Обучение математическому моделированию в курсе алгебры основной школы как условие развития учебно-познавательной компетентности учащихся

Ложкина, Екатерина Михайловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение математическому моделированию в курсе алгебры основной школы как условие развития учебно-познавательной компетентности учащихся

Автореферат

Автор научной работы: Ложкина, Екатерина Михайловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Санкт-Петербург
Год защиты: 2008
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение математическому моделированию в курсе алгебры основной школы как условие развития учебно-познавательной компетентности учащихся"

На правах рукописи УДК: 372.016:51

Ложкина Екатерина Михайловна

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАШПО

В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ КАК УСЛОВИЕ РАЗВИТИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Специальность: 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 2008

003457062

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике ГОУ ВПО «Российский государственный педагогический университет имени А.И. Герцена

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор

Наталья Семеновна Подходова

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, доцент

Елена Анатольевна Ермак

кандидат педагогических наук, доцент Борис Алексеевич Комаров

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

Защита состоится 18 декабря 2008 года в 11 часов на заседании Диссертационного Совета Д 212.199.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора педагогических наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена (191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д.48, корпус 1, ауд. 237)

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена

Автореферат разослан «•/ноября 2008 п

ода

V (

Ученый секретарь ,,

Диссертационного Совета^//'' ^ ^ ■■ у

И.В. Симонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В основе отечественной системы образования лежит социокультурная парадигма, в рамках которой ведущей функцией образования является функция социализации и инкультуризации как приобщения учащихся к достижениям отечественной и мировой культуры. Стремление России на равных правах войти в единое европейское и мировое экономическое пространство привело к вступлению России в 2003 году в Болонский процесс и к принятию европейских параметров качества образования, в том числе применительно к общему математическому образованию. Результаты участия российских школьников в международных исследованиях качества подготовки выпускников в 1999-2006 годах, свидетельствуют о низком (по мировым параметрам) уровне образовательной подготовки наших школьников по сравнению с учащимися других стран.

Проведенный анализ исследований, раскрывающих теоретические основы и пути внедрения компетентностного подхода в систему общего образования, показал, что компетентностный подход является широко разрабатываемым в настоящее время направлением модернизации отечественного образования. Существуют исследования, связанные с решением проблем определения содержания понятий «компетенция», «компетентность» и установлением взаимосвязи между ними (О.В. Акулова, И.А. Зимняя, A.B. Хуторской и др.); иерархии, типологии компетенций / компетентностей (И.А. Зимняя, A.B. Хуторской, И.Д. Фрумин и др.); изучения отдельных видов компетенций / компетентностей (О.В. Акулова, О.В. Харитонова, A.B. Хуторской и др.); поиска и реализации путей внедрения компетентностного подхода в образовательный процесс современной школы на уроках химии (Ю.М. Волкова, Н.В. Груздева), геометрии (О.В. Харитонова), географии (А.Б. Воронцов).

Исследований, посвященных проблеме реализации компетентностного подхода при обучении алгебре в основной школе, нам не встретилось. Однако предпосылки решения данной проблемы можно найти в работах, раскрывающих прикладную направленность алгебры (В.Б. Гнеденко, В.А. Петров, H.A. Терешин и др.), посвященных проблеме обучения школьников решению текстовых математических задач (Ю.М. Колягин, З.П. Матушкина, Е.Ф. Фефи-лова, Л.М. Фридман и др.), реализации деятельностного (О.Б. Епишева), развивающего (Е.В. Смыкалова), системно-структурного (З.П. Матушкина), метаме-тодического (Н.С. Подходова, И.М. Титова) подходов при обучении алгебре.

Таким образом, существует противоречие между новыми требованиями к подготовке выпускника, продиктованными внедрением компетентностного подхода в российскую систему общего образования, и отсутствием методических исследований, раскрывающих пути, способы и средства реализации этих требований при обучении алгебре в основной школе.

Сказанное выше обосновывает актуальность проблемы нашего диссертационного исследования, которая заключается в поиске путей реализации компе-

тентностного подхода при обучении алгебре в основной школе.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре учащихся 7-9 классов.

Внедрение компетентностного подхода в систему общего образования привело к изменению целей обучения учащихся в общеобразовательной школе: «основным результатом деятельности общеобразовательного учреждения должна стать не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключевых ком-петентностей...». Различные типологии ключевых компетенций разработаны в исследованиях И.А. Зимней, Т.В. Ивановой и других ученых. Одним из видов ключевых компетентностей, который выделяется в работах Т.В. Ивановой, A.B. Хуторского и других ученых, является учебно-познавательная компетентность. На основе анализа исследований Т.В. Ивановой, A.B. Хуторского мы пришли к выводу о том, что развитие у учащихся учебно-познавательной компетентности целесообразно рассматривать в качестве одного из основных путей реализации компетентностного подхода при обучении алгебре.

Показателями владения школьниками учебно-познавательной компетенцией являются: мотивация на познание; умение организовывать собственную учебно-познавательную деятельность; умение получать информацию и работать с ней; умение логически мыслить; умение применять в процессе учебно-познавательной деятельности знания из различных учебных предметов и собственного субъектного опыта (О.В. Харитонова).

Анализ исследований Н.С. Подходовой, в которых разработаны метафунк-ции алгебры как учебного предмета, позволил нам в качестве необходимого условия развития у учащихся учебно-познавательной компетентности выделить процесс формирования у них общеучебного умения осуществлять математическое моделирование. В качестве основного средства формирования у учащихся этого умения, вслед за Е.И. Лященко, JIM. Фридманом и другими учеными, мы рассматриваем текстовые математические задачи.

Изучению моделей, математических моделей, математического моделирования посвящены труды Ю.Б. Мельникова, Н.Г. Салминой, В.А. Штоффа и других ученых. Проблема необходимости обучения школьников математическому моделированию сегодня поднимается и в методике обучения математике (М.И. Калинина, А.Г. Мордкович, JI.M. Фридман и др.), но пока она остается нерешенной. Анализ учебных пособий по алгебре для основной школы показал, что учебного материала, содержащегося в них, для овладения умением осуществлять математическое моделирование недостаточно. Единственным учебником в основной школе, содержащим учебный материал о математическом моделировании, является учебник А.Г. Мордковича. Кроме того в школьном образовании содержание разных учебных предметов построено изолированно. В нем не учитываются взаимосвязи между областями знаний, проявляющиеся в реальной жизни, что противоречит формированию учебно-познавательной компетентности и способствует построению математических моделей, не соответствующих реальной действительности.

Особенно ярко это проявляется в курсе математики. При решении задач «на смеси, сплавы и растворы» не учитываются физические и химические свойства

веществ (изменение плотности раствора с изменением его концентрации или температуры, вскипание раствора кислоты большой концентрации при вливании в него воды и т.д.), при решении задач «на раскрой» - усадка ткани, в задачах «на движение» - характер движения (по виду траектории, изменению скорости), в задачах «на вытекание воды из резервуара» - изменение скорости вытекания с понижением уровня воды и др. Так, например, при изучении химии во избежание теплоэффекта и получения ожогов школьников учат наливать кислоту тонкой струйкой в воду, а в учебниках математики задачи сформулированы наоборот: в кислоту вливается вода. На уроках алгебры детей учат приравнивать массу куска стали, полученного в результате сплавления, сумме масс исходных кусков стали, хотя в действительности в процессе сплавления происходит выделение углерода, и равенство масс не может соблюдаться.

Отсутствие в современной науке методики целенаправленного обучения учащихся математическому моделированию, с одной стороны, и потребность в ее разработке - с другой, определили предмет нашего исследования, которым является методика обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры основной школы.

Цель исследования состоит в том, чтобы разработать методику обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, направленную на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся

Анализ научной литературы, результатов констатирующего и поискового экспериментов позволили нам сформулировать концептуальные положения построения методики обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры 7-9 классов:

1) Формирование у учащихся умения осуществлять математическое моделирование должно осуществляться посредством обучения школьников математическому моделированию при работе с текстовыми задачами. Текстовые задачи являются основным средством формирования у учащихся данного умения, а процесс обучения математическому моделированию способствует овладению школьниками умением решать текстовые задачи.

2) Методика обучения учащихся математическому моделированию должна строиться как в соответствии со структурой этого умения (знаниями и действиями, составляющими ее), так и в соответствии со спецификой математических моделей. В соответствии с ними же должен разрабатываться и учебный материал.

3) Методика формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование должна строиться с учетом возрастных особенностей развития у учащихся психических процессов, входящих в структуру деятельности математического моделирования. Она должна учитывать тот спектр меж-предметпых связей, то многообразие предметов, которое осваивает ученик в 7, 8,9 классах.

4) Одним из необходимых составляющих методики обучения учащихся математическому моделированию является выявление субъектного опыта учащихся, его отслеживание и учет на протяжении всего процесса формирования умения.

5) Отправным пунктом решения текстовых задач в рамках методики обучения математическому моделированию является осознание школьниками модель» ости решаемых ими текстовых математических задач по отношению к соответствующей реальной ситуации и научной задаче.

6) Обязательным компонентом методики обучения математическому моделированию является целенаправленная работа по формированию у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование.

Гипотеза исследования: Если методику обучения математическому моделированию при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы строить на основе разработанных в нашем исследовании концептуальных положений, то это будет способствовать развитию учебно-познавательной компетентности учащихся.

Для достижения поставленной цели и подтверждения сформулированной гипотезы исследования потребовалось решить следующие задачи:

1) На основе анализа литературы, раскрывающей теоретические положения внедрения компетентностного подхода в образовательный процесс российских школ, выделить «рабочее» определение учебно-познавательной компетентности.

2) Обосновать выбор обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы в качестве необходимого условия развития учебно-познавательной компетентности учащихся.

3) На основе анализа литературы раскрыть и уточнить содержание понятий «модель», «математическая модель», выделить специфику и структуру математических моделей, виды моделей, применяемых при решении текстовых задач на уроках алгебры 7-9 классов.

4) На основе анализа научных исследований выделить этапы математического моделирования при работе с текстовой задачей, уточнить их содержание, раскрыть структуру умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей в курсе алгебры основной школы.

5) На основе выводов, полученных в результате теоретического анализа литературы, собственного опыта работы в школе и в вузе разработать: концептуальные положения построения методики формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование; методику обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы;

6) Апробировать методику формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование на одном из этапов его становления при изучении алгебры в основной школе.

Для решения поставленных задач нами были использованы следующие методы исследования: теоретический анализ философской, математической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования; анализ собственного опыта работы в школе в качестве учителя математики, опыта работы в вузе в качестве преподавателя математических дисциплин на нематематических факультетах и дисциплин по кафедре методики преподавания математики; анализ опыта работы учителей математики, физики, химии, географии, информатики, преподавателей математических дисциплин в вузе; проведение письменной работы с целью выявления уровня сфор-

мированности умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей на уроках алгебры; количественная и качественная обработка экспериментальных данных.

Методологической базой исследования служат: компетентностный подход (О.В. Акулова, И. А. Зимняя, A.B. Хуторской и др.), теория деятельности и развития личности (А.Н. Леонтьев, Е.И. Машбиц и др.), теория формирования и развития умственных действий школьников (П.Я. Гальперин, А.И. Раев, Н.Ф. Талызина и др.), теория формирования общеучебных умений (И.Я. Лернер, H.A. Лошкарева, A.B. Усова и др.), метаметодический подход (Н.С. Подходова, И.М. Титова и др.), деятельностный подход к обучению (О.Б. Епишева, Н.Ф. Талызина и др.), личностно-ориентированный подход к обучению (И.С. Якиманская и др.), развивающий подход к обучению (В.В. Давыдов, E.H. Кабанова-Меллер и др.), логико-психологические основы и теория обучения решению текстовых задач (Л.Л. Гурова, Ю.М. Колягин, Е.Ф. Фефилова, Л.М. Фридман и др.), теоретические и психологические основы обучения учащихся математическому моделированию (Ю.Б. Мельников, Н.Г. Салмина, Л.М. Фридман и др.).

Исследование проводилось с 2004 по 2008 год и включало три этапа.

На первом этапе (2004-2005 гг.) в соответствии с проблемой исследования осуществлялся анализ научной литературы. Здесь были определены объект и предмет исследования, сформулированы проблема, цель, задачи, «рабочая» гипотеза исследования, определены методы решения поставленных задач. В этот период были сделаны теоретические выводы, положенные в основу методики обучения математическому моделированию при изучении алгебры в основной школе, проведен констатирующий эксперимент, разработаны с целью дальнейшего уточнения концептуальные положения построения методики формирования умения осуществлять математическое моделирование.

