Теория и методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики

Кенжалиева, Светлана Заировна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Теория и методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики

Автореферат

Автор научной работы: Кенжалиева, Светлана Заировна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Астрахань
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Теория и методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики"

На правахрукописи

Кенжалиева Светлана Заировна

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ИДЕЙНОГО ПОТЕНЦИАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Ростов-на-Дону 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Астраханского государственного университета

Научный руководитель - кандидат педагогических наук, профессор Н.Г. Ованесов.

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор С.Г. Манвелов;

кандидат физико-математических наук, доцент К.Д. Яксумбаев

Ведущая организация - Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого

Защита состоится «25» ноября 2004 г. /«с час. на заседании диссертационного совета К 212.206.01 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук при Ростовском государственном педагогическом университете (344065, г. Ростов-на-Дону, пер. Днепровский, 116)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан «10 » ОкИЩрМ 2004 г,

4л.

Ученый секретарь диссертационного совета -кандидат педагогических наук, доцент

Л.Е. Князева

2005-4

ь-13, г

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

В определении целей математического образования всегда соседствовали два направления:

1) утилитарное, нацеленное на потребности в применении математики в практической жизни;

2) концептуальное, нацеленное на усиление роли математики в общем развитии человека

В 50-90-х гг. XX в. в школьном математическом образовании преобладал первый, прагматический подход, что было обусловлено особенностями состояния общества в этот период. Изменения, происходящие в последние годы, диктуют явный перевес концептуальных целей обучения, причем эта тенденция в ближайшем будущем очевидно будет только усиливаться.

На сегодняшний день в школьном математическом образовании наблюдаются следующие противоречия:

- разрыв между уровнем развития современной математики и состоянием математического образования в школе;

- разрыв между уровнем математических знаний выпускников школы и требованиями вузов;

- требованиями к уровню математической подготовки школьников и обязательным минимумом содержания образовательной программы;

- требованиями современности (действительности, жизни) и реальными знаниями учащихся.

Для разрешения этих противоречий в стандарте среднего (полного) общего образования по математике базового уровня среди целей указано:

- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

- воспитание средствами математики культуры личности, понимание значимости математики для научно-технического процесса, отношение к математике как части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

На профильном уровне на первое место выходит:

- формирование представлений об идеях и методах математики;

- воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Итак, на сегодняшний день одна из актуальных задач - построение школьной математики на идейной основе. В вопросе разрешения этой проблемы должен сыграть математический анализ, обеспечивающий метод для количественного исследования процессов изменения, движения, зависимостей одних величин от других. Наличие основ математического анализа, в частности, его основных фундаментальных понятий, в средних школах разных уровней повышает идейно-теоретическое содержание школьного курса математики, приближает его в какой-то мере к современной математике.

Вопросы введения элементов математического анализа в школах исследовались в работах М.В. Остроградского, Ф. Клейна, П.Л. Чебышева, С.Н. Берн-штейна, А.Н. Колмогорова, АЛ. Хинчина, В.И. Левина, Н.Я. Виленкина, А.И. Маркушевича, В.Г. Ашкинузе, А.Г. Мордковича, A.M. Абрамова, Н.Г. Ованесова. Возможность введения элементов математического анализа в школьный курс математики является вопросом давно уже положительно решенным.

Анализ психолого-педагогической, научно-методической, научно-математической и философской литературы позволяет сделать следующие выводы:

1. Преподавание начал анализа в школе, даже в классах с углубленным изучением математики, процедура очень не простая. Трудности возникают, прежде всего, в том, что учащиеся оказываются неподготовленными к восприятию нового содержания, богатого сложными понятиями и своеобразными методами

рассуждений. Учащиеся не имеют представления о тех идеях, в рамках которых сформировались основные понятия, методы и факты, лежащие в основе математического анализа и его школьных началах.

2. Основные идеи математического анализа являются связующим звеном между ранее известными школьникам понятиями и фундаментальными понятиями начал математического анализа, которые еще надо изучить, пронизывают всю теорию и осуществляют функцию синтезирования, а также прогнозируют дальнейшее развитие теории. Наглядность содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможность их выражения в различных пригодных для восприятия формах позволяют задействовать образное мышление учащихся, что, на наш взгляд, значительно облегчает усвоение начал анализа.

3. Начать обучение математическому анализу возможно с раскрытия заложенных в нем идей. Это дает возможность установить связи между идеями, между изучаемыми понятиями в рамках идей, проследить исторический путь формирования понятий (а ученику индивидуально повторить в какой-то мере этот путь в процессе познания), приблизить теорию к ее практическому применению.

Речь идет о некоторых идеях, определившихся в математическом анализе в рамках теоретико-множественной основы и получивших отражение в школьных началах анализа: это идея соответствия между множествами, окрестности, близости, т.е. сравнительной взаимноудаленности для элементов множества, локальной линеаризации отображений и меры, а в вузовском курсе математического анализа еще и идея пространства.

Проблема исследования: определение путей совершенствования методики обучения началам анализа в школе, через реализацию идейного потенциала математического анализа.

Цель исследования - теоретическое и практическое обоснование необходимости реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики, создание теории и методики его реализации.

Объект исследования - процесс обучения основным фундаментальным понятиям математического анализа в средней школе.

Предмет исследования - формирование основных фундаментальных понятий математического анализа на базе его основных идей.

Гипотеза исследования. Идейный потенциал основ математического анализа способствует неформальному усвоению учащимися фундаментальных понятий начал анализа в школе. При этом эффективность методики реализации идейного потенциала определяется следующими моментами:

• фундаментальностью значения идеи в познании и научном поиске, где она является одновременно итогом и двигателем логического процесса; пронизывает всю теорию, осуществляя функцию синтезирования;

• ролью связующего звена между ранее известной школьникам теорией и новыми абстрактными понятиями начал анализа;

• наглядностью содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможностью их выражения в различных пригодных для восприятия формах, что в свою очередь позволяет задействовать образное мышление учащихся;

• возможностью построения начал анализа в школе таким образом, чтобы научно-теоретический уровень соответствовал возможностям учащихся.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1) на основе анализа научной и методической литературы, содержания школьного курса математического анализа, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить возможности реализации идейного потенциала при изучении основных фундаментальных понятий начал анализа в школе, выяснить характерные недостатки в знаниях учащихся и их причины с точки зрения исследуемой проблемы;

3) разработать методику формирования основных фундаментальных понятий математического анализа, реализуя его идейный потенциал;

4) осуществить экспериментальную проверку разработанной методики изучения основ математического анализа в школе и проверку гипотезы.

Методологическую основу исследования в самом общем плане составляют мировоззренческие положения о креативно-творческой и социальной сущности личности как целостной системе, о всеобщей связи и взаимообусловленности явлений и процессов реального мира. Исследование также базируется на общенаучных принципах: принцип системности, комплексности, историзма, взаимодополняемости.

