автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Научно-методические основы взаимодействия школьного и вузовского математического образования в России

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Мельников, Иван Иванович, 1999 год

Актуальность исследования. Тенденции изменения современной образовательной системы России с необходимостью вызывают соответствующие изменения в содержании и методике изучения основных учебных дисциплин в школе и вузе. Эти изменения с неизбежностью ставят ряд проблем в организации должного взаимодействия школьного и вузовского естественно-научного и, в частности, — математического образования.

Проблема взаимосвязи высшей и средней школы издавна привлекала внимание научной и педагогической общественности нашей страны. Так, на 1-ом и 2-ом Всероссийских съездах преподавателей математики (1911 - 12, 1913 - 14 гг.) в докладах К. А. Поссе, В. Б. Струве и др. были всесторонне рассмотрены вопросы согласования программ по математике в высшей и средней школах. Наряду с обсуждением взаимосвязи отечественной высшей и средней школы, был детально обсужден вопрос о том, как эта проблема решается за рубежом (доклад Д. М. Синцова). Эта проблема продолжала оставаться в центре внимания общественности и в послереволюционный, а затем и в советский периоды развития средней и высшей школы. Особенно острым был вопрос о готовности абитуриентов к поступлению и обучению в вузах. Именно для решения этого вопроса и были поначалу организованы рабфаки, а позднее подготовительные отделения (или курсы) вузов, действующие и поныне. Постепенно участие вузов в школьном обучении математике приобретало все большую широту. Так, в 1935 году МГУ проводит первую математическую олимпиаду школьников, в 50 - 60 годах возникают вечерние и заочные математические школы, а в 1963 году — физико-математические школы-интернаты при Киевском, Ленинградском, Московском и Новосибирском университетах. Ученые и преподаватели вузов с 60-х годов начинают активно ингтига^ » """—--------"" х учебников и учебных посоматематической литературы, [но не являлась систематичец д(ном, лишь прагматическими узы, помочь в работе с ода

В Перми. * един, сомин.

Г ВЫП.

5зь школы и вуза и до сих сий характер. Эффективное лола — вуз", охватывающее обеспечивающее действен-~вуза пока еще не получило 1я. Между тем, в условиях ,;рциализации высшего образования все в большей степени стали возникать противоречия между требованиями и потребностями вуза и возможностями и реалиями школы в качестве математической подготовки выпускников, а значит, стала острой потребность в целенаправленном и эффективном взаимодействии школы и вуза.

Взаимодействие школы и вуза должно осуществляться адекватно тем основным задачам, которые призвано решать современное непрерывное математическое образование.

Это в свою очередь выявляет насущную необходимость в научно-методической разработке теории и практики такого взаимодействия, которое сможет способствовать эволюционному развитию всей системы математического образования в России. Вопрос этот достаточно сложен. Отдельные, связанные с ним общие и частные проблемы обсуждались (и частично решались) в работах целого ряда математиков, педагогов, психологов и методистов (И. Н. Антипов, И. И. Баврин, М. И. Башмаков, В. Ф. Бутузов, Н. Я. Виленкин, Г. Д. Глейзер, М. К. Гребенча, В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, В. А. Крутецкий, В. С. Леднев, А. Н. Леонтьев, Г. Л. Луканкин, В. Л. Матросов,

A. Г. Мордкович, С. И. Новоселов, И. И. Петраков, М. К. Потапов, Н. X. Розов, Ю. В. Сидоров, И. М. Смирнова, Н. Ф. Талызина, М. И. Шабунин, С. И. Шварцбурд, Г. Н. Яковлев и др.). Однако, сама проблема в целостном виде до сих пор, по-существу, не ставилась.

Естественно, что приступая к решению данной проблемы, следует прежде всего разобраться в содержании взаимодействия школы и вуза, в его формах и средствах и, наконец, — влияния школьного и вузовского математического образования друг на друга; выявить те базовые принципы, которые определяют необходимое единство образовательного процесса, ибо систему математического образования в школе и вузе нельзя рассматривать изолированно.

В ходе исследования использовались также публикации по проблемам образования и методики обучения математике известных ученых-математиков: П. С. Александрова, А. Д. Александрова, И. М. Виноградова, В. С. Владимирова, И. М. Гельфанда, Б. В. Гнеденко, Б. Н. Делоне, А. Н. Колмогорова, Л. Д. Кудрявцева, М. А. Лаврентьева, Н. Н. Лузина, А. И. Маркушевича, С. М. Никольского, И. Г. Петровского, А. В. Погорелова, Д. Пойа, Л. С. Понтрягина,

B. А. Садовничего, А. Н. Тихонова, Г. Фройденталя, А. Я. Хинчина и др.

Под математическим образованием будем понимать учебно - воспитательный процесс, осуществляемый в ходе изучения математики на всех ступенях непрерывного образования, при котором происходит не только усвоение определенной совокупности математических знаний, умений и навыков, но и развитие мышления учащихся, формирование их нравственной и духовной культуры.

Математическое образование в вузе ставит своей целью помочь учащимся овладеть математическим аппаратом, применяемым в соответствующих областях знания, отвечающим их современному мировому научному уровню. Более того, для будущих специалистов в области самой математики или педагогов цри этом необходимо обеспечить должную широту изученного учебного материала и необходимую строгость его изложения, с глубоким пониманием базовых математических понятий.

Важно подчеркнуть, что выпускники средней школы должны обладать знаниями, которые следует в процессе вузовского обучения развивать, углублять, а не подвергать коренной ломке, как это иногда происходит.

С другой стороны, вуз, предъявляя определенные требования к уровню математических знаний, умений и навыков выпускников школы, не может в полной мере определять содержание школьного образования. Он может и должен выступать в роли творческого начала и неформального организатора в возможном расширении и углублении школьного обучения математике (через систему форм внеклассной работы, математических школ, кружков, математических практикумов, тестирований, олимпиад, через публикации для школы необходимых методических материалов, пособий по элементарной математике и основам высшей математики).

Активизация работы высшей школы в этом направлении обусловлена также и тем, что Закон Российской Федерации "Об образовании" во многом перенес в конкретные образовательные учреждения решение ряда вопросов, связанных с содержанием и формами образования. Школе с этой задачей самостоятельно справиться трудно. Поэтому вопрос о соотношении единой общеобразовательной школы и многообразия форм школьного обучения требует серьезного научного анализа.

Ни одна из этих задач не может быть решена без должной взаимосвязи, без эффективного взаимодействия высшей и средней школы. Сказанное свидетельствует об актуальности настоящего исследования.

Объект исследования. Математическое образование в современной отечественной высшей и средней школе.

Предмет исследования. Научно-методические основы взаимодействия школьного и вузовского математического образования.

Цель исследования. Исходя из современного состояния образовательной системы России, дать научный анализ и выявить пути решения основных научно-методических проблем взаимодействия школьного и вузовского математического образования на этапе перехода от школы к вузу с учетом опыта работы МГУ им. М. В. Ломоносова.

На защиту выносится: концепция и система базовых принципов, определяющих единство процесса школьного и вузовского математического образования; содержание и формы взаимодействия вуза и школы, оценка степени их взаимного влияния и обеспечения преемственности математического образования в школе й в вузе: система научно-методических принципов построения учебных пособий до математике, ориентированных на школу, реализованная в учебных пособиях автора; система ориентации обучения математике учащихся старших классов средних школ на их подготовку для поступления в вуз; методическая система адаптации студентов младших курсов к изучению математических дисциплин в вузе.

