автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Тестов, Владимир Афанасьевич, 1998 год

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КАК ОСНОВА

РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

§1. Математические структуры и содержание обучения математике

1.1. Понятие структуры и системный подход в современной науке

1.2. Математические структуры в понимании Н. Бурбаки

1.3. Математические структуры в общенаучном понимании

1.4. Структуры математического мышления в теории Ж. Пиаже

1.5. Структуры в математическом образовании

1.6. Недостатки в изучении структур, проявившиеся в ходе реформы 6070-х годов

§ 2. Познавательные структуры в современной психологии и их роль в развивающем обучении

2.1. Информационный подход в современной психологии

2.2. Понятие о репрезентативных когнитивных структурах

2.3. Основные законы развития когнитивных структур

2.4. Развитие когнитивных структур и принципы развивающего обучения

2.5. Математическое развитие и схемы математического мышления

2.6. Выводы

§ 3. Математические структуры и проблема математических способностей

3.1. Познавательные способности и умственное развитие

3.2. Математические способности и математические структуры

3.3. Основные виды схем математического мышления

3.4. Диагностика математических способностей

3.6. Выводы

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КАК МЕТОДИЧЕСКАЯ ОСНОВА РЕАЛИЗАЦИИ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ

ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ

§ 1. Основные дидактические принципы построения математических курсов и роль математических структур в их реализации

1.1. Принцип генерализации и взаимосвязанности знаний

1.1.1. Генерализация знаний

1.1.2. Взаимосвязанность знаний

1.2. Принцип научности и доступности обучения

1.2.1. Научность обучения

1.2.2. Доступность обучения

1.3. Принцип систематичности и последовательности

1.4. Принцип практической и гуманитарной направленности

1.4.1. Практическая направленность обучения

1.4.2. Гуманитарная направленность обучения

§ 2. Роль математических структур в реализации принципа преемственности

2.1. Единство непрерывности и дискретности обучения

2.2. Преемственность как общепедагогический принцип

2.3. Повторение в математических курсах

2.4. Упражнения в математических курсах

2.5. Значение пропедевтики в математических курсах

2.6. Преемственность между средней школой и вузом

2.7. Выводы

§ 3. Принцип многоступенчатости формирования основных математических структур

3.1. Многоступенчатость формирования знаний как общедидактический принцип

3.2. Уровни сформированности математических структур

3.3. Формирование математических схем мышления

3.4. Многоступенчатость формирования теоретико-множественных понятий

3.5. Многоступенчатость формирования порядковых структур

3.6. Многоступенчатость формирования алгебраических структур

3.7. Специфичность ступеней формирования топологических структур

3.8. Выводы

ГЛАВА 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ ПРИ

ИЗУЧЕНИИ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР

§ 1. Формирование понятия о скалярной величине.

1.1. Величины и измерения

1.2. Первоначальное понятие о величине

1.3. Дальнейшие этапы формирования понятия о скалярных величинах

1.4. Некоторые особенности в изучении теории неравенств

§ 2. Формирование представлений о структуре натурального ряда

2.1. Порядковый и количественный аспекты натурального числа

2.2. Первоначальные этапы формирования понятия о натуральных числах

2.3. Система натуральных чисел как вполне упорядоченное множество

2.4. Различные формы математической индукции

§ 3. Формирование понятий о других числовых системах

3.1. Целые и рациональные числа

3.2. Действительные числа

3.3. Комплексные числа и кватернионы

§ 4. Изучение отношения делимости и различных обобщений основной теоремы арифметики

4.1. Начальные этапы изучения отношения делимости

4.2. Изучение отношения делимости в моноидах

4.3. Отношение делимости в евклидовых полукольцах

§ 5. Формирование понятий о нелинейных порядковых структурах

5.1. Начальные этапы изучения нелинейных структур

5.2. Решетки и их изучение в курсе алгебры

5.3. Изучение булевых алгебр

5.4. Изучение риссовых упорядоченных множеств

§6. Экспериментальная основа исследования

6.1. Школьный блок экспериментальной работы

6.2. Вузовский блок экспериментальной работы

Введение диссертации по педагогике, на тему "Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения"

В современных условиях в результате стремительного роста информации, вызванного научно-техническим прогрессом, возрастает значение и сложность проблемы содержания математического образования. Как отмечается в Меморандуме Международного симпозиума ЮНЕСКО (1994 г.), становится актуальной проблема поиска новой парадигмы образования, сущность которой во многом определяют фундаментальность, целостность и направленность на удовлетворение интересов личности. Следовательно, при отборе и построении содержания обучения речь должна идти об акцентировании внимания на освоении самых существенных, фундаментальных, устойчивых и долгоживущих знаний, лежащих в основе целостного восприятия научной картины современного мира.

Актуальность проблемы содержания математического образования и принципов его построения усиливается предоставленной общеобразовательным учреждениям свободой в разработке учебных программ в соответствии с принятым в 1992 г. Законом Российской Федерации об образовании и появлением в связи с этим большого числа авторских программ, разнообразия форм и методов обучения. Возникает опасение, что такое разнообразие программ, форм и методов обучения может привести к утрате на отдельных ступенях обучения необходимой преемственности и содержательности. Поэтому такая свобода должна предполагать выполнение целого ряда единых дидактических требований, среди которых одно из первых мест занимает обеспечение оптимального отбора содержания образования, построения и согласования учебных программ каждого уровня, что делает весьма актуальным исследование способов отбора содержания обучения математике и принципов его построения в любой модели обучения.

Современное состояние математической подготовки как учащихся школ, так и студентов вузов вызывает серьезные опасения. Наблюдается несоответствие современным требованиям знаний выпускников средних школ и студентов; формализм математических знаний, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления. Во многих случаях изучаемый конкретный материал не складывается в систему знаний; учащийся (студент) оказывается "погребен" под массой обрушивающейся на него информации, будучи не в состоянии самостоятельно ее структурировать и осмыслить.

В результате значительная часть такой информации быстро забывается, и математический багаж значительной части выпускников средних школ, состоит из большего или меньшего числа слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и лучше или хуже закрепленных навыков выполнения некоторых стандартных операций и типовых заданий. Представление о математике как о единой науке со своим предметом и методом у них отсутствует.

В вузах также далеко не всегда удается добиться целостности представления о математике. Наоборот, в силу исторически сложившейся дифференциации этой науки, разобщенности ее по отдельным кафедрам и преподавателям, у студентов зачастую такая раздробленность представлений о математике даже усиливается.

Преодолеть разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство математики, как отмечали А.Н. Колмогоров и другие крупнейшие ученые, возможно на основе взгляда на математику как науку о математических структурах, которые подразделяются, согласно Н. Бурбаки, на алгебраические, порядковые и топологические. Идея математических структур, оказавшаяся весьма плодотворной, послужила одним из побудительных мотивов к радикальной реформе математического образования в 60-70-ых годах в школах и в вузах как за рубежом, так и в нашей стране. В основе этой реформы, предпринятой под руководством А.Н. Колмогорова, кроме идей Н. Бурбаки, лежали идеи Ж. Пиаже о структурах математического мышления и их соответствии математическим структурам (топологическим, алгебраическим и порядковым).

Однако эта реформа математического образования наряду с несомненными успехами имела и существенные недостатки. Ряд причин таких недостатков субъективного и объективного характера был вскрыт в исследовании В.А. Оганесяна и работах Н.Я. Виленкина, Р.С. Черкасова и др. К таким причинам можно отнести и односторонность, ограниченность понимания математической структуры Н. Бурбаки. Это заставляет приходить к более широкому пониманию этого понятия. В частности, Л.Д. Кудрявцев предложил включить в понятие математических структур структуры, являющиеся математическими моделями реальных явлений (т.е. структуры, образующиеся в теории информации, теории операций, теории случайных процессов и т.д.).

В решении проблемы определения математической структуры, в выяснении того, насколько представление Н. Бурбаки о математических структурах соответствует современному их пониманию, необходимо опираться на общенаучное понимание структуры, выработанное в рамках общей теории систем. Системный анализ позволил по-новому осмыслить многие важные категории методики, вскрыть ряд закономерностей в формировании понятий, обучении решению задач и т.д. Системный подход оказался весьма плодотворным в исследованиях проблем преподавания математики как в школе (А.М.Пышкало, В.А. Оганесян, В.И. Крупич, В.А. Далингер и др.), так и в вузе (А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов и др.).

Настала пора вернуться к идеям о структурах математического мышления и их соответствии математическим структурам и критически их переосмыслить на основе одного из центральных в современной психологии понятии - понятии когнитивных структур или когнитивных схем, выяснить, какие внутренние психологические структуры соответствуют реальным математическим структурам, какова их роль в обучении и по каким принципам они должны формироваться. Для того, чтобы обучение было развивающим, необходимо, чтобы оно строилось с учетом общих законов развития структур, поэтому эти общие законы прежде всего должны быть четко сформулированы. Один из таких законов - закон дифференциации структур, т.е. закон развития от общего к частному, является одним из принципов системы В.В. Давыдова и в последнее время интенсивно разрабатывается Н.И. Чуприковой.

Следует признать, что научно-методические исследования, направленные на выявление средств и способов реализации развивающей роли обучения математике, совершенно недостаточны. Чрезмерное увлечение чисто информационной стороной обучения приводит к тому, что многими школьниками и студентами не воспринимается богатое содержание математических знаний, заложенных в программе. Поэтому одна из центральных задач - определение таких видов математических структур, формирование которых эффективно влияет на математическое развитие.