На втором этапе экспериментального исследования (2005 - 2007 гг.) проводился поисковый эксперимент. Здесь уточнялись концептуальные положения построения методики обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, были разработаны и уточнены этапы овладения им школьниками, требования к отбору и организации учебного материала, необходимого для становления данного умения, методические особенности организации деятельности учащихся по работе с этим учебным материалом. На данном этапе разрабатывалась методика обучения учащихся математическому моделированию на первом этапе его становления в курсе алгебры основной школы.

На третьем этапе (2007-2008 гг.) нами проводился формирующий эксперимент, обрабатывались его результаты, были сделаны выводы о справедливости сформулированной в нашем исследовании гипотезы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обучение математическому моделированию в курсе алгебры основной школы является необходимым условием развития учебно-познавательной компетентности учащихся.

2. Обучение математическому моделированию должно осуществляться посредством формирования у школьников умения осуществлять математическое

моделирование при решении текстовых задач и быть направлено на овладение учащимися структурой этого умения.

3. Учебный материал, необходимый для обучения математическому моделированию на каждом этапе, должен включать средства косвенного (текстовые задачи, наборы текстовых задач, задачные ситуации) и прямого (теоретический материал, отдельные задания, в том числе задания на усвоение учащимися теоретического материала, задания к текстовым задачам, наборам задач, задачным ситуациям) управления формированием данного умения.

4. Методика формирования умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы, направленная на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся, должна строиться на основе сформулированных в нашем исследовании (представленных выше) концептуальных положений. В соответствии с ними данная методика имеет поэтапное строение; включает отслеживание пяти уровней становления умения осуществлять математическое моделирование; реализует разработанные в нашем исследовании требования к отбору и организации учебного материала; учитывает методические особенности организации деятельности учащихся при работе с ним.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- обосновано положение о том, что процесс обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы является необходимым условием развития учебно-познавательной компетентности учащихся;

- раскрыта структура умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей;

- выделены факторы, которые определяют искусственность решаемых школьниками текстовых задач, обоснована необходимость и важность (для овладения умением осуществлять математическое моделирование) осознания детьми этих факторов;

- разработана методика формирования умения осуществлять математическое моделирование, направленная на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся в курсе алгебры основной школы.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

- уточнено содержание понятий «модель», «математическая модель», «математическое моделирование», «умение осуществлять математическое моделирование» при изучении алгебры в основной школе;

- выделены этапы деятельности математического моделирования при работе с текстовой математической задачей, уточнено их содержание;

- обосновано, что для реализации такой цели обучения математическому моделированию как развитие учебно-познавательной компетентности учащихся необходимо включить в этот процесс формирования умения осуществлять расчленяющее абстрагирование; строить его на основе обобщения и преобразования

учениками своего субъектного опыта и установления связей с различными учебными предметами;

- разработаны и теоретически обоснованы концептуальные положения построения методики обучения математическому моделированию;

- на основе концептуальных положений разработаны этапы становления умения осуществлять математическое моделирование в курсе алгебры основной школы;

- разработаны показатели и уровни овладения учащимися умением осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы;

- разработаны и обоснованы требования к отбору и организации учебного материала, необходимого для обучения математическому моделированию на каждом этапе его становления.

Практическая значимость проведенного исследования заключается в следующем:

- разработан учебный материал, необходимый для обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, раскрыты методические особенности работы с ним;

- разработана методика формирования умения осуществлять математическое моделирование на первом этапе его становления в курсе алгебры основной школы;

- разработано содержание спецкурса «Математические модели в естествознании» для студентов, обучающихся по магистерским программам 540ЮЗМ Географическое образование и 540105М Эколого-геологическое образование.

Рекомендации об использовании результатов исследования. Разработанные материалы могут быть использованы для работы учителями математики общеобразовательных школ, преподавателями кафедр методики обучения математике при подготовке учителей математики, студентами математических факультетов при разработке практических материалов и написании курсовых и дипломных работ, структурами системы подготовки и повышения квалификации учителей математики.

Достоверность результатов исследования обеспечивают: теоретический анализ проблемы; выбор методов, теоретической и методологической базы исследования, адекватных целям и задачам исследования; непротиворечивостью полученных выводов основным психолого-педагогическим и методическим теориям, соответствием результатов, полученных экспериментальным путем, теоретически разработанным положениям.

2006), на методическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена «Компетентностный подход в образовании» (Санкт-Петербург, 2005), на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена (2006, 2007), на методологическом семинаре педагогического коллектива Бокситогорской средней школы №2 (Бок-ситогорск, 2007). Результаты исследования используются при организации и проведении лекционных, лабораторных занятий со студентами математического факультета ПГУ имени М.В. Ломоносова (г. Архангельск), института естествознания РГПУ имени А.И. Герцена, при написании курсовых работ, в практике работы в школе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (шести параграфов), заключения, библиографии и приложений; содержание диссертации изложено на 173 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цель и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

Первая глава «Теоретические основы построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы с целью развития учебно-познавательной компетентности учащихся» состоит из трех параграфов.

Приведенный в первом параграфе теоретический анализ литературы позволил выделить «рабочее» определение учебно-познавательной компетентности и обосновать выбор обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы в качестве необходимого условия развития учебно-познавательной компетентности учащихся.

Под учебно-познавательной компетентностью мы понимаем «интегративное качество личности учащегося, которое отражает владение учебно-познавательной компетенцией, выражающееся в мотивации на познание; умениях организации собственной учебно-познавательной деятельности; информационных умениях; логических умениях; системе знаний в предметной области, интегрируемых учеником из различных областей науки» (О.В. Харитонова).

При обучении математическому моделированию возможно формирование всех составляющих учебно-познавательной компетентности.

Формирование у учащихся знаний о математических моделях, об этапах математического моделирования, умений обоснованно осуществлять эти этапы, выбирая при этом наиболее удобные для исследования математические средства, способы представления информации об объекте, способы работы с моделями будет способствовать развитию как организационных, так и информационных умений.

Процесс построения моделей, их изучение, интерпретация требует применения и высокой организации всех мыслительных операций учащихся, поэтому будет вести к развитию их логических умений (например, умения абстрагировать).

Так как любая математическая модель содержит математический объект, который является абстракцией от абстракции и находит применение практически во всех областях науки, то при включении школьников в работу с этим математиче-

ским объектом, можно не только учить их различным способам решения уравнений, систем уравнений и т.д., но и формировать у них умение применять знания сразу из нескольких учебных предметов (интерпретировать данный объект в различные области науки), то есть можно формировать систему знаний в области математики в их взаимосвязи со знаниями из других учебных предметов.

Формирование мотивации к овладению методом математического моделирования, к постоянному обновлению своих знаний можно осуществить посредством использования при обучении моделированию субъектного опыта учащегося, применения заданий, иллюстрирующих значимость математики как в жизни людей, так и в других областях науки.

Анализ исследований, раскрывающих роль математического моделирования в современной науке, показал, что на сегодняшний день умение осуществлять математическое моделирование можно отнести к общеучебным умениям, которые, по результатам исследований Т.В. Шамардиной, составляют ядро учебно-познавательной компетентности. Обучение учащихся математическому моделированию в нашем исследовании осуществляется через формирование у школьников умения конструировать и применять математические модели при решении текстовых задач.

В исследованиях Е.И. Лященко выделяется два вида математического моделирования: математическое моделирование в узком смысле слова (методы математики применяются только к математическим объектам) и математическое моделирование в широком смысле слова (методы математики применяются к исследованию объектов других наук и реальной действительности). Анализ учебников, учебно-методической литературы, посвященной математическому моделированию, показал, что учебный материал школьных учебников математики способствуют овладению школьниками математическим моделированием в узком смысле слова. Развитие учебно-познавательной компетентности учащихся требует овладения ими умением осуществлять математическое моделирование в широком смысле. В этом ракурсе строится наше исследование.

Во втором параграфе диссертации на основе анализа исследований В.А. Штоффа, Г.И. Рузавина и других ученых уточняется содержание понятий «модель», «математическая модель», выделяются виды моделей, необходимые для обучения школьников математическому моделированию при решении текстовых задач, раскрывается структура математической модели, уточняется содержание моделей, применяемых при решении текстовых задач.

Моделью некоторого объекта В называется такой объект М, не тождественный объекту В, который сконструирован (или выбран) в соответствии с определенной целью; в нем отражены все существенные для этой цели свойства оригинала; объект М замещает объект В; находится с ним в определенных отношениях соответствия; материализован либо является продуктом мышления и допускает материализацию; имеет хотя бы одну интерпретацию. Математическая модель -это модель, представленная с помощью языка математики. Являясь формальной моделью, математическая модель включает: математический объект (объекты), который называют содержательным компонентом математической модели, и описание математического объекта - интерпретационный (описательный) ком-

понент. Интерпретационный и содержательный компоненты математической модели составляют ее структуру (Ю.Б. Мельников).

Продемонстрируем на примерах структуру различных математических моделей Земли, построенных с целью отражения площадей суши и океанов, в каждой модели выделим ее интерпретационный и содержательный компоненты.

Модель I

ЛлощцДО оке ¡шов п г ушкх в млн. км.кв,

□ Суша ат лпсй аищ

□ Атп античной □каш

СЭ У: Й£т£ '.>:■' ^н

■ Сс&ЕрКЫН

Яедсиитагн

На рисунке 1 ц рамку выделен содержательный компонент математической модели Земли, справа без выделения в рамку оставлен интерпретационный (описательный) компонент модели. Обратим внимание на то, что способ заливки секторов в данном случае является элементом интерпретационного компонента модели, так как служит для установления соответствия между математическим объектом и объектом - оригиналом.

Модель 2

Площади океанов и сути

Инт ерпретацион ныв компонент

- площадь суши, млн.км ;

— площадь Тихого океана, млн.км":

Б,,— площадь Атлантического океана, млн.км';

5„ - площадь Индийского океана, млн. км2;

- площадь Северного Ледовитого океана, млн. км2.

Содержательный компонент

5С=!49; 5Т"180; $£93; $,=75; 8М«13.

Раскрытие структуры математической модели позволяет выделить специфику математических моделей. Добавляя к одному и тому же математическому объекту разные интерпретационные компоненты, мы будем получать разные математические модели, причем различных процессов, предметов, явлений.

Во втором параграфе на основе критериев модели, структуры математической модели, уточнено содержание моделей, с которыми школьнику приходится работать при решении текстовой задачи. В частности, текстовая задача, описывающая некоторую реальную ситуацию, является ее моделью только в том случае, когда, во-первых, при решении задачи между ней и соответствующей реальной ситуацией устанавливается связь, во-вторых, субъект, решающий задачу, может описать эту реальную ситуацию, выделив те ее свойства, которые нашли отражение в тексте задаче, и те из них, которые в тексте задачи не описаны, н-третъих, субъект, решающий задачу, осознает искусственность этой задачи по отношению к той, которая возникает в реальной ситуации и решается в науке.

Формирование у учащихся представлений о модельном характере формула-

ровки задачи, вспомогательных, решающих моделей по отношению к текстовой задаче, самой задачи по отношению к описанной в ее тексте ситуации является необходимым условием обучения математическому моделированию (в широком смысле), а, следовательно, является необходимым условием развития учебно-познавательной компетентности учащихся.

В третьем параграфе описывается структура умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей, в соответствии со структурой выделяются средства формирования данного умения при изучении алгебры в основной школе.

В нашем исследовании мы рассматриваем моделирование как компонент учебно-познавательной деятельности. Моделирование - это процесс построения моделей, а также изучения на них соответствующих (этим моделям) объектов (оригиналов). Под математическим моделированием мы понимаем моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством его математической модели, полученной в результате абстрагирования.

E.H. Кабановой-Меллер описано три вида абстрагирования: изолирующее, при котором субъектом выделяются только существенные для цели абстрагирования свойства объекта, а несущественные - отбрасываются, не замечаются; подчеркивающее, при котором существенные (для цели абстрагирования) свойства объекта выделяются, а несущественные - не отбрасываются, а остаются на заднем плане, становятся фоном; расчленяющее (противопоставляющее) - абстрагирование, в процессе которого человек вычленяет существенные (для цели абстрагирования) свойства объекта, но при этом осознает и может назвать несущественные (для цели абстрагирования) свойства объекта, более того, человек рассматривает последние, как частный случай в ряду других возможных их вариаций.

