Наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрии в старших классах средней школы

Щепин, Олег Николаевич

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрии в старших классах средней школы

Автореферат

Автор научной работы: Щепин, Олег Николаевич
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 1999
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрии в старших классах средней школы"

^ О* .»^ **

На правах рукописи

Щепин Олег Николаевич

НАГЛЯДНО-КОНСТРУКТИВНЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ СТЕРЕОМЕТРИИ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре методики преподавания математики.

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор ГУСЕВ В.А.

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент Российской академии образования, доктор физико-математических наук, профессор БАВРИН И.И.

кандидат педагогических наук, доцент ВЕРЧЕНКО А.И.

Ведущая организация: Коломенский педагогический институт

Защита состоится " V' О 1999 г. в часов на заседании Диссертационного Совета К.053,01.16 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул.Краснопрудная, д.14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, дом 1.

Автореферат разослан '<- 1998 года.

Ученый секретарь /у-----

Диссертационного совета "у? ЧИКАНЦЕВА Н.И.

Общая характеристика работы

В последние годы, в связи с перестройкой средней школы, значительно возрос интерес к проблемам преподавания геометрии в школе. В условиях профильной и уровневой дифференциации по-новому встает вопрос о целях и задачах преподавания геометрии и в частности стереометрии. В связи с этим изменяется подход к проблемам преподавания. Процесс преподавания становиться ориентированным на личность учащегося.

Вопросам преподавания стереометрии в средней школе всегда уделялось достаточно большое внимание, но многие вопросы остаются неразрешенными до сих пор. Тестирование учителей г. Пензы, проведенное О.В.Шереметьевой, наш личный опыт приема вступительных экзаменов в Глазовском государственном педагогическом институте, публикации отчетов о вступительных экзаменах, публикуемые в журнале "Математика в школе" за последние годы, показывают, что учащиеся испытывают значительные трудности при решении стереометрических задач, связанные, в основном, с недостаточным развитием их пространственных представлений.

Проблемами развития пространственных представлений занимались следующие специалисты: А.Д.Алексавдров, СБ.Верченко, Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, В.А.Гусев, Е.Н.Кабанова-Меллер, В.Н.Литвиненко, Б.Ф.Ломов, Л.А.Минасян, Г.П.Сенников, Н.Ф.Талызина, Н.Ф.Четвертухин, И.Ф.Шарыгин, И.С.Якиманская, Л.Л.Якобсон, и др.

В процессе формирования пространственных представлений принимают участие, в той или иной мере, все органы чувств. Как отмечает Г.Д.Глейзер, в системном механизме восприятия пространства ведущую роль играют зрительно - вестибулярно - кинестетические взаимосвязи, которые являются стержнем, объединяющим все органы чувств в отражении пространства. В связи с этим, в процессе формирования пространственных представлений необходимо использовать совместно с простым созерцанием и непосредственные манипуляции с материальными предметами и моделями, а также проговаривание указанных действий и определенную умственную работу.

Проблема развития пространственных представлений тесно связана с проблемой наглядности в обучении. Проблемами наглядности занимались следующие специалисты: В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, В.Р.Ирина, Т.Н.Карпова, Е.М.Кондрушенко, Л.А.Новиков, А.А.Постнов, В.В.Репьев, Г.П.Сенников, Е.И.Смирноя, Л.М.Фридман, Т.Ф.Фролова и др.

Л.М.Фридман считает, что наглядность - это особое свойство психических образов, создаваемых в процессе восприятия, памяти, мышления и

воображения при познании объектов окружающего мира. Он дает такую формулировку: наглядность - это понимание и активность.

В.Г.Боягяйский выдвигает свою, формулу наглядности - изоморфизм плюс простота. Изоморфизм понимается как идентичность структур: "две модели изоморфны, если, отвлекаясь от всех свойств этих моделей, не связанных с рассмотрением имеющихся в них предикатов, мы можем сказать, что эти модели "устроены" совершенно одинаково (по существу неразличимы)". Таким образом, проблема наглядности тесно связана с понятием модели и моделирования.

Наглядность может играть не только положительную роль в процессе обучения, но и тормозить его. В связи с этим возникает проблема дозирования наглядности в учебном процессе. Необходимо постепенно осуществлять переход от материальных моделей к идеальным (чертежи, схемы, представления).

Г.П.Сенников предложил для изучения геометрии использовать так называемый наглядно-конструктивный подход. Он заключается в следующем: "учитель поясняет свойство фигуры на модели, показывает его на чертеже, ученики моделируют или выполняют ее построение определенными инструментами. Если изучается отношение геометрических фигур, то сперва демонстрируется на моделях, ученики тоже манипулируют моделями, а потом выполняют геометрические построения. На определенном этапе обучения остается только демонстративная модель и построения, затем только построения инструментами, наконец, отказаться и от них, перейдя к рисункам и мысленным построениям". Детально Г.П.Сенниковым рассмотрено только изучение планиметрии на основе наглядно-конструктивного подхода. ' ' '

Как отмечает ряд авторов, корректировку пространственных представлений можно осуществлять двумя способами:

1) непосредственной работой с конкретными моделями (Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, И.С.Якиманская и др.);

2) с помощью логических рассуждений (Е.М.Кондрушенко, М.Мухаммадов, О.В.Шерементьева и др.).

Причем, как отмечает Л.Л.Гурова, второй путь неуместен на начальном этапе изучения стереометрического материала, если пространственные представления учащихся еще не достаточно развиты.

И.Ф.Шарыгин отмечает, что для успешного решения геометрических задач необходимо три слагаемых: умение правильно и быстро производить чертеж к задаче, оперирование методом решения (в основном аналитическим) и некоторый запас опорных задач, который позволяет осуществить переход от теоретического материала к заданному. О необходимости использования опорных (базисных, элементарных, ключевых) задач для решения геометрических задач, изучения геометрии говорят: И.Г.Габович, Г.В.Гришина, Г.Д.Зайцева, Ю.А.Розка, М.Е.Тимощюк, А.Я.Цукарь, И.Ф.Шарыгин и др.

В.В.Орлов показал, что в качестве связующего звена между теоретическим материалом и самостоятельным решением геометрических задач могут быть использованы опорные геометрические конструкции, представляющие из себя геометрические фигуры, на которых иллюстрируется изучаемый теоретический материал, раскрываются связи объектов, формируются приемы поиска решения геометрических задач. Но в исследовании В.В.Орлова применение конструкции сужено только до поиска решения задач. Сами же конструкции, довольно громоздки и требуют уже хорошо сформированных пространственных представлений учащихся.

Детальной разработки преподавания стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода не произведено. Нет единого исследовшшя, которое включало бы в себя применение в процессе обучения стереометрии все указанные выше положения.

Все сказанное выше обуславливает актуальность нашего исследования, которая заключается в разработке методики преподавания основных разделов стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода с целью повышения результатов процесса обучения.

Анализ основных разделов школьного курса стереометрии показал, что для изучения основных стереометрических понятий и их свойств целесообразно использование опорных геометрических конструкций.

Проблема диссертационного исследования состоит в выявлении и раскрытии возможных путей реализации наглядно-конструктивного подхода в процессе преподавания стереометрии в старших классах средней школы.

Объектом исследования является процесс обучения стереометрии в старших классах средней школы.

Предметом исследования является разработка наглядно-конструктивного подхода к изучению основных тем стереометрии в стар-

ших классах средних школ на основе использования опорных геометрических конструкций.

Гипотеза исследования состоит в том, что если в процессе изучения курса стереометрии мы будем применять наглядно-конструктивный подход, использующий предложенные нами опорные геометрические конструкции, то уровень результатов процесса обучения повысится, т.е. учащиеся будут показывать более высокие результаты в процессе решения стереометрических задач.

