автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение началам математического анализа в средней школе с использованием различных форм представления его фундаментальных понятий

Автореферат диссертации по теме "Обучение началам математического анализа в средней школе с использованием различных форм представления его фундаментальных понятий"

• > I .)

На правах рукописи

КИСЕЛЬНИКОВ Игорь Васильевич

ОБУЧЕНИЕ НАЧАЛАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЕГО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОНЯТИЙ

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике Российского государственного педагогического университета имени

А.И.Герцена

Научный руководитель: Кандидат педагогических наук,

профессор Е.И.Лященко

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук, профессор Н.А.Широков

Кандидат педагогических наук, доцент Л.И. Токарева

Ведущая организация - Ленинградский государственный областной

университет (г.Пушкин)

Защита диссертации состоится 25 июня 1997 года в 161Б часов на заседании Специализированного Совета К 113.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корпус 1, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им.А.И.Герцена.

Автореферат разослан " ^" ^¿¿^Я-С- 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

И.Б.Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования.

Сущностью современного этапа развития образования является переход к личностно-ориентированному обучению, цель которого заключается в обеспечении развития и саморазвития личности ученика, основанном на выявлении его индивидуальных особенностей как субъекта познания и учебной деятельности. В новой образовательной парадигме содержание образования, его средства и методы структурируются так, что позволяют ученику проявить избирательность к предметному материалу. Изменяется критериальная база обучения: отслеживаются не столько знания, умения и навыки, сколько сформи-рованность качеств личностных новообразовании; переносится акцент с узкопредметных на металредметные, методологические знания. Признание права ученика на выбор собственного пути развития проявляется в создании разнообразных форм обучения.

Изменение образовательной парадигмы влечет не только появление новых предметов изучения в средней школе, но и изменение подходов к изучении традиционных предметов, в частности математики. Это проявляется в появлении разнообразных учебных пособий для школы, альтернативных программ, публикаций в научно-методической литературе и др. Уже перестраивается курс геометрии в направлении развития пространственного мышления, более результативного использования взаимосвязей образного и логического компонентов мышления учеников и др. Перенос акцента с операционных умений учеников на эвристические касается усовершенствований курса алгебры.

Изучение начал математического анализа в средней школе связано с рядом трудностей: высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность учебного времени для осмысления сложных вопросов и др. Минимизация этих проблем традиционно считалась сложной задачей и в связи о этим возникали попытки исключения отдельных вопросов математического анализа из школьной программы. Фактически это затронуло понятия предела функции, действительного числа. Однако, эти понятия принадлежат к фундаментальным основам математического анализа. Их значимость определяется не только предметным и прикладным аспектами, но и общекультурным аспектом. Познание фундаментальных понятии математического анализа не ограничивается рамками одного школьного предмета, поскольку они отражают достаточно широкую об- 3 -

дасть человеческого бытия, воплощая идеи актуальной и потенциальной бесконечности, непрерывности и др. Реализация различных аспектов формирования этих понятий и идейно связанных с ними вопросов может быть осуществлена за счет привлечения не только аналитических, но и образных компонентов мышления школьников, особенно в классах гуманитарного профиля.

История исследований по методике обучения фундаментальным понятиям математического анализа содержит ряд этапов. На первом этапе (Х.О.Роос, Ю.Н.Макарычев, В.С.Елин и др.) был содержательно отобран материал, подлежащий изучению в школе, положено начало формированию системы упражнений для школьного курса начал математического анализа, составивших базовую основу его изучения на операционном уровне. На этом этапе исследователям не удалось избежать влияния вузовского курса математического анализа на разработку школьного варианта. В качестве ведущей формы для представления содержания понятий математического анализа была выбрана знаково-символичеокая. Большее внимание уделялось формальной стороне изучения основных вопросов математического анализа, нежели наглядно-интуитивной. В связи с этим материал оказался сложным для основной массы учащихся. При обучении фундаментальным понятиям математического анализа не обращались к личному опыту учеников, накопленному ими за предыдущие годы обучения. Преодоление этих недостатков стадо задачей следующего этапа исследований.