Эти структуры должны представлять собой определенные качества математического мышления, которые являются прежде всего средствами, методами познания. Для таких структур мы будем использовать термин "математические схемы мышления". Выделить такие специфические математические схемы мышления можно пытаться на основе деятельностного подхода, разработанного П.Я. Гальпериным, Н.Ф. Талызиной и др. и успешно применяемого во многих методических исследованиях. При этом важно подчеркнуть роль формирования математических схем мышления и в общем интеллектуальном развитии человеческой личности, причем не только логического мышления, но и в развитии образного мышления, правого полушария головного мозга.

Уровень сформированности у человека схем математического мышления, уровень их развития проявляется в математических способностях личности. Проблема развития математических способностей и их диагностики занимает важное место как в научно-теоретических исследованиях, так и в практике всей системы математического образования. Значительный вклад в исследование проблемы математических способностей внесли крупные отечественные психологи В.А. Крутецкий, А.Ф. Лазурский, Н.А. Менчинская, Н.Ф. Талызина, М.А. Холодная, П.А. Шеварев, И.С. Якиманская и др., а также крупные математики-педагоги Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин, С.И. Шварцбурд. Этой проблеме посвящены также исследования В.А. Гусева, Н.В. Метельского, A.M. Радь-кова и др. При рассмотрении этого вопроса представляется также весьма важным выявление тех видов математических структур, которые в первую очередь являются средством для развития и диагностики математических способностей.

Принцип развивающего и воспитывающего обучения - это только один из дидактических принципов отбора содержания обучения математике, которые должны образовывать целую методическую систему (В.А. Оганесян). Целый ряд авторов (В.А. Далингер, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов, Р.С. Черкасов и др.) выдвигают и ряд дополнительных дидактических принципов (генерализации знаний, внутрипредметных связей, построения программы "по спирали" и др.). Необходимо показать роль и значение формирования когнитивных репрезентативных структур в реализации всех этих принципов.

Математика занимает особое место среди других предметов и по объему и по времени изучения и по своей трудоемкости. Процесс обучения математике следует рассматривать как многоуровневую систему с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания. Те или иные уровни, ступени в таком последовательно-повышаемом содержательном познании рассматривались как учеными-дидактами (С.И. Архангельский, В.П. Беспалько, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин и др.), так и математиками-педагогами (Г.Д. Глейзер, А.Н. Колмогоров, А.А. Столяр, П.М. Эрдниев, Ф. Клейн, Г. Шоке, и др.). Таким образом, необходимо отдельно рассмотреть многоступенчатость процесса формирования когнитивных математических структур, как необходимое условие реализации основных дидактических принципов и прежде всего принципа доступности.

Изменения, происходящие в системе школьного образования, его усиливающаяся дифференциация открывают новые возможности взаимодействия вузов со школами, способствуют совершенствованию и развитию системы непрерывного образования. Возникает настоятельная необходимость в проведении научно-методических исследований, в которых проблема преподавания математики в школе и вузе изучалась бы с позиций системного анализа, т.е. в которой математическое образование школьников и студентов, его содержание рассматривалось бы как единая система, как комплексная проблема, затрагивающая методологические, психологические, внутрипредметные и другие аспекты. В таком целостном виде (в связке школа - вуз) эта проблема мало изучена. Имеются лишь исследование М.И. Шабунина, посвященное проблеме углубленной математической подготовки, и исследование Ю.В. Сидорова, посвященное проблеме преемственности. Основой реализации преемственности образовательных программ разных уровней и ступеней непрерывного образования является его фундаментальное содержание. Применительно к учебному предмету "математика" такой основой содержания являются математические структуры.

Актуальными остаются и вопросы улучшения математической подготовки будущих учителей математики. Вопросам совершенствования подготовки учителей математики в вузах посвящены исследования Г.Л. Лу-канкина, А.Г. Мордковича, Г.Г Хамова и др. Однако эти исследования в первую очередь касались профессионально-педагогической направленности обучения и почти не касались вопросов содержания обучения математике, принципов отбора и построения математических курсов. Изучение математических структур, построенное на научно обоснованных принципах, может в деле улучшения математической подготовки будущих учителей сыграть решающую роль.

Все вышесказанное определяет актуальность нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике в школе и в вузе.

Предметом исследования являются математические структуры и складывающиеся в процессе их изучения внутренние мыслительные структуры, их роль в реализации дидактических принципов построения математических курсов и создании системы изучения основных математических понятий.

Целью исследования является выявление роли различных видов математических структур в развитии математического мышления, в реализации основных дидактических принципов построения математических курсов, а также разработка на этой основе системы изучения некоторых основных математических понятий.

Научная проблема исследования состоит в теоретическом обосновании роли изучения математических структур для развития математического мышления, в реализации принципов построения математических курсов, а также в разработке на этой основе методики изучения отдельных видов порядковых структур.

Гипотеза исследования заключается в том, что математические структуры могут служить основой построения любого математического курса. Формирование соответствующих им внутренних мыслительных структур позволяет обеспечить единство в изучении различных математических дисциплин и их разделов, реализацию основных дидактических принципов (развивающего обучения, генерализации и взаимосвязанности знаний, спиралевидного процесса формирования знаний и т.д.) с целью повышения эффективности обучения, а также разработать систему изучения важнейших математических понятий.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:

1) Изучить и проанализировать опыт применения идеи математических структур в ходе реформы математического образования 60-70-х годов.

2) Уточнить понятие о математических структурах и соответствующих им внутренних психологических структурах.

3) Модернизировать на этой основе концепцию обучения математике как процесса изучения математических структур и формирования соответствующих им внутренних психологических структур.

4) Выделить те математические структуры, которые в наибольшей степени способствуют решению задачи развития математического мышления, математических способностей.

5) Показать роль изучения математических структур в реализации принципов построения содержания математических курсов, исходя из большой длительности и единства непрерывности и дискретности процесса обучения математике.

6) Рассмотреть процесс формирования отдельных видов математических структур, практическую реализацию принципов преемственности и многоступенчатости при построении математических курсов на примере порядковых структур, как относящихся к основным типам математических структур и охватывающих всю школьную и вузовскую математику.

7) Разработать систему изучения таких важнейших видов порядковых структур, как скалярные величины и отношение делимости с учетом принципов преемственности и многоступенчатости

8) Разработать структуру и содержание ряда математических курсов, как вузовских (алгебры, теории чисел, числовых систем, спецкурсов), так и некоторых специальных школьных курсов с учетом предложенных принципов изучения математических структур.

Методологической основой данного исследования явились теория системного подхода и ее применение к обучению математике (В.И. Крупич, B.C. Леднев, A.M. Пышкало и др. ); деятельностный подход и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов,

Л.В. Занков, Н.Ф.Талызина, Д.Б. Эльконин и др.); теория непрерывного обучения и образования (С.И. Архангельский, Ю.К. Бабанский, B.C. Леднев, М.Н. Скаткин и др. ); работы по методологии математического познания и математического образования (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Марку-шевич, А.Я. Хинчин и др.); теоретические исследования по проблемам содержания как школьного (М.И. Башмаков, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр и др.), так и вузовского образования (Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин и др.).

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и математического образования, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий; изучение опыта отечественной и зарубежной школ по обновлению содержания обучения, обобщение опыта работы учителей и преподавателей ряда школ и вузов, а также собственного опыта работы автора в школах и педагогическом университете; интервьюирование, анкетирование, тестирование учащихся, студентов, учителей, преподавателей; применение экспертных оценок полученных результатов; педагогический опыт по проверке основных теоретических положений исследования.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем:

- расширено понятие математической структуры в соответствии с общенаучным пониманием структуры;

- выделены те виды математических структур, которые играют первостепенную роль в развитии математических способностей и их диагностике;

- показана роль математических структур в реализации основных дидактических принципов;

- обоснована необходимость многоступенчатости процесса формирования представлений об основных типах математических структур;

- показана практическая реализация процесса формирования представлений о порядковых структурах, начиная с самых первых шагов обучения математике в школе и кончая выходом на спецкурсах в вузе на самый современный научный уровень;

- разработана система изучения на разных этапах и на разных уровнях положительных скалярных величин, а на их основе основных числовых систем (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел);

- разработана система изучения отношения делимости на разных ступенях обучения в различных числовых и алгебраических системах, в том числе, центрального места в теории делимости - теоремы об однозначном разложении на неприводимые множители;

Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны и проверены:

- структура и содержание курсов алгебры, теории чисел, числовых систем и спецкурсов для педвузов;

- содержание циклов лекций по изучению отдельных видов математических структур;

- с учетом принципов преемственности и многоступенчатости учебные пособия для студентов педвузов, охватывающие изучение некоторых видов математических структур, начиная с обязательного учебного материала, включенного в программу 1-го курса, и кончая дополнительным материалом для спецкурсов;

- программа углубленного развивающего обучения математике для 3-7-х классов и учебные материалы к ней;

- программы специальных курсов для старших классов с математической специализацией;

- методические рекомендации для учителей по изучению отдельных видов математических структур в школе.

