автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Подготовка учителя начальных классов к формированию у младших школьников понятий числа и действий над числами

Автореферат диссертации по теме "Подготовка учителя начальных классов к формированию у младших школьников понятий числа и действий над числами"

«. МОСКОВСКИ!! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

¿V ОТКРЫТЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

-

,. -■» Специализированный Совет К 113.25.03

На правах рукописи

ШАДРИНА Прпва Веппаипповпа

ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ К ФОРМИРОВАНИЮ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПОНЯТИЙ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИИ НАД ЧИСЛАМИ

13.00.02 — методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание учепои степени кандидата педагогических паук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском государственном открытом педагогическом институте.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, профессор Л. П. СТОИЛОВА

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И. И. ЕАВРИН,

кандидат педагогических паук, старший научный сотрудник С. И. ВОЛКОВА

Ведущая организация — Тульский государственный педагогический институт.

Защита состоится .....1993 г. в ... часов

на заседании специализированного совета 'К 113.25.03 в Московском государственном открытом педагогическом институте по адресу: 109004, Москва, ул. Верхняя Радищевская, 16/8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного открытого педагогического института.

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь снехшадирпрованпого совета

В- Б- ГИСИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность исследования. В настоящее время методическая наука располагает результатам, использование которых в практике начального обучения математике мажет существенно улучшить качество математического образования младших школьников. В частности, это: курсы, построенные на идеях развивающего обучения /Д В. Закков, В. Е. Давыдов, Н. Б.Истомина и др./.новые предметы /например, математика и конструирование/, вариативные формы обучения. На внедрение достижений науки в практику школы идет трудно,несмотря на то, что учитель получил возможность самостоятельно выбирать как содержание так и методы обучения. Одна из причин такого положения - недостаточный уровень математической подготовки учителя начальных классов, так как полноценную реализацию новых методических и психолого-педагогических идей, принятых в той или иной системе обучения младиих школьников,молкт обеспечить только учитель, имеющий достаточную математическую подготовку, прежде всего, в области арифметики натуральных чисел как основы любого начального курса математики.^

Однако, наблюдения за работой учителей свидетельствует-об ограниченности их знаний по арифметике, что, естественно, сдерживает творческую свободу педагога при реиенш методических задач , возникающих в обучении младших школьников ,и нередко.приводит к ошибкам в их решении. Невысокий уровень знаний учителя о числе не только затрудняет введение в практику альтернативных программ и учебников, но и не позволяет эффективно использовать более совершенные методы обучения ', возможности развития личности школьника. Эти наблюдения подтвердило анкетирование учителей начальных классов с высшим образованием, проведенное в 1989 г. в *ряде школ г. Москвы. Оно выявило ограниченность и разрозненность их представлений о таких фундаментальных понятиях арифметики как число,операция над числами,позиционная система счисления и др. Так, натуральное число в подавляющем большинстве случаев мыслится только как мощность множества, представления о•позиционной системе счисления сводятся к знадию имен чисел некоторого отрезка натурального ряда в десятичной системе, счисления., понимание смысла арифметических действий - к знанию вычислительных . приемов,обоснование математической модели - к рассуаденшо вида: "Больше - значит, ¡:адо прибавить". Вообще,состояние

математической подготоьки учителя характеризуется отсутствием целостной системы аканий о числе. В то же время имеет место тенденция к уменьшению значения арифметики в математическом образовании, к снижению уровни ее преподавания,что аргументируется и "донауч-костью" ее содержания, к успехами вычислительной техники,и ее "элементарностью". При этом упускается из виду,что выполнение арифмети-' ческих операции над числами не является замкнутым, неразвивающимся занятием,а неизбежно влечет га собой необходимость рассматривать ' широкий круг теоретических вопросов.