На втором этапе предлагаются различные способы введения понятия предела: на языке последовательностей (В.Е.Шумов), на основе понятия направленного множества (В.В.Рыжков), на основе понятия окрестности (Г.М.Серегин, Э.К.Брейтигам). На этом этапе рассматриваются возможные пути организации пропедевтики понятий математического анализа в курсе алгебры неполной средней школы. Разработаны задания графического содержания для курса начал математического анализа, в частности для изучения свойств функций и понятия предела (Г.Т.Юртаева, А.Н. Земляков и др.). Необходимость целостного осмысления начал математического анализа, оценка роли образного мышления в этом процессе определяет третий этап исследований (Е.С.Муравьев, П.Т.Сатьянов, Л.М.Савинцева, Н.А.Резник и др.), характеризуемый рассмотрением понятий действительного чио-ла, функции, непрерывности и предела функции. Но эти подходы разными авторами рассматривались либо для отдельных начальных понятий, либо после формального введения этих понятий, либо на уровне

- 4 -

их применения. Поэтому, данные ими рекомендации не нашли реализации в школе и до сих пор такие фундаментальные понятия, как действительное число, функция, предел функции, не получили должного отражения в школьном курсе начал математического анализа.

Вместе с тем существует возможность использования различных языков представления понятий на самых первых этапах обучения, начиная со знакомства с основными понятиями математического анализа, поскольку заложенные в них идеи имеют в качестве приоритетных различные языки представления, доступные для сознательного усвоения учащимися.

Изучение математических понятий ученик может осуществлять на различных уровнях усвоения: наглядно-иллюстративном, операционном, формально- логическом. Переход на более высокий уровень возможен лишь при владении знаниями на предыдущем. Поскольку первым уровнем является наглядно-иллюстративный, то особую значимость его достижение приобретает при изучении принципиально новых для учащихся старших классов фундаментальных понятий математического анализа. Высокий уровень абстракции этих понятий не позволяет сразу осуществить переход к овладению ими на различных языках, необходим учет личного опыта учащихся, закрепленный в индивидуальных житейских представлениях. Использование житейских представлений учащихся особенно важно на первых этапах изучения понятий. В образной форме возможно выразить идеи бесконечности, непрерывности и др., лежащие в основе фундаментальных понятий математического анализа. Эти понятия и идеи носят характер метапред-метных первосмыслов и имеют свое проявление не только в математике, но и других учебных дисциплинах. Раскрытие первосмыслов особенно важно, поскольку это способствует осознанию общекультурной ценности математического анализа, развит™ мировоззрения. Рассмотрение физических процессов при изучении математического анализа вызывает затруднения у многих учащихся, особенно гуманитарных классов. Взаимосвязь понятий и идей математического анализа демонстрирует схема 1.

Фундаментальные понятия анализа имеют преимущество перед другими изучаемыми в средней шкоде понятиями еще и потому, что имеются богатые выразительные возможности: могут быть использованы различные формы представления их содержания (вербальная (словесная), знаково-символическая, геометрические (графическая)). Такого широкого спектра выразительных возможностей не имеет ни

- 5 -

один другой раздел математики из изучаемых в школе. В качестве средств обучения началам математического анализа, использующих эти возможности, могут быть выбраны задачи на представление содержания фундаментальных понятий математического анализа и их перевод с одного языка представления на другие.

СХ6МЗ 1

Взаимосвязь понятий и идей в курсе математического анализа Понятие Идея

1

Действительное число

Функция

Предел функции

Непрерывность

->

->

->

Актуальн.бесконечности

■> Потенц. осуществимости

Измерения

Близости

Соответствия

Стремления

Симметрии

Изменения

Движения

Зависимости

Таким образом, возможность использования житейских представлений учеников при первичном знакомстве с фундаментальными понятиями математического анализа, изучение этих понятий во взаимосвязи, организации на первых этапах обучения деятельности по переводу содержания понятий на различные языки представления, позволяющие развивать индивидуальные образы учеников адекватно научному смыслу изучаемых математических фактов продолжает и развивает третий этап исследования проблем обучения началам математического анализа в средней школе, определяет актуальность нашего исследования.

>

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: поиск средств обучения фундаментальным понятиям математического анализа, использующих богатые выразительные возможности этих понятий; обращенных к личному опыту учеников; позволяющих задействовать логический и образный компоненты мышления школьников. Дель исследования состоит в разработке методики реализации и использования этих средств при изучении фундаментальных понятий математического анализа в средней школе.

Объект исследования - процесс обучения фундаментальным понятиям математического анализа в средней школе.

Предмет исследования - средства представления в различных формах и перевода на различные языки содержания фундаментальных понятий математического анализа.

Использование при обучении фундаментальным понятиям математического анализа разнообразных средств представления и перевода математического содержания на различные языки представления может обеспечить на первом уровне усвоение, адекватное научному смыслу понятий. Экспериментально проверить, адекватны ли индивидуальные образы учеников научному смыслу понятий не представляется возможным. Теоретическое исследование позволяет обосновать этот факт. Основные положения и выводы изложены в §1.2 диссертации.