Дели нашего исследования заключаются в следующем:

1) Выявить опорные геометрические конструкций на основе анализа курсов стереометрии;

2) Разработать методику использования этих конструкций в процессе обучения стереометрии (на примере основных тем).

Цель и предмет определили ряд конкретных задач исследования:

1. Провести анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования с целью определения основных положений наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в старших классах средней школы;

2. Раскрыть сущность понятия опорной геометрической конструкции и выявить минимальный набор таких конструкций для изучения основных тем стереометрии;

3. Разработать конкретные методические рекомендаций к изучению первых тем курса стереометрии на основе применения опорных геометрических конструкций;

4. Провести экспериментальную проверку полученных результатов.

Решение поставленных задач потребовало привлечение следующих

методов исследования:

- изучите психолого-педагогической и философской литературы по проблеме исследования;

- наблюдение за деятельностью учителей и учащихся при изучении геометрии, анализ результатов наблюдения;

- изучение и анализ письменных работ учащихся;

- проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования.

Исследование проводилось с 1993 по 1998 год.

На первом этапе исследования (1993-1996 гг.) изучалась методическая, психолого-педагогическая и философская литература, проводились наблюдения за учебным процессом на уроках геометрии, велись беседы и дискуссии с учителями школ и преподавателями вузов. Была сформулирована рабочая гипотеза, цели и задачи исследования.

На втором этапе (1996-1997 гг.) - проводился поисковый эксперимент, шла разработка и анализ экспериментальных материалов.

На третьем этапе (1997-1998 гг.) - проводился формирующий эксперимент, в ходе которого происходило подтверждение выдвинутых гипотез.

Научная попизна и теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней:

1) определена сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии;

2) разработаны требования к опорным геометрическим конструкциям;

3) разработана методика использования опорных геометрических конструкций, которая состоит в том, что в ходе изучения стереометрии используются:

а) серии задач, связанные с изучением многогранников;

б) серии задач, связанные с изображениями многогранников;

в) серии задач связанные с конструированием многогранников из развертки.

Практическая значимость исследования заключается в том, что оно предлагает учителю математики 10 - 11 классов методику организации преподавания стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода с использованием опорных геометрических конструкций и соответствующие к ней рекомендации, которые позволяют обеспечить наглядность процесса обучения. ■ Результаты исследования позволяют совершенствовать методику преподавания геометрии в 10-11 классах.

На защиту выносятся:

1) Основные требования, предъявляемые к наглядно-конструктивному подходу для изучения стереометрии в старших классах средней школы,

2) Разработанные нами опорные геометрические конструкции и их модификации для изучения основных тем стереометрии. Первая серия состоящая из конструкции и ее модификаций связана с произвольным тетраэдром, а вторая серия - с прямоугольным тетраэдром.

3) Методика изучения основных тем стереометрии по учебнику А.В.Погорелова "Геометрия 7-11" на основе наглядно-конструктивного подхода.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные результаты исследования получили одобрение на:

- семинарах слушателей Ф1Ж при МПГУ им. В.И.Ленина (1995 г.),

- Вторых Есиповских чтениях (г. Глазов, 1996 г.),

- заседаниях кафедры алгебры и геометрии ГГПИ им. В.Г.Короленко (г. Глазов, 1993-1995 гг.),

- на методических объединениях учителей Юкаменской средней школы Юкаменского района Удмуртской Республики (1997-1998 гг.).

Результаты исследования используются учителями школ Удмуртской Республики.

Основное содержание диссертации нашло отражение в семи публикациях.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 115 страниц основного текста, 15 страниц библиографии и 7 страниц приложения.

Основное содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, определяются объект и предмет исследования, формируется проблема, гипотеза, цель и задачи исследования, раскрывается его научная новизна, практическая значимость, излагаются основные положения выносимые на защиту.

В первой главе "Теоретические основы наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе" дан анализ проблемы исследования с точки зрения с точки зрения психолого-педагогической и методической литературы; описан наглядно-конструктивный подход к преподаванию геометрии на основе опорных геометрических конструкций.

В первом параграфе "Сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе" проанализированы различные точки зрения на наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрии, представленные в психолого-педагогической и методической литературе.

Основные идеи наглядно-конструктивного подхода базируются на исследованиях Г.Д.Глейзера, ДЛ.Гуровой, М.Р.Дружинина, Б.М.Зазуляка, М.Мухаммадова, В.В.Орлова, Г.П.Сенникова, А.И.Тимофеева, Л.М.Фридмана, И.С.Якиманской, Л.Л.Якобсон и др. . -

На основе проведенного анализа сделаны следующие выводы:

1. В процессе формирования пространственных представлений должны участвовать, наряду с созерцанием, непосредственные манипуляции с моделями, проговаривание и мыслительные операции,

2. Преподавание стереометрии необходимо вести с привлечением материальных моделей многогранников и других пространственных фигур.

3. Примеиение пространственных моделей многогранников необходимо для правильного формирования графического представления о многогранниках.

4. Формирование и корректировка пространственных представлений конкретных видов многогранников может осуществляться в процессе непосредственной конструктивной работы по созданию моделей многогранников.

5. На первых этапах изучения стереометрии целесообразно использование непрозрачных моделей. Использование же каркасных моделей может привести к формированию неправильных представлений.

6. Опорные геометрические конструкции служат промежуточным звеном между теоретическим и задачным материалом.

Второй параграф "Основные пути реализации наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрического материала" является основным в нашем исследовании. В нем дано уточнение понятия наглядно-конструктивного подхода; дано наше понимание понятия опорной геометрической конструкции; выделены две опорные геометрические конструкции для изучения основных тем стереометрии и проанализированы их первичные свойства.

Исходя'из выводов сделанных по первому параграфу, дано следующее уточнение' понятия наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе:

Под наглядно-конструктивным подходом к изучению стереометрии мы понимаем преподавание стереометрии с использованием опорных геометрических конструкций (ОГК), которые позволяют проводить обучение на наглядной основе.

Суть подхода заключается в том, что на первых уроках стереометрии в 10 классе решаются задачи на конструирование многогранников, направленные на развитие и корректировку некоторого запаса пространственных представлений учащихся. В ходе решения этих задач формируются первичные представления о двух опорных геометрических конструкциях: произвольном тетраэдре и прямоугольном тетраэдре. После этого осуществляется переход к изучению основных тем стереометрии с применением в качестве иллюстративных моделей опорных геометрических конструкций и их модификаций. Теоретический материал разбирается на конструкциях, и в дальнейшем конструкции служат его носителем. Разобранные на конструкциях алгоритмы и способы решения задач позволяют облегчить процесс решения задач.

Выделены шесть форм наглядно-конструктивного подхода:

1) Первая форма характерна непосредственным конструированием моделей многогранников из картона. Данная форма работы проводится непосредственно перед изучением первых тем стереометрии. Она необходима для развития и корректировки некоторого запаса пространственных представлений учащихся.

2) Вторая форма заключается в сочетании конструирования и рисования. Учащиеся конструируют модель многогранника из картона, а затем производят его изображение. С помощью данной формы создаются опорные геометрические конструкции.

3) Третья форма предусматривает использование моделей многогранников в форме опорной конструкции, заключающей в себе основной теоретический материал темы. Изучаемые теоремы и аксиомы иллюстрируются на опорных геометрических конструкциях.

4) Четвертая форма наглядно-конструктивного подхода предусматривает определенную работу с моделями многогранников и их изображениями. На модели многогранника производятся определенные построения, а затем аналогичные построения производятся и на его изображении. Данная форма позволяет создавать модификации опорных геометрических конструкций, а также выявлять внутренние свойства многогранников.

