автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обеспечение преемственности при обучении математике в начальной школе

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Быкова, Татьяна Петровна, 2003 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТРЕБОВАНИЯ К СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

ПОДГОТОВКИ УЧЕНИКОВ К ДАЛЬНЕЙШЕМУ ОБУЧЕНИЮ.

1.1 Понятие преемственности в педагогической и методической литературе.

1.2. Анализ основных учебников и методических пособий по математике для начальных классов.

1.3. Анализ психолого-педагогических основ обучения математике в начальной школе.

ГЛАВА II. ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИИ УСВОЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ.

2.1. Подходы к организации усвоения, способствующие пропедевтике

I," дальнейшего обучения.

2.2. Экспериментальная проверка разработанных материалов.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обеспечение преемственности при обучении математике в начальной школе"

Как известно, одной из основных образовательных задач, стоящих перед начальной школой является формирование у детей вычислительных навыков в процессе обучения арифметическим действиям с натуральными числами. Судя по нашим наблюдениям, беседам с учителями, данным, опубликованным в разные годы журналом и газетой «Начальная школа» начальная школа справляется с этой задачей довольно успешно. Неуспевающих среди младших школьников практически нет, а средний балл успеваемости достаточно высок. Между тем при переходе в пятый класс ситуация меняется. Успеваемость падает. Учителя жалуются на плохую подготовку выпускников начальной школы, на то, что дети за лето забывают многое из того, чему их научили раньше.

О неблагополучии с подготовкой выпускников начальной школы к дальнейшему обучению свидетельствует и то, что при изучении математики в пятом классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Между тем, беседы с учителями математики и личные наблюдения диссертанта показывают, что времени на изучение материала в средних и старших классах не хватает.

Несмотря на обучение в начальной школе и повторение в 5 - 6 классах вычислительные трудности многие ученики продолжают испытывать всё время обучения в школе. Достаточно большой процент детей к седьмому классу обращается к калькулятору даже при выполнении простейших вычислений. Одну из причин такого явления мы видим в том, что обучение в начальной школе во многом построено с опорой на механическую память. Яркий пример тому - таблица умножения, на заучивание которой отводится в младших классах много времени, и к повторению которой постоянно возвращаются на протяжении всего обучения в начальной школе. А в средней школе, как только она перестаёт быть одним из главных объектов внимания и осознаваться как нечто насущно необходимое, таблица умножения стремительно забывается. Как будет показано в первом параграфе первой главы, способ запоминания таблицы умножения без заучивания разработан ещё в 50-е годы и описан в работах П.Я. Гальперина и Л.С. Георгиева [37, 38, 39, 40]. Известный советский математик А .Я. Хинчин, постоянно интересовавшийся вопросами преподавания в школе, выписал все виды применяющегося в процессе обучения повторения. Список получился весьма солидный. После чего он с горечью добавил: «Кошмар! Вместо бесконечных повторений нельзя ли учить так, чтобы материал не забывался?» [193, стр. 114]

Доказано, что повторение может быть эффективным только, если оно включено в изучение нового материала [121].Если при изучении новой темы ребёнок вынужден обращаться к тому, что ранее пройдено, то это осознаётся им как всё ещё нужное и, следовательно, не подлежащее забыванию. Если же обучение строится на механической памяти, если изо дня в день, из месяца в месяц решаются однотипные упражнения, то это не только не способствует формированию прочных знаний, не только является недопустимой тратой времени, но приводит ещё к одному серьёзному бедствию.

Психологами убедительно доказано, что детям младшего школьного возраста совершенно необходимо знать, чему новому они научились [206]. У ребёнка должно быть ощущение продвижения вперёд. Идеально, когда он может каждый день сказать себе и окружающим, что нового он узнал. Хуже, когда это можно сделать лишь в конце недели. А в ныне действующую программу по математике для начальных классов «заложены» месяцы, в течение которых ребёнок не узнаёт ничего нового. Вот что говорит о пагубности низких темпов обучения Ш.А. Амонашвили: «Традиционная педагогика учит: не надо спешить. от простого к сложному, постепенно. Но медленный темп не соответствует психологии детского возраста. Ребёнок изначально подвижен. Медленный темп обучения приводит к замедлению умственного развития детей» [2, стр.57]. Наличие характерных для начальной школы, а затем и пятого класса, малых темпов продвижения в овладении новыми знаниями и длительных периодов, в течение которых дети вообще не имеют возможности сказать себе и другим, чему именно новому их научили, закладывают, по мнению исследователей, прочный фундамент устойчивого нежелания учиться, отсутствия интереса к учению, что, конечно же, не может не сказаться негативно в средних и старших классах. О вреде медленных темпов обучения говорится в работах Эрдниева П.М., Занкова Л.В., Давыдова В.В., Эльконина Д.Б., Истоминой Н.Б. [56, 58, 68, 81, 82, 86, 94, 197, 198, 199, 200, 205]. Выход мы видим в том, чтобы более эффективно изучать действующий материал и за счёт этого включать в работу задачи повышенной трудности, направленные на подготовку к дальнейшему обучению.

Другим большим недостатком традиционного обучения в начальной школе, является то, что программа начальной школы недостаточно учитывает потребности дальнейшего обучения. Многое из того, чему учат в начальной школе, больше нигде не используется, а некоторые вещи откровенно мешают дальнейшему успешному обучению. Приведём лишь один пример.

Учитель начальной школы тратит много времени и сил, чтобы дети усвоили правила отыскания неизвестных компонентов действий. С помощью этих правил решаются уравнения. В пятом классе по наблюдениям диссертанта 30% детей очень плохо знают эти правила и совсем не умеют решать уравнения, около 50% в большинстве случаев правильно воспроизводят правила, но далеко не всегда видят какое именно нужно применить в данном случае и, как правило, решают уравнения «методом подбора», и лишь около 20% учащихся в большинстве, но не во всех случаях, решают уравнения успешно. А в шестом классе детям предлагается забыть все эти правила и решать уравнения, прибавляя к обеим частям одно и то же число, деля уравнение на одно и то же не равное нулю число и т. д. В психологии отмечается, что овладение негодным приёмом опасно не только потому, что он мало эффективен, но и потому, что он будет серьёзно мешать овладению рациональными приёмами в дальнейшем. (149) Детей приходится переучивать, а это всегда труднее, чем учить. Таким образом, наличие таких тупиковых тем в курсе математики начальной школы мешает осуществлению преемственности в обучении, не готовит к обучению в средних классах и не способствует развитию детей.

Трудности усвоения систематических курсов алгебры и геометрии, которые начинаются в седьмом классе, также идут из начальной школы. Приведём лишь один пример. Проанализировав учебники математики начальной школы, можно заметить, что авторы избегают включения в изложение материала букв и буквенных выражений. [5, 7, 88, 89, 138, 134] Это вытекает из положения о том, что в силу возрастных особенностей ученикам младших классов практически недоступно абстрактное мышление. Поэтому в преподавании надо опираться главным образом на конкретные примеры, согласующиеся с жизненным опытом ребёнка, наглядные образы и т.д. Буквенные выражения - это слишком абстрактно, то, до чего ребёнок ещё не дорос. Однако неспособность детей этого возраста к абстрактному мышлению сильно преувеличена: его можно и нужно развивать. [36, 55, 61, 68, 119, 197-201]. Из работ Д.Б. Эльконина со всей очевидностью следует, что стимулировать развитие, нужно противопоставляя традиционным наглядным пособиям моделирование, в том числе моделирование математических законов и закономерностей с помощью букв и буквенных выражений. [34, 197] Дети, с начальной школы привыкшие работать с буквами, понимающие, что вместо буквы в буквенное выражение может быть подставлено любое число из рассматриваемого множества, несомненно, будут испытывать гораздо меньше затруднений при изучении алгебры.[18, 57,61, 130, 166]

О целесообразности ранней пропедевтики материала средней школы говорят многие методисты [70, 201, 204]. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это "благотворно в смысле достижения целостности знаний, преемственности" [201, стр.17], считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в "опережении" той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии. [201].

