автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Избранные вопросы элементарной математики (теория чисел и геометрии) на факультативных занятиях в 10-11 классах

Автореферат диссертации по теме "Избранные вопросы элементарной математики (теория чисел и геометрии) на факультативных занятиях в 10-11 классах"

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

г- .л A I

i-i и , 0.1

п r- i i Специализированный совет К 113.11.11

С— '»i U * Í * ^ " u

На правах рукописи

КАГАЗЕ1ЕВ Мурат Нурбиэвич

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ / ТЕОРИИ ЧИСЕ1 И ГЕОМЕТРИИ / НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В Х-Х1 КЛАССАХ

13.00,02 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ка соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском педагогическом университете на кафедре геометрии.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор О.В.Мантуров.

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Г.Л.Луканкин;

кандидат педагогических наук,

доцент Т.И.Кузнецова.

Ведущая организация - Омский государственный университет.

Защита состоится ".¿У " 1993года в " час.-

на заседании специализированного совета К.113.11.11 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук в Московском педагогическом университете по адресу: . 107005, Москва, ул. Радио, дЛОа.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического университета.

Автореферат разослан у^7" 1993

Ученый секретарь специализированного совета доцент

Н.Анксимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Вторая половина XX века характерезуется бурной математизацией научного знания и практической деятельности человека. Являясь с давних времен фундаментом естествознания и техники, математика в последнее время необычайно расширяла сферы своей применимости. Математическое образование поэтому стало значительным средством повшения уровня подготовки будущих специалистов по большинству как естественнонаучных и технических, гак и гуманитарных дисциплин.

Все это привело к реформе школьного математического образования, в результате которого существенно изменилось его содержание. Происходит пересмотр и совершенствование методов обучения. С середины 60-х годов в.учебные планы общеобразовательных школ включены факультативные курсы по выбору, являющиеся составной частью всей учебно-воспитательной работы. Факультативные занятия призваны, учитывая интересы я наклонности учащихся, расширить я уг- • лубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с не- 1 которыми общими математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике.

Хотя и накоплен определенный опыт проведения факультативных занятий по математика, все же еще имеются некоторые проблемы, связанные с содержанием и методикой проведения , Поэтому обоснование целесообразности внесения тех или иных вопросов в программу факультативных занятий, выбор доступных вариантов изложения, составление системы упражнений - вот далеко неполный перечень вопросов, которые требуют специального исследования, опытной проверки. Вша изложенным определяется актуальность реферируемого исследования.

Методическая значимость настоящей диссертационной работы состоит в том, что мы предлагаем и исследуем один из возможных путей решения проблемы содержания и методики проведения факультативных занятий по одному из разделов математики для учащихся Х-Х1 классов. Этот факультативный курс назван нами : " Избранные вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии/". Он непосредственно примыкает к программному курсу математики общеобразовательной школы и, несомненно, включает арифметический,алгебраический и геометрический материалы.

Материал элементарной математики охватывает арифметику, -элементарную алгебру и евклидову планиметрию, тригонометрию и сте- ■ реометрюо, а также некоторые простейсше разделы теории чисел, алгебраической геометрии и ...атематического анализа. Одним из важных моментов начальной математики являются вопросы теории делимости натуральных чисел. Основяая цель изучения этих вопросов, определяемая в программе по математики У1 класса, - это завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для усвоения действий с обыкновенными дробями. В основном этот материал усваивается учениками прочно, но, без надлежащего доказательного фундамента. Так, ученики хорошо знают основную теорему арифметики и используют ее при арифметических-вычислениях / например, при нахождении общего знаменателя дробей /, не сознавая того, что это глубокая теорема, требующая внимательного и подробного доказательства. В школе вопрос о разложении на множители рассматривается без теоретического обоснования : натуральное число пытаются разложить на множители, затем множители снова разложить, пока возможно, а единственность разложения преподносится как нечто само собой разумеющееся. Между тем вопрос о единственности совсем не является тривиальным.