Анализ сложившейся практики преподавания курса математики на факультете начальных классов г вузе показал,что п^грзммой 1986 г. предусматривается изучение натурального числа как конечного кардинального, как характеристики места в неограниченно продолжаемой последоЕзт.ельности, как меры величины; рассматриваются десятичная и другие псэи'шонныв системы счисления. В учебных пособиях по математике, написанных в соответствии с этой программой, указанные стороны числа обосновываются с помощью различных теорий, ' как правило, не связанных мезду собой. Однако, ни в программе ни в учебных пособиях не рассматриваются понятия ординального числа и числа как -элемента алгебраической системы. Знакомство с опытом преподавания арифметики ' в ра»Л1г-шых вузах показало,"- что наибольшее внимание уделяется ео-ретико-множественной модели 'числа. В связи с зтим возникают вопросы: какие модели натуральных чисел существенно важны для формирования у учителя целостной системы гнаний о числе,обеспечиваний ему ■ возможность продуктивной -творческой работы по .обучении младших ккольников арифметике натуральных чисел вне зависимости от конкретной методической системы, принятой в том или ином учебкике(програм- • ме) для сколи? Почему при подготовке учителя начальных классов нельзя ограничиться построением и изучением какой-нибудь одной модели" Как могут быть изучены эти существенно важные модели в учебном курсе?

. Таким сбрззом, практика современной начальной шалы с несбхо- _ димсотьк требует исследования. проблемы совершенствования вузовской подготовки учителя начальных классов в области арифметики натуральных чи:ел. Работ, содержащих конкретные пути ее резения, нег. }Ьтя в »чде 1гсс.-.ед?ьа.ч1!й имеются результаты, связанные с обоеметсдическгши •. пг.дхсл'д:.::: к математическому образованию учителя начальных .классов." Так, к к:с.:едсван;::: -Л. И Отсйгсв^а сфор^аированЬ!! к. о5оск?ьана прин-иигы сгСс;а ссдгржакия, в ра!сте К Н. Лавровой -- принципы построения .

системы упражнений, необходимых для усвоения курса. Исследование Е. Ф. Ефимова посвящено проблеме алгоритмической . подготовки учителя начальных классов. В ряде диссертаций / К. Абдуллаев.Е Ситаров / рассматриваются пути совершенствования геометрической подготовки будущего учителя.

Итак, актуальность темы исследования обусловлена необходимостью улучшения вузовского образования учителя в области арифметики натуральных чисел, . более полно отвечающего требованиям практики обучения математике младших школьников, а также отсутствием исследований в'этой области.

Объект исследования - процесс обучения математике студентов факультетов начальных классов - •

Предмэт исследования - зависимость меаду содержанием теш "Целые неотрицательные числа" в курсе математики факультета начальных классов и уровнем профессиональной подготовки учителя.

. Цель исследования - разработка и теоретическое обоснование содержания математической подготовки учителя начальных классов в области арифметик]! натуральных чисел, обеспечивающего целостную систему знаний о числе как основы для формирования у младших школьников понятий числа и действий над числами.

Для достижения- поставленной цели необходимо было решить следующие задачи :

1)■проанализировать состояние математической подготовки учителя в области арифметики натуральных чисел в вузе;

2) раеработать и обосновать содержание математической подготовки учителя в области арифметики натуральных чисел, обеспечивающее целостную систему знаний о числе; .

3) проверить в экпериментальном обучении доступность и эффективность предлагаемого содержания и соответствующей ему система задач.

Потребности обучения арифметике младсих школьников предполагают разносторонность знаний учителя о числе, умение ориентироваться в теоретических вопросах арифметики натуральных чисел, понимание гносеологических предпосылок понятия числа. Следовательно, ему необходимы знания обо всех онтологически значимых моделях натуральных чисел. На какой теоретической основе такие знания могут быть даны студенту ? Так как аксиоматический метод, являясь важнейшим методом современного естествознакя, дает возможность обосновать, свести воедино, обобщить имеющиеся у студента знания по арифметике, получить

новые ранее яеи?вестные и изучить различные модели натуральных чисел как интерпретации выбранной системы аксиом, го была принята следую-о;ая гипотеза исследования :

Если система знаний о числе, предъявляемая будущему учителю, направлена на усвоение им всех онтологически значимых моделей натуральных чисел как интерпретаций выбранной системы аксиом, то этим обеспечивается необходимая подготовка учителя начальных классов к формированию у младших школьников понятий числа и действий над числами.

Поставленные задачи . и выдвинутая гипйгеаа опредилили логику и методы исследования.