Все рассмотренные примеры касаются содержания курса. Приведём несколько примеров прикладного характера. Операции сложения и вычитания натуральных чисел дети в начальной школе усваивают достаточно хорошо. А при изучении десятичных дробей в пятом классе в примерах на сложение и вычитание самыми распространёнными, долго не изживаемыми ошибками, являются ошибки при записи в столбик. Дело в том, что при изучении сложения и вычитания натуральных чисел, учитель, произнося верные слова о необходимости выполнения сложения и вычитания по разрядам, в действительности обращает основное внимание на выравнивание записей, на то, не сдвинуты ли в записях последние цифры каждого из чисел. Естественно, выполняя рассматриваемые действия, дети тоже думают, прежде всего, о выравнивании записей, совершенно забывая о разрядах. В начальной школе это оправдано, так как последняя цифра любого числа -всегда стоит в разряде единиц. Но когда они "дорастают" до сложения и вычитания десятичных дробей, то пытаются и здесь выравнивать записи. В одной из статей М.Б. Воловича показано, что если правильно организовать обучение сложению и вычитанию натуральных чисел в начальной школе, то в пятом классе таких трудностей не возникнет. [31]

Подобных примеров можно привести достаточно много. Это и умножение и деление на 10, 100, 1000[113], и алгоритм деления в столбик

114], и многое другое. Необходимость перестройки и совершенствования начального образования является одной из актуальных проблем современной школы. Этому вопросу уделяется много внимания в различных психолого-педагогических и методических изданиях [67, 94, 122]. Обучение с самого начала должно быть систематичным и входить в общую систему непрерывного образования.

Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на передний план [56, 58, 66, 67, 80-82, 87, 94, 199, 201]. В.В. Давыдов, в частности, отмечает, что практическое воплощение идеи развития в реальных педагогических технологиях предполагает выработку особого взгляда на традиционную проблему преемственности различных ступеней образования. Преемственность, по мнению В.В. Давыдова, не должна задаваться как формальная связь само замкнутых образовательных концентров. "Подобная система представляет собой "педагогическую машину", которая в своих рабочих режимах воспроизводит лишь самоё себя. Это вполне закономерно. Ведь именно в узлах связи образовательных ступеней закладывается зона отдалённого развития детей. Поэтому вне целостного видения контуров и характера такой связи попытки конструировать содержание образования, проектировать нормы усвоения учебного материала, заранее обречены на неуспех" [67, стр. И] В работах В.В. Давыдова и других исследователей отмечается неудовлетворительное состояние этой проблемы в сложившейся практике массового образования [31, 44, 55, 67, 82, 87, 94, 104, 150, 181, 193]. Всё сказанное свидетельствует о неблагополучной ситуации, сложившейся в начальной школе с точки зрения её подготовки к дальнейшему обучению, о недостаточном обеспечении преемственности в обучении между начальной и средней школой. Это говорит об актуальности темы исследования.

Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в начальной и средней школе. Преодоление этого противоречия является проблемой данного исследования.

Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.

Прежде всего, необходимо разобраться, каковы особенности ныне действующих учебников математики для начальной школы и методических пособий, что именно препятствует обеспечению преемственности в обучении. Отсюда вытекает первая задача исследования: проанализировать действующие программы и учебники математики для младших классов с целью выявления потенциальных возможностей повышения эффективности подготовки детей к дальнейшему обучению и обеспечения преемственности обучения.

Чтобы преодолеть выявленные противоречия, необходимо разобраться, какие возможности предоставляет для этого педагогическая психология и педагогика. Отсюда вторая задача исследования: проанализировать психолого-педагогическую литературу с целью выявить оптимальные способы, обеспечивающие решение поставленной проблемы.

Выявив причину сбоев в традиционном преподавании и психолого-педагогические основы преодоления этих сбоев, необходимо разобраться, каким образом ликвидировать отмеченные недостатки, то есть, как организовать обучение математике в начальной школе таким образом, чтобы обеспечить преемственность со средней школой. Отсюда третья задача исследования: разработать требования и определить условия организации усвоения с точки зрения повышения эффективности обучения и обеспечения преемственности начальной и средней школы, разработать материальное обеспечение решения поставленной задачи. В данной работе это сделано на материале одной из центральных тем начальной школы "Умножение и деление натуральных чисел".

Технология, которую мы используем в данной работе, прошла многолетнее экспериментальное апробирование. Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала средних классов. Отсюда

- четвёртая задача исследования: экспериментально опробовать разработанные материалы.

Объект исследования: математическая подготовка учащихся начальной школы.

Предмет исследования', преемственность преподавания математики в начальной и средней школе.

Цел ь исследован ия: разработка методических подходов к преподаванию математики в начальной школе, обеспечивающих пропедевтику дальнейшего обучения на материале темы "Умножение и деление натуральных чисел".

Гипотеза исследования: если, не изменяя содержания курса математики начальной школы, правильно организовать усвоение основных понятий и алгоритмов курса математики начальной школы, то это поможет существенно лучше подготовить учеников к обучению в следующих классах. Методологические и теоретические основы исследования составляют:

- работы по философии и методологии математического познания и математического образования (работы Виленкина Н.Я., Воловича М.Б., Глейзера Г.Д., Гнеденко Б.В., Гусева В.А., Дорофеева Г.В., Колмогорова А.Н., Колягина Ю.М., Кудрявцева Л.Д., Хинчина А.Я., Адамар Ж., Вейль Г., Гильберт Д., Клайн М., Пуанкаре А., Рассел Б., Фройденталь Г.)

- современные теории повышения эффективности обучения математики (работы В.А. Гусева, В.И. Крупича, Н.Ф. Талызиной, М.Б. Воловича и др);

- теории деятельностного подхода и развивающего обучения (работы Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.В. Занкова, Н.Ф. Талызиной, П.Я. Гальперина и др.);

- современные подходы к повышению эффективности усвоения определений и вычислительных правил (работы Н.Б. Истоминой, П.М. Эрдниева, Б.П. Эрдниева, В.Я. Ляудис и др.);

- теоретические исследования по проблемам логико-дидактических аспектов обучения школьников математике (работы Болтянского В.Г., Гладкого A.B., Грудёнова Я.И, Далингера В.А., Калужнина JT.A., Монахова В.М., Саранцева Г.И., Семушина А.Д., Столяра A.A., Менчинской H.A.,);

Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования', изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы, а также собственного опыта работы автора в школах города Борисоглебска и Борисоглебском государственном педагогическом институте; интервьюирование и тестирование; педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанных методов.

Достоверность результатов исследования обеспечивается обоснованностью и чёткостью выбранных методов исследования, психолого-педагогических позиций, положенных в основу исследования, опытно-экспериментальной работой в процессе личного преподавания и в ходе работы со студентами БГПИ во время педагогической практики.

Новизна исследования заключается в том, что в нём выявлены причины сбоев при реализации преподавания математики в начальной школе по наиболее распространённым учебникам; разработаны новые подходы к организации усвоения основных понятий и алгоритмов темы "Умножение и деление натуральных чисел"; разработана профессионально ориентированная на преподавателя школы и студентов педагогических вузов методическая система обучения основным определениям и алгоритмам данной темы, направленная на повышение эффективности обучения и обеспечение преемственнсти обучения.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что его результаты позволяют по-новому взглянуть на обучение математик!/ в начальной школе, тем самым создаются предпосылки для более эффективного решения задач школьного предмета математики как инструмента для развития детей и воспитания мыслящих граждан нашего общества.

Практическая значимость исследования состоит в разработке конкретных материалов, обеспечивающих организацию усвоения основных понятий и алгоритмов темы "Умножение и деление натуральных чисел" с учетом потребностей дальнейшего обучения, в том числе и рабочих тетрадей на печатной основе.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ИЗ § 3 ГЛАВЫ 1.

1. Деятельностный подход к организации обучения позволяет по-новому взглянуть на принципы дидактики. Это может способствовать повышению качества обучения в начальной школе и более успешной подготовки младших школьников к дальнейшему обучению.

2. Чтобы обеспечить эффективное усвоение математики учениками начальной школы, и, в частности, преемственности обучения, целесообразно построить весь учебный процесс на основе деятельностного подхода к организации обучения.

ГЛАВА ВТОРАЯ. Требования к организации усвоения умножения и деления натуральных чисел с точки зрения повышения эффективности обучения. о^ §1. Подходы к организации усвоения, способствующие пропедевтику дальнейшего обучения.

Введение понятия умножения.

