Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода

Фирстов, Виктор Егорович

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода

Автореферат

Автор научной работы: Фирстов, Виктор Егорович
Ученая степень: доктора педагогических наук
Место защиты: Саратов
Год защиты: 2010
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода"

На правах рукописи

Фирстов Виктор Егорович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ДИДАКТИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ НА ОСНОВЕ КИБЕРНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степенн доктора педагогических наук

1 О ФЕВ 2011

Ярославль 2010

4853913

Работа выполнена на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского».

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор,

член-корреспондент РАО Монахов Вадим Макариевич

доктор педагогических наук, профессор Нижников Александр Иванович

доктор педагогических наук, профессор Назнев Асланбек Хамидович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский городской

педагогический университет»

Зашита состоится 02 марта 2011 года в 14 часов на заседании совета Д 212.307.03 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского» по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, д. 108, ауд. 210.

Отзывы на автореферат присылать по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, д. 108, ауд. 210.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского».

Автореферат разослан « 20 » января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Т.Д. Трошина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Кибернетическая концепция в процессе обучения прослеживается с периода зарождения педагогической науки. Это связано с тем, что в области дидактики педагогика опирается на теорию когнитивных процессов, реализующих преобразование и передачу информации (знаний и опыта) от поколения к поколению. Поскольку информационная сущность процессов управления была осознана только в середине XX в., то длительное время продвижение кибернетической концепции в педагогике происходило на основе эмпирико-эвристических соображений, без должной систематизации.

Уровень общественного развития рубежа ХХ-ХХ1 вв. характеризуется необходимостью реализации возрастающих массивов информации, которой следует распорядиться рационально и в ограниченное время. Наметившаяся тенденция отражает главные проблемы современного образования, которые сводятся к интенсификации учебных процессов, реализующих усвоение больших массивов знаний, приобретение опыта и выработку необходимых компетенций в течение ограниченного периода обучения. Необходимость эффективного управления учебными процессами определяет актуальность кибернетической концепции в дидактике, поскольку определение оптимальных параметров управления такими процессами в натурных условиях часто бывает затруднительным, и их оценка происходит в рамках математических моделей на основе дидактических закономерностей рассматриваемого процесса. Таким образом, концепция кибернетики реализует теоретический метод исследования дидактических процессов, проводимый в категории морфизма.

Целенаправленность и информационная сущность дидактических процессов определяют объективную связь между кибернетикой и педагогикой. Эта связь реализуется на основе теории информации и кибернетики (К.Шеннон, Н.Винер; 1948), опираясь на универсальные информационные принципы управления процессами любой природы, включая процессы обучения. В союзе с кибернетикой педагогическая наука, помимо экспериментального метода исследования, приобретает основательный теоретический метод, переводящий педагогическое знание с уровня феноменологической (описательной) теории на логико-математический уровень развитой теории (в терминологии В.К.Лукашевича). У педагогики на уровне развитой теории, кроме функции фиксации знаний, за счет логического вывода появляются функции приращения, объяснения и предсказания знаний об исследуемом объекте. Объективность этого процесса обусловлена тем, что педагогическая наука все больше нуждается в формализованном языке, причем, не столько для реализации собственных концепций, сколько для анализа непростой логики дидактических процессов. Пока педагогика представлена, больше, на уровне феноменологической

теории, однако содержит весомый кибернетический контент, который при нарастающей информатизации образовательного пространства объективно увеличивается, и вопросы моделирования, толкования и прогнозирования дидактических процессов приобретают существенное значение.

Актуальность кибернетической концепции в дидактике обусловлена также тем, что в настоящее время ГОСТ, фактически, стали неотъемлемой частью учебных процессов. В то же время, вопросы теории обучения в информационно-образовательной среде до конца не урегулированы. Остается проблематика рациональной интеграции ИКТ и оптимизации факторов компьютерного интерфейса в учебных процессах, разрешить которую без привлечения кибернетических принципов затруднительно (Н.Д.Никандров, В.Л.Матросов, А.А.Кузнецов, Я.А.Ваграменко, И.В.Роберт и др.). Современные интеллектуальные обучающие системы (ИОС) строятся на основе данных когнитивной и гештальт-психологии, моделируя отдельные нейросетевые алгоритмы обучения нейронных ансамблей в человеческом мозге, которые реализуют параллельную обработку информации и представляют большой интерес для дидактики. В этом аспекте актуальность кибернетического подхода обусловлена возможностью моделирования мыслительных процессов человека, проводя на уровне искусственного интеллекта или нейродинамики эффективные алгоритмы обучения (F.Rosenblatt, М.М. Бонгард, Я.З.Цыпкин, М.Минский, RJ.Anderson, J.J.Hopfild й др.).

Проведение кибернетической концепции в сфере образования призвано обеспечить качественное улучшение показателей обучения и при своем разрешении выводит на инновационные пути развития педагогической науки, реализуя положения «Национальной доктрины развития образования в РФ (на период 2000-2025 гг.)», и приоритетные направления национальных проектов в области образования. Решение данного комплекса проблем требует соответствующей кадровой подготовки, включающей перечисленные компоненты педагогической деятельности. Актуальность данного вопроса обусловлена тем, что стратегическая линия, проводимая при подготовке учителей математики по специальности 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью» в рамках ГОС ВПО-2 (2005), а также в проектах ФГОС ВПО-3 (под ред. Г.А. Бордовского, В.Л. Матросова и В.В. Рубцова), предусматривая профессионально направленное обучение математике, содержание такого обучения не конкретизирует. При этом, на уровне общего образования в проектах ФГОС 2-го поколения (под ред. A.M. Кондакова и А.А.Кузнецова), предусматривается «включение содержания обучения в контекст решения значимых жизненных задач», что означает обучение математическому моделированию. Поскольку вопросы дидактики математического моделирования пока, в полной мере, не разрешены, то вузам, кафедрам и преподавателям предложено самим сформировать это

содержание, используя опыт отечественной дидактики 60-70 гг., который опирался на кибернетические представления.

Указанный вектор управления современным российским образованием обусловлен реалиями XXI в. при переходе к постиндустриальному обществу, который ускорил процессы глобализации, и профессиональная деятельность протекает в постоянно изменяющихся условиях, требуя умения мобильно решать возникающие нестандартные проблемы. В условиях, когда принятие обоснованного решения по оптимизации образовательной траектории системы происходит в ограниченное время, естественно, прибегнуть к математическому моделированию дидактических процессов. Моделирование является теоретической основой кибернетики и, таким образом, представленная аргументация говорит о том, что, разрешение широкого круга вопросов дидактической проблематики в рамках кибернетической концепции, проведенное в данном диссертационном исследовании, является актуальным, способствующим развитию и совершенствованию школьного математического образования.

Опыт кибернетики в дидактике. В отечественной дидактике кибернетические традиции разрабатываются около полувека, однако до недавнего времени не представляли магистрального направления. Смысл и сущность кибернетической трактовки дидактических процессов, а также анализ структуры и содержания обучения с позиций кибернетики, одним из первых, рассмотрел Л.Б.Ительсон (1964). На 2-м пленуме Научно-методического совета по педагогике высшей школы (1967) был заслушан доклад С.И. Архангельского «Научная организация учебного процесса», в котором принципы кибернетики и теории информации распространялись в область высшего образования.

В рамках кибернетики управление дидактическими процессами может проводиться, как по линии совершенствования их системной организации, так и путем воздействия на их содержательный компонент. В первом случае, по В.И. Арнольду, речь идет о «жестких», а, во втором, о «мягких» моделях управления дидактическими процессами. По линии организации процессов обучения Ю.К.Бабанский построил классификацию методов обучения по трем признакам - организации, стимулированию и контролю учебного процесса. Управление учебным процессом путем воздействия на содержание обучения, как показал Л.Б. Ительсон (1973), зависит от психологической модели, лежащей в основе процесса обучения. В целом, вопросы формирования содержания образования в педагогике остаются дискуссионными и выделяются три концепции (В .А. Тестов, 2006), трактующие содержание как: педагогически адаптированные основы наук, изучаемых в школе или вузе (М.Н. Скаткин, 1980); совокупность ЗУН, которые должны быть усвоены обучаемым контингентом (В.П. Беспалько, 1989); педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный сложившимся культурным ценностям во всей их структурной

полноте (B.B. Краевский, 2003). В последнем случае в основу положена тринитарная методология и в содержании образования выделяются три равноправных компонента: фундаментальность (передача знаний), гуманистическая ориентация (воспитание) и профессиональная направленность (развитие умения).

Формирование содержания образования отвечает за его качество в силу того, что абстрактное количество информации, связанное с образовательным контентом, в учебном процессе приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами. Вопросы качества образования обозначены в приоритетных направлениях развития системы образования РФ до 2010 г. в части разработки Общероссийской системы оценки качества образования (ОСОКО) как системы, прежде всего, внешней оценки результатов образования в интересах личности, общества и государства (В .А. Болотов, 2007). Система показателей ОСОКО должна оценивать качество как меру отклонения образовательной траектории системы от поставленных директив (целей образования), и попытки построения такой теории предпринимались в 60-х гг. XX в. (Н.М.Амосов, Р.Карнап, Й.Бар-Хиллел, Ю.А. Шрейдер, A.A. Харкевич и др.). В последнее время для этих целей задействованы концепции синергетики (Г. Хакен), т.к. самоорганизация на микроуровне системы приводит к проявлению определенных качеств на ее макроуровне. Однако, пока разработка общей теории меры качественной информации конкретных результатов не дала, и, таким образом, при создании эффективной ОСОКО формирование системы оценочных показателей представляет проблемный фактор. Один из подходов к управлению качеством содержания образования опирается на исследования, проводимые в Ярославском педуниверситете им. К.Д. Ушинского при подготовке учителей естественнонаучного профиля на основе инновационной концепции фундирования содержания предметных курсов и наглядного моделирования в процессе обучения математике в школе и вузе (В.Д. Шадриков, Ю.П.Поваренков, В.В. Афанасьев, Е.И. Смирнов и др.).

Проведение кибернетической концепции в отечественном образовании отличалось нерегулярностью и период ее интенсивного развития в 60-70 гг. на рубеже 70-80 гг. сменился спадом. Причина спада связана с тем, что при обосновании кибернетической концепции в педагогике у Л.Б.Ительсона (1964) и С.И.Архангельского (1976) вопросы теории математического моделирования дидактических процессов, в основном, рассмотрены частным образом и основной приоритет кибернетики - оптимизация управления дидактическими процессами посредством математического моделирования не получает полного обоснования. В развитых странах (США, Англия, Франция, Япония и др.) такой спад не наблюдался, т.к. «компьютерная волна» 80-х гг. в этих странах привела к формированию образовательного киберпространства, что в педагогической психологии наметило переход от концепции бихевиоризма к концепции когнитивной психологии (Дж.

Андерсон, 1983). В этот период в образовании реализуются многочисленные ИКТ-версии систем тестирования, создаются обучающие экспертные системы (ЭС), а также автоматизированные обучающие системы (АОС) в виде локальных компьютерных сетей (компьютерных классов). Дальнейшее развитие АОС представляют так называемые адаптивные обучающие системы (АдОС), позволяющие в широком формате реализацию технологий личностно-ориентированной педагогики. Появление Интернета дало развитие новым формам открытого образования посредством дистанционного обучения. В России аналогичные процессы инициировались в 1996 г., когда в Москве состоялся Конгресс ЮНЕСКО, который ясно показал, что многие страны связывают дальнейшее развитие национальных систем образования с широкоформатным использованием дистанционных технологий обучения. Это направление получило широкую поддержку вузовской общественности России в рамках Всероссийского эксперимента в области использования ИКТ в дистанционном обучении, который проводился в 1997-2002 гг., и его результаты в июне 2002 г. коллегией Минобразования РФ оценены положительно. Фактор отставания России в этой области не следует расценивать негативно, поскольку проблематика электронной педагогики далека от полного разрешения, что показывает опыт реализации открытого образования в СГУ им. Н.Г. Чернышевского (Л.Ю. Коссович, H.A. Иванова, И.Г. Малинский, В.Е. Фирстов).

Приведенные аргументы показывают возможности кибернетики при разрешении дидактической проблематики и свидетельствуют об усилении тенденций в этом направлении. Дело в том, что кибернетика способствует развитию теории обучения, разрешая возникающие противоречия между ее содержанием и формой не только посредством опыта, но и в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации дидактических процессов. Естественно, кибернетическая модель процесса обучения представляет его некий аналог, однако такие модели имеют количественную интерпретацию, что дает возможность получения такой информации о закономерностях учебного процесса, какую не дают собственные понятия дидактики, т.е. кибернетическую концепцию в обучении следует рассматривать в логике принципа дополнительности. Поскольку управление в кибернетике - это преобразование информации в абстрактном смысле, то, следуя логике принципа дополнительности, в дидактике, таким образом, могут разрешаться противоречия самой различной природы и, в этой связи, в современном образовательном пространстве имеют место следующие противоречия:

• между сложившейся практикой интерпретации опыта обучения математике в средней школе на уровне феноменологической теории и необходимостью адекватного отражения проблемности и теоретического анализа ситуаций при выборе учителем стратегии управления процессом обучения математике в средней школе;

• между объективным процессом возрастания массивов информации, осваиваемых и передаваемых обучаемому контингенту, и директивными требованиями по качеству ее усвоения за ограниченный период времени в процессе обучения математике;

• между практикой реализации кибернетического и личностно-ориентированного подходов при обучении математике в школе и недостаточным уровнем математического моделирования проблем управления креативными процессами при обучении математике;

• между особенностями реализации логических методов в математике и гуманитарных науках и необходимостью обоснования средств эффективного обучения математике в гуманитарной области образования.

Необходимость разрешения данных противоречий определяет проблему настоящего диссертационного исследования, которую можно сформулировать в следующем виде: «Каким образом и насколько эффективно кибернетическая концепция может использоваться для управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню формирования математических знаний и компетенций школьников?»

Актуальность, высокая практическая значимость и недостаточная разработанность данной проблемы обусловили выбор темы настояшего диссертационного исследования: «Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода».

Объект исследования - процесс обучения математике в полной средней школе.

Предмет исследования - методы управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода.

Цель исследования - на основе кибернетической концепции разработать теоретические основы и обосновать математические модели управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе.

Концепция исследования - представляет разработку научных основ решения поставленной проблемы путем построения теории математических моделей управления когнитивными процессами при обучении математике учащихся средней школы, исходя из информационной сущности дидактических процессов:

1). В этом случае управление проводится путем целевого воздействия на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в процессе обучения математике в средней школе.

оптимизации в этом случае носит универсальный характер и названа оптимизацией 1-го рода. В ее основе лежат абстрактные количественные меры информации и управление данными процессами проводится по критерию минимума информационной энтропии.

3). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на качественный (семантический) аспект информации данного образовательного контента, строятся в рамках принятой когнитологической модели, представляющей систему знаний посредством неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети и процедура оптимизации в таких моделях названа оптимизацией 2-го рода: данная сеть метризуется и характеризуется системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры, управляющие качественными аспектами данной системы знаний. Таким образом, выделяются классы задач сетевого управления, моделирующие формирование и освоение образовательного контента в учебном процессе:

• управление путем совершенствования аксиоматики теории;

• оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях;

• ранжировка значимости элементов семантической сети.

4). Оптимизация в рамках первых двух классов задач наблюдается в развитии отечественного школьного обучения геометрии, начиная со 2-ой половины XVIII в. При этом оптимизация дедуктивного вывода опирается на алгоритмический информационный подход А.Н. Колмогорова (1965), что позволяет реализовать управление качеством содержания обучения.

5). Ранжировка значимости элементов семантической сети формирует управление креативными процессами учащихся, опираясь на закономерности генезиса математики. Формально, творческий поиск представляется случайным процессом в информационном пространстве данной аксиоматической теории и его оптимизация по критерию значимости реализует одну из стратегий оптимального управления ветвящимся марковским процессом.

6). Построение теории математических моделей для эффективного управления когнитивными процессами в школьном обучении математике предусматривает разработку базисного комплекса математических моделей. В класс базисных моделей оптимизации 1-го рода входят: «сократовский» диалог, тестирование, классно-урочная система обучения, организация группового сотрудничества учащихся при выполнении учебной работы и процедура тематического планирования учебного процесса. В класс базисных моделей оптимизации 2-го рода, отнесены модели формирования содержания обучения, креативной педагогики и интегрированного обучения математике.

Гипотеза исследования - разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической

концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике, если:

• алгебраические модели управления процессом обучения (тестирование, ЭС, АО С, АдОС и т.п.), разработаны в рамках системных дидактических принципов (целостности, развивающего обучения, наглядности моделирования и др.);

• для базисных моделей организации группового сотрудничества на занятии (коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке, проблемного обучения и т.п.), а также процедуры календарно-тематического планирования предметного материала в учебном процессе механизм оптимизации математического моделирования происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данных процессах;

• повышение эффективности обучения математике в средней школе путем организации группового сотрудничества на занятиях на основе кибернетического подхода определяется онтогенетическими параметрами обучаемого контингента;

• управление качеством школьного обучения математике строится на основе контент-анализа его содержания, представленного неформальной аксиоматической теорией в виде семантической сети, топологические характеристики которой являются параметрами оптимизации качества данного математического контента (за счет выбора совершенной аксиоматики и путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода). При этом процесс управления адекватно коррелирует с системой дидактических принципов обучения математике;

• управление креативными процессами при обучении математике в школе строится как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом на основе стратегии «больших узловых точек (great main points)» или GMP-стратегии, проводимой по критерию значимости между вершинами предметной области соответствующей семантической сети, и эффективный творческий поиск исходит из достаточно значимых теоретических посылок;

• при интегрированном обучении математике в средней школе реализация GMP-стратегии для управления креативными процессами проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма или морфизма), способствуя развитию познавательных мотиваций и математическому самообразованию учащихся.

Задачи исследования - ставятся в соответствии с целью, концепцией и гипотезой исследования и сводятся к следующим:

1). Исходя из психологической концепции развивающего обучения Л.С. Выготского построить дидактическую модель обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения, реализующей управление показателями академической успешности (успеваемости) учащихся на основе актуализации образовательного контента и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации.

2). Разработать программу спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение и реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

3). Построить базисные теоретико-информационные модели для управления эффективностью когнитивных процессов учащихся при обучении путем воздействия на количественный аспект информации соответствующего образовательного контента в рамках оптимизации 1-го рода:

• модель учебного процесса, которая определяет оптимальное распределение образовательного контента по шагам траектории обучения посредством минимизации информационной энтропии, связанной с усвоением структурированного массива знаний;

• модель организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения, в которой оптимизация разбиения обучаемого контингента на группы проводится по принципу минимума информационной энтропии при оптимальном варианте разбиения;

4). Выявить закономерности оптимизации управления учебным процессом при организации группового сотрудничества или модульного обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули).

5). Разработать ИКТ для организации эффективного обучения математике в средней школе путем разбиения класса на малые группы, проводимого поэтапно, следуя критерию минимума энтропии информации для оптимальной конфигурации разбиения, которая интегрируется в версиях проблемного или эвристического обучения.

6). Разработать и обосновать концепцию и модель представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, а также определить классы задач и параметры сетевой оптимизации 2-го рода, позволяющие воздействовать на качество образовательного контента:

• показать, что при управлении качеством содержания школьной геометрии, ее аксиоматика представляет один из параметров оптимизации;

• показать, что минимизация длины (или емкости) дедуктивного вывода является параметром оптимизации качества содержания школьной геометрии при условии, что эта процедура вписана в систему дидактических принципов процесса обучения.

7). На основе генетического подхода разработать математическую модель управления креативными процессами учащихся при обучении математике в средней школе, для чего необходимо:

• показать, что управление процессом математического творчества формируется как управление случайным процессом марковского типа.

Стратегия такого управления вытекает из характерной закономерности генезиса математики, по которой роль ее отдельных положений в процессе развития неодинакова и управление таким процессом реализуется по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей ту область математики, в которой перед обучаемым поставлена проблема;

• дать обоснование критерия значимости как параметра управления креативными процессами при обучении математике в средней школе, заданного в виде отношения доминирования между вершинами предметной области соответствующей семантической сети. Выводы формируются на основе концепции GMP-стратегии, по которой творческий поиск оказывается результативным, если он исходит из значимых теоретические посылок;

• показать, что при междисциплинарном обучении реализация GMP-стратегии управления креативным процессом проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т.п.).

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

• концепция структурализма в методологии науки (Ф. де Соссюр, К. Леви-Строс, М.Фуко и др.);

• концепции педагогической психологии в «классическом» варианте (К.Д.Ушинский, П.П.Блонский, М.Я.Басов, С.Л.Рубинштейн, Ж.Пиаже, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, А.Н.Леонтьев и др.);

• положения психофизиологии (И.М.Сеченов, В.М.Бехтерев, И.П. Павлов: теория рефлекса), гештальт-психологии (М.Вертгеймер, В.Келер и др.) и нейрофизиологии (Д.Хебб: механизмы памяти);

• функциональная концепция психологии (W.James), теория функциональных систем и метод функциональных аналогий (Э.Л.Пост, П.К.Анохин, В.Д.Шадриков и др.);

• концепции кибернетики (Н.Винер), теории информации (К.Шеннон, Н. Рашевский, А.Н. Коломогоров) и синергетики (И.Р.Пригожин, Г.Хакен);

• принципы образования и дидактики в Законе РФ «Об образовании» (В.П.Беспалько, В.В.Краевский, Г.Л.Луканкин, В.Л.Матросов и др.);

• личностно-ориентированная концепция образования (Б.М.Теплов, В.В.Краевский, В.В.Давыдов, В.Д.Шадриков, И.Я.Лернер и др.);

• концепции интегрированного (междисциплинарного) образования и педагогических технологий (Ю.А.Самарин, Г.И.Беленький, В.М.Монахов);

• работы ведущих отечественных специалистов в области дидактики школьной математики (В.М.Брадис, Н.Я.Виленкин, Г.В.Дорофеев, Н.Х.Розов,

B.Г.Болтянский, В.М.Монахов, А.Г.Мордкович, В.А.Гусев, Г.Л.Луканкин, Г.И.Саранцев, В.В.Афанасьев, В.А.Тестов, В.И. Игошин и др.);

• опыт применения кибернетики в педагогике (Л.Б.Ительсон,

C.И.Архангельский, В.П.Беспалько, A.B. Брушлинский, Ю.К.Бабанский);

• педагогические концепции развивающего (Л.С.Выготский, Л.В. Занков, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов), проблемного (С.Л.Рубинштейн, М.Н.

Скаткин, М.И.Махмутов, И.Я.Лернер) и эвристического (Д. Пойа, A.B. Хуторской) обучения;

• концепции педагогики группового сотрудничества в учебном процессе (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, А.В.Петровский, Д.Б.Богоявленская и

др-);

• исследования, отражающие генезис современной электронной педагогики: классические работы по программированному обучения и АОС (В.П.Беспалько, А.Н.Леонтьев, П.Я.Гальперин, С.Осуга, В.С.Аванесов, В.А. Хлебников), системы личностно-ориентированного адаптивного обучения и Web-технологии в системах открытого образования (J.R.Anderson, Н.Д.Никандров В.Л.Матросов, Я.А.Ваграменко, И.В. Роберт, A.A. Андреев, П.Л.Брусиловский, D.Suthers, K.Nakabayashi, В.И.Солдаткин,С.А.Щенников);

• концепции фундирования и наглядного моделирования Ярославской педагогической школы в проектировании содержания и технологий обучения математике (В.Д.Шадриков, Ю.П.Поваренков, В.В. Афанасьев, Е.И.Смирнов и др.);

• исследования в области психологии математического творчества (Аристотель, Р.Декарт, Г.Лейбниц, И.Кант, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Пойа, Г.Биркгофф, А.Реньи, Г.И.Рузавин и др.);

• концепции и принципы креативной педагогики (Д.Б. Богоявленская, A.B. Брушлинский, М.А. Холодная, В.Д. Шадриков, В.А. Гусев, Е.И. Смирнов, A.B. Ястребов, B.C. Секованов и др.);

• современные концепции интеллекта: гештальт-психологические и когнитологические теории (R.Glaser, J.R.Anderson, Б.М.Величковский, Б.Г. Ананьев, В.М.Сергеев), процессуально-деятельностный подход (Л.А.Венгер, А.В.Брушлинский), информационный подход (Э.Хант, Р.Стернберг), интеллект как форма организации ментального опыта (М.А.Холодная);

• концепция «искусственного интеллекта» (А.М.Тьюринг, Э.Пост, Н.Винер, К.Шеннон, Дж. фон Нейман, А.Н. Колмогоров, В.Л.Матросов, С.К.Кпини, М.Минский, Я.З.Цыпкин, В.М.Глушков, Д.А.Поспелов и др.);

• нейронаука и эволюционная биокибернетика как концепции междисциплинарного исследования когнитивных процессов (F.Rosenblatt, М.М.Бонгард, J.J.Hopfild, В.Г.Редько, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий и др.).

области исследования традиционными методами педагогической диагностики: наблюдение, экспертные оценки, тестирование и опрос. Для апробации теоретических моделей управления когнитивными процессами школьников при их обучении математике проводились прямые эксперименты в учебном процессе, достоверность результатов которых устанавливалась стандартными средствами проверки статистических гипотез (программа Statistica for Windows, V.6).

Экспериментальная база и этапы исследования. Исследования по теме диссертации проводились в 1997-2010 гг. и затронули период, когда в России проходила интеграция региональной высшей школы. Поэтому начинались исследования на базе физико-математического факультета Саратовского государственного педагогического института им. К.А.Федина, а после интеграции продолжились на механико-математическом факультете Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

На уровне школьного образования исследования проводились в школах №65 Волжского, №18 Фрунзенского, №93 Кировского и на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского районов г. Саратова, а также по линиям ГОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (СарИПКиПРО)» Министерства образования Саратовской области, ИДПО СГУ, филиала Федерального центра тестирования при СГУ и Центра открытого образования СГУ.

На 1-ом этапе (1997-2002гг.) формировалась парадигма исследования, направленного на повышение эффективности школьного математического образования. В основу был положен генетический принцип обучения математике в оригинальной трактовке, суть которой сводилась к тому, что пути совершенствования данного предмета следует искать среди закономерностей генезиса математики. Для этого проводился широкий историко-математический анализ, позволивший выявить характерную закономерность, по которой в процессе развития математики роль отдельных математических положений явно неодинакова и остается востребованной в современной математике. Поэтому потенциал идей, связанных с такого рода значимыми положениями (универсумами), далеко не исчерпан и его реализация ведет к обнаружению оригинальных математических результатов. Таким образом, формируется оригинальная GMP-стратегия управления процессами математического творчества, которая способствует развитию познавательных мотиваций учащихся в процессе школьного обучения, т.к. результативность творческого поиска в математике оказывается выше, если этот поиск проводится путем последовательных обобщений некоторого универсума (или их комбинации). Поначалу, для апробации GMP-стратегии и выяснения особенностей методики ее реализации строилась цепочка обобщений, исходя из универсума, каковым выступила теорема о делении с остатком. Это исследование подтвердило концептуальные предпосылки GMP-стратегии и составило содержание элективного курса «Реологические

числа и их свойства» для старших классов средней школы и в расширенной версии для студентов - будущих учителей математики.

На 2-м этапе (2002-2006гг.) ОМР-стратегия проводилась в области геометрии и творческий поиск формировался путем обобщений универсума в виде теоремы Пифагора. Результаты этих исследований систематизированы в двух авторских монографиях, представляющих содержание элективных курсов, как для школьников профильного уровня обучения, так и студентов математических специальностей университетов и педвузов. При этом, используемый математический аппарат только в отдельных случаях выходит за уровень школьного углубленного изучения математики и, хотя в процессе обобщений уровень абстракции постепенно нарастает, тем не менее, понимание и усвоение нового математического материала, привлекаемого в процессе исследования, в этом случае облегчено тем, что его применение органично вписано в разрешение конкретной ситуации, следуя постулатам концепции наглядного моделирования.

Эти данные свидетельствовали о том, что в рамках ОМР-стратегии, посредством определенной педагогической деятельности, реализуется эффективное математическое образование и самообразование школьников. Причину такой эффективности можно установить, исследуя структуру математического знания, что было сделано в третьей авторской монографии, где содержание предметной области математики представлено в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети. Эта сеть метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет определить параметры оптимизации, управляющие качественными аспектами рассматриваемой системы знаний. Установлено, что качеством системы знаний в области математики управляют два фактора: рациональный выбор системы аксиом и параметры (длина или емкость) дедуктивного вывода для элементов семантической сети, моделирующей данную систему знаний. Как показывает анализ исторического опыта, именно эти факторы управляют развитием школьной геометрии в отечественной дидактике на протяжении последних 250 лет, причем, закономерность такова, что в школьном обучении геометрии принципы наглядности и доступности, как правило, доминировали над принципом математической абстракции.

На 3-м этапе (2006-2010гг.) дается толкование закономерностей креативных процессов на основе ОМР-стратегии при обучении математике в школе. Для этого между элементами семантической сети, представляющей данную систему знаний, на основе сетевых параметров вводится отношение доминирования и элементы сети ранжируются по значимости. Креативный поиск трактуется как случайный процесс освоения данной семантической сети и представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс. Его особенность такова, что у элементов с большей значимостью в процессе поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы)

оказывается выше, что объясняет эффективность вМР-стратегии при построении математического исследования от универсума.

Обобщение ОМР-стратегии на междисциплинарный уровень обучения математике строится на основе общих методологических концепций: канона, центризма или морфизма. В частности, канон демократии исходит из идеала справедливости путем принятия решения большинством голосов граждан. В рамках ОМР-стратегии этот идеал аксиоматизируется и на этой основе строится формальная теория государства, которая составляет предмет современной теории кооперативных игр, элементы которой составляют основу школьного факультатива по обществознанию. Концепция центризма в рамках ОМР-стратегии реализуется на основе архимедовой концепции барицентра по трем направлениям. Во-первых, на этой основе проводится лабораторный практикум «Определение формул для объемов выпуклых многогранников и круглых тел методом взвешивания» для учащихся 11-х классов средней школы. Во-вторых, концепция барицентра по А.Мебиусу представляет оригинальную трактовку законов генетики и на этой основе проводятся интегрированные занятия на уровне профильного обучения биологии. В-третьих, концепция барицентра распространяется в цветовое пространство произведений живописи и с помощью современных ИКТ позволяет установить закономерности психологии творчества и восприятия живописного искусства и, таким образом, реализуется один из подходов к обучению математике в гуманитарной области знаний. Концепция морфизма в рамках ОМР-стратегии проводилась в виде универсального подхода к решению текстовых задач в рамках школьного факультатива по алгебре в 9-х классах; на основе операторной версии комплексных чисел при решении задач планиметрии в 10-11 классах профильного уровня обучения математике; в виде элективного курса «Задачи линейного программирования в экономике и физике» для 10-11 классов соответствующего профиля.