5) Пятая форма заключается в разборе основных методов решения задач на опорных конструкциях. Конструкция становиться носителем не только теоретического материала, но и основных методов решения задач темы.

6) Шестая форма предусматривает использование опорных геометрических конструкций для решения стереометрических задач. Решение задачи заключается в непосредственном сведении к конструкции или в применении способа решения разобранного ранее на конструкции.

Под опорной геометрической конструкцией мы понимаем многогранник, модель которого создается учащимися самостоятельно под руководством учителя в ходе решения задач на конструирование и в дальнейшем используется для изучения теоретического и задачного материала.

ОГК должна удовлетворять следующим критериям:

- Конструкция создается для определенной темы или раздела стереометрии;

- Создание конструкции из подручных материалов не должно вызывать трудностей у учащихся и не должно занимать много времени;

- Теоретический материал темы может быть реализован на конструкции;

- Переход от теоретического материала к задачному может быть осуществлен с опорой на конструкции;

- Конструкция не должна быть навязанной искусственно, т.е. органически вытекать из теоретического и задачного материала курса;

- Количество ОГК должно быть ограниченным. Проанализировав теоретический и задачный материал основных тем

стереометрии, мы выделили две ОГК и четыре их модификации (по две для каждой конструкции).

Под модификацией конструкции мы понимаем ту же самую ОГК с проведенными на ней построениями. На рис. 1 представлены конструкции и их модификации.

Рис.1

Первая опорная геометрическая конструкция (рис.1-а) - это произвольный тетраэдр. Она используется при изучении аксиом и первых теорем стереометрии.

Вторая ОГК - прямоугольный тетраэдр (рис.1-г). Конструкция иллюстрирует все виды .перпендикулярности в пространстве.

Первая модификация ОГК-1 представляет из себя произвольный тетраэдр с отрезками, соединяющими середины боковых ребер (рис. 1-6). Модификация используется для иллюстрации параллельности в пространстве:

1) введения понятия параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей;

2) изучения признака параллельности прямой и плоскости и признака параллельности двух плоскостей.

Вторая модификация ОГК-1 - произвольный тетраэдр с отрезками, проведенными в его гранях, которые соединяют четыре середины двух пар

противолежащих ребер (рис.1-в). Модификация используется для иллюстрации признака параллельности прямых в пространстве.

Первая модификация ОГК-2 - прямоугольный тетраэдр с сечением проведенным параллельно одной из прямоугольных граней через середины его ребер (рисЛ-д). Она используется:

1) для введения понятия перпендикулярности двух плоскостей;

2) иллюстрации свойств перпендикулярности прямых и плоскостей.

Вторая модификация ОГК-2 имеет более сложное строение. Для нее

нам понадобится прямоугольный тетраэдр, у которого два ребра, выходящие из вершины прямого трехгранного угла, равны между собой. Поставим тетраэдр таким образом, чтобы два указанных равных ребра оказались в основании тетраэдра (два боковых ребра тетраэдра не перпендикулярные основанию будут также равны между собой). Отметим середину третьего оставшегося ребра тетраэдра лежащего в основании и соединим ее с двумя противолежащими вершинами тетраэдра (рис. 1-е). Данная модификация используется для изучения теоремы о трех перпендикулярах.

Далее в диссертации перечислены основные приемы работы с ОГК:

- построение моделей к теоремам и аксиомам;

- изучение основных способов решения задач на конструкции;

- включение элементов решаемой задачи в опорную конструкцию (дополнение до конструкции);

- поиск необходимого теоретического материала на основе аналогий со способом его применения на опорной конструкции;

- применение полученных при анализе конструкции инструкций или алгоритмов для решения задач;

- сведение ситуации в задаче или теореме к опорной конструкции в целом или ее части и выбор соответствующего этой части плана решения;

'- подведение под конструкцию или ее часть путем переформулирования всей задачи или ее части;

- введение взаимосвязей интересующих нас элементов и соотнесение с соответствующим образом связанными элементами конструкции.

Для выявления обьема научных знаний необходимого для успешного изучения понятия В.А.Гусев (Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Автореф.дисс...докт.пед.наук. -М.; 1990. - 39 с.) предлагает использование так называемых "цепочек новой информации". Он предлагает следующие виды цепочек:

а) "цепочки новой информации", связанные с изучением некоторого понятия и его свойств в рамках базового образования и в условиях различных форм дифференцированного обучения математике;

б) "цепочки задач, несущих новую (для ученика) информацию", о некотором понятии (объекте);

в) "цепочки задач", развивающих и углубляющих представления учащихся о том или ином понятии, обеспечивающих мотивацию учения на всех его этапах.

Основываясь на цепочке вида "а)" мы выявили первичные свойства опорных геометрических конструкций и их модификаций, необходимые для успешного изучения основных тем стереометрии.

Например, для правильного тетраэдра выделены свойства:

1. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины.

2. Каждое ребро тетраэдра принадлежит единственной прямой, каждая грань - единственной плоскости.

3. Каждая вершина тетраэдра является точкой пересечения трех прямых проходящих через его ребра и трех попарно пересекающихся плоскостей проходящих через его грани.

4. Каждая прямая проходящая через ребро тетраэдра содержит две его вершины и является прямой пересечения двух плоскостей проходящих через его грани.

5. Две плоскости проходящие через грани тетраэдра пересекаются по прямой проходящей через их общее ребро.

6. Не существует плоскости которая содержала бы все четыре вершины тетраэдра.

7. Прямые проходящие через противолежащие ребра тетраэдра не пересекаются и не лежат в одной плоскости, т.е. являются скрещивающимися.

Во второй главе "Методика реализации наглядно-конструктивного подхода при изучении основных разделов стереометрии в средней школе" излагаются вопросы возможности использования наглядно-конструктивного подхода в учебном процессе, представлены результаты педагогического эксперимента.

В первом параграфе "Методика введения опорных геометрических конструкций" представлена серия задач на конструирование опорных конструкций из плоских многоугольников.

На первом уроке стереометрии в 10 классе, перед изучением основного материала, учитель проводит вводную беседу с учащимися о предмете стереометрии, разбирает с учащимися на наглядном уровне следующие вопросы:

- понятие трехгранного угла;

- понятие прямого трехгранного угла, как трехгранного угла состоящего из трех плоских прямых углов;

- понятие тетраэдра, как фигуры полулающейся при пересечении трехгранного угла и плоскости;

- основные элементы тетраэдра;

- понятие прямоугольного тетраэдра, как тетраэдра имеющего прямой трехгранный угол;

- понятие развертки тетраэдра.

После этого с учащимися решается некоторое количество задач на конструирование многогранников. Количество задач выбирается учителем с учетом особенностей класса, уровнем развития учащихся и наличием учебного времени. Всего нами предложено двенадцать задач, их количество может быть дополнено учителем по его усмотрению.

Процесс решения задач должен закончиться созданием моделей опорных геометрических конструкций, которые представляют из себя своеобразные триады. Каждая триада состоит из следующих элементов: картонная разворачивающаяся модель тетраэдра, изображение развертки этой модели и изображения самого тетраэдра. Вторые два элемента триады производятся на отдельном листе картона формата АЗ, а разворачивающаяся модель может крепится к нему с помощью канцелярской скрепки. Изготовленные модели опорных геометрических конструкций используются для дальнейшего изучения стереометрии.

Во втором параграфе "Методика использования опорных конструкций при изучении основных разделов стереометрии" рассматривается методика применения наглядно-конструктивного подхода к изучению трех основных тем стереометрии по учебнику А.В.Погорелова "Геометрия 711": "Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия", "Параллельность прямых и плоскостей" и "Перпендикулярность прямых и плоскостей". .