Как было показано в первой главе, методика введения понятия умножения практически во всех ныне действующих учебниках примерно одинакова: умножение определяется как сумма одинаковых слагаемых, а введение нового действия мотивируется с помощью рассмотрения содержательных задач, позволяющих наглядно показать, что чем больше слагаемых в сумме вида а+а+.+а, тем более громоздкой и неудобной становится запись. Мы полностью согласны с подобным подходом и подробно останавливаться на этом не будем. Рассмотрим лишь вопросы, связанные с устранением недостатков, присутствующих при организации усвоения этой темы (о них подробно говорилось в первой главе). Главным из них мы считаем недостатки в организации работы с определением умножения и, как следствие, одностороннее и зачастую поверхностное усвоение этого понятия школьниками. Как было показано в первой главе, работа, которая организуется в рассмотренных учебниках, сводится главным образом к тому, что сумму п одинаковых слагаемых а можно заменить произведением а-п. Однако этого совершенно недостаточно для полноценного усвоения понятия умножения на натуральное число. Неслучайно в большинстве учебников рассматриваются задачи, в которых требуется перейти от записи вида а-п к записи вида а+а+.+а (п слагаемых). Авторы учебников, вероятно, исходят из того, что дети, наученные заменять сумму произведением, легко справятся и с обратным переходом. Однако психологические и методические исследования [55, 56, 41, 43, 48] показали, что это совсем не так: работа, которой целенаправленно не учат, сама собой большинством учеников не усваивается. Следовательно, замене произведения суммой необходимо целенаправленно учить. Это очень важно как для решения образовательных задач, стоящих непосредственно перед начальной школой, так и для пропедевтики дальнейшего обучения.

Действительно, усвоенность замены произведения суммой одинаковых слагаемых необходима для конструирования таблицы умножения. Как было показано в первой главе, к подобному приёму обращаются практически все авторы рассмотренных учебников. Однако, за исключением учебника [187], определение операции умножения не указывает на возможность подобной работы. Кроме того, неформальное усвоение понятия умножения необходимо для осмысленного решения содержательных задач на умножение, о чём будет говориться ниже.

Обучение способу работы с определением на примере определения умножения тем более важно, что в дальнейшем ученикам надо будет постоянно сталкиваться с определениями и теоремами, записанными с помощью знака равенства. Наиболее типичным примером подобного материала являются формулы сокращенного умножения. Как известно, работа с этими Формулами традиционно вызывает определённые трудности. Так, например, большинство учеников средней школы легко справляются с заданиями, требующими запи

9 9 9 сать выражение вида (а+Ь) в виде а +2аЬ+Ь . Увидеть же в многочлене типа л

25+60Ь+36Ь формулу квадрата суммы умеют гораздо меньшее количество школьников. Другим типичным примером является формула а°=1, где а^О. Зная, что любое число, отличное от нуля в нулевой степени равно единице, многие дети испытывают затруднения при решении уравнений вида ах=1, забывая, что 1=а°.

Всё это говорит о том, что и в средней школе формулы продолжают восприниматься "односторонне", "слева направо". Таким образом, задача обучения школьников правильной работе с формулой, определением или правилом, записанным в виде равенства, является одной из важнейших задач обучения, начинать решать которую необходимо уже в начальной школе. Исходя из сказанного, усвоение определения умножения можно рассматривать как материал, позволяющий обеспечить пропедевтику такого общеучебного навыка, как работа с любыми равенствами. Чем лучше будет усвоено определение умножения в начальной школе, тем лучше ученик окажется подготовленным к обучению в следующих классах.

Традиционная методика не отвечает на вопрос о том, каким образом обеспечить полноценное усвоение определения умножения. Поэтому мы обратились к технологии, описанной во втором параграфе первой главы. В соответствии с этой технологией необходимо обеспечить ориентировку в материале, подконтрольную работу с проверкой правильности выполнения каждого шага каждым учеником, постепенный переход к самоконтролю. Ориентировка в материале включает в себя мотивацию введения нового понятия. Как уже отмечалось, мы согласны с организацией этого этапа работы в рассмотренных учебниках. Поэтому подробно останавливаться на этом не будем. В соответствии с рассматриваемой технологией, новое определение необходимо фиксировать в такой краткой схематической форме, которая может обеспечить практически безошибочную работу без предварительного заучивания. Эта запись должна включать образцы пользования определением, то есть замену суммы одинаковых слагаемых произведением и произведение - суммой одинаковых слагаемых. Как было показано в первой главе, наиболее эффективно такая работа может быть организована в тетради с печатной основой. Краткая схематическая запись определения умножения и фрагмент ТПО с заданиями, предназначенными для первоначальной работы с определением умножения, представлены в приложениях, (фрагмент 1)

Дальнейшая работа с определением умножения может заключаться в переходе от максимально развёрнутых к обычным записям. Рассматриваемая технология рекомендует, чтобы контроль снимался постепенно. Фрагмент тетради для данного этапа работы представлен в приложениях, (фрагмент 2)

Рассматривая обучение определению умножения под углом зрения подготовки к обучению в следующих классах, можно заметить, что этот материал даёт возможность для пропедевтики обучения математическим записям с использованием многоточия. В средней школе, как известно, этот знак используется достаточно широко, и его использование является одним из наиболее трудных моментов школьной математики. Между тем, анализируя учебники средней школы, мы не нашли в них работы, направленной непосредственно на обучение использованию многоточия. Материал рассматриваемой темы даёт возможность предварительного знакомства с использованием многоточия для записи суммы большого числа одинаковых слагаемых. Чтобы ученики поняли смысл этого знака, полезно первоначально использовать его для замены небольшого числа слагаемых. Такая работа также может быть организована в ТПО. При этом можно предлагать задания типа: "1) запиши без многоточия и замени произведением: ,7+7+. .+7=7+7+ + +7=7у

5 слагаемых

При обсуждении важно обратить внимание на то, что для того, чтобы воспользоваться определением умножения, необязательно вставлять вместо многоточия недостающие слагаемые, так как в первоначальной записи указывается, что это сумма пяти семёрок, а этого достаточно, чтобы перейти к произведению. Возможный фрагмент ТПО представлен в приложениях, (фрагмент 3)

Как мы уже говорили, для полноценного усвоения понятия необходимы как примеры, так и контрпримеры. Поэтому на данном этапе работы, также как и на предыдущем, полезны задания, в которых определением воспользоваться нельзя. Но на данном этапе такую работу можно усложнить, предлагая задания, в которых определение можно применить либо к части выражения, либо ко всему выражению, но после определённых преобразований. Например, 3+4+4+3+3+4+3+3+4. Школьники должны установить, что определением в данном случае воспользоваться нельзя. Однако если рассматривать не всю сумму, а сгруппировать одинаковые слагаемые, применяя переместительный и сочетательный законы сложения, то части сумы можно будет заменить произведениями. Подробный образец выполнения подобного задания представлен в приложениях, (фрагмент 4)

Подобные задания не только способствуют отработке определения умножения, позволяют повторить законы сложения, но и являются хорошим материалом для пропедевтики работы с многочленами, в частности приведения подобных слагаемых. Этому способствуют также задания типа:"(7-11)+7+(7-4) -представь в виде суммы с использованием многоточия и замени произведением". При решении подобных заданий перед детьми ставится проблема: перейти от данного выражения к сумме одинаковых слагаемых, чтобы можно было воспользоваться определением умножения. Для этого сначала необходимо воспользоваться определением умножения применительно к произведениям 7-11 и 7-4. Фрагмент ТПО для выполнения подобного задания представлен в приложениях, (фрагмент 5)

В дальнейшем при решении подобных заданий можно предложить сразу заменить выражение произведением без перехода к сумме. Образец ТПО для этого этапа работы представлен в приложениях, (фрагмент 6)

Подобные задания полезны ещё и тем, что для их выполнения определение умножения приходится применять "в обе стороны" (замена произведения суммой и наоборот). Поэтому, подготавливая детей к средней школе, подобные задания вместе с тем позволяют наиболее полно раскрыть смысл операции умножения, способствуя его полноценному усвоению.

