Упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии как средство развития самостоятельной деятельности учащихся

Ситкин, Евгений Леонидович

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии как средство развития самостоятельной деятельности учащихся

Автореферат

Автор научной работы: Ситкин, Евгений Леонидович
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2013
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии как средство развития самостоятельной деятельности учащихся"

На правах рукописи

СИТКИН ЕВГЕНИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

УПРОЩЕННО-КОГНИТИВНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТЕРЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

13.00.02- теория и методика обучения и воспитания (математика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

005546685

Москва-2013

005546685

Работа выполнена на кафедре алгебры, геометрии и методики их преподавания Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования города Москвы «Московский городской педагогический университет»

Официальные оппоненты: Ястребов Александр Васильевич,

доктор педагогических наук, профессор кафедры мат. анализа, теории и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского»

Защита диссертации состоится 12 февраля 2014 г, в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 850.007.03 на базе ГБОУ ВПО города Москвы «Московский городской педагогический университет» по адресу: 127521, г. Москва, ул. Шереметьевская, д.29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГБОУ ВПО города Москвы «Московский городской педагогический университет» по адресу: 129226, г. Москва, 2-ой Сельскохозяйственный проезд, д. 4.

Текст автореферата размещен на сайте www.mgpu.ru

Научный руководитель:

Атанасян Сергей Левонович,

доктор педагогических наук, профессор

Седова Елена Александровна, кандидат педагогических наук, ведущий научный сотрудник, заведующая отделом естественно-математического образования ФГНУ «Институт содержания и методов обучения» РАО

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Северный (Арктический)

федеральный университет им. М.В. Ломоносова» (кафедра методики преподавания математики)

Автореферат разослан < » декабря 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор педагогических наук, профессор

В.В. Гриншкун

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. За последнее время произошли изменения в школьном образовании, требующие новых методик преподавания предметов. Это обусловлено в основном тем, что в России ввели стандарт второго поколения, основанный на компетентностном подходе к результату обучения, который, в первую очередь, предполагает развитие самостоятельности учащихся как при освоении предметного содержания, так и при оценке собственной деятельности. При этом самостоятельность понимается не только как черта характера, но и как способ деятельности. Поэтому школа должна развить у будущих выпускников навыки самостоятельной познавательной деятельности для получения и совершенствования знаний на всем жизненном пути.

Самостоятельная деятельность формируется и развивается посредством решения различного рода задач, в том числе и математических. Задачи по стереометрии, не входившие в 70-90 годы прошлого столетия в систему итоговой аттестации, с введением ЕГЭ вошли в группу заданий, предназначенных для проверки знаний всех выпускников школ.

В успешном решении стереометрических задач заинтересованы не только учащиеся математических классов, но и учащиеся классов универсального профиля, так как они еще недостаточно твердо определились с выбором профессии и большая их часть проявляет значительный интерес к изучению предмета. Но, если первая категория школьников еще до прихода в старшие классы, жестко ориентирована на углубленное изучение геометрии и в силу развитых математических навыков имеет опыт самостоятельной познавательной деятельности, то учащиеся универсального профиля при изучении такого сложного предмета, как стереометрия, опираются в значительной мере на поддержку со стороны учителя.

Проблеме обучения школьников стереометрии посвящены исследования таких специалистов в этой области предмета, как Э.Г. Готман, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, А.Н. Смоляков, И.Ф. Шарыгин и другие. Однако, несмотря на пристальное внимание к практике преподавания геометрии в школе, стереометрические задачи, как показывают опросы учащихся, учителей и результаты ЕГЭ, остаются для большинства старшеклассников наиболее сложными.

Особую значимость упомянутые авторы уделяли такой деятельности учащихся, как решение задач на вычисление расстояний, углов в пространстве и вывод формул для объемов основных тел, изучаемых в школе:

1. Задачи на вычисление расстояний и углов представляют обширную группу, объединенную единой тематикой, которые и в отдельности могут являться элементами заданий более сложного содержания, охватывающими значительную часть стереометрического материала.

Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, все равно использование сложного математического понятия (определенный интеграл) не позволяет многим учащимся освоить логически четкую теорию построения объемов, и им достаточно трудно подвести итоги обучения по предмету.

Самостоятельную деятельность обучающихся также возможно направить на изучение указанной области стереометрии. Решение практических и теоретических задач по этим разделам обеспечит им активное развитие собственной познавательной и математической деятельности.

Сложность заключается в том, что приемы решения задач, рассмотренные как указанными выше специалистами, так и такими авторами пособий по стереометрии, как C.JI. Атанасян, Г.Д. Глейзер, В.А Гусев, В.А. Далингер, A.B. Погоре-лов, Н.Х. Розов и др., требуют от учащихся или развитых пространственных представлений и широкого применения планиметрических фактов, или опираются на аппарат векторной алгебры, в многообразии методов которого обучаемые зачастую теряются, не могут рационально подойти к решению задач, накопить опыт и обобщить материал. Именно это и не позволяет большинству учащихся универсального профиля стать активными субъектами учения (обучения в самостоятельной познавательной деятельности), хотя в этих классах школьники способны под руководством учителя решать даже такие сложные задачи стереометрии, как, например, вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми, но в самостоятельной деятельности мысли о заведомо сложных решениях останавливают старшеклассников на очень простых упражнениях.

Опыт обучения в старшей школе и мнение самих учащихся показывают, что для привлечения их к активной учебной деятельности, в том числе к самостоятельному освоению материала, учащимся недостает приемов решения задач, основанных на малом, но содержательном и доступном понятийном аппарате, применение которого позволит обучающимся самостоятельно включиться в изучение предмета и приобрести готовность к самостоятельному поиску решений этих задач иными приемами, требующими развитых пространственных представлений и применения теорем планиметрии. Выделяя эти приемы из других, предварительно можно употребить к ним термин упрощенные.

Таким образом, сложились определенные предпосылки для научно-методической разработки упрогцённых приемов, формирующих в процессе самостоятельной познавательной деятельности готовность учащихся к усвоению более глубоких знаний и навыков, и они могли бы лечь в основу формирования простых алгоритмов решения стереометрических задач.

На сновании вышесказанного можно выделить противоречие между существующей потребностью вовлечения школьников в самостоятельную познавательную деятельность при обучении математике, с одной стороны, и, с другой стороны, отсутствием в методике преподавания стереометрии приемов решения задач, формирующих готовность большей части учащихся универсального профиля к самостоятельному изучению стереометрического материала (в рамках разделов) более сложного содержания, базирующегося на пространственных представлениях и планиметрических фактах.

Необходимость устранения указанного противоречия свидетельствует об актуальности темы исследования, определяет проблему, цель, задачи и гипотезу исследования.

Проблема исследования - какими и насколько упрощенными должны быть приемы решения стереометрических задач, чтобы они позволили учащимся универсального профиля не только их применять, но и стимулировали бы их к активной самостоятельной познавательной деятельности при обучении математике, приобретению и закреплению знаний, предусмотренных стандартами.

Объект исследования - процесс обучения старшеклассников стереометрии в классах универсального профиля.

