автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции в восьмилетней школе

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Гуськов, Виктор Аркадьевич, 1984 год

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПОНЯТИЕ МКЦИИ В МАТЕМАТИКЕ И В ШКОЛЕ.

§1. Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функции

§2. Понятие функции в школьном курсе математики

§3. Определение функции на основе общего понятия переменной

Глава 2. ПОДГОТОВКА УЧАЩИХСЯ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ.

§1. Функциональная пропедевтика в школьном курсе математики

§2. Вычислительные упражнения с графическим контролем как основа для построения системы функциональной пропедевтики в 4-5 классах .,.

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПРОПЕДЕВТИКИ В 4-5 КЛАССАХ НА ОСНОВЕ ШЧИСЖТЕЛЬШХ УПРАЖНЕНИЙ С ГРАШ-ЧЕСКИМ КОНТРОЛЕМ. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ШУНКЦИИ В б КЛАССЕ.

§1. Функциональная пропедевтика в 4 классе

§2. Функциональная пропедевтика в 5 классе

§3. Введение понятия функции в б классе

Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ ДИССЕРТАЦИИ.

§1. Первый этап эксперимента

§2. Второй этап эксперимента /5 классы/

§3. Второй этап эксперимента /б классы/

Введение диссертации по педагогике, на тему "Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции в восьмилетней школе"

В "Основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы", разработанных в соответствии с программными установками июньского /1983 г./ Пленума ЦК КПСС и одобренных апрельским /1984 г./ Пленумом ЦК КПСС и Верховным Советом СССР, отмечено, что реформа школы имеет своей целью поднять ее работу на новый качественный уровень, соответствующий условиям и потребностям общества развитого социализма, и предусматривает необходимость повышения качества образования и воспитания, обеспечения более прочного овладения основами наук. Для совершенствования содержания образования необходимо, в частности, "устранить перегрузку учебных программ и учебников, освободив их от излишне усложненного, второстепенного материала" /5, с.45/.

В настоящее время Академия наук СССР, Академия педагогических наук СССР, Министерство просвещения СССР проводят большую работу по совершенствованию школьных программ и учебников, в том числе программ и учебников по математике, которым свойственен целый ряд недостатков. Академик Л.С.Понтрягин, высказывая мнение группы математиков Академии наук СССР, писал, что учебники математики для средней школы стали неоправданно трудными, изложение материала в них страдает громоздкостью, туманностью, обилием ненужных или второстепенных вопросов /134/. Академики В.С.Владимиров, Л.С.Понтрягин, А.Н.Тихонов считают, что основной причиной такого положения оказалась попытка построения школьного курса математики на теоретико-множественной основе, которая привела к его искусственному усложнению, к отрыву обучения от жизни, от практики /34/.

Одним из математических понятий, при введении которых в школе применяется теоретико-множественный подход, является понятие функции.

Авторы ныне действующих учебников алгебры полагали, что теоретико-множественная трактовка понятия функции сделает его более доступным для учащихся и облегчит усвоение всего функционального материала /73, 89/. К методическим преимуществам этой трактовки они относят ее общность, строгость теоретико-множественного определения функции, доступность для учащихся, обусловленную возможностью наглядной интерпретации функций при помощи графов, и некоторые другие. Однако в последнее время был опубликован ряд статей /34, 52, 55, 135/, в которых выражается сомнение в целесообразности дальнейшего использования в школе теоретико-множественно го подхода к введению понятия функции и отмечается, что ему свойственны такие существенные недостатки, как высокая степень абстракции, статичность определения, непрспособленность к общепринятой функциональной терминологии, несоответствие "физическому" представлению о функции как о переменной величине. Таким образом, вопрос о трактовке понятия функции в школьном курсе математики окончательно не решен, что и определяет актуальность проблемы поиска оптимального варианта решения этого вопроса.

Значение проблемы трактовки понятия функции в средней школе достаточно велико, но с методической точки зрения гораздо более важен вопрос об общей системе изучения функционального материала, в частности, вопрос об одной из составляющих этой системы - функциональной пропедевтике в младших классах.