На защиту выносятся:

- расширение понятия математической структуры в соответствии с общенаучным пониманием структуры и выявление различных видов математических структур;

- выделение тех видов математических структур, которые играют первостепенную роль в развитии математического мышления, математических способностей, их диагностике и обоснование этой роли;

- теоретическое обоснование роли формирования представлений и понятий о математических структурах в реализации основных дидактических принципов (генерализации и взаимосвязанности знаний, научности и доступности, спиралевидного процесса формирования знаний и т.д.) в школьном и вузовском обучении математике;

- обоснование необходимости многоступенчатости процесса формирования представлений об основных типах математических структур;

- разработка в единой системе курсов алгебры, теории чисел, числовых систем и спецкурса с учетом многоступенчатости и преемственности формирования математических структур;

- комплексное рассмотрение порядковых структур в школьной и вузовской математике и практическая реализация основных дидактических принципов (многоступенчатости, преемственности и др.) в процессе формирования отдельных видов порядковых структур;

- система изучения на разных этапах и на разных уровнях положительных скалярных величин, а на их основе основных числовых систем (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел);

- разработка круга проблем вокруг теоремы об однозначном разложении на неприводимые множители и различных обобщений этой теоремы, позволяющих студентам, изучающих соответствующий спецкурс, выйти на современный научный уровень и принять участие в научно-исследовательской работе;

- система изучения комплексных чисел и кватернионов на основе теории квадратичных алгебр;

- разработка спецкурсов "Порядковые структуры" и "Теория делимости".

Апробация работы. Различные аспекты и результаты исследования неоднократно докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научно-методических конференциях преподавателей математических кафедр педвузов Северо-Западной зоны (1978, 1980, 1982, 1986, 1990 гг.), на Межрегиональной научно-практической конференции "Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе" (Орехово-Зуево, 1995 г.) на XV и XV1 Всероссийских семинарах преподавателей математики- педвузов (С.-Петербург, 1996 г. и Новгород, 1997 г.), на Федеральной научно-практической конференции "Математическое образование: традиции и современность" (Нижний Новгород, 1997 г.), на международной конференции "Математика в вузе" (Вологда, 1995 г.), научно-практической конференции "Государственные стандарты высшего профессионального образования и новые технологии обучения в вузе" (Вологда, 1996 г.), на научно-методических семинарах преподавателей математики в МПГУ (1985 и 1989 гг.), в ВГПУ (1994, 1997 гг.). Автор периодически выступал с лекциями и докладами по теме исследования перед учителями г. Вологды и Вологодской области.

Внедрение результатов исследования в практику. Выдвинутые в работе положения, программы, учебные материалы, методические рекомендации по содержанию преподавания математики и построению математических курсов внедрены в учебный процесс более двух десятков школ и других учебных заведений Вологодской области. Курсы алгебры, теории чисел и числовых систем внедрены в учебный процесс Вологодского государственного педагогического университета дневного и заочного отделений, промежуточный курс алгебры и теории чисел в колледжных группах комплекса педучилище-педуниверситет. Материалы исследования неоднократно использовались при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров по теме диссертации, при написании курсовых и дипломных работ студентами. Разработанные научно-методические и учебные материалы и опыт работы по ним-отражены в 40 публикациях.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование показало, что первоначально выдвинутая гипотеза полностью подтвердилась и позволило получить следующие основные выводы и результаты:

1. В проведенном исследовании расширено понятие математической структуры с общенаучных позиций системного анализа и выделены основные типы таких структур. Кроме алгебраических, порядковых и топологических структур, отмеченных Н. Бурбаки, в математике имеются логические, алогоритмические, комбинаторные, образно-геометрические, стохастические структуры. Эти структуры представляют собой в первую очередь средства математического познания, являются схемами, методами математической деятельности.

2. Существенным недостатком реформы математического образования 60-70-х годов явилось то, что большинство ученых-модернизаторов, опираясь на отдельные результаты Ж. Пиаже, ограничились попытками внедрения в школьную математику только алгебраических, порядковых и топологических структур и не уделили внимания другим видам математических структур (комбинаторным, алгоритмическим, образно-геометрическим и т.д.), играющих особую роль в исследовательской активности, в образовании новых понятийных структур, в развивающем обучении.

3. Имеются все основания считать, что развитие математических способностей в первую очередь определяется уровнем сформированности логических, алгоритмических, комбинаторных, образно-геометрических структур (схем). Именно эти структуры являются в первую очередь средствами познания, обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта. Все эти структуры обладают универсальностью и имеют большое значение не только для обучения, но и для математического творчества. Задачи соответствующих типов (логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические) являются наилучшим средством как для развития математических способностей школьников младших и средних классов, так и для их диагностики. В более старшем возрасте круг таких нестандартных задач может быть расширен.

3. Для того, чтобы обучение было развивающим необходимо, чтобы оно строилось с учетом общих законов развития структур, в частности как закона дифференциации структур - закона развития от общего к частному, так и закона интеграции структур - закона развития от простого к сложному. Для того, чтобы обеспечить сочетание этих двух принципов, обучение математике должно начинаться с небольшого числа наипростейших элементов, однако таких, которые содержат в себе главное, которое потом вырастает и развивается, т.е. с некоторых, пусть и немногих, пусть и в упрощенной форме, фундаментальных понятий современной математики. Тем самым из этих законов следует необходимость сквозного изучения математических структур, начиная с начального образования.

Таким образом в обучении должны присутствовать индуктивный и дедуктивный методы, необходим определенный баланс между этими методами, причем количественно (с постепенным уменьшением со временем обучения) должен преобладать индуктивный метод. Однако на каждом этапе обучения может и должно быть выделено несколько основных узлов информации, центральных понятий, которые сначала даются в максимально возможном на данном этапе обучения обицем виде, а уже затем детализируются и конкретизируются.

4. В исследовании установлено, что изучение математических структур и формирование соответствующих когнитивных структур играет решающую роль в реализации основных дидактических принципов для обеспечения эффективности обучения математике. Эти дидактические принципы образуют целую методическую систему и носят парный характер, что позволяет более полно, с двух сторон раскрыть сущность того или иного явления.

Определяющим принципом построения любого математического курса должно являться требование его структурности (системности), которое вытекает из структурности (системности) самих математических знаний. Структурность курса предполагает четкое выделение стержней курса, его основных идей и рассмотрение всего многообразия их связей.

К числу основных дидактических принципов построения таких, растянутых во времени курсов, каковым является курс математики, должен быть отнесен и принцип построения процесса обучения по спирали Этот принцип обеспечивает единение в обучении непрерывного и дискретного - перехода с одной ступени на другую. Поэтому этот принцип разбивается на две взаимосвязанные части: преемственности, выражающей непрерывность процесса обучения, и многоступенчатости обучения, выражающей его дискретность.

5. Взгляд на обучение математике как на процесс формирования математических структур мышления способствует наиболее полной реализации принципа преемственности и правильной организации таких его проявлений, как повторение и пропедевтика. С- этой точки зрения суть принципа преемственности состоит в том, что его реализация позволяет свести к минимуму в количественном отношении создание новых структур и обеспечить преимущественность более легких процессов наращивания, настройки и перестройки структур. Идея математических структур в значительной степени может облегчить решение проблемы внутри- и межпредметных связей при обучении математике, снять барьеры между различными математическими дисциплинами.

Особое место в осуществлении преемственности занимает переход из средней школы в высшую. Это связано с тем, что такой переход представляет собой скачок в процессе обучения и развития человека, при котором часть связей между элементами нарушается. Вузовская математика и по содержанию, и по методам, и по терминологии, и по символике должна быть естественным продолжением школьной математики. Понятия о математических структурах, сохраняясь в их первоначальном смысле с возможными уточнениями, дополнениями и обобщениями, как раз и могут обеспечить в наиболее полной мере такое продолжение, а также решение проблемы учета содержания школьного математического образования с точки зрения подготовки к восприятию вузовской математики.

6. Многоступенчатость процесса формирования структур, выражающая дискретность учебного процесса, вытекает также из необходимости соответствия формирования и развития математических знаний основным этапам интеллектуально-нравственного взросления учащихся, а также основным историческим периодам накопления математической культуры. В исследовании показано, что из принципа многоступенчатости формирования математических структур следует, что каждое звено обучения должно соответствовать определенным ступеням, уровням сформирован-ности основных математических структур. Многоступенчатость процесса формирования структур является необходимым условием реализации таких основных дидактических принципов, как доступность, систематичность и последовательность. Как показывает весь опыт преподавания математики, наиболее благополучно происходит формирование тех математических структур, в изучении которых выделены все пять ступеней, соответствующих пяти различным уровням мышления (конкретных множеств, конкретных структур, синтеза структур, содержательных структур и абстрактных структур). Наоборот, наибольшие трудности при изучении математических структур возникают тогда, когда такие промежуточные ступени отсутствуют (например при изучении основ математического анализа). Задача педагогики математики состоит в том, чтобы четко распределить материал по соответствующим ступеням обучения и соблюсти промежуточные ступени в изучении всех основных математических структур.

7. В исследовании разработана и представлена единая система изучения порядковых структур, начиная с самых первых шагов обучения математике в школе и кончая выходом на спецкурсах в вузе на самый современный научный уровень. В этой системе практически реализуются принципы преемственности и дискретности обучения, генерализации и взаимосвязанности знаний, научности и доступности обучения, учитываются законы дифференциации и интеграции структур. Разработаны, экспериментально проверены и внедрены учебные пособия и другие учебные материалы для изучения в вузе порядковых структур, начиная со знакомства с элементарными понятиями на первом курсе и кончая изучением современных научных достижений и участием в научном творчестве на пятом курсе (в рамках курсов алгебры, теории чисел, числовых систем, спецкурса и спецсеминара).

8. В рамках единой системы изучения порядковых структур разработаны:

- система изучения на разных этапах и на разных уровнях положительных скалярных величин, а на их основе основных числовых систем (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел);

- система изучения отношения делимости на разных ступенях обучения в различных числовых и алгебраических системах, в том числе, центрального места в теории делимости - теоремы об однозначном разложении на неприводимые множители.

Кроме того, разработана система изучения комплексных чисел и кватернионов на основе теории квадратичных алгебр.