Концепция исследования заключается в применении системного подхода к анализу взаимодействия математического образования в школе и вузе, которое характеризуется обеспечением преемственности в содержании, формах и методах обучения математике в старших классах школы и на младших курсах вуза: наличием эффективного организационного и содержательного взаимодействия школы и вуза; единством основных требований к математической подготовке выпускников школ и абитуриентов вузов; выявлением и единой трактовкой основных математических идей и понятий с использованием единой терминологии и символики; реализацией общего принципа постепенного нарастания трудностей в процессе обучения математике в старших классах школы и на младших курсах вуза; обеспечением научно-методической подготовки учителей школ с активным участием работников вузов, направленной на расширение кругозора учителя, более глубокое осмысление основных математических идей; активным участием вузовских работников в написании учебно-методических пособий для школ, чтении лекций для школьников и учителей и т.д.; ориентацией школьного обучения математике в старших классах на сознательное и прочное владение теми основными знаниями, умениями и навыками (вычисления, алгебраические преобразования, геометрические построения, логическое мышление и др.), которые необходимы для успешного обучения в вузе; эффективным использованием математических задач в качестве средства повышения уровня осознанных и прочных знаний школьников, развития их мышления и способностей; целесообразностью и правомерностью требований к уровню математической подготовки учащихся на основных этапах обучения в школе и вузе, а также научностью изложения материала, реализуемой через логику построения учебных планов, программ и учебников.

Исследования по теме диссертации были начаты автором в 1973 г. и продолжались в течение 25 лет. Базой для исследования послужила научно-педагогическая деятельность автора в заочной математической школе при МГУ (1969 - 1972 гг.), в физико-математической школе-интернате №18 при МГУ (1972 - 1980 гг.), на подготовительном отделении МГУ (1975 - 1980 гг.). В качестве заместителя декана механико-математического факультета МГУ автор был организатором многих форм работы со школьниками (математические олимпиады различного уровня, лекторий и подготовительные курсы МГУ, создание системы кружков в школах г. Москвы и в МГУ). Работа по проведению вступительных экзаменов, создание программ и заданий по математике для поступающих на различные факультеты МГУ также предоставили автору богатый материал для исследования. Важным этапом стало создание на механико-математическом факультете МГУ в 1987 г. кабинета методики преподавания элементарной математики, руководство которым автор осуществляет с момента создания. Наряду с подготовкой учителей математики для старших классов средней школы и преподавателей педагогических вузов из числа студентов и аспирантов механико-математического факультета МГУ, кабинет проводит комплекс научных исследований в области методики преподавания математики, принимает участие в организации работы со школьниками и проведении вступительных экзаменов.

Результаты исследований автора нашли отражение в ряде книг, учебно-методических пособий и статей.

Научная новизна данного исследования состоит в разработке концепции и системы базовых принципов, определяющих необходимое единство математического образования в школе и вузе, должное их взаимодействие, а также — в разработке целостной системы научно-методических требований к построению вузовских учебных пособий с различными дидактическими функциями, ориентированных на школу.

Сформулированные автором научные принципы взаимодействия высшей и средней школы в математическом образовании позволяют определить наиболее перспективные направления его совершенствования в отечественной средней и высшей школе.

Практическая значимость результатов исследования связана с их успешным внедрением в процесс преподавания на подготовительном отделении механико-математического факультета МГУ, в систему подготовки и переподготовки учителей средней школы в вузе, в работу математических школ г. Москвы, в проведение школьных математических кружков и факультативов, математических олимпиад.

Учебные пособия, написанные при участии соискателя, выпущены центральными издательствами и широко распространены не только в нашей стране, но и за рубежом (имеются переводы на английский, испанский языки).

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования использовались на спецсеминарах, спецкурсах и математических практикумах в физико-математической школе-интернате № 18 при МРУ, на подготовительном отделении и в лектории МГУ; докладывались и обсуждались на семинарах по методике преподавания элементарной математики на механике - математическом факультете МГУ, Ломоносовских чтениях в МГУ, конференциях по вопросам образования, курсах повышения квалификации учителей средней школы при механико - математическом факультете МГУ. Основные результаты исследования докладывались также слушателям института усовершенствования учителей г. Москвы, на секции средней школы при Московском математическом обществе, на курсах переподготовки преподавателей средней школы Аргентины, Мексики; обсуждались в ходе совместной научной работы МГУ, Карлова университета в Праге и университета им. А. Гумбольдта в Берлине на тему: "Проблемы перехода от средней школы к высшей школе" и совместной научной работы МГУ и университета Комплутенс (Мадрид, Испания).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

I. Основные положения и принципы взаимодействия школы и вуза.

1. Исторически для России характерно связывать образование с приобретением фундаментальных знаний по основам наук, с развитием науки как фундамента подготовки специалистов, с формированием гуманитарной культуры как основы духовного богатства человека. Это означает, что образование в России неотделимо от воспитания в самом широком смысле этого слова. Поэтому для определения главных целей и задач образования следует исходить из таких идеалов как, с одной стороны, свободный творческий труд преподавателей и учащихся, а с другой стороны, искреннее желание тех и других поставить свои знания и опыт на службу своей стране.

Важную роль в процессе обучения играют образовательные стандарты. Как известно, государственные образовательные стандарты должны быть установлены в России в соответствии со статьей 7 Закона Российской Федерации "Об образовании", действующего с 1992 года.

Отметим, что основные функции государственных образовательных стандартов связаны с законодательным критерием контроля за качеством образования, с государственной аттестацией учащихся и самих образовательных учреждений и, наконец, с отсутствием единых учебных планов и программ по каждому предмету.

Именно образовательный стандарт:

1) устанавливает обязательный минимум содержания образования и единые требования к уровню подготовки учащихся;

2) позволяет сохранить единое образовательное пространство в стране;

3) обеспечивает необходимую преемственность разных уровней образования;

4) обеспечивает решение проблемы образовательной мобильности и возможность нострификации документов об образовании с другими странами;

5) обеспечивает защиту здоровья учащихся путем установки максимальной учебной нагрузки;

6) регулирует воспитательную функцию образования в процессе обучения.

И тем самым обеспечивает выполнение конституционного права каждого гражданина России на получение полноценного и качественного образования и по существу реализует демократичность образования.

Взгляд некоторых представителей педагогической науки и практики на "стандарт" образования как на тормоз прогресса в творческом усвоении изучаемых дисциплин не представляется обоснованным. В условиях отсутствия государственных образовательных стандартов ни о каком эффективном взаимодействии школы и вуза не может быть и речи. Более того, отсутствие обязательного образовательного минимума, выраженного в государственных стандартах, с неизбежностью приведет к тому, что значительная часть всех учащихся окажется отрезанной от перспектив получения полноценного образования.

2. Отметим некоторые методологические особенности обучения математике в отечественной средней школе, которые до сих пор неизменно выводили школьное математическое образование на ведущее место в мире. В первую очередь, это опора на сочетание разумной строгости рассуждений с простотой, доступностью и конкретностью изложения учебного материала; предпочтение содержательным, а не формальным конструкциям. Во-вторых, математика, изучаемая в школе, всегда определялась в таком содержании и объеме, который обеспечивал сознательное и прочное усвоение основных ее элементов. Это определялось не только программой и учебниками математики, но и живым словом учителя. Именно обучение, идущее от ощущений к представлениям, от представлений к понятиям, от понятий к суждениям, от суждений к умозаключениям издавна было интереснее, доступнее и полезнее для восприятия, чем изложение математики. опирающееся на сухие формально-логические строгие умозаключения. В связи с этим естественно возникла и решалась задача выделения необходимого минимума основного учебного и сопутствующего материала, который обеспечивал должное усвоение основного содержания. Опыт отечественной школы свидетельствует о том, что пренебрежение опытным индуктивным познанием уводит в сторону от-правильногоу основательного учения.

Следует особо подчеркнуть важную задачу школы, связанную с "научением учению". Академик А. Н. Крылов главную задачу образования справедливо определил следующим образом: "Школа не может дать вполне законченного знания; главная задача школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним словом. главная задача школы — научить учиться, и для того, кто в школе научится учиться, практическая деятельность всю его жизнь будет наилучшей школой."

