автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Функциональная пропедевтика в курсе математики начальных классов

Автореферат диссертации по теме "Функциональная пропедевтика в курсе математики начальных классов"

РГ6 од

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

__^ ' ):УЦ ___

На правах рукописи

ЦЫДЫПОВА ЕВГЕНИЯ ДОНДОПОВНА

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОПЕДЕВТИКА В ЙУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Специальность 13.00.02 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва -1994

Работа выполнена в Московской государственном открытом педагогическом институте.

Научный руководитель - кандидат педагогичеокюс наук,

профессор Истомина Наталия Борисовна

Официальные оппоненты - профессор, доктор физико-математическ

Ведущая организация - Московский государственный ледагогиче<

университет

Защита состоится " Т6 " Февраля 1994■ г. в 14.ПОчасог на заседании специализированного Совета К 113.25.03 в Носковскс государственном открытом педагогическом.институте по адресу: 109004, Москва, ул. Верхняя Радищевская, 16/8.

С диссертацией ыоано ознакомиться в библиотеке Московского государственного открытого педагогического института.

А б то ре фе рат "рязайдяв" " "'-ятаавк------1994

Ученый секретарь

наук Дорофеев Георгий Владимирович профессор, кандидат педагогических на; Шмырева Галина Григорьевна

специализированного Совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Вопросы функциональной пропедевтики всегда являлись предметом обсуждения как математиков, так и методистов /А.Я.Хинчин, Б.Л.Гончаров, А.Н.Колмогоров, А.И.к1аркушевич, С.И.Новоселов, Г.Б.Дорофеев, Н.Я.Виленкин, Ю.Н.Макарычев, А.Я.Блох, м.Н.Скаткин, А.л.Пышкало, ш.И.;<1оро, М.А.Бантова/. Это обусловливалось различными причинами: значимостью самого понятия "функция" для математического образования, и формирования функционального-мышления; теш трудностями, которые возникали у учащихся средней школы в процессе его изучения; попытками решить проблемы преемственности между содержанием.математического образования в начальной и средней школе и т.д.

Многие ученые-методисты отмечали в понятии "функция" универсальный характер прикладных.возможностей, которые по- ■ зволяют органично увязать меаду собой многие разделы как самой математики, так и разделы таких учебных предметов как физика, геометрия и т.д.

А.Н.Хинчин считал это.понятие исключительным, так как в нем "воплощены и подьижность, и динамичность реального мира, и ьзаимная обусловленность реальных величин".

Вопросы пропедевтики понятия функции-находились.в.поле зрения методистов,- начиная с прошлого.столетия / С.И.Шохор-Троцкий,-И.И.Грацианский, О.Еольберг и др./ В частности, С.И. Шохор-Троцкий говорил - о .воспитания "функционального мышления',' которое состоит в том, что учащийся должен быть воспитан именно так, чтобы знать и понимать смысл главнейших.функциональных зависимостей.в пределах своих.познаний. Л.И.Грацианский указывал, что "решение-примеров следует подчинить проведению математических идей, среди которых изучение зависимостей и изменяемости должно занимать главное место". По в

мнению О.Вольберга, идея функциональной: зависимости - тот

_для_того,прочно вошла

~-в сознание -учащегося, работа^о-^ордяровавикьфуЫционадьяого___

мышления должна вестись незаметно для учащихся, начиная с первых лет обучения, целенаправленно, планомерно и повседневно. Таким образом, большинство методистов всегда признавали

необходимость формирования у учащихся функциональных представлений, начиная с первых лет обучения.

Ряд диссертационных исследований посвящен решению этой проблемы в средней школе /В.А.Байдак, А.П.Байрамян, М.А. Бантова, А.Д.Виноградова, В.А.Гуськов, М.И.Добровольский, Н.Н.Забежанская, Г.Г.Кравцов, Р.А.шайер, Л.Г.Петерсон, А.А.Рамзаева, Е.И.Сеьбо, Л.И.Федорова/. Некоторые из этих райот содержат предложения, касающиеся функциональной пропедевтики в начальных классах.|0нн в основном сводятся: к рассмотрению изменения результатов арифметических действий в зависимости от изменения однбго из.компонентов и применению этих знаний при устных и письменных вычислениях; к ознакомлению учащихся с примерами зависимостей, которые могут быть -выражены формулой и таблицей, диаграммой - и рисунком, к решению задач с пропорциональными величинами, к ознакомлению с буквенной символикой и переменной.

Однако, как показывает практика, включение этих.вопросов в курс математики начальных классов не только не решает проблемы функциональной пропедевтики, но и создает новые трудности, связанные с их усвоением. Анализ причин затруднений младших школьников показывает, что трудности, возникающие у них в процессе выполнения•заданий функционального со-, держания, связаны, прежде всего с отсутствием умения выделять в математических объектах признаки сходства и различен, отличать главное от второстепенного, наблюдать за происходящими изменениями, устанавливать причинно-следственные связи и делать обобщения. Еполне возможно, что эти же причины лежат в основе затруднений.школьников и в среднем ЗЕене при усвоении понятия функции.

Таким образом, возникает противоречие: с одной стороны, большинство методистов утгервдают, что подготовку учащихся к изучении понятия "пункция" необходимо начинать как можно раньше, с другой стороны, изучение вопросов' функционального

содержания представляет ^дая- шгздшкх-4щадльшков-=€>ш^вяеш£ые-----

трудности, причиной которых явмется~неВдаршроващюсЗь~~бб-щих приемов умственных действий, таких как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение. Это говорит о том, что

проблема функциональной пропедевтики в начальных классах актуальна и требует своего методического решения. Она заключается как в отборе функционального содержания, доступного «шадшему школьнику, так и в подготовке его мышления к восприятию и -усвоению понятия "функция".