Предмет исследования - вовлечение учащихся универсального профиля в самостоятельную познавательную и математическую деятельность в процессе изучения стереометрии посредством применения упрощенных приемов решения задач.

Цель исследования - разработать упрощенные приемы и методику по их применению, способствующую вовлечению учащихся в рамках школьного курса стереометрии в самостоятельную познавательную деятельность по вычислению расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел.

Гипотеза исследования состоит в том, что использование школьниками при обучении стереометрии упрощенных приемов и развитие посредством их самостоятельной познавательной деятельности позволит учащимся:

- эффективно решать задачи различной степени сложности на вычисление расстояний, углов и объемов тел; накопить универсальный опыт решения таких задач и сформировать готовность к усвоению знаний более сложного характера;

- по собственной инициативе перейти к поиску решений задач, основанных на пространственных представлениях и теоремах планиметрии;

- учиться подбирать к задачам различной сложности наиболее оптимальные для себя способы решений (опирающиеся на упрощенные приемы, пространственные представления и теоремы планиметрии и др.).

Предмет, цель и гипотеза исследования определили постановку и решение следующих задач:

1. Проанализировать опыт развития самостоятельной деятельности учащихся при обучении геометрии в России и за рубежом;

2. Выявить методики, стимулирующие самостоятельную познавательную деятельность старшеклассников и отобрать из них ту, которая более соответствует достижению цели вовлечения всех учащихся универсального профиля в самостоятельный познавательный процесс для работы в группе; выделить значимые с точки зрения нашего исследования особенности развития школьников, необходимые им при освоении больших потоков информации;

3. Исследовать и описать компоненты математической деятельности учащихся универсального профиля и определить требования к упрощенным приемам с учетом формирования и развития данных компонентов в условиях самостоятельной деятельности;

4. Отобрать предметное содержание по тематике вычисления расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел, изучаемых в школе, на основе которого можно увидеть простые и общие алгоритмы;

5. Разработать для учащихся упрощенные приемы по вычислению расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел. Описать опирающиеся на эти приемы алгоритмы решения задач;

6. Разработать методику по применению упрощенных приемов к решению задач стереометрии, способствующую развитию самостоятельной познавательной деятельности учащихся;

7. Экспериментально подтвердить на практике эффективность использования упрощенных приемов при обучении стереометрии.

Методологическую и теоретическую основу диссертационного исследования составили психологические, педагогические и методико-математические исследования, связанные с рассматриваемой проблемой, в частности:

- теория развивающего обучения (JI.C. Выготский, П.Я. Гальперин, B.C. Гончаров, В,А. Крутецкий, C.JI. Рубинштейн, С.И. Шапиро, И.С. Якиманская, и

др-);

- педагогические основы теории самостоятельной деятельности (В.П. Бес-палько, Ф. Кайзер, ,О.Е. Лебедев, Е.В. Чуб, и др.)

- теория обучения математической деятельности (В.А .Гусев, В.А. Далин-гер, А.Н. Острогорский, Д. Пойя, А. Пуанкаре, и др.)

- теория обучения решению стереометрических задач (C.J1. Атанасян, Э.Г. Готман, В.А. Далингер, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, И.Ф. Шарыгин и др.)

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования; анализ программ по геометрии для общеобразовательных классов, государственных стандартов общего среднего образования, учебных пособий и дидактический материалов по стереометрии; беседы с учителями и учащимися; педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертации и статистическая обработка его результатов.

Научная новизна:

1. Определены требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач;

2. Разработаны и теоретически обоснованы упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии на нахождение расстояний и углов между плоскостями и прямыми в пространстве и выводу формул для вычисления объемов основных тел, изучаемых в школьном курсе стереометрии;

3. Доказана эффективность применения упрощенно-когнитивных приемов при обучении стереометрии и развития через них у различных по способностям к математике школьников как пространственных представлений, так и самостоятельной познавательной деятельности.

когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов в пространстве и вывод формул для объемов тел.

Практическая значимость:

1. Разработаны методические рекомендации по применению упрощенно-когнитивных приемов и решения к задачам повышенной сложности по курсу стереометрии с применением упрощенно-когнитивных приемов;

2. Отобраны приемы решения задач, опирающиеся на пространственные представления и теоремы планиметрии, являющиеся руководством для обучающих с целью привлечения к самостоятельной познавательной деятельности разных по способностям к математике учащихся универсального профиля.

Применение упрощенно-когнитивных приемов по выводу формул для вычисления объемов основных тел обеспечивает полное изложение теории объемов в школьном курсе стереометрии и при этом значительно сокращает время изложения. Упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии применимы для обучения школьников различного профиля.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Упрощенно-когнитивные приемы и построенные на их основе простые алгоритмы решения задач дают школьникам возможность одновременного применения алгоритмов к задачам различной сложности и тематики в процессе самостоятельной познавательной деятельности, что приводит к развитию навыков дифференцирования, обобщения и более глубокому изучению материала;

2. Разработанная методика реализации упрощенно-когнитивных приемов способствует:

- повышению эффективности обучения стереометрии и стимулирует как готовность, так и переход учащихся к поиску решений задач иными приемами, основанными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии;

- переносу навыков обобщения, приобретенных при решении задач на основе упрощенных приемов, на решения, связанные с пространственными представлениями и планиметрическими фактами.

Достоверность результатов исследования и обоснованность выводов обусловлены опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, а также проведением педагогического эксперимента.

Организация и этапы исследования. Исследование проводилось в период с 2008 по 2013 г. и состояло из трех этапов.

На первом этапе исследования (2008-2009 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, проводились беседы с учителями школы. Анализировались: заинтересованность учащихся, их устные ответы, умение применять знания к задачам различной степени сложности по разделам, связанным с вычислением расстояний и углов в пространстве, с вычислением объемов тел. Это позволило определить цель и задачи исследования.

На втором этапе (2009-2011 гг.) проводилось психологическое тестирование и анкетирование, в ходе которого выяснилось, что учащиеся на начальном этапе готовы воспринимать основы координатно-векторного метода при изучении стереометрии. Были выявлены методические проблемы, возникающие в процессе преподавания стереометрии, что стало в дальнейшем основой для разработки системы задач для учащихся универсального профиля, соответствующих банков рисунков и стереометрических моделей, теоретического материала. Были разработаны упрощенно-когнитивные приемы, построенные на них простые алгоритмы решения стереометрических задач, методика их применения, а также проведена апробация при организации самостоятельной познавательной деятельности слабых по способностям к математике учащихся универсального профиля.

На третьем этапе (2011-2013 гг.) проводился формирующий эксперимент с целью подтверждения выдвинутой гипотезы. Велась работа над текстом диссертационного исследования.

В качестве экспериментальной базы были выбраны ГОУ СОШ №498 и ГОУ ЦО №1874 г. Москвы.

Апробация и внедрение. Основные положения исследования обсуждались в ГОУ СОШ №498, ГОУ ЦО №1874 и СОШ №179 ГАОУ ВПО «Московский институт открытого образования». На кафедре алгебры, геометрии и методики их преподавания ГБОУ ВПО г. Москвы «Московский городской педагогический университет», на Всероссийской научной конференции «Школьное математическое образование: традиции и инновации» (Ульяновск, 2010), Международной научно-практической конференции «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, 2011), Второй российской школе-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010). Результаты исследования внедрены в учебный процесс ГОУ СОШ №498, ГОУ ЦО №1874 и СОШ №179 ГАОУ ВПО «Московский институт открытого образования».