Понятие "учиться" включает в себя не только процесс, накопления знаний, но, в первую очередь, превращение приобретенных книжных знаний в инструмент деятельности, что требует не только осознанного владения знаниями, но и самостоятельного их пополнения. Вместе с тем, самостоятельная работа возможна лишь тогда, когда сознательно и прочно усвоены основы знаний.

Без воспитывающего, нравственного начала, сами по себе и учеба, и творчество не могут иметь самодовлеющей и абсолютной ценности. Непреходящее же значение имеет формирование в процессе обучения личности учащегося, укрепление его умственных и духовных сил. Коротко это можно сформулировать так: и учить, и вдохновлять.

Справедливо замечено, что "всякое человеческое познание начинает с созерцаний, переходит от них к понятиям и заканчивает идеями"1.

Основные методологические особенности отечественной высшей школы — в прочной связи учебного процесса с фундаментальными научными исследованиями и в опоре на научно - педагогические школы, что предполагает преемственность и единство всего образовательного процесса.

Укажем на две основные цели, которые реализуются в преподавании математики в вузе.

Во-первых, математика имеет общеобразовательное значение. Она способствует развитию логического мышления, интуиции и лучшему пониманию явлений вещественного мира. Она придает заключениям естественных наук большую общность, помогает им предсказывать и вычислять многие события, анализировать многие частные случаи общих проблем и излагать результаты исследований этих наук в

И. Кант. Критика чистого разума. М.: 1964. Соч. Т.З. С. 591. компактном виде.

Во-вторых, математика является научной базой фундаментальных исследований и тем самым она отражает уровень самих исследований.

Взаимодействие школьного и вузовского математического образования протекает в рамках единого образовательного процесса, охватывающего период с момента поступления ребенка в школу до (в ряде случаев) послевузовского профессионального образования. При этом основное внимание следует уделить последней школьной ступени и началу вузовского периода, поскольку именно в эти годы проявляются характерные черты взаимодействия школьного и вузовского образования. Сюда же мы относим и период активной подготовки школьника к поступлению в вуз, который идет "параллельно" последним школьным годам и следы которого особенно видны на младших курсах вуза.

Вуз и школа влияют друг на друга, однако сильнейший фактор, определяющий их взаимодействие, находится как бы вне этой пары — это наука и научно-технический прогресс. В силу этого содержание вузовских программ должно постоянно модернизироваться вслед за движущимся фронтом научных исследований и технических достижений. В свою очередь, это приводит к определенным подвижкам школьных программ. Последние менее заметны, в них накопление происходит существенно медленнее.

И хотя средняя школа неизбежно и закономерно консервативна, определяя ее эволюцию, мы, конечно, должны принимать во внимание динамику этого процесса.

3. Перейдем к раскрытию содержания взаимодействия школьного и вузовского математического образования.

Взаимодействие понимается здесь как активная системная взаимосвязь содержания, форм и методов математического образования, включающая в себя преемственность, согласованность и синхронность усилий, направленных на совершенствование процесса обучения математике на важном этапе перехода от средней школы к вузу.

Сформулируем основные принципы взаимодействия школы и вуза, которые во многом определили концепцию и основные направления исследования.

1. Разработка методической системы, позволяющей плавно перейти от школьного к вузовскому обучению математике.

2. Идейное и содержательное единство математики школы и вуза, обеспечивающее действенность и непрерывность образования.

3. Стабильность в содержании основ математической подготовки в школе и вузе и в требованиях к уровню такой подготовки.

4. Дифференцированный подход к различным категориям учащихся в зависимости от их уровня математической подготовки, интересов и склонностей (оптимальное сочетание желаемого и возможного).

5. Сохранение баланса во взаимодействии и взаимовлиянии вуза и школы в системе естественно - научного и, в частности, математического образования.

6. Своевременная профессиональная ориентация учащихся старших классов, возбуждение и развитие интереса школьников к изучению математики и ее приложений.------------------- ------------------------—

7. Активное участие вуза в воспитании и умственном развитиии школьников средствами математики и в процессе решения задач.

Рассмотрим теперь, как эти принципы реализуются на практике.

На первый взгляд, во взаимодействии школы и вуза последний должен представлять собой более активную, более динамичную силу, определяющую вектор развития математического образования в целом. Нередко создается устойчивое впечатление, что вуз более активно влияет на школу, а школа, скорее выступает лишь как сдерживающая, консервативная сила. Некоторые вузовские работники полагают, что основное предназначение средней школы — "обслуживать" высшую школу так, как ей бы хотелось.

Однако, такой подход является, по меньшей мере, упрощенным. Опыт отечественной школы свидетельствует, что влияние средней школы — это активная позитивная составляющая процесса взаимодействия, в которой охранительная функция хотя и занимает не последнее место, но не является главной, а тем более единственной. Школа активно продуцирует идеи, оказывающие серьезное влияние на все развитие общества, именно она выстраивает фундамент всего дальнейшего участия личности в жизни общества, в том числе, в научном и техническом творчестве.

Взаимодействие между школой и вузом должно быть обязательно встречным, направленным на обеспечение должной преемственности математической подготовки в школе и вузе и, по возможности, безболезненного (плавного) перехода от одного уровня образования к другому. В частности, школьная и вузовская трактовка основных математических идей и понятий должна быть непротиворечивой, взаимно согласованной, математически корректной и способной к дальнейшему обобщению и развитию.

Очевидно, что уровень школьного образования — это та реальность, от которой вузы должны отталкиваться при организации образовательного процесса. Снижение или повышение уровня образования в школе неизбежно и закономерно влияет на эффективность деятельности высшей школы, влечет изменение учебных планов, программ, методики преподавания в вузе. При этом постоянно работает принцип акселерации — даже небольшие положительные сдвиги в школьном образовании существенно ускоряют процесс адаптации студентов на младших курсах, восприимчивость к программам более высокого уровня фундаментальности и трудности.

Так, например, в вузовской среде имеют хождения словосочетания "сильный набор", "сильный курс". "Сильный набор" порождает "сильный курс", из которого вырастет "сильная аспирантура" и "сильный выпуск". Но "сильный набор" — это, прежде всего, — проявление положительного сдвига в средней школе. Другой пример. Более глубокая, с методической точки зрения, проработка в школе понятия функции дает возможность строить университетский курс на более широкой понятийной базе и ускорить переход к сложным математическим конструкциям, в том числе, многомерного анализа.

Как уже отмечалось, во взаимодействии вуза и школы первый чаще всего выступает как социальный заказчик, причем такой, который постоянно стремится усилить свои требования к уровню подготовки школьников. При этом такие требования и ожидания далеко не всегда соразмеряются с физическими, психологическими и другими возможностями и школьника, и школы как образовательной системы.

По-настоящему квалифицированно выявить эти объективные ограничения может только педагогическая наука, школа, специалист, работающий и в вузе, и в школе. Охранительная функция школы заключается не только в возрастных и физиологических ограничениях. Стремление расширить объем знаний, даваемых в школьный период, также может вступить в противоречие с фундаментальной задачей, которую школа решает в математическом образовании — усвоение основ знаний, умений и навыков, а также важнейшей задачей школы — "научить учиться".

