Система задач по тригонометрии в обучении математике учащихся средних общеобразовательных учреждений

Марасанов, Алексей Николаевич

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Система задач по тригонометрии в обучении математике учащихся средних общеобразовательных учреждений

Автореферат

Автор научной работы: Марасанов, Алексей Николаевич
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Йошкар-Ола
Год защиты: 2012
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Система задач по тригонометрии в обучении математике учащихся средних общеобразовательных учреждений"

ООО" —

На правах рукописи

А/

МАРАСАНОВ Алексей Николаевич

СИСТЕМА ЗАДАЧ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

■ 3 МАЙ 2012

Саранск - 2012

005016702

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций в ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет»

Научный руководитель:

Попов Николай Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по научной работе и инновационной деятельности, доцент кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета

Официальные оппоненты:

Родионов Михаил Алексеевич, доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой теории и методики обучения математике и информатике Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского

Наумова Людмила Михайловна, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института им. М. Е. Евсевьева

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова»

Защита состоится « и » ¿на А_2012 г. в часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева» по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а, ауд. 320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М. Е. Евсевьева.

Автореферат разослан « /3 » 2012 года

Ученый секретарь ¡-^у,

диссертационного совета ([¡^Сь**-^ Л. С. Капкаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Математика является неотъемлемой и существенной частью общечеловеческой культуры. Изучение данной дисциплины оказывает значительное воздействие на развитие и формирование личности, совершенствует мышление, помогает выработке мировоззрения, качественно влияет на нравственное и духовное воспитание учащихся.

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория, развиваются самостоятельность мышления и творческие способности, является решение математических задач. Устранение проблем, связанных с организацией этой деятельности, позволит школьникам овладеть умениями применять знания в различных ситуациях, воспринимать математику как единое целое, научит творческому подходу к поиску выходов из проблемных ситуаций.

Применение задач в обучении математике рассматривается многими исследователями. В работах А. К. Артемова, Я. И. Груденова, В. А-. Гусева, В. А. Далингера, М. И. Зайкина, Ю. М. Колягина, Е. С. Канина, В. И. Крупича, А. С. Крыговской, Е. И. Лященко, В. И. Мишина, А. Г. Мордковича, Д. Пойа, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, С. Б. Суворовой, Р. С. Черкасова, П. М. Эрдниева и др. отмечено, что решение задач является важным средством формирования у учащихся математических знаний и способов деятельности, основной формой учебной работы школьников в процессе изучения математики.

В последние десятилетия выполнен ряд исследований, результаты которых обогатили теорию и методику использования задач, обучения методам их решения, составления систем задач и т.д. Среди них работы М. А. Родионова, Л. С. Капкаевой, И. В. Егорченко, С. Н. Дорофеева, Р. А. Утеевой, А. В. Шатиловой, С. А. Атрощенко, Л. М. Наумовой и др.

Эффективность обучения во многом зависит от подбора задач, от их систематизации. В современной методике обучения математике все больше внимания уделяется использованию совокупностей, систем задач. Приемам построения блоков задач посвящены, например, работы И. Е. Дразнина, Т. А. Ивановой, В. И. Мишина, Т. М. Калинкиной, И. Я. Куприяновой, В. Ф. Харитонова, П. М. Эрдниева и др.

За основу конструирования систем школьных математических задач разные исследователи принимают различные положения. Идея систематизации задач в зависимости от их функций рассматривается в работах К. И. Нешкова, А. Д. Се-мушина, Ю. М. Колягина, Е. И. Лященко и других авторов. При этом многие из них указывают в качестве основных обучающую, развивающую и воспитывающую функции задач. С. Б. Суворова и М. Р. Леонтьева за исходные положения построения системы задач принимают функции задач в формировании понятий, изучении теорем, усвоении приемов деятельности, ограничиваясь направленностью только на предметное содержание курса математики.

ных. Построению систем задач, обладающих свойством структурной полноты, посвящены, например, работы В. И. Крупича, О. Б. Епишевой, Л. В. Виноградовой.

Математика выделяется среди других учебных предметов наличием сильных внутрипредметных связей. Поэтому неслучайно проблема выявления и реализации внутрипредметных связей привлекала внимание многих исследователей. В частности, ее рассматривали в своих работах В. А. Далингер, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, В. М. Монахов, В. Ю. Гуревич, К. С. Муравин, А. В. Сталин, А. В. Шевкин, А. А. Аксенов, Л. А. Терехова и др. В частности, В. А. Далингером были разработаны основы конструирования систем математических задач для реализации внутрипредметных связей, А. А. Аксенов исследовал проблему реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углубленным изучением математики, Л. А. Терехова в качестве средства укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики исследовала элементы стохастики.

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел. Это подтверждается наличием значительного числа внутрипредметных связей как внутри ее отдельных тем, так и между ними. Тригонометрия очень тесно связана с методом координат и с такими дисциплинами, как математический анализ, геометрия, алгебра.

Следует отметить, что отдельными вопросами обучения тригонометрии в школе занимались многие исследователи. Например, проблемам дифференцированного обучения тригонометрии в школе посвящены работы Г. В. Дорофеева, С. Е. Игольниковой, Ю. М. Колягина, В. Н. Литвиненко, Ю. Н. Макарычева и др. Вопросы прикладной направленности тригонометрии рассмотрены в работах Н. М. Бескина, А. В. Дорофеевой, Ю. Н. Макарычева, А. Г. Мордковича и др. Разработке определенной системы изучения тригонометрических функций в средней школе посвящены исследования И. В. Баума, Л. И. Жогиной, Н. Н. Шоластера и др. В работе О. А. Кузьменко раскрыты особенности изучения элементов тригонометрии в курсах геометрии и алгебры 8-9 классов. С. Н. Суханова рассматривает изучение тригонометрии на основе деятельностного подхода и технологии дистантного обучения как способ развития математических способностей.