Структура диссертации. Диссертационное исследование состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения.

Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность исследования, сформулированы проблема, цель, объект, предмет исследования, выдвинута гипотеза и выделены задачи исследования, показана научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, раскрыты положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Психолого-педагогические основы обучения стереометрии, направленного на самостоятельную познавательную деятельность учащихся» выявлена методика обучения, ориентированная на активные действия обучающихся, введено понятие упрощенно-когнитивных приемов решения задач стереометрии и требования к ним, рассмотрена возможность сочетания упрощенно-когнитивных приемов с выявленной методикой обучения.

В первом параграфе рассматриваются опыт развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся при обучении геометрии в отечественной и зарубежной педагогике.

В отечественной педагогике впервые стало уделяться внимание самостоятельной деятельности учащихся при изучении геометрии со второй половины XIX века. Основоположником проблемного метода явился А.Н. Острогорский, который показал, что обучение учеников доказательствам утверждений на основе пространственных представлений приводит их к усвоению только готовых фактов. Для развития у ученика самостоятельной умственной деятельности на начальном этапе может служить аналитический метод как более доступный, с последующим переходом к изучению геометрических объектов на основе пространственных представлений. Идеология Российских образовательных программ по математике 1919-1921 г. также предполагала развитие самостоятельной деятельности учащихся, но данное направление не получило своего отражения в педагогическом сообществе по ряду причин, связанных с общей неразберихой на начальном этапе организации системы образования. В образовательных программах по математике 1925-1926 гг. и послевоенных образовательных программах самостоятельная познавательная деятельность учащихся явно не просматривалась. Основными целями преподавания геометрии вплоть до конца прошлого столетия являлись формирование у школьников геометрических знаний и умений, а также развитие логического мышления. Поэтому наше исследование было направлено и на изучение опыта развития самостоятельной деятельности в зарубежных методиках преподавания геометрии. Оно показало, что, прежде всего, в Германии в 20-ых годах прошлого столетия произошел сдвиг от проблемы содержания образования к проблеме методов обучения, ориентированных на самостоятельную познавательную деятельность ученика. Это стало возможно благодаря идеям Ф. Клейна о включении в школьный курс геометрии всего, что доступно пониманию школьников на определенном этапе обучения, и дальнейшего смещения центра тяжести от количества действий по образцу к развитию самостоятельного математического мышления.

В Германии с 70-ых годов прошлого столетия стала развиваться и внедряться в школьное обучение по всем дисциплинам технология «Методика профессионального обучения, ориентированного на действия». К ней относится: методика изучения частного случая, методика дидактических задач, методика направляющего текста (Ф.Кайзер, К. Роттлуфф). Указанные методики основаны на компе-тентностном подходе к обучению, который предполагает не усвоение учеником отдельных знаний и умений, а комплексное овладение ими в процессе самостоятельной деятельности. Данная технология применима для развития самостоятельной деятельности учащихся в составе группы. При этом сюда входят не только знания по дисциплине, но и приобретение навыков отбора содержания, организации процесса обучения и самооценки образовательных результатов.

Исследование показало эффективность следующего варианта развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении стереометрии:

- применение учащимися на раннем этапе деятельности основ аналитической геометрии (А.Н. Острогорский);

- включение на этом этапе в курс стереометрии максимально возможных математических фактов, доступных пониманию школьников (Ф. Клейн);

- в качестве опоры преподавания рассмотреть одну из методик, основанных на компетентностном подходе к обучению, положительно зарекомендовавших себя в Европе и в настоящее время активно используемых в России.

Учащиеся универсального профиля практически не имеют опыта самостоятельной познавательной деятельности при решении сложных математических задач, и в исследовании решено опираться именно на эту категорию школьников, причем на одиннадцатые классы, так как в начале программы по стереометрии данного класса числится раздел «Метод координат», являющийся основой аналитической геометрии. В предыдущем классе эти учащиеся в разной степени приобрели опыт решения несложных стереометрических задач, опираясь при этом на пространственные представления. В самостоятельной деятельности им предстоит развить и закрепить уже полученные навыки.

Во втором параграфе проанализированы методики и выбрана из них та, которая более подходит для развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся универсального профиля при изучении стереометрии. При этом мы руководствовались возможностью длительного применения данной методики, рассчитанной на учащихся, имеющих определенные навыки к самостоятельной познавательной деятельности. Анализировались три методики: методика дидактических задач, методика направляющего текста и методика исследования частного случая.

Установлено, что для достижения цели нашего исследования наиболее подходящей является методика направляющего текста, так как на основе усвоенных знаний учащийся сможет работать самостоятельно в своем собственном индивидуальном темпе. Важнейшей целью методики является выравнивание недостатков знаний учащихся. Под выравниванием недостатков здесь подразумевается не доведение всех обучающихся до одного определенного уровня знаний и умений, а стремление каждого к достижению своего личного максимума. В нашем исследовании под основным направляющим текстом (направляющим предложением) будет пониматься специально отобранная информация по планиметрии и аналитической геометрии, представленная учителем, обеспечивающая необходимую базу знаний учащимся для организации самостоятельной деятельности по решению задач различной степени сложности.

Учащимся одиннадцатых классов в самостоятельной познавательной деятельности предстоит переработать объемный материал, вначале средствами аналитической геометрии, а затем заново переосмыслить знания, связанные с пространственными представлениями и теоремами планиметрии, практически по всему курсу стереометрии. Для этого им надо преподнести информацию таким образом, чтобы они не потеряли интерес к учению. Так как исследованием процессов переработки и хранения больших потоков информации занимается когнитивная психология, то в третьем параграфе рассмотрены особенности когнитивного развития и психология математических способностей школьников с целью выработки требований к упрощенным приемам.

Рассмотрим, как подходят к рассмотрению этого вопроса психологи.

М.А. Холодная трактует понятие когнитивный, как имеющее отношение к психическим механизмам переработки информации на разных уровнях познавательного отражения (как преобразуется информация в условиях ее восприятия, как организуется хранение информации в долговременной семантической памяти, и т.д.). Разрабатывая специальную обучающую программу под названием "Инструментальное обогащение, М.А. Холодная считает, что учащийся должен приобрести вначале когнитивный опыт, который формируется при прохождении следующих фаз: мотивировка - «создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыдущего опыта» (опыта решения несложных стереометрических задач с опорой на пространственные представления); категоризация - «введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным увеличением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания» (применение учащимися основ аналитической геометрии на раннем этапе деятельности); обогащение - «накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания» (обобщение учебного материала методами аналитической геометрии).

Так же и B.C. Гончаров, автор исследования «Психология проектирования когнитивного развития», рассматривает «когнитивное развитие как аспект общего психического развития ребенка, связанный с изменением его когнитивных компетенций». В нашем исследовании мы понимаем когнитивные компетенции как формы организации личностью своего интеллектуального опыта, регулирующие ее познавательную активность при изучении стереометрии.