Эволюция отечественной школы в XX веке знает немало тому примеров, немало горьких уроков. Вспомним, как в 70-е годы под давлением некоторых ученых и работников высшей школы, во многом благодаря влиянию идей Н. Бурбаки, был выдвинут тезис о необходимости повышения научного уровня преподавания школьной математики. Без должного эксперимента, во многом волюнтаристски, была осуществлена коренная реформа школьного математического образования под флагом теоретико-множественного подхода к построению курса математики. В частности, в ходе этой реформы в школьных курсах математики стали изучаться темы, традиционные при обучении на младших курсах вузов. Понадобилось десять лет, чтобы сами вузы обнаружили, какие большие потери произошли не только в фундаментальной подготовке школьников, но в важнейших практических навыках. Резко снизился уровень логического мышления школьников, ухудшилась техника алгебраических преобразований и даже — элементарных вычислений. При этом "новые" теоретические знания были восприняты даже лучшими школьниками схоластически, поверхностно. Не случайно, общее собрание Отделения математики АН СССР 5 декабря 1978 г. школьные программы и учебники (равно, как и состояние математических знаний школьников) признало неудовлетворительными. В течение следующего десятилетия школа и вузы выбирались из этого тупика.

Это было и остается серьезным уроком для математической и педагогической общественности, уроком, который показал, что в процессе взаимодействия школа не может и не должна исполнять роль -пассивного восприимщик-а—управляющих" идей-из высшей школы.

Итак, проблемы взаимодействия школы и вуза могут быть сгруппированы вокруг следующих направлений: школьное обучение как активная позитивная составляющая процесса взаимодействия школьного и вузовского образования; возможности взаимосвязи фундаментальных и специальных знаний в решении основной задачи школьного обучения; содержание вузовского и школьного математического образования, реализованное в учебных планах, программах и учебниках, ориентированных как на изучение математики в массовой школе, так и на углубленное ее изучение; симбиоз требований, предъявляемых вузами к абитуриентам и требований, предъявляемых школой к выпускникам, а также их влияние на образовательный процесс в целом; формы, способы и средства непосредственного участия высшей школы в школьном математическом образовании, в частности, — в организации внеклассной работы; принципы построения учебных и современных учебно - методических пособий для старших классов школы, для подготовительных отделений вузов, для факультативных занятий и самообразования; способы и средства обеспечения единства и непрерывности процесса математического образования в школе и вузе.

II. Основные формы взаимодействия школы и вуза.

Школьное математическое образование должно на основе систематического изучения материала обеспечить прежде всего сознательное и прочное усвоение курса элементарной математики. При этом школьникам должна быть обеспечена:

1) возможность дальнейшего образования как в естественнонаучном, так и в гуманитарном направлении;

2) достижение достаточно высокого уровня квалификации, не обязательно связанного с обучением в вузе (в частности, для усвоения логики правовых и экономических отношений в повседневной практической деятельности); 3) развитие мышления (как интуитивного, так и логического) и т.н. пространственного воображения.

Рассмотрим теперь основные организационные и содержательные формы взаимодействия вуза и школы.

1. Научно-технический прогресс, темпы развития знания в широком смысле слова предъявляют требования к дифференциации образования, к его профессионализации. Высшее образование — это профессиональное образование, где специализация достигает высокого уровня. Однако, несомненно и то, что важнейший период профориентации приходится на школьные годы. В последние годы вариативность образования, ранняя профориентация становятся важной частью школьного образования. Как уже отмечалось, первые специализированные классы и школы появились достаточно давно, и уже накоплен большой опыт в организации работы таких классов и школ с математическим "уклоном".

Появление физико-математических школ-интернатов при ведущих университетах страны было, по-видимому, высшей формой специализации в рамках школьного образования. Многолетний опыт работы в одной из таких школ (ФМШ №18 при МГУ им. М. В. Ломоносова) позволил автору [I, 1-3, 16] на практике увидеть тесное взаимодействие вузовского и школьного математического образования, которое осуществлялось в процессе выработки учебных планов, программ, создания учебников, практикумов, нацеленных на углубленное изучение элементарной математики в средней школе. Вместе с тем, опыт работы специалированных физико-математических школ еще раз подтвердил правильность тезиса о необходимости строгого баланса фундаментальной и специальной составляющих математического образования.

Хотя ясно, что дальнейшее развитие современной средней школы связано с идеями вариативности, профильной дифференциации и специализации, необходимо постоянно помнить о главных задачах математического образования в школе — усвоение основ математических знаний, развитие мышления учащихся и "научение учению" — все это закладывает фундамент для дальнейшего образования.

2. Само существование высшего образования является мощным социально - психологическим фактором развития математического образования. Выраженная в словах "хочу учиться в вузе" прагматическая цель выпускника школы есть отражение престижа образования в обществе, стремления школьника к творчеству, к познанию. Естественно, что это заставляет школу строить свои программы обучения с учетом возможности для части учащихся продолжить образование.

Выступая в качестве социального заказчика, вуз предъявляет свои требования к абитуриенту в форме программ и задач вступительных экзаменов, тестов, пробных экзаменов и т.д.

Плохо, если программы вступительных экзаменов в вузы подвержены конъюнктуре дня, меняются содержательно и идеологически. В отличие от некоторых вузов программа вступительных экзаменов по математике на механико-математический факультет МГУ (разработавшая при участии автора) достаточно стабильна, действует в университете в течение многих лет [I, 33].

Программа состоит из трех основных разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном, так и на устном экзамене.

Второй раздел представляет собой перечень -вопросов теоретической части устного экзамена. В третьем разделе указано, какие умения и навыки требуются от поступающего на письменном и устном экзаменах. На наш взгляд, особый интерес представляет именно третий ее раздел "Требования к поступающему",

На экзамене по математике поступающий должен уметь:

1) выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми выражениями; преобразовывать буквенные выражения; производить операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное произведение); переводить одни единицы измерения в другие;

2) сравнивать числа и находить их приближенные значения (без калькулятора); доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;

3) решать уравнения, неравенства, системы (в том числе, с параметрами) и исследовать их решения;

4) исследовать функции; строить графики функций и множества точек на координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;

5) изображать геометрические фигуры на чертеже; делать дополнительные построения; строить сечения; исследовать взаимное расположение фигур; применять признаки равенства, подобия фигур и их принадлежности к тому или иному виду;

6) пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессий;

7) пользоваться свойствами геометрических фигур, их характерных точек, линий и частей, свойствами равенства, подобия и взаимного расположения фигур;

8) пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади, объемы;

9) составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи;

10) излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями.

На устном экзамене поступающий должен дополнительно уметь:

11) давать определения, формулировать и доказывать утверждения (формулы, соотношения, теоремы, признаки, свойства и т.п.), указанные во втором разделе настоящей программы;

12) анализировать формулировки утверждений и их доказательства;

13) решать задачи на построение циркулем, линейкой; находить геометрические места точек.

Как видно из приведенного текста, этот раздел в концентрированном виде создает образ математической подготовки выпускника школы, которого ждут в университете. Подобный материал всегда привлекает особое внимание учителя математики и учащегося, служит им своеобразным ориентиром и главное, — фактически не выходит за рамки школьной программы.

3. Другим, также интересным, ориентировочным и обучающим материалом являются математические тесты [I, 6, 14], активно используемые в последнее время. Типология тестов достаточно разнообразна — от тестов, охватывающих несколько крупных разделов курса (содержащих до ста и более задач), до тематических тестов (содержащих около десяти задач). Естественно, что в более объемном тесте задачи значительно проще, чем в тематическом. Разработанная методика оценки результатов тестирования позволяет как преподавателю, так и самому школьнику обнаружить не только конкретные пробелы в математической подготовке, но и такие общие недостатки, как отсутствие внимательности, неумение читать графики и т.д. Приведем пример одного из тематических тестов, посвященный решению текстовых задач.

1. Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии равна 12. Найти сумму первого и пятого членов.

2. Коза съедает воз сена за четыре дня, овца — за пять, а корова — за два дня. На сколько дней хватит 245 возов сена 3 козам, 6 овцам и 1 корове?

3. В городе 40% населения говорят по-турецки, 70% — по-гречески, а 30% — на обоих языках. Сколько процентов населения не говорит ни по-турецки, ни по-гречески?