Теоретической основой исследования являются:

• теоретические и методологические исследования в области школьных начал анализа (А.М. Абрамов, С.Н. Бернштейн, Ф.Клейн, А.Н. Колмогоров, В.И. Левин, А.И. Маркушевич, А.Г. Мордкович, Н.Г. Ованесов, М.В. Остроградский, ПЛ. Чебышев и др.);

• идейный подход к содержанию основ математического анализа в школе (Ф. Клейн, Н.Г. Ованесов, А.Я. Хинчин);

• философские исследования категории «идея» и теории познания (И. Кант, Гегель, Платон, К. Маркс, Ф. Энгельс, В.Ф. Асмус, Ж.М. Аб-дильдин, И.Е. Ергалиев, Г.Г. Соловьёва и др.);

• психологическая теория умственного развития школьников (Ж. Адамар, Д.Н. Богоявленский, Л.М. Веккер, М. Вертгеймер, В.А. Ганзен, Л.В. Занков, А.Н. Лук, А.М. Матюшкин, НА. Менчинская, Ж. Пиаже);

• дидактические принципы обучения (СИ. Архангельский, В.М. Брадис, Л.И. Груденов, Г.Л. Луканкин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, П.М. Эрд-ниев и др.);

• концептуальные исследования в области творческой активности учащихся в процессе обучения (Л.С. Выготский, Т.В. Габай, В.В. Давыдов, А.П. Карп, Д. Пойя и др.);

• современные концепции гуманизации и гуманитаризации образования, в том числе математического (Е.В. Бондаревская, Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, Т.С. Полякова, Г.И. Саранцев и др.)

Для решения этих задач были использованы следующие методы исследования:

• анализ научно-математической, методической, психолого-педагогической, философской литературы по проблеме исследования;

• анализ учебных программ курса алгебры и начал математического анализа в средней школе, содержания учебников и учебных пособий данного курса;

• беседы с учителями школ и преподавателями вузов соответствующей дисциплины, участие в работе городского методического семинара учителей «Технология обучения математике» (руководитель - доц. С.С. Тасмуратов) и методического семинара при Московском педагогическом государственном университете (руководители -АГ.Мордкович, ВА. Гусев);

• организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов, количественная и качественная обработка их результатов.

Исследования проводились в три этапа в период с 1999 по 2003 г.

На первом этапе (1999-2001 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей средних школ по преподаванию начал математического анализа и состояния обучения этому курсу. Был проведен анализ содержания школьного курса математического анализа, уточнена проблема исследования и выявлены возможности применения основных идей при изучении основных фундамен-

тальных понятий математического анализа. Проведена первая стадия констатирующего эксперимента.

На втором этапе (2001-2002 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения фундаментальных понятий математического анализа, разработана методика обучения, ориентированная на учеников средней общеобразовательной школы и учитывающая результаты констатирующего и поискового экспериментов. Проведена первая стадия формирующего эксперимента.

На третьем этапе (2002-2003 гг.) был продолжен формирующий эксперимент в других классах. Обобщены экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования докладывались и получили одобрение на методических семинарах аспирантов кафедры математического анализа АГПУ (1999— 2002 гг., руководитель - проф. Н.Г. Ованесов), на городском семинаре учителей «Технология обучения математике» (1998-1999 гг., руководитель - доц. С.С. Тасмуратов), докладывались на научно-практической конференции Школы Одаренных детей г. Астрахани (1999 г.), итоговых научных конференциях АГПУ (2000-2002 гг.), VIII Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (2003 г.). Внедрение научных результатов осуществлялась в процессе публикации статей, научно-методических материалов, а также в ходе экспериментальной работы в Школе Одаренных детей (г. Астрахань), в физико-математической школе № 32 (г. Астрахань), на спецкурсах с уча-

щимися 10-11 классов при АГТУ, Мумринской средней школе (Астраханская область). Материалы работы использовались на лекционных и практических занятиях со студентами АГПУ и АГТУ.

математическое обоснование целесообразности и правомерности применения основных идей математического анализа при обучении математике в школе. Сформированы основные положения методики изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе на базе основных идей.

Практическая значимость исследования обусловлена возможностью использования разработанных методических подходов и соответствующих рекомендаций учителями в классах с углубленным изучением математики, в общеобразовательной школе (базовый, физико-математический профиль), в лекциях для учителей и студентов, а также при совершенствовании школьных учебников и методических пособий.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обеспечивается: методологическими подходами к разработке теоретических основ исследования; использованием комплекса методов, соответствующих предмету исследования и адекватных поставленным целям и задачам; положительными результатами опытно-экспериментальной работы. Достоверность теоретического исследования подтверждается по критериям практической проверки, неопро-вергнутости теории практикой на данном этапе их развития, непротиворечивости логики исследования, контекстуальной достоверности. Достоверность практического компонента исследования обеспечена позитивными результатами его внедрения в практику преподавания начал анализа некоторых школах города и области, в практику преподавания методики математики в рамках специальности «учитель математики» Астраханского государственного университета, положительной его оценкой со стороны учителей математики и преподавателей математических кафедр. Достоверность эмпирического компонента исследования подтверждается статистической значимостью полученных экспериментальных данных, сочетанием количественного и качественного анализа.

Положения, выносимые на защиту: 1. Современное развитие математического образования направлено на доминирование концептуальных целей обучения, усиление роли математики в общем

развитии человека. Преодоление разрыва между современным состоянием математической науки и школьным курсом математики обусловливает необходимость повысить его идейное содержание, что в свою очередь, с одной стороны, способствует разрешению ранее указанных противоречий в системе школьного математического образования, с другой - удовлетворяет целям изучения математики, сформулированным в стандарте среднего (полного) общего математического образования.

2. Предложенная нами методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики научно обоснована и органично встроена в систему разнопрофильного школьного образования.

3. Уровень знаний выпускников школ по началам анализа чрезвычайно низок, формален. Механически оперируя понятиями, учащиеся не имеют представления о тех идеях, в рамках которых сформировались основные понятия, методы и факты, лежащие в основе математического анализа и его школьных начал. Всё это диктует необходимость внедрения идейного потенциала математического анализа в изучение школьных начал анализа.

4. Идейный потенциал математического анализа, реализуемый при изучении фундаментальных понятий начал анализа в школе, базируется на идеях:

• соответствия между множествами (понятие функции);

• окрестности, близости, то есть сравнительной взаимоудалённости для элементов множества (понятия предела, непрерывности);

• локальной линеаризации отображений (понятие производной, основы дифференциального исчисления);

• меры (понятие интеграла, основы интегрального исчисления).

5. Реализация идейного потенциала основ математического анализа в школьном математическом образовании показала свою эффективность, обеспечив повышение уровня знаний учащихся, установив связи между изучаемыми понятиями, приблизив теорию к её практическому применению.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии, четырёх приложений. Общий объем диссертации составляет 167 страниц. Из них 144 с. - основной текст, 15 с. - список литературы из 209 наименований. В тексте содержится 8 таблиц, 4 схемы и 31 рисунок. Приложение содержит 8 страниц.

Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность исследования, определяются проблема, объект и предмет исследования, формулируется гипотеза, указываются задача и методы исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость исследования, апробация результатов работы, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе 1<Научно-методический анализ реализации идейного потенциала основ математического анализа при обучении математике в школе» на основе анализа психолого-педагогической, научно-методической, философской литературы раскрывается смысл категории «идея» с философской и математической точек зрения исследуются проблемы изучения фундаментальных понятий в школе, теоретически обосновываются возможности применения основных идей при изучении фундаментальных понятий математического анализа в школе.