Ка первом этапе /1983-89гг. У изучалась математическая, философская,1 методическая и пснхолого-педагогическая литература по теме исследования, а так ж практика обучения младших школьников и студентов факультетов начальных классов в области арифметики натуральных чисел.' Целью этого этапа был поиск содержания обучения будущих учителей начальных классов.более полно отвечающего задачам их подготовки к формированию у младших школьников понятия числа в условиях новых требований, выдвигаемых современной школой. При этом использовались методы теоретического анализа , беседы с учителями, студентами, анкетирование.

На втором этапе /1989-90гг. / был создан"первый вариант изучения темы "Целые неотрицательные числа", включзкщтй рассмотрение числа" как характеристики места в неограниченна продолжаемой последовательности, как конечного кардинального , как конечного ординального, как элемента алгебраической системы,как элемента знаковой системы, как меры величены. Была разработана система упражнений , нацеленная на формирование у учителя целостной системы знаний о числе. Этот вариант был частично апробирован в поисковом эксперименте.

На третьем этапе /1930-92гг. / были проведены формирующий и к:нстати;усг;:й эксперименты, обобщены результаты, сделаны выводы, проведен: литературное оформление диссертации.

гагой исследования яеился факультет начальных классов ИЛЬ" им. Е. Л Ленина.

Чзучнад к:г:'.эна и теоретическая значимость исследования заключается:

1)ь рзгра'отке г. сбо:н:Еан::н новсго полхода к содержанию теш "Ц--ке: грглательнке числа" в вугоЕском кур се.учить:грэгно-

- Б -

образие систем.обучения математике младших школьников и расматрива-ыдем это содержание как целостную систему знаний о числе ;

2) в разработке системы упражнений, профессионально ориентированных и доступных студентам факультетов начальных классов.

Практическая значимость исследования заключается в следуш/эм: разработанное содержание и соответствующая ему система практических заданий способствует улучшению качества знаний будущих учителей начальных классов по арифметике натуральных чисел,вследствии чего совершенствуется подготовка учителя к формированию у младших школьников понятий числа и действий над числами. Предложенные в диссертационном исследовании материалы могут быть использованы при совер-шенствовашт программы и учебных пособий по математике для специальности 03.08"Шдагогика и методика начального обучения."

На защиту выносится:

1. Концепция построения содержания обучения учителя начальных классов в области арифметики натуральных чисел и ее реализация в вузовском курсе математики.

2. Основные принципы построения системы упражнений.

Апробация и • внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования были представлены автором на Ленинских чтениях в МПГУ им. К И. Ленина /1988,1990гг./, на межвузовском семинаре "Проблеш мегодико-математической подготовки учителя ■ начальных классов" под руководством профессора Е Б. Истоминой /1990,1991гг./, на заседании кафедры методики начального обучения МГОЯИ /1990,1992гг. /(зав. кафедрой профессор Л П. Стойлова). предложения, разработанные автором, используются,при чтении курсов математики на факультетах ьачальных классов МГЛУ им. Е И. Ленина, МГОПИ, Костромского педагогического института* им. а А. Некрасова.

Основные'результаты исследования нашли отражение в б публикациях в журналах, сборниках и учебно-методических пособиях.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, списка литературы и приложения / содержащего сборник практических заданий по теме "Целые -неотрицательные числа"/. г.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. '

Во введении обоснованы актуальность темы исследования, -сформулированы проблема и цель исследования, выделены объект и предмет исследования, сформулирована гипотеза, гоставлены задачи исиледова-

- б -

ния , охарактеризованы использованные методы, научная новизна и практическая значимость исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Б первой главе "Состояние подготовки учителя начальных классов в области арифметики натуральных чисел" рассматривается генезис понятия числа, особенности изучения натуральных чисел и действий над ними в начальных классах,состояние подготовки учителя в вузе.

В математике различные взгляды на природу числа были описаны, в конце XIX в. в виде следующих стандартных моделей: как системы знаков, с помощью которых числовую информации удобно фиксировать, хранить, предавать другим, выполнять на их основе арифметические операции; как характеристики места в "неограниченно продолжаемой последовательности; как характеристики того общего, что есть у всех подобных между собой множеств; как меры величины; как элементов некоторой алгебраической системы.