Когнитивное развитие разделяется на два вида: актуальное развитие и зона ближайшего развития (Л.С.Выготский). Актуальное развитие характеризуется уже сформированными когнитивными компетенциями и позволяет школьникам самостоятельно выполнять действия по решению задач. При создании первоначальной информации по стереометрии была взята за основу зона ближайшего развития как вид когнитивного развития. Данный вид характеризуется еще не вполне сформированными когнитивными компетенциями и не позволяет обучающимся с самого начала самостоятельно выполнять действия при решении стереометрических задач, представляющих из математических задач наибольшую трудность. На начальном этапе, по утверждению Л.С. Выготского, «школьнику необходимо сотрудничество со взрослым, и центральным моментом в обучения должна быть возможность подниматься в сотрудничестве а более высокую интеллектуальную ступень с помощью подражания», а в нашем исследовании - с помощью решения задач «по образцу». Поэтому зоной ближайшего развития должна быть «область доступных ребенку переходов к актуальному развитию». Под этой областью доступных переходов мы понимаем упрощенные приемы решения задач разделов стереометрии, которые будут восприниматься всеми учащимися универсального профиля и являться основой их самостоятельной деятельности. Эти приемы педагог должен показать на раннем этапе получения информации в методике направляющего текста, и их применение должно формировать у уча-

щихся максимальную готовность к изменению их когнитивных компетенций, к переходу на более высокий уровень.

Дальнейшее исследование позволило выделить показатели, характеризующие готовность учащихся перейти к фазе обогащения, которые мы сможем наблюдать в условиях школы: «анализ, синтез, обобщение, конкретизация, сравнение, классификация; самостоятельность, критичность; обобщенный перенос усвоенных знаний на новый материал по собственной инициативе; обратимость интеллектуальных операций; практические действия; содержательное обобщение, рефлексия; умственное планирование».

Другими словами, приемы должны позволить учащимся проще накопить когнитивный опыт путем решения стереометрических задач, дифференцировать и обобщить его методами аналитической геометрии. Учитывая вышесказанное, для большего выделения от других приемов, решено назвать их упро1ценно-когнитивными. Таким образом, мы решили для себя один из вопросов проблемы исследования.

Психологические особенности, в число которых входит способность обобщения, способность к пространственным представлениям, способность к абстрактному мышлению - столь необходимые для успешного освоения стереометрии - не являются непременными условиями эффективной деятельности (В.А. Кру-тецкий). Непременными являются такие условия как: положительное отношение к математике, трудолюбие, целеустремленность, организованность, самостоятельность, настойчивость и чувство удовлетворения, радость творчества и открытия, наличие во время осуществления деятельности благоприятных психических состояний, наличие определенного набора знаний, навыков и умений в соответствующей области предмета. Поэтому мы предположили, что упрощенно-когнитивные приемы на раннем этапе самостоятельной деятельности должны в первую очередь обеспечить учащимся непременные условия эффективной деятельности и развить в сотрудничестве с учителем такие компоненты математической деятельности, как: восприятие математического материала и способности к обобщению, к оперированию числовой и буквенной символикой, сокращению мыслительных процессов. Затем, уже в актуальном когнитивном развитии - гибкость мышления, способность к пространственным представлениям, способность к обратимости мыслительного процесса, математическую память на логические схемы и обобщения, способность «к правильно расчлененному логическому размышлению» (А.Н.Колмогоров). Перечисленный комплекс свойств личности рассматривается исследователями даже не как математические способности, а более как готовность к деятельности.

Все вышесказанное позволило обозначить следующие требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач: быть основаны на малом, но содержательном и доступном понятийном математическом аппарате; являться основой для простых алгоритмов, которые, в свою очередь, экономны во времени применения; обобщать максимально возможную стереометрическую тематику, быть применимыми к решению сложных стереометрических задач, быть доступными всем категориям учащихся универсального профиля; избавлять от

чувства тревожности; в возрастающей мере обеспечивать переход мыслительной деятельности разных по математическим способностям учащихся от зоны ближайшего развития к актуальному когнитивному развитию, в процессе которого учащиеся будут стремиться, по собственной инициативе, осуществлять поиск решений задач, опираясь на пространственные представления и теоремы планиметрии.

Во второй главе «Научно-методические основы разработки упрощенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов и объемов тел» обоснована стереометрическая тематика, на которой будет осуществляться процесс самостоятельной деятельности учащихся, произведен отбор содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов при решении задач указанных разделов и сконструированы сами приемы.

Компоненты математической деятельности формируются и развиваются как на решении геометрических задач практического характера, так и на теоретическом материале, формирующем основы логического мышления. Задачи на вычисление расстояний и углов в пространстве сами по себе входят в обширную группу задач, объединенную единой тематикой, и являются элементами заданий более сложной структуры, охватывающих практически весь стереометрический материал. Это позволяет при их решении развить наиболее полно все компоненты математической деятельности, за исключением способности «к последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению». Такую способность целесообразно формировать, по высказыванию И.Ф. Шарыгина, на разделе «Объемы», так как обучаемые с рождения развиваются в трехмерном пространстве, и этот же раздел является завершающим при изучении стереометрии, что важно при подведении итогов деятельности по предмету. В первом параграфе мы отобрали предметное содержание для выработки упрощенно-когнитивных приемов при решении задач на вычисление расстояний и углов как аналитическими методами, так и методами, основанными на пространственных представлениях.

Анализ содержания курса и приемов решения задач векторным методом выявил, что существует алгоритм векторного решения задач с использованием таблицы скалярных произведений векторов базиса, обеспечивающий решения всего спектра задач на вычисление расстояний и углов в пространстве. Он требует значительных вычислительных навыков, а также особого внимания при выполнении вычислений. Этот алгоритм, используемый в элективных курсах, не рассчитан на массового школьника, кроме того, процесс решения задач находится под постоянным контролем учителя, поэтому самостоятельно учащимися со слабыми математическими навыками не применяется. Следовательно, прием, основанный на векторном решении и введение базиса, не подходит под наше определение упрощенно-когнитивных приемов. Но все же выявлены некоторые закономерности, возникающие при решении задач методами аналитической геометрии, которые можно использовать для создания упрощенно-когнитивных приемов. Например, задача на нахождение углов между прямыми и плоскостями сводится к задаче вычисления угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Так же задачу на вычисления угла между плоскостями сводят к вычислению угла

между нормалями к этим плоскостям. В этих задачах уже можно определить общие объекты: два вектора, определяющие плоскость, и произвольная нормаль к плоскости. При вычислении расстояний между скрещивающимися прямыми также используются два направляющих вектора прямых и общий перпендикуляр к ним. Наконец, в задаче нахождения расстояния от точки до плоскости используются те же векторы, задающие плоскость, а также перпендикуляр к ней. Во всех перечисленных задачах используются общие объекты: два вектора и нормаль к ним, что служит основой для разработки упрощенно-когнитивных приемов, позволяющих обеспечить когнитивное развитие - зону ближайшего развития учащегося.