Параграф 1.1 раскрывает категорию «идея» с философской и математической точек зрения. Категория «идея» имеет фундаментальное значение в познании и научном поиске, являясь одновременно итогом и двигателем логического мышления. Для раскрытия логической природы идеи, ее сущности даны этапы ее формирования в процессе развития философии и научного познания.

В возникновении, формировании, обосновании и реализации идеи можно условно выделить несколько этапов: 1) сам процесс зарождения идеи как формы мысли, в которой предмет не только отражается, но и усовершенствуется по логике должного; 2) уточнение, конкретизация идеи, наполнение ее новым содер-

жанием; 3) рождение новых идей на базе данной теории, зарождение теории, превращение в принцип; 4) трансформация идеи при переходе от одной теории к другой; 5) реализация идеи на практике, воплощение ее в предметной форме, что выясняет окончательно ее истинность и ценность.

Идея, с точки зрения познания и, в частности, применительно к математике, будучи формой отражения в мысли явлений и процессов объективной действительности, включает в себя сознание цели последующего познания и преобразования объективной реальности. Идеи зачастую выступают как принципы объяснения явлений и процессов и в итоге обобщают опыт предшествующего развития знания.

Идея не только отражает то, что есть, но и предсказывает то, что должно быть. Цель познания - дать не только репродуктивный образ, но и достроить объект до логики должного по его параметрам. Эта важнейшая функция и осуществляется в идее как понятии разума.

Идея есть прообраз теории, теория в свернутом виде. Явившись в виде гипотезы, формы разрешения противоречия, идея должна быть в известном смысле доказана, прежде чем перерасти в принцип, на котором строится теория. Включаясь в теорию, идея становится принципом. Но в отличие от принципа она имеет более общий характер, не связана с теорией жестко.

В параграфе 12 исследуются проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа.

Изучение основ математического анализа в школе и, прежде всего, усвоение учащимися его основных фундаментальных понятий сопряжено с определенными трудностями. Богатство содержания, новизна идей, большое число новых сложных понятий и своеобразных методов оказываются трудно преодолимой для учащихся проблемой. Учащиеся испытывают значительные трудности в понимании методов рассуждений, в логических схемах построений теорий, принятых уровнях научности изложения материала. При прослеживании истории развития математического образования в школе выявляется наличие серьезных

проблем изучения элементов математического анализа, в следствие которых последние периодически то включались в школьную программу, то извлекались из нее.

При проведении школьной реформы в начале 1970-х гг. в очередной раз в математическую образовательную программу были введены элементы математического анализа. Основными недостатками изложения теоретического материала в учебных пособиях было то, что в школьное обучение была перенесена (в основном) вузовская методика их изложения, уровень строгости этого изложения явно превышал допустимый уровень строгости изложения материала, предназначенного для обязательного изучения всеми учащимися. Трудности, возникшие в усвоении основных понятий начал анализа, привели к слабым и формальным знаниям, к низкому уровню понимания материала. Это, в свою очередь в дальнейшем, послужило основой для исключения ряда вопросов математического анализа из школьной программы.

В настоящее время наблюдаются противоречия между требованиями к уровню подготовки выпускников и обязательным минимумом содержания образовательной программы, что становится препятствием к достижению целей изучения математики, в частности, приводит к идейному и методологическому обеднению школьных начал анализа, формальному усвоению их учащимися.

Современная математика далеко ушла от первоначального интуитивного понимания и использования идей и понятий математического анализа. Однако для начинающих полезно выбрать соответствующий уровень строгости представления изучения понятий и фактов - это будет соответствовать историческому подходу к обучению математике.

Наглядно-геометрическое воображение, основанное на геометрической интуиции, способно помочь учащимся осознать различные аналитические построения в школьных началах анализа. Этот факт предполагается использовать при введении ряда основных понятий начал анализа в школе.

Параграф 1.3 теоретически обосновывает применение основных идей при изучении фундаментальных понятий математического анализа в школе.

Восприятие объектов, новых понятий облегчается, если они расположены в определенной системе, требующей минимальных усилий со стороны наших органов чувств. Восприятие объектов, расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий. Одна из трудностей основ математического анализа для школьников состоит в том, что новое, получаемое учащимися из анализа, плохо увязывается с уже известным им. Здесь связующим звеном являются основные идеи математического анализа. Идея пронизывает всю теорию, осуществляя функцию синтезирования. Вместе с тем она не только отражает реальную действительность, но и прогнозирует дальнейшее развитие теории. Наглядность содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможности их выражения в различных пригодных для восприятия формах, позволяет задействовать образное мышление учащихся, что значительно облегчает усвоение начал анализа. Богатство выразительных средств представления его идей, отсутствие необходимости предварительного усвоения операционной стороны дает возможность осуществлять их изучение раньше, до знакомства с понятиями, на самом первом этапе. При этом осознание идеи наступает раньше, чем усвоено полное содержание понятия. Это создает базу для понимания.

В рамках теоретико-множественного направления определились основные идеи, получившие отражение и в школьных началах анализа: это идея соответствия между множествами, окрестности, близости, локальной линеаризации, меры и пространства.

Соответствия и различные их виды дают материал для изучения функций (отображений), обратных отображений и композиций отображений.

Идея окрестности используется достаточно широко, в частности, при изучении континуальных множеств, позволяет осветить ряд вопросов, относящихся к структуре важнейших типов таких множеств.

Идея близости сравнительной взаимоудаленности для элементов множества позволяет отразить вопросы, связанные с предельным переходом и непрерывностью, рассмотреть различные подходы к построению теории пределов, отображений, а также локального и глобального подходов к понятию непрерывности.

Различные пути построения основ дифференциального исчисления и некоторые другие вопросы могут быть обсуждены в рамках идеи локальной линеаризации отображений.

Идея меры позволяет рассмотреть ряд вопросов проблемы измерения, различных путей построения основ интегрального исчисления, включая и общую идею интеграла.

Во второй главе «Методика реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьном математическом образовании» обоснованы и разработаны методики изучения в школе основных фундаментальных понятий математического анализа на базе основных идей (соответствия, окрестности, близости, локальной линеаризации, меры), а именно: понятия функции, предела, а также связанного с ним понятия непрерывности; основ дифференциального исчисления в рамках понятий производной, дифференциала и дифференцируе-мости функции; понятия интеграла.

Параграф 2.1 посвящен методике изучения понятия функции на базе идеи соответствия.

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики - одно из крупнейших достижений современной методики. Понятие функции является стержнем, вокруг которого группируются почти все вопросы школьного курса алгебры и начал анализа. В параграфе рассматриваются различные подходы к введению понятия функции в школе, среди которых определяющими являются генетический, классический и логический, теоретико-множественный. Анализ ряда учебных школьных пособий выявил, что здесь нашли отражение и классический и теоретико-множественный подходы. И хотя

теоретико-множественный подход постепенно становится доминирующим в старших классах и особенно в вузах, тем не менее нельзя в школьном образовании вовсе отказаться от классического подхода в младших классах, который будет служить подготовительным этапом в формировании понятия функции на идее соответствия.

