Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики

Крюкова, Виктория Леонидовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики

Автореферат

Автор научной работы: Крюкова, Виктория Леонидовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Орел
Год защиты: 2005
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики"

На правах рукописи

Крюкова Виктория Леонидовна

ИНТЕГРАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО

МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

13.00.02 -теория и методика обучения и воспитания (математика в системе начального, среднего и высшего образования)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Орел - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Чучаев Иван Иванович

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки РФ, член - корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор Луканкин Геннадий Лаврович

кандидат педагогических наук, доцент Кожухов Сергей Константинович

Ведущая организация: Московский государственный открытый педагогический университет им. МА. Шолохова

Зашита состоится 8 июля 2005 г. в 10°° часов на заседании диссертационного совета К 212. 183. 03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Орловском государственном университете по адресу: 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного университета.

Автореферат разослан 6 июня 2005 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения учащимися расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирование у школьников интереса к предмету, развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Реализация этих задач напрямую связана с содержанием математического образования. В классах с углубленным изучением математики проблема содержания математического образования решается по-разному. Одни -за счет углубления традиционных разделов курса математики средней школы, другие - за счет включения в программу различных разделов высшей математики. Ведущие ученые Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Р.А. Майер, Н.И. Мерлина, В.И. Мишин, Г.Ю. Ризниченко, Г.И. Саранцев, Н.А. Терешин, П.М. Эрдниев и др. едины во мнении, что углубленное изучение математики должно происходить в основном через решение систем задач. Анализ современной педагогической, научной и методической литературы показывает, что многие студенты-первокурсники естественнонаучных и инженерных факультетов, в том числе выпускники школ (классов) с углубленным изучением математики, испытывают серьезные трудности прежде всего на первых этапах обучения. Эти трудности достаточно часто связаны с отсутствием навыков геометрической интерпретации, математических абстракций. Поскольку в классах с углубленным изучением математики обучаются, как правило, дети, которые связывают свое будущее со специальностями, тесно связанными с математикой, то еще в средней школе следует готовить их к преодолению вышеупомянутых трудностей.

В последнее десятилетие школьная геометрия сильно «алгебраизирова-лась», что привело к уменьшению удельного веса геометрии в школьной математике. Это стало мешать как успешному преподаванию и усвоению геометрии, так и глубокому усвоению алгебры и других предметов. В работе И.Ф. Шарыгина было отмечено, что «то, что алгебра помогает геометрии, дает ей свой инструмент для исследования - явление обычное. Но важно и то, что геометрия может оказать большую помощь при обучении алгебре и другим математическим наукам. Всевозможные интерпретации и методы доказательств могут помочь в изучении алгебры, помочь понять смысл формул, вывести их, прочно запомнить. И эти возможности геометрии необходимо использовать».

Ведущим принципом совершенствования методической системы обучения математике является гуманизация математического образования, личностная ориентация обучения математике. Обучение геометрии способствует реализации данного принципа. Геометрическое развитие может быть отнесе-

но к важнейшему фактору, обеспечивающему готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в самых разных областях человеческой деятельности, оно способствует всестороннему развитию учащихся.

Одним из решений данной проблемы могла бы быть «геометризация» курса алгебры. Содержательные связи между курсами алгебры и геометрии позволяют интегрировать их методы при решении задач, в частности, при решении уравнений и неравенств. Под интеграцией алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств с одной переменной, систем уравнений с двумя переменными обычно понимается интеграция алгебраического и графического методов решения. Эта интерпретация крайне полезна, так как графики функций позволяют наглядно представлять процесс и результат решения многих алгебраических задач, предупреждая тем самым формальный подход к их решению. Для классов с углубленным изучением математики сведение интеграции алгебраического и геометрического методов при решении уравнений и неравенств к интеграции алгебраического и графического методов недостаточно. Оно не позволяет использовать в полном объеме геометрические знания учащихся, возможности школьной геометрии, оценить единство математики, этапы (историю) ее развития и ограничивает возможности формирования у учащихся устойчивого интереса к предмету. Среди конкурсных задач на приемных экзаменах в ведущие вузы достаточно часто встречаются уравнения и неравенства, требующие геометрического метода решения. Одним из способов их конструирования (следовательно, решения) является обращение геометрических неравенств в равенства. Геометрические неравенства - важная часть геометрии, позволяющая более глубоко изучать свойства фигур и связи их компонентов. Этому разделу геометрии в школе недостаточно уделяется внимания даже в классах с углубленным изучением математики. Изучение геометрических неравенств совместно с нетрадиционными (неалгебраическими) приемами решения уравнений позволяет существенно расширить возможности интеграции алгебраического и геометрического приемов решения уравнений.

В своей работе Л.С. Капкаева, долгое время работающая над проблемой интеграции в среднем математическом образовании, отмечает что, «владея отдельно действиями над арифметическими и алгебраическими выражениями и геометрическими действиями, учащиеся не будут владеть деятельностью по решению алгебраических задач геометрическими методами. Для этого необходима специальная работа, направленная на овладение всей совокупностью действий, составляющих названную деятельность».

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации идеи интеграции курсов алгебры и геометрии через методы решения задач для школ (классов) с углубленным изучением математики.

Проблема исследования заключается в разрешении противоречия между имеющимися потенциальными возможностями интеграции алгебраических и геометрических методов решения задач в классах с углубленным изу-

чением математики и реально сложившейся практикой обучения математике в школе.

Цель исследования состоит в разработке методики решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов и ее реализации в учебном процессе в классах с углубленным изучением математики.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в школах (классах) с углубленным изучением математики.

Предметом исследования является методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов.

Гипотеза: если разработать методику решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов и внедрить ее в классы с углубленным изучением математики, то качество знаний и умений учащихся повысится.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили решение следующих задач:

1. На основе анализа психолого-педагогической, методической и математической литературы исследовать целесообразность и возможность интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.

2. Определить принципы и критерии отбора содержания интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.

3. Выделить специальные классы уравнений и разработать приемы их решения, указать технологию построения таких уравнений.

4. Разработать методику решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов.

5. Раскрыть содержание и методику экспериментального обучения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы, программ, учебников, методических пособий по теме и близкой к теме исследования;

- изучение опыта учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики, опыта проведения конкурсных экзаменов в ведущие вузы страны и олимпиад по математике с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования;

- исследование и анализ специальных классов уравнений, решение которых основано на геометрических методах;

- разработки и проведение спецкурса «Геометрические неравенства и уравнения» в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялся анализ психологической, методической и математической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе были выделены специальные классы уравнений с приемами их решения, разработана методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов, проведен обучающий эксперимент.

На третьем этапе проводился контрольный эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики. Были проанализированы и обобщены результаты, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования, что позволило сформулировать окончательные выводы. Оформлялась диссертационная работа.

Базой исследования явились старшие классы лицея №4 города Рузаевки и математический факультет Мордовского государственного университета. Исследование проводилось в 1999 - 2004гг.

Научная новизна проведенного исследования заключается в совершенствовании математического содержания для классов с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.

Выделены классы уравнений и неравенств, в решении которых сочетаются и чередуются методы алгебры и геометрии.

Теоретическая значимость результатов исследования заключается в обосновании целесообразности и возможности интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики; в выделении специальных классов уравнений; в создании задач и технологии их конструирования на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения.

Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования разработанной методики решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов в классах с углубленным изучением математики на уроках, факультативах и спецкурсах, в совершенствовании программы и учебных пособий для учащихся средних школ. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями педагогических институтов и университетов при подготовке лекционных и практических занятий по математическому анализу и геометрии.

Методологическую основу исследования составили работы по проблеме диалектического единства теории и практики, теории познания, образования и воспитания, теории развития личности, концепции деятельного подхода, труды выдающихся психологов, педагогов и методистов.

результатами работы в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики, преподавателями математического факультета Мордовского государственного университета, положительной оценкой методических материалов методистами, учителями, работающими в классах с углубленным изучением математики, проведенным педагогическим экспериментом и статистической обработкой его результатов.

На защиту выносятся:

1. Теоретические положения по интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, позволяющие совершенствовать процесс углубленного обучения математике.

2. Классы алгебраических задач, допускающие решение методами интеграции, и описание методических особенностей каждого класса.

3. Методические рекомендации к конструированию специальных классов уравнений, полученных обращением геометрических неравенств в равенства.

4. Методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде докладов и выступлений на научно - методических семинарах кафедры математического анализа и кафедры общей математики Мордовского государственного университета (1998 - 2004 г.), на научных конференциях университета (1997 - 2004), на межвузовской научно - методической конференции (Н. Новгород, 2001.), на межрегиональной научной конференции (Киров, 2001), на международной научно-практической конференции (Пенза, 2002), на международной конференции (Чебоксары, 2004), обсуждались на страницах журнала «Математика в школе» (№ 9 и № 10, 2004), апробировались на занятиях в лицее №4 г. Рузаевки в классах с углубленным изучением математики, на практикуме по решению задач со студентами математического факультета Мордовского государственного университета.

Публикаиии. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы исследования, поставлены цель и задачи, определены объект, предмет и гипотеза исследования, раскрыты новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы положения, вынесенные на защиту, перечислены методы исследования.

Первая глава «Теоретические основы интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики» состоит их трех параграфов.

В первом параграфе определяются содержание, структура, функции и основное назначение интеграции, выявлена ее сущность, роль и место в обучении, а также описываются различные трактовки понятия интеграции.

Учитывая, что содержание обучения в школах (классах) с углубленным изучением математики должно непосредственно примыкать к курсу общеобразовательной школы и углублять его по основным идейным направлениям, одним из объектов интегрирования были выбраны алгебраические и геометрические методы решения уравнений. Это позволит, с одной стороны, создать в совокупности с основными разделами курса базу для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой стороны, восполнить ряд содержательных пробелов основного курса, что придаст содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Во втором параграфе проанализированы цели, принципы и критерии отбора содержания математического образования в классах с углубленным изучением математики.

Анализ литературы позволил выделить цели углубленного изучения математики: 1) приобщение к опыту творческой математической деятельности; 2) формирование устойчивого интереса к предмету; 3) формирование математического метода познания действительности; 4) формирование умений и навыков в применении математических методов и приемов для решения математических и прикладных задач; 5) формирование навыков в использовании специальных (частных) математических методов и приемов для решения математических и прикладных задач; 6) реализация межпредметных и внутрипредметных связей математики посредством интеграции разделов математики: алгебры и геометрии.

Достижение указанных целей осуществлялось на основе содержания математического образования, отбираемого по следующим критериям: критерий соответствия целям и задачам обучения по курсам алгебры и геометрии, критерий преемственности содержания основного и углубленного изучения математики, критерий научной и практической значимости, критерий соответствия времени, критерий теоретической обоснованности и логической последовательности в изложении учебного материала, критерий интегратив-ности курсов алгебры и геометрии.

В третьем параграфе обоснован выбор системообразующего фактора интеграции - методы решения уравнений и неравенств. Интеграция алгебраического и геометрического методов при решении уравнений и неравенств способствует широкому осуществлению внутрипредметных связей, т. к. при этом одновременно используются знания и умения из алгебры, начал анализа и геометрии. Это, в свою очередь, позволяет школьникам убедиться в целостности математики, способствует формированию их научного мировоззрения.

Рассмотрены различные трактовки алгебраического и геометрического методов, что позволило трактовать интеграцию алгебраического и геомет-

рического методов решения уравнений и неравенств как сочетание и чередование этих методов, осуществляемых путем перевода исходного уравнения или неравенства с алгебраического языка на геометрический язык и наоборот. Под сочетанием алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств понимается одновременное использование данных методов. Под чередованием алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств понимается использование в процессе решения двух и более методов. Также показывается, что графический метод решения должен быть составной частью геометрического.

Вторую главу «Методические аспекты интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики» составляют два параграфа.

В первом параграфе конструируется методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики», которая является подмножеством методической системы «Обучение математике» и тесно связана с ней. Компонентами этой системы являются цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, а также личность. В работе дана характеристика каждого компонента.

Цели интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств:

1) формирование единства математики и ее методов через решение уравнений и неравенств алгебраическим и геометрическим методами решения;

2) усвоение как алгебраических, так и геометрических знаний и умений при решении уравнений и неравенств;

3) формирование умений осуществлять математическое моделирование при решении уравнений и неравенств;

4) воспитание математической культуры и эстетического воспитания у учащихся, так как интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств позволяет сравнивать эти методы, выбирать наиболее рациональный из них и дает возможность получать иногда оригинальные, красивые решения.

Реализация целей в обучении происходит через содержание образования. Содержанием интеграции является алгебраический и геометрический методы решения уравнений и неравенств, рассматриваемые в обучении математике как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний. Наиболее перспективной формой реализации интеграции алгебраических и геометрических методов решения уравнений и неравенств, на наш взгляд, может стать математическое моделирование.

Математическая модель - приближенное описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке определенной математической теории с

помощью системы алгебраических уравнений или неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предположений или других математических объектов.

Математическая модель позволяет глубже понять суть вещей, оценить целостность и структурность учебного материала, а также способствует повышению осмысленности рассматриваемого материала и включает нейрофизиологические механизмы восприятия и понимания, привлекает обучаемых к исследовательской деятельности. Ее применение разбивает процесс решения задачи на определенные этапы: формализация (перевод предложенной задачи (ситуации) на язык определенной теории), т.е. построение математической модели задачи; решение задачи в рамках этой теории (решение внутри задачи), перевода результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения). В случаях решения уравнений и неравенств этапы формализации и интерпретации часто отсутствовали, так как алгебраические задачи решались в основном только алгебраическими средствами. Это не позволяло формировать у учащихся осуществления перевода алгебраической задачи на геометрический язык и интерпретации полученного результата. Применение геометрического метода решения уравнений и неравенств позволит ликвидировать указанный пробел. Интеграция геометрического и алгебраического методов решения уравнений и неравенств позволяет обучать учащихся геометрическому моделированию. Вовлечение учащихся в процесс моделирования облегчает усвоение учебного материала на новом качественном уровне.

Способы интеграции. В процессе исследования были определены два способа интеграции алгебраического и геометрического методов уравнений и неравенств: сочетание и чередование.

Под сочетанием алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств понимается одновременное использование данных методов (например, уравнение вначале решается алгебраическим, а затем геометрическим методом). Под чередованием алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств понимается использование в процессе решения двух и более методов. Основную роль в данном случае играет метод редукции (переход от первоначальной задачи к одной или нескольким подзадачам). Здесь алгебраический и геометрический методы решения переплетаются, перемежаются и чередуются. В диссертационной работе приведены конкретные примеры данных способов интеграции.

Формы интеграции: 1) множество - совокупность всех методов решения одной и той же задачи (начальная форма синтеза); 2) упорядоченность -это форма интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач состоит в появлении отношения порядка между отдельными методами (например, уравнение решается разными методами в строго определенном порядке сначала алгебраическим методом, а затем геометрическим); 3) организация (внутренняя упорядоченность, согласованность, взаимодействие более или менее дифференцированных и автономных частей целого, обуслов-

ленных его строением) проявляется, когда в объединении методов появляются связи; 4) при нарастании связей образуется новая качественная форма интеграции - система. Система - хорошо организованное (органическое) множество, образующее целостное единство. Примером этой формы интеграции может служить метод решения уравнений и неравенств, включающий в себя в качестве составных частей приемы алгебраического и геометрического методов. Система - это высшая ступень интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств. Все формы интеграции показывают, как ранее автономные компоненты (методы решения уравнений и неравенств) образуют те или иные интегративные совокупности.

Основным средством интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств являются задачи. При составлении и отборе задач мы исходили из дидактических оснований построения учебного материала, предложенных И.Я. Лернером, и с учетом закономерностей, сформулированных И.Я. Груденовым, Г.И. Саранцевым, П.А. Шеваревым.

Решение уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов, основанных на принципах математического моделирования, проходит в пять этапов: 1) выяснение возможности рационального решения уравнения алгебраическим способом; 2) определение структуры уравнения, т.е. выяснение, из каких функций и каким образом оно составлено; 3) перевод задачи на геометрический язык, т.е. нахождение необходимой геометрической интерпретации задаваемыми уравнениями; 4) решение получившейся геометрической задачи; 5) перевод ответа с геометрического языка на алгебраический.

Стержневым связующим компонентом методической системы «Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств» является личность, носитель сознания. Личность ученика в образовательной системе занимает центральное место, а его сознание - это важнейший фактор интеграции. Способность ученика к усвоению, формированию и генерации нового знания является важнейшим показателем развивающего образования.

Все компоненты методической системы «Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств» взаимосвязаны. Она не является жесткой системой, так как она изменяется под воздействием внешней среды и, в первую очередь, на нее влияют цели математического образования. Данная методическая система широко использует такие специальные (частные) методы обучения, как математическое моделирование, алгебраический и геометрический методы. Возросла и роль задач. Процесс обучения решению задач является наиболее эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Задача является важным средством обучения математике, ее решение формирует навыки самостоятельной работы, приемы умственной деятельности, учит методам поиска, открывает новые факты, способствует развитию математического мышления и творческих способностей. При этом

интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств ведет к более глубокому усвоению материала.