Исходя из вышесказанного была сформулирована гипотеза 'исследования: если ь процессе изучения начального курса математики вести целенаправленную и систематическую работу по формированию у учащихся приемов умстьен^ых действии /анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение/, используя для этой цели слстему заданий, обеспечивающую фор^ирогание идеи изменений, соответствия, зависимости, правила и усвоение способов их выражения /пары, таблицы, стрелка, равенства/, то это окажет положительное влияние на формирование тункпдопальных представлений младших школьников и подготовит их к восприятию и усвоению функциональных понятий в средней школе.

Объект исследования - процесс обучения математике е начальных классах.-- -

Предмет исследования - способы формирования функциональных представлений у младмих школьников в процессе обучения математике.

1 процессе исследования предполагалось решить следующие задачи:

1. На основе анализа историко-иатематической и .методической литературы, учебников математика для средне:', школы Euдeл¿lть понятия, которые можно использоватв для нормирования функциональных представлений у ыладших школвнлков.

2. Разработать научно-методические основы формирования функциональных представлений у учащихся начальных классов

и систему заданий с функционалвным содержанием.

3. Экспер ¡ментально проверить доступность и эффективность этой сястеш заданий. с

Поставлеклые задачи опоеделили ■ логику и методы исследования.

Ча-пвоуоы этапе /1989-1990 г.т^/'осущуотрлялось изучение- - -йсторнко-математической, методической литературы и проводился-анализ учебнякоь математики для начальной и средней-школы, в результате которого были намечены осноьные подходы к решению

проблемы функциональной пропедевтики в курсе математики начальных классов. На этом же этапе проводилось анкетирование учителей, беседы с учащимися, наблюдения уроков математики в 1-3, С-8 классах г.Чимкента.

На втором этапе /1990-1991. г.г./ проводился поисковый эксперимент в перхом классе школы-гимназии К 8 г.Чимкента и ео 2-3 классах школы й 713 г.Москвы, в результате которого были разработаны основы методики формирования функциональных представлений у младших школьншсое я система заданий с функциональным содержанием для 1-3 классов.

, нЬ третьем этапе /1991-1993 г.г./ проводилась экспериментальная проверка эффективности системы заданий в 1-3 классах школы-гимназии № 8 г. Чимкент а и в 1-2 классах школы 713 г.-Лосквы. На этом же этапе проводились беседы с учащимися и. констатирующие эксперименты в 4-5 классах школы № 713 с теш учащимися, которые участвовали в поисковом эксперименте, а также констатирующие эксперименты в 7-8 классах школы Л 8 г.Чимкента.,

На четвертом этапе /1993 г./ обобщались результаты эксперимента и завершалась работа над оформлением диссертации.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в разработке научно-методических основ формирования функциональных представлений в курсе математики начальных классов, которые позволяют реализовать в системе заданий идеи развивающего обучения и подготовить школьников к усвоению функциональных понятий.

Практическая значимость исследования заключается е возможности использования системы развивающих заданий с фун-оло-нальным содержанием в практической работе учителей начальных классов, а также при написании учебных пособий и методических рекой® ндапяй. ,

Ча защиту выносятся::

-- ПТТ'УУТ—^т *Т£" р 3 дпотг^тт - '»/•'-*■ т- гт^-тто"' 'у'"

сах; _; _

- , ишнарнэнная--

на формирование функциональных представлений у младших школьников.

Обоснованность и достоверность научных положений, вшодов,

(

рекомендаций, сделанных в диссертации, обеспечивается анализом различных подходов к определению понятия "функция" в математике и методике ее преподавания в средней школе, анализом школьной поактики, поэтапным построением эксперимента и использованием различных методов исследования для проверки его результатов.

Апообация и внедрение результате! исследования. Основные результаты исследования были представлены автором на научно-методических конференциях Чимкентского педагогического института /1989-1993 г.г./. на республиканском научно-практическом семинаре по организации и созданию терминологических словарей "компьютерный фонд казахского языка"/Алма-Ата - Чимкент,199?, год/, на зональной конференции: "Инновационная деятельность-учителя. Проблемы. Опыт. Решения."/г.Псков, 1992 г./, на заседаниях кафедры методики начального обучения Московского государственного открытого педагогического института /1993 г./

Результаты исследования внедрены в форме спецсеминара "функциональная пропедевтика в курсе математики начальных классов" в Чимкентском педагогическом институте, а также использованы при написании учебников для первого.и второго классов./авторы Н.Б.Истомина, И.Б.Нефедова/. Е 1993-1994 учебном году более 30 тысяч первоклассников изучают математику по этому учебнику.

Связанные с исследованием материалы опубликованы в сборниках: "Труды ассоциации "Казахпрофтехконтакт" министерства образования республики Казахстан /Алма —Ата, 1992/, в тезисах докладов я выступлений /г.Псков, 1993/, в тезисах докладов /г.Чимкент, 1390—19С2/, в журнале "Начальная школа"/!,¡оскьа, 1991, 1994/.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения. Список литературы содержит 224 названия, в диссертации 127 страниц, 3 рисунков, 9 таблиц.

- -----

Ео В1едении обосновывается актуальность темы, определены объект и предмет, сформулированы цель, гипотеза и задачи ис-сдедоЕания, излагаются его логика и методы, формулируются

защищаете положения, показана научная новизна и практическая значимость работы. Указаны осногные направления внедрения полученных результатов.

