автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения

Автореферат диссертации по теме "Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения"

РГб од

„ На правах рукописи

О 2 июн 1997

ГОЛЬХОВОЙ Владимир Михайлович

ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ КАК ОСНОВА ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ ЗАОЧНО-ОЧНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ (на примере Северо-Западной заочной математической школы при Санкт-Петербургском государственном университете)

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата педагогических наук "О

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета имени В.И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор ГУСЕВ В А.

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор ЛУКАНКИН ГЛ.

кандидат физико-математических наук ВАСИЛЬЕВ Н.Б.

Ведущая организация: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова.

Защита состоится «. /£> ...... ... 1997 г. в ......часов на

заседании диссертационного совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина по адресу: 119882, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета ^ ЧИКАНЦЕВА Н.И.

Общая характеристика работы.

Актуальность исследования.

Концепция непрерывного образования и "Стандарт среднего математического образования" находятся сейчас в центре внимания и предполагают, в частности, дифференциацию обучения. В случае математики, в силу специфики этого учебного предмета, дифференциация имеет особое значение. Математика как одна из самых сложных школьных дисциплин вызывает у многих школьников объективные трудности. В то же время есть много учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух "полюсах", весьма велик.

Дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы. Обычно выделяют два основных ее вида: так называемые "уровневую дифференциацию" и "профильную дифференциацию". Несмотря на то, что дифференциации в обучении математике посвящена обширная литература, решение этой проблемы еще далеко от завершения. Как писали Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, В.В.Фирсов : "Для практической реализации идеи дифференциации в обучении математике требуется серьезная перестройка всей методической системы. Необходимо создать ... программы, учебно-методическое обеспечение ... и т.д. В то же время очевидно, что такой переход школы в качественно новое состояние будет осуществляться постепенно, по мере накопления теоретических разработок и практического опыта. Поэтому необходимо уже сейчас настойчиво искать и внедрять в практику преподавания методические решения, отвечающие идее дифференциации." ("Математика в школе" N 4 - 1990 г.)

В настоящей работе предлагается вариант решения проблемы дифференциации обучения школьников математике. Речь идет об индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения на примере Северо-Западной заочной математической школы при Санкт-Петербургском государственном университете.

В течение последних десятилетий сложились различные формы заочно-очного обучения математике учащихся, причем на уровне не только базового, но углубленного се изучения. Ясно, что такие формы имеют свою специфику, а практика показывает, что школа нуждается в соответствующих разработках. Все это дает основание считать проблему индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения высоко актуальной.

Проблема данного исследования заключается в том, чтобы определить пути, средства и методы развития индивидуализации учебной деятельности учащихся для осуществления дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения.

В данном исследовании мы исходили из следующей гипотезы: основой решения этой проблемы является максимальная индивидуализация учебной деятельности учащихся.

Под индивидуализацией здесь мы понимаем наиболее полный учет возрастных и психических особенностей, индивидуальных умственных возможностей и способностей учащихся, а также организацию всего процесса обучения - от составления программы и учебных пособий до проверки и рецезирования контрольных работ таким образом, чтобы каждый учащийся имел возможность и желание извлечь максимально возможную пользу и получить наибольшую помощь при заочном обучении.

Для решения проблемы исследования потребовалось решить следующие частные задачи:

— выявить теоретические и практические основы осуществления индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения;

— определить характер дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения, необходимого для решения задачи предоставления возможности учащимся (особенно из отдаленных от научных центров мест) получить более полноценное школьное математическое образование и получить подготовку к продолжению образования;

— определить и обосновать научно-методические принципы и требования осуществления и совершенствования индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения;

— разработать методику построения индивидуализированного дифференцированного заочно-очного обучения математике, рекомендации по определению его структуры, отбора содержания, выбора методов; дать примеры реализации этих методов.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы :

— теоретический анализ, опирающийся на изучение философской, психолого-педагогической, методической, учебно-математической литературы;

— анализ школьной программы, программ факультативных курсов, летних математических лагерей, программ Всероссийской и Северо-Западной заочных математических школ, учебников и многочисленных научно-методических и научно-популярных книг и журналов для учителей и школьников;

— анализ сложившейся практики заочно-очного углубленного обучения математике;

— наблюдение за работой учителей и школьников при заочном обучении и на очных встречах;

— изучение мнения учителей с помощью бесед, опроса, анкетирования;

— обмен мнениями с учеными-математиками и методистами, занимающимися сходными проблемами;

~ анализ программ и задач вступительных экзаменов в ведущие вузы и практики проведения экзаменов;

— экспериментальная разработка и проверка на практике программ заочного обучения и конкретных методических разработок с целью изучения возможности индивидуализации учебной деятельности в условиях заочно-очных форм обучения;

— анализ личного опыта составления программ и методических разработок, преподавания в школе и педагогических группах математико-механического факультета СПбГУ, проведения очных математических олимпиад и научных конференций школьников.