Во втором параграфе диссертации представлена методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов. Выделены специальные классы уравнений, разработаны приемы их решения, указана технология построения таких уравнений.

Одним из приемов конструирования нестандартных уравнений является обращение неравенств в равенства. Эти уравнения достаточно часто встречаются как среди олимпиадных, так и среди конкурсных заданий. Их решение требует определения неравенства и нахождения условий, при которых это неравенство обращается в равенство. Изучение геометрических неравенств совместно с нетрадиционными приемами решения уравнений заставляет уточнять, обобщать некоторые из них, что делает материал более ценным, крайне важным для укрепления интереса к математике. Решение таких уравнений сводится к решению геометрических задач. Все это способствует развитию у учащихся познавательной инициативы, четкости мышления, стремления к самостоятельной творческой работе и развитию математической интуиции. Поэтому уравнения, построенные обращением геометрических неравенств в равенства, доставляют необходимый материал для обучения интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.

Основная идея конструирования уравнений при помощи обращения геометрического неравенства в равенство поясняется на примере обращения в равенство неравенства треугольника.

Пусть на координатной плоскости ОиУзаданы три точки А, В и С, координаты которых являются функциями аргумента х Обозначим через \АВ\ , |ЛС| И |ВС| длины отрезков с соответствующими концами. Тогда справедливо неравенство Равенство имеет место в том и только в том случае, если точка А лежит на отрезке ВС. Следовательно, можно выделить класс иррациональных уравнений вида

|ЛВ| + |ЛС| = ]ВС|, 0)

решение которых сводится к определению значений х, при которых точка А принадлежит отрезку ВС. Так, например, решается уравнение

^(л-ОЧ^ + г)2 +^х2+А{Х+))2 =У1\7Х2- 24Х+9. Из неравенства треугольника следует, что длина ломаной А1Аг...Ая_хАя не меньше длины отрезка А,А„ и равна ей лишь тогда, когда вершины ломаной Аг, ,Д,_, принадлежат отрезку А1Ап и перенумерованы в порядке следования от Л, к А„. Это позволяет следующим образом конструировать уравнения.

Пусть, например, фиксированный отрезок ВС пересекает прямые /,, /2, ..., /„, перенумерованные в порядке следования точек пересечения от В к С и заданные параметрически и = хп \ = а,х, + Ь,, 1, 2, ..., п соответственно. Пусть А, {х,,а,х, +Ь,) -произвольная точка прямой /,. Тогда уравнение

\ВА1\ + \А,А2\ + ... + \АпС\ = \ВС\ (2)

является уравнением с п неизвестными, его левая часть - это длина ломаной ВА,...А„С, правая часть - это длина отрезка ВС. Поэтому левая часть уравнения не меньше его правой части и равенство имеет место тогда и только тогда, когда точки А, принадлежат отрезку ВС. Отсюда получается, что набор —,*„) будет решением уравнения в том и только в том слу-

чае, когда точки А, - это точки пересечения прямых /, с прямой, проходящей через точки В и С. Заметим также, что это уравнение с п неизвестными равносильно системе п уравнений

'1В41+14СНВС1, |ЯЛ2| + |Л2С| = |ЯС|,

\ВА„\ + \А„С\ = \ВС\,

каждое из которых является уравнением с одним неизвестным.

Более содержательные для обучения интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств получим, если предыдущий прием связать с теоремой косинусов.

Пусть я,, ап - фиксированные положительные числа, а а2, ..., апА -функции от п - 2 переменных xit х2.....х„_2, а„ а2,..., а„А- положительные числа такие, что а = a¡ + аг +...+a„_t < л. Уравнение

л-1 _ _

Z Va-2 + а1\ - 2«Л+1cosa, = Va? + а\ - 2аЛ cosa (3)

i = i

является уравнением с п - 2 неизвестными (переменными). На координатной плоскости ось абсцисс обозначим через Д, Прямую, полученную поворотом против часовой стрелки на угол обо-

значим через /)+| . На каждой прямой /, отложим числа а,, обозначив соответствующую точку . Набор будет решением уравнения (3) в том и только том случае, если точки Д, соответствующие значению функции а, на этом наборе, лежат на отрезке A¡An.

Далее рассматриваются уравнения, построенные следующим образом. Пусть заданы точка В и прямые /(, /2, ..., /„, где п >2 перенумерованы в порядке следования точек пересечения этих прямых с перпендикуляром ВК, опущенным из точки В на прямую 1п (от точки В). Эти прямые заданы

параметрически и = хп v = a,xl+bl, /= 1, 2, ..., п соответственно и А, (х,,а,х, +b,) - произвольная точка прямой /,. Тогда уравнение

!М|+М+-+КЛМ (4),

где d - расстояние от точки В до прямой /п, является уравнением с п неизвестными, его левая часть - это длина ломаной ВА1А2...АГ1. Поэтому левая часть уравнения не меньше его правой части; равенство имеет место лишь тогда, когда точки А, являются точками пересечения прямых /, с отрезком ВК. К такому классу уравнений относится уравнение

\/lOx2 -44* + 50 + -J9{x-yf +(х-4у)2 = 5

Затем изучаются уравнения, решаемые при помощи неравенства Коши - Буняковского |(fií,¿| < |а| • |¿| и неравенства |<з + ¿>| < |а| + |б|, когда координаты

векторов а п~Ь являются функциями одной или нескольких переменных

Имеется достаточно много неравенств для сторон треугольника, которые обращаются в равенства, если только треугольник правильный. Поэтому в работе представлены уравнения, получаемые обращением таких неравенств в равенства, указан способ конструирования таких неравенств с помощью строго выпуклых функций.

Важны и интересны геометрические неравенства, связанные с вписанными фигурами. Это позволяет изучить уравнения и системы уравнений, решения которых основываются на таких геометрических неравенствах. Например, система уравнений

решается за счет следующего утверждения: из всех треугольников, вписанных в окружность радиуса R, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник, и он равен ЗЛл/З.

Кроме того, выясняется условие, когда произвольные четыре точки лежат на одной окружности, и приведены примеры уравнений, решаемых на основе данного условия, например, уравнение

Из этого же условия следует неравенство Птолемея и теорема Помпею, которые также позволяют решать уравнения специального вида. Например, уравнение ^_ ^_ ^_

Далее рассмотрены уравнения, решение которых сводится к определению точек, доставляющих экстремальное значение суммы расстояний от некоторой точки до вершин фигур. В частности, приведем уравнения, решение

которых основано на нахождении точки Торричелли треугольника, т.е. точки, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальная.

Одной из классических экстремальных задач является изопериметриче-ская задача. Это задача нахождения замкнутой кривой определенного вида, которая при заданной длине ограничивает наибольшую площадь. В работе рассмотрены примеры систем уравнений, решение которых основано на изо-периметрических неравенствах и неравенствах, связывающих суммы квадратов длин сторон с площадями треугольников и четырехугольников.

В третьей главе диссертации изложены содержание и методика экспериментального обучения. Оно состояло из трех серий: констатирующей, обучающей и экспериментальной.

Целью констатирующего эксперимента (1999 - 2002 гг.) было определение умения учащихся старших классов школ с углубленным изучением математики применять как алгебраический, так и геометрический методы, так и их сочетание и чередование при решении алгебраических задач. В нем участвовали школьники 11-х классов лицея №4 г. Рузаевки. Учащимся было предложено 5 задач, решение которых основано на использовании геометрического материала. Считалось, что учащийся умеет сочетать и чередовать алгебраический и геометрический методы при решении уравнений, если он при решении уравнений использует не только алгебраические приемы решения, но и геометрические приемы. Ниже следуют примеры таких задач.

Задача 1. При каких значениях параметра а множество решений уравнения а2 -5 = -1/|2х + 1| содержится в промежутке [1;0].

Задача 2. Определить количество корней уравнения соз* = -1[.

Задача 3. Решите уравнение

у/(1 - х)2 + (х - 4)2 + ^х + 4)2 + 4 = ^2х + З)2 + {х - 2)2.

Задача 4. При каком г система уравнений имеет два решения 4-21 + ^ = 3,

{х + 2)2+(у-г)2=т.

Задача 5. Докажите, что уравнение

^х2-3^х + 9 + ^х2 + у2-4Ъху + ^у2-4^у + \6 = 5 равносильно системе уравнений

|л/*2-Зл/Зх + 9 + ^2-4Х + 16 = 5, Уу2 -Зу + 9 + ^у2 -4Лу + \6 = 5.

Найдите их решение.