Таким образом, на основе кибернетической концепции формируется общий подход к построению теории математических моделей управления процессами, обучения математике в школе, изложенный в итоговой авторской монографии. В частности, психологическая концепция развивающего обучения Л.С. Выготского в диалоге моделируется системой алгебраических автоматов, реализующей алгоритм дидактической (обучающей) экспертной системы (ЭС) общего назначения. На этой основе построено содержание спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включая реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьного курса математики. Управление учебным процессом на основе количественных мер информации, происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данном процессе. Эта закономерность подтверждается опытом оптимизации процесса обучения математике путем эффективного разбиения класса на группы для выполнения заданной коллективно-распределенной

учебной деятельности, которые показали повышение показателей эффективности обучения на 27,5% -в 4-м классе; на 25% -в 9-м классе и на 20-25% -в 10-11-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе. Методика проведения таких измерений составила основу инновационной ИКТ для организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения математике в школе. Принцип минимизации информационной энтропии лежит в основе управления модульным обучением и формированием календарно-тематического планирования содержания обучения математике, хотя в случае модульного обучения имеют место онтогенетические эффекты и оно распространено в высшей школе, однако на школьном уровне его применение ограничено.

Управление учебным процессом при воздействии на качественный (семантический) аспект информации системы математических знаний, представленной в виде семантической сети, происходит путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода для элементов этой сети. Этот критерий является необходимым; достаточность обеспечивается, если его реализация вписывается в систему дидактических принципов процесса обучения математике. Управление креативными процессами по критерию значимости при обучении математике в рамках ОМР-стратегии опирается на психофункциональные закономерности творческого поиска в процессе математического исследования. Таким образом, в процессе этапов исследования на основе принципов кибернетики, в соответствии с целью, концепцией, гипотезой и задачами диссертационного исследования, построен и апробирован базисный комплекс математических моделей, реализующий эффективное управление дидактическими процессами при обучении математике в средней школе.

Прошло более 30 лет с момента появления монографий «первой волны» по кибернетическим методам в педагогике. Сегодня ситуация в этой области стала качественно иной и, фактически, в данном диссертационном исследовании, впервые, предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой. Качественной закономерностью «кибернетизации» образовательного пространства является иерархический характер этого процесса: 1-й уровень «кибернетизации» связан с насыщением образовательного пространства средствами ИКТ; на 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей учебных процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессов; на 3-м уровне, в перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики. Таким образом, «кибернетизация» образовательного пространства, фактически, представляет форму принципа рефлексии, который реализует познание человеческой сути через психологию.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

• впервые, исходя из информационной сущности дидактических процессов, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению учебными процессами путем математического моделирования, позволяющий выявить, обосновать и эффективно реализовать дидактические закономерности для управления когнитивными процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических знаний и компетенций школьников;

• построена классификация моделей управления учебным процессом по информационному признаку: модели 1-го рода, если параметр управления в учебном процессе представляет количественная мера информации и критерий управления сводится к минимизации информационной энтропии данного процесса; модели 2-го рода, если параметр управления представляет качественный аспект информации, связанной с образовательным контентом, когда критерий качества обусловлен топологией семантической сети, представляющей данную систему знаний, и зависит от исходной системы постулатов и параметров логического вывода (длины и емкости);

• построена дидактическая модель обучающей ЭС общего назначения путем алгебраической интерпретации динамики прохождения образовательного контента и выделения образовательной траектории с минимальной энтропией информации, что позволяет выявить закономерность управления динамикой академической успешности учащихся на основе актуализации и оптимизации зон ближайшего развития при обучении математике в средней школе;

• построена информационная модель распределения образовательного контента по шагам траектории учебного процесса на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского, оптимизация которой происходит по принципу минимизации информационной энтропии в процессе усвоения структурированного массива знаний;

• разработана инновационная ИКТ для организации эффективного обучения математике в средней школе путем разбиения класса на малые группы, проводимого поэтапно по критерию минимума информационной энтропии для оптимальной .конфигурации разбиения, которая затем интегрируется в версиях проблемного или эвристического обучения;

• для проведения оптимизации 2-го рода разработана и обоснована концепция и модель представления содержания обучения школьной математике в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, метрические и топологические характеристики которой управляют качеством образовательного контента;

• впервые, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению креативными процессами при обучении математике в школе, по которому творческий поиск моделируется случайным процессом и происходит в рамках семантической сети, представляющей рассматриваемую систему знаний;

• установлено, что стратегии управления креативными процессами при обучении математике в школе опираются на универсальную закономерность математического поиска, который представляет ветвящийся марковский процесс и его оптимизация происходит по критерию значимости исходных посылок на основе ОМР-стратегии;

• дано определение критерия значимости в системе математического знания как отношения доминирования между элементами соответствующей семантической сети, которое строится по двум параметрам - логической дистанции от источников (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети;

• на примерах реализации математических моделей в экономике, обществоведении, искусствознании, биологии и физике показано, что в случае междисциплинарного обучения ОМР-стратегия проводится на основе некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т.п.).

Теоретическая значимость исследования определяется его вкладом в педагогическую науку, который представляют следующие результаты:

• разработана теория обучающих экспертных систем, алгоритм которой построен на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского и реализует режимы консультации, приобретения и контроля знаний в рамках ИКТ в процессе обучения математике в средней школе;

• установлен и построен базисный набор дидактических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе;

• установлено, что при организации модульного обучения или группового сотрудничества в учебном процессе, закономерность, управляющая повышением эффективности процесса обучения, обусловлена минимизацей информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули);

• данная закономерность оптимизации группового сотрудничества имеет онтогенетический аспект: показатели академической успешности оказываются выше в младших классах и снижаются в старших классах;

• разработана концепция представления предметного содержания школьного обучения математике в виде неформальной аксиоматической теории, интерпретируемой семантической сетью;

• разработана и обоснована система критериев, управляющих повышением эффективности учебного процесса путем воздействия на содержание школьного математического образования;

• установлено, что критерии оптимизации по длине и емкости дедуктивного вывода в системе математических знаний являются компонентами, реализующими принцип наглядности, следуя формуле В.Г. Болтянского: наглядность = изоморфизм + простота;

• в рамках теории марковских процессов дано обоснование ОМР-стратегии, которое опирается на представление о значимости элементов в системе математического знания и позволяет оптимизировать управление

когнитивными процессами креативного поиска решения проблемы школьником в процессе обучения и самообучения;

• показано, что ОМР-стратегия отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе решения математической задачи, поскольку значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции (за счет увеличения вероятности интуитивного вывода) и с увеличением емкости его области доминирования (растет вероятность дискурсивного вывода), откуда следует дидактическая закономерность, по которой креативный поиск школьника в процессе решения математической задачи оказывается результативным, если формируется на достаточно значимом математическом основании;

Практическая значимость исследования оценивается показателями внедрения полученных результатов в школьное обучение математике, среди которых следующие практически значимые направления:

1.Апробацию и реализацию разработанной ЭС на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского, в которой управление академической успешностью учащихся происходит путем оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации, демонстрируют следующие результаты:

1.1.Принцип управления академической успешностью учащихся на основе актуализации и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации реализуется в ходе специальной процедуры тестирования с помощью гомогенных тестов, при которой в рамках фиксированного временного регламента выполнения тестов целенаправленно изменяются промежутки времени, связанные с выполнением отдельных тестовых заданий. Измерения проводились в 2004-2008 гг. в 4,9 и 10-х классах МОУ «Гимназия №5» Заводского р-на г. Саратова, а также на 1-м курсе механико-математического ф-та СГУ им. Н.Г. Чернышевского со студентами специальности 032100.00(050201) в ходе курса алгебры при изучении темы «Теория множеств» и непосредственно показали факт улучшения показателей академической успешности учащихся за счет минимизации информационной энтропии при оптимизации зон ближайшего развития в динамике прохождения образовательного контента;

1.2. На основе данной обучающей ЭС реализован контроль знаний школьников, для чего созданы мощные тестовые батареи и апробированы специальные алгоритмы тестирования уровня знаний по математике: в 2002г. по заказу Минобразования Саратовской области проводился мониторинг уровня математической подготовки выпускников начальной школы (охвачено 2262 школьника); в 2003-2006 гг. данная технология использовалась в рамках рубежного тестирования уровня математических знаний школьников 5-8 и 10-х классов в г. Саратове, проводимого Центром тестирования СГУ имени Н.Г.Чернышевского;

1.3. Положения, реализованные в данной обучающей ЭС, и общие принципы построения ЭС, составили основу элективного курса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

2. Апробирована инновационная ИКТ для организации группового сотрудничества в учебном процессе, реализующая проведение эффективной коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке путем создания оптимальных конфигураций творческих групп, в которых более полно реализуется творческий потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в средней школе. Проведенные измерения показали повышение показателей академической успешности на 27,5% -в 4-м классе; на 25% -в 9-м классе и на 20-25% -в 10-11-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе.

3. На основе авторских монографий [1;2], отражающих этап творческого развития «новейшей истории теоремы Пифагора» на основе СМР-стратегии, проецируется определенная учебная деятельность в виде школьных элективных курсов по математике профильного уровня или в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарские занятия или индивидуальная исследовательская работа с учащимися);

4. Проведение ОМР-стратегии в рамках интегрированного обучения математике, где получены следующие практически значимые результаты:

4.1. В обществоведении, когда ОМР-стратегия проводилась путем аксиоматизации канона демократии в русле формальной теории государства, на основе которой разработано содержание школьного факультатива, реализующего обучение математике в гуманитарной области знаний;

4.2. В рамках концепции изоморфизма: в процессе обучения решению текстовых задач школьной алгебры (9 класс), в виде операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также при моделировании и решении задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

4.3. На основе концепции центризма: в рамках лабораторного практикума по определению формул объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11-й класс); при интерпретации законов генетики при профильном обучении биологии и в психологии восприятия живописи, где показаны возможности математики в искусствознании и культурологии.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются методологической аргументированностью исходных теоретических положений; внутренней непротиворечивостью логической структуры исследования; адекватностью применяемых методов исследования целям и задачам данного исследования; продолжительностью опытно-экспериментальной фазы исследования и статистической устойчивостью данных, полученных в независимых измерениях и опытах; широким

эффективным внедрением результатов исследования в учебный процесс начальных, средних и высших учебных заведений России.

Личный вклад автора заключается в разработке общей теории математического моделирования дидактических процессов при обучении математике в полной средней школе на основе кибернетической концепции и комплекса моделей, реализующих эффективное управление количественными и качественными аспектами образовательного контента в учебном процессе, включая интегрированное обучение.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования представлены на: Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2000); ежегодных научно-практических конференциях механико-математического факультета СГУ имени Н.Г.Чернышевского (2001,2002); Всероссийской научной конференции «54-е Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2001); IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХШ» (Воронеж, 2002); Всероссийской научно-методической конференции «Развитие тестовых технологий в России» (Москва, 2002), II,ГУ-УН Колмогоровских чтениях (Ярославль,2004,2006-2009); VI Международной конференции по алгебре и теории чисел (Саратов, 2004); семинаре в Институте истории естествознания и техники РАН (секция проф. С.С. Демидова; Москва, 2005); Поволжской региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы модернизации непрерывного образования» (Саратов, 2005); Международном конгрессе по креативности и психологии искусства (Пермь, 2005); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педвузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, 2005); Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы» (Саранск, 2005); XIX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Авиньон, Франция, 2006); XX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Чикаго, США, 2008); Всероссийской научной конференции «Проблемы управления в социально-экономических и технических системах» (Саратов, 2008).

Апробация результатов исследования на уровнях высшего, среднего и начального образования проводилась автором в ходе учебного процесса:

• на механико-математическом факультете СГУ им. Н.Г.Чернышевского при подготовке студентов по специальности 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью», где за период 1997-2010 гг. реализовано 10 авторских учебных программ элективных курсов, в рамках которых защищено около 100 курсовых и 60 дипломных работ;

• в ГОУ ДПО «СарИПКиПРО» Министерства образования Саратовской области, где на основе авторских монографий [1-4] проводится цикл элективных курсов для учителей школ области;

• в 1998-2003 гг. на базе СШ №65 Волжского р-на г.Саратова при апробации методики решения текстовых задач с применением элементов понятия изоморфизма на факультативных занятиях по алгебре в 9-х классах ; на базе школы №93 Кировского р-на на уроках геометрии в 11-х классах проведен цикл лабораторных работ по определению формул объемов призмы, пирамиды, конуса и шара путем взвешивания, а также практикуется элективный курс «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии»;

• в 2001-2003 гг. на базе СШ №18 Фрунзенского р-на при апробации тестовых батарей и отработке технологий тестирования знаний школьников по математике в 5-6-х классах;

• в 2004-2008 гг. на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского р-на при апробации инновационной ИКТ при организации и оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе, которая показала увеличение показателей успеваемости по математике на 20-27,5% в 10-11 и 4-х классах;

Результаты диссертационной работы в различных вариантах используются в образовательном процессе в Воронежском государственном педагогическом университете, в Борисоглебском государственном педагогическом институте, во Владикавказском Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А (г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания), в Костромском госуниверситете им. Н.А.Некрасова, которые подтверждают эффективность проведения исследовательской работы студентов в рамках ОМР-стратегии и повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента на 20% за счет оптимальной организации педагогики сотрудничества в учебном процессе.

Всего по теме диссертации опубликовано 58 работ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1). Реализация инновационной дидактической (обучающей) экспертной системы общего назначения, разработанной на основе психологической концепции развивающего обучения Л.С.Выготского, путем актуализации и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума информации приводит к повышению академической успешности учащихся при обучении математике в средней школе.

2). Информационная модель организации группового сотрудничества в учебном процессе на основе управления процессом разбиения обучаемого контингента на группы по принципу минимума энтропии информации для оптимального варианта кластеризации реализует эффективное построение коллективно-распределенной учебной деятельности учащихся. Интеграция этой модели в структуру проблемного или эвристического контекста,

приводит к повышению академической успешности школьников и их творческой активности в обучении математике в полной средней школе.

3). Инновационная ИКТ, созданная на основе информационной модели оптимизации группового сотрудничества в процессе обучения математике в средней школе, по измерениям времени выполнения тестовых заданий учащимися, формирует интеллектуальный портрет данного контингента, устанавливает оптимальную групповую конфигурацию и реализует повышение академической успешности этого контингента.

4). Концепция и модель интерпретации системы знаний в школьном обучении математике на основе неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети позволяет выделить классы задач оптимизации при управлении качественными аспектами содержания обучения в целях повышения эффективности учебного процесса.

5). Критерии качества содержания системы знаний, реализуемых при обучении математике в средней школе, сводятся к оптимальному выбору системы аксиом и минимизации параметров дедуктивного вывода (длины или емкости) для элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний.

6). Управление креативными процессами при обучении математике в школе опирается на закономерности генезиса математики и сводится к управлению ветвящимся марковским процессом по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний. Процедура управления творческим поиском в процессе обучения проводится в рамках ОМР-стратегии, которая проецируется посредством определенной учебной деятельности, как по линии школьных элективных курсов, так и в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарская или индивидуальная работа с учащимися).

7). Методика проведения ОМР-стратегии при управлении креативными процессами школьников профильного уровня обучения математике на основе авторских монографий [1-4], исследований по теории реологических чисел [4;23] и теории магических квадратов из домино [4;26].

8). Методика проведения ОМР-стратегии в рамках интегрированного обучения математике в средней школе опирается на общие методологические концепции (канона, морфизма и центризма) и реализуется посредством математического моделирования:

• в рамках школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), исходя из канона демократии, который аксиоматизируется и на этой основе строится формальная модель государства, которая реализует канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний;

• в рамках концепции изоморфизма: при решении текстовых задач (9 класс); операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также на примерах задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

• в рамках концепции центризма, позволяющей: реализовать лабораторный практикум по определению объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11 класс); дать интерпретацию законов генетики при профильном обучении биологии и результатам в области психологии живописи, демонстрируя возможности математики в сфере искусствознания и культурологии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 385 наименований источников, и 8 приложений. Содержание работы изложено на 460 страницах машинописного текста (включая библиографию и приложения), в котором имеются 55 рисунков и 26 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности исследования; приводится аналитический обзор современного состояния реализации кибернетической концепции в обучении и образовании (степень разработанности темы) и в данном контексте установлены противоречия в современном школьном математическом образовании, разрешимые кибернетическим методом. Далее, выделены предметные элементы исследования: установлена его проблематика; обозначены объект и предмет исследования; сформулирована концепция исследования и выдвинута исследовательская гипотеза, на основе которой определены цели и задачи данного исследования. Затем, представлены теоретико-методологические основы, на которые опиралось исследование, и комплекс исследовательских методов, используемых при этом; описаны опытно-экспериментальная база и этапы исследования; раскрыта научная новизна, а также теоретическая и практическая значимость исследования; представлена аргументация, подтверждающая достоверность и обоснованность полученных результатов и определен личный вклад автора. Исходя из этого, сформулированы положения исследования, выносимые на защиту, и представлена структура и объем работы.

В первой главе «Кибернетическая концепция в теории обучения: основания, проблематика, математические модели, классы задач и реализации» вводится понятийно-категориальный аппарат кибернетики, который сформировался в 50-60 гг. XX в., а также дается аналитический обзор и современное соотношение между кибернетикой и педагогикой.

• Основным понятием кибернетики является информация, свойства которой описываются аксиомами объективности, полноты, достоверности, адекватности, актуальности и доступности. Основным объектом кибернетики выступают кибернетические системы, выполняющие целевое преобразование информации, реализуя управление киберсистемой, которое представляет основное отношение в кибернетике. Целесообразность кибернетического

подхода в дидактике обусловлена тем, что информация является измеряемой величиной (К.Шеннон, 1948). Это позволяет целенаправленно управлять дидактическими процессами на основе математического моделирования изменения количества или качества информации в процессе обучения.

• Элемент киберсистемы представляет алгебраический автомат А=(А;8;2;/;£), где А;2 - соответственно, массивы входной и выходной информации, 5 - множество внутренних состояний автомата; отображения (бинарные операции): /: Б^А—>5'; g: SXA-+Z, (1) задают функции переходов / и выходов g данного автомата: если автомат А находится в состоянии 5Е51 и получает на входе сигнал аеА, то он переходит в состояние /(х/о) е 5 и выдает сигнал g(s;a) е 2. Киберсистема представляет композицию автоматов и позволяет моделировать различные аспекты учебного процесса, проводя управление закономерностями данного процесса.

• Абстрактное количество информации при переносе на учебный процесс приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами. Построение научно-обоснованной системы оценки качества обучения связано с рассмотрением системы знаний в виде семантической сети, на которой задаются количественные меры информации на языке теории алгоритмов (А.Н. Колмогоров, 1965) и с помощью системы покрытий (Н. Рашевский, 1955). Таким образом, качество системы знаний связано с топологией соответствующей семантической сети, на что указывает анализ опыта отечественной школьной геометрии за период 1768-2000гг.

• Главным практическим результатом развития кибернетики явилась компьютеризация человеческого бытия, что в педагогической психологии способствовало переходу от концепции бихевиоризма к когнитивной психологии (Дж. Андерсон, 1983), провозгласившей решающую роль знаний в поведении субъекта, и центральной становится проблема обучения и приобретения знаний. Киберобраз когнитивной психологии появился в середине 50-х гг. XX в. в виде искусственного интеллекта (ИИ) как киберсистемы, способной моделировать мыслительную деятельность человека путем абстракции. В ИИ-области знания представляют основное понятие и рассматриваются как особая форма информации, сочетающая в себе как процедурный, так и декларативный компоненты, и, отвечающая аксиомам внутренней интерпретируемости, структурированности, связности, семантической метрики и активности. В рамках данной аксиоматики формируются модели представления знаний (логические, сетевые, продукционные и фреймовые) и определяются манипуляции со знаниями (приобретение, формализация, пополнение, обобщение и классификация).

• Генезис ИИ-области на современном этапе привел к формированию междисциплинарного направления, известного как нейродинамика (или нейронаука), включающего нейрофизиологию, биохимию, когнитивную и гештальт-психологию, нелинейную динамику, фрактальную геометрию, компьютерные науки и др. Исследования по нейродинамике установили

класс макромоделей, которые в рамках так называемых толерантных пространств (Э.Зиман, О.Бьюнеман; 1970) реализуют распознавание образов по неполной информации, что наблюдается при естественной деятельности мозга. На микроуровне образы толерантных пространств представляют нейронные ансамбли (гештальты), которые обеспечивают параллельную обработку больших массивов информации нейросетью мозга. Реализовать такие алгоритмы в рамках компьютерной программы, пока не удается. Тем не менее, параллельные алгоритмы обработки информации для традиционной педагогики не являются экзотикой и, например, метод укрупнения дидактических единиц в обучении математике, разработанный в 60-х гг. XX в. П.М.Эрдниевым, основан именно на этом принципе. В то же время, М.М. Бонгардом построены простейшие нейросетевые алгоритмы для распознавания числовых и геометрических образов. Следующее поколение алгоритмов распознавания образов формализуются в рамках синергетических принципов, интерпретируя процесс обучения в виде траектории, обладающей особенностью в виде аттрактора цели, и по такой схеме реализуется нейросетевая модель Хопфилда, представляющая обучение системы с ассоциативной памятью (и.НорПШ, 1982).

Во второй главе «Теория информационных технологий и оптимальная организация учебного процесса» проводится кибернетическая концепция информационных технологий (ИТ) в образовании, трактуемая как совокупность методов и средств получения, преобразования, передачи, хранения и использования информации в учебно-воспитательном процессе. Управление учебным процессом на основе ИТ происходит путем воздействия на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в этом процессе.

• Управление количественными мерами информации в рамках ИТ сводится к поиску эффективной конфигурации информационных потоков в учебном процессе, которой отвечает минимум информационной энтропии данного процесса, и эта процедура условно названа оптимизацией 1-го рода. Семантический (качественный) аспект информации в дидактике определяет содержание обучения и управление этим аспектом проводится в рамках принятой модели представления знаний; сама процедура управления в этом случае названа оптимизацией 2-го рода.

• Построение теории ИТ на основе принятой концепции предполагает разработку комплекса математических моделей, рассматриваемых как базисные в обучении, В случае моделей оптимизации 1-го рода - это диалог, тестирование, классно-урочная система обучения, организация группового сотрудничества на занятии, модели тематического планирования учебного процесса (глава 2); в случае оптимизации 2-го рода - это формирование содержания обучения, модели креативной педагогики и междисциплинарные модели обучения (глава 3).

Алгебраическая теория диалоговых обучающих экспертных систем общего назначения. Алгоритм обучения представляет сократовский диалог, проводимый в рамках психологической концепции Л.С.Выготского об актуальном уровне развития обучаемого, который с помощью наводящих вопросов постепенно наращивается в пределах зоны ближайшего развития этого обучаемого. Если уровень знаний обучаемого 5" следует поднять до уровня Я, то процесс обучения описывается следующей последовательностью итераций: 5" = Я] = и= ^и= -С,иА5'п_, (2)

т.е. на каждом шаге обучения актуальный уровень знаний Я; обучаемого наращивается путем усвоения знаний зоны ближайшего развития АБп где

/ =0;п-1 - номер шага обучения в последовательности (2).

Формализация процесса обучения в диалоге учитель-ученик дается моделью в виде композиции двух конечных автоматов А и А', связанных

2= д> _ обратной связью, где автомат А =

Н А' ] представляет управляющую систему, моделирующую

^ А=2' | действия учителя, а автомат А' =

представляет управляемую систему, моделирующую Рис.1 поведение ученика в процессе диалога с учителем (рис.1);

«штрихованные» обозначения имеют смысл, аналогичный (1), причем Я'сЯ.

Процесс обучения в данной модели происходит следующим образом. Пусть перед А' поставлен вопрос 2« е 2, ответ на который требует от ученика с уровнем знаний Б'0 в процессе обдумывания привлечения знаний зоны АБ'0 и формирования ответа а,б2', поступающего на вход автомата А (рис.1). Ответ анализируется учителем, принимающим резолюцию которая

переводит А в состояние б2= /(в,;а,) е и формулирует следующий вопрос 2]= а,) е 2. Далее описанный процесс аналогичным образом приводит к вопросу 22 и, таким образом, происходит «освоение» зоны потенциального развития АБ'0, затем АБ) и т.д., т.е. автомат А реализует «обучение» А' с уровня до уровня 5 по схеме (2).

Для реализации обучающей экспертной системы (ЭС) на основе алгоритма (2) по экспертным данным формируется реляционная база знаний Б=А(2)и2(А), где А(2)<^2хА; 2( А)аАх2 -бинарныеотношения, между вопросами базы 2 и ответами базы А, и между ответом базы А и следующим вопросом базы 2. Тогда процедура обучения по алгоритму (2) строится в виде композиции: (г0; а0) (а0; 2,) {:,; а,) ... (ае./; ге) (ге; ае), (3)

где гов2о, г1; ... ; гее2, а,; ... ; аееА, е - натуральный параметр, указывающий количество вопросов-ответов в некоторой траектории учебного процесса. Т.к. количество композиций конечной длины вида (3) над конечным алфавитом 5 также конечно, то для каждой композиции можно определить рейтинг и

сравнивать эффективности стратегий обучения, что позволяет проводить оптимизацию учебного процесса в рамках рассматриваемой ЭС. В структуре данной ЭС предусмотрены специальные алгоритмы тестирования и в рамках этой ИТ в 2002 г. проводился мониторинг уровня подготовки выпускников начальных школ Саратовской области по математике и русскому языку,

Информационная модель при оптимизации календауно-тематического планирования учебного процесса. Итерационный процесс (2) в рамках теории информации выражается уравнением: 1М =/,. + А1п г =0;п, (4)

где / - количество информации на актуальном уровне знаний обучаемого на /-ом шаге обучения; А1: - знания, активируемые целевым воздействием на зону ближайшего развития уровня 1Г В процессе обучения (4) уровень знаний 10 планомерно поднимается до уровня 1п+!, следуя классическим исследованиям (С.Л. Рубинштейна, Л.С. Выготского и др.), по которым знания области А1, развиваются на основе имеющегося опыта /,. путем создания и разрешения проблемных ситуаций в учебном процессе.

Определим информационную энтропию Н в процессе развивающего

II II

обучения (4): Я = (5)

1=0 /=0

где р1 - вероятность усвоения массива знаний области А1(. Информационная модель (4) представляет траекторию обучения, которая оптимизируется путем минимизации информационной энтропии () целевым воздействием на

И II

вероятности р1 при ограничениях: ^< Т; ^ А1. = -10 = А1, (6)

1=0 ¿=0

где Т - продолжительность обучения с, - время изучения предметной области знаний А1Г Вероятности р, определяются по кривым научения по методике И.И.Нурминского и Н.К.Гладышевой, что дает ограничения ^ снизу из-за наличия временных порогов по восприятию. Соотношения (4)-(6) представляют информационную модель развивающего обучения, в которой минимизируется энтропия (5) при ограничениях (6) путем целевого воздействия на вероятности рп что равносильно эффективному распределению и благоприятной подаче учебной информации программы А1 по шагам обучения А1{. Таким образом, происходит оптимизация зон ближайшего развития в итерационном процессе (2).

Информационная технология оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе. При организации группового сотрудничества в учебном процессе наиболее важным моментом является формирование разбиения обучаемого контингента на коалиции, при котором обеспечивается оптимальный учебный эффект. Процедура оптимизации в данном случае исходит из следующей информационной модели. Пусть А={а1;а2; ...;ат} -

конечное множество, представляющее обучаемый контингент, которому предлагается выполнить некоторое задание (тест) и контролируется время его выполнения отдельными учащимися. В результате такого измерения устанавливается цепочка неравенств 0<t¡<t2< ...<tm<T, где t¡ - общее время выполнения задания /-м учащимся, в котором, определенным образом, учтено качество проделанной работы; i = 1;т; Т - временной регламент, определяемый параметрами теста. Пусть данная цепочка неравенств - есть некоторое устойчивое статистическое среднее, на основе которого определяются вероятности а=1 -t/T, характеризующие уровень обученности г'-го учащегося, и задающие распределение нормированных вероятностей:

p(a¿=^-=---, i = l;m . (7)

a a, + a:+... + am .

Пусть для улучшения показателей обучения контингента А задействована технология группового сотрудничества, что, формально, выражается в виде разбиения множества A=Ai^jA2^j ... иЛ„, Ау-пА/,~0, j^k, j;k = l,n, (8) где параметры разбиения, связанные с формированием классов Aje А, представляют параметры оптимизации данной технологии обучения, и мощности классов разбиения (8) связаны соотношением:

\А,\ + \А2\+...+\Ап\=\А\ = т (9)

Для проведения процедуры оптимизации в рамках излагаемой модели определяются групповые вероятности: p¡ = ^p(a¡),\/a¡ eA¿, (10)

где pj - есть вероятность того, что некоторый элемент из А входит в класс Aj. С вероятностями pj связывается информационная энтропия

W= ~YíPjlog2pJ. (11)

и оптимум в рассматриваемой информационной модели достигается, если минимальна энтропия Н(р). Поэтому при оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе разбиение (8) должно формироваться с учетом распределения (7) так, чтобы при определении групповых вероятностей (10) обеспечивался минимум энтропии Н(р) в (11), т.е. критерий оптимизации имеет вид: Н(р)^> min. (12)

Из (7)-(11) видно, что разность между энтропией Н(А) при обучении контингента А и энтропией Н(р) при обучении того же контингента разбитого на группы положительна:

АН = Н(А) - Н(р) = f^Pjlog, P¡ -j^ptajlog, p(at) >0, (13)

j=¡

т.е реализация технологии сотрудничества в учебном процессе приводит к снижению информационной энтропии Н(А) до значения Н(р). Это связано с тем, что при разбиении на группы появляются дополнительные каналы общения, обеспечивающие режим усиления целевой информации...