При изучении аксиом стереометрии и первых теорем используется ОГК-1. Основной теоретический материал может быть разобран на конструкции. Покажем как это делается для первой аксиомы стереометрии С], которая говорит о том, что для любой плоскости в пространстве есть точки пространства, как принадлежащие данной плоскости, так и ей не принадлежащие.

Иллюстрацией аксиомы являются плоскость пола и точка пересечения стен и потолка, плоскость земли и точка лежащая в вершине дерева и т.д. После приведения примеров из окружающей действительности, учитель на модели тетраэдра ОГК-1 выясняет совместно с учащимися вопрос о том, можно ли на ней проиллюстрировать аксиому Сь Оказывается, что можно,

грань тетраэдра и противолежащая ей вершина являются моделью первой стереометрической аксиомы. Далее необходимо предложить учащимся выяснить вопрос о том, сколько различных моделей аксиомы можно представить на ОГК-1. Всего их четыре и все они выявляются простым перечислением. На доске рисует тетраэдр АВСО и записываются все возможные случаи.

Аналогичным образом на тетраэдре иллюстрируются остальные аксиомы стереометрии и условия первых теорем.

После этого, конструкция используются в процессе поиска доказательства теорем и задач данного параграфа. В основном основная идея поиска доказательства сводится к рассмотрению конфигурации заданных в условиях задач на конструкции.

При изучении параллельности в пространстве теоретический материал также рассматривается на конструкции. На произвольном тетраэдре, представленном на рис. 1 -а, нет возможности иллюстрации параллельности в пространстве, в связи с этим мы его модифицируем.

Первая модификация ОГК-1 позволяет ввести понятия всех видов параллельности в пространстве - между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Рассмотрим, к примеру, параллельность плоскостей.

Отрезки, соединяющие середины боковых ребер тетраэдра, лежат в одной плоскости. Это нетрудно доказать, используя третью аксиому стереометрии. Плоскость, проходящая через середины боковых ребер тетраэдра, либо пересекать плоскость основания тетраэдра, либо ее не пересекать. В аналогично, любые две прямы в пространстве либо пересекаются, либо не пересекаются. Если мы найдем в пространстве две непересекающиеся плоскости, то мы будем называть их параллельными плоскостями. После этого доказывается, что плоскость, проходящая через середины боковых ребер, параллельна плоскости основания. Доказательство этого факта позволяет утверждать, что в пространстве существуют параллельные плоскости в пространстве.

Первая модификация ОГК-1 используется также и для иллюстрации теорем. Пример такого использования представлен на рис.2. На нем представлена модель условия теоремы 16.1 из данного параграфа. В теореме говорит о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Необходимо требовать от учащихся умения формулировать условие теоремы по рис.2. Составление анало- Рис.2 гичных моделей условий теорем можно давать для само-

стоятельного выполнения.

Для иллюстрации теоремы 16.2 (признак параллельности прямых) используется вторая модификация ОГК-1. Ни ОГК-1, ни первая ее модификация, не могут проиллюстрировать заданную в условии теоремы конфигурацию.

Для введения перпендикулярности в пространстве используется ОГК-2 и две ее модификации, которые включают всю сущность перпендикулярности в пространстве. Покажем пример использования первой модификации ОГК-2 для введения перпендикулярности двух плоскостей.

Напомним, что две плоскости пересекающиеся две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если любая плоскость перпендикулярная их линии пересечения пересекает их по перпендикулярным прямым. И плоскость основания, и плоскость сечения тетраэдра (рис.1-д) удовлетворяют всем указанным требованиям. По этому, перед введением понятия перпендикулярности двух плоскостей модификации, а затем дадим определение предлагаемое в учебнике. После этого разбирается следующий факт: сечение, проведенное параллельно одной из прямоугольных граней прямоугольного тетраэдра, пересекает две другие его прямоугольные грани по перпендикулярным прямым.

Для решения задач составляются их серии, основной способ решения которых рассматривается на конструкции. Приведем для примера фрагмент такой серии.

Задача 1. Прямоугольный тетраэдр ABCD с прямым трехгранным углом А. АВ = АС = 1/2 АС. Вычислить оставшиеся ребра тетраэдра.

Задача 2. Дан прямоугольный тетраэдр ABCD. Вершина А является вершиной прямого трехгранного угла. АВ = а, АС = b, AD = с. Найдите оставшиеся ребра тетраэдра.

Задача 3. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетом а и гипотенузой b восстановили перпендикуляр длиной с. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника.

Задача 4. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин В и С, если АВ = а, ВС = Ъ, AD = с.

Основной метод, применяемый для решения данной серии, - это применение теоремы Пифагора (несколько раз). В первых двух задачах описана по сути ОГК-2. Третья задача также сводиться ко второй конструкции. Для решения четвертой задачи необходимо применение метода описанного в первых трех задачах. Цепочка на этой задаче не заканчивается.

Далее данный способ решения применяется для задач представленных в учебнике.

В третьем параграфе "Педагогический эксперимент и основные его результаты" описывается экспериментальная проверка предложенных методических рекомендаций.

Формирующий эксперимент проводился в 1997-98 учебном году в пяти 10 классах Юкаменской средней школы Юкаменского района Удмуртской Республики (учителя - В.В.Щепина и Л.И.Бортникова).

Результаты формирующего эксперимента позволили сделать вывод о том, что изучение стереометрического материала на основе наглядно-конструктивного подхода с использованием опорных геометрических конструкций является возможным. Разработанные нами две опорные геометрические конструкции и четыре их модификации позволяют повысить эффективность усвоения курса стереометрии в 10 классе: Кроме того, предлагаемые нами задачи на конструирование моделей многогранников развивают пространственные представления учащихся.

Таким образом, применение учителем наглядно-конструктивного подхода создает благоприятные условия для успешного усвоения курса стереометрии в 10 классе, а также позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся в процессе обучения и повысить их интерес к изучению стереометрии.

В заключении диссертации приводятся итоги исследования, формулируются общие выводы и научно-практические рекомендации.

В ходе теоретико-экспериментального исследования проблемы были получены следующие результаты:

1. Выявлена роль, значение и сущность наглядно-конструктивного подхода к преподаванию геометрии.

2. Выявлена роль опорных конструкций как основы наглядно-конструктивного подхода. Сформулированы основные требования предъявляемые к опорным геометрическим конструкциям.

3. Разработана методика применения наглядно-конструктивного подхода к изучению основных тем стереометрии в 10 классе. Предложены задачи на конструирование моделей многогранников из плоских многоугольников, позволяющие развивать пространственные представления учащихся.

4. Экспериментальная проверка методики обучения стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода подтвердила справедливость исходных методических идей и доказала эффективность дидактических средств. Реализованные в исследовании методы математической обработки, полученных в эксперименте данных, дают положительную оценку

предложенной методики и подтверждают достоверность выдвинутой гипотезы.

По теме исследования опубликованы следующие работы:

1. Основные идеи наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в старших классах средних общеобразовательных школ //Актуальны проблемы школьной и вузовской педагогики. Вторые Еси-повские чтения: Тезисы докладов. - Глазов: ГГПИ им. В.Г.Короленко, 1996. - С.78-79.

2. Наглядно-конструктивный подход в обучении стереометрии в средней школе //Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина. Серия: Естественные науки. - М.: Прометей, 1996. - С.44-45. (В соавторстве).

3. Один из методов решения стереометрических задач конструктивного характера //Проблемы школьной и вузовской педагогики: Сборник статей. - Глазов: ГТПИ им.В.Г.Короленко, 1997. - С.89-92

4. Один из подходов формирования понятия опорной геометрической конструкции на начальном этапе преподавания стереометрии //Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.ИЛенина. Серия: Естественные науки. - М.: Прометей, 1997.

- С.244-245.