Для того, чтобы выяснеть, знания о каких из стандартных моделей числа необходимы учителю начальных классов, бьш проведен анализ практики изучения чисел и действий над ними в школе как отечественной, так и зарубежной. Выяснилось, что чаще всего используется подход, при котором число рассматривается как результат счета дискретно расположенных, но поддающихся упорядочению предметов или и?' э-рения некоторой величины, а десятичная система счисления - как наилучший способ именования чисел, дающий возможность доступным образом сформировать у школьников навыки вычислений. Еместе с тем, к проблеме раскрытия сущности и природы числа в начальном обучении постоянно обратно внимание ученых-методистов. Так, еще в 1911г. 1-й Всероссийский съезд учителей математики пригнал , что для успевного обучения арифметике необходимо уточнение гоносеологи-ческих предпосылок понятий числа, принятых в.системе обучения, а ведущим методой обучения арифметике на начальной ступени должка быть практическая работа в сочетании с графической наглядностью. Реформа математического образования 60-х годов вновь поставила вопрос: о необходимости более осознанного усвоения учзщимися смысла числа и действий над числами, В ряде исследований^было предложено взятЬ за. оснееу представление о конечном кардинальном числе. Это привело к включению е начальные курсы математики таких понятий как множество, элемент шп'лества.псджножесгва, операции над множествами. В капей стране эти идеи были реализованы в работах А. И. Малевича, К. И. Неи-ксва, А. Пкзкалс и др., за рубежом -Ф. Папи, Г. йэрсза, К. Кабеле и

др. Однако, уже в 70-е гг. такой подход подвергся критике,в связи с тем, что это.привело к формализму знаний и отрыву их от конкретных практических задач обучения. Поэтому 111 Международный конгресс по математическому образовании /1976г. / указал на необходимость поиска в обучении математике правильного соотношения между теоретическими знаниями и умениями прикладного характера. Следующий шаг в этом направлении был сделан на V Международном конгрессе /1984г./, который в качестве важнейшей цели обучения математике назвал формирование умения строить математические модели реально наблюдаемых явлений.

Современная методика обучения математике рассматривает моделирование 'как основной способ.деятельности учащегося в процессе усво-• ения математических понятий. Ясно, что используемые в процессе обучения модели должны как можно более точно отражать сущность изучаемого 'понятия и, следовательно, не могут быть построены лишь на интуитивной основе. Раскрытие смысла такого многостороннего понятия как натуральное число в,начальном обучении необходимо предполагает знание его различных'моделей. Например, в следующих предложениях: 1) у мамы 5 яблок; 2) ученик прочитал 5 страниц; 3) в доме- 5 этажей; 4) израсходовано б метров ткани,- смысл пяти существенно различен. А, именно: . 'В первом случае 5 есть характеристика мощности конечного множества; во втором 5 характеризует место в некоторой • последовательности (¡обытий, имеющей начало (прочитана первая страница) и возможность продолжения на каждом данном месте; в третьем 5 есть конечное порядковое число; . в четвертом - мера величины. Рассматривая вычитание как действие, обратное сложению (деление -умножению) , в начальном курсе математики используют алгебраический подход к понятии числа. В то же время, задачи практической деятельности. человека диктуют необходимость ., изучения знаковых числовых систем. ■ .

Таким образом, в начальном обучении реализуются различные взгляды на природу числа. Их суть в следующем.. Во-первых, понятие числа возникает при одновременном сойерцании различных предметов, находящихся в пространстве друг подле друга, причем это число различно в зависимости от того уйорядочены или нет рассматриваемые объекты. /Г. Кантор/. Во-вторых, число можно рассматривать как элемент развертывающейся во времени последовательности'событий/Дж. Пеано, Г. Вейль/. Е-третьих, число есть, свойство некоторых предметов, по которому любые два из них можно сравнивать /И. Ньютон, R Л. Лоба-

чевский/. Каждый из этих подходов к раскрытию смысла числа опирается на чувственное восприятие. С другой стороны, натуральный ряд известен лишь постольку, поскольку его' члены имеют определенные названия /Е.Гуссерль, Д. Гильберт/. Но найти для каждого отличимого множества, или места в последовательности, или величины специфическое название-эю совершенно другая, значительно более .сложная проблема,что показывает история развития систем счисления. Ее решение возможно только с помощью абстрактного мышления. Арифметические операции над числами, свойства которых однозначно определяют результаты вычислений независимо от того, 'каюк из приведенных выие суждений, положить в основу их изучения, не только позволяет рассматривать числа как некоторые'абстрактные объекты,природа которых безразлична, но и говорить о единственности натурального ряда.