Дальнейший анализ приемов решения задач на вычисление расстояний и углов в пространстве, опирающихся на пространственные представления, и работа с учащимися позволили выработать основу для рекомендаций, адаптированных к школьникам с разными уровнями математических способностей и для организации их самостоятельной деятельности при переходе от упрощенно-когнитивных приемов к решению задач иными методами. При составлении методических рекомендаций мы поделили учащихся на три группы, в зависимости от степени выраженности у них математических способностей.

Во втором параграфе главы показан отбор предметного содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов изложения теоретического материала по разделу «Объемы тел». Этот отбор производился с целью формирования и развития у учащихся способности к логическому рассуждению и последующему раскрытию связей между разделами стереометрии. Нами был сделан вывод, что при конструировании упрощенно-когнитивных приемов для изучения объемов тел необходимо отталкиваться от аксиом, и принять в качестве дополнительной аксиомы принцип Кавальери. Затем, объединив все изучаемые в школьном курсе стереометрии тела в классы, найти общий и доступный всем школьникам алгоритм вывода формул, основанный на теоремах элементарной геометрии.

В третьем параграфе главы сформулированы упрощенно-когнитивные приемы и построенные на них алгоритмы решения основных задач по тематике вычисления расстояний и углов в пространстве. Проиллюстрировать сущность и специфику этих приемов можно на нижеследующей совокупности практической и теоретической задач.

1) Практическая задача. Научиться определять координаты произвольного вектора, ортогонального одновременно двум другим. Выработан следующий подход к решению проблемы вычисления координат, указанного вектора.

А) В рассматриваемой паре векторов хотя бы один имеет нулевую координату. Пусть а(р; 0; <?) и Ь(т; п; к). Надо найти произвольный вектор с, перпендикулярный а и Ь одновременно, т. е. такой, для которого скалярные произведения ас и Ьс равны нулю. Положим с(-д;х; р), тогда ас = 0, Ьс = -дт+хп + рк. От-

ат-рк ^ - , ат-рк .

сюда-дт + хп + рк = 0 => х =-.Окончательно, с = (-<?;-; р);

п п

В) В общем случае: а = (п;т;р) и ¿ = (е;г;л'), то вначале определим с = Ъ-ка, причем коэффициент к*о должен быть подобран таким образом, чтобы одна из координат вектора с равнялась 0. Ясно, что вектор ортогональный «и с, ортогонален а и ь, далее надо действовать по алгоритму случая А).

2) Теоретическая задача. Поиск доступных для учащихся алгоритмов вычисления расстояния от точки до плоскости и вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми при найденном векторе нормали к плоскости (рис.1а, б) - наиболее трудных задач по данной тематике.

Материал учебников аналитической геометрии для высшей школы позволил определить систему действий, конечным итогом которой является равенство, вычисляющее искомые расстояния: |5л| = |о5-л^|; при этом алгоритмы нахождения

данных расстояний были упрощены и адаптированы для учащихся средней школы.

-л/ ь

Рисунок 1а Рисунок 16

«Расстояние от точки до плоскости» «Расстояние между прямыми»

Действия по вычислению координат вектора, перпендикулярного одновременно двум другим, или совокупность действий, объединяющих решения задач практического и теоретического характера, образуют упрощенно-когнитивные приемы по вычислению расстояний и углов в пространстве. Комбинации приемов, взятые в определенной последовательности, описывают короткие алгоритмы решения основных задач на вычисление расстояний и углов в пространстве (рис.2).

В четвертом параграфе сформулированы упрощенно-когнитивные приемы при выводе формул для вычисления объемов основных тел, изучаемых в школе.

Предлагается следующая система действий, где центральным является разбиение куба на три равные пирамиды: введение аксиом объема тела, куда в качестве пятой аксиомой ввели принцип Кавальери, теорема об отношении объемов подобных тел, разбиение пространственных тел на классы цилиндрических и конических, разбиение куба на три равные пирамиды и сравнение по принципу Кавальери объемов произвольных цилиндрических и конических тел с заранее известными объемами куба и пирамиды. Последним действием является вычисле-

ние объема шара с применением принципа Кавальери. Приемы позволяют вывести формулы для объема прямоугольного параллелепипеда и любого конического тела без привлечения инструментов математического анализа. На (рис. 3) приведена схема действия упрощенно-когнитивных приемов по выводу формул для вычисления объемов цилиндрических и конических тел.

Упрощенно-когнитивные приемы Вычисление координат произвольного вектора, перпендикулярного двум другим, определяющим плоскость или параллельным плоскости. Алгоритм вычисления расстояния от точки до плоскости и расстояния между скрещивающимися прямыми при найденном векторе нормали к плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между прямыми

Угол прямыми

между

Угол между плоскостями

Понятийный аппарат: теорема Пифагора, теорема косинусов, скалярное произведение в координатах, соотношения в прямоугольном треугольнике, формулы приведения.

Угол между прямой и плоскостью

Т~

1. п ± m и к

2. Пк

Алгоритмы действий

1. я _L m и к

2. р ± / и ]

3. cos рп

1. пLmи к

2. cos п,ЛВ = sin АВиа

восприятие математического материала, математическая память, возможность быстрого свер' тывания мыслительных процессов, обобщение математического материала, способность к опе рированию числовой и буквенной символикой._

Рисунок 2.Схема действия упрощенно-когнитивных приемов по вычислению расстояний и углов

Рисунок 3. Схема действия упрощенно-когнитивных приемов на вывод формул вычисления объемов основных тел

В процессе изучения раздела к тем компонентам математической деятельности учащихся, которые предполагалось развить, добавилась возможность развития способности к последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению.

Работа с отдельными слабыми учащимися на данном этапе эксперимента позволила сделать вывод, что найденные нами приемы удовлетворяют требованиям, к ним предъявляемым:

- приемы решения задач определяются малым, но содержательным и доступным понятийным аппаратом, как следствие этого развивают математическую память и возможность быстрого свертывания мыслительных процессов у слабых учащихся, задействованных в эксперименте;

- приемы являются основой для описания простых алгоритмов, обобщающих максимально возможную стереометрическую тематику; применялись они учащимися осознанно, и каждый мог на различных этапах деятельности обосновать совершаемые действия по решению задачи;

- у задействованных в эксперименте учащихся исчезала тревожность от неумения решить задачу и возникала мотивация к поиску решений легких задач, опираясь на пространственные представления и теоремы планиметрии;

- простота в обоснованности формул для вычисления объемов основных тел поменяла взгляды слабых учащихся - они больше не воспринимали математику как недостижимо трудный учебный предмет.

Данный этап работы с детьми показал положительную динамику в их когнитивном развитии. Большей частью их мыслительная деятельность протекала в зоне ближайшего развития, но их когнитивные компетенции были готовы к изменениям и переходу на другой уровень.

В третьей главе «Использование упрощенно-когнитивных приемов и экспериментальное подтверждение эффективности их применения для организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся» приведены примеры использования упрощенно-когнитивных приемов и экспериментальное подтверждение эффективности их применения в самостоятельной деятельности учащихся.