9. В проведенном исследовании разработаны, экспериментально проверены и внедрены программы для углубленного изучения математики и дидактические материалы к ним для учащихся 2-7-х классов, включающие дополнительный материал как теоретического, так и практического характера для формирования у учащихся различных видов математических структур (логических, алгоритмических, комбинаторных, образно-геометрических) с целью развития различных типов математического мышления, различных сторон математических способностей учащихся, а также использования наиболее эффективным образом этих структур в обучении.

Было также подтверждено, что наиболее эффективным способом развития математического мышления в младшем и в подростковом возрасте является решение школьниками системы специальным образом подобранных задач (логических, на планирование действий, комбинаторных, геометрических и т.д.).

10. В исследовании показано, что включение в содержание спецкурсов для старших классов материала знакомящего с основными математическими структурами, изучающимися в вузе, способствует подготовке учащихся к восприятию вузовской математики и повышает эффективность работы по реализации преемственности при обучении математике.

354

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Тестов, Владимир Афанасьевич, Вологда

1. Аблова B.C. Формирование элементов логико-алгоритмической культуры учащихся в процессе обучения математике в начальной школе. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Орел, 1995. -16 с.

2. Аверьянов А.Н. Системное познание мира. -М.: Госполитиздат, 1985. -259 с.

3. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. -М.: Советское радио, 1970. -152 с.

4. Айзенк Г. Дж. Узнай свой собственный коэффициент интеллекта. -М.: "Ай кью". 1996.-160 с.

5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Н.Я. Виленкина. -М.: Просвещение, 1995. -256 с.

6. Алгебра для 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Н.Я. Виленкина. -М.: Просвещение, 1996. -384 с.

7. Александров А.Д. Математика и диалектика. // Математика в школе, 1972, № 1. -С. 3-9.

8. Александров А.Д. О геометрии. // Математика в школе, 1980, № 3. -С.56-62.

9. Александров А.Д. О понятии множества в курсе геометрии. //Математика в школе, 1984, № 1. -С 47-52.

10. Александров П.С. О некоторых направлениях в развитии математики и их значение для преподавания. // На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. М.: Просвещение, 1978. -С. 7-13.

11. Аммосова Н.В. "Движения, группы движений и их приложения" в системе факультативных курсов по математике в 8-10 классах средней школы. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1987. -212 с.

12. Аммосова Н.В. Содержание и организация внеурочной работы по математике. Симметрия и ее приложения. // Начальная школа, 1994, № 6. -С. 31-37.

13. Аракелян К.Г., Болтянский В.Г. Когда и как вводить производную? //Математика в школе, 1987, № 3. -С. 43-47.

14. Аракелян К.Г. Методика изучения основных понятий математического анализа без использования теории пределов (Для школ с углубленным изучением математики). Дисс. . канд. пед. наук. -М., 1992.

15. Арнольд В.И. Жесткие и мягкие математические модели. Доклад на научно-практическом семинаре "Аналитика в государственных учреждениях" при администрации Президента РФ. -М., 1997. -23 с.

16. Архангельский С.И. Некоторые проблемы обучения в высшей школе. -М.: Знание. 1978. -61 с.

17. Асланов P.M., Сабуров М.С. О модернизации курса дифференциальных уравнений в педвузе. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997.-С. 179-181.

18. Асмолов А.Г., Ягодин Г.А. Образование как расширение возможностей развития личности (от диагностики отбора к диагностике развития). //Вопросы психологии, 1992, № 1. -С. 6-13.

19. Атаханов Р.А. К диагностике развития математического мышления. // Вопросы психологии, 1992, № 1-2. -С. 60-67.

20. Афанасьев В.В. Методические основы формирования творческой активности студентов в процессе решения математических задач. Дисс. . док-pa пед. наук. -СПб., !997. -60 с.

21. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. Дисс. .док-pa пед. наук. -М., 1973.

22. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. (Общедидактический аспект). -М.: Педагогика, 1977. 254 е.

23. Балк М.Б, Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1971, 462 с.

24. Башмаков М.И. Определение основных понятий анализа в школьном курсе математики. //Математика в школе, 1988, № 3. -С. 41-44.

25. Башмаков М.И. Учебник по алгебре и началам анализа для старших классов. //Математика в школе, 1989, № 4. -С. 68-73.

26. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. -М.: Мир, 1965.

27. Белова Н.Н., Данилов А.Н., Толстиков А.В. О содержании курса алгебры и теории чисел в пединститутах. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр. Тезисы докладов. Киров, 1990.-С. 30.

28. Беляев Е.А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. -М.: 1975.

29. Беран Л. Упорядоченные множества. М.: Наука, 1981. -63 с.

30. Берталанфи Л. фон. Общая теория систем критический обзор. // Исследования по общей теории систем.-М.: 1969.

31. Берталанфи Л. фон. История и статус общей теории систем. // Системные исследования. Ежегодник.-М.: 1973.

32. Бет Э. Размышления об организации и методе преподавания математики. // Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 31-40.

33. Биркгофф Г. Математика и психология. -М.: Советское радио, 1977. -96 с.

34. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. -566 с.

35. Блауберг И.В., Юдин Э.Г. Становление и сущность системного под-хода.-М.: Наука, 1973. -270 с.

36. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев, 1976.

37. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.

38. Бодалев А.А., Ломов Б.Ф., Матюшкин A.M. Психологическая наука -реформе школы. // Вопросы психологии, 1984, № 3. -С. 12-14.

39. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я., Яглом И.М. О содержании курса математики в средней школе. // Математическое просвещение, 1959, № 4. -С. 131-143.

40. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. К вопросу о перестройке общего математического образования. //Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1989. -С. 231-238.

41. Борель Э. Как согласовать преподавание в школе с прогрессом науки. //Математическое просвещение, 1958, № 3. -С. 89-100.

42. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. -М.: Учпедгиз, 1954. -504 с.

43. Бредихин Б.С. К введению основных структур в курсе алгебры и теории чисел. // Сб. Проблемы подготовки учителя математики в пединститутах. -М.: МЗГПИ, 1982. -С. 130-137.

44. Бровичева А.В. Адаптация будущих учителей начальной школы к профессиональной математической подготовке в вузе. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Орел, 1997. -18 с.

45. Брунер Дж. Процесс обучения. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. 84 с.

46. Брунер Дж. Психология познания. -М.: Прогресс, 1977. 412 с.

47. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. -М.: Мысль, 1970. -191 с.

48. Бурбаки Н. Алгебра. Упорядоченные группы, гл. V1. М.: Наука, 1965. -300 с.

49. Бурбаки Н. Архитектура математики. // Очерки по истории математики. -М.: ИЛ, 1965. -С. 245-259.

50. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. -648 с.

51. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. -М.: Просвещение, МГЗПИ, 1974. -160 с.

52. Вейль Г. О философии математики. Сборник работ. -М.-Л.: Гостех-издат, 1934. -128 с.

53. Вейль Г. Математическое мышление. -М.: Наука, 1989. -400 с.

54. Веккер Л.М. Психические процессы. -Л.: Изд-во ЛГУ. Т. 2, 1976, 342 с. Т. 3, 1981.-326 с.

55. Величковский Б.М. Современная когнитивная психология. -М.: Изд-во МГУ, 1982.

56. Венгер Л.А. Педагогика способностей. -М.: Знание. 1973. -97с.

57. Вернер А.Л. Вводные лекции по математике. -Л.: Изд-во ЛГПИ им А.И. Герцена, 1975. 36 с.

58. Вернер А.Л., Ходот Т.Г. Стереометрия. -С.Пб., Специальная литература, 1996. -190 с.

59. Верченко А.И. Исследование тенденций модернизации преподавания математики в первом цикле средней общеобразовательной школы Франции. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1977. -210 с.

60. Вечтомов Е.М. О вводном курсе высшей алгебры в пединституте. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр. Тезисы докладов. Киров, 1990. -С. 33.

61. Вечтомов Е.М. Изложение теории натуральных чисел на основе отношения порядка в системе Пеано. // Математическое образование: традициии современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 215-215.

62. Виленкин Н.Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах. // Математика в школе. 1965, № 1. -С. 19-29.

63. Виленкин Н.Я. Элементы теории множеств. //Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся. Сборник статей. Сост. К.П. Сикорский, 1969. -С. 98-155.

64. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И., Мордкович А.Г. Метод математической индукции. //Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий. Пособие для учащихся. Сборник статей. Сост. П.В. Стратилатов, 1970. -С. 51-83.

65. Виленкин Н.Я. О понятии величины. // Математика в школе, 1973, №4.

66. Виленкин Н.Я. Мордкович А.Г. Подготовку учителя математики на уровень современных требований. // Математика в школе, 1986, № 6. -С. 610.

67. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты. //Математика в школе, 1988, № 4. -С. 7-14.

68. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. -М.: Просвещение, 1990. -288 с.

69. Витов В.Ф. О преподавании темы "Матрицы и определители" в курсе алгебры и теории чисел. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр. Тезисы докладов. Киров, 1990. -С. 34.

70. Владимиров B.C., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании. //Математика в школе, 1979, № 3. -С. 12-14.

71. Власов А.К. О чисто-геометрических методах. //Математический сборник, 1911, Т. XXVI11, Вып. 1.-С. 188-194.

72. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы). Под ред. Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова. -М.: Просвещение, 1966. 442 с.

73. Волович М.В. Математика без перегрузок. -М.: Педагогика, 1991. -144 с.

74. Выготский Л.С. Собрание сочинений. Т.2. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956.

75. Высшее педагогическое образование: проблемы и решения. /Под обиц. ред. И.Е.Курова. Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 1994. -160 с.