Далее предлагается свой поэтапный метод введения понятия функции. Предложенные этапы логически соответствуют заявленным в работе этапам возникновения, формирования, обоснования и реализации идеи, в данном случае идеи «соответствия». Выявляя сложности изучения понятия функции, подчеркивается, что функцию порождают не аналитические выражения, а закономерности объективного мира, отражающие в математике идею функциональной связи, зависимости, которые значительно шире, глубже и содержательнее аналитических выражений, математических формул.

Параграф 2 2 посвящен методике изучения второго важнейшего понятия математического анализа - понятия предела, которое лежит в основе метода пределов, основного метода математического анализа и его школьных начал и связанного с ним понятия непрерывности.

Изучение понятий предела и непрерывности реализуется в рамках идей окрестности и близости. Понятие окрестности рассматривается в рамках одномерного математического анализа Изучение таких понятий, как сходимость, непрерывность и др. показывает, что они могут быть описаны в терминах окрестности точки. Идею окрестности следует принять в качестве основной при изучении в частности множества R действительных чисел, которое, как известно, при одних условиях может рассматриваться как топологическое пространство, а при других - после метризации - как метрическое пространство R.

Идея близости понимается как сравнительная взаимоудаленность для элементов множества при изучении отображений, особенно тогда, когда достаточная близость элементов в одном множестве при отображении обеспечивает заданную близость соответствующих элементов в другом множестве. Идея близо-

emu является определяющей в важных понятиях начал анализа - непрерывности и предела.

Далее, предлагается разрешить задачу унификации двух разновидностей предельных переходов (предел последовательности и предел функции в точке), обращаясь к понятию предела переменной х в заданном процессе её изменения. Определение предела функции также, как и определение предела последовательности укладывается в рамки предлагаемой формы определения предела переменной, при этом выделяются два эквивалентных варианта определения:

1) опирающееся на окрестностное, «геометризированное» определение предела переменной х в заданном процессе ее изменения;

2) опирающееся на аналитическое определение предела переменной х.

В понятии непрерывности функции отражена идея близости. Для непрерывности функции важно, чтобы достаточно малому изменению аргумента соответствовало бы сколь угодно малое изменение функции. Понятие непрерывности функции в точке предлагается формировать, создавая представление о разрыве, а также сравнивая с понятием предела функции в точке.

В параграфе 2.3 проводится анализ методики изучения основ дифференциального исчисления в рамках понятий производной, дифференциала и диф-ференцируемости функции. В большинстве учебных руководств по математическому анализу, а также в практике преподавания функций одной переменной производная служит в качестве первичного понятия, а понятие дифференциала и дифференцируемости функций определяются с привлечением понятия производной. Однако не исключаются и другие варианты построения основ дифференциального исчисления, в которых в качестве первичных понятий могут служить и понятие дифференциала, и понятие дифференцируемости функции.

В общеобразовательной (базового, физико-математического уровня) школе и в классах с углубленным изучением математики производная занимает главное место. Введению ее также способствует школьный курс физики, в котором учащиеся знакомятся с понятием мгновенной скорости на интуитив-

ном уровне до введения понятия производной на уроках математики. Таким образом, производная предстает в результате абстракции при рассмотрении локальной характеристики процесса объективной действительности. Это позволяет в соответствии с общей задачей математического анализа и его приложений, т.е. процесса изменения функций, представить производную в своем универсальном значении - как скорости изменения функции.

В параграфе раскрывается важнейшая идея, заложенная в дифференциальном исчислении, идея локальной линеаризации отображений (функций). Суть идеи - замена в окрестности точки Ха функции Дх) линейной функции g(.x) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости,

чем х-хо, при х-*х0.

В параграфе 2.4 рассматривается методика изучения понятия интеграла. Понятие интеграла исторически возникло в связи с проблемой измерения площадей и объемов (квадратура и кубатура). Очевидно, что важнейшей идеей, лежащей в основе понятия интеграла, является идея меры. Мера множества, представляющая собой обобщение понятия длины промежутка, площади фигуры, объема тела, которая интуитивно ассоциируется с понятием массы множества при некотором распределении ее в пространстве, возникла в теории функций действительного переменного в связи с изучением и обобщением понятия интеграла.

Интегральное исчисление, занимающее одно из центральных мест в математическом анализе, исторически развивалось независимо от дифференциального исчисления, но затем оказалось связанным с ним взаимной обратимостью основных их проблем. Взаимосвязь между этими двумя основными разделами математического анализа нашла отражение в методике изложения вопросов интегрального исчисления. В одних случаях, отдавая предпочтение логической стройности изложения, интегрирование определяют как операцию, обратную дифференцированию, в других, следуя историческому пути развития этих двух понятий, обе операции определяют независимо друг от друга и лишь затем

устанавливают связь между ними. Различают также разные подходы к порядку изложения учения об интеграле: 1) определенный интеграл первообразная неопределенный интеграл; 2) первообразная неопределенный интеграл определенный интеграл.

Оба способа построения интегрального исчисления с формальнологической точки зрения равноправны и, вместе с тем, отличаются с педагогических позиций. Второй подход более соответствует логическим, идейным целям задач преподавания, первый - прикладным направлениям интересов учащихся. Второму способу построения учения об интеграле отдается большее предпочтение в школьном образовании. Операция интегрирования, представляющая собой обращение операции дифференцирования, связывает два главных раздела математического анализа. Общая задача восстановления функции по ее производной или дифференциалу рассматривается в виде постановки конкретных задач (геометрической и физической).

Понятие определенного интеграла в средней школе во многих учебниках и методических пособиях трактуется как предел интегральных сумм. Выбранный конструктивный подход обеспечивает понимание генезиса понятия интеграла и в дальнейшем сохраняет единство в построении обыкновенного и «многомерного» интегралов, а также интегралов более общей природы.

В параграфе 2.5 главы анализируются результаты дидактического эксперимента. Исследование проводилось с использованием гипотетико-дедуктивного метода, основанного на наблюдении и эксперименте. Целью исследования стало выявление причин недостаточной подготовленности выпускников средних школ по началам математического анализа и попытка наметить пути устранения этих недостатков.

Данная исследовательская работа проводилась с 1999 по 2003 гг. на базе некоторых школ города Астрахани (СШ № 32 - физико-математическая школа, Школа Одаренных детей, лицей № 3) и Астраханской области (Икрянинская

СОШ, Мумринская СОШ), на спецкурсах с учащимися 10-11 классов при АГТУ. Работа проводилась в три этапа.

В ходе поисково-констатирующего эксперимента проведено:

1) исследование психолого-педагогической литературы по поставленной проблеме;

2) изучение опыта работы учителей средней школы по преподаванию начал математического анализа и состояния обучения этому курсу;

3) исследование школьного курса математического анализа;

4) уточнение проблемы исследования и выявлены возможности реализации идейного потенциала математического анализа при изучении основных фундаментальных понятий начал анализа в школе.