В рамках модели (7)-(12) построена ИКТ, реализация которой проводилась в 2007-2009 гг. на механико-математическом факультете СГУ им. Н.Г.Чернышевского при обучении студентов 1-го курса специальности 032100.00 по дисциплине «Алгебра» при изучении темы «Теория множеств». По просьбе автора, аналогичные эксперименты были поставлены в Воронежском государственном педуниверситете (проф. Потапов A.C., проф. Беляева Э.С.), в Костромском госуниверситете (проф. Секованов B.C.), а также в Борисоглебском государственном пединституте (проф. Тараканов А.Ф.). Проведенные эксперименты показали, что после проведения оптимизации группового сотрудничества количество студентов, выполнивших тесты с хорошими результатами, получается на 20% выше, чем при исходном тестировании.

Аналогичные эксперименты на школьном уровне проводились в 20052008 гг. на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского района г.Саратова в 4 «А» классе на уроках математики (совместно с Леонтьевой Н.Г.) и в 10-11-х классах в ходе авторского элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей с приложениями». Измерения показали, что в этом случае показатели успеваемости по математике улучшились на 27,5% в 4»А» классе и на 20-25% в 10-11-х классах. Улучшение показателей успеваемости (до 25%) также наблюдалось в аналогичных экспериментах, проведенных Абатуровой B.C. на уроках математики (9 класс) в Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН. Опытные данные, полученные на уровне начального обучения Е.В.Карповой (ЯГПУ им. К.Д.Ушинского) и О.Н.Шевко (средняя школа №74, г.Ярославль), демонстрируют увеличение показателей успеваемости примерно на 30%. Поэтому имеются достаточные основания констатировать, что в рамках информационной модели (7)-(12) разработан метод эффективной организации группового сотрудничества при обучении путем оптимизации процесса разбиения обучаемого контингента на коалиции по минимуму информационной энтропии при оптимальном разбиении. В рамках модели (712) получает объяснение известный факт повышения успеваемости в классе за счет оптимальной рассадки учеников на уроке. Оптимизация группового сотрудничества на занятии также является предварительным этапом при организации проблемного или эвристического обучения (см. ниже, рис.3).

В третьей главе «Теория семантических сетей при управлении качеством содержания образования и креативными процессами в обучении» показано, что эффективное управление учебным процессом путем воздействия на содержание школьной математики сводится к оптимизации структуры семантической сети, представляющей передаваемые знания. Для этого разработана концепция представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети.

Интерпретация содержания дисциплины в виде неформальной аксиоматической теории проводится следующим образом. Пусть Б=(М;1) -математическая структура, заданная системой основных множеств М={Ми ...;Мк}, основные отношения между которыми описываются системой аксиом I, ={а,;...;ая}. Теория Т7г(5) структуры 5 является счетным множеством, элементы которого упорядочены определенными правилами вывода, Ее формирование мыслится как некая потенциально бесконечная рекурсивная процедура, реализующая аналог универсума Ж. Эрбрана в виде информационного пространства теории 111(8). Элементы ТкСБ) определяют вершины предметной области орграфа Г (Б), интерпретирующего структуру 5 в виде семантической сети, дуги которой задаются с помощью коммутатора /-набора функций н>Г, где т;1й...;/„7] ;ТеТЪ(8),

символ есть неформальное логическое следствие утверждения Т из посылок . В итоге, сеть Г (Б) является парой (У;Е), где множество

вершин V и множество дуг Е определяются выражениями: У= Тк(8)^)1; Ее. (Тк(8) х1) и (Ух Е ); X - дополнение системы аксиом I до Тк(8), и, не ограничивая общность, систему I можно считать независимой.

Исследование топологии семантической сети Г (Б) реализуется по двум направлениям. Во-первых, определяются маршруты, расстояния и связность между предметными вершинами семантической сети Г (Я). Пусть в Г (Б) вершины у(|;г,;...: е V образуют: последовательность дуг

где = /¡е1; ¡ = 0;п-1. Тогда задан ориентированный

маршрут, между вершинами гп с г„, причем, вершины V,, 1=/; п-1 называют в этом случае промежуточными, выражая это в виде: г0 -< V, -< т„. Длина маршрута (14) и расстояние от вершины у0 до вершины \'„ определяются соотношениями: |7(у0;...;у„)| = л; |г(у(|;г„)| = ш/|7(г>0;т„)| , (15)

где |7(г0;гв)| -множество длин маршрутов от вершины у0 до у„. Во-вторых, в

сети Г (Б) задается специальная система покрытий следующим образом. Для произвольной вершины Т е ТЫБ) определяется множество:

и(Т)=ЩТ^ Т V Т^Т.Т^Т е Тк(Б),1еЫ}с: ЩБ), (16)

элементами которого являются вершины, из которых вершина Т достижима на орграфе Г (Б). Множество ЩТ) называется областью доминирования вершины Т в пространстве Тк(Б), а ее мощность \и(Т)\ определяет емкость области доминирования ЩТ). Пусть 1(1;Т) - множество маршрутов от аксиом I к вершине Т. С помощью (15) определяются расстояние от I до Т и диаметр области ЩТ): | г(Г ;Т)\ = т/\1(1;Т)\; й(ЩТ))=вир\1(Г,Т)\. (17)

В рамках концепции емкости и расстояния (17) определяется рекурсивная процедура формирования системы вложенных покрытий, реализующих принцип «матрешки» в структуре теории ТЫБ). Именно, выделяется счетное семейство подмножеств в цепи 77г(5,>:э77г/57:э77г,(5,):э..., (18)

так, что порождается цепочка вложенных покрытий пространства 77;(5) вида: ФА^сФВДсФОДс..., (19)

где Щ8) = {Т:ТеТк(8),г(Е;Т)>{), Щ8)={и(Т) :Т)}, Фк(Б) = = {и/Т): Т е Тк.(£)}, г = 1;2;.... Цепь (19) задает алгоритм обобщения знаний

в семантической сети Г (Б): если в цепи (19) выбрано некоторое «звено» Фк(Б), то предметная область знаний П(8) покрывается системой областей и.(Т)е Фк (Б) и в каждой такой области доминантная вершина Теи/Т) представляет обобщение остальных элементов области и.(Т). В результате области 17.(Т) классифицируются системой признаков, формирующих соответствующие понятия. В силу (19) в процессе обобщений реализуется принцип «матрешки» и уровень абстракции вводимых понятий постепенно нарастает, т.е. постижение знаний связано с развитием интеллекта.

Приведенные топологические соображения в пространстве 7Ъ(8) позволяют выделить классы задач оптимизации управления качеством системы знаний в процессе обучения математике в средней школе.

1. Оптимизация путем совершенствования аксиоматики теории 77?(57.

Ярким примером в этом классе является геометрия, аксиоматика которой восходит к «Началам» Евклида. Критика евклидовой аксиоматики последовала практически сразу, но наиболее отчетливо прозвучала в XVII-XVIII вв. во Франции в учебниках геометрии А.Арно (1667) и А.М.Лежандра (1794); окончательную «ревизию» подвела аксиоматика Д.Гильберта (1899). Во 2-ой половине XIX в. взгляды на геометрию смещаются в область алгебраических форм: появляется аксиоматика, опирающаяся на инварианты группы движения (Ф.Клейн, Ф.Шур и др.), а также векторно-точечная аксиоматика Г.Вейля (1918). Однако, в школьной геометрии выдерживается евклидова линия и дидактические принципы наглядности и доступности превалируют над математическим принципом абстракции. Абстрактные представления в духе Ф.Клейна и Г.Вейля в школьной программе выражены в меньшей степени и появились сравнительно недавно в контексте известной образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967). Тем не менее, оценка В.Г. Болтянского различных систем аксиом геометрии определяет векторно-точечную аксиоматику Вейля «как направленную в будущее». Пример евклидовой геометрии показывает, как путем оптимизации аксиоматики происходит эффективное дидактическое воздействие на содержание предмета в целом.

2.Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях. Пусть в сети Г(S) имеет место неформальный логический вывод:/т: Г н> Т.

Процедура доказательства утверждения Т е Tli(S) является упорядоченным множеством B(T)cU(T) так, что область U(T) - есть объединение всех доказательств утверждения Т. Пусть 1(1 ;Т) - множество маршрутов от аксиом S к вершине Т в доказательстве В(Т). Длина \Ь(Т)\ доказательства В(Т) представляет критический путь на В(Т) и определяется рекурсивно: |Ъ(Т)|= тах(\Ь(Т. )\;...;\Щ)1)+1 = d(B(T)), (20)

где d(B(T)) - диаметр В(Т), определяемый аналогично (17). Доказательство В(Т) также характеризуется емкостью \В(Т)\ и, управляя этими параметрами вывода, в сети Г (S) рассматриваются задачи оптимизации качества знаний. Пусть Bi(T);...;Bi(T) - доказательства утверждения Т е Th(S), имеющие длины \b\{T)[,...-,\bi{T)\ и емкости \Bi(T)\;...;\Bi(T)\. Тогда в сети Г(S) определяются следующие задачи оптимизации:

В0(Т)= opt(Bi(T);...;Bi(T))<=> |bo(T) \ = тт(\Ы(Т)\;...-,\Ь,(Т)\), (21) B0(T)= opt(Bi(T);...;Bi(T))о |B0{T) |= min(\Bl(T)[,...-,\Bl(T)\). (22) Оптимизация (21);(22) проводилась на примере теоремы Пифагора путем анализа существующих в школьной геометрии вариантов доказательств Евклида, Бхаскара и векторного способа. Параметры доказательств теоремы Пифагора Т в аксиоматиках Евклида, Гильберта и Вейля представлены в табл. 1, откуда видно, что оптимизация доказательств по критериям (21);(22) отдает предпочтение векторно-точечному доказательству в аксиоматике Вейля. Однако это приводит к повышению уровня абстракции в преподавании, что находится в обратной зависимости с принципами доступности и наглядности. Это обстоятельство нашло отражение в Таблица 1. Метрические характеристики основных вариантов

Доказательство Аксиоматика i ЫТ)

Евклид Евклид (IV в. до н.э.) 0 10 36

Бхаскар-1 1 9 23

Бхаскар-П Д. Гильберт (1899) 2 12 35

Векторно-точечное Г. Вейль (1918) 3 2 12

отечественной учебно-методической литературе по геометрии, анализ которой за период 1768-2000 гг. показывает, что во 2-ой половине XIX в. доказательство Евклида практически не встречается в школьных учебниках и используются, в основном, доказательства Бхаскара, которые более наглядны и доступны. Доказательства в духе Вейля в учебниках встречаются реже и появились в контексте образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967).

3. Ранжировка значимости элементов семантической сети и управление креативными процессами. Креативные процессы в обучении представляют обобщение имеющихся знаний на метауровень посредством эвристики. Связь между знаниями метауровня и посылками известной предметной области знаний выражается разбиением: Th(S) = Th''(S)иCTh'(S), где Th'(S) -текущее состояние теории Е с Th'(S)a Th(S); CTh'(S) - дополнение Th' (S) до Th(S), определяющее метауровень знаний, для которого отношение инцидентности в сети Г(S,) устанавливается эвристически.

Процедура оптимизации данного процесса исходит из представления о значимости вершин семантической сети, для чего вводится логическая дистанция от аксиом Е до вершины T:D(E;T) = min(\b\{T)\;...;\b„(T)\), (23) где \b](T)\;...',\b„{T) | - длины доказательств утверждения Т. Значимость в пространстве Tli(S) задается в виде отношения доминирования по Парето:

Г'<Го \U(T)\> \U(T')\ a D(E;T) < D(Е;Т'), (24)

где хотя бы одно из неравенств выполняется строго. По определению (24), утверждение Г более значимо, чем Т', и его смысл в том, что Т представляет более крупный узел сети r(S) (первое неравенство в (24)), расположенный ближе к ее источникам (второе неравенство в (24)).

Обоснование критерия значимости (24) проводится на языке теории случайных процессов. Установлено, что креативный поиск в пространстве Th(S) представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс Th(S;t) с непрерывным временем t>0 и счетным множеством состояний, моменты переходов между которыми случайным образом распределены на интервале t>0, причем, более значимые положения теории Th(S) имеют более высокие вероятности переходов между состояниями процесса Th(S;t). Таким образом, реализуется оптимальное управление процессом креативного поиска в процессе обучения на основе стратегии «больших узловых точек» в сети Г(S) или GMP-стратегии (great main points), которая предполагает исследование, исходящее из достаточно значимых положений Т„,;...;Tllt е Th(S'), выбранных по критерию (24). Индуктивная гипотеза Н, выдвинутая на основе этих положений, имеет больше шансов «материализоваться» как логическое обобщение исходных посылок. Существование «узловых точек» созвучно современным психологическим концепциям в области теории интеллекта (Холодная М.А.; Glaser R., 1984), по которым «узловые точки», обладая повышенной чувствительностью к семантическим воздействиям, могут качественно изменять характер понимания проблемной ситуации.

GMP-стратегия и пробле.мы Гильберта. Наглядной иллюстрацией оптимизации креативного поиска в рамках GMP-стратегии является решение известных проблем теории чисел, а также проблем Гильберта (1900), о которых точно известна хронология их постановки и решения. Анализ показывает, что, если период разрешения проблем Гольдбаха, Варинга и

Ферма в теории чисел составляет сотни лет, то проблематика Д.Гильберта при своем разрешении показывает уникальный результат, который оказывается на 1-2 порядка меньше. Важно отметить, что выбор 23 проблем из широкого многообразия математической проблематики рубежа XIX-XX вв. подразумевал вполне определенные «правила селекции», смысл которых, по сути, сводится к реализации ОМР-стратегии.

СМР-стратегия - как выражение кониепиии канона. Канон понимают как формирующее начало, генезис которого сводится к последовательному созданию устойчивых семантических образований и представляет некий алгоритм обучения, проводимый в рамках ОМР-стратегии. Для примера рассматривается теория государства, генезис которой исходит из канонов демократии, и ОМР-стратегия связана с аксиоматизацией принципа социальной справедливости в государстве, который определяется принятием решения большинством голосов. Развитие канона демократии в русле аксиоматической теории привело к созданию теории кооперативных игр, элементы которой представляют содержание школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), реализующего канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний

СМР-стратегия - как выражение идеи изоморфизма. В.Г.Болтянский при рассмотрении принципа наглядности пришел к формуле: наглядность = изоморфизм + простота. Сценарий ОМР-стратегии в рамках концепции изоморфизма в процессе обучения демонстрируют следующие примеры:

• концепция изоморфизма при решении текстовых задач школьной алгебры: из множества текстовых задач выделяются три класса задач - о заполнении резервуаров, на движение и на совместно произведенную работу, определяющие параметры и отношения которых связаны взаимно однозначным соответствием, позволяющим унифицировать методы решения текстовых задач в 9-м классе средней школы.

• операторная версия комплексных чисел в планиметрии: в данном случае при решении планиметрических задач в рамках элективного курса (10-11классы) используется изоморфизм между группой операторов поворота векторов плоскости и унимодулярной группой комплексных чисел С, с С, где С - поле комплексных чисел,- С, = {г: ге С, \г\=1).

• концепция изоморфизма и задачи линейного програлтирования(ЛП): проводится на междисциплинарном уровне обучения в рамках дисциплины по выбору специальности 032100.00 и, в усеченной версии элективного курса для 10-11 классов профильного экономического и физического обучения в школе, на примере задач ЛП; этот класс традиционно включает задачи экономического характера (транспортная задача, задача о планировании производства и др.), пополняется задачами физико-технического содержания (оптимизация освещенности, процесса электролиза и др.) и обобщается задачами нелинейной оптимизации, которые сводятся к линейным моделям.

СМР-спюатегия при реализации интегрированного обучении на основе концепции центризма проводится, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести).

• Концепция барицентра при определении объемов многогранников и круглых тел на уроках геометрии. Речь идет о проведении лабораторных

Рис.2

работ на уроках геометрии, в рамках которых с помощью взвешивания определяются формулы для объемов призмы, пирамиды, конуса и шара. В частности, для определения объема шара, путем взвешивания (рис.2) убеждаемся, что два цилиндра уравновешиваются тремя шарами. Тогда, если тч; т,„ - массы цилиндра и шара, то 2т,,=3тш , т.е.21/1(=Л/,„, т.к. тела выполнены из одинакового материала. По формуле объема цилиндра имеем V,, =8И=лИ22К =2лК3=1,5V,,, и Уш = 4л:К3/3, где Л - радиус шара, т.е. путём взвешиваний устанавливается формула для вычисления объёма шара.

• Концетцш барицентра в популяционной генетике. Концепция барицентра в этом случае проводится в виде барицентрических координат, которые позволяют описывать передачу наследственных признаков от поколения к поколению в рамках законов Г.Менделя, что позволяет определить равновесные состояния популяции, характеризуемые законом Харди-Вайнберга. Данный вариант ОМР-стратегии междисциплинарного обучения сводит сразу три дисциплины; механику, геометрию и биологию.

• Концепция колориметрического барицентра (КБЦ) и феномены психологии творчества и восприятия живописных произведений. Реализация ОМР-стратегии в этом случае сводится к формализации живописного образа в виде поверхности изображения 1т, с каждой точкой которой связан оттенок цветового пространства Р, так, что образуется некоторое подмножество декартова произведения /шх/7, представляющее смысловое пространство рассматриваемого живописного образа, являющееся объектом восприятия. Концепция КБЦ предусматривает построение отображения: 1тхГ—> И\ которое каждой точке живописного образа, в зависимости от ее цвета, ставит в соответствие неотрицательное число из множества IV, рассматриваемое в качестве «колориметрической» массы данной точки. Данное отображение

определяет структурно-колориметрический спектр живописного образа, по которому, на основе формул механики, находится его КБЦ; с его положением связаны особенности композиции данного произведения. Исследования проведены с помощью специальной ИКТ (Фирстов В.В., 2006), реализующей прямую загрузку больших массивов анализируемого живописного материала с порталов ведущих картинных галерей мира. Как показал компьютерный анализ 1174 картин различных жанров, школ и эпох, концепция КБЦ отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве. Материалы этого исследования внедрены на кафедре культурологии Саратовского государственного технического университета профессором А.В.Волошиновым в виде лекций и практических занятий, а также в процессе руководства курсовыми и дипломными работами студентов. Цели такого обучения в области эстетики ясно обозначил Платон, который в IV в. до н.э. отмечал, «как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны». Тем не менее, в античные времена зародилась идея о том, что у колыбели гуманитарного знания все-таки стояли рациональные принципы.

В четвертой главе «Опытуправления креативными процессами при формировании умений и навыков математического исследования в учебном процессе» демонстрируется методика проведения ОМР-стратегии -как одной из концепций в дидактике математического творчества, которая схематично представлена на рис.3.

В учебном процессе этот аспект отрабатывался на основе авторских монографий [1-4], материал которых составил содержание элективных курсов профильного уровня обучения математике и, в расширенной версии, тематику спецкурсов, а также курсовых и дипломных работ для студентов специальности 032100.00. Ниже даны контуры методики построения спецкурсов на основе ОМР-стратегии, исходя из теоремы Пифагора.

Задача Пифагора: новые интерпретации и генеалогия пифагоровых троек.

Исходный пункт. Задача Пифагора о нахождении натуральных решений уравнения х?+у?=г2, называемых пифагоровыми тройками.

Этап 1. Общее решение задачи Пифагора дано Евклидом и имеет вид: х=2аЬ; у=(Ь2 - а2); г=(Ь2 +а2), (25)

где а;ЬеЫ, Ь>а и пара (Ъ;а) образует так называемую примитивную пару взаимно простых чисел разной четности.

Этап 2. Дается изящное решение задачи Пифагора, опирающееся на свойства поля комплексных чисел. Пусть (Ь;а) — примитивная пара, с которой в комплексной плоскости проводятся следующие преобразования:

Ь + т 2аЬ-(Ь2 -а2)г х-

У1

л' - >7

,. .¡г - - =1=>х'+у2 = г' (26)

а+Ы о +а

гдех;у;г совпадают с решением (25) и представляют пифагорову тройку.

Этап 3. Имеет место взаимно однозначное соответствие (х;у;г)—> (Ъ;а), которое в рамках (25);(26) при геометрическом толковании операций с комплексными числами приводит к оригинальному решению задачи Пифагора путем построения с помощью циркуля и линейки.

Этап 4. Обобщение решения (25) получается, если его представить в виде: х2+у2= 0; г-у= 2а2; I + у = 2Ь2. (27)

Система (27) определяет два семейства парабол на конусе, которые образуют сеть, узлы которой определяют пифагоровы тройки с координатами (х;у;г).

Далее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00, дается полугрупповое обобщение задачи Пифагора, которое приводит к изящной интерпретации решения в виде трихотомического дерева, определяющего генеалогию пифагоровых троек.

Обобщенные пифогоровы построения (ОПП).

Исходный пункт. Конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов» используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора.

Этап 1.0т этой конфигурации строится неограниченная сеть квадратов, ЛЛДС, -> (А1А2В2В1:В1В'2С2С];С1С':,А'2А1) -> (А2А'2А[Аг;В2В}В'В2;С2С}С[С2) ->..., представляющая ОПП, топологию которых определяет бесконечный граф, являющийся одновременно эйлеровым и гамильтоновым (рис.4).

Этап 2. В сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов, в каждой из которых соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка вида: и„+:=5и„+1-и„ . (28)

Этап 3. Одноимённые вершины квадратов соответствующих серий ОПП (например, А,; А,; А5; ...; А2„.1В1; В3; ...; В2„-1, В2; В4; ...; В2„ и т.п., располагаются на гиперболе и всего, таким образом, получается 12 гипербол, имеющих общий центр в точке пересечения медиан АА^^].

Рис. 4.

Далее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00:

Этап 4. Решение уравнения (28) представляется в виде дерева с переменной ветвистостью, которое описывается в виде ультраметрического пространства (С.Л.Гинзбург, 1989), фрактальная размерность которого равна (1/1п5)1п(0,5(721+5)) «0,9735, при топологической размерности 0.

Этап 5. Устанавливается наличие общей связи между рекуррентными уравнениями 2-го порядка и„+2=ри„+1+ди„ и коническими сечениями, включая вырожденные случаи. В частности, при р+д-1 Ф 0 тип конического сечения зависит от дискриминанта £> характеристического уравнения: гипербола - при В>0, парабола - при В=0, эллипс - при £><0.

Таким образом, данные процедуры обобщений теоремы Пифагора довольно быстро приводят к результатам довольно высокого уровня, что свидетельствует об эффективном обучении математике в рамках вМР-стратегии. Помимо этого, реализованы варианты ОМР-стратегий на основе иных математических предпосылок. Исходя из теоремы о делении с остатком, в рамках школьного факультатива или спецкурса для студентов, продемонстрированы феномены теории чисел - реологические числа, отражающие неординарные свойства арифметических идемпотентов. В другом случае происходит обобщение канона классических магических квадратов, которое приводит к построению теории магических квадратов из

домино (МКД), в рамках которой определен общий алгоритм эффективного перечисления таких объектов, реализуемый в рамках ИКТ. В частности, определены все 957078 МКД размера 4x4, которые реализуются в 9 вариантах укладки; для 6x6 таких укладок оказывается 930, а их количество в реальное время определить пока не удается.

В заключении констатируется, что результаты диссертационного исследования, проведенного в русле принятой концепции, позволяют обосновать правомерность принятой гипотезы, и тем самым, реализовать поставленные цели и задачи данного исследования. Поэтому можно утверждать, что разработка теории математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент совершенствования школьного обучения математике. Наиболее важными представляются следующие общие моменты:

1). Разработка теории математических моделей в дидактике обеспечивает ей переход с уровня феноменологической теории на логико-математический уровень развитой теории, на котором, кроме функций фиксации и систематизации знаний, появляются также функции приращения, объяснения и предсказания результатов процесса обучения. Последний фактор имеет высокую значимость, т.к. на современном этапе школьная математическая подготовка подразумевает не только высокий уровень знаний предмета, но также приобретение компетенций, позволяющих реализовать эти знания в виде математической модели в рамках ИКТ.

2). Теория математических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе исходит из информационной сущности учебных процессов, воздействие на которую реализует управление этими процессами в соответствии с поставленными целями. Целевое воздействие может проводиться на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в данном учебном процессе, на основе которых формируются модели управления этими процессами.

3). Управление учебным процессом воздействием на количественный аспект информации образовательного контента проводится по критерию минимума информационной энтропии данного процесса (оптимизация 1-го рода). Разработана следующая система базисных моделей, управление которыми сводится к оптимизации 1-го рода:

• «Сократовский» диалог, алгоритм которого формируется на основе концепции развивающего обучения Л.С.Выготского и на этой основе построена модель обучающей ЭС общего назначения, реализующая управление показателями успеваемости учащихся в процессе обучения в рамках ИКТ;

• Организация эффективного группового сотрудничества на занятии путем оптимального разбиения обучаемого контингента на группы по критерию минимума групповой энтропии;

• Процедура оптимизации тематического планирования учебного процесса путем эффективного разбиения образовательного контента на дидактически законченные фрагменты, благоприятные для усвоения.

4). Управление учебным процессом воздействием на качественный (семантический) аспект информации образовательного контента сводится к оптимизации его «топологического портрета» в рамках когнитологической модели (оптимизация 2-го рода), реализованной в моделях формирования образовательного контента, креативной педагогики и междисциплинарного обучения.

5). Модели формирования образовательного контента строятся в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, которая надлежащим образом метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры оптимизации для управления качественными аспектами данной системы знаний, что позволяет выделить следующие классы задач сетевого управления:

• Оптимизация предметного содержания путем совершенствования аксиоматики теории, показанная на примере школьного курса геометрии;

• Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях путем минимизации его длины или емкости, которая способствует эффективной реализации дидактических принципов при обучении математике в школе;

• Ранжировка значимости элементов семантической сети при формировании креативного поиска в школьном обучении математике.

6). Создана общая теория управления креативными процессами при обучении математике как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом по критерию значимости, который задается в виде отношения доминирования между элементами семантической сети, представляющей предметное содержание, что приводит к «концепции больших узловых точек» или GMP-стратегии (great main points) для реализации эффективного поиска при обучении математике.

8). Опыт управления креативными процессами в учебном процессе на основе GMP-стратегии, апробирован в следующих формах:

• Путем анализа методики постановки и разрешения известных математических проблем Д.Гильберта (1900);

• В различных сценариях обучения на основе авторских монографий [1-4], в которых математическое исследование формируется в русле GMP-стратегии, исходящей из теоремы Пифагора;

• В различных сценариях обучения на основе оригинальных авторских исследований в области реологических чисел [4;23] и магических квадратов из домино [4;26], где GMP-стратегия проводится, соответственно, из теоремы о делении с остатком и канона классических магических квадратов.

9). Проведение GMP-стратегии при реализации межпредметных связей математики в процессе обучения осуществляется в рамках некоторой общей методологии, представленной в следующих вариантах:

• GMP-стратегия, исходящая из канона демократии путем аксиоматизации идеала справедливости на основе принятия решения большинством голосов, который формирует модель государства, составляя содержание школьного факультатива при обучении обществознанию.

• GMP-стратегия, проводимая в категории морфизма на основе управления дидактическим принципом наглядности, и демонстрируемая с помощью текстовых задач школьной алгебры, операторной версии комплексных чисел в планиметрии и задач линейного программирования.

• GMP-стратегия, проводимая на основе концепции центризма, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести). На этой основе реализован лабораторный практикум по определению объемов школьных многогранников и круглых тел путем взвешивания; барицентрические координаты описывают законы наследственности Г.Менделя, реализуя приложения математики в генетике; концепция колориметрического барицентра, как выяснилось, отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве.

Естественно, выполненное исследование не исчерпывает всех аспектов проблемы, сформулированной в данной диссертационной работе, однако можно говорить о том, что область приложений кибернетики в педагогике довольно широкая и вряд ли будет уменьшаться. По-прежнему, остаются проблемы эффективной интеграции ИКТ в образовательное пространство, т.к. прогресс в области ИКТ сильно опережает темпы их внедрения в учебные процессы. Далека от разрешения проблематика параллельных алгоритмов в обучении, начатая в свое время П.М.Эрдниевым путем укрупнения дидактических единиц в математике. Наконец, не исчерпан арсенал идей в области междисциплинарного проведения GMP-стратегии.

В приложениях к диссертации приведены: программа спецкурса «Обучающие экспертные системы» для будущих учителей математики и, в усеченной версии, для школьников профильного уровня обучения; технологические компоненты (тесты) для реализации оптимального группового сотрудничества в учебном процессе; конспект факультативных занятий в 9-м классе по теме «Нестандартное решение задач на совместно произведенную работ}' (СПР)»; пакет задач для проведения элективного курса «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии» (10-11 классы) и рабочая программа дисциплины по выбору «Избранные вопросы алгебры: линейное, дробно-линейное и квадратичное программирование в контексте школьного образования».

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях автора:

Монографин.

1. Фирстов, В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек [Текст] / В.Е.Фирстов // Монография.-Саратов: ООО Изд-во«Научная книга»,2004. - 91 с. (5,7 п.л.).

2. Фирстов, В.Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора [Текст] / В.Е.Фирстов // Монография. - Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2005. -136 с.(8,5 п.л.).

3. Фирстов, В.Е. Информационно-стохастическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Монография. - Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. - 55 с. (3,44 п.л.).

4. Фирстов, В.Е. Кибернетическая концепция и математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в школе и вузе [Текст] / В.Е. Фирстов //Монография. - Саратов: Издательский Центр «Наука», 2010. - 511 с. (32 п.л.).

Публикации в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

5. Фирстов, В.Е. Механические приемы подсчета объемов [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова // Математика в школе, 2001, №5. - С.40-42 (0,18 / 0,1 п.л.).

6. Фирстов, В.Е. Теорема Пифагора как источник замечательных математических открытий, идей и обобщений [Текст] / В.Е.Фирстов // Математика в школе, 2001, № 9. -С.59-63 (0,31 п.л.).

7. Фирстов, В.Е. Семантическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2006, №3 (14), вып. 1. - С. 34-43 (0,63 п.л.).

8. Фирстов, В.Е. Стохастическая модель построения информационного пространства дедуктивной теории и оптимизация исследовательской работы в области математики [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2006, №4 (17), вып. 2. - С. 13-21 (0,56 п.л.).

9. Фирстов, В.Е. Концепция развивающего обучения Л.С.Выготского, педагогика сотрудничества и кибернетика [Текст] / В.Е. Фирстов // Ярославский педагогический вестник, 2008, Выпуск №4(57). - С.98-104 (0,44 п.л.).

10. Фирстов, В.Е. Экспертные системы и информационная концепция развивающего обучения [Текст] / В.Е. Фирстов // Ярославский педагогический вестник, 2009, №1(58). - С. 69-73 (0,31 п.л.).

11. Фирстов, В.Е. О преподавании математики на гуманитарных направлениях и специальностях вузов [Текст] / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня, 2009, №2. -С.82-84 (0,18 п.л.).

12.Фирстов, В.Е. Кибернетическая концепция в современном учебном процессе [Текст] / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня, 2009, №3. - С.66-68 (0,18 п.л.).

Публикации в реферируемых изданиях.

13. Фирстов, В.Е. Обучение в диалоге: кибернетический аспект [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2007, №4 (28), вып. 1. - С 135145 (0,69 п.л.).

14. Фирстов, В.Е. Количественные меры информации и оптимизация группового сотрудничества при обучении [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд.техн. ун-та, 2008, №3 (34), вып. 1. -С. 105-109 (0,31 п.л.).

15. Фирстов, В.Е. Информационная технология организации группового сотрудничества при обучении [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2009, №2 (39), вып.2 - С. 101-103 (0,18 п.л.).

16. Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек [Текст] / В.Е. Фирстов // Математические заметки, 2008, т. 84, выи. 2. - С. 281-299 (1,13 п.л.).

17. Firstov, V.E. Conception of colorimetric barycenter in painting analysis [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov // Proc. Intern. Congress on Aesthetics, Creativity and Psychology of the Arts (Perm, 2005). - Moscow: Smysl, 2005. - P. 258-260 (0,18 / 0,06 пл.).

18. Firstov, V.E.The concept of colorimetric barycenter in group analysis of painting [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov // Culture and Communication: Proc. XIX Congress of the Intern. Assoc. of Empirical Aesthetics.-Avignon (France): IAEA, 2006. -p. 439-443 (0,31 /0,1 п.л.).

19. Firstov, V.E. The Concept of Colorimetric Barycenter and Visual Perception of the Color Balance Center in Painting [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov // Proc.XX Biennial Congress of the Intern. Assoc. of Empirical Aesthetics.-Chicago (II.,USA): IAEA, 2008.- P.273-277 (0,31 /0,1 п.л.).

20. Firstov, V.E. The Colorimetric Barycenter of Paintings [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov, P. Locher // Empirical Studies of the Arts, 2007, V. 25, № 2. - P. 209-217 (0,56/ 0,14 пл.).

21. Firstov, V.E. A Special Matrix Trasformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples [Text] / V.E. Firstov // Mathematical Notes, 2008, v. 84, № 2. -P.263-279 (1 пл.).

22. Firstov, V.E. Semantic Model and Optimization of Creative Processes at Mathematical Knowledge Formation [Text] / V.E. Firstov // Natural Science, 2010, Vol.2, No.8. -P. 915-922 (0,5 пл.).

23. Фирстов, B.E. Реологические числа и их связь с полурешетками колец классов вычетов [Текст] / В.Е.Фирстов // 54-е Герценовские чтения: Проблемы теории и практики обучения математике. - С.-Пб: изд-во РГПУ им. Герцена, 2001. - С. 136-138 (0,18 п.л.).

24. Фирстов, В.Е. Рекурретные последовательности и семейство гипербол при обобщениях теоремы Пифагора [Текст] / В.Е. Фирстов. - Там же. - С. 139-141 (0,18 пл.).

25. Фирстов, В.Е. Рекурретные уравнения и их связь с алгебраическими кривыми [Текст] / В.Е. Фирстов. - Там же. - С. 141-142 (0,13 пл.).

26. Фирстов, В.Е. Алгебраические интерпретации домино и их приложения [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды 4-й международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов. - Ульяновск: УлГУ, 2001. - С. 149-151 (0,18 п.л.).

27. Фирстов, В.Е. Линейное программирование при решении некоторых физико-технических задач [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В.Серебрякова // Новые технологии в образовании. Сб.науч. трудов международной электронной конференции. - Воронеж: изд-во ВГПУ, 2001. - С.70-71 (0,13 / б,07п.л.).

28. Фирстов, В.Е. Раннее тестирование в средней школе [Текст] / В.Е.Фирстов, В.А.Иванов. - Там же. - С.75-77 (0,18 / 0,09п.л.).

29. Фирстов В.Е. Мониторинг достижений учащихся начальной школы [Текст] /

B.Е. Фирстов, В.А.Иванов, С.А.Ворошилов, Г.Ю.Науменко [и др.] // Развитие тестовых технологий в России. Материалы Всерос. научно-практ.конф. - М.: Минобр. РФ, 2002. -

C.87-88 (0,13 /0,02 пл.).

30. Фирстов, В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации пифагоровых троек [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды П-х Колмогоровских чтений. - Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Душинского, 2004..- С.368-375 ( 0,5 пл.).

31.Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек [Текст] / В.Е. Фирстов // Чебышевский сборник, 2005,т.6, вып. 1(15).-С. 163-183 (1,31 пл.).

32. Фирстов, В.Е. Информационно-стохастическая модель и оптимизация при формировании математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды IV-x

Колмогоровских чтений. - Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2006. - С. 240252 (0,81 п.л.).

33. Фирстов, В.Е. Семантические сети и эффективное формирование математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды У-х Колмогоровских чтений. -Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2007. - С. 172-182 (0,69 п.л.).

34. Фирстов, В.Е. Из опыта организации открытого образования в Саратовском госуниверситете им. Н.Г.Чернышевского [Текст] / Н.А.Иванова, Л.Ю.Коссович, И.Г. Малинский, В.Е. Фирстов // Труды У1-х международных Колмогоровских чтений. -Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2008. - С. 317-320 (0,25 / 0,06 п.л.).

35. Фирстов, В.Е. О преподавании математики в гуманитарной области высшего образования [Текст] / И.К.Погорелов, В.В. Фирстов, В.Е. Фирстов. - Там же. - С.287-298 (0,75 / 0,25п.л.).

36. Фирстов, В.Е. Линейное программирование при решении некоторых физико-технических задач [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В.Серебрякова // Преподавание естественного цикла в вузе и школе. Сб. науч. трудов. - Саратов: ООО «Исток С», 2001. - С. 62-67 (0,31 /0,16 п.л.).

37. Фирстов, В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры: теоретический аспект [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин // Актуальные вопросы региональной педагогики. Сб. науч. трудов. Вып.7. - Саратов: изд-во СГУ, 2005. - С. 32-38 (0,44 /0,15 п.л.).

38. Фирстов, В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры (примеры решения задач) [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин.-Там же. - С. 38-43 (0,38 / 0,13 п.л.).

39. Фирстов, В.Е. Некоторые аспекты преподавания математики в гуманитарной области высшего образования [Текст] / И.К.Погорелов, В.В. Фирстов, В.Е. Фирстов // Учитель - ученик: проблемы, поиски, находки. Сб. науч. трудов. Вып.6. - Саратов: ИЦ «Наука», 2008. - С. 18-32 (0,94 / 0,31 п.л.).

Учебно-методические пособия.

40. Фирстов, В.Е. Тесты по математике для учащихся 6-х классов общеобразовательных учреждений [Текст] / В.Е. Фирстов, В.А. Иванов, Т.В.Калмыкова // Первый уровень профессионального тестирования. Под ред. Л.Ю.Коссовича и А.И.Самыловского- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. - С. 86-112 (1,68 / 0,56 п.л.).

41. Фирстов, В.Е. Тесты по математике для учащихся 4-7 классов [Текст] / В.Е. Фирстов, В.А.Иванов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. -40 с.(2.5 /1,25 п.л.).

42. Фирстов, В.Е. Комплексные числа в виде линейных операторов при решении планиметрических задач [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова, Н.А.Гордиенко, Э.С.Беляева // Комплексные числа и их приложения. Учебное пособие. - Воронеж: изд-во ВШУ, 2004. - 160 с. (10 /2,0 п.л.).

43. Фирстов, В.Е. Теория множеств. Книга для 5-7 классов ЗМШ при СГУ им. Н.Г. Чернышевского [Текст] / В.Е. Фирстов. - Саратов: ЦОО СГУ, 2004. - 62 с. (3,88 п.л.).

44. Фирстов, В.Е. Сборник тем курсовых работ по математике (алгебра, математическая логика, дискретная математика) [Текст] / В.А.Молчанов, В.Е.Новиков, Т.М. Огрыванкина, В.Е. Фирстов. - Оренбург: ГОУ ОГУ.2004 - 68 с.(4,3 / 0,8 п.л.).

Формат 60x92/16. Объём 2,5 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 312

Типография ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского»

150000 г. Ярославль, Которосльная наб., 44

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Фирстов, Виктор Егорович, 2010 год

Введение.

Глава 1. Кибернетическая концепция в теории обучения: основания, проблематика, математические модели, классы задач и реализации

1.1. Современное представление кибернетики

1.1.1. Исторический экскурс и понятийный аппарат кибернетики

1.1.2. Формализованное описание кибернетической системы.

1.1.3. Классы задач для кибернетических систем.

1.2. Смысл и сущность кибернетической концепции в обучении

1.2.1. Процесс обучения в парадигме кибернетики: вопросы обоснования и проблематика.

1.2.2. Метрические характеристики информации и их интерпретация в учебном процессе.

1.2.3. Качественный аспект информации в обучении.

1.3. Концепция искусственного интеллекта (ИИ) в учебнолм процессе

1.3.1. Искусственный интеллект: исторический экскурс.

1.3.2. Психологические теории развития интеллекта.

1.3.3. Психологические аспекты искусственного интеллекта.

1.3.4. Элементы когнитологии

1.3.4.1. Общие положения.

1.3.4.2. Модели представления знаний.

1.3.4.3. Манипулирование знаниями.

1.3.5. Модели распознавания образов и учебный процесс.

1.3.6. Автоматизированные обучающие системы (АОС)

1.3.6.1. Некоторые общие замечания относительно АОС.

1.3.6.2. Задачи дидактики, разрешимые в рамках АОС.

1.3.6.3. Проблемы использования современных информационных технологий.

1.3.6.4. Проблемы интерфейса в АОС.

1.3.6.5. Проблемы обучения в гипертекстовой среде.

1.3.6.6.Тенденции развития АОС: адаптивные обучающие системы (АдОС).

1.3.7. Электронная педагогика (ЭП)

1.3.7.1. Экспертные системы (ЭС).

Введение диссертации по педагогике, на тему "Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода"

Тот, кто, повторяя старое,способен найти новое, может стать наставником Конфуций

Актуальность исследования. Концепции кибернетики хорошо прослеживаются в процессе формирования педагогической науки, начиная с периода ее зарождения, имея в виду, например, «сократовский» диалог, который по сей день является важнейшим компонентом учебного процесса. Объективно, это обусловлено тем, что в области дидактики педагогика опирается на теорию когнитивных процессов, реализующих преобразование и передачу информации (знаний и опыта) от поколения к поколению, и, поскольку информационная сущность процессов управления была осознана только в середине XX в., то длительное время продвижение кибернетической концепции в педагогике происходило на основе эмпирико-эвристических соображений, без должной систематизации [301].

Уровень общественного развития рубежа ХХ-ХХ1 вв. характеризуется необходимостью реализации нарастающих массивов информации, которой следует распорядиться рационально и в ограниченное время. Наметившаяся тенденция отражает главные проблемы современного образования, которые сводятся к интенсификации учебных процессов, реализующих усвоение больших массивов знаний, приобретение опыта и выработку необходимых компетенций в течение ограниченного периода обучения^ Необходимость эффективного управления учебными процессами определяет актуальность кибернетической концепции в педагогике, поскольку определение параметров управления такими процессами опирается на определенные дидактические закономерности рассматриваемого процесса. По Л.Б. Ительсону [122], определение научной закономерности в педагогике подразумевает построение символической модели, изоморфной определенным инвариантным связям и отношениям, объективно имеющим место в определенных условиях между определенными явлениями или факторами педагогического процесса. Таким образом, концепция кибернетики реализует метод исследования педагогических процессов, проводимый в категории морфизма, и основу моделирования в этом случае составляет метод функциональных аналогий' (МФА), разработанный П.К.Анохиным [13-15] в рамках теории функциональных систем Э.Л. Поста [337;356], и, реализованный в психофизиологии. Важно отметить, что управление в «кибернетике сводится к преобразованию информации, которая представляет основное понятие кибернетики и является измеряемой величиной. Поэтому процессы передачи и преобразования информации в педагогике можно трактовать как изменение количества информации в данных процессах и выразить это в виде соответствующих математических моделей.

Актуальность кибернетической концепции в педагогике обусловлена также тем, что в настоящее время ИКТ, фактически, стали неотъемлемой частью учебных процессов. В^ то же время, вопросы теории обучения в информационно-образовательной среде до конца не урегулированы. Остается проблематика рациональной интеграции ИКТ в образовательное пространство, а также оптимизации факторов человеко-компьютерного интерфейса в учебных процессах, разрешить которую без привлечения кибернетических принципов затруднительно (Н.Д.Никандров [206], B.JI. Матросов [188], Я.А.Ваграменко; И. В ¿Роберт [118]). Современные интеллектуальные обучающие системы (ИОС) строятся на основе данных когнитивной и гештальт-психологии [159], моделируя отдельные нейросетевые алгоритмы обучения нейронных ансамблей в человеческом мозге, которые реализуют параллельную обработку информации [372;373] . Трактуя обучение как целенаправленное распознавание образов учебной информации, подобные алгоритмы представляют большой интерес в педагогике. В этом аспекте актуальность кибернетического подхода обусловлена возможностью моделирования поведения и мыслительных процессов человека, проводя на уровне искусственного интеллекта или нейродинамики эффективные алгоритмы обучения (F.Rosenblatt [377], М.М.

Бонгард [45], Я.З.Цыпкин [344], М.Минский [191;192], RJ.Anderson [359], J J.Hopfild [373] и др.).

Проведение кибернетической концепции в сфере образования призвано обеспечить качественное улучшение показателей обучения. Это подразумевает не только повышение уровня знаний обучаемого контингента, но также приобретение им достаточных умений и навыков интерпретации этих знаний в виде математической модели и ее последующей реализации в виде ИКТ, способствуя самоактуализации и формированию необходимых компетенций в процессе образования личности. Выполнение этих требований обеспечивается, если соответствующая кадровая подготовка включает все перечисленные компоненты педагогической деятельности. В этой связи, актуальность данного вопроса обусловлена тем, что стратегическая линия, проводимая в государственных стандартах высшего профессионального образования (ГОС ВПО-2), включая специальность 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью», как по версии 2000 г.[83], так и в действующей версии 2005г. [84], в плане математической подготовки специалистов предусматривает профессионально направленное обучение, однако само содержание профессионально направленного обучения математике при этом не конкретизируется. Такое положение, в принципе, сохраняется в предлагаемых проектах ФГОС ВПО-3 по направлению подготовки «Педагогическое образование», разработанных творческим коллективом РГПУ им. А.И.Герцена, Mill У и МППУ под общим руководством Г.А. Бордовского, B.JI. Матросова и В.В. Рубцова совместно с подразделениями Минобрнауки России в рамках компетентностного образовательного подхода, принятие которых намечено на 2010 г. [244]. Поскольку вопросы общей теории обучения математическому моделированию пока, в полной мере, не разрешены, то, фактически, вузам, кафедрам и преподавателям предложено самим сформировать и развернуть это содержание. Естественно, для многих преподавателей такое обучение становится инновационным, а потому следует предусмотреть возможность повышения- квалификации в данном направлении и, например, представляется оправданным, введение в программы аспирантуры» весомого образовательного компонента с организацией- соответствующих курсов, как это предлагается в материалах Болонского процесса [39;40; 128]. Общие подходы при разработке: У дидактики математического- моделирования; учебных процессов, /как показывает имеющийся опыт педагогики 60-70 гг. XX в., можно формировать, в русле кибернетической концепции.

Очерченная проблематика при своем разрешении выводит на инновационные пути развития педагогической науки, реализуя! положения «Национальной доктрины развития? образования в РФ (на период 2000-2025 гг.)» [203] и, приоритетные направления национальных проектов в области образования1 [146;212;242;269;285;338]. Эти положения требуют выработки адекватного управлениям образованием, которое задается в рамках государственных образовательных стандартов: С 01.01.2010 введен в действие новый ФГОС начального общего образования [289] и в течение 2010 г. планируется! подготовка материалов ФГОС общего . образования . 2-го поколения (под ред. А.М.Кондакова и А.А. Кузнецова) [147], в основу которых положен системно-деятельностный подход, разработанный в- отечественной психолого-педагогической науке (Л.С. Выготский [67], А. Н. Леонтьев [¿61], П. Я. Гальперин [71] и др.). Деятельностный подход исходит из постулата о том, что психологические способности человека есть результат преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю психическую деятельность путем последовательных преобразований. В рамках ФГОС 2-го поколения такой подход предполагает: переход к стратегий социального проектирования и конструирования^ в системе образования на основе разработки содержания и технологий образования; ориентацию на развитие личности на основе усвоения универсальных учебных действий; признание решающей роли содержания образования, организации образовательной деятельности и взаимодействия участников образовательного процесса в достижении целей образования. Развитие стандартов' ВПО происходит более динамично. Например, в рамках ГОС ВПО-2 по специальности 032100.00 в редакции В.Д. Шадрикова (2000) уровень подготовки выпускников определялся профессиональной подготовленностью специалиста, включающей: умение осуществлять процесс обучения математике учащихся средней школы с ориентацией на воспитание и развитие личности школьников; умение использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, а также иметь целостное представление о математике и ее месте в современном мире. В ГОС ВПО-2 по той же специальности в редакции А.Г. Свинаренко (2005) уровень подготовки выпускников определяется умением решать определенный перечень типовых задач профессиональной деятельности. Помимо указанных видов деятельности, в этот перечень вошли: планирование и проведение учебных занятий по математике с учетом специфики тем и разделов программы; использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения математике, в том числе ТСО и ИКТ; применение современных средств оценивания результатов обучения; реализация личностно-ориентированного подхода к образованию и развитию обучающихся для создания мотивации к обучению и др. Наконец, в предлагаемых проектах ФГОС ВПО-3 по направлению «Педагогическое образование» оценка подготовки выпускников выходит на уровень профессиональных компетенций, т.е. способности применять полученные знания, умения и личные качества для эффективной профессиональной деятельности.

Такой вектор управления современным российским образованием обусловлен реалиями XXI в. в связи с переходом к постиндустриальному обществу, который ускорил процессы глобализации, и профессиональная деятельность протекает в постоянно изменяющихся условиях, требуя умения мобильно решать возникающие нестандартные проблемы. Поэтому, как подчеркивается в «Концепции модернизации Российского образования», «развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать решения, прогнозируя их возможные последствия; отличаются профессиональной: мобильностью и способны к сотрудничеству, обладая? чувством ответственности за судьбу страны и ее социально-экономическое процветание». В условиях, когда в системе образования принятие обоснованного решенияг по оптимизацииа образовательных траекторий происходит в ограниченное время, естественно, необходимо прибегнуть¡к-математическому моделированиюкак; самих педагогических процессов (макроуровень), так и в самом педагогическом процессе(микроуровень). Математическое моделирование является^теоретической основошкйбернетики и, таким образом, представленная аргументация говорит о том, что, разрешение широкого круга вопросов педагогической проблематики в рамках кибернетической: концепции, проведенное в данном диссертационном исследовании, является актуальным и своевременным, способствующим развитию педагогической науки и совершенствованию отечественного образования. - ; :

Кибернетическая»концепция вшедагогике: аналитический обзор. В силу , целенаправленности и информационной сущности педагогических процессов, связь между кибернетикой и педагогикой носит объективный характер. Эта связь реализуется на основе теории информации и кибернетики (К.Шеннон [349], Н.Винер [61]; 1948), опираясь на универсальные информационные принципы управления процессами любой природы, включая педагогические. В союзе с кибернетикой педагогическая наука, помимо экспериментального метода исследования, приобретает основательный теоретический метод, переводящий педагогическое знание с уровня феноменологической (описательной); теории на логико-математический уровень развитой теории (в терминологии В.К.Лукашевича [170]). Дело в том, что в рамках кибернетики в систему педагогических знаний вводятся обобщающие абстрактные конструкты и набор принципов, которые воспроизводят исследуемый объект в виде определенным образом структурированной совокупности элементов и их отношений. Поэтому у педагогию! на уровне развитой теории, кроме функции фиксации знаний, за счет логического вывода появляются функции приращения, объяснения и предсказания знаний об исследуемом объекте. Объективность этого процесса обусловлена тем, что педагогическая наука все больше нуждается в формализованном языке, причем не столько для реализации собственных концепций, сколько для анализа непростой логики дидактических процессов [162].

Ситуация в современной отечественной педагогике напоминает ситуацию, сложившуюся в физике в конце XVII в., когда, на основе обобщения предшествующего опыта, И.Ньютон в трактате «Математические начала натуральной философии» (1687) сформулировал три основных закона механики и, добавив к ним в виде аксиомы правило параллелограмма для сложения сил, на этой основе дал теоретическое обоснование классической механики [51]. Таким образом, в рамках классической механики появилась теоретическая физика, способная развиваться, объяснять факты и делать предсказания «на кончике пера», как это произошло, например, при открытии планеты Нептун Дж.К.Адамсом (1841) и У.Ж.Леверье (1846) [132]. В этом смысле, хотя современная педагогика и представлена, в основном, на уровне феноменологической теории, однако содержит весомый кибернетический контент, который при нарастающей информатизации образовательного пространства объективно увеличивается, и вопросы моделирования, толкования и прогнозирования педагогических процессов приобретают существенное значение.

В отечественной педагогике кибернетические традиции основательно разрабатываются около полувека. Общие вопросы, определяющие смысл и сущность кибернетического моделирования педагогических явлений и процессов, а также анализ структуры и содержания обучения с позиций кибернетики, одним из первых, рассмотрел Л.Б.Ительсон (1964) в своей монографии [122]. После организации в 1966 г. Научно-методического совета по педагогике высшей школы при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР на его 2-м пленуме (1967) был заслушан доклад С.И. Архангельского «Научная организация учебного процесса» [110], в котором принципы кибернетики и теории информации активно распространялись в область высшего образования. Если следовать материалам обсуждения программного доклада [110], то направление на сближение педагогики и кибернетики, в целом, не встретило возражений. Критика в основном касалась того, что данное направление должным образом не было конкретизировано и наполнено содержанием. Реакцией на критику явилась серия монографий С.И.Архангельского (1974-1980 гг.), в которых, на уровне высшего образования, представлена кибернетическая концепция по вопросам научной организации учебного процесса и теории обучения [19-21]. '

В 70-е гг. делались попытки систематизации педагогики в рамках развитой логико-математической теории и, таким образом, концепции кибернетики проникли в дидактику, имея в виду работы П.Я.Лернера и В.Г.Болтянского. Под руководством И.Я.Лернера основательно изучался вопрос о построении логики дидактического исследования при разрешении проблематики обучения [162]. В работах В.Г. Болтянского дается математическая трактовка дидактического принципа наглядности посредством идеи изоморфизма и понятия простоты, выраженного в терминах теории информации [44]; в этом же ключе трактуется аналогия - как параллельный алгоритм обучения, в основе которого лежит общность аксиоматики рассматриваемых предметов [42].

Согласно кибернетической концепции эффективное управление педагогическими процессами может проводиться, как по линии совершенствования их системной организации, так и путем воздействия на их содержание, посредством оптимизации структуры семантической сети, представляющей передаваемые знания. Соответственно, придерживаясь концепции академика В.И. Арнольда [17], в первом случае, речь идет о «жестких», а, во втором случае, о «мягких» моделях управления педагогическими процессами. Оба компонента управления позволяют выделить некоторый комплекс математических моделей, которые, в определенной степени, можно считать базисными в педагогике, и на этой основе построить общую теорию математического моделирования педагогических процессов.

Продвигаясь по направлению совершенствования организации процессов обучения, Ю.К.Бабанский, на основе кибернетических принципов, разработал классификацию методов обучения по трем признакам — организации, стимулированию и контролю учебного процесса [28]. По сути, в предложенной классификации организация учебного процесса предполагает выделение управляющей системы (обучающая сторона) и объекта управления (обучаемый контингент), которые связанны положительной (стимулирование) и отрицательной (контроль) обратными связями.

В 70-х гг. XX в. Л.Б. Ительсону удалось показать [123], что в основе всякой системы принципов и методов обучения (модели обучения) лежит определенная психологическая теория научения. В связи с этим, имеющийся педагогический опыт говорит о том, что управление учебным процессом путем эффективного воздействия на содержание обучения может осуществляться в разных формах, в зависимости от психологической модели, лежащей в основе обучения. К примеру, в основе концепции развивающего обучения Л.С.Выготского по системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова лежит идея усвоения знаний на теоретическом уровне обобщения и его содержание формируется как система научных понятий, определяющая общие способы действия (способы решения задач) [92]. Если в основу обучения положена концепция поэтапного формирования умственных действий П.Я.Гальперина, то содержание обучения представляет собой некоторый алгоритм, направленный на выполнение определенной деятельности [70;71]. На уровне высшей школы довольно широкое распространение получило модульное обучение, при котором содержание учебного курса при изучении разбивается на отдельные фрагменты (модули), представляющие относительно самостоятельные логически завершенные части, предполагающие межмодульную интеграцию данного курса [272].

Более сложное воздействие на содержание обучения реализуется в идее укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева, процедура формирования которых задается аксиоматически и иллюстрируется примерами [354]. Если эту процедуру определить алгебраически, то, фактически, для укрупнения дидактических единиц элементы содержания обучения связываются некоторой системой отношений общности так, что порождается определенный набор классов, каждый из которых представляет целостную систему с известными свойствами и принимается за дидактическую единицу. Сформированный набор классов также образует систему, поскольку между классами сохраняются логические связи, предписанные исходным содержанием обучения, однако обучение в рамках образованной системы дидактических единиц, в силу их укрупнения, сопряжено с усвоением меньшего массива информации, чем обуславливается положительный учебный эффект. По существу, процедура укрупнения дидактических единиц в обучении - это не что иное, как параллельные алгоритмы обработки содержания обучения, которыми объясняется высокая эффективность обработки информации человеческим мозгом [177;221;339] и, вероятно, поэтому идея укрупнения дидактических единиц в обучении, реализованная П.М.Эрдниевым, названа академиком В.И.Журавлевым «идеей века».

В целом, вопросы формирования содержания образования в педагогике пока остаются дискуссионными и, в этой связи, выделяются три концепции [282], трактующие содержание как: педагогически адаптированные основы наук, изучаемых в школе или вузе [270]; совокупность ЗУН, которые должны быть усвоены обучаемым контингентом [31]; педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный сложившимся культурным ценностям во всей их структурной полноте (В.В. Краевский, [282]). В последнем случае в основу положена так называемая тринитарная методология Р.Г. Баранцева (2003), по которой в содержании образования рассматриваются три равноправных компонента: фундаментальность (передача знаний), гуманистическая ориентация (воспитание) и практическая (профессиональная) направленность (развитие умения).

Формирование содержания образования, во многом, отвечает за его качество. Дело в том, что абстрактные количественные меры информации своим происхождением обязаны принципу абстракции, положенному Г. Кантором для описания множественных объектов [275], и, как только эти меры соотносятся с реальными объектами, они приобретают качественные аспекты, связанные с природой данных объектов. В частности, абстрактное количество информации, связанное с образовательным контентом, в учебном процессе приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами (смысл, ценность, объективность, наглядность, системность, актуальность, и т.п.), причем, эффективность качественных показателей данного контента определяется его структурой и формой. Вопросы качества образования обозначены в приоритетных направлениях развития системы образования РФ на период до 2010 г. в части разработки Общероссийской системы оценки качества образования (ОСОКО) [41]. Система показателей ОСОКО, естественно, должна строиться на основе некоторой общей теории меры качественного аспекта информации, позволяющей оценивать качество - как меру отклонения фазовой траектории системы от поставленных директив (целей образования). Попытки построения такой теории предпринимались в 60-х гг. XX в. в работах Н.М. Амосова, Р.Карнапа, Й. Бар-Хиллела, Ю.А. Шрейдера, A.A. Харкевича и др. [284]. В последние десятилетия для этих целей задействованы концепции синергетики (Г.Хакен [340]), поскольку самоорганизацию на микроуровне системы можно рассматривать как возникновение некоторых качеств на ее макроуровне. Однако, пока разработка общей теории меры качественной информации конкретных результатов не дала, и нет ясности даже относительно существования неких общих качественных мер. Поэтому, при создании эффективной ОСОКО формирование системы оценочных показателей представляет проблемный фактор [41].

Один из подходов к разрешению проблематики управления качеством содержания образования опирается на исследования, проводимые с 1997 г. в Ярославском педуниверситете им. К.Д. Ушинского в рамках подготовки учителей естественно-научного профиля на основе инновационной концепции фундирования содержания предметных курсов (В.Д. Шадриков, Е.И. Смирнов [231]). В рамках этой концепции фундирование рассматривается как процесс приобретения, освоения и преобразования опыта личности при создании механизмов и условий для актуализации и интеграции базовых учебных элементов школьных и вузовских знаний и видов деятельности с последующим теоретическим обобщением и расширением практического опыта в направлении профессионализации знаний и выработки профессиональных компетентностей будущего педагога. В деятельностном аспекте педагогического процесса реализация принципа фундирования приобретает спиралевидный характер (спираль фундирования), что соответствует диалектическому пониманию развития системы знаний. В русле концепции фундирования разработан и внедряется экспериментальный ГОС высшего педобразования по специальности «Математика» (приказ № 2046 от 14.05.2001 г., МО РФ), на основе которого в ЯГПУ им. К.Д. Ушинского успешно практикуются дидактические модули по теории вероятностей (В.В.Афанасьев, [26]) и математическому анализу (Е.И. Смирнов [200]) для будущих учителей математики. Как представляется, общий подход к управлению качеством образования путем воздействия на его содержание в рамках кибернетической концепции сводится к представлению образовательного контента в виде семантической сети, метрические и топологические характеристики которой являются параметрами управления, реализуя оптимизацию по интересующему показателю качества [299;302].

Проведение кибернетической концепции в отечественном образовательном пространстве отличалось нерегулярностью и период ее интенсивного развития в 60-70 гг. сменился заметным спадом на рубеже 70-80 гг., имевшим объективные предпосылки, среди которых можно назвать следующие. Фактически, на тот момент кибернетическая концепция в практике педагогики была представлена в виде программированного общения (Б.Ф. Скшшер [172], П.Я. Гальперин [70], В.П. Беспалько [31] и др.) и, до некоторой степени, системой обучения на основе укрупнения дидактических единиц (П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев [354]). В первом случае, алгоритмическая психологическая, модель, лежащая в основе программированного обучения, существенно ограничивает его применение, поскольку реальные механизмы мышления гораздо сложнее. Во втором случае, психологическая модель, лежащая в основе укрупнения дидактических единиц, по сути, воспроизводит параллельные алгоритмы деятельности человеческого мозга, однако сами механизмы «распараллеливания» программ такого рода деятельности пока представляют нерешенную проблему и; таким образом, основательная теория формирования укрупненных дидактических единиц в учебном процессе отсутствует. Поэтому в СССР на рубеже 70-80 гг. реальных основ для дальнейшего развития кибернетической концепции в образовании было недостаточно, однако имелись и более веские причины, обусловившие спад в этом направлении. Главная из них! заключалась в том, что в приведенных обоснованиях кибернетической концепции в педагогике Л.Б.Ительсона [122] и С.И.Архангельского [19] вопросы теории математического моделирования педагогических процессов, в основном, рассмотрены только частным образом и не содержится общей концепции по этим вопросам. Тем самым, основной приоритет кибернетики — оптимизация управления педагогическими процессами посредством математического моделирования не получает полного обоснования.

За рубежом в развитых странах (США, Англия, Франция, Япония и др.) такой спад не нaблюдaлcЯj поскольку с появлением компьютеров в 80-е гг. в этих странах началось интенсивное формирование образовательного киберпространства, что в педагогической психологии наметило постепенный переход от концепции бихевиоризма к концепции когнитивной психологии (Дж. Андерсон, 1983 [359]). В этот период в образовании реализуются многочисленные ИКТ-версии систем тестирования [1;201], создаются обучающие экспертные системы (ЭС) [120;272] и автоматизированные обдающие системы (АОС) в виде локальных компьютерных сетей (компьютерных классов) [152]. Дальнейшее развитие АОС представляют так называемые адаптивные обучающие системы (АдОС) [50], позволяющие в широком формате реализацию технологий личностно-ориентированной педагогики [152]. С появлением Интернет-компоненты образовательного пространства происходит активное развитие новых форм открытого образования посредством дистанционного обучения [11].

В России аналогичные процессы инициировались в 1996 г., когда в Москве состоялся Конгресс ЮНЕСКО, который ясно показал, что многие страны связывают дальнейшее развитие национальных систем образования с широкоформатным использованием дистанционных технологий обучения. Это направление получило широкую поддержку вузовской общественности России в рамках Всероссийского эксперимента в области использования ИКТ в дистанционном обучении, который проводился в 1997-2002 гг., и его результаты в июне 2002 г. коллегией Минобразования РФ оценены положительно [257]. В целом, фактор отставания России в этой области не следует расценивать только негативно, поскольку проблематика электронной педагогики далека от полного разрешения и при разработке общей теории обучения в виртуальном образовательном пространстве совершенствование зарубежного опыта оказывается полезным. Это показывает, например, опыт реализации открытого образования в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского, начиная с 1999 г. [252;297].

Практически, одновременно с появлением ЭВМ в середине прошлого века в кибернетике выделилось отдельное направление, получившее название «искусственный интеллект» (ИИ), которое обозначило в качестве проблематики моделирование процессов человеческого мышления при разрешении поставленных задач. Естественно, это направление было исторически подготовлено и опиралось на формальную логику Аристотеля, алгебру Дж. Буля и представление об алгоритме А.М.Тьюринга [188]. В отечественной науке в русле ИИ-концепции проводилась разработка теории обучающихся систем, как систем способных с течением времени улучшать свои показатели (Я.З. Цыпкин, 1970, [344]). Затем в 80-е гг последовала «эпоха» ЭС и, хотя одна из первых ЭС предназначалась для обучения географии, тем не менее, в образовании данная ИКТ не нашла пока широкого применения, главным образом, из-за высокой трудоемкости и стоимости создания соответствующих программ [272]. Впрочем, этот аргумент представляется дискуссионным и зависит от масштабного фактора, и, например, опыт Ярославского педуниверситета при подготовке студентов демонстрирует успешную (и экономически приемлемую) реализацию лабораторного практикума по численным методам в математике, используя, фактически, в качестве ЭС графический калькулятор CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS (B.B. Боргун, Е.И. Смирнов,[46]).

Со временем, ИИ-направление приобрело междисциплинарный характер и сейчас в значительной степени опирается на ■1 данные нейрофизиологии, биохимии, когнитивной и гештальт-психологии, а также нелинейной динамики и теории функциональных систем, так, что сейчас о нем больше говорят как о нейронауке (или нейродинамике). И, хотя природа человеческого мышления как объект исследования рассматривается с античных времен, тем не менее, пока бесспорно одно - процессы мышления генерируются только при наличии соответствующего опыта, а потому одна из главных ролей в них отводится организации информационной памяти. С развитием нейрофизиологии и гештальт-психологии, природа такой организации к середине XX в., более-менее, стала проясняться в работах Д. Хебба [183;372], который показал, что организация долговременной памяти в мозге связана с образованием замкнутых нейронных цепей и при неоднократном возбуждении нейронов этой цепи последняя стабилизируется, принимая устойчивую нейросетевую конфигурацию (гештальт), сохраняющую соответствующую информацию. Воздействие на любой нейрон этой конфигурации приводит ее в возбужденное состояние и, таким образом, необходимая,информация извлекается из памяти.

Машинный вариант механизма памяти по Хеббу связан с реализацией так называемых параллельных алгоритмов обработки информации и, судя по всему, пока представляет весьма сложную задачу [58; 177]. По-видимому, Природе в ходе эволюции удалось найти очень удачное решение этой задачи, которое пока ускользает от исследователей, но ставки достаточно высоки, поскольку обеспечивают выход на исключительно эффективные алгоритмы обучения. Пока на этом пути созданы сравнительно простые нейросетевые алгоритмы обучения, поколение которых начинается с перцептрона Ф. Розенблатта (1958) [377] и его последующих обобщений [241]. В отечественном образовательном пространстве это направление известно пионерскими работами М.М. Бонгарда (60-е гг. XX в.), проводившего в обучении ту линию, которая в ИИ* известна как распознавание образов. По Бонгарду, всякий учебный процесс (будь то традиционное обучение или обучение искусственного интеллекта) сводится к последовательному и целенаправленному распознаванию образов учебной информации. Таким образом, моделируя деятельность мозга в. рамках простейших нейросетевых моделей (вроде перцептрона Ф. Розенблатта), реализованы программы «Арифметика» (распознавание числовых таблиц, построенных по разным арифметическим законам) и «Геометрия» (распознавание геометрических образов в виде биполярных клеток) [45]. Наиболее популярной математической моделью нейросетевого обучения в настоящее время является сеть Хопфилда, элементы которой моделируются нейронами Мак-Каллока -Питтса [58;177;373]. «Обучение» в этом случае представляет нелинейный процесс в толерантном пространстве с аттрактором цели и использует механизмы организации долговременной памяти, установленные Д. Хеббом.

По сути, модель Хопфилда реализует процедуру обучения системы с ассоциативной памятью и важно подчеркнуть, что учебный процесс в такой «нейросетевой педагогике» реализует «обучение» некоторой компьютерной программы. Естественно, при этом рамки традиционной педагогики расширяются, охватывая обучение не только homo sapiens, но также систем с искусственным разумом. В принципе, подобный сценарий уже реализуется, например, в системах экстренного ситуационного управления, банковских операциях, медицинской диагностике [150] и, можно сказать, что первенство в этом вопросе представляется стратегически важным. Отметим, что в зарубежной литературе алгоритмы обучения нейронных сетей иногда именуют «искусственной психикой», а данное научное направление в целом — коннекционизмом [177].

В целом, отечественное образование, имея богатейшие традиции [135]; с конца 50-х гг. XX в. часто подвергалось реформированию и, нередко, происходило так, что в системе образования, говоря языком синергетики, после очередной реформы процессы самоорганизации пройти не успевали, а вновь накатывающаяся реформа попросту смывала значительную часть ранее полученного положительного опыта [247;277]. Понятно, что реформы такого масштаба имеют серьезные экономические и социальные последствия, поскольку затрагивают интересы практически всего населения. Поэтому на передний план выходит проблематика качественного прогноза, позволяющего адекватно оценить возможные последствия на моделях, которыми располагает современная отечественная наука, и, которые прошли достаточную апробацию. Например, такой прогноз, на основе нелинейной 3-параметрической модели, был реализован в 1994 г. специалистами Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН и Ярославского госуниверситета им. П.Г.Демидова при оценке последствий условий кредита Всемирного банка реконструкции и развития в размере 2 миллиардов долларов на «реструктуризацию системы образования» России. По прогнозу, условия кредита в среднесрочной перспективе явно не отвечали интересам

России и предпочтительнее представлялся инновационный путь развития [179]. Насколько повлияли эти рекомендации на принятие решения сказать трудно, но, так или иначе, от этого кредита Всемирного банка отказались и положения «Национальной доктрины развития образования в РФ (на период 2000-2025 гг.)» [202] явно обозначают инновационную траекторию развития образования России. Оценивая в целом образовательные реформы в России [47], начатые в 90-х гг., среди положительных системных моментов можно выделить принятие необходимой законодательной базы в области образования и государственных образовательных стандартов (ГОС) [107;286], концепцию фундаментальности образования [282] и некоторые другие; в отношении интеграции высшей школы, Болонского процесса и ЕГЭ оценки явно неоднозначные.

Касаясь зарубежного опыта кибернетики в педагогике, по имеющимся сведениям можно констатировать, что его первые проявления относятся к началу 60-х гг. прошлого века [370], т.е. примерно в то же время, что и в отечественной педагогической науке. Как показывает анализ, специфика зарубежного опыта кибернетики в педагогике позволяет выделить три основных направления исследований: психологические модели научения и их приложения в учебном процессе; ИИ-проблематика и когнитология; нейросетевые модели обучения. «Нейросетевая» педагогика, реализующая обучение системы с ассоциативной памятью, берет начало со знаменитой нейросетевой модели перцептрона Ф. Розенблатта (1958) [192;377] за которой потянулся целый «шлейф» многослойных обобщений (неокогнитрон Фукусима-Миякэ, коннектионист и т.п.) [177;241] и, на сегодняшний день, на практике часто используется нейросетевая модель Хопфилда [177;373]. Приложения психологических моделей в обучении рассматриваются в монографии известного американского специалиста по теории вероятности Ф. Мостеллера из Гарвардского университета [52], где убедительно показано, как появляется ассоциативная память у системы, воспроизводящей марковский процесс, что позволило объяснить механизм возникновения так называемых «когнитивных карт» в опытах Э.Толмена с крысами, ищущими выход из лабиринта [172;241]. В продвижении бихевиористической концепции в психологии важную роль сыграли исследования выдающегося австрийского биолога К. Лоренца (1903-1989), удостоенные Нобелевской премии по физиологии и медицине (1973) [199], который показал, что поведение живых организмов, по сути, представляет процесс адаптации с внешней средой по принципу обратной связи. Однако, наиболее важными, представляются успехи в вопросах понимания механизмов человеческого мышления, имея в виду открытие функциональной специализации полушарий головного мозга человека (Р. Сперри, Нобелевская премия, 1981, [346]) и концепцию самоорганизованной критичности [222;374;378]. Эти факты дают основания полагать, что определенные механизмы мышления следуют логике принципа дополнительности: правое полушарие формирует образ интересующей проблемы (самоорганизованная критичность), а левое полушарие идентифицирует появившийся в сознании образ как истинный или ложный (решение проблемы). Подобные механизмы вполне объясняют феномены креативной педагогики [267], а также в области искусства [101]. В педагогическом аспекте это создало прецедент в пользу того, что в 80-е гг. прошлого века достаточно обстоятельно начала обсуждаться проблематика дополнительности методов обучения и на сегодняшний день логика принципа дополнительности присутствует в системе основных дидактических принципов [354].

В области когнитивной психологии заметную роль сыграли работы профессора Гарвардского университета Дж. Андерсона, который, одним из первых, выдвинул тезис о том, что в науке о мышлении центральной является проблема обучения и приобретения знаний. Исходя из этого, Андерсон в книге «Архитектура познания» (1983) выступил с новой теорией обучения, которая известна как теория ACT [359]. В модели ACT обучение разбивается на два этапа — декларативный и процедурный, в зависимости от состояния знаний. Переход с одного этапа на другой происходит с помощью механизма компиляции знаний; дальнейший процесс обучения осуществляется за счет механизма координации знаний. Представление о современном состоянии ИИ-области и когнитологии достаточно подробно дается в монографиях японских специалистов, где рассмотрены вопросы обработки знаний [215]; представления и утилизации знаний [239], приобретения знаний в диалоге (экспертные системы), обучения путем распознавания образов, а также теории индуктивных выводов и аналогии (вопросы эвристики) [241].

Приведенные аргументы показывают возможности кибернетики при разрешении педагогической проблематики и свидетельствуют об усилении тенденций в этом направлении. Дело в том, что кибернетика способствует развитию педагогической науки, позволяя разрешать возникающие противоречия между ее содержанием и формой не только посредством опыта, но и в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации педагогических процессов. Конечно, кибернетическая модель педагогического процесса представляет его некий аналог, однако такие модели имеют количественную интерпретацию, что дает возможность получения такой информации о педагогических явлениях, какую не дают собственные понятия педагогики, т.е. кибернетическую концепцию в педагогике следует рассматривать в логике принципа дополнительности. Поскольку управление в кибернетике — это преобразование информации в абстрактном смысле, то, следуя логике принципа дополнительности, в педагогике, таким образом, могут разрешаться противоречия самой различной природы и, в этой связи, в современном образовательном пространстве объективно имеют место следующие противоречия:

• между положением действующих ГОС ВПО-2 и проектов ФГОС ВПО-3 по направлению «Педагогическое образование», предусматривающем У при подготовке учителей по специальности 032100.00 (050201) профессионально направленное обучение математике, и нерешенными вопросами дидактики математического моделирования на уровне школьного обучения математике;

• между сложившейся практикой интерпретации опыта обучения математике в средней школе на уровне феноменологической теории, как это имеет место в рамках действующих РОС школьного образования 1-го поколения и проектах ФГОС 2-го поколения, и необходимостью адекватного толкования и теоретического предсказания при выборе стратегии управления процессом обучения математике в средней школе;

• между объективным процессом возрастания массивов информации, передаваемой обучаемому контингенту в процессе обучения, и директивным требованием по качеству ее усвоения за ограниченный период времени в системе образования;

• между проведением личностно-ориентированного подхода при обучении математике в школе и недостаточным уровнем проработки вопросов управления креативными процессами при обучении математике;

• между различием логических методов в математике и гуманитарных науках и необходимостью реализации эффективного обучения математике в гуманитарной области образования;

• Предметные элементы исследования. Необходимость отыскания общих путей разрешения указанных противоречий определяет проблему настоящего исследования^ которая носит многомерный характер, и ее решение, в принципе, может происходить только в рамках некоторой универсальной научной парадигмы, каковой: в данном случае выступает кибернетика. Поэтому, в целом, обозначенная проблема. формулируется в следующем виде: «Каким образом и насколько эффективно кибернетическая концепция может использоваться для управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических'знаний и компетенций школьников?»

Актуальность, высокая практическая значимость и недостаточная разработанность указанной проблемы обусловили выбор темы настоящего диссертационного исследования: «Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода».

Объект исследования — процесс обучения математике в полной средней школе.

Предмет исследования — методы управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода.

Цель исследования — на основе кибернетической концепции разработать теорию и математические модели управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе.

Концепция исследования — представляет разработку научных основ решения поставленной проблемы путем построения основательной теории математических моделей управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе, исходя из информационной сущности педагогических процессов:

2). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на количественный аспект информации, реализуемой в учебном процессе, формируются на основе метрических функций. Процедура оптимизации в этом случае носит универсальный характер и названа оптимизацией 1-го рода. В ее основе лежат абстрактные количественные меры информации и управление данными процессами проводится по критерию минимума информационной энтропии.

• управление путем совершенствования аксиоматики теории;

• оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях;

• ранжировка значимости элементов семантической сети.

5). Ранжировка значимости элементов семантической сети формирует управление креативными процессами учащихся, опираясь на закономерности генезиса математикиу. Формально, творческий поиск представляется случайным процессом в информационном пространстве данной аксиоматической теории и его оптимизация по критерию значимости реализует одну из стратегий оптимального управления ветвящимся марковским процессом.

Гипотеза исследования — разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике, если:

• алгебраические модели обучения (тестирование, ЭС, классно-урочная система, АОС, АдОС и т.п.), разработаны в рамках системных дидактических принципов (целостности, развивающего обучения, наглядности и др.);

• для базисных моделей организации группового сотрудничества, на занятии (коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке, проблемного обучения и т.п.), а также процедуры календарно-тематического планирования предметного материала в учебном процессе механизм оптимизации происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данных процессах;

• принимается во внимание, что повышение эффективности обучения математике в средней школе путем организации группового сотрудничества на занятиях имеет ограничение сверху, уровень которого определяется онтогенетическими параметрами обучаемого контингента;

• управление качеством школьного обучения математике строится на основе контент-анализа его содержания, представленного неформальной аксиоматической теорией в виде семантической сети, топологические характеристики которой являются параметрами оптимизации качества данного математического контента (за счет выбора совершенной аксиоматики и путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода), при этом процесс управления вписывается в систему дидактических принципов обучения;

• при интегрированном обучении математике в средней школе реализация ОМР-стратегии для управления креативными; процессами проводится в рамках некоторой общей: методологии - (канона, центризма или морфизма), способствуя- развитию познавательных мотиваций и математическому самообразованию учащихся.

Задачи исследования — ставятся в соответствии с целью, концепцией и гипотезой исследования и сводятся к следующим:

1). На основе психологической концепции развивающего обучения Л.С. Выготского построить алгебраическую модель обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения;

3). Построить базисные теоретико-информационные модели для управления когнитивными процессами, учащихся при обучении- путем воздействия на количественный аспект информации соответствующего образовательного контента в рамках оптимизации 1-го рода: л :

• модель организации эффективного группового сотрудничества, в процессе обучения, в которой оптимизация разбиения обучаемого контингента на группы проводится по принципу минимума информационной энтропии при оптимальном варианте разбиения;

• провести обоснование выявленной закономерности оптимизации управления учебным процессом при организации группового сотрудничества или модульного обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули).

4). Разработать и обосновать концепцию представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической» теории в виде семантической сети, а также определить классы задач и параметры сетевой оптимизации 2-го рода, позволяющие путем воздействия на качество образовательного контента повышать эффективность учебного процесса:

5). На основе историко-математических исследований (Г.И. Глейзер [78], А.П. Юшкевич [355] и др.), анализа психологии математического творчества (Р.Декарт [92], Г.Лейбниц [117], И.Кант [125] и др.) и современных психологических теорий интеллекта (М.А.Холодная [342]; В^авег. [370] и др.), разработать математическую модель управления креативными процессами при обучении математике в средней школе, для чего следует:

• показать, что управление процессом математического творчества формируется как управление случайным процессом марковского типа,1 и стратегия такого управления вытекает из характерной закономерности генезиса математики, по которой роль ее отдельных положений в процессе развития неодинакова и управление таким процессом реализуется по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей ту область математики, в которой перед обучаемым поставлена проблема;

35 ■" ■■ ■.;•. : области соответствующей семантической сети, что приводит к концепции

GMP-стратегии, по которой творческий поиск оказывается результативным, если он исходит из значимых теоретические посылок;: .

6). Выяснить влияние онтогенеза на управление когнитивными процессами учащихся в рамках разработанного комплекса математических моделей при обучении математике в средней школе. .

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

• концепция структурализма в методологии науки (Ф. де Соссюр, К. Леви-Строс, М.Фуко и др.);

• концепции педагогической психологии в «классическом» варианте (К.Д.Ушинский, П.П.Блонский, М.Я.Басов, С.Л.Рубинштейн, Ж.Пиаже, Л.С.Выготский, П.ЯГальперин, А.Н;Леонтьев и др.);.

• положения психофизиологии (И.М.Сеченов, В.М.Бехтерев, И.П: Павлов: теория рефлекса), гештальт-психологии (М.Вертгеймер, В.Келер й др.) и нейрофизиологии (Д.Хебб: механизмы памяти);

• функциональная концепция психологии (W. James), теория функциональных систем и метод функциональных аналогий (Э.Л.Пост, П.К.Анохин, В.Д.Шадриков);

• концепции кибернетики (Н.Винер), теории информации (К.Шеннон, Н. Рашевский, АН. Коломогоров) и синергетики (И.Р.Пригожин- Г.Хакен);

• личностно-ориентированная концепция образования (Б.М.Теплов, В.В.Краевский, В.В.Давьвдов, В.Д.Шадриков, И.Я.Лернер и др.);

• опыт применения кибернетики в педагогике (Л.Б.Ительсон,

C.И.Архангельский, В.П.Беспалько, A.B. Брушлинский, Ю.К.Бабанский );

• педагогические концепции развивающего (Л.С.Выготский, Л.В. Занков, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов), проблемного (С.Л.Рубинштейн, М.Н. Скаткин, М.И.Махмутов, И.Я.Лернер) и эвристического (Д. Пойа, A.B. Хуторской) обучения;

• концепции педагогики группового сотрудничества в учебном процессе (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, А.В.Петровский, Д.Б.Богоявленская);

• концепции фундирования и наглядного моделирования Ярославской педагогической школы в проектировании содержания и технологий обучения математике (В.Д.Шадриков, В.В. Афанасьев, Е.И.Смирнов);

• современные концепции интеллекта: гештальт-психологические и когнитологические теории (R.Glaser, J.R.Anderson, Б.М.Величковский, Б.Г. Ананьев, В.М.Сергеев), процессуально-деятельностный подход (Л.А.Венгер А.В .Брушлинский,), информационный подход (Э.Хант, Р.Стернберг), интеллект как форма организации ментального опыта (М.А.Холодная);

• концепция «искусственного интеллекта» (А.М.Тьюринг, Э.Пост, Н.Винер, К.Шеннон, Дж. фон Нейман, А.Н. Колмогоров, В.JI.Матросов, С.К.Клини, М.Минский, Я.З.Цыпкин, В.М.Глушков, Д.А.Поспелов и др.);

Методы педагогического исследования, используемые для решения поставленной проблемы, представляют комплекс взаимодополняющих методов, проводимых адекватно цели и задачам диссертационного исследования в рамках общелогических методов познания (сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения, индукции, дедукции, аналогии и моделирования). Комплекс теоретических методов исследования составляют: метод единства исторического и логического, аксиоматический метод, формализация (математическое моделирование), гипотетико-дедуктивный метод, а также метод восхождения от абстрактного к конкретному, за которым следует апробация теоретических результатов в предметной области исследования традиционными методами педагогической диагностики: наблюдение, экспертные оценки, тестирование и опрос. Для апробации теоретических моделей управления когнитивными процессами школьников при их обучении математике проводились прямые эксперименты в учебном процессе, достоверность результатов которых устанавливалась стандартными средствами проверки статистических гипотез (программа Statistica for Windows, V.6).

Экспериментальная база и этапы исследования. Исследования по теме диссертации проводились в 1997-2010 гг. и затронули период, когда в России проходила интеграция региональной высшей школы [62; 174]. Поэтому начинались исследования на базе физико-математического факультета Саратовского государственного педагогического института им. К.А.Федина, а после интеграции продолжились на механико-математическом факультете Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

На уровне школьного образования исследования;проводились в школах №65 Волжского, №18 Фрунзенского, №93 Кировского и на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского районов г. Саратова, а также по линиям ГОУ ДНО «Саратовский институт повышения' квалификации и переподготовки работников-- образования (СарИПКиПРО)» Министерства образования Саратовской области; ИД1Ю СГУ, филиала Федерального центра тестирования при СГУ и Центра открытого образования СГУ.

На 1-ом этапе (1997-2002гг.) формировалась парадигма исследования, направленного на. повышение эффективности школьного математического образования. В основу был положен генетический принцип обучения математике в оригинальной трактовке, суть которой сводилась к тому, что пути совершенствования данного предмета следует искать среди закономерностей генезиса математики. Для этого проводился широкий историко-математический анализ [59;78;142;355], позволивший выявить характерную закономерность, по которой в процессе развития математики роль отдельных математических положений явно неодинакова. Трудно, например, переоценить значимость для математики таких положений, к!ак теорема Пифагора [332], теория отношений и метод исчерпывания Евдокса [142], алгоритм Евклида [204], концепция- барицентра Архимеда! [22] и, др.; которые остаются достаточно востребованными в современной математике [29;85;93;332]. Поэтому потенциал, идей; связанных с такого рода значимыми положениями (универсумами), далеко не исчерпан и его реализация ведет к обнаружению оригинальных математических результатов. Таким образом, формируется оригинальная ОМР-стратегия управления процессами математического творчества, которая способствует развитию познавательных мотиваций учащихся в процессе школьного обучения, т.к. результативность творческого поиска в математике оказывается выше, если этот поиск проводится в виде последовательных обобщений некоторого универсума (или их комбинации). Для апробации ОМР-стратегии и выяснения особенностей методики ее реализации строилась цепочка обобщений, исходя из универсума, каковым выступила теорема о делении с остатком [315-317;323]. Результатом явилась теория так называемых реологических чисел (чисел с памятью), которые отражают свойство полугруппы идемпотентов кольца классов вычетов. Это исследование подтвердило концептуальные предпосылки ОМР-стратегии и составило содержание элективного курса «Реологические числа и их свойства» для старших классов средней школы и, в расширенной версии, для студентов — будущих учителей математики [324].

На 2-м этапе (2002-2006гг.) с целью выяснения возможностей вМР-стратегии указанный исследовательский сценарий продолжился в области комбинаторной теории домино [291-293] и, далее, поле исследований было распространено в область геометрии, где творческий поиск проводился путем последовательных обобщений от значимого положения, каковым выступала теорема Пифагора [319-321]. Результаты исследований [319-321] расширены и систематизированы в двух монографиях [312;322], которые выдержаны таким образом, что их материал служит основой для нескольких элективных курсов, как для школьников профильного математического уровня, так и для студентов математических специальностей университетов и педвузов. В монографии [312] обобщается известная задача о пифагоровых тройках, решение которой восходит к Пифагору, Платону и Евклиду [65]. В монографии [322] обобщается известная конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов», используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора [204], которая определенным образом неограниченно продолжена, и в результате образуется связанная сеть квадратов, именуемая обобщенными пифагоровыми построениями (ОПП). Анализ полученных результатов обнаруживает общую характерную закономерность этих исследований, состоящую в том, что они довольно быстро (—10 шагов обобщений) приводят к оригинальным результатам достаточно высокого математического уровня и в некоторых случаях обозначают новые подходы к решению проблем современной математики. При этом, используемый математический аппарат только в отдельных случаях выходит за уровень школьного углубленного изучения математики и, хотя в процессе обобщений уровень абстракции постепенно нарастает, тем не менее, понимание и усвоение нового математического материала, привлекаемого в процессе исследования, в этом случае облегчено, поскольку его применение органично вписано в разрешение конкретной ситуации, в соответствии с постулатами концепции наглядного моделирования.

Данные результаты показали, что в рамках СМР-стратегии посредством определенной педагогической деятельности реализуется эффективное математическое образование и самообразование школьников, и конкретную причину такой эффективности можно установить, исследуя структуру математического знания, что было сделано в авторской монографии [299], где содержание рассматриваемой области математики представлено в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети. Эта сеть метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет определить параметры оптимизации, управляющие качественными аспектами рассматриваемой системы знаний. Установлено, что качеством системы знаний в области математики управляют два фактора: рациональный выбор системы аксиом и параметры (длина или емкость) дедуктивного вывода для элементов семантической сети, моделирующей данную систему знаний [326;327]. Как показывает исторический опыт, именно эти факторы управляют развитием школьной геометрии в отечественной дидактике на протяжении последних 250 лет, причем, закономерность такова, что в школьном обучении геометрии принципы наглядности и доступности, как правило, доминировали над принципом математической абстракции [91; 245; 299].

На 3-м этапе (2006-2010гг.) дается толкование закономерностей креативных процессов на основе ОМР-стратегии при обучении математике в школе [299;331]. Для этого между элементами семантической сети, представляющей рассматриваемую систему математических знаний, на основе их сетевых параметров вводится отношение доминирования и, таким образом, элементы сети ранжируются по значимости. Креативный поиск трактуется как случайный процесс освоения данной семантической сети и представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс. Его особенность такова, что у элементов с большей значимостью в процессе креативного поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы) оказывается выше, что объясняет причину эффективности GMP-стратегии при формировании математического исследования от универсума.

Обобщение GMP-стратегии на междисциплинарный уровень обучения математике исходит из общей методологии принципа П.Тейяра де Шардена: «Какой-либо феномен, точно установленный хотя бы в одном месте, в силу фундаментального единства мира, имеет повсеместные корни и всеобщее значение» [250]. Конкретно, GMP-стратегия проводилась в русле определенных концепций: канона, центризма и морфизма [313;314]. В обществоведении важнейший демократический принцип управления в рамках GMP-стратегии проводится из канона демократии, который выражает идеал справедливости принятием решения большинством голосов граждан. В рамках GMP-стратегии этот идеал аксиоматизируется и на этой основе строится формальная теория государства, которая составляет предмет современной теории кооперативных игр, а ее элементы представляют основу соответствующего школьного факультатива [218;219]. Концепция центризма в рамках GMP-стратегии реализуется в рамках архимедовой концепции барицентра по трем направлениям. Во-первых, на этой основе проводится интегрированный лабораторный практикум «Определение формул для объемов выпуклых многогранников и круглых тел методом взвешивания» для учащихся 11-х классов средней школы, в котором для определения пространственных мер геометрических объектов используются концепции механики [308]. Во-вторых, концепция барицентра в интерпретации А.Мебиуса представляет оригинальную трактовку законов популяционной генетики (Менделя, Харди-Вайнберга и др.) [29] и на этой основе проводятся интегрированные занятия на уровне школьного профильного обучения биологии. В-третьих, концепция барицентра распространяется в цветовое пространство произведений живописи и посредством современных ИКТ позволяет установить закономерности психологии восприятия живописного искусства [313;365-368] и, таким образом, реализуется один из подходов к обучению математике в гуманитарной области знаний [313;314]. Концепция морфизма в рамках междисциплинарной ОМР-стратегии проводилась в виде универсального подхода к решению текстовых задач на движение, совместно произведенную работу и заполнение резервуаров в рамках школьного факультатива по алгебре в 9-х классах [294-296]; на основе операторной версии комплексных чисел при решении задач планиметрии в 10-11 классах профильного уровня обучения математике [304]; в виде элективного курса «Задачи линейного программирования в экономике и физике» для 10-11 классов соответствующего профиля [306;307].

Полученные результаты приводят к определенной системе взглядов на процессы математического обучения с позиций кибернетики, позволяющей решать вопросы управления такими процессами путем воздействия на целевую информацию — систему математического знания [301]. Таким образом, на основе кибернетической концепции формируется общий подход к построению теории математических моделей учебных процессов, который изложен в итоговой авторской монографии [302]. При таком подходе психологическая концепция развивающего обучения Л.С.Выготского моделируется системой алгебраических автоматов, реализующей алгоритм обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения [298;305;318;335]. На этой основе построено содержание спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включая реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьного курса математики.

В рамках кибернетической концепции управляющее воздействие направлено на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в процессе обучения, и эти аспекты являются параметрами оптимизации, Управление количественным аспектом информации в учебном процессе (оптимизация 1-го рода) строится по принципу минимизации информационной энтропии в данном процессе. Эта закономерность подтверждается экспериментами по оптимизации процесса обучения математике с помощью эффективного разбиения класса на группы для выполнения определенной коллективно-распределенной учебной деятельности, которые показали повышение показателей эффективности обучения на 27,5% -в 4-м классе; на 25% -в 9-м классе и на 20-25% -в 1011-х классах, на фоне слабого уменьшения этих показателей в процессе онтогенеза. Методика проведения таких педагогических измерений составила основу оригинальной информационной технологии организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения математике в школе [298]. Установлено, что принцип минимизации информационной энтропии также лежит в основе управления модульным обучением и процессом формирования календарно-тематического планирования содержания обучения математике [303;305;335], причем, в случае модульного обучения наблюдаются эффекты онтогенеза: оно распространено в высшей школе, однако на школьном уровне его применение ограничено.

Управление учебным процессом посредством целевого воздействия на качественный (семантический) аспект информации системы математических знаний (оптимизация 2-го рода) формируется в рамках принятой когнитологической модели (семантической сети) путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода элементов этой сети [299;326;327;364]. Этот критерий, как показало исследование, является необходимым; достаточность обеспечивается, если его реализация вписывается в систему дидактических принципов процесса обучения математике [299]. Управление креативными процессами по критерию значимости при обучении математике в рамках GMP-стратегии отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе математического исследования [299; 302;331;364]: значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции до системы постулатов и с увеличением емкости его области

44 . доминирования (за счет роста вероятностей интуитивного и дискурсивного выводов, соответственно).

Таким образом, в процессе этапов исследования на основе принципов кибернетики,, в соответствии с целью, концепцией, гипотезой и задачами диссертационного исследования, построен и апробирован базисный комплекс математических моделей, на основе которого реализуется композиционная алгебраическая структура, представляющая теорию математических моделей эффективного управления дидактическими; процессами при обучении математике в средней школе

Научная новизна исследования состоит в том, что с момента появления монографий «первой волны» по кибернетическим методам в педагогике [19; 122] прошло более 30 лет. Сегодня ситуация в этой области стала качественно иной и, фактически, в: данном диссертационном; исследований предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой [301 Качественной закономерностью «кибернетизации» образовательного пространства является иерархический характер этого процесса: 1-й уровень «кибернетизации» связан с насыщением образовательного пространства средствами1ИКТ; на 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей учебных процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессов; на 3-м уровне, в перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики.

Таким образом, «кибернетизация» образовательного пространства, фактически, представляет форму проявления принципа рефлексии, который реализует познание человеческой сути через психологию, В этом плане научная новизна исследования состоит в следующем:

• впервые, исходя из информационной сущности педагогических процессов, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению учебными процессами путем математического моделирования, позволяющий выявить, обосновать и эффективно реализовать дидактические закономерности для управления когнитивными процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических знаний и компетенций школьников;

• построена классификация моделей управления учебным процессом по информационному признаку: модели 1-го рода, если параметр управления в учебном процессе представляет количественная мера информации; модели 2-го рода, если параметр управления представляет качественный аспект информации, связанной с образовательным контентом; и их комбинации;

• даны критерии управления учебным процессом по информационным признакам: для моделей 1-го рода критерий сводится к минимизации информационной энтропии данного процесса; для моделей 2-го рода критерий качества связан с топологией семантической сети, представляющей данную систему знаний, и зависит от исходной системы постулатов и параметров логического вывода (длины и емкости);

• установлено, что при организации модульного обучения или группового сотрудничества в учебном процессе закономерность, управляющая повышением эффективности процесса обучения, обусловлена минимизацей информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули)',

• дано определение критерия значимости в системе математического знания как отношения доминирования между элементами соответствующей семантической сети, которое строится по двум параметрам — логической дистанции от источников (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети;

Теоретическая значимость исследования определяется его вкладом в арсенал педагогической науки, который представляют следующие результаты:

• в рамках теории марковских процессов дано обоснование СМР-стратегии, которое опирается на представление о значимости элементов в системе математического знания и позволяет оптимизировать управление когнитивными процессами креативного поиска решения проблемы школьником в процессе обучения и самообучения;

Практическая значимость исследования оценивается показателями внедрения полученных результатов в практику отечественной системы образования, о которых конкретно будет сказано ниже. Укажем на некоторые практически значимые направления такого внедрения:

• реализация на основе данной обучающей ЭС контроля знаний школьников, для чего созданы необходимые тестовые батареи [280;333;334] и апробированы специальные алгоритмы тестирования [318] уровня знаний по математике и, таким образом, по заказу Минобразования Саратовской области в 2002 г. проводился мониторинг уровня математической подготовки выпускников начальной школы общеобразовательных учреждений области (охвачено 2262 школьника) [309]; в 2003-2006 гг. подобная технология использовалась в рамках рубежного тестирования уровня математических знаний школьников 5-8 и 10-х классов в г. Саратове, которое проводилось Центром тестирования СГУ имени Н.Г.Чернышевского [297];

• разработана и апробирована инновационная ИКТ для организации группового сотрудничества в учебном процессе [298;303;305], реализующая проведение эффективной коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке путем создания оптимальных конфигураций творческих групп, в которых более полно реализуется творческий потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в средней школе;

• на основе авторских монографий [312;322], отражающих этап творческого развития; «новейшей истории теоремы Пифагора» на основе ОМР-стратегии, проецируется определенная учебная; деятельность в' виде школьных элективных курсов по математике профильного уровня или в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарские занятия или индивидуальная исследовательская работа с учащимися);

• проведение ОМР-стратегии в рамках интегрированного обучении математике [302;313;314;364] дает следующие практически значимые результаты:

- в обществоведении, когда ОМР-стратегия проводилась путем аксиоматизаций канона демократии в русле формальной теории государства [218;219], на основе которой построено содержание школьного факультатива, реализующего обучение математике в гуманитарной области знаний;

- в рамках концепции изоморфизма: в процессе обучения решению текстовых задач школьной алгебры (9 класс) [294-296], в виде; операторной версии комплексных чисел в планиметрии [304], а также при моделировании и решении задач* линейного программирования экономического [129; 165; 196] и физико-технического содержания [306;307] в профильных классах;

- на основе концепции центризма: в рамках лабораторного практикума по определению формул объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11-й класс) [308]; при интерпретации законов генетики при профильном обучении биологии [29] и в психологии восприятия живописи [364-368], где показаны возможности математики в искусствознании и культурологии.

Достоверность и обоснованность получённых результатов обеспечиваются методологической аргументированностью исходных теоретических положений; внутренней непротиворечивостью логической структуры исследования; адекватностью применяемых методов исследования цели и задачам данного исследования; продолжительностью опытно-экспериментальной фазы исследования и статистической устойчивостью данных в независимых измерениях и опытах; широким эффективным внедрением результатов исследования в педагогический процесс начальных, средних и высших учебных заведений России.

Апробаиия и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования представлены на: Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2000); ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (2001,2002); Всероссийской научной конференции «54-е Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2001); IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХШ» (Воронеж, 2002); Всероссийской научно-методической конференции «Развитие тестовых технологий в России» (Москва, 2002), ПДУ-УП Колмогоровских чтениях (Ярославль,2004,2006-2009); VI Международной конференции по алгебре и теории чисел (Саратов, 2004); семинаре в Институте истории естествознания и техники РАН (секция проф. С.С.Демидова; Москва, 2005); Поволжской региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы модернизации непрерывного образования» (Саратов, 2005); Международном конгрессе по креативности и психологии искусства (Пермь, 2005); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, 2005); Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы» (Саранск, 2005); XIX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Авиньон, Франция, 2006); XX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Чикаго, США, 2008); Всероссийской научной конференции «Проблемы управления в социально-экономических и технических системах» (Саратов, 2008).

• в ГОУ ДПО «СарИПКиПРО» Министерства образования Саратовской области, где на основе авторских монографий [299;302;312;322] проводится цикл элективных курсов для учителей школ области;

В настоящее время результаты диссертационной работы в различных вариантах используются в образовательном процессе в Воронежском государственном педуниверситете, в Борисоглебском государственном пединституте, во Владикавказском Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики ВЕД РАН и РСО-А (г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания), в Костромском госуниверситете им. Н.А.Некрасова, которые подтверждают эффективность проведения исследовательской работы студентов в рамках ОМР-стратегии и повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента на 20 % за счет оптимальной организации педагогики сотрудничества в учебном процессе.

Всего по теме диссертации опубликовано 58 работ.

Основные положения. выносимые на защиту:

1). Математическая модель обучающей экспертной системы общего назначения, разработанная на основе психологической концепции развивающего обучения Л.С.Выготского с целью повышения эффективности обучения математике в средних и старших классах полной средней школы в рамках личностно-ориентированной концепции интеграции ИКТ в образовательное пространство для реализации накопленного опыта педагогики в программных продуктах при обучении в электронной среде.

2). Математическая модель организации группового сотрудничества в учебном процессе, путем управления процессом разбиения обучаемого контингента на группы по принципу минимума энтропии информации для оптимального варианта кластеризации, что обеспечивает эффективное построение коллективно-распределенной учебной деятельности на урюке, поскольку при оптимальных конфигурациях творческих групп более полно реализуется личностный потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в полной средней школе.

3). Инновационная ИКТ, созданная на основе математической модели оптимальной организации группового сотрудничества в процессе обучения математике в средней школе, которая, по измерениям времени выполнения тестовых заданий каждым учащимся, формирует интеллектуальный портрет данного контингента, позволяющий определить оптимальную групповую конфигурацию этого контингента по критерию минимума информационной энтропии, для которой наблюдается повышение показателей эффективности обучения на 27,5% -в 4-м классе; на 25% -в 9-м классе и на 20-25% - в 1011-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе.

4). Концепция интерпретации системы знаний в школьном обучении математике на основе неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, позволяющей выделить классы задач оптимизации при управлении качественными аспектами содержания обучения (наглядностью, доступностью и т.п.) в целях повышения эффективности учебного процесса.

5). Критерии качества содержания системы знаний, реализуемых при обучении математике в средней школе, которые сводятся к оптимальному выбору системы аксиом и минимизации параметров дедуктивного вывода (длины или емкости) для элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний, и отражают отечественный опыт школьного обучения геометрии за последние 250 лет в части приоритета принципов наглядности и доступности над принципом математической абстракции.

6). Теория управления креативными процессами при обучении математике в школе, которая опирается на закономерности генезиса математики, позволяя проводить ранжировку значимости элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний, по критерию, обоснование которого дается в рамках теории марковских процессов и, таким образом, у элементов с большей значимостью в процессе креативного поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы) оказывается выше. Это объясняет роль значимых положений математики и приводит к стратегии «больших узловых точек» (ОМР-стратегии) при оптимизации управления креативными процессами при обучении математике, которая находит отражение в современных психологических концепциях интеллекта. Проведение ОМР-стратегии в учебном процессе проецируется посредством определенной учебной деятельности, как по линии школьных элективных курсов, так и в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарская или индивидуальная работа с учащимися), в ходе которой реализуется управление креативными процессами при обучении математике в школе,

7). Опыт проведения ОМР-стратегии при управлении креативными процессами школьников профильного уровня обучения математике, который формировался в рамках элективных курсов и семинарских занятий на основе авторских монографий [299;302;312;322], исследований по теории реологических чисел [323;324] и теории магических квадратов из домино [291-293].

8). Опыт проведения ОМР-стратегии в рамках интегрированного обучения математике в средней школе, который опирался на общие методологические концепции (канона, морфизма и центризма), реализуемые посредством математического моделирования:

- в рамках школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), исходя из канона демократии, который аксиоматизируется и на этой основе строится формальная модель государства, которая реализует канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний;

- в рамках концепции изоморфизма: при решении текстовых задах (9 класс); операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также на примерах задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

- в рамках концепции центризма, позволяющей: реализовать лабораторный практикум по определению объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11 класс); дать интерпретацию законов генетики при профильном обучении биологии и результатам в области психологии живописи, демонстрируя возможности математики в сфере искусствознания и культурологии.

Струкрура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 380 наименований источников и 8 приложений. Содержание работы изложено на 457 страницах машинописного текста (включая библиографию и приложения), в котором имеются 56 рисунков и 26 таблиц.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 4

1). Опыт собственных исследований показывает (пп.4.3-4.5), что критерий значимости (3.33), на основе которого формируется GMP-стратегия в п.3.3.2, представляет фактор, позволяющий эффективно управлять процессом математического творчества при организации исследовательской работы в учебном процессе и, таким образом, возникают подходы к решению вопросов дидактики математического творчества. Речь идет об авторских исследованиях в области реологических чисел и их обобщений, выполненных в 1997-2000 гг. [315-317;323]; по комбинаторной теории домино, проведенных в 2001-2003 гг. [291-293]; и двух авторских монографиях (2004-2005гг.), где

GMP-стратегия апробирована при оптимизации поисковых исследований в области алгебры и евклидовой геометрии, исходя из теоремы Пифагора

312],[322]. Материал этих исследований в настоящее время представляет тематику спецкурсов, а также исследовательских курсовых и дипломных работ для студентов специальности 032100.00 механико-математического факультета Саратовского госуниверситета им. Н.Г.Чернышевского [325] и в усеченной версии в виде определенной учебной деятельности проецируется на школьный профильный уровень обучения математике.

2). В рамках данных спецкурсов, следуя сценарию ОМР-стратегии, реализуется креативный процесс формирования некоторого математического исследования. Исходным пунктом такого исследования часто выступают историко-математические или олимпиадные задачи, а также математические головоломки, основу которых составляют значимые математические положения (теорема Пифагора, алгоритм Евклида и т.п.). Затем, поэтапно, формируется цепочка индуктивных обобщений с нарастающим уровнем сложности и широты, что, естественно, требует привлечения дополнительных математических знаний в рамках семинарских занятий или самостоятельной работы обучаемого контингента. Представленный опыт автора показывает, что посредством описанной исследовательской схемы, как правило, обнаруживаются значимые результаты и при этом происходит эффективное математическое обучение.

3). В рамках школьного элективного курса «Реологические числа и их свойства» (п.4.4) исследование формируется, исходя из олимпиадной задачи, решение которой связано с теоремой о делении с остатком , т.е. с алгоритмом Евклида и, таким образом, происходит последовательное построение реологических чисел произвольной длины (5-6 класс). На более высоком уровне спирали фундирования в рамках теории чисел при подготовке будущих учителей математики реологическое число определяется из сравнения 2-й степени так, что их классы в соответствующем кольце классов вычетов являются идемпотентами. На дальнейших этапах обобщений удается показать алгебраическую конструкцию многочлена, не обладающего однозначным разложением на множители, вследствие свойств кольца, не являющегося областью целостности и, таким образом, аудитория, довольно быстро, подводится к неординарным объектам современной алгебры. К этому добавим, что К.А. Родосский [255], исходя из процедуры алгоритма Евклида, построил общую теорию нормированных колец и, более того, имеет место глубокая связь между алгоритмом Евклида и теоремой Пифагора.

4). ОМР-стратегия при проведении спецкурса «Магические квадраты из домино (МКД) и их построение» (п.4.5) исходит из канона классических магических квадратов (МК). Однако, по сравнению с МК, комбинаторные проблемы, возникающие при построении МКД, сильно отличаются: если для МК фиксированного размера магическая сумма постоянна, то для; МКД; она таковой не является и, кроме того, у МКД появляется эффект изомерии по укладкам фишек домино в виде квадрата. Более тонкие исследования; МКД обнаруживают симметрию по магической сумме и для перечисления всех МКД достаточно построить МКД с магической суммой12 (для 4х4-МКД) и 18 (для бхб-МКД), из которых остальные МКД получаются процедурой сдвига. Отметим, что построение МКД связано с реализацией нестандартных приемов комбинаторной математики, до которых сложно догадаться, но они просты по сути и, поэтому многие элементы комбинаторной теорией МКД доступны на , школьном уровне. Другая особенность связана с тем, что в рамках исследований МКД возникает довольно много алгоритмических задач, которые выносились на уровень курсовых и дипломных работ. В частности, удалось перечислить все 4х4-МКД (их оказалось 957078); провести подобное прямое компьютерное моделирование для бхб-МКД в реальное время пока не удается, правда, перечислены все укладки (их оказалось 930).

5). ОМР-стратегия, исходящая из задачи о пифагоровых тройках (п.4.3.1), путем анализа решений Пифагора, Платона и Евклида приводит к изящной пространственной интерпретации: пифагоровы тройки определяются на поверхности прямого кругового конуса с помощью некоторого семейства параболических сечений, порождающего на поверхности конуса неортогональную сеть, узлы которой определяют координаты, пифагоровых троек. С другой стороны, используя свойства поля комплексных чисел, обнаруживается оригинальный геометрический способ решения задачи Пифагора в виде определенной процедуры построений циркулем и линейкой, отличный от построений древних греков. Отметим, что данные приемы решения задачи Пифагора не выходят за пределы профильного уровня школьной математики, а потому по данной тематике школьниками были сделаны научные сообщения на математических конференциях.

6). Дальнейшие пути обобщения задачи Пифагора исходили из того, что задача о пифагоровых тройках эквивалентна задаче по определению примитивных пар взаимно простых чисел разной четности. Стандартная процедура определения примитивных пар с помощью алгоритма Евклида представляется громоздкой для ее реализации в виде рекурсии, позволяющей эффективное построение множества Р — всех примитивных пар. Поэтому, для указанной цели, построена специальная матричная полугруппа преобразований действующая на множестве Р, реализуя операцию 8ЬхР—>Р , которая позволяет перечислить все интересующие примитивные пары и в рамках вузовского спецкурса на данном этапе предусматривается спецсеминар по теме «Теория полугрупп». Наиболее важным фактом строения полугруппы ££ является то, что в ее структуре выделяются 3 свободные 3-порожденные подполугруппы так, что решение задачи Пифагора представляется в виде определенного трихотомического дерева. Продвижение дальше обнаруживает, что построенная полугруппа ££ имеет изоморфный образ, реализующий воздействие на взаимно простые пары одинаковой четности. Это позволяет иначе смотреть на разрешение проблемы мощности множества простых пар-близнецов [330];[363].

6). ОМР-стратегия при проведении спецкурса «Обобщенные пифагоровы построения (01111)» (п.4.3.2) исходит из конфигурации квадратов в виде "пифагоровых штанов", используемой Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора. От этой конфигурации, определенным образом, строится неограниченная взаимосвязанная сеть квадратов, представляющая так называемые "обобщенные пифагоровы построения" (ОПП), с которыми связан бесконечный планарный граф, который одновременно эйлеров и гамильтонов. На следующем этапе исследования, в сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов и выясняется, что в каждой из них соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка. Поэтому для дальнейших исследований в рамках спецкурса предусматривается спецсеминар по теме «Линейные рекуррентные (конечно-разностные) уравнения и методы их решения» и, в частности, решение найденного уравнения интерпретируется деревом с переменной ветвистостью, которое задает фрактальную структуру с размерностью 0,9735. Кроме того, выясняется, что соответствующие вершины квадратов каждой отдельной серии располагаются на ветви гиперболы и всего в сети ОПП обнаруживается 12 гипербол, имеющих общий центр.

7). При дальнейшем обобщении ОПП рассматриваются "обощенные наполеоновы построения" (ОНП), при которых, по аналогии с евклидовой конфигурацией квадратов, исходят из конфигурации, когда на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону строятся правильные треугольники. Выясняется, что при ОНП соответствующие стороны серии треугольников связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка, которое обладает вырожденным решением и, как следствие, соответствующие вершины треугольников при ОНП располагаются на прямых, пересекающихся в одной точке. Это наводит на мысль о наличии общей связи между решениями линейных рекуррентных уравнений 2-го порядка и коническими сечениями, включая вырожденные случаи, которая подтверждается и приводит к оригинальному способу рациональной параметризации конических сечений с помощью рекуррентных последовательностей, что устанавливает топологию рациональных точек данных многообразий. Из этих соображений следует еще более глубокое обобщение о наличии связи между решениями линейных рекуррентных уравнений произвольного порядка и определенным классом соответствующих алгебраических многообразий, которая определяет топологию рациональных точек в таких многообразиях.

Заключение

Результаты диссертационного исследования, проведенного в русле принятой концепции, позволяют обосновать правомерность гипотезы, выдвинутой для реализации поставленных целей и задач данного исследования. Таким образом, можно утверждать, что разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике. При этом представляются наиболее важными следующие моменты:

1). Процесс «кибернетизации» отечественного образовательного пространства проходил довольно нерегулярно и с момента «первой волны» исследований по кибернетическим методам в педагогике (60-80гг.) ситуация в этой области изменилась качественно и в данном диссертационном исследовании, фактически, предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой. В частности, установлено, что одной из закономерностей процесса «кибернетизации» образовательного пространства является его иерархический характер:

• на 1-м уровне «кибернетизации» происходит насыщение образовательного пространства средствами ИКТ;

• на 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей дидактических процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессов;

• на 3-м уровне, в дальней перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики.

2). Кибернетическая концепция способствует развитию педагогической науки, обеспечивая разрешение противоречий между ее содержанием и формой в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации педагогических процессов, особенно, когда прямой эксперимент затруднен.

Разработка математических моделей в педагогике обеспечивает ей переход с уровня феноменологической теории на логико-математический уровень развитой теории, на котором, кроме функций фиксации и систематизации знаний, появляются также функции приращения, объяснения и предсказания знаний в сфере образования. В связи с необходимостью реализации нарастающих массивов информации в образовательном пространстве этот фактор приобретает высокую значимость и на современном этапе проведение кибернетической концепции в образовательное пространство способно обеспечить качественное улучшение показателей обучения. Это означает не только повышение уровня знаний обучаемого контингента, но также приобретение им достаточных умений и навыков интерпретации этих знаний в виде математической модели, реализуемой в рамках ИКТ, способствуя развитию соответствующих компетенций в процессе образования личности.

3). Разработанная теория математических моделей для эффективного управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода исходит из информационной сущности учебных процессов, воздействие на которую реализует управление этими процессами в соответствии с поставленными целями. Целевое воздействие может проводиться на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в данном учебном процессе, на основе которых формируются модели и проводится управление соответствующими учебными процессами. Формально, данная теория математических моделей представляет некоторую алгебраическую структуру, порождаемую определенной системой базисных моделей учебного процесса, которая, при необходимости, может пополняться.

4). Количественный аспект информации регулируется посредством метрических функций (1.5);(1.6), определяющих количество информации и информационную энтропию. В этом случае оптимизация педагогических процессов сводится к совершенствованию их системной организации путем определения эффективной конфигурации информационных сетей и потоков в данных процессах, что равносильно минимизации информационной энтропии

I » рассматриваемых процессов, и эта процедура условно названа оптимизацией 1-го рода. В этом классе разработан следующий базисный ряд математических моделей и ИТ:

• построены модель и алгоритм развивающего обучения Л.С. Выготского в диалоге в виде композиции абстрактных автоматов, связанных обратной связью, включая случай классно-урочной системы обучения;

• данная диалоговая модель реализована в рамках тестовых процедур контроля знаний школьников по математике на территории Саратовской области (уровень подготовки выпускников начальной школы, 2002 г.) и в рамках рубежного тестирования школьников 5-8 и 10-х классов в г. Саратове в 2003-2006 гг.

• на основе алгоритмов развивающего диалога и эффективной процедуры формирования базы знаний создана модель обучающей экспертной системы (ЭС), которая также реализуется в процессе обучения математике на уровне мини-ЭВМ;

• разработанный вариант алгебраической теории обучающих ЭС представляет основу программы семестрового спецкурса «Обучающие экспертные системы» при подготовке студентов в рамках специальности (см. Приложение 1), включающего практические задания на построение программных продуктов для изучения небольших дидактически законченных фрагментов образовательного контента с помощью мини-ЭС, запускаемых имеющимися средствами ИКТ, и, в усеченной версии, составляет программу элективного курса для учащихся 10-11-х классов физико-математического профиля обучения в средней школе (см. Приложение 2).

• построена теоретико-информационная модель управления процессом организации группового сотрудничества в процессе обучения;

• разработана и экспериментально апробирована ИТ проведения группового сотрудничества в процессе обучения, которая на уровне начального, среднего и высшего профессионального образовагия показывает повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента по математике на 27,5% -в 4-м классе; на 25% -в 9-м классе; на 20-25% - в 10-11-х классах и 20% на 1-ом курсе подготовки студентов по специальности 032100.00, показывая слабое уменьшение показателей в процессе онтогенеза (компоненты данной ИТ приведены в Приложениях 3-5);

• построена информационная модель календарно-тематического планирования учебного процесса, в которой определено планомерное продвижение знаний в учебном процессе, реализующее оптимальное распределение и благоприятную подачу знаний по траектории обучения.

5). В ходе экспериментов подтверждена закономерность, управляющая повышением эффективности обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы, содержания предметного курса на модули или в рамках календарно-тематического планирования). В рамках данной модели получает объяснение известный факт повышения успеваемости в классе за счет оптимальной рассадки учеников на уроке. Этот метод полезно использовать, например, при организации проблемного или эвристического обучения, когда перед каждой коалицией в оптимальном разбиении ставится конкретная задача креативного характера (см. п.4.2, рис.4.1).

6). Семантический (качественный) аспект информации в обучении определяет его содержание и при реализации ИТ управление этим аспектом проводится в рамках принятой модели представления знаний, а процедура оптимизации учебных процессов путем воздействия на качественные характеристики информации, реализуемой в данных процессах, условно названа оптимизацией 2-го рода. Для этого разработана и обоснована модель представления содержания образования (знаний) в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети.

7). Данная сеть определенным образом метризуется и снабжается системой покрытий, что позволяет ввести необходимые сетевые параметры оптимизации и, таким образом, выделяются следующие классы задач:

• оптимизация путем воздействия на источники семантической сети (совершенствование аксиоматики теории );

• оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях, которая сводится к минимизации его длины или емкости, и, обычно, благоприятствует эффективной реализации дидактических принципов в учебном процессе;

• ранжировка значимости элементов семантической сети, которая исходит из анализа закономерностей генезиса математики, откуда видно, что роль отдельных положений аксиоматической теории при ее развитии явно неодинакова и этот фактор является важным при формировании эффективных стратегий креативного поиска.

8). Эффективность управления содержанием образования путем усовершенствования исходных принципов (аксиоматики теории) продемонстрирована на примерах:

• из обществоведения, рассматривая российское и советское конституционное законодательство в XX в., набор положений (т.е. аксиоматика) которого de jure определяет modus vivendi соответствующего государства, и анализ хронологии и причинно-следственных связей при изменении данного документа обеспечивает системность и объективность оценки происходящих исторических процессов, представляя важный канал интеграции математики при изучении общественных дисциплин;

• из евклидовой геометрии, аксиоматика которой совершенствуется, фактически, с момента появления «Начал» Евклида, и при этом наблюдается эффективное воздействие на изложение и обучение геометрии в целом, что равносильно улучшению условий для реализации соответствующих дидактических принципов.

9). Процедура оптимизации дедуктивного вывода на семантических сетях продемонстрирована на примере анализа доказательств теоремы

392 4

Пифагора в отечественном школьном преподавании геометрии за период 1768-2000 гг., откуда видно, что постепенно эти доказательства приняли вид, который лучше отвечает дидактическим принципам наглядности и доступности, что конкретно выразилось в сокращении длины и емкости таких доказательств.

10). Процедура ранжировки значимости вершин семантической сети представляет собой некоторое отношение доминирования по Парето между элементами аксиоматической теории и позволяет реализовать оптимизацию индуктивного вывода в рамках креативных процессов. Обоснование этой процедуры дается на языке теории случайных процессов и, таким образом, вопросы оптимизации креативного поиска сводятся к управлению некоторым случайным процессом, который представляет этот поиск при «освоении» рассматриваемой семантической сети. Установлено, что стратегии управления креативными процессами при обучении математике в школе опираются на универсальную закономерность математического исследования, реализация которого представляет ветвящийся марковский процесс.

