Теория и методика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики

Кочетова, Ирина Викторовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Теория и методика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики

Автореферат

Автор научной работы: Кочетова, Ирина Викторовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Саранск
Год защиты: 2008
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Теория и методика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики"

На правах рукописи

КОЧЕТОВА Ирина Викторовна

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗНАНИЙ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ У УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

13 00 02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

003 1В7453

Саранск - 2008

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М Е Евсевьева»

Научный руководитель

доктор педагогических наук, доцент Егорченко Игорь Викторович

Официальные оппоненты

доктор педагогических наук, профессор Зайкин Михаил Иванович

кандидат педагогических наук, доцент Рябухина Елена Александровна

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Ульяновский государственный педагогический университет»

2008 г в -/3

часов на

Защита состоится « заседании диссертационного совета ДМ 212 118 01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени М Е Евсевьева по адресу 430007, г Саранск, ул Студенческая, 11 а, ауд 321

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М Е Евсевьева»

Автореферат разослан и размещен на сайте \\viw пкщм-у^ШЕШ « » ОиШ&МЯ. 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Л С Капкаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В «Стандарте среднего (полного) общего образования по математике» указаны следующие цели математического образования формирование целостного представления о мире, научного мировоззрения учащихся, формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки, средства моделирования явлений и процессов, воспитание культуры личности и отношения к математике как части общечеловеческой культуры, имеющей особую роль в общественном развитии Одними из важных условий достижения этих целей являются фундаментализация математического образования, а также интеграция науки и математического образования, что предполагает формирование у учащихся представлений об объекте и предмете современной математики, приобщение учащихся к творческой, исследовательской деятельности

Проблемы формирования математических понятий, изучения теорем, обучения решению задач исследованы в трудах Г И Саранцева, В А Гусева, Г В Дорофеева, М И Зайкина, Т А Ивановой, Л С Капкаевой и др Различные аспекты проблемы активизации учебной деятельности и повышения качества знаний, умений и навыков школьников исследованы в работах Г Д Глейзера, С Н Дорофеева, Ю М Колягина, М А Родионова, Р А Утеевой и др

Углубленное изучение математических теорий содействует овладению учащимися новыми методами изучения явлений и процессов окружающего мира, а также позволяет раскрыть взаимосвязи курса школьной математики с современной наукой Отечественная школа обладает большим опытом в разработке и реализации углубленного обучения математике В рассматриваемом контексте можно отметить работы М Б Балка, Н Я Виленкина, О Б Епишевой, В М Монахова, И М Смирновой, В В Фирсова, С И Щварцбурда и др

Идеи изучения особенностей математических структур в школьном курсе математики связаны с реформами математического образования и представлены в трудах П С Александрова, А Н Колмогорова и др

В настоящее время в методической литературе представлено значительное количество исследований, посвященных особенностям овладения математическими абстракциями в обучении математике учащихся средней школы В контексте исследования можно отметить работы И В Егорченко, В А Тестова и др Возможности знакомства школьников с математическими структурами раскрываются в ряде диссертационных исследований (И В Васильевой, А Н Колобова, И В Кузнецовой, М Е Сангаловой и мн др) В этих работах рассматриваются отдельные вопросы изучения математических структур Вместе с тем, отсутствует обобщение различных аспектов процесса изучения алгебраических структур, которое позволило бы приблизить содержание школьного курса математики к наиболее важным и образовательно-ценным достижениям современной математики, повысить уровень математической подготовки учащихся, осуществлять формирование научного мировоззрения учащихся, формировать творческие, исследовательские способности учащихся

Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования обусловлена имеющимися противоречиями между

1) необходимостью формирования системы знаний об алгебраических струкгурах и отсутствием целостной концепции изучения структур алгебры в школьном обучении матемагике,

2) возможностью реализации образовательного потенциала школьного курса алгебры и отсутствием соответствующей теории и методического обеспечения, нацеленною на достижение указанных выше целей

Необходимостью разрешения указанных противоречий определяется проблема данного исследования, которая заключается в разработке методики формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики на основе выделения уровней абстрактности алгебраических структур и адекватных им уровней математического мышления

Система знаний об алгебраических структурах включает

1) содержательно-методические линии (числовую, уравнений и неравенств, функциональную, тождественных преобразований, интегрального и дифференциального исчисления и др ) и их обобщение и систематизацию,

2) понятия алгебраической операции, группы, изоморфизма,

3) прикладные аспекты изучения алгебраических структур

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения углубленного изучения ал1 ебраических структур в школьном курсе математики

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа учащихся общеобразовательных учреждений

Предмет исследования - цели, содержание, методы, формы, средства формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики

Гипотеза исследования- качество знаний, умений и навыков школьников в процессе обучения математике будет более высоким, если

1) разработать теоретические основы формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики,

2) создать на этой основе методическое обеспечение и внедрить его в процесс школьного обучения математике

Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили необходимость решения следующих частных задач:

1 Выполнить анализ состояния проблемы исследования в методической, психолого-педагогической литературе и практике обучения математике

2 Исследовать возможности школьного курса математики для формирования у учащихся знаний об алгебраических структурах

3 Определить наиболее важные факторы процесса изучения алгебраических структур в школьном курсе математики

5 Разработать методику формирования системы знаний об алгебраических структурах и выявить аспекты ее реализации в процессе углубленного изучения математики

6 Экспериментально проверить эффективность разработанной методики в практике школьного обучения

Для решения указанных задач использовались методы исследования

- анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования,

- сравнительный анализ учебных планов и программ по математике, учебников и учебных пособий для общеобразовательных учреждений и школ (классов) с углубленным изучением математики,

- изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики,

- статистическая обработка и анализ результатов педагогического эксперимента

К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся системный анализ и концепция дея-тельностного подхода, труды по теории формирования математических понятий, исследования по использованию задач в обучении, работы по проблеме изучения абстракций в школьном курсе математики

Исследование проводилось поэтапно

На первом этапе в рамках констатирующего эксперимента осуществлялся анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования с целью разработки теоретических основ формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики, изучалось состояние исследуемой проблемы в практике обучения

На втором этапе в рамках поискового эксперимента разрабатывалась теория и методические приложения, используемые при формировании системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его результаты, формулировались выводы исследования

Научная новизна выполненного исследования заключается в

- предлагаемом подходе к формированию системы знаний об алгебраических структурах в процессе углубленного изучения математики на основе учета уровней абстрактности алгебраических структур, их видов и адекватных им уровней математического мышления,

- выделении содержательной основы, необходимой в процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах, а также выявлении ее роли и места в обучении математике (см таблицу 2)

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что

- обобщены представления об основных видах и последовательности изучения алгебраических структур в школьном курсе математики,

- исследованы особенности углубленного изучения алгебраических структур на основе учета уровней абстрактности данных структур и соответствую-

щих им уровней математического мышления,

- определены формы, содержание, средства формирования у учащихся знаний об алгебраических структурах и выявлены наиболее оптимальные пути изучения алгебраических структур в процессе углубленного изучения математики

Практическая значимость исследования заключается в разработке конкретной методики формирования системы знаний об алгебраических структурах, использование которой позволит повысить качество математических знаний, навыков и умений учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики

На защиту выносятся следующие положения

1 Процесс изучения алгебраических структур обусловлен 1) уровнями абстрактности алгебраических структур, 2) видами алгебраических структур, 3) уровнями мышления, адекватными данным алгебраическим структурам

2 В процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся средних общеобразовательных учреждений необходимо

1) изучение понятия «алгебраическая операция», что содействует обобщению свойств операций, как в самой алгебре, так и в раскрытии взаимосвязей алгебры с другими предметами,

2) изучение понятия группы, его особенностей и роли в математике, а также прикладной значимости групп в математическом познании человека и построении современной картины мироздания,

3) формирование представлений о сущности изоморфного отображения и его роли в математическом моделировании

3 Перечисленные составляющие процесса формирования системы знаний об алгебраических структурах целесообразно осуществить во взаимосвязи с обобщением и систематизацией числовой линии школьного курса математики и изучением геометрических преобразований (см таблицу 2)

4 Использование разработанного факультативного курса и методики его изучения, нацеленных на овладение указанными выше понятиями (алгебраической операции, изоморфизма, группы) содействует формированию у учащихся системы знаний об алгебраических структурах, а также, повышению качества математических знаний, навыков и умений школьников

Достоверность и обоснованность проводимого исследования, его результатов и выводов обусловлены опорой на основные теоретические положения методики обучения математике, а также результатами педагогического эксперимента и применением при анализе его результатов статистических методов, используемых в педагогических исследованиях