Использование средств представления содержания понятий и его перевода с одного языка на другие (графические наглядные пособия, пособия-схемы, целесообразно подобранные задания на представление понятий, задачи на перевод содержания понятий с одного языка на другие) позволяет достичь сознательного усвоения фундаментальных понятий математического анализа учащимися средней школы. Сознательность усвоения выражается в возможности использования разных форм представления содержания при решении задач; в возможности переноса деятельности по переводу содержания на различные языки представления в новые ситуации (решение уравнений, неравенств, "нестандартных" задач и т.д.).

Гипотеза исследования: если фундаментальные понятия математического анализа изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перевода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа литературы, содержания школьного курса математического анализа,, изучения опыта работы учителей средних школ, выяонить возможность использования в процессе обучения фундаментальным понятиям математического анализа таких средств обучения, которые позволяют представлять изучаемый материал в разных формах, а также переводить содержание о одного языка на другой, что обеспечит гибкое владение знаниями.

2. Выявить особенности и основные этапы познания фундаментальных понятий математического анализа, и возможности учета этих особенностей в процеосе обучения.

3. Разработать методику обучения фундаментальным понятиям математического анализа на основе использования средств представления и перевода.

4. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики обучения фундаментальным понятиям математического анализа и проверку гипотезы.

Для решения поставленных задач были использованы методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, науч-но-методичеокой литературы по проблеме исследования и содержания школьного курса алгебры и начал математического анализа; изучение опыта преподавания математического анализа в средней школе и учебной деятельности школьников, а также изучение и анализ ее результатов; организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов, количественная и качественная обработка их результатов.

Исследование проводилось в три этапа (1992-1997 гг.).

На первом этапе (1992-1994 гг.) осуществлялся анализ психолого- педагогической литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей средних школ по преподаванию начал математического анализа и состояния обучения этому курсу. Был проведен анализ содержания школьного курса математического анализа. Уточнена проблема исследования и выявлены возможности использования при изучении фундаментальных понятий математического анализа образных компонентов мышления школьников. Проведена первая отадия констатирующего эксперимента.

На втором этапе (1994-1995 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения фундаментальных понятий математического анализа, разработана методика обучения, ориентированная на учеников средней общеобразовательной школы и

- В -

учитывающая результаты констатирующего и поискового этапов эксперимента. Подготовлены методические рекомендации для учащихся по использованию рааличных форм представления фундаментальных понятий математического анализа. Проведена первая стадия формирующего эксперимента.

На третьем этапе (1995-1996 гг.) был продолжен формирующий эксперимент в других классах. Обобщены экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.

Концептуальной основой исследования явились философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, дидактические принципы обучения, личчостно- ориентированная образовательная парадигма.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в том, что:

- теоретически и экспериментально обоснована целесообразность использования различных форм представления фундаментальных понятий математического анализа, организации деятельности учеников по переводу их содержания на различные языки представления;

- разработана методика обучения единым комплексом фундаментальным понятиям математического анализа на основе использования графической, вербальной и знаково-символической форм для их представления и задач по переводу математического содержания понятий на различные языки представления при изучении алгебры и начал математического анализа в средней школе.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработаны наборы задач на представление понятий и перевод их содержания с одного "языка" представления на другие. Эти задачи могут быть использованы при обучении началам математического анализа в средней школе. Подготовлены методические рекомендации "Различные формы представления основных понятий математического анализа в школе", которые могут быть использованы учителями средних школ при проведении уроков и факультативных занятий по математике.

Достоверность результатов исследования обеспечивают:

- теоретический анализ проблемы;

- результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались, на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена

- 9 -

(1995 г.)| научно- практическом семинаре "Обучение математике и информатике в педагогических классах, лицеях, гимназиях"(1995г.), методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И.Герцена (1996 г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в Российско-американской профессиональной школе, Алтайском Краевом педагогическом лицее, средних общеобразовательных школах №62, №69 г. Барнаула.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования различных форм представления фундаментальных понятий математического анализа, организация деятельности учеников по переводу содержания на различные языки представления на первых этапах обучения фундаментальным понятиям математического анализа.