Однако проведенный анализ школьных учебников и сборников задач по математике позволил сделать вывод о том, что в школьных учебниках математики не предусмотрено специальное обучение эвристикам; задачи, представленные в сборниках, не учитывают в достаточной мере преемственных связей в контексте системы "основная школа - старшие классы"; сборники задач по математике, в частности, по тригонометрии, не ориентированы на индивидуальные особенности обучаемых.

ЕГЭ, федеральных государственных образовательных стандартов основного и среднего математического образования - с другой. Этот вывод подтверждается исследованиями Федерального института педагогических измерений (ФИЛИ)1: у большинства учащихся уровень знаний и умений по таким разделам математики как геометрия, тригонометрия и задачи на составление уравнений не соответствует предъявляемым требованиям. Подобная тенденция, к сожалению, сохраняется и в последние годы. Необходимы поиски путей устранения данного противоречия, что свидетельствует об актуальности темы нашего исследования, проблема которого заключается в разработке методических основ конструирования систем задач по тригонометрии, реализующих цели обучения математике в целом и тригонометрии - в частности. Решение данной проблемы составляет цель диссертационного исследования.

Объект исследования - процесс обучения школьников тригонометрии в средних общеобразовательных учреждениях.

Предмет исследования - задачи и их роль в обучении школьников тригонометрии.

Гипотеза исследования состоит в том, что процесс обучения школьников тригонометрии будет более эффективным, если:

- провести анализ школьных задач по тригонометрии в учебниках и сборниках задач по математике;

- выявить принципы и критерии построения систем задач по тригонометрии;

-разработать методику конструирования систем математических задач;

- внедрить разработанную методику в практику обучения математике.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить состояние проблемы конструирования математических задач по литературным источникам, провести анализ задач по тригонометрии в школьных учебниках и в учебных пособиях по математике.

2. Выявить теоретические основы построения систем школьных задач по тригонометрии.

3. Разработать методику конструирования задач по тригонометрии в школьном курсе математики.

4. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Для решения поставленных выше задач в процессе исследования был использован следующий комплекс методов:

- теоретические методы исследования: анализ научно-методической, психолого-педагогической и специальной литературы по проблеме исследования; изучение государственных образовательных стандартов, рабочих программ, учебных пособий, дидактических материалов по тригонометрии;

- эмпирические методы исследования: наблюдение за ходом учебно-воспитательного процесса, самостоятельной работой учащихся; анкетирование, тестирование школьников; констатирующий и формирующий эксперименты;

1 ЕГЭ 2008. Математика. Методические материалы / Л.О. Денищева, К.А. Краснянская, Н.Б. Мельникова. -М.: Эксмо, 2008. - 128с.

- статистические методы: количественная и качественная обработка результатов педагогических исследований методами математической статистики.

Исследовательская работа проводилась в 1990-2012 гг. в несколько этапов.

Первый этап - поисково-теоретический. На данном этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме использования задач в обучении математике, анализ школьных учебников математики и сборников задач с целью выявления теоретических основ конструирования систем задач по тригонометрии; изучалось состояние проблемы в практике обучения; формировались рабочая гипотеза и задачи исследования; проводился констатирующий эксперимент.

Второй этап - экспериментальный. В ходе его проведения осуществлялось уточнение рабочей гипотезы, целей, задач исследования, разрабатывались принципы построения систем задач, составлялись системы задач по тригонометрии, проводился поисковый эксперимент. Проведенный констатирующий эксперимент способствовал обоснованию актуальности исследуемой проблемы, определению условий повышения качества математических знаний учащихся на основе теоретического анализа систем упражнений и задач с выявлением значимых примеров и заданий и создания структурно-логической схемы указанных систем.

Третий этап — обобщающий. На этом этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики; проанализированы и обобщены полученные результаты, сделаны основные теоретические и экспериментальные выводы, практические рекомендации, полученные результаты оформлены в виде диссертационной работы.

Научная новизна выполненного исследования заключается в тОм, что в нем решена проблема совершенствования процесса обучения тригонометрии в средней школе на основе внедрения в него систем задач, принципами конструирования которых являются: соответствие функциям задач, дифференциация, преемственность обучения, обучение эвристикам, реализация внутрипредметных связей.

Теоретическая значимость. Разработанные теоретические положения, определяющие методику конструирования систем школьных задач по тригонометрии, могут быть рекомендованы для обновления базисных учебных планов и программ факультативных курсов по математике в средних общеобразовательных учреждениях. Кроме того, в исследовании выделены функции задач в обучении тригонометрии в средней школе; принципы и критерии построения систем задач; разработана методика конструирования задач по тригонометрии в школьном курсе математики.

Практическая ценность работы заключается в вооружении педагогов конкретной методикой конструирования систем задач. Разработанные в диссертационном исследовании теоретические положения и практические рекомендации могут быть использованы учителями и преподавателями математических дисциплин в средней и высшей школе для повышения качества знаний учащихся и студентов, а также при подготовке лекционных и практических занятий, для разработки сборников задач, учебных и методических пособий для студентов математических специальностей и направлений подготовки.

Методологической основой исследования послужили работы по проблемам диалектического единства теории и практики; теории познания, образования и воспитания; теории развития личности; концепции деятельностного подхода и системного анализа; исследования по проблеме задач в обучении математике.

Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены:

- опорой на теоретические положения в области теории и методики обучения математике, психологии;

- применением совокупности методов исследования, адекватных его предмету, задачам и логике;

- последовательным проведением этапов педагогического эксперимента;

- репрезентативностью объема выборок и статистической значимостью экспериментальных данных;

- использованием математического аппарата для оценки результатов исследования.