В первом параграфе описан процесс обучения учащихся универсального профиля различных категорий математических способностей, направленный на самостоятельную познавательную деятельность с использованием упрощенно-когнитивных приемов и построенных на них алгоритмах внутри методики направляющего текста. В процессе обучения на основе решения общей научной проблемы предполагается: развитие учащихся в пределах зоны ближайшего развития, формирование готовности перехода к актуальному когнитивному развитию, формирование и развитие необходимых навыков обучаемых к самоанализу, самооценке, общению в группе. Методика направляющего текста предполагает несколько этапов формирования и развития самостоятельной деятельности учащихся.

¡.Этап получения информации.

На этом этапе учащиеся 11 класса универсального профиля экспериментальной группы получили информационные листы с описанием упрощенно-когнитивных приемов, алгоритмами применения и примерами решения задач. Учитель в процессе обучения пока оставался основным организующим звеном учебного процесса. Перед обучаемыми ставились цели: быстро освоить и научиться применять упрощенно-когнитивные аналитические приемы при вычислении расстояний и углов; научиться применять алгоритмы решения задач, построенные на упрощенно-когнитивных приемах и быть готовыми перейти к поиску решений приемами, основанными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии. Упрощенно-когнитивные приемы и консультирование обеспечило учащимся зону ближайшего развития как основу способности к когнитивному развитию. Главной особенностью процесса обучения на этом этапе явилось одновременное применение алгоритмов к разнообразным задачам на вычисление расстояний и углов в пространстве. Благодаря простым алгоритмам обучаемые осваивали раздел не последовательно, а в комплексе, что позволило уберечь их от поверхностного обобщения стереометрического материала и развить соответствующие навыки. Учащиеся отработали механизм действий для дальнейшего дифференцирования и обобщения приемов решения тех же задач, основанных на пространственных представлениях и теоремах планиметрии в актуальном когнитивном развитии. В конце этапа со старшеклассниками было проведено анкетирование с серией наводящих вопросов. Опрос показал заинтересованность учащихся в переходе к освоению знаний более сложного содержания и готовность к нему.

Во втором параграфе описано актуальное когнитивное развитие на основе упрощенно-когнитивных приемов.

2. Этап планирования.

На этом этапе перед обучающимися ставились цели: в полной мере овладеть упрощенно-когнитивными приемами решения всех типов задач на вычисление расстояний и углов и одновременно там, где возможно самому обучаемому, осуществлять поиск решения тех же задач иными способами (формирование и развитие гибкости мыслительной деятельности), спланировать свою деятельность. Ученики по предъявляемым к ним требованиям делились на две группы: слабоуспевающие, среднеуспевающие и хорошо успевающие учащиеся (рис.4).

Слз6ь,в Упрощенно-когнитивные Иные приемы: угол

-> приемы -> между прямыми,

учащиеся г расстояние от точки

до прямой

Средние и Упрощенно-когнитивные Иные приемы по всей

сильные _^__„„.___. тематике вычисления

* приемы -> ,

учащиеся расстояний и углов

Рисунок 4. Параметры охвата учебного материала различными группами

3. Этап осуществления.

На этом этапе учащиеся отрабатывали применение алгоритмов на задачах по каждой тематике, касающихся различных геометрических тел. Одновременно искали разнообразные способы решения задач. Оптимальным вариантом такой деятельности являлось одновременное решение задач, опирающееся как на упрощенно-когнитивные приемы, так и на пространственные представления.

4. Этап контроля.

Промежуточный контроль усвоения учащиеся проводили самостоятельно. В конце этого этапа был проведен контрольный урок, на котором, учащимся была предложена контрольная работа, по результатам которой определялся уровень достижения знаний в процессе самостоятельной познавательной деятельности. Отдельно учитывались решения задач различными способами.

5. Этап подведения итогов.

Подводились итоги деятельности, и учащиеся экспериментальной группы сами оценивали свой результат. Такая самостоятельная познавательная деятельность велась около четырех месяцев учебного времени, после чего обучаемым были представлены упрощенно-когнитивные приемы для вычисления формул объемов основных тел, изучаемых в школе. Ввиду того, что обучаемые достаточно хорошо ознакомились с этапами методики направляющего текста и приобрели необходимые навыки самоанализа, самооценки, общения в группе на основе решения общей научной проблемы, то дальнейшая организация самостоятельной познавательной деятельности строилась на ее этапах.

Перед обучаемыми для развития обратных связей как необходимого компонента математической деятельности ставили начальную цель в процессе самостоятельной познавательной деятельности: конструирование и решение задач, обратных тем, на которых они применяли упрощенно-когнитивные приемы. Эти задачи связаны с вычислением объемов или площадей поверхностей и являются приближенными по сложности к заданиям, предлагаемым на вузовских олимпиадах. Продемонстрируем формирование обратных связей при помощи упрощенно-когнитивных приемов. Были предложены примеры конструирования таких задач. Брали за основу прямую задачу на вычисление угла между плоскостями, решенную нами ранее. Например:

В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра -2 , найти косинус угла между плоскостями SAF uSBC.

Изменив ее условие, получим.

В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS стороны основания равны 1, а косинус угла между плоскостями SAF и SBC равен 0,2. Найти объем пирамиды.

Решения задач заметно усложняются, и вначале учащиеся учились формулировать условия на этапе получения информации. Такая деятельность была им предложена по всей тематике вычисления расстояний и углов в пространстве. На этапе осуществления, учитывая сложность развиваемого компонента, рекомендо-

валось решать самостоятельно сформулированные задачи преимущественно с помощью упрощенно-когнитивных приемов.

Показателем того, что обучаемые находились в зоне актуального когнитивного развития, являлось то, что поиск решений задач, основанных на пространственных представлениях, и задач, обратных к данным, для многих осуществлялся без активной поддержки учителя. Больше половины учащихся к концу деятельности перешли на изучение решений конкурсных задач, опирающихся на упрощенно-когнитивные приемы.

Третий параграф посвящен экспериментальному исследованию эффективности упрощенно-когнитивных приемов. Экспериментальная работа проводилась в три этапа.

На первом этапе исследовалась соответствующая литература и анализировался собственный опыт работы в школе, в результате чего были намечены пути решения поставленных задач.

На втором этапе эксперимента были разработаны упрощенно-когнитивные приемы и апробированы в самостоятельной познавательной деятельности малоспособных к математике учеников. На данном этапе выявилась положительная динамика в развитии самостоятельной деятельности по изучению стереометрии участвующих в эксперименте школьников.

В эксперименте на протяжении трех лет участвовали более двухсот учащихся. Но описали эксперимент на заключительном, третьем этапе в 2012г., в котором участвовали 51 и 50 учащихся экспериментальной группы и контрольной группы соответственно. Завершив рассмотрение показателей описательной статистики, мы перешли к общей методике определения степени достоверности совпадений и различий в конце эксперимента, а затем описали ее применение для данных, измеренных в шкале отношений, используя критерий Вилкоксона-Манна-Уитни. Полученные и обработанные данные представлены в виде гистограмм, отображающих уровень знаний учащихся до и после проведения эксперимента (рис.5,6).

100,00% 50, 0,00%

,00% I .00% .1.11

нРяд1 ■ Ряд2

Рисунок 5.Уровень знаний до начала Рисунок 6. Уровень знаний после эксперимента завершения эксперимента

Ряд 1 - контрольная группа. Ряд 2 - экспериментальная группа.