2. Методика обучения единым комплексом фундаментальным понятиям математического анализа на основе использования графической, вербальной и энаково-символической форм для их представления и задач по переводу математического содержания понятий на различные языки представления в курсе "Алгебра и начала математического анализа" в средней школе.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Во введении дан краткий анализ состояния вопросов темы исследования, сформулированы проблема исследования, цели и 8адачи исследования, гипотеза и положения, вынооимые на защиту, указывается теоретическая и практическая значимость исследования.

В первой главе обосновывается возможность обучения фундаментальным понятиям математического анализа с использованием различных форм для представления их содержания, которое обеспечивает усвоение понятий, адекватное их научному смыслу.

В § 1.1 на основе анализа состояния обучения началам математического анализа в средней школе, психолого-педагогичеокой и методической литературы по вопрооам обучения математическим понятиям обосновывается необходимость обучения фундаментальным понятиям математического анализа (действительного числа, функции, предела

функции и непрерывности) в научном, общекультурном, предметном и прикладном аспектах.

Рассматриваются основные этапы исследований по методике обучения фундаментальным понятиям математического анализа, приводятся основные достоинства и недостатки этих исследований.

1. В ходе предыдущих исследований в основном решены организационные вопросы изучения фундаментальных понятий математического анализа: определено время и место их изучения в школьном курсе математики.

2. Выявлены трудности, о которыми сталкиваются ученики при изучении начал математического анализа. Решение части этих проблем (преодоление затруднений психологического характера) сдерживалось недостаточной разработкой в психологии особенностей мышления школьников, взаимосвязи различных типов мышления.

3. Идейная взаимосвязь понятий действительного числа, функции и предела функции не была использована для создания методики изучения этих понятий в едином целостном блоке, предваряющем другие вопросы школьного курса начал математического анализа.

4. Оценена роль образного мышления учащихся при изучении математических понятий и переводе математического содержания из одной формы представления в другую. Но методика использования этого компонента мышления для наглядно-интуитивного и содержательного изучения фундаментальных понятий математического анализа до настоящего времени не разработана.

5. Хотя мировоззренческая составляющая подчеркивается многими исследователями как одна из наиболее важных при изучении начал математического анализа, в практику преподавания не было внедрено материала, раскрывающего сущность понятий математического анализа на идейной основе.

6. Использование деятельности по переводу содержания понятий математического анализа на различные языки представления после формального изучения этих понятий, явилось малоэффективным средством. Существует возможность организации такой деятельности на первых этапах обучения фундаментальным понятиям математического анализа о использованием первоначально приоритетных форм представления,. с последующим усвоением других форм.

На современном этапе, который характеризуется ориентацией на личность ученика, существуют предпосылки для создания методики обучения началам математического анализа, направленной на соэна-

- 11 -

тельное усвоение фундаментальных понятий математического анализа. Для этого необходимо учитывать индивидуальные особенности мышления учеников, их предшествующий опыт.

В 5 1.2 раскрыты возможности использования образного и логического компонентов мышления школьников при обучении началам математического анализа. Мгновенно достичь высокого уровня усвоения фундаментальных понятий математического анализа невозможно, поскольку они имеют высокий уровень абстракции, их определения сложны по логической структуре. Возможна организация обучения с постепенным повышением уровня усвоения, при котором ученики будут последовательно проходить ряд этапов.

1. Этап "житейских" представлений.

На этом этапе учитель подвергает анализу "житейские" представления, связанные с терминами, используемыми для обозначения понятий. В соответствии с ними впервые раскрываются первосмыслы (непрерывности, стремления и др., отраженные в схеме 1). Например, с термином "непрерывность" у большинства опрошенных нами на констатирующем этапе эксперимента школьников связано представление о линии реки или дороге, о термином стремление связано представление о направленности человека на достижение жизненной цели, и т.д. Уже пример с понятием непрерывности показывает возможность перехода от "житейского" представления к графической форме его выражения. Достаточно предложить ученику нарисовать образ непрерывности. В результате получится некоторая кривая линия, рисуемая без отрыва карандаша от бумаги.

2. Этап мономодальных математических представлений.

На этом этапе основываясь на "житейских" представлениях, ученику предъявляются в наиболее адекватной форме объекты-предо-тавители объема подлежащего изучению понятия. Такой формой предъявления для большинства фундаментальных понятий и идей математического анализа выступает графическая: так, измерение длины отрезка невозможно продемонстрировать без использования геометрической формы представления, для непрерывности наиболее близким к "житейскому" является образ кривой, рисуемой одним движением руки. Идея стремления также легко выражается в графической форме.

3. Этап комплексных представлений.