Как отмечается в объяснительной записке к программе по алгебре, изучение свойств функций в 6-8 классах должно вестись с опорой на наглядно-графические представления, то есть предполагается, что к шестому классу у учащихся уже должны быть сформированы некоторые функциональные, в том числе графические, представления и навыки. В методическом письме главного управления школ Министерства просвещения СССР "О преподавании математики в общеобразовательных школах в 1981/82 учебном году" /102/, приводится указание о том, что усвоение содержательной стороны понятий должно предшествовать введению определения и работе над его логической структурой. Следовательно, в задачи функциональной пропедевтики входит не только формирование элементарных функциональных представлений и навыков, но и подготовка учащихся к введению общего понятия функции.

В соответствии с действующей программой /150/ понятие функции вводится практически в самом начале курса алгебры шестого класса, тогда как еще в конце шестидесятых - начале семидесятых годов оно изучалось при прохождении последней темы курса алгебры восьмого класса. Более раннее введение понятия функции ограничило период осуществления функциональной пропедевтики /начальная школа и 4-5 классы/. Следовало ожидать, что такое значительное изменение вызовет интенсивную теоретическую и практическую работу по исследованию возможностей подготовки учащихся 4-5 классов к изучению функционального материала, однако этого не произошло. Мы можем указать только три источника /54, 71, 79/, в которых об-сувдались вопросы, связанные с функциональной пропедевтикой при работе по новой программе. При этом в двух из них /54, 71/ рассматривается направление функциональной пропедевтики, возникшее в связи с использованием теоретико-множественной трактовки понятия функции, а именно - формирование у учащихся младших классов понятий множества и соответствия между элементами двух множеств.

В то же время осуществляемую сейчас функциональную, в особенности графическую, подготовку учащихся в начальной школе и в 4-5 классах нельзя считать удовлетворительной. Функциональная пропедевтика в начальной школе ограничена рассмотрением вопросов о взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, об изменении результата в связи с изменением одного из

- б компонентов действий, введением буквенной символики и решением ряда задач с меняющимися данными. В четвертом классе вводятся понятия числового луча, переменной и выражения, содержащего переменную. Упражнения на вычисление значения выражения с одной или несколькими переменными как в четвертом, так и в пятом классах выполняются эпизодически, при этом довольно редко учащимся предлагается сделать более одной подстановки. На предусмотренное программой пятого класса ознакомление с координатной прямой, системой прямоугольных координат, простейшими графиками изменения величин и закрепление соответствующих представлений и навыков отводится крайне незначительное время. Поэтому вполне справедливо замечание о том, что изучение графиков в пятом классе происходит так, что "к шестому классу все оказывается забытым и требует серьезного повторения" /79, с.53/. Следовательно, учащиеся 4-5 классов не приобретают достаточно прочных наглядно-графических представлений, необходимых для успешного изучения свойств функций в шестом классе; вопрос же о подготовке к усвоению общего определения функции на этом этапе обучения вообще не ставится.

Изложенные выше краткие замечания позволяют прийти к выводу об актуальности проблемы совершенствования функциональной пропедевтики в младших классах.

Таким образом, основные цели данного исследования заключаются в том, чтобы найти трактовку понятия функции, оптимальную для школьного курса математики, и выявить возможности для совершенствования функциональной пропедевтики в 4-5 классах.

Поставленные цели определили частные задачи исследования:

I/ оценить с методической точки зрения различные способы трактовки понятия функции;

2/ отыскать способ трактовки понятия функции, обладающий наиболее приемлемым для школы набором достоинств и недостатков, и обосновать целесообразность произведенного выбора;

3/ определить основные направления работы по подготовке учащихся 4-5 классов к усвоению общего понятия функции;

4/ найти наиболее перспективный способ совершенствования функциональной пропедевтики в 4-5 классах;

5/ определить объем необходимого пропедевтического материала, разработать методику его изучения и систему упражнений, способствующих его закреплению; б/ экспериментально проверить эффективность предложенного способа совершенствования функциональной пропедевтики.

Для решения этих задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение и анализ математической, методической и педагогической литературы;

- изучение и анализ содержаниям результатов предшествующих исследований;

- анализ программ, учебников и учебных пособий по математике для средней школы;

- изучение состояния знаний учащихся;

- выдвижение рабочей гипотезы;

- теоретическое обоснование целесообразности принятой гипотезы;

- подготовка и проведение педагогического эксперимента, анализ его результатов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в ходе исследования, позволяют сделать следующие выводы.