Апробация и внедрение основных положений и результатов исследования проводились в ходе экспериментальной проверки в школьном процессе обучения математике, в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского госпединститута (Саранск, 2003-2007 гг), международной конференции «Интеграция региональных систем образования» (Саранск, 2006 г), Всероссийских научных конференциях «Фундаментальные и прикладные исследования проблем образования» (Санкт-Петербург, 2004 г), «Методология и методика

формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» (Челябинск, 2004 г), «Современное образование научные подходы, опыт, проблемы, перспективы» (Пенза, 2005 г), «Актуальные проблемы образования и педагогики диапо! истории и современности» (Саранск, 2005 г), «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования» (Саранск, 2005 г), «Современный урок математики теория и практика» (Н Новгород, 2005 г), региональных научно-практических конференций «Учитьучителя» (Самара, 2004 г), «Преподавание математики в вузах и школах проблемы содержания, технологии и методики» (Глазов, 2006 г), в виде публикаций в межвузовских сборниках научных трудов «Технические и естественные науки проблемы, теория, эксперимент» (Саранск 2005 г), «Интеграция математической и методической подготовки студентов в педвузе» (Саранск, 2006 г), «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» (Киров, 2007 г), на ежегодных Евсевьевских чтениях (Саранск, 2003-2007 гг), в виде публикации в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2007 г) Результаты исследования опубликованы в журнале «Интеграция образования» (Саранск, 2007 г)

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования, определены проблема и цель научного поиска, раскрыты предмет, гипотеза, теоретическая и практическая значимость исследования, выделены этапы и методы исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту

Первая глава диссертации посвящена теоретическим основам формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики

Идеи реформы математического образования под руководством А Н Колмогорова не были успешно реализованы, поскольку методика обучения математике не имела соответствующего им уровня развития В настоящее время в методике математики используется такой метод исследования как системный анализ, а также реализуется деятеяьностный подход как научная методология методики обучения математике Это дало возможность решения целого ряда важных методических проблем В том числе и исследования особенностей изучения математических структур

Анализ различных учебных пособий свидетельствует об отсутствии общепринятых унифицированных подходов к процессу формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в обучении математике

Обобщенное изучение алгебраических структур целесообразно осуществить в обучении математике старшеклассников, поскольку анализ развития учащихся старшего школьного возраста позволяет отметить такие их качества как

- способность усваивать абстрактный материал,

- достаточно высокий уровень систематизации и обобщения знаний, способности выстраивать логические цепочки рассуждений, аргументировать и доказывать положения,

- склонность к обоснованию фактов, способность к выявлению дедуктивных от ношений, построению логических конструкций,

- высокий уровень развития критичности мышления,

- относительная сформированность познавательных интересов

Анализ процесса обучения математике позволяет выделить ряд существующих недостатков

1) снижение уровня математической подготовки выпускников школ,

2) отсутствие структурности и четкого понимания школьниками взаимосвязей, как между отдельными алгебраическими понятиями, так и разделами школьного курса,

3) неподготовленность учащихся к пониманию ряда важных аспектов, необходимых в процессе формирования научного мировоззрения и современной картины мироздания, овладение которыми необходимо каждому члену современного общества

Перечисленные выше недостатки указывают на необходимость изменений в содержании школьного математического образования и методике обучения математике учащихся средних общеобразовательных учреждений

Одним из средств решения имеющихся проблем является углубленное изучение математики, в частности - факультативные курсы

Выделим следующие критерии отбора содержания факультативного курса

- преемственности содержания основного и факультативного курса,

- целостности содержания,

- научной и практической значимости элементов содержания,

- соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения,

- соответствия содержания возрастным и индивидуальным особенностям развития учащихся,

- соответствия содержания учебно-методического обеспечения существующим временным границам

Под структурой будем понимать совокупность устойчивых связей, обеспечивающих целостность объекта и тождественность самому себе, те сохранение (инвариантность) основных свойств объекта при внешних и внутренних изменениях Определить структуру это значит определить множество объектов произвольной природы, задать отношения, в которых находятся элементы данного множества, постулировать, что данные отношения удовлетворяют условиям - аксиомам этой структуры Математическая структура - это совокупность устойчивых связей, обеспечивающих целостность математического объекта (математической системы, математической модели), которая может быть задана различными способами (аксиоматически, конструктивно, описательно, в виде наглядных образов)

Традиционно выделяют следующие виды математических структур алгебраические, порядковые и топологические В методических исследованиях (В А Тестов) установлено, что в процессе изучения математических структур необходимо сформировать следующие, так называемые, схемы математического мышления логические, алгоритмические, комбинаторные и образно-геометрические

Алгебраическая структура (алгебраическая решетка) - это объект А--<А, О, Л>, где А - непустое множество элементов А~{а, Ь, с, с! }, О -множество алгебраических операций на множестве А, II - множество отношений, заданных на множестве А

Изучение алгебраических структур является «сквозной» линией всего школьного курса математики, в программе которого имплицитно содержатся следующие примеры групп, колец и полей аддитивные группы целых и рациональных чисел, мультипликативная группа рациональных чисел без нуля, кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, кольцо многочленов от одной переменной, мультипликативная группа целых степеней рационального числа, отличного от нуля, аддитивная группа действительных чисел, мультипликативная группа действительных чисел без нуля, поле действительных чисел, группы поворотов и параллельных переносов плоскости, мультипликативная группа степеней числа, отличного от нуля, с рациональными показателями, группа гомотетий, неупорядоченное поле комплексных чисел

Алгебраические структуры являются результатом сложного процесса абстрагирования, который характеризуется многоуровневостью В соответствии с этим формирование математических структур должно проходить поэтапно Обучение при этом следует рассматривать как процесс овладения многоуровневой системой математических абстракций с обязательной опорой на более конкретные и менее абстрактные конструкты

Выделяют следующие уровни алгебраических структур (А Н Колмогоров и др)

1) первичные математические абстракции - число,

2) термы, как предметные константы и переменные,

3) алгебра действительных чисел (как результат систематизации и расширения числовой линии), математический анализ элементарных функций,

4) абстрактные алгебраические теории

Выделены уровни математического мышления, адекватные процессу постепенного возрастания математических абстракций в обучении математике (П X ван Хиле), которые характеризуются

1) математическим мышлением, адекватным первичному восприятию количественных отношений реальной действительности число неотделимо от множества конкретных предметов, операции проводятся непосредственно над множествами предметов,

2) отделением чисел (натуральных, целых, рациональных) от конкретных характеризуемых объектов, оперированием числами, записанными в определенной (десятичной) системе счисления и индуктивным установлением свойств операций,

3) переходом от конкретных чисел к абстрактным буквенным выражениям и «локальным» логическим упорядочением алгебраических объектов и их свойств,

4) дедуктивным построением всей алгебры в заданной конкретной интерпретации, то есть, когда буквы, обозначающие объекты исчисления, применяются в качестве переменных, а операции имеют обычный смысл, построением алгебраической теории в конкретной интерпретации (алгебра действительных чисел),

5) отвлечением от конкретной природы объектов исчисления, от конкретною смысла операций и построение алгебры как абстрактной дедуктивной системы вне всякой интерпретации

На основании исследования комбинаций указанных составляющих выделены следующие уровни изучения алгебраических структур [-V (Таблица 1)

Таблица 1

Уровни изучения алгебраических структур Уровни ал1сбраичсских структур Характеристики уровней математического мышления

I Первичные математические абстракции - число, фиг-ура Математическое мышление, адекватное первичному восприятию количественных отношений реальной действительности число неотделимо от множества конкретных предметов, операции проводятся непосредственно над множествами предметов

и Первичные математические абстракции - число, фигура Отделение чисел (натуральных, целых, рациональных) от конкретных характеризуемых объектов, оперирование числами, записанными в определенной (десятичной) системе счисления, индуктивное установление свойств операций

Ш Термы, как предметные константы и переменные Переход от конкретных чисел к абстрактным буквенным выражениям и «локальное» до1ическое упорядочение алгебраических объектов и их свойств

IV Алгебра действительных чисел (как результат систематизации и расширения числовой линии), математический анализ элемен гарных функций Дедуктивное построение всей алгебры в заданной конкретной интерпретации (построение алгебраической теории в конкретной интерпретации - алгебра действительных чисел)

V Абстрактные алгебраические теории Отвлечение от конкретной природы объектов исчисления, от конкретною смысла операций и поароение алгебры как абстрактной дедуктивной системы вне всякой интерпретации

