Развитие эвристического и логического мышления старшеклассников в процессе обучения математике

Алешина, Наталья Петровна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Развитие эвристического и логического мышления старшеклассников в процессе обучения математике

Автореферат

Автор научной работы: Алешина, Наталья Петровна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Рязань
Год защиты: 2008
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Развитие эвристического и логического мышления старшеклассников в процессе обучения математике"

На правах рукописи

АЛЁШИНА Наталья Петровна

РАЗВИТИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО И ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ (НА ПРИМЕРЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ ЛОГИКИ СОЮЗОВ)

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск - 2008

003455340

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина»

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор Назиев Асланбек Хамидович

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Дорофеев Сергей Николаевич

кандидат педагогических наук, доцент Наумова Людмила Михайловна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Коломенский государственный педагогический институт»

Защита состоится «12» декабря 2008 года в Д часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева» по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а, ауд. 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева».

Автореферат разослан и размещен на сайте www.mordgpi.ru «-(5» ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Л. С. Капкаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одной из особенностей образования на современном этапе является усиление внимания к ученику. В связи с этим в определении целей образования учитываются не только потребности общества, но и потребности личности, что проявляется в двух аспектах характеристики целей: социальном, отражающем требования общества к образованию; и личностном, заключающемся в определении целей образования с позиции становления личности. Поэтому целью современного образования является предельно полное развитие тех способностей личности, которые нужны и ей и обществу, включение ее в социально ценную активность; обеспечение возможностей эффективного самообразования и за пределами образовательных систем1.

В связи с этим одной из приоритетных целей образования является интеллектуальное развитие учащихся. Весьма важную роль в этом развитии играет математическое образование, так как изучение математики вносит заметный вклад в умственное развитие человека, поскольку математика, как заметил ещё Дж. В. А. Юнг, даёт наиболее типичные, отчётливые и простые примеры приёмов мысли, представляющие исключительную важность для каждого, причём никакой другой учебный предмет не может сравниться с ней в этом отношении2.

В настоящее время точной формулировкой этих приёмов мысли занимается математическая логика. Отсюда может возникнуть мысль о включении в курс математики средней школы элементов математической логики. В явном виде это вряд ли возможно, ибо строгое изложение соответствующего фрагмента математической логики отличается высокой сложностью и требует привлечения обширных сведений о языке, понятиях предложения, высказывания, истинности-ложности, высказывательной схемы и т.д. Поэтому решение проблемы развития логического мышления школьников, как подчеркнул А. А. Столяр, «состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы необходимые элементы логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики -важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие»3.

' Бим-Бад Б. М., Петровский Л. В. Образование в контексте социализации //11едатгика. -1996.-Л'»4,-С. 3.

2 Юнг Дж. В. А. Юнг. Как преподавать математику? - М.: Госиздат, 191!. - С. 12.

1 Столяр Л.Л. Педагогика математики. Курс лекций. - Минск: Вышейшая школа, 1969. -

С. 20.

самым, и эвристическое мышление, - таков замысел нашего исследования. При этом мы ограничились рассмотрением лишь той части проблемы развития логического мышления, которая связана с логическими союзами; для аналогичного рассмотрения проблем, связанных с кванторами, требуется, на наш взгляд, отдельное исследование. А поскольку общепризнанно, что для развития мышления важнейшим средством является решение задач, именно задачи и были выбраны в качестве средства решения проблемы исследования, которая, в соответствии со всем сказанным выше, формулируется следующим образом: разработать теорию и методику развития эвристического и логического мышления в их единстве в процессе обучения математике посредством решения задач с помощью законов логики союзов.

A. М. Матюшкина, Я. А. Пономарева, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Ж. Адамара, Г. Биркгофа, Дж. Брунера, К. Дункера, Д. Пойа, А. Пуанкаре и других.

Логические проблемы обучения математике в школе и вузе изучали многие крупные отечественные и зарубежные математики и педагоги:

B. И. Арнольд, В. Г. Болтянский, А. В. Гладкий, Б. В. Гнеденко, Г. В. Дорофеев, Л. А. Калужнин, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, И. Лакатос, В. Л. Матросов, А.И.Маркушевич, И. Л. Никольская, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, В. А. Успенский, Л. М. Фридман, А. Я. Хинчин, Ф.Клейн, Д. Пойа, Г. Фройденталь и др.

Важный вклад в исследование рассматриваемых проблем внесли работы Е. М. Вечтомова, Т. П. Григорьевой, С. Н. Дорофеева, И. В. Егорченко, М. И. Зайкина, Т. А. Ивановой, В. И. Игошина, М. М. Кипниса, Л. М. Курдюмовой, Ю. А. Моторинского, А. X. Назиева, Л. М. Наумовой, Н. Н. Непейводы, Б. Д. Пайсона, М. А. Родионова, Е. Е. Семёнова, В. А. Тестова, И. Л. Тимофеевой, Р. А. Утеевой и др.

Однако, несмотря на большое количество и несомненную важность этих и других работ, теория и методика формирования эвристического и логического мышления в их единстве остаются ещё в значительной степени неразработанными. Это свидетельствует об актуальности проблемы исследования.

Цель исследовании; теоретически обосновать и экспериментально подтвердить возможность и эффективность развития логического и эвристического мышления учащихся в их единстве посредством решения математических задач с привлечением эвристик, подсказанных законами логики союзов.

Объект исследования: процесс обучения математике учащихся общеобразовательных школ, ориентированный на развитие логического и эвристического мышления школьников.

Предмет исследования: влияние на развитие эвристического и логического мышления школьников учебной деятельности по решению задач с привлечением на эвристическом уровне законов логики союзов.

Гипотеза исследования: Если выявить основные законы логики союзов, следование которым необходимо для успешного овладения школьной математикой, и разработать методику вовлечения школьников в эвристические рассуждения, напоминающие применение этих законов, в процессе решения специально составленных задач, то обучение по этой методике будет способствовать развитию как эвристического, так и логического мышления школьников.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы нами были сформулированы и решены в ходе исследования следующие задачи:

- выявить сущность и особенности логического и эвристического мышления и обосновать необходимость целенаправленной работы учителя по формированию логических и эвристических качеств мышления учащихся в процессе обучения математике;

- раскрыть значение логических и эвристических мыслительных операций на каждом этапе решения задачи;

- проанализировать существующие подходы к классификации эвристик; выявить эвристические возможности законов логики союзов;

- составить перечень основных законов логики союзов, следование которым необходимо для успешного овладения школьной математикой;

- разработать типологию задач, с помощью которых целесообразно развивать эвристическое и логическое мышление школьников в процессе обучения математике, и подобрать или составить соответствующие задачи;

- разработать методику вовлечения школьников в эвристические рассуждения, напоминающие применение законов логики союзов, в процессе решения математических задач, строгое решение которых потребовало бы явного применения этих законов;

- разработать элективный курс, в содержание которого будут включены задачи, требующие для своего решения знание основных законов логики союзов и их применение в качестве эвристик;

- экспериментально проверить эффективность разработанного элективного курса в учебной работе с учащимися одиннадцатых классов.

Методологическую основу исследования составили:

- псих0Л01 ические исследования мышления (М. Вертгеймер, Л. С. Выготский, А. М. Матюшкин, Я. А. Пономарев, О. К. Тихомиров и др.) и педагогические (П. П. Блонский, В. И. Загвязинский, В. П. Зинченко, М. И. Махмутов, М. Н. Скаткин и др.);

- теория деятельностного подхода в обучении (П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, Н. Ф. Талызина и др.);

- теория личностно-ориентированного подхода в обучении (Е. В. Бондаревская, В. В. Сериков, В. Д. Шадриков, И. С. Якиманская и др.);

- теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, Т. А. Иванова Н. А. Менчинская, X. Ж. Танеев и др.);

- теория проблемного обучения (И. Я. Лернер, А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов и др.);

- теоретические основы педагогической эвристики (В. И. Андреев, Ю. Н. Кулюткин, В. Н. Соколов, А. В. Хуторской и др.);

- исследования педагогов и математиков носвященные проблеме выявления и использования эвристик в процессе обучения математике (Ю. Н. Кулюткин, А. X. Назиев, Д. Пойа, В. Н. Пушкин, Г. И. Саранцев, X. Ж. Танеев, И. Л. Тимофеева, Л. М. Фридман, Б. Больцано, Р. Декарт, Б. Паскаль, А. Пуанкаре и др.).

Для решения поставленных задач использовались методы педагогического исследования:

1) Методы подготовки и организации исследования:

- теоретический анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, учебных программ и стандарта школьного математического образования;

- изучение и обобщение педагогического опыта по развитию логического и эвристического мышления учащихся в процессе решения задач;

- проведение педагогического эксперимента.

2) Методы сбора эмпирических данных:

- непосредственное наблюдение учебного процесса;

- беседа с учителями и учащимися, анализ ученических работ;

- анализ и обобщение опыта работы учителей;

- проведение контрольных работ с целью диагностики уровня развития у школьников логического и эвристического мышления.

3) Метод обработки и интерпретации данных:

- сравнительно-сопоставительный анализ.

Организация исследования: Исследование проводилось в три этапа:

На первом этапе (2005-2007 гг.) осуществлялся сбор, обобщение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; определена гипотеза исследования; составлен общий план исследования; разработан и проведён констатирующий этап эксперимента.

На втором этапе (2006-2007 гг.) проведен поисковый эксперимент -выявлены новые действенные эвристические и логические средства развития мышления школьников; подобраны задачи для демонстрации эффективности предложенных средств развития мышления; разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач», включающего в себя все основные идеи, полученные на данном этапе эксперимента."