Опытно-экспериментальной базой исследования явились МОУ «Средняя общеобразовательная школа №29 г. Йошкар-Олы», МОУ «Средняя общеобразовательная школа п. Юрино» Республики Марий Эл, МОУ «Средняя общеобразовательная школа №2 п. Советский» Республики Марий Эл, ГОУ Республики Марий Эл «Многопрофильный лицей-интернат». В исследовании принимали участие 328 учащихся названных общеобразовательных учреждений.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

- Второй Всероссийской научно-практической конференции «Диагности-ко-технологическое обеспечение преемственности в системе образования» (Йошкар-Ола - Сургут, 2000 г.);

- XII Международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004 г.);

- XV Международной конференции «Математика. Образование» (Чебоксары, 2007 г.);

- Всероссийском методологическом семинаре «Мониторинг качества воспитания и творческого саморазвития конкурентоспособной личности» (Казань, 2008 г.);

- на итоговых научных конференциях преподавателей в Марийском государственном университете и в Марийском государственном техническом университете (2003-2010 гг.), а также на заседаниях научно-методического семинара в Марийском государственном университете (2009-2012 гг.).

Кроме того, по результатам исследования получены два акта о внедрении.

Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в т.ч. 3 учебных пособия (в соавторстве) и 3 научные статьи в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Важнейшим средством достижения целей обучения тригонометрии являются специальным образом сконструированные системы задач.

2. Конструирование систем школьных задач по тригонометрии должно удовлетворять:

- принципу преемственности обучения;

- принципу обучения эвристикам;

- принципу соответствия функциям задач в школе;

- принципу дифференциации обучения;

- принципу внутрипредметных связей.

Роль связующего звена в совокупности данных принципов играет принцип внутрипредметной связи.

3. Принципы построения систем задач реализуются посредством специальных критериев. Например, принципу преемственности обучения соответствуют критерии, позволяющие выделить задачи, реализующие этот принцип. Задачи, обеспечивающие реализацию этих критериев, называют критериальными.

На защиту также выносятся методика выявления значимых задач в системах математических задач на основе теоретического анализа таких систем с учетом диагностических данных, система задач на применение числовой окружности, сконструированная с использованием авторского учебного пособия.

Структура диссертациопной работы определяется постановкой проблемы исследования и включает в себя введение, две главы, заключение, библиографический список используемой литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулированы объект, предмет, цель, гипотеза, задачи, раскрываются методологические основы, характеризуются методы и этапы исследования, показана научная новизна полученных результатов, их теоретическая и практическая значимость, определяются положения, выносимые на защиту, ход апробации и внедрения результатов работы.

В первой главе диссертационной работы рассматриваются теоретические аспекты исследуемой проблемы.

В первом параграфе данной главы выявлена специфика обучения тригонометрии в курсе математики средней школы. Она проявляется, во-первых, в той весомой роли, которую играют элементы тригонометрии в изучении курсов алгебры, геометрии, начал анализа. Во-вторых, в ее практическом применении в астрономии, геодезии, навигации, механике, физике, технике, артиллерии, авиации, гидравлике. Как отмечают многие методисты-математики (Ю.М Коля-гин, В.А. Оганесян и др.), тригонометрические функции являются первыми трансцендентными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики, роль и место которых в нем определяются главным образом двумя областями применения: в теории и практике. Эти функции не только дают замечательный вычислительный аппарат для решения разнообразнейших задач планиметрии и стереометрии, но и позволяют весьма наглядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие свойства функций: периодичность, четность и нечетность, ограниченность, монотонность.

В-третьих, элементы тригонометрии «разбросаны» по вышеназванным курсам, что, с одной стороны, открывает перспективы для установления межпредметных связей между данными курсами, а с другой стороны - предъявляет повышенные требования к реализации преемственности в изучении тригонометрического материала.

В методике обучения математике установлено, что цели обучения этому предмету должны включать не только формирование у учащихся определенной системы знаний и умений, но и обучение учащихся эвристикам, действиям, адекватным учебному материалу, способам деятельности, обеспечивать возможность каждому школьнику усваивать математику в соответствии с его способностями и интересами. Сказанное выше, а также обобщение трактовок целей обучения тригонометрии различными методистами позволило нам сформулировать цели обучения данному разделу математики, а именно, изучение тригонометрии в средней школе должно быть направлено на систематизацию знаний учащихся о тригонометрических функциях числового аргумента, обобщение и расширение знаний о свойствах тригонометрических функций, развитие умений проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений, используя формулы, указанные в школьной программе по математике, ознакомление с решением простейших тригонометрических уравнений и неравенств, а также изучение некоторых приемов решения тригонометрических уравнений и их систем.

В объяснительной записке к программе по математике для средней общеобразовательной школы (У-Х1 классы) перечислены навыки и умения в использовании тригонометрических знаний, которыми должен обладать выпускник школы: 1) строить графики указанных в программе тригонометрических функций, опираясь на изученные свойства этих функций; 2) проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений, используя формулы, указанные в программе; 3) решать простейшие тригонометрические уравнения, неравенства, а также системы простейших тригонометрических уравнений и неравенств; 4) использовать тождественные преобразования тригонометрических выражений для упрощения уравнений и неравенств; 5) применять аппарат тригонометрии в ходе решения геометрических задач.

Во втором параграфе рассмотрены функции задач в обучении математике в средней школе.

Анализ научно-методической литературы показал, что существуют различные точки зрения на функции задач в обучении математике. Так, исходным положением в исследованиях Ю. М. Колягина является концепция задачи как особого взаимодействия человека с задачной ситуацией. В контексте этого положения им проведено исследование системы «задача - ученик (ученики)»; проанализированы трактовки понятия «задача», структура задач, использование задач для развития математического мышления школьников, намечены основные пути развития методики обучения математике через задачи. При этом исследователь выделяет три основных категории функций задач: обучающие, воспитывающие и развивающие. Обучающие функции задач он подразделяет на функции общего, специального и конкретного характера. При этом Ю. М.

Колягин считает, что общие обучающие функции имеют место не только в процессе изучения математики, но и других предметов естественно-математического цикла.

Исследуя роль задач в обучении математике, Г. И. Саранцев ввел в рассмотрение другое отноше1ше - «совокупность задач — ученик (ученики)». В рамках такого подхода ученый обосновал место задач в формировании понятий и в методике работы с теоремой, им показана важная роль задач в изучении самой теории и акцентировано внимание на проблеме отбора задач. Он сопоставил каждому этапу формирования понятия или работы с теоремой соответствующие упражнения.