Е первой главе "Исторический обзор развития понятия функции в математике и методике обучения математике" пред-стаглен краткий анализ развития понятия Функции е математике" и рассмотрены различные подходы к' изучению этого понятия е курсе математики средней школы.

Обращение методистов к истошческому анализу развития математических понятий является одним из методов исследования, который целесообразно использовать для селения различных методических проблем. Особую роль этот анализ приобретает, когда речь вдет о формиоовании математических предита! ленгГ у младших школьников, которые не способны усвоить то или иное понятие на уровне вербального'определения. Ъ связи с этим возникает необходимость опираться на опыт ребенка и на его практическую деятельность, которая в той пли иной степени отражает в себе исторические этапы развития понятия. Анализ исторического развития понятия функция и сопоставление различных подходов к его трактовке, позволяет Еыделить следующие понятия как родоЕые по отношению к понятию Функции: кривая или график /Г.Лейбниц/, переменная величина /'иГернулли/, аналитическое выражение или формула /Л.Эйлер/, правило /Л.Эйлер/, соответствие /Н.Лобачевский и П.Дирихле/, множество /Н.Бурбаки/ и констатировать, что каждый этап развития понятия Функции хаоактээязуется неизменным присутствием зде-взаимосвязи, изменения, соответствия и загжжости между рассматриваемыми объектами, а также поиском средств для выражения названных идей.

Пропедевтика любого понятия всегда направлена на пео-спект:ву, т.е. на достижение таких показателе":, наличие которых будет способствовать Ьознательному и активному усЕое- <

школьниками знаний, умений и навыков, связанных с изучением данного понятчя. Дпя гиярпечт показ^т^е*' глторпостг 2^^с1!рият;1:<У_и^усвоени10 понятия функц:пг-№зоб^рдчмо' било рас- " смотреть различные точки зрения методистов на определение этого понятая. Анализ этих точек зрения позюляет выделить е основное две, отличающиеся друг от друга трактовки. Генетическую, которая связана с понятиями переменная величина,

декартова система координат на плоскости, формула, функциональная зависимость переменных величия. Логическую, которая трактует функцию как частный случай более общего понятия отношения,. соответст!ия. Сравнительный анализ этих Д1ух трактовок позволил выяснить, что появление логической' трактовки обусловлено неудовлетворенностью методистов результатами изучения функции на осноре генетического подхода, отрешением устранить всякие неясности г сути понятия функции, предопределенные использованием в качестге опорных, "расплывчатых" понятий переменной величины и зависимости переменных величин.

Г тгооттессе поиска опоеделения понятия функции р школьно;.: курсе математики методистами выдвигалась различные предложения: исключить переменную величину из числа математических понятий, изучать функцию только на основе понятия соответствия, использорать одновременно переменную величину, соответ-ст!не и даже выдвигалось такое предложение как вовсе не определять понятие функции и отнести его к неопределяемым, основным понятиям.

Г настоящее воевд идея функции занимает одно из центральных мьот в курсе математики средней школы. В 5-6 классах ведется целенаправленная работа к знакомству с этим понятием, в связи с чем до вредения понятия функции изучается более 35 понятий, имеющих функциональную направленность и подготавливающих учащихся к восприятию и усвоению понятии функции.

Глава П " .¡етодика фо дарования функциональных представлений у младших школьников" содержит пять параграфов.

Б § I "Общая характеристика методики формирования функциональных представлений"раскрывается содержание понятия "функциональные представления младших школьников" и концепция функциональной пропедевтики в курсе математики начальных классов. с

Пытаясь определить содержание понят.ш "функциональные

представления младших школьников",-агтор ориентировался на-

т? идеи,, которые г тогд.или „ином виде находят отражение „

-в-разлччнык-йфеделенчяхфункции. Среди этих-идей были выде-» -лены те, котооые а/ доступны младшим школьникам; б/ их можно активно использовать при изучении курса математики начальной школы; в/ использование этих идей способствует не только

- а -

усюеншо программного материала, но и оказывает положительное влияние на Нормирование у детей таких мыслительных операций как анализ и соттез, сравнение, классификация, обобщение. Лс-ходя из этих условий были выделены идеи: изменения, соответствия, зависимости и правила /описание закономерностей/.

Таким образом, функциональная пропедевтика в начальных классах ставит своей целью форшпо] ание у детей предстахлений об измени'пи, соответствии, закономерности и зависимости на материале изучения содержания, предусмотренного программ" , курса математики в начальных классах. В связи с эткм, назвян-I ные понятия должны выполнять двойную функцию. С одной стороны, они выступают е поли объектов, т.е. содержательных компонентов обучения, о которых у учащихся должны сложиться определенные представления. С другой стороны, они выполняют роль методов и приемоЕ организации деятельности учащихся в процессе изучения различного содержания. С этой целью они используются при формулировке различных заданий и в этом случае их можно рассматривать как деятельностный компонент обучения.

Активное включение понятий.изменяемости, соответствия, правила и зависимости в процесс обучения млацшях школьников математике оказывает влияние на развитие их квшленля, в том • числе и функционального^.