Анализ диссертационных исследований позволяет отметить целесообразность изучения на втором уровне (Таблица 2) элементарных представлений о системах счисления, элементов теории графов и диаграмм Эйлера-Венна в процессе углубленного изучения математики, а также теории сравнений на примере вычетов по модулю Это обусловлено тем, что обобщение и систематизация числовой линии позволяет проиллюстрировать общность свойств множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел и выявить общие закономерности при формировании представлений о системах счисления, экстраполируя в дальнейшем полученные знания, умения и навыки на более общие числовые системы (комплексные числа и тд) Овладение элементами теории графов и диаграмм Эйлера-Венна необходимо в процессе формирования у учащихся представлений об отображениях множеств, а также возможных способах взаимодействия множеств (пересечении, объединении и т д)

Уровии изучения ал1ебраи- чсских структур Содержание У1 лублснною изучения матемашки ! 1 Содержание факультативного курса «Олсмен гы а «гебраических структур» Таблица 2 Содержание школьного курса матемашки

I Дошкольное образование и первый класс начальной школы

П Элементарные представления о системах счисления Формирование представлений о теории графов и диаграмм Эйлера-Венна Элементы теории сравнений на примере вычетов по модулю Тема «Диаграммы» Графики функций

¡11 Аналогия действий над числами и многочленами Формирование представлений о векторном пространстве в курсе математики средней школы Тема «Многочлены» Тема «Веюоры»

IV Элементы теории отношений Расширение числовых множеств Изучение элементов линейной алгебры на факультативных занятиях в курсе основной школы Понятие алгебраической операции, ее свойст ва Тема «Функции» Систематизация и обобщение знаний учащихся о действительных числах

V Элементы теории групп на примере инвариантов групп симмстрий некоторых многогранников Понятие группы Прикладные аспекты использования теории 1 рупп |!'и'и' изоморфи ша Тема «Движения»

Имеющиеся методические исследования свидетельствуют о целесообразности изучения на третьем уровне аналогии действий над числами и многочленами, формирования представлений о векторном пространстве в курсе математики средней школы

На четвертом уровне обоснована эффективность включения в школьную математику элементов теории отношений, понятия расширения числовых множеств, элементов линейной алгебры

В проведенных исследованиях раскрыта целесообразность изучения в школьном курсе математики на пятом уровне элементов теории групп на примере инвариантов групп симметрии некоторых многогранников

Анализ известных исследований показывает отсутствие обобщенного подхода к проблеме формирования знаний об алгебраических структурах в процессе углубленного изучения математики Ряд работ, выполненных в русле теоретико-множественного подхода (И А Барыбиной, Т Я Федотовой и др ), обладают существенным недостатком переход к абстрактным математическим понятиям осуществлен минуя этап так называемого «чувственного восприятия» В современных исследованиях, нацеленных на изучение отдельных аспектов алгебраических структур (И В Васильевой, А Н Колобова, И В Кузнецовой и др), недостаточно полно раскрыты прикладные аспекты основных алгебраических структур

Указанные недостатки свидетельствуют о том, что в процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах необходимо

1) изучение учащимися понятия «алгебраическая операция», что содействует обобщению свойств операций, как в самой алгебре, так и в раскрытии взаимосвязей алгебры с другими предметами,

2) изучение учащимися понятия группы, его особенностей и роли в математике, а также прикладной значимости групп в математическом познании человека и носфоении современной картины мироздания,

3) формирование представлений о сущности изоморфного отображения и его роли в математическом моделировании

Во второй главе диссертации представлены методические аспекты формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленною изучения математики

Формирование системы знаний об алгебраических структурах у учащихся в рамках углубленного курса математики осущес!Вляется в два этапа 8-9 классы и 10-11 классы Обобщением и систематизацией данного процесса является факультативный курс «Элементы алгебраических структур»

Тематическое планирование и методические рекомендации указанного курса включают три основных раздела

1 Понятие алгебраической операции, ее свойства

В процессе изучения этого раздела учащиеся узнают о возникновении, развитии, взаимосвязях и особенностях числовых множеств как математических структур, исторические аспекты, связанные с интерпретацией и трактовкой числовых множеств, определение алгебраической операции, свойства алгебраических операций, прикладную значимость операций в деятельности человека

Алгебра - часть математики, изучающая алгебраические операции над объектами произвольной природы (векторами, многочленами, матрицами и тд) Изучение учащимися понятия «алгебраическая операция» позволяет обобщить свойства операций в явлениях различной природы, как «внутри» предмета алгебры, так и в процессе раскрытия межпредметных связей

2 Понятие группы Прикладные аспекты использования теории групп

Этот раздел включает исторические аспекты развития понятия группы, сведения об аксиомах группы, прикладные аспекты использования теории групп

Понятие группы представляет собой яркий пример, иллюстрирующий универсальность математики На основе него можно раскрыть многие приложения алгебры и геометрии (например, кристаллические решетки Е С Федорова), идеи универсальности геометрий как групп преобразований на заданном множестве (Эрланген-ская программа Ф Клейна) и неевклидовых геометрий Н Лобачевского, построение теории относительности А Эйнштейна, которая лежит в основе современной картины мироздания, применение в квантовой механике и теории информации

3 Понятие изоморфизма Некоторые аспекты отражения математикой объектов и процессов реального мира

В процессе изучения данного раздела учащиеся овладевают понятием изоморфизма, некоторыми аспектами отражения математикой объектов и процессов реального мира, а также умениями выявлять выполнение условий изоморфизма в процессе моделирования

Изоморфиость отражения математикой явлений реальной действительности характеризует сущность, происхождение, универсальность математических абстракций и особенности соотношения реального и идеального, что содействует формированию научного мировоззрения учащихся

В различных разделах математики, а также ее приложениях часто приходится встречаться с ситуацией, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами произвольной природы Поэтому необходимо использование таких упражнений, в которых рассматриваются операции над объектами нечисловой природы и операции, отличные от «обычных» Приведем пример такого упражнения при формировании понятия группы

При изучении темы «Движения» учащимся предлагается упражнение

Дана картонная модель правильного треугольника и таблица (рис 1) Выяснить, обладает ли множество поворотов Р={ЯВ°, КГЛ\ Р?4№>} относительно операции «сложения» следующими свойствами а) © - алгебраическая операция, обладающая свойством ассоциативности, б) существует нейтральный элемент, в) для каждого элемента множества существует симметричный элемент

Учащимся предлагается экспериментально, осупдествлячг повороты картонной модели треугольника на разные углы, проверить свойства операции «сложения» (сложением двух поворотов считают последовательное их выполнение) Таким образом, в результате системы наводящих упражнений учащимися проверяется выполнимость свойств а) - в), требуемых в задании С помощью учителя формулируются общие правила нахождения нейтрального и симметричного элементов и т д

Например, для определения нейтрального элемента используется правило если операция задана на конечном множестве (таблицей) и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то одна из строк (строка, соответствующая нейтральному элементу), равна строке, расположенной сверху, а столбец,

® гГ

йГ (-¡рю—

я™ - риг /Г

вш Ят Г

Рис 1

соснветствующий нейтральному элементу, равен столбцу, расположенному слева в таблице Верно и обратное.

Итак, нейтральный элемент относительно операции «сложения» ф, заданной таблицей (см рис 1), существует, и таким является элемент

Каждый из трех заданных поворотов имеет обратный ему поворот, дающий в сумме с данным нулевой поворот, который является обратным самому себе ) (Д,20У=Л2ад° и (так как Я1Ж ® В240'

Для определения по таблице симметричного элемента используется правило если операция задана таблицей и существует нейтральный элемент, то симметричные элементы можно найти, выявляя, на пересечении каких строк и столбцов находится нейтральный элемент Например, на пересечении второй строки и третьего столбца таблицы находится нейтральный элемент значит, элемент Я24'1', расположенный над третьим столбцом, является симметричным элементу Ят\ стоящему перед второй строкой (/{по'у[=Иш°.