В курсе алгебры очень часто при выполнении тождественных преобразований приходится прибегать к приёму представления одночлена в удобном для данных преобразований виде. Например, "представь в виде произведения линейных множителей:а2+4а-21=а2+4а+4-25=(а+2)2-25=(а+2-5)(а+2+5)= =(а-3)(а+7)." Подобные моменты традиционно вызывают затруднения детей, рассматриваемая тема даёт возможность обеспечить пропедевтику и данного вида заданий. Например, можно предложить школьникам задание типа:"4+8 -замени произведением". Легко заметить, что в данной сумме слагаемые разные. Следовательно, воспользоваться определением умножения нельзя. Перед детьми ставится проблема: можно ли преобразовать данную сумму так, чтобы стало возможным воспользоваться определением умножения. Работа в ТПО может быть организована, например, так: "Запиши сумму в таком виде, чтобы её можно было заменить произведением, один из множителей которого 4:4+8 произведением можно заменить суммуслагаемых. одинаковых, разных представим 8 в виде суммы одинаковых слагаемых 4. 8=4+.

Тогда: 4+8=4++=4-."

Очевидно, чтобы обучение было полноценным, необходимо, чтобы дети умели работать не только в ТПО, но и в обычных тетрадях. В соответствии с рассматриваемой технологией переход к обычным тетрадям осуществляется на этапе полного снятия контроля. При этом выполнение заданий контролируется по конечному результату. Могут предлагаться задания, аналогичные представленным выше, и выполняться, исходя из индивидуальных особенностей детей, более или менее развёрнуто. Однако, в случае возникновения ошибок или затруднений, полезно предложить развернуть решение, опираясь на образцы, выполненные в ТПО. На данном этапе целесообразно предлагать задания, требующие не только воспользоваться определением умножения, но и провести вычисления, используя это определение. Например, вычисли, воспользовавшись определением умножения: 2-4. Это подготавливает детей к конструированию таблицы умножения. Кроме того, так как любой материал запоминается наиболее эффективно в процессе работы над ним, то подобные вычислительные задания будут способствовать постепенному запоминанию табличных равенств, начиная уже с первых уроков знакомства с понятием умножения. Так как первой будет изучаться таблица умножения на 2, то в данном месте курса целесообразно обращаться прежде всего к вычислению значений выражения вида а-2 и 2-а.

Переместительный закон умножения и таблица умножения.

Во всех ныне действующих учебниках математики для начальной школы переместительный закон умножения вводится после изучения некоторой части таблицы умножения. Мы считаем целесообразным более раннее изучение переместительного закона умножения, а именно, сразу после введения понятия умножения и до перехода к изучению таблицы умножения. Это позволит уже изучая таблицу умножения на 2 делать предметом запоминания не только равенства вида а-2, но и вида 2-а, тем самым, сведя к минимуму число случаев, подлежащих запоминанию. Кроме того, как было показано в первой главе, мы считаем нецелесообразным подчёркивать различную роль множителей в произведении, а при определении умножения полностью избежать этого не удаётся. Поэтому с нашей точки зрения необходимо как можно раньше отойти от разделения роли множителей, а сделать это можно только после введения переместительного закона.

Методика введения переместительного закона умножения практически во всех ныне действующих учебниках примерно одинакова, и мы согласны с подобным подходом к изучению этой темы. Однако необходимо отметить, что с нашей точки зрения авторы учебников недостаточно используют возможности этой темы для повторения и закрепления определения умножения на новом материале. Полезность подобного повторения является ещё одним соображением в пользу более раннего изучения этой темы.

Переместительный закон умножения является одной из наиболее легких и хорошо усваиваемых тем начальной школы. Поэтому если говорить об образовательных задачах, стоящих непосредственно перед начальной школой, то существ)^ их вполне решают. Однако нас интересуют прежде всего те аспекты, которые связаны с подготовкой к обучению в следующих классах, и здесь имеются огромные резервы, практически не реализованные в настоящее время.

Начнем с записи переместительного закона. Как отмечалось в главе 1, во всех учебниках, кроме учебника [143] используется запись с помощью чисел. Между тем, использование букв на этом простом для учеников материале не только возможно, но и весьма желательно. Однако если ограничиться лишь использованием формулы вида а-в=в-а (как это имеет место в учебнике [187], возможности записи в общем виде останутся практически не реализованными. Дело в том, что при обучении в 5-6 классах, а затем при обучении алгебре большие трудности у учеников вызывает операция подстановки чисел вместо букв. Целенаправленно учить выполнению этой операции удобно в ходе изучения темы "Переместительный закон". Навык подстановки значения переменной в буквенном выражении будет широко востребован на уроках не только математики, но и физики и химии в средней школе. Однако, ни в одном из проанализированных учебников как начальной, так и средней школы мы не нашли целенаправленного обучения подстановке. Задания на вычисление значений буквенных выражений появляются в действующих учебниках без всякой предварительной подготовки. Между тем, рассматриваемый материал может быть хорошей базой для целенаправленного обучения школьников подстановке. Методически это означает, что уже при первоначальном знакомстве с переместительным законом умножения следует ввести не только его запись с помощью букв, но и образцы оформления, акцентирующие сознание учеников на том, что в каждом конкретном случае осуществляется подстановка вместо букв чисел. Записи, которые могут предлагаться на этом этапе, представлены в приложениях, (фрагмент 7)

Естественно, сразу же необходимо показать смысл и целесообразность такой замены. Ведь ученики к этому времени познакомились лишь с определением умножения, и потому 3-40 означает, что находится сумма 3+3+.+3 (всего сорок слагаемых). Находить такую сумму долго и трудно. Другое дело, когда вычисляется значение произведения 40-3= 40+40+40.

В соответствии с принятой нами концепцией организации усвоения, рассмотренной в главе 1, заданий, выполненных так подробно, должно быть немного, ровно столько, чтобы обеспечить понимание сути подлежащего усвоению материала. В дальнейшем переместительный закон должен быть в сознании учащихся связан с возможностью упрощения вычислений. Предметом сознания учеников должна стать именно эта возможность. Задания для ТПО представлены в приложениях, (фрагмент 8)

Сделать задания на отработку переместительного закона, требующими более обдуманного подхода можно, если сформулировать их по-другому. Например так, как это показано в приложениях, (фрагмент 9)

Подобные задания можно выполнять и в обычной тетради. Их формулировка будет способствовать выработке навыков рациональных вычислений. Кроме того, она позволяет учить детей аргументировано обосновывать свои действия, так как, проверяя выполнение задания, учитель имеет возможность не только контролировать правильность ответа, но и требовать объяснить, почему при вычислении значения одного произведения удобно воспользоваться переместительным законом, а в другом случае лучше считать в том виде, как записано. Как и при работе над предыдущей темой, мы считаем целесообразным основное внимание уделять произведениям вида а -2 и 2-а, ориентируя детей на то, что их нужно постараться запомнить. Для этого на определённом этапе работы полезно отказаться при вычислении значений таких произведений от письменной записи суммы. Перед детьми ставится задача: если помнишь, то запиши ответ сразу, если не помнишь, то посчитай устно и обоснуй выбор способа вычислений. Подобная работа подготавливает усвоение таблицы умножения на 2, и к тому времени, когда формально начинается её изучение, многие равенства уже должны быть запомнены учащимися.

Умножение на 0 и на 1.

В работу по усвоению переметительного закона умножения целесообразно включить задания вида: 0-а и 1 -а. С помощью сложения легко посчитать значения таких выражений. Однако, поставив задачу применить к ник перемес-тительный закон, учитель получает возможность обратить внимание детей на то, что выражения вида а-0 и а-1 бессмысленны с точки зрения определения умножения как суммы одинаковых слагаемых. Тем не менее, переместитель-ный закон справедлив для любых чисел. Поэтому, чтобы пользоваться им в данном случае, необходимо договориться, чему считать равными значения выражений вида а-0 и а-1. Как справедливо указано в учебнике по методике математики Моро М.И., умножение на 0 и на 1 должно вводиться только по определению. [182] С методической точки зрения это означает, что необходимо организовать усвоение определения для указанных частных случаев умножения: а 0=0; а-1=а. Переместительный закон даёт возможность обосновать целенаправленность введения именно такого определения. Действительно, так как переместительный закон справедлив для любых чисел (полезно подчеркнуть школьникам, что в том числе и для тех, которые будут изучаться в следующих классах), то значение выражений вида 0-а и 1 -а должны соответственно равняться значениям выражений вида а-0 и а-1. Вычисляя значения выражений вида 0-а, мы всегда будем получать 0, так как данное произведение заменимо сумой 0+0+.+0; а слагаемых.