теоретических и методических положений исследования, подведены итоги, выполнено литературное оформление диссертации.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые:

- проблема развития эвристического и логического мышления старшеклассников решается в единстве эвристического и логического на основе реализации эвристического потенциала законов логики союзов;

- составлен упорядоченный перечень необходимых элементов логики союзов, овладение которыми является важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения математике и влияющим на эвристическое и логическое развитие учащихся;

- разработана методика обучения школьников эвристическим рассуждениям, основанным на законах логики союзов, при решении школьных математических задач, абсолютно строгое решение которых потребовало бы явного применения этих законов.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

- обоснована возможность развития эвристического и логического мышления школьников в их единстве посредством эвристических рассуждений, напоминающих применение законов логики союзов;

- выявлены уровни и типы задач, в процессе решения которых по разработанной в исследовании методике эффективно развиваются эвристическое и логическое мышление школьников в их единстве:

- выявлены новые эвристические возможности законов логики союзов и доказана эффективность их использования для решения задач с целью развития логического и эвристического мышления учащихся в процессе обучения математике.

Практическая значимость исследования обусловлена тем, что в нём:

- составлены задачи для каждого типа и уровня разработанной нами типологии, предложенная методика их решения может быть использована другими учителями в их практической деятельности;

- на этой основе разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач», эффективность которого в плане развития логического и эвристического мышления школьников подтверждена экспериментально. Данный элективный курс может служить элементарным введением в математическую логику для самих учшелей, которые в последствии могут организовывать аналогичную работу по решению задач с использованием законов логики союзов непосредственно на уроках математики.

Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены четкостью методологических, математических, иегорико-математических, пеихолого-неда! огических и методических позиций: логической непротиворечивоешо проведенных рассуждений и выводов, ич согласованное шо с концепциями базисных наук п принципиальным соответствием основным результатам др>гих исследований.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялось на элективных занятиях в средних общеобразовательных школах Л» 1 и № 2 поселка Лесной Шиловского района Рязанской области. Основные положения и результаты исследования докладывались на аспирантских научно-методических семинарах, организованных при кафедре математического анализа Рязанского государственного университета имени С. А. Есенина (2006-2007 гг.), на заседаниях методического объединения учителей математики Лесновских средних общеобразовательных школ № 1 и № 2 (2007-2008 гг.), на научно-практической конференции Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна ВЗМШ-2008, а также на межрегиональном семинаре «Преподавание математики в профильной школе» (г. Рязань, 2008 г.).

Результаты исследования отражены в 8 публикациях, список которых приведён в конце автореферата.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Развитие эвристического и логического мышления школьников в процессе обучения математике следует осуществлять посредством вовлечения их в эвристические рассуждения, основанные на законах логики союзов.

2) Эффективным средством развития эвристического и логического мышления школьников является решение математических задач с применением эвристик, основанных на законах логики союзов. Эти задачи должны образовывать систему, соответствующую разработанной в исследовании типологии задач и основанную на выделенных логических и эвристических умениях школьников, связанных с законами логики союзов.

3) Элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач» позволяет обобщить и систематизировать навыки работы с логическими союзами и, тем самым, повысить уровень логического и эвристического мышления школьников, достигнутый на предыдущих этапах обучения.

Структура диссертации: Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования, определяются его цель, объект, предмет, гипотеза и задачи; излагаются положения, выносимые на защиту; раскрываются научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования; даются сведения об апробации полученных результатов.

В первой главе «Теоретические основы развития логического и эвристического мышления учащихся в процессе решения задач» развитие указанных компонентов мышления школьников рассматривается как актуальная научная проблема. Проводится анализ возрастных особенностей

развития детского мышления, при этом эвристическое и логическое мышление рассматриваются в качестве составляющих творческого мышления. Выявляется роль задач, а также логических и эвристических средств в процессе развития логического и эвристического мышления школьников. Проводится классификация эвристик. Обосновываются эвристические возможности законов логики союзов.

Подробнее остановимся на каждом из перечисленных вопросов.

В соответствии со стандартом основного общего образования одной из приоритетных целей обучения математике является интеллектуальное развитие учащихся и в частности, как уточняет Г. И. Саранцев, развитие логической и эвристической составляющих мышления. Несмотря на большое количество и несомненную важность научных работ, посвященных проблеме развития логического и эвристического мышления школьников, уровень развития указанных составляющих мышления учащихся по-прежнему остается довольно низким. Поэтому на современном этапе развития образования данная проблема очень актуальна.

Термин «эвристика» понимают в различных значениях. Мы под эвристикой, вслед за Г. И. Саранцевым, будем подразумевать всякий способ, применение которого может привести к отысканию нужного метода решения задачи или доказательства теоремы. Что касается логики, то здесь речь пойдет о математической логике, так как в настоящее время она разработала более удобный и совершенный аппарат для анализа рассуждений по сравнению с традиционной логикой.

Перечислим основные особенности логического и эвристического мышления как составляющих творческого мышления. Для этого вначале уточним, чем отличаются друг от друга творческое и продуктивное мышление. Творческое мышление характеризуется созданием субъективно нового продукта и новообразованиями в самой познавательной деятельности по его созданию, касающимися целей, мотивов, оценок и смыслов самой деятельности. В отличие от творческого мышления продуктивное мышление характеризуется объективной новизной продукта выполнения, то есть на уровне продуктивного мышления решаются проблемы и задачи, ранее никем не решенные. Таким образом, продуктивное мышление всегда является творческим.

Итак, результатом творческого мышления является новый продукт -открытие. При этом в каждом открытии присутствуют, по меньшей мере, две стороны: открываемый факт и его доказательство. Последнее объясняется тем, что всякая наука предназначена для познания истины, а истина не очевидна и потому должна быть обоснована. Правила обоснования разрабатываются в специальной дисциплине логике, которая ведает законами истинности. Мышление, осуществляемое в соответствии с законами логики, называется логическим мышлением. Для него характерны убедительные рассуждения, когда каждое последующее умозаключение основывается на ранее сделанных, строго доказанных умозаключениях.

Важно отметить, что логическое мышление принимает непосредственное участие не только в доказательстве какого-либо факта, но зачастую наводит на его открытие. Причем «неожиданный» результат открывается, как правило, логическим путем. Именно так, например, Н. И. Лобачевский открыл неевклидову геометрию. Сначала он попытался доказать пятый постулат Евклида как теорему, затем выделил в геометрии Евклида все то, что не зависело от этого постулата и пришел к мысли доказать пятый постулат от противного, чтобы прийти к противоречию. Однако противоречия не обнаружилось, а была создана новая геометрическая система. Таким образом, с помощью цепочки логических рассуждений Н. И. Лобачевский совершил открытие в науке - доказал существование более чем одной «истинной» геометрии.

Эвристическое мышление, в отличие от логического, основано на правдоподобных рассуждениях, правилах, операциях и стратегиях. Его результатом являются идеи, гипотезы, догадки и вероятные факты. Однако это не умоляет его значения. Эвристическое мышление играет в процессе открытия роль не меньшую, чем логическое мышление. Об этом говорит даже этимология прилагательного «эвристический», которое означает «служащий для открытия». Рассмотрим пример открытия какого-либо факта с помощью эвристического мышления. Для этого вспомним, как Д. И. Менделеев открыл периодическую систему химических элементов. Ему пришла неожиданная мысль расположить химические элементы по возрастанию их атомных масс. Он проверил эту гипотезу на нескольких элементах и постепенно путем логических рассуждений пришел к окончательному выводу, что элементы, расположенные таким образом, обнаруживают явную периодичность физических и химических свойств. Таким образом, Д. И. Менделеев сначала составил периодическую систему химических элементов, а затем обосновал ее правомерность.

Но эвристическое мышление участвует не только в процессе открытия какого-либо факта, оно имеет большое значение и при доказательстве этого факта. Дело в том, что вслед за «открытием» факта его доказательство не появляется само собой - его тоже нужно открывать. Об этом говорил в своих работах еще Д. Пойа: «... Вы должны догадаться о математической теореме, перед тем как ее докажете, вы должны догадаться об идее доказательства, перед тем как проведете его в деталях»4.

Итак, и логическое, и эвристическое мышление принимают самое непосредственное участие в процессе открытия нового, а, значит, являются составляющими творческого мышления. Основываясь на вышеизложенном, представим процесс открытия в виде схемы 1:

4 Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - С. 388.

Творческое мышление Продуктивное мышление

Эвристическое мышление

Факт

Открытие

Схема 1. Эвристическое и логическое мышление как составляющие творческого мышления

Перейдем к возрастным особенностям развития эвристического и логического мышления школьников.

Как отмечает В. Н. Соколов, эвристическое мышление не может развиваться само по себе в процессе учебной деятельности как побочный продукт обучения, для этого нужна целенаправленная работа учителя. Способность осознано пользоваться эвристиками в развернутом плане ученики приобретают только к 14-15 годам, когда сформировано отчетливое осознание формальных операций мышления. До этого можно говорить только о развитии элементов эвристического мышления5. И все же результаты исследований А. Э. Симановского6 свидетельствуют о том, что целенаправленно развивать эвристическое мышление нужно начинать в 5-6 классе.

Развитию логического мышления, в соответствии с принципом развивающего обучения Л. С. Выготского, необходимо уделять особое внимание начиная с 5-6 класса, так как к этому времени уже достаточно сформированы все его основные формы, а именно: понятия, суждения и умозаключения.