1. Наиболее подходящей для школьного курса математики является трактовка понятия функции на основе общего понятия переменной с использованием интуитивного представления о понятии соответствия, которая обладает оптимальным, на наш взгляд, набором достоинств и недостатков. В силу своей динамичности, эта трактовка позволит более глубоко раскрыть связь понятия функции с реальными физическими процессами; она хорошо согласуется с традиционной функциональной терминологией, принятой в математике, и является столь же общей, сколь и теоретико-множественная трактовка этого понятия.

2. На формирование понятия функции значительное влияние оказывает не только принятая в школьном курсе математики трактовка этого понятия, но и характер изложения всего функционального материала. Введение определения функции следует рассматривать лишь как промежуточный этап длительной работы по формированию правильных представлений о функции, достаточно успешное завершение которой возможно, пожалуй, только на заключительном этапе обучения, то есть в старших классах. Значительной составной частью этой работы является функциональная пропедевтика, осуществляемая в период, предшествующий явному введению термина "функция" и началу систематического изучения функций и их свойств. Функциональная пропедевтика должна проводиться планомерно, систематически, без введения абстрактных определений и рассмотрения каких-либо общих установок. При этом необходимо соблюдать чувство меры: чрезмерное увлечение функциональной пропедевтикой может сказаться на качестве усвоения других, не менее важных разделов.

3. Совершенствование системы функциональной пропедевтики в 4-5 классах возможно, с учетом перечисленных требований, на основе широкого применения на этом этапе вычислительных упражнений с графическим контролем. Эти упражнения позволяют выработать у учащихся прочные графические навыки, способствуют развитию представлений о понятии переменной как символа произвольного элемента некоторого числового множества и понятии зависимости между значениями переменных. Вычисление значений зависимой переменной и составление таблицы соответствующих значений переменных, выполняемые в процессе построения графиков, создают основу для возникновения первых представлений о соответствии между множествами значений независимой и зависимой переменных. Таким образом, вычислительные упражнения с графическим контролем дают возможность подготовить учащихся к введению определения функции на основе общего понятия переменной с использованием интуитивного представления о понятии соответствия.

Как показала экспериментальная проверка, систематическое использование вычислительных упражнений с графическим контролем не только позволяет привить учащимся прочные навыки построения графиков, необходимые при изучении функций и их свойств в старших классах, но и способствует закреплению и даже развитию формируемых в 4-5 классах вычислительных навыков.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Гуськов, Виктор Аркадьевич, Москва

1. Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС. 14-15 июня1983 года. М.: Политиздат, 1983, 80 с.

2. Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС. 10 апреля1984 года. М.: Политиздат, 1984, 31 с.

3. Постановление ЦК ВКП/б/ о начальной и средней школе. -Физика, химия, математика, техника в советской школе, 1931, №5, с.12-17.

4. О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сборник документов и материалов. М.: Политиздат, 1984, 112 с.

5. Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Политиздат, 1964, 358 с.

6. Алгебра: Учебник для 7-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1981, 238 с.

7. Алгебра: Учебное пособие для 8-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1961, 256 с.

8. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы /Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 1981, 336 с.

9. Алгебра: Пробные учебники для 6-8 классов средней школы. М.: Просвещение, 1981, 542 с.

10. Акимов Г.И. О формировании понятия функции в У-УН классах. Математика в школе, I960, И, с.65.

11. Байдак В.А. Принципы построения оптимальной системы изучения свойств функций в школе. Канд. дис. - М.: 1971.

12. Барановский В. К критике программы по математике для средней школы. Математика в школе, 1938, №4, с.95-100.

13. Барсуков А.Н. Первые уроки алгебры в б классе. М.: Учпедгиз, 1951, 34 с.

14. Барсуков А.Н. О новом учебнике по алгебре. Математика в школе, 1956, №3, с.5-6.

15. Барсуков А.Н. Алгебра: Учебник для У1-У1П классов /Под ред. С.И.Новоселова. М.: Учпедгиз, 1961.

