автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика обучения обобщению и систематизации математических знаний школьников

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Сукманюк, Валерия Николаевна, 2001 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИДАКТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§1.1. проблема систематизации математических знаний школьников.

1.1.'1. Внутрипредметные и межпредметные связи как основные аспекты системы.

1.1.2. Структурирование теоретических знаний.

1.1.3. Составляющие системы теоретических знаний, основные этапы систематизации.

§ 1.2. Систематизация понятий на примере темы "Геометрические преобразования плоскости".

1.2.1. Система понятий, объективность отношений между ними.

1.2.2. Отношения между математическими понятиями курса математики средней школы на примере темы "Геометрические преобразования плоскости".

1.2.3. Примеры вертикальных связей между математическими понятиями на примере темы "Геометрические преобразования плоскости".

§1.3. требования к классификации в теме "геометрические преобразования плоскости".

1.3.1. Операционный состав классификации математических понятий.

1.3.2. Классификация геометрических преобразований плоскости школьного курса геометрии.

1.3.3. Классификация планиметрических фигур через группы преобразований плоскости.

1.3.4. Возможность проведения теоретического обобщения, основанного на на классификации фигур с помощью преобразований плоскости.

§ 1.4. Геометрические преобразования как средство систематизации планиметрических задач.

1.4.1. Проблема деления задач на метрические и аффинные в литературе.

1.4.2. Принцип систематизации задач через иниарианты групп преобразова

1.4.3. Основные методы решения аффинных задач.

1.4.4. Систематизация геометрий плоскости с помощью инвариантов групп геометрических преобразований.

Выводы главы 1.

ГЛАВА II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ "ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ"

§2.1. изучение частных видов преобразований по общей схеме исследования, организация самостоятельной работы учащихся.

§ 2.2. Обучение методам решения аффинных задач на основе систематизации теоретических знаний.

2.2.1. Решение аффинных задач методом эквивалентных фигур.

2.2.2. Решение аффинных задач методом геометрических преобразований.!

2.2.3. Решение аффинных задач на построение.

§ 2.3. Организация и основные итоги эксперимента.

2.3.1. Проверка эффективности предлагаемой методики развития навыков систематизации теоретических знаний по теме "Геометрические пре-бразования плоскости".

2.3.2. Проверка эффективности предлагаемой методики в развитии у учащихся навыков систематизации планиметрических задач и некоторых методов их решения.

Выводы главы

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика обучения обобщению и систематизации математических знаний школьников"

Одна из важнейших задач методики обучения математике школьников заключается в развитии у них логического мышления. Поэтому все основные навыки формально-логического мышления, необходимые в дальнейшей жизни, предполагается развивать в учебной деятельности. Для осуществления этой цели обучения используются такие основные приемы формальной логики, как операции над понятиями (обобщение и ограничение, определение, деление, классификация понятий) и построение различных форм рассуждений на основании известных фактов (дедуктивные и индуктивные умозаключения, умозаключения по аналогии и др.).

Представляется, что привнесение принципов, форм и методов формальной логики в методику обучения математике в школе и создание на этой основе новых методических приемов работы позволит добиться более глубокого понимания учащимися содержания предмета и систематизации полученных знаний и умений. Особенно удачно, на наш взгляд, происходит это в том случае, если основная часть учебного материала сосредоточена в едином промежутке времени и в одном разделе учебника ("Квадратные уравнения", "Параллелограммы", "Многочлены" и др. темы).

Общеизвестно, что формирование у учащихся таких основополагающих понятий математики, как "число", "функция", "геометрическое преобразование" происходит на протяжении всего времени их обучения в школе. Поэтому весь накопленный объём знаний не может быть приведен в систему без обобщающих приёмов повторения и закрепления изученного. Но личный опыт преподавательской работы в университете, равно как и анализ современной педагогической и методической литературы, показывают, что многие выпускники школ, а также студенты-первокурсники не имеют целостного представления о структурах различных основных понятий школьного курса математики. Так, они с трудом приводят примеры включения множеств геометрических фигур, включение числовых множеств. Не могут указать основные типы функций, их отличительные и общие свойства. Это же относится и к геометрическим преобразованиям. Большинство наблюдаемых, обладая широким спектром теоретических знаний, довольно часто путаются в признаках математических объектов, не могут определить взаимосвязь определений и теорем и т. д.

Всё это, на наш взгляд, определённо указывает на отсутствие у учащихся такого важного момента научного знания, как единство, внутренняя необходимая связь материала, что является следствием пробела, имеющегося в современной методике построения процесса обучения геометрии в средней школе.

В науке, как известно, момент единства достигается благодаря систематической организации получаемых знаний. Эта безусловно требуемая научным познанием форма единства задаёт важнейшее методическое требование к преподаванию математики в школе, заключающееся в постоянном обеспечении систематизации в ходе изложения предмета. Стало быть, выявляется проблема поиска оптимальных вариантов обобщения и систематизации знаний школьного курса математики, определяющая контуры и характер проблемного поля настоящего диссертационного исследования.