5. Один из путей ликвидации затруднений учащихся на первых этапах изучения стереометрии в старших классах //Ненасилие как условие развития творческой личности. Межвузовская научная конференция: Тезисы докладов. Часть I. - Елец: ЕГПИ, 1997. - С.212-213.

6. Наглядно-конструктивное изучение стереометрии //Проблемы вузовской и школьной педагогики: Материалы научно-практической конференции "Третьи Есиповские чтения". - Глазов: ГГПИ им. В.Г.Короленко, 1998. - С.186-188.

7. Тетраэдр из треугольника и квадрата //Математика в школе. -1998.

- №4. - С.24-27,

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Щепин, Олег Николаевич, 1999 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Теоретические основы наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в средней школе.

§ 1. Сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе.

§2. Основные пути реализации наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрического материала.

Глава II. Методика реализации наглядно-конструктивного подхода при изучении основных разделов стереометрии в средней школе.

§ 1. Методика введения опорных геометрических конструкций.

§2. Методика использования опорных конструкций при изучении основных разделов стереометрии.

§3. Педагогический эксперимент и его основные результаты.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрии в старших классах средней школы"

В последние годы, в связи с перестройкой средней школы, значительно возрос интерес к проблемам преподавания геометрии в школе. В условиях профильной и уровневой дифференциации по-новому встает вопрос о целях и задачах преподавания геометрии и в частности стереометрии. В связи с этим изменяется подход к проблемам преподавания. Процесс преподавания становится ориентированным на личность учащегося.

Вопросам преподавания стереометрии в средней школе всегда уделялось достаточно большое внимание, но многие вопросы остаются неразрешенными до сих пор. Тестирование учителей г.Пензы проведенное О.В.Шереметьевой ([133]), наш личный опыт приема вступительных экзаменов в Глазовском государственном педагогическом институте, публикации отчетов о вступительных экзаменах, публикуемые в журнале "Математика в школе" за последние годы, показывают, что учащиеся испытывают значительные трудности при решении стереометрических задач, связанных, в основном, с недостаточным развитием их пространственных представлений.

Проблемами развития пространственных представлений учащихся занимались следующие специалисты: А.Д.Александров, С.Б.Верченко, Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, В.А.Гусев, Е.Н.Кабанова-Меллер, В.Н.Литвиненко, Б.Ф.Ломов, Л.А.Минасян, Г.П.Сенников, Н.Ф.Талызина, Н.Ф.Четвертухин, И.Ф.Шарыгин, И.С.Якиманская, Л.Л.Якобсон, и др.

В процессе формирования пространственных представлений принимают участие, в той или иной мере, все органы чувств. Как отмечает Г.Д.Глейзер: "В системном механизме восприятия пространства ведущую роль играют зрительно - вестибулярно - кинестетические взаимосвязи, которые являются стержнем, объединяющим все органы чувств в отражении пространства" ([28], С.43). В связи с этим, в процессе формирования пространственных представлений необходимо использовать совместно с простым созерцанием и. непосредственные манипуляции с материальными предметами и моделями, а также проговаривание указанных действий и определенную умственную работу ([139]).

Проблема развития пространственных представлений тесно связана с проблемой наглядности в обучении. Проблемами наглядности занимались следующие специалисты: В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, В.Р.Ирина, Т.Н.Карпова, Е.М.Кондрушенко, А.А.Новиков, А.А.Постнов, В.В.Репьев, Г.П.Сенников, Е.И.Смирнов, Л.М.Фридман, Т.Ф.Фролова и др.

Л.М.Фридман считает, что наглядность - это особое свойство психических образов, создаваемых в процессе восприятия, памяти, мышления и воображения при познании объектов окружающего мира ([121], С.21-22). Он дает такую формулировку: наглядность - это понимание и активность.

В.Г.Болтянский выдвигает свою формулу наглядности - изоморфизм плюс простота. Изоморфизм понимается как идентичность структур: "две модели изоморфны, если, отвлекаясь от всех свойств этих моделей, не связанных с рассмотрением имеющихся в них предикатов, мы можем сказать, что эти модели "устроены" совершенно одинаково (по существу неразличимы)" ([15], С.51). Таким образом, проблема наглядности тесно связана с понятием модели и моделирования.

Г.П.Сенников предложил для изучения геометрии использовать так называемый наглядно-конструктивный подход. Он заключается в еледующем: " учитель поясняет свойство фигуры на модели, показывает его на чертеже, ученики моделируют или выполняют ее построение определенными инструментами. Если изучается отношение геометрических фигур, то сперва демонстрируется на моделях, ученики тоже манипулируют моделями, а потом выполняют геометрические построения. На определенном этапе обучения остается только демонстративная модель и построения, затем только построения инструментами, наконец, отказаться и от них, перейдя к рисункам и мысленным построениям" ([106], с.81-82). Детальной разработки наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии Сенниковым Г.П. не произведено.

Как известно, пространственные представления развиваются в процессе изучения стереометрического материала, т.е. решения определенного круга стереометрических задач. На это указывают Л.А.Минасян, В.В.Орлов, И.Ф.Шарыгин, О.В.Шереметьева и др. Но для решения стереометрических задач необходим определенный уровень развития пространственных представлений. Значит, перед изучением стереометрии необходима определенная работа для создания определенного запаса пространственных представлений, их корректировке. Как отмечает ряд авторов, корректировку пространственных представлений можно осуществлять двумя способами: 1) непосредственной работой с конкретными моделями (Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, И.С.Якиманская и др.), 2) с помощью логических рассуждений (Е.М.Кондрушенко, М.Мухаммадов, О.В.Шерементьева и др.). Причем, как отмечает Л.Л.Гурова, второй путь неуместен на начальном этапе изучения стереометрического материала, если пространственные представления учащихся еще не достаточно развиты.

И.Ф.Шарыгин отмечает, что для успешного решения геометрических задач необходимы три слагаемых: умение правильно и быстро производить чертеж к задаче, оперирование методом решения (в основном аналитическим) и некоторый запас опорных задач, который позволяет осуществить переход от теоретического материала к задачному. О необходимости использования опорных (базисных, элементарных, ключевых) задач для решения геометрических задач, изучения геометрии говорят: И.Г.Габович, Т.В.Гришина, Г.Д.Зайцева, Ю.А.Розка, М.Е.Тимощюк, А.Я.Цукарь, И.Ф.Шарыгин и др.

Детальной разработки преподавания стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода не произведено. Нет единого построения изучения курса стереометрии в школе на идеях перечисленных выше.

Объектом исследования является процесс обучения стереометрии в старших классах средней школы.

Предметом исследования является разработка наглядно-конструктивного подхода к изучению основных тем стереометрии в старших классах средних школ на основе опорных геометрических конструкций.

Цели нашего исследования заключаются в следующем:

1) Выявить опорные геометрические конструкций на основе анализа курсов стереометрии;

Цель и предмет определили ряд конкретных задач исследования:

4. Провести экспериментальную проверку полученных результатов.

Решение поставленных задач потребовало привлечение следующих методов исследования: изучение психолого-педагогической и философской литературы по проблеме исследования; наблюдение за деятельностью учителей и учащихся при изучении геометрии, анализ результатов наблюдения; изучение и анализ письменных работ учащихся; проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования.

Исследование проводилось с 1993 по 1998 год.

Научная новизна и теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней:

1) определена сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии;

2) разработаны требования к опорным геометрическим конструкциям;

3) разработана методика использования опорных геометрических конструкций, которая состоит в том, что в ходе изучения стереометрии используются: а) серии задач, связанные с изучением многогранников; б) серии задач, связанные с изображениями многогранников; в) серии задач связанные с конструированием многогранников из развертки.