В рамках существующих на сегодцяшний день подходов к обучению алгебре решение текстовых задач школьниками осуществляется на основе изолирующего (редко - на основе подчеркивающего) абстрагирования. Для того чтобы при работе с текстовыми математическими задачами учить школьников применять математические модели к исследованию объектов науки и реальной действительности, применяя при этом знания из различных учебных предметов и субъектного опыта (что необходимо для развития учебно-познавательной компетентности), процесс обучения математическому моделированию необходимо строить на основе формирования у детей умения осуществлять расчленяющее абстрагирование. Поясним сказанное выше на примере.

Задача. Необходимо получить 100 кг нормализованного молока 3%-ой жирности. Имеется молоко 3,5%-ой жирности и обезжиренное молоко 0,1%-ой жирности. Сколько литров обезжиренного молока и молока 3%-ой жирности необходимо взять для приготовления нормализованного молока?

Действуя так же, как и при решении задач на растворы, смеси, сплавы, обозначив за* объем молока 3,5%-ой жирности, необходимого для получения нормализованного молока, составив по условию задачи и решив уравнение 0,035* +0,001(100-*) = 0,03-100, учащиеся записывают следующий ответ: потребуется 85,3 л молока 3,5%-ой жирности и 14,7 л обезжиренного молока

Решение данной задачи на основе расчленяющего абстрагирования, применения знаний из области физики предполагает осознание (а если для этого достаточно знаний, то и учет в решении) школьниками, например, следующих факторов: а) масса 1 литра молока не равна 1 кг (так как плотность молока не 1000 кг/м3); б) молоко разной жирности имеет разную плотность; в) в реальных условиях плотность молока меняется с изменением температуры. Учитывая факторы а) и б), зная, что плотность молока 3,5%-ой жирности равна 1027 кг/м3, а плотность обезжиренного - 1029 кг/м3, имеем, что для получения 100 кг молока потребуется 83,1 л молока 3,5%-ой жирности и 14,3 л обезжиренного молока. Этот ответ отличается от ответа школьников, на 2,2 л и 0,4 л молока каждого вида При больших объемах различие ответов будет еще более заметным.

В деятельности математического моделирования при работе с текстовой задачей (с точки зрения методики обучения школьников математическому моделированию) целесообразно выделять 4 этапа:

I. Этап построения решающей математической модели задачи (воссоздание реальной ситуации, часть которой описана в тексте задачи; расчленяющее абстрагирование, формализация существенных свойств объектов воссозданной ситуации посредством математического языка).

II. Этап работы с решающей математической моделью задачи.

III. Этап интерпретации результата работы с решающей математической моделью задачи с математического языка на язык задачи.

IV. Этап дополнительной работы с моделями (конструирование задач на использование той же модели, изменение существенных и несущественных свойств при изменении цели задачи, построение других моделей).

Все четыре этапа математического моделирования были соотнесены нами с этапами деятельности по решению текстовых задач, разработанными в методике обучения математике JI.M. Фридманом. В третьем параграфе приведен пример решения задачи в соответствии с этапами математического моделирования.

Обучение умению осуществлять математическое моделирование, направленное на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся, предполагает формирование у них следующих составляющих это умение методологических знаний и учебных действий (совокупность которых мы назвали структурой данного умения).

Методологические знания

1. Знание определений модели, математической модели, критериев модели, структуры формальной модели, специфики математических моделей, этапов математического моделирования.

2. Знание о том, что для одного объекта в зависимости от цели и условий исследования можно строить разные модели; что один объект может являться моделью разных объектов; один и тот же объект может быть использован в качестве модели данного объекта в разных исследовательских целях,

3. Знание об относительности понятий «существенное или несущественное для цели построения модели свойство объекта», о том, что в зависимости от условий и целей исследования существенные свойства объекта могут становиться несущественными и наоборот.

4. Знание основных видов моделей, используемых в исследовании (при решении текстовых задач): вспомогательных и решающих; материальных, икониче-ских и знаково-символьных; арифметических, алгебраических, геометрических.

Учебные действия

1. При работе с реальной ситуацией, описанной в тексте задачи: а) осуществлять расчленяющее абстрагирование с использованием при необходимости различных вспомогательных, содержательных моделей; б) формализовать выделенные существенные свойства объектов реальной ситуации в решающей математической модели задачи.

2. При работе с задачей: обосновывать искусственность предложенной задачи по отношению к задаче, которая t может возникнуть в реальной ситуации; осуществлять ее анализ.

3. При работе с формулировкой задачи, вспомогательной моделью: а) воссоздавать по данной модели задачу, соответствующую ей реальную ситуацию; б) доказывать, что данный объект является моделью этой реальной ситуации (объекта); в) осуществлять расчленяющее абстрагирование с целью выделения существенных и несущественных для цели исследования свойств модели и отражения существенных свойств в решающей математической модели; г) осуществлять формализацию выделенных существенных свойств модели на математическом языке, рационально выбирая средства формализации; д) для данной модели строить различные решающие математические модели, а также другие вспомогательные и содержательные (формулировки задачи) модели.

4. При работе с решающей математической моделью: а) доказывать, что построенный математический объект является математической моделью задачи; б) устанавливать изоморфность (взаимно-однозначное соответствие) различных решающих моделей задачи; в) осуществлять переход от одной математической модели к другой; г) для данной математической модели строить различные вспомогательные модели задачи, формулировать задачу; д) для данного математического объекта формулировать различные задачи, в том числе и из различных областей науки, для которых этот объект будет являться содержательным (обобщенным содержательным) компонентом их математической модели; е) рационально выбирать способ решения построенной математической модели и проводить решение; ж) осуществлять решение математической модели (ее содержательного компонента) разными способами; з) осуществлять интерпретацию полученного в ходе решения результата на язык задачи.

5. На этапе дополнительной работы с моделями: а) вносить изменения и дополнения в построенные модели в случае, когда несущественные ранее для требования задачи свойства объекта становятся для него существенными; б) осуществлять контроль над выполнением действий; в) исходя из цели исследования (требования задачи), собственного субъектного опыта, осуществлять выбор способа выполнения действий над моделями.

Анализ структуры умения осуществлять математическое моделирование показывает, что для того чтобы научить учащихся применять методологические знания, осуществлять все действия, лежащие в основе этого умения, только текстовых задач, и только включения школьников в деятельность по решению тек-

стовых задач недостаточно. Для обучения математическому моделированию необходимы текстовые задачи, задачные ситуации, наборы задач, теоретический материал, отдельные задания, задания к текстовым задачам, задачным ситуациям, наборам задач. Обучение школьников математическому моделированию требует их включения как в деятельность по решению текстовых задач, так и в деятельность по их конструированию.

Во второй главе «Методика обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы» описана организация процесса обучения алгебре, направленного на формирование умения осуществлять математическое моделирование у учащихся 7-9 классов.

В четвертом параграфе раскрываются общие положения построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы.

В параграфе раскрыты описанные выше концептуальные положения построения методики формирования у учащихся данного умения в курсе алгебры основной школы, обоснован вывод о том, что начинать обучение математическому моделированию на понятийном уровне необходимо в 7 классе. Период с 1 по 6 класс мы называем пропедевтическим этапом обучения математическому моделированию. Его содержание не является предметом нашего исследования.

В методике формирования у школьников умения осуществлять математическое моделирование (при изучении алгебры в основной школе) нами выделено три этапа: первый этап - этап овладения учащимися умением осуществлять математическое моделирование как одной из целей обучения алгебре; второй этап -этап накопления школьниками опыта применения математического моделирования в работе с текстовыми задачами на основе использования знаний из разных учебных предметов; третий этап - этап применения учениками математического моделирования к решению широкого круга задач на основе обобщения собственного субъектного опыта и установления связей сразу с несколькими учебными предметами. Каждый этап обучения математическому моделированию имеет свои временные границы и обладает вполне определенными целями.

Учебный материал, используемый для формирования у школьников умения осуществлять математическое моделирование должен удовлетворять разработанным нами требованиям. А именно, он должен включать:

1) все выделенные нами в §3 средства прямого и косвенного управления формированием данного умения.

2) теоретический материал, обеспечивающий формирование у школьников всех методологических знаний, лежащих в основе данного умения.

3) задания определенных типов, которые позволяют организовать работу по усвоению школьниками каждого выделенного нами выше теоретического факта, лежащего в основе умения осуществлять математическое моделирование.

Например, для усвоения учащимися содержания понятия «модель» необходимы задания трех типов.

а) Задания, в которых дан объект-оригинал, а требуется указать одну или несколько его моделей, выделить свойства рбъекта-оригинала, которые являются существенными или несущественными при конструировании (выборе) модели.

б) Задания, в которых дан объект, а требуется указать объект - оригинал

(один или несколько), цель (одну или несколько), в соответствии с которой данный объект является моделью объекта-оригинала, выделить свойства объекта-оригинала, которые нашли или не нашли отражение в его модели.

в) Задания, в которых даны два объекта, а требуется выделить цель (одну или несколько), в соответствии с которой один объект будет являться моделью другого, указать свойства объекта-оригинала, которые стали существенными / несущественными при построении модели.

4) три вида текстовых задач: «чисто» математические, требующие для решения знаний только из области математики; межпредметные, решение (выполнение) которых требует применения знаний из других, отличных от математики учебных предметов; задачи на применение математических моделей и знаний из разных учебных предметов в решении проблем, которые могут возникнуть перед учеником в реальной действительности.

5) материал, направленный на формирование и поддерживание у школьников мотивации к овладению умением осуществлять математическое моделирование;

6) наборы текстовых задач и задания к ним с целью формирования у учащихся представлений о специфике математических моделей, умения применять при работе с текстовой задачей знания из различных учебных предметов.

Пример набора задач:

Задача 1. Для проведения опыта необходимо 300 г 12%-го раствора перекиси водорода. Имеются два раствора перекиси водорода 30%-й и 3%-й. Сколько граммов каждого раствора нужно взять, чтобы получить требуемое количество раствора нужной концентрации?

Задача 2. Смешав горячую воду с температурой 76°С и холодную воду с температурой 12°С, получили 96 л воды с температурой 40°С. Сколько литров горячей и сколько литров холодной воды было взято? Изменением плотности воды в зависимости от ее температуры пренебречь.

Задания к набору задач: а) Покалите, что обе предложенные задачи имеют одинаковый записанный в общем виде содержательный компонент решающей математической модели, б) Сконструируйте собственную задачу (на движение, задачу на последовательное соединение элементов в электрической цепи и др.) таким образом, чтобы записанные в общем виде содержательные компоненты решающих математических моделей этой задачи и задач из набора совпадали.

7) задания на конструирование текстовых задач, в том числе на основе установления межпредметных связей с различными учебными предметами. Опираясь на типологию заданий на составление школьниками текстовых задач, разработанную Н.И. Чеканцевой и Ю.А. Горяевым, мы выделили те виды заданий, которые будут способствовать формированию у учащихся умения осуществлять математическое моделирование.

8) средства формирования у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование; выявления, обобщения и преобразования субъектного опыта учащихся; вовлечения школьников в процесс установления связей математики с другими учебными предметами на протяжении изучения всего курса алгебры.

Учебный материал, удовлетворяющий требованию 8), представлен в пятом параграфе при описании методических особенностей организации деятельности

учащихся по формированию у них умения осуществлять математическое моделирование с целью развития учебно-познавательной компетентности. В этом параграфе раскрыты методические особенности выявления, отслеживания и учета в обучении субъектного опыта учащихся; включения школьников в процесс установления связей математики с другими учебными предметами; организации работы учащихся с текстовой задачей; формирования у школьников представления о модельности решаемых ими текстовых задач по отношению к соответствующей реальной ситуации; организации целенаправленной работы по формированию у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование.

Нами были выделены следующие необходимые условия формирования у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование:

1) Включение учащихся в работу с заданиями следующих типов:

а) заданиями на соотнесение учащимися свойств некоторого реального или идеального объекта и его модели, выделение тех свойств объекта-оригинала, которые нашли отражение в его модели, и тех, которые оказались несущественными при ее построении;

б) заданиями, в которых предложены некоторый объект и одна из его моделей, а учащимся предлагается построить другие модели данного объекта так, чтобы некоторые из тех свойств, которые для построения предложенной модели были несущественными (или существенными), для вновь построенных моделей стали существенными (или несущественными);

в) заданиями на составление школьниками текстовых задач по некоторым заданным элементам текста задачи.

2) Построение решающих математических моделей текстовых задач на основе а) постепенного выделения и устного проговаривания выделенных существенных и несущественных для решения задачи свойств ее объектов; б) систематизации и письменного оформления всех выделенных существенных и несущественных для решения задачи свойств ее объектов перед построением ее решающей математической модели.

3) Включение школьников в работу с текстовыми задачами, заданиями, верное решение и выполнение которых можно получить только при осознании школьниками влияния некоторых неявно заданных или незаданных в тексте задачи свойств ее объектов.