В качестве примера, на материале которого проиллюстрированы основания отбора содержания и организации учебного материала с целью его обобщения и систематизации, нами взята тема "Геометрические преобразования плоскости в школьном курсе планиметрии" (для занятий по выбору в 9-10 классах). Выбор именно этой темы можно обосновать следующими соображениями:

- геометрические преобразования лежат в основе выдвинутого Ф. Клейном принципа, позволяющего всё разнообразие геометрий понять с единой точки зрения;

- геометрические преобразования и числовая функция являются двумя моделями общего понятия функции, и имеется возможность прослеживать связь между двумя основными понятиями - функции и преобразования плоскости, т. с. связь алгебры с геометрией;

- множество преобразований плоскости относительно их композиции образует группу, являющуюся примером математической структуры, что позволяет применить некоторые аспекты одной и той же методики при изучении различных числовых множеств, которые также образуют группу относительно операций сложения и умножения. Г рупповые свойства множества дают возможность показать на конкретном материале пример целостной теории.

При этом под целостной теорией мы понимаем минимальную структуру, адекватную общепринятой структурной единице науки и включающую в себя две основные части: основания и следствия. Основания составляют ту часть теории, которая содержит в себе группу основных понятий и исходных посылок, тогда как следствия - это часть теории, в которой на базе исходных данных посылок объясняются и интерпретируются известные факты и предсказываются новые.

Основная цель теории состоит, как известно, в том, что бы научиться её применять. Но всякая теория может применяться либо для изучения, развития другой теории, либо для решения практических задач. Поэтому применительно к нашей теме необходимо показать, с одной стороны, применение теории групп в классификации геометрии евклидовой плоскости, т. е. систематизацию планиметрических фигур и основных теорем школьного курса, а, с другой стороны, применение аксиом групп преобразований в решении задач на доказательство и построение.

Нужно отметить, что разработка методики обучения теме "Геометрические преобразования" привлекала внимание многих методистов. Так, А. Н. Колмогоровым, А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым было разработано учебное пособие по геометрии [44], где все основные вопросы предлагалось изучать на основе понятия геометрического преобразования. Так как этот учебник был написан для массовой школы, то понятие "группы преобразований плоскости" в нём отсутствовало. Однако центральное место в учебном пособии занимает отношение эквивалентности, и, в частности, конгруэнтность и подобие фигур. Изучение проблемы применения множеств преобразований к делению множества фигур на классы эквивалентности оправданно ограничено авторами рассмотрением равных и подобных треугольников, где с помощью преобразований определяются и доказываются признаки равенства и подобия треугольников. К достоинствам данного учебника можно отнести и наличие множества разнообразных задач на применение преобразований плоскости.

В широко применяемом в настоящее время учебнике А. В. Погорелова [72] в теме "Преобразование фигур" не ставится цель полной формализации понятий геометрического преобразования. Введение основных преобразований осуществляется здесь индуктивным способом, посредством нестрогих определений, зачастую противоречащих друг другу [91, С. 35]. Более подробно автор рассматривает основные инварианты движений и подобия, а также доказательства некоторых групповых свойств множества движений. Определение равенства фигур А. В. Погорелов даёт с помощью движения фигур, причём новое определение согласовывается с прежним применительно к треугольникам. При

I , изложении материала данной темы автор применяет традиционный синтетический и координатный методы. Но, по нашему мнению, эта методика, не обеспечивает данному разделу планиметрии формы целостной теории, поскольку идея подобного изложения не находит систематического применения в остальных разделах данного пособия.

Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. - авторы другого школьного учебного пособия [2] по геометрии, в главе "Преобразования", вводя понятие преобразования на основе функционального подхода, достаточно полно рассматривают свойства движений и подобия плоскости, теорему Шаля и теорему о представлении подобия композицией движения и гомотетии. На основании этих теорем доказываются групповые свойства множеств движений и подобий. В этом учебнике, на наш взгляд, удачно введено отношение эквивалентности фигур, однако не продемонстрирована связь свойств отношения эквивалентности и групповых свойств множества подобий, с помощью которых введены и доказаны признаки подобия треугольников. Кроме того, применение движений к определению равенства фигур не осуществляется вообще, хотя группа движений плоскости рассмотрена в книге.

Изучением различных аспектов проблемы геометрических преобразований в разное время занимались также М. Берже [6], Г. Вейль [12], С. В. Дужин [28], ф. Клейн [40], Г. С. М. Кокстер [41-43], М. Комацу [54], П. С. Моденов [64, 65], В. В Прасолов [74], Г. И. Саранцев [85, 87], 3. А. Скопец [92, 93], А. И. Фетисов [104, 105], Л. Р. Хахамов [111], И. М. Яглом [121-123] и др.

Однако большая часть указанных исследований представляет собой либо строго научные труды, либо научно-популярные работы, ввиду чего в них не рассматривается ни процесс демонстрации материала, ни вопросы методики обучения.