16. Барсуков А.Н. Алгебра: Учебник для У1-У1П классов /Под ред. С.И.Новоселова. М.: Просвещение, 1970, 296 с.

17. Барыбин К.С. Функции и их графики. Математика в школе, 1952, №б, с.26-33.

18. Бедловский В. Идея функциональной зависимости величин в математике средней школы. Математика и физика в средней школе, 1934, №4, с.42-50.

19. Беликова И.В., Ермолаева Н.А., Моисеева З.И. О некоторых результатах работы шестых классов по новой программе в 1972/ 1973 уч. году. Математика в школе, 1973, №4, с.13-19.

20. Бернштейн С.Н. Понятие функции в средней школе. В кн.: Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве. М., 1915, с.93-100.

21. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я., Яглом И.М. О содержании курса математики в средней школе. Математическое просвещение, 1959, вып.4, с.131-143.

22. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Учпедгиз, 1954, 500 с.

23. Бронштейн С.С. Методика алгебры: Для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. М.: Учпедгиз, 1935, 330 с.

24. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965, 456 с.

25. Бычков Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX веке. Математика в школе, 1954, №4, с.6-14.

26. Бычков Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской дореволюционной средней школы в XX веке. Математика в школе, 1955, №5, с.1-8.

27. Вайнштейн М.Н., Рогов А.Т. Об итогах вступительных экзаменов по математике в техникумы. Математика в школе, 1977, PI, с.59-60.

28. Васильев В. Графики в курсе У1 и УН классов. Математика в школе, 1950, №4, с.37-41.

29. Виленкин Н.Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах. Математика в школе, 1965, №1, с.19-29.

30. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1969, 160 с.

31. Виленкин Н.Я. Математика: 4-5 классы. Теоретические основы. М.: Просвещение, 1974, 223 с.

32. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1978, 192 с.

33. Владимиров B.C., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании. Математика в школе, 1979, N53, с.12-14.

34. Вольберг 0. Математика в трудовой школе. Математика в школе, 1918, т.1, №1-2, с.9-18.

35. Вольберг 0. Изучение функциональной зависимости в школе. Физика, химия, математика, техника в трудовой школе, 1929, №4, с.72-79.

36. Вольберг 0., Перельман Я. Основные недостатки преподавания математики в школе повышенного типа. Физика, химия, математика, техника в трудовой школе, 1930, №4, с.8-13.

37. Гончаров В.Л. Идея функции в преподавании математики в средней школе. Советская педагогика, 1945, №3, с.16-22.

38. Гончаров В.Л. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы. Известия АПН РСФСР, М.-Л., 1946, вып.6, с.29-56.

39. Гончаров В.Л. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы. М.-Л.: Издательство АПН РСФСР, 1947, 180 с.

40. Гончаров В.Л. Вычислительные и графические упражнения с функциональным содержанием в старших классах школы. М.-Л.: Издательство АПН РСФСР, 1948, 256 с.

41. Гончаров В.Л. Методические указания для преподавателей к материалу по алгебре: 6 класс. М.: Издательство АПН РСФСР, 1949, 64 с.

42. Грацианский И.И. Изучение зависимостей и комплексность преподавания математики в школе 1-ой ступени. В сб.: Математика в школе. Л., 1924, сб.1, с.5-20.

43. Грацианский И.И. Методика математики и комплексная система. В сб.: Математика в школе, Л., 1926, сб.1/5/, с.8-15.

44. Гуськов В.А. Об одной проверке качества усвоения понятия функции. Математика в школе, 1981, №1, с.50-52.

45. Гуськов В.А. О качестве усвоения и применения определения функции. Математика в школе, 1982, №4, с.58-60.

46. Гуськов В.А. Об изучении понятия зависимости мевду значениями переменных в 1У-У классах. Математика в школе, 1983, №1, с.35-38.

47. Динь За Фонг. Теоретико-множественный подход к изучению курса алгебры в школах ДРВ. Канд. дис. - М.: 1973.

48. Дмитриев Н. Арифметика в школьном преподавании. Физика и математика в трудовой школе, 1928, №3, с.31-35.