4. Сумма первых 10 членов геометрической прогрессии со знаменателем (—2) равна 80,2. Найти произведение второго и третьего ее членов.

5. Плот проплывает путь от А до В за 12 часов, а катер — путь от А до В и обратно за 5 часов. Во сколько раз катер плывет по течению быстрее плота?

6. Расколотый арбуз содержал 98% воды. Через некоторое время воды в нем стало 96%. Во сколько раз он усох?

7. Два бегуна одновременно стартуют на дистанцию 5000 метров по круговой дорожке стадиона длиной 400 метров. Скорость одного — 8 км/час, другого — 10 км/час. Через сколько минут произойдет первый обгон и сколько всего будет обгонов?

8. Из сосуда, содержащего 3 литра раствора спирта, отлили 1 литр раствора и долили 1 литр воды. Затем отлили 2 литра раствора и долили 1 литр воды. В полученном растворе оказалось 24% спирта. Сколько процентов спирта было в первоначальном растворе?

9. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если увеличить его на 45, то произведение цифр полученного числа будет равно 6. Найти исходное число.

-10. К графику- функции у = — хя. х < 0, проведена касательная, пересекающая ось абсцисс в точке А, а ось ординат — в точке В. Найти абсциссу точки касания, если О В — 3 ■ О А.

Таким образом, тесты позволяют быстро выявить слабые места в подготовке абитуриента и, тем самым, вуз непосредственно включается в процесс обучения в школе, оказывает на него позитивное воздействие.

Задачи вступительных экзаменов, сборники таких задач с методическим разбором их решений [I, 1 - 5, 7 -10], являются не только действенным средством обучения или профориентации школьников, но и позволяют поддерживать традиционный уровень требований к поступлению в вуз. Отметим, что детальный анализ того, как школьники решали каждую из предложенных задач, позволяет преподавателям сделать неформальный вывод о том, как лучше построить обучение математике на первом курсе вуза. На возможность такого вывода ориентированы многие задачи вступительного экзамена.

Таким образом, вузы постоянно снабжают школу целой системой ориентиров в виде контрольных материалов (программ, тестов, задач и т.д.), оказывающих сильнейшее воздействие на весь учебный процесс в школе. Возникла даже необходимость создания "индустрии подготовки школьников в школах" к поступлению в вузы. Это дает возможность унифицировать требования к знаниям, умениям и навыкам абитуриентов по математике, нередко позволяет усовершенствовать изложение ряда разделов школьной программы ("метод интервалов", "область допустимых значений неизвестных", "исследование параметрических уравнений и неравенств" и др.). Здесь важно то, что вуз выступает не только в качестве социального заказчика школы, но и как ее заинтересованный партнер, как активный участник совершенствования процесса математической подготовки школьника.

4. Среди основных форм социального партнерства можно выделить: а) участие преподавателей вузов в работе подготовительных отделений, в работе специализированных школ и классов; б) действенную помощь в организации внеклассных форм работы в школе (подготовительные курсы и лекторий, математические кружки, олимпиады, заочные математические школы); в) повышение квалификации учителей через специальные курсы и подготовку педагогических кадров в классических университетах.

Дадим теперь краткую характеристику этих форм работы вуза со школой. а). Подготовительное отделение стоит наиболее близко к вузу и по сути представляет собой "нулевой курс", выпускники которого относительно плавно переходят на первый курс вуза. Главной особенностью подготовительного отделения является его нацеленность на помощь закончившим школу (возможно несколько лет назад) в систематизации и расширении их знаний, закреплении и развитии необходимых математических умений и навыков. Отбор слушателей подготовительных отделений строится с помощью системы тестов, которая позволяет выявить наиболее восприимчивых к ускоренному обучению, характерному для работы подготовительных отделений. Дополнительно к курсу элементарной математики программы подготовительных отделений содержат элементы высшей математики, что также упрощает процесс адаптации слушателей после их зачисления на первый курс вуза. Так, например, в программе обращается особое внимание на такие разделы алгебры и начал анализа как комплексные числа, многочлены, системы линейных уравнений, обратные функции, пределы и т.д. Последовательность и методика изложения учебного материала строится так, чтобы обеспечить комплексность и системность видения учащимся всей школьной программы по математике, взаимосвязь различных ее разделов. б). Специализированная школа (класс). Усиление взаимодействия высшей и средней школы в области математического образования по времени приходится на 50-60-е годы, когда важная роль математической науки для народного хозяйства и обороны была осознана обществом, и профессия математика стала переходить в разряд массовых.

В движении за повышение уровня математического образования в стране приняло участие большое количество преподавателей вузов, что встретило положительные отклики в учительской среде. Как уже отмечалось, важное место во взаимодействии со школой заняла идея организации при крупных университетах специализированных физико-математических школ-интернатов. Такие школы выступали, во-первых, как базовые для определения содержания и методов обучения для огромной сети возникших к тому времени специализированных школ и классов с углубленным изучением математики. Во-вторых, благодаря специальной системе отбора учащихся преследовалась цель привлечь юные таланты, а также оказать прямое воздействие на подъем уровня подготовки учащихся малых городов и деревень, удаленных от университетских центров.

Фактически это была реализация на новом этапе развития общества прозорливой идеи М. В. Ломоносова: "При университетах должна быть гимназия, без которой университет как пашня без семени. Здесь следует преподавать школьные предметы так, чтобы вышедшие оттуда были способны приступить к занятиям высшего порядка в университетах". Особый статус специализированных математических школ требует более детального рассмотрения вопроса об их деятельности.

Особенности содержания и форм обучения математике в школе-интернате тесно связаны с тем, что все обучающиеся в них имеют сильнейшую мотивацию к занятиям именно математикой, вызванную их сильным интересом к предмету и ярко выраженными способностями^

В силу этого физико-математические школы-интернаты представляют собой школы научного творчества, в которых процесс обучения органично сочетается с первыми поисками в собственных математических исследованиях.

Особенности отбора и обучения в таких школах можно проследить на примере ФМШ №18 при МГУ. Для рекомендованных учителями школьников проводится письменный экзамен, по результатом которого в областных центрах проходят затем устные собеседования. И письменный экзамен, и собеседования, проводимые преподавателями МГУ, выделяли круг школьников, способности которых не вызывали сомнений, а также группу тех, для кого решение вопроса об их обучении принималось после "летней математической школы". Летняя школа помогает ученикам ликвидировать некоторые недостатки в их обучении, а для преподавателей — еще раз убедиться в правильности выбора. Наряду с известными школьникам темами на занятиях рассматриваются и некоторые новые вопросы. Так, курс летней школы под названием "Функции и графики", предназначенный для девятиклассников, был построен на основе такого сочетания знакомого материала с новым. В этом курсе рассмотривались темы: зависимость между двумя переменными и ее график; системы уравнений и неравенств на координатной плоскости: линейное программирование с двумя переменными; полярные координаты на плоскости; графики в полярных координатах; графическое исследование квадратичной функции; линейные преобразования графиков; дробно-линейные функции; асимптоты; графики квадратично-рациональных функций.

Вступительные задания (письменное и для устного собеседования) ставят своей главной задачей выявление творческого потенциала школьника, его способность к анализу, логическому мышлению и использованию школьных знаний при решении нестандартных математических задач. Приведем примеры таких заданий.

Пример 1. Можно ли в квадратный платок со стороной 3 см завернуть кубик, ребро которого 1 см?

Пример 2. Найти все натуральные числа а, для которых треугольник со сторонами 6 см, 7 см и а см будет тупоугольным.

Пример 3. Доска длины I скользит по сторонам прямого угла. Какую линию опишет середина доски?