На этапе усвоения определения понятия группы учащимися выполняется система упражнений на выявление отдельных свойств различных множеств

Далее предлагаются упражнения, нацеленные на проверку выполнения всех аксиом группы на множествах объектов различной природы Приведем пример

Упражнение. Рассмотрите множества Ы, 2, 0 К с операцией сложения, вычитания, умножения, деления, множество векторов на плоскости с операцией сложения, множество многочленов степени п (и степени меньше, либо равной п) с операцией сложения, множество иррациональных чисел с операцией сложения и умножения, множество параллельных переносов и множество поворотов плоскости относительно центра с операцией композиции (операция функция от функции) Составьте таблицу групповых свойств данных множеств Какие из указанных множеств образуют структуру группы? (Таблица 3)

При составлении таблицы формируется совокупность умений определение элементов указанных множеств (натуральные числа, многочлены, параллельные переносы и т д), применение правил выполнения указанных операций, выявление свойств, присущих операции, заданной на множестве - замкнутости множества относительно введенной операции, ассоциативности (сочетательный закон), проверка выполнения аксиом нейтрального и симметричного элемента, установление коммутативности операции (переместительный закон)

На заключительном этапе формирования понятия группы раскрываются применения теории групп в различных сферах деятельности человека (построение современной картины мироздания, применение в кристаллографии, теории информации, квантовой механике)

Экспериментальная проверка разработанной методики формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений города Саранска проводилась в несколько этапов

В ходе констатирующего эксперимента изучалось состояние процесса углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях, проводился анализ учебной и научно-методической литературы На этом этапе выявлялись недостатки существующей практики обучения математике в школе

На следующем эгапе был разработан факультативный курс «Элементы алгебраических структур» для учащихся старших классов

На этапе обучающего эксперимента разработанная методика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики была внедрена и апробирована в школьном учебном процессе

Таблица 3

Множество Операция Замкну- Коммута- Ассоциа- Нейтральный Симмет-

тость тивность тивность элемент ричный

элемент

N Сложение + + + - -

Умножение + + + + -

Вычитание

Деление -

Ъ Сложение + + + + +

Умножение + + + + -

Вычитание + _ _

Деление -

Сложение + + + + +

Умножение + + + + -

Вычитание + _ _ _ _

Деление -

<2'=С>\{0} Умножение + + + + +

Деление + - - - -

к Сложение + + + + +

Умножение + + + + -

Вычитание + - - - -

V- Сложение + + + + +

векторы на

плоскости (в

пространстве)

I- Сложение -

иррадаонапьные Умножение -

числа

Г- Композиция + + + + +

параллельиые

переносы

Р- Композиция + + + + +

повороты

плоскости

относительно

центра

Статистическая обработка результатов исследования проводилась с помощью непараметрического критерия %1 ■ Результаты эксперимента (рис. 2) свидетельствуют о том, что гипотеза исследования подтверждена.

Контрольная группа

Экспериментальная группа

Задания, предложенные в итоговой контрольной работе

Рис.2

В процессе проведенного исследования получены следующие основные выводы и результаты:

1. Процесс изучения алгебраических структур обусловлен (см. таблицу 1):

1) уровнями абстрактности алгебраических структур;

2) видами алгебраических структур;

3) уровнями мышления, адекватными данным алгебраическим структурам.

2. В процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся средних общеобразовательных учреждений необходимо:

1) изучение понятия «алгебраическая операция», что содействует обобщению свойств операций, как в самой алгебре, так и в раскрытии взаимосвязей алгебры с другими предметами;

3) формирование представлений о сущности изоморфного отображения и его роли в математическом моделировании.

3. Перечисленные составляющие процесса формирования системы знаний об алгебраических структурах целесообразно осуществить во взаимосвязи с обобщением и систематизацией числовой линии школьного курса математики и изучением геометрических преобразований (см. таблицу 2).

А. Использование разработанного факультативного курса и методики его изучения, нацеленных на овладение указанными выше понятиями (алгебраической операции, изоморфизма, группы) содействует формированию у учащихся системы знаний об алгебраических структурах, а также, повышению качества математических знаний, навыков и умений школьников.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях

I. Публикации в научных журналах, рекомендованных ВАК

1 Арсентьева (Кочетова), И В Интеграция науки и образования в процессе изучения алгебраических структур школьного курса математики /ИВ Арсентьева//Интеграция образования -2007 - №1 -С 146-152

II. Список публикаций в других изданиях

2 Арсентьева (Кочетова), И В Методология овладения учащимися математическими структурами в процессе обучения /ИВ Арсентьева // Фундаментальные и прикладные исследования проблем образования материалы всерос методол семинара (20-21 мая 2004 г) в 2 т - СПб Изд-во РГПУ им А И Герцена, 2004 - Т 2 - С 268-272

3 Арсентьева, И В Математические структуры и дидактические принципы их изучения в процессе подготовки студентов педвуза /ИВ Арсентьева // «Учить учителя» материалы межвуз науч -практ конф (23-24 ноября 2004 г ) -Самара Изд-во СПГУ, 2004 - С 324-327

4 Арсентьева, И В Изучение математических структур как основа осуществления принципа преемственности в обучении математике /ИВ Арсентьева // Технические и естественные науки проблемы, теория, эксперимент межвуз сб науч тр /Мордов гос ун-т - Саранск, 2005 -Вып 4 -С 50-52

5 Арсентьева, И В Формирование представлений учащихся о математических структурах /ИВ Арсентьева // Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов' материалы XII всерос науч -пед конф (17-19 мая 2004 г ) в 3 ч - Челябинск Изд-во ИИУМЦ «Образование», 2005 -Ч 3 - С 12-15

6 Арсентьева, И В Формирование математических абстракций в процессе обучения математике /ИВ Арсентьева // Современное образование научные подходы, опыт, проблемы, перспективы материалы всерос науч -практ конф «Арте-мовские чтения» (24-25 марта2005 г)-Пенза Изд-воПГПУ,2005 -С 13-14

7 Арсентьева, И В Математические структуры в школьном курсе математики глазами учигеля / И В Арсентьева // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования состояние, перспективы материалы всерос науч конф (4-6 октября 2005 г )/Мордов гос пед ин-т - Саранск, 2005 -С 107-1 il

S Арсентьева, И В Различные подходы к классификации математических структур /ИВ Арсентьева // Актуальные проблемы образования и педагогики диалог истории и современности К 75-летию со дня рождения члена-корреспондента РАО, доктора педагогических наук, профессора Е Г Осовского (1930-2004) материалы всерос науч-практ конф (11-12 октября 2005 г) в4ч / Мордов гос пед ин-г - Саранск, 2005 -Ч 2 -С 182-185

9 Арсентьева, И В Формирование у учащихся представлений об алгебраических структурах на уроках математики /ИВ Арсентьева // Современный урок математики теория и практика материалы всерос науч -практ конф (2930 ноября 2005 i )- H Новгород Изд-во НГПУ, 2005 - С 163-164

10 Арсентьева, И В Формирование представлений о математических струкгурах как средство интеграции науки и образования в процессе обучения математике /ИВ Арсентьева // Интеграция региональных систем образования материалы междунар науч -практ конф (2-3 октября 2006 г ) в 2 ч - Саранск Изд-во Мордов ун-та,2006 - Ч 1-С 219-223

11 Арсентьева, И В Алгебраические структуры в преподавании школьного курса математики /ИВ Арсентьева // Преподавание математики в вузах и школах проблемы содержания, технологии и методики материалы второй региональной науч-практ конф (15-16 декабря 2006 г) /Глазов гос пед ин-т -Глазов, 2006 - С 44-50

12 Арсентьева, И В Изучение алгебраических структур учащимися старших классов на факультативных занятиях /ИВ Арсентьева // Интеграция математической и методической подготовки студентов в педвузе межвуз сб науч гр /Мордов гос пед ин-т - Саранск, 2006 -С 180-185

13 Арсентьева, И В Мировоззренческий потенциал изучения алгебраических структур курса математики / И В Арсентьева // Педагогическая наука и образование проблемы, региональные особенности и перспективы развития материалы всерос науч-практ конф (11-12 октября 2006 г) в4ч / Мордов гос пед ин-т - Саранск, 2006 - Ч 3 - С 95-98

14 Арсентьева, И В Мез одические аспекты изучения понятия группы на факультативе в школьном курсе математики / И В Арсентьева // Математический вестник педвузов и ун-тов Волго-Вятского региона межвуз сб науч -метод работ - Киров-Изд-во ВятГГУ, 2007 -Вып 9 -С 157-162

15 Арсентьева, И В Изучение алгебраических структур в школьном курсе математики / И, В Арсентьева // Обозрение прикладной и промышленной математики -2007 - Том 14 Вып 2 -С 260-261

Бумага офсепш Формаг 60x84 1/16 Гарнитура Тайме Печать способом ризографии Уел печ л 1,34 Уч-изд л 1,64 Тираж 100 экз Заказ № 93

Отпечатано с оригинала-макета заказчика в ООО «Референт» 430000, г Саранск, пр Ленииа, 21 тел (8342)48-25-33

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Кочетова, Ирина Викторовна, 2008 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗНАНИЙ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ У УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ.

1.1 Анализ проблемы формирования системы знаний об алгебраических структурах в процессе обучения математике в научно-методической литературе.

1.2 Психолого-педагогические основы формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений.

1.3 Углубленное изучение математики: цели, содержание, формы.77777.7 .77777 7777777777.77777. 7. 7.