Как известно, основная теорема арифметики содержит два утверждения : во-первых, утверждение о существовании представления произвольного натурального числа в виде произведения простых чисел, и во-вторых, утверждение о единственности такого представления. Одно из следствий этой теоремы - любое составное число можно представить в виде произведена1! двух сомножителей; это представление может бнгь не единственным, но число таких представлений всегда конечно - позволяет решать неопределенные уравнения видов : М+аХ+бУ.с и ¡(2~У2~а. в целых числах. Кроме того, в курсе элементарной математики при изучении вопросов, связанных с нахождением наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, не рассматриваются алгоритмы их нахождения, ограничиваясь разбором нескольких частных примеров. Но подробное рассмотрение алгоритма определения наибольшего общего делителя / алгоритма Евклида / приводит к решению еще одного неопределенного уравнения вида : й-Х+^'У'С в целых числах.

Отметим также, что глубокие исследования в теории неопределенных уравнений, связанные с • так называемой проблемой Ферма о возможности существования целых положительных чисел, удовлетворяющих неопределенному уравнению^ - £ , при П>2, бази-

руются на вопросах элементарной математики, а точнее, теории делимости / однозначность разложения чисел определенной природы /,

Итак, более строгое / в смысле доказательности / изучение чисел и ах свойств, как первый шаг в знакомстве с идеей математической абстракции приводит к решению неопределенных уравнений. Решая такие уравнения, учащиеся на доступном для них материале получают представление не только о методах их решения, но и об основном математическом методе изучения действительности - методе моделирования, ибо уравнение - это основная модель, описывающая самые раз-нообразныз явления и процессы в природе и обществе. Отметим также, что на необходимость повышения роли доступной учащимся теории, на ее решающее влияние на развитие математического мышления указывает многие математики. В частности : И.К.Андронов, В.М.Брадис, Л.А.Ка-лужнин, А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Л.Латышев и многие другие.

С методической точки зрения изучение предлагаемых вопросов способствует углублению теоретико-числовых представлений учащихся; уяснению алгебраических и геометрических способов решения задач и" их взаимосвязь; развитию логического мышления, математических способностей; воспитанию устойчивого интереса к математике. Правильно выбранные для факультатива вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии / способствуют более глубокому пониманию и усвоению определенных положений основной школьной программы. Вопросы изучения методов, решения неопределенных уравнений помогают учащимся глубже осмыслить такие понятия обязательной программы, как "функция", "уравнение", "графический метод решения уравнений" и др. Кроме того, на доступных я простых фактах проводится большая самостоятельная исследовательская работа, которая необходима для поддержания интереса к предмету и для повышения общей математической культуры.

Таким образом, поскольку образовательное и прикладное значение вопросов элементарной математики не снижается и при работе по новы»! программам, а возможности новых программ в этом отношении ограничены, при изучении предлагаемого раздела прежде всего можно осуществить обобщение, углубление и некоторое расширение этих вопросов. Учевкки, которые проявляют интерес к математике, знакомятся с теми областями этой науки, которым принадлежат арифметика, алгебра и'геометрия, получают первые представления ой их методах,

у

V:

лсняют прямую связь арифметики, алгебры и геометрии. ;

Основная цель исследования - методическое обоснование целесообразности проведения данного факультативного курса.

Объект исследования - процесс (формирования знаний у учащихся о методах решения неопределенных уравнений, исходя из углубленного изучения некоторых вопросов элементарной математики / в частности, вопросов теории делимости /, и овладение навыками решения этих уравнений.

Предмет* исследования - методика обучения избранным вопросам элементарной математики / теории чисел и геометрии / на Факультатив- i них занятиях в Х-Х1 классах.