Общепризнанно, что для развития мышления одним из важнейших средств является решение задач и проблем. С другой стороны хорошо решает задачи только тот человек, у которого сформированы соответствующие умения и навыки, развито мышление. Таким образом, умение решать задачи и высокие интеллектуальные способности взаимосвязаны между собой. Это

' Соколов, В. II. Педагогическая эвристика: введение в теорию к методику эвристической деятельности: учеб. пособие для студентов высших учебных заведений. - М„ 1995.255 с.

й Симановский, А. Э. Развитие творческого мышления детей. - Ярославль. 1997. - С. 18.

обуславливает необходимость правильного подбора задач, при котором целенаправленно развивались бы те или иные компоненты мышления в процессе обучения математике. В данном диссертационном исследовании рассматривается возможность развития логического и эвристического мышления школьников в их единстве посредством решения задач с помощью эвристик, подсказанных законами логики союзов.

Практически во всех классификациях эвристических приемов отдельно выделяется группа эвристик, связанных с использованием средств логики, помогающих решать задачи. В тех же классификациях, где такие эвристические приемы в отдельную группу не выделяются, они зачастую присутствуют в них «скрыто», то есть неявно входят в состав каких-либо выделенных групп. Наша цель - дополнить список указанных эвристик, и таким образом продолжить работу А. А. Столяра, А. X. Назиева, И. Л. Тимофеевой и др. по выявлению подобных эвристик. В данном диссертационном исследовании затронут только тот аспект их исследований, который связан с выявлением эвристических возможностей законов логики союзов.

Отметим, что многие авторитетные психологи и педагоги считают, что эвристика и логика мало связаны между собой. Однако взгляд на эвристику и логику, как на два совершенно несовместимых понятия не является единственно возможным. Напротив, возможны и другие толкования, при которых логика способна не только «обрабатывать» открытия, полученные с помощью эвристик, но и сама может наводить на открытия, то есть обладает эвристическими возможностями. Обоснование данной точки зрения приводится в заключительном параграфе первой главы.

Во второй главе «Развитие логического и эвристического мышления учащихся в процессе обучения математике посредством решения задач с помощью законов логики союзов» выявлены основные законы логики союзов, применение которых на эвристическом уровне необходимо для успешного владения школьниками математикой. Выявлены эвристические возможности выделенных законов логики союзов. Выделен перечень основных умений школьников, связанных с логическими союзами и соответствующими им эвристическими рассуждениями. Разработана типология задач, направленных на развитие логического и эвристического мышления учащихся, основанная на присутствии в них логических конструкций, связанных с законами логики союзов. Разработана система задач, направленная на развитие логического и эвристического мышления школьников, в соответствии с выделенными типологией задач и перечнем умений школьников. Разработан элективныи курс, направленный ¡1а обобщение и систематизацию навыков работы старшеклассников с логическими союзами, в содержание которого включена разработанная система задач. Излагаются ход и результаты педагогического эксперимента, подтверждающие эффективность разработанного элективного курса в учебной работе с учащимися одиннадцатых классов.

Рассмотрение эвристических возможностей законов логики союзов в первом параграфе данной главы построено следующим образом. После названия каждого логического закона приводится его формулировка, затем разбирается для наглядности несколько простых примеров его эвристического использования при решении задач, и, в заключение, даются советы по отысканию доказательств, основанные на данном законе.

В качестве примера рассмотрим закон дистрибутивности импликации относительно эквиваленции.

Во многих сборниках задач для поступающих в вузы предлагаются для решения системы следующего вида:

х + у + г = 3; ■х2+у2 + г2=9; (*) х3+у3+г3 = 27.

Для того чтобы решить эту систему можно воспользоваться тем же приемом, что и для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными. В этом случае, нужно в первом уравнении выразить х через у и г и подставить его в остальные два уравнения - получим два уравнения с двумя неизвестными. Такое решение данной системы будет сложным и громоздким. Упростить решение, сделав его менее объемным и более красивым, можно с помощью логического закона дистрибутивности импликации относительно эквиваленции, который в данном случае выполняет функцию эвристики.

Сформулируем закон дистрибутивности импликации относительно эквиваленции:

Каковы бы ни были предложения А, В, и С, имеет место эквиеаленция (А -> (В <-► С)) « ((А л В) (А л С)).

Дпя того чтобы использовать данный закон дня решения системы (*), вспомним, что «конъюнкции часто называют системами и вместо «А а В» пишуг ». В этой

терминологии закон говорит нам, что системы

и 4 эквивалентны тогда и только В с

тогда, когда предложения Я и С эквивалентны при условии А. Таким образом, этот закон учит смотреть на систему как на целое. Он говорит нам, что если нужно

установить эквивалентность систем и совсем не обязательно доказывать

абсолютную эквивалентность предложений В и С; достаточно установить, что они эквивалентны при условии А

Решим систему (*) с помощью закона дистрибутивности импликации относительно эквиваленции:

7 Назиев А. X. Вводный курс математики (Элементы математической логики): Учебное пособие / РГПУ. - Рязань, 2000. - С. 53-54.

РЕШЕНИЕ.Пусть , 2 -2 2

(х + у + г = 3; ж2 + _у2 + г2 = 9.

Тогда 9 = х2+у2+г2 = (х + у + гУ-2(ху + хг +уг)=9-2(ху + хг + уг), откуда

ху + хг + уг = 0.

Поэтому 27 = х3 + У + 23 =(х +у 4- гУ -3(х + у + г)- (ху + хг + Зх>'2 = 27 + Згуг.

Значит, луг = 0. Это уравнение выполняется в точности тогда, когда выполняется дизъюнкция: х = О или у-0 или г = 0. Таким образом, система (*) эквивалентна дизъюнкции следующих трех систем:

х+у+г= 3; х2 +у2+г2 = 9; х = 0,

д; + у + г = 3; х2 + у2 +г2 =9;

У = 0,

дг + 7 + г = 3; х2 +у2 +г2 =9; 2 = 0.

Решим эти системы, руководствуясь тем же логическим законом.

1) Пусть х = 0 и х + >< + г = 3, то есть у + г =3. Тогда второе уравнение означает, что у2 +г2 =9, те есть что 9 -{у + г^' - 2уг = 9 - 2уг, то есть что >г = 0, то есть что у = 0 или 2 = 0. Пусть у = 0, тогда у + г = 3 в точности тогда, когда г = 3. Теперь пусть 2 = 0, тогда у + г = 3 вточноститогда,когда>' = 3.

2) Пусть >■ = 0 и х + у + г = 3, то есть х + 2 = 3. Тогда, проводя аналогичные рассуждения,получаем,что(х = о иг = 3)или(г = 0 их = 3).

3) Пусть 2 = 0 их+^ + 2 = 3,то есть х+у = 3. Тогда так же как в первых двух случаяхполучаем,что(х = 0 и у = 3)или(у = 0 и * = 3).

Ответ: (0;0;3), (0;3;0), (3;0;0).

Перейдем к методике реализации эвристических возможностей законов Л01ИКИ союзов.

На протяжении всего обучения математике в школе с пятого по одиннадцатый класс учащиеся неявно используют элементы математической логики. Так, уже в пятом классе ученики работают с логическими союзами и выполняют некоторые операции над ними. Строгое изложение данного материала отличается высокой сложностью, требует для своего полного изучения привлечения дополнительных сведений о понятиях предложение, высказывание, истинность, высказывательная схема и т.д. и поэтому невозможно не только в пятом классе, но и в целом в общеобразовательной школе. Получается, что изучать логику в явном виде невозможно, но развивать логическое мышление нужно. Мы предлагаем использовать для этого эвристические средства, с помощью которых вплоть до одиннадцатого класса можно вводить элементы математической логики. Для учеников достаточно, чтобы они на интуитивном уровне с помощью правдоподобных рассуждений могли объяснить и применить тот или иной логический закон, установить истинность какого-либо предложения. В одиннадцатом же классе мы предлагаем обобщающий элективный курс, с помощью которого знания изучающих его учеников по математической логике

приводятся в систему, а законы логики союзов явно формулируются и получают строгое обоснованно. Кроме того, курс позволяет старшеклассникам выявить роль логики союзов при математическом решении предлагаемых задач и открыть новую сторону логических законов, как средств, позволяющих продуцировать эвристики.

В предлагаемом курсе работа с эвристиками, продуцируемыми посредством логических законов, организована в соответствии с исследованиями М. С. Красина и В. Ф. Спиридонова, которые показали, что:

- усвоение эвристических приемов на основе осознания их состава и функции эффективнее, чем их неосознаваемая отработка в деятельности;

- решение задач из различных разделов алгебры, геометрии и физики более наглядно иллюстрирует учащимся эффективность изучаемого эвристического приема и формирует у них умение его применять;

- для формирования умения использовать эвристический прием в процессе решения задач необходима демонстрация его применения на примере 1 -3 различных задач;

- степень переноса эвристических приемов на другие типы задач во многом зависит от тренировки.

В процессе исследования нами был выявлен перечень основных логических и эвристических умений школьников, связанных с законами логики союзов:

1) Усматривать в предложениях явно или неявно присутствующие в них логические союзы и основные законы, связанные с ними.

2) Правильно понимать предложения с логическими союзами и определять истинны они или ложны с помощью соответствующих эвристических рассуждений.

3) Правильно формулировать утверждения с помощью логических союзов и обосновывать правильность посредством соответствующих эвристических рассуждений.

4) Убеждать в истинности предложения с помощью подходящих эвристических рассуждений.

5) Применять предложения с логическими союзами и сопровождать это применение соответствующими эвристическими рассуждениями.

6) Рассуждать в соответствии с основными законами логики союзов, подтверждая правильность рассуждения с помощью подходящего эвристического сопровождения.

7) Распознавать и выявлять нарушения основных законов логики союзов и демонстрировать это с помощью соответствующих эвристических средств.