Особенности обучения в ФМШ в первую очередь связаны с программами учебных курсов. Так, все разделы школьной программы в полном объеме входят в программу ФМШ, однако их проработка ведется более глубоко, на более трудных задачах. Большее внимание уделяется применению полученных знаний в других разделах математики и при изучении других предметов. Это становится возможным как благодаря увеличению числа часов, отводимых на математику, так и составу учащихся. Программа включает также разделы, которые в обычной школе не изучаются. Например, "Элементы теории вероятностей", "Функции двух переменных", "Тригонометрия на сфере", "Аксиомы аффинной и проективной плоскостей и их модели" "Комплексная экспонента" и т.д.

Большое внимание уделяется методам, играющим существенную роль при решении прикладных и вычислительных задач высшей математики, таким, как переход к эквивалентным задачам, замена переменных, графический анализ, использование свойств симметрии и однородности. Изучаются некоторые вопросы с большим числом физических примеров и других приложений. Например, в теме "Гармонические колебания" рассматривается трехфазный ток, волны и их интерференция, вынужденные колебания, резонанс. Более широко внедряется аксиоматический подход в геометрии, позволяющий навести должную строгость в знаниях школьников.

Неотъемлемой частью учебного процесса в ФМШ являются специальные курсы и кружки. Вот названия некоторых из них: "Конечные поля и конечные геометрии", "Геометрия Лобачевского", "Теория Га-луа", "Элементы математической логики", "Введение в математическую кибернетику", "Основы теории чисел", "Экстремальные задачи", "Олимпиадные задачи" и др.

В учебном процессе в ФМШ особое место занимает математический практикум.

Математический практикум посвящен "экспериментальной" части математики (моделированию, расчетам, построению графиков функций, схем и т.д.). Он прививает учащимся стремление к активному использованию математических фактов для исследования процессов реальной жизни. Практикум рассчитан прежде всего на самостоятельную индивидуальную работу учащихся, однако весь необходимый теоретический материал сообщается им на лекции.

Приведем примеры некоторых тем математического практикума: вычисление корней алгебраических уравнений; простейшая транспортная задача; измерения на местности; сечения многогранников; приближенное вычисление объемов и площадей фигур; расчет взлета многоступенчатой ракеты; расшифровка текстов; кодирование информации; математическое моделирование игр и др.

Следует отметить, что выполнение заданий математического практикума требует от учащихся больших затрат времени и поэтому их число не должно быть чрезмерным.

В целом физико-математические школы-интернаты при крупных университетах оказались высокоэффективными. Многие выпускники не только успешно закончили вузы, но и достигли высоких результатов в науке. Наряду с этим опыт их работы активно используется в других специализированных школах и классах.

-----в)—Подготовительные курсы и лектории для абитуриентов. Важное место в системе взаимодействия высшей и средней школы занимают подготовительные курсы и лектории, организуемые вузами. Подготовительные курсы предполагают активную практическую работу при минимуме необходимого для этого теоретического материала. Лекторий предполагает проведение лекций, в которых наряду с изложением теоретического материала приводятся типовые математические задачи и наиболее распространенные методы их решения.

Объединяющим методическим принципом можно назвать "принцип сквозной темы". Этот принцип реализуется при рассмотрении, например, таких вопросов, как "Замечательные точки и линии треугольника", "Применение тригонометрии в геометрических задачах", "Задачи с параметрами".

Отметим, что этот принцип требует группировки учебного материала в трех основных блоках: первый — систематизация знаний по данной теме; второй — раскрытие внутренней взаимосвязи этой темы с другими разделами программы; третий — использование знаний по теме в решении задач различного уровня сложности. г). Математическая олимпиада является наиболее массовой формой внеаудиторной работы со школьниками. Продвигаясь от тура к туру олимпиады, учащийся определяет сильные и слабые стороны своей математической подготовки, умение концентрировать свои знания и опыт в обстановке соревнования при решениии нестандартных задач.

Задачи, предлагаемые на олимпиаде, обычно мало похожи на те, которые учащийся решает на уроках математики, хотя для своего решения они требуют именно хорошего знания "школьного" материала. Во многом необычность и свежесть олимпиадных задач связана с тем, что в них отражаются идеи и методы современной математики. Так, например, опираясь на известную теорему алгебры о том, что любой многочлен с вещественными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей, школьникам можно предложить разложить на множители многочлены п4 + 4, х4 +1 и даже более сложные многочлены.

Отметим, что каждый тур олимпиады полезно предвосхищать распространением среди школьников списков подготовительных задач соответствующего уровня трудности, а также разбором на занятиях математических кружков задач предыдущих олимпиад и задач, предназначенных для подготовки к олимпиаде. Так, задаче "В треугольник вписать прямоугольник с заданной диагональю" в качестве подготовительной может предшествовать аналогичная задача о прямоугольном треугольнике.

Математические олимпиады, — это творческий тест. Ярким примером тому является следующая задача для старшеклассников: "Найти все натуральные числа, которые в 27 раз больше суммы своих цифр". Опыт показывает, что опасно увеличивать количество олимпиад, перегружать ими учащихся. Олимпиады — это прекрасная форма пропаганды математического творчества учащихся и показатель уровня школьного математического образования в стране. д). Заочная математическая школа — форма дистанционного обучения математике, которая использовала ранее обучение по переписке в виде заданий и рецензий на выполненную работу. Сейчас появилась возможность использования современной компьютерной техники и средств связи. Ее особенностью является использование специальных методических пособий, которые ученик должен самостоятельно изучить прежде, чем он приступит к выполнению задания. Эти пособия отличает высокая степень подробности изложения, ясность языка, постепенное нарастание трудности, детальный разбор типовых задач, тесные внутрипредметные и межпредметные связи. Эти пособия иногда направляются учителю, который использует их на факультативных занятиях. Опыт показывает, что для разработки методических пособий полезно привлекать аспирантов и студентов старших курсов. Методисты заочной школы анализируют результаты проверок контрольных заданий, вносят необходимые поправки и изменения в содержание программ, методических пособий и заданий. Таким образом реализуется тесная связь между потребностями университета в математической подготовке школьников и реальными их возможностями, связанными с уровнем их подготовки в школе. е). Математический кружок — это одна из наиболее массовых и известных форм внеклассной работы в школе, в которой активно участвуют и работники вузов.

В организации системы математических кружков выявились две устойчивые формы — кружок в школе, организуемый вузом, и кружок, работающий непосредственно в вузе. Если программа заочной школы, в основном, представляет собой перечень некоторых тем школьной программы и существенно "привязана" к школьным учебникам, то программа кружка допускает большую тематическую удаленность от школьной программы. Вузовские кружки могут объединяться в потоки по классам. Здесь система работы — лекционно-семинарская. ж). Если курсы для учителей, организуемые вузами (или с участием вузов) — одна из давно известных и оправдавших себя форм взаимодействия школы и вуза, то организация кабинетов методики преподавания элементарной математики в классических университе

Tax — форма работы относительно новая. Уникальность опыта работы такого кабинета при механико-математическом факультете МГУ состоит, в частности, в том, что он привлек математиков-профессионалов к деятельности по изучению содержания и методики преподавания математики в школе. В кабинете обучается большая группа студентов—имеющих склонность к—педагогической—деятельности. Студенты, избравшие педагогическую специальность в качестве основной или дополнительной специализации, получают в кабинете дополнительно к фундаментальному математическому образованию педагогически направленное образование, в частности, глубоко изучают курс элементарной математики и методики преподавания математики. Так, для студентов, обучающихся при кабинете, предусмотрены: спецкурсы "Содержание и методика преподавания школьного курса математики", "Дополнительные главы элементарной математики", "Математические основы естествознания", "Основы педагогики и психологии"; спецсеминар по методике преподавания элементарной математики; педагогическая практика; практикум по решению задач элементарной математики повышенной трудности; курсовые работы по методике преподавания математики (III и IV курсы) и выпускная (дипломная) работа (V курс).