Используя это понятие автор ориентировался на определение, данное Р.А.Майером, который в качестве основных характеристик функционального мышления выделяет: а/преттотавление математических объектов в движении, изменении; б/ операцион-но действенный подход к математическим фактам, оперирование причинно-следственными связями; в/ склонность к содержательный интеопротац-иьл ;.'л?о;/дтлческйх' факто: , потипноо внимание к прикладным аспектам математики. ,

Б § 2 рассмотрены психологические особенности формиро-• " вания ф,унациональных предста:лений.-Е них находят отражение _, общие закономдрщрти формирования понятий /представлений/ у ьиадяйэ^чаколнйж^г-которые-накболоо полно и обооневате—-— представлены ь теории поэтапного формирования умстюнчых действий /П.Я.Гальперин/. Согласно этой теории, ребенок способен усвоить то или иное понятие /представление/ только в процессе

деятельности, которая выполняется б различных формах: материально"! или материализованной, перцептивной, внешнеречевой, умственно;:. Учитывая это, июрмирогачие функциональных прод-статлений у младших ."коивников целесообразно начинать с вы- ■ деления признаки различных объектоЕ. Г качестве тагах объ-ектог могут быть использованы знакомые детям предметы или их изображения, анализ которых направляется соответствующий! хоппосами и заданиями. При этом следует учитывать, что выполняя р:дзлг-и:;.:е задания на предметном у рог не, учадкися начальных классо; могут опираться на сеой казненный опыт. Опора на огн-"? и на интуиция ребенка выступает на начальном этапе обучения математике кат: нообхоп т .'Юв условие орган '.загни процесса о^учеч ¡4, как ьаглий фактор, ко'орнй '..¡ото лспользохать для познавательной мотивации. Дети с удовольствием рассматривают пары предметов или картинок и отвечают на г опросы:"Чем похожи?","Чем отличаются?","Что одинаково?","Что ноодтакого?',' "Что изменилось?","Что не изменилось?" и т.д. Г результате такой работы у ребенка формируется предста1ление об изменении как о действии, г результате выполнения которого он получает объект, облапаодш" новыми свойствами, признаками, качеством. Пои эти осознание идеи изменения на предметном уровне не тоебует нпканоГ. дополните явной терминологии и симтолитч. Таким обоазом, для осознания идеи изменена* учен ша нуяно поставить в усадим рчэтллнвз'м этого действия, т.е. предлагать ему задания, связан ше с изменением опредеаен"ого поизнаки /свойства, элемента/: "Чзмени и^ор,"Чзменн количество" и т.д.

Умение выделять признаки пазл 1чных объектов логлт также в основе усвоения идеи соот:етствкя и правила на предметно-действсшном уровне. )г:особ установления взаимно-однозначного соопетстки выступает ь качестве основного при изучении таких понятий как "столько же","больше","меньше". Для осознания

вий с числогимн выобаяниями, равенствами. неравенствами., при изучении тя.их г.опят.г... ка;с "смысл олокени^"-,--Бкчитания","у*- -нокения"," мленш" и т.д.

Наолоразличные изменения л закономерности, ребенок ■иконоует их во I чешяеречеЕой деятельности и соотносит свои действия с .¿тематическими записями.

- 10 - - . ■ I § 3 обосновш ается положение о том, что направленность курса математики начальных классоь на формирование у младших школьников функциональных представлений положительно влияет на овладение м такиш. приемами умственных действии как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

1; § 4 сформулированы требования к системе заданий, как средству органлзации деятельности даадших школьносов, направленной на форьлроьание функциональных представлений.

. I. Система заданий сориентирована на усвоение" знаний, у. умений и навылов, предусмотренных программой начального курса математики. > '

2. Формулировки задании побуждают детей к наблюдению^ анализу, сравнению, классификации и обобщению.

3. Система заданий нацелена на формирование у детей

а/ Еыделять в объектах различные признаки, которые характеризуют те или иные изменения, соответствия, зависимости, закономерности/правила/.-

б/фиксировать их в различных формах: рисунком, числовым выражением, равенством, таблицей, схемой, правилом.

Для конкретной реализации названных требований в систему были включены задания следующих видов:

а/ на формирование тех или иных "пред.летных изменений" с помощью: житейских понятий, математических терминов, выражений, равенств, неравенств.

б/на установление соответствия между различными объектами по то-у или иному признаку; .

в/ на выявление правила ь соответствия с которым записаны выражения, равенства, ряд чисел, пары чисел и т.д.

г/ на установление зависимости ¡¿¡езду: выполненным действием и результатов, ыежду компонентами л результатом действий, между условием и вопросом задачи, между вопросом и решением при одинаковом условиями т.д.==^= "

. • г^СО урТ,:)ИрЛВеЩ&шл- Цр-11у1иЧ)Ц ¿^аДашЬг,—КО-ТОрдв^ХфвД— -

лагались учащимся при из у чо лил:" двузна чны^шс елдря форма-ро1ани/1 вычислительных нэеыков, пол изучении понятий "увеличить в","уменьшить в", смысла умножения и деления, при изучении нумерации многозначных чисел, площади.

- II -

Гарьироьание задании, входящих ь систему обусловливалось как содержанием изучаемых понятии, так и различным сочетанием средств представления ^ун:сциональннх идеи/таблица I/

Таол;ща I

! I (:;ор.иула -правило .таблица стрелки ! пара ! Г ' 1

! порглула Ф - 0) ш - по - т Ц) - CT ! w - п !

! правило по - ф пр - пр пр-т ПР - CT ! по - п !

! таблица т - Ф . т - по т - т Т - CT ! т - п !

! стрелки CT - Ф CT - пр CT - т CT - CT ! ст - п !

! пара П - Ф п - пр п - т П - CT ! п - п !

Например, идею зависимости, такке, как изменения или соответствия можно представитв разлнчньии средствами: таблицей, парами, формулой, числовое рагенстю/, правилом, стрелкам. Таким образом, имея 5 спосооов выражения зависимости теоретически возможно получить 25 кщов задании /хотя это и не всегда легко сделать/.

Приведем несколько примеров:-"Пары - пары"

Даны пары чисел: 2 и 4, 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10. Лапиши еще несколько пар по этому же правилу, лаждое число пары увеличь в 3 раза, оашгши пары, которые ты получил. .Сак ты думаешь, изменилось правило, по ко-о рому записаны пары чисеи?