Полностью с решением контрольной работы не справился ни один учащийся. Задачи 1 и 2 не представили особой трудности для большинства учащихся, поэтому правильное их решение было у 95%. Задачу 4 правильно

решили только 35%. Задачи 3 и 5 являются нестандартными и относятся к классам уравнений и систем, рассматриваемых в данной работе.

Результаты констатирующего эксперимента подтверждаются многолетним опытом вступительных экзаменов в Мордовский госуниверситет на различные факультеты, а также работой подготовительных курсов при МГУ им. Н.П. Огарева. При обсуждении результатов констатирующего эксперимента с ведущими школьными учителями Мордовии удалось выяснить, что низкий процент положительного результата проверочной контрольной работы в большинстве своем обусловлен отсутствием методических разработок и рекомендаций, учитывающих применение сочетания и чередования алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств.

Это обусловило проблему подготовки интегрированного учебного спецкурса «Геометрические неравенства и уравнения».

В обучающем эксперименте (1999 - 2002 гг.) была разработана методика решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов, эта методика внедрялась в школьную практику путем реализации в классах с углубленным изучением математики программы спецкурса «Геометрические неравенства и уравнения», произведена ее общая оценка, внесены необходимые корректировки.

Целью обучающего эксперимента являлось приобретение умений и навыков использования алгебраического и геометрического методов, а также их сочетание и чередование при решении уравнений и неравенств.

Контрольный эксперимент заключался в проверке эффективности предлагаемой методики по сравнению с традиционной. С этой целью после реализации спецкурса среди тех же учащихся была проведена вторая контрольная работа. Данная контрольная работа была составлена из задач более продвинутого уровня, чем контрольная работа 1, но содержала ту же систему выборочных знаний, которая использовалась при проведении констатирующего эксперимента. Все задания были проанализированы с точки зрения овладения деятельностью по использованию как алгебраического так и геометрического метода при решении алгебраических задач. Со всеми задачами справились 24,7% учащихся, 4 задачи выполнили 34,1%, 3 задачи - 31,5%. Анализ данных результатов позволяет сделать вывод о том, что хотя сложность задач повысилась, но количество решаемых задач увеличилось. Также следует отметить, что возросло и качество решения задач за счет применения знаний, полученных в результате изучения разработанного спецкурса. Для оценки существенности различий полученных результатов при двукратном проведении контрольных работ в одной и той же группе учащихся применялся критерий знаков.

Для большей достоверности результатов была проведена контрольная работа в экспериментальных и контрольных группах. Учащиеся, изучающие спецкурс, считались экспериментальной группой, а остальные - контрольной группой. Ставилась задача оценки влияния разработанного спецкурса на применение как алгебраических так и геометрических умений и навыков при

решении задач. Контрольная работа в двух группах была одинаковой и содержала уравнения и системы уравнений, в методах решений которых использовались знания как по алгебре, так и по геометрии. Умение решать задачи алгебраическим и геометрическим методами измерено по шкале порядка, имеющей четыре категории: плохо, посредственно, хорошо и отлично. Также стоит отметить, что весь материал, предложенный в данной контрольной работе, не выходил за рамки курса математики с углубленным изучением. Обработка данных для сравнения новых и традиционных методик в зависимости от профиля и уровня усвоения экспериментальными и контрольными классами проводилась с использованием двухстороннего критерия (х2). Преимущества разработанной методики представлены с помощью диаграммы (рис. 1).

Рис. 1. Диаграмма результатов выполнения контрольной работы контрольными и экспериментальными классами

Таким образом, результаты проведенного эксперимента доказывают справедливость выдвинутой нами гипотезы посредством разработанной методики и о большой ее эффективности.

В процессе нашего исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие результаты и выводы.

1. Анализ научной литературы показывает, что интеграция курсов алгебры и геометрии в школе нецелесообразна в силу разных целей обучения. Содержательные же связи между ними позволяют интегрировать их методы при решении задач, в частности, решений уравнений и неравенств. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств отвечает основным функциям интеграции математического образования, соответствует целевым назначениям интеграции. Такая интеграция способствует реализации как целей обучения алгебре, так и целей обучения геометрии и, что особенно важно, целей углубленного изучения математики в

школе. Она позволяет сконструировать интегрированный учебный спецкурс, непосредственно примыкающий к курсу математики общеобразовательной школы, углубляющий его по идейным линиям и методам решения задач.

2. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств имеет большое значение для повышения качества знаний учащихся в классах с углубленным изучением математики и одновременного развития всех трех компонентов математических способностей (алгоритмического, логического и геометрического). Она позволяет наглядно представить процесс и результат решения многих алгебраических задач, предупреждая тем самым формальный подход к их решению.

3. Методика решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов позволяет привить учащимся умения и навыки геометрического моделирования при решении уравнений и неравенств и их систем. При этом выполняются все три этапа математического моделирования: 1) построение геометрической модели задачи; 2) исследование и решение полученной геометрической задачи; 3) интерпретация результата. Выделенные специальные классы уравнений обогащают тему «Уравнения и неравенства» в образовательном, развивающем и эстетическом отношении, дают дополнительные возможности для организации научно-исследовательской работы учащихся, позволяют обучать учеников в классах с углубленным изучением математики умениям и навыкам, необходимым в дальнейшей профессиональной деятельности, связанной с математикой.

4. Предъявляемый учебный материал для классов с углубленным изучением математики не привлекает новых понятий. Предлагаемые классы уравнений (построенные на основе геометрических неравенств) позволяют отработать навыки и умения интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и познакомиться с таким важным разделом геометрии, как геометрические неравенства. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения способствует эстетическому воспитанию школьников, прививает вкус к изящным и красивым решениям.

5. Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы исследования и доказали, что интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, формирует умение решать задачи, влияет на развитие личности и ее творческие способности, ориентирует на профессии, тесно связанные с математикой.

Все это дает основание считать, что поставленные задачи исследования решены.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Крюкова В.Л. О выборе содержания углубленного курса школьной математики // Тезисы докладов второй конференции молодых ученых Мор-

довского государственного университета им. Н.П. Огарева. - Саранск: Мордовский ун-т, 1997. -С. 17.

2. Крюкова В.Л. К проблеме выбора задач в курсе алгебры и начала анализа // Научные труды III конференции молодых ученых Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева. - Саранск: Мордовский ун-т, 1998.- С. 19.

3. Крюкова В.Л. Задачи «на параметр» - как средство «геометризации» курса алгебры и начала анализа // XXVII Огаревские чтения: в 5 частях. 4.5 (физико-математические, технические науки). - Саранск: СВМО, 1998 -С. 165-166.

4. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Строго выпуклые функции и уравнения // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Тезисы докладов II межрегиональной научной конференции. -Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2001.-С. 164- 165.

5. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Интеграция школьных курсов алгебры и геометрии // Проблемы интеграции естественнонаучных дисциплин в высшем педагогическом образовании: Материалы межвузовской научно- методической конференции. - Н. Новгород: Изд-во НПГУ, 2001. - С. 85 - 87.

6. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Геометрические неравенства и уравнения // Технические и естественные науки: проблемы, теория, практика: Сборник научных трудов. - Саранск: Ковылк. тип., 2002. - С. 103 - 106.

7. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Выпуклые функции по переменной и уравнения // Психолого-педагогические аспекты профессионального образования молодежи (начальное, среднее и высшее): Сборник материалов международной научно-практической конференции. Часть II. - Пенза, 2002. - С.

8. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Интеграция алгебраического и геометрического методов при решении уравнений // Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. - С. 101.

9. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Геометрические неравенства и уравнения // Математика в школе. - 2004. - №9. - С. 64 - 69.

10. Чучаев И.И., Крюкова ВЛ. Геометрические неравенства и уравнения // Математика в школе. - 2004. - №10. - С. 37 - 42.

70-72.

Крюкова В.Л.

Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики. Автореф. дис.... канд. пед. наук. - Орел, 2005. - 19с.

Подписано к печати 31 мая 2005г. Отпечатано в типографии «Рузаевский печатник» Министерства печати и информации РМ с готового оригинал - макета. 431440, г. Рузаевка, ул. Трынова, 67а.

шяш' 743

íá */>¿,fiA il -U-iitJ

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Крюкова, Виктория Леонидовна, 2005 год

Введение.

Глава 1. Теоретические основы интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.

§ 1. Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математики.

§2. Цели и содержание школьного математического образования в школах (классах) с углубленным изучением математики.

§3. Интеграция методов решения уравнений и неравенств.

Выводы по 1 главе.

Глава 2. Методические аспекты интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.

§ 1. Методическая система интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств.

§2. Методика решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов.

2.1. Неравенство треугольника и уравнения.

2.2. Длина ломаной и уравнения.

2.3. Теорема косинусов и уравнения.

2.4. Расстояние от точки до прямой и уравнения.