49. Доблаев JI.П. Типичные ошибки в усвоении учащимися У1 класса буквенной символики. Математика в школе, 1961, №2, с. 4549.

50. Довлатова Л.И., Чебыкин Ю.Ф. О вступительных экзаменахв вузы в 1979 году: Бакинское высшее общевойсковое училище. Математика в школе, 1980, №3, с.44-45.

51. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе. -Математика в школе, 1978, №2, с.10-27.

52. Дубнов Я.С. Два новых учебника алгебры. Математическое просвещение, I960, вып.5, с.275-292.

53. Забежанская Н.Н. Пропедевтика функциональных представлений у учащихся 4-5 классов. Канд. дис. - Алма-Ата: 1975.

54. Канторович Л.В., Соболев С.Л. Математика в современной школе. Математика в школе, 1979, №4, с.6-II.

55. Карпенко Г.М. Изучение функций в У и У1 классах на основе понятий множества и соответствия. Математика в школе, 1949, N96, с.9-18.

56. Кафтанов С.В. За дальнейший подъем работы средней школы. Комсомольская правда, №63 /7312/, 17 марта 1949 года.

57. Киселев А.П. Дополнительные статьи алгебры: Курс 7-го класса реальных училищ. М.: 1903, 104 с.

58. Киселев А.П. Алгебра: Учебник для 6-го и 7-го классов средней школы. Часть первая. М.: Гос. учебно-педагогическое издательство, 1934, 112 с.

59. Киселев А.П. Алгебра: Учебник для средней школы. Часть вторая. 8 и 9 годы обучения. М.: Гос. учебно-педагогическое издательство, 1934, 184 с.

60. Колмогоров А.Н. Современная математика. Фронт науки и техники, №5-6, 1934, с.25-28.

61. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике. Математика в школе, 1968, №2, с.21-22.

62. Колмогоров А.Н. Что такое функция? Квант, 1970, №1, с.27-36.

63. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики. Математика в школе, 1971, №2, с.17-22.

64. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976, 544 с.

65. Колмогоров А.Н. Что такое функция? Математика в школе, 1978, №2, с.27-29.

66. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1974, 382 с.

67. Копылов B.C. Об изучении качества знаний по алгебре учащихся У1 класса. Математика в школе, 1975, №4, с.55-56.

68. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции: Учебное пособие для учащихся 10 класса средней школы /Под ред. О.Н.Головина. М.: Просвещение, 1975, 286 с.

69. Кошкина М.Д., Чернецов М.М. Итоги приемных экзаменов по математике на математическом факультете МГПИ им. В.И.Ленина. -Математика в школе, 1969, №2, с.27-30.

70. Кретинин О.С. О функциональной пропедевтике в 4-5 классах. Математика в школе, 1975, PS, с.37-39.

71. Кузнецов В.Т. К вопросу о введении понятия функции в средней школе. Математика в школе, 1954, №4, с.35-40.

72. Кузнецова Л.В., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С. Б. О методических аспектах теоретико-множественного подхода к понятию функции. Математика в школе, 1979, NS, с.23-27.

73. Ланков А.В. К истории вопроса о реформе преподавания математики: Ш.Клейн и В.Шереметевский. Математика в школе, 1949, №6, с.1-4.

74. Ларичев П. А. К изменениям в программе по математике для У-Х классов средней школы. Математика в школе, 1949, N96, с.4-8.

75. Ларичев П.А. Вопросы улучшения преподавания математики в школе. Математика в школе, 1955, №4, с.1-6.

76. Ларичев П.А. Вопросы перестройки преподавания математики в средней школе в связи с введением новой программы. Математика в школе, 1957, №4, с.16-23.

77. Лебединцев К.Ф. Курс алгебры для средних учебных заведений. Петроград - Киев: книгоиздательство "Сотрудник", 1916, 248 с.

78. Левитас Г.Г. Графики в 5 классе. Математика в школе, 1973, №4, с.57-60.

79. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.: типография Г.Лисснера и Д.Совко, 1915, 242 с.

80. Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. -М.: Учпедгиз, 1940, 302 с.

81. Маергойз Д.М. К методике построения графиков. Математика в школе, 1956, №6, с.9-18.