В учебной литературе, предназначенной для подготовки учителя, описаны различные определения числа. Например, число понятие первоначальное и не требует и даже не допускает определения /К Я Еуня-ковский, 1844г./; число есть обозначение для количёства предметов некоторого множества ~/Э. Борель, 1311г. /; число есть частный случай величины /Н. И. Лобачевский, 1844г. /¡число есть имя того общего, что / есть у всех эквивалентных между собой множеств /Г. Вебер, П. Вэль-итейн, 1927г. /; число есть элемент вполне упорядоченного ком» та-тивного полукольца с единичным элементом отличным от нулевого /Е. Г. Гонин, 1959г /; число есть элемент системы Пгано /С. Фефер-ман,1971г./. Такое разнообразие подходов обусловлено генетически различными представлениями о природе числа. Ясно, что для построения некоторой дедуктивной теории достаточно выбрать вполне определенные генетические предпосылки , на основе которых могут быть доказаны все важяейше свойства натурального ряда, то есть можно ограничиться только одним подходом.

Так как в начальном обучении раскрывается различные характеристики числа, то это нашло отражение в программах и учебных пособиях по математике для студентов факультетов начальных классов и выразилось в отказе от изучения какой-либо одной теории натуральных чисел. Так, в соответствии с программой ,1936г. учителю необходимо знать, что число модно рассматривать как: 1/мощность - множества, 2'элемент системы Пеано, 3/иеру величины, 4/элемент знаковой системы. Не при геал;*гации этой программы в учебных пособиях происходило ли'з екеаение различных подходов, когда складывается элементы системы Г^ано, а вычитается мощности конечных шохеств /А. А. Столяр,

М, П, Лельчук/, либо различные теории излагаются независимо друг от друга"/А. С. Добротворский, Л. П. Ковригина и др./. 1^еодолеть указанные трудности не просто, хотя поиски способов изучения теории натуральных чисел будущими учителями начальных классов, свободных от выявленных недостатков, имеются. Например, в учебнике Л. П. Стойловой, Н. Я. Биленкина, Н. Н. Лавровой число определяемся как элемент системы Пеано, а затем показывается , что ему можно придать теоретико-множественное истолкование или рассматривать как югру- величины, а система счисления рассматривается как язык для именования чисел и выполнения действий над ниш. Однако, и в нем оказываются не связанными изучение числа как меры величины и элемента'неогранит ченяо продолжаемой последовательности, а вопросы е&пкри чисел рассматриваются независимо от принятых исходньк представлений. в' результате такого изучения арифметики у учителя не формируется цё- • лостнсй системы знаний с числе .что показали беседы с учителями., студентами, наблюдения за их работой, анкетирование. \ это приводит к догматическому использованию иы одических рекомендаций и неумелому их применения в практике" обучения младпих школьников арифметике натуральных чисел. ,

Во второй -главе "Изучение стандартных моделей, натуральных чисел в курсе математики факультета начальных классов", полагается содержание раздела "Целые неотрицательные числа", которое рэссмат-ривается как основа методико-мгтематическей подготовки-учителя начальных классов к формировании у младших школьника понятий числа и действий над числами.