Гипотеза исследования : проведение факультативных занятий по избранным вопросам элементарной математики / теории чисел и геометрии / для учащихся I-X1 классов ведет к выработка обобщенных алго- j ритмических умений решения неопределенных уравнений, -что служит j установлению внутрипредметных связей / арифметики, алгебры и reo- | метрии /, способствует глубокому пониманию некоторых вопросов обя- I зательной программа и воспитанию у. учащихся навыков самостоятель- ; ной исследовательской работы.

Исходя из сформулированной.гипотезы, для достижения цели.ис--, | следования были поставлены, следующие задачи : '

1/ определение методических и психолого-педагогических,требо- j ваний к факультативным курсам по математике, выявление общих закономерностей их проведения; •

2/ выяснение принципов отбора материала, предлагаемого на |

рассмотрение учащимся; j

3/ определение содержания и объема материала факультативных занятий;

4/ установление последовательности подачя материала;

5/ разработка системы упражнений.

Конкретное решение выдвинутых проблем заключается в следующем:

- изучение и анализ опыта работы общеобразовательных школ по проведению факультативных занятий;

- составление программы факультативного курса;

- изложение материала факультатива в соответствии с составленной программой;

- разработка методических рекомендаций относительно изучения основных вопросов программы;

- экспериментальная проварка доступности излагаемого материала.

При проведении исследования нами использовались следующие методы:

- анализ научной, педагогической и учебно-методической литературы по теме диссертации;

- изучение и обобщение опыта работы школ г.Майкопа по проведению внеклассных и ^культативных занятий;

- экспериментальная проверка эффективности программы, ее содержания и методических рекомендаций.

Научная новизна исследования состоит в разработке методики формирования алгоритмических умений решения неопределенных уравнений с использованием алгебраико-геометрических способов на факультативных занятиях в старших классах средней школы.

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

- создана / с учетом дидактических и психологических требований / программа по избранным вопросам элементарной математики / теории чисел я геометрии /, предназначенная для учащихся Х-Х1 классов;

- экспериментально доказана оптимальность объема материала и эффективность методических рекомендаций по проведению факультативный занятий;

- создан сборник "двофантозы уравнения и задачи, приводящие . к ним"с соответствующими указаниями и решениями.

Теоретическая значимость. Результаты и выводы исследования, содержание факультативного курса и методические рекомендации по проведению занятий могут быть использованы для внедрения "в учебный процесс.

На защиту вынооитсд методически обоснованная программа фа-,культативных занятий "Избранные вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии /" для учащихся Х-Х1 классов, способствующая установлению внутрштредаетных связей / арифметики, алгебры и геометрии /, и положительно влияющая на осмызлениэ учащимися многих разделов обязательной программы по математике.

Апробация исследования. Осповныв методические выводы и ре- . зультаты исследования обсуждались на научных конференциях в Московском педагогическом университете / май 1993г. /, в Адыгейском государство ялом университете / апрель 1991г., апрель 1993г. /,ва

научно-практической конференции Института переподготовки и повышения квалификации научно-педагогических кадров / апрель 1993г. /, на заседаниях кафедры геометрии МПУ, кафедры мат. анализа и методики математики АТУ / апрель 1993 г. /.

СТРУКТУРА И ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, . формулируются цель и задачи, выдвигается' гипотеза, определяются объект и предает исследования, раскрываются методическая и научная новизна, практическое значение работы, выдвигаются основные положения, выносимые на защиту.

2 первой главе - "К истории вопроса об изучении элементарной математики в общеобразовательной школе" - дается обзор предложений по изучению вопросов элементарной математики в курсе общеобразовательной школы и краткий анализ научной, методической и учебной литературы^ в которой изложены вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии /.