Примером такой задачи и задания может быть приведенная ниже задача и задание к ней.

Задача: Группа туристов прошла а км в направлении на юг, затем Ь км в направлении на восток и с км в направлении на север. Изобразите маршрут следования туристов, а также линию, измерив которую, можно найти расстояние между пунктами их отправления и прибытия. Предложите, если возможно, способ нахождения этого расстояния.

Задание (предлагается учащимся после решения задачи): Выделите условия, при которых траектория движения туристов и линия, измерив которую можно найти расстояние между пунктами отправления и прибытия туристов, могут быть изображены так, как это показано на каждом из рисунков а) - с) (рис. 2).

/.;.4, - путь, пройденный туристами в направлении на восток:

К!. ■ путь, пройденный туристами направлении на -л:.

Л-/Д' - путь, пройденный туристами в направлении на север:

КЫ - расстояние между начальным конечным пунктами следования.

М I'

Рис.2

На основе требований к отбору учебного материала, методических особенностей организации деятельности школьников по овладению умением осуществлять математическое моделирование нами была разработана и апробирована методика обучения данному умению на первом этапе его становления в курсе алгебры основной школы.

Шестой параграф диссертации посвящен описанию эксперимента и его результатов.

В эксперименте участвовали учащиеся 7, 9, 10-11 классов (589 в констатирующем, 142 в формирующем), студенты математических факультетов Поморского и Герце но вс кого университетов, студенты магистратуры естественнонаучного направления образования РГПУ имени А.И, Герцена, учителя.

Как на этапе констатирующего, так и после формирующего эксперимента у школьников проверялся уровень сформированное™ умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач. В ходе исследования на основе составляющих учебно-познавательной компетентности и показателей овладения умением осуществлять математическое моделирование было разработано 5 уровней становления у детей данного умения.

На нулевом уровне у ребенка отсутствуют знания о моделях, математическом моделировании, решение задач осуществляется им «наугад», школьник не разграничивает свойства объектов задачи на существенные и несущественные для решения.

Первый уровень (интуитивный) характеризуется наличием у школьника интуитивных знаний о моделях и математическом моделировании. Ученик может привести примеры моделей объеме, может перечислить этапы математического моделирования, но не использует эти знания при решении задачи. Решение задачи осуществляется на основе изолирующего абстрагирования.

На втором уровне овладения данным умением учащиеся решают текстовые задачи с использованием знаний о математическом моделировании, успешно справляются с решением типовых задач. Это решение осуществляется на основе подчеркивающего абстрагирования. Межпредметные связи устанавливаются школьником только в отношении существенных для решения задачи свойств I объектов. Выполнение заданий на конструирование текстовых задач вызывает у детей значительные трудности.

Учащиеся, владеющие умением осуществлять математическое моделирование на третьем уровне, на этапе анализа текста соотносят задачу с соответствующей реальной ситуацией. Выделяя существенные и некоторые несущественные для решения задачи свойства ее объектов, учащиеся применяют знания из различных учебных предметов. Школьники видят в задачах с различным содержанием одинаковые математические зависимости. Устанавливая межпредметные связи и используя свой субъектный опыт, они успешно справляются с выполнением несложных заданий на конструирование текстовых задач.

На четвергом уровне овладения умением осуществлять математическое моделирование учащиеся на основе субъектного опыта и знаний из различных учебных предметов воссоздают описанную в тексте задачи реальную ситуацию, решение задачи осуществляют на основе расчленяющего абстрагирования. При работе с содержательным компонентом решающей математической модели задачи учащиеся выбирают наиболее рациональный способ решения уравнений, систем уравнений и т.д. Используя субъектный опыт и устанавливай межпредметные связи, школьники успешно составляют текстовые задачи.

По продвижению учащихся с более низкого на более высокий уровень сформирован ности умении осуществлять математическое моделирование, а также по развитию у школьников мотивации к овладению данным умением мы делали выводы об овладении ими составляющими учеб но-познавательной компетентности. Это позволило нам судить о развитии у детей учебно-познавательной компетентности в целом.

Для проведения констатирующего эксперимента нами были сформированы две группы учащихся 7 и 9 классов. Первую группу образовывали 242 школьника. изучающие алгебру по учебникам, в содержании которых нет материала о моделировании. Вторую - 245 учащихся, обучающиеся алгебре по учебнику, в содержании которого присутствует материал о математическом моделировании (по учебнику А.Г. Мордковича). В констатирующем эксперименте также принимали участие ученики 10-11 классов. Всем школьникам для выполнения были предложены задания диагностики. Анализ результатов ее выполнения (рис. 3-4) показал, что у большинства учащихся как первой, так и второй группы, а также старшеклассников умение осуществлять математическое моделирование либо не сформировано, либо сформировано на интуитивном уровне.

Уровень развития умения осуществлять математическое моделирование у учащихся пере ой группы (констатируюа^й эксперимент)

а ЮС*

£ s

а | 60И i !

Ш i »«

п%

Hg?

¡ЗУ. Й

Moy.av.ov.

о i з э

7 tn

УРОСНИ

1 2 3 *

Зил

Уровень paaenTvifl умения осуществлять математическое модельфовение у учащихся второй грунты (констатирую!^ эксперимент)

1001

№1

$ | Mi ä i «*. -I l Юг .„

7S1

I ЙГ.ОУ. 0У.

0 12 3 7 Kii

4 0

уровни

Гзэ',:

Яш

1 2 3 С «л

Рис 3 ' Рис 4

На этапе поискового эксперимента уточнялись концептуальные положения построения методики формирования у учащихся умения осуществлять матема-

тическое моделирование, требования к отбору и организации необходимого для этого учебного материала и методические особенности работы с ним. Здесь корректировалась методика обучения математическому моделированию на первом этапе.

В формирующем эксперименте принимали участие учащиеся 7 классов общеобразовательных школ, которые не участвовали в констатирующем эксперименте. Школьники обучались математическому моделированию по разработанной нами методике. По окончании формирующего эксперимента им была предложена та же диагностика уровня сформированное™ умения осуществлять математическое моделирование, что и участникам констатирующего эксперимента. Распределение участников формирующего эксперимента по уровням владения ими умением осуществлять математическое моделирование представлено на рисунке 5.

Сравнение результатов констатирующего и формирующего экспериментов показало, что разработанная в нами методика ведет к формированию у учащихся умения осуществлять математическое моделирование на третьем уровне. Результаты наблюдений за деятельностью участников формирующего эксперимента на уроках математики, физики, географии, беседы с учителями свидетельствуют о том, что данная методика способствует формированию у учащихся мотивации к овладению умением осуществлять математическое моделирование, развитию интереса к математике через осознание школьниками роли математического моделирования в исследовании объектов реальной действительности и других наук. Сказанное выше позволяет заключить, что разработанная в нашем исследовании методика обучения математическому моделированию ведет к формированию у учащихся всех составляющих учебно-познавательной компетентности, а, следовательно, способствует ее развитию в целом.

Результаты проведенного эксперимента подтвердили достоверность гипотезы, сформулированной в нашем исследовании.

В заключении диссертации подведены итоги исследования, а также обозначены дальнейшие перспективы изучения проблемы развития учебно-познавательной компетентности учащихся посредством обучения математическому моделированию, такие как разработка пропедевтики формирования умения осуществлять математическое моделирование при обучении математике в 1 -6 классах; подготовка методических ресурсов (учебников, пособий и т.д.) для формирования умения осуществлять математическое моделирование на всех этапах его становления в курсе алгебры основной школы; разработка методических рекомендаций для учителей математики по организации процесса обучения математическому моделированию, ориентированного на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся.

Основные положения диссертационного исследования отражены в

Уровень развития умения осуществлять математическое моделирование после проведения формирующего эксперимента

80« о 60* §. ю*

со 20» У

--"•- — -"""Г'—- ....... '"]

" ' : ' I

6* 23* . 11%

„ 1 1 ' г"1!

1 2 3 уровни

Рис 5

следующих публикациях:

1. Ложкина, Е.М. Абстракция и ее развитие на уроках математики [Текст] / Е.М. Ложкина, Н.С. Подходова // Проблемы теории и практики обучения математике: сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «58-е Герценовские чтения», посвященную 210-летию РГПУ им. А.И. Герцена / под ред. В.В. Орлова,- СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. - с. 105-106.-0,12/0,06. - ISBN 5-8064-0901-5.

2. Ложкина, Е.М. Развитие умения абстрагировать как необходимое условие формирования компетентности учащихся при обучении математике [Текст] / Е.М. Ложкина // Современные проблемы школьного и вузовского образования: материалы XXIV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов / Под ред. А.Г. Мордковича, И.К. Кондауровой. - М.; Саратов: Ред.-изд. отдел МГПУ; Изд-во Сарат. ун-та, 2005.- С. 180-182. - 0,12 пл.- ISBN 5-243-00166 (МГПУ). - ISBN 5-292-03436-3 (СГУ).

3. Ложкина, Е.М. Моделирование как средство развития учебно-познавательной компетентности учащихся на уроках алгебры [Текст] / Е.М. Ложкина, Е.Ф. Фефилова II Вестник Поморского университета. Сер. «Физиологические и психолого-педагогические пауки». — 2006. — Спец. Выпуск / 2006. - С. 104-113. - 0,6/03 пл. - Библиогр.: С. 111-112. - ISSN 1728-7405.

4. Ложкина, Е.М. Разработка спецкурса «Математические модели в естествознании» для студентов, обучающихся по магистерским программам 540103М Географическое образование и 540105М Эколого-геологическое образование [Текст] / Е.М. Ложкина II Проблемы теории и практики обучения математике: сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «LX Герценовские чтения», посвященную 210-летию РГПУ им. А.И. Герцена / под ред. В.В. Орлова.- СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. -С. 125-134. - 0,6 пл. - ISBN 978-5-8064-1191-5.

5. Ложкина, Е.М. Обучение умению математически моделировать как одно из направлений реализации предпрофильной подготовки учащихся в рамках элективного курса «Математические модели в естествознании» [Текст] / Е.М. Ложкина // Наука и высшая школа - профильному обучению: материалы Всероссийской научно-практической конференции 17-18 октября 2006 года: В 2 ч. / РГПУ им. А.И. Герцена; науч. ред. И.М. Титова, Е.П. Суворова.- СПб., 2007. -Часть 2. - 2007,- С. 272-280. - 0,48 пл. - ISBN 5-7704-0201-2.

6. Ложкина, Е.М. Основы математической логики. Алгебра логики (Булева алгебра). Курс по выбору. Программа и методические материалы [Текст] / Н.С. Подходова, Е.М. Ложкина // Математика: Программы. Разработки уроков. Методические материалы. - СПб, СМИО Пресс, 2007. - С. 83-120. - 2,28 / 1,14 пл. -ISBN 978-5-7704-0183-7.

7. Ложкина, Е.М. Методологические основы изучения понятия «математическая модель» в курсе алгебры основной школы [Текст] / Е.М. Ложкина // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. №32 (70). 4.II. (Педагогика и психология, теория и методика обучения): Научный журнал. - СПб., 2008 (июль), -с. 99-104. - 0,42 пл. -Библиогр.: с. 104 - ISSN 1992-6464.

АВТОРЕФЕРАТ Ложкина Екатерипа Михайловна

Подписано в печать 11.11.08. Печать ризографическая .Бумага офсет. Объем 1,5 п.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО «Печатный Дом» 191186,г. Санкт-Петербург,наб.р.Мойки,д.48,корп.10,тел: (812)571-16-39

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Ложкина, Екатерина Михайловна, 2008 год

Введение.

Глава I. Теоретические основы построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы с целью развития учебно-познавательной компетентности учащихся.

§1. Умение осуществлять математическое моделирование как основной компонент учебно-познавательной компетентности учащихся, формируемый средствами алгебры.

1.1. Компетентностный подход в образовании. Проблема развития-учебно-познавательной компетентности учащихся.

1.2. Обоснование выбора умения осуществлять математическое моделирование для развития учебно-познавательной компетентности учащихся при обучении алгебре.

1.3. Основания построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы. Анализ учебников и учебных пособий.

§2. Виды моделей, необходимых для обучения школьников математическому моделированию в курсе алгебры основной школы. Математическая модель, её структура.

2.1. Модель, математическая модель, критерии модели.

2.2. Модели, необходимые для обучения математическому моделированию, их содержание.

§3. Умение осуществлять математическое моделирование и средства его формирования в курсе алгебры основной школы.

3.1. Деятельность математического моделирования, её этапы при решении текстовых задач.

3.2. Умение осуществлять математическое моделирование, его структура.

3.3. Средства формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач.