Накопленный к настоящему времени опыт показывает, что выпускники кабинета успешно работают в школах, где они проявляют творческую инициативу и определенные навыки исследовательской работы, полученные ими при обучениии на механико-математическом факультете МГУ.

Отметим, что все ранее перечисленные формы работы вуза со школой (подготовка и проведение вступительных экзаменов, внеклассная работа, работа в математических школах и классах и т.д.) также является одним из важных направлений деятельности кабинета.

В связи с этими формами работы вузов со школьниками дадим некоторые математико-методические указания по совершенствованию методов решения задач математики. Хотя мы делаем упор на методах решения задач элементарной математики, но, на наш взгляд, они представляют интерес и для преподавателей высшей школы.

III. Математические задачи как средство взаимосвязи школы и вуза.

Математическая задача выступает и как объект математического творчества, и как важнейшее средство обучения. В силу этого математическая задача занимает центральное место во всех формах взаимодействия школы и вуза. Без правильно подобранного набора задач не мыслятся ни олимпиада, ни математический кружок, ни лекторий, ни вступительные экзамены. Определенный спектр задач может служить мерилом уровня подготовки выпускников школ и, одновременно, составлять одну из основ учебного процесса.

Анализ шагов, приемов, методов решения задач, в частности, позволяет выявить те из них, .которые могут составить набор задач экзаменационнного и тестирующего характера. Он дает также возможность выработать принципы построения пособий и обучающих материалов для разных категорий учащихся.

Представим здесь основные принципы конструирования специализированных ("переходных") сборников задач и упражнений для будущих абитуриентов. а). Совершенствовать подбор задач так, чтобы в ходе их решения анализ был возможно более простым, но идейная математическая сторона рассматриваемых явлений была представлена наиболее выпукло (задачи должны демонстрировать определенные эффекты явления в "модельной ситуации"). б). Посредством "переходных" задачников обеспечить тесную взаимосвязь действующих школьных и вузовских учебников так, чтобы у учащихся не только закреплялись и развивались необходимые математические умения и навыки, но и происходило осознанное закрепление ведущих теоретических знаний. в). Знакомить учащихся с основными эвристическими приемами решения задач, с основными методами решения определенных классов задач так, чтобы учащиеся могли осмысленно устанавливать каждое последующее действие или каждый этап решения задачи и могли ясно объяснить цель этого этапа решения. г). В задачниках должны быть представлены детальные решения типичных математических задач, сопровождаемые комментариями к поиску решения и возможному исследованию полученного результата (не следует пренебрегать интересными и "нестандартными" решениями данной задачи, но при решении основных задач это должно отойти на второй план). д). В процессе решения задач прививать любовь учащимся к математике и ее приложениям, воспитывая при этом наблюдательность, терпение, трудолюбие и настойчивость, развивать их логику, интуицию; учить накапливать опыт в установлении взаимосвязи идей,приемов и методов решения. е). Задачник для учащихся должен быть разноуровневым по степени сложности и трудности представленных в нем задач, по их дидактическим функциям.

Осознанное и прочное усвоение математических знаний предполагает, что в их основе, по возможности, не должно быть "темных пятен". Дело в том, что отчетливое понимание усвоенного (или хотя бы ощущение такого понимания) служит опорными точками для дальнейшего осмысления новых знаний. Возможность действенного усвоения новых знаний напрямую связана с этим базисом. Всякое новое математическое понятие становится элементом целостного фундамента знаний только в том случае, если оно твердо усвоено. Поэтому очень важно, даже в традиционном обучении математике, находить новые методические подходы, проясняющие существо дела. Во многих работах-автора [I, 1 - 10, 14] рассматриваются вопросы методики обучения математике в процессе решения задач.

Опыт показывает, что в процессе решения математических задач большое значение имеет организация эвристической деятельности школьников (да и студентов) на следующих этапах решения рассматриваемой задачи (проблемы): 1) постановка проблемы, 2) решение проблемы и его обоснование, 3) анализ полученных результатов (формул), 4) установление связи новых результатов с ранее известными.

Охарактеризуем более подробно эту методику.

1°. Постановка проблемы.

Постановка проблемы не должна ограничиваться только формулировкой задачи. Условие задачи должно быть методически прокомментировано. В первую очередь нужно, чтобы задача вызвала интерес учащегося, желание разобраться в существе рассматриваемой ситуации (в начале, быть может, на частных примерах). Формулировка задачи должна быть хорошо понята учащимися, вызывать потребность в ее решении.

Пример. Учащемуся предъявляется несколько конкретных эскизов графика функции у — ах2 + Ьх + с на плоскости Оху и предлагается определить знаки чисел а,Ь,с.

Бывает также полезно следовать принципу "от частного к общему". Удачный пример может прояснить главную идею и сделать общую ситуацию легко воспринимаемой.

Пример. Найти сумму первых п натуральных чисел.

После решения этой задачи выводится общая формула суммы п членов арифметической прогрессии.

Бывает и так, что общая ситуация лучше проясняет сущность, чем конкретная. Так, условие одной из известных задач о делимости: "Доказать, что шестизначные числа 327327, 408408, 459459, 581581 и т. п. делятся на 7, 11 и 13", становится более прозрачным, если такое число представить в общем виде аЬсаЬс и заметить, что abcabc = 1001 • abc = (7 • И • 13) • abc.

Если задача преследует цель обучить анализу условий, то ее постановка должна облегчать процесс "разложения" задачи на подзадачи, а набора условий — на подусловия. Типичным примером тому являются уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины.

2°. Решение задачи и его обоснование (доказательство).

Процесс решения задач достаточно разнообразен. Отметим некоторые приемы, облегчающие решения.

Алгоритмичность или, более общо, рецептурность в проведении решения задачи, равно как и в.ходе доказательства, обычно упрощают ситуацию и способствуют пониманию ее сущности. Хорошим примером является использование так называемого метода интервалов.

Наглядность играет первенствующую роль не только потому, что она обладает большой доказательной силой, но и потому, что она способствует пониманию и оценке результатов исследований" (Д. Гильберт). Примером задачи, которая допускает "наглядное" решение является следующая: "По разные стороны реки с параллельными берегами расположены деревни Л и В. В каком месте реки следует построить мост, чтобы путь от Л до В был кратчайшим?"

Принцип "Делай, как я" дает возможнссть усвоить некоторые стандартные навыки, полезные при решении задачи. К таким относятся методы решения некоторых алгебраических уравнений и неравенств, задачи на вычисление производных. Вместе с тем, следует иметь в виду, что чрезмерное увлечение такими задачами порождает формализм и может привести к ошибкам при решении новых задач. В современных учебных руководствах он нередко проявляется в авторских ремарках "очевидно", "легко показать", "нетрудно проверить" и т. д. Зачастую именно в этих местах книг содержатся ошибки или неточности.

Нередко новую задачу можно свести к уже решенной, используя аналогию. Так, например, задача о свойствах диагоналей параллелограмма служит аналогией для задачи о соответствующих свойствах диагоналей параллелепипеда.

Заметим, что с психологической точки зрения учащийся должен чувствовать себя соучастником научного поиска, как бы первооткрывателем истины. Хорошей подготовкой для этого является решение так называемых задач с параметрами.

3°. Анализ полученных результатов (формул).

Этот этап имеет большое значение для накопления опыта в решении задач. Отметим некоторые важные его моменты.

Применение полученных результатов (формул) в других областях математики и естествознания. Именно так построен математический практикум для ФМШ, описание которого было приведено выше.

Нередко полученный результат при рассмотрении конкретных примеров подсказывает более общее утверждение и метод его доказательства. Например, узнав длину окружности, школьник может вычислить длину полуокружности, четверти окружности, шестой части окружности и т.д. Эти примеры подсказывают общую формулу выражения длины любой дуги окружности через величину соответствующего центрального угла.