82. Майер Р. А. Система задач с функциональным содержанием в курсе алгебры восьмилетней школы. Канд. дис. - Енисейск, 1972.

83. Макарычев 10.Н., Нешков К.И., Семушин А. Д. Теоретико-множественный подход при формировании понятия функции в У1 классе. -Математика в школе, 1966, №5, с.57-61.

84. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. Из пробного учебника "Алгебра" для У1 класса /под ред. А.И.Маркушевича/. -Математика в школе, 1970, №2, с.50-57.

85. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. Структура и некоторые особенности нового учебника алгебры для У1 класса. -Математика в школе, 1972, №1, с.16-22.

86. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. Об учебникеалгебры для шестого класса. Математика в школе, 1977, Р2, с. 5-8.

87. Макарычев Ю.Н., Миндгок Н.Г., Муравин К.С. Алгебра: Учебник для 6-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича.

88. М.: Просвещение, 1977, 208 с.

89. Макарычев Ю.Н., Кузнецова JI.B. Понятие функции в школьном курсе алгебры. В кн.: Преподавание алгебры в 6-8 классах. М., 1980, с.63-76.

90. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С. Алгебра: Учебник для 6-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. -Изд. 5-ое, переработанное. М.: Просвещение, 1981, 224 с.

91. Маловичко В. Борьба с ошибками в вычислениях. Физика, химия, математика, техника в советской школе, 1931, №5, с.60-64.

92. Маркушевич А.И. Понятие функции. Математика в школе, 1947, №4, с.1-16.

93. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе. Математика в школе, 1962, №2, с.3-14.

94. Маркушевич А.И. Математическая наука и школьное образование. Советская педагогика, 1965, Р5, с.40-46.

95. Марнянский И.А. Пути преодоления устойчивых ошибок в функциональной подготовке учащихся средней школы. Канд. дис. -Ровно: 1965.

96. Марон И.А. Педагогическое наследие М.В.Остроградского. -Математика в школе, 1951, №2, с.13-22.

97. Математика: Учебник для 4-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1975, 240 с.

98. Математика: Учебник для 4-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1982, 304 с.

99. Математика: Учебник для 5-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1982, 224 с.

100. Методика преподавания математики: Пособие для учительских институтов /Под общей ред. С.Е.Ляпина. Л.-М.: Учпедгиз, 1952, 452 с.

101. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики /Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Е.Л.Мокрушин и др. М.: Просвещение, 1977, 480 с.

102. Методическое письмо: 0 преподавании математики в общеобразовательных школах в 1981/82 учебном году. Математика в школе, 1981, Р2, с.12-19.

103. Михальков Г.П. 0 функционально-графической пропедевтике. Математика в школе, 1964, N-4, с.46-49.

104. Мишин В.И. К вопросу об изучении функций в восьмилетней школе. Математика в школе, 1963, №1, с.40-43.

105. Моро М.И., Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1-3 классах. М.: Просвещение, 1975, 304 с.

106. Муравьев Л.П., Терешин Н.А. 0 приемных экзаменах по математике в средние учебные заведения в 1968 году. Математика в школе, 1969, №1, с.47-50.

107. Нагибин Ф.Ф. Выяснение понятия функции в средней школе. Математика в школе, 1954, №4, с.33-35.

108. Нагибин Ф.Ф. Преподавание алгебры в У1-УШ классах в свете задач политехнического обучения. В кн.: Вопросы преподавания математики. М., 1958, с.5-40.

109. Никитин Н.Н. Преподавание математики в советской школе /1917-1947 гг./ Математика в школе, 1947, №5, с.4-22.

110. Новоселов С.И. Стабильные учебники по математике /средняя школа/. Математика в школе, 1938, №4, с.66-69.

111. Новоселов С.И. Понятие функции и геометрические интерпретации. Математика в школе, 1940, №6, с.3-9.

112. Новоселов С.И. Учение о функциях в средней школе. Математика в школе, 1946, №5-6, с.22-38.

113. Новоселов С.И. О книге В.Л.Гончарова "Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика". Математика в школе, 1948, №5, с.51-53.

114. Новоселов С.И. О книге В.Л.Гончарова "Вычислительныеи графические упражнения с функциональным содержанием". Математика в школе, 1950, №1, с.44-46.