"Правило - праь.шо" Даны дез ряда чисел. Сравни, чем они похожи, чем различны. Как подучеян-чиола-второго ряда из чисел первого?--

15 17 19 21 23 25

4d . .51 Ь7 63..ßS. 75 __L

Рассмотри еще два ряда чисел:

45' 5Т 57 63 69 75 30 34 38 42 46 50 Догадайся, каким правилом я пользовалась, составляя

- 12 -

два последних ряда? Использовала ли я числа первых двух рядов?

Система функциональных заданий включала в себя текстовые задачи, так как с помощью дополнительных вопросов ш можно было придать функциональный характер. Вопросы были направлены на изменение данных задачи, условия, вопроса, на соотнесение условия с различными выражениями и равенствами Эти приемы помэгали учащимся представить величины, рассматриваемые в задаче в движении, в изменении.

В § 5 описаны результаты экспериментального исследования, оснэ1-ной целью которого явилась проверка эффективности системы заданий, наделенной на формирование у младших школьников функциональных представлений.

I этап экспериментального исследования /1989-1990 г.г./ носил поисковый характер.

В процессе наблюдения уроков и индивидуальных бесед с учащимися и учителями выявлялись те затруднения, которые возникают у школьников как при усвоении функциональных понятий в 5-6 классах, так и при изучении самого понятия ^уь^-ция.

С этой же целью проводились.контрольные работы б седьмых классах школы-гимназии й 8 г.Чимкента, анализ которых позволил определить уровень знаний учащихся:

а/ о прямопропоуционалъных и обратнопропорцяональных величинах и связанных с ниш умений определять влд зависимости^/ декартовой прямоугольной системе координат на плоскости и умения находить по указандым координатам точки на плоскости, а также находить координаты данных точек на плоскости; в/ умения читать диаграммы и простейшие графики. Анализ контрольных работ дополнялся индивидуальными беседами, которые показали, что многие школьники не могут обосновать свой ответ, даже, если они выполнили,задание правильно. Они "Затрудняются в использоЕанЖТШтештическбй^тёршнологии.не могут провести. алеиентарще:-рассувдения -и ооосздщть установленную зависимость. у-гтогих, ешсто обосноьш&г зьуча,^ фраза: "Я так думаю".

Так-ш образом, пуедположение о том, что одной из причин, возникающих у учащихся трудностей при изучении функциональных

- 13 -

понятий, является нескор,лированность общих приемов умственных действии, подтвердилась.

На этом:.« а±'апо началась, поцеловал экспер.и««иатадьная работа в I классе школы № 713 г.лоелвы и школы-гимназии л б г. Чимкента, целью которой явилась разработка экспериментально л сис и задании

Поисковый эксперимент в начальных классах осуществлялся в I98S-I9i.il, 1950-1991,1991-1992 учебных годах. Ь результате

"р разработана система развивающих заданий, в процессе выполнения которых у .учащихся сформировались шункилональные представления.

II этап •Лкспернментального исследован;«! носил констатирующий характер /1992-1993 уч.год/. Обследовались учащиеся Б-го класса, экспериментального, - которые участвовали в поисковом эксперименте, и контрольного, которые обучались математике в контрольных 1слассах по .обычной программе. Лспользо!алея метод индивидуально;! беседы.

Представляет интерес срав нение результате! вкполшзчия 'функциональных заданий учащимися пятого класса /экспериментального и контрольного/. Приведем! пример одного задания.

Задание. Дана таблица. 1 не,;: а - длина прямоугольника, ь - его ширина. Нужно найтя периметр каздого прямоугольника и записать его значен;е в таолицу:

! а ! 20 см ! 30 см 40 см 50 см !

! в ! 10 Дм ! 9 дм 8 дм 7 дм !

! о ! ! ! ! !

Ь контрольном и экспериментальном классах онли опрошены по 26 человек /школа 3 713 г. юсквы/.

результаты беседы с учащимся 5-х классов:

!учл'1 од"- ! ;:ра;::гзно!высказали ¡-яспользо-!н.щи длины! еычисл ши!догадку об!вали за? ■ ! .'-периметр Гиэпвнвнии-! кономео-•• ! - ! ••• -!дланы- и - ¡ность " --• _!_! . ._.¡ширины !_

:!1 ! 2 ! 3 ! I ! " 13! I! 2 ! 3 ! I! 2! 3 экспериментальный ■ класс_! 17! 9 ! - !21 } 5 ! -'17'ТО ! - ! 5' 644

контрольный класс! 8!15 ! 4 !10 !10 ! 6! -¡19 ! 19! -¡14123

Условные обозначения: I - правильный ответ дач самостоятельно, 2 - ответ дан после наводящего вопроса экспериментатора; 3 - ответ не дан даже после наводящего вопроса .

Как видно из таблицы, в контрольном классе ни один ученик ае обратил внимания на ту закономерность, в соответствии с которой в таблице подобраны длина и ширина прямоугольника. 17 учеников экспериментального класса сразу обратили на это внимание:"длина увеличилась., ."."длина увеличивается на 10 см',' "ширина наоборот уменьшается на 10 см, ведь I дм; равен 10 СьЛ1 Некоторые ученики экспериментального класса даже произносили такую фразу:"Раз таблица...значит что-то есть... какая-нибудь закономерность..." Хотя только 5 учеников после вычисления периметра перього прямоугольника сказали, что в клетках треть-, ей строки-периметр 1езде одинаковый. Результаты беседы с учащимися пятого класса описаны в диссертации.