Всё вышесказанное свидетельствует о необходимости творческого переосмысления учебного материала темы "Преобразования плоскости" и разработки соответствующих оснований его отбора с тем, что бы на примере данной конкретной темы показать основные приёмы систематизации знаний (определений, методов доказательств и решения задач) и начать подготовку учащихся к наиболее оптимальному изучению высоких математических абстракций, таких как, конечные и бесконечные геометрии, в том числе неевклидовы, алгебраические структуры и т. д. Поэтому избранную нами тему можно считать вполне актуальной.

Итак, проблема настоящего диссертационного исследования заключается в поиске оптимальных вариантов обобщения и систематизации знаний школьного курса математики. Объектом исследования является учебная деятельность школьников, направленная на систематизацию знаний в классах с углублённым изучением математики или на факультативных занятиях. Предметом исследования является организация содержания учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости", рассматриваемое как средство систематизации и обобщения знаний учащихся по геометрии.

Цель исследования - па примере темы "Геометрические преобразования плоскости" раскрыть особенности отбора содержания и организации учебного материала, обеспечивающие улучшение обобщения и систематизации математических знаний школьников.

Основная гипотеза исследования может быть сформулирована следующим образом: если содержание учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости" изложить с использованием понятия группы, раскрыв при этом возможность классификации фигур с помощью действия группы преобразований, то это позволит учащимся понять принцип классификации геометрий по Ф. Клейну и систематизировать: а) теоретические знания о преобразованиях и фигурах; б) некоторые методы решения задач на доказательство и построение. Кроме того, это создаст условия для развития самостоятельной учебной деятельности учащихся.

Для решения указанной проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной основной гипотезы необходимо было последовательно решить следующие задачи исследования:

- на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы обосновать необходимость развития у учащихся навыков систематизации изучаемого материала и, в частности, классификации теоретических знаний по геометрии при углублённом изучении математики или на занятиях по выбору;

- разработать методические рекомендации к изучению темы "Геометрические преобразования плоскости" с учётом усиления роли классификации и обобщения теоретических знаний;

- провести отбор задач для закрепления изученного теоретического материала и знакомства с новыми методами решения задач, а также осуществления учебной математической деятельности на более высоком уровне;

- осуществить экспериментальную проверку разработанных материалов.

При решении поставленных задач использовались такие методы исследования, как изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования; конструирование (структурирование) содержания темы "Геометрические преобразования плоскости"; организация и проведение апробации материалов в процессе обучения; количественная и качественная обработка данных, полученных в процессе апробации.

В ходе работы над проблемой автором учитывался собственный опыт работы учителем в летних математических школах Краснодарского края, а также на занятиях кружка в средней школе № 4 г. Краснодара.

Диссертационное исследование проводилось с 1996 г. по 1999 г. и включало в себя несколько этапов. На первом этапе был проведён анализ математической, психолого-педагоги ческой и методической литературы, определен предмет исследования, организован поисковой эксперимент. На втором этапе были разработаны методические рекомендации по теме "преобразования плоскости в школьном курсе геометрии", в которых рассмотрены особенности отбора и организации учебного материала, направленные на систематизацию знаний, а также разработаны (наборы) системы задач и методы поиска их решения на основе непосредственной взаимосвязи с теоретическими знаниями, подготовлены учебные материалы и методические рекомендации к ним по теме "Геометрические преобразования плоскости". На третьем этапе разрабатывалась методика проведения педагогическог о эксперимента и осуществлялась его реализация. В ходе четвертого этапа была осуществлена количественная и качественная обработка материалов апробации, сформулированы общие выводы и заключения по проведенному исследовано.

Научная новизна и теоретическая значимость настоящего диссертационного исследования заключается в том, что в нём:

- обоснована необходимость использования понятия группы для обобщения свойств движения, подобий и аффинных преобразований на занятиях по выбору;

- доказано, что теоретические знания при развитии навыков обобщения, классификации и систематизации должны обладать, по возможности, признаками целостной теории. На примере темы "Геометрические преобразования плоскости" впервые продемонстрирована методика обучения навыкам классификации фигур с помощью действия на их множества группами различных аффинных преобразований, изучаемых в школе;

- разработаны принципы отбора теоретического материала для классов с углублённым изучением математики или факультативов с целью систематизации основных математических понятий;

- экспериментально доказано влияние понимания классификации и систематизации на развитие самостоятельности учащихся в учебной деятельности.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанное по теме "Геометрические преобразования плоскости" пособие может быть использовано учителями, работающими в классах с углублённым изучением математики и на занятиях по выбору; учащимися для самостоятельного знакомства с темой; преподавателями педвузов для проведения спецкурсов.

Апробация результатов исследования заключалась в следующем. О ходе и результатах проводимого исследования автор делал регулярные сообщения на Г'ерценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете им. А. И. Герцена (1996-2000 г.г.), на семинарах преподавателей Краснодарского края, а также на методических семинарах кафедры высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета.