1.4 Математические структуры. Содержательные аспекты изучения математических структур в школьном курсе математики.

1.5 Классификации уровней математических структур.

1.6 Особенности формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗНАНИЙ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ У УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ.

2.1 Пропедевтика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики.

2.2 Методические аспекты реализации факультативного курса «Элементы алгебраических структур».

2.2.1 Содержание и формы учебной деятельности в процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах в углубленном изучении математики.

2.2.2 Методические особенности изучения факультативного курса «Элементы алгебраических структур».

2.3 Результаты педагогического эксперимента.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Теория и методика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики"

В «Стандарте среднего (полного) общего образования по математике» указаны следующие цели математического образования: формирование целостного представления о мире, научного мировоззрения учащихся, формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки, средства моделирования явлений и процессов, воспитание культуры личности и отношения к математике как части общечеловеческой культуры, имеющей особую роль в общественном развитии. Одними из важных условий достижения этих целей являются фундаментализация математического образования, а также интеграция науки и математического образования, что предполагает формирование у учащихся представлений об объекте и предмете современной математики, приобщение учащихся к творческой, исследовательской деятельности.

Проблемы формирования математических понятий, изучения теорем, обучения решению задач исследованы в трудах Г.И. Саранцева, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, М.И. Зайкина, Т.А. Ивановой, JI.C. Капкаевой и др. Различные аспекты проблемы активизации учебной деятельности и повышения качества знаний, умений и навыков школьников исследованы в работах Г.Д. Глейзера, С.Н. Дорофеева, Ю.М. Колягина, М.А. Родионова, Р.А. Утеевой и др.

Углубленное изучение математических теорий содействует овладению учащимися новыми методами изучения явлений и процессов окружающего мира, а также позволяет раскрыть взаимосвязи курса школьной математики с современной наукой. Отечественная школа обладает большим опытом в разработке и реализации углубленного обучения математике. В рассматриваемом контексте можно отметить работы М.Б. Балка, Н.Я. Виленкина, О.Б. Епишевой, В.М. Монахова, И.М. Смирновой, В.В. Фирсова, С.И. Шварцбурда и др.

Идеи изучения особенностей математических структур в школьном курсе математики связаны с реформами математического образования и представлены в трудах П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова и др.

В настоящее время в методической литературе представлено значительное количество исследований, посвященных особенностям овладения математическими абстракциями в обучении математике учащихся средней школы. В контексте исследования можно отметить работы И.В. Егорченко, В.А. Тестова и др. Возможности знакомства школьников с математическими структурами раскрываются в ряде диссертационных исследований (И.В. Васильевой, А.Н. Колобова, И.В. Кузнецовой; М.Е. Сангаловой и мн. др.). В этих работах рассматриваются отдельные вопросы изучения математических структур. Вместе с тем, отсутствует обобщение различных аспектов процесса изучения алгебраических структур, которое позволило бы: приблизить содержание школьного курса математики к наиболее важным и образовательно-ценным достижениям современной математики; повысить уровень математической подготовки учащихся; осуществлять формирование научного мировоззрения учащихся; формировать творческие, исследовательские способности учащихся.

Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования обусловлена имеющимися противоречиями между:

1) необходимостью формирования системы знаний об алгебраических структурах и отсутствием целостной концепции изучения структур алгебры в школьном обучении математике;

2) возможностью реализации образовательного потенциала школьного курса алгебры и отсутствием соответствующей теории и методического обеспечения, нацеленного на достижение указанных выше целей.

Система знаний об алгебраических структурах включает:

1) содержательно-методические линии (числовую, уравнений и неравенств, функциональную, тождественных преобразований; интегрального и дифференциального исчисления и др.) и их обобщение и систематизацию;

2) понятия алгебраической операции, группы, изоморфизма;

3) прикладные аспекты изучения алгебраических структур.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения углубленного изучения алгебраических структур в школьном курсе математики.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа учащихся общеобразовательных учреждений.

Гипотеза исследования: качество знаний^ умений и навыков школьников в процессе обучения-математике будет более высоким, если:

1) разработать теоретические основы формирования,системы.знанийоб' алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики;

2) создать на этой основе методическое обеспечение и внедрить его в процесс школьного обучения математике.

Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили необходимость решения следующих частных задач:

1. Выполнить анализ состояния проблемы исследования в методической, психолого-педагогической литературе и практике обучения математике.

2. Исследовать возможности школьного курса математики для формирования у учащихся знаний об алгебраических структурах.

3. Определить наиболее важные факторы процесса изучения алгебраических структур в школьном курсе математики.

4. Разработать методику формирования системы знаний об алгебраических структурах и выявить аспекты ее реализации в процессе углубленного изучения математики.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики в практике школьного обучения.

Для решения указанных задач использовались методы исследования:

- анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования;

- изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики;

- статистическая обработка и анализ результатов педагогического эксперимента.

К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся: системный анализ и концепция деятельностного подхода; труды по теории формирования математических понятий; исследования по использованию задач в обучении; работы по проблеме изучения абстракций в школьном курсе математики.

Исследование проводилось поэтапно.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его результаты, формулировались выводы исследования.

Научная новизна выполненного исследования заключается в:

- выявлении различных факторов, влияющих на формирование и развитие системы знаний об алгебраических структурах в процессе углубленного изучения математики учащимися общеобразовательных учреждений; выделении содержательной основы, необходимой в процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах, а также выявлении ее роли и места в обучении математике (см. таблицу 2).

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что: обобщены представления об основных видах и последовательности изучения алгебраических структур в школьном курсе математики; „ исследованы особенности углубленного изучения алгебраических структур на основе учета уровней абстрактности данных структур и соответствующих им уровней математического мышления;

На защиту выносятся следующие положения:

1. Процесс изучения алгебраических структур обусловлен: 1) уровнями абстрактности алгебраических структур; 2) видами алгебраических структур; 3) уровнями мышления, адекватными данным алгебраическим структурам.

2. В процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся средних общеобразовательных учреждений необхд^имэучение понятия «алгебраическая операция», что содействует обобщению свойств операций, как в самой алгебре, так и в раскрытии взаимосвязей алгебры с другими предметами;

3) формирование представлений о сущности изоморфного отображения и его роли в математическом моделировании.

4. Использование разработанного факультативного курса и методики его изучения, нацеленных на овладение указанными выше понятиями (алгебраической операции, изоморфизма, группы) содействует формированию у учащихся системы знаний об алгебраических структурах, а также, повышению качества математических знаний, навыков и умений школьников.

Апробация и внедрение основных положений и результатов исследования проводились в ходе экспериментальной проверки в школьном процессе обучения математике; в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского госпединститута (Саранск, 2003-2007 гг.); международной конференции «Интеграция региональных систем образования» (Саранск, 2006 г.);

Всероссийских научных конференциях: «Фундаментальные и прикладные исследования проблем образования» (Санкт-Петербург, 2004 г.), «Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» (Челябинск, 2004 г.), «Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы» (Пенза, 2005 г.), «Актуальные проблемы образования и педагогики: диалог истории и современности» (Саранск, 2005 г.), «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования» (Саранск, 2005 г.), «Современный урок математики: теория и практика» (Н. Новгород, 2005 г.); региональных научно-практических конференций «Учить учителя» (Самара, 2004 г.), «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (Глазов, 2006 г); в виде публикаций в межвузовских сборниках научных трудов: «Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент» (Саранск, 2005 г.), «Интеграция математической и методической подготовки студентов в педвузе» (Саранск, 2006j\)3 «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» (Киров, 2007 г.); на ежегодных Евсевьевских чтениях (Саранск, 2003-2007 гг.); в виде публикации в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2007 г.). Результаты исследования опубликованы в журнале «Интеграция образования» (Саранск, 2007 г.).

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ

1. Формирование системы знаний об алгебраических структурах у учащихся в процессе углубленного изучения математики целесообразно осуществлять в два этапа: 8-9 классы и 10-11 классы. Обобщением и систематизацией данного процесса является факультативный курс «Элементы алгебраических структур» в рамках углубленного изучения математики.

II. Содержание обобщающего факультативного курса «Элементы алгебраических структур» включает следующие вопросы:

1. Понятие алгебраической операции, ее свойства.

Исторические аспекты развитие числовых множеств как алгебраических структур. Понятие алгебраической операции. Свойства алгебраических операций.

2. Понятие группы.

Исторические аспекты развития понятия группы как алгебраической структуры. Понятие группы. Прикладные аспекты использования теории групп.

3. Изоморфизм.

Понятие взаимнооднозначного соответствия. Изоморфизм групп. Изучение некоторых классов элементарных функций с привлечением понятия изоморфизма групп.