В процессе формирующего эксперимента происходило внедрение разработанной нами методики в учебный процесс отдельных классов некоторых школ города Астрахани и области. В ходе эксперимента:

1) отобранный методический материал подвергался «шлифовке», опытной проверке объёма и содержания;

2) совершенствовалась методика преподавания;

3) проводился сравнительный анализ успеваемости учащихся при различных вариантах изложения материала.

Преимущество экспериментального обучения по сравнению с традиционным подверглось проверке с помощью Р-критерия Фишера в рамках дисперсионного анализа. Статистическая проверка подтвердила положительные результаты и отвергла их случайность.

Количественно-качественный анализ результатов проведённого дидактического эксперимента по теме исследования показывает:

1) содержание математики в отличие от других предметов не знакомит учащихся даже описательно, фрагментарно с современным состоянием науки;

2) качественная фундаментальная подготовка выпускника средней школы требует дальнейшего совершенствования; следствием недостаточной подготовки

является плохое владение фактическим материалом, неумение логически мыслить, отличать истинное рассуждение от ложного, необходимые условия от достаточных;

3) успешное усвоение начал анализа учащимися в школе возможно при соответствии его научно-теоретического уровня возможностям учащихся;

4) реализация идейного потенциала основ математического анализа в школе показала положительные результаты, что проявилось в существенном отличии показателя уровня знаний по математическому анализу учащихся экспериментальной группы в сравнении с таковыми контрольной группы, статистической значимостью полученных экспериментальных данных.

Основные результаты исследования.

1. На основе анализа философской, научно-методической и психолого-педагогической литературы раскрыто содержание понятия «идея»:

• идея возникает при переходе от эмпирического уровня знаний к теоретическому, когда возникает необходимость определить единое основание, базу рассматриваемых явлений (понятий);

• идея присутствует на всех этапах построения теории, осуществляя функцию синтезирования. Идея не только отражает реальную действительность, но и прогнозирует дальнейшее развитие теории;

• процесс формирования теоретического знания можно рассматривать как процесс осуществления идеи.

2. На основе анализа учебно-методической, психолого-педагогической литературы, школьных программ и пособий, опыта работы преподавателей, исследовательского эксперимента в школе и в вузе выявлены проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа в школе.

3. Дано теоретическое обоснование реализации идейного потенциала основ математического анализа при изучении фундаментальных понятий математического анализа в школе.

4. В теоретико-прикладном аспекте разработана методика реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьном математическом образовании:

• понятие функции построено на идее соответствия между множествами;

• изучение понятий предела и непрерывности реализовывается в рамках идей окрестности и близости;

• при изучении основ дифференциального исчисления раскрывается важнейшая идея - идея локальной линеаризации отображений;

• понятие интеграла строится на основе идеи меры (измерения).

Все перечисленные факты говорят о достаточной эффективности реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики, а также об адекватности выбранных нами форм, методов и средств, используемых в процессе обучения, основным целям и задачам подготовки выпускника школы.

В заключении обобщены результаты исследования в логике сформулированных во введении задач, изложены его выводы, подтверждающие гипотезу и положения, выносимые на защиту.

В приложениях выборочно даны материалы практического характера. Основное содержание диссертации отражено в 7 публикациях общим объёмом 3,4 пл.

1. Кенжалиева С.З. Интуиция и логика при изучении основных понятий начала анализа // Содержание школьного образования: цели и пути их реализации: Тез. докл. III научно-практич. конф. ШОД. Астрахань: Изд-во АОИУУ, 1999. -0,1 п.л.

2. Кенжалиева С.З. О понятии предела в школьных началах анализа // Ученые записки. Мат-лы докл. итог. науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2001.-0,6 пл.

3. Кенжалиева С.З. Об изучении понятия функции в школе // Тез. докл. итог, науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2001.-0,1 пл.

4. Кенжалиева С.З. Научно-методический анализ использования основных идей математического анализа при преподавании в школе // Тез. докл. итог, науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2002. - 0,1 пл.

5. Кенжалиева С.З. Идея локальной линеаризации при изучении основ дифференциального исчисления // Образование. Экология. Экономика. Информатика: Тез. докл. VIII Междунар. конф. Сер. Нелинейный мир. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2003. - 0,1 пл.

6. Понятие предела в школьном курсе начал анализа: Методические рекомендации / Сост. С.З. Кенжалиева. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет», 2004. - 1,9 п.л.

7. Кенжалиева С.З. Экспериментальное обоснование эффективности реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование // Ученые записки. Мат-лы докл. итог. науч. конф. АГУ. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет», 2004. - 0,5 пл.

Подписано в печать 18.10.2004 г. Тираж 100 экз. Заказ № 612. Уч.-изд. л. 1,0. Усл. печ. л. 0,9.

Издательский дом «Астраханский университет» 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20 Тел. (8512) 54-01-89,54-01-87, факс (8512) 25-17-18, e-mail: asupiess@yandex.nl

#20028

РНБ Русский фонд

2005-4 15730

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Кенжалиева, Светлана Заировна, 2004 год

Введение.

Глава 1. Научно-методический анализ реализации идейного потенциала основ математического анализа при обучении математике в школе.

1.1. Категория «идея» с философской и математической точек зрения.

1.2. Проблемы изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе.

1.3. Теоретическое обоснование реализации идейного потенциала основ математического анализа при изучении фундаментальных понятий начал анализа в школе.

Глава 2. Методика реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьном математическом образовании.

2.1. Методика изучения понятия функции на базе идеи соответствия

2.2. Методика изучения понятий предела и непрерывности на базе идей близости и окрестности.

2.3. Методика изучения основ дифференциального исчисления на базе идеи локальной линеаризации отображений.

2.4. Методика изучения понятия интеграла на базе идеи меры

2.5. Экспериментальная работа по реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование

Введение диссертации по педагогике, на тему "Теория и методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики"

В определении целей общего математического образования всегда соседствовали два направления:

1) утилитарное, нацеленное на потребности в применении математики в практической жизни;

2) концептуальное, нацеленное на усиление роли математики в общем развитии человека.

В 50-90-х гг. XX в. в школьном математическом образовании преобладал первый, прагматический подход, что было обусловлено особенностями состояния общества в этот период. Изменения, происходящие в последние десятилетия, диктуют явный перевес концептуальных целей обучения, причем эта тенденция в ближайшем будущем очевидно будет только усиливаться.

На данный момент еще более актуальны слова великого Платона «Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счёта, причём заниматься им они должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел - не ради для купли-продажи,. и чтобы облегчить самой душе её обращение от становления к истинному бытию» [153, с. 308].

Здесь в очередной раз проявляется величие философа - одной ёмкой фразой он указывает на место и роль математики в жизни человека.

Далее, в предисловии к программам по математике для средней школы 1918 года написано: «Курс математики строится, проводится в своей про-грамме-минимум не столько в интересах будущих техников, химиков, статистов и т. п., сколько в целях пополнения тех недостающих звеньев в системе гуманитарного образования, понимая последнее в широком смысле слова, какие может дать только математика».