11). Из этих соображений удается показать, что более значимые положения теории имеют более высокие вероятности переходов, т.е. вероятность результативного индуктивного вывода в этом случае выше. Отсюда следует эффективная стратегия креативного поиска в математическом исследовании - стратегия «больших узловых точек» (great main points) семантической сети или GMP-стратегия, предполагающая исследование, формируемое из достаточно значимых элементов данной сети. Это находит подтверждение в современных психологических концепциях в области теории интеллекта [342;370] и позволяет разработать математическую модель для управления креативными процессами при обучении математике в средней школе.

12). Критерий значимости в системе математического знания в рамках GMP-стратегии строится по двум сетевым параметрам — логической дистанции от источников сети (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети, что отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе решения математической задачи, поскольку значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции (за счет увеличения вероятности интуитивного вывода) и с увеличением емкости его области доминирования (растет вероятность дискурсивного вывода). Таким образом, в рамках вМР-стратегии установлена закономерность, по которой креативный поиск школьника в процессе решения поставленной математической задачи оказывается результативным, если строится на достаточно значимом математическом основании.

13). Убедительным независимым свидетельством эффективности ОМР-стратегии в математическом исследовании является успех в разрешении известных математических проблем, поставленных Д.Гильбертом в 1900 г.

14). ОМР-стратегия практикуется в авторских спецкурсах для студентов специальности 032100.00, которые в усеченной версии в форме определенной учебной деятельности представлены на школьном профильном уровне обучения математике:

• «Реологические числа и их свойства», где ОМР-стратегия исходит из обобщения алгоритма Евклида;

• «Магические квадраты из домино», где ОМР-стратегия представляет обобщение классических магических квадратов.

15). В рамках ОМР-стратегии выдержаны две авторские монографии, ориентированные на школьников, студентов и учителей математики:

• «Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек», исходя из обобщения задачи Пифагора;

• «Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора».

16). Показано, что проведение ОМР-стратегии при междисциплинарном исследовании выражается в рамках некоторой общей научной концепции:

• в теории государства одна из таких концепций связана с каноном демократии, по которому принцип социальной справедливости реализуется процедурой принятия решения большинством голосов, и, сравнительно просто, поддается аксиоматизации так, что на сегодняшний день мы имеем вариант междисциплинарной ОМР-стратегии, известный как теория кооперативных игр;

• продемонстрированы три варианта реализации концепции изоморфизма на междисциплинарном уровне обучения, когда ОМР-стратегия проводится при решении текстовых задач школьной алгебры в рамках факультативных занятий (Приложение 6); в виде операторной версии комплексных чисел в планиметрии в рамках элективного курса профильного обучения (Приложение 7); а также в виде задач линейного программирования и его обобщений в рамках дисциплины по выбору для студентов специальности 032100.00 (Приложение 8).

17). Особенно эффективно междисциплинарные ОМР-стратегии в обучении проводятся посредством концепции центризма, имея в виду архимедово представление о барицентре (центре тяжести), которое реализуется следующим образом:

• при определении объемов школьных многогранников и круглых тел с помощью взвешивания в рамках лабораторного занятия по геометрии;

• при интерпретации законов популяционной генетики в рамках элективного курса школьной биологии профильного уровня ;

• при проведении концепции колориметрического барицентра, когда механическое представление о центре тяжести, определенным образом, распространяется в цветовое пространство живописного образа и, затем, посредством компьютерной программы, исследуются феномены психологии творчества и восприятия живописных произведений, что демонстрирует один из подходов к преподаванию математики в гуманитарной области.

Приведенные результаты диссертационного исследования в рамках принятой концепции демонстрируют решение поставленных задач и подтверждают правомерность принятой гипотезы исследования. Естественно, выполненное исследование не исчерпывает всех аспектов проблемы, сформулированной в данной диссертационной работе. Среди перспективных проблем, по прежнему, остаются проблемы эффективной интеграции ИКТ в образовательное пространство особенно, если учесть, что прогресс в области ИКТ сильно опережает темпы их внедрения в педагогические процессы. Далека от разрешения проблематика параллельных алгоритмов в обучении, начатая в свое время П.М.Эрдниевым в концепции укрупнения дидактических единиц. И, наконец, имеется достаточно незавершенных идей в области междисциплинарного проведения ОМР-стратегии.

396

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Фирстов, Виктор Егорович, Саратов

1. Аванесов, B.C. Композиция тестовых заданий Текст. / B.C. Аванесов. -М.: Адепт, 1998.-217 с.

2. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики Текст. / Ж.Адамар. М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

3. Адамар, Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1 Текст. / Ж.Адамар. — М., Учпедгиз, 1957. 608 с.

4. Александров, А.Д. Геометрия 8-9 Текст. / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И. Рыжик-М.: Просвещение, 1991. 415 с.

5. Александров, А.Д. Геометрия 10-11 Текст. / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И. Рыжик-М.: Просвещение, 1992. 464 с.

6. Александров, П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию Текст. / П.С. Александров М.: Наука, 1977. - 368 с.

7. Александров, П.С. Введение в теорию групп Текст. / П.С.Александров. -М.: Наука, 1980. 144 с.

8. Амосов, Н.М. Алгоритмы разума Текст. / Н.М. Амосов.- Киев: Наукова думка, 1979.-221 с.

9. Ананьев, Б.Г. Некоторые проблемы психологии взрослых Текст. / Б.Г. Ананьев — М.: Знание, 1972. 32 с.

10. Ю.Андельсон-Вельский, Г.М. Машина играет в шахматы Текст. / Г.М.Андельсон-Вельский, Б.Л.Арлазаров, А.Р.Битман, М.В. Донской М.: Наука, 1983.-207 с.

11. И.Андреев, A.A. Введение в Интернет-образование Текст. / A.A. Андреев-М.: Логос, 2003.-76с.

12. Андреев, П.П. Геометрия Текст. / П.П.Андреев, Э.З. Шувалова М.: Наука, 1973.-304 с.

13. Анохин, П.К. От Декарта до Павлова (Триста лет теории рефлекса) Текст. / П.К. Анохин М.: Медгиз, 1945. - 111 с.

14. Анохин, П.К. Очерки по физиологии функциональных систем Текст. / П.К. Анохин-М.: Медицина, 1975.-447 с.

15. Анохин, П.К. Физиология и кибернетика Текст. / П.К. Анохин // В сб. Философские вопросы кибернетики. М.: Соцэкгиз, 1961. - 392 с.

16. Аристотель. Сочинения. Т.2. Под ред. З.Н.Микеладзе Текст. / Аристотель. М.: Мысль, 1978. - 687 с.

17. Арнольд, В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели Текст. /

18. B.И.Арнольд. М.: Изд-во Московского центра непр. обр., 2004. - 32 с.

19. Арнхейм, Р. Искусство и визуальное восприятие Текст. / Р.Арнхейм. М.: Прогресс, 1974.-392 с.

20. Архангельский, С.И. Лекции по научной организации учебного процесса в высшей школе Текст. / С.И. Архангельский М.: Высшая школа, 1976. -200 с.

21. Архангельский, С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе Текст. /

22. C.И.Архангельский. -М.: Высшая школа, 1974. — 384 с.

23. Архангельский, С.И. Учебный процесс в высшей школе и его закономерные основы и методы Текст. / С.И. Архангельский— М.: Высшая школа, 1980. 368 с.

24. Архимед. Сочинения. Под ред. И.Н. Веселовского Текст. / Архимед. М.: Физматгиз, 1962. - 639 с.

25. Архитектура математики Текст. // Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. -М.: ИЛ, 1963. С. 245-259.

26. Атанасян, Л.С. Геометрия 7-9 Текст. / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И. Юдина-М.: Просвещение, 1992. -335 с.

27. Атанасян, Л.С. Геометрия 10-11 Текст. /Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк.-М.:Просвещение, 1992.-207 с.

28. Афанасьев, В.В. Теория вероятностей Текст. / В.В.Афанасьев. М.: ВЛАДОС, 2007.-350 с.

29. Афанасьева, О.В. «Какой» или «который» ? Тесты по англ. яэ. с ключами Текст. / О.В.Афанасьева, А.С.Саакян. -М.: Просвещение, 2000.- 144 с.

30. Бабанский, Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект Текст. / Ю.К. Бабанский. М.:: Педагогика, 1977.- 254 с.

31. Балк, М.Б. Геометрия масс Текст. / М.Б.Балк, В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1987. - 160 с.

32. Барвайс, Дж. Введение в логику первого порядка Текст. / Дж. Барвайс // Справочная книга по математической логике. Часть I: Теория моделей. — М.: Наука, 1982. С. 13-54.

33. Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии Текст. / В.П. Беспалько. — М.: Педагогика, 1989. 192 с.

34. Берг, М.Ф. Рабочая книга по математике. Для 7-го года обучения в городской школе Текст. / М.Ф.Берг, М.А.Знаменский, Г.Н.Попов, И.Ф.Слудский, Н.П.Хвостов, Н.И. Щетинин.- M.-JL: ГИЗ, 1930. 256 с.

35. Библер, B.C. От наукоучения — к логике культуры Текст. / B.C. Библер.-М.: Политиздат, 1991. 413 с.

36. Биркгофф, Г. Математика и психология Текст. / Г.Биркгофф. — М.: Советское радио, 1977. -96 с.

37. Блонский, П.П. Избранные психологические произведения Текст. / П.П. Блонский- М.: Просвещение, 1964. 547 с.

38. Богданов, А.А. Тектология. Всеобщая организационная наука Текст. В 2-х кн./ А.А.Богданов. -М.: Экономика, 1989.- Кн.1- 303 с. Кн.2- 350 с.

39. Боголюбов, Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике Текст. / Н.Н. Боголюбов. М.: Гостехиздат, 1946. - 119 с.

40. Болл, У. Математические эссе и развлечения Текст. / У. Болл, Г. Коксетер. М.: Мир, 1986. - 474 с.

41. Болонский процесс. Европейское пространство высшего образования — достижение целей Текст. // Коммюнике Конференции европейских министров высшего образования. Берген, 19-20 мая 2005 г.

42. Болонский процесс. Формирование общеевропейского пространства высшего образования Текст. // Коммюнике Конференции министров высшего образования. Берлин, 19 сентября 2003 г.

43. Болтянский, В.Г. Аналогия общность аксиоматики Текст. / В.Г. Болтянский // Советская педагогика, 1975, №1. - С. 73-78.

44. Болтянский, В.Г. Преобразования. Векторы Текст. / В.Г.Болтянский, И.М. Яглом.-М.: Просвещение, 1964. -303 с.

45. Болтянский, В.Г. Формула наглядности изоморфизм плюс простота Текст. / В.Г. Болтянский // Советская педагогика, 1970, №5. - С. 46-60.

46. Бонгард, М.М. Проблема узнавания Текст. / М.М.Бонгард. — М.: Наука, 1967.-320 с.

47. Боргун, В.В. Использование графического калькулятора в обучении математике Текст. / В.В.Боргун, Е.И.Смирнов. Ярославль: Изд-во >11 НУ, 2008.-231 с.

48. Борисенков, В.П. Стратегия образовательных реформ в России (1985-2005 гг.) Текст. / В.П. Борисенков // Педагогика, 2006, №7. С. 3-16.

49. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе Текст. / В.М. Брадис М.: Учпедгиз, 1951. - 504 с.

50. Бруннер, Дж. Процесс обучения Текст. / Дж.Бруннер. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. С. 53-64.

51. Брусиловский, П.Л. Адаптивные обучающие системы в World Wide Web: обзор имеющихся в распоряжении технологий Электронный ресурс. / П.Л. Брусиловский. — Режим допуска: http//ifets .ieee.org/russia/depositoiy/ WWWITS.html.

52. Бунге, М. Философия физики Текст. /М.Бунге.-М.:Прогресс, 1975-347 с.

53. Буш, Р. Стохастические модели обучаемости Текст. / Р.Буш, Ф.Мостеллер. М.: Физматгиз, 1962. - 483 с.

54. Бычков, О. Сборник примеров и задач по курсу элементарной алгебры. Изд. 11 Текст. / О.Бычков. СПб.: 1888. - 591 с.

55. Вагин, В.Н. Вопросы структурного обобщения и классификации в системах принятия решений Текст. / В.Н.Вагин, Н.П. Викторова // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1982, №5. С. 64-72.

56. Вагин, В.Н. Дедуктивный вывод на семантических сетях в системах принятия решения Текст. / В.Н.Вагин, В.Г. Кикнадзе // Изв. АН СССР: Техническая кибернетика, 1984, № 5. — С. 104-120.

57. Вагин, В.Н. Задачи обобщения в системах принятия решений: формирование классов объектов и отношений выбора на семантических сетях Текст. / В.Н.Вагин, Н.П. Викторова // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1985, №5. С. 3-17.

58. Вапник, В.Н. Теория распознавания образов Текст. / В.Н.Вапник, А .Я. Червоненкис.-М.: Наука, 1974.-415 с.

59. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия Текст. / Г.Вилейтнер. — М.: Наука, 1966. 450 с.

60. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика Текст. / Н.Я.Виленкин. М.: Наука, 1969. -328 с.

61. Винер, Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине Текст. / Н.Винер. — М.: Советское радио, 1968. — 326 с.

62. Владимиров, В. Интеграция региональных вузов: оценка синергизма Текст. / В.Владимиров // Aima mater (Вестник высшей школы), 2005, №3. -С. 7-12.

63. Волков, H.H. Цвет в живописи Текст. / H.H. Волков М.: Искусство, 1984.- 320 с.

64. Волошинов, A.B. Математика и искусство Текст. / A.B. Волошинов- М.: Просвещение, 2000. 400 с.

65. Волошинов, В.А. Пифагор Текст. / В.А. Волошинов. М., Просвещение, 1993.-224 с.

66. Выготский, JI.C. Мышление и речь Текст. / Л.С. Выготский // Собр. соч. Т. 4.-М.: Педагогика, 1982. С. 5-361.

67. Выготский, Л.С. Педагогическая психология Под ред. В.В. Давыдова Текст. / Л.С. Выготский . М.: ACT: Астрель: Люкс, 2005. - 671 с.

68. Гайденко, П.П. История и рациональность Текст. / П.П.Гайденко, Ю.Н. Давыдов. М.: Политиздат, 1991. - 367 с.

69. Гальперин, Г.А. Московские математические олимпиады Текст. / Г.А. Гальперин, А.К.Толпыго. -М.: Просвещение, 1986. 303 с.

70. Гальперин, П.Я. О психологических основах программированного обучения Текст. / П.Я. Гальперин // Новые исследования в педагогических науках. Вып. IV. М.: Просвещение, 1965.- 256 с.

71. Гальперин, П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий Текст. / П.Я. Гальперин // В кн.: Психологическая наука в СССР. Ч. 1. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 599 с.

72. Гарднер, М. Путешествие во времени Текст. / М.Гарднер. М.: Мир, 1990.-341 с.

73. Гелернтер, Г. Реализация машины, доказывающей геометрические теоремы Текст. / Г. Гелернтер // Вычислительные машины и мышление. — М.: Мир, 1967. С. 145-164.

74. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей Текст. / А.О.Гельфонд. -М.: Наука, 1967. 375 с.

75. Гильберт, Д. Основания геометрии Текст. / Д.Гильберт. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.-491 с.

76. Гильберт, Д. Основания математики. Теория доказательств Текст. / Д.Гильберт, П. Бернайс М.: Наука, 1982. - 652 с.

77. Гинзбург, C.JI. Необратимые явления в спиновых стеклах Текст. / С.Л. Гинзбург.-М.: Наука, 1989. 152 с.

78. Глейзер, Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы Текст. / Г.И. Глейзер.- М., Просвещение, 1982. 240 с.

79. Глушков, В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики Текст. / В.М. Глушков.- М.: Наука, 1986. 488 с.

80. Гнеденко, Б.В. Введение в специальность математика Текст. / Б.В. Гнеденко.- М.: Наука, 1991. -238 с.

81. Голдман, С. Теория информации Текст. / С.Голдман-М.:ИЛ, 1957.-446 с.

82. Голицын, Г.А. Информация и законы эстетического восприятия Текст. / Г.А. Голицын // Число и мысль. Сборник. Вып. 3. — М.: Знание, 1980. С. 44-69.

83. ГОС ВПО. Специальность 032100.00 Математика с дополнительной специальностью Текст. / Утв. Зам. Мин. образ. РФ В.Д. Шадриков, 14.04.2000.-22 с.

84. ГОС ВПО. Специальность 032100.00 Математика с дополнительной специальностью Текст. / Утв. Зам. Мин. образ, и науки РФ А.Г. Свинаренко, 31.01.2005. — 22 с.

85. Гросс, М. Теория формальных грамматик Текст. / М.Гросс, А.Лантен. -М.: Мир, 1971.-294 с.

86. Гуревич, В. Теория размерностей Текст. / В.Гуревич, Г.Волмэн. -М.: ИЛ, 1948.-232 с.

87. Гуревич, Е.Я. Тайна древнего талисмана Текст. / Е.Я.Гуревич. — М.: Наука, 1969. 152 с.

88. Гуревич, K.M. Тесты интеллекта в психологии Текст. / К.М.Гуревич // Вопросы психологии, 1980, № 2. С.53-64.

89. Гуревич, М.М. Цвет и его измерение Текст. / М.М. Гуревич М.:Изд-во АН СССР, 1950.-268 с.

90. Гурьев, С.Е. Основания геометрии. Изд. 2 Текст. / С.Е. Гурьев СПб., 1811.-517 с.

91. Гушель, Р.З. Из истории математики и математического образования Текст. / Р.З. Гушель Ярославль: Изд-во ЖТТУ им. К.Д. Ушинского, 1999.-287 с.

92. Давыдов, В.В. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретических и экспериментальных психологических исследований Текст. / В.В. Давыдов — М.: Педагогика, 1986. 239 с.

93. Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа. Перевод С.С. Шатуновского. Изд. 4 Текст. / Р.Дедекинд. Одесса, Ма1Ье818,1923 - 44 с.

94. Декарт, Ренэ. Геометрия Текст. / Ренэ Декарт. М,-Л.: ГОНТИ, 1938. -298 с.

95. Декарт, Ренэ. Рассуждение о методе Текст. / Ренэ Декарт. М.— Л.: Изд-во АН СССР, 1953. - 656 с.

96. Деллашери, К. Емкости и случайные процессы Текст. / К. Деллашери-М.: Мир, 1975. 192 с.

97. Делоне, Б.Н. Аналитическая геометрия. Том II Текст. / Б.Н.Делоне, Д.А. Райков-М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 516 с.

98. Джадд, Д. Цвет в науке и технике Текст. / Д.Джадд, Г.Вышецки. М.: Мир, 1978.-592 с.

99. Дитчберн, Р. Физическая оптика Текст. / Р.Дитчберн. М.: Наука, 1965. -631 с.

100. Дубровин, Б.А. Современная геометрия Текст. / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А Т. Фоменко. М.: Наука, 1979.-759 с.

101. Евин, И.А. Синергетика мозга и синергетика искусства Текст. / И.А. Евин.- М.: Геос, 2001.-164 с.

102. Егоров, И.П. Геометрия Текст. / И.П.Егоров. М.: Просвещение, 1979. -256 с.

103. Ермаков, С.М. Курс статистического моделирования Текст. / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов М.: Наука, 1976. - 319 с.

104. Жохов, A.JI. Мировоззрение: становление, развитие, воспитание через образование и культуру: Монография Текст. / А.Л.Жохов.-Архангельск: ННОУ «Институт управления»;Ярославль: Ярославский филиал ИУ, 2007. -348с.

105. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений Текст. / Л.Заде. М.Мир, 1976.-165 с.

106. Зайцев, В.Н. Резервы обучения чтению: Кн. для учителя Текст. / В.Н. Зайцев-М.: Просвещение, 1991. 32 с.

107. Закон Российской Федерации «Об образовании» Текст.- M.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2005. 48 с.

108. Зенкевич, И.Г. Эстетика урока математики Текст. / И.Г. Зенкевич. — М.-.Просвещение, 1981. 79 с.

109. Зиман, Э. Толерантные пространства и мозг Текст. / Э.Зиман, О. Бьюнеман // В кн. На пути к теоретической биологии. Под ред. Б.Л. Астаурова. -М.: Мир, 1970. С. 134-144.

110. Зиновьев, С. Научная организация учебного процесса Текст. / С. Зиновьев // Aima mater (Вестник высшей школы), 2005, №9. С. 49-54.

111. Иванилов, Ю.П. Математические модели в экономике Текст. / Ю.П.Иванилов, A.B. Лотов М.: Наука, 1979. - 304 с.

112. Игошин, В.И. Логика с элементами математической логики.(Лекции для студентов гуманитарных специальностей) Текст. / В.И. Игошин. — Саратов: Изд-во «Научная книга», 2004. 144 с.

113. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов Текст. / В.И. Игошин.- М.: Издательский центр «Академия», 2004. 448 с.

114. Игошин, В.И. Математическая логика как педагогика математики Текст. / В.И. Игошин. Саратов: Издательский центр «Наука», 2009. - 360 с.

115. Избранные отрывки из Математических сочинений Лейбница Текст. // УМН, 1948, т. 3, №1. С. 165-204.

116. Информатизация образования 2010 Текст. // Материалы Междунар. научно-методической конференции, г. Кострома, 14-17 июня 2010г. -Кострома: КГУ им. H.A. Некрасова, 2010. 626 с.

117. Иохин, В.Я. Экономическая теория Текст. / В.Я. Иохин- М.: Экономистъ, 2006. 861 с.

118. Искусственный интеллект Текст. В 3-х кн. Кн. 1. Системы общения и экспертные системы: Справочник / Под ред. Э.В. Попова. М.: Радио и связь, 1990.-464 с.

119. Искусственный интеллект Текст. В 3-х кн. Кн. 2. Модели и методы: Справочник / Под ред. Д.А. Поспелова. — М.: Радио и связь, 1990. — 304 с.

120. Ительсон, Л.Б. Математические и кибернетические методы в педагогике Текст. / Л.Б. Ительсон М.: Просвещение, 1964. - 248 с.

121. Ительсон, Л.В. Психологические теории научения и модели процесса обучения Текст. / Л.В. Ительсон // Советская педагогика, 1973, №3. -С.83- 95.

122. Каган, В.Ф. Лобачевский Текст. / В.Ф.Каган.- М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1944.-347 с.

123. Кант, И. Критика чистого разума. Пер. с нем. Н. Лосского. Под ред. Ц.Г. Арзеканяна и М.И. Иткина Текст. / И.Кант. М.: Мысль, 1994. - 591 с.

124. Карпова, Е.В. Организация работы учащихся в малых группах в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина В.В. Давыдова Текст. / Е.В. Карпова, О.Н. Шевко // Ярославский педагогический вестник, 2005, вып.№ 3 (44). - С. 65-71.

125. Карпова, Н.И. Математизация знания: проблемы и следствия Текст. / Н.И. Карпова // Число и мысль. Сборник. М.: Знание, 1977. - С. 22-35.

126. Касевич, В.Б. Болонский процесс Текст. / В.Б.Касевич, Р.В.Светлов, А.В.Петров, A.B. Циб СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. - 108 с.

127. Келбаниани, В.Н. Изучение элементов линейного программирования в средней школе Текст. / В.Н.Келбаниани, З.М.Литовченко.- Тбилиси: Изд-во ТбГУ, 1980.-91 с.

128. Кибернетика Текст. // Математическая энциклопедия. В 5 т.: Т. 2. М.: Советская Энциклопедия, 1976. — С. 850.

129. Киселев, А.П. Элементарная геометрия Текст. / А.П. Киселев- М.: Просвещение, 1980. 287 с.

130. Клайн, М. Математика. Поиск истины Текст. / М.Клайн М.: Мир, 1988.-295 с.

131. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геометрия Текст. / Ф.Клейн. М.: Наука, 1987. - 416 с.

132. Ковалев, Ф.В. Золотое сечение в живописи Текст. / Ф.В. Ковалев —Киев: Выща школа, 1989. 143 с.

133. Колесников, В И. Русская модель высшего образования в свете великой Победы Текст. / В И.Колесников, Ю.Г.Круглов, Е.В. Олесюк // Педагогика, 2005, №3. С. 3-9.

134. Колмогоров, А.Н. Геометрия 6-8 Текст. / А.Н.Колмогоров, А.Ф.Семенович, P.C. Черкасов М.: Просвещение, 1980. - 382 с.

135. Колмогоров, А.Н. Новые программы и некоторые вопросы усовершенствования курса математики в средней школе Текст. / А.Н. Колмогоров // Математика в школе, 1967, №2. — С. 4-13.

136. Колмогоров, А.Н. Новые программы французской школы Текст. / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов // Математика в школе, 1978, №6. С. 74-78.

137. Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей Текст. / А.Н. Колмогоров. -М.-Л.: ОНТИ, 1936. 80 с.

138. Колмогоров, А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» Текст. / А.Н. Колмогоров // Проблемы передачи информации, 1965, т. 1, №1. С. 3-11.

139. Колориметрия Текст. // Физическая энциклопедия. В 5 т.: Т.2. М.: Советская энциклопедия, 1990. - с. 416-418.

140. Кольман, Э. История математики в древности Текст. /Э, Кольман. М.: Физматгиз, 1961. - 235 с.

141. Колягин, Ю.М. Отечественное образование: наша гордость и наша боль Текст. / Ю.М. Колягин // Математика в школе, 2001, №9. С. 24-32.

142. Коменский, Я.А. Избранные педагогические сочинения Текст. / Я.А. Коменский.-М.: Учпедгиз, 1955.- 651 с.

143. Конституция Российской Федерации. Гимн Российской Федерации Текст. Новосибирск: Сиб.унив. изд-во, 2008.-32 с.

144. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. Текст. Утверждена распоряжением Правительства РФ от 29.12.2001, №175 б-р.

145. Концепция ФГОС общего образования: проект Текст. / Рос. акад. образования; под ред. A.M. Кондакова, A.A. Кузнецова. — М.: Просвещение, 2008. — 39 с. — (Стандарты 2-го поколения).

146. Коржу ев, A.B. Симметрия и асимметрия в теории обучения в высшей школе Текст. / А.В.Коржуев, В.А.Попков, Е.В.Рыбак // Педагогика, 2004, №5.-С. 40-45.

147. Космическое оружие: дилемма безопасности. Под ред. Е.П. Велихова, Р.З. Сагдеева, A.A. Кокошина Текст.-М.: Мир, 1986. 182 с.

148. Косоруков, O.A. Исследования операций Текст. / О.А.Косоруков, А.В.Мищенко. М.: Изд-во «Экзамен», 2005. - 448 с.

149. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств Текст. / А.Кофман — М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

150. Кроль, В.М. Психология и педагогика Текст. / В.М. Кроль- М.: Высшая школа, 2004. — 325 с.

151. Кудрявцев, JI.Д. Мысли о современной математике и ее изучении Текст. / Л.Д. Кудрявцев М.: Наука, 1977. - 112 с.

152. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и ее преподавание Текст. / Л.Д. Кудрявцев.- М.: Наука, 1980. 144 с.

153. Кудрявцев, П.С. Курс истории физики Текст. / П.С.Кудрявцев. М.: Просвещение, 1982. - 448 с.

154. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел Текст. / Л.Я.Куликов. М.: Высшая школа, 1979. - 560 с.

155. Лазарев, П.П. Гельмгольц Текст. / П.П.Лазарев М.: Изд-во АН СССР, 1959.-104 с.

156. Леонтович, М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика Текст. / М.А. Леонтович М.: Наука, 1983. - 416 с.

157. Леонтьев, А.Н. Проблемы развития психики Текст. / А.Н. Леонтьев М.: Мысль, 1965.- 572 с.

158. Лернер, И.Я. О построении логики дидактического исследования Текст. / И.Я. Лернер // Советская педагогика, 1970, №5. С. 106-119.

159. Лидл, Р. Прикладная абстрактная алгебра. Пер. с англ. И.О. Корякова, под ред. Л.Н. Шеврина Текст. / Р.Лидл, Г.Пильц. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1996. - 744 с.

160. Линейная алгебра и геометрия Текст. // Сб. статей «Проблемы математической школы» / Составитель С.И. Шварцбурд. М.: Просвещение, 1967. - 368 с.

161. Литовченко, З.М. Понятие о дробно-линейном программировании Текст. / З.М.Литовченко // Вечерняя средняя школа, 1974, №6. С.11-17.

162. Литовченко, З.М. Графический метод решения задач дробно-линейного программирования Текст. / З.М.Литовченко. Там же. - С. 18-23.

163. Локк, Дж. Опыт о человеческом разумении. Сочинения, т. 1 Текст. / Дж.Локк-М.: Мысль, 1985. -622 с.

164. Лосев, А.Ф. Платон. Аристотель Текст. / А.Ф.Лосев, А.Тахо-Годи. -М.: Молодая гвардия, 1993. 384 с.

165. Луканкин, Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики Текст. / Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Е.Л.Мокрушин,

166. B.А.Оганесян, Л.Ф.Пичурин, В.Я.Саннинский. М.: Просвещение, 1977. -480 с.

167. Лукашевич, В.К. Философия и методология науки Текст. / В.К. Лукашевич.- Минск: Современная школа, 2006. 320 с.

168. Лурье, М.В. Задачи на составление уравнений Текст. / М.В.Лурье, Б.И. Александров. М., Наука, 1990. - 96 с.

169. Лучинин, A.C. История психологии Текст. / A.C. Лучинин.- Ростов-на-Дону: «Феникс», 2005. 416 с.

170. Мазуров, В.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации Текст. / В.Д. Мазуров. М.: Наука, 1990. - 248 с.

171. Макаркин, Н.П. Интеграция образования федеральный уровень Текст. / Н.П.Макаркин, И.Наумченко // Интеграция образования, 1996, №2-3.1. C.3-7.

172. Макиавелли, Н. Избранные сочинения Текст. / Н. Макиавелли.- М.: «Художественная литература», 1982. — 503 с.

173. Малинецкий, Г.Г. Выбор стратегии Текст. / Г.Г.Малинецкий // Компьютерра, №38 (513), 7 октября 2003 г. С. 25-31.

174. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент Текст. / Г.Г. Малинецкий,- М.: Издательство ЛКИ, 2007. 312 с.