Вычисляя значения выражений вида 1-а всегда будем получать а, так как это сумма а единиц. Исходя из этого, чтобы сохранялась всеобщность перемести-тельного закона умножения, вводятся соответствующие определения для f случаев а-0 и а-1. Эти правила легко усваиваются в начальной школе. Однако они нуждаются в специальной работе, которая вытекает из общего способа работы с определениями. Речь идёт об очень важном для дальнейшего обуче-^ ния, но практически отсутствующим в ныне действующих учебниках моменте: эти правила дают возможность любое число, в том числе и 0, и простые числа представлять в виде произведения. Осознание этой возможности, а также способа записи числа в виде произведения: а=а-1 и 0-0-а очень важно для содержательного усвоения соответствующих случаев деления. Кроме того, успешность усвоения распределительного закона умножения, а именно, того, что связано с вынесением общего множителя за скобки во многом зависит от умения представлять любое число в виде произведения, в частности произведения самого числа и 1. Это необходимо также для пропедевтики темы "Разложение многочлена на линейные множители", вызывающей в средней школе определённые трудности. Действительно, при вынесении общего множителя за ^ скобки в выражениях вида а-Ь+а, очень распространённой является ошибка: а-Ь+а=а-(Ь+0) - отсутствие написанного в явном виде числового коэффициента у второго слагаемого воспринимается как равенство этого коэффициента нулю. Эта ошибка, с нашей точки зрения, имеет место именно потому, что предметом сознания детей в своё время не стало представление числа в виде произведения этого числа и единицы. В связи со всем сказанным, мы считаем необходимым в работу по данной теме помимо заданий на вычисление значений выражений вида а-1 и а-0, присутствующих во всех учебниках, включить несколько заданий вида: запиши число в виде произведения, один из множителей которого равен 1; запиши число в виде произведения один из множителей которого равен этому числу. Материал данной темы позволяет продолжить работу с буквенными выражениями и обучение школьников подстановке. Образец записей на этапе первоначального знакомства с материалом представлен в приложениях, (фрагмент 10)

Так как эта тема, как уже было сказано, легко усваивается школьниками, то таких заданий должно быть на этом этапе очень небольшое количество. Однако в дальнейшем целесообразно включать их во все изучаемые темы. Например, при изучении таблицы умножения предлагать задания типа: "число 12 представь в виде произведения различными способами", учитывая при этом и представление 12=12-1. Задания, в которых работает рассматриваемое правило очень важны для пропедевтики дальнейшего обучения при изучении распределительного закона, о чём подробно будет говориться в соответствующем пункте.

Заключение.

Все задачи исследования, сформулированные во введении, успешно решены.

1. В § 1.1 решена первая задача исследования - проанализированы действующие программы и учебники математики для младших классов с целью выявления потенциальных возможностей повышения эффективности подготовки к дальнейшему обучению.

Проанализированы учебники математики для начальных классов, имеющие наибольшее распространение в современной школе и достаточно полно отражающие основные направления современной методики начального образования. Это учебники [5, 62, 88, 133, 143]. Установлено, что почти все они, кроме учебника [62] реализуют одну и ту же психологическую теорию усвоения, а именно, ассоциативную теорию усвоения. Это определяет некоторые их общие характерные особенности. Прежде всего, среди этих особенностей можно отметить ориентированность обучения на механическую память, не являющуюся достаточно эффективной для обучения. Яркий пример тому - организация усвоения таблицы умножения. Другая особенность -организация обучения методом «набития руки» за счёт решения большого количества однотипных упражнений. Такой подход к построению курса не может обеспечить в достаточной степени решения главных задач начальной школы - выработку прочных вычислительных навыков у учащихся, о чём свидетельствуют те трудности, которые начинают испытывать дети при переходе в пятый класс.

Другой важной задачей начальной школы является подготовка детей к дальнейшему обучению. С этой задачей начальная школа также справляется недостаточно хорошо. Это происходит потому, что обучение в начальной школе далеко не в полной мере учитывает потребности дальнейшего обучения. Курс математики начальной школы содержит в себе темы, понятия и алгоритмы, которые не только нигде не используются в дальнейшем, но в некоторых случаях при их изучении формируются непригодные для дальнейшего обучения практические навыки, требующие переучивания в следующих классах (умножение на 10, 100, 1000 ., решение уравнений, и так далее) работа с определениями и вычислительными правилами, работа с формулами и буквенными выражениями, умение аргументировано и доказательно излагать свои мысли).

Рассмотрение математического материала, имеющего несомненную значимость для дальнейшего обучения подчинено главным образом решению непосредственных задач начальной школы. Недостаточно обращается внимание таким необходимым для дальнейшего обучения навыкам, как работа с определениями и вычислительными правилами, работа с формулами и буквенными выражениями, умение аргументировано и доказательно излагать свои мысли.

Учебник [62] построен на принципиально иной психологической основе, ставящей главной целью обучения математики - формирование у школьников теоретического мышления. Отсюда - иные, чем в других учебниках подходы к изложению курса математики: реализация принципа от общего к частному, практически полный отказ от иллюстративной наглядности и замена её моделированием в предметной, графической или буквенной форме. Подобные принципы изложения материала несут в себе большие возможности для развития детей. Однако сильная затеоретизированность курса, полная подчинённость изложения материала учебника тем психологическим идеям, в рамках которых он написан в ущерб математическому содержанию и способам работы, адекватным материалу, подлежащему усвоению, недостаточно адаптированный к уровню детей язык, присутствие крайне абстрактных и очень трудных для восприятия схем, непривычность изложения материала для учителей делает обучение по этому учебнику достаточно сложным, не вошедшим в зону ближайшего развития большинства учеников младших классов. Таким образом, работа ни по одному из этих учебников не может в полной мере обеспечить решения проблемы преемственности обучения в начальной и средней школе.

Вторая задача исследования решена во втором параграфе первой главы. Проанализирована психолого-педагогическая литература с целью выявить оптимальные способы решения проблемы исследования. Проанализированы основные психологические теории усвоения с целью выявления заложенных в них возможностей повышения эффективности обучения. Установлено, что ассоциативная теория, на основе которой строится обучение практически во всех отечественных школах, не может в полной мере решить проблему преемственности. Усвоение материала в рамках этой теории осуществляется по принципу «набитая руки» за счёт постоянного повторения и решения большего количества однотипных задач. Поэтому на пропедевтику материала средних классов, на организацию необходимой для этого работы и решение соответствующих упражнений не остаётся времени.

Установив, что обучение математике, реализующее ассоциативную теорию, не может в полной мере решить проблемы преемственности, мы обратились к другим известным в настоящее время психологическим теориям усвоения. Было показано, что поведенческая теория, реализуемая колами многих западных стран, предполагает построение обучения по принципу «дрессировки», то есть постоянных повторений, сопровождающихся положительными подкреплениями с целью выработки того или иного учебного навыка. Она несёт в себе все недостатки ассоциативной теории и, следовательно, также не может обеспечить преемственности обучения. Кроме того, широко использующиеся при обучении на этой основе материальные поощрения, не способствуют развитию познавательных интересов учащихся: интерес к учебному предмету подменяется заинтересованностью в получении приза.

Наиболее перспективным для решения проблемы исследования является деятельностный подход Л.С. Выготского - А.Н. Леонтьева - П.Я. Гальперина. Неудачная реализация этого подхода в учебнике [90] характеризует лишь особенности учебника, а не недостатки самой теории.

Деятельностный подход позволяет организовать обучение так, чтобы дети усваивают материал через собственную адекватную работу с ним без предварительного заучивания. Руководство работой учащихся на этапе знакомства с новым действием осуществляется таким образом, что учитель имеет возможность проконтролировать каждый шаг каждого ученика. Это позволяет практически избежать ошибок на этапе формирования понятия. Работа, организованная на основе идей деятельностного подхода позволяет повысить эффективность обучения за счёт создания оптимального темпа для каждого обучаемого и усвоения знаний без организации бесконечных повторений и решения большого числа однотипных задач. Это освобождает время для включения в работу заданий повышенной сложности. Деятельностный подход предлагает принципы организации работы, позволяющие сделать эти задания доступными большинству учащихся. ^ Кроме того, они позволяют полноценно усваивать материал математики начальной школы с учётом всех заложенных в нём возможностей пропедевтики дальнейшего обучения.