Глава II: Методика обучения математическому моделированию в курсе* алгебры основной школы.74'

§4. Основные положения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы.

4.1. Концептуальные положения построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы.

4.2. Этапы и цели формирования- у учащихся умения осуществлять математическое моделирование при изучении алгебры в основной школе.

4.3. Основные требования к отбору и организации учебного материала, направленного на овладение учащимися умением осуществлять математическое моделирование.

§5\ Методические особенности организации деятельности учащихся при обучении математичскому моделированию в курсе алгебры основной школы.

5.1. Методические особенности выявления субъектного опыта учащихся, его отслеживания и учета при формировании умения осуществлять математическое моделирование.

5.2. Методические особенности включения учащихся в процесс установления связей математики с другими учебными предметами.

5.3. Методические особенности организации работы с текстовой задачей.

5.4. Методические особенности формирования у школьников представлений о модельности решаемых ими текстовых математических задач по отношению к соответствующей реальной ситуации и научной задаче.

5.5. Методические особенности организации целенаправленной работы по формированию у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование.

§6. Эксперимент, его организация и результаты.

6.1. Констатирующий эксперимент.

6:2. Поисковый эксперимент.

6.3. Формирующий эксперимент.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение математическому моделированию в курсе алгебры основной школы как условие развития учебно-познавательной компетентности учащихся"

В основе отечественной системы образования лежит социокультурная парадигма, ведущая функция образования — функция социализации и инкультуризации как приобщения учащихся к достижениям отечественной и мировой культуры. Стремление России на равных правах войти в единое европейское и мировое экономическое пространство привело к вступлению России в 2003 году в Болонский процесс и к принятию европейских параметров качества образования, в том числе, применительно к общему математическому образованию. Результаты.участия российских школьников в международных исследованиях качества подготовки, выпускников в 1999-2003 годах, свидетельствуют о низком (по мировым параметрам) уровне образовательной подготовки наших школьников по сравнению с учащимися других стран мира (в 1999 году — 12 место по математике, 16 место по естественнонаучным предметам; в 2000 году 22 место по математике, 26 место по естественнонаучным предметам, в 2003 году - 29 место по математике).

Необходимость решения проблемы несоответствия качества отечественного образования мировому уровню привела к пересмотру роли компетентностного подхода в системе образования России и сделала его ведущим направлением модернизации, в- том числе в системе общего образования. Основные положения компетентностного подхода нашли отражение в образовательных документах общего образования [74], [144], [160] и требуют реализации в рамках всех учебных предметов.

Проведённый анализ исследований, раскрывающих теоретические основы и пути внедрения компетентностного подхода в систему общего образования, показал, что компетентностный подход является широко разрабатываемым в настоящее время направлением модернизации отечественного' образования, и не имеющим в современной науке единой концептуальной основы. Существуют исследования, связанные с решением проблем определения содержания понятий «компетенция», компетентность» и установлением взаимосвязи между ними (О.В. Акулова, И:А. Зимняя, O.E. Лебедев, Б.И. Хасан, A.B. Хуторской и др.); иерархии, типологии компетенций / компетентностей (И.А. Зимняя; И.Д. Фрумин,

A.B. Хуторской и др.); изучения отдельных видов компетенций- / компетентностей (О.В. Акулова, О.В. Харитонова, A.B. Хуторской, Т.В. Шамардина, и др.); поиска и реализации: путей внедрения компетентностного подхода; в образовательный процесс современной школы на уроках химии (Ю.М. Волкова, Н.В. Груздева), геометрии (О.В. Харитонова); географии (А.Б. Воронцов);,

Исследований; посвященных проблеме* реализации компетентностного-подхода при обучении' алгебре в основной школе, нам не встретилось. Однако; предпосылки решения- данной проблемы можно найти в работах, раскрывающих прикладную направленность алгебры (В.Б. Енеденко,

B.А. Петров, Н;А. Терёшин и др.), посвященных, проблеме; обучения v школьников решению текстовых математических задач (Ю:М. Колягин, З.П. Матушкина; Д.Пойа, Е.Ф. Фефилова, JI.M. Фридман w др.), реализации; деятельностного (О.Б. Епишева), развивающего (E.Bl. Смыкалова), системно-структурного (З.П. Матушкина), метаметодического (O.A. Василенко, i

H.G. Подходова, И.М. Титова) подходов при обучении алгебре.

Таким образом, существует противоречие между новыми требованиями к подготовке выпускника, продиктованными внедрением компетентностного подхода в российскую систему общего образования^ и отсутствием методических исследований, раскрывающих пути, способы и средства реализации этих требований при обучении алгебре:в основной?школе.

Сказанное выше обосновывает актуальность проблемы нашего диссертационного исследования; которая заключается в поиске путей реализации компетентностного' подхода при обучении алгебре: в основной школе.

Объектом? исследования' является процесс обучения алгебре учащихся 7-9 классов.

Различные типологии ключевых компетенций разработаны в исследованиях И.А. Зимней, Т.В.- Ивановой, Дж. Равена и других ученых. Одним из видов ключевых компетентностей, который выделяется в работах Т.В. Ивановой, A.B. Хуторского и других ученых, является учебно-познавательная компетентность. На основе анализа' исследования Т.В'. Ивановой, A.B. Хуторского мы пришли к выводу о том, что развитие у учащихся учебно-познавательной компетентности целесообразно рассматривать в качестве одного из основных путей реализации компетентностного подхода при обучении алгебре.

Показателями владения школьниками учебно-познавательной компетенцией являются: мотивация на познание; умение организовывать собственную учебно-познавательную! деятельность; умение получать информацию и работать с ней; умение логически мыслить; умение применять в процессе учебно-познавательной деятельности знания из различных учебных предметов и собственного субъектного опыта [172, с. 32-33].

Анализ исследования [124] Н.С. Подходовой, в котором разработаны метафункции алгебры, как учебного предмета, позволил нам в качестве необходимого условия развития у учащихся учебно-познавательной компетентности выделить процесс формирования у них общеучебного умения осуществлять математическое моделирование. В качестве основного средства формирования у учащихся этого умения, вслед за Е.И. Лященко, JI.M. Фридманом и другими учеными, мы рассматриваем текстовые математические задачи.

Изучению моделей, математических моделей, математического моделирования посвящены труды Ю.Б. Мельникова, И.Б. Новика,

Г.И. Рузавина, Н.Г. Салминой В.А. Штоффа, и других ученых. Проблема необходимости обучения школьников математическому моделированию сегодня поднимается и в методике обучения математике (М.И'. Калинина, М.В. Крутихина, А.Г. Мордкович, М. Скворцова, Л.М. Фридман и др.), но пока она остается нерешенной. Анализ учебных пособий по алгебре для основной школы показал, что учебного материала, содержащегося в них, для овладения умением осуществлять математическое моделирование недостаточно. Единственным учебником в основной школе, содержащим учебный материал о математическом моделировании, является учебник А.Г. Мордковича. Кроме того в. школьном образовании содержание разных учебных предметов построено изолированно. В, нем не учитываются-взаимосвязи, между различными областями знаний, проявляющиеся; в реальной жизни, что противоречит формированию учебно-познавательной компетентности и способствует построению математических моделей, не -*' соответствующих реальной действительности.

Особенно ярко это проявляется в курсе математики. При решении задач ^ «на смеси, сплавы и растворы» не учитываются физические и химические свойства веществ (изменение плотности раствора с изменением его г концентрации или температуры, вскипание раствора кислоты большой концентрации при вливании в него воды и т.д.), при решении задач «на раскрой» - усадка ткани, в задачах «на движение» - характер движения (по виду траектории, изменению скорости), в задачах «на вытекание воды из резервуара» - изменение скорости вытекания с понижением уровня воды и др. Так, например, при изучении химии во избежание теплоэффекта и получения ожогов школьников учат наливать кислоту тонкой струйкой в воду, а в учебниках математики задачи сформулированы, наоборот: в кислоту вливается^ вода. На уроках алгебры, детей учат приравнивать массу куска стали, полученного в результате сплавления, сумме масс исходных кусков стали, хотя в действительности В1 процессе сплавления происходит выделение углерода, и равенство масс не может соблюдаться.

Анализ философской, математической, психолого-педагогической литературы, анализ результатов констатирующего и поискового экспериментов позволили нам уточнить содержание понятий «модель», «математическая модель», выделить структуру и специфику математических моделей, уточнить содержание этапов математического моделирования при решении текстовых задач, разработать структуру умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых математических задач в курсе алгебры основной школы. На основе этого нами были разработаны показатели и уровни овладения учащимися данным умением, выделены виды учебного материала, необходимого для формирования умения осуществлять математическое моделирование, сформулированы концептуальные положения построения методики обучения математическому моделированию в курсе алгебры 7-9 классов:

1) Формирование у учащихся умения осуществлять математическое моделирование должно осуществляться посредством обучения школьников математическому моделированию при работе с текстовыми задачами: Текстовые задачи являются основным средством формирования у учащихся данного умения, а процесс обучения математическому моделированию способствует овладению школьниками умением решать текстовые задачи.

3) Методика формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование должна строиться с учетом возрастных особенностей^ развития у учащихся психических процессов, входящих в структуру деятельности математического моделирования. Она должна учитывать тот спектр межпредметных связей, то многообразие предметов, которое осваивает ученик в 7, 8, 9 классах.

4) Одним из необходимых составляющих методики обучения учащихся математическому моделированию является выявление субъектного опыта* учащихся, его отслеживание и- учет на протяжении всего процесса формирования умения.

5) Отправным пунктом решения текстовых задач в рамках методики обучения математическому моделированию является осознание школьниками модельности решаемых ими текстовых математических задач по отношению к соответствующей реальной ситуации и научной задачей

6) Обязательным компонентом методики обучения математическому моделированию является^ целенаправленная работа по формированию у учащихся умения осуществлять расчленяющее абстрагирование.

Данные концептуальные положения« реализуют в обучении основные теоретические положения деятельностного, индивидуального, возрастного, развивающего, системно-структурного, метаметодического подходов, теоретические положения формирования любого общеучебного умения.

Гипотеза исследования: Если методику обучения математическому моделированию при решении текстовых задач в курсе алгебры основной школы строить на основе разработанных в. нашем исследовании концептуальных положений, то это будет способствовать развитию1 учебно-познавательной'компетентности учащихся.

На основе концептуальных положений нами были разработаны этапы формирования у учащихся умения осуществлять математическое моделирование в курсе алгебры основной школы, разработаны требования к отбору и организации учебного материала, виды учебного материала, необходимого для обучения математическому моделированию. Нами- были разработаны методические особенности работы с учебным- материалом, реализация которых при обучении алгебре необходима для формирования умения осуществлять математическое моделирование и развития учебно-познавательной компетентности школьников. В соответствии с разработанными концептуальными положениями, требованиями к учебному материалу, особенностями работы с ним нами была разработана и, экспериментально апробирована методика обучения математическому моделированию на первом, этапе его становления^ в курсе алгебры основной школы.

Дляч достижения поставленной цели и подтверждения сформулированной гипотезы исследования потребовалось решить следующие задачи:

1) На основе анализа литературы, раскрывающей теоретические положения' • внедрения компетентностного подхода в образовательный процесс российских школ, выделить «рабочее» определение учебно-познавательной * компетентности.

3) На основе анализа литературы раскрыть и уточнить содержание понятий «модель», «математическая' модель», выделить специфику и структуру математических моделей, виды моделей, применяемых при решении текстовых задач на»уроках алгебры 7-9'классов.

Методологической базой исследования служат: компетентностный подход (О.В. Акулова, И.А. Зимняя, A.B. Хуторской и др.), теория деятельности и развития личности (А.Н. Леонтьев, Е.И. Машбиц и др.), теория формирования и развития умственных действий школьников (П.Я. Гальперин, А.И. Раев, Н.Ф. Талызина и др.), теория формирования общеучебных умений (И.Я. Лернер, H.A. Лошкарева, A.B. Усова и др.), метаметодический подход (Н.С. Подходова, И.М. Титова и др.), деятельностный подход к обучению (О.Б. Епишева, Н.Ф. Талызина и др.), личностно-ориентированный подход к обучению (И.С. Якиманская и др.), развивающий подход к обучению (В.В. Давыдов, E.H. Кабанова-Меллер и др.), логико-психологические основы и теория обучения решению текстовых задач (JI.JL Гурова, Ю.М. Колягин, Е.Ф. Фефилова, JI.M. Фридман и др.), теоретические и психологические основы обучения- учащихся математическому моделированию (Ю.Б. Мельников, H.F. Салмина, JI.M: Фридман и др.).

Исследование проводилось с 2004 по 2008 год и включало триэтапа.