Предлагаемая система удовлетворяет следугяям требованиям: -профессиональной направленности обучения; в соответствии с основная цель изучения данной темы рассматривается как усвое- • ние студентам) арифметических основ начального курса мзтематики;

-системности, ознзчат?й, что подлежащее изучению' содержание рассматривается как целостная система ряаний о числе. структурным-!! элементами которой являемся конкретные -модели натуральных чисел и отношение "быть системой Пгаво", а натуральное число о.пределя^тсч. некоторым набором снолств. . '

Указанные требования определил! следукцуп структуру курса. Л.Так как са;.й'е первые представления о числе связаны с пскяти-ем пс-ледсва?елья:стй /счет гр^а^кв ио^гг Зктг* сеуйктвдйя л;*гь тогда; ' тогда кмеетг-я некоторая этз£:як«п дтрчТгЛм^-.те. нением с -;стс;ог: и прсигксдится с^-т путем у^ан-.э.-.-нг.' у-ггхъ" ■

- 10 - __ нозначного соответствия между элементам:! исследуемого множества и начальным отрезком данной последовательности/', то изучение натуральных чисел начинается с изучения числовой последовательности, то есть с изучения числа как характеристики места в неограниченно продолжаемой последовательности. В связи с этим натуральное число определяется с помощью аксиом Пеана, описывающих свойство отношения "непосредственно следовать за" как функции, всюду определенной на некотором непустом множестве, с выделенным в нем элементом, и удовлетворяющей определенным условиям.

На этой основе- изучаются свойства числовой последовательности, арифметические операции и их свойства. Определяется отношение по' рядка и изучается его связь с арифметическими действиями, доказываются свойства архимедовости и дискретности порядка.

2. На основе определения конечного множества как множества, равномогдаого некоторому отрезку натурального ряда, вводятся понятия конечного кардинального и конечного ординального чисел.' • Устанавливается, что множества таких чисел образуют систему Шанб. Г Изучаются арифметические действия над этими числами.

3. Рассматривается понятие аддитивно-скалярной величины и дается понятие натурального числа как меры величина Доказываются свойства аддитивности и мультипликативности меры." Выясняется,. что число можно рассматривать как частный случай величины. Доказывается, что множество величин, кратных некоторой фиксированной величине, . образует систему Еэано. Изучаются арифметические операции в этом множестве., • ■. .

4. Изучается дискретное вполне упорядоченое множество с коммутативной и ассоциативной операцией, монотонной отнйсительно данного порядка, и единичным элементом, являющимся наименьшим, доказывается, что такая система является системой Шано. .

Б. Вводится понятие знаковой системы, ее синтаксиса и семантики. Изучается синтаксис позиционной системы счисления, по основанию, большему 1. Рассматривается отношение "непосредственно следовать за" на множестве элементов данной знаковой, системы. Вводятся понятия таблиц сложения и умножения и соответствующих, табличных случаев вычитания и деления. Изучаются алгоритмы арифметических действий на этом множестве. Показывается что каждая из изученных ранее моделей натуральных чисел является семантикой данной знаковой еистецы. Доказывается, что эта система образует систему Иеано.

6; На основе построенных моделей числа' изучаются различные

способы графического моделирования чисел и операций над ними доступным для младшего школьника способом. Изучается различные способы нахождения сумм, разностей, произведений, частных на основе смысла соответствующих действий в каждой иэ рассматриваемых моделей числа. Выясняется, что такой подход не связан с каким-либо вычислительным приемом, но сами приемы в;этом случае могут быть наглядно "открыты" учащимся. На основании анализа"ситуаций, . типичных для школьной практики, устанавливается', что в обучении решению' задач можно использовать соответствующие графические модели. Креме того, рассмотренные модели дают возможность изучать нумерацию чисел на основе практических действий. Цри -этом подчеркивается, • что исполь-. зуемые модели наглядным образом раскрывают суть абстрактных математических понятий, так как они не связаны с какими-либо конкретными* объектами, а моделируют числа а отношения между ниш. Этот подход-отражает суть современного взгляда на научный метод, кзк способ изучения выделенных кг реального мира идеальных объектов, но не самих конкретных объектов и отношений между ними.

Для .усвоения предложенного материала была'разработана система упражнений. Она состоит из двух, частей. Первую состарили задачи, в' процессе решения которых должно быть усвоено содержание- темы, а., вторую - задачи, цель которых - способствовать формированию умения применять получении? знания для теоретического анализа начального курса ».«атемагикн. Задачи второй группы были названы прикладными. Задачи первой группы обеспечивали: -формирование целостной системы з'еаний о числе;' ' -развитие математической культуры учите ля, з том числе,- умения производить мысленные эксперименты над абстрактно заданными объектами, самостоятельно применять полученные знания в новых ситуациях,• приобретать новые знания, умение производить математический и логический анали? изучаемого явленил, умение оперировать с- точно определенными объектами.-' - . ' .