Деятельностный подход позволяет по новому взглянуть и на основные принципы дидактики (построение обучения в большей мере с опорой на моделирование, а не на иллюстративную наглядность, обучение на верхней грани доступности, обеспечение сознательности усвоения знаний и активности школьников через собственную работу, адекватную изучаемому материалу и т.д.). Всё это создаёт предпосылки для решения проблемы преемственности обучения.

Разработаны требования и определены условия организации ^ усвоения с точки зрения повышения эффективности обучения и обеспечения преемственности начальной и средней школы, разработано материальное обеспечение решения поставленной проблемы. Определены условия усвоения основных понятий и алгоритмов темы «Умножение и деление натуральных чисел», направленные на повышение эффективности обучения и обеспечение преемственности начальной и средней школы. Разработаны методические приёмы, позволяющие изучать материал данной темы с учётом потребностей дальнейшего обучения и обеспечивающие пропедевтику некоторых тем курса средней школы (работа с многочленами, арифметические действия с десятичными дробями, решение алгебраических и геометрических задач, обучение доказательству и т.д.). Разработано материальное обеспечение, позволяющее организовать усвоение данной темы с указанными характеристиками, в том числе материалы для рабочих тетрадей (с печатной основой).

Четвёртая задача решена во втором параграфе второй главы. Разработанные материалы экспериментально опробованы. Эксперимент описан в указанном параграфе данной главы. Результаты эксперимента подтвердили эффективность обучения, построенного по описанным принципам, и доступность младшим школьникам разработанных материалов, позволяющих обеспечить преемственность обучения.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Быкова, Татьяна Петровна, Москва

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: МЦНМО, 2001. - 128с.

2. Амонашвили Ш.А. Психологические основы педагогики сотрудничества. М., 1986-264с.

3. Ананьев Б.Г. Психология чувственного познания. М., 1960. -486с.

4. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. М.: Учпедгиз, 1954.186с.

5. Аргинская И.И. Математика. 2 класс. М., 1997. -288с.

6. Аргинская И.И. Математика 2 класс: Методические рекомендации: Пособие для учителей. М., 1992. - 43с.

7. Аргинская И.И. Математика: учебник для 3 класса трёхлетней начальной школы. М., 1997. - 272с.

8. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз, 1938. -482с.

9. Балл Г.А. Теории учебных задач (Психолого-педагогический аспект) -М.: Педагогика, 1990. 184с.

10. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков. //Начальная школа. 1993. - №11 -с.5-7

11. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М., 1984. -335с.

12. Батракова И.С. Теоретические основы организации педагогического процесса в современной школе. Автореферат дис. . д-ра пед. наук. -СПб, 1995.-37с.

13. Батуев A.C., Соколова Л.В. О соотношении биологического и социального в природе человека. //Вопросы психологии. 1994. -№1., -с.81-92

14. Блох А.Ш. и др. Микрокалькуляторы в школе. Минск, 1986. -99с.

15. Богданова О.С., Трофимова Н.М., Крутских Т.А. Раннее развитие детей в процессе обучения и воспитания. Воронеж: Изд. Воронежского педагогического университета, 1996. -145с.

16. Богданский Ф.Г. О возможности усвоения алгебраического способа решения задач младшими школьниками.// Вопросы психологии. -1967. -№3.-с.56-58

17. Богданский Ф.Г. Учить обобщённому способу решения задач.// Радяньска школа. 1967. - №6. -с. 14-17

18. Богданский Ф.Г., Григоренко Г.П. Опыт введения элементов алгебры в первом классе.: Психология начального обучения.: Тезисы республиканской психологической конференции. Киев: "Радяньска школа", 1964.-с.7

19. Богоявленский Д.Б., Менчинская H.A., Психология усвоения знаний в школе. М., 1959. -347с.

20. Богоявленский Д.Б., Петухова И.А. Структура интеллектуальной активности. //Новые исследования в психологии. 1980. - №1(22). -с.38-45.

21. Болтянский В.Г. Использование микрокалькуляторов в обучении математике. М.; 1981. -56с.

22. Болтянский В.Г., Левитас Г.Г. Математика атакует родителей. М., 1973.-151с.

23. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. -400с.

24. Вейль Г. О философии математики. М.: ГТТИ, 1934. -128с.

25. Венгер JI.A. О качественном подходе к диагностике умственного развития ребёнка. //Вопросы психологии. 1974. - №1. -с.23-27

26. Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5-го класса средней школы. -СПб: Изд. "Свет", 1995. -304с.

27. Виленкин Н.Я. О некоторых аспектах преподавания математики в <f младших классах.// Математика в школе. 1965. - №1. -с.8-11

28. Виленкин Н.Я., Таварткиладзе Р.К. О путях совершенствования содержания и преподавания школьного курса математики. -Тбилиси, 1985.-137с.

29. Вилюнас В.К. Психологические механизмы мотивации человека. -М.: Изд. МГУ, 1990.-97с.

30. Волович М.Б. Математика без перегрузок. М., 1991. -142с.

31. Волович М.Б. Можно успешнее учить математике в начальной школе. Учителю на заметку. //Начальная школа. Приложение к "1 Сентября". 1997. - №36. с. 1-3

32. Волович М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики. -М., 1995.-432с.

33. Волович М.Б. Не мучить, а учить. О пользе педагогической психологии. М., 1992. -238с.

34. Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников: Сборник статей под ред. Давыдова В.В. М., 1962. -288с.

35. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М., 1991. —479с.

36. Выготский Л.С. Развитие высших психических функций. М., 1960. 500с.

37. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребёнка. -М., 1985.-341с.

38. Гальперин П.Я. Управление познавательной деятельностью учащихся. М., 1972. -286с.

39. Гальперин П.Я. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий. М., 1968. —454с.

40. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. Психологические вопросы формирования начальных математических понятий у детей.// Доклады АПН РСФСР 1961. - № 1. -124с.

41. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логическое исчисление и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. -548с.

42. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория доказательств. М.: Наука, 1982. -652с.

43. Гильбух Ю.З. Психологические предпосылки сотрудничества учителя и учащихся.// Советская педагогика 1990. - №5. -с.81-87.

44. Глейзер Г.Д. Повышение эффективности обучения математики в школе.-М., 1989.-236с.

45. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. -191с.

46. Гнеденко Б.В. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии.// Математика в школе. 1996. - №1. -с.2-5

47. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1982. -145с.

48. Гончарова М.А. Учись размышлять. Развитие у детей математических представлений, воображения и мышления. М., 1995.-123с.

49. Грудёнов Я.И. О принципах построения системы упражнений.// Народное образование. 1963. - №2. -с.13-15.

50. Грудёнов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математики. М., 1987.-158с.

51. Грудёнов Я.И., Середа A.M., Середа В.И. Психология подсказывает методике.//Математика в школе. 1990. - №6. -с.33-34.

52. Гурова АЛ. Психологический анализ решения задач. Воронеж,1976.-114с.

53. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? М.: Авангард, 1994.-158с.

54. Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении. М.; 1972. -423с.

55. Давыдов В.В. Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета. М.: Просвещение, 1966. -236с.

56. Давыдов В.В. О понятии развивающего обучения.// Педагогика1995.-№1.-с.12-15

57. Давыдов В.В. Опыт введения элементов алгебры в начальной школе.// Советская педагогика 1962. - №8. -с.7-8

58. Давыдов В.В. Особенности курса математики в системе развивающего обучения Эльконина -Давыдова.// Психологическая наука и образование -1996. -№ 4 с.3-7.

59. Давыдов В.В. Психологический анализ действия умножения// Психологические возможности младших школьников в усвоении математики./ Под ред. Давыдова В.В. М.: Просвещение, 1969. -с.36-39.

60. Давыдов В.В. Учебная деятельность, состояние и проблемы исследования.// Вопросы психологии. 1997. - №6. -с.3-17.

61. Давыдов В.В., Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. Ереван, 1981. -138с.