Полезно также обращать внимание на границы применимости полученных формул и выводов. Хороший материал в этом смысле дают текстовые задачи, в которых часть формально полученных решений нередко отбрасывается из содержательных соображений. Другой пример — использование формулы суммы тангенсов, в которой области- определения-фу-нкций, входящих в левую и-правую части, не совпадают.

Оформление результата в виде графика дает возможности для дополнительного анализа, в ходе которого полученная функциональная зависимость рассматривается с точки зрения анализа свойств функции (четность, симметрия, монотонность, выпуклость и другие свойства), а это, в свою очередь, характеризует особенности изучаемого процесса.

4°. Установление связи новых результатов с ранее известными.

Этот этап очень важен для обобщения и систематизации полученных знаний и опыта. Например, важно определение места полученного результата "в целом", т.е. его места в разделе курса, а значит, целостного представления о его значимости в рассматриваемой теме. Таково, например, установление связи дискриминанта с числом корней квадратного трехчлена.

Кроме того, полезно определить роль и место полученного результата в системе математических знаний и опыта учащегося.

IV. О повышении квалификации учителей математики.

Существенное влияние на развитие школьного образования оказывает участие вузов в проведении циклов лекций для учителей и учащихся, в создании учебников и учебных пособий как для изучения основной школьной программы, так и для факультативных занятий и самообразования.

Основным методическим принципом построения цикла лекций, равно как и учебных пособий, является концентрация внимания слушателей и читателей на базовых математических объектах, на изложении ведущих математических идей, а также методах решения значимых задач.

Важнейшим общим положением является также осознание и принятие тезиса о единстве математики, ибо нет математики "школьной", "вузовской", "аспирантской" (так же как нет математики "немецкой", "японской" и т. д.). Мы можем говорить лишь о своеобразии национальных математических школ и традиций преподавания, которые требуют бережного к себе отношения и сохранения. Мы можем также говорить о содержании и особенностях преподавания математики разным возрастным категориям учащихся, с учетом различных уровней их обученности и обучаемости. Как известно, процесс усвоения математических знаний и умений длительный, многоступенчатый. Поэтому педагогически важно, чтобы каждая последующая ступень строилась не на отрицании усвоенных знаний, а тем более не на отказе от уже сформированных умений и навыков. Новая ступень приобретения знаний должна стать их развитием, дополнением, уточнением всего усвоенного ранее. Именно потому тесная взаимосвязь школы и вуза становится жизненной необходимостью, поскольку преподавание в вузе не принесет пользы, если будет построено на отрицании знания, полученного в школе. Опыт показывает, что одна из основных трудностей, которую приходится преодолевать многим учащимся при переходе от математики, изучаемой по школьной программе, к изучению математики по вузовской состоит в необходимости усвоения более глубокого взгляда на понятие множества, числа и функции. Несмотря на то, что эти понятия, вообще говоря, не играют доминирующей роли в технике математических операций, тем не менее недостаточно отчетливый взгляд на них существенно затрудняет весь процесс математического обучения. Причина тут лежит в исключительной глубине данных понятий, связанных с общей проблемой обоснования математической науки, имеющей по существу философско - мировоззренческие корни.

Процесс овладения этими понятиями начинается с первых шагов обучения в школе и нередко проходит по "рецептурному принципу". Этот эмпирический подход поначалу вполне приемлем, поскольку он формирует основные умения и навыки в работе с математическими понятиями на основе наглядных представлений о реальном мире вещей. Представляется весьма важным достаточно глубокое понимание (прежде всего учителем) сущности ведущих математических понятий, что позволяло бы осознавать и гармонично сочетать эмпирический (или частично теоретический) школьный подход к изучению математики с требованиями необходимой математической строгости вузовского обучения.

С этой целью в цикле лекций для учителей обычно показывается, что понятие множества фактически находится "за кадром" многих математических понятий, в той или иной мере участвуя в их конструировании. Для понимания этого факта не требуется специального изучения теории множеств, ибо само понятие, множества принадлежит к числу основных неопределяемых понятий, достаточно простых для восприятия их сущности. Отметим, что даже "наивное" определение понятия множества как "совокупности объектов любой природы" ставит ряд вопросов своей неопределенностью.

Данное определение является описательным. Оно обращается к объяснению понятия "множество" с помощью слов разговорного языка. Последнее обстоятельство дает учителю возможность начать со школьниками разговор о том, что такое определение, какие бывают определения.

Назначение определений — не обязательно наведение логической строгости как таковой. Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Определение множества есть определение второго типа. В математике предпочитается, конечно, первый тип определений, но начальные -----------понятия, к которым и относится понятие множества, приходится вводить описательно. Следует отметить, что такого рода определения могут приводить к противоречиям (есть так называемые парадоксы теории множеств). Однако иного подхода не найдено. Более того, А. Пуанкаре считал , что по-другому и вообще нельзя сделать.

Понятие действительного числа — более сложное и не менее важное математическое понятие, которое составляет фундамент в изложении многих разделов высшей математики. Представление школьников о действительном числе как о десятичной дроби (конечной или бесконечной) и об операциях с числами является теоретически недостаточным. Поэтому в ходе лекции для учителей раскрывается не только роль и место действительных чисел в самой математике и ее приложениях, но и показываются другие подходы к конструированию теории действительного числа (в частности, определение действительного числа через "дедекиндовы сечения" на множестве рациональных чисел). Показывается, в частности, что дедекиндовы сечения оказываются полезными при строгом определении степенной и показательной функций для произвольных значений показателя степени и аргумента. Это составляет существенную часть общей методической проблемы введения элементарных функций.

Особое внимание естественно уделяется рассмотрению так называемых элементарных функций, которые занимают существенное место в школьном курсе математики. Как известно, далеко не все важные свойства основных элементарных функций рассматриваются в школе, а те, которые изучаются, обычно устанавливаются описательно, исходя из наглядных геометрических представлений. Средствами математического анализа можно изложить свойства элементарных функций достаточно строго. Однако, как показывает опыт, на лекциях для учителей (и лучших учащихся) можно рассмотреть элементарные функции достаточно обстоятельно (и вполне строго) средствами самой элементарной математики. При этом удается одновременно повторить (и активно использовать) известный школьникам алгебраический аппарат и познакомить слушателей с некоторыми новыми нестандартными приемами рассуждений.

Итак, важнейшим принципом математического образования, который обеспечивает тесную взаимосвязь вузовского и школьного образования с практикой, с жизнью является единство образовательного процесса в школе и вузе. Подчеркнем еще раз, что основная цель школьного математического образования в России состоит в том, чтобы обеспечить всем учащимся, вне зависимости от их склонности к математике, усвоение некоторого минимума математических знаний, умений и навыков, а для учащихся, проявивших интерес и способности к математике — более, широкую и глубокую математическую подготовку, их более полное знакомство с богатством идей и методов элементарной математики и основ высшей математики. На достижение этой цели и должно быть направлено взаимодействие вузовского и школьного математического образования.

Наконец, говоря о публицистических статьях и выступлениях [II, 1 - 20] отметим следующее. Проблема взаимодействия школы и вуза выступает в этих публикациях как одна из важных составляющих всей системы среднего и высшего образования в России. В них показано, что решение поставленной проблемы напрямую зависит от следующих факторов:

1) признание приоритетности образования в жизни общества;

2) необходимость обстоятельного и широкого обсуждения актуальных вопросов общего и профессионального образования педагогической общественностью (с привлечением всех заинтересованных специалистов, включая учителей, вузовских работников и родителей);

3) законодательно четкое определение статуса различных школ и вузов и правовых основ их взаимодействия;

4) обеспеченность законодательно закрепленными образовательными стандартами содержательной части взаимодействия школы и вуза и т.д.

По всем этим вопросам в публикациях и выступлениях сделаны определенные выводы и сформулированы конструктивные предложения.