Мы всецело соглашаемся со словами известного математика и педагога A.M. Абрамова, сказанными на заседании Московского математического общества 5 октября 1999 г.: «Надо посмотреть на математику с точки зрения ее места в общей картине образования. Математика должна быть средством воспитания личности. Но тогда это должна быть другая математика. Она будет сосредоточиваться на тех видах, которые «ум в порядок приводят», а не на тех знаниях, которые помогают один раз в жизни в течение пяти часов решить тригонометрические уравнения с параметром, а потом забыть все это, как кошмарный сон. В конечном счете нужно повысить его идейное содержание, его привлекательность для школьников и показать его тесную связь с другими предметами» [86, с. 3].

Таким образом, на сегодняшний день в школьном математическом образовании наблюдаются следующие противоречия:

- разрыв между уровнем развития современной математики и состоянием математического образования в школе;

- разрыв между уровнем математических знаний выпускников школы и требованиями вузов;

- требованиями к уровню подготовки школьников и обязательным минимумом содержания образовательной программы;

- требованиями современности (действительности, жизни) и реальными знаниями учащихся.

На профильном уровне на первое место выходит:

- формирование представлений об идеях и методах математики;

- воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; [178, с. 12].

Итак, на сегодняшний день одна из актуальных задач - построение школьной математики на идейной основе. В вопросе разрешения этой проблемы должен сыграть математический анализ, обеспечивающий метод для количественного исследования процессов изменения, движения зависимостей одних величин от других. Наличие основ математического анализа, в частности его основных фундаментальных понятий, в средних школах разных типов повышает идейно-теоретический уровень школьного курса математики, приближает его к современной математике и «.сколько-нибудь удовлетворительное завершенное изложение элементарных основ математической науки без этих основных понятий следует признать немыслимым при современном состоянии науки» [203, с. 7].

Выдающийся математик первой половины XIX в. М.В. Остроградский первым поднял вопрос о введении элементов математического анализа в школах России. Ученый резко критиковал формальный стиль обучения, когда от учащихся скрыт подлинный смысл математических операций, когда им не показывается связь предмета с практикой. Он подчеркивал значение сведений по истории науки, поскольку они имеют большое воспитывающее воздействие.

Исходя из этих рассуждений, на наш взгляд, весьма неоправданными являются доводы, предъявляемые в пользу исключения из школьного математического образования некоторых вопросов начал математического анализа, а именно - теории пределов, интеграла. Надо лишь несколько изменить подход к их преподаванию, причем в профильных классах: гуманитарных, естественно-экономических, математических - этот подход должен быть соответственно дифференцированным.

Преподавание начал анализа в школе даже в классах с углубленным изучением математики процедура очень не простая. Трудности возникают, прежде всего, в том, что учащиеся оказываются неподготовленными к восприятию нового содержания, богатого сложными понятиями и своеобразными методами рассуждений. Учащиеся не имеют представления о тех идеях, в рамках которых сформировались основные понятия, методы и факты, лежащие в основе математического анализа и его школьных начал. Здесь, как нам представляется, следует руководствоваться педагогическим наследием выдающегося математика и методиста А.Я. Хинчина, который всегда старался обстоятельно раскрывать принципиальные моменты излагаемой дисциплины, говорить о тенденциях, проблемах, целях и методах, о связях ведущих идей между собой и об основных понятиях в рамках этих идей с приложениями, что чрезвычайно важно в общеобразовательном процессе. Наконец, у учащихся к началу изучения математического анализа недостаточно подготовлена теоретико-множественная база, которая, как известно, лежит в основе всей современной математики. Трудности у учащихся возникают и при рассмотрении трактовки понятия бесконечности. Учащиеся осознают бесконечность в форме потенциальной бесконечности, и осознают ее значительно раньше, чем актуальную. Для их интуиции потенциальная бесконечность более естественна и очевидна. Учащиеся воспринимают ее как становящуюся, процессуальную бесконечность, как неограниченный процесс построения математических объектов. Поэтому на вопрос: «Может ли бесконечное множество быть ограниченным?» учащиеся как правило отвечают: «Нет».

В практике преподавания приходится проявлять немало стараний, чтобы учащиеся поняли, что актуальная бесконечность возникает в результате процесса идеализации, состоящего в том, что о бесконечном множестве ведутся рассуждения как о конечном.

Основные идеи математического анализа являются важным связующим звеном между ранее известной школьникам теорией и фундаментальными понятиями начал математического анализа, которые еще надо изучить, они пронизывают всю теорию и осуществляют функцию синтезирования, а также прогнозируют дальнейшее развитие теории. Наглядность содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможности их выражения в различных пригодных для восприятия формах, позволяют задействовать образное мышление учащихся, что, на наш взгляд, значительно облегчает усвоение начал анализа.

Начать обучение математическому анализу необходимо с раскрытия заложенных в нем идей. Это дает возможность установить связи между изучаемыми понятиями, между идеями и понятиями, между различными идеями, проследить исторический путь формирования понятий (а ученику - индивидуально повторить этот путь в процессе познания), приблизить теорию к ее практическому применению.

Речь идет о некоторых идеях, определившихся в математическом анализе в рамках теоретико-множественной основы и получивших отражение в школьных началах анализа: это идея соответствия между множествами, окрестности, близости, т.е. сравнительной взаимоудаленности для элементов множества, локальной линеаризации отображений, меры.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: определение путей совершенствования методики обучения началам анализа в школе, через реализацию идейного потенциала математического анализа.

- фундаментальностью значения идеи в познании и научном поиске, где она является одновременно итогом и двигателем логического процесса; пронизывает всю теорию, осуществляя функцию синтезирования;

- ролью связующего звена между ранее известной школьникам теорией и новыми абстрактными понятиями начал анализа;

- наглядностью содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможностью их выражения в различных пригодных для восприятия формах, что в свою очередь позволяет задействовать образное мышление учащихся;

- возможностью построения начал анализа в школе таким образом, чтобы научно-теоретический уровень соответствовал бы возможностям учащихся.

1) на основе анализа философской, научной и учебно-методической литературы, содержания школьного курса математического анализа, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить возможности реализации идейного потенциала при изучении основных фундаментальных понятий начал анализа в школе, выяснить характерные недостатки в знаниях учащихся и их причины с точки зрения исследуемой проблемы;

2) разработать методику формирования основных фундаментальных понятий математического анализа, реализуя его идейный потенциал: функция - идея соответствия, предел и непрерывность - идеи окрестности и близости, основы дифференциального исчисления - идея локальной линеаризации отображений, интеграл - идея меры;

3) осуществить экспериментальную проверку разработанной методики изучения основ математического анализа в школе и проверку гипотезы.

Теоретической основой исследования являются:

- теоретические и методические исследования в области школьных начал анализа (A.M. Абрамов, С.Н. Бернштейн, Ф. Клейн, А.Н. Колмогоров, В.И. Левин, А.И. Маркушевич, А.Г. Мордкович, Н.Г. Ованесов, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев и др.)

- идейный подход к содержанию основ математического анализа в школе (Ф. Клейн, Н.Г. Ованесов, А.Я. Хинчин)

- философские исследования категории идея и теории познания (И. Кант, Гегель, Платон, К. Маркс, Ф. Энгельс, В.Ф. Асмус, Ж.М. Абдиль-дин, И.Е. Ергалиев, Г.Г. Соловьёва и др.)