76. Вышенский В.А., Калужнин Л.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе. //Математика в школе, 1970, № 1.

77. Вяльцева И.Г. Исследование пространственного воображения учащихся старших классов. //Вопросы обучения математике в вечерней школе. Под ред. Г.Д. Глейзера. -Л., НИИ общ. образования взрослых, 1971. -С. 44-55.

78. Вяльцева И.Г., Алексеев А.С. Формирование алгоритмической культуры у учащихся на уроках алгебры и начал анализа. //Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глей-зер. -М.: Просвещение, 1989. -С. 79-92.

79. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. -М.: Просвещение, 1996. 159 с.

80. Гальперин П.Я. К исследованию интеллектуального развития ребенка. Вопросы психологии, 1969 №1. -С. 15-25.

81. Ганзен В.А. Системные описания в психологии. Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 176 с.

82. Гарднер Мартин. Есть идея! -М.: Мир, 1982. 305 с.

83. Гаттеньо К. Педагогика математики. //Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 116-154.

84. Гельфман Э.Г. и др. Алгебраические дроби. Учебное пособие по математике для 7-го класса. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996. -288 с.

85. Генкин Л. О математической индукции. М.; ФМ, 1962. -36 с.

86. Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся. // Математика в школе, 1990, № 1. -С. 14-17.

87. Гладкий А.В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы. //Математика в школе, 1990, № 4. -С. 7-9.

88. Глейзер Г.Д. Основные направления методики развития пространственных представлений учащихся восьмилетней школы. //Вопросы обучения математике в вечерней школе. Под ред. Г.Д. Глейзера. -Л., НИИ общ. образования взрослых, 1971. -С. 32-44.

89. Глейзер Г.Д. Методы формирования и развития пространственных представлений взрослых в процессе обучения геометрии в школе. Дисс. . д-ра пед. наук. -М., 1984. -333 с.

90. Глейзер Г.Д. Признак скрещивающихся прямых важная теорема стереометрии. //Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1989. -С. 201-220.

91. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии. //Математика в школе, 1991, №4. -С. 68-71.

92. Глейзер Г.Д. Феликс Клейн о реформировании математического образования. //Газета "Математика", 1998, № 5.

93. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение, 1985. 191 с.

94. Гнеденко Б.В. На уровне Х1Х века. Учительская газета, 1962. 21 июня.

95. Годник С.М. Процесс премственности высшей и средней школы. Воронеж, ВГУ, 1981. -192 с.

96. Гольдман A.M., Звавич Л.И. Учебные серии на уроках математики. //Математика в школе, 1990, № 5. -С. 19-22.

97. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет. // Вопросы общей методики математики. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1958. Вып. 92. -С. 37-56.

98. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. -М.: Педагогика, 1987. 159 с.

99. Губа С.Г. Варьирование задач на доказательство как средство активизации математической деятельности учащихся и развития у них интереса к предмету. Автореферат дисс. . кан-та пед. наук. Ярославль, 1972. -20 с.

100. Гусев В.А. Из опыта введения понятия производной в средней школе. //Математика в школе, 1970, № 6. -С. 49-57.

101. Гусев В.А. Внутрипредметные и межпредметные связи в обучении. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. -С. 123-133.

102. Гусев В.А., Иванов, А.И., Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. -М.: Просвещение, 1981. 79 с.

103. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Дисс. д-ра. пед. наук. -М., 1990. 364 с.

104. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику ? Часть 1. -М.: Авангард, 1994. -168 с.

105. Гусев В.А. Геометрия 6. Экспериментальный учебник. Ч. 1. -М.: Авангард, 1995. - 123 с.

106. Гусев В.А. Методика преподавания курса "Геометрия 6-9". Ч. 1. -М.: Авангард, 1995. -100 с.

107. Гусев В.А., Силаев Е.В. Методические основы дифференциации обучения математике в средней школе. -М.: МПГУ, 1996. 131 с.

108. Гусев В.А. Новый экспериментальный курс геометрии. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 98-101.

109. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. -М.: Мир, 1986. -431 с.

110. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. -М.: Педагогика, 1986.

111. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. -М.: 1996.

112. Далингер В.А. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математике в школе. Дисс. . док-ра пед. наук. -Омск, 1992.

113. Долбилин Н.П., Шарыгин И.Ф. О курсе наглядной геометрии в младших классах. //Математика в школе, 1990, № 6. -С. 19-21.

114. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе. //Математика в школе, 1978, № 2. -С. 10-26.

115. Дорофеев Г.В. Соотношение содержательного и формального в школьной математике. -М.: НИИ СиМО АПН РСФСР, 1983. -6 с.

116. Дорофеев Г.В Строгость определения. // Математика в школе, 1984, № 3. -С. 56-60.

117. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Изучение показательной и логарифмической функций на основе понятий и методов математического анализа. // Математика в школе, 1989, № 6. -С. 82-91.

118. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. // Математика в школе, 1990, № 6. -С. 2-5.

119. Дорофеев Г.В. Значимость в школьном курсе темы "Многочлены с одной переменной". //Математика в школе, 1995, № 4. -С. 42-45.

120. Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной. Учебное пособие. -СПб: "Специальная литература", 1997. -208 с.

121. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета "математика" в общеобразовательной школе. //Математика в школе, 1997, № 4. -С. 59-66.

122. Дьедонне Ж. Абстракция в математике и эволюция алгебры. //Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 41-53.

123. Дьедонне Ж. Дело Никола Бурбаки. //Очерки о математике. Сборник статей. Составитель В.Н.Вапник. М.: Знание, 1973. -С. 44-55.

124. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. -М.: Наука, 1972.-335 с.

125. Дьедонне Ж. Надо ли учить "современной" математике? //Математика в школе, 1976, № 1. -С. 88-91.

126. Егармина Н.Н. Идеи нестандартного анализа в математической подготовке будущих учителей. Дисс. . канд. пед. наук. -Липецк, 1993.

127. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. -М.: Просвещение, 1990. -128 с.

128. Зак А.З. Различия в мышлении детей. -М.: Изд. Росс. откр. ун-та, 1992. -128 с.

129. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М.: Просвещение: Владос, 1994. -320 с.

130. Захарова К.П. Система изучения начальных теоретико-групповых понятий в старших классах средней школы. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1965.

131. Зверев И.Д. К вопросу о системе обучения основам наук. // Советская педагогика. -1970, -№ 6. -С. 44-56.

132. Иванов О.А. Интегративный принцип построения системы специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ. Автореферат дисс. . док-pa пед. наук. -М., 1997. -33 с.

133. Иванова Т.А. Основы концепции гуманитаризации общего математического образования. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. С. 13-15.

134. Ильин Г. В зеркале собственной истории. // Высшее образование в России, 1997, № 1. -С. 27-33.

135. Ильина Т.А. Структурно-системный подход к организации обучения. -М.: Знание, 1972, вып. 1.

136. Ительсон Л.Б. Психологические основы обучения. -М.: Знание, 1978.

137. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. -М.: Изд. МГУ, 1963. -571 с.

138. Калужнин Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании. //Новое в школьной математике. -М.: Знание, 1972. -С. 147-164.

139. Каминский Т.Э. Числовые системы. Учебное пособие. -Вологда: изд-во ВГПИ, 1993. -123 с.

140. Канторович Л.В., Соболев С.Л. Математика в современной школе. //Математика в школе, 1979, № 4. -С. 6-11.

141. Каплунович И.Я. Развитие структуры пространственного мышления. //Вопросы психологии. 1987, №6.

142. Каплунович И.Я. О некоторых принципах формирования структуры пространственного мышления. // Структуры познавательной деятельности. Владимир, 1989. -С. 96-107.

143. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Учебное пособие. -Новгород: НРЦРО, 1996. 100 с.

144. Каплунович И.Я. Психологические закономерности генезиса математического мышления. //Математика в вузе и школе: обучение и развитие. Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. Новгород, 1997. -С. 106-107.

145. Карандашев В.Н. Психологические основы развития студента как субъекта учения. Дисс. д-ра психолог, наук. -С.-Петербург, 1994.

146. Касьян А.А. Контекст образования: наука и мировоззрение. -Нижний Новгород, 1996. -183 с.

147. Кинелев В.Г. Фундаментализация университетского образования. //Высшее образование в России, 1994, № 4. -С. 6-13.

148. Киселева Н.А. Математика и действительность. -М.: Изд-во МГУ, 1967. -124 с.

149. Клайн М. Математика. Утрата неопределенности. -М.: Мир, 1984. -446 с.

150. Клаус Г. Введение в дифференциальную. психологию учения. -М.: Педагогика, 1987. -173 с.

151. Клацки Р. Память человека. Структуры и процессы. -М.: Мир, 1978. -319 с.

152. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1, -М.: Наука, 1987. -432 с.

153. Клековкин Г.А. И дольше века длиться спор. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. С. 95-98.

154. Кованцов Н.И. Являются ли врожденными, математические способности? Вопросы психологии, 1965, № 3.

155. Козиоров Ю.Н. Построение курса "Числовые системы" на основе аксиоматической теории множеств и методика его преподавания при подготовке учителей математики. -Шуя, 1992. -202 с.

156. Колмогоров А.Н. Предисловие. // В кн. Лебег А. Об измерении величин. -М.: Госучпедизд, 1938.

157. Колмогоров А.Н. О профессии математика. -М.: Советская наука, 1952.-23 с.

158. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики. //Математика в школе, 1965, № 4. -С. 53-62.

159. Колмогоров А.Н. Введение к статье С.Б. Суворовой. //Математика в школе, 1966, № 4. -С. 23.

160. Колмогоров А.Н. Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональные числа. //Математика в школе, 1970, № 2. -С. 27-32.

161. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики. //Математика в школе., 1971, № 2.

162. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе. // Математика в школе, 1971, № 6. -С. 2-3.

163. Колмогоров А.Н. О понятии предела в общеобразовательной школе. //Математика в школе, 1982, № 5. -С. 56.

164. Колмогоров А.Н. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики. //Математика в школе, 1984, № 1. -С.52-53.

165. Колмогоров А.Н. О скалярных величинах. //Математика в школе., 1986, №3. -С. 32-33.

166. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. -М.: Наука, 1988. -280 с.

167. Колмогоров А.Н. К обсуждению работы по проблеме "Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет". //Математика в школе, 1990, № 5. -С. 59-61.

168. Колмогоров А.Н. Математика. БСЭ, изд. 2, т. 26.

169. Колягин Ю.М. К вопросу о реформе математического образования и новой постановке преподавания арифметики в советской школе. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1963.

170. Колягин Ю.М., Копылов B.C., Шепетов А.С. Опыт применения задач как средства диагностики развития математического мышления учащихся. // Изучение возможностей школьников в усвоении математики. Сб. научн. трудов. -М.: 1977. -С. 66-75.

171. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. -М.: Просвещение, 1977.-110 с.

172. Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. Т.1. -М.: Педагогика, 1982.

173. V111 Конференция ассоциации учителей математики РФ. //Математика в школе, 1997, № 1.-С. 5-9.

174. Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука. 1984. -320 с.

175. Королев Ф.Ф. Системный подход и возможности его применения в педагогических исследованиях. //Советская педагогика, -1970. -№9, -С. 103116.

176. Костицин В.Н. Вернуть в педвузы курс начертательной геометрии. //Математика в школе, 1997, № 5. -С. 83-85.

177. Кострикин А.И. Введение в алгебру. -М.: Наука, 1977. -495 с.

178. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. -М.: Изд-во МГУ, 1980.-320 с.

179. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1968. -431 с.

180. Крылов А.Н. Прикладная математика и ее значение для техники. М.-Л., 1931.

181. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. -М.: Наука, 1980.-143 с.

182. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. -М.; Высшая школа, 1979. -559 с.

183. Куписевич Ч. Основы общей дидактики. -М.: Педагогика, 1986. -368 с.

184. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? -М.: Просвещение, 1967. -558 с.

185. Куратовекий К., Мостовский А. Теория множеств. -М.: Мир, 1970. -416 с.

186. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука, 1965. -431 с.

187. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.-М.: ФМ, 1962. -396 с.

188. Курош А.Г. Теория групп. 3-е издание. -М.: Наука, 1967. -648 с.

189. Лакатос И. Доказательства и опровержения. -М.: Наука, 1967. -152 с.

190. Лапчик М.П. Использование общеобразовательных аспектов программирования для ЭВМ в совершенствовании среднего математического образования. Дисс. канд. пед наук. -М., 1974.

191. Ларин С.В. Об изучении в педвузах школьной математики. //Математика в школе, 1990, № 4. -С. 13.

192. Лебег А Об измерении величин. -М.: Госучпедизд, 1938. -208 с.

193. Левитас Г.Г. "Введение в геометрию". //Математика в школе, 1990, № 6. -С. 21-22.

194. Леднев B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. -М.: Высшая школа, 1991. -224 с.

195. Лейтес Н.С. Умственные способности и возраст. -М.: 1971. -278 с.

196. Лейтес Н.С. Способности и одаренность в детские годы. -М.: 1984. -79 с.

197. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? -М.: 1979.

198. Лихачева И.И., Савина К.В. Задачи и упражнения для углубленного изучения геометрии в 6 классе. -Вологда: Изд-во ВГПУ "Русь", 1998. -70 с.

199. Лихнерович А. Проникновение духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию. //Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 54-64.

200. Ломов Б.Ф. О системном подходе в психологии. //Вопросы психологии, 1975, № 2. -С. 31-35.

201. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дисс. . д-ра пед. наук. -Л.: 1989.

202. Лурье И.А. Преемственность при изучении измерений в курсе математики. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978.-С. 41-51.

203. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. -М.: Просвещение, 1987. -400 с.

204. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра. -М.: Просвещение. Ч. 1, 1974. -283 е.; 4.2,1978, -447 с.

205. Ляудис В .Я. Память в процессе развития. -М.: Изд-во МГУ, 1976. -253 с.

206. Максимов Л.К. Формирование математического мышления у младших школьников. -М.: 1987.

207. Манин Ю.И. Математика и физика. -М.: Знание, 1979.

208. Маничева Г.А. Методические рекомендации по изучению курса "Логика в математических рассуждениях". 5 класс. Вологда: Изд-во ВИПК и ППК, 1996. -84 с.

209. Маркушевич А.И. На Х1Х Международной конференции по народному просвещению. //Математическое просвещение, № 1, -М.: 1957. -С. 9-22.

210. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе. // Математика в школе, 1962, № 2. -С. 3-14.

211. Маркушевич А.И. К вопросу о реформе школьного курса математики. // Математика в школе, 1964, № 6. -С. 4-8

212. Маркушевич А.И. Математическая наука и школьное образование. //Советская педагогика, 1965, № 5. -С. 43-44.

213. Маркушевич А.И. О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе. // На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. М.: Просвещение, 1978. С. 13-20.

214. Маркушевич А.И. О школьной математике. // Математика в школе, 1979, №4. -С.11-16.

215. Математика. 1 класс., Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В., -М.: Мирос, 1995. -223 с.

216. Математика. Учебник для 5 класса. Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. -М.: Просвещение, 1994, 272 с.

217. Математика. Учебник для экономистов. 10-11 классы. В.Ф. Бутусов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. -М.: Сантакс-Пресс, 1996. -199 с.

218. Медведева О С. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1990.

219. Медников Л.Э. Аксиоматический подход к понятию предела. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр. Тезисы докладов. Киров, 1990. -С. 74.

220. Мемерандум американских математиков. //На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. -М.: Просвещение, 1976. -С. 207-210.

221. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. -Минск.: Вышейшая школа, 1977. -160 с.

222. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. -М.: Просвещение, 1980. -368 с.

223. Методы системного педагогического исследования. / Под ред. Н.В.Кузьминой. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. -173 с.

224. Мехтиев М.Г. Некоторые суждения о проблеме обучения геометрии в школе. //Математика в школе, 1994, № 2. с. 40-42.

225. Минская Г.И. Формирование понятия числа на основе изучения отношений величин. //В кн. "Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы)". Под ред. Д.Б.Элько'нина, В.В.Давыдова. -М.: Просвещение. 1966. -С. 190-235.

226. Минский М. Структура для представления знания. // Психология машинного зрения. -М.: Мир, 1978.

227. Миракова Т.Н. Развивающее обучение математике: состояние и перспективы. // Содержание, методы и формы развивающего обученияматематике в школе и вузе. Тезисы докладов межрегиональной научно-практической конференции. Орехово-Зуево, 1995. -С. 25-27.

228. Михелович Ш.Х. Теоретико-числовые вопросы в школьном курсе математики. Дисс. . канд. пед. наук. Т. 1. -М.: 1968.

229. Мишин В.И. Матрицы и преобразования в средней школе. // Математика в школе, 1971, № 6. -С. 45-51.

230. Монахов В.М., Демидович Н.Б., Червочкина Л.П. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике. -М.: 1978.

231. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дисс. . д-ра пед. наук. -М.: 1986.

232. Мордкович А.Г. Опыт комплексного научного исследования проблем подготовки учителей математики в педвузах. //Педагогическое образование без отрыва от производства. Ежегодник, №2, 1991. -С. 200-219.

233. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры. //Математика в школе, 1996, № 6. -С. 28-33.

234. Мордкович А.Г. Курс алгебры в общеобразовательной школе. //Газета "Математика", 1997, №44.

235. Мороз А.Т. Пути обеспечения преемственности в самостоятельной учебной работе учащихся средней общеобразовательной школы и студентов вуза. Автореф. дисс. . канд. пед наук. -Киев, 1972.

236. Муравин К.С. Принцип внутрипредметной связи как средство построения системы упражнений по алгебре в восьмилетней школе. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1967.

237. Мухин А.Е. Профессионально-педагогическая направленность курса математического анализа в пединституте и ее реализация путем формирования системы упражнений. Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1987. -14 с.

238. Мышкис А.Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа. //Математика в школе, 1990, № 6. -С. 7-11.

239. Найссер У. Познание и реальность. М.: Прогресс, 1981. -230 с.

240. Насыбуллина А.К. Методика выявления параметров математических способностей учащихся при обучении математике в неполной средней школе. Дисс. канд. пед. наук. -М., 1993. -167 с.

241. Научные основы школьного курса математики. Программа пед. институтов для специальности № 2104 "Математика". -М.: Просвещение, 1973. -8 с.

242. Неванлинна Р. Реформа в преподавании математики. //На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. -М.: Просвещение, 1976. -С. 228-241.

243. Нестерова Л.Ю. Преемственность в обучении математике в средней школе и педвузе. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Саранск, 1998. -17 с.

244. Нечаев В.И. Об однозначном разложении на множители. //Математика в школе, 1965, № 4. -С. 42-44.

245. Нечаев В.И. Упорядоченные множества и упорядоченные алгебры с одной и двумя бинарными операциями. //Математика в школе, 1973, № 5.

246. Нечаев В.И. Числовые системы. -М.: Просвещение, 1976. -199 с.

247. Нешков К.И. Некоторые проблемы преемственности при обучении математике. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. -С. 13-23.

248. Никола Г., Талызина Н.Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач. //Формирование приемов математического мышления. Под ред. Талызиной Н.Ф.; -М.: МГУ, ТОО "Вентана-Граф", 1995. -С. 68-119.

249. Никольский С.М. Алгебра в школе. // Математика, еженедельное приложение к газете "Первое сентября", 1996, № 36.

250. Норман Д. Память и научение. -М.: Мир, 1985. -160 с.

251. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. Учебник для 6-го класса. -М.: Просвещение, 1989. 224 с.

252. Обучение и развитие. Экспериментально-педагогическое исследование под ред. Л.В.Занкова. -М.: Педагогика, 1975.

253. Обучение математике. 1 класс., Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В., -М.: Мирос, 1994.

254. Общая психодиагностика. Ред. А.А. Бодалев, В.В. Столин. -М.: Изд-во МГУ, 1987.

255. Овсиенко Г.В. Больше внимания арифметическим задачам. //Математика в школе, 1997, № 1. -С. 16-18.

256. Овчинников Н.Ф., Юдин Э.Г. Структура. БСЭ, 3-е изд., т. 24, кн. 1. -М.: Сов. энц., 1976. -С. 598-599.

257. Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе. Дисс. д-ра пед. наук. -Ереван, 1984.

258. Одинцова Л.А. Содержание и методы изучения отношений эквивалентности и порядка в курсе математики средней школы. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1978.

259. Оконь В. Введение в общую дидактику. -М.: Высшая школа, 1990. 382 с.

260. Открытое письмо преподавателей МГУ Министерству общего и профессионального образования РФ. //Математика в школе, 1996, № 6. -С.2-3.

261. Пардала А. Формирование пространственного воображения учащихся при обучении математике в средней школе. Дисс. . д-ра пед наук. -М., 1993.-327 с.

262. Петрова В.Т. Интенсификация как важнейшая задача дидактики на современном этапе развития образования. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 36-38.

263. Пехлецкий И.Д. Структурно-количественный анализ как аппарат дидактических исследований. Дисс. д-ра пед. наук. Пермь, 1987.

264. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления. В книге "Преподавание математики". М. Учпедгиз, 1960.-С.

265. Пиаже Ж., Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур. -М.: ИЛ, 1963.

266. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. -М.: Международная педагогическая академия, 1994. -680 с.

267. Пичурин Л.Ф. Методика преподавания математики в 1V-V классах. Учебное пособие для студентов-заочников. -М.: Просвещение, 1981. -56 с.

268. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1991. -363 с.

269. Подходова Н.С. Развитие пространственного мышления учащихся V-V1 классов. //Математика в школе, 1997, №2. -С. 29-34.

270. Пойя Д. Введение. //Прикладная комбинаторная математика. Сборник статей. -М.: Мир, 1968. -С. 7-8.

271. Пойя Д. Математическое открытие. -М.: Наука, 1970. 452 с.

272. Пономарев Я.А. Развитие внутреннего плана действий в процессе обучения. //В кн. "Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы)". Под ред. Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова. -М.: Просвещение, 1966.-С. 395-441.

273. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. -М.: Просвещение, 1975. 208 с.

274. Прикладная комбинаторная математика. Сборник статей под ред. Э Беккенбаха. -М.: Мир, 1968. 362 с.

275. Программа по математике для 5-7-х классов с углубленным изучением предмета. Под ред. В.А. Тестова. Вологда, ИПЦ ИПКиППК, 1993. -16 с.

276. Программы педагогических институтов. Алгебра и теория чисел. Для специальности № 2104. -М.: Просвещение, 1977. -7 с.

277. Проскуряков И.В. Числа и многочлены. -М.: Просвещение, 1965. -284 с.

278. Пуанкаре Анри. О науке. -М.: Наука, 1983. 560 с.

279. Пышкало A.M. Методическая система обучения геометрии в начальной школе. Дисс. д-ра пед. наук. -М.: 1975.

280. Пышкало A.M. Методические аспекты проблемы преемственности в изучении математики. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. -С. 3-12.

281. Радьков A.M. Научные основы тестирования в системе непрерывного обучения математике. Автореф. дисс. . д-ра пед. наук. -Минск, 1996.

282. Развитие психики младших школьников. Под ред. В.В.Давыдова., -М.: 1990.

283. Развитие психики школьников в процессе учебной деятельности. Под ред. В.В.Давыдова., -М.: 1983.

284. Рафикова Ф.М. Методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в средней школе. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1972.

285. Резник Н.А. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления. Дисс. . д-ра пед. наук. С.-Пб. 1997. -500 с.

286. Родосский К.А. Алгоритм Евклида. -М.: Наука, 1988. -240 с.

287. Розов М.А. Научная абстракция и ее виды. -Новосибирск.: Наука, 1965. 137 с.

288. Розов Н.Х. Дифференцированное обучение и проблема формирования "базисов в пространстве задач". // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 36-38.

289. Рубанов И.С. Как обучать методу математической индукции. Математика в школе, 1995, №6. -С. 29-34; 1996, №1. -С. 14-20.

290. Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии. -М.: Педагогика, 1976. -416 с.

291. Рузавин Г.И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии. // Закономерности развития современной математики. -М.: Наука, 1987. -С. 157-164.

292. Саввина О.А. Теоретические основы взаимосвязи школьного курса математики и педвузовского курса математического анализа. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1996. -175 с.

293. Садовский В.Н. Основания общей теории систем.-М.: Наука, 1974. -279 с.

294. Салмина Н.Г. Обучение математике в начальной школе. //Формирование приемов математического мышления. Под ред. Талызиной Н.Ф.; -М.: МГУ, ТОО "Вентана-Граф", 1995. -С. 29-67.

295. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. -М.: Просвещение, 1995. -240 с.

296. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики. //Математика в школе, 1995, № 5. -С. 36-39.

297. Саранцев Г.И. Теория и методика обучения математике: состояние, проблемы. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. С. 6-7.

298. Сборник развивающих задач по математике для младших школьников. Под ред. В.А. Тестова. -Вологда. Изд-во ИПК и ППК, 1998. -76 с.

299. Севостьянова С.А. Совершенствование логической подготовки студентов математических факультетов педагогических вузов. Авореф. дисс. . канд. пед. наук. -СПб., 1996. -16 с.

300. Сенашенко В. Преемственность общего среднего и высшего профессионального образования. // Высшее образование, 1997, № 1. -С. 53-56.

301. Скорняков J1.А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1982. -160 с.

302. Сидоров Ю.В. Преемственность в системе обучения алгебре и математическому анализу в школе и в вузе. Дисс. д-ра пед. наук в форме научн. докл. -М., 1994, -35 с.

303. Скаткин М.Н. Принципы обучения. // Дидактика средней школы. Под ред. М.Н. Скаткина. -М.: Просвещение, 1982. -С. 48-89.

304. Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе. Дисс. . д-ра пед. наук. -М., 1987.-47 с.

305. Смирнов А.А. Проблемы психологии памяти. -М.: Просвещение, 1966. -423 с.

306. Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике. //Математика в школе, 1997, № 1. -С. 32-36.

307. Соболев С.Л. Судить по конечному результату. //Математика в школе, 1984, № 1. -С. 15-19.

308. Современные основы школьного курса математики. Пособие для студентов пед. ин-тов. Н.Я.Виленкин, К.И.Дуничев, Л.А.Калужнин, А.А.Сто-ляр. -М.: Просвещение, 1980. -239 с.

309. Солсо Роберт Л. Когнитивная психология. -М.: Изд-во "Тривола", 1996.-600 с.

310. Соминский И.С. Метод математической индукции. -М.: Наука, 1965. -56 с.

311. Сосинский А.Б. Умер ли Никола Бурбаки. //Математическое просвещение. Третья серия, вып. 2. МЦНМО, 1998. С. 4-12.

312. Спенсер Г. Воспитание умственное, нравственное и физическое. // Хрестоматия по истории педагогики. Т.2., ч.1. -М.: Учпедгиз, 1940. -С. 435477.

313. Степанов Н.А. Геометрические величины и их измерение. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 173-175.

314. Стефанова Н.Л., Лабунская Н.А., Совертков П.И. Первые результаты работы математического факультета в многоуровневой системе высшего педагогического образования. //Математика в школе, 1997, № 5. -С. 80-83.

315. Стойлова Л.П., Пышкало A.M. Основы начального курса математики. Учебное пособие для педучилищ. -М.: Просвещение, 1988. 320 с.

316. Стойлова Л.П. Математическая подготовка учителя начальных классов в вузе. //Математика в вузе и школе: обучение и развитие. Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. Новгород, 1997. -С. 23-24.

317. Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. -М.: Просвещение, 1968. -231 с.

318. Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1965. 163 с.

319. Столяр А.А. Как мы рассуждаем. Минск, Народная асвета, 1968. -109 с.

320. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Дисс. . д-ра пед. наук. -Могилев, 1968. -326 с.

321. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск, Вышейшая школа, 1969, -368 с.

322. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Вышэй-шая школа, 1982.

323. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования. //Математика в школе, 1990. № 6. -С. 5-7.

324. Страшевич С. Отношения между арифметикой и алгеброй в преподавании математики детям возраста до 15 лет." // Математика в школе. 1965, № 2.-С. 86-94.

325. Стюарт Ян. Концепции современной математики. Минск, Вышейшая школа, 1980. -384 с.

326. Таганов Б. Преемственность в обучении математике между средней школой и вузом (на материале Туркм. ССР). Дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1989.