Успехи математической науки и ее влияние на научно-технический прогресс всегда определяли значимость вопроса о содержании математического образования в отечественной и зарубежной школе. В России вопросы улучшения преподавания математики начали активно обсуждаться с середины 90-х годов XIX в. в связи с тем, что курс элементарной математики был сформирован на базе достижений древних и таким образом был оторван от научных открытий ХУП-Х1Х веков. В 1899-1902 годах в комиссиях при некоторых учебных округах проходили обсуждения вопросов преподавания математики в школе, причем • к работе в комиссиях были привлечены видные ученые и педагоги. Позднее вопросами перестройки школы и составлением новых программ занималась комиссия при Министерстве просвещения. В этот период был создан Меранский план / одним аэ авторов которого являлся Ф.Клейн /, который предусматривал традиционный арифметический материал, но с элементами обобщений в конце третьего года обучения. В плане школьная математика делилась только на два предмета - арифметику и учение о пространстве. Начиная с четвертого года обучения, фактически планировалось изучение элементов алгебры. Но, так как

. одновременно углублялась и расширялись знания о числах, предает сохранил название "Арифметика". Этим подчеркивалась связь арифметики с алгеброй, логические пути перехода первой во вторую.

В реформистском движении в России большую роль сыграли 1-й и 2-3 съезды преподавателей математики, проходившие в 1912-м и 1913-м годах и на которых обсуждались актуальные вопросы перестройки школьного математического образования. Но предложения, высказанные на этих съездах, в основном не бьии реализованы в программах дореволюционных школ.

В дальнейшем пересмотр и введение новых учебных программ по математика в отечественной школе производились практически каждое десятилетие, Каждый очередной этап движения-за реформу математического образования основывается на требовании построения школьного курса в соответствии с достижениями современной математической науки.

В 1955г. под руководством А.Н.Колмогорова был разработан проект новой программы для 1У-У1 и 1Х-Х классов. Этот проект во многом принципиально отличался от всех предшествующих. Его особенностью бшю, прежде всего, усиление внимания к обобщающим идеям математики. Доработанный проект и был принят в 1968 г, При составлении этой программы бил проведен тщательный отбор минимума начальных понятий теории множеств и элементов математической логики, сведений по вычислительной математика. Другими словами, школьная математика этого периода строилась на теоретико-множественных принципах, но не ставила задачу изучения теории множеств, а лишь использовала эти принципы для последовательного построения всего курса на единой основе. Пpoггavtшй предусматривалось изучение вопросов . о комплексных числах и элементах;,теории вероятностей в рамках факультативных занятий.

Последняя реформа математического образования относится к 80-м годам. Фундаментом математического образования является изучение чисел. Учащиеся знакомятся с натуральными, целыми и рациональными числами, получают представление об иррациональных числах. При изучении чисел у учащихся формируются вычислительные навыки.

Перспективы более широкого применения вычислительной техники в быту и на производстве меняют в этом вопросе традиционные акценты. Основное внимание уделяется действиям с десятичными дробями, наиболее употребимыми в практике вычислений, а также навыки вычис-

лений с помощью калькулятора. В то жэ время приобретают практическое значение некоторые виды устных вычислений / включая оценку и прикидку результата, округление в сравнение чисел /, умение выбрать рациональный прием вычисления, производить вычисления по заданным алгоритмам, а также составлять их. Вычислительные навыки широко используются при решении расчетных задач / вычислении процентов, среднего арифметического, составлении и решении пропорций и др. /.

В ходе систематического развития понятия числа учащиеся' знакомятся с идеей расширения этого понятия, с возникновением различных видов чисел как из практических потребностей / счет, измерение' /, так и из внутренних потребностей математики / решения уравнений, выполнимости операций /. ,

Выше изложенная концепция современного школьного математического образования находит отражение в учебной и методической литературе.

В учебниках по математике для средней школы и соответствующей методической литературе отражена программа по математика общеобразовательной школы. Некоторые вопросы элементарной математики изучаются на кружковых занятиях. Особенности их содержания и изложения прослеживается по существующим пособиям для проведения внеклассной работы. В диссертации дается краткий обзор научной и учебно-методической литературы, содержащей вопросы-элементарной математики / теории чисел и геометрии /.