Образы, в которых объекты отражаются в совокупности их свойств и отношений, в психологической литературе называются комплексными представлениями (Е.С.Ермакова,1996). На этом этапе

- 12 -

осуществляется представление понятия, первоначально выраженного в наиболее адекватной форме, на других "языках". В рамках таких представлений ученик может переходить от анализа одних свойств объекта к анализу других его свойств, проявляя гибкость мышления;' Это свойство, заключающееся в перестройке имеющихся способов решения задачи, в изменении способа, перестающего быть эффективным, на оптимальный. Гибкость связана о характером образного отражения и проявляется при выполнении заданий (решении задач), включающих возможность вццеления различных контекстов интерпретации при использовании одного и того же объекта.

4. Понятийный этап.

Основываясь на комплексах представлений, отражающих в различных формах свойства математических объектов, выделяются существенные свойства. На этом этапе дается определение понятия на том уровне строгости, который отвечает целям обучения. Отрабатываются формальные процедура оперирования понятием.

5. Концептуальный этап.

На этом этапе формируется целостное содержание понятия,содержащее логический (знание свойств понятия) и интуитивный (энергетически сильный обобщенный образ понятия, характеризующийся возможностью актуализации) компоненты, не сводимое к отдельным элементам представлений, осознание смысла. Это обеспечивает применение понятия для построения другой теории, решения "нестандартных" задач, требующих самостоятельного выбора учеником адекватной формы представления понятия, оптимального перевода содержания из одной формы представления в другую (зачастую осуществляемого в свернутом виде).

В § 1.3 обосновывается необходимость осуществления деятельности по переводу математического содержания на различные "языки" представления на начальном этапе изучения фундаментальных понятий математического анализа. Раскрыты следующие факторы:

- психологические (вызванные характером образного мышления учащихся);

- математические (отражающие специфику фундаментальных понятий математического анализа);

- методические (вызванные возможностью реализации деятельности по переводу о одного языка на другие математического содержания при изучении других вопросов математического анализа).

Рассмотрена методика осуществления перевода при изучении понятии действительного числа, функции и непрерывности функции. Обосновывается приоритетность графической формы представления фундаментальных понятий математического анализа.

Параграф 4.1 содержит обоснование выбора в качестве средств обучения фундаментальным понятиям математического анализа задач на представление содержания в различных формах: графической, вербальной и знаково- символической, а также задач по переводу содержания на различные "языки" представления понятий. Раскрыты и проиллюстрированы в примерах требования к таким задачам.

1. На первом этапе изучения понятия задачи должны использовать интуитивные представления учеников о фундаментальных понятиях математического анализа, отражать идеи, в них заложенные.

2. Условие задачи должно предотавлять данные на одном языке, а требование - выражение искомого на другом. При решении задач на первом этапе желательно предъявлять задания на представление содержания и перевод как в прямом, так и в обратном порядке (формулирование и переформулирование свойств понятий).

3. Набор задач при изучении каждого из фундаментальных понятий математического анализа должен содержать задачи, обеспечивающие необходимость перевода в процессе их решения на всевозможные языки представления.

4. Для менее подготовленных учеников задачи перевода упрочится за счет уменьшения количества операций для решения без "урезания" количества переходов от одной формы представления к другой в задачах каждого типа ("идейная" сторона должна превалировать над "операционной").

Вторая глава раскрывает методику обучения фундаментальным понятиям математического анализа в средней школе.

Параграф 2.5 содержит основные положения методики:

1. На начальном этапе изучения понятий на образном уровне раскрываются заложенные в них идеи, имеющие методологический характер. Таким образом, осознание фундаментальных понятий математического анализа начинается с образного представления первосмыс-лов этих понятий (бесконечность, непрерывность, стремление и ДР.).

2. Изучение единым блоком материала, связанного с понятиями действительного числа, функции, непрерывности функции и предела функции а точке в 10 классе средней общеобразовательной школы.

- 14 -

Это положение является следствием смысловой взаимосвязи этих понятий.

3. При изучении фундаментальных понятий математического анализа на первом этапе не ставится цель формирования операционных умений. В связи о этим к решению уравнений, неравенств при исследовании конкретных функций, заданных аналитически следует приступать лишь после того, как у ученика сформированы гибкие образы соответствующих свойств функций. Данный принцип является следствием своеобразия рассматриваемых понятий начал математического анализа, их принципиального отличия от других понятий, изучаемых в школе.