327. Теплов Б.М. Избранные труды. -М.: Педагогика. Т. 1. 1985. -328 с.

328. Теплов Б.М. Способности и одаренность. Ученые записки ГНИИ психологии.-М.: 1941, т.2.-С. 3-56.

329. Тестов В.А. К теории решеточно упорядоченных квазигрупп. Ткани и квазигруппы. Калинин, 1981. -С. 153-157.

330. Тестов В.А. Методические указания к выполнению контрольной работы № 3 по алгебре и теории чисел. Вологда, 1985. -14 с.

331. Тестов В.А., Малышев С.А. Методические указания к выполнению контрольной работы № 4 по алгебре и теории чисел. Вологда, 1985. -14 с.

332. Тестов В.А. Упорядоченные множества. Методические материалы, Вологда, 1990. -21 с.

333. Тестов В.А. Упорядоченные алгебраические системы. Методические материалы. Вологда, 1993. -25 с.

334. Тестов В.А. Об аналоге основной теоремы арифметики в упорядоченных группоидах. Тезисы 3°й Международной алгебраической конференции, Красноярск, 1993, с. 327-328.

335. Тестов В.А. Решеточно упорядоченные группоиды. Деп. в ВИНИТИ, 1993. N 119-93. -12 с.

336. Тестов В.А. О развивающей роли обучения математике. Тезисы международной конференции "Математика в вузе". Вологда, 1995, с. 42.

337. Тестов В.А. О порядковых структурах в преподавании математики. Тезисы докладов ХУ Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов "Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе". С.-Петербург, 1996. -С. 10.

338. Тестов В.А. Роль порядковых структур в развивающем обучении математике. //Математика в вузе и школе: обучение и развитие. Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. Новгород, 1997. -С. 79-80.

339. Тестов В.А. Порядковые структуры в алгебре и теории чисел. -М.: МПГУ, 1997. 110 с.

340. Тестов В.А. Теория делимости и ее приложения к школьному курсу математики. -М.: МПГУ, 1997. 92 с.

341. Тестов В.А. Об аналоге основной теоремы арифметики в упорядоченных группоидах. // Математические заметки. 1997. Т.62, вып. 6. -С. 910915.

342. Тестов В.А. Принцип многоступенчатости в формировании представлений о порядковых структурах. //Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России. Тезисы докладов межрегиональной научной конференции. -Киров, 1998. -С. 64-66.

343. Тихомиров O.K. Психология мышления. Учебное пособие. -М.: Изд-во МГУ, 1984,-272 с.

344. Том Р. Современная математика существует ли она? // Математика в школе, 1975, № 1. -С. 89-93.

345. Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры учащихся 5-6 классов средствами логического конструирования. Автореферат дисс. канд. пед наук. -М., 1996. -16 с.

346. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? -М.: Наука, 1987. -128 с.

347. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики. // Закономерности развития современной математики. -М.: Наука, 1987. -С. 106-155.

348. Фарков А.Д. Методика выявления основных показателей обучаемости учащихся на уроках геометрии в основной школе. Дисс. . канд. пед. наук. -М.: 1994.

349. Федотова Т.Я. Математические структуры как основа построения единого курса математики в восьмилетней школе. Дисс. . канд. пед наук. -М.: 1975.

350. Федотова Т.Я. Использование математических структур для осуществления межпредметных связей в восьмилетней школе. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. -С. 36-41.

351. Феферман С. Числовые системы. -М.: Наука, 1971. -440 с.

352. Фискович Т.Т. Обучение и развитие в преподавании геометрии в педагогическом вузе. //Математика в вузе и школе: обучение и развитие. Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. Новгород, 1997. -С. 66-67.

353. Формирование приемов математического мышления. Под ред. Талызиной Н.Ф.; -М.: МГУ, ТОО "Вентана-Граф", 1995.

354. Фридман A.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. -М.: Просвещение, 1983. 160 с.

355. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. -М.: Просвещение, ч. 1, 1982. -208 е.; ч. 2, 1983. -192 с.

356. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. -М.: Мир, 1965.-342 с.

357. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода. Дисс. д-ра пед. наук. -С.-П.: 1994.

358. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики. // Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1989. -С. 18-37.

359. Хинчин А.Я. Основные понятия математики в средней школе. // Вопросы преподавания математики в средней школе. Сборник статей. -М.: Учпедгиз, 1961. -С. 54-87.

360. Холодная М.А. Психологические механизмы интеллектуальной деятельности. //Вопросы психологии, 1993, № 1.-С. 32-39.

361. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. -Томск: Изд-во Том. ун-та. М.: Изд-во "Барс". 1997. 392 с.

362. Хоффман И. Активная память. -М.: Прогресс, 1986. -310 с.

363. Червочкина Л.П". Система формирования элементов алгоритмической культуры учащихся в процессе изучения основного и факультативного курсов математики. Автореферат дисс. кан-да пед наук. -М.: 1976. -23 с.

364. Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования. // Математика в школе, 1997, № 2, 3, 4.

365. Чернышева Н.Г., Горбунова Н.Г. Задачи и упражнения для углубленного изучения геометрии в 7 классе (под ред. В.А. Тестова). -Вологда: Русь, 1996. -61 с.

366. Чжао Юань-жень. Модели в лингвистике и модели вообще. //Математическая логика и ее применения. Сборник статей под ред. Э. Нагела, П. Саппса и А. Тарского. -М.: Мир, 1965. -С. 281-292.

367. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. (Психологические основы развивающего обучения). -М.: АО "Столетие", 1995.

368. Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов. Дисс. . д-ра пед. наук. -М.: 1994.

369. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева J1.H. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся V-V1 классов. -М.: Мирос, 1-992. -208 с.

370. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5-6 классов. -М.: Просвещение, 1995. 80 с.

371. Шварцбурд С.И. О развитии интересов, склонностей и способностей учащихся к математике. //Математика в школе, 1964, № 6.

372. Шведел А., Стоунбернер Р. Поиск и выявление одаренных детей. В книге "Одаренные дети". -М.: Прогресс, 1991. С. 169-204.

373. Шихалиев Х.Ш. Изучение числа (натурального, целого и рационального) в 1V-V классах на теоретико-множественной основе. Автореферат дисс. кан-та пед. наук. -М., 1972. -19 с.

374. Шихалиев Х.Ш. Математика 5-6. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. Вып. 2. Махачкала: ДГПУ, 1996. -201 с.

375. Шихова А.П. О некоторых задачах проведения практикума по комбинаторике. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр. Тезисы докладов. Киров, 1990. -С. 157.

376. Шмелева Е.А. О курсе начал анализа в средней школе. //Математика в школе, 1964, № 6. -С. 76-78.

377. Шрайнер А.А. Повышение качества математического образования учащихся посредством формирования и развития их алгоритмической культуры. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Новосибирск, 1997. -18 с.

378. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. -М.; Наука, 1971. -256 с.

379. Щадриков В.Д. Деятельность и способности. -М.: Изд. корпорации "Логос", 1994. -320 с.

380. Щадриков В.Д. Структурно-содержательные реформы и качество образования. //Высшее образование в России, 1996, № 1. -С. 65-73.

381. Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. Под ред. В.В.Давыдова, В.П.Зинченко. -М.: Педагогика, 1989. 399.Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. -М.: 1978.

382. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц. Книга для учителя. -М.: Столетие, 1996. -320 с.

383. Яглом И.М. О некоторых тенденциях в зарубежной методике математики. //Математика в школе, 1965, № 4. -С. 81-89.

384. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. -М.: Советское радио, 1980. -145 с.

385. Яглом И.М. Булева структура и ее модели. -М.: Советское радио, 1980. -193 с.

386. Якиманская И.С. Развивающее обучение. -М.: Педагогика, 1979. -144 с.

387. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. -М.: Педагогика, 1980. -240 с.

388. Якиманская И.С. Знания и мышление школьника. -М.: 1985.

389. Bosbach В. Lattice ordered binary systems. Acta Sci. Math. 1988. V.52. P. 257-289.

390. Choquet G. La droite numerique proprietes topologiques fondamentales. //Structures algebriques et structures topologiques. Press Universitaites de France. Paris, 1958, p. 101-115.

391. Choquet G. Die Analysis und Bourbaki. //Math. phis. Semesterberichte, 1962, 1X, № 1. P. 1-21.

392. Dieudonne J. Moderne Mathematik und Unterricht auf der Hoheren Schule, MPS, 1962, Bd. 8, h. 2.

393. Dieudonne J. Recent developments in mathematics. Amer. Math. Monthly, 1964, 71, № 3, c. 239-247.

394. Evans Т. Lattice-ordered loops and quasigrops. Journal of algebra. 1970. V.16. N 2. P.218-226.

395. Fisher K.W. A theory of cognitive development. Psychol. Review, 1980, v. 87. P. 477-531.

396. Greeno J.G. The structure of memory and the procees of solving problems. In R.L. Solso (Ed.), Contemporary issues in cognitive psychology: The Loyola Symposium. Washington, DC: Winston/Wiley.

397. Hiele Van P.-H. La pensee de Г enfant et la geometrie. Bulletin de L' АРМ, 1959, 198.

398. Simon H.A., Chase W.G. Skill in chess. // American scientist. 1973, 61, 394-403.

399. Testov V.A. On a Riesz ordered groupoid. Webs & quasigroups. Tver, 1994. P. 76-81.

400. Weil H. Philosophy of Mathematics and Natural Sciences. Princeton University Press, 1949.

401. Werdelin I. The mathematical ability experimental and factorial studies. Copengagen, 1958.

402. Wilder R.L. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.