Согласно критерию Вилкоксона-Манна-Уитни, мы определяли и -эмпирическое значение, показывающее число членов контрольной группы пра-

вильно решивших строго большее число задач, чем ;'-ый член экспериментальной

где Л'-число членов экспериментальной группы, а А/-контрольной, до эксперимента мы получили значение «о, 59 <1,96, что показывает, согласно критерию,

что означает достоверность различий сравниваемых выборок 95%.

Результат проектирования учебного процесса показал когнитивное развитие таких показателей как анализирующее наблюдение, практические действия, содержательное обобщение, рефлексия, умственное планирование.

Учащиеся анализировали, синтезировали, обобщали, конкретизировали, сравнивали и классифицировали. В любой момент могли ограничить себя решениями, основанными на упрощенно-когнитивных приемах, но решали задачи, опираясь на пространственные представления, тем самым стремясь найти более оптимальное решение, чего от них явно не требовали. Из 126 решенных задач по наиболее сложным темам: вычисление расстояния от точки до плоскости и расстояния между прямыми 27 задач были решены приемами, основанными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии. Это свидетельствует о том, что в процессе самостоятельной познавательной деятельности учащиеся находились в зоне актуального развития. Из 63 задач, решенных учащимися контрольной группы, только 4 задачи (на вычисление расстояний между прямыми) были решены с помощью пространственных представлений. В других решениях учащиеся опирались на сложные аналитические методы.

Итак, начальные (до начала эксперимента) состояния экспериментальной и контрольной групп совпадают, а конечные (после окончания эксперимента) - различаются. Следовательно, можно сделать вывод, что изменения обусловлены именно применением разработанных упрощенно-когнитивных приемов решения задач, позволивших осуществить учащимся универсального профиля в самостоятельной деятельности переход от зоны ближайшего развития к актуарному когнитивному развитию. По результатам эксперимента сделаны следующие выводы:

- упрощенно-когнитивные приемы обеспечивали учащимся психологический комфорт, избавили от тревожности, и как следствие этого мотивировали их на самостоятельную познавательную деятельность;

- использование упрощенно-когнитивных приемов в обучении стереометрии меняло взгляды учащихся на математику, в частности, их применение при изложении сложного теоретического материала (исчисление объемов) поменяло мнение учащихся универсального профиля всех категорий математических способностей о малодоступности математики в целом;

- упрощенно-когнитивные приемы и гибкость методики «направляющего текста» обеспечили устойчивый самоуправляемый учебный процесс, позволивший большинству учащихся обобщить относительно сложный и объемный предметный материал, и развить при этом такие компоненты математической деятель-

группы. Используя формулу

совпадение данных выборок. После окончания эксперимента

= 4,72>1,96,

ности, как гибкость мышления, обратимость мыслительных процессов, пространственные представления, что свидетельствует об актуальном когнитивном развитии.

Заключение

Результаты проведенного исследования подтверждают основные положения гипотезы и позволяют сделать следующие выводы:

1. Введено понятие упрогценно-когнитивных приемов решения задач, отделяющее эти приемы от других приемов тем, что позволяют учащимся в процессе решения стереометрических задач проще накопить когнитивный опыт, дифференцировать и обобщить его методами аналитической геометрии, что способствует большему продвижению самостоятельной деятельности;

2. Определены требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач, в число которых входит опора на малый, но содержательный и доступный понятийный математический аппарат. Они являются основой для построения простых алгоритмов эффективных для применения, обобщающих максимально возможную стереометрическую тематику, применимых к решению задач любой сложности и доступных всем категориям учащихся универсального профиля. Их применение в процессе самостоятельной деятельности учащихся формирует готовность осуществлять поиск решений задач синтетическим методом, т.е. опираясь на пространственные представления и теоремы планиметрии;

3. Сконструированы упрощенно-когнитивные приемы для вычисления расстояний и углов в пространстве, а также выводу формул для объемов основных тел. Алгоритмы решения задач, используемые в курсах аналитической геометрии высшей школы, упрощены и адаптированы для школьников. Математическим аппаратом, формирующим алгоритмы для решений задач на вычисление расстояний и углов, является: теорема Пифагора, теорема косинусов, свойства основных тригонометрических функций, скалярное произведение векторов и его выражение в координатах. Для вывода формул объемов основных тел используется аксиоматика объемов, принцип Кавальери и разбиение куба на три равные части;

4. Разработана методика применения упрощенно-когнитивных приемов, способствующая вовлечению учащихся универсального профиля в самостоятельную познавательную деятельность, в процессе которой разные по способностям.к математике школьники: в зоне ближайшего развития эффективно применяли алгоритмы к решению задач различной степени сложности, тем самым приобретали опыт и навыки дифференцирования и обобщения изучаемого материала; по собственной инициативе переходили к поиску решения задач, основанных на пространственных представлениях и теоремах планиметрии, переносили приобретенные навыки обобщения на новые знания, что свидетельствовало об актуальном когнитивном развитии; на заключительном этапе деятельности подбирали к задачам с различными условиями наиболее оптимальные способы решений;

5. Показано, что разработанные решения к задачам повышенной сложности по курсу стереометрии с применением упрощенно-когнитивных приемов значительно упростили сложность задач, сделав их доступными для понимания сред-

ним по способностям к математике учащимся, и явились руководством для дальнейших действий способным к математике учащимся универсального профиля;

6. Обосновано, что применение упрощенно-когнитивных приемов по вычислению объемов основных тел, изучаемых в школе (завершающему разделу школьной стереометрии), обеспечивают логически безупречное изложение теории объемов при малых временных затратах, что позволяет учащимся подвести итоги своей самостоятельной деятельности в процессе изучения стереометрии, сделать четкие законченные выводы;

7. Разработанные упрощенно-когнитивные приемы решения задач применимы для обучения не только школьников универсального профиля, но и любого другого, что показывают положительные результаты эксперимента.

В качестве направлений для дальнейшего исследования можно выделить анализ возможности распространения предложенного подхода на другие школы универсального и профильного цикла; распространение упрощенно-когнитивных приёмов на другие разделы геометрии; возможная разработка учебных пособий для средних школ на основе упрощенно-когнитивных приемов.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих научных публикациях автора:

Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК при Мннобрнауки РФ:

1. Ситкин E.JI. Упрощенно-когнитивные приемы решения стереометрических задач по тематике «Вычисление расстояний и углов в пространстве» [Текст] 1С. JI. Атанасян, Е. JI. Ситкин // Российский научный журнал. -2013. - № 4(35). -С. 74-78.

2. Ситкин, Е. JI. Когнитивное развитие и его влияние на самостоятельную познавательную деятельность учащихся при изучении стереометрии [Текст] / Е. JI. Ситкин // Российский научный журнал. - 2013. - № 4(35). - С. 242-245.

3. Ситкин, Е. JI. Вычисление объемов и принцип Кавальери [Текст] / Е. JL Ситкин // Математика в школе. - 2010. — № 7. - С. 14-18.

4. Ситкин, Е. JI. Принцип Кавальери в вычислении объемов и теорема о покрытии круга [Текст] / Е. JI. Ситкин // Сибирский педагогический журнал. - 2011. -№3.-С. 180-185.