На Ш этапе экспериментального исследования-/1992-1993, 1293-19£4 уч.годы/ проверялась разработанная система заданий в 1,2 классах школы Уе 713 г.Москвы. Результаты индивидуальных бесед с учащимчсл второго класса /экспериментального и контрольного подтверждают выдвинутую гипотезу. , что

во вторых классах наблюдались те же явления, что и в пятых. Дети экспериментального класса способны увидеть признаки, которые характеризуют изменение данного объекта, установить причины изм'знения, сравнивать объекты, подмечать закономерность, обобщать результаты наблюдений. Дети второго контрольного класса готовы решить толвко одну задачу - вычислить результат.

Внимательный анализ результатов констатирующих экспериментов убеждает г том, что использование функциональных заданий, в основу которых положены идеи изменения, зависимости, соответствия и правила эффективно влияет на развитие приемов умственных действий учащихся.

— Такиц-образсо,—?. .р.?.зудыааа_проведенного исследования:

1. Предложена методика формирования функциональных представлений у младших шкбЖнико'1'..' '. _ " * ______

2. Дано психологическое обоснование методикеТуормирова-ния у йладших школьников функциональных представлений.

3. Раскрыто содержание понятна "функциональные представления младших школьников".

4. Разработана развивающая система функциональных заданий.

Р. Сформулированы требования к системе функциональных заданий,, определены ¿ос основные еиды и способы составления.

6. Показана возможность использования системы заданий при изучении различных еопоосое курса математики начальных классов.

7. Экспериментально проверено влияние системы заданий на формирование функциональных представлений младших школьников .

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

I. К вопросу о преемсиенности.-Начальная школа, 1991,

Я 10.

Я. функциональный словарь./Труды Ассоциации "Казахпроф-техконтакт": Тезисы докладов республиканского научно-практического сем шара по орган ;зации и созданию терминологических словарей/- Алма-Ата - Чимкент, 1992, с.33-34.

3. О функциональной пропедевтике: тезисы докладов научно-практической конференция.-Чимкент, 1992, с.135-т37.

4. функциональная пропедевтика как осноьа раз1 тающего обучения математике.Псков,1993,с.68-63.

5. Некоторые пути ознакомлёния школьников с функциональной тг>гг - "ачальная "1". 1-', Т?94,

I • п

у

1

Подп .к печ.О^.01.199<?г.4.60x84,1/16., 1п.л., зак.346/102,тар.100.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Цыдыпова, Е. Д., 1993 год

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУЖЦИН в .-математике и в методике обучения мажмтике

1.1, Развитие понятия функции в математике

1.2. О различных методических трактовках понятия функции в школьном курсе.математики

Глава П. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ФШВДОШЩЖ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У швдпих ШКОЛЬНИКОВ 2.1.Общая характеристика методики формирования функциональных представлений ,. ♦.,.

2.2, Психологические-особенности формирования функциональных представлений у младших школьников

2.3. Изучение функционального материала как основа развивающего обучения.

2.4, Система функциональных задании при обучении младших школьников математике /содержание экспериментального обучения/.

-2,5, Результаты экспериментального обучения

Введение диссертации по педагогике, на тему "Функциональная пропедевтика в курсе математики начальных классов"

Вопросы функциональной пропедевтики всегда являлись предметом обсуждения как математиков. /А.Я.Хинчин, В.Л.Гончаров, А.Н. Колмогоров, А.И.Маркушевич, С.И.Новоселов, Б.П.Бычков, Н.Я.Ви-ленкин, Т.Б.Дорофеев и др./, так и методистов /Ю.Н.Макарычев, А.Я.Блох, М.Н.Скаткин, А.М.Пышкало, М.И.Моро, М.А.Бантова и др./. Это обусловлено различными причинами: значимостью, самого понятия "функция" для математического образования и формирования функ-ционального мышления; теми трудностями, которые возникали у учащихся средней школы в процессе его изучения; попытками решить проблемы преемственности между содержанием математического образования в начальной и средней школе и т.д.

Многие ученые-методисты отмечают в понятии "функция" универсальный характер прикладных возможностей, который позволяет органично увязать между собой многие разделы как самой математики, так: и разделы таких учебных предметов как физика, геометрия и т.д. А.Я.Хинчин считал это понятие исключительным, так как в нем "воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин"./211,с.9 /

Вопросы пропедевтики понятия функции находились в поле зпе-ния методистов начиная с прошлого столетия, с того времени, когда понятие функции заняло "центральное место всюду, где только мы встречаем математическую мысль"./'?5,оЛ8 /.

Большое внимание уделяли вопросам функциональной пропедевтики С.ШПохор-Троцкий, И.И.Грацианский, О.Вольберг, а также А.Я.Хинчин, В.Л.Гончаров, С.И.Новоселов и другие.

В частности, С.И.Шохор-Троцкий говорил о воспитании "функционального мышления", которое состоит в том, что учащийся должен быть воспитан именно так, чтобы знать и понимать смысл главнейших функциональных зависимостей в пределах своих познаний. Д89, сЮ6/; И.И.Трацианский указывал, что решение примеров следует подчинить проведению математических идей, среди которых изучение зависимостей и изменяемости должно занимать главное место/ Л ,с.12/. По мнению О.Волъберга, идея функциональной зависимости - тот стержень, вокруг которого должна строиться вся математика и для того, чтобы иде$ функциональной зависимости прочно вошла в сознание учащегося, работа по формированию функционального мышления должна вестись незаметно для учащихся, начиная с первых лет обучения, целенаправленно, планомерно и повседневно/ 42 , с.75/.