Научная новизна результатов настоящего исследования состоит в следующем:

— определены основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения;

— разработана методика построения дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения; особенностью этой методики является направленность ее на индивидуализацию учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения;

— сформулированы принципы построения такого обучения и предложены пути его реализации.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обусловлены комплексным использованием различных методов исследования, большим объемом исследованного материала, глубоким и всесторонним анализом общепедагогических и методико-математических предпосылок исследуемой проблемы, состояние вопроса в учебной практике, согласованностью полученных выводов и разработанных на их основе конкретных реализаций с общими принципами заочного дифференцированного обучения и результатами других исследований, а также личным опытом преподавания и опытом других учителей.

Практическая значимость исследования.

Разработанная методика реализована в Северо-Западной заочной математической школе при Санкт-Петербургском государственном университете. Эта методика может быть использована (и уже используется) учителями и методистами. Результаты исследования могут составить (и уже составляют) основу работы факультативов, основу подготовки студентов педвузов и педагогических групп математических факультетов университетов к ведению внеклассных и внешкольных занятий.

На защиту выносятся следующие результаты исследования :

-- выдвижение в качестве основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения индивидуализацию учебной деятельности учащихся;

— определение основных задач дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения;

— научно-методические принципы и требования к осуществлению и совершенствованию индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения:

— методика построения индивидуализированного заочно-очного обучения математике.

Апробация и публикации.

Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных научно-практнческих конференциях "Проблемы заочного математического обучения школьников" (Москва 1978, 1979), на международной научной конференции "Интеллектуальная одаренность" (Проблемы. Концепции. Перспективы) (Минск 1993), на V научно-практической конференции СПбГУ "Структура и содержание обучения в специализированных школах и классах" (Санкт-Петербург 1996), в Ленинградском областном ИУУ (1989, 1990, 1991).

По материалам исследования опубликовано 15 печатных работ.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основное содержание работы.

Во введении поставлена проблема исследования и проведен теоретический ее анализ. Там же содержится обзор работ, посвященных проблеме индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения.

Эти исследования можно условно разделить на три группы.

К первой группе относятся работы, посвященные содержанию углубленного очного и заочного математического обучения. Этой проблемой занимались многие ведущие математики и методисты: А.Н.Колмогоров, А.И.Маркушевич, Д.К.Фаддеев, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,

A.А.Кириллов, Г.В.Дорофеев, Н.Х.Розов, Р.С.Черкасов, В.В.Фирсов,

B.А.Гусев, Г.Д.Глейзер, Н.Б.Васильев и др.

Ко второй группе относятся работы, посвященные проблемам дифференцированного обучения математике и индивидуализации учебной деятельности учащихся. В первую очередь упомянем докторскую диссертацию В.А.Гусева "Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе" М.: 1990; а также А.А.Кирсанова "Индивидуализация учебной деятельности как педагогическая задача" Казань: 1982; Г.Д.Глейзера "Проблемы индивидуализации и дифференциации обучения в вечерней школе" Л.: 1981; статьи Г.В.Дорофеева, Ю.М.Колягина, В.В.Фирсова и др.

К третьей группе относятся работы, посвященные методическим проблемам заочной школы. Основные идеи по содержанию углубленного заочного обучения математике и основы их организации принадлежат основателю ВЗМШ академику И.М.Гельфанду. В частности, по его инициативе и с его прямым участием была создана "Библиотечка ФМШ" -первые и в течение многих лет единственные методические разработки для заочной математической школы. ("Метод координат". Вып. 1; "Функции и грвфики". Вып. 2; "Прямые и кривые". Вып. 4; "Уравнения и неравенства". Вып. 5). Этим проблемам посвящены многочисленные публикации Ж.М.Раббота и кандидатская диссертация Е.Г.Глаголевой "Содержание и методические особенности обучения в заочной школе (на примере ВЗМШ)". М.: 1976. Назовем также статьи Н.Х.Розова, В.Л.Гутенмахера, А.Л.Тоома.

Ряд конкретных вопросов заочного обучения математике обсуждался в сборниках научных трудов "Заочное обучение математике школьников 8-10 классов", выпускавшихся НИИСиМО АПН СССР в 1976-1982 годах. В вышеназванных работах проблема дифференциации обучения явно не ставилась. Из всех статей упомянутых сборников только в двух - А.Л.Тоома и Н.Ю.Вайсман в некоторой степени (явно не сформулированные) обсуждаются вопросы индивидуализации обучения математике при заочных формах обучения.

Однако ни в одном из исследований такого рода проблема индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения специально не рассматривалась.

Для того, чтобы решить проблему исследования, потребовалось конкретизировать понятие дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения; конкретизировать широкое понимание индивидуализации.

В первой главе диссертации - " Место и роль заочной математической школы в реализации дифференцированного обучения математике" раскрывается специфика заочно-очной формы обучения при реализации уровневой и профильной дифференциации обучения математике и излагаются методические концепции индивидуализации учебной

деятельности учащихся, направленной на реализацию дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения.

Специфика заочно-очной формы обучения обусловлена контингентом учащихся, формой обучения, организацией обратной связи. С учетом этой специфики предметом исследования явились:

- разработка методических принципов составления прохраммы, учебных пособий и контрольных заданий;

-разработка методики проверки и рецензирования контрольных заданий;

- определение путей индивидуализации учебной деятельности учащихся ЗМШ;

- разработка системы организации и проведения занятий в группах "Коллективный ученик".

Специфика заочных форм обучения такова, что педагог не имеет возможности непосредственно видеть и слышать, как ученики воспринимают материал. Таким образом, возникает противоречие: невозможность непосредственного контакта и построения модели учебного процесса, учитывающего особенности не только групп учащихся, но и каждого ученика.

Разрешить это противоречие можно, определив общие принципы, требования как к программе в целом, так и к конкретной методике для каждой темы; общие принципы осуществления обратной связи и конкретные рекомендации при рецензировании каждой работы; общие принципы работы по материалам ЗМШ и конкретные рекомендации по каждой методической разработке.

Эти принципы и рекомендации должны учитывать как накопленный опыт дифференцированного обучения математике, так и специфику контингента учащихся. Для этого необходимо рекомендовать формы и методы индивидуализации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в условиях заочно-очных форм обучения.

I. Опишем сначала общие принципы н требования к программе и учебным пособиям.

1). Программа должна содержать узловые темы школьной программы. Безусловно, талантливым школьникам интересны и полезны такие темы, как графы, принцип Дирихле, математическая логика, теория вероятностей, теория игр, многочлены, всевозможные олимпиадные темы и т.д., но , учитывая уникальные возможности заочной математичской школы, необходимо очень тщательно, на уровне гораздо более глубоком, чем базовый, обсудить узловые моменты школьной программы. Не случайно, одними из самых первых книг вышеупомянутой "Библиотечки ФМШ" были книги "Метод координат" и "Функции и графики". В приведенной ниже программе ЗМШ видно, что все основные линии школьного курса - числа, функции, уравнения получили должное освещение

2). Темы пособий должны иметь выходы в различные разделы математики и содержать богатый набор идей и методов. Как гласит восьмая из "десяти заповедей учителя" Д.Пойа, "Выискивайте в вашей задаче то, что может пригодиться при решении других задач,- за данной конкретной ситуацией старайтесь обнаружить общий метод" ("Математическое открытие" М. 1976, с. 306). Об этом же писал известный математик и педагог Ф.Клейн, "Дальнейшие важные задачи, которые математика ставит перед психологией, относятся к имеющимся более тонким различиям в характере математического дарования, которые проявляются у продуктивно научно работающих математиков, но имеют несомненно большое значение и для педагогики" ("Элементарная математика с точки зрения высшей", т. 2, с.

361). Согласно принципу индивидуализации учебной деятельности учащихся надо, чтобы каждый ученик нашел для себя особо интересную тему.

3). Тема должна допускать большой набор разных по трудности и характеру задач. Ведь занятия математикой - это прежде всего решение задач. Задачи могут быть разными - от простых вычислений по формулам, занимающих считанные минуты, до получения новых качественных результатов, требующих многочасовых усилий, а иногда длящихся месяцы и годы. Процитируем известного математика и педагога Д. Пойа: "Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчеркивании методической стороны прцесса решения задач." ("Математическое открытие" М. 1976, с. 15). Задачи являются существенной частью каждого пособия. Особенно это важно для достижения максимальной индивидуализации учебной деятельности учащихся. Самым ярким примером реализации этой идеи является книга Г.Полия и Г. Сеге "Задачи и теоремы из анализа". Аналогично построена книга диссертанта ("Задачи по математике. Алгебра и анализ". М: 1982. Сер. Библиотечка "Кванта". Вып. 22).

4). Материал должен быть изложен занимательно, просто и понятно при оптимальном сочетании строгости и наглядности. Хотя тут и выработаны некоторые общие схемы, во многом здесь приходится полагаться на авторов и рецензентов учебных пособий. Здесь выпукло проявляются возможности научных центров для привлечения к написанию методических разработок ученых-математиков и ведущих методистов.

5). Основные теоретические положения должны быть по возможности проиллюстрированы. Это важное положение ввиду того, что при заочной форме обучения нет возможности, как это бывает при очном обучении, убедиться в том, что учащийся правильно воспринял предложенный тезис.

6). Один из наиболее удачных способов изложения - циклы задач, перемежаемые небольшими теоретическими введениями, обобщениями и выводами. Это подтверждается практикой ЗМШ, опытом преподавания но книге "Задачи по математике. Алгебра и анализ", констатирующим экспериментом.

7). В тексте должна быть решена часть задач, даны различные подходы к задаче, образцы оформления и записи решения. Трудности здесь возникают при выборе конкретных задач. Не случайно, даже в учебных пособиях для базовой школы авторы нередко выделяют "опорные" или "основные" задачи.

8). Помимо сообщения школьнику определенной суммы знаний и навыков, пособие должно способствовать повышению его общей математической культуры: в нем нужно выделить логические тонкости, указать выходы рассматриваемого материала в другие разделы математики, его связь с ранее изучавшимися темами.

9). Почти все учебные пособия, издаваемые ЗМШ, содержат большое количество разнообразных фактов, утверяздений, теорем, задач. Это обусловлено выбором важных, узловых тем для написания пособий. Для полного усвоения данной темы и для лучшей его проверки часто составляются два кошрольных задания. Но (важный момент) второе контрольное задание предлагается выполнить не сразу же после первого, а с большим перерывом (обычно в следующем учебном году). Учащийся успевает получить проверенное и отрецензированное первое задание и разобраться со всеми тонкостями в первой части методической разработки. Это позволяет учащемуся лучше усвоить вторую часть методической разработки. Ниже приведены примеры такого разбиения: "Целые числа - 1"

и "Целые числа - 2", "Неравенства - 1" и "Неравенства - 2", "Графы - 1" и "Графы - 2" и т.д. В диссертации приводится пример такого составления контрольных заданий (по теме "Целые числа").

П. Важнейшей частью написания пособия является подбор задач. Приведем схему анализа математических задач. (Конспективно она приведена в статье В.Л.Гутенмахера (сб. научн. трудов "Заочное обучение математике школьников 8-10 классов" НИИСиМО АПН СССР, М.: 1977, с. 25-28.)).

Выделим две основные позиции по которым можно рассматривать математическую задачу.

Позиция А. С точки зрения общих математических идей и методов, независимо от контекста, в котором предполагается поставить задачу, и независимо от контингента учащихся, для которого она предназначена.

Позиция В. С точки зрения пройденного учащимися материала и в зависимости от контекста, в котором задача будет стоять.

Рассмотрение математической задачи с позиции А - необходимый этап обсуждения вопроса о включении темы в программу. В нем обязательно участвуют профессиональные математики и опытные методисты, в чем проявляется важное достоинство заочной математической школы - использование высокого научного потенциала. Не менее важно и обсуждение задачи с позиции В. Здесь важно учесть связь с базовой программой и, предположительно, индивидуальные возможности учащихся. Исходя из этих позиций, можно условно разбить образцы решений задач на три типа.

Тип 1. Полное решение задачи с позиции А для наиболее общей ее формулировки, записанное в краткой и продуманной форме на удобном математическом языке.

Тип 2. Полное решение задачи с позиции В в исходной формулировке, записанное кратко на математическом языке, которым владеет учащийся.

Тип 3. Оптимальное решение почти "от нуля" с позиций А и В с введением языка, адекватного содержанию задачи, и с доказательством почти всех используемых средств.

При вышеупомянутом обсуждении задачи с позиции А используется тип 1 решения. Он определяет важность задачи с общематематической точки зрения, а также возможные варианты формулировки задачи и ее решения. При обсуждении задачи с позиции В используется тип 2 решения. Он определяет пригодность задачи для школьников и является частью решения одной из задач настоящего исследования - разработки методики проверки и рецензирования контрольных заданий, - служит образцом для проверки решений. Третий тип решения преследует цель максимального выявления категории средств, понятии и результатов, связанных с данной задачей.

Ш. Опишем теперь основные пути индивидуализации учебной деятельности учащихся.

1. Контрольное задание - основной вид контроля за усвоением материала при осуществлении заочных форм обучения. В связи с этим к выбору задач, входящих в контрольную работу, надо отнестись с особым вниманием. При этом надо соблюдать следующие требования:

а) задание должно охватывать все основные разделы темы;

б) для осуществления дифференцированного подхода к учащимся необходимо составить обязательную и дополнительную часть задания;

в) выполнение обязательной части задания должно гарантировать усвоение учащимся темы в целом;

г) в задании должно быть обязательное сочетание разных типов задач -трудных и лехких, конструктивных и логических и т.п.;

д) учитывая условия проверки работ, обязательные задачи должны допускать ясные, краткие решения с компактным ответом, ко всем задачам составитель должен заранее написать решения, чтобы в этом убедиться;

е) задание должно быть посильно среднему школьнику и по объему, и по содержанию;

ж) из опыта ЗМШ вытекает, что школьники особенно внимательно (а иногда и исключительно) изучают материал пособия, непосредственно нужный для решения контрольных задач, поэтому задание - гибкий инструмент для того, чтобы обратить внимание школьника на наиболее важные материалы пособия, это обязательно следует учитывать при составлении задания;

з) к контрольному заданию надо обязательно писать критерии оценок.

Для реализации пункта а) предусмотрено написание двух контрольных

работ (см. выше). Контрольные работы, составленные на основании перечисленных принципов дают возможность проводить процесс обучения каждого учащегося на оптимальном уровне трудности. Пункт з) имеет, кроме всего, и воспитательное значение: учащийся может предварительно оценить свою работу. В то же время, были сомнения, не помешает ли это идее индивидуализации учебной деятельности учащихся - обучения каждого на оптимальном уровне трудности. Констатирующий эксперимент доказал правильность положения з).

2. О проверке работ.

Работы школьников, обучающихся индивидуально, сначала получают студенты. Они проверяют решения, оценивают каждую задачу по стандартной схеме: +, ±, +, -, 0, пишут на полях различные замечания, а в конце тетради - общую рецензию, ставят общую оценку за выполненное задание. Затем работу бегло перепроверяет более опытный преподаватель (обычно аспирант или методист ЗМШ), и она отсылается школьнику. Он исправляет ошибки, решает ранее не решенные задачи согласно указаниям проверяющего. При оценке "2" переделанная работа высылается в обязательном порядке повторно.

Работы групп "Коллективный ученик" проверяет опытный методист -преподаватель ЗМШ. На поля выносятся значки +,+,+, -, общая оценка и мелкие замечания. Основные же замечания и рецензия для удобства учителя -руководителя группы пишутся на отдельных листах и вкладываются в тетрадь. Учитель использует эту информацию как считает нужным.

В самом полном объеме принцип индивидуализации обучения реализуется в работе "Коллективного ученика". Учитель излагает теоретический материал, обычно по частям (параграфам). Сразу же обсуждаются задачи, включая и решенные в тексте. Потом контрольное задание распределяется ме>вду учащимися. Так как задачи написаны циклами, учитель может варьировать задангие. Так, более слабые ученики могут получить более легкие задачи, более сильные ученики - более трудные; совсем слабые ученики могут разобрать решенные в тексте задачи, самые сильные -попробовать решить дополнительные. Обычно трудные задачи учащиеся решают вместе с учителем. Ученик может выбрать задачи и по своему вкусу. Решенные задачи обязательно обсуждаются - заодно учащиеся учатся оппонировать. Так как задач много, у учителя накапливается банк задач, которые он может использовать на уроках в других классах, на олимпиадах и т. д.

Из упомянутых видов информации, получаемой учеником, самой существенной, содержательной являются замечания на полях. Они пишутся рядом с решениями и указывают конкретные ошибки, нечеткости,"дыры" в рассуждениях, контрпримеры, опровергающие неверные утверждения ученика; намечают идеи, до которых ученик не додумался, поясняют на

конкретных примерах принципы математической работы. Рецензия в конце работы подытоживает замечания. Она содержит общую характеристику работы и указывает, на что ученику следует обратить внимание.

Часть общих принципов, которыми должны руководствоваться проверяющие, содержатся в уже цитированных "Десяти заповедях учителя": "Не ограничивайтесь голой информацией; стремитесь развить у учащегося определенные навыки, нужный склад ума и привычку к методической работе. Старайтесь научить их догадываться. Старайтесь научить их доказывать. Демонстрируя решение задачи, выделяйте его поучительные стороны. Пользуйтесь наводящими указаниями, но не навязывайте своего мнения насильно." ("Математическое открытие" М. 1976, с. 306).

3. Очные формы обучения.

Обычные формы очного общения при заочном обучении - зачетные и экзаменнационные сессии - в наших условиях по техническим и материальным причинам не реализуемы. Поэтому мы используем другие его формы -летние математические школы (ЛМШ) и "Слеты юных любителей науки".

ЛМШ практикуются давно, общие принципы их организации описаны в литературе, и подробно останавливаться на них не будем. Отметим только, что программы наших ЛМШ согласованы с программой ЗМШ, что позволяет рассказать школьникам, ввиду их хорошей подготовки, довольно трудные и интересные факты. "Слеты юных любителей науки" разработаны диссертантом, аналоги ему не известны. Слеты проводились ежегодно с учащимися групп "Коллективный ученик". В диссертации подробно описана эта очная форма работы.

В первой главе разработаны требования к программе дифференцированного обучения математике для заочно-очных форм обучения, основные принципы выбора тем и построения учебных пособий по ним, а также пути индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения.

Во второй главе - "Методика индивидуализации учебной деятельности учащихся в условиях заочно-очных форм обучения" разработаны методики: построения программ ЗМШ, учебных пособий и контрольных заданий, их проверки и рецензирования; даны примеры реализации этих методик. Для конкретизации мы ограничились п этой главе разбором построения учебных пособий по темам "Целые числа", "Производная. Уравнение касательной", "Комплексные числа" и примеров проверки контрольных заданий и рецензирования по названным темам.

1. Тема "Целые числа", включает в себя такие важные с общематематической точки зрения понятия, как делимость, деление с остатком, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, взаимная простота, простые числа, сравнения по модулю; такие факты, как алгоритм Евклида, основная теорема арифметики, теорема Ферма, диофантово уравнение.

Учебное пособие написано по типу 3. Материал изложен так, что во многом его удалось перенести в тему "Многочлены". С общей точки зрения, описано евклидово кольцо. Есть и методические находки. Так, алгоритм Евклида вводится обычно таким образом, который у нас называется вторым описанием. Для конкретных вычислений и задач бывают удобнее данные в пособии Лемма и первое описание. Результаты § 6, 7 "Взаимно простые числа" и "Линейные уравнения с двумя переменными" активно используются в темах "Комплексные числа" и "Тригонометрия". В пособии представлены всевозможные "цепочки задач" (см. докторскую диссертацию В.А.Гусева) - от переформулировок определений и обучающих до цепочек, приводящим к трудным теоремам.

2. Пособие "Производная. Уравнение касательной" включает в себя три параграфа. В первом собраны все свойства линейной функции, нужные для

дальнейшего. В § 2 расширяется круг задач, с которыми учащиеся сталкивались в базовой школе, изучая тему "Производная и ее применения".

Из школьного курса учащимся известно, что уравнение касательной к графику дифференцируемой функции >'=/(х), проведенной в точке с координатами (^.-/(лф)), имеет вид > = /(*о)+/'(Л"о)(*-*о) (*)• В большинстве задач, с которыми учащиеся сталкиваются в школе, обычно заданы функция у~Лрс) и точка хц, так что решение сводится к механическому нахождению чисел У(хо)> /(хо) и подстановке их в уравнение (*). В этом параграфе разбираются более сложные задачи. В этом же параграфе вводится понятие угла между кривой и прямой и угла между двумя кривыми в их общей точке.

В § 3 углубляется понятие касательной к окружности, параболе, гиперболе. В школьном курсе математики понятие касательной появляется дважды: в алгебре, где определяется понятие касательной к графику дифференцируемой функции, и в геометрии, где дается определение касательной к окружности как прямой, имеющей с этой окружностью только одну общую точку. Как известно, распространить определение касательной к окружности на случай произвольных кривых не удастся. Однако в ряде случаев можно дать аналогичное определение. В § 3 с помощью учащимихя (задачи 1,2 и 3,4) доказывается, что возможны такие определения: касательная к параболе - это прямая, не параллельная оси симметрии параболы и имеющая с параболой только одну общую точку; касательная к гиперболе - это прямая, не параллельная асимптотам гиперболы и имеющая с гиперболой только одну общую точку. Для окружности связь между двумя определениями касательной проясняется в задаче 5.

5. Пусть С - окружность с радиусом Я и центром в начале координат (напомним, что такая окружность задается уравнением х-+у2=Я2) и пусть М(х0;у0) - точка окружности С, причем >'о>0. Рассмотрите верхнюю

касательная к графику функции/в точке с абсциссой х0 имеет с окружностью С только одну общую точку.

Далее, используя доказанные факты, демонстрируется более простой подход к задачам из § 2. В заключение предлагаются цепочки задач на известные свойства парабол и гипербол.

3. Пособие "Комплексные числа" включает введение и четыре параграфа. Во введении подробно и с большим числом примеров рассказывается о том, как комплексные числа появились в математике в связи с задачей решения уравнений 3-й степени. Считаем, что это послужило одной из важных задач эксперимента - расширению математического кругозора, развития умения видеть за конкретной задачей общие математические идеи.

§ 1 посвящен действиям над комплексными числами включая сопряжение. § 2 - комплексной плоскости, введены понятия модуля комплексного числа и аргумента ненулевого комплексного числа, доказаны их свойства. В § 3 "Тригонометрическая форма комплексного числа" доказана формула Муавра, предложены цепочки задач на ее применение и задачи, связанные с темами "Тригонометрия" и "Биномиальные коэффициенты".

Далее, вводится понятие корня натуральной степени из комплексного числа и благодаря тому, что в теме "Целые числа" были доказаны соответствующие факты, удается доказать формулу

полуплоскость как график функции

и докажите, что

СО5-

а+2кк . . а+2пк -—+1-

, к = ОД.....п-1, выяснить, как расположены

п

п

на комплексной плоскости корни | степени л из комплексного

числа я = г(сс>5с1 + шпа).

Наконец, § 4 "Корни уравнений" посвящен Основной теореме алгебры (без доказательства) и ее следствиям. Если первые три параграфа вполне укладываются в углубленный курс математики базовой школы, то четвертый параграф служит расширению математического кругозора учащихся, развитию их математической культуры.

Приведем в качестве примера реализации вышеперечисленных основных принципов программы ЗМШ, по которым обучались школьники в ходе описываемого эксперимента.

I. Программа для обучавшихся индивидуально в 1992 - 1995 годах (9 -11 классы).

1. Решение задач. 2. Занимательная логика. 3. Целые числа -1. 4. Комбинаторика и вероятность - 1. 5. Игры. 6. Линейные и кусочно-линейные функции. 7. Графы-1. 8. Принцип Дирихле (летнее задание).

9. Целые числа - 2. 10. Квадратные функции. 11. Комбинаторика и вероятность - 2. 12. Тригонометрические уравнения и неравенства - 1. 13. Многочлены -1. 14. Производная. Уравнение касательной.

15. Комплексные числа (летнее задание). 16. Наибольшее и наименьшее значения функции. 17. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 18. Векторы-2. 19. Площадь и интеграл.

20. Тригонометрические уравнения и неравенства-3. 21. Варианты вступительных работ в СПбГУ.

II. Программа обучения групп "Коллективный ученик" в 1991 - 1995 годах (8-11 классы).

1. Решение задач. 2. Занимательная логика. 3. Линейные и кусочно-линейные функции-1. 4. Игры. 5. Комбинаторика и вероятность - 1. 6. Целые числа -1. 7.Графы-1. 7. Принцип Дирихле. 9. Целые числа - 2.

10. Неравенства -1. 11. Линейные и кусочно-линейные функции -2.

12. Комбинаторика и вероятность - 2. 13. Неравенства-2. 14. Графы - 2. 15. Квадратные функции. 16. Векторы-I. 17. Тригонометрические уравнения и неравенства - 2. 18. Многочлены-1. 19. Заочные математические олимпиады-1. 20. Производная. Уравнение касательной.

21. Комплексные числа. 22. Наибольшее и наименьшее значения функции. 23. Многочлены -2. 24. Тригонометрические уравнения и неравенства - 3. 25. Векторы -2. 26. Площадь и интеграл. 27. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 28. Варианты вступительных работ в СПбГУ.

В диссертации приводятся оценки, которые получили учащиеся по трем обсуждаемым темам за все года проведения эксперимента.

По теме "Целые числа" предлагались две контрольные работы, составленные согласно общим принципам и требованиям и выполняемые с перерывом в один год - группами "Коллективный ученик" в 8 и 9 классах, обучающимися индивидуально - в 9 и 10 классах. Первая работа включает в себя 18 задач из параграфов 1-5, вторая - 17 задач из параграфов 6-9. Критерии оценок были следующими:

1 задание "5"-решено 17-18 задач, "4"-14-16, "3" - 9 -13.

2 задание "5"-решено 16-17 задач, "4"-13-15, "3"-8-12. Контрольная работа по теме "Производная. Уравнение касательной"

состояла из 16 задач. Критерии оценок были следующими:

"5" - решено 15-16 задач, "4" - 12 - 14, "3" - 8 - 11 задач. По теме "Комплексные числа" учащимся было предложено контрольное задание, состоящее из 25 задач. Критерий оценок :

"5" решено 23 - 25 задач, "4" - 19 - 22, "3" - 13 - 18.

В диссертации подробно описаны принципы проверки и рецензирования контрольных работ на примере задания по теме "Комплексные числа", учитывая, что из трех обсуждаемых тем именно в пей у учащихся встретились самые принципиальные трудности. Это и ожидалось при обсуждении темы с Позиций А и В.

Предложенный выше вариант программы ЗМШ и, в частности, три описанные выше темы прошли проверку на практике.

Экспериментальная проверка положений диссертации проводилась нами с 1989 по 1996 год. С самого начала планировалось два этапа экспериментальной работы: констатирующий и обучающий эксперимент. В это же время проходили апробацию материалы обучающего эксперимента.

Обучающий эксперимент преследовал цели непосредственной проверки разработанных принципов индивидуализации учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения, возможности решения задач дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения на основе разработанных методов индивидуализации учебной деятельности учащихся.

Базой обучающего эксперимента, который проводился с 1989 по 1996 год, явились те же регионы, что и для констатирующего эксперимента: Архангельская, Калининградская, Ленинградская, Мурманская, Новгородская, Псковская области, Карельская и Коми республики.

Всего в эксперимете участвовало следующее количество учащихся:

В 1989 - 90 учебном году - 180 человек в 12 группах "Коллективный ученик"; в 1990-91 учебном году - 558 человек - 143 индивидуально обучавшихся и 415 в 28 группах "Коллективный ученик"; в 1991-92 учебном году - 814 человек - 262 индивидуально обучавшихся и 552 в 37 группах "Коллективный ученик"; в 1992-93 учебном году - 931 человек - 236 индивидуально обучавшихся и 695 в 47 группах "Коллективный ученик"; в 1993-94 учебном году - 1104 человека - 198 индивидуально обучавшихся и 906 в 59 группах "Коллективный ученик"; в 1994-95 учебном году - 1070 человек - 152 индивидуально обучавшихся и 918 в 61 группе "Коллективный ученик"; в 1995-96 учебном году - 1032 человека - 148 индивидуально обучавшихся и 884 в 58 группах "Коллективный ученик".

Работу с учащимися, обучавшимися индивидуально, вели преподаватели ЗМШ Д.В. Фомин (1990-1993) и К.Э. Воеводский (1994-1996). С группами "Коллективный ученик" работали преподаватели ЗМШ И.В. Итснберг (1990-1991) и Г.В. Шалугина (1991 - 1996). Работу студентов -проверяющих курировал доцент O.A. Иванов.

На этапе обучающего эксперимента применялись методы проведения контрольных работ, переписки, наблюдения на очных встречах; велась статистическая обработка результатов контрольных работ.

Ниже приводятся данные за все годы проведения эксперимента по количеству учеников, решивших каждую из задач задания и по количеству решенных задач. Табл. 1 и 2 относятся к заданию "Целые числа -1", табл. 3 и 4 - к заданию "Целые числа -2", Табл. 5 и 6 - к заданию "Производная. Уравнение касательной", Табл. 7 и 8 - к заданию "Комплексные числа".

160 149 120 IM ■ M ■

«о

40

M

о

1 2 3 4 5 1 7 S i 10 11 12 II 14 15 11 17 1t

номера задач

Д Та£л. i

1 2 3 4 S S 7 S 8 10 11 12 13 14 15 18 17 18

количество решенных задач

H90-91 191-92 192-93 193-94 194-95 S95-96 ТлГЛ. I

г 1 4 i • 7 • » 10 11 12 1» 14 1« It 17 количество решенных MJU4

IВ 91-92 ■ 92-93 ■ 93-94 Ш 94-95 ■ 95-98

T*ÍA. ¡i

а 91-92 ■ 92-93 ■ 93-94 Щ 94-95 Ш 95-96

Тл Sa . С>

1 2 3 4 S • 7 * I 10 11 12 13 14 15 1« 17 1« 1» 20 21 22 23 24 25

«онера задач

Toi*- ^

■ 92-93 ■ 93-94 194-95 195-96

12

i 4

i 3 О

1 2 3 4 5 С 7 Í » 10 11 12 13 1* 15 « 17 It 1» 20 21 22 23 2* 25

количество решенных задач

■ 92-93 ■ 93-94 194-95 И 95-96

-füÍA. £

Анализ приведенных выше статистических результатов позволяет сделать вывод о том, что темы, предложенные школьникам, усвоены ими достаточно глубоко, и что задачи для контрольных работ, составленные согласно принципам § 2 настоящей работы, оказались подобраны удачно. Так, в задании "Целые числа - 1" 8 - 10 задач из всех параграфов оказались доступными подавляещему большинству учащихся (в их число вошли задачи N 1, 3, 5, 6, 8, 9, 13, 16), в то же время задачи N 2, 4, 7, 15 были решены самыми сильными учениками. В задании "Целые числа - 2" задачи N 1, 2, 4, 5, 9, 10, 14 решены почти всеми учащимися, в то же время как задачи N 6, 11, 12 вызвали значительные трудности.

В контрольной работе по теме "Производная. Уравнение касательной" трудность задач возрастала почти монотонно. Если первые задачи решили почти все учащиеся, то последние - менее половины. С контрольной работой по теме "Комплексные числа" учащиеся справились вполне успешно, но ряд задач (К 13, 14, 20) вызвал вполне естественные трудности. В диссертации подробно написано об этих трудностях и о путях их преодаления.

Отметим одну общую особенность всех таблиц с четными номерами -таблиц, в на которых отражено, сколько учащихся решило то или иное количество задач. Во всех этих таблицах "пики" расположены вблизи точек, соответствующих минимуму задач для получения определенной оценки. Так, например, по теме "Целые числа - 1" "пики" расположены вблизи точек 9 задач - "3", 14 задач - "4", 17 задач - "5". Аналогичная картина по другим контрольным работам. Мы считаем этот факт свидетельством того, что учащиеся приложили максимальные усилия для более успешного выполнения контрольных работ.

Хорошие результаты участников эксперимента может также подтвердить сравнение их достижений с достижениями сверстников. Так, па Ленинградской областной математической олимпиаде учащиеся ЗМШ завоевали: в 1992 -1996 годах I места - 15 (из 15), 2 места - 20 (из 21), 3 места - 13 (из 27). В 1993 - 95 годах ЗМШ окончило 746 учеников -участников эксперимента. У нас имеется информация о дальнейшей судьбе 498 из них. 460 человек продолжают образование в вузах, причем 432 человека сдавали ( и успешно сдали) вступительные экзамены по математике. Считаю эти результаты, особенно учитывая, что наши учащиеся проживали в маленьких городах и сельской местности, - убедительными.

Заключение.

В ходе теоретического и экспериментального исследования получены следующие результаты:

1. Обоснована необходимость разработки системы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения. Основой построения такой системы должна быть индивидуализация учебной деятельности учащихся.

2. Определены задачи индивидуализация учебной деятельности учащихся как основы дифференцированного обучения математике в условиях заочно-очных форм обучения.

3. Выявлены и обоснованы основные требования к программе обучения, методике составления учебных пособий и контрольных заданий.

4. Разработана методика составления учебных пособий и контрольных заданий; разработаны рекомендации по проверке и рецензированию контрольных заданий; разработаныочные формы как часть заочно-очного обучения.

5. Показана реализуемость разработанной методики на примере трех тем и подтверждена экспериментально эффективность этой методики.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах диссертанта:

1. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. ФОЛ ЛГУ Л.: 1976, 18с.

2. О "лекторской группе" при Северо-Западной заочной математической школе. "Заочное обучение математике школьников 8-10 классов" (Сборник научных трудов) НИИСиМО АПН СССР, М.: 1978, с. 45-46. (В со авт.)

3. Сравнения. ФОЛ ЛГУ Л.: 1980, 11 с. (В со авт.)

4. Задачи но математике. Алгебра и анализ. М.: 1982. (Сер. Библиотечка "Кванта". Вып. 22) 192 с. (В соавт.)

5. Уравнение касательной. М.: "Квант" N 3, 1986, с. 51-54. (В соавт.)

6. Применение производной. Задачи и методика решения. РИУУ, Таллинн, 1986, 70 с. (В соавт.)

7. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. ФОЛ ЛГУ Л.: 1980, 17 с., 2-е изд. 1988, 3-е изд. 1992. (В соавт.)

8. Комплексные числа. ПМЛ СПбГУ, СПб: 1990, 25 с. (В соавт.)

9. Двадцать пять лет спустя. "Ленинградский университет", 22.03.91,

10. Целые числа. ПМЛ ЛГУ Л.: 1988, 27 с, 2-е изд. 1991. (В соавт.)

11. Производная. Уравнение касательной. ПМЛ ЛГУ Л.: 1989, 17с., 2-е изд. 1993. (В соавт.)

12. ЗМШ и одаренные дети (тезисы доклада). Международная научная конференция "Интеллектуальная одаренность" (Проблемы. Концепции. Перспективы) Минск. 1993. 3

13. Метод математической индукции. Изд. СПбГУ, СПб: 1995, 22 с.

14. Заочной математической школе - 30 лет. "Санкт-Петербургский университет", N 8, 1996, СПб: с. 22-23.

15. Индивидуализация учебной деятельности учащихся при заочном обучении математике (на примере С-3 ЗМШ). (тезисы доклада). VI научно-методическая конференция АГ СПбГУ. СПб. 1996.

Л.: с. 5.