115. Новоселов С.И. О дискуссионных вопросах, связанных с учением о функциях в школьном курсе. Математика в школе, 1954, №4, с.43-46.

116. Новоселов С.И. О новом издании учебника "Алгебра" А.Н.Барсукова. Математика в школе, 1961, N53, с.5-9.

117. Новые программы для единой трудовой школы: Первый и второй годы школы I ступени. Первый год школы 2 ступени. Вып.1. - М.-П.: ГЙЗ, 1923.

118. О приемных экзаменах по математике: Новосибирский элек-тро-технический институт. Математика в школе, 1968, №2, с. 4951.

119. О приемных экзаменах по математике: Московский областной педагогический институт им. Н.К.Крупской. Математика в школе, 1968, №2, с.51-52.

120. Очан Ю.С. О вступительных экзаменах на математическом факультете МГПИ им. В.И.Ленина в 1966 году. Математика в школе, 1966, №6, с. 50-52.

121. Панов В.Ф., Паршев Л.П. О вступительных экзаменах в вузы: МВТУ им. Н.Э.Баумана. Математика в школе, 1979, №2, с.64-68.

122. Первые итоги, новые задачи! Математика в школе, 1963, WL, с.1-3.

123. Песков Т.А. Об изучении функций в средней школе. Математика в школе, 1951, №5, с.52-55.

124. Петраков И.С. К итогам года. Математика в школе, 1963, N35, с. 13-18.

125. Петраков И.С. Вступительные экзамены в вузы в 1969 году. Математика в школе, 1970, №1, с.73-76.

126. Петраков И.С. Итоги приемных экзаменов по математике. -Математика в школе, 1971, №1, с.49-50.

127. Петраков И.О. О приемных экзаменах в вузы в 1971 году.- Математика в школе, 1972, №1, с.35-39.

128. Петров В.П. О построении графиков в У1 классе. Математика в школе, 1952, №4, с.52-58.

129. Пиотровский Б.Б. Изучение простейших функций и их графиков в курсе алгебры. В сб.: Математика в школе, Л., 1924, сб.2, с.3-38.

130. Пиотровский Б.Б. Тождественные преобразования и уравнения в школе 2-ой ступени. В сб.: Математика в школе, Л., 1925, сб.З, с.51-79.

131. Пистрак М. Новые задачи. Физика, химия, математика, техника в трудовой школе, 1929, №1, с.11-14.

132. Пистрак М. Об основных вопросах преподавания математики в средней школе. Физика, химия, математика, техника в трудовой школе, 1929, №5, с.4-6.

133. Понтрягин Л.С. Этика и арифметика. Социалистическая индустрия, 21 марта 1979 года, N968.

134. Понтрягин Л.С. О математике и качестве ее преподавания.- Коммунист, 1980, №14, с.99-110.

135. Примерные программы Единой трудовой школы. Вып.1.1. М.: газ, 1920.

136. Проект примерного плана занятий по математике на первой ступени единой трудовой школы-коммуны. Математика в школе, 1918, т.1, №1-2, с.38-42.

137. Программы для I и 2 ступени семилетней единой трудовой школы. М.: ГИЗ, 1921.

138. Программы для первого концентра школ второй ступени /5, б и 7 годы обучения/. М.-Л.: №3, 1925.

139. Программы по математике для трудовой школы 2-ой ступени. В сб.: Математика в школе, Л., 1925, сб.З, с.9-50.

140. Программы фабрично-заводской семилетки: Ориентировочные программы по математике и объяснительные записки к ним. -М.-Л.: газ, 1930.

141. Программы фабрично-заводской семилетки: Математика. -М.-Л.: Гос. учебно-педагогическое издательство, 1932.

142. Программа Наркомпроса РСФСР по математике для средней школы. Л.: Издание учебно-методического сектора, 1932.

143. Программы средней школы /городской и сельской/: 9-10 года обучения. Математика. М.: Учпедгиз, 1933.

144. Программы средней школы: Математика. Физика. Черчение. М.: Учпедгиз, 1936.

145. Программы средней школы: Математика. М.: Наркомпрос РСФСР, 1938.

146. Программы средней школы: Математика. М.: Учпедгиз,1949.