Задачи второй группы были нацел?ны на формирование умений: -применять теоретические энънил для обоснования арифметически:-: • действий в тей или ин-г-й модели, числа;

-записывать число элементов ¿анного множества в . рагдичнкх системах счисления;

--?рсн:ь .графкчегкие"модели приметны:-: ситуаций, списюкмрт с помс-'чью'кетур-аг.ьгк-г чисел.' " •

Сяй'ск задач привоев з пршк.чгняя к л'лссертгш:::!.

t

В последнем параграфе второй главы описаны организация и результаты обучающего , эксперимента, проведенного на факультете- начальных классов ЫПЗУ им. Ленина в 1988-92 гг. Предлагаемая система 'подготовки .ориентирована на традиционные формы учебной деятельности студента- лекции, практические эанятия, самостоятельная работа Основная цель экспериментального обучения состояла в проверке доступности предлагаемой системы изучения арифметики натуральных чисел - и ее эффективности путем сравнеюи достигаемого эксперимен-. тэльной группой уровня осмысления теоретических основ начального курса математики с уровнем подготовки студентов, обучавшихся по программе 1986 г. Контрольную группу составили студенты другого потока того же курса

Результаты наблюдений ва студентами, анализ самостоятельных работ, которые предлагались студентам экспериментальной группы по каждой теме, анализ ответов на экзамене показали, что студенты усваивают предложенную систему знаний о числе и-арифметических действиях над числами. Для получения объективной и достоверной информации о качестве знаний студентов экспериментальной группы бьш использован педагогический тесг. Задания теста проверяли еформир-. ванность основных понятий, составляющих экспериментальный 'курс. Они составлялись так, чтобы отвечая на поставленный вопрос, студент должен был не только использовать соответствующие математические знания, но и решить задачу, связанную с обоснованием конкретного • вопроса начального курса обучения арифметике. Например, для ответа на вопрос: " Верно- ли, что сложение является операцией, обратной вычитанию? " необходимо было составить и решить два уравнения, основываясь на таких понятиях как сложение и вычитание, алгебраическая операция, обратная операция, сделать соответствующие выводы из полученного решения. Вместе с тем, этот вопрос важен с точки зрения профессиональной подготовки, так как для обоснования некоторых приемов вычитания в начальной школе используется "взаимосвязь между, сложением и вычитанием". Такая фраза неявно подразумевает, что и сложение является операцией, Обратной к вычитанию, а это неверно. . Результаты тестирования.показали, что около .80% студентов получили за каждый из 9 предложенных вопросов 3 или 4 балла, причем каждый из ответов оценивался б баллах от 0 - до 4. Следовательно, предлагаемое содержание обучения доступно студентам факультетов нз-чз^лфых классов. _ - '

Для сравнительного анализа уровней усвоения арифметических основ начального курса математики был разработан другой тест, предложенный как студентам экспериментальной, так и студентам контрольной групп. Этот тест должен был дать ответ на вопрос, какой подход к изучению раздела "Целые неотрицательные числа" предпочтительнее с точки зрения решения задачи подготовки учителя к профессиональной деятельности по формированию у младших школьников понятий -числа и действий над числами. С его помощью проверялась сформйрованность умения давать теоретическое обоснование основных вопросов школьного курса арифметики; выяснялось понимание студента),га, при решении каких задач школьного курса младшие школьники усваивают такие понятия как последовательность, число, арифметическая операция, свойства операций, синтаксис и семантику знэкоеой числовой системы. Напри-' мер, с помощью задания - "Подсчитать в троичной системе счисления: число элементов данного множества двумя способауи, не прибегая к переводу из десятичной в троичную систему счисления" проверялось • понимание студентами смысла числа как конечного кардинального; • кэк элемента последовательности; как знака в позиционной системе счисления; способов, какими такой знак мелет быть присвоен.кардинальному числу; -а также, понимание двоякой сущности процесса счета При решении задачи':' "Почему запись 8+4+3 корректна, а запись 8-4-51 не корректна?" студенты долдны были применить известные им свойства действий к анализу конкретны?: задач школьного . курса. Всего было предложено 11 задач, решение калдой оценивалось в баллах, от О до 4. Статистическая обработка полученных результатов дала еле Душке: средний балл -экспериментальной группы - 32.06, средний балл контрольной - 17.3, коэффициент корреляции - 0.96. Эти данные дакт г?нование утверждать, что предлагаемый подход к обучению студентов-арифметике натуралгных чисел предпочтительнее, чем трздтагиоякм'!. Качественный анализ результатов тестирования показал, что студен»« экспериментальной группы более полно ответили на поставленные вопросы, подтвердили свои ответы необходимая! рзссулдечпям/, в тс рое->/д как студенты контрольной группа ке только затруднялись оСосно^ать ответ, но к показали, что их представления о числе стгзнтшвгются. как правило, представлением о конечном кардинз.иьнсм числе. Что, к^к показана вьин, недостаточно с точки зрения прс^сспснзлько.Т подготовки '". формирован;:® у млалпг.п-. екольникое понятия числа и лейстпий над числзж.