На первом' этапе (2004L2005 гг.) в соответствии с проблемой исследования осуществлялся анализ научной литературы. Здесь были определены, объект и предмет исследования, сформулированы проблема, цель, задачи, «рабочая» гипотеза исследования, определены методы решения поставленных задач. В этот период были сделаны теоретические выводы, положенные в основу методики обучения математическому моделированию-при изучении алгебры в основной школе, проведен констатирующий" эксперимент, разработаны с целью дальнейшего уточнения концептуальные положения построения методики формирования умения, осуществлять математическое моделирование.

На втором этапе экспериментального исследования- (2005 - 2007 гг.), проводился поисковый эксперимент. Здесь уточнялись концептуальные положения- построения* методики обучения учащихся математическому моделированию в курсе алгебры основной школы, были разработаны и уточнены этапы овладения им школьниками, требования к отбору и организации учебного материала, необходимого для становления* данного умения, методические особенности организации деятельности учащихся по работе с этим учебным материалом. На данном этапе разрабатывалась, методика обучения учащихся' математическому моделированию на первом этапе его становления в курсе алгебры основной школы.

На третьем этапе- (2007-2008 гг.)- нами проводился формирующий эксперимент, обрабатывались его результаты, были сделаны выводы о справедливости сформулированной в нашем исследовании гипотезы.

На защиту выносятся следующие положения:

1 2. Обучение математическому моделированию должно осуществляться посредством формирования у школьников умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач и быть направлено на овладение учащимися структурой этого умения.

3. Учебный материал, необходимый для обучения математическому моделированию на каждом этапе, должен включать средства косвенного (текстовые задачи, наборы текстовых задач, задачные ситуации) и прямого-(теоретический материал, отдельные задания, в том числе задания на усвоение учащимися теоретического материала, задания к текстовым задачам, наборам задач, задачным ситуациям) управления формированием данного умения.

Научная новизна исследования заключается в следующем: - обосновано» положение о том, что процесс обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной школы является, необходимым условием развития учебно-познавательной компетентности учащихся; раскрыта структура умения осуществлять математическое моделирование при работе с текстовой задачей;

- определены виды учебного материала, необходимого для обучения математическому моделированию при изучении алгебры: теоретический материал, отдельные задания, текстовые задачи, наборы текстовых задач, задачные ситуации, заданиям текстовым задачам, наборам задач и задачным ситуациям; разработана методика формирования умения« осуществлять математическое моделирование, направленная на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся в курсе алгебры основной школы.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

- уточнено» содержание понятий «модель», «математическая модель», «математическое моделирование», «умение осуществлять математическое моделирование» при изучении алгебры в основной школе;

- разработаны и теоретически обоснованы, концептуальные положения1 построения методики обучения математическому моделированию;

- разработаны» и обоснованы требования к отбору и организации учебного материала, необходимого для обучения математическому моделированию на каждом этапе его становления.

Практическая значимость проведенного исследования заключается, в следующем: разработан учебный материал, необходимый для обучения математическому моделированию в курсе алгебры основной- школы, раскрыты методические особенности работы с ним; разработана методика формирования умения осуществлять математическое моделирование на первом этапе его становления* в курсе алгебры основной школы;

- разработано содержание спецкурса «Математические модели в естествознании» для студентов, обучающихся по магистерским программам 540103М' Географическое образование и 540105М Эколого-геологическое образование.

Рекомендации,об использовании результатов исследования:

Разработанные материалы могут быть использованы для работы учителями математики общеобразовательных школ, преподавателями кафедр методики обучения математике при подготовке учителей математики, студентами математических факультетов при разработке практических материалов и написании курсовых и дипломных работ, структурами системы подготовки и повышения квалификации учителей.математики.

Достоверность результатов исследования обеспечивают: теоретический анализ проблемы; выбор методов, теоретической и методологической- базы исследования, адекватных целям и задачам исследования; непротиворечивостью полученных выводов основным психолого-педагогическим и методическим теориям, соответствием результатов, полученных экспериментальным путём, теоретически разработанным положениям.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования докладывались нами на 58-й и 60-й Международной научной конференции «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2005, 2007), на Всероссийской научно-практической конференции «Наука и высшая школа — профильному обучению» (Санкт-Петербург, 2006), на 24-ом Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005), на Четвертой Всероссийской научно-практической конференции «Метаметодика как перспективное направление развития^ предметных методик» (Санкт-Петербург, 2006); на методическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена «Компетентностный. подход в образовании» (Санкт-Петербург, 2005), на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена (2006; 2007), на методологическом семинаре педагогического коллектива Бокситогорской средней школы №2 (Бокситогорск, 2007). Результаты исследования используются- при организации и проведении лекционных, лабораторных занятий со студентами математического факультета ПГУ имени М.В. Ломоносова (г. Архангельск), института естествознания^ РГПУ имени А.И. Герцена, при написании курсовых работ, в практике работы в школе.

Диссертация состоит из введения, двух глав (шести параграфов), заключения, библиографии и приложений. Работа изложена на 173 страницах машинописного текста.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы, сделанные в конце каждой главы диссертации, показывают, что в-ходе работы над ней были решены все поставленные задачи. Результаты проведенного1 эксперимента подтвердили справедливость. сформулированной в нашем исследовании гипотезы.

Базовой теоретической основой разработанной методики являются концептуальные положения-(§4); реализующие в; обучении математическому моделированию основные теоретические положения- деятельностного, индивидуального, возрастного, развивающего, системно-структурного и метаметодического подходов. Подводя итоги проделанной работы,г'раскроем роль каждого из них в разработанной нами методике.

Применение возрастного, развивающего, индивидуального подходов, проявляется в поэтапном построении методики обучения математическому моделированию, в выборе на каждом этапе соответствующих возрастным особенностям учащихся средств и приемов обучения, в выявлении и использовании на каждом этапе обучения субъектного опыта ученика.

Реализация в разработанной методике системно-структурного- подхода состоит в направленности процесса обучения на овладение учащимися структурой умения осуществлять математическое моделирование- — методологическими знаниями и действиями, из которых оно складывается; Применение системно-структурного подхода проявляется в том, что созданная в ходе исследования методика строится с учетом специфики и структуры математических моделей, в том, что в ней реализуются разработанные в методике обучения решению текстовых задач приемы работы с задачей.

На основе теоретических положений деятельностного подхода в методике обучения, математическому моделированию формулируются требования к отбору и организации учебного материала, разрабатываются методические особенности работы с ним.

Использование метаметодического подхода проявляется в выявлении, отслеживании и учете на протяжении всего обучения математическому моделированию субъектного опыта учащихся, в установлении на всех этапах формирования рассматриваемого умения (в курсе алгебры основной школы) связей с различными учебными предметами и реальной действительностью как при изучении теоретического материала, так и при работе с задачами, 1 заданиями, наборами задач, задачными ситуациями). 4

Наблюдения за деятельностью участников формирующего эксперимента на уроках физики, географии, биологии свидетельствуют о том, чт'знания и умения, лежащие в основе математического моделирования и полученные на уроках алгебры, школьники переносили на другие учебные предметы. Учителя отмечали, что дети, которые обучались математическому моделированию по разработанной нами методике, испытывали меньше трудностей в решении задач, решали их более осмысленно и проверяли задачи" «на правдоподобность» (оценивали их искусственность по отношению к тем, которые могут возникнуть в реальности).

Отнесение умения осуществлять математическое моделирование к общеучебным умениям' позволяет сделать предположение о том, что созданная в ходе исследования методика его- формирования* (в скорректированном с учетом специфики учебного материала виде) переносима и на другие учебные предметы (в первую очередь, предметы естественнонаучного цикла, изучение которых связано с решением текстовых задач и применением методов математики).

Проведенное нами диссертационное исследование может быть продолжено в следующих направлениях:

- разработка пропедевтики формирования умения осуществлять математическое моделирование при обучении математике в 1-6 классах;

- подготовка методических ресурсов (учебников, пособий и т.д.) для формирования умения осуществлять математическое моделирование на всех этапах его становления в курсе алгебры основной школы;

- разработка методических рекомендаций для учителей математики по организации процесса обучения математическому моделированию, ориентированного на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В нашем диссертационном исследовании предложено одно из возможных решений актуальной на сегодняшний день проблемы поиска путей реализации компетентностного подхода при обучении алгебре в основной школе. Это решение состоит в том, что разработана методика, направленная на развитие учебно-познавательной компетентности учащихся - методика обучения математическому моделированию реальных объектов и объектов других наук посредством формирования у детей умения осуществлять математическое моделирование при решении текстовых задач.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Ложкина, Екатерина Михайловна, Санкт-Петербург

1. Акулова, О.В£. Компетентностный подход как ориентирмодернизации педагогического образования Текст. / О.В. Акулова,

2. Н.Ф. Радионова, А.П. Тряпицина // Академические- чтения.- СПб.4: Изд-во СПбГИПСР, 2005. Вып.6: Компетентностный подход в современном образовании.- С. 11-14. - ISBN 5-8064-0618-0; *

3. Аликберова, Л.Ю. Полезная химия: задачи и история- Текст. / Л.Ю. Аликберова, Н.С. Рукк. М.: Дрофа, 2005.- 187, 1. е.: ил., цв.ил., портр., табл.+ 22 см.- (Познавательно! Занимательно!).- 70003K3.-ISBN 5-7107-7982-2.

4. Алимов, Ш.А. Алгебра Текст.: учеб. для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 10 изд.- М.: Просвещение, 2004.-255 е.: ил.; 21 см.- На обл. авт. не указаны.- 50000 экз.-ISBN 5-09-013249-6.

5. Алимов, Ш.А. Алгебра Текст.: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров1 и др.- 12 изд.- М.: Просвещение, 2004.-207 е.: ил.; 21 см.- На обл. авт. не указаны.- 50000 экз.-ISBN 5-09-013580-0.

6. Алимов, Ш.А. Алгебра Текст.: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 11 изд.- М.: Просвещение, 2004.-255 е.: ил.; 21 см.- На обл. авт.не указаны. 50000 экз.-ISBN 5-09-013248-8.

7. Атанов, Г.А. Деятельностный подход в обучении Текст. / Г.А. Атанов. Донецк: ЕАИ-Пресс,2001.- 157, 1. е.: 20 см. - Библиогр.: с. 151-156.- 500 экз. - ISBN 966-7200-13-2.

8. Баврин, И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике Текст.: книга для учащихсяs 10-11 кл. / И.И. Баврин М.: Просвещение, 1999.- 78, [2] е.: ил., цв. ил. + 20 см.-Библиогр. в конце кн.- 5000 экз.- ISBN 5-09-007496-8.

9. Балл, Г.А. Учебный материал и учебные ситуации Текст.: психол. аспекты / Г.А. Балл и др.; под ред. Г.С. Костюка, Г.А. Балла.- К.: Рад. шк., 1986.- 143, 1. е.: ил.+ 20 см. Библиогр.: 138-142. - 14000 экз.

10. Баринова, И.И. География России: Природа: 8 класс Текст.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / И.И. Баринова.- 7-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2002.- 288 е.: ил., карт.; 22 см. 100000 экз. - ISBN 5-7107-5695-4.

11. Богоявленский, Д.Н. Психология усвоения знаний в школе Текст. / Д.Н. Богоявленский, H.A. Менчинская. М.: Изд-во АПН РСФСР,1 1959.-. 348 е.; 21 см.- (Акад. пед наук РСФСР. Ин-т психологии). - Библиогр.: с. 334346.- 5300 экз.

12. Боженов, JI. Моделирование Текст. / Л. Боженов, Б. Бирюков, В. Штофф // Философская энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. Ф.В. Константинов.- М.: Советсткая энциклопедия, 1964. Т.З: Коммунизм Наука.- 1964. - С. 478-481.

13. Борисов, П.П. Компетентностно-деятельностный подход и модернизация^ содержания общего образования Текст. / П.П. Борисов // Стандарты и,мониторинг в образовании.-2003 -№1.-С.58-61.- Библиогр.: с. 61.

14. Былков, B.C. Обучение школьников некоторым элементам математического моделирования* Текст. / B.C. Былков // Математика^ в школе. 1986. - №1'. - С. 53 - 55.- ISSN 0130-9358.

15. Варшавский, И.К. Текстовые задачи на едином государственном экзамене Текст. / И.К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика для школьников. 2005. - №3. - С 3-16.

16. Василенко О.А, Формирование межпредметных понятий при обучении математике в основной школе Текст.: дис. канд. пед. наук: 13.00.02 /Василенко Ольга Алексеевна. СПб., 2007.-137 е.- Библиогр.: с. 115-140.