Развивая идеи предшествующих исследователей, В. И. Рыжик рассматривает отношение «система задач - ученик - учитель», подчеркивая тем самым руководящую роль педагога в процессе обучения.

К основным функциям задач, характерным для обучения математике, Г. И. Саранцев относит следующие: 1) быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи теории с практикой.

Данные функции являются предпосылками для выявления рассмотренных в третьем параграфе принципов конструирования систем математических задач.

Одним из принципов конструирования таких систем является принцип соответствия функциям задач. Математика как учебный предмет представляет собой совокупность научных знаний, умственных и практических способов деятельности (умений и навыков), выражающих основное содержание и методы этой науки. Согласно концепции деятельностного подхода усвоение знаний предполагает овладение действиями, адекватными этим знаниям. Следовательно, с точки зрения содержания обучения задачи являются носителем действий, соответствующих этапам решения этих задач. Поэтому система задач должна отражать действия, адекватные тем знаниям, умениям и навыкам, которые учащиеся должны приобретать в школе.

Учебный процесс в средней школе должен способствовать раскрытию и развитию индивидуальных особенностей личности учащихся, их творческого потенциала, способностей к самообразованию. Наиболее эффективным средством достижения этих целей является дифференцированная подготовка. Следовательно, принцип дифференциации обучения также является принципом конструирования систем задач. И система задач по тригонометрии в средней школе должна строиться с учетом индивидуальных особенностей учащихся, всех компонентов их личности - мотивационного, содержательно-операционного и эмоционально-волевого.

Развитие мышления учащихся может идти не только путем овладения специальными знаниями различных предметов, но и путем развития способностей к самостоятельной мыслительной деятельности. Успех исследовательской деятельности школьников в основном обеспечивается правильным планирова-

нием видов и форм заданий, использованием эффективных систем заданий, а также умелым руководством учителя этой деятельностью. Поэтому следующим принципом конструирования систем задач является принцип обучения эвристикам.

Под эвристикой в математике понимают, как правило, всякий способ, который может привести к нахождению нужного метода решения задачи или доказательства теоремы. Именно поэтому эвристики находят широкое применение при решении задач, поиске доказательства теорем, а также в обучении доказательству. При изучении математики их разделяют на базовые, специальные эвристические приемы и методы научного познания. К базовым эвристикам относят приемы преобразования требования задачи, выведения следствий, составление вспомогательных задач и др. Специальные эвристики связаны с изучением конкретных математических фактов. Знакомство с такими эвристиками осуществляется в процессе развития содержания, их формирование должно осуществляться на протяжении изучения всего курса математики в школе.

Основное место среди творческих методов изучения математики занимает аналогия. Она способствует открытию свойств и признаков объектов, является инструментом поиска решения задачи и его конструирования. Чтобы овладеть методом аналогии, учащиеся должны владеть действиями, адекватными этому методу. Для их формирования необходимы специальные задачи.

К эффективным приемам поиска доказательства теорем, открытия новых фактов, способов решения задач относится обобщение. Д ля эффективного усвоения математики важны умения сравнивать, обобщать, видеть и находить сходства в решении задач, при изучении теоретического материала. Это способствует формированию мировоззрения учащихся, является средством философского подхода к разнообразным явлениям окружающего мира. Кроме того, использование аналогии и обобщений невозможно без творчества, а это есть путь к постоянному самосовершенствованию.

Преемственность в обучении способствует осознанию ведущих идей предмета посредством осуществления взаимосвязи между представлениями, понятиями, умениями, навыками; способствует более глубокому осмыслению изучаемого материала. Задачи содействуют установлению преемственных связей, так как в содержание задач изначально «заложено» обучение математике. Следовательно, необходима преемственность в содержании задач, их функциях и способах решения, в формировании действий. Однако анализ действующих учебников и сборников задач по математике для средней школы показал, что задания, содержащиеся в них, не реализуют в полной мере преемственные связи в обучении тригонометрии. Это, в конечном счете, отрицательно влияет на результаты обучения. Таким образом, для конструирования систем задач необходимо соблюдение принципа преемственности обучения.

Школьные учебники должны содержать задачи, способствующие формированию умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики в вузе. Достижению этой цели помогут упражнения для развития самоконтроля, на систематизацию знаний. Включение в школьные учебники и учебные пособия задач, формирующих действия, адекватные математическим методам, будет способствовать повышению качества математической подготовки выпускников

школ, развитию умений и навыков, формирование которых было начато в школе, поможет адаптации первокурсников в системе обучения в вузе.

В четвертом параграфе работы рассматривается проблема конструирования учебного материала и установления связей между элементами внутри-предметной структуры, которая относится в методике обучения математике к разряду очень важных, но недостаточно разработанных. Понятие внутрипред-метных связей трактуется неоднозначно. В частности, В. А. Далингер рассматривает их как один из общих ориентиров в планировании, организации и анализе практики обучения. Он считает, что эти связи предъявляют особые требования ко всем компонентам процесса обучения. С этой точки зрения, реализацию внутрипредметных связей можно рассматривать как дидактический принцип. Более того, так как внутрипредметные связи направлены на обеспечите системности знаний, то они непосредственно влияют и на качество знаний, подчиненные ей. Выделяя такие типы внутрипредметных связей, как односторонние, двусторонние, многосторонние, В. А. Далингер относит к внутрипредметным связям те, которые направлены на раскрытие существенных и несущественных признаков понятий, на установление зависимостей между этими признаками, на раскрытие содержания понятий.

Следуя Л. В. Дубовой, мы понимаем внутрипредметную связь как компонент педагогической системы, которая связывает элементы структуры внут-рипредметного содержания образования и состоит из объекта связи - любой единицы знаний, навыков и умений, принадлежащей рассматриваемому предмету, и используемой, по крайней мере, в двух элементах его структуры; канала связи - одного или нескольких элементов образовательной технологии, адекватной предмету, внутри которого устанавливается связь.