На защиту выносятся следующие положения:

- организация и отбор теоретического материала с учётом признаков целостной теории эффективно способствует развитию у учащихся навыков обобщения, классификации и систематизации знаний и умений;

- понимание классификации и систематизации способствует развитию самостоятельности учащихся в учебной деятельности.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ГЛАВЫ II

Подводя итоги последнего этапа решения задач диссертационного исследования, прежде всего нужно отметить, что проведённый педагогический эксперимент по проверке выдвинутой в работе гипотезы подтвердил эффективность предлагаемой автором методики обучения теме "Геометрические преобразования", проявляющуюся, в частности, в следующем:

1. Использование предлагаемой в диссертационной работе общей схемы исследования геометрических преобразований при изучении каждого частного их вида, равно как и использование одинаковой формы построения тем курса, посвящённого изучению преобразований общего вида, способствует оптимальной организации самостоятельной учебной деятельности учащихся (§2.1.).

2. Применение классификации геометрий, осуществляемой с помощью групп преобразований, к систематизации теоретических знаний, составляющих школьный курс планиметрии, позволяет систематизировать и некоторые методы решения задач на доказательство и построение. В частности, в § 2.2. на основе принципа систематизации теоретических знаний показана методика обучения школьников некоторым методам решения задач различных геометрий, а именно: методу, основанному на использовании преобразования группы подобий (метод гомотетии) и применяемому для решения как метрических (геометрии группы подобий), так и аффинных задач (геометрии группы аффинных преобразований); методу, в основе которого лежит систематизация свойств фигур, осуществляемая при помощи геометрических преобразований плоскости, и который позволяет свести решение аффинной задачи (геометрии группы аффинных преобразований) к решению метрической задачи (геометрии группы подобий); методу, предполагающему использование основных понятий аффинной геометрии плоскости понятий прямой и параллельных прямых, который применяется в решении задач на построение (геометрии группы движений).

3. В ходе эксперимента было установлено, что организация учебного курса, нацеленного на развитие у учащихся навыков систематизации теоретических знаний по математике (на примере темы "Геометрические преобразования плоскости"), необходимо предполагающая значительное возрастание объёма и значения самостоятельной работы учащихся, способствует развитию у них умения систематизировать понятия планиметрии, задачи и методы их решения, что в конечном итоге углубляет и делает более действенными знания учащихся, интересующихся математикой.

В настоящей главе осуществлено рассмотрение методики преподавания учебного курса по теме "Геометрические преобразования плоскости", цель которой (методики) заключается в развитии у школьников навыка систематизации теоретических знаний по математике средствами формальной логики. Что касается обучающей ценности предлагаемой методики, то её применение к указанной теме, во-первых, даёт значительную экономию времени посредством оптимальной организации самостоятельной учебной деятельности учащихся, и, во-вторых, формирует объективные предпосылки для реализации выдвинутой в диссертационной работе гипотезы, то есть для: систематизации понятий указанной темы (имеется в виду система частных и общих преобразований плоскости), систематизации теоретических знаний учащихся по данной теме, под которой подразумевается установление как внутренних связей различных частей курса планиметрии, так и внешних связей школьного курса геометрии с другими школьными дисциплинами, ознакомления учащихся с научным принципом систематизации геометрии и, в частности, с систематизацией свойств планиметрических фигур, осуществляемой с помощью действия на них трупп преобразований плоскости, равно как и систематизацией некоторых методов решения задач на доказательство и на построение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее диссертационное исследование посвящено поиску оптимальных вариантов обобщения и систематизации знаний, составляющих школьный курс математики. Ибо, по нашему глубокому убеждению, суть той центральной проблемы, которая с необходимостью возникает в процессе обучения любой школьной дисциплине, и тем паче в ходе изучения курса математики, заключается в том, что теоретические знания и практические умения, получаемые учащимися за годы изучения различных школьных курсов математики, не являются в полной мере действенными, т. е. имеющаяся в распоряжении учащихся совокупность, а, точнее, сумма знаний не преобразована ими в действительную, конкретную, деятельную систему (в силу чего это знание и не может быть практически использовано как система), поскольку не познаны и потому не задействованы внутренние, структурные, логические связи, сообщающие единство многообразным знаниям и делающее это многообразие единым содержанием той или иной школьного дисциплины (науки). Но ещё в меньшей степени познаны и задействованы системообразующие связи между курсами, дисциплинами, которые могли бы указать пытливому юношескому уму на существование куда более глубокой проблемы проблемы необходимости построения универсальной системы человеческого знания.

В ходе диссертационного исследования были выявлены факторы, препятствующие эффективному осуществлению учащимися преобразования наличной суммы знаний в действительную и действенную его систему. Среди них: значительный разброс и, в частности, по времени изучения и по школьным курсам основных математических понятий, невыявленность необходимых связей между отдельными блоками теоретических знаний, вызванная недостаточным пониманием дидактической функции структурных связей в процессе школьного обучения математики, явная и постоянно мстящая за себя недооценка современной школой значения формально-логического знания и др.