17. Виленкин, Н.Я. Математика Текст.: учеб. для 6 кл. сред. шк. / Н.Я. Виленкин, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов.- 2-е изд.- М.: Ритм, 1993.- 256, 1. е.: ил.+ 21 см.- Авт. указ. на обороте тит. л.- 35000 экз.-ISBN 5-09-004615-8.

18. А.Б. Воронцов: // Педагогика, развития: ключевые компетентности и ихtстановление: Материалы, 9-й научно-практ. конф? / Краенояр. гос. ун-т.-Красноярск, 2003.-С. 98-103.-Библиогр.: с. 103;

19. Еабриелян, О.С. Химия Текст.: 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. / О.С. Габриелян. 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2002.- 208 е.: ил.; 21 см.- 100000 экз. - ISBN 5-7107-5152-9.

20. Габриелян, О.С. Химия Текст.: 9 класс: учеб; для общеобразоват. учреждений./ О.С. Габриелян. 7-е изд., стереотип. - М;: Дрофа, 2004.- 224 е.: ил.; 21 см.-40000 экз.- ISBN 5-7107-8138-Х.

21. Гальперин, П. Я. Методы обучения и умственное развитие ребёнка / П.Я. Гальперин. М.: Изд-во МГУ, 1985;- 45 с;;; 21 см.- Библиогр.: с. 42-45.- 1000 экз.

22. Философ, фак. Отд-ние психологии).- Библиогр.: с. 45-50. — 300 экз.

23. Гейн, А.Г. Информатика Текст.: 7-9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений^ / А.Г. Гейн, А.И. Сенокосов, В.Ф. Шолохович.-М:: Дрофа; 1998. 240 с.: ил.+ 22 см.- 5000 экз.- ISBN 57107-1848-3.

24. Глинский, Б.А. Моделирование как метод научного-исследования' Текст.: гносеологический анализ / Б.А. Глинский, Б.С. Грязнов, Б.С. Дынин, Е.П. Никитин.- М.: Издательство Московского университета, 1965.- 248 е.; 21 см.- Библиогр.: с. 231-237.

25. Гнеденко, Б.В. О математических способностях и их развитии« Текст. / Б.В. Гнеденко // Математика в школе.- 1982. №1.- С. 31-34.- ISSN 0130-9358.

26. Гостев, Ю. Модель Текст. / Ю. Гостев // Философская» энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. Ф.В. Константинов.- М.: Советсткая* энциклопедия, 1964. Т.З: Коммунизм Наука.- 1964.- С. 481.

27. Гринин A.C., Орехов H.A., Новиков В.Н. Математическое моделирование в экологии: учеб. пособие длж вузов.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- 269 с.

28. Громов, C.B. Физика Текст.: учеб. для- 7 кл. общеобразоват. учреждений/ C.B. Громов, H.A. Родина:- 3-е изд.-М.: Просвещение, 2001.-158 е.: ил.+21 см. 200000 экз. - ISBN 5-09-010349-6.

29. Громов, C.B. Физика Текст.: учеб. для 8 кл. общеобразоват.учреждений/ C.B. Громов, H.A. Родина.- 4-е изд.-M.: Просвещение, 2002.-158 е.: ил.+21 см. 100000 экз. - ISBN 5-09-011496-Х.

30. Громов, С.в: Физика Текст.: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ C.B. Громов, H.A. Родина.- 4-е изд.-М.: Просвещение, 2003.-160 е.: ил.+21 см. 50000 экз. - ISBN 5-09-02189-3.

31. Гурова, JI.JI. Психологический анализ решения« задач Текст. / JI.JI. Гурова; Акад. пед. наук СССР,' Науч.- исслед. ин-т общей и пед. психологии.- Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1976.- 327 е.: ил.; 22 см.-Библиогр.: с. 315-325.- 2000 экз. < *

32. Давыдов, В.В. Виды, обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов Текст. / В.В'. Давыдов.- М.: Педагогическое общество России, 2000. 480 е.; 20 см. -Библиогр.:454-476. - 5000 экз.- ISBN 5-93134-060-2.

33. Давыдов, В.В. Учебная деятельность и моделирование Текст. / В.В. Давыдов, А.У. Варданян. Ереван: Луйс, 1981.- 220с.+ 20 см.- 2000 экз.

34. Дахин, А. Компетенция и компетентность: сколько их у российского школьника ? Текст. / А. Дахин // Народное образование. -2004 .-№4.-С. 136-137.

35. Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач Текст.: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. М.: Издательский центр «Академия», 2002.- 288 е.; 21 см.

36. Библиогр.: с. 283.- 30000 экз.- ISBN 5-7695-0701-2.

37. Душина, И.В. Методика преподавания географии» Текст.: пособие для учителей* и'студентов'пед. ун-тов и ин-тов.- М.: Моск. лицей, 1996.- 191 с.+ 21 см.- Библиогр. в конце гл.- 10000 экз.- ISBN 5-7611-0045-2.

38. Дюндин, A.B. Педагогические условия развития познавательного стиля, учащихся с использованием межпредметных связей Текст.: дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Дюндин Андрей Викторович.- Смоленск, 2006.-160 с.-Библиогр.: с. 143-160.

39. Егоров, A.A. Моделирование в методике изучения кристаллографических явлений Текст.: автореф: дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Егоров Андрей Анатольевич; Волж. гос. инженер.- пед. акад. -Н.Новгород, 2005.- 24 с.+ 21 см.- Библиогр.: с. 23-24.- 100 экз.

40. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода Текст.: кн. для учителя / О.Б. Епишева. М.: Просвещение, 2003.- 233 е.; 22 см. -212-221.- 5000 экз. - ISBN 5-09-010905-2.

41. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике:

42. Формирование приёмов учеб; деятельности Текст.: кн. для учителя / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. М.: Просвещение, 1990.- 128 е.: ил.; 21 см.-Библиогр.: с. 127. -200000 экз. - ISBN 5-09-002713-7.

43. Ершов;. А .П. Основы информатики и, вычислительной« техники Текст.: Пробное учеб. пособие для сред. учеб. заведений: В 2 ч. / А.П. Ершов, G.A. Бешенков, В.М. Монахов; под ред. А.П. Ершова, В.М. Монахова. М.: Просвещение, 1985. - 20 см.- 2000 экз.

44. Захарова, A.B. Учимся решать задачи на смеси и сплавы Текст. / А.Е. Захарова // Математика для школьников; 2006. - №3. - G. 18-23;

45. Зверев^ И;Д. Межпредметные связи в современной школе Текст. / И.Д. Зверев, В.Н. Максимова.- Mi: Педагогика, 1981.- Г59; с.+ 20 см:-Библиогр. в ностр. ссылках. 20000 экз.

46. Зимняя, И.А. Ключевые компетенции новая парадигма результата образования Текст. / И.А. Зимняя // Высшее образование сегодня; - 2003; - №5. - С. 34- 42. - ISSN 1726-667Х.

47. Канин; Е.С. Учебные математические задачи;- Текст.: учебное пособие / Е.С. Канин, Ф.Ф. Нагибин.- Киров: ГПИ, 1980.- 94 е.: ил.+ 20 см.- В надзаг.: Киров. гос.\пед. ин-т; им. В:И. Ленина.- Библиогр.:;с.9Г-921т 1500?экз:

48. Келбакиани, В.Н: Межпредметные; связи;; Bf естественно-математической » и педагогической: подготовке учителей, Текст. / В;Н:.Келбакиани;- Тбилиси:.Ганатлеба, 1987.- 291 с.: ил.+ 22 см:- Библиогр. : с. 282-289.- 5000 экз.

49. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике Текст.: в 2 ч. /

50. Ю.М. Колягин; Науч.-исслед. ин-т школ.- М.: Просвещение, 1977 -. -21 см. Ч.

51. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. — 1977.- 110 с.: ил. 2000-экз.i

52. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике Текст.: в 2 ч. /

53. Ю.М. Колягин; Науч.-исслед. ин-т школ. М.: Просвещение, 1977 - . -21 см.

54. Ч. 2: Обучение математике через задачи и обучение решению задач. 1977. —143 е.: ил. 144 е.: ил. - 2000 экз.

55. Колягин Ю.М, Изучение алгебры в 7-9 классах: кн. для учителя Текст. / Ю.М. Колягин., Ю.В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2001.-286 е.: ил; 21 см.- Авт. на обл не указаны.-10000 экз.- ISBN 5-0901310107.I

56. Концепция,модернизации российского образования на период до 2010 года Текст.:' утверждена распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря*2001г. №1756-Р (п.2). - М.: АПКиПРО, 2002. - 24% е.; 20 см.- 3500 экз.

57. Краевский, В.В. Предметное и общепредметное в образовательных стандартах Текст. / В.В. Краевский, A.B. Хуторской // Интернет-журнал "Эйдос". 2003. - 4 февраля. http://www.eidos.ru/journal/2003/0402.htm.

58. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников Текст.: кн. для учителей и классных руководителей / В.А. Крутецкий. М.:

59. Просвещение, 1976.- 303 е.; 22 см.- Библиогр.: с. 302.- 220000 экз.

60. Кузьмина, Н.В. Профессионализм личности преподавателя и мастера производственного обучения' Текст. / Н.В. Кузьмина; ВНИИ проф.-техню образования. М.: Высш. школа, 1990.- 117, [2] с.+20 см.- Библиогр.: с. 118-119. - 10000 экз. - ISBN 5-06-002117-3.

61. Лебедев, O.E. Компетентностный подход в образовании Текст. / O.E. Лебедев // Школьные технологии. 2004. - №5. - С. 3-12. I

62. Лебедева, И:П. Математические модели как средство обучения Текст. / И.П. Лебедева // Педагогика. 2004. - №2. - С 11-19. - ISSN 0869-561Х.

63. Леонтьев, А.Н. Деятельность. Сознание. Личность Текст. / А.Н. Леонтьев.- 2-е изд.- М.: Политиздат, 1977.-304 е.; 20 см. Библиогр. - в конце кн. - 30000 экз.

64. Лернер, И.Я. Развитие мышления учащихся в процессе обучения истории Текст.: пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982.-191 с.+ 22 см.- Библиогр.: с. 189-190.- 11000 экз.

65. Макарова, Н.В. Программа по информатике Текст.: Системно-информационная концепция: к комплекту учеб. по информатике: 5-11 кл. / Н.В. Макарова СПб.: Питер, 2001.- 64 с.+20 см.- (Серия «Учебники для школ»). - ISBN 5-318-00574-8.

66. Маркова, А.К. Психология профессионализма: Текст. / А.К. Маркова. М.: Знание, 1996.- 308 с.+ 21 см.- Библиогр.: с. 278-308. - 1000 экз. -ISBN 5-87633-016-7.

67. Маркова, А.К. Психологический анализ профессиональной' компетентности учителя Текст. / А.К. Маркова // Советская педагогика 1990. №8. - С. 82-88.-ISSN 0131-6826.

68. Машбиц, Е.И. Психологические основы управления учебной деятельностью Текст.: метод, пособие. / Е.И. Машбиц. Киев: Вища школа, 1987.- 223, 1. с. + 20 см.- Библиогр.: с. 216-222.- 7600 экз.

69. Международная программа PISA 2000 Текст.: Примеры заданий по чтению, математике и естествознанию // сост. Г.С. Ковалева, Э.А. Красновский, Л.П. Краснокутская, К.А. Краснянская; РАО, ИОСО, центр оценки качества образования: М., 2003.- 106 с.

70. Мордкович, А.Г. Алгебра Текст. 7 кл.: в двух частях. 4.2.:

71. Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Моркович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. 7-е изд. - М.: Мнемозина, 2005.- 328, 1. е.: ил. - 75000 экз. - ISBN 5-346-00453 -X.

72. Мордкович, A.F. Алгебра Текст. 9 кл.: в двух частях. 4.2.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Моркович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. 7-е изд. - М.: Мнемозина, 2005.- 154, 1. е.: ил. - 50000 экз. - ISBN 5-346-00442 -4.

73. Морозов, К.Е. Математическое моделирование в научном познании Текст. / К.Е. Морозов.- М.: Мысль, 1969.- 212 е.: черт.; 20 см.-Библиогр. в конце кн.- 10000 экз.

74. Новоселов; М.М. Абстракция Текст. / М.М. Новоселов //. Философский энциклопедический словарь / гл. ред. Л.Ф. Ильичев и др: М.: Советская энциклопедия 1983. - С. 7.

75. О компетентностном подходе к определению целей среднего образования (материалы для опытно-экспериментальной работы в рамках концепции модернизации российского образования на период до 2010 года).-М., 2002.