Вторая глава - "Программа факультативных занятий по изучению вопросов элементарной математики / теории чисел и геометрии / и ее особенности" - включает общую характеристику факультативных занятий по математике и методику их проведения, а также программу факультативных занятий по предлагаемой теме и ее методическое обо-, сяованяе.

Общеобразовательные функции факультативных занятий заключаются в предоставлении возможностей учащимся, ■ проявляющим интерес к математике и склонности к ней, получить дополнительные знания, умения и навыки по этому предмету. Факультативные занятия входят в систему повышенной подготовки учащихся, являясь одним из его компонентов.

Факультативные занятия отличаются от обычных школьных уроков на только более глубоким содержанием вопросов математики, но и формами их проведения. В факультативных группах, сформированных из

учащихся, выбравших математику для углубленного изучения, работу следует строить крупными блоками, как того требует принципиально более сложный материал.

Известные приемы построения учебных занятий обретают здесь новый смысл, могут применяться в качественно иной общей системе. « Важным моментом, связанным с методикой проведения факультативных занятий по математика, является определение пути изложения темы факультатива. Из возможных вариантов / изучение предмета в "модели"; изложение материала не в привычной логической, а в исторической последовательности; чтение курсов о применении математики в других науках и т.д. / нами выбран второй путь, и в соответствии с этим построена основная часть предлагаемого нами факультативного курса. Для этого методы решения неопределенных уравнений изучаются в исторической последовательности / Диофант - Ферма -Эйлер »

Рассматриваемый факультатив состоит из двух этапов. На первом этапе решаются организационные вопросы / создание факультативной группы исключительно на добровольной.основе/, осуществляется научно-практическая подготовка учащихся к изучению основного материала факультативного курса. Для этого в программу подготовительного ' этапа включены в пропедевтическом плане такие вопросы, которые нвлодят непосредственное дальнейшее применение и развитие в основном курсе факультатива. Важно то, что вопросы, рассматриваемые на первом этапе, непосредственно примыкают к школьному курсу математики. . .

Предлагаемая программа подготовительного этапа включает сле-. дующие вопросы :

1. Повторение основных фактов теории делимости, изученных в средних классах;

2. Основная теорема арифметики и ее следствия;

3. Применение основной теоремы арифметику к решению неопределенных уравнений видов : и - ¿2. ;

4. Понятие о разложении на множители в множестве целых чисел;

5. Неопределенное уравнение с двумя неизвестными первой степени " Формулы множества их решений;

6. Понятие конечной непрерывной дроби. Разложение рационального числа в конечную непрерывную дробь. Подходящие дроби;

7* Расширение понятия числа. Определение понятий "кольцо",

"поле";

8. Понятие комплексных чисел. Различные формы их записи. Формулы Муавра. Основная теорема алгебры. Задача о делении окружности на равные части.

В данной главе дается полное изложение всех вопросов подготовительного этапа и методические рекомендации по их проведению.

В заключении,главы приводится программа основной части предлагаемого факультатива. Программа состоит из пяти параграфов, каждый из которых включает в сеоя подпараграфы по системе : жизнь и • творчество ученого; его методы решения неопределенных уравнений; система упражнений с использованием этих методов. В данном направлении предусматривается изучение способов решения неопределенных уравнений на основе идей Диофанта Александрийского, Пьера Ферма, Леонарда Эйлера и их дальнейшего развития. Программа содержит' параграф "Некоторые обобщения уравнения Ферма", а также разработку обобщающего этапа работы.

В программу основной части факультатива нами включены в большом количестве неопределенные уравнения и задачи, приводящие к ним.

Среди различного рода задач мы выделили такие, которые содержат элемент исследования, требуют изучения новых понятий. Эти задачи становятся средством не только проверки, но и приобретения знаний учащимися, а потому имеют образовательную ценность. Прежде всего это относится к задачам неразрешимым известными из школьного курса средствами. Причем таких задач большинство.