62. Давыдов В.В., Горбов С.Ф. и др. Математика: 2 класс. М.,1995. -346с.

63. Давыдов В.В., Горбов С.Ф. и др. Математика: 3 класс: 1 и 2 полугодие. М.,1996. -540с.

64. Давыдов В.В., Горбов С.Ф. и др. Обучение математике: 2 класс: Методическое пособие для учителей трёхлетней начальной школы. — М., 1995.-121с.

65. Давыдов В.В., Горбов С.Ф. и др. Обучение математике: 3 класс: Экспериментальные материалы: 1-ое полугодие: Методическое пособие для учителей трёхлетней начальной школы. М., 1996. -121с.

66. Давыдов В.В., Горбов С.Ф. и др. Программа развивающего обучения (система Д.Б. Эльконина В.В. Давыдова): 1-6 классы. - М.: Интор, 1997.-76с.

67. Давыдов В.В., Кудрявцев В.Г. Развивающее образование: Теоретические основы преемственности дошкольной и начальной ступеней.// Вопросы психологии. 1997. - №1. -с.36-40.

68. Давыдов В.В., Слободчиков В.И., Цукерман Г.А. Младший школьник как субъект учебной деятельности.// Вопросы психологии. 1992. -№3-4. -с.12-15, 11-14.

69. Далингер В.А. Методика реализации внутри предметных связей при обучении математике. М.: Просвещение, 1991. -128с.

70. Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем. Омск: ОГПИ, 1990.-127с.

71. Далингер В.А. Обучение учащихся решению текстовых задач методом составления уравнений. Омск: Омский областной институт усовершенствования учителей, 1991. -126с.

72. Далингер В.А. Формирование у учащихся умения доказывать теоремы. Омск, 1989. - 132с.

73. Дмитриев А.Е., Фатеева Н.И. Дидактика: Учебное пособие для студентов факультета начальных классов. М.; 1990. -448с.

74. Дональдсон М. Мыслительная деятельность детей. М., 1985. -436с.

75. Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. -М., 2000 -186с.

76. Дьедонне Ж. Абстракция в математике и эволюция алгебры.// Сборник "Преподавание математики" М.: Учпедгиз, 1960. -16с.

77. Дьюи Дж. Психология и педагогика мышления. Берлин, 1922. -436с.

78. Дьюи Дж. Школа и ребёнок. М., 1923. -546с.

79. Занков Л.В. Дидактика и жизнь. М., 1968.-176с.

80. Занков Л.В. Избранные педагогические труды. М., 1990. -418с.

81. Занков Л.В. К вопросу о соотношении обучения и развития.// Содружество учёного и учителя. М., 1991. -272с.

82. Занков Л.В. О начальном обучении. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. -87с.

83. Звенигородский Г.А. Вычислительная техника и её применение. М.,1987.-145с.

84. Зверева М.В. О системе начального обучения, направленной на общее развитие учащихся (система Л.В. Занкова).// Психологическая наука и образование. 1996. - №4. -с.5-9

85. Информационное письмо о новой программе по математике для 1-3 классов общеобразовательной школы.// Начальная школа. 1996. -№10. -с.2-6

86. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. М., 1985. -186с.

87. Истомина Н.Б. Концепция обучения математике в начальной школе.// Начальная школа. 1996. - №10. -с.48-59.

88. Истомина Н.Б. Математика: 2 класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. М., 2000 -176с.

89. Истомина Н.Б. Математика: 3 класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. М., 2000. -176с.

90. Истомина Н.Б. Математика: 2 класс: Методические рекомендации к учебнику.-М.; 1996.-113с.

91. Истомина Н.Б. Математика: 3 класс: Методические рекомендации к учебнику. М.; 1996.-113с.

92. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. -М., 1992.-288с.

93. Истомина Н.Б. Методические возможности калькулятора при обучении младших школьников математике. М., 1993. -113с.

94. Истомина Н.Б. О совершенствовании начального обучения математике.// Обруч. 1995. - №2. -с.24-29

95. Истомина Н.Б. Теоретические основы методики математики в начальных классах. М., 1996. - 446с.

96. Истомина Н.Б., Нефёдова И.Б. Учимся решать задачи: Тетрадь по математике: 2 класс трёхлетней начальной школы, 3 класс четырёхлетней начальной школы. М.: Линка-Пресс, 1998. -46с.

97. Кабанова-Меллер E.H. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. -376с.

98. Кауфман Б. Вверх по лестнице, ведущей вниз. М., 1989. -653с.

99. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988. -295с.

100. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984. -446с.

101. Кларин М.В. Инновационные модели обучения в зарубежных педагогических поисках. М.: Арена, 1994. -568с.

102. Кларин М.В. Инновации в мировой педагогике. Рига: НПЦ "Эксперимент", 1995.-176с.

103. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 1-М.-Л., 1933. ^31 с.

104. Колягин Ю.М. Размышления о некоторых проблемах начального обучения математики.// Начальная школа. 1997. - №4. -с.38-45

105. Колягин Ю.М. Роль и место задач в обучении математике. М., 1973. -231с.

106. Колягин Ю.М. Роль и место задач в формировании системы основных знаний. М., 1976. -237с.

107. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Методика преподавания математике в средней школе. М., 1975. -466с.

108. Кравцов Г.Г. Психологические проблемы начального образования. -Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994. -376с.

109. Краткая философская энциклопедия. М.: Энциклопедия, 1994. -684с.

110. Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. М., 1990. -231с.

111. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. М.: Наука, 1985. —413с.

112. Кушнир А. Вперёд. .к Выготскому?// Народное образование. 1997. -№7. -с.21-28.

113. Ламшина Т.П. Добавить ноль или отбросить? Организация усвоения темы "Умножение и деление чисел на 10, 100, 1000,."//Начальная школа. Приложение к газете "Первое сентября", 1999, №34

114. Ламшина Т.П. Организация усвоения алгоритма письменного деления на однозначное число и деления с остатком.// Начальная школа. Приложение к газете " Первое сентября", 2000, №29

115. Ламшина Т.П., Волович М.Б. пропедевтика обучения доказательству в начальной школе.// начальная школа. Приложение к газете "Первое сентября", 2000, №40

116. Ламшина Т.П. Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней школы.// Начальная школа. Приложение к газете "Первое сентября", 2000, №18

117. Леонтьев А.Н. Умственное развитие ребёнка. М., 1950. -688с.

118. Лернер И.Я. Проблемное обучение. М., 1974. -64с.

119. Лернер И.Я. Развивающее обучение с дидактических позиций.// Педагогика. 1996. - №2. -с.32-37.

120. Лук А.Н. Учить мыслить. М.: Знание, 1985. -96с.

121. Ляудис В.Я. Память в процессе развития. М., 1976. -255с.

122. Макарычев Ю.П., Нешков К.И., Пышкало A.M. Информационное письмо о новой программе по математике для 1-3 классов общеобразовательной школы.// Начальная школа. 1996. - №10. -с. 18-23

123. Максимов A.K. О некоторых вопросах исследования мотивации учения младшего школьника.// Мотивация учения. Волгоград; 1976.-34с.

124. Менчинская H.A. Вопросы умственного развития младших школьников и новые программы.// Обучение и развитие младших школьников. Киев, 1970. -21с.

125. Менчинская H.A. Психология обучения арифметике. М., 1955. -348с.

126. Менчинская H.A. Проблемы психологии обучения. М., 1954. -143с.

127. Менчинская H.A., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальной школе. М., 1965. -224с.

128. Методика начального обучения математики./ Под ред. Скаткина JT.H. -М., 1972.-320с.

129. Методы выявления особенностей познавательной активности школьников в условиях дифференцированного обучения./ Под ред. И.С. Якиманской М., 1993. -126с.

130. Микулина Г.Г. Соотношение цифровой и буквенной символики при решении арифметических задач.// Вопросы психологии. 1968. -№1. -с.35-40

131. Моро М.И. Средства обучения математике в начальной школе. М.,1981.-154с.

132. Мордкович А.Г. Математика. 7 класс. -М., 2001, 449с.

133. Моро М.И., Бантова М.А. Математика: 2 класс. М., 1997. -356с.

134. Моро М.И., Бантова М.А. Математика: 3 класс. М., 1998. -354с.