III. Проведенное экспериментальное исследование показало, что содержание предлагаемой методики формирования системы знаний об алгебраических структурах в процессе углубленного изучения математики, в частности факультативного курса «Элементы алгебраических структур», доступно для учащихся и эффективно в контексте рассматриваемой проблематики. Экспериментально установлено, что использование разработанной методики способствует повышению качества математических знаний, навыков и умений учащихся.

155

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе теоретического и экспериментального исследований в соответствии с его целью и задачами была подтверждена справедливость гипотезы исследования и получены следующие основные результаты и выводы.

1. Процесс изучения алгебраических структур обусловлен:

- уровнями абстрактности алгебраических структур: первичные математические абстракции — число, фигура; термы, как предметные константы и переменные; алгебра действительных чисел (как результат систематизации и расширения числовой линии), математический анализ элементарных функций; абстрактные алгебраические теории;

- уровнями мышления, адекватными данным алгебраическим структурам: 1) математическое мышление, адекватное первичному восприятию количественных отношений реальной действительности: число неотделимо от множества конкретных предметов, операции проводятся непосредственно над множествами предметов; 2) уровень мышления, на котором числа (натуральные, целые, рациональные) отделены от конкретных характеризуемых объектов, оперирование числами, записанными в определенной (десятичной) системе счисления, индуктивное (на основе эмпирической деятельности) установление свойств операций; 3) переход от конкретных чисел к абстрактным буквенным выражениям и «локальное» логическое упорядочение алгебраических объектов и их свойств; 4) дедуктивное построение алгебры в заданной конкретной интерпретации; 5) отвлечение от конкретной природы объектов исчисления и конкретного смысла операций, построение алгебры как абстрактной дедуктивной системы вне всякой интерпретации.

На основании анализа указанных составляющих выделены уровни процесса изучения алгебраических структур (см. таблицу 2).

3) формирование представлений о сущности изоморфного отображения и его роли в математическом моделировании.

4. Система знаний об алгебраических структурах включает:

1) содержательно-методические линии (числовую, уравнений и неравенств, функциональную, тождественных преобразований, интегрального и дифференциального исчисления и др.) и их обобщение и систематизацию;

2) понятия алгебраической операции, изоморфизма, группы;

3) прикладные аспекты изучения алгебраических структур.

5. Разработан факультативный курс «Элементы алгебраических структур», нацеленный на формирование системы знаний об алгебраических структурах, включающий следующие вопросы: понятие алгебраической операции, ее свойства; понятие группы, прикладные аспекты использования теории групп; понятие изоморфизма.

6. Результаты педагогического эксперимента свидетельствуют о том, что использование разработанного факультативного курса и методики его изучения, нацеленных на овладение указанными выше понятиями (алгебраической операции, изоморфизма, группы) содействует формированию у учащихся системы знаний об алгебраических структурах, а также, повышению качества математических знаний, навыков и умений школьников.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Кочетова, Ирина Викторовна, Саранск

1. Абрамова, Н.Т. Целостность и управление / Н.Т. Абрамова. — М.: Наука, 1974.-С. 14-19.

2. Аверьянов, А.Н. Системное познание мира / А.Н. Аверьянов. — М., 1985.-43 с.

3. Акофф, Р. О целеустремленных системах / Р. Акофф, Ф. Эмери. -М.: Экономика, 1974. 234 с.

4. Аксенова, Г.И. Психология и педагогика становления субъекта / Г.И. Аксенова. Рязань, 1999. - 208с.

5. Алгебра 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, и др.. М.: Просвещение, 1998. - 223 с.

6. Алгебра для 8 кл.: Учеб пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, и др.. М.: Просвещение, 1991. - 256 с.

7. Алгебра м начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, и др.. М.: Просвещение, 2001. - 383 с.

8. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. / Ш.А. Алимов, и др.. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 254 с.

9. Алгебра: Учеб. для 7 кл. ср. шк. / Ш.А. Алимов, и др.. М.: Просвещение, 1991. - 191 с.

10. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, и др.. М.: Просвещение, 2000. - 287 с.

11. Алгебра: Учеб. для 8 кл. ср. шк. / Ш.А. Алимов, и др.. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 239 с.

12. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, и др..- М.: Просвещение, 2000. 287 с.

13. Алгебра: Учеб. для 9 кл. ср. шк. / Ю.Н. Макарычев, и др.. М.: Просвещение, 1990. — 272 с.

14. Алгебраические дроби: Учеб. пособие по математике для 7-го класса / Э.Г. Гельфман, и др.. Томск: Изд-во Том. ун-та. - 1994. - 288 с.

15. Александров, П.С. Введение в теорию групп / П.С. Александров. -М. Наука, 1980.-143 с.

16. Амосова, Н.В. Движения, группы движений и их приложения в системе факультативных курсов по математике в 8-10-х классах средней школы: дис. . .канд. пед. наук / Н.В. Амосова М., 1987.

17. Арсентьева, И.В. Интеграция науки и образования в процессе изучения алгебраических структур школьного курса математики / И.В. Арсентьева//Интеграция образования. 2007. - № 1 (46).-С. 146-152.

18. Арсентьева; И.В. Изучение алгебраических структур в школьном курсе математики / И.В. Арсентьева // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 14. Вып. 2. Москва, 2007. - С. 260-261.

19. Архангельский, А.В. О сущности- математики и фундаментальных математических структурах / А.В. Архангельский // История и методология естественных наук. Математика, механика: Сборник. — М., 1986. — Вып. XXXII.-С. 14-29.

20. Архангельский, С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы / С.И. Архангельский. — М.: Высшая школа, 1980.

21. Барыбина, И.А. Элементы современной алгебры на факультативных занятиях в средней школе: автореф. дис. . канд. пед. наук / И.А. Барыбина.-М., 1978.-16 с.

22. Башмаков, М.И. Математика: Учеб. пособие для 10-11 кл. гума-нит. профиля / М.И. Башмаков. М.: Просвещение, 2004. — 336 с.

23. Береснева, Э.П. Изучение элементов линейной алгебры на факультативных занятиях по математике: дис. . канд. пед. наук / Э.П. Береснева. — Смоленск, 1981. — 170 с.

24. Битинас, Б.П. Многомерный анализ в педагогике и педагогической психологии / Б.П. Битинас. Вильнюс, 1971. - 377 с.

25. Богоявленский, Д.Н. Психология усвоения знаний / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская. М., 1959. - 347 с.

26. Боковнев, О.А. Система изучения векторных пространств и линейного программирования на специальном факультативном курсе в старших классах средней общеобразовательной школы: дис. .канд. пед. наук / О.А. Боковнев. 1969. - 162 с.

27. Большой толковый психологический словарь / Ребер Артур (Penguin). Том 2 (П-Я): Пер. с англ. М.: Вече. ACT, 2000. - 560 с.

28. Бурбаки, Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра / Н. Бурбаки. М.: Наука, 1962. — 516 с.

29. Бурбаки, Н. Архитектура математики / Н.Бурбаки // Очерки по истории математики. М.: Изд. иностр. лит., 1965. - С. 245-259.

30. Бурбаки, Н Общая топология. Основные структуры/Н Бурбаки.-М, 1958.

31. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. — М.: Изд. иностр. лит., 1963. — 292 с.

32. Буфеев, С. Авторская программа углубленного изучения математики для 8-11 классов / С. Буфеев // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 1996. - № 48-49.

33. Бычкова, Г.Н. Методика изучения основных понятий современной алгебры и формирование понятий о предмете алгебры в восьмилетней школе: дис. .канд. пед. наук / Г.Н. Бычкова. -М., 1975. 198 с.

34. Васильева, И.В. Обобщение знаний о числовых множествах на основе понятия «алгебраическая структура» в классах с углубленным изучением математики: дис. . .канд. пед. наук / И.В. Васильева. СПб, 2002. - 185 с.

35. Вечтомов, Е.М. Философия математики: монография / Е.М. Вечтомов. Киров: Изд-во ВятГГу, 2004. - 192 с.

36. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, и др.. — 3-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 1992. 335 с.

37. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, и др.. 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 228 с.

38. Виленкин, Н.Я. Современные основы школьного курса математики: пособие для студентов пед. ин-тов / Н.Я Виленкин, и др.. М.: Просвещение, 1980. 240 с.

39. Выготский, B.C. Избранные психологические исследования / B.C. Выготский. М., 1956.

40. Гайбуллаев, Н.Р. Практическая направленность обучения математике в школе / Н.Р. Гайбуллаев. Ташкент: «Фан», 1987 - 118 с.

41. Гаттеньо, К. Педагогика математики / К. Гаттеньо // Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. 163 с.