Практическая значимость исследования заключается в том, что оно предлагает учителю математики 10-11 классов методику организации преподавания стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода с использованием опорных геометрических конструкций и соответствующие к ней рекомендации, которые позволяют обеспечить наглядность процесса обучения. Результаты исследования позволяют совершенствовать методику преподавания геометрии в 10-11 классах. На защиту выносятся:

1) Основные требования, предъявляемые к наглядно-конструктивному подходу для изучения стереометрии в старших классах средней школы.

3) Методика изучения основных тем стереометрии по учебнику

A.В.Погорелова "Геометрия 7-11" на основе наглядно-конструктивного подхода.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования получили одобрение на семинарах слушателей ФПК при МПГУ им. В.И.Ленина (1995 г.), Вторых Есиповских чтениях (г. Глазов, 1996 г.), заседаниях кафедры алгебры и геометрии ГГПИ им.

B.Г.Короленко (г. Глазов, 1993-1995 гг.), на методических объединениях учителей Юкаменской средней школы Юкаменского района Удмуртской Республики (1997-1998 гг.). Результаты исследования используются учителями школ Удмуртской Республики.

Основное содержание диссертации нашло отражение в семи публикациях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы.

Изучение стереометрического материала на основе наглядно-конструктивного подхода с использованием опорных геометрических конструкций является возможным. Разработанные нами две опорные геометрические конструкции и четыре их модификации позволяют повысить эффективность усвоения курса стереометрии в 10 классе.

Кроме того, предлагаемые нами задачи на конструирование моделей многогранников развивают пространственные представления учащихся.

Таким образом, применение учителем наглядно-конструктивного подхода создает благоприятные условия для успешного усвоения курса стереометрии в 10 классе, а также позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся в процессе обучения, повышает интерес учащихся.

Экспериментальная проверка методики обучения, на основе наглядно-конструктивного подхода, подтвердила справедливость исходных методических идей и доказала эффективность дидактических средств. Реализованные в исследовании методы математической обработки полученных в эксперименте данных дают положительную оценку предложенной методики и подтверждают достоверность полученных результатов.

Заключение

В ходе теоретико-экспериментального исследования проблемы были получены следующие результаты:

1. Выявлена роль, значение и сущность наглядно-конструктивного подхода к преподаванию геометрии который сводится к следующему:

1) На первых уроках стереометрии в 10 классе решается ряд задач на конструирование многогранников, направленных на развитие и корректировку некоторого запаса пространственных представлений учащихся. В ходе решения этих задач создаются модели опорных геометрических конструкции;

2) После этого осуществляется переход к изучению основных тем стереометрии с применением в качестве иллюстративных моделей опорных геометрических конструкций и их модификаций. Теоретический материал разбирается на конструкциях, и в дальнейшем конструкции служат его носителем. Разобранные на конструкциях алгоритмы и способы решения задач позволяют обучать учащихся поиску решения задач. Опорные конструкции становятся связующим звеном между теоретическим и задач-ным материалом.

Выявлены шесть форм наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрического материала:

1) Первая форма характерна непосредственным конструированием моделей многогранников из картона.

2) Вторая форма заключается в сочетании конструирования и рисования.

3) Третья форма предусматривает использование моделей многогранников в форме опорной конструкции, заключающей в себе основной теоретический материал темы.

4) Четвертая форма предусматрйвает определенную работу с моделями многогранников и их изображениями в ходе которой на них производятся соответствующие построения.

5) Пятая форма заключается в разработке основных методов решения задач на опорных конструкциях.

6) Шестая форма предусматривает использование опорных геометрических конструкций для решения стереометрических задач.

- Конструкция создается для определенной темы или раздела стереометрии;

- Теоретический материал темы может быть реализован на конструкции;

- Переход от теоретического материала к задачному может быть осуществлен с опорой на конструкции;

- Конструкция не должна быть навязанной искусственно, т.е. органически вытекать из теоретического и заданного материала курса;

- Количество ОГК должно быть ограниченным.

На основе анализа содержания курса стереометрии выявлены две опорные геометрические конструкции: произвольный тетраэдр и прямоугольный тетраэдр, и четыре их модификации; выявлены первичные свойства конструкций, позволяющие включать их в изучение стереометрического материала, разработаны основные способы работы с конструкциями на уроках.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Щепин, Олег Николаевич, Москва

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики /Пер. с франц. М.А.Шаталовой и О.П.Шаталова, под ред. И.Б.Погребысского. - М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

2. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть вторая стереометрия. Пособие для учителей средней школы. 3-е изд. - М.: Учпедгиз, 1958. -760 с.

3. Адыгезалов А.С. Взаимосвязь обучения стереометрии и черчения в средней школе: Дисс.канд.пед.наук. Баку; 1980. - 151 с.

4. Азевич А.И. Осевые сечения правильных пирамид //Математика в школе. 1996. - №4. - С.7-10.

5. Александров А.Д. Что такое многогранник? //Математика в школе. -1981.- №1-С.8-16.

6. Александров А.Д. Что такое многогранник? //Математика в школе. 1981. - №2-С. 19-26.

7. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 1011 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. туч. математики. 4-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1994. - 464 с.

8. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учеб. пособие. -М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. 672 с.

9. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. 2-е изд. -М.: Просвещение, 1993. - 207 с.

10. Барыбин К.С. Геометрия: Учеб. пособие для 9-11 классов вечерней (сменной) школы. 7-е изд. - М.: Просвещение, 1973. - 304 с.

11. Башмаков М.И., Резник Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики //Математика в школе. -1991. №1 - С.4-8.

12. Блох А .Я., Гусев В.А., Дорофеев Г.В. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика /Сост. Мишин В.И. -М.: Просвещение, 1987. 416 с.

13. Болтянский В.Г. Формула наглядности; изоморфизм плюс простота//Советская педагогика. 1970. - №5. - С.46-60.

14. Болтянский В.Г. Кабинет математики. М.: Педагогика, 1972. -163 с.

15. Брушлинский А.В. Субъект: мышление, учение, воображение. -М.: Издательство "Институт практической психологии"; Воронеж: НПО "Модек", 1996.- 392 с.

16. Бурцева Т.Н. И снова к задачам на построение //Математика в школе.- 1995.-№3-С.35,36.

17. Васильева В.А., Забелина С.Б. Выход в пространство в курсе геометрии IX класса //Математика в школе. 1996. - №3 - С.21-24.

18. Веннинджер М. Модели многогранников /Пер. с англ. В.В.Фирсова, под ред. И.М.Яглома. М.: Мир, 1974. - 236 с.ч

19. Возрастная и педагогическая психология: Учебник для студентов пед. институтов /В.В.Давыдов, Т.В.Драгунова, Л.Б.Ительсон и др. Под ред. А.В.Петровского. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1979. - 288 с.

20. Воронько Т.А. Дидактическая роль теоретических знаний в развитии пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии: Дисс.канд.пед.наук. М.; 1992. - 203 с.

21. Выгодский JI.C. Собрание сочинений: В 6-ти т. Т.4. Детская психология. Под ред. Д.Б.Эльконина. М.: Педагогика, 1984. - 432 с.

22. Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н. Стереометрия: Задачник к школьному курсу. М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998. - 128 с.

23. Гальперин П.Я. К вопросу о внутренней речи //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995, с.23-31.

24. Гарднер М. Математические новеллы /Пер. с англ. Ю.А.Данилова, под ред. Я.А.Смородинского. М.: Мир, 1974. - 456 с.

25. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия /Пер. с нем. 3-е изд. - М.: Наука, 1981.- 344 с.

26. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии //Математика в школе. 1991. - №4. - С.68-71.

27. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978. - 104 с.

28. Годфруа Ж. Что такое психология: В 2-х т. Т.1 /Пер. с франц. Н.Н.Алипова, Ф.В.Пегелау, Т.Я.Эстриной, под ред. Г.Г.Аракелова. М.: Мир, 1992.-496 с.