ВыЗраяные нами вопросы факультатива и последовательность их изложения представляют широкую возможность для введения элементов историзма, что по мнению И.Я.Дептана, М.Я.Выготского, Н.Я.Виленки-на, Г.И.Глейзера, Б.В.Гнеденко, А.И.Маркушевича, В.И.Молодшего, И.ИЛистякова и других ученых имеет большое учебно-воспитательное значение. Примерами из истории науки, истории открытий, творческих биографий ученых школьникам прививается уверенность в их собственных силах, желание испытать эти силы да предлагаемых / явившихся в свое время непреодолимой трудностью для многих математиков / задачах, а также узнать, какие'задачи стоят в настоящее время перед современной наукой - теорией чисел и диофантовой геометрией. Это позволяет подвести учащихся к современным вопросам высшей математики, •• . . -

В третьей главе - "Содержание факультативных занятий по избранным вопросам элементарной математики / теории чисел и. геометрии / и методика их проведения" - излагается материал основной части предлагаемого факультативного курса, а также описывается ' опыт изучения указанных вопросов на факультативных занятиях в Х-Х1 классах.

Содержание основной части факультативного курса излагается в соответствии с приведенной во второй главе программой.

В первых трех параграфах даются исторические справки о творческих биографиях Диофанта Александрийского, Пьера Ферма, Леонарда Эйлера, а .также краткие.характеристики тех периодов, в которые они жили о аспекте развитая математической мысли. На конкретных примерах излагаатся методы, предложенные этими математиками для решения некоторых видов неопределенных уравнений.

Прежде всего, ми определяем, что уравнение вида

р(х<хгг..,хп1^о,

где многочлен от нескольких переменных с целнми коэф-

фициентами ж Пб/У, называется неопределенным или диофантовым уравнением. Кроме того, рассматриваем систему из/Я уравнений от/7 наизвестных, где П>П1 : ,

( « # | #«»<»< ' (

где ^ Я», ...^т - многочлены с рациональными коэффициентами. Со' вокупность всех решений этой системы, т.ё. множество точек, координаты Х{)Х11.„)Х„ которых удовлетворяют уравнениям (^ называют алгебраическим многообразием размерности//-/7 ¡(п-п)~ это число коордякат, необходимых для определения положения точка в пространстве /.

ЕсляТТМ, М=2, то система сводится к уравнению

Множество точек яз Ял , координаты которых; удовлетворяют (2), называют алгебраической плоскостью в К .

Если /Я =1, /7=3, то имеем

(3)

Множество точек из К , координаты которых удовлетворяют (3/, называют алгебраической поверхность» в Я . Это алгебраическое многообразна размерности 2, _

- 14 - ■ '

Если 171 =1 И - произвольное число, большее 3, то мы имеем:

определяющее гиперповерхность в пространстве Я размерности /1 -1.

Таким образом, всякое диофантово уравнение / система уравнений/ «окат бить решено как алгебраическими / или арифметическими /, так и гзометрическими методами. Данный вывод иллюстрируется при-мараг.и рзпения конкретных неопределенных уравнений и систем.

Еще одним важным вопросом предлагаемого факультативного курса является Великая теорема Ферма : уравнение

Г'У-г", (5)

при И>2 не имеет решений в натуральных числах. Во втором и третьем параграфах приводятся доказательства этой теоремы дя случаев П =3, П-4, предложенные П.Ферма и Л.Эйлером.

В четвертом параграфе рассматриваются некоторые обобщения ■ указанной теоремы, т.е. доказывается аналог теоремы Ферма для многочленов

щж гш, а также рассматриваются уравнения видов : у-л ит у*

Ж.+г.г И

(7)

для которых / как легко установить / уравнение (5) является частным случаем.

Экспериментальная работа по изучению избранных вопросов элементарной математики / теории чисел и геометрии / на факультативных занятиях в Х-Х1 классах проводилась в школе-гимназии М г.Майкопа в 1989/90 и 1990/91 учебных годах.