5. Ситкин, Е. JI. Принцип Кавальери в вычислении площади шарового пояса и шара [Текст] / Е. Л. Ситкин // Российский научный журнал. - 2011. - №2(21). -С. 212-215.

Учебное пособие:

6. Ситкин, Е. Л. Стереометрия. Как решить проще!? [Текст] : учеб. пособие: элективный курс / Е. Л. Ситкин. - 2-е изд., испр. - М. : ИЛЕКСА, 2013. - 79 с.

Публикации в других изданиях:

7. Ситкин, Е. Л. Повышение мотивации у школьников старших классов в изучении геометрии через красоту решенных задач [Текст] / Е. Л. Ситкин // Школьное математическое образование : традиции и инновации : всерос. науч. конф. : сб. научных статей. - Ульяновск : УГЛУ, 2010. - С. 213-214.

8. Ситкин, Е. Л. Три принципа обучения на примере стереометрии [Текст] / Е. Л. Ситкин // От теории к практике преподавания и консультирования : сб. статей. - М. : РГСУ, 2011. - С. 72-76.

9. Ситкин, Е. Л. От аксиоматике к практической деятельности [Текст] / Е.Л. Ситкин // От теории к практике преподавания и консультирования : сб. статей. -М. :РГСУ, 2011.-С. 68-71.

10. Ситкин.Е.Л. Упрощенные аналитические приемы вычисления расстояний и углов в пространстве в основе методики подготовки к Единому государственному экзамену с использованием информационных и коммуникационных технологий [Текст] / А. А. Русаков, Е. Л. Ситкин // Педагогика, лингвистика и информационные технологии : материалы международной науч.-практической конф. : в... т. Т. 2 : сб. статей. - Елец, 2012. - С. 360-364.

11. Ситкин Е.Л. Использование дидактических возможностей информационных и коммуникационных технологий в процессе подготовки к единому государственному экзамену, на основе упрощенных аналитических приемов [Электронный ресурс] / А. А. Русаков, Е. Л. Ситкин // Электронный журнал РАО, 2012. -№9.-Электрон.текст.дан.-Режим.доступа:

http://www.iiorao.ru/iio/pages/izdat/ison/pubIication/ison 2012/пит 9 2012/. свободный

Текст диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Ситкин, Евгений Леонидович, Москва

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ «МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

0420145595)7

СИТКИН ЕВГЕНИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

13.00.02- теория и методика обучения и воспитания (математика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель -доктор педагогических наук, профессор Атанасян С.Л.

Москва 2013

Оглавление

Введение.................................................................................4

ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы обучения геометрии, направленного на самостоятельную познавательную деятельность учащихся.......................................................................................13

1.1 Этапы развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся при обучении геометрии в отечественной и зарубежной педагогике..................................................................................................................13

1.2 Методики, ориентированные на самостоятельную познавательную деятельность учащихся.......................................................................18

1.3 Особенности когнитивного развития школьников и психология развития их математических способностей в условиях самостоятельной деятельности...................................................................................26

Выводы по первой главе.............................................................39

ГЛАВА 2. Научно-методические основы разработки упрощенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов и объемов тел........................................................................42

2.1 Отбор предметного содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов решения задач по темам школьного курса стереометрии «Вычисление расстояний и углов в пространстве»....................................43

2.2 Отбор предметного содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов изложения теоретического материала по разделу «Объемы тел».................................................................................58

2.3 Вычисление расстояний и углов в пространстве на основе упрощенно-когнитивных аналитических приемов.....................................66

2.4 Упрощенно-когнитивные приемы вычисления объемов основных геометрических тел, изучаемых в школе................................................75

Выводы по второй главе.............................................................84

ГЛАВА 3. Использование упрощенно-когнитивных приемов и экспериментальное подтверждение эффективности их применения в рамках самостоятельной деятельности учащихся.....................86

3.1 Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов в тесном сотрудничестве с учителем..................................................................86

3.2 Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов, предусматривающая консультирующую роль учителя...............................94

3.3 Экспериментальное подтверждение эффективности использования упрощенно-когнитивных приемов для развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении стереометрии..................................................108

Выводы по третьей главе...........................................................130

Заключение...........................................................................133

Библиография.......................................................................136

Приложение..........................................................................153

Введение

и другие. Однако, несмотря на пристальное внимание к практике преподавания геометрии в школе, стереометрические задачи, как показывают опросы учащихся, учителей и результаты ЕГЭ, остаются для большинства старшеклассников наиболее сложными.

2. Раздел «Объемы» является завершающим в курсе школьной стереометрии. При его изучении старшеклассники сталкиваются со значительными трудностями при выводе формул для вычисления объемов основных тел, которые преодолеваются с помощью аппарата математического анализа. И, несмотря на то, что изложением раздела занимались такие видные математики и педагоги, как Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, все равно использование сложного математического понятия (определенный интеграл) не позволяет многим учащимся освоить логически четкую теорию построения объемов, и им достаточно трудно подвести итоги обучения по предмету.

опираются на аппарат векторной алгебры, в многообразии методов которого обучаемые зачастую теряются, не могут рационально подойти к решению задач, накопить опыт и обобщить материал. Именно это и не позволяет большинству учащихся универсального профиля стать активными субъектами учения (обучения в самостоятельной познавательной деятельности), хотя в этих классах школьники способны под руководством учителя решать даже такие сложные задачи стереометрии, как, например, вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми, но в самостоятельной деятельности мысли о заведомо сложных решениях останавливают старшеклассников на очень простых упражнениях.

Таким образом, сложились определенные предпосылки для научно-методической разработки упрощённых приемов, формирующих в процессе самостоятельной познавательной деятельности готовность учащихся к усвоению более глубоких знаний и навыков, и они могли бы лечь в основу формирования простых алгоритмов решения стереометрических задач.

ного профиля к самостоятельному изучению стереометрического материала (в рамках разделов) более сложного содержания, базирующегося на пространственных представлениях и планиметрических фактах.

Объект исследования - процесс обучения старшеклассников стереометрии в классах универсального профиля.

Предмет, цель и гипотеза исследования определили постановку и решение следующих задач:

- теория развивающего обучения (JI.C. Выготский, П.Я. Гальперин, B.C. Гончаров, В,А. Крутецкий, C.J1. Рубинштейн, С.И. Шапиро, И.С. Якиманская, и

др-);

- педагогические основы теории самостоятельной деятельности (В.П. Беспалько, Ф. Кайзер, ,О.Е. Лебедев, Е.В. Чуб, и др.)

- теория обучения решению стереометрических задач (С.Л. Атанасян, Э.Г. Готман, В.А. Далингер, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, И.Ф. Шарыгин и др.)

Научная новизна:

1. Определены требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач;

Теоретическая значимость состоит в том, что алгоритмы решения задач, используемые в курсах аналитической геометрии высшей школы, упрощены и адаптированы для школьников; разработана методика применения упрощенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов в пространстве и вывод формул для объемов тел.

Практическая значимость:

На защиту выносятся следующие основные положения:

2. Разработанная методика реализации упрощенно-когнитивных приемов способствует:

- повышению эффективности обуч