В процессе исследоьаним нами была 1акже разрабошна типология задач, направленных на развитие логического и эвристического мышления школьников, основанная на анализе присутствия логических конструкций, связанных с законами логики союзов. Выделены следующие типы задач:

1) Задачи, в условии или решении которых присутствуют логические союзы по отдельности: - отрицание,

- конъюнкция,

- дизъюнкция,

- импликация,

- эквиваленция.

2) Задачи, в условии или решении которых присутствует повторение логических союзов, а именно:

- отрицание отрицания,

- ассоциативность конъюнкции,

- ассоциативность дизъюнкции.

3) Задачи, в условии или решении которых присутствуют распределительные законы для логических союзов, а именно:

За) - отрицание конъюнкции,

- отрицание дизъюнкции,

- отрицание импликации,

- отрицание эквиваленции,

36) - дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции,

- дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции,

- дистрибутивность импликации относительно конъюнкции,

Зв) - дистрибутивность импликации относительно дизъюнкции,

- дистрибутивность импликации относительно эквиваленции.

В разработанный нами элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач» включены все рассмотренные типы задач. Методика работы с данными задачами осуществляется по принципу «от простого к сложному» в соответствии со схемой 2, представленной на стр. 18. Сложность задач каждого типа определяется сложностью логических конструкций, которые присутствуют в условиях задач или используются для их решения. Как видно из схемы 2, всего нами выделено 9 уровней сложности рассматриваемых типов задач:

1) К первому уровню сложности, расположенному в основании схемы 2, мы отнесли задачи, в которых встречается только один логический союз: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Задачи этого уровня помимо своей относительной простоты отличаются тем, что с их помощью учащиеся отрабатывают и усваивают начальную информацию о логических союзах.

2) Ко второму уровню сложности относятся задачи с применением основных логических законов: закона отрицания отрицания, закона исключенного третьего, закона тождества. Решая задачи этого уровня, ученики приобретают навык необходимый для перехода к задачам

3) К третьему уровню сложности относятся задачи, в которых логическими союзами связываются три одинаковых предложения, а именно: для любого предложения А выполняются эквиваленции (АчА)->А, (АлА)-УА.

4) Четвертый уровень сложности включает в себя задачи с использованием закона коммутативности дизъюнкции и закона коммутативности конъюнкции.

5) К пятому уровню сложности относятся задачи, в которых логические союзы повторяются, то есть в условии задачи или се решении присутствует ассоциативность дизъюнкции или ассоциативность конъюнкции.

6) К шестому уровню сложности относятся задачи с применением законов де Моргана.

7) К седьмому уровню сложности относятся задачи, которые решаются с помощью закона дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции или закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции.

8) К восьмому уровню сложности относятся задачи, для решения которых используются законы дистрибутивности импликации относительно дизъюнкции, конъюнкции и импликации.

9) К девятому уровню сложности относятся задачи, которые решаются с помощью закона дистрибутивности импликации относительно эквиваленции. Данный уровень задач самый сложный из рассмотренных.

На основе перечисленных выше основных логических и эвристических умений школьников, связанных с законами логики союзов, и предложенной типологии нами составлена система задач, направленная на развитие логического и эвристического мышления школьников.

Основываясь на перечисленных уровнях сложности задач рассматриваемой типологии, можно выделить уровни развития логического и эвристического мышления старшеклассников. Умение решать задачи первого уровня сложности характерно для начального уровня развития указанных видов мышления. Низкий уровень мышления характеризуется умением решать задачи до пятого уровня сложности включительно. Для достаточного уровня развития логического и эвристического мышления характерно умение решать задачи до седьмого уровня сложности включительно. И, наконец, высокий уровень развития данных видов мышления характеризуется умением решать задачи до девятого уровня сложности включительно.

Перейдем теперь к элективному курсу «Законы логики союзов и их применение для решения задач», составившему основу педагогического эксперимента. Этот курс предназначен для обобщения и систематизации навыков работы старшеклассников с логическими союзами и повышение уровня логического и эвристического мышления школьников, достигнутого на предыдущих этапах обучения.

В эксперименте участвовали учащиеся 11 «А» и 11 «Б» физико-математических классов Лесновской средней школы № 1 Шиловского района Рязанской области (ЭК - 27 человек). В качестве контрольных классов были выбраны 11 «А» и 1! «Б» физико-математические классы Лесновской

(А-»(В<-»С))<-> ((ААВ)О(АЛС)) ■

((AVB)—>С)0((А—>В)Л(А—>С)), (A—>(BVC))<->((A—>B)V(A—>C)),

(А—>(ВЛС))<-> ((А—>В)Л(А->С)), (А—>(В—>С))<->((ААВ)—>С) ,

/ 4

(AV(I5AC))<->((AVB)A(AVC)), (AA(BVC))<->((AAB)V(AAC))

/ 4

(—i (A VB))4->((—i А) Л(—iB)), {—i (AAB)) <-»((—iA)V(—iB)),

(—i (А—>В)) <-> (А А(—iB))

/ 4

(AV(B VC))<->((AVB) VC), (AA(BAC))<->((AAB)AQ

<AVB)<-»(BVA), (AAB)<->(BAA)

(AVA)<->A, (ЛЛА)<-»А

/ N

(-Í(-iA))HA, AV(—iA), ' , A—KA, АШ

/ 4

—iA, AVB, A AB, A->B, ЛШ

Схема 2. Уровни сложности выделенных в исследовании типов задач

средней школы № 2 Шиловского района Рязанской области (КК - 25 человек). Всего в эксперименте участвовало 52 школьника. Содержание элективного курса приведено в таблице:

№ Тема (количество часов)

1 Контрольная работа № 1. (1 час) История традиционной и математической логики. Отделение формы рассуждеиия от его содержания. Упражнения. (1 час)

2 Истинностные значения предложений. Высказывания и высказывательиыс формы. Логические союзы (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция). Законы отрицания коцъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции. Упражнения. (2 часа)

3 Закон исключенного третьего. Закон коммутативности конъюнкции и закон коммутативности дизъюнкции. Метод вспомогательной гипотезы. Импликация с ложной посылкой. Упражнения. (2 часа)

4 Как выяснить правильное рассуждение или нет. Закон верного заключения и закон ложной посылки. Метод доказательства от противного. Закон выражения конъюнкции через дизъюнкцию и закон выражения дизъюнкции через конъюнкцию. Упражнения. (2 часа)

5 Закон контрапозиции. Закон выражения условной дизъюнкции и дизъюнкции через импликацию; правило подстановки. Закон выражения импликации через конъюнкцию и закон выражения импликации через дизъюнкцию. Метод вспомогательной константы. Упражнения. (2 часа)

6 Закон дистрибутивности импликации относительно эквиваленции, конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции. Преобразование логических формул. Контактные схемы. Упражнения (2 часа)

7 Урок решения задач. (1 час) Контрольная работа № 2. (1 час)

На первом занятии данного элективного курса была проведена диагностическая контрольная работа № 1 с целью:

- выявить уровень развития эвристического и логического мышления школьников;

- сравнить уровень подготовленности учащихся рассматриваемых классов к поисковой деятельности на уроках математики.

Анализ результатов данной контрольной работы показал, что учащиеся рассматриваемых классов:

- допускают серьезные ошибки в рассуждениях;

- плохо понимают смысл логических связок «и», «или», «если, то», «неверно, что» (не умеют строить отрицания предложений);

- слабо владеют основными логическими методами доказательства, то есть имеют начальный или низкий уровень развития логического и эвристического мышления.

По окончании элективного курса учащимся экспериментальных и контрольных классов с целью определения результатов формирующего этапа эксперимента была предложена диагностическая контрольная работа № 2.

В процессе решения диагностических заданий второй контрольной работы учащиеся экспериментальных классов показали высокий уровень

владения эвристическими приемами, связанными с использованием законов логики союзов, а также продемонстрировали умение строить логически правильные рассуждения. Так в среднем с заданиями справились 74-98 % учащихся экспериментальных классов, что на 43 % учащихся больше по сравнению с результатами первой кот-рольной работы. В отличие от них учащиеся контрольных классов показали примерно тот же результат, что и в первой контрольной работе - правильно выполнили задания только 27-61 % из них.

Анализ результатов выполнения школьниками экспериментальных классов каждого задания в отдельности показал, что они:

- научились отделять форму рассуждений от их содержания и определять правильное оно или нет, то есть стали лучше рассуждать логически (об этом свидетельствует большее количество тестовых вопросов, на которые они успешно ответили);

- понимают смысл логических союзов;

- используют при решении задач законы логики союзов в качестве эвристик, то есть имеют достаточный и высокий уровень развития логического и эвристического мышления.

Для наглядности представим результаты второй контрольной работы на диаграмме:

Результаты контрольной работы № 2

1 2 3 4 5 6 7

№ задания

9 10 11 12

¡■ЭК

Ш) кк

Таким образом, результаты педагогического эксперимента показали, что цели и задачи, поставленные в теоретической части исследования, достигнуты, и общая гипотеза диссертационного исследования подтверждена.

В заключении приводятся основные итоговые выводы, подтверждающие верность исходной гипотезы исследования.

Проведенное исследование не претендует на исчерпывающее рассмотрение путей развития логического и эвристического мышления школьников в их единстве посредством логических средств,

сопровождаемых эвристическими рассуждениями, и в тоже время продуцирующих эвристики, а предлагает один из возможных путей сс решения. Дальнейшего изучения, на наш взгляд, требуют: проблема развития логического мышления, связанная с кванторами; поиск иных механизмов развития указанных составляющих мышления; внедрение в реальный процесс обучения математике уже существующих эвристик; изучение связи процесса освоения логических и эвристических средств решения задач в школе и вузе.

Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора.

I. Публикации в научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Алешина, Н. П. Эвристические возможности логики ! Н. П. Алешина //Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена: Аспирантские тетради: Научный журнал. - 2008. -Лг2 23(54). - С. 285-287.

И. Список публикаций в других изданиях

2. Алешина, Н. П. Импликация с ложной посылкой / А. X. Назиев, Н. П. Алешина // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. -2008.-№ 1.-С. 87-89.

3. Алешина, Н. П. Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции, дизъюнкции относительно конъюнкции и импликации относительно эквиваленции и их приложение к решению систем уравнений и неравенств / Н. П. Алешина // Объединенный научный журнал. - 2007. -№ 18.-С. 36-39.

4. Алешина, Н. П. О пользе некоторых тривиальных результатов логики в обучении математике / Н. П. Алешина // Педагогические науки. - 2008. -№ 1(29).-С. 65-67.

5. Алешина, II. П. Применение некоторых законов логики союзов для решения логических задач / Н. П. Алешина // Объединенный научный журнал. - 2007. - № 18. - С. 35-36.

6. Алешина, Н. П. Проблема выявления логических средств развития мыншения, обладающих эвристическими возможностями, и их значение в обучении математике / Н. П. Алешина // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2008: тезисы докладов. - 2008. - С. 7.

7. Алешина, Н. П. Сочетание логики и эвристики на примере метода вспомогательной константы / Н. П. Алешина // Аспирант и соискатель. -2008. -№ 1(44).-С. 54-55.

8. Алешина, Н. П. Факультативный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач» /' Н. П. Алешина /7 Преподавание математики в профильной школе: материалы I межрегиональной научно-практической конференции преподавателей математики различных образовательных учреждений, 7-9 апр. 2008 г., Рязань: тезисы докладов. -2008. - С. 3-4.

Отпечатано с готовых диапозитивов ООО фирма «Интермета» г.Рязань, ул.Семинарская, д.З, т/ф 258-176 тир. 100 экз. заказ №1132

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Алешина, Наталья Петровна, 2008 год

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО И ЭВРИСТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЛ

1.1. Понятие эвристики и логики.

1.2. Цели обучения математике в общеобразовательной школе.

1.3. Сущность и особенности эвристического и логического мышления.

1.4. Возрастные особенности развития детского мышления.

1.5. Задачи в обучении математике

1.6. Эвристическая составляющая учебной деятельности.

1.7. Классификация эвристик.

1.8. Эвристика как обратная сторона логики

Выводы по главе I

Глава II. РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО И ЭВРИСТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ ЛОГИКИ СОЮЗОВ

2.1. Эвристические возможности законов логики союзов и методика их реализации в процессе обучения математике

2.2. Элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач».

2.3. Результаты педагогического эксперимента

Выводы по главе II

Введение диссертации по педагогике, на тему "Развитие эвристического и логического мышления старшеклассников в процессе обучения математике"

1 Юнг Дж. В. А. Как преподавать математику? — М.: Госиздат, 1911. — С. 12. подавания математики — важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие» [125, с. 20].

Каким же образом, не изучая специально и обособленно логику, сделать её «важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие»? Решение подсказывает идея Г. И. Саранцева о единстве эвристического и логического, реализованная им при изучении проблемы обучения доказательствам. Развивать логическое мышление с помощью эвристического, развивая, тем самым, и эвристическое мышление, - таков замысел нашего исследования. При этом мы ограничились рассмотрением лишь той части проблемы развития логического мышления, которая связана с логическими союзами; для аналогичного рассмотрения проблем, связанных с кванторами, требуется, на наш взгляд, отдельное исследование. А поскольку общепризнанно, что для развития мышления важнейшим средством является решение задач, именно задачи и были выбраны в качестве средства решения проблемы исследования, которая, в соответствии со всем сказанным выше, формулируется следующим образом: разработать теорию и методику развития эвристического и логического мышления в их единстве в процессе обучения математике посредством решения задач с помощью законов логики союзов.

Проблеме формирования и развития логического и/или эвристического мышления посвящены работы многих отечественных и зарубежных психологов и педагогов: А. В. Брушлинского, Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, В. А. Гусева, А. 3. Зака, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, В. А. Крутицкого, Ю. Н. Кулюткина, А. Н. Леонтьева, И: Я. Лернера, А. М. Матюшкина, Я. А. Пономарева, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Ж. Адамара, Г. Биркгофа, Дж. Брунера, К. Дункера, Д. Пойа, А. Пуанкаре и других.

Логические проблемы обучения математике в школе и вузе изучали многие крупные отечественные и зарубежные математики и педагоги: В. И. Арнольд, В. Г. Болтянский, А. В. Гладкий, Б. В. Гнеденко, Г. В. Дорофеев, Л. А. Калужнин, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, И. Лакатос,

В. Л. Матросов, А.И.Маркушевич, И. Л. Никольская, Г. И. Саранцев,

A. А. Столяр, В. А. Успенский, Л. М. Фридман, А. Я. Хинчин, Ф.Клейн, Д. Пойа, Г. Фройденталь и др.

B. А. Тестова, И. Л. Тимофеевой, Р. А. Утеевой и др.

Цель исследования: теоретически обосновать и экспериментально подтвердить возможность и эффективность развития логического и эвристического мышления учащихся в их единстве посредством решения математических задач с привлечением эвристик, подсказанных законами логики союзов.

- раскрыть значение логических и эвристических мыслительных операций на каждом этапе решения задачи;

Методологическую основу исследования составили:

- психологические исследования мышления (М. Вертгеймер, Л. С. Выготский, А. М. Матюшкин, Я. А. Пономарев, О. К. Тихомиров и др.) и педагогические (П. П. Блонский, В. И. Загвязинский, В. П. Зинченко, М. И. Махмутов, М. Н. Скаткин и др.);

- теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, Т. А. Иванова Н. А. Менчинская, X. Ж. Танеев и др.);

- теория проблемного обучения (И. Я. Лернер, А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов и др.);

- исследования педагогов и математиков посвященные проблеме выявления и использования эвристик в процессе обучения математике (Ю. Н. Кулюткин, А. X. Назиев, Д. Пойа, В. Н. Пушкин, Г. И. Саранцев, X. Ж. Танеев, И. Л. Тимофеева, Л. М. Фридман, Б. Больцано, Р. Декарт, Б. Паскаль, А. Пуанкаре и др.).

Для решения поставленных задач использовались методы педагогического исследования:

1) Методы подготовки и организации исследования:

- проведение педагогического эксперимента.

2) Методы сбора эмпирических данных:

- непосредственное наблюдение учебного процесса;

- беседа с учителями и учащимися, анализ ученических работ;

- анализ и обобщение опыта работы учителей;

3) Метод обработки и интерпретации данных:

- сравнительно-сопоставительный анализ.

Организация исследования: Исследование проводилось в три этапа:

На втором этапе (2006-2007 гг.) проведен поисковый эксперимент - выявлены новые действенные эвристические и логические средства развития мышления школьников; подобраны задачи для демонстрации эффективности предложенных средств развития мышления; разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач», включающего в себя все основные идеи, полученные на данном этапе эксперимента.

На третьем этапе (2007-2008 гг.) осуществлялся формирующий и контролирующий эксперимент - проведено обобщение и анализ полученных экспериментальных данных, сделаны соответствующие уточнения теоретических и методических положений исследования, подведены итоги, выполнено литературное оформление диссертации.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые:

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

Практическая значимость исследования обусловлена тем, что в нём:

- на этой основе разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач», эффективность которого в плане развития логического и эвристического мышления школьников подтверждена экспериментально. Данный элективный курс может служить элементарным введением в математическую логику для самих учителей, которые в последствии могут организовывать аналогичную работу по решению задач с использованием законов логики союзов непосредственно на уроках математики.

Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены четкостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических позиций; логической непротиворечивостью проведенных рассуждений и выводов, их согласованностью с концепциями базисных наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследований.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялось на элективных занятиях в средних общеобразовательных школах № 1 и № 2 поселка Лесной Шиловского района Рязанской области. Основные положения и результаты исследования докладывались на аспирантских научно-методических семинарах, организованных при кафедре математического анализа Рязанского государственного университета имени С. А. Есенина (20062007 гг.), на заседаниях методического объединения учителей математики Лесновских средних общеобразовательных школ № 1 и № 2 (2007-2008 гг.), на научно-практической конференции Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна ВЗМШ-2008, а также на межрегиональном семинаре «Преподавание математики в профильной школе» (г. Рязань, 2008 г.).

Результаты исследования отражены в 8 публикациях, список которых приведён в конце автореферата.

На защиту выносятся следующие положения:

2) Эффективным средством развития эвристического и логического мышления школьников в их единстве является решение математических задач с применением эвристик, основанных на законах логики союзов. Эти задачи должны образовывать систему, соответствующую разработанной в исследовании типологии задач и основанную на выделенных логических и эвристических умениях школьников, связанных с законами логики союзов.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе И

1. Составлен упорядоченный перечень необходимых элементов логики союзов, овладение которыми является важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения математике и влияющим на эвристическое и логическое развитие учащихся.

2. Рассмотрены наиболее распространенные и эффективные эвристики, связанные с законами логики союзов. Кроме того, впервые показаны эвристические возможности следующих законов логики союзов: закона отрицания конъюнкции, закона отрицания эквиваленг^ии, закона выражения импликации через конъюнщию, закона выражения импликагщи через дизъюнкцию, закона выражения дизъюнкции через импликацию, закона выражения условной дизъюнкции через импликацию, закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции, закона дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции, закона дистрибутивности импликации относительно дизъюнкции, — и доказана эффективность их использования для решения задач с целью развития логического и эвристического мышления учащихся в процессе обучения математике. Тем самым дополнен список эвристик, предложенных А. А. Столяром, И. Л. Тимофеевой, А. X. Назиевым и др.