Анализ методической, математической, психолого-педагогической литературы, а также результатов проведённого автором тестирования учителей и учащихся позволил определить то магистральное направление, в котором, на наш взгляд, должно идти совершенствование методики развития у учащихся навыков систематизации теоретических знаний по математике.

Теоретико-практической попыткой реализации изложенных выше соображений и стало создание учебного курса для занятий по выбору с учащимися, увлекающимися математикой, на примере темы "Геометрические преобразования плоскости", при разработке которого автор ставил следующие цели:

1) способствовать самостоятельному осуществлению учащимися систематизации как уже имеющихся в наличии, так и приобретаемых в ходе изучения указанной темы знаний;

2) помочь учащимся в овладении умением классифицировать свойства планиметрических фигур, проводимого на основании принципа систематизации геометрий евклидовой плоскости при помощи групп её преобразований;

3) способствовать распространению учащимися систематизированных теоретических знаний на деление задач школьного курса планиметрии и на анализ методов их решения.

Для достижения поставленных целей определяющее значение имел выбор способа организации учебной деятельности школьников, каковым ввиду универсальности поставленных целей и содержания самой темы могла стать только самостоятельная познавательная деятельность учащихся. Причём последовательная реализация каждой из указанных выше целей способствует достижению оптимальной организации самостоятельной деятельности учащихся в процессе достижении следующей цели. Предполагалось, и эксперимент это доказал, что понимание классификации и систематизации способствует развитию самостоятельности учащихся в учебной деятельности.

Но не менее значимым для исследования был и выбор темы. Ведь для систематизации некой имеющейся в наличии совокупности знания, предполагающей выявление и фиксирование в последней системно-структурных, необходимых связей, должно было избрать такую тему, материал которой дал бы возможность автору познакомить учащихся со сложными понятиями, обладающими многочисленными свойствами, анализ которых, в свою очередь, помог бы им установить объективные отношения различных типов, на основе которых только и может осуществляться формирование у учащихся навыков систематизации математических знаний. Проведённый автором предварительный анализ учебного материала школьного курса математики обусловил выбор темы "Геометрические преобразования плоскости".

Решение проблемы непосредственного отбора материала для разрабатываемого учебного курса, ориентированного на углублённое изучение нашего предмета, потребовало разработки критериев (принципов, оснований) такого отбора. При этом, разумеется, в первую очередь, должны были быть учтены общие требования, предъявляемые к составлению программ учебных курсов по развитию навыков систематизации теоретических знаний по математике.

Проведённый в главе 1 диссертационного исследования анализ позволил сформулировать следующие специальные принципы отбора теоретического материала по вы бранной теме:

1) изучение основных теорем и их взаимосвязей, на основе которых возможно построение системы понятий посредством установления всевозможных отношений между преобразованиями;

2) выделение общих и отличительных свойств геометрических преобразований плоскости и сведение их в общую схему исследования частных видов геометрических преобразований.

При этом общая схема исследования геометрических преобразований плоскости может быть представлена в виде следующей последовательности шагов, в пределах которой оно развёртывается: исследование:

1. Исследовать вопрос о том, какие другие преобразования могуг быть представлены как частные случаи рассматриваемого.

2. Обосновать ответ на вопрос о том, является ли рассматриваемое преобразование взаимно однозначным.

3. Выяснить, как преобразование меняет расстояние между двумя точками.

4. Установить, переводит ли рассматриваемое преобразование три коллинеарные точки в коллинеарные.

5. Исследовать вопрос о том, сохраняет ли рассматриваемое преобразование отношение трёх точек, лежащих на одной прямой.

6. Дать обоснованный ответ на вопрос о том, образует ли множество рассматриваемых преобразований группу.

7. Выяснить, образует ли группу множество рассматриваемых преобразований с общими, задающими их элементами (причём если тождественное преобразование не является частным случаем рассматриваемого, то необходимо дополнить им указанное множество преобразований).

8. Рассмотреть действие группы преобразований 7 пункта па множество точек плоскости, изобразить орбиты точек.

Представляется, что дальнейшее развитие исследований по проблеме развития у учащихся навыков систематизации и обобщения математических знаний возможно в направлении уточнения критериев деления задач по геометрии и методов их решения, корректировки методики использования алгебраических структур в изучении других тем математических курсов, исследования проблемы систематизации математических знаний с учётом понимания повышенной дидактической значимости внешних связей (с дисциплинами естественного цикла). Кроме того, возможен поиск новых технологий (приёмов, методик), которые позволили бы ещё в большей степени актуализировать самостоятельную познавательную деятельность учащихся в процессе изучения школьного куса математики.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Сукманюк, Валерия Николаевна, Краснодар

1. Автономова Т. В., Аргунов Б. И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии. М.: Просвещение, 1988. 128 с.

2. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1991. 415 с.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 1990. 336 с.

4. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Г еометрия 9. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1997. 176 с.

5. Барабашев А. Г. Будущее математики: МГУ, 1991; 160 с.

