

83. Якунина О. С. Проектирование условий развития пространственного мышления младших школьников в личносггно-ориентированном образовании: Автореф. дис. канд. псих. наук. М., 2000. -24 с.

84. Besuden Н. Zur Raumgeometry in der Orundschule. In: Praxis des Mathematikunterrichts 2- Braunschweig: Westermann, 1978. S. 198-204.

85. Elementary mathematical methods. John Wiley & Sons. USA, 1978.

86. Helping children learn mathematics. A competency-based laboratory approach. G. R. Baur, L. O. George. USA Cummings Publishing Company, Inc., 1976.

87. Lauter J. Der Mathematikunterricht in der Grundschule. — Verlag Ludwig Auer, Donauwdrth, 1982.

88. PiagetJ. Les structures mathematiques les operatories de rintelligesell //L'enseignements de mathematiques.- Paris, 1955.

89. Proceeding of the Sixth International Congress on Mathematical Education.-Budapest. Edited by Ann & Keith Hirst ICMI Bolyai mathematical society, 1988.

90. Radatz H. Handbuch for den Geometrieunterricht an Grundschulen. Hannover: Schroedel Schulbudiveri., 1991. - 186 S.

91. Reisman F. K. Diagnostic teaching of elementary school mathematics. Methods and content. Rand McNally College Publishing Company. Chicago, 1977.

92. Sartoris K. Spielerische Geometrie im 1. und 2. Schuljahr.- Munchen, 2001. 98.Schmidt R. Topologische Aufgabenstellungen fur das erste und zweite Schuljahr. In: Praxis des Mathematikunterrichts 2. Braunschweig: Westermann, 1978. - S. 138-161.

93. Uhr H. BegrUndung, Inhalte und Durchfuhrang des propSdeutischen Geometrieunterrichts. In: J. Lauter. Der Mathematikunterricht in der Grundschule. Verlag Ludwig Auer, Donauwdrth, 1982. - S. 189-224.