175. Малинецкий, Г.Г. О возможной роли хаоса в нейросистемах Текст. / Е.М.Ижикевич, Г.Г. Малинецкий //Доклады РАН, 1992, т. 326, №4. С. 626-632.

176. Малинецкий, Г.Г. Синергетика, прогноз и управление риском Текст. / Г.Г.Малинецкий, С.П. Курдюмов // Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве .- М.: Прогресс-Традиция, 2002.-С. 378-405.

177. Мандельброт, Бенуа Б. Фрактальная геометрия природы. Пер. с англ. А.Р. Логунова Текст. / Бенуа Б. Мандельброт М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 666 с.

178. Маркс, К. Экономические рукописи 1857-1859 годов Текст. // К.Маркс ит

179. Ф.Энгельс. Сочинения, т.46, часть 2. М.: Политиздат, 1969. - 618 с.

180. Маркушевич, А.И. Возвратные последовательности Текст. / А.И. Маркушевич. -М.: Наука, 1975. 47 с.

181. Марютина, Т.М. Введение в психофизиологию Текст. / Т.М.Марютина, О.Ю. Ермолаев.- М.: Московский психо-социальный ин-т: Флинта, 2004. -400 с.

182. Маслова, Г.Г. Совет учителей математики США о путях совершенствования математического образования в 80-е годы Текст. / Г.Г. Маслова // Математика в школе, 1981, №5. С. 68-71.

183. Маслоу, А. Мотивация и личность Текст. / А.Маслоу. СПб.: Питер, 2008. - 352 с.

184. Математика в школе Текст., 1995, № 1.-е. 78.

185. Математика и естествознание Текст. // Сб. статей «Проблемы математической школы» / Составитель С.И.Шварцбурд. — М.: Просвещение, 1969.- 448 с.

186. Матросов, В.Л. Теория алгоритмов Текст. / В.Л.Матросов. М.: Прометей, 1989. - 188 с.

187. Махмутов, М.И. Проблемное обучение Текст. / М.И. Махмутов. М.: Педагогика, 1975. —368 с.

188. Меморандум американских математиков Текст. // Математика в школе, 1964, №4.-С. 90-92.

189. Минский, М. Искусственный разум Текст. / М.Минский // Сб. Информация. -М.: Мир, 1968. -222 с.

190. Минский, М. Перцептроны Текст. / М.Минский, С.Пейперт. М.: Мир, 1971.- 261 с.

191. Минский, М. Структура для представления знания Текст. / М.Минский // Психология машинного зрения. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - С. 249320.

192. Михелович, Ш.Х. Теория чисел Текст. / Ш.Х. Михелович.- М.: Высшая школа, 1967. — 336 с.

193. Моль, А. Теория информации и эстетическое восприятие Текст. /А.Моль М.: Мир, 1966.-352 с.

194. Монахов, В.М. Методы оптимизации Текст. / В.М.Монахов,Э.С.Беляева, Н.Я.Краснер. -М.: Просвещение, 1978. 175 с.

195. Монахов, В.М. Теория педагогических технологий как необходимое условие их интеграции с информационными технологиями Текст. / В.М. Монахов // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004.-С. 145-151.

196. Мулен, Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели Текст. / Э.Мулен. М.: Мир, 1991. - 464 с.

197. Мусский, С.А. Сто великих нобелевских лауреатов Текст. / С.А. Мусский.- М.:Вече,2003. 480 с.

198. Наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика. Учебное пособие Текст. / Под ред. Е.И. Смирнова. — Ярославль: ИПК «Индиго», 2007. 454 с.

199. Нардюжев, В.И. Модели и алгоритмы информационно-вычислительной системы компьютерного тестирования Текст. / В.И.Нардюжев, И.В. Нардюжев — М.: Прометей, 2000. — 148 с.

200. Наследов, А.Д. Математические методы психологического исследования Текст. / А.Д. Наследов. СПб.: Речь, 2007. - 392 с.

201. Национальная доктрина развития образования в РФ (на период 2000-2025 гг.) Текст. Одобрена Правительством РФ от 17.02.2000 г.

202. Начала Евклида. С комментариями Д.Д. Мордухай-Болтовского Текст. / Евклид.-М.-Л. :ГИТТЛ, 1948-1950.

203. Непомнящий В.М. Практическое применение перспективы в станковой картине Текст. / В.М.Непомнящий, Г.Б. Смирнов. М.: Просвещение, 1978.-119 с.

204. Никандров, Н.Д. Программированное обучение и идеи кибернетики Текст. / Н.Д. Никандров. М.: Наука, 1970. - 196 с.

205. Никитин, H.H. Геометрия. 6-8 кл. Текст. / H.H. Никитин- М.: Учпедгиз, 1961. 216 с.

206. Николенко, Т.Г. Тесты по грамматике английского языка Текст. / Т.Г. Николенко. М.: Рольф, 2000. - 160 с.

207. Новые государственные стандарты школьного образования Текст. М.: ACT - Астрель, 2004. - 448 с.

208. Нурминский, И.И. Статистические закономерности формирования знаний и умений учащихся Текст. / И.И.Нурминский, Н.К. Гладышева-М.: Педагогика, 1991 224 с.

209. Ньюэлл, А. Процессы творческого мышления Текст. / А.Ньюэлл, Дж.С.Шоу, Г.А. Саймон // В кн.: Психология мышления. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1965. - С. 500-530.

210. Образование в Российской Федерации: 2007. Статистический ежегодник Текст. М.: ГУ-ВШЭ, 2007. - 484 с.

211. Олемский, А.И. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды Текст. / А.И.Олемский, А.Я. Флат // УФН, 1993, т. 169, №12. -С. 1-50.

212. Орлов, Ю.К. Невидимая гармония Текст. / Ю.К. Орлов // Число и мысль. Сборник. Вып. 3. -М.: Знание, 1980. С. 70-106.

213. Осуга, С. Обработка знаний: Пер. с япон. Текст. / С.Осуга. М.: Мир, 1989.-293 с.

214. Партыка, Т.Л. Математические методы Текст. / Т.Л.Партыка, И.И. Попов. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. - 464 с.

215. Паташинский, А.З. Флуктуационная теория фазовых переходов Текст. / А.З.Паташинский, В.Л. Покровский -М.: Наука, 1982.-382 с.

216. Пахомов, В. Демократия с точки зрения математики Текст. / В.Пахомов // Квант, 1992, №9. С. 17-20.

217. Пахомов, В. Демократия с точки зрения математики Текст. / В.Пахомов // Квант, 1992, №10. С. 2-7.

218. Педагогика. Большая современная энциклопедия Текст. / Сост. Е.С. Рапацевич. Минск: «Соврем, слово», 2005. - 720 с.

219. Пенроуз, Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. Пер с англ. Общ. ред. В.О. Малышенко. Предисл. Г.Г. Малинецкого Текст. / Р.Пенроуз. М.: Едиториал УРСС, 2005. - 400 с.

220. Пер Бак, Самоорганизованная критичность Текст. / Пер Бак, Кан Чен. // В мире науки, 1991, №3. С. 16-24.

221. Перельман, Я.И. Живая математика Текст. / Я.И. Перельман. -Екатеринбург: Издательство «Тезис», 1994. — 160 с.

222. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра Текст. / Я.И. Перельман. М.: Наука, 1967.-200 с.

223. Пиаже, Ж. Психология интеллекта. Избранные психологические труды Текст. / Ж. Пиаже- М.: Просвещение, 1969. 659 с.

224. Платон. Диалоги Текст. / Платон. М.: Мысль, 1986. - 607 с.

225. Платон. Теэтет Текст. / Платон. М.-Л.: Гос. соц.-экон. изд-во, 1936. — 191 с.

226. Поварнин, С.И. Спор: О теории и практике спора Текст. / С.И. Поварнин // Вопросы философии, 1990, №3. С. 57-133.

227. Поваров, Г.Н. Ампер и кибернетика Текст. / Г.Н. Поваров. М.: Советское радио, 1977. - 96 с.

228. Погорелов, A.B. Геометрия. 7-11 Текст. / A.B. Погорелов.- М.: Просвещение, 1993. 383 с.

229. Подготовка учителя математики: инновационные подходы. Учеб. пособие Текст. / Под ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. - 383 с.

230. Подласый, И.П. Педагогика. Новый курс Текст. В 2 кн. Кн. 1: Общие основы. Процесс обучения / И.П. Подласый М.: ВЛАДОС, 2002 - 576 с.

231. Пойа, Д. Как решать задачу Текст. / Д.Пойа М.:Учпедгиз, 1961- 207с.

232. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения Текст. / Д.Пойа. -М.: Наука, 1975.-464 с.

233. Пойа, Д. Математическое открытие Текст. / Д.Пойа-М.: Наука, 1976. -448 с.

234. Поспелов, Г.С. Системный анализ и искусственный интеллект Текст. / Г.С. Поспелов.- М.:Изд-во АН СССР, 1980. 47 с.

235. Поспелов, Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления Текст. / Д.А. Поспелов.-М.: Энергоиздат, 1981.-231 с.

236. Постников, М.М. Магические квадраты Текст. / М.М.Постников. — М.: Наука, 1964. 84 с.

237. Представление и использование знаний: Пер. с япон. Текст. / Под ред. X. Уэно, М. Исидзука. М.: Мир, 1989. - 220 с.

238. Пригожин, И. Самоорганизация в неравновесных системах Текст. / Г.Николис, И.Пригожин. М.: Мир, 1979. - 512 с.

239. Приобретение знаний: Пер. с япон. Текст. / Под ред. С. Осуги, Ю. Саэки. М.: Мир, 1990. - 304 с.

240. Приоритетные направления развития образовательной системы РФ Текст.Одобрены Правительством РФ 09.12.2004г.(проток №47,раздел 1).

241. Проблемы Гильберта Текст. / Под ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969.-240 с.

242. Проекты ФГОС ВПО по направлению подготовки 44 Педагогическое образование Электронный ресурс. / Режим доступа: http//mon.gov.ru/ pro/fgos/vpo/prfgos2009pv44b.pdf; http//mon.gov.rii/pro/fgos/vpo/prfgos2009pv44 m. pdf.

243. Прудников, B.E. Русские педагоги-математики 18-19 веков Текст. / В.Е. Прудников- М.: Учпедгиз, 1956 640 с.

244. Пуанкаре, Анри. О науке Текст. /Анри Пуанкаре.-М.:Наука, 1983.-560 с.

245. Пугачева, Е. Самоорганизация высшей школы? Нет! Реформы. Текст. / Е.Пугачева, К.Соловьенко // Aima mater (Вестник высшей школы), 2005, №3. С. 3-7.

246. Пушкин, В.Н. Оперативное мышление в больших системах Текст. / В.Н. Пушкин M. - JL: Энергия, 1965. - 375 с.

247. Пушкин, В.Н. Психология и кибернетика Текст. / В.Н.Пушкин. М.: Педагогика, 1971. - 232 с.

248. Пьер Тейяр де Шарден. Феномен человека Текст. / Пьер Тейяр де Шарден. М.: Наука, 1987. - 240 с.

249. Реан, А. Психология и педагогика Текст. / А.Реан, Н.Бордовская, С. Розум. СПб.: Питер, 2006. - 432 с.

250. Региональные трансформации: социологический мониторинг Текст. // Социальные проблемы формирования рынка труда. Информационный бюллетень Вып. 2. Саратов.: Изд-во «Научная книга», 2005. - 118 с.

251. Редько В.Г. Эволюционная биокибернетика Текст. / В.Г. Редько // Сер.: «Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения». -М.: Наука, 2001.-156 с.

252. Реньи, А. Трилогия о математике Текст. /А.Реньи.-М. Мир, 1980 376 с.

253. Родосский, К.А. Алгоритм Евклида Текст. / К.А. Родосский — М.: Наука, 1988.-240 с.

254. Розанов, Ю.А. Случайные процессы Текст. / Ю.А. Розанов М.: Наука, 1971.-286 с.

255. Российский портал открытого образования: обучение, опыт, организация Текст. / Отв. ред. В.И. Солдаткин. -М.: МГИУ, 2003. 508с.

256. Россия: образование в переходный период Текст. // Доклад всемирного банка, 1995. Всемирный банк: Управление Европы и Центральной Азии, департамент III. Отдел социальных ресурсов. 1995. - 250 с.

257. Рубинштейн, C.JI. О мышлении и путях его исследования Текст. / C.JI. Рубинштейн.-М.: Изд-во АН СССР, 1958. 147 с.

258. Рубинштейн, C.JI. Основы общей психологии Текст. / C.JI. Рубинштейн. СПб.: Питер, 2005. - 713 с.

259. Рубинштейн, C.JI. Проблемы общей психологии Текст. / C.JI. Рубинштейн- M.: Педагогика, 1973. 423 с.

260. Рузавин, Г.И. О природе математического знания Текст. / Г.И. Рузавин-М.: Мысль, 1968.-303 с.

261. Салий, В.Н. Математические основы гуманитарных знаний Текст. / В.Н. Салий- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. 308 с.

262. Свирежев, Ю.М. Основы математической генетики Текст. / Ю.М.Свирежев, В.П. Пасеков М.: Наука, 1982. - 512 с.

263. Севастьянов, Б.А. Теория ветвящихся случайных процессов Текст. / Б.А. Севастьянов // УМН, 1951, т.6, Ш. с. 47-99.

264. Секованов, B.C. Элементы теории фрактальных множеств: учеб. пособие Текст. / B.C. Секованов. Кострома:КГУ им.Н.А. Некрасова, 2010 - 179 с.

265. Сергиевский, В. Путь к творческому мышлению Текст. / В.Сергиевский // Aima mater (Вестник высшей школы), 1991, №7. С. 12-16.

266. Синцов, Д.М. О преподавании аналитической геометрии в средней школе Текст. / Д.М Синцов. // Математическое образование, 1914, №3. -С. 113-120.

267. Системные вопросы развития отечественного образования Текст. // Alma mater (Вестник высшей школы), 2005, №11. С. 5-16.

268. Скаткин, М.Н. Проблемы современной дидактики Текст. / М.Н. Скаткин-М.: Педагогика, 1980. 96 с.

269. Скопец, З.А. Геометрические миниатюры Текст. / З.А.Скопец. М.: Просвещение, 1990. - 222 с.

270. Смирнов, С.Д. Педагогика и психология высшего образования: От деятельности к личности Текст. / С.Д. Смирнов М.: Издательский центр «Академия», 2005. - 400 с.

271. Сойер, Б. Программирование экспертных систем на Паскале Текст. / Б.Сойер, Д.Л.Фостер. М.: Финансы и статистика, 1990. - 191 с.274.„Соловьев, С.А. Перспектива Текст. / С.А. Соловьев. -М.: Просвещение, 1981.-144 с.

272. Столл, P.P. Множества. Логика. Аксиоматические теории Текст. / P.P. Столл.-М.: Просвещение, 1968. 232 с.

273. Столяр, A.A. Логическое введение в математику Текст. / A.A. Столяр.— Минск: Вышэйшая школа, 1971. 222 с.

274. Стражев, В. Пять реформ советской школы Текст. / В. Стражев // Alma mater (Вестник высшей школы), 2005, №5. С. 3-17.

275. Сэцуко Минэ. О подготовке учителей математики в Японии Текст. / Сэцуко Минэ // Математика в школе, 1981, №5. — С. 71-72.

276. Творцы физической оптики. Сб. статей Текст. -М.:Наука, 1973.-352 с.

277. Теория множеств. Книга для слушателей 5-7 классов 3MLLI при СГУ им. Н.Г. Чернышевского Текст. / Составитель В.Е. Фирстов. Саратов: ЦОО СГУ, 2004. - 62 с.

278. Терехов, Л.Л. Экономико-математические методы Текст. / Л.Л. Терехов —М.: Статистика, 1968. —360 с.

279. Тестов, В.А. Фундаментальность образования: современные подходы Текст. / В.А. Тестов // Педагогика, 2006, №4. С. 3-9.

280. Уилсон, Р. Введение в теорию графов Текст. / Р.Уилсон М., Мир, 1977. -207 с.

281. Урсул, А.Д. Природа информации Текст. / А.Д. Урсул М.: Политиздат, 1968.-288 с.

282. Федеральная целевая программа развития образования на 2006-2010 гг. Текст. Постановление Правительства РФ от 23.12.2005, № 803.

283. Федеральный закон «О высшем и послевузовском профессиональном образовании». 2-е издание Текст. — М.: Ось-89, 2005. — 48 с.

284. Фейгенбаум, М. Универсальное поведение в нелинейных системах Текст. / М.Фейгенбаум // УФН, 1983, т. 141, №2. С. 343-374.

285. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1 Текст. / В.Феллер. М.: Мир, 1984. - 528 с.

286. ФГОС начального общего образования Текст. / Приложение к приказу Минобразования и науки РФ от 06.10.2009, №373. 41 с.

287. Фирстов, В.В.Концепция колориметрического барицентра в исследовании гармонии живописи Текст.: дисс. . канд. культурологии: 24.00.01. / В.В.Фирстов. Саратов: [б.и.],2006.- 136 с.

288. Фирстов, В.Е. Алгебраические аспекты игры в домино Текст. / В.Е. Фирстов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам.Вып.2.-Саратов: изд-во СГУ,2003- С. 64-65.

289. Фирстов, В.Е. Алгебраические структуры на множестве магических матриц Текст. / В.Е. Фирстов // Математика. Механика. Саратов: изд-во СГУ, 2002.-С. 147-149.

290. Фирстов, В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры (примеры решения задач) Текст. / В.Е.Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин.-Там же. С. 38-43.

291. Фирстов, В.Е. Информационная технология организации группового сотрудничества при обучении Текст. / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2009, № 2(39). С. 101 -103.

292. Фирстов, В.Е. Информационно-стохастическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания: Монография Текст. / В.Е.Фирстов.- Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006.-55 с.

293. Фирстов, В.Е.Информационно-стохастическая модель и оптимизация при формировании математического знания Текст. / В.Е. Фирстов // Труды IV Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006. - С. 240-252.

294. Фирстов, В.Е. Кибернетическая концепция в современном учебном процессе Текст. / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня, 2009, №3. С.66-68.

295. Фирстов, В.Е. Кибернетическая концепция и математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в школе и вузе: Монография Текст. / В.Е. Фирстов. — Саратов: Издательский Центр «Наука», 2010. 511 с.

296. Фирстов, В.Е. Количественные меры информации и оптимизация группового сотрудничества при обучении Текст. / В.Е.Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2008, №3 (34), вып. 1. С. 105-109.

297. Фирстов, В.Е. Концепция развивающего обучения Л.С.Выготского, педагогика сотрудничества и кибернетика Текст. / В.Е.Фирстов // Ярославский педагогический вестник, 2008, №4(57). С.98-104.

298. Фирстов, В.Е. Линейное программирование при решении некоторых физико-технических задач Текст. / В.Е.Фирстов, И.В.Серебрякова // Преподавание естественного цикла в вузе и школе. Сб. науч. трудов. -Саратов: ООО «Исток С», 2001. С. 62-67.

299. Фирстов, В.Е. Механические приемы подсчета объемов Текст. / В.Е. Фирстов, И.В.Серебрякова // Математика в школе, 2001, №5. С.40-42.

300. Фирстов, В.Е. Некоторые аспекты преподавания математики в гуманитарной области высшего образования Текст. / И.К.Погорелов,

301. B.В.Фирстов, В.Е.Фирстов // Учитель ученик: проблемы, поиски, находки: Сб. научно-методических трудов: Выпуск 6.- Саратов: ИЦ «Наука», 2008. - С. 18-32.

302. Фирстов, В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации пифагоровых троек Текст. / В.Е. Фирстов // Труды П-х Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. - С. 368-375.

303. Фирстов, В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек: Монография Текст. / В.Е.Фирстов СаратовЮОО Изд-во «Научная книга», 2004 - 91 с.

304. Фирстов, В.Е. О преподавании математики в гуманитарной области высшего образования Текст. / И.К.Погорелов, В.В. Фирстов, В.Е. Фирстов // Труды У1-х Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2008.1. C. 287-298.

305. Фирстов, В.Е. О преподавании математики на гуманитарных направлениях и специальностях вузов Текст. / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня, 2009, №2. С.82-84.

306. Фирстов, В.Е. О разложении многочлена х3 -х в кольце классов вычетов Текст. / В.Е. Фирстов. Депонир. в ВИНИТИ 10.05.00, № 1353-ВОО.

307. Фирстов, В.Е. О решениях уравнения х3=х над кольцом классов вычетов Текст. / В.Е.Фирстов.-Депонир.в ВИНИТИ 25.12.97, №3773-В97.

308. Фирстов, В.Е. О строении арифметической полурешетки Текст. / В.Е. Фирстов. Депонир. в ВИНИТИ 09.09.97, № 2816-В97.

309. Фирстов, В.Е. Обучение в диалоге: кибернетический аспект Текст. / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2007, №4 (28), вып. 1.-С 135-145.

310. Фирстов, В.Е. Рекуррентные последовательности и их пространственные алгебраические образы Текст. / В.Е. Фирстов. Депонир. в ВИНИТИ 10.05.00., № 1352-В00.

311. Фирстов, В.Е. Рекуррентные последовательности при обобщенных наполеоновых построениях Текст. / В.Е. Фирстов. Депонир. в ВИНИТИ 18.01.01, № 128-В2001.

312. Фирстов, В.Е. Рекуррентные последовательности при обобщенных пифагоровых построениях и их общая связь с коническими сечениями Текст. / В.Е. Фирстов.-Депонир. в ВИНИТИ 10.05.00., № 1351-В00.

313. Фирстов, В.Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора: Монография Текст. / В.Е. Фирстов-Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2005. 136 с.

314. Фирстов, В.Е. Реологические числа и их некоторые алгебраические свойства. Депонир. в ВИНИТИ 07.07.97, № 2241-В97.

315. Фирстов, В.Е. Реологические числа и их связь с полурешетками колец классов вычетов Текст. / В.Е.Фирстов // 54-е Герценовские чтения: Проблемы теории и практики обучения математике. С.-Пб: изд-во РГПУ им. Герцена, 2001. С. 136-138.

316. Фирстов, В.Е. Сборник тем курсовых работ по математике (алгебра, математическая логика, дискретная математика) Текст. / В.А.Молчанов, В.Е.Новиков, Т.М.Отрыванкина, П.Н.Пронин, В.Е.Фирстов.-Оренбург: ГОУ ОГУ. 2004. 68 с.

317. Фирстов, В.Е. Семантическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания Текст. / В.Е Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2006, №3 (14), вып. 1. — С. 34-43.

318. Фирстов, В.Е. Семантические сети и эффективное формирование математического знания Текст. / В.Е. Фирстов // Труды У-х Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯЛТУ, 2007. — С. 172-182.

319. Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек Текст. / В.Е. Фирстов // Чебышевский сборник. Т. VI. Вып. 1 (13). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2005. - С. 163-183.

320. Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек Текст. / В.Е. Фирстов // Труды П-х Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. — С. 358-361.

321. Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек Текст. / В.Е. Фирстов // Математические заметки, 2008, т. 84, вып. 2. С. 281-299.

322. Фирстов, В.Е. Теорема Пифагора как источник замечательных математических открытий, идей и обобщений Текст. / В.Е. Фирстов // Математика в школе, 2001, № 9. с.59-63.

323. Фирстов, В.Е. Тесты по математике для учащихся 4-7 классов Текст. / В.Е. Фирстов, В.А.Иванов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. - 40 с.

324. Фирстов, В.Е. Экспертные системы и информационная концепция развивающего обучения Текст. / В.Е. Фирстов // Ярославский педагогический вестник, 2009, № 1(58). С.69-73.

325. Фролов, Г.Д. Элементы информатики Текст. / Г.Д.Фролов, Э.И. Кузнецов. М.: Высшая школа, 1989. - 304 с.

326. Функциональная система Текст. // Математическая энциклопедия. В 5 т.: Т.5. -М.: Советская Энциклопедия, 1984. С. 694-696.

327. Фурсенко, А.О. О реализации приоритетных национальных проектов в сфере образования Текст. / А.О. Фурсенко // Aima mater (Вестник высшей школы), 2006, №1. С. 21-24.

328. Хакен, Г. Информация и самоорганизация Текст. / Г.Хакен. М.:Ком. Книга, 2005.-248 с.

329. Хакен, Г. Синергетика Текст. / Г. Хакен. М.: Мир, 1980. - 404 с.

330. Харрис, Т. Теория ветвящихся случайных процессов Текст. / Т.Харрис. -М.: Мир, 1966.-355 с.

331. Холодная, М.А. Психология интеллекта Текст. / М.А. Холодная- СПб.: Питер, 2002. 272 с.

332. Хургин, В.М. Об определении понятия «информация» Текст. / В.М. Хургин // Информационные ресурсы России, 2007, №3 (97). С. 20-26.

333. Цыпкин, Я.З. Основы теории обучающихся систем Текст. /Я.З.Цыпкин. М.: Наука, 1970. - 252 с.

334. Чистяков, В.Д. Старинные задачи по элементарной математике Текст. / В.Д. Чистяков. Минск: Вышэйшая школа, 1978. - 270 с.

335. Чолаков, В. Нобелевские премии. Ученые и открытия Текст. / В.Чолаков. М.: Мир, 1987. - 368 с.

336. Шарыгин, И.Ф. Геометрия 7-9 Текст. / И.Ф.Шарыгин. -М.: Дрофа, 2000. -368 с.

337. Шарыгин, И.Ф. Геометрия 10-11 Текст. / И.Ф.Шарыгин. М.: Дрофа, 1999.-208 с.

338. Шеннон, К. Работы по теории информации и кибернетике Текст. / К.Шеннон. -М.: ИЛ, 1963.- 829 с.

339. Шестакова, К.Д. Конституционное право зарубежных стран Текст. / К.Д. Шестакова. М.:РИОР, 2008. - 192 с.

340. Шоке, Г. Геометрия Текст. / Г.Шоке. М.: Мир, 1970. - 233 с.

341. Эндрюс, Г. Теория разбиений Текст. / Г.Эндрюс М.:Наука,1982. -256 с.

342. Эрдниев, П.М.Укрупнение дидактических единиц в обучении математике Текст. /П.М.Эрдниев, Б.П. Эрдниев-М.:Просвещение, 1986.-255 с.

343. Юшкевич, А.П. История математики в средние века Текст. / А.П.Юшкевич. -М.: Физматгиз, 1961.-448 с.

344. Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику Текст. / С.В. Яблонский М.: Наука, 1986. - 384 с.

345. Яглом, A.M. Вероятность и информация Текст. / А.М.Яглом, И.М. Яглом. М.: Наука, 1973. - 511 с.

346. Ядгаров, Я.С. История экономических учений Текст. / Я.С. Ядгаров-М.: ИНФРА-М, 2003. 480 с.

347. Anderson, R. John. The architecture of cognition Text. / R. John. Anderson.— Cambridge (Massachusetts, USA): Harvard Univ. Press, 1983. 163 p.

348. Arnheim, R. The Power of the Center. A Study of Composition in the Visual Arts Text. / R.Arnheim.-Berkeley:University of California Press, 1988 256 p.

349. Carnap, R. Semantic Information Text. / Y.Bar-Hillel, R.Carnap // British journal of the Philosophy Science, 1953, v. 4, №14. P. 147-157.

350. Faltings, G. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles Text. / G.Faltings //Notices Amer. Math. Soc., 1995, v. 42, №7. P. 743-746.

351. Firstov, V.E. A Special Matrix Trasformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples Text. / V.E. Firstov // Mathematical Notes, 2008,v.84, № 2.-P.263-279.

352. Firstov, V.E. Semantic Model and Optimization of Creative Processes at Mathematical Knowledge Formation Text. / V.E. Firstov // Natural Science, 2010, Vol.2, No.8. P. 825-835.

353. Firstov, V.E. Conception of colorimetric barycenter in painting analysis Text. / V.V.Firstov, V.E.Firstov, A.V.Voloshinov // Proc. Intern. Congress on Aesthetics, Creativity and Psychology of the Arts. Perm, 2005. - P. 258-260.

354. Firstov, V.E. The Colorimetric Barycenter of Paintings Text. / V.V.Firstov, V.E.Firstov, A.V.Voloshinov, P.Locher // Empirical Studies of the Arts, 2007, V. 25, №2.-P. 209-217.

355. Frank, H. Kybernetische Grundlagen der Pädagogik Text. / H.Frank. BadenBaden: 1961.-341 s.

356. Glaser, R. Education and thinking: The role of knowledge Text. / R. Glaser // Amer. Amer. Psychologist., 1984,V.39, №2. P. 93-104.

357. Hancock, S.F. Pythagorean Triples Text. / S.F. Hancock // Mathematical Gazette, 1970, v.54. -p.289.

358. Hebb, D.O. The Organization of Behavior: A Neuropsychological Theory Text. / D.O.Hebb. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1949. - 335 p.

359. Hopfild, J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities Text. / J.J.Hopfild // Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 1982, v.79.-P. 2554-2558.

360. Kelso, J. A. Self-organization dynamics of the human brain:Critical instabilities and Shilnikov chaos Text. / J.A.Kelso, A.Fucs // Chaos, 1995, V. 5, №1. P. 64-69.

361. Locher, P. Spatial balance of color triads in the abstract art of Piet Mondrian Text. / P.Locher, K.Overbeeke, P.J. Stappers // Perception, 2005, V. 34. P. 169-189.

362. Rashevsky, N. Live, Information Theory and Topology Text. / N. Rashevsky // The Bulletin of Mathematical Biophysics. Chicago, 1955, V.17, №3. - P. 25-78.

363. Rosenblatt, F. The perception: a probabilistic model for information storage and organization in the brain / C.F. Rosenblatt // Psychol. Review, 1958, v.65, №6.-P. 386-408.

364. Tang, C. Critical exponents and scaling relations for self-organized critical phenomema Text. / C.Tang, P.Bak // Physical Review Letters, 1988, V. 60. P. 2347-2350.

365. White, H.C. Social structure from multiple networks, I: blockmodels of roles and positions Text. / H.C.White, S.A.Boorman, R.L. Breiger // Amer. J. Sociol., 1976, v. 81.-P. 730-780.

366. White, H.C. Social structure from multiple networks, II: role structures Text. / H.C.White, S.A.Boorman//Amer. J. Sociol., 1976, v. 81. P. 1384-1466.