Задачами проведения эксперимента были : поиск оптимального объема материала, .корректировка, проверка доступности и эффективности методических рекомендаций, разработанных в диссертационном исследовании. Кроме того,*ставилась задача - установить влияние изучаемого материала на повышение общей математической культуры учащихся, на развитие их логического мышления. ,

В диссертации / гл. Ш, §5 / дано описание проведенного эксперимента, раскрыты методические особенности проведения всех пре-. дусмотренных программой занятий. В качестве основной идеи методики проведения занятий был выбран принцип творческой активности учащихся. Реализация этого.принципа осуществлялась в организации самостоятельной работы учащихся над предлагаемыми учителем, творческими заданиями : решение специально подобранных задач, подго-

- 15 -

товка устного сообщения, написание реферата и др.

Кроме того, проанализированы-результаты контрольных работ / четыре контрольные работы по итогам пройденных тем /, подтвердившие полную доступность предлагаемого нами факультативного курса / см. таблицу /.

оценка К/р к/р Лй к/р К/р Л4

"5" 6 9 8 9

-4" • 11 13 12 11

"3" 8 4 7 6

сред, оценка - 3,7 ' " 4,2 4,0 4,1

Отметим также, что не вызывает сомнений положительное влияние факультативных занятий на качество знаний по основному курсу школьной математики, так как средняя оценка учащихся посещавших факультативные занятия была визе средней оценки тех, кто эти занятия не посещал.

В заключен™ формулируются выводы и основные результаты исследования.

1. Определены основные методические и психолого-педагогичес-кне требования к факультативным занятиям и выявлены общие закономерности их 'проведения на основе изученной научной и учебно-методической литературы и анализа опыта работ общеобразовательных школ по проведению факультативов.

2. Разработана программа изучения избранных вопросов элементарной математика / теории чисел и геометрии / на факультативных занятиях в старших классах с учетом указанных требований. Созданы учебные материалы / содержание факультативного курса, излагаемого

в исторической последовательности / и почасовое планирование занятий-.

Эксперимент подтвердил эффективность предлагаемой методики формирования алгоритмических умений решения неопределенных уравнений и доступность теоретического материала. Факультативный курс способствовал уяснению учащимися внутрипредметных связей /-^аряф— иетики, алгебры и геометрии/.

3. Разработана система упражнений в форме сборника задач на

лшение неопределенных уравнений.

Приложение - "Диофантовы уравнения и задачи, приводящие к лим" - представляет собой сборник задач и диофантовых уравнений, в котором дано более ста упражнений с соответствующими указаниями и решениями к кавдому номеру.

По тема диссертации имеются следующие печатные работы :

1. Кагазежев М.Н. О числе решений уравнения 3 X"* // Некоторые актуальные проблемы социально-политической истории и совершенствования преподавания вузовской науки по формированию личности: Межвуз. сб. статей. Майкоп, 1991. С.243-245.

2. Кагазежев М.Н. Решение диофантовых уравнений и систем на факультативных "занятиях в Х-Х1 классах // Педагоги - о науке

и образовании: Научно-практическая конференция 7-8 апреля. 1993г.-М.,1993.-0.61-52.

3. Кагазежев М.Н. 0 некотором классе целочисленных уравнений, связанных с однородными римановыми пространствами // Дифференциальная геометрия и инварианты представлений полупростых

алгебр Ли: Сб. науч. трудов. Рук. деп. в ВИНИТИ от 17.10.93.. №24-45 - В.93. С.98-104.

4. Кагазежев М.Н. Диофантовы уравнения и задачи, приводящие к" ним. - Майкоп: Изд-во "Дебют", 1993. 75с.

Заказ № 239 Тираж ТОО экз.

Отпечатано в .ТОО*Принт- г, Москву Космонавтов, 9