Направление внутрипредметной связи задается направлением передачи учебной информации от элемента структуры, где объект связи появляется впервые, к компоненту структуры, с которым устанавливается связь.

При выполнении диссертационного исследования с учетом выше указанных принципов были разработаны системы задач по тригонометрии. Как известно, при решении какой-либо математической задачи нужно выполнить определенную последовательность операций, каждая из которых соответствует некоторому объему необходимых для этого знаний. Эта последовательность действий определяет способ решения задачи.

Исходя из этого, каждое задание системы задач было разбито на составляющие его части, соответствующие определенному этапу решения, а также некоторому объему математических знаний по тригонометрии. Такие единицы знаний в дальнейшем понимаются нами как элементарные составляющие задания.

В таблице 1 приведены элементарные составляющие заданий по тригонометрии одной из систем задач. Наглядное представление о наполнении заданий этой системы задач элементарными составляющими, а также о существовании естественных внутренних связей между ее упражнениями дает рисунок 1.

Таблица 1

Элементарные составляющие заданий по тригонометрии

№ Название элементарной составляющей заданий по тригонометрии

1. числовая окружность, радианное измерение углов

2. понятие (фупкция) (ко)сииуса действительного числа

3. понятие (функция) (ко)тангенса действительного числа, ось (ко)тангенса

4. понятие арк(ко)тангенса действительного числа

5. множество значений функции (ко)синус

6. (не)четность обратных тригонометрических функций

7. формулы приведения

8. значения тригонометрических функций «стандартных» углов

9. значепия аркфункций

10. (не)четность тригонометрических функций

11. тождественные преобразования алгебраических выражений

12. основное тригонометрическое тождество (следствие)

13. формула (ко)синуса двойного угла

14. решение простейших тригонометрических уравнений

15. формулы понижения степени

16. замена переменной

17. решение квадратных (однородных) уравнений

18. формула (ко)таигенса разности углов

19. решение простейших тригонометрических неравенств

20. решение квадратных неравенств (метод интервалов)

На нем каждый пример обозначен прямоугольником, номер которого указан внизу справа в квадратике и соответствует его расположению в системе задач. Левый столбец прямоугольников соответствует заданиям первой части, средний столбец - заданиям второй, а правый - заданиям третьей части этой системы. Каждый прямоугольник разбит на определенное число квадратиков с номером внутри, соответствующим элементарной составляющей из таблицы 1. Заметим, что на этом рисунке среди кзадратов есть выделенные темным фоном. Они обозначают элементарные составляющие, которые не относятся непосредственно к тригонометрии, а соответствуют тем или иным алгебраическим действиям.

Все элементарные составляющие с одинаковыми номерами соединены линиями со стрелками. Именно эти линии и указывают на внутрипредметные связи между заданиями системы задач. Кроме того, по этому рисунку без особого труда можно определить и количество таких связей. На основе структурно-логической схемы выявления внутрипредметных связей системы задач по тригонометрии составлена круговая диаграмма этих связей (рис. 2). Составление круговой диаграммы является чрезвычайно важным аспектом в таких исследованиях, особенно при проведении констатирующего эксперимента. Пренебрежение этой работой из-за ее трудоемкости, как отмечают некоторые ученые, может привести к ошибочным результатам.

Рассмотренный в этом параграфе анализ системы задач позволяет сделать следующее предположение: разбиение заданий на элементарные составляю-

10 7

7 12

6 7 1 3 12

б 10 7 1 3 12

Рис. 1. Структурно-логическая схема системы задач по тригонометрии

Рис. 2. Диаграмма явных внутрипредметных связей между заданиями системы задач по тригонометрии

щие (см. табл. 1), построение структурно-логической схемы выявления внутрипредметных связей (рис.1) и круговой диаграммы явных связей (рис. 2) позволяет создавать системы задач, удовлетворяющие принципам, указанным в первой главе диссертационного исследования.

Во второй главе представлены методические аспекты построения систем задач по тригонометрии и приведены результаты экспериментальной работы.

В первом параграфе выявлены критерии отбора задач:

- формирующих понятия;

- для изучения теорем;

- формирующих эвристики;

- реализующих принцип преемственности;

- обеспечивающих дифференциацию обучения;

- реализующих внутрипредметные связи.

Например, критериями, реализующими формирование эвристик, являются: 1) обучение эвристическим приемам; 2) обучение методам научного познания.

Выделенные критерии в совокупности реализуют тесно взаимосвязанные между собой принципы конструирования систем задач по тригонометрии.

Во втором параграфе данной главы приведена сконструированная нами на основе выделенных принципов и критериев система задач на применение понятия числовой окружности. Как отмечают исследователи, на это понятие существенным образом опирается методика обучения тригонометрии в средней школе. Оно является не только важнейшим элементом изучения указанного раздела математики, но и незаменимым его средством: обеспечивает понимание вводимых определений (синуса и косинуса числа), облегчает прочное усвоение

основных формул. Недоработки с этим понятием и слишком поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать надежный фундамент для успешного усвоения учебного материала.

Сконструированная система содержит задачи на усвоение понятия числовой окружности, на применение этого понятия к нахождению и сравнению числовых тригонометрических выражений, к нахождению значений обратных тригонометрических функций, к решению простейших тригонометрических уравнений, неравенств и систем.

Третий параграф посвящен результатам экспериментальной работы, в котором приведены статистические данные констатирующего и формирующего экспериментов.

Диагностико-технологический подход для повышения качества математических знаний школьников по тригонометрии целесообразно использовать в учебном процессе, опираясь на так называемую диаграмму сильных связей. Применение методики конструирования систем упражнений и задач по тригонометрии на основе выделения значимых примеров и заданий при ее апробации в 10 классе средней школы №29 г. Йошкар-Олы привело к построению следующей диаграммы (рис. 3).