3. Разработана методика обучения школьников эвристическим рассуждениям, основанным на законах логики союзов, при решении школьных математических задач, абсолютно строгое решение которых потребовало бы явного применения этих законов.

4. Выделены логические и эвристические умения школьников, связанные с законами логики союзов.

5. Выявлены уровни сложности и типы задач, в процессе решения которых по разработанной в исследовании методике эффективно развиваются эвристическое и логическое мышление школьников в их единстве. Составлены задачи для каждого типа и уровня разработанной нами типологии.

6. Разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач», позволяющий обобщить и систематизировать навыки работы с логическими союзами и, тем самым, повысить уровень логического и эвристического мышления школьников, достигнутый на предыдущих этапах обучения. Данный элективный курс предназначен для учащихся одиннадцатых классов и рассчитан на 14 академических часов. Работа с законами логики союзов на элективных занятиях организовывалась по тем же принципам, что и работа с эвристиками. Занятия проводились в форме готового конспекта, что позволило пройти большой объем материала за относительно короткий промежуток времени. Эффективность данного элективного курса в плане развития логического и эвристического мышления учащихся подтверждена в ходе экспериментальной проверки.

170

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе теоретико-экспериментального исследования проблемы были решены все поставленные задачи и получены следующие основные результаты:

1. Одной из приоритетных целей обучения математике является интеллектуальное развитие учащихся, в том числе развитие логического и эвристического мышления школьников, которое наиболее интенсивно происходит в процессе решения задач. Исследования психологов, педагогов и методистов показывают, что необходима целенаправленная работа учителя по развитию данных качеств мышления, однако в большинстве школ обучение построено таким образом, что логическое и эвристическое мышление школьников формируются стихийно.

2. Эвристическое и логическое мышление являются составляющими творческого мышления. Результатом творческого мышления является новый продукт - открытие. При этом в каждом открытии присутствуют, по меньшей мере, две стороны: открываемый факт и его доказательство. И эвристическое и логическое мышление играют важную роль, как при открытии какого-либо факта, так и при открытии доказательства этого факта. Различие их заключается в том, что логическое мышление основано на доказательных рассуждениях, а эвристическое мышление осуществляется на основе правдоподобных рассуждений.

3. Для целенаправленного развития эвристического и логического мышления учащихся в их единстве нужно включить в процесс обучения математике необходимые элементы математической логики (в частности, логику союзов), но не обособленно, а так, чтобы они в соответствие с идеей А. А. Столяра стали неотъемлемой составляющей процесса обучения, повышающей его эффективность и влияющей на развитие мышления школьников. В данном диссертационном исследовании выделены необходимые для этого элементы логики союзов и разработана методика их внедрения в процесс обучения математике.

4. Рассмотрены наиболее распространенные и эффективные эвристики, связанные с законами логики союзов. Кроме того, этот список эвристик дополнен. Тем самым продолжена работа в данном направлении А. А. Столяра,

И. Л. Тимофеевой, А. X. Назиева и др. Доказана эффективность использования указанных эвристик для решения задач с целью развития логического и эвристического мышления учащихся в их единстве в процессе обучения математике.

3. Разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач» для одиннадцатых классов средних общеобразовательных школ, основной целью которого являлась экспериментальная проверка материалов диссертационного исследования (подтверждение или опровержение гипотезы исследования).

4. Результаты педагогического эксперимента показали, что цели и задачи, поставленные в теоретической части исследования, достигнуты, и общая гипотеза диссертационного исследования о том, что если выявить основные законы логики союзов, следование которым необходимо для успешного овладения школьной математикой, и разработать методику вовлечения школьников в эвристические рассуждения, напоминающие применение этих законов, в процессе решения специально составленных задач, то обучение по этой методике будет способствовать развитию как эвристического, так и логического мышления школьников, подтверждена.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Алешина, Наталья Петровна, Рязань

1. Аганисьян, В. М. Учебный диалог как психологический фактор развития эвристического мышления обучающихся Текст. : дис. . докт. пед. наук / В. М. Аганисьян. СПб. 1999. - 223 с.

2. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики Текст. / Ж. Адамар. М.: Советское радио, 1970. - 150 с.

3. Альтшуллер, Г. С. Найти идею. Введение в теорию решения изобретательских задач Текст. / Г. С. Альтшуллер. — Новосибирск: Наука, 1986.-209 с.

4. Андреев, В. И. Диалектика воспитания и самовоспитания творческой личности: основы педагогики творчества Текст. /В.И.Андреев. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1988. - 240 с.

5. Андреев, В. И. Эвристическое программирование учебно-исследовательской деятельности (в обучении естественным предметам) Текст. : дис. . докт. пед. наук / В. И. Андреев. Казань, 1983. - 452 с.

6. Архангельский, С. И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы Текст. : учеб.-метод. пособие / С. И. Архангельский. М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.

7. Бал к, М. Б. Математика после уроков Текст. : пособие для учителей / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. М.: Просвещение, 1971. - 462 с.

8. Балк, М. Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления Текст. / М. Б. Балк, Г. Д. Балк // Математика в школе. 1985. -№ 2. - С. 55-60.

9. Бим-Бад, Б. М. Образование в контексте социализации Текст. / Б. М. Бим-Бад, А. В. Петровский // Педагогика. 1996. - № 1. - С. 3-8.

10. Болтянский, В. Г. Как учить поиску решения задач Текст. / В. Г. Болтянский, Я. И. Груденов // Математика в школе. 1988. — № 1. — С. 8-14.

11. Бондаревская, Е. В. Гуманистическая парадигма личностно-ориентированного образования Текст. / Е. В. Бондаревская // Педагогика. 1997. - № 4. - С. 11-17.

12. Боно, Э. Рождение новой идеи. О нешаблонном мышлении Текст. / Э. де Боно; пер. с англ.; под общ. ред. О. К. Тихомирова. М.: Прогресс, 1976.- 143 с.

13. Брунер, Дж. Психология познания Текст. / Дж. Брунер. М.: Прогресс, 1977. - 413 с.

14. Брушлинский, А. В. Психология мышления и проблемное обучение Текст. / А. В. Брушлинский. М.: Знание, 1983. - 96 с.

15. Бунге, М. Интуиция и наука Текст. / М. Бунге. М. Прогресс, 1967.- 187 с.

16. Бургин, М. С. Введение в современную точную методологию науки: структуры систем знания Текст. : пособие для студентов высших учебных заведений /М. С. Бургин, В.И.Кузнецов.- М.: Аспект Пресс. 1994.-304 с.

17. Введенский, В. Н. Формирование эвристической деятельности старшеклассников в процессе обучения Текст. : дис. . канд. пед. наук / В. И. Введенский. Новосибирск, 1999. - 196 с.

18. Вертгеймер, М. Продуктивное мышление Текст. / М. Вертгеймер; пер. с англ.; общ. ред. С. Ф. Горбова, В. П. Зинченко. М.: Прогресс, 1987.-336 с.

19. Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ. 11 кл. Текст. : учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. Изд. 10-е, стереотип. - М.: Мнемозина, 2003.-288 с.

20. Виноградова, Л. В. Развитие мышления учащихся при обучении математике Текст. / Л.В.Виноградова. — Петрозаводск: Карелия, 1989.— 175 с.

21. Воинова, И. В. Обучение логическим приемам мышления учащихся основной школы в процессе изучения курса алгебры Текст. : дис. . канд. пед. наук / И. В. Воинова. — Саранск, 2006. — 173 с.

22. Волович, М. Б. Наука обучать Текст. : технология преподавания математики / М. Б. Волович. -М.: ЬШКА-РЯЕЗЗ, 1995. 280 с.

23. Волович, М. Б. Не мучить, а учить Текст. : о пользе педагогической психологии / М. Б. Волович. М.: изд. Российского открытого университета, 1992.-232 с.

24. Выготский, Л. С. Психология Текст. / Л. С. Выготский. — М.: изд-во ЭКСМО-Пресса, 2000. 1008 с.

25. Габай, Т. В. Педагогическая психология Текст. : учеб. пособ. / Т. В. Габай. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 160 с.

26. Гальперин, П. Я. Методы обучения и умственного развития ребенка Текст. / П. Я. Гальперин. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 45 с.

27. Геометрия Текст. : учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян [и др.]. Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992. — 335 с.

28. Гетманова, А. Д. Занимательная логика для школьников Текст. : в 2 ч. Ч. 2. Занимательная логика для школьников / А. Д. Гетманова. — М.: изд. центр «Владос», 1998. -237 с.

29. Грабарь, М. И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы Текст. / М. И. Грабарь, К. А. Краснянская. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

30. Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики Текст. : кн. для учителя / Я. И. Груденов. М.: Просвещение, 1990.-224 с.

31. Гурова, Л. Л. Психологический анализ решения задачи Текст. / Л. Л. Гурова. Воронеж: Издательство ВГУ, 1976. - 327 с.

32. Гусев В. А. Как помочь школьнику полюбить математику? Текст. / В. А. Гусев. -М.: Авангард, 1994. 168 с.

33. Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучения Текст. : опыт теоретического и экспериментального психологического исследования / В. В. Давыдов. М.: Педагогика, 1986. - 240 с.

34. Дорофеев, Г. В. «Решать» или думать? Текст. /Г.В.Дорофеев // Математика для школьников. — 2007. — № 4. С. 3-13.

35. Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс Текст. : в 2 ч. Ч. 1. Математика. 6 класс /Г.В.Дорофеев, Л. Г. Петерсон. М.: «Баласс», «С-инфо», 1998.-112 с.

36. Елифантьева, С. С. Технология изучения элементов математической логики в основной школе Текст. : дис. . канд. пед. наук / С. С. Елифантьева. — Ярославль, 2006. 227 с.

37. Ерохина, М. Н. Формирование эвристической деятельности старшеклассников при изучении углубленного курса геометрии Текст. : дис. . канд. пед. наук / М. Н. Ерохина. М., 1999. - 237 с.

38. Журавлева, О. Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы Текст. : автореф. дис. . канд. пед. наук / О. Н. Журавлева. Саранск, 1995. - 22 с.

39. Загвязинский, В. И. Методология и методика дидактических исследований Текст. / В. И. Загвязинский. -М.: Педагогика, 1982. 160 с.

40. Заесенок, В. П. Логические задачи как средство формирования приемов эвристической деятельности школьников 5-6-х классов на уроках математики Текст. : дис. . канд. пед. наук / В. П. Заесенок. М., 2004. -166 с.

41. Зак, А. 3. Как определить уровень развития мышления школьника Текст. / А. 3. Зак. М.: Знание, 1982. - 96 с.

42. Зак, А. 3. 500 занимательных логических задач для школьников Текст. / А. 3. Зак. М.: Юнвес, 2002. - 191 с.

43. Зак, А. 3. 600 игровых задач для развития логического мышления школьников Текст. / А. 3. Зак. Ярославль: «Академия развития», 1998.- 187 с.

44. Зив, Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 7 класса Текст. / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. Изд. 11-е. - М.: Просвещение, 2005. -128 с.

45. Зив, Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса Текст. / Б. Г. Зив. Изд. 8-е. - М.: Просвещение, 2004. - 126 с.

46. Зив, Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса Текст. / Б. Г. Зив. Изд. 7-е. -М.: Просвещение, 2004. - 144 с.

47. Зинченко, В. П. О целях и ценностях образования Текст. / В. П. Зив // Педагогика. 1997. - № 5. - С. 3-16.

48. Иванова, Т. А. Методологические знания и умственное развитие школьников в процессе обучения математике Текст. / Т. А. Иванова // Методологические знания как основа развивающего обучения математике: Межвузовский сборник научных трудов. 1995. - С. 7-22.

49. Ивин, А. А Искусство правильно мыслить Текст. : кн. для уч-ся ст. классов / А. А. Ивин. Изд. 2-е., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1990.-240 с.

50. Ивин, А. А. Строгий мир логики Текст. / А. А. Ивин. М.: Педагогика, 1988.- 126 с.

51. Ивлев, Ю. В. Логика Текст. /Ю. В. Ивлев. М.: Наука, 1994,284 с.

52. Иве, Г. О математической логике и философии математики Текст. / Г. Иве, К. В. Ньюсом; пер. с англ. Ф. JL Варпаховского; под ред. В. Ю. Иваницкого. М.: «Знание», 1968. - 48 с.

53. Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех Текст. /Е.И.Игнатьев. М.: ООО «Издательство ACT»: ООО «Издательство Астрель», 2003. — 125 с.

54. Ильясов, И. И. Система эвристических приемов решения задач / Текст. / И. И. Ильясов. — М.: Изд-во Российского открытого университета. 1992.- 140 с.

55. Кабанова-Меллер, Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение Текст. / Е. Н. Кабанова-Меллер. -М.: Знание, 1981. 94 с.

56. Казанцева, В. Ю. Решение учебных задач как фактор развития эвристического мышления учащихся Текст. : дис. . канд. пед. наук / В. Ю. Казанцева. Улан-Удэ, 2004. - 178 с.

57. Калошина, И. П. Структура и механизмы творческой деятельности (нормативный подход) Текст. / И. П. Калошина. М.: Изд-во Моск. унта, 1983.-168 с.

58. Каптерев, П. Ф. Избранные педагогические сочинения Текст. / П. Ф. Каптерев; под ред. А. М. Арсеньева. М.: Педагогика, 1982.704 с.

59. Каптерев, П. Ф. Эвристическая форма обучения в народной школе Текст. / П. Ф. Каптерев // Антология пед. мысли России второй половины XIX начала XX в. - 1990. - С. 218-221.

60. Клини, С. К. Математическая логика Текст. / С. К. Клшга; пер. с англ. Ю. А. Гастева; под ред. Г.Е.Минца. Изд. 2-е., стереотип. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 480 с.

61. Король, А. Д. Метод эвристического диалога как средство активизации учебно-познавательной деятельности школьников Текст. : дис. . канд. пед. наук / А. Д. Король. М., 2002. - 176 с.

62. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике Текст.: в 2 ч. / Ю. М. Колягин. М.: Просвещение, 1977. -2 ч.

63. Кравцев, С. В. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных Текст. / С. В. Кравцев [и др.]. М.: Издательство: «Экзамен», 2005. - 544 с.

64. Красин, М. С. Технология обучения эвристико-алгоритмическим приемам решения задач как условие эффективности профессиональнойподготовки учителя физики Текст. : дис. . канд. пед. наук / М. С. Красин. Калуга, 2000. - 186 с.

65. Крупич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач Текст. / В. И. Крупич. — М.: Прометей, 1995. — 166 с.

66. Кузнецова, Л. И. Эвристики в структуре решений геометрических задач Текст. / Л. И. Кузнецова // Методологические знания как основа развивающего обучения математике: межвузовский сборник научных трудов. 1995. - С. 48-63.

67. Кулюткин, Ю. Н. Эвристические методы в мыслительной деятельности и в обучении взрослых Текст. : автореф. дис. . докт. псих, наук / Ю. Н. Кулюткин. -Л., 1971.-42 с.

68. Кулюткин, Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений Текст. / Ю. Н. Кулюткин. М.: Педагогика, 1970. - 232 с.

69. Леонтьев. А. Н. Избранные психологические сочинения Текст. : в 2 т./ А. Н. Леонтьев; под ред. В. В. Давыдова [и др.]. — М.: Педагогика, 1983.-2 т.

70. Лернер, И. Я. Проблемное обучение Текст. / И. Я. Лернер. М.: Знание, 1974.-64 с.

71. Литвиненко, В. Н. Задачник-практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия Текст. : для поступающих в вузы / В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. М.ЮОО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»»: ООО «Издательство «Мир и Образование»», 2005. - 464 с.

72. Маликов, Т. С. Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школе Текст. : дис. . канд. пед. наук / Т. С. Маликов. Кокшетау, 2005. - 283 с.

73. Матюшкин, А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении Текст. / А. М. Матюшкин. М.: Педагогика, 1972. - 208 с.

74. Махмутов, М. И. Организация проблемного обучения в школе Текст.: книга для учителей / М. И. Махмутов. М.: Просвещение, 1977.-240 с.

75. Мельникова, А. А. Язык и национальный характер. Взаимосвязь структуры языка и ментальности Текст. / А. А. Мельникова. — СПб.: Речь, 2003.-320 с.

76. Мендельсон, Э. Введение в математическую логику Текст. / Э. Мендельсон; перевод с англ. Ф. А. Кабакова; под ред. С. И. Адяна. -Изд. 3-е. -М.: Наука, 1984.-319 с.

77. Менчинская, Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьника Текст. : избранные психологические труды / Н. А. Менчинская. -М.: Педагогика, 1989. 220 с.

78. Методика и технология обучения математике Текст. : курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. П. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

79. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика Текст. : учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов /В. А. Оганесян [и др.]. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1980.-368 с.

80. Миракова, Т. Н. Дидактические основы гуманитаризации школьного математического образования Текст. : дис. . докт. пед. наук / Т. Н. Миракова. М., 2003. - 470 с.

81. Миракова, Т. Н. Система творческих задач курса алгебры 6-8 классов и методика ее использования Текст. : дис. . канд. пед. наук / Т. Н. Миракова. М., 1989. - 251 с.

82. Назиев, А. X. Вводный курс математики (Введение. Действительные числа. Координаты) Текст. : учебное пособие / А. X. Назиев. Рязань: Изд-во РГПУ, 1999. - 104 с.

83. Назиев, А. X. Вводный курс математики (Элементы математической логики) Текст. : учебное пособие / А. X. Назиев. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000.-125 с.

84. Огурцова, О. К. Частные эвристики как условие включения учащихся в поисковую деятельность на уроках стереометрии Текст. : дис. . канд. пед. наук / О. К. Огурцова. Н. Новгород, 2002. - 208 с.

85. Основы технологии развивающего обучения математике Текст. : учебное пособие / под ред. Т. А. Ивановой. — Н. Новгород: НГПУ, 1997. -134 с.

86. Педагогика Текст. : учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений / В. А. Сластенин [и др.]. М.: Школа-Пресс, 1997. -512 с.

87. Перельман, И. Я. Живая математика Текст. / И. Я. Перельман. М.: Триада-литера, 1994. - 175 с.

88. Петров, В. А. Выбор ответов в заданиях раздела А Единого государственного экзамена по математике без решения задачи Текст. / В. А. Петров // Математика в школе. 2006. - № 4. - С. 10-17.

89. Петрова, Е. С. Организация познавательной деятельности учащихся старших классов средней школы в условиях углубленного изучения математики Текст. : учебн. пособ. / Е. С. Петрова. Саратов: Изд-во СГПИ, 1991.-79 с.

90. Пиаже, Ж. Избранные психологические труды. Психология интеллекта. Генезис числа у ребенка. Логика и психология Текст. / Ж. Пиаже — М.: Просвещение, 1969. 659 с.