Ряд диссертационных,исследований посвящен решению этой проблемы: В.А.Байдак ? А.П.Байрамян/ /, М.А.Бантовой 1961 /, д.Д.Виноградовой / 1953 /,Б.А.Гуськова / •/ч/, М.И.Добровольского/ /, Н.Н.Забежанской / /, Г.Г.

Кравцова / 19РР /, Р.А.Майера/ /, Л.Г.Петерсон/ -1 95" /,

А.А.Рамзаевой/ //969 / В.И.Севбо / 9 /, Л.И.Федоровой / </д /1?, /9, 20,ЦО)55Г,М,62,*1, 99, 160,190, 194,2.09/.

Авторы предлагают конкретные пути решения проблемы в среднем звене школы, лишь в работах М.А.Бантовой и А.П.Байрамян проблема рассматривается с позиции начальной школы. Некоторые исследования отчасти касаются решения проблемы функциональной пропедевтики в начальных классах.

В работе М.А.Бантовой, автора ныне действующих учебников математики для начальных классов "Работа над пропорциональной зависимостью величин в начальной школе и ее перспективное зна' чение" рассматривается поиск новых путей формирования понятия пропорциональности, а также других понятий, связанных с идеен функциональной зависимости. Основным методом для проведения такой: работы автор считает "табличный метод", т.е. специально организованную работу по таблицам, которая позволяет пронаблюдать. изменения данных пропорциональных величин. Числовой материал таблиц является базой для выявления необходимых связей и зависимостей между такими величинами как цена, количество и стоимость, скорость, время и расстояние и т.д. И работа, по мнению автора, имеет перспективное значение, поскольку происходит раннее- приобщение младших школьников к идее о функциональ- ^ ной зависимости.

Исследование А.П.Байрамян "Пути формирования понятия функциональной. зависимости в мышлении учащихся 1-У классов в процессе обучения: арифметике''посвящено функциональному мышлению у младших школьников при обучении их арифметическим действиям. Автор видит формирование функционального мышления в организации специальных наблюдений за изменением и зависимостью, используя для этого изучение буквенных выражений с первого класса, построение диаграмм как ординат функций, решение задач по формулам.

Б более ранних исследованиях М.И.Добровольского/1951/,А.Д. Виноградовой -/1953/ пропедевтика функциональной зависимости заключалась в конкретной методике изучения таблиц, графиков, в организации наблюдений за зависимостью между результатом и компонентами арифметических действий, за изменением площади геометрической фигуры при изменении одного или более компонентов, входящих в ее выражение.

Л.Г.Петерсон в исследовании: "Моделирование как средство .■'формирования: представлений о понятии функции в 4-6 классах ' средней" школы"/1985/ обосновывает необходимость предварительного изучения функциональной зависимости величин, определяет задачи обучения младших школьников математическому моделированию. ПО мнению автора, построение на координатном луче графических образов движения /111 класс/ дает возможность учащимся на основе самостоятельных предметных действий открывать скрытые/ на первый взгляд, свойства и отношения между величинами: увеличилось или уменьшилось расстояние между движущимися телами в течение определенного времени? На сколько? На сколько увеличилось в течение 1-го часа? и т.д.

Таким образом, проведенный краткий анализ работ позволяет сказать, что ряд вопросов проблемы функциональной пропедевтики решен: разработана методика изучения прямой и обратной пропорциональности величин/М.А.Бантова/, законов изменения результатов арифметических действий в зависимости от изменения каких-либо его компонентов, изменения дробей и изменения площади геометрической фигуры /А.Д.Виноградова/, моделирования как; средства изучения функциональной зависимости /Л.Г.Петерсон/, созданы вычислительные упражнения с графическим контролем/Б.А. Гуськов/, предложена организация работы с таблицами, с простейшими формулами, диаграммами /А.П.Байрамян/ и т.д.

Более; того, в программе по математике для начальных классов 1978 года было сказано'."Первоначальное ознакомление детей с разного рода зависимостями очень важно для раскрытия причинной связи между явлениями окружающей действительности и имеет большое значение для подведения детей к идее функциональной зависимости" /Щ ,с.43/. Программа предусматривала широкое использование букв для записи математических выражений, наблюдений над изменениями результатов действий в зависимости от изменения одного или двух компонентов, входящих в действия, примеров зависимости между различными величинами и отражение этих зависимостей' в виде формул. В связи с этим действующие учебники математики этого времени содержали значительное количество заданий, имеющих функциональный характер.

Но как показывает практика, включение всех этих вопросов в курс математики начальной школы не только не решило проблему пропедевтики в начальных классах, а напршшив, создало определенные трудности у школьников даже в прохождении основного программного материала. Постепенно количество заданий, имеющих функциональную направленность, уменьшалось, соответственно с этим вносились коррективы в содержание программ по математике. И на сегодняшний день в центре внимания учителей, работающих по стабильным программам, находится формирование вычислительных навыков и отработка решения определенных типов задач.

Анализ причин затруднений младших школьников показывает, что трудности, возникающие у нцх в процессе выполнения заданий функционального содержания связаны предде всего с тем, что пытались решить проблему,путем выполнения большого количества однотипных упражнений, т.е."натаскивая" учащихся. Выполнение таких упражнений очень часто требовало активного включения лишь памяти, дети должны были заучить большое количество разных правил и действовать "по образцу". Иными словами, дети были поставлены в такие условия, когда они не учились подмечать закономерности, выделять в объектах признаки сходства и различия, отличать главное от второстепенного, использовать наблюдение для установления закономерности и полученную закономерность применять к другому частному случаю, устанавливать причинно-следственные связи и делать обобщения. Внимание учителей было' обращено1 не на формирование у учащихся обобщенных способов деятельности, а на то, как оформить решение, не на выработку умения: решать любую задачу, а на выполнение как можно большего количества" упражнений.