Рис. 3. Круговая диаграмма сильных связей между заданиями системы задач по тригонометрии

Упражнения контрольной работы, выполненные учащимися в ходе формирующего эксперимента со средней оценкой не менее 4 баллов по пятибалльной шкале, обозначены кружочками с утолщенной границей; в остальных случаях - с тонкой. Сильные связи между заданиями, подтверждаемые значениями так называемого ¿-критерия при г > 1,64 на рисунке обозначены линиями. Круговая диаграмма в данном случае позволяет сделать вывод о том, что задания с номерами 3, 5, 7, 9, 11 и 16 следует отнести к значимым для рассматриваемой системы задач. Формирующий эксперимент показал: наработка навыков и уме-

ний в решении примеров, соответствующих значимым упражнениям системы задач, существенным образом повышает результативность выполнения школьниками заданий контрольной работы, что после обработки статистических данных проиллюстрировано на рисунке 4.

Рис. 4. Средние баллы по заданиям контрольной работы по тригонометрии (КЭ - констатирующий эксперимент, ФЭ - формирующий эксперимент)

В четвертом параграфе раскрыта эффективность и практическая значимость методики выявления значимых примеров системы упражнений и задач по тригонометрии. Проведен количественный и качественный анализ диагностических данных педагогического эксперимента, выполнена математическая обработка его результатов. Использование критерия Манна-Уитни для проверки достоверности выводов по статистическим данным подтвердило гипотезу исследования.

Применение методики определения значимых примеров и заданий систем упражнений и задач на основе разбиения заданий на элементарные составляющие, построения структурно-логической схемы выявления внутрипредметных связей и круговой диаграммы сильных связей позволяет создавать системы задач, удовлетворяющие принципам, указанным в §3 первой главы. Использование таких систем задач приводит к существенному повышению качества математических знаний школьников по тригонометрии, способствует развитию их мыслительной деятельности, общих интеллектуальных умений и творческих способностей.

В процессе экспериментального исследования получены результаты и сделаны соответствующие выводы, которые описаны в конце четвертого параграфа второй главы.

В заключении диссертационной работы приведены краткие выводы и обобщения. В процессе достижения указанной цели нам удалось подтвердить гипотезу исследования.

В ходе диссертационного исследования были получены следующие результаты:

1. На основе анализа методической литературы выделены цели обучения тригонометрии в средней школе. Анализ школьных учебников и сборников задач

по математике показал, что в них недостаточно полно отражены действия, адекватные содержанию обучения тригонометрии, не уделяется достаточное внимание формированию преемственных связей, реализации дифференциации обучения, не предусмотрено обучение эвристикам.

2. Выявлены принципы конструирования систем задач по тригонометрии в школьном курсе математики: обучения эвристикам, соответствия функциям задач, преемственности обучения, дифференциации обучения, а также принцип внутрипредметных связей.

3. В соответствии с указанными принципами разработана методика конструирования систем школьных задач по тригонометрии. Для выявленных принципов выделена совокупность реализующих их критериев, составлены системы задач на применение числовой окружности.

4. Экспериментальная работа подтвердила справедливость гипотезы исследования. Доказано, что использование в обучении школьников тригонометрии систем задач, составленных в соответствии с разработанной методикой их конструирования, способствует повышению качества математических знаний учащихся.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что задачи исследования решены, цель исследования достигнута. Апробация и внедрение авторской методики конструирования систем задач по тригонометрии на основе выделенных принципов и критериев с учетом внутрипредметных связей, выявления значимых примеров и заданий таких систем с использованием диашостико-технолош-ческого подхода, свидетельствуют об эффективности ее применения в практике обучения математике в средних общеобразовательных учреждениях.

Теоретические подходы, разработанные в исследовании, могут найти свое применение при обучении школьников другим разделам математики.

I. Публикации в журналах, рекомендованных ВАК

1. Марасанов, А. Н. О методологическом подходе в обучении тригонометрии / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов // Знание. Понимание. Умение. - 2008. -№4. - С. 139-141. (авторский вклад-50%)

2. Марасанов, А. Н. О выявлении внутрипредметных связей при изучении тригонометрии / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов // Наука и школа. - 2009. - № 5. - С. 37-39. (авторский вклад - 50%)

3. Марасанов, А. К О методике обучения школьников решению иррациональных уравнений / А. Н. Марасанов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2010. -№3(67). - Т.2. - С. 127-134.

П. Публикации в других изданиях

4. Марасанов, А. Н. Математика. Контрольные и самостоятельные работы для подготовительного отделения: метод, указания / А. Н. Марасанов -Йошкар-Ола: Map. гос. ун-т, 1991. - 44 с.

5. Марасанов, А. Н. Высшая математика и математическая статистика: методические^ указания и контрольные задания / А. Н. Марасанов, Т. М. Буева, А. Р. Буев. - Йошкар-Ола: Map. гос. ун-т, 1996. - 76 с. (авторский вклад - 60%)

6. Марасанов, А. Н. Тригонометрия: учебное пособие / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов. - Йошкар-Ола: Map. гос. ун-т, 2000. - 95 с. (авторский вклад - 50%)

7. Марасанов, А. Н. Об особенностях преподавания математики на подготовительном отделении вуза / А. Н. Марасанов // Диагностико-технологическое обеспечение преемственности в системе образования: материалы второй все-росс. науч.-практ. конф. — Йошкар-Ола - Сургут, 2000. - С. 73.