2.5. Неравенство для векторов и уравнения.

2.6. Правильный треугольник и уравнения.

2.7. Вписанные фигуры и уравнения.

2.8. Экстремальные точки фигур и уравнения.

2.9. Изопараметрические неравенства и уравнения.

Выводы по 2 главе.

Глава 3. Содержание и методика экспериментального обучения.

§ 1. Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента.

§2. Организация, проведение и анализ основных результатов обучающего педагогического эксперимента.

§3. Организация, проведение и анализ основных результатов контрольного педагогического эксперимента.

Выводы по главе 3.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики"

Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения учащимися расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирование у учащихся интереса к предмету, развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Реализация этих задач напрямую связана с содержанием математического образования. В классах с углубленным изучением математики проблема содержания математического образования решается по-разному. Одни - за счет углубления традиционных разделов курса математики средней школы, другие -за счет включения в программу различных разделов высшей математики. Ведущие ученые Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Р.А. Майер, Н.И. Мерлина, В.И. Мишин, Г.Ю. Ризниченко, Г.И. Саранцев, Н.А. Терешин, П.М. Эрдниев и др. едины во мнении, что углубленное изучение математики должно происходить в основном через решение систем задач. Анализ современной педагогической, научно-методической литературы показывает, что многие студенты-первокурсники естественнонаучных и инженерных факультетов, в том числе выпускники школ (классов) с углубленным изучением математики, испытывают серьезные трудности, и прежде всего на первых этапах обучения. Эти трудности достаточно часто связаны с отсутствием навыков геометрической (наглядной) интерпретации, математических абстракций. Поскольку в классах с углубленным изучением математики обучаются, как правило, дети, которые связывают свое будущее со специальностями тесно, связанными с математикой, то еще в средней школе следует готовить их к преодолению вышеупомянутых трудностей.

Современный период развития системы школьного образования характеризуется единством процессов дифференциации и интеграции. Проблема дифференциации обучения математики исследовалась многими ведущими учеными: М.И. Башмаковым, С.В. Воробьевой, В.А. Гусевым, Ю.М. Колягиным, Г.Л. Луканкиным, Т.Х. Пономоревой, Г.И. Саранцевым, Е.Е.Семеновой, И.М. Смирновой, А.А. Столяром, С.Б. Суворовой, Т.Н. Терешиным, М.В. Ткачевой, Р.А. Утеевой, Н.Е. Федоровой, В.В. Фирсовым, И.Э. Унтом и другими.

Интеграционные процессы в педагогике исследовались А.И. Азевичем, Н.С. Антоновым, B.C. Безруковой, М.Н. Берулавой, В.И. Загвязинским,

B.П. Каратеевым, В.Г. Ивановым, С.А. Сергеенко, Г.А. Сулкарнаевой, Н.К. Чапаевой, С.Т. Швецовой ([3], [14], [47], [57], [64], [73], [86], [130], [141], [144], [167], [182], [188]) и др.

Анализ проблем, касающихся интеграции школьных математических дисциплин проводится, главным образом, в рамках таких методико-математических направлений, как реализация внутри - и межпредметных связей (Н.Я. Виленкин, В.А. Далингер, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович и др.), разработка интегрированных курсов (А.И. Азевич, В.Ф. Бутузов, А.С. Симонов, Ю.М. Колягин, Г.Л Луканкин, Н.И. Мерлина, Т.С. Полякова и др.), прикладная направленность (П.Т. Апанасов, С.С. Варданян, И.В. Егорченко, Н.А. Терешин, И.М. Шапиро и др.), укрупнение дидактических единиц (А.К. Артемов,

C.А. Атрощенко, Г.И. Саранцев, П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев и др.), преемственность в обучении математики (Ю.М. Колягин, М.Л. Сагателян, Л.Ю. Нестерова и др.).

В педагогике понятие интеграции рассматривается как процесс и результат создания неразрывно связанного, единого, цельного. В обучении она осуществляется путем слияния в одном синтезированном курсе (теме, разделе программы) элементов разных учебных дисциплин, слияния научных понятий и методов различных дисциплин в общенаучные понятия и методы познания. Интеграцию математического образования можно реализовать через методы, приемы, содержательные линии курса и курсов, использование методов одной дисциплины в другой.

В последнее десятилетие школьная геометрия сильно «алгебраизирова-лась», что привело к уменьшению удельного веса геометрии в школьной математике. Это стало мешать как успешному преподаванию и усвоению геометрии, так и глубокому усвоению алгебры и других предметов. В работе И.Ф. Шарыгина [179] было отмечено: «то, что алгебра помогает геометрии, дает ей свой инструмент для исследования - явление обычное. Но важно и то, что геометрия может оказать большую помощь при обучении алгебре и другим математическим наукам. Всевозможные интерпретации и методы доказательств могут помочь в изучении алгебры, помочь понять смысл формул, вывести их, прочно запомнить. И эти возможности геометрии необходимо использовать»

Ведущим принципом совершенствования методической системы обучения математики является гуманизация математического образования, личностная ориентация обучения математике. Обучение геометрии способствует реализации данного принципа. Геометрическое развитие может быть отнесено к важнейшему фактору, обеспечивающему готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в самых разных областях человеческой деятельности, оно способствует всестороннему развитию учащихся.

Одним из решений данной проблемы могла бы быть «геометризация» курса алгебры. Содержательные связи между этими курсами позволяют интегрировать их методы при решении задач, в частности, решении уравнений и неравенств. Под интеграцией алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств с одной переменной, систем уравнений с двумя переменными обычно понимается интеграция алгебраического и графического методов решения. Эта интерпретация крайне полезна, так как графики функций позволяют наглядно представлять процесс и результат решения многих алгебраических задач, предупреждая тем самым формальный подход к их решению. Для классов с углубленным изучением математики сведение интеграции алгебраического и геометрического методов при решении уравнений и неравенств к интеграции алгебраического и графического методов недостаточно. Оно не позволяет использовать в полном объеме геометрические знания учащихся, возможности школьной геометрии, оценить единство математики, этапы (историю) ее развития и ограничивает возможности формирования у учащихся устойчивого интереса к предмету. Среди конкурсных задач на приемных экзаменах в ведущие вузы достаточно часто встречаются уравнения и неравенства, требующие или геометрического метода решения, или функционального. Одним из способов их конструирования (следовательно, решения) является обращение аналитических неравенств в равенства. Методика обучения учащихся такому приему достаточно хорошо разработана ([4], [40], [137], [162], [163], [171], [172], [173], [174], [175], [185]) и др. Геометрические неравенства - важная часть геометрии, позволяющая более глубоко изучать свойства фигур и связи их компонентов. Этому разделу геометрии в школе недостаточно уделяется внимания даже в классах с углубленным изучением математики. Изучение геометрических неравенств совместно с нетрадиционными (неалгебраическими) приемами решения уравнений позволяет существенно расширить возможности интеграции алгебраического и геометрического приемов решения уравнений.

В своей работе [71] JI.C. Капкаева, долгое время работающая над проблемой интеграции в среднем математическом образовании, отмечает что, «владея отдельно действиями над арифметическими и алгебраическими выражениями и геометрическими действиями, учащиеся не будут владеть деятельностью по решению алгебраических задач геометрическими методами. Для этого необходима специальная работа, направленная на овладение всей совокупностью действий, составляющих названную деятельность».

Проблема исследования заключается в разрешении противоречия между имеющимися потенциальными возможностями интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач в классах с углубленным изучением математики и реально сложившейся практикой обучения математике в школе.

Гипотеза', если разработать методику решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов и внедрить ее в классы с углубленным изучением математики, то качество знаний и умений учащихся повысится.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили решение следующих задач:

5. Раскрыть содержание и методику экспериментального обучения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования'.

- изучение опыта учителей, работающих в классах с углубленным изуче-* нием математики, опыта проведения конкурсных экзаменов в ведущие вузы страны и олимпиад по математике с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования;

- исследование и анализ специальных классов уравнений, решение которых основано на геометрических методах;

- разработки и проведение спецкурса «Геометрические неравенства и уравнения» в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики;

Исследование проводилось поэтапно.

Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций исследования подтверждаются достижениями математики и теоретическими разработками в области психологии, педагогики и методики обучения математике, результатами работы в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики, преподавателями математического факультета Мордовского государственного университета, положительной оценкой методических материалов методистами, учителями, работающими в классах с углубленным изучением математики, проведенным педагогическим экспериментом и статистической обработкой его результатов.