Таким образом, возникает противоречие: с одной стороны -мнение о том, что к усвоению понятия "функция" надо готовить школьников как'можно раньше, начиная с. первых лет обучения; с другой стороны - изучение вопросов функционального содержания представляет для младших школьников определенную трудность.

Это говорит о том, что проблема функциональной пропедевтики в курсе 'математики начальной школы актуальна и требует методического решения. Она заключается в отборе материала функционального содержания, доступного младшему школьнику, в подготовке его\ мышления к восприятию'у своенин понятия "функция". Решение этой проблемы явилось целью данного диссертационного исследования.

Гипотеза исследования: Если в процессе изучения начального курса математики вести последовательную и целенаправленную работу по формированию у учащихся приемов умственных действий /анализ и синтез, сравнение, классификация и обобщение/, используя для этой цели систему заданий, в основе которой лежат идеи изменения, соответствия, зависимости, правила/как определенной закономерности/ и формулы /как числового равенства/ то это окажет положительное влияние как на развитие их функционального мышления, так и на усвоение содержания функционального материала.

Объект исследования - процесс обучения математике в начальных классах.

Предмет исследования - способы формирования функциональных представлений у младших школьников в процессе обучения математике.

В процессе исследования предполагалось решить следующие задачи:

1. На основе анализа историко-математической и методической литературы, учебников■математики для средней школы определить опорные понятия, составляющие содержание понятия функции, которые можно использовать для формирования функциональных представлений у младших школьников.

2. Разработать научно-методические основы формирования функциональных представлений у учащихся начальных классов и систему заданий с Функциональным содержанием.

3.' Экспериментально проверить доступность и эффективность этой системы заданий.

Поставленные задачи определили логику и методы исследования.

На первом этапе /1989-1990 г.г./ осуществлялось изучение историко-математической, методической литературы и проводился анализ учебников математики для начальной и средней школы, в результате которого были намечены основные подходы к решению проблемы функциональной пропедевтики в курсе математики начальной школы через систему заданий с функциональным содержанием. На этом же этапе проводилось анкетирование учителей, беседы с учащимися, наблюдения уроков математики в 1-3, 6-8 классах школ г.Чимкента.

На втором этапе/1990-1991 г.г./ проводится поисковый эксперимент в первом классе школы-гимназиж № 8 г.Чимкента и классе* школы № 713 г.Москвы, в результате которого были внесены коррективы в систему заданий, разработаны основы методики формирования функциональных представлений у младших школьников и система заданий с функциональным содержанием для 2-3 классов.

На третьем этапе /1991-1993 г.г./ проводилась экспериментальная проверка эффективности системы заданий в 1-3 классах школы-гимназии № 8 г.Чимкента и в 1-2 классах школы В 713 г. Москвы.

На этом же этапе проводились беседы с учащимися и констатирующие эксперименты в 4-5 классах школы № 713 г.Москвы с теми- учащимися, которые прошли экспериментальное обучение в I990-1991 г.г. в третьем классе, а также констатирующие эксперименты в 7-8 классах школы-гимназии 8 г.Чимкента и школы 713 г.Москвы.

На четвертом этапе /1993 г/ обобщались результаты эксперимента и завершалась работа над оформлением диссертации. к?

Научная новизна и теоретическая значимоотъ заключается в том, что разработаны научно-методические основы формирования функциональных представлении в курсе математики начальных классов, позволяющие реализовать в системе заданий идеи развивающего обучения и подготовить школьников к усвоению функциональных понятий.

Практическая значимость исследования заключается в возможности использования системы развивающих задании с функциональным содержанием в практической работе учителей начальных классов, а также при написании учебных пособий и методических рекомендаций.

На защиту выносятся: -концепция функциональной пропедевтики в начальных классах; - система заданий развивающего характера, направленная на формирование функциональных представлений у младших школьников.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов и рекомендаций обеспечивается анализом школьной практики и различных подходов к определению понятия "функция" в математике и в методике его преподавания, поэтапным построением эксперимента и использованием различных методов исследования для проверки его результатов.

Апробация основных положений и результатов picследования осуществлялась в форме докладов и сообщений на заседаниях учебно-методических конференций профессорско-преподавательского состава Чимкентского педагогического института им. М.О.Ауэзова /1989-1993 г.г./, на заседании республиканского научно-практического семинара по организации и созданию терминологических словарей "компьютерный фонд казахского языка"/Алма-Ата - Чимкент, 1992 г./, на зональном семинаре "Инновационная деятельность учителя. Проблема. Опыт. Решения."/г.Псков, 1993 г./, на заседании кафедры методики начального обучения Московского государственного открытого педагогического института /г.Москва,1993г/.

Связанные с исследованием материалы опубликованы в сборниках: "Труды Ассоциации "Казахпрофтехконтакт" министерства образования республики Казахстан"/Алма-Ата,. 1992/; "Инновационная деятельность учителя. Проблема. Опыт. Решения"/Тезисы докладов и .выступлений.г.Псков, 1993/; "Материалы научно-практической и: учебно-методической конференции преподавательского состава, посвященной 60-летию образования Чимкентской области и 55-летию образования ЧПИ им. М.О.Ауэзова"/Тезисы докладов, г.Чимкент, 1992/.

Результаты исследования использованы при написании учебника математики для второго класса /автор Истошна Н.Б./.

Структура диссертации состоит из введения, двух глав, заключения. Список литературы содержит 224 названи', в диссертации 127 страниц.