147. Программы средней школы: 1956/57 учебный год. Математика. М.: 1956.

148. Программа по математике для средней школы. Математика в школе, 1968, №2, с.5-20.

149. Программы восьмилетней и средней школы: Математика.1. М.: Просвещение, 1980.

150. Программы восьмилетней школы: Начальные классы. М.: Просвещение, 1981.

151. Программа по математике для 4-10 классов средней общеобразовательной школы /проект/. Математика в школе, 1979, №2, с.7-12.

152. Программа по математике для 4-10 классов средней общеобразовательной школы /проект/. Математика в школе, 1979, №3, с.15-21.

153. Прохоренко В.И. О вступительных экзаменах в вузы в 1979 году: Московский энергетический институт. Математика в школе, 1980, N93, с.37-38.

154. Прочухаев В.Г. Упражнения функционального содержания. -Математика в школе, 1964, №1, с.38-41.

155. Прудников В.Е. О русских учебниках математики для средней школы в XIX веке. Математика в школе, 1954, №3, с.6-20.

156. Рамзаева А. А. Теоретико-множественная основа изучения функций в восьмилетней школе. Канд. дис. - М.: 1969.

157. Розов Н.Х. Функции и графики. В сб.: Новое в школьной математике., М.: Знание, 1972, 200 с.

158. Роюк В.Я. Построение простых диаграмм. Математика в школе, 1956, N96, с.48-55.

159. Сахаров. Новые программы по математике. Математика в школе, №1, 1938, с.77-82.

160. Севбо В.И. Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функциональной зависимости. Математика в школе, 1946, №4, с.13-17.

161. Севбо В.И. Функциональная пропедевтика в семилетней школе. Математика в школе, 1953, №5, с.16-21.

162. Севбо В.И. Введение математического понятия функции всредней школе. Математика в школе, 1950, №3, с.3-10.

163. Слудский И.Ф. К вопросу о том, что дает пятилетний курс арифметики. Физика и математика в трудовой школе, 1928, №3, с.23-31.

164. Современные основы школьного курса математики /Н.Я.Виленкин, К.И.Дуничев, Л.А.Калужнин, А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1980, 240 с.

165. Томашевич Ф.В. Понятие функции в школьном курсе. Математика в школе, 1954, №4, с.25-32.

166. Ускова О.Ф., Семыкин Т.Д. О вступительных экзаменах в вузы в 1981 году: Воронежский государственный университет имени Ленинского комсомола. Математика в школе, 1982, №1, с.49-51.

167. Федоров B.C. Функция. Математика в школе, 1940, N96, с.1-3.

168. Федорова Л.И. Формирование функциональных представлений у учащихся в курсе "Алгебра и начала анализа" средней школы. Канд. дис. - М.: 1978.

169. Фридман В.Г. Концентрический учебник алгебры: Первая, вторая, третья и четвертая ступени. Л.: ГИЗ, 1924, 400 с.

170. Хинчин А.Я. Всестороннее, реальное образование советской молодежи. Математика в школе, 1939, №6, с.1-7.

171. Хинчин А.Я. О математических определениях в средней школе. Математика в школе, 1941, №1, с.1-10.

172. Хинчин А.Я. О формализме в школьном преподавании математики. Советская педагогика, 1944, №11-12, с.21-27.

173. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.: Наука, 1977, 280 с.

174. Хрестоматия по истории математики: Математический анализ. Теория вероятностей /Под ред. А.П.Юшкевича. М.: Просвещение, 1977, 224 с.

175. Хроника. Математика в школе, 1918, т.1, №1-2, с. 5556.

176. Чернявский М.Д. Методика формирования основных понятий математического анализа в средней школе. Канд. дис. - Оренбург: 1975.

177. Шершевский А.А. Как строить графики функций. Математика в школе, 1965, №4, с.89-92.

178. Шилов Г.Е. Что такое функция? Математика в школе, 1964, №1, с.7-15.

179. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. М.: Наука, 1965.

180. Щербина К.М. Критический обзор программы средней школы по математике. Математика в школе, 1938, №2, с.73-81.

181. Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание в России ХУЛ-XIX вв. Математика в школе, 1949, №3.