4. Развитие в процессе обучения "житейских" представлений школьников до такого уровня индивидуального образа, который адекватно отражает научный смысл понятий с использованием разнообразных форм представления их содержания. Выбор в качестве приоритетной графической формы как наиболее доступной учащимся.

5. Использование в качестве средства обучения фундаментальным понятиям математического анализа задач по переводу содержания понятий с одного "языка" представления на другие, заданий по формулированию и переформулированию математических фактов.

На основе этих положений разработано тематическое планирование для обучения началам математического анализа учащихся 10 класса. Приведен методический комментарий и варианты самостоятельных работ.

В § 2.6 на примере обучения понятию предела функции в точке раскрыта методика изучения фундаментальных понятий математического анализа на основе их взаимосвязи, использования "житейских" представлений и приоритетных первичных форм представления, а также особенностей перевода с одного языка на другие с помощью определенной системы задач.

Первый этап методики характеризуется широким использованием приоритетной графической формы представления, в результате чего ученики могут по графику функции находить пределы функций, конструировать графики функций с требуемыми значениями предела в некоторых точках, аргументировать поведение функции с использованием графической формы представления.

Второй этап отличается осуществлением перевода с графического на знаково-символический язык содержания понятия предела, ис-

пользованием этих представлений для доказательства утверждений, решения задач.

При изучении предела используется опыт, полученный учениками в процессе изучения понятий функции и непрерывности функции в точке. Строится ассоциация понятия "значение функции в точке", ранее сформированное на графическом, словесном и анаково-симводическом языках. Используются графические представления о различных видах разрывов функций. Идея стремления демонстрируется первоначально на геометрическом языке: привлекая графики непрерывных и разрывных в точке функций, можно зримо представить различные- случаи стремления, когда предел функции совпадает или не совпадает со значением функции в точке, либо не существует.

Изучение понятия предела функции в точке может быть начато с актуализации представления о непрерывности функции в точке, для словесной характеристики которого предварительно использовалась фраза: "Если значения аргумента приближаются к точке непрерывности х, то значения функции f приближаются к значению функции в этой точке". Понятие предела функции в точке позволяет эту фразу уточнить.

После этого решаются задачи, позволяющие использовать графические и аналитические формы представления предела, которые служат для закрепления материала.

Параграф 2.7 поовящен опиоанию проведения и результатов эксперимента. Цель экспериментальной работы, выполненной в ходе исследования: проверить выдвинутую гипотезу.

В параграфе описаны этапы исследования, формулируются выводы по каждому этапу.

В эксперименте проводилось сравнение результатов усвоения фундаментальных понятий математического анализа в опытных и контрольных классах. Выполненный количественный и качественный анализ позволяет сделать следующие выводы:

1. Учащиеся экспериментальных классов осознанно владеют фундаментальными понятиями математического анализа, что проявляется в умениях обосновывать решение задач; переносе деятельности по переводу математического содержания на различные языки представления в "нестандартные" ситуации; гибкости мышления учащихоя, которая заключается в произвольности выбора формы выражения понятия и перехода от одной формы к другой. Например, при решении уравнения cos х - (х - 3)z большинство учащихся экспериментальных

- 16 -

классов получили правильное решение, используя сначала графическую форму представления, а затем осуществляя перевод в аналитическую форму.

2. В ходе обучения по экспериментальной методике, ориентированной на личность ученика растет положительное отношение к математике (что подтверждено статистически с использованием критерия Макнамары).

Таким образом, в ходе теоретико-экспериментального исследования были решены поставленные задачи и подтверждена рабочая гипотеза.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1. К вопросу о роли образных представлений учащихся в процессе формирования понятия функции// Преподавание математики в школе и вузе: проблемы и перспективы. Тезисы докладов Герценовс-ких чтений.-СПб.:Образование,1994.-С.33.

2. О двух проблемах формирования фундаментальных понятий математического анализа// Обучение математике и информатике в педагогических классах, лицеях, гимназиях: тезисы сообщений участников научно-практического семинара. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 1995.-С.32.

3. Задачи на формирование представлений о функциях и их свойствах в школьном курсе "Алгебра и начала анализа"// Актуальные проблемы преподавания математики в школе и вузе.- Тверь,

1995.- С.80- 83.

4. Перевод математического содержания на различные языки представления при изучении начал анализа в школе// Особенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней. Тезисы докладов на Герценовских чтениях.- С.-Петербург: Образование, 1996. - С.21.

5. Различные формы представления основных понятий математического анализа в школе. Методические рекомендации.- Барнаул,

1996.- 55 с. (в соавторстве).