Резу/кз! ы эк.слеркь'-гята поэьсллйт уг?*р«сагь. что ггтгглгз

содержание темы "Целые неотрицательные'числа" обеспечивает достаточный обгем -знаний о уислз, а система упражнений способствует формированию у студентов умения применять полученные знания к анализу арифметического материала начального курса математики.

Таким образом, в результате исследования:

- установлено, что ь любом начальном курсе математики исполь-ауют.ся различные гносеологические, суждения о числах, суть которых описана-в стандартных моделях, раскрывающих понятие натурального числа как: .

а/ характеристики места в неограниченно продолжаемой последовательности; *" -

б/характеристики мощности конечного•множества;

в/характеристики того' общего, что есть у всех подобных между собой множеств;

г/отношения двух однородных величин; . д/элемента знаковой системы;

е/ьлемента" алгебраической системы;

- установлено что учителя начальных классов недостаточно вла-' деют знаниями , о числе, »следствии чего испытывают затруднения в .анализе теоретических основ школьного курса арифметики при решении методических задач и, следовательно, недостаточно используют возможности курса математики для развития личности ребенка , , а вузовский курс не Обеспечивает подготовки, требуемой практикой современной школы ; .

-обосновано и разработано содержание раздела "Целые неотрицательные "числа", которое предполагает изучение всех стандартных моделей натуральных чисел как интерпретаций системы аксиом Пеано и которое-обеспечивает усвоение студентами теоретических основ начального курса арифметики натуральных чисел, выстроена последова-; тельносгь его изучения в курсе математики факультета начальных классов ;

-разработана система упражнений, нацеленная на усвоение изучаемого содержания и формирования профессиональных .умений, а также создающая основы для творческого подхода к решению задач развития учащихся средствами математики; ' •

- экспериментально доказана доступность и эффективность предложенного подхода к изучению арифметики натуральных чисел студентами факультета начальных классов. '

• '.Основное содержание диссертации отражено в следующих публика-'

о

ЦНЯХ:

1. ШсоОие по математике для студентов факультетов начальных классов. Часть 1-М..- Изд. МПГУ им. В. И. Ленина "Прометей", 1989. -215о. /в соавторстве/

2. Математическая подготовка учителя начальных классов к формированию у учащихся понятия натурального числа. -В сб.: Проблемы повышения эффективности подготовки учителя в условиях сокращенного срока обучения. -Ы.: Изд. МГ5ПИ, 1990.-е. 163-167./в созвторстве/'. '

3. Стандартные модели натуральных чисел в математической подготовке учителя начальных классов /Ленинские чтения/. Тезисы докладов по итогам научно-исследовательской работы за 1990г., - Часть 11. -Ы.: Изд. МПГУ им. Б. И. Ленина "Прометей", 1991г. -с."34. " ■

4. Содержание подготовительной работы к .изучению чисел. //Начальная школа-1991.-N8.-с. 35-37.

5. Изучение нумерации и предметний счет.//Шчальнал шко- • ла.-1991г.-М9.-с.'65-70.

6. Использование графических моделей для разъяснения смысла арифметических действий. //Начальная шкода. -1991г. -N12. с. 77-81.

¿Шесс.-^