42. Гинзбург, Г.А. Некоторые понятия общей алгебры (группы, кольца, поля) в школьном курсе математики: автореф. дис. .канд. пед. наук / Г.А. Гинзбург. Л., 1969. - 18 с.

43. Глейзер, Г.Д. Цели общего образования в современном мире / Г.Д. Глейзер // Инновации и традиции в образовании. Белград, 1996. - С.93-104.

44. Глейзер, Г.И. История математики в средней школе / Г.И. Глейзер М.: Просвещение, 1970. - 318с.

45. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. -М.: Педагогика, 1977. 136с.

46. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике / Я.И. Груденов. -М.: Педагогика, 1987. 160 с.

47. Депман, И.Я. История арифметики: пособие для. учителя / И.Я. Депман. -М.: Учпедгиз, 1959:-289с.

48. Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного-математического образования / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. — 1990. — № 6. С. 2-5.

49. Дорофеев, С.Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности: монография / С.Н: Дорофеев. — Пенза: Ин-формац.-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2002. 218с.

50. Дунаев, В.В. Занимательная математика. Множества и отношения. / В.В. Дунаев СПб.: БХВ-Петербург, 2008. - 336 с.

51. Дьедоне, Ж. Абстракция в математике и, эволюция алгебры / Ж. Дьедоне // Преподавание математики. М.: Учпедгиз, 1960. - 163 с.

52. Егорченко И.В. Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы: монография / Мордов. гос. пед. ин-т. Саранск, 2003. - 286 с.

53. Егорченко, И.В. Реальность в обучении математике: теория и практика: монография/ И.В. Егорченко / Мордов. гос. пед. ин-т. Саранск, 2001.- 184с.

54. Епишева, О.Б. Некоторые приемы проведения факультативных занятий / О.Б. Епишева // Математика в школе. - 1978. - № 3. - С. 65-68.

55. Ермаков Д.С. Элективные курсы для профильного обучения // Педагогика. 2005. - № 2. - С. 36-41.

56. Жохов, A.JI. Как помочь формированию мировоззрения школьников: книга для учителя и не только для него / A.JI. Жохов. — Самара: Изд-во СамГПУ, 1995.-288с.

57. Зайкин, М.И. Способ структурирования учебного материала по математике / М.И. Зайкин // Совершенствование содержания математического образования в школе и вузе: межвуз. сб. научн. тр. — Саранск: Из-во Морд, гос. ун-та, 1998.-С. 31.

58. Захарова, А.В. Психология обучения старшеклассников / А.В. Захарова. М.: Знание, 1976. - 64 с.

59. Зубрилин, А.А. Элективные курсы: технология составления квалификационной характеристики учащегося / А.А. Зубрилин, С.В. Малясова // Информатика и образование. 2007. - № 2. - С. 78-84.

60. Зубрилин, А.А. Технология разработки элективных курсов / А.А. Зубрилин, И.С. Паркина // Информатика и образование. 2006. — №1. — С. 8-11.

61. Иванова, Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: монография / Т.А. Иванова. Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1998. - 206 с.

62. Иванова, Т.А. Методология научного поиска основа технологии развивающего обучения / Т.А. Иванова // Математика в школе. - 1995. — №5 -С. 25-28.-

63. Иванова, Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования: дис. д-ра пед. наук: Нижний Новгород, 1998.

64. Капкаева, JI.C. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач: учеб. пособие для- студ. мат. спец. пед. вузов. / JI.C. Капкаева. — Саранск, 2001. 134с.

65. Каплунович, И.Я. Диагностика и развитие образного мышлени. учащихся в процессе преподавания истории: методическое пособие И .Я. Каплунович, Е.А. Круглова. Великий Новгород: НРЦРО, 2001. — 60 с.

66. Каплунович, И.Я. Развитие пространственного мышлени. школьников в процессе обучения математике: учеб. пособие / И.Я. Каплуно вич. Новгород: НРЦРО, 1996. - 100 с.

67. Каспаржак, А.Г. Место элективных курсов в учебном, плане шко лы / А.Г. Каспаржак // Элективные курсы в профильном обучении; Мини—стерство образования РФ Национальный фонд- подготовки- кадров. - М

68. Вита-Пресс, 2004. С. 68-85.

69. Кедровский, О.М. Методологические проблемы развития матема= тического познания / О.М. Кедровский. Киев: Вища шк., 1977. - 230 с:

70. Колмогоров, А.Н. Геометрия: учеб. пособие для. 8 кл. сред. шк. -А.Н. Колмогоров, и др. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1981. - 384с.

71. Колмогоров, А.Н. Математика наука и профессия / А.Н. Колмо= горов. - М-: Наука, 1988.

72. Концепция математического образования в 12-летней1 школ^ проект и математика // Еженедельное учебно-методическое приложение к га= зете «Первое сентября». №7. - 2000. - С.2.

73. Концепция профильного обучения-на старшей ступени общег«= образования //Информатика и образование. 2003. №6. С.3-13.

74. Краткий психологический словарь / Сост. JI.A. Карпенко; Под>обп= ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. -М.: Политиздат, 1985. 431 с.

75. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач / В.И. Крупич. М.: «Прометей» Mill У, 1995. -166 с.

76. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

77. Кузнецова, И.В. Элементы высшей алгебры и методика их изучения на факультативных занятиях в средней школе: дис. .канд. пед. наук / И.В. Кузнецова. Архангельск, 2000. - 183 с.

78. Ларин, С.В. Что такое натуральные числа?: Кн. для учащихся / С.В. Ларин. — М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. — 78 с.

79. Левитов, Н.Д. Психология старшего школьника / Н.Д. Левитов. -М.: Учпедгиз, 1955. -215 с.

80. Леднев, B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы / B.C. Леднев. М.: Высшая школа, 1991. - 212 с.

81. Леднев, B.C. Содержание общего среднего образования: Проблемы структуры / B.C. Леднев. М., 1980. - 264 с.

82. Лейтес, Н.С. Умственные способности и возраст / Н.С. Лейтес. — М.: Педагогика, 1971.-277 с.

83. Ленин, В.И. Конспект «Науки логики». Учение о понятии / В.И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, с. 149-218.

84. Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности / И.Я. Лер-нер. М.: Знание, - 1980.

85. Лихнерович, А. Проникновение духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию / А. Лихнерович // Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. 163 с.

86. Лялькина, А.Т. Методика изучения и применения элементов теории отношений в восьмилетней школе: автореф. дис. .канд. пед. наук / А.Т. Лялькина. -М., 1975. 21 с.

87. Маркова, А.К. Психология обучения подростка / А.К. Маркова. -М.: Знание, 1975.-64 с.

88. Математика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. — М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. 845 с.

89. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, и др.. 3-е изд. — М.: Дрофа, 1999.-288 с.

90. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, и др.. М.: Дрофа,1999.-304 с.

91. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, и др.. М.: Дрофа,2000. 352 с.

92. Математика: 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, и др.. М.: Дрофа, 1995. - 416 с.

93. Математическая энциклопедия / И.М. Виноградов, и др.. В 5 т. Т. 1. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. - 942 с.

94. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

95. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студ. физ-мат фак. пед ин-тов / В.А. Оганесян, и др.. -М.: Просвещение, 1980. -368 с.

96. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика / В.А. Оганесян, и др.. М.: Просвещение, 1980. - 386с.

97. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика: учебн. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105 «Физика» / А.Я. Блох, и др:. М.: 1985.

98. Методика преподавания математики в средней школе: частная-методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, и др.. — М.: Просвещение, 1987. 416 с.

99. Методика преподавания • математики в средней школе: частные методики: учеб. пособие для физ.- мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, и-др.. М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

100. Методические рекомендации по усилению практической направленности' обучения математике: из опыта работы учителя математики с/ш №14 г. Белорецка Башкирской АССР Хазанкина Р.Г. Саранск: Мордов. ин-т усовер. учит., 1988. - 58 с.

101. Мешков, Н.И. Мотивация учебной деятельности студентов / Н.И. Мешков. Саранск, 1995. - 184с.

102. Михеева, В.Г. Формирование понятия векторного пространства в курсе геометрии 6-х-7-х классов: автореф. дис. .канд. пед. наук / В.Г. Михеева. -М:, 1979.-22 с.

103. Морозов, К.Е. Математическое моделирование в научном; познании / К.Е. Морозов. М.: Мысль, 1969. - 212 с.

104. Муравин, К.С. Алгебра 7 кл.: Учеб. для» общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, и др.. М.: Дрофа- 1996. - 224 с.

105. Муравин, К.С. Алгебра 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, и др.. М.: Дрофа, 1997. - 208 с.

106. Муравин, К.С. Алгебра 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, и др.. М.: Дрофа, 2000. - 240 с.

107. На путях обновления школьного курса математики: сб. статей и материалов / В.Г. Болтянский, и др.. М'. Просвещение, 1978. - 303 с.

108. Назиев, А.Х. Гуманитарно-ориентированное обучение математике в общеобразовательной школе: монография / А.Х. Назиев. Рязань: РИРО, 1999.- 112 с.

109. Настольная книга учителя! математики: Справочно-методическое пособие / Сост. Л'.О. Рослова. М.: «Издательство ACT», 2004. - 429 с.

110. Нурк, Э.Р. Математика 5 кл.: Учеб. для общеобраз. учеб. заведений / Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. М.: Дрофа, 1995. - 304 с.

111. Обухова, Л.Ф. Детская (возрастная) психология: учебник / Л.Ф. Обухова. -М.: Российское педагогическое агентство, 1996. 374 с.

112. Овчинников, Н.Ф. Категория структуры в науках о природе / Н.Ф. Овчинников // Структура и формы материи. М., 1967. - С. 15.

113. Оганесян, В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в школе: дис. . .докт. пед. наук / В.А. Оганесян. — Ереван, 1984.-349 с.

114. Одинцов, П.К. Начала общей алгебры в курсе математики средней школы: автореф. дис. . .канд. пед. наук / П.К. Одинцов. Казань, 1972. — 19 с.

115. Перминов, Е.А. Дискретная математика: Учеб. пособие для 8-9-х кл. сред, общеобразоват. школ / Е.А. Перминов. Екатеринбург: ИРРО, — 2004.

116. Пиаже, Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления /Ж. Пиаже // Преподавание математики. М.: Учпедгиз, I960:.— 163 с.

117. Побережник, И.Е. Формирование представлений об основных идеях современной алгебры в школьном курсе математики (на арифметическом материале): автореф. дис. .канд. пед. наук / И.Е. Побережник. — Киев, 1972.-30 с.

118. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. 8-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 383 с.

119. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / Под ред. В.Д. Шадрикова. — М.: Гардарики, 2002. 391 с.

120. Пойя, Д. Обучение через задачи / Д. Пойя // Математика в школе. 1972. -№ 3. - С. 89-91.

121. Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. М.: Просвещение, 1990. - 142 с.

122. Рафикова, Ф.М. Методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в средней школе: автореф. дис. . .канд. пед. наук / Ф.М. Рафикова. -М., 1972. 18 с.

123. Родионов, М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования / М.А. Родионов. Саранск, 2001 - 252 с.

124. Российский энциклопедический словарь / Под ред. A.M. Прохорова. В 2 кн. Кн. 2: Н-Я. М.: Большая Российская энциклопедия, 2001. — 2015 с.

125. Рубинштейн, C.JI. Основы общей психологии / C.JI. Рубинштейн. М.: Учпедгиз, 1946. - 704 с.

126. Рубинштейн, C.JI. Проблемы общей психологии / C.JI. Рубинштейн. — М.: Учпедгиз, 1946. 423 с.

127. Рузавин, Г.И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии / Г.И. Рузавин // Закономерности развития современной математики. -М.: Наука, 1987. С. 157 164.

128. Садовников, Н.В. Фундаментализация как феномен современного образования / Н. В. Садовников // Интеграция образования. 2004. - № 1. — С. 37-42.

129. Садовский, В.Н. Методологические проблемы исследования объектов, представляющих собой систему / В.Н. Садовский // Социология СССР. -М.: Мысль, 1965.

130. Садовский, JI.E. Прикладная математика и математики / JI.E. Садовский // Квант, 1975. № 6. - С. 31-38.

131. Сангалова, М.Е. Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе: дис. канд. пед. наук / М.Е. Сангалова. Арзамас, 2003.-174 с.

132. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. — М.: Просвещение, 2002. 224 с.

133. Саранцев, Г.И. Методика преподавания геометрии в девятилетней школе: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов / Г.И. Саранцев/ Мордов. гос. пед. ин-т. — Саранск, 1992.-130 с.

134. Саранцев, Г.И. Формирование познавательной; самостоятельности; студентов: педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания .математики / Г.И; Саранцев. — Саранск, 1997. — 160с.

135. Свидерский, В.И. Новые философские- аспекты; элементно-структурных отношений / В.И. Свидерский, Н.А. Зобов. — Л.: ЛГУ, 1970:.— 128 с.

136. Семушин, А.Д. Активизация мыслительной деятельности при обучении математики: Обучение обобщению и конкретизации: Пособие для учителей / А.Д: Семушин, и-др..,-М::;Просвещение, 1978. 64 с.

137. Скаткин, М.Н. 11роблемы современной дидактики / М.Н. Скаткин. — М.: Педагогика, 1984. 96 с.

138. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основьб обучения математике / 3.;Ht Слепкань.-Киев: Рад. Школа;. 1983: 192с.

139. Советский^ энциклопедический; словарь / Под ред. A.M. Прохорова.-М::СЭ, 1984.-694 с.

140. Соловейчик, С.Л. От интересов к способностям / С.Л. Соловейчик. М.: Знание, 1968. - 93 с.

141. Солсо, P.JI. Когнитивная психология / Р.Л. Солсо. Пер. с англ. — М.: Тривола, 1996. - 600 с.

142. Столяр, А.А. Педагогика математики / А.А. Столяр 3-е изд. перераб. и доп. - Минск: «Вышейша школа», 1986. - 414 с.

143. Суходольский, Г.В. Анализ и синтез равновесных структур / Г.В. Суходольский // Психология и математика. М.: Наука, 1976.

144. Талызина, Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний / Н.Ф. Талызина. -М.: Изд-во МГУ, 1975. 343 с.

145. Тестов, В.А. Стратегия обучения математике / В.А. Тестов. — М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999. 304 с.

146. Толковый словарь русского языка / Под ред. С.И. Ожегова. — М., 1972.-822 с.

147. Тоненкова, М.М. Графы и диаграммы Венна как средство повышения математической культуры учащихся I-III классов: автореф. дис. .канд. пед. наук/М.М. Тоненкова.-М., 1967. 18 с.

148. Тымцяс, В.Г. Логика. Курс лекций / В.Г. Тымцяс. М.: ПРИОР, 1999.- 160 с.

149. Утеева, Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: монография / Р.А. Утеева. М.: Прометей. - 1997. - 230 с.

150. Фадеев, Д.К. Об элементах высшей математики в средней школе / Д.К. Фадеев и др.. Ленинград, 1985. - 10 с.

151. Факультативный курс по математике / Сост. И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. 383 с.

152. Федотова, Т.Я. Математические структуры как основа построения единого курса математики в восьмилетней школе: автореф. дис. .канд. пед. наук / Т.Я. Федотова. М., 1975. - 24 с.

153. Философия. Политология. Экономика. Словарь. Ярославль: Академия развития, 1997. — 208 с.

154. Философская энциклопедия в 5-ти т. — М.: Сов. Энциклопедия, 1965- 1968.

155. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. М.: Политиздат, 1987.-721 с.

156. Философский энциклопедический словарь. М., 1989. - 815 с.

157. Философский энциклопедический словарь. М.: ИНФРА - М, 1997. - 576 с.

158. Фридман, JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе / Л.М. Фридман. М.: Просвещение, 1983. - 160с.

159. Шадурдыев, Г. Формирование элементов математических структур у учащихся восьмилетней школы (на факультативных и кружковых занятиях): автореф. дис. . .канд. пед. наук / Г. Шадурдыев. Киев, 1983. - 24 с.

160. Щукина, Р.И. Проблема познавательного интереса в педагогике / Р.И. Щукина. М.: Педагогика, 1971.-351 с.

161. Эрдниев, Б.П. Тенденции развития математического образования / Б.П. Эрдниев // Сов. педагогика. 1990. - № 3. - С. 34 - 37.

162. Юртанова, Е.М. Теория и методика оценки качества математических знаний учащихся средних общеобразовательных учреждений: автореф. дис. . .канд. пед. наук / Е.М. Юртанова. — Саранск, 2007. — 18 с.

163. Яглом, И.М Математические структуры и математическое моделирование / И.М. Яглом. — М.: Советское радио, 1980.

164. Combes A. Exercises et problemes de mathematiques (aves Solutions) a l'usage de classes de Seconde. Paris, 1961.

165. Papy G. Mathematique moderne. / M. Didier, editeur. Bruxelles — Paris, 1963.-Vol I.

166. Synorses for Modern Secondary School Mathematics. Organization for European Economic Co-operation Office for Scientific and Technical. Personnel 1961.