29. Годфруа Ж. Что такое психология: В 2-х т. Т.120 /Пер. с франц. Н.Н.Алипова, Ф.В.Пегелау, Т.Я.Эстриной, под ред. Г.Г.Аракелова. М.: Мир, 1992.-376 с.

30. Гончаренко Б.Г. Задачи и вопросы по стереометрии (для устного решения). М.: Просвещение, 1964. - 96 с.

31. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. -М.: Педагогика, 1977. 136 с.

32. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

33. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе //Математика в школе. 1990. - №4 - С.27-31.

34. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? Часть 1. -М.: Авангард, 1994. 168 с.

35. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Автореф.дисс.докт.пед.наук. М.; 1990.- 39 с.

36. Гусев В.А. Цели обучения математике в средней школе //Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе. Выпуск 1.-М.: "Прометей", 1992. С.3-23.

37. Гурова JI.JI. Психологический анализ решения задач. Воронеж: Изд. Воронежского университета, 1976.- 328 с.

38. Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии //Математика в школе. 1995. - №6 - С.16-21.

39. Дорофеев Г.В., Кузнецова JI.B., Суворова С.Б., Фирсов В.В. Дифференциация в обучении математике//Математика в школе. 1990. - №4 - С. 15-21.

40. Дружинин М.Р. Проявление индивидуальных различий в развитии пространственных представлений учащихся при усвоении геометрических знаний: Автореф.дисс.кан.психолог.наук. Ташкент; 1972. - 20 с.

41. Дутарова Д.Ц. Взаимосвязь методики изучения геометрических построений в 4-6 классах с выполнением учебных заданий по трудовому обучению учащихся. Дисс.канд.пед.наук. - М.; 1980, - 224 с.

42. Дуничев К.И. О методике преподавания первых разделов систематического курса стереометрии //Лекции по методике преподавания математики. М.: МГПИ, 1978, - С.49-58.

43. Зазуляк Б.М. Формирование геометрических представлений и развитие пространственного воображения учащихся (на материале наглядности по геометрии): Автореф.дисс.канд.пед.наук. Киев; 1971. - 20 с.

44. Захарова А.В. Психология обучения старшеклассника. М.: Знание, 1976. - 64 с. - /Серия "Педагогика и психология", №9.

45. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе: (Метод, рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В.Погорелова). Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1985. - 176 с.

46. Избранные лекции по методике преподавания математики. М.: Прометей, 1993. - 117 с.

47. Ирина В.Р., Новиков А.А. В мире научной интуиции. М.: Наука, 1978, - 102 с.

48. К концепции школьного математического образования //Математика в школе. 1989. - №2. - С.20-30.

49. Кабанова-Меллер Е.Н. Роль образа в решении задач //Вопросы психологии. 1970. - №5 - С. 122-130.

50. Капралов Г.И., Сенников Г.П. Наглядно-конструктивное изучение планиметрии в VII классе //В помощь учителю математики. Редакционная коллегия: Г.П.Сенников, М.М.Тоненкова, Н.А.Заборонков. Горький. -1975.-С.23-40.

51. Карпова Т.Н. Наглядное обучение математике как эффективный процесс формирования математических знаний школьников. Дисс.канд.пед.наук. Ярославль; 1995. - 158 с.

52. Киселев А.П. Геометрия. Часть вторая. Учебник для 9-10 классов средней школы. 9-е изд. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1947. -88 с.

53. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. Учеб. пособие для 10-го класса. М.: Просвещение, 1976. - 144 с.

54. Кон И.С. Психология старшеклассника. М.: Просвещение, 1980. -192 с.

55. Кондрушенко Е.М. Развитие интуиции на уроках стереометрии //Математика в школе. 1991. - №5 - С. 14-15.

56. Кондрушенко Е.М. Формирование пространственных представлений в связи с развитием логического мышления учащихся при изучении начал стереометрии: Дисс.канд.пед.наук. М.; 1993. - 197 с.

57. Коровина В.Г. Задачи на развертки как одно из средств развития конструктивных навыков школьников //Проблемы совершенствования преподавания математики в средней школе: Межвузовский сборник научных трудов. М.: МГПИ им.В.И.Ленина, 1986. - С. 190-202.

58. Коровина В.Г. Развитие конструктивных умений //Передовой опыт преподавания математике в школе и профтехучилище. Выпуск 1. Обучение математике: как и зачем? М.; 1993. С.86-91.

59. Коровина В.Г. Развитие конструктивных умений и навыков учащихся IX-X классов как составная часть политехнического обучения //Математика в школе. 1987. - №1. - С. 18-21.

60. Коровина В.Г. Развитие конструктивных умений и навыков учащихся IX-X классов средней школы в процессе решения геометрических задач: Дисс.канд.пед.наук. М.; 1987. - 186 с.

61. Крежевских Л.Т. О развитии пространственного мышления в процессе преподавания стереометрии //Актуальные проблемы школьной и вузовской педагогики: Материалы Первых Есиповских чтений. Глазов; 1994.-С.42-44.

62. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 432 с.

63. Крутецкий В.А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ. М.: Просвещение, 1980. - 352 с.

64. Кульмуратов Т.Ф. Изучение выпуклых фигур в средней школе: Дисс.канд.пед.наук. Ташкент: Джизак, 1988. - 157 с.

65. Левитас Г.Г. Фузионизм в школьной геометрии //Математика в школе. 1995. - №6 С.21-26.

66. Леонтьев Л.Н. О некоторых психологических вопросах сознательности учения //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995, с.5-23.

67. Лисова М.И. Обучение учащихся средней школы решению задач на многогранники. Автореф.дисс.канд.пед.наук. Минск; 1985. - 20 с.

68. Литвиненко В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1991. - 127 с.

69. Литвиненко В.Н. Стереометрия в типовых задачах: Книга для учителя. М.: Школа-Пресс, 1995. - 320 с. /(Библиотека журнала "Математика в школе").

70. Литвиненко И.Л. К проблеме организации внеклассной работы в VI-VII классах //Математика в школе. 1993. - №4 - С.59-61.

71. Ломов Б.Ф. Особенности развития представлений о пространстве в процессе первоначального обучения черчению //Известия АПН РСФСР. -Выпуск 86. М.; 1956. - С.207-221.

72. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 212 с.

73. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика /В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Санинская. М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

74. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика /А.Я.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др. М.: Просвещение, 1985. -336 с.

75. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика /А.Я.Блох, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев и др. Сост. В.И.Мишина. -М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

76. Минасян JI.A. О формировании некоторых пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии //Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей /Сост. О.А.Боковнев, -М.: Просвещение, 1982. 223 с.

77. Минасян JI.A. Развитие пространственных представлений учащихся IX X классов средней школы в процессе обучения геометрии: Дисс.канд.пед.наук. - Ереван; 1983. - 164 с.

78. Мишин В.И. Учитесь обучать решению геометрических задач. -М; 1993.- 57 с.

79. Мищенко Т.М. Методика заключительного повторения курса планиметрии на основе базовых геометрических конфигураций: Дисс.канд.пед.наук. М.; 1989. - 150 с.

80. Моиз Э.Э. и Дауне Ф.Л., мл. Геометрия /Пер. с англ. И.А.Вайнштейна, под ред. И.М.Яглома. М.: Просвещение, 1972. - 622 с.

81. Мухаммедов М. Формирование пространственных представлений учащихся в курсе геометрии старших классов средней школы: Авто-реф.дисс.канд.пед.наук. Ташкент; 1979. - 24 с.

82. Орлов В.В. Обучение решению стереометрических задач. Л: Ленинградский городской институт усовершенствования учителей, 1991. -39 с.