8. Марасанов, А. Н. Об учебно-методическом обеспечении преподавания школьного курса тригонометрии / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов // Диагностико-технологическое обеспечение преемственности в системе образования: материалы второй всеросс. науч.-практ. конф. - Йошкар-Ола - Сургут, 2000. - С. 81. (авторский вклад - 50%)

9. Марасанов, А. Н. Задачи на составление уравнений: учебное пособие / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов. - Йошкар-Ола: Map. гос. ун-т. - 2003. - 109 с. (авторский вклад - 50%)

10. Марасанов, А. Н. О решении задач на составление уравнений / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов // Проблемы естественнонаучного образования в современных условиях: материалы межвуз. метод, конф. 2003-2004 гг. -Йошкар-Ола. - 2004. - С. 87. (авторский вклад - 50%)

11. Марасанов, А. Н. О преемственности и непрерывности учебного процесса в рамках системного звена «Школа — вуз» на примере подготовительных отделений / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов // Проблемы естественнонаучного образования в современных условиях: материалы межвуз. метод, конф. 20032004 гг. - Йошкар-Ола. - 2004. - С. 171. (авторский вклад - 50%)

12. Марасанов, А. Н. О непрерывности математического образования в рамках системного звена «Школа - вуз» на примере подготовительных отделений / А. Н. Марасанов // Математика в высшем образовании: тезисы докладов XII междунар. конф. 24-30 мая 2004 года. - Чебоксары. - 2004. - С. 96.

13. Марасанов, А. Н. О методике решения задач на составление уравнений. / Н.И. Попов, А.Н. Марасанов // Математика в высшем образовании: тезисы докладов ХП междунар. конф. 24-30 мая 2004 года. - Чебоксары. - 2004. - С. 98. (авторский вклад - 50%)

14. Марасанов, А. Н. Об особенностях предвузовской подготовки школьников к экзамену по математике по разделу «Тригонометрия» / А. Н. Марасанов // Математика. Образование: материалы XV междунар. конф. 28 мая - 2 июня 2007 г. - Чебоксары. - 2007. - С. 153.

15. Марасанов, А. Н. О методических аспектах проведения занятий по школьному спецкурсу «Математика» в профильных классах / А. Н. Марасанов // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II междунар. науч. конф. 11-16 декабря 2007 г. - Воронеж. - 2007. - С. 128-129.

16. Марасанов, А. Н. Тригонометрия: учебное пособие, 2-е изд., испр. и доп. / Н. И. Попов, А. Н. Марасанов. - Йошкар-Ола: Map. гос. ун-т, 2009. -114 с. (авторский вклад - 50%)

Подписано в печать 18.04.2012 г. Формат 60><84 1/16. Печать ризография. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 120 экз. Заказ № 50.

ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева» Редакционно-издательский центр 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, д. 11а

Текст диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Марасанов, Алексей Николаевич, Йошкар-Ола

ФГБОУ ВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

6112-13/1157

На правах рукописи

МАРАСАНОВ Алексей Николаевич

СИСТЕМА ЗАДАЧ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель -

кандидат физико-математических наук,

доцент Н.И. Попов

Йошкар-Ола - 2012

Содержание

Введение..........................................................................................................3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ

СИСТЕМ ЗАДАЧ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ...........................................12

§1. Цели обучения тригонометрии в средней школе........................ 12

§2. Функции задач в обучении математике.....................................19

§3. Принципы конструирования систем математических задач.........30

§4. Внутрипредметные связи как принцип конструирования систем

задач по тригонометрии................................................

Выводы по главе I......................................................................................................уу

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ

СИСТЕМ ШКОЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ........................79

§1. Критерии конструирования систем задач...................................79

§2. Система задач на применение числовой окружности....................93

§3. Результаты экспериментальной работы....................................98

§4. Эффективность и практическая значимость методики

конструирования систем задач по тригонометрии...............................145

Выводы по главе II.................................................

Заключение....................................................

Библиографический список......................................................................................1^5

Приложения..........................................................................................................279

Введение

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются самостоятельность мышления и творческие способности, является решение математических задач. Устранение проблем, связанных с организацией этой деятельности, позволит учащимся овладеть умениями применять знания в различных ситуациях, воспринимать математику как единое целое, научит творческому подходу к поиску выходов из проблемных ситуаций.

Применение задач в обучении математике рассматривается многими исследователями. В работах А. К. Артемова, Я. И. Груденова, В. А. Гусева, В. А. Далингера, М. И. Зайкина, Ю. М. Колягина, Е. С. Канина, В. И. Крупича, А. С. Крыговской, Е. И. Лященко, Н. И. Мерлиной, В. И. Мишина, А. Г. Мордковича, Д. Пойа, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, С. Б. Суворовой, Р. С. Черкасова, П. М. Эрдниева отмечено, что решение задач является важным средством формирования у учащихся математических знаний и способов деятельности, основной формой учебной работы школьников в процессе изучения математики [см., напр., 19,48, 104,116,137].

В последние десятилетия выполнен ряд исследований, результаты которых обогатили теорию и методику использования задач, обучения методам их решения, составления систем задач. Среди них работы М. А. Родионова, Л. С. Капкаевой, И. В. Егорченко, С. Н. Дорофеева, Р. А. Утеевой, А. В. Шатиловой, С. А. Атрощенко, Л. М. Наумовой и других исследователей.

Эффективность обучения во многом зависит от подбора задач, от их систематизации. В современной методике обучения математике все больше

внимания уделяется использованию совокупностей, систем задач. Приемам построения блоков задач посвящены, например, работы И. Е. Дразнина, Т. А. Ивановой, В. И. Мишина, Т. М. Калинкиной, И. Я. Куприяновой, В. Ф. Харитонова, П. М. Эрдниева.

За основу конструирования систем школьных математических задач разные исследователи принимают различные положения. Идея систематизации задач в зависимости от их функций рассматривается в работах К. И. Нешкова, А. Д. Семушина, Ю. М. Колягина, Е. И. Лященко и других авторов [69, 37, 50]. При этом многие из них указывают в качестве основных обучающую, развивающую и воспитывающую функции задач. С. Б. Суворова и М. Р. Леонтьева за исходные положения построения системы задач принимают функции задач в формировании понятий, изучении теорем, усвоении приемов деятельности, ограничиваясь направленностью только на предметное содержание курса математики.

Принципам конструирования систем задач по курсу математики средней школы большое внимание уделяется в исследованиях Г. И. Саранцева, Я. И. Груденова, М. И. Денисовой, С. Б. Суворовой, Е. Ю. Мигановой и других ученых [104, 17, 48, 63]. Построению систем задач, обладающих свойством структурной полноты, посвящены, например, работы В. И Крупича, О. Б. Епишевой, Л. В. Виноградовой [27].