135. Моро М.И., Бантова М.А. Математика во втором классе: Пособие для учителя.-М., 1987.-158с.

136. Моро М.И., Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1-3 классах. М., 1975. -304с.

137. Нурк В. Е., Тельгмаа А.Э. Математика:5класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений. -М., 1990. -442с.

138. Назарова А.Е. Преемственность в разработке и применении средств обучения. // Преемственность в обучении математике. -М.,1978. -с.97-109.

139. Нешков К.И. Некоторые вопросы преемственности при обучении математике.// Преемственность в обучении математике. -М.,1978. -с.13-18.

140. Основы методики начального обучения математике./ Под ред. Пчёлко A.C. М., 1965. - 646с.

141. Обухова Л.Ф. Экспериментальный анализ некоторых «феноменов Пиаже»// Вопросы психологии. 1966. - №4. -с.31-38.

142. Обучаем по системе J1.B. Занкова.: 2 класс: Книга для учителя. М.;1993.- 134с.

143. Петерсон Л.Г. Математика: 2 класс. Части 1-4- М., 1996. -200с.

144. Петерсон Л.Г. Математика: 3 класс. Части 1-3- М., 1996. -288с.

145. Петерсон Л.Г. Математика: 2 класс: Методические рекомендации: Пособие для учителей. М., 1997.- 137с.

146. Петерсон Л.Г. Новый развивающий курс.// Начальная школа. • Первое сентября. - 1996. - №30.

147. Петерсон Л.Г. Программа по математике для трёхлетней начальной школы: Объяснительная записка.// Начальная школа. 1996. - №11. -с. 21-27.

148. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Просвещение,1969.- 659с.

149. Пиаже Ж. Роль действия в формировании мышления.// Вопросы психологии. 1965. - №6. -с.35-42.

150. Пиаже Ж., Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 448с.

151. Повальнова В.И. О состоянии преподавания в начальных классах школ Белгородской области.// Начальная школа. 1994. - №11,- с.13-17.

152. Познавательные процессы и способности в обучении/ Под ред. Шадрикова В.Д. М.: Просвещение, 1990. -567с.

153. Пышкало A.M. Методические аспекты проблемы преемственности в обучении математике.// Преемственность в обучении математике. -М., 1978.-c.3-13.

154. Программа по курсу «Развитие познавательных способностей на уроках математики. 1-3 классы»// Начальная школа. 1995. - № 8. -с.3-8.

155. Психическое развитие младших школьников: Экспериментальное психологическое исследование./ Под ред. В.В. Давыдова М.: Педагогика, 1990.-465с.

156. Пуанкаре А. Математическое творчество. Психологический этюд. -Юрьев, 1909.-137с

157. Пуанкаре А. Наука и метод. Одесса; 1910. -230с.

158. Пчёлко A.C. Методика преподавания арифметики в начальной школе.-М., 1956.-548с.

159. Рассел Б. Человеческое познание: Его сфера и границы. Киев: Ника-центр, 2001. - 658с.

160. Репкина Н.В. Система развивающего обучения в школьной практике.// Вопросы психологии. 1997. - №3. -с.31-38.

161. Репкина Н.В. Сравнительный анализ развития младших школьников в условиях разных систем обучения.// Вестник. 1998. - №4. -с. 1317.

162. Российская педагогическая энциклопедия: В2-х тт./Гл. ред. В.В. Давыдов. -М.: Большая российская энциклопедия, 1998. 672с.

163. Рубинштейн СЛ. Бытиё и сознание. М., 1957. -467с.

164. Рубинштейн C.JI. Несколько замечаний в связи со статьёй «Продуктивное мышление и ассоциация»// Вопросы психологии. -1960.-№1.-с.23-29.

165. Салмина Н.Г. Виды и функции материализации в обучении. М.,1981.-376с.

166. Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе. -М., 1975.-458с.

167. Самсонова Е. Развивающее обучение в России.// Психологическая газета. 1998. - №5.

168. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. -М.: Просвещение, 2000. -137с.

169. Середа Г.К. Непроизвольное запоминание и обучение. Канд. дисс. -М., 1967.-156с.

170. Середа Г.К. Проблема памяти и обучение.//Вопросы психологии.1967.-№1.-с.26-31.

171. Скаткин J1.H. Обучение решению простых и составных арифметических задач. М.: Учпедгиз, 1963. -452с.

172. Столяр A.A. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск;1987. -364с.

173. Столяр A.A. Как математика ум в порядок приводит. Минск; 1982. -287с.

174. Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики. -Минск; 1965.-341с.

175. Столяр A.A. Методика начального обучения математике. Минск;1988.-563с.

176. Столяр A.A. Педагогика математики: Курс лекций. Минск, 1974. -377с.

177. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. М.: Просвещение, 1988. -562с.

178. Талызина Н.Ф., Буткин Г.А. Опыт обучения геометрическому доказательству.// Новые исследования в педагогических науках, вып. 193, 1964.-12с.

179. Талызина Н.Ф., Буткин Г.А. Усвоение научных понятий в школе. -М., 1999.-235с.

180. Теоретические основы процесса обучения./ Под ред. В.В. Краевского, И .Я. Лернера М., 1989. - 474с.

181. Торндайк Э.Л. Процесс учения у человека. М.; 1935. -568с.

182. Федосова Н.А. Новая структура начальной школы.// Начальная школа. 1995. - №1. -с.24-28.

183. Фоминых Ю. Математика «по Давыдову» это тупик.// Народное образование. - 1998. - №7.-с. 13-23.

184. Фридман Л.М. Арифметика. М.: Учпедгиз, 1963. -434с.

185. Фридман Л.М. Есть ли альтернатива развивающему обучению?// Начальная школа. 1999. - №5. -с.34-38.

186. Фридман Л.М. Методика обучения решению математических задач.// Математика в школе. 1991. - №5. -с.21-27.

187. Фридман Л.М. О механизмах решения арифметических задач.// Вопросы психологии. -1967. -№2. -с. 34-41.

188. Фридман Л.М. Содержание, система и место задач в школьном курсе арифметики. Канд. дисс. -М., 1953. 165с.

189. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Книга для учителя старших классов средней школы. М.: Просвещение, 1989.-240с.

190. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. М.: Просвещение, 1982.-322с.

191. Хекхаузен X. Мотивация и деятельность. М.: Педагогика, 1976. -408с.

192. Хинчин А.Я. Основные понятия математики в средней школе.// Математика в школе. 1939. - №4. -с.15-24.

193. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М., 1963. -367с.

194. Школа 2000.Концепция и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы. Выпуск 1,- М., 1997. -34с.

195. Шохор-Троцкий С.И. Геометрия на задачах. М., 1908. -453с.

196. Эльконин Д.Б. Введение в психологию развития. М., 1994. -468с.

197. Эльконин Д.Б. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы). М., 1966. -387с.

198. Эльконин Д.Б. Мышление младшего школьника.// Сб. Очерки психологии детей./ Под ред. Леонтьева А.Н., Божович Л.И. М., 1950. -389с.

199. Эльконин Д.Б. Обучение и развитие в младшем школьном возрасте.// Избранные психологические труды. М., 1989. - 453с.

200. Эльконин Д.Б. Психология обучения младшего школьника. М.,1981.-236с.

201. Эльконин Д.Б. Психологические условия развивающего обучения.// Обучение и развитие младших школьников. М., 1970. -с.36-42.

202. Эрдниев Б.П. О технологии творческого обучения математике.// Математика в школе. 1990. - №6. -с.21-27.

203. Эрдниев П.М. Развитие навыков самоконтроля при обучении математике. М.: Учпедгиз, 1957. -186с.

204. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. -М.: Учпедгиз, I960. 187с.

205. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. М.: Педагогика, 1988. -563с.

206. Эриксон Д. Детство и общество. -СПб.: Речь, 2000. -531 с.

207. Barlett F. Remembering. Cambridge, 1932. -368р.

208. Wilk-Siwek H., Malicki T. Matematika. Klasa druga. Zeszut 2. Bielsko-Biala, 1995 -236p.

209. Wilk-Siwek H., Kusion L. Matematika. Klasa druga. Zeszut 3. Bielsko-Biala, 1997 -240p.

210. Hilgard E., Bower G. Theories of learning. N. Y., 1966. 678p/