83. Орлов В.В. Организация самостоятельного поиска решения стереометрических задач с помощью опорных конструкций: Дисс.канд.пед.наук. Л.; 1990. - 171 с.

84. Пардала А. О системе задач для формирования пространственных представлений //Математика в школе. 1993. - №5 - С. 14-17.

85. Пардала А., Свобода Э. Об ошибках при выполнении и использовании геометрических чертежей //Математика в школе. 1994. - №1 -С.35-36.

86. Пардала А. Тест как средство исследования пространственного воображения //Математика в школе. 1995. - №3 - С.75-80.

87. Перлз Ф.С. Внимание и сосредоточение //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С. 109-115.

88. Петров С.В. Система упражнений на развитие пространственных представлений и пространственного воображения при изучении начал стереометрии в восьмилетней школе ив IX классе: Авто-реф.дисс.канд.пед.наук. Л.; 1974. - 20 с.

89. Пиаже Ж. Избранные психологические труды /Пер. с фр. A.M. Пятигорского и др., пер. с англ. Н.Г. Алексеева. М.: Международная педагогическая академия, 1994. - 680 с.

90. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред, шк.- М,: Просвещение, 1990. 384 с.

91. Поляков А.Н. Модель, развертка и чертеж в процессе преподавания стереометрии в средней школе: Дисс.канд.пед.наук. Ростов-на-Дону; 1954.- 309 с.

92. Постнов А.А. Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся восьмилетней школы с применением средств наглядности (на стереометрическом материале). Авто-реф.дис.канд.пед.наук. М.; 1966. -128 с.

93. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 288 с. - /Библиотека мат. кружка.

94. Программы средней общеобразовательной школы. Математика. -М.: Просвещение, 1991. 128 с.

95. Психологический словарь /Под ред. В.П.Зинченко, Б.Г.Мещерякова. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997. -440 с.

96. Психология решения учащимися производственно-технических задач /Под. ред. Менчинской Н.А. М.: Просвещение, 1965. - 225 с.

97. Репьев В.В. О наглядности в преподавании стереометрии //Вопросы методики преподавания стереометрии. Ученые записки Горь-ковского государственного педагогического института им. М.Горького. Выпуск 32. Горький; 1961, - С.52-67.

98. Репьев В.В., Сенников Г.П., Тоненкова М.М. О преподавании математики в IV классе. Горький: Волго-Вятское книжное издательство, 1967. - 112 с. (Методическое пособие в помощь учителю математики).

99. Рийвес З.Ю. Исследование изображений многогранников и их применение в учебном процессе. Автореф.дис.канд.пед.наук. М.;1967. -18 с.

100. Саранцев Г.И. Обучение решению задач на построение сечений многогранников //Математика в школе. 1991. - №5 - С.35-40.

101. Сенников Г.П. Задачи на построение в школьном курсе стереометрии //Вопросы методики преподавания стереометрии. Ученые записки Горьковского Государственного педагогического института им. М.Горького. Выпуск 32. Горький; 1961. - С. 111-159.

102. Сенников Г.П. Методика обучения решению задач на построение в VI-VIII классах: Автореф.дисс.канд.пед.наук. -Москва-Горький; 1953. 18 с.

103. Сенников Г.П. Наглядно-конструктивное изучение школьной планиметрии. Горький; 1970. - 276 с.

104. Сенников Г.П. Наглядные средства для изучения геометрии в VI классе // Математика в школе. 1982. - №5. - С.45-48.

105. Сенников Г.П. Образование геометрических понятий в 4 классе //Из опыта преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1979.-С.51-78.N

106. Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике: Монография. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1998. - 313 с.

107. Смирнова И.М. В мире многогранников: Книга для учащихся. -М.: Просвещение, 1995. 144 с.

108. Смирнова И.М. Интерес и его измерение на уроках математики //Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе. Выпуск I. М.: Прометей, 1992. - С.73-79.

109. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: Монография. М.: Прометей, 1994. - 152 с.

110. Столяр А.А. Методы обучения математике. Минск: Вышей-шая школа, 1966. - 191 с.

111. Талызина Н.Ф. Общий анализ учебного процесса //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С.31-44.

112. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание, 1983. - 96 с.

113. Тимофеев А.И. Методика взаимосвязанного изучения начал стереометрии и многогранников: Автореф.дисс.канд.пед.наук. Ташкент; 1968.-26 с.

114. Тихомиров O.K. Понятие "цель" и "целеобразование" в психологии //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С.66-82.

115. Файзуллаев А. Конструктивные методы в школьном курсе геометрии как средство осуществления связи теории с практикой: Авто-реф.дисс.канд.пед.наук. Минск; 1986. - 20 с.

116. Федосеева З.Р. Формирование пространственных представлений учащихся в курсе планиметрии. Методические рекомендации для студентов физико-математического факультета. Ульяновск: УлГПУ им.И.Н.Ульянова, 1997. - 34 с.

117. Фридман JI.M., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. - 288 с.

118. Фридман JI.M. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 1984. - 80 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия "Педагогика и психология "; №6).

119. Фролова Т.Ф. Роль наглядных представлений в преподавании дедуктивного курса геометрии: Дисс.канд.пед.наук. М; 1988. - 208 с.

120. Фролова Т.Ф. Роль наглядных представлений при изучении первых разделов планиметрии //Математика в школе. 1989. - №1 - С. 3945.

121. Цветкова Л.С. Психологические возможности человека и проблемы обучения //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С.121-125.

122. Чернышева Л.Ю. Первые уроки стереометрии //Математика в школе. 1986.-№1.-С.34-36.

123. Четвертухин Н.Ф. Вопросы формирования и развития пространственных представлений и пространственного воображения учащихся. -М.; 1949.- 178 с.

124. Четвертухин Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: Пособие для учителей и студентов. М.: Учпедгиз, 1958. - 216 е.

125. Чистякова Г.Д. Понимание и усвоение знаний //Хрестоматия по педагогической психологии: Учебное пособие для студентов. Сост. А.И.Красило и А.П.Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С.93-105.

126. Шарыгин И.Ф., Голубева В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс. М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

127. Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии //Математика в школе. 1989. - №2. - С.87-101.

128. Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии //Математика в школе. 1989. - №4 - С.73-81.

129. Шереметьева О.В. Использование задач на движение при изучении стереометрии: Методические рекомендации для учителей математики и студентов математических специальностей пединститутов. Пенза: ПГПУ, 1996. - 29 с.

130. Шереметьева О.В. Обучение решению стереометрических задач с учетом взаимосвязи образного и логического компонентов мышления (на примере задач на подвижные сечения многогранников): Дисс.канд.пед.наук. СПб.; 1997. - 142 с.

131. Щепин О.Н. Тетраэдр из треугольника и квадрата //Математика в школе. -1998. №4. - С.24-27.

132. Щиряков А.Н. Как развить пространственное воображение учащихся //Математика в школе. -1991. №1 - С.29-32.

133. Эльконин Д.Б. Психическое развитие в детских возрастах. Под ред. Д.И.Фельдштейна. М.: Издательство "Институт практической психологии", Воронеж: НПО "МОДЕК", 1995. - 416 с.

134. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин. М.: Педагогика, 1989. - 352 с.

135. Якиманская И.С. Знание и мышление школьника. М.: Знание, 1985. - 80 с. /(Новое в жизни, науке, технике. Серия "Педагогика и психология "; №9).

136. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980. - 240 с.

137. Якобсон JI.JI. Изучение многогранников в школьном курсе геометрии. М.: НИИШОТСО АПН СССР, 1989. - 43 с.

138. Якобсон JI.Jl. Формирование графических образов многогран ников с использованием педагогических программных средств: Аво реф.дисс.канд.пед.наук. М.; 1990. - 17 с.