Математика выделяется среди других учебных предметов наличием сильных внутрипредметных связей. Поэтому неслучайно проблема выявления и реализации внутрипредметных связей привлекала внимание многих исследователей. В частности, ее рассматривали в своих работах В. А. Далингер, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, В. М. Монахов, В. Ю. Гуревич, К. С. Муравин, А. В. Столин, А. В. Шевкин, А. А. Аксенов, Л. А. Терехова. [20, 51, 64, 68, 115, 135]. В. А. Далингером были разработаны основы конструирования систем математических задач для реализации внутрипредметных связей [21, 23], А. А. Аксенов исследовал проблему реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с

углубленным изучением математики [1], Л. А. Терехова в качестве средства укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики исследовала элементы стохастики [119].

Следует отметить, что отдельными вопросами обучения тригонометрии в школе занимались многие исследователи. Например, проблемам дифференцированного обучения тригонометрии в школе посвящены работы Г. В. Дорофеева, С. Е. Игольниковой, Ю. М. Колягина, В. Н. Литвиненко, Ю. Н. Макарычева. Вопросы прикладной направленности тригонометрии рассмотрены в работах Н. М. Бескина, А. В. Дорофеевой, Ю. Н. Макарычева, А. Г. Мордковича. Разработке определенной системы изучения тригонометрических функций в средней школе посвящены исследования И. В. Баума, Л. И. Жогиной, Н. Н. Шоластера и других исследователей. В работе О. А. Кузьменко раскрыты особенности изучения элементов тригонометрии в курсах геометрии и алгебры 8-9 классов [42]. С. Н. Суханова рассматривает изучение тригонометрии на основе деятельностного подхода и технологии дистантного обучения как способ развития математических способностей [117].

Кроме того, несмотря на все предпринимаемые усилия в обучении математике, в связи с введением единых государственных экзаменов (ЕГЭ), обострилось противоречие между реальными знаниями по математике у выпускников средних общеобразовательных школ - с одной стороны, и требованиями ЕГЭ, федеральных государственных образовательных стандартов основного и среднего математического образования - с другой. Этот вывод подтверждается исследованиями Федерального института педагогических измерений (ФИЛИ): у большинства учащихся уровень знаний и умений по таким разделам математики как геометрия, тригонометрия и задачи на составление уравнений не соответствует предъявляемым требованиям [26]. Подобная тенденция, к сожалению, сохраняется и в последние годы. Необходимы поиски путей устранения данного противоречия, что свидетельствует об актуальности темы нашего исследования, проблема которого заключается в разработке методических основ конструирования систем задач по тригонометрии, реализующих цели обучения математике в целом и тригонометрии - в частности. Решение данной проблемы составляет цель диссертационного исследования.

Предмет исследования - задачи и их роль в обучении школьников тригонометрии.

- провести анализ школьных задач по тригонометрии в учебниках и сборниках задач по математике;

- выявить принципы и критерии построения систем задач по тригонометрии;

- разработать методику конструирования систем математических

задач;

- внедрить разработанную методику в практику обучения математике.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

2. Выявить теоретические основы построения систем школьных задач по тригонометрии.

3. Разработать методику конструирования задач по тригонометрии в школьном курсе математики.

4. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Для решения поставленных выше задач в процессе исследования был использован следующий комплекс методов:

- эмпирические методы исследования', наблюдение за ходом учебно-воспитательного процесса, самостоятельной работой учащихся; анкетирование, тестирование школьников; констатирующий и формирующий эксперименты;

Исследовательская работа проводилась в 1990-2012 гг. в несколько этапов.

теоретических основ конструирования систем задач по тригонометрии; изучалось состояние проблемы в практике обучения; формировались рабочая гипотеза и задачи исследования; проводился констатирующий эксперимент.

Третий этап - обобщающий. На этом этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики; проанализированы и обобщены полученные результаты, сделаны основные теоретические и экспериментальные выводы, практические рекомендации, полученные результаты оформлены в виде диссертационной работы.

Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что в нем решена проблема совершенствования процесса обучения тригонометрии в средней школе на основе внедрения в него систем задач, принципами конструирования которых являются: соответствие функциям задач, дифференциация, преемственность обучения, обучение эвристикам, реализация внутрипредметных связей. Для систем задач по тригонометрии, сконструированных на основе указанных принципов, выделены критерии реализации этих принципов, а также разработана методика выявления значимых заданий таких систем. Повторение теоретического материала и закрепление навыков в решении типовых примеров, соответствующих значимым заданиям, даже при определенном дефиците времени существенным образом позволяет повысить качество математических знаний школьников, что подтверждается результатами педагогического эксперимента.

Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены:

- опорой на теоретические положения в области теории и методики обучения математике, психологии;

- применением совокупности методов исследования, адекватных его предмету, задачам и логике;

- последовательным проведением этапов педагогического эксперимента;

- репрезентативностью объема выборок и статистической значимостью экспериментальных данных;

- использованием математического аппарата для оценки результатов исследования.

Опытно-экспериментальной базой исследования явились МОУ «Средняя общеобразовательная школа №29 г. Йошкар-Олы», МОУ «Средняя общеобразовательная школа п. Юрино» Республики Марий Эл, МОУ «Средняя общеобразовательная школа №2 п. Советский» Республики Марий Эл, ГОУ Республики Марий Эл «Многопрофильный лицей-интернат». В исследовании принимали участие 328 учащихся указанных общеобразовательных учреждений.

- Второй Всероссийской научно-практической конференции «Диагностико-технологическое обеспечение преемственности в системе образования» (Йошкар-Ола - Сургут, 2000 г.);

- XII Международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004 г.);

- XV Международной конференции «Математика. Образование» (Чебоксары, 2007 г.);

Кроме того, по результатам исследования получены два акта о внедрении.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Важнейшим средством достижения целей обучен