91. Пиаже, Ж. Речь и мышление ребенка Текст. / Ж. Пиаже. М.; Д.: «Гиз». 1932.-411 с.

92. Пидкасистый, П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении Текст. / П. И. Пидкасистый. М.: Педагогика. — 1980.-238 с.

93. Пирогов, Н. И. Избранные педагогические сочинения Текст. / Н. И. Пирогов. М.: Педагогика, 1985. - 496 с.

94. Погорелов, А. В. Геометрия Текст.: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. Изд. 4-е. - М.: Просвещение, 1993. - 383 с.

95. Пойа, Д. Математическое открытие Текст. : решение задач: основные понятия, изучение, преподавание / Д. Пойа; пер. с англ. В. С. Бермана; под ред. И. М. Яглома. Изд. 2-е. - М.: Наука, 1976. -448 с.

96. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения Текст. / Д. Пойа; пер. с англ. И. А. Вайнштейна; под ред. С. А. Яновской. Изд. 2-е. -М.: Наука, 1975.-462 с.

97. Пойа, Д. Как решать задачу Текст. / Д. Пойа; пер. с англ. и под ред. Ю. М. Гайдука. М., 1959. - 207 с.

98. Пойа, Д. Обучение через задачи Текст. / Д. Пойа // Математика в школе.- 1970.-№3.-С. 89-91.

99. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. Группа В Текст. / под ред. М. И. Сканави. М.: ООО «Издательство «Мир и образование»»: Мн.: ООО «Харвест». 2004. — 608 с.

100. Полякова, Е. Н. Развитие логического мышления учащихся в процессе обучения физике Текст. / Е. Н. Полякова, Р. И. Малафеев // Проблемы развития творческого мышления студентов и учащихся в процессе обучения физике, 1998. С. 47-51.

101. Пономарев, Я. А. Психология творчества и педагогика Текст. / Я. А. Пономарев. М.: Педагогика, 1976. - 280 с.

102. Пуанкаре, А. О науке Текст. / А. Пуанкаре; под ред. Л. С. Понтрягина. Изд. 2-е, стереотип. - М.: Наука, 1990. - 736 с.

103. Пушкин, В. Н. Эвристика — наука о творческом мышлении Текст. / В. Н. Пушкин. -М.: Политиздат, 1967. 272 с.

104. Розет,И. М. Психология фантазии Текст. /И. М. Розет. Минск: Университетское, 1991. — 342 с.

105. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии Текст. / С. Л. Рубинштейн. — СПб.: Изд-во «Питер», 2000. 712 с.

106. Рыжик, В. И. Логика в школьном математическом образовании Текст. / В. И. Рыжик // Математика в школе. 2007. - № 3. - С. 39-48.

107. Садовников, Н. В. Теоретико-методологические основы методической подготовки учителя математики в педвузе в условиях фундамента-лизации образования Текст. : дис. . докт. пед. наук / Н. В. Садовников. Саранск, 2007. - 360 с.

108. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе Текст. : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

109. Саранцев, Г. И. Обучение доказательству Текст. /Г.И.Саранцев // Математика в школе. — 1996. — № 6. С. 16-20.

110. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике Текст. / Г. И. Саранцев. М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

111. Семенов, Е. Е. Размышления об эвристиках Текст. /Е.Е.Семенов // Математика в школе. 1995. - № 5. - С. 39-43.

112. Сериков, В. В. Личностный подход в образовании. Концепции и технологии Текст. / В. В. Сериков. Волгоград: ВГПУ, 1994. - 149 с.

113. Сефибеков, С. Р. Из опыта начального обучения решению геометрических задач на доказательство Текст. / С. Р. Сефибеков // Математика в школе. 2007. - № 6. - С. 41-44.

114. Симоновский, А. Э. Развитие творческого мышления детей Текст. / А. Э. Симоновский. — Ярославль: Академия развития, 1997. —. 188 с.

115. Скаткин, M. Н. Совершенствование процесса обучения Текст. / M. Н. Скаткин. -М.: Педагогика, 1971. 206 с.

116. Смаллиан, Р. Как же называется эта книга? Текст. / Р. Смаллиан; пер. с англ. и предисл. Ю. А. Данилова. М.: Издательский Дом Мещерякова, 2007. - 272 с.

117. Советский энциклопедический словарь Текст. /гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 4-е. - М.: Сов. энцикл., 1987. - 1599 с.

118. Соколов, В. Н. Педагогическая эвристика: введение в теорию и методику эвристической деятельности Текст. : уч. пособие для студентов высших учебных заведений / В. Н. Соколов. М.: Аспект Пресс, 1995. -255 с.

119. Спиридонов, В. Ф. Психология мышления. Решение задач и проблем Текст.: учебное пособие /В.Ф.Спиридонов.- М.: Генезис, 2006.319 с.

120. Спиридонов, В. Ф. Роль эвристических средств в развитии процессов решения творческой задачи Текст. / В. Ф. Спиридонов // Вестн. Моск. ун-та. Серия 14, Психология. 1994. - № 2. - С. 13-25.

121. Столяр, А. А. Как мы рассуждаем? Текст. / А. А. Столяр. Минск: «Народная асвета», 1968. -112с.

122. Столяр, А. А. Логические проблемы преподавания математики Текст. / А. А. Столяр. — Минск: Высшая школа, 1965. 254 с.

123. Столяр, А. А. Методы обучения математике Текст. / А. А. Столяр. -Минск: Высшая школа, 1966. — 191 с.

124. Столяр, А. А. Педагогика математики Текст.: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. А. Столяр. Минск: Высшая школа, 1986.-414 с.

125. Столяренко, Л. Д. Основы психологии Текст.: учебное пособие / Л. Д. Столяренко. Изд.11 -е. — Ростов н/Д: Феникс, 2004. - 672 с.

126. Талызина, Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний Текст. / Н. Ф. Талызина. М.: МГУ, 1975. - 342 с.

127. Тамберг, Ю. Г. Как научить ребенка думать Текст. : учебное пособие / Ю. Г. Тамберг. СПб.: Издательство «Михаил Сизов», 2002. - 320 с.

128. Танеев, X. Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике в средней школе Текст. : автореф. дис. . докт. пед. наук / X. Ж. Танеев. СПб., 1997. - 34 с.

129. Тимофеева, И. Л. К вопросу об использовании логической символики при обучении математике Текст. / И. Л. Тимофеева // Математика в школе. 2006. - № 8. - С. 76-78.

130. Тимофеева, И. Л. Как устроено доказательство? Текст. / И. Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - № 8. - С. 73-80.

131. Тимофеева, И. Л. Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода Текст. : дис. . докт. пед. наук / И. Л.Тимофеева. М., 2005.400 с.

132. Тимофеева, И. Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного Текст. / И. Л. Тимофеева // Математика в школе. 1994. -№3,-С. 36-38.

133. Тимофеева, И. Л. О косвенных методах доказательства в обучении математике Текст. / И. Л. Тимофеева // Математика в школе. — 2007. -№ 1.-С. 15-20.

134. Тимофеева, И. Л. О логических эвристических средствах построения доказательств Текст. / И. Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004, -№ 10.-С. 42-50.

135. Тихомиров, О. К. Психология мышления Текст. / О. К. Тихомиров. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 270 с.

136. Тихомиров, О. К. Структуры мыслительной деятельности человека (опыт теоретического и экспериментального исследования) Текст. / О. К. Тихомиров. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. - 304 с.

137. Тихомиров О. К. Эвристика как проблема психологии мышления Текст. / О. К. Тихомиров // Психологические исследования. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. С. 87-100.

138. Тулькибаева, H. Н. Методика обучения учащихся умению решать задачи Текст. : учебное пособие к спецкурсу / H. Н. Тулькибаева, А. В. Усова. Челябинск: ЧПИ, 1981. - 87 с.

139. Формирование приемов математического мышления Текст. /под ред. Н. Ф. Талызиной. М.: Вентана-Граф, 1995. - 230 с.

140. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий Текст. / под ред. П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной. М.: Изд-во МГУ, 1968. - 136 с.

141. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике Текст. / Л. М. Фридман. — М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. — 224 с.

142. Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи Текст. : кн. для учащихся 9-11 кл. / Л. М. Фридман. М.: Просвещение, 2005. - 255 с.

143. Фридман, JI. M. Учитесь учиться математике Текст. / Л. М. Фридман. М.: Просвещение, 1985. - 112 с.

144. Хуторской, А. В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика Текст. / А. В. Хуторской. М.: Международная педагогическая академия, 1998. — 266 с.

145. Черч, А. Введение в математическую логику Текст. / А. Черч; пер. с англ. В. С. Чернявского; под ред. В. А. Успенского. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. - 485 с.

146. Шадриков, В. Д. Способности человека Текст. / В. Д. Шадриков. -М.: Институт практической психологии, 1997. 288 с.

147. Шарыгин, И. Ф. Математический винегрет Текст. / И. Ф. Шарыгин. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Мир, 2002. - 221 с.

148. Эльконин, Д. Б. Избранные психологические труды Текст. / Д. Б. Эльконин. -М.: Педагогика, 1989. 560 с.

149. Эсаулов, А. Ф. Психология решения задач Текст. / А. Ф. Эсаулов. — М.: Высшая школа, 1972. 216 с.

150. Якиманская, И. С. Знания и мышление школьника Текст. / И. С. Якиманская. М.: Знание, 1985. - 80 с.

151. Якиманская, И. С. Разработка технологии личностно-ориентированного обучения Текст. / И. С. Якиманская // Вопросы психологии. 1995.-№> 2. - С. 31-41.186