76. Осмоловская, И. Ключевые компетенции и отбор содержания образования- в школе Текст. / И. Осмоловская // Народное образование. — 2005. №6. - С. 77-80.

77. Пак, М.С. Дидактика химии Текст.: Учеб. пособие для вузов по спец. 032000 «Химия» / М.С. Пак. М.: ВЛАДОС.- 2004.-315'е.: табл.; 21 см.-(Учеб. пособие для,вузов). - Библиогр.: с. 303-310. - 7000 экз. - ISBN 5-691-01281-9.

78. Петровская, Л.А. Компетентность в общении Текст.: Социал.-психол. тренинг.- М.: МГУ, 1989. 216 с. + 21 см.- Библиогр. в конце кн. -15000 экз.- ISBN 5-211-00225-3.

79. Пидкасистый, П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении: теорет.-эксперим. исслед. Текст. / П.И. Пидкасистый. -М.: Педагогика, 1980.- 240 с. + 20 см.- Библиогр.: с. 232 -239.- 8000.экз.

80. Пойа, Д. Как решать задачу Текст.: пособие для учителей.- Пер. с англ. В.Г. Звонаревой и Д.Н. Белла; под ред. Ю.М. Гайдука.- 2-е изд. М.: Учпедгиз., 1961.- 207 с.: черт.; 21 см.- 100000 экз.

81. Поллак Х.О. Как мы можем научить приложениям математики? Текст. / Х.О. Поллак // Математика в школе. 1971. - №2. - С. 90-94.- ISSN 0130-9358.

82. Раев, А.И. Управление умственной деятельностью младшего школьника Текст.: учеб. пособие / А.И. Раев; Ленингр. гос. пед. ин-т. им. А.И. Герцена.-Л., 1976.- 134 е.; 22 см.- Библиогр.: с. 128-133.- 1500 экз.

83. Розов, М.А. Научная абстракция и её виды Текст. / М.А. Розов;

84. АН СССР: Сиб. отд. Новосибирск: Наука, 1965.- 137 с.;22 см. - 3045 экз.

85. Рузавин, Г.И. Математизация научного знания Текст. / Г.И. Рузавин,- М.: Мысль 1984.-207 е.: ил.+ 17 см. (Философия и естествознание).- Библиогр.: с. 202-206.- 7000 экз.

86. Салмина, Н.Г. Виды и функции материализации в обучении Текст.- М.: МГУ, 198Г.- 135 с.+ 20 см. Библиогр. в конце кн. - 5000 экз.

87. Салмина, Н.Г. Знак и символ в обучении' Текст. / Н.Г.,Салмина. М.: МГУ, 1988.- 286, 1. е.; 21 см.- Библиогр.: 280-285.- 20000*экз.'- ISBN 5211-00024-2.

88. Салмина; Н.Г. Обучение математике в начальной школе-Текст. / Н.Г. Салмина // Формирование приёмов* математического мышления / под ред. Н.Ф. Талызиной.- М.: ТОО Вентана-Граф, 1995'. С. 29^67.-:'ISBN 588717-010-7.

89. Селевко, Г. Компетентности1 и из классификация Текст. / Г. Селевко // Народное образование. 2004. - №4. - С. 138-142.

90. Скворцова, М. Математическое моделирование Текст. / Mi Скворцова // Математика. 2003'. - №14. - С. 1-4.

91. Спиридонов, В.Ф: Психология мышления Текст.: Решение задач и проблем: учеб: пособие / В:Ф. Спиридонов.- М.: Генезис, 2006:- 319 с.+ 22 см. (Серия,«Учебник XXI века»). - Библиогр.: с. 298-317. - 2000 экз. - ISBN 5-98563-057-9

92. Сухотин, А.К. Философия, в математическомс познаниш Текст. / А.К. Сухотин. Томск, 1977. - 160 е.; 21 см. - 1000 экз.

93. Талызина, Н.Ф. Формирование математических понятий Текст. / Н.Ф. Талызина // Формирование приёмов математического мышления / подред. Н.Ф. Талызиной.- М.: ТОО Вентана-Граф, 1995. С. 13-28 - ISBN 588717-010-7.

94. Талызина, Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний Текст.: Психол. основы. 2-е изд, доп. и испр. - М.: МГУ, 1984.- 344* с.+ 20 см.-Библиогр.: с. 327-342.- 1100 экз.

95. Темербекова, A.A. Методика преподавания математики. Текст.: учеб. пособие для* студ высш. учеб. заведений.- М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.- 176 с.: ил.; 22'см. Библиогр. в конце гл. - 20000 экз. - ISBN 5-691-01120-0.

96. Терёшин, H.A. Прикладная направленность школьного курса математики Текст.: кн. для учителя / H.A. Терешин.- Ml: Просвещение, 1990, 96 е.: ил.; 2Г см. 100000 экз. - ISBN 5-09-001300-4.

97. Тестов, В.А. Стратегия обучения математике Текст. / В.А. Тестов. М:: Технологическая Школа Бизнеса, 1999. - 304 е.: ил.;' 16 см. -Библиогр.: с. 285-301. - 1500 экз. - ISBN 5-86073-076-4.

98. Тихомиров, O.K. Психология мышления Текст.: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / O.K. Тихомиров.- 2-е изд., стер.- М.: Академия, 2005.- 288с. Библиогр.: с. 280-286. - 2000 экз. - ISBN 5-76952449-9.'

99. Тихонов, А.Н. Математическая модель Текст. / А.Н. Тихонов // Математическая энциклопедия: в 4 т. Т.З.: Коо-Од. / гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия.- 1982.- Ст. 574-575.

100. Усова, A.B. Формирование у учащихся учебных умений. Текст. / A.B. Усоваг A.A. Бобров. Ml: Знание, 1987. - 8- е.: ил.+ 17 см. - (Новое в жизни, науке, технике. Педагогика ш психология). - Библиогр:: с. 79. -156915 экз.

101. Фонин, Д.С. Моделирование как основа обучения решению задач разными способами Текст. / Д.С. Фонин, И.И. Целищева. // Математикам школе. — 1994. №2. - С: 15- 18.--ISSN 0130-9358.

102. Фридман, Л.М. /Дидактические основы применения задач в обучении Текст.: автореф. дис. докт. пед. наук: 13.730-Теория педагогики / ФридманШёв Моисеевич; АПН СССР^НИИюбщеши пед: психологии^- М:: ШУ:- 1971.-54 е.: ил.; 20 см.- Библиогр.: 52-54^-300 экз:.

103. Фридман, Л;М. Основы: проблемологии* Текст. / Л.М. Фридман. .-М.: СИНТЕГ, 2001. - 228 с.:, ил:; 20 см: — (Серия «Проблемология»), — Библиогр.: с. 221-226.- 1000 экз. - ISBN 5-89638-043-7.

104. Фридман, Л.М: Психолого-педагогические основы обучения математике в школе Текст.: Учителю математики о; пед. психологии / Л.М. Фридман.- М.: Просвещение 1983.- 160 е.: ил. Библиогр.: с: 159. -100000 экз.

105. Фридман,- Л.М: Теоретические основы методики обучения« математике Текст.: учеб. пособие. 2-е изд., испр: и доп. / Л.М: Фридман:

106. M.: Едиториал УРСС, 2005.- 248 е.; 20 см. (Психология, педагогика, технология обучения). — Библиогр.: с. 239 - 244. - 5000 экз. - ISBN — 5-35400883-2

107. Фридман, JI.M. Формирование общеучебные умений у школьников Текст.: методич. рекомендации / JI.M. Фридман, И.Ю. Кулагина; Кемеров. обл. ин-т усоверш. учителей. Кемерово: ИУУ, 1993.- 31 с.+ 20 см. - Библиогр.: с. 29-30. - 500 экз. - ISBN 5-7148-0013-3.

108. Харитонова, О.В. Развитие учебно-познавательной компетентности старшеклассников на уроках геометрии Текст.: дис. канд. пед. наук: 13.00.03 / Харитонова Ольга Владимировна. СПб., 2006.- 167 е.I1. Библиогр.: с. 153-167.

109. Ходот, Т.Г. Геометрия Текст.: учеб. пособие' для 6 кл. общеобразовательной школы / Т.Г. Ходот, C.B. Сафронова, А.Ю. Ходот. -СПб.: Иван Фёдоров, 2002. 304 е.: ил.; 22 см. - 6000. - ISBN 5-8194-0064-Х.

110. Ходот, Т.Г. Геометрия Текст.: учебник для 5 класса общеобразовательной школы / Т.Г. Ходот, B.JI. Велиховская, H.A. Кайсина, А.Ю. Ходот.- СПб.: Иван Фёдоров, 2002. 272 е.: ил. 438.; 22 см. - 3000. -ISBN 5-8194-0075-5.

111. Хуторской, A.B. Ключевые компетенции как компонент личностно-ориентированной парадигмы образования Текст. / A.B. Хуторской // Народное образование. 2003. - №2. - С. 58 - 64.

112. Хуторской, A.B. Ключевые компетенции. Технологии конструирования Текст. / A.B. Хуторской // Народное образование. 2003. -№5.-С. 55-61.

113. Хуторской, A.B. Технология» проектирования ключевых и предметных компетенций Текст. / A.B. Хуторской // Интернет-журнал «Эйдос». 2005. - 12 декабря, http://www.eidos.ru/iournal/2005/1212.htm.

114. Целищева, И.И. Моделирование при обучении решению текстовых задач Текст. / И.И. Целищева, С.А. Зайцева // Математика в школе.- 2008.- №5.- С.36-44.- ISSN 0130-9358.

115. Цукарь, А.Я: Схематизация и моделирование при решении текстовых задач Текст. / А.Я. Цукарь // Математика в школе. — 1998. №5. -С. 48-54. - ISSN 0130-9358.

116. Чиканцева, Н.И. Составление и решение задач при обученииtматематике Текст.: учеб. пособие / Н.И. Чиканцева, Ю.А. Горяев. М.: МПГУ, 2002. -78 е.: ил.; 20 см.- Библиогр.: с.76. - 500 экз.

117. Шамардина, Т.В. Формирование учебно-познавательной компетентности* старшеклассника в образовательном процессе гимназии Текст.: дис. канд. пед. наук: 13.00.01 / Шамардина Татьяна Владиленовна. -Оренбург, 2003.- 256 с. Библиогр.: с. 184-207.

118. Шарыгин, И.Ф. Математика Текст.: Задачи на смекалку: учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений / И:Ф. Шарыгин, A.B. Шевкин. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2000.- 95 е.: ил.; 22см. - 20000 экз.- ISBN 5-09-009750-Х.

119. Шарыгин, И.Ф. Сборник задач по математике с решениями Текст.: учеб. пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин. М.: ACT, Астрель, 2001. - 400 е.: ил.; 21 см. - ЮООО'экз. - ISBN 5-17-004606-5 (ACT). - ISBN 5-271-01309-Х (Астрель).

120. Шевкин, А.В: Текстовые задачи Текст. : 7-11 классы: учеб. пособие по математике. М: ТИД Русское слово - PC, 2003.-184 е.: ил.; 20 см. - 5000. - ISBN 5-94853-102-3.

121. Штофф, В. А. Гносеологические проблемы моделирования Текст.: автореф. дис. док. философск. наук / Штофф Виктор Александрович; Ленингр. гос. ун-т им. A.A. Жданова. Л., 1964. - 32 е.; 21 см.- Библиогр. в конце текста. — 300 экз.

122. Штофф, В.А. Моделирование и философия Текст. / В.А. Штофф; АН СССР, Ленингр. кафедра философии.- М.-Л.: Наука, 1966.- 301 с.+ 22 см.- Библиогр.: с. 296-299.- 9300 экз.

123. Шубина, Л.Е, Проектирование образовательных технологий повышения успешности учебно-познавательной деятельности школьников Текст.: дис. канд. пед. наук: 13.00.01 / Шубина Людмила Евгеньевна. М., 2002.- 141 е.- Библиогр.: с.128-141.

124. Щукина, Г.И. Роль деятельности в учебном процессе Текст.: кн. для учителя / Г.И. Щукина.- М.: Просвещение, 1986 г.- 142, [2] с.+ 22см. -Библиогр.: с. 141-143.- 7300 экз.

125. Эльконин, Д.Б. Психология обучения младшего школьника Текст. / Д.Б. Эльконин. М.: Знание, 1974.- 64 с.+ 16 см.- 6500 экз.

126. Якиманская, И.С. Развивающее обучение Текст. / И.С. Якиманская.- М.: Педагогика, 1979. 144 е.; 20 см.- (Воспитание и обучение. Библиотека учителя).-Библиогр.: с. 142-143.- 100000 экз.