На защиту выносятся:

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде докладов и выступлений на научно - методических семинарах кафедры математического анализа и кафедры общей математики Мордовского государственного университета (1998 - 2004 г.), на научных конференциях университета (1997 - 2004), на межвузовской научно - методической конференции (Н. Новгород, 2001.), на межрегиональной научной конференции (Киров, 2001), на международной научно-практической конференции (Пенза, 2002), на международной конференции (Чебоксары, 2004), обсуждались на страницах журнала «Математика в школе» (№ 9 и № 10, 2004), а также в форме занятий в лицее №4 г. Рузаевки в классах с углубленным изучением математики, практикума по решению задач со студентами математического факультета Мордовского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Основное содержание изложено на 217 страницах машинописного текста. Список использованной литературы составляет 188 наименований.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 3

1) Проведенный педагогический эксперимент показал, что интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики оправдана, ее использование положительно влияет на повышение уровня знаний учащихся и значительно улучшает результаты при формировании таких умений, как умение решать задачи.

2) В ходе эксперимента апробирована и внедрена методика обучения интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств.

3) Предложенный в работе теоретический материал и система задач спецкурса «Геометрические неравенства и уравнения», а так же внедрение его в практику школ (классов) с углубленным изучением математики дает возможность совершенствовать процесс обучения алгебры и начал анализа; позволяет установить тесную взаимосвязь между алгеброй и геометрией; подготавливает учащихся к поступлению в вузы на физико-математические специальности и специальности, тесно связанные с математикой.

4) Экспериментальная проверка эффективности разработанной методики подтвердила положение выдвинутой нами гипотезы.

179

Заключение

Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения учащимся расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирование у учащихся интереса к предмету, развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой. Этому может способствовать содержание настоящей работы.

Сформулируем результаты и выводы, полученные в процессе исследования в соответствии с его целями и задачами:

1. Анализ научной литературы показывает, что интеграция курсов алгебры и геометрии в школе нецелесообразна в силу разных целей обучения и концепций построения. Содержательные же связи между ними позволяют интегрировать их методы при решении задач, в частности, при решении уравнений и неравенств. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств отвечает основным функциям интеграции математического образования, соответствует целевым назначениям интеграции. Такая интеграция способствует реализации как целей обучения алгебре, так и целей обучения геометрии и, что особенно важно, целей углубленного изучения математики в школе. Она позволяет сконструировать интегрированный учебный спецкурс и непосредственно примыкающий к курсу математики общеобразовательной школы, углубляющий его по идейным линиям и методам решения задач.

2. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств имеет большое значение для повышения качества знаний учащихся в классах с углубленным изучением математики и одновременного развития всех трех компонентов математических способностей (алгоритмического, логического и геометрического). Она позволяет наглядно представить процесс и результат решения многих алгебраических задач геометрическим методом, предупреждая тем самым формальный подход к их решению.

3. Методика обучения интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств позволяет привить учащимся умения и навыки геометрическому моделированию при решении уравнений и неравенств и их систем. При этом выполняются все три этапа математического моделирования: 1) построение геометрической модели задачи; 2) исследование и решение полученной геометрической задачи; 3) интерпретация результата. Выделенные специальные классы уравнений (например: а,б) = |а| • Ь , a + b = а + Ь ), обогащают тему «Уравнения и неравенства» в образовательном, развивающем и эстетическом отношении, дает дополнительные возможности для организации научно-исследовательской работы учащихся, позволяет обучать учеников в классах с углубленным изучением математики умениям и навыкам, необходимым в дальнейшей профессиональной деятельности, связанной с математикой.

5. Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы исследования и доказали, что интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации знаний учащихся, формирует умение решать задачи, влияет на развитие личности и ее творческие способности, ориентирует на профессии, тесно связанные с математикой.

Все это дает основание считать, что поставленные задачи исследования решены.

182

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Крюкова, Виктория Леонидовна, Орел

1. Аверьянов А.Н. Системное познание мира: Методологические проблемы. - М.: Политиздат, 1985. - 263 с.

2. Агатипов А.Н. О некоторых видах «нестандартных» уравнений // Математика в школе: - 1969. - № 3. - 49 -52.

3. Азевич А.И. Гуманитарно - интегрированный подход в обучении математике в средней школе: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. — М., 1996.- 16с.

4. Азиев И.К. Решение систем уравнений с тремя переменными с помощью скалярного произведения // Математика в школе. - №6. - 2003. 34-37 .

5. Акулинин В.А. Философия единства: От B.C. Соловьева к П.А. Флоренскому / Отв. ред. Г.А. Антипов. - Новосибирск, 1990. - 158с.

6. Алгебра в 6 - 8 классах: Пособие для учителя / Сост. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. - М.: Просвещение, 1998. - 234 с.

7. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.Н. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1999. - 254 с.

8. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудги-цьш и др. - М.: Просвещение, 1996. - 320 с.

9. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.Н. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 207 с.

10. Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.Н. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 255 с.

11. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. - 1980. - №3. - 56-62 .

12. Александров П.С. Научное содержание школьного курса алгебры // Математика в школе . - 1946. - № 5. - 1-21.

13. Андрусенко В.А. Гносеологические особенности экстраполяции как метода научного познания: Автореф. дис. ... канд. фил. наук. -Свердловск, 1982. - 19 с.

14. Антонов Н.С. Интегративные функции обучения, - М.: Просвещение, 1985.-304 с.

15. Асимов М., Турсунов А. Современные тенденции интеграции общественных, естественных и технических наук // Вопросы философии. -1981 . -№3. - 57-68.

16. Афанасьев В.Г. Общество: системность, познание и управление. — М.: Политиздат, 1981. - 432 с.

17. Афанасьев В.Г. О системном подходе в социальном познании // Вопросы философии. - 1973. - № 6. - 99 - 111.

18. Бабанский Ю.К. Интеграция процесса обучения. - М.: Просвещение, 1992.-78 с.

19. Бабанский Ю.К. Оптимизация педагогического процесса (в вопросах и ответах). - Киев: Радянська школа, 1982. - 200 с.

20. Башмаков М.И. Уровневая и профильная дифференциация // Математика в школе. - 1993. - № 2. - 8 - 9.

21. Башмаков М.И., Резник Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики //Математика в школе. - 1991. - № 1. - 4 - 8.

22. Безрукова B.C. Интеграционные процессы в педагогической теории и практике. - Екатеринбург, 1994. - 152 с.

23. Берулава М.Н. Интеграция содержания образования. — М.: Совершенство, 1998.-192 с.

24. Берулава М.Н. Теория и практика гуманизации образования: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. - 2-е изд., перераб. и доп. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. — 327 с.

25. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М., 1989. - 190с.

26. Блауберг И.В. Филосовско-методические проблемы системного исследования: Автореф. дис. ... докт. фил. наук. - М., 1983. - 40 с.

27. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования. // Математика в школе. - 1988. - № 3. -С. 9 - 1 3 .

28. Болтянский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задач //Математика в школе. - 1988. - № 1. - 8 -14.

29. Большой энциклопедический словарь. - 2-е изд. М.: Большая Российская энциклопедия; СПб.: Норинт, 1997. - 1456 с.

30. Буфеев Авторская программа углубленного изучения математики для 8-11 классов // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 1996. - № 48 - 49. - 1-2.

31. Вол ох В.Н. Геометрическая интерпретация формул и решение задач. Из опыта работы. - Хабаровск.: Книжное издательство, 1970. - 138 с.

32. Воробьева СВ. Теоретические основы дифференциации образовательных программ: Автореф. дис. ... докт. пед. наук. - СПБ ., 1999. - 53 с.

33. Танеев Х.Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике. - Екатеринбург: изд-во Урал. гос. пед. ун-та, 1997. — 160 с.

34. Гильберт Д., Кон-Фоссен Наглядная геометрия: Пер. с нем. /Вступ. слово П.С. Александрова. - 3-е изд. - М.: Наука, 1981. - 344с.

35. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. - 1991. - №4. - 68 - 71.

36. Глейзер Т.Д., Черкасов Р.С. Центр творческих усилий педагогов // Математика в школе. - 1993. - № 5. - 2 -7 .

37. Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. Центр творческих усилий педагогов // Математика в школе. — 1993. - № 6. - 2 - 5.

38. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет // ИЗВУЗ АПН РСФСР. Математика. - 1958. - Вып. 92. - 13-24.

39. Гордина В. Методические основы интеграции среднего математического образования: Дис. ... канд. пед. наук. - Саранск, 2002. - 171с.

40. Гордон В.О. Методы решения олимпиадных задач. Основы теории сравнений. Классические неравенства. - Чита.: Поиск, 1998. - 100с,

41. Готт B.C., Семенюк Э.П., Урсул А.Д. Категории современной науки. - М., Мысль, 1984.-270с.

42. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. — М.: Педагогика, 1987. - 136 с.

43. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике-М.: Педагогика, 1987. - 160с.