6. Берже М. Геометрия / Под ред. И. X. Сабитова. М.: Мир, 1984. Т.1. 560 с.

7. Берг Л.В. Введение в системологию. Краснодар. Куб. гос. ун-г. 1996. 70 с.

8. Большая советская энциклопедия. Т. 12, т. 23, М: Изд-во "Советская энциклопедия", 1976.

9. Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушкин А.Д. Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней школы). М.: Просвещение, 1982. 143 с.

10. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе / Под ред. А. И. Маркушевича. М.: Учпедгиз, 1949. 470 с.

11. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989, 400 с.

12. Вейль Г. Симметрия / Под ред. Б. А. Розенфельда. М.: Прогресс, 1977. 412 с.

13. Вейль Г. О философии математики. М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. 128 с.

14. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С. А. Геометрия. Сп.б., Специальная литература, 1997. 352 с. Ч. 1.

15. Виленкин Н. Я., Дуничев К. И., Калужнин Л. А., Столяр А. А. Современные основы школьного курса математики. М.: Просвещение, 1980. 240 с.

16. Виленкин Н.Я., Пышкало А.М., Рождественская В.Б., Стайлова Л. П. Математика. Учебное пособие для студентов педагогических институтов по специальности № 2121. Педагогика и методика начального обучения. М.: Просвещение, 1977. 352 с.

17. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1995. 335 с.

18. Волович М. Б. Наука обучать. Технология преподавания математики. МХШКА-РЯЕЗБ, 1995. 280 с.

19. Гастева С. А., Крельштейн Б. И., Ляпин С. Е., Шидповская М. М, Методика преподавания математики в восьмилетней школе. М.: Просвещение, 1964.743 с.

20. Гинзбург Г.А. Некоторые понятия общей алгебры (группа, кольца, поля) в школьном курсе математики. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики). Ленинград, 1968.

21. Герасимович А. И., Пушкина-Варварчук Г. Т., Шарикова Э. П., Цыганова В. К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: справочное пособие. М. Высшая школа, 1987. 255 с.

22. Григорьева И. С. Взгляд на элементарную геометрию с точки зрения высшей // Математика в школе. -1997. -№5.

23. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1996. 238 с.

24. Даан-Д альме дико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / Под ред. И. Г. Башмановой. М.: Мир, 1986. 432 с.

25. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М.: Просвещение, 1972.

26. Далингер В. А. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математике в школе. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук. СПб., 1992.

27. Дубровский В. Шесть доказательств теоремы о медианах //Квант,-1978.-№4.

28. Дужин С. В. , Чебогаревский Б. Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений. Популярное введение в теорию преобразований. Мн.: Вышэйшая школа, 1988. 235 с.

29. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972, 335 с.

30. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. 576 с.

31. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. М.: Учпедгиз, 1940. 95 с.

32. Зорина Л. Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М.: Педагогика, 1978. 123с.

33. Избранные вопросы математики 9 класс. Факультативный курс. М.: Просвещение, 1979. 191с.

34. Избранные вопросы математики 7-8 классы. Факультативный курс. М.: Просвещение, 1978. 191 с.

35. Кабанова-Меллер Е. Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.

36. Каган В. Ф. Основания геометрии. Часть 2. М., Изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. 987 с.

37. Каплан Б. С., Рузин Н. К., Столяр А. А. Методы обучения математике (некоторые вопросы теории и практики) / Под ред. А. А. Столяра. Мн.: Народная ас-вета, 1981. 191 с.

38. Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. Учебник для юридических вузов. М.: Юрисгь, 1998. 256 с.

39. Киселев А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия. Планиметрия: учебник и задачник 7-9 кл. М.: Дрофа, 1995. 352 с.

40. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.2. М.: Наука, 1987.416 с.

41. Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Мир, 1978. 247 с.

42. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп / Под ред. Ю. И. Мерзлякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. 240 с.

43. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией / Под ред. А. П. Савина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 224 с.

44. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия: Учебное по* собие для 6-8 классов средней школы. М.: Просвещение, 1979. 382 с.

45. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия современного школьного курса математики. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1974. 382 с.

46. Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В. Я., Луканин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. (Общая методика). М.: Просвещение, 1975. 461 с.

47. Костицин В. Н. Родство и его применение при построении изображений пространственных фигур // Математика в школе. -1998. -№3.

48. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание / С предисло-* вием П. С. Александрова: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1985. 176 с.

49. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М.: Наука, 1977. 112 с.

50. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. М.: Просвещение, 1967. 558 с.

51. Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1984. 176 с.

52. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец №2104 "Математика". М.: Просвещение, 1987. 400 с.

53. Мацуо Комацу. Многообразие геометрий. М.: Знание, 1981. 208 с.

54. Медяник А. И. Учителю о школьном курсе геометрии: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1984. 94 с.

55. Менчинская Н. А. Применение знаний в учебной практике школьников. М.: изд-во АПН РСФСР, 1961. 375 с.

56. Метельский Н. В. Очерки истории методики математики. Под ред. И. Я. Депмана. Мн.: Вышэйшая школа, 1968. 338 с.

57. Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования. Сборник научных работ, представленные на 53-е Герценов-ские чтения. С.Пб, 2000.

58. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под ред. С. Е. Ляпина. М.: Просвещение, 1965. 740 с.

59. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец. "Математика" и "Физика 2" сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. 336 с.

60. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика / Составитель В. И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.

61. Методы педагогических исследований. Под. ред. Пискунова А. И., Воробьева Г. В. М.: Педагогика, 1979. 256 с.

62. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / Под ред. А. И. Фетисова. М.: Просвещение, 1967. 271 с.

63. Моденов П. С. Геометрические преобразования // Математика в школе. -1948. -№6.

64. Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М.: Изд-во МГУ, 1961. 232 с.

65. Моиз Э. Э., Дауне Ф. Л. Геометрия / Под ред. И. М. Яглома. М.: Просвещение, 1972. 622 с.

66. Никулин А. В., Кукуш А. Г., Татаренко Ю. С. Планиметрия. Геометрия на плоскости: Учебное пособие / Под общей ред. Ю. С. Татаренко. Висагинас: Альфа, 1998. 592 с.

67. Осинская В. Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. Книга для учителя. Киев: Радяньска школа, 1989. 190 с.

68. Пехлецкий И. Д. Общая теория систем и анализ процесса обучения. Пермь, 1976. 120 с.

69. Пиаже Ж., Бет Э., Дьедонне Ж., Лихнерович А., Шоке Г., Гаттеньо К. Преподавание математики: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1960. 162 с.

70. Пидоу Д. Геометрия и искусство / Под ред. И. М. Яглома. М.: Мир, 1979. 332 с.

71. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1993. 383 с.

72. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Под ред. С. А. Яновской. М.: Наука, 1957. 464 с.

73. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2. М.: Наука. 1991. 240 с.

74. Преподавание геометрии в 6-8 классах. Сборник статей, сост. В. А. Гусев. М.: Просвещение, 1979. 281 с.

75. Программно-методические материалы. Математика. 5-11 классы. Тематическое планирование. М.: Дрофа, 1999. 192 с.

76. Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. М.: АО "Столетие", 1995. 512 с.

77. Рабинович В. Аффинные задачи и теоремы //Квант. -1977. -№8.

78. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. Пособие для педагогических институтов. М.: Учпедгиз, 1958. 218 с.

79. Рогановский Н. М. Методика преподавания математики в средней школе. Мн.: Выш. шк., 1990. 267 с.

80. Рыжик В. И. Использование аксиоматики Евклидова пространства для изучения геометрии в школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Ленинград, 1975.

81. Рыжик В. И., Окунев А. А. Дидактические материалы по геометрии для 9 классов. М.: Просвещение, 1999. 112 с.

82. Руденко В. Н., Бахурин Г. А. Геометрия: Пробный учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 1991. 382 с.

83. Самарин Ю. А. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. 504 с.

84. Саранцев Г. И. Методика изучения отображений в курсе геометрии восьмилетней школы. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. 80 с.

85. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2000. 173 с.

86. Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования. Подобия плоскости в задачах: Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1981,112 с.

87. Селевко Г. К. Современные образовательные технологии. Учебное пособие для педагогических вузов и институтов повышения квалификации. М.: Народное образование, 1998. 256 с.

88. Семенко Е. А. Обучение теме "Движения плоскости" с использованием понятия группы в классах с углубленным изучением математики! Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Спб., 1994.

89. Семенко Е. А., Остроух В. Н. Группы движений плоскости в школьном курсе математики: Книга для учителя. Краснодар. 1994. 130 с.

90. Семенович А. Ф. Об определении понятия "отображение" // Математика в школе. -2000.-№ 5.

91. Скопец 3. А. Геометрические миниаюры. М.: Просвещение, 1990. 222 с.

92. Скопец 3. А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по геометрии (планиметрия): Пособие для студентов педагогических институтов. М.: Учпедгиз, 1962. 162 с.

93. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1964. 355 с.

94. Сохор А. М. Логическая структура учебного материала: Вопросы дидактического анализа. М.: Педагогика, 1974. 192 с.

95. Степанов В. Д. Активизация внеурочной работы по математики в средней школе: Книга для учителя: Из опыта работы. М.: Просвещение, 1986. 80 с.

96. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. Мн: Вы-шэйшая школа, 1965. 253 с.

97. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций. Мн.: Вышэйшая школа, 1969. 368 с.

98. Стратилатов П. В. Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий. Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1970. 143 с.

99. Теория и практика педагогического эксперимента / Под ред. Пискунова А. * И., Воробьева Г. В. М.: Педагогика, 1979. 208 с.

100. Требования к знаниям и умениям школьников / Под ред. А. А. Кузнецова. М.: Педагогика, 1987. 170 с.

101. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы / Сост. И. Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. 383 с.

102. Федоров Б. И., Зубань Е. Н., Никитин В. Е., Любимов Г. П. Элементы логической культуры. СПб.: Специальная литература, 1996. 182 с.