- психологическая теория умственного развития школьников (Ж. Ада-мар, Д.Н. Богоявленский, Л.М. Веккер, М. Вертгеймер, В.А. Ганзен, Л.В. Занков, А.Н. Лук, A.M. Матюшкин, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже)

- дидактические принципы обучения (С.И. Архангельский, В.М. Бра-дис, Л.И. Груденов, Г.Л. Луканкин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, П.М. Эрдни-ев и др.)

- концептуальные исследования в области творческой активности учащихся в процессе обучения (JI.C. Выготский, Т.В. Габай, В.В. Давыдов, А.П. Карп, Д. Пойя и др.)

- современные концепции гуманизации и гуманитаризации образования в том числе математического (Е.В. Бондаревская, Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, Т.С. Полякова, Г.И. Саранцев и др.)

Для решения этих задач были использованы методы исследования:

- анализ научно-математической, методической, психолого-педагогической, философской литературы по проблеме исследования;

- анализ учебных программ курса алгебры и начал математического анализа в средней школе, содержания учебников и учебных пособий данного курса;

- беседы с учителями школ и преподавателями вузов соответствующей дисциплины, участие в работе городского методического семинара учителей «Технология обучения математике» (рук. Доц. С.С. Тасмуратов) и методического семинара при Московском пед. государственном университете (рук. А.Г.Мордкович, В.А. Гусев);

- организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов, количественная и качественная обработка их результатов.

Исследования проводились в три этапа в период с 1999 по 2003 г.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты исследования докладывались и получили одобрение на методических семинарах аспирантов кафедры математического анализа АГПУ (1999-2002 гг., руководитель - проф. Н.Г. Ованесов) на городском семинаре учителей «Технология обучения математике» (1998-1999 гг., руководитель - доц. С.С. Тасмуратов), докладывались на научно-практической конференции Школы Одаренных Детей г. Астрахани (1999 г.), итоговых научных конференциях АГПУ (2000-2002 гг.), VIII Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (2003 г.). Внедрение научных результатов осуществлялась в процессе публикации статей, научно-методических материалов, а также в ходе экспериментальной работы в Школе Одаренных детей (г. Астрахань), в физико-математической школе № 32 (г. Астрахань), на спецкурсах с учащимися 10-11 классов при АГТУ, Мумринской средней школе (Астраханская область). Материалы работы использовались на лекционных и практических занятиях со студентами АГПУ и АГТУ.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в том, что впервые предпринята попытка построить изучение основ математического анализа в школе, реализуя его идейный потенциал. Дано научно-математическое обоснование целесообразности и правомерности применения основных идей математического анализа при обучении математике в школе. Сформированы основные положения методики изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе на базе основных идей.

Практическая значимость исследования обусловлена возможностью использования разработанных методических подходов и соответствующих рекомендации учителями в классах с углубленным изучением математики, в общеобразовательных классах, в лекциях для учителей и студентов, а также при совершенствовании школьных учебников и методических пособий.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обеспечивается: методологическими подходами к разработке теоретических основ исследования; использованием комплекса методов, соответствующих предмету исследования и адекватных поставленным целям и задачам; положительными результатами опытно-экспериментальной работы. Достоверность теоретического исследования подтверждается по критериям практической проверки, неопровергнутости теории практикой на данном этапе их развития, непротиворечивости логики исследования, контекстуальной достоверности. Достоверность практического компонента исследования обеспечена позитивными результатами его внедрения в практику преподавания начал анализа некоторых школ области, в практику преподавания методики математики в рамках специальности учитель математики Астраханского государственного университета, положительной его оценкой со стороны учителей математики и преподавателей математических кафедр. Достоверность эмпирического компонента исследования подтверждается статистической значимостью полученных экспериментальных данных, сочетанием количественного и качественного анализа.

Положения, выносимые на защиту:

1. Современное развитие математического образования направлено на доминирование концептуальных целей обучения, усиление роли математики в общем развитии человека. Преодоление разрыва между современным состоянием математической науки и школьным курсом математики обусловливает необходимость повысить его идейное содержание, что в свою очередь, с одной стороны, способствует разрешению ранее указанных противоречий в системе школьного математического образования, с другой - удовлетворяет целям изучения математики, сформулированным в стандарте среднего (полного) общего математического образования.

- соответствия между множествами (понятие функции);

- окрестности, близости, то есть сравнительной взаимноудалённости для элементов множества (понятия предела, непрерывности);

- локальной линеаризации отображений (понятие производной, основы дифференциального исчисления);

- меры (понятие интеграла, основы интегрального исчисления).

5. Реализация идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование показало свою эффективность, обеспечив повышение уровня знаний учащихся, установив связи между изучаемыми понятиями, приблизив теорию к её практическому применению.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ.

2. Кенжалиева С.З. О понятии предела в школьных началах анализа // Ученые записки. Мат-лы докл. итог. науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2001.-0,6 п.л.

3. Кенжалиева С.З. Об изучении понятия функции в школе // Тез. докл. итог, науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2001. - 0,1 п.л.

4. Кенжалиева С.З. Научно-методический анализ использования основных идей математического анализа при преподавании в школе // Тез. докл. итог. науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2002. - 0,1 п.л.

6. Понятие предела в школьном курсе начал анализа: Методические рекомендации / Сост. С.З. Кенжалиева. Астрахань: Изд-во «Астраханский Университет», 2004. - 1,9 п.л.

7. Кенжалиева С.З. Экспериментальное обоснование эффективности реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование // Ученые записки. Мат-лы докл. итог. науч. конф. АГУ. Астрахань: Изд-во «Астраханский Университет», 2004. -0,5 п.л.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии, пяти приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

Диссертационное исследование концептуальной основой имело философские положения категории идеи и теории познания, положения теории деятельности в развитии и обучении, дидактические принципы обучения, идейный подход к содержанию курса математического анализа в школе.

Проблемой исследования явилось определение путей совершенствования методики обучения началам анализа, используя основные идеи, а именно: идеи соответствия, окрестности, близости, локальной линеаризации, меры, и в их рамках фундаментальных понятий: функции, предела и непрерывности, производной и дифференциала, интеграла.

Цель исследования состояла в разработке методик реализации и использования этих путей при изучении начал математического анализа в средней школе. В результате проведённого исследования нами была достигнута основная цель, подтверждена выдвинутая гипотеза и получены позитивные результаты в решении всех поставленных задач. Проанализируем эти позитивные результаты:

1. Научно-методический анализ реализации идейного потенциала основ математического анализа при обучении математике в школе позволил прийти к следующим выводам:

- идея, будучи формой отражения в мысли явлений и процессов объективной действительности, включает в себя сознание цели последующего познания и преобразования объективной реальности. Идеи выступают как принципы объяснения явлений и процессов и в итоге обобщают опыт предшествующего развития знания;

- основные идеи математического анализа являются важным связующим звеном между ранее известной школьникам теорией и фундаментальными понятиями начал математического анализа, которые ещё надо изучить, они пронизывают всю теорию и осуществляют функцию синтезирования, а также прогнозируют дальнейшее развитие теории;

- наглядность содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможности их выражения в различных пригодных для восприятия формах позволяют задействовать образное мышление учащихся, что значительно облегчает усвоение начал анализа;

- идейный подход при изложении начал анализа позволяет проследить исторический путь формирования понятия, а ученику индивидуально повторить этот путь в процессе познания.

2. Теоретико- методологический анализ проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа в школе выявил следующие моменты:

- изучение основ математического анализа в школе и, прежде всего, усвоение учащимися его основных фундаментальных понятий сопряжено с определёнными трудностями. Богатство содержания, новизна идей, большое число новых сложных понятий и своеобразных методов оказываются трудно преодолимой для учащихся преградой. Учащиеся испытывают значительные трудности в понимании методов рассуждений, в логических схемах построений теорий;

- новые понятия математического анализа плохо увязываются с известным материалом, создается иллюзия обособленности вопросов математического анализа от самой математики;

- наличие серьёзных проблем изучения элементов математического анализа подтверждается историей развития математического образования в школе, где мы наблюдаем непрекращающиеся дискуссии по данному вопросу и периодические включения и извлечения из школьной программы вопросов начал математического анализа.

3. Разработка методики формирования основных фундаментальных понятий математического анализа через реализацию идейного потенциала привела к:

- введению понятия функции на базе идеи соответствия между множествами. Выделено три этапа формирования понятия функции, предусмотрена также пропедевтика введения понятия;

- введению понятия предела и непрерывности на базе идей окрестности и близости, то есть сравнительной взаимноудалённости для элементов множества. Решена задача объединения различных разновидностей предельных переходов единой формой, по своему формально-логическому уровню приемлемой как для учащихся профильных классов, так и для учащихся базового уровня образования;

- построению основ дифференциального исчисления в рамках идеи локальной линеаризации отображений. Рассмотрены различные пути построения дифференциального исчисления, проанализирована возможность использования их в школах различного профиля.

- построению основ интегрального исчисления на базе идеи меры, что вполне оправданно с точек зрения логики и историзма. Мера множества, представляющая собой обобщение понятия длины промежутка, площади фигуры, объёма тела, которая интуитивно ассоциируется с понятием массы множества при некотором распределении её в пространстве, возникла в теории функции действительного аргумента в связи с изучением и обобщением понятия интеграла.

4. Проведение экспериментальной работы по реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование позволило сделать вывод о его высокой эффективности, что проявилось в:

- положительных результатах опытно-экспериментальной работы, существенном отличии показателей уровня знаний по математическому анализу учащихся экспериментальной группы в сравнении с таковыми контрольной группы, статистической значимостью полученных экспериментальных данных, сочетанием количественного и качественного анализа;

- достоверности и надёжности итогов формирующего эксперимента, которые обеспечены сложной его структурой, длительным временем проведения, постепенной апробацией разнообразных методик, устойчивой повторяемостью полученных на различных его фазах результатов.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Кенжалиева, Светлана Заировна, Астрахань

1. Абдильдин Ж.М., Ергалиев И.Е., Соловьева Г.Г. и др. Роль категории «идея» в научном познании. Алма-Ата: Наука, 1979.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970. 152 с.

3. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9-10 классов средней школы / Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1988. 335 с.

4. Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев и др.; Под ред. С.А. Теляковского: 2-е изд. М.: Просвещение, 1992. 271 с.

5. Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы / Ш.А. Алимов и др. М.: Просвещение, 1992. 223 с.

6. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы / Ш.А. Алимов и др.: 3-е изд. М.: Просвещение, 1994. 254 с.

7. Александров А.Д. Общий взгляд на математику // Математика, ее содержание, методы и значение. М., 1956. Т. I. С. 5-78.

8. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. С. 367.

9. Александров П.С. Математические открытия и их восприятие // Научное открытие и его восприятие. М.: Наука, 1971. С. 68-72.

10. Александров П.С. О некоторых направлениях развития математики и их значение для преподавания // На путях обновления школьной математики: Сб. ст. и материалов. М.: Просвещение, 1978. С. 7-13.

11. Антипов И.Н., Шварцбурд JI.C. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики. М.: Просвещение, 1978. 63 с.

12. Антонов Д.А. Пропедевтика основ математического анализа в курсе математики средней школы: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1982. 17 с.

13. Арнольд В.И. Математика и математическое образование в современном мире // Математическое образование. 1997. № 2. С. 22.

14. Арнольд В.И. Математика с человеческим лицом // Природа. 1998. № 3. С. 117.

15. Архангельский С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе. М: Высшая школа, 1974. 384 с.

16. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Мысль, 1965.312 с.

17. Аткинсон Ф., Баур Г., Кротерс Э. Введение в математическую теорию обучения. М.: Мир, 1969. 486 с.

18. Бабанский Ю.К. Как оптимизировать процесс обучения. М.: Знание, 1978. 48 с.

19. Башмаков М.И. Определение основных понятий анализа в школьных курсах математики // Математика в школе. 1988. № 3. С. 41.

20. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы: 2-е изд. М.: Просвещение, 1991. 351 с.

21. Белявский Л., Лисичкин В. Тайны предвидения: Прогностика и будущее. М.: Советская Россия, 1977. 160 с.

22. Берс Л. Математический анализ. Т 3. М.1975. 519 с.

23. Бим-Бад Б.М., Петровский А.В. Образование в контексте социализации //Педагогика. 1996. № 1. С. 117.

24. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: АПН РСФСР, 1959. 347 с.

25. Бондаревская Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования // Педагогика. 1997. № 4. С.11.

26. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями // Математика в школе. 1973. № 5. С. 45.

27. Болтянский В.Г. Анализ-поиск решения задачи // Математика в школе. 1974. № 1.С. 34.

28. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Учпедгиз, 1954. 504 с.

29. Бунге М. Интуиция и наука. М.: Прогресс, 1967. 187 с.

30. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. 455 с.

31. Бурбаки Н. Архитектура математики. М.: Знание, 1972.

32. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М.: Наука, 1987. 133с.

33. Веккер Л.М. Психические процессы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973. Ч. 1. 334 с.

34. Вертгеймер М. Продуктивное мышление / Пер. с англ.; Общ. ред. С.Ф. Горбова и В.П. Зинченко. М.: Прогресс, 1987. 336 с.

35. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики: 4-е изд. М.: Просвещение, 1995. 335 с.

36. Виленкин Н.Я. и др. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1985. 192 с.

37. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Пределы, непрерывность. М.: Просвещение, 1977. 79 с.

38. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Производная и интеграл. М.: Просвещение, 1976. 95 с.

39. Виленкин Н.Я. и др. Функция в природе и технике. М.: Просвещение, 1985. 192 с.

40. Власов А.К. Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего образования? // Математическое образование. 1997. № 3. С. 66.

41. Волков В.И. Об изучении темы «Предел последовательности» с учащимися 9-ых классов: Учёные записки. Т. 37. / В помощь учителю математики. Калининград: КГПИ, 1968. С. 76-81.

42. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб. ст. / Сост. Е.Г. Глаголева и О.С. Ивашев-Мусатов. М.: Просвещение, 1981. 255 с.43