44. Гусев В.А. Методические основы дифференциального обз^ения математике в средней школе: Дис. ... докт. пед. наук. -М.,1990. - 381 с.

45. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучение (Логико - психол. проблемы построения учеб. предметов). - М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

46. Далингер В.А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных связей. -Омск: ОмИПКРО, 1993. - 323 с.

47. Данилюк А.Е. Метомарфозы и перспективы интеграции в образовании // Педагогика. - 1998. - №2. - 8 - 12.

48. Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики: Учебное пособие для студентов пед. инст.-ов / Под ред. М.А. Данилова, М.Н. Скаткина. -М. : Просвещение, 1975. - 303 с.

49. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. - № 7. - 59 - 66.

50. Дорофеев Г.В. Непрерывный курс математики в школе и проблема преемственности // Математика в школе. - 1998. - № 5. - 70 - 76.

51. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. - 1990. - № 6. - 2 -5 .

52. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Суворова СБ., Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. -С. 15 -21 .

53. Епишева О.Б. Методическая система обучения математике на основе формирования приемов учебной деятельности учащихся. - Тобольск: ТГПУ, 1999.-174 с.

54. Епишева О.Б. Обучение и развитие учащихся в процессе преподавания математики // Математика. Приложение к 1 сентября. - 1997. - № 4 - 5. - С . 1,16.

55. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности: Кн. для учителей. - М.: Просвещение, 1990.- 128 с.

56. Загвязинский В.И. Внутрипредметная интеграция педагогических знаний // Сов. педагогика. - 1994. - №12. - С 45 - 50.

57. Занков Л.В. Обучение и развитие. - М.: Педагогика, 1975. - 440 с.

58. Зверев И.Д. К вопросу о системе обучения основам наук // Советская педагогика. - 1970. - №6. - 44 - 56.

59. Зверев И.Д. Межпредметные связи как педагогическая проблема // Советская педагогика. - 1974. - № 12. - 10 - 16.

60. Зверев И.Д., Максимова В.Н. Межпредметные связи в современной школе. - М., Педагогика, 1981. - 159 с.

61. Зетель СИ. Задачи на максимум и минимум. М.; Л.: Гос. изд-во тех.- теорет. лит. -1948. - 204 с.

62. Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. — М., 1978. - 128 с.

63. Иванов В.Г. Использование интегративных связей // Среднее профессиональное образование. - 1999. - №2. - 8 — 9.

64. Иванов О.А. Углубленное математическое образование в школе сегодня // Математика в школе. - 2001. - № 2. - 40 - 44.

65. Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: Монография. Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998. - 206 с.

66. Иванова Т.А. Сочетание алгебраических и конструктивных методов решения геометрических задач // Математика в школе. - 1982. - №1. — 36-40 .

67. Интегративные тенденции в современном мире и социальный прогресс /В.И. Купцов, Г. Павельцич, Г. Штайнигер и др..; Под ред. М.А. Розова. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 224 с.

68. Интеграция современного научного знания. Методологический анализ. / Н.Т. Костюк, B.C. Лутай, В. Д. Белогуб и др. - Киев: Изд-во при КГУ « Вища школа», 1984. - 184с.

69. Канин Е.С., Малых Е.В. Еще раз о причинах деградации математических умений//Математика в школе. - 2002.- № 4 . - 50 - 51.

70. Капкаева Л.С. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач.: Учеб. пособие / Морд. гос. пед. ин-та. -Саранск, 2001.-134с.

71. Каратеев В.П. Единство, интеграция, синтез научного знания. - Саратов: Изд- во Саратовского ун-та, 1997 - 176 с.

72. Кедров Б.М. Предмет и взаимосвязь естественных наук. - М.: Наука, 1967.-436 с.

73. Козлов Д. Математика в школе. Какой ей быть? // Математика в школе.- №3 - 2001 - 59-61.

74. Колмогоров А.Н. Математика и профессия - М.: Наука, 1988. - 288с.

75. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. - 1965. - № 4. - 53 - 62.

76. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Как мы понимаем профильное обучение математике в средней школе // Математика. Приложение к 1 сентября. - 1993. - № 21 - 22. - 1.

77. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе - 1990. - №4. -С. 21 -27

78. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. - 2000. - №2. - 13 - 18.

79. Корнилов К.Н. Психология. Учебник для средних школ. - М.: Учпедгиз, 1946-152 с.

80. Костенко Н.П., Захарова Н.М. Причины деградации математических умений и пути ее преодоления // Математика в школе. - 2001, - № 9 -С. 33-35 .

81. Краевский В.В. Методология педагогики: Пособие для педагогов. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. - 244 с.

82. Краевский В.В. Проблемы научного обоснования обучения (методологический анализ). Науч. - исслед. ин-т общей педагогики АПН СССР -М.: Педагогика, 1977. - 264 с.

83. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995. - 176 с.

84. Кузнецова Л.В. О взаимосвязи курсов алгебры и геометрии - В кн.: Преподав. Алгебры в 6-8 кл. / Сост. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. -М.: Просвещение, 1980. - 204 - 217.

85. Кушнир И.А. Координатный и векторный методы решения задач. - Киев.: Астарта, 1996 - 414 с.

86. Левинов A.M. О содержании понятий «навык» и «умение»// Советская педагогика. - 1980. - №3. - 58 -72.

87. Левитов Н.Д. Психология труда. - М.: Учпедгиз, 1963. - 340 с.

88. Леднев B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. 2-е изд. перераб. - М.: Высш. шк., 1991. - 224 с.

89. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М.: Педагогика, 1981. - 186 с.

90. Лернер И.Я, Поисковые задачи в обучении как средство развития творческих способностей // Научное творчество/ Под ред. СР. Микулин-ского, М.Г. Ярошевского. - М.: Наука, 1969. - 413 - 418.

91. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. - М.: Знание, — 1980.- 96 с.

92. Лихачев Б.Т. Педагогика. Курс лекций. Учебное пособие для студентов вузов и слушателей РШК И ФПК и переподготовки научных педагогических кадров.-4-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2000. - 522с.

93. Лунина Л.С. Методика использования геометрического метода при обучении учащихся решению задач в курсе алгебры 6 - 8 классы. Автореферат дис. кан. пед. наук. - Ленинград, 1989. - 19 с.

94. Материалистическая диалектика и структура естественнонаучного знания/ Н.П. Депенчук, СБ. Крымский, М.Д. Ахунов и др. - Киев: Науко-ва Думка, 1980.-352с.

95. Мелюхин СТ. Интеграция научного знания// Философия и современность.-М.- 290с.

96. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. - Минск: Изд- во БГУ, 1982.-256 с.

97. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. соврем, методики математики. - Минск.: Университетское, 1989.-160 с.

98. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов; Сост. Р.С Черкасов, АА. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

99. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканькин, В.Я. Саннинский. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

100. Миракова Т.Н. Дидактические основы гуманизации школьного математического образования: Автореф. дис. ... докт. пед. наук . - М., 2001. -53 с.

101. Ожегов СИ., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка; РАН. Ин-т русс. яз. Р1м. В. Виноградова. - 4-е изд., доп. - М.: Азбуковник, 2000-944 с.

102. Пензина О.П. Реализация принципа гуманизации образования на факультативных занятиях по геометрии старших классов. Дис. ... канд. пед. наук. -М., 2001.-220 с.

103. Перевозщикова Е.Н. Установление связей между алгеброй и геометрией в процессе решения задач. В кн. Роль и место задач в обучении ма-тематике: Сб. науч. тр., вып. VI / Под ред. Ю.М. Колягина. - М.: НИИ школ МП РСФСР, 1979 - 76 - 81.

104. Пидкасистый П.И., Коротяев З.И. Организация деятельности ученика на уроке. - М.: Знание. 1985, - 80 с. - (Новое в жизни, науке и технике. Серия «Педагогика и психология»; №3).

105. Платонов К.К. О знаниях, умениях и навыках // Советская педагогика. -1963 . -№11. -С. 98-103.

106. Платонов К.К., Голубева Г.Г. Психология. - М.: Мысль, 1973. - 216 с.

107. Подласый И.П. Педагогика. Новый курс: Учебник для студ. пед. вузов: В 2 кн. Кн. 1. Общие основы. Процесс обучения - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - кн. 1: Общие основы. Процесс обучения. -574 с.

108. Полонский В.Б., Якир М.С. Ожидаем помощь от математиков профессионалов // Математика в школе. - 1994. - № 2. - 44-45 .

109. Попов В.А. О методах решения алгебраических уравнений // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона: - Периодический сборник научно — методических работ. Вып. 3 — Киров: Изд - во Вятского госпедуниверситета, 2001 - 186 - 198.

110. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4.1. - М. Наука 1995. - 147 с.

111. Программа для общеобразовательных учреждений. Математика (для школ (классов) с углубленным изучением математики). - М.: Просвещение, 1998.-208 с.

112. Программа для школ (классов) с углубленным теоретическим и практическим изучением математики: Объяснительная записка // Математика в школе. - 1990. - № 3. - 32 - 40.

113. Программа по математике (VIII - XI классы) для школ (классов) с углубленным теоретическим и практическим изучением математики: Объяснительная записка // Математика в школе. - 1986. - № 5. -С. 11 - 2 5 .

114. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. - М.: Просвещение, 1994. - 240 с.

115. Развитие общих умений и навыков: Рекомендации Министерства просвещения СССР // Воспитание школьников. - 1984. - №4. - 64 -69.

116. Резник Н.А. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления. Ав-тореф. дис. ... докт. пед. наук. -М, , 1997. - 54 с.

117. Рубанцова Т.А. Филосовско-методические основания гуманизации образования: Автореф. дис. ... докт. филос. наук . - Новосибирск., 2001. -32 с.

118. Рудик П.А. Психология. - М.: Учпедгиз, 1955. - 427 с.

119. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. - 1995. - №5. -С. 36 - 39.

120. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. - Саранск: Тип. «Красный Октябрь», 2001. - 144 с.

121. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Автореф. дис. ... докт. пед. наук. - Л., 1987. -36 с.

122. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях // Математика в школе. - 1999. - № 6. - 36 -41 .

123. Сатьянов П.Г. Задачи графического содержания при обучении алгебры и началам анализа // Математика в школе. - 1987. - №1. - 55 - 60.

124. Семенов Е.Е. Продолжим разговор о дифференциации // Математика в школе.-1994.- № 3 . - 45 - 48.

125. Сергеенко А. Дидактические основы построения интегративных курсов : Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Л., 1992. - 19 с.

126. Скаткин М.И. Проблемы современной дидактики. - 2-е изд. - М.: Педагогика, 1984. - 96 с.

127. Скаткин М.Н. О принципах обучения в советской школе //Сов. Педагогика, 1950.- № 1 - 27 - 44.

128. Скаткин М.Н., Краевский В.В. Содержание общего среднего образования. Проблемы и перспективы. - М.: Знание, 1981. - 96 с.

129. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. - Киев: Рад школа, 1983. - 192 с.

130. Смирнова И.М. Научно - методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Автореф. дис. ... докт. пед. наук. -М. , 1995. - 38 с.

131. Сорокин Г.А. Экстремум и неравенство/ Математика в школе- №1 - 1997. 80-83.

132. Ставская Н.Р. Философские вопросы развития современной науки. (Социологические и методологические проблемы интеграции науки). -М.: Высш. Школа, - 1974. - 231с.

133. Столяр А.А. Педагогика математики. - 3-е изд. - Минск: Вышейная школа, 1986.-414 с.

134. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе.-1990.-№ 6 . - 5 - 7.

135. Сулкарнаева Г.А. Интеграция учебных дисциплин с целью использования учителем валеологического блока для реализации гуманистической концепции образования: Дис. ... канд. пед. наук. - Омск, 1999. - 273 с.

136. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. - 343 с.

137. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. - М.: Знание, 1983. - 96 с. - (Новое в жизни, науке и технике: Сер. «Педагогика и психология»; №3).

138. Таранец Е.В. Интегрированные математические курсы по выбору для учащихся 5 - 9 классов гимназий: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. -Уссурийск., 2001. - 19 с.

139. Теоретические основы процесса обучения в советской школе / Под ред. В.В. Краевского, И.Я. Лернера. - М.: Педагогика, 1989. - 320 с.

140. Теоретические основы содержания общего среднего образования / Под. Ред. В.В. Краевского, И.Я. Лернера. - М.: Педагогика, 1987. - 352 с.

141. Терешина Т.Н. Изучение начал математического анализа в условиях дифференциального учебного процесса в средней школе: Автореф. дис. ... кан. пед. наук. -М. , 1997. - 18 с.

142. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. - 1993. - №4. - 3 - 9.

143. Ткачева М.В. Формирование функциональных умений учащихся: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1997. - 19 с.

144. Тюников Ю.С. Существенные признаки и паспортные характеристики интегративного процесса: Сб. науч. тр. // Интеграционные процессы в педагогической теории и практике / Свердл. Инж. - пед. ин-т. - Свердловск, 1991.-Вып. 2 . -С . 19-20.

145. Унт Н.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990.-192 с.

146. Управление процессом формирования системы качеств знаний учащихся: Методическое пособие. - М.: Изд-во Московского пединститута им. В.И. Ленина, 1990. - 112 с.

147. Урсул А.Д. Интегративно- общенаучные тенденции познания и философия // Вопросы философии. - 1977. - № 1. - 114 - 125.

148. Урсул А.Д. Природа информации. Философский очерк. - М.: Политиздат, 1968.- 287 с.

149. Урсул. А.Д. Философия и интегративно-общенаучные процессы. - М.: наука, 1981.-367 с.

150. Усова А.В. Формирование обобщенных умений и навыков // Народное образование. - 1974. - №3. - 117 - 123.

151. Усова А.В. Формирование учебных умений учащихся // Советская педагогика. - 1982. - №1. - 45 - 48.

152. Утеева Р.А. Дифференцированные формы учебной деятельности // Математика в школе. - 1998. - № 3. - 2 - 9.

153. Федорова Н.Е. Методическое обеспечение профильной дифференциации обучения математике в старших классах средней школы: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1991. - 18 с.

154. Федосеев П.Н. Философия и интеграция знания. // Вопросы философии. - 1978. - № 7. - 16 - 26.

155. Фирсов В.В. Дифференциация как важнейший аспект перестройки школ //Тез. док. Всесоюз. науч. конф. Дифференциация в обучении математике.-М.,-1998.-С. 31 - 33.

156. Фирстов Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств // Математика в школе. - №1. - 2002. - 29 - 33.

157. Фоминых Ю.Ф. Геометрические неравенства //Математика в школе. - №3 - 1999.-С. 53-57 .

158. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. психологии. - М.: Просвещение, 1983. - 160с. - (Псих. - пед. основы обучения в школе)

159. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. Под ред. акад. Б.В. Гнеденко. - М.: Изд - во АПН РСФСР, 1963. - 204с.

160. Цукарь А.Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления. Автореф. дис. ... докт. пед. наук. - М., - 1999.- 51с.

161. Чапаева Н.К. Категориальное поле органической парадигмы интеграции: персоналитико - педагогический процесс: Сб. науч. тр. // Понятийный аппарат педагогики и образования / Отв. ред. В.В. Ткаченко -Екатеринбург. - Вып. 1 . - 1995. - 22 - 40.

162. Чепиков М.Г. Интеграция науки (философский очерк). -2-е изд. - М.: Мысль, 1981.- 276 с.

163. Чепиков М.Г. Интеграция науки. - М.: Мысль, 1975. - 246 с.

164. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Геометрические неравенства и уравнения. Технические и естественные науки // Проблемы, теория, практика: Сб. науч. тр. - Саранск.: Ковылк. тип., 2002. - 103 - 106.

165. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Геометрические неравенства и уравнения // Математика в школе. - 2004. - №9. - 64 - 69.

166. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Геометрические неравенства и уравнения // Математика в школе. - 2004. - №10. - 37 - 42.

167. Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Интеграция алгебраического и геометрического методов при решении уравнений. Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12 — й международной конференции. -Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. - 101

168. Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов Вузов: Авто-реф. дис. ... докт. пед. наук. - М., 1994. - 28 с.

169. Шапоринский С,А. Обучение и научное познание. - М.: Педагогика, 1981.-208 с.

170. Шарыгин И.Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии. - М.: изд - во Московского центра непрерывного математического образования, 2000. - 56 с.

171. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов средней школы. - М: Просвещение, 1991.-383 с.

172. Шварц И.Е. Педагогика школы: учебное пособие в 2-х ч. 4.1. - Пермь 1968.-281с.

173. Швецова СТ. Принципы педагогической интеграции их реализация в процессе методико-математической подготовки учителей начальных классов. Автореф. дис. ... канд. пед. наук. -М. , 1996. - 16 с.

174. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959 - 293 с.

175. Шклярский Д.О., Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии (Серия: «Библиотека математического кружка»). - М., 1974. - 384с.

176. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. - М.: Наука, 1970. - 336 с.

177. Эрдниев П.М. Тенденции развития математического образования // Советская педагогика. - 1990, - № 3. - 34 - 37.

178. Янущик О.В. Интеграция курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств: Учебное пособие.- Томск: Изд-во ТПУ, 2002.-70 с.