103. Фетисов А. И. Геометрия в задачах. Пособие для учащихся школ и классов с углубенным теоретическим и практическим изучением математики. М.: Просвещение, 1977. 192 с.

104. Фетисов А. И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. М.: Просвещение, 1965. 234 с.

105. Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н. Ф. Талызиной. М.: ТОО "Вентана-Граф", 1995. 230 с.

106. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. Учителю математики и педагогической психологии. М.: Просвещение, 1983. 158 с.

107. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. М.: Просвещение, 1983. 192 с. Ч. 2.

108. Хаваш К. Так логично / Под ред. Е. К. Войшвилло. М.: Прогресс, 1985.266 с.

109. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М. Мир, 1970. 196 с.

110. Хахамов Л. Р. Преобразования плоскости. Пособие для учителей. М.: Просвещение., 1979. 95 с.

111. Хинчин А. Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. 203 с.

112. Ходот Т. Г., Захарченко И. Д., Михайлова А. Б. Задачи по геометрии. Учебное пособие. СПб.: Специальная литература, 1997. 280 с.

113. Шарыгин И. Ф. Геометрия 9-11 классы. От учебной задачи к творческой. Учебное пособие. М.: Дрофа, 1996. 400 с.

114. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учебных заведений. М.: Дрофа, 1998. 352 с.

115. Шарыгин И. Ф. 2200 задач по геометрии, для школьников поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1999. 304 с.

116. Шварцбурдт С. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Просвещение, 1966. 367 с.

117. Шувалов Э.З., Каплун В. И. Геометрия: Учеб. пособие для подготовительных отделений вузов. М.: Высшая школа, 1980. 256 с.

118. Энциклопедия для детей. Математика. М.: Аванта+, 1998.

119. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая. Геометрия. М.: Физматгиз, 1963.

120. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Ч. I, 2. М: Гос. Издат. Технико-теоретической литературы. 1955. 280 с. 612 с.

121. Яглом И. М. Геометрические преобразования и их роль в преподавании геометрии // Математика в школе. -1960. -№6.

122. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969. 303 с.

123. Яглом И. М. Что такое геометрия // Математика в школе. -1981. -№6.

124. Ярмолюк В.Е. Методика организации и реорганизации учебного материала на этапе обобщающего повторения курса планиметрии. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. СПб., 1992.1. ЧастьI1. Тема 1. ОТОБРАЖЕНИЕ ФИГУР

125. Всякую фигуру можно рассматривать как множество точек плоскости, тогда можно провести аналогию между понятиями «отображение множества на множество» и «отображение фигур».

126. Определение. Отображением фигуры /. в фигуру называется такое соответствие Ф. при котором каждой точке X фигуры ставится в соответствие единственная точка Х1 фигуры ¡-¡. Будем обозначать Ф: Л у- Ф(Х)=Х!, где Х&и Л',бЛ.

127. При этом можно отметить, что образ фигуры I. при отображении Ф совпадает с Ц, то есть фигура и отображается на фигуру1. Рис.11. Рис.2

128. Ф(Х)=Х,; Ф(У)=Х,; X, УеЦ Х1е1,(Рис.2).

129. Пример 3. Пусть 1 квадрат АВСБ, и Ц=Ц О - точка пересечения диагоналей квадрата (Рис. 3). Отображение и на I., построим следующим образом. Каждой точке X квадрата Г поставимв соответствие точку X, того же квадрата, лежащую на продолжении отрезка ХО.

130. То есть Ф: 1->Ц; Ф(Х)=Х,. ХеЬ, X!е. Таким образом, любой точке квадрата при таком отображении соответствует единственная точка того же квадрата. Описанный пример является примером отображения множества на себя и называется преобразованием множества.

131. Определение. Отображение фигуры на себя, при котором каждая точка этой фигуры остается неизменной, называется тождественным и обозначается Е. То есть Е: Ь—>/ Е(Х)=Х, для всех1. Ц = 1

132. Иногда суперпозицию преобразований называют композицией, а также произведением преобразований (или их суммой).

133. Пример 5. Пусть Ф и Р функции действительного аргумента, такие, что: Ф(х)=х+3 и Р(х)=х+2, тогда С=Р(Ф(х))=Р(х4-3)= =х^З+2=х+5.

134. В рассмотренном примере получена композиция отображений множества действительных чисел на себя (в композиция).

135. Суперпозиция отображений обладает следующим важным свойством.

136. Теорема. Суперпозиция отображений подчиняется закону ассоциативности. Это значит, что "если Ф: Ь—»Ц, Р: 0:12—>1,- три отражения, то 0(РФ)=(0Р)Ф.

137. Доказательство. Наглядной иллюстрацией этой теоремы является следующая диаграмма:

138. СР)Ф О/гф) ^ 1 (0Р)Ф=0{РФ)>

139. Задачи, рекомендуемые для решения в классе:

140. При каких из следующих отображений координатная прямая ОХ отображается на прямую: