Формирование тригонометрических представлений учащихся в курсе геометрии основной школы

Нестерук, Ольга Валентиновна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование тригонометрических представлений учащихся в курсе геометрии основной школы

Автореферат

Автор научной работы: Нестерук, Ольга Валентиновна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Формирование тригонометрических представлений учащихся в курсе геометрии основной школы"

На правах рукописи

Нестерук Ольга Валентиновна

ФОРМИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ УЧАЩИХСЯ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Специальность 13.00.02 — теория и методика обучения и воспитания

(математика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических паук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Псковского государственного педагогического университета имени С.М. Кирова

Научный руководитель: доктор физико-математических наух, профессор

Алексей Леонидович Вернер

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Ирина Михайловна Смирнова

кандидат физико-математических наук, Максим Яковлевич Пратуссвич

Ведущая организация: Региональный центр развития образования

г. Новгород Великий

Защита состоится декабря 2006 года в /С? часов на заседании

Диссертационного Совета К 212.154.11 при Московском педагогическом государственном университете (107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Московского педагогического государственного университета, расположенной по адресу: 119992, г. Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослал ноября 2006 года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета ^£/] Н.И. Чшсанцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В настоящее время происходит реформирование системы образования вообще и математического образования в частности. Реформирование системы математического образования нашло отражение в последних нормативных документах основного общего и полного общего образования по математике.

Отметим, что представления о математическом образовании изменились в сторону гуманизации и гуманитаризации образования.

Необходимость реформирования образования с учетом воплощения в систему образования идей гуманизации и гуманитаризации неоднократно рассматривалась рядом авторов. Вопросами гуманизации и гуманитаризации образования вообще занимались А.Д. Александров, М.И. Башмаков, АЛ. Вернер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, В.П. Лежников, А.Г. Мордкович, В.Л. Матросов, А.И. Новиков, Н.Х. Розов, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, В.А. Трайнев и др.

Учитывая декларированные реформой принципы, мы пришли к выводу о необходимости разработки новой методики преподавания тригонометрии в курсе геометрии, направленной на формирование тригонометрических представлений (в дальнейшем ТП).

Для темы диссертационного исследования нами был выбран тригонометрический материал, изучаемый в курсе геометрии основной школы.

Таким образом, выбор темы диссертационного исследования не является случайным и обусловлен следующими соображениями:

• Подход к изучению тригонометрического материала изменился, как изменился подход к изучению всей математики вообще.

• В данной диссертации рассмотрен вопрос изучения тригонометрического материала, изучаемого в курсе геометрии. Отметим, что данный аспект является, относительно мало исследованным.

• Анализ проведенных исследований по проблеме изучения тригонометрического материала в курсе геометрии на сегодняшний день показал, что, во-первых, и учителя, и ученики отдают предпочтение тригонометрическому материалу, изложенному в курсе алгебры и начал анализа, а, во-вторых, уровень овладения тригонометрическим материалом в курсе геометрии существенно снизился.

• В результате проведения реформы тригонометрический материал,' который ранее изучался в курсе алгебры 9 класса, был перенесен в 10 класс, поэтому, на сегодняшний день, те учащиеся, которые не планируют учиться в

старшей школе, знакомятся с тригонометрией только в курсе геометрии основной школы.

Это налагает еще большую ответственность на изучение первоначальных тригонометрических сведения в курсе геометрии и несомненно повышает роль тригонометрического материала, изложенного в геометрии.

• Кроме того, отметим, что тригонометрический материал весьма интересен и специфичен, так как он находится на стыке геометрии и алгебры. .

Отметим также, что в тригонометрии учащиеся получают представление о периодических функциях. Изучение периодических функций еще более подчеркивает роль и значение математики в описании окружающего мира. Именно раздел тригонометрии позволяет ввести в рассмотрение периодические функции — средство, описывающее периодические процессы, происходящие в окружающей нас реальности.

Следует также отметить, что дальнейшее изучение тригонометрии в курсе алгебры будет зависеть от того, насколько успешно был введен тригонометрический материал в курсе геометрии.

Следует осознать, что тригонометрия в геометрии и тригонометрия в алгебре не представляют собой отдельные дисциплины, никак не связанные, а являются единым блоком, изучение которого невозможно без получения первоначальных сведений о тригонометрии в курсе геометрии.

• Анализ существующих учебников геометрии показал, что изложение тригонометрического материала во многих из них таково, что с его помощью достаточно трудно сформировать у учащихся целостные ТП: материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет.

Таким образом, необходимость изменений при обучении тригонометрии в курсе математики, в .частности, в' курсе геометрии, констатация неудовлетворительного освоения тригонометрического материала, потребность исследования факторов, способных изменить сложившуюся ситуацию, понимание того, что тригонометрия является базовой составляющей математического курса без знания которой невозможно решить целый ряд математических задач, а также недостаточность исследований в данной области и определили актуальность исследования.

Цель исследования: разработать методику изучения тригонометрического материала в курсе геометрии основной школы, направленную на создание у учащихся целостных ТП, ядром которой является обучающая система заданий в тестовой форме.

РазвитиЬ ТП мы осуществляли через систему заданий в тестовой форме. Выбор .такой системы был не случаен, так как в настоящее время в нашей стране идет эксперимент, связанный с проведением единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике, часть которого (часть А) проводится в виде тестовых заданий.

Также отметим, что все больше высших учебных заведений предлагают абитуриентам вступительные испытания, основной частью которых являются задания в тестовой форме.

Тестовая система проверки знаний и умений породила широкие дискуссии. Автор данного исследования видит будущее за использованием тестовых заданий в качестве обучающего средства. В этом случае тестовая система заданий сохранит все положительные стороны тестирования и фактически избавится от недостатков, присущих контролирующему тестированию. Отметим, что данная проблема недостаточно разработана и нуждается в исследовании.

На данный момент обучающая система тестовых заданий по тригонометрии поможет школьникам адаптироваться к проверяющей системе, поможет выработать им определенную психологическую комфортность, научит их самоконтролю и умению оформлять ответы теста.

Объект исследования: процесс обучения тригонометрическому материалу в курсе геометрии.

Предмет исследования: процесс формирования ТП у учащихся при изучении геометрии в основной школе.

Гипотеза исследования: если в процессе изучения тригонометрического материала в курсе геометрии использовать в качестве ключевого средства разработанную нами обучающую систему заданий в тестовой форме и соблюдать при обучении основные требования, предъявляемые к содержанию учебного материала и организации его изучения, а также учитывать выделенные нами уровни ТП, то это будет способствовать осознанному и качественному изучению тригонометрии.

Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностью ориентировашюго обучения, при реализации которого не допускается формальной передачи знаний и схоластической отработки умений,' то есть изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышления, при этом, учащимся должны быть предоставлены возможности для дифференциации, индивидуализации и рефлексии.

Задачи исследования:

1. Выполнить теоретический анализ психолого-педагогической, методической и философской литературы по проблеме исследования.

2. Выявить содержание и структуру понятия ТП, выделить возможные уровни их формирования у учащихся основной школы в курсе геометрии.

3. Разработать методику, направленную на изучение тригонометрического материала в аспекте идеи формирования ТП, ядром которой является обучающая система заданий в тестовой форме.

4. Разработать требования к обучающей системе заданий в тестовой форме, направленной на формирование ТП.

5. Апробировать созданную систему заданий, проверив экспериментально ее эффективность.

6. Провести экспериментальное исследование эффективности разработанной методики.

В качестве методологической основы исследования использовались идеи гуманизации и гуманитаризации образования, психологические теории процесса мышления, формирования приемов умственной деятельности, специфики образного мышления (E.H. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская, И.Я. Каплунович).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

Теоретические - анализ психологической, педагогической, методической литературы, диссертаций по теме исследования, программ и проектов программ изучения математики в школе, учебных пособий и учебников по тригонометрии и геометрии.

Экспериментальные — анкетирование учащихся и учителей, организация и проведение констатирующего и формирующего экспериментов, обработка данных, полученных в ходе эксперимента с использованием стохастических методов.

Исследование проводилось в четыре этапа (с 2000 г по 2004 г).

На первом этапе (2000 г - 2001 г) был произведен отбор, изучение и анализ литературы, касающейся темы исследования, была сформулирована гипотеза исследования, намечены пути ее подтверждения или опровержения.

На втором этапе (2001 г - 2002 г) был проведен констатирующий этап эксперимента, который подтвердил одно из положений гипотезы о недостаточном усвоении тригонометрического материала. В это же время были выделены факторы, влияющие на сформированность ТП, были выделены уровни ТП, была начата работа над созданием обучающей системы заданий в тестовой форме, направленной на формирование ТП.

На третьем этапе (2002 г - 2003 г) проводился поисковый эксперимент, была осуществлена пробная экспериментальная проверка созданной системы, учтены пожелания и критические замечания учителей, проводивших экспериментирование, в результате чего были произведены коррективы обучающей системы заданий в тестовой форме.

На четвертом этапе (2003 г - 2004 г) был осуществлен преобразующий эксперимент, обработка полученных данных и проверка правильности сформулированной гипотезы.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования:

□ определено содержание и структура понятия «ТП»;

□ теоретически обоснована необходимость ориентации процесса обучения тригонометрии в курсе геометрии основной школы на формирование ТП;

□ выделены уровни ТП, которые могут быть сформированы у учащихся основной школы при изучении геометрии;

а выделены критерии сформированное™ и критерии выявления ТП разных уровней;

□ установлен ряд условий, благоприятных для формирования ТП разных уровней при изучении тригонометрии в курсе геометрии;

□ разработана методика формирования ТП, основой которой является система обучающих заданий в тестовой форме;

□ выделены требования, предъявляемые к обучающей системе заданий в тестовой форме.

Практическая значимость исследования состоит в том, что мы выделили и экспериментально подтвердили наиболее оптимальное расположение теоретического материала в учебнике при изучении тригонометрии, создали систему заданий, направленную на формирование HI, которая может применяться учителями в процессе изучения тригонометрии в курсе геометрии (кроме того, некоторые задания могут быть использованы и при изучении тригонометрии в курсе алгебры).

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается благодаря опоре на основные теоретические положения педагогики и методики, сочетанию теоретических и эмпирических методов исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в школах № 23, № 8 (МГОТ), № 14 г. Пскова.

Основные положения и результаты ■ исследования докладывались и обсуждались на заседаниях и методологических семинарах кафедры алгебры и геометрии Псковского государственного педагогического университета и кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин Псковского филиала Санкт-Петербургского государственного университета сервиса и экономики, на семинарах для учителей, посвященных появлению учебников нового поколения, на втором Всероссийском геометрическом семинаре, проходившем в г. Пскове, выступление на котором было опубликовано в «Материалах второго Всероссийского семинара», на конференциях ИУУ.

Основные положения диссертационного исследования обсуждались также на семинаре И.Я. Каплуновича (г. Новгород Великий) в 2004 году, на третьих Колмогоровских чтениях (г. Ярославль) в 2005 году.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 6 приложений.

Основной текст диссертации составляет 149 страниц, в том числе, в диссертации приведены — 1 схема, 5 таблиц и 38 диаграмм. Список литературы включает 221 наименование.

На защиту выносятся:

1. Теоретические основы содержания ТП, включающие в себя содержание родового понятия «представление», освещение роли и места представлений в познавательной деятельности, генезис видового понятия ТП и его содержание, включающее в себя определение ТП, процессы возникновения и трансформации ТП, описание уровней ТП.

2. Основные факторы, способствующие формированию ТП у учащихся при изучении геометрии: целостное изучение тригонометрического материала, использование образной составляющей при изучении тригонометрии, поэтапное формирование ТП, которое должно осуществляться с учетом специфики каждого уровня ТП.

3. Цели и требования реализации методики формирования ТП в условиях личностно ориентированного обучения.

4. Методика формирования ТП, ядром которой является' обучающая система задач в тестовой форме. Основными компонентами данной методики являются:

- изучение тригонометрии с опорой на образную составляющую, особенно на начальном этапе изучения;

- возможность осуществления в процессе обучения перехода от первоначальных образов к логической составляющей мышления;

- реализация развития рефлексивных способностей у учащихся;

- реализация дифференциации и индивидуализации обучения;

- соблюдение требований, выдвигаемых нами для формирования ТП.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулирован исследовательский аппарат, раскрываются научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, выдвигаются положения, выносимые на защиту.

В первой главе раскрывается содержание понятия представления, что, в свою очередь, позволяет разработать теоретическую базу для создания методики формирования у учащихся ТП в курсе геометрии основной школы.

В параграфе 1 раскрывается роль образного мышления в процессе познания окружающей действительности. Здесь отмечается, что в процессе обучения нельзя делать упор только на логическую составляющую мышления, что образное мышление не является качественно более слабым, чем логическое. Здесь приводятся мнения ряда авторов, таких как И.С. Якиманская, C.JI. Рубинштейн, JI.C. Выгодский, И.Я. Каплунович, И.Ф. Шарыгин, в которых отражена роль образного мышления. Также в этом параграфе раскрывается понятие образа, показывается неоднозначность данного понятия и его многогранность.

В параграфе 2 анализируется понятие «представление», рассматриваются варианты определения представления в философской, психологической и методико-педагошческой литературе.

Вопросами представлений занимались JI.C. Выгодский, С.Л. Рубенштейн, А.Н. Леонтьев, Б.Г. Ананьев (исследовали понятие представления с точки зрения психологии), И.С. Якиманская, E.H. Кабанова-Меллер (исследовали представление с точки зрения психологии и методики преподавания).

В данном параграфе показывается, что понятие представления не является однозначным как вообще, так и в рамках какой-то определенной науки.

Параграф 3 посвящен раскрытию роли представлений в познавательной деятельности.

В данном параграфе рассмотрены уровни познавательной деятельности, сходство и различие представления и других видов познавательной деятельности (восприятия, воображения, понятия).

Здесь также рассмотрены возможные классификации представлений и функции, выполняемые представлениями.

В параграфе 4 рассматривается методология формирования

представлений. Данный параграф посвящен рассмотрению вопроса о формировании математических представлений (в основном, на примере формирования пространственных представлений), однако, здесь же рассматривается вопрос и о формировании представлений алгебраических, так как интересующий нас тригонометрический материал находится на стыке алгебры и геометрии.

Так здесь отмечается, что несмотря на то, что в литературе чаще всего можно встретить обсуждение проблемы формирования геометрических представлений, можно вести речь и о формировании алгебраических представлений.

Образность в алгебре представляется как абстрактная условно-знаковая действительность. В качестве чувственной основы в алгебре выступают теоретические конструкции в виде знаковых выражений, обозначений, формул, правил действия (И.С. Якиманская).

В данном параграфе отмечается, что формирование представления должно идти параллельно с формированием соответствующего понятия, так как представление и понятие. тесно взаимосвязаны. Также для полноценного формирования представлений необходимо преподавание вести с учетом словесно-логических и образно-чувственных компонентов.

Кроме того, здесь рассматривается проблема формирования математических представлений с учетом взаимосвязи структур мышления и математических структур.

Параграф 5 посвящен раскрытию содержания понятия ТП.

Анализ психолого-методической литературы позволяет утверждать, что можно остановиться на следующем определении представления — «представление - это конкретное знание, имеющее чувственную окраску (П.П. Блонский), оно является итогом знания, определенной картиной системы знаний (И.Б. Михайлова), синтетической формой, в которой совмещается все, что человек знает о предмете (И.М. Сеченов)».

Из анализа литературы также следует тот факт, что под представлениями можно понимать как отдельные единичные образы, так и целиком сформированное знание. С нашей точки зрения и то, и другое понимание представления верно, так как в представлениях можно выделить своеобразные слои, уровни.

В дальнейшем мы посчитали возможным перейти к определению ТП, обладающих специфическими видовыми признаками по отношению к родовому понятию «представление».

Так ТП можно определить как систему представлений, возникающих при изучении тригонометрического материала в курсе геометрии. ТП включают в себя знание теоретических фактов (определения тригонометрических функций, их свойства, формулировки тригонометрических теорем, понимание сферы применимости тригонометрии в реальной жизни и значение тригонометрии для дальнейшего изучения математики, понимание функциональной природы

тригонометрических функций, а также элементарные сведения из истории тригонометрии) и умение их использовать при решении разнообразных задач (не только стандартных, но и задач продвинутого уровня).

Для ТП характерно наличие структуры, обусловленное возможностью выделения уровней ТП. Так нами выделяются ТП трех уровней.

Представления первого уровня - это «образные» представления; представления второго уровня - это «представления-знания» и «представления-умения», третий же уровень, с нашей точки зрения, образуют представления о тригонометрии в общем, о ее возможностях, о тригонометрическом аппарате, позволяющем решить ту или иную задачу, также представлениями третьего уровня можно считать представления, связанные с остаточными знаниями.

Надо отметить, что выделенные типы представлений жестко переплетены и взаимосвязаны, более того — взаимозависимы. Тем не менее, можно выделить специфические черты, которые характерны для представлений того или иного типа.

♦ Представления первого уровня — это непосредствешшге яркие образы, возникающие преимущественно либо благодаря аналогии, абстракции, либо при использован™ непосредственной наглядности. Это собственно образные представления тех или иных ситуаций, понятий, некие размышления о поведении объектов в динамически изменяющихся условиях.

Их функция состоит в обеспечении устойчивого интереса к изучаемому материалу, первичного усвоения специфики данного материала, а также создания необходимой базы для формирования представлений высших уровней. Отметим, что ТП первого уровня возможно и нужно формировать у всех учащихся: слабым они помогут отойти от вынужденной зубрежки, помогут справиться с материалом, учащимся среднего звена и сильным учащимся образное восприятие материала на начальной ступени формирования представлений поможет в дальнейшем добиться сформированности представлений высших уровней.

Применительно к тригонометрическому материалу, изучаемому в курсе геометрии основной школы можно выделить следующие представления первого уровня:

" представления, возникающие при употреблении терминов «синус», «косинус» и «тангенс»;

■ представления об изменениях, происходящих в задаче с динамической ситуацией, то есть представления о том, как меняются тригонометрические функции при изменении угла от 0° до 90°, как меняются понятия (катет, гипотенуза), связанные с тригонометрическими функциями при их изменении;

■ представления об ограниченности функций «синус» и «косинус» и неограниченности функций «тангенс» и «котангенс», а также о том, в каких пределах изменяются функции синус и косинус, вытекающие не из формального изучения материала, а непосредственно из наглядных соображений;

■ представления о наглядной интерпретации изучаемых понятий, включающие в себя умение изображать угол по известному косинусу, синусу или тангенсу этого угла, а также умение распознать на чертеже заданную ситуацию:

соотнести величину (границы величины) угла по известному значению той или иной тригонометрической функции;

■ представления о поведении тригонометрических функций при изменении угла от 90° до 180°, от 0° до 180, представления об ограниченности синуса, косинуса и неограниченности тангенса и котангенса.

Здесь выделяются следующие критерии, исходя из которых, можно судить о наличии ТП первого уровня:

■ наличие представлений, позволяющих судить о поведении (возрастание и убывание, ограниченность и неограниченность, зггак) тригонометрических функций;

■ наличие представлений, позволяющих судить о поведении тригонометрических функций в динамической ситуации;

■ наличие представлений, исходя из которых, становится возможным изображение утла по известной тригонометрической функции;

■ наличие представлений, исходя из которых, становится возможным чтение чертежа и выбор правильного объекта из предложенных на чертеже.

♦ Представления второго уровня фактически неотделимы от понятий и умений, они базируются на сформированных умениях и, в то же время, оказывают влияние на формирование последних. Их функция состоит в формировании умений, которые, будучи наложенными на ТП первого уровня, позволят сформировать стойкое конкретное знание, имеющее чувственную окраску.

Представления второго уровня возникают при соединении теории с практикой, позволяя понять, какой круг задач можно решить с помощью изучаемого материала, каково практическое значение изучаемой темы. Это представления, касающиеся расчетных задач, позволяющие их решить и отражающие весь спектр задач данного типа.

В представлениях второго уровня можно выделить два слоя:

□ представления первого слоя — представления о ходе решения вычислительных задач;

□ представления второго слоя - представления о сфере решения вычислительных задач.

ТП первого слоя - это умения, которые формируются в ходе изучения темы.

ТП второго слоя несколько отличаются от просто умений, так как делают эти умения более осознанными; благодаря им учащиеся представляют, для чего, как и зачем они'решают задачи, а это, в свою очередь, приводит к тому, что знания учеников становятся более прочными и глубокими.

ТП второго уровня доступны веем учащимся, лучше они будут формироваться у сильных учеников, но с помощью предложенной методики более слабые ученики вполне будут способны ими овладеть.

Применительно к тригонометрическому материалу, изучаемому в курсе геометрии основной школы, можно выделить следующие представления первого слоя:

■ представление о том, как найти оставшиеся неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике по известным элементам;

■ представление о том, как можно решить непрямоугольный треугольник, как пайти его отдельные элементы, (рассчитать неизвестные элементы фигуры);

На наш взгляд, можно также выделить следующие ТП второго уровня второго слоя:

■ представление о том, как в практической жизни можно использовать тригонометрические факты;

■ представления о возможной сфере решения вычислительных задач с использованием тригонометрических понятий.

Здесь выделяются следующие критерии, исходя из которых, можно судить о наличии ТП второго уровня:

■ наличие у учащихся умений решения расчетных тригонометрических задач, как достаточно простых, так и задач повышенной сложности;

■ наличие у учащихся представлений о практическом применении тригонометрии;

" наличие у учащихся представлений о сфере решения вычислительных задач с помощью средств тригонометрии.

♦ Представления третьего уровня - это представления об изучаемой области, представления о возможностях решения задач несколькими способами, представления о сфере решаемых задач: не только вычислительных, но и задач других типов. Это те знания, которые могут быть применены в других разделах математики, наконец, - это та общекультурная составляющая, которая должна быть сформирована у каждого ученика, вне зависимости от избираемой им специальности; это то, фрагменты чего должны сохраниться в памяти об изучаемом разделе.

ТП третьего уровня возможно полностью сформировать, на наш взгляд, только у сильных учащихся, хотя и учащимся послабее будут доступны отдельные элементы данных представлений (так, более слабые ученики могут достигнуть не совсем полного формирования ТП третьего уровня, например, они могут представить меньшее число способов для решения задачи, но представление о всей сфере решаемых задач они, рассматривая тригонометрический материал, способны получить).

Здесь выделяются следующие ТП третьего уровня:

■ представление о возможности применения различных тригонометрических функций при решении одной задачи;

■ представление о том, как можно решить прямоугольный треугольник, как найти его отдельные элементы, какими возможными способами, какой из этих способов будет наиболее рациональным;

■ представление о том, как можно решить непрямоугольный треугольник, как найти его отдельные элементы, (рассчитать неизвестные элементы фигуры), какими возможными способами, какой из этих способов будет наиболее рациональным;

■ представление о том, как решать задачи не только вычислительного характера, но и на доказательство, на исследование поведения объектов, задачи на дополнение теории;

" представление о сфере задач всех типов, решаемых с помощью тригонометрии;

■ представление о функциональной природе синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Мы выделяем следующие критерии, исходя из которых, можно судить о наличии ТТ1 третьего уровня. Учащийся обладает данными ТП, если:

■ он представляет, как решить задачу, требующую не только шаблонного подхода, то есть задачу, при решении которой необходимо обладать высоким уровнем представлений;

■ он представляет, как решить задачу несколькими способами;

■ он обладает представлениями о возможностях тригонометрии, проявляющимися не только в математических науках, но имеющих приложения и в жизни.

Вторая глава раскрывает особенности методики формирования ТП у учащихся в курсе геометрии основной школы.

В параграфе 1 рассматривается исторический аспект изучения тригонометрического материала в курсе геометрии, диссертационные исследования, посвященные вопросам изучения тригонометрии в школьном курсе математики, а также отмечается значение тригонометрического материала, изучаемого в геометрии как с точки зрения математики вообще, так и с точки зрения дальнейшего изучения тригонометрического материала в курсе алгебры.

Параграфы 2 — 4 посвящены непосредственно описанию методики формирования ТП у учащихся в курсе геометрии основной школы.

Так в параграфе 2 выделяются требования, предъявляемые к материалу учебника, необходимые для формирования ТП:

1. Наличие целостности при изучении тригонометрического материала.

2. Мотивировка введения новых понятий, которая должна осуществляться и на более высоких ступенях при дальнейшем изучении понятия.

3. Иллюстрация сферы применения тригонометрического материала как в математике, так и в реальной жизни.

4. Материал учебника должен обладать определенной образностью, он должен быть собственно геометрическим.

5. Материал учебника должен содержать в себе четко выраженную и понятно изложенную функциональную линию.

Также в этом параграфе выделены существенные черты материала учебника, необходимые для формирования ТП каждого уровня.

Подробно рассматриваются основные, ныне действующие учебники A.B. Погорелова, Л.С. Атанасяна, а также учебник нового поколения А.Л. Вернера, с точки зрения предоставления ими возможностей для формирования ТП. Здесь

делается вывод о том, что учебник геометрии А.Л. Вернера отвечает предъявляемым требованиям к учебнику, способному сформировать 111.

Далее в параграфе 3 определяется понятие обучающей системы заданий в тестовой форме, как основного компонента методики формирования ТП.

Здесь рассматривается содержание понятий теста, системы заданий, контролирующего и обучающего задания в тестовой форме, обучающей системы заданий в тестовой форме.

Далее в параграфе 4 отмечается, что использование обучающей системы заданий в тестовой форме должно осуществляться в рамках личностно ориентированного обучения. Здесь раскрываются цели создания методики и выдвигаются требования к методике формирования ТП с учетом идей личностно ориентированного обучения. Также рассматриваются особенности деятельности учителя и учеников при реализации данной методики.

В данном параграфе приводится спецификация обучающей системы заданий в тестовой форме, направленной на формирование ТП.

Приведем примеры заданий, направленных на формирование ТП.

1. Какое из приведенных отпошений определяет косинус угла ОКТ?

1) cosZOKT=^ 2) cosZOKT=^ т

, ДГ ' ТК

3) cos ZOKT=-

КД

4) cos ZOKT=-

ОК

КГ ' ОТ

2. Сколько истинных равенств среди приведенных?

АВ ВК АС

■-; cos а =—; cosa=-:

ВС АВ КС

АС КС АК

1-; cosa=-; cosa=-.

ВС АС АВ

3. Ученик забыл, какой знак ставится в

/к

cos a =-

в2 ?

теореме косинуса: с = а 2aecosy . В каком случае ученик не сделает ошибки, даже если не вспомнит зпак?

1) если треугольник тупоугольный

2) если треугольник остроугольный

3) если треугольник прямоугольный

4) если треугольник равнобедренный

4. В треугольнике известпы длины сторон 4, -Jl и -Уз . Тогда градусная мера среднего угла треугольника равна ...

5. В прямоугольном треугольнике АВД из вершины прямого угла проведена

высота АС. Известно, что ВД = 15, а cos Z ВАС = —, тогда длина стороны АД равна...

6. Укажите, сколько верных утверждений среди приведенных:

1) ' существует треугольник, косинусы двух углов которого являются противоположными числами.

2) существует треугольник, косинусы двух углов которого являются взаимно-обратными числами.

3) существует треугольник, косинусы всех углов которого равны.

4) существует треугольник, косинусы двух углов которого равны, а косинус третьего угла отрицателен.

5) существует треугольник, синусы двух углов которого равны, а косинусы этих же углов не равны.

7. Сколько верных утверждений среди приведенных? Все элементы прямоугольного треугольника можно найти, если известны:

1) катет и биссектриса, проведенная к другому катету.

2) катет и медиана, проведенная к другому катету.

3) катет и медиана, проведенная к нему.

4) высота, "проведенная к гипотенузе, и один из катетов.

1 Л

8. В треугольнике sin а ——, sin р = —. Какой это треугольник?

1) остроугольный

2) прямоугольный или тупоугольный равнобедренный.

3) равносторонний или остроугольный равнобедренный.

4) прямоугольный равнобедренный или равносторонний.

Параграф 5 посвящен описанию педагогического эксперимента и его результатов.

На подготовительно-постановочном этапе педагогического эксперимента была выдвинута следующая гипотеза: на современном этапе обучения у учащихся слабо сформированы ТП, более того, качество изучения тригонометрического материала в курсе геометрии достаточно низкое.

С целью проверки данной гипотезы использовались различные методы педагогического исследования: беседы с учащимися, с учителями, с людьми, уже давно закончившими школу, также проводилось анкетирование 50 учителей математики и 200 учащихся.

Анализируя полученные результаты, был сделан вывод о том, что тригонометрический материал воспринимается и учителями, и учениками больше с точки зрения алгебраической стороны тригонометрии, важность роли тригонометрии в геометрии фактически остается незамеченной и непонятой. При этом подавляющее большинство опрашиваемых отмечали трудности в усвоении тригонометрического материала, особенно тригонометрического материала, изучаемого в курсе геометрии.

Кроме того, на этом этапе эксперимента использовался метод наблюдения: были посещены уроки, посвящегшые изучению тригонометрического материала в курсе геометрии.

На констатирующем этапе эксперимента был проведен контрольный срез, направленный на проверку качества изучения тригонометрического материала в курсе геометрии и на проверку сформированности ТП. Результаты среза подтвердили гипотезу о низком уровне формирования ТП: все уровни ТП у испытуемых оказались сформированы недостаточно, при этом большинство заданий, Направленных на проверку сформированности каждого из уровней, вызвали значительные затруднения в выполнении у учащихся; наибольшие затруднения учащиеся испытывали в заданиях, направленных на проверку уровня

сформированное™ ТП третьего типа, а также в заданиях с нестандартной формулировкой и заданиях продвинутого уровня.

На данном этапе эксперимента была выдвинута вторая гипотеза: для качественного формирования ТП необходимо, чтобы тригонометрический материал в геометрии изучался единым блоком, в качестве условия достаточного для формирования ТП нами было разработано методическое обеспечение учебника, представляющее собой обучающую систему заданий в тестовой форме.

На этапе поискового эксперимента была апробирована обучающая система заданий в тестовой форме, а также материалы для учителя. Комплекты пробного варианта системы и материалов использовались в 3-х классах.

Учителям рекомендовалось использовать задания системы в качестве домашних заданий, в качестве заданий, рассматриваемых на уроке.

В результате пробной апробации системы были исправлены неточности в ответах к заданиям, опечатки, некорректные формулировки заданий.

Отметим, что отзывы учителей и учащихся об использовании системы заданий были положительны.

Учителя отмечали, что система охватывает весь изучаемый материал, отслеживает тонкости материала; задания в системе достаточно интересны, разнообразны и способны помочь сформировать у учащихся представления о тригонометрическом материале.

Также отмечалось удобство работы с системой: возможность быстрой проверки заданий, что, в свою очередь, позволяло использовать систему в качестве материала для домашних заданий, для фронтального опроса, для дидактических материалов.

Отмечался интерес учащихся к новой форме учебного пособия, при использовании системы в процессе обучения значительно возросли активность, прилежание, инициатива и повышение успеваемости учащихся.

На преобразующем этапе педагогического эксперимента были выбраны шесть сходных по успеваемости классов, занимающихся по разным учебникам. При этом были выбраны наиболее распространенные в данном регионе учебники A.B. Погорелова и Л.С. Атанасяна и др., а также учебник А.Л. Вернера и др. -учебник нового поколения, проходивший апробацию в рамках эксперимента по внедрению учебников нового поколения в практику школы в Пскове и в Псковской области. (В дальнейшем будем обозначать учебники соответственно П, А и В).

Эксперимент проходил в школе № 8, а также в школе № 14 г. Пскова.

Суть эксперимента состояла в следующем: сравнить между собой возможности, предоставляемые данными учебниками, а также возможности, предоставляемые системой заданий в тестовой форме, в вопросе формирования ТП у учащихся в курсе геометрии.

Так классы П—, А- , и В— изучали тригонометрический материал непосредственно, без привлечения разработанной методики, а в классах П+, А+ и В + методика формирования ТП использовалась.

Отметим, что эксперимент с использованием учебников П и А проводился в девятых классах, а эксперимент с использованием учебника В — в восьмых

классах, то есть выбор' класса соответствовал окончанию изучения тригонометрического материала в курсе геометрии.

В дальнейшем нами были проведены контрольные замеры, направленные на выявление степени сформированное™ ТП у учащихся каждого из классов.

Эксперимент показал, что уровень сформированное™ ТП у учащихся, изучающих тригонометрию по учебнику П оказывается существенно ниже, чем у учащихся, изучающих тригонометрический материал по двум'другим учебникам: наибольше число учащихся (52%) попали в достаточно низкий уровень, также очень мало учащихся смогли достичь более высокого уровня.

Также эксперимент показал, что результаты изучения тригонометрии по учебнику А уступают результатам, полученным при проверке уровня сформированности ТП у учащихся, изучавшим материал по учебнику В.

Использование методического обеспечения приводит к существенному • повышению результатов. Особенно заметно улучшение результатов на примере учебников П и А.

Для доказательства того, что возрастание эффективности формирования. ТП осуществляется в указанном выше порядке учебников, Был применен 3 -критерий Джонкира, предназначенный для выявления тенденций изменения прй переходе от выборке к выборке, при сопоставлении нескольких выборок. Критерий подтвердил выдвинутую гипотезу с уровнем значимости не менее 0,05.

Таким образом, в результате проведенного теоретико-экспериментального исследования была подтверждена гипотеза и достигнута цель - разработана методика формирования ТД у учащихся основной школы в курсе геометрии, способствующая изучению тригонометрии в рамках личкостно ориентированного обучения.

В заключепян отмечается, что на современном этапе процесс обучения должен согласовываться с принципами гуманизации и гуманитаризации образования.

Учет^ данных принципов, соблюдение осознанности и отказ от формализма в процессе обучения дривели к Пониманию необходимости формирования Представлений и разработка методики их. формирования.

Методика формирования ТП реализуется в рамках личностно ориентированного подхода и включает в себя:

изучение тригонометрического материала с учетом личностных особенностей учащихся;

- понимание того, что является ТП, какие уровни ТП молено . выделить и сформировать у учащихся;

- основные компоненты методики, реализутощие'поэтапное формирование ТП;

- психолого-педагогические условия реализации формирования ТП.

Реализация методики.формнрования ТП обеспечивалась:

- новым, пониманием места и роли тригонометрии в курсе геометрии основной школы;

- новой логикой изложения курса тригонометрии;

- новым методическим подходом к формированию ТП, в основе которого лежат психолого-педагогические и методические идеи: переход при

формировании ТП от образного мышления к логическому, поэтапное формирование этапов умственной деятельности, организация личностно ориентированного обучения;

- системой заданий в тестовой форме, включающей в себя различные виды заданий, направленной на формирование ТП трех уровней.

Как показала апробация, методика формирования ТП позволяет:

- создать условия для поэтапного формирования.ТП; ;

- добиться осознанности, повышения интереса к предмету Н мотивации обучения при: изучении тригонометрии;

- использовать в процессе изучения тригонометрического материала систему заданий в тестовой форме, позволяющую реализовать . учителю и учащимся разные возможности ее применения.

Основные положения диссертационного исследования отражены в. следующих публикациях:

1. Нестерук О.В., Остапенко М.В. Об изучении тригонометрии в курсе геометрии // Математика в школе. - 2004. - Ка 4. - С. 32 - 35. 0,38 п.л. (авт. вклад 70%).

2. Нестерук О.В. К вопросу о преподавании тригонометрии в средней школе / В сборнике: Проблемы геометрического образования на современном этапе: материалы второго Всероссийского геометрического семинара (18 — 19 мая 2001, Псков) /Псков, 2001. - С. 93 - 104. 0,69 п.л.

3. Нестерук О.В. К вопросу об использовании задании в тестовой форме для развития И обучения учащихся / В сборнике: Современные технологии в высшем и среднем профессиональном образовании: проблемы качества подготовки специалистов: материалы четвертой региональной научно-методической конференции. - Псков, 2003.-С. 60-61. 0,13 п.л.

4. Нестерук О.В. К вопросу о формировании тригонометрических представлений // Псковская школа. -2003. -Ха 5. - С.115 - 117. 0,25 "п.л.

5. Нестерук О.В. Учебник геометрии как основное средство формирования тригонометрических представлений / В сборнике: -Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе: материалы Всероссийской научно-методической конференции (23 — 26 сентября 2004, Великий Новгород) / Великий Новгород, 2004. - С. 194 - 197. 0,2 п.л.

Подл, к печ. 16.11.2006 Объем 1 п.д. Заказ №. 152 Тир 100 экз.

Типография МИГУ

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Нестерук, Ольга Валентиновна, 2006 год

Введение

Глава 1. Теоретические основы формирования математических представлений у учащихся общеобразовательной школы.

§ 1. Образное мышление и его роль в процессе познания окружающей действительности.

§ 2. Содержание понятия «представление».

§ 3. Роль и место представлений в познавательной деятельности.

§ 4. Формирование математических представлений.

§ 5. Содержание понятия «тригонометрические представления».

Глава 2. Методика формирования тригонометрических представлений у учащихся в курсе геометрии основной школы.

§ 1. Анализ изложения тригонометрического содержания в курсе геометрии.

§ 2. Требования к материалу учебника, необходимые для формирования тригонометрических представлений.

§ 3. Понятие обучающей системы заданий в тестовой форме.

§ 4. Методическое обеспечение учебника, как одно из средств формирования тригонометрических представлений.

§ 5. Педагогический эксперимент и его результаты.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Формирование тригонометрических представлений учащихся в курсе геометрии основной школы"

Рассмотрение проведенных в нашей стране реформ в сфере образования показывает, что эта сфера зависит от изменений в социально-экономической и политической жизни, которые закономерно приводят к изменениям и в системе образования. Все проведенные реформы в системе образования были обусловлены потребностями общества. Каждая реформа являлась логическим следствием изменений, происходивших в общественном сознании.

Ю.М. Колягин отмечал следующее: «Так, размышляя над вехами, определяющими ключевые моменты истории России, . обнаруживаешь определенные закономерности, влияние которых оказывается решающим на соответствующем этапе развития средней и высшей школы России» [92, с. 3].

Вообще образование является специфическим механизмом, работающим с молодежью и определяющим, какой будет эта молодежь, что она будет знать, уметь, какой системой ценностей обладать.

Приведем мнение Р.С. Черкасова: «.планы развития школьного математического образования должны быть нацелены не на констатацию того, что уже вошло в содержание предмета, а на раскрытие тех новых требований, которые предъявит школе общество ближайшего будущего» [203, с. 90].

Поэтому, с одной стороны, образование должно быть направлено на будущее, должно предугадывать тенденции и специфику запросов будущего, должно отвечать потребностям будущего. С другой же стороны - в нем как в зеркале должны отражаться все достижения настоящего, оно должно быть неразрывно связано с настоящим, то есть оно должно быть живым организмом, чутко реагирующим на реальную действительность.

Так Э.Д. Днепров отмечал следующее: «.образование - не только ведущий фактор развития человека и человеческих ресурсов, но и решающий фактор развития общества, проводящий радикальное реформирование во всех сферах жизни» [73, с. 43].

Рассматривая проведенные в нашей стране реформы математического образования, можно сделать вывод о жесткой связи потребностей общества с изучением математики. Каждая реформа являлась логическим следствием изменений, происходящих в общественном сознании.

В данный момент снова происходит реформирование системы образования вообще и математического образования в частности.

Так еще в 2000 году был разработан проект концепции структуры и содержания общего среднего образования (в 12-летней школе).

В этом проекте гуманизация образования проявилась в том, что в концепции были выделены профили обучения математике, разные по содержанию материала для учеников с разными способностями.

Также в проекте концепции отмечалось, что общеобразовательный курс «.не ставит в качестве задачи обеспечение учащимся возможности продолжения образования в высшем учебном заведении, по специальности, связанной с математикой, и, в частности, не обеспечивает подготовки учащихся к вступительным экзаменам по математике» [94, с. 17]. Что же касается основы «.кадрового потенциала, обеспечивающего научный, технический технологический и социальный прогресс российского общества.», то ее составят «.учащиеся профилей общенаучного и математического направлений.» [94, с. 18].

Гуманитарная составляющая образования проявилась в том, что главный упор при изучении математики делался не только на непосредственное обучение математике, а также и на формирование личности с помощью математики.

Так в концепции основная цель общего образования в рамках реформы была сформулирована следующим образом: «формирование разносторонне развитой, творческой личности, способной реализовать творческий потенциал в динамичных социально-экономических условиях как в собственных жизненных интересах, так и в интересах общества» [95, с. 8]. В концепции подчеркивалось, что достижению этой цели в математике должны служить две основные функции:

- образование с помощью математики;

- собственно математическое образование.

Концепция предусматривала, что доминирующей предполагается сделать именно первую функцию [94, с. 14].

В данный момент реформирование системы математического образования нашло отражение в стандарте основного общего и полного общего образования по математике [179, 180, с. 4 - 16].

Отметим, что стандарт математического образования продолжает традиции начавшихся ранее попыток реформирования системы математического образования, - в нем акцентируются идеи гуманизации и гуманитаризации. Более того, следует отметить, что эти идеи окончательно оформились и стали более конкретными.

Гуманизация образования учитывает и признает, что каждый ученик индивидуален, у каждого ученика разные возможности и способности, в частности, способности к математике у всех учеников различны. Поэтому, гуманизация математического образования должна проявляться в том, чтобы каждый ученик был обучен математике, но обучение математике должно осуществляться на выбранном учеником уровне.

Так в современном стандарте выделены два возможных курса, по которым может обучаться математике учащийся на старшей ступени обучения - это базовый курс и профильный курс. В стандарте разработаны обязательные минимумы содержания образовательных программ, а также требования к уровню подготовки выпускников для перечисленных выше курсов.

Что касается гуманитаризации современного математического образования, то можно заметить, что нынешнее реформирование в области математики делает упор не столько на сугубо математические знания, сколько на общекультурную составляющую этих знаний.

Поэтому в стандарте образования по математике выделяются не только цели обучения математике как таковой - «овладение системой математических знаний и умений для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования» [179, с. 4], но и общекультурные цели - «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средствах моделирования явлений и процессов.» [179, с. 9]; «интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе., воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.» [179, с. 4].

Действительно, анализируя стандарт, можно сделать вывод о доминирующей роли именно образования с помощью математики, а не собственно математического образования. Напомним, что данная идея уже высказывалась при обсуждении проекта концепции математического образования (в 12-летней школе).

Необходимость реформирования образования с учетом воплощения в систему образования идей гуманизации и гуманитаризации неоднократно рассматривалась рядом авторов.

Так В.П. Лежников отмечал следующее: гуманизация «.становится новой, безальтернативной парадигмой образования, его реформирования и прогресса». «Главная функция гуманизации, которая имплицитно содержит и все иные, - развернуть перед учеником все возможное богатство его задатков и способностей, сориентировать субъекта обучения на саморегуляцию, а в идеале обеспечить исчерпывающее осуществление человеческого в человеке» [103, с. 14].

Г.И. Саранцев отмечал, что гуманитарная направленность должна привести к расширению содержания математического образования.

Если ранее в него включали систему предметных знаний и способы деятельности, то в дальнейшем предполагалось приобщение школьника к творческой деятельности, что осуществлялось через включение в содержание образования различных эвристик и создание специальных условий для творчества ученика». В результате этого становилась «все более востребованной концепция укрупнения дидактических единиц, концепция преемственности образования, а также поиск интегративных методов, в частности способов интеграции алгебраических и геометрических методов» [166, с. 3].

Г.В. Дорофеев писал о том, что «гуманитаризация школьного математического образования предполагает, что для достижения своих целей общество берет на себя обязательство предоставить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям» [74, с. 3].

Идеи гуманизации и гуманитаризации образования изменили представление о том, что можно считать математической образованностью. Так, если следовать идеям, заложенным в нынешней реформе, то под математической образованностью можно понимать набор общекультурных сведений, неких представлений о математических разделах и о роли математики в современной жизни, о ее прикладной направленности. (Естественно, что для учащихся, углубленно занимающихся математикой, к перечисленным выше факторам математической образованности можно отнести и глубокое овладение специфическими математическими навыками и умениями).

Отметим также, что повсеместное использование компьютерных технологий, тенденция все более широкого проникновения математики в различные сферы нашей жизни привели к меньшей потребности общества в профессиях, связанных с детальным, глубоким знанием математики.

А.И. Новиков отмечал, что «социально-экономическая ситуация в стране за последние десять лет изменилась кардинальным образом. Радикально изменился и вектор запросов со стороны общества к системе образования. На первый план в системе предпочтений выдвинулись гуманитарные компоненты образования, а спрос на специалистов технических специальностей существенно снизился. Все это создает объективные предпосылки для реформирования системы образования» [123, с. 2].

Также можно отметить, что в данное время все большее число профессий нуждается в определенных представлениях о том, как математически описать тот или иной процесс, представлениях о том, какие возможности дает математика. «За последние 300 - 400 лет математика превратилась из весьма узкой области в широко разветвленную систему и из науки, в которой медленно происходило развитие прикладных аспектов, - в науку с широчайшей областью практических применений» [59, с. 53].

Таким образом, процесс реформирования приведет к неизбежной перестройке изучения некоторых вопросов и разделов школьной математики, а также к включению в современный школьный курс тем, которые будут полезны большинству специалистов гуманитарных специальностей.

Это должно привести к изменению самого изучения математики: оно должно стать осознанным, лишенным формализма, должно осуществляться без бездумного натаскивания и зубрежки. Поэтому мы считаем, что для эффективного преподавания в условиях гуманизации и гуманитаризации можно некоторые моменты той или иной темы рассматривать на уровне представлений об изучаемом понятии или объекте. Можно также говорить о создании представлений о той или иной отрасли математики, представлений об общеобразовательных функциях курса, в частности, представлений об определенных математических объектах.

Формирование стойких представлений, неких образов, основных знаний, связанных с изучением темы поможет отказаться от формального изложения материала.

Н.Х. Розов писал по этому поводу следующее: «В частности, пора спокойно обсудить предложение: отдельные разделы изучать на описательно-демонстрационном уровне, опуская формальные доказательства, добиваясь от учеников понимания сути без воспроизведения ими «строгих обоснований» и «логических рассуждений»» [156, с. 53].

Действительно, человек, напрямую не связанный с математикой, не обязан помнить некоторые формулы и даже целые темы, но у него должно быть представление об основных математических идеях и методах.

Развитие представлений у учащихся должно осуществляться по двум направлениям. Первое направление подразумевает развитие представлений о той или иной теме вообще, то есть выделение общеобразовательных функций курса, в частности, мировоззренческой функции, понимание вклада данной темы в формирование научных представлений. В рамках этого направления ученик должен четко представлять себе общекультурную ценность того или иного материала, то есть как та или иная тема соотносится с практическим применением, каково ее место в структуре всей математики, каково ее значение в структурах других наук.

Второе направление связано с формированием стойких представлений, неких образов, основных знаний, связанных с изучением этой темы. Тогда у учащегося, даже не связывающего свое дальнейшее образование с изучением математики, будут прочно усвоены основные фундаментальные моменты математических разделов, при этом вполне можно допустить забывание им материала собственно математического.

Так, например, учащийся может забыть, как решаются тригонометрические уравнения, но он должен иметь представления о тригонометрических функциях, как о функциях периодических, а также об области их приложения в реальной жизни.

Итак, исходя из сказанного выше, можно сделать следующие выводы: математическое образование неразрывно связано с политическим, экономическим и социальным положением общества; оно отвечает запросам настоящего, является зеркалом, в котором отражается настоящее и, в то же время, оно определяет будущее; реформы, предпринимаемые в образовании, носят объективный характер; понятие математической грамотности и математической образованности трансформируется под влиянием времени; в настоящее время под математической образованностью можно понимать систему стойких представлений о математических понятиях, законах, объектах и вообще о месте математики в системе наук, связанных с познанием окружающего мира, некоторые из этих представлений будут чувственно-наглядными, другие - близки к знаниям и умениям, а третьи повысят у ученика его эрудицию.

Для темы диссертационного исследования нами был выбран тригонометрический материал, изучаемый в курсе геометрии основной школы; в данном исследовании мы рассмотрели проблему формирования тригонометрических представлений (в дальнейшем ТП) у учащихся в курсе геометрии основной школы. Отметим, что проблема формирования ТП является частным случаем более общей проблемы - проблемы формирования геометрических и алгебраических представлений при изучении математики.

В данном исследовании мы раскрыли содержание ТП, выделили уровни ТП, разработали методику формирования ТП.

Несмотря на то, что изучение тригонометрического материала уже отражалось рядом авторов (см., например, диссертационные исследования А.К. Окунева, В.П. Лебедева, С.П. Альбера, О.А. Кузьменко, труды по методике В.Г. Мичигана, И.К. Андропова, А.К. Окунева, В.В. Кошека, учебные пособия С.И. Новоселова, И.И. Смирнова, статьи Б.Г. Болгарского, В.Е. Семенова, А.П. Семенова и др.) надо отметить, что вышеназванные исследования не освещали интересующую нас проблему, в большинстве из них рассматриваются вопросы, связанные с методикой преподавания алгебраической тригонометрии; отметим также, что исследования, посвященные изучению тригонометрии в курсе геометрии не поднимают проблему формирования ТП.

Выбор темы диссертационного исследования не является случайным и обусловлен следующими соображениями:

• Подход к изучению тригонометрического материала изменился, как изменился подход к изучению всей математики вообще. При реализации принципов гуманизации и гуманитаризации надо создать условия изучения тригонометрического материала на уровне представлений, что, в свою очередь, обеспечит дифференциацию и поможет ученикам осознанно воспринять материал.

• В данной диссертации рассмотрен вопрос изучения тригонометрического материала, рассматриваемого в курсе геометрии. Данный аспект является относительно мало исследованным, особенно, если вести речь о том, как в настоящем и в будущем будет осуществляться изучение тригонометрического материала.

• Анализ проведенных исследований по проблеме изучения тригонометрического материала при изучении геометрии на сегодняшний день показал, что, во-первых, и учителя, и ученики отдают предпочтения тригонометрическому материалу, изложенному в курсе алгебры и начал анализа, а, во-вторых, уровень овладения тригонометрическим материалом в курсе геометрии существенно снизился.

• В результате проведения реформы тригонометрический материал, который ранее изучался в курсе алгебры 9 класса, был перенесен в 10 класс, поэтому, на сегодняшний день, те учащиеся, которые не пожелали учиться в старшей школе, знакомятся с тригонометрией только в курсе геометрии основной школы.

Это налагает еще большую ответственность на изучение первоначальных тригонометрических сведений в курсе геометрии и несомненно повышает роль тригонометрического материала, изложенного в геометрии.

• Кроме того, отметим, что тригонометрический материал весьма интересен и специфичен, так как он находится на стыке геометрии и алгебры.

Отметим также, что в тригонометрии учащиеся получают представление о периодических функциях. Изучение периодических функций еще более подчеркивает роль и значение математики в описании окружающего мира. Действительно, к моменту знакомства с тригонометрией, учащиеся понимают, что в природе существует достаточно много периодических процессов.

Именно раздел тригонометрии позволяет ввести в рассмотрение периодические функции - средство, позволяющее описывать периодические процессы, происходящие в окружающей нас реальности.

Таким образом, необходимость изменений при обучении тригонометрии в курсе математики, в частности, в курсе геометрии, констатация неудовлетворительного освоения тригонометрического материала, потребность исследования факторов, способных изменить сложившуюся ситуацию, понимание того, что тригонометрия является базовой составляющей математического курса без знания которой невозможно решить целый ряд математических задач, а также недостаточность исследований в данной области и определили актуальность исследования.

Развитие ТП мы осуществляли через систему заданий в тестовой форме. Выбор такой системы был не случаен, так как в настоящее время в нашей стране идет эксперимент, связанный с проведением единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике, часть которого (часть А) проводится в виде тестовых заданий.

Тестовая система проверки знаний и умений породила широкие дискуссии. К положительным сторонам этого явления можно отнести легкость проверки, отсутствие субъективности, широту охвата испытуемых, научение самоконтролю испытуемых.

Следует отметить, что у тестовой системы контроля есть и ряд недостатков: тесты все же не в полной мере могут оценить степень усвоения материала, замена тестированием вступительных экзаменов, с одной стороны, освобождает от субъективности, а, с другой, -обезличивает абитуриента, не позволяет понять стиль его мышления.

Так, A.M. Радьков указывал на следующее: «Даже хорошо составленный тест, который признан педагогами-практиками, не может в полной мере оценить определенные качественные характеристики личности. Человек многообразен, его психика представляет сложную функционально-динамическую систему. Оказываясь в роли испытуемого, определенный индивид в одном случае может показать все свои достоинства, а в другом - допустить ряд ошибок» [151, с. 23].

Отметим, что страны, активно использовавшие тестирование в качестве средства контроля, в настоящее время постепенно отходят от данной формы проверки.

Автор данного исследования видит будущее именно за использованием тестовых заданий в качестве обучающего средства. В этом случае тестовая система сохранит все свои достоинства и избавится от недостатков. Отметим, что данная проблема недостаточно разработана и нуждается в исследовании.

Объект исследования: процесс обучения тригонометрическому материалу в курсе геометрии.

Предмет исследования: процесс формирования ТП у учащихся при изучении геометрии в основной школе.

Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при реализации которого не допускается формальной передачи знаний и схоластической отработки умений, то есть изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышления, при этом, учащимся должны быть предоставлены возможности для дифференциации, индивидуализации и рефлексии.

Задачи исследования:

4. Разработать требования к обучающей системе заданий в тестовой форме, направленной на формирование ТП.

5. Апробировать созданную систему заданий, проверив экспериментально ее эффективность.

6. Провести экспериментальное исследование эффективности разработанной методики.

В качестве методологической основы исследования использовались идеи гуманизации и гуманитаризации образования, психологические теории процесса мышления, формирования приемов умственной деятельности, специфики образного мышления (Е.Н. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская, И.Я. Каплунович).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования'.

Экспериментальные - анкетирование учащихся и учителей, организация и проведение констатирующего и формирующего экспериментов, обработка данных, полученных в ходе эксперимента с использованием стохастических методов.

Исследование проводилось в четыре этапа (с 2000 г по 2004 г).

На третьем этапе (2002 г - 2003 г) проводился поисковый эксперимент, была осуществлена пробная экспериментальная проверка созданной системы, учтены пожелания и критические замечания учителей, проводящих экспериментирование, в результате чего были произведены коррективы обучающей системы заданий в тестовой форме.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования: определено содержание и структура понятия «ТП»; теоретически обоснована необходимость ориентации процесса обучения тригонометрии в курсе геометрии основной школы на формирование ТП; выделены уровни ТП, которые могут быть сформированы у учащихся основной школы при изучении геометрии; выделены критерии сформированности и критерии выявления ТП разных уровней; установлен ряд условий, благоприятных для формирования ТП разных уровней при изучении тригонометрии в курсе геометрии; разработана методика формирования ТП, основой которой является система обучающих заданий в тестовой форме; выделены требования, предъявляемые к обучающей системе заданий в тестовой форме.

Практическая значимость исследования состоит в том, что мы выделили и экспериментально подтвердили наиболее оптимальное расположение теоретического материала в учебнике при изучении тригонометрии, создали систему заданий, направленную на формирование ТП, которая может применяться учителями в процессе изучения тригонометрии в курсе геометрии (кроме того, некоторые задания могут быть использованы и при изучении тригонометрии в курсе алгебры).

Апробация и внедрение результатов исследования.

Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в школах № 23, № 8 (МПЛ), № 14 г. Пскова.

Основные положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на заседаниях и методологических семинарах кафедры алгебры и геометрии Псковского государственного педагогического университета и кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин Псковского филиала Санкт-Петербургского государственного университета сервиса и экономики, на семинарах для учителей, посвященных появлению учебников нового поколения, на втором Всероссийском геометрическом семинаре, проходившем в г. Пскове, выступление на котором было опубликовано в «Материалах второго Всероссийского семинара», на конференциях ИУУ.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 6 приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы ко второй главе.

Как показал педагогический эксперимент, в данное время изучение тригонометрии в курсе геометрии по учебникам А.В. Погорелова и J1.C. Атанасяна нельзя признать удовлетворительным.

В данной работе мы обозначили причины, приводящие к низкому качеству знаний по тригонометрии в курсе геометрии, а также выделили ряд требований, при соблюдении которых изучение тригонометрии станет осознанным, лишенным формализма и приведет к повышению результативности (см. главу 2).

В результате нами была создана методика формирования ТП, основой которой стала обучающая система заданий в тестовой форме. Нами было рассмотрено понятие теста, понятие задания в тестовой форме, а также понятие системы. Анализируя труды по современной тестологии, мы сочли возможным использовать разработанную нами систему заданий в тестовой форме в качестве обучающего средства.

При создании методики формирования ТП мы учитывали идеи личностно ориентированного обучения. Нам удалось выделить требования к методике формирования ТП, цели создания такой методики, условия для организации деятельности учителя и учащихся в рамках данной методики и с учетом идей личностно ориентированного обучения.

Педагогический эксперимент показал, что, используя обучающую систему заданий в тестовой форме, а также, учитывая в процессе преподавания выделенные уровни ТП, качество изучения тригонометрического материала повышается, кроме того, по результатам эксперимента, мы можем говорить о том, что формирование ТП всех уровней осуществлялось с учетом образной составляющей мышления, а значит, было лишенным формализма и догматики.

Кроме того, эксперимент показал, что использовать данную методику можно при обучении по разным учебникам. Особый эффект дает использование методики применительно к учебнику A.JI. Вернера и др. Действительно, данный учебник является учебником, наиболее удовлетворяющим предъявленным нами требованиям, необходимым для формирования всех уровней ТП.

Отметим, что практическая значимость нашей работы состоит в доказанной экспериментально возможности использования предложенной методики при изучении тригонометрического материала в курсе геометрии.

Кроме того, отметим, что учителя, работавшие по учебникам А.В. Погорелова и JT.C. Атанасяна и др. и использовавшие предложенное нами методическое обеспечение, фактически проходили тригонометрию «по А.Д. Александрову», то есть наш эксперимент показал возможность изучения тригонометрического материала в геометрии единым блоком, опираясь на идеи А.Д. Александрова.

За время написания диссертационной работы мы неоднократно выступали на семинарах и конференциях учителей, знакомили их с изучением тригонометрии, изложенной в учебнике A.JI. Вернера, в результате чего, многие учителя согласились попробовать изучать тригонометрию предложенным способом, а учителя, участвовавшие в нашем педагогическом эксперименте, и тоже неоднократно выступавшие перед коллегами, непосредственно доказали возможность подобного изучения тригонометрии.

Заключение

На современном этапе процесс обучения должен согласовываться с принципами гуманизации и гуманитаризации образования. Соблюдение этих принципов предполагает не только необходимость реформирования учебников, но также необходимость изменения самой методики преподавания.

В данном диссертационном исследовании нами была рассмотрена проблема формирования ТП у учащихся в курсе геометрии основной школы.

Нами было показано, что изучение тригонометрического материала в курсе геометрии является значимым и актуальным как для курса геометрии, так и для пропедевтики тригонометрии в курсе алгебры. Учет принципов гуманизации и гуманитаризации математического образования, соблюдение осознанности и отказ от формализма в процессе обучения привели нас к пониманию необходимости формирования представлений и разработке методики их формирования.

Методика формирования ТП, предложенная нами, реализуется в рамках личностно ориентированного подхода и включает в себя:

- понимание того, что методика, реализующаяся в рамках личностно ориентированного подхода, позволяет признать ученика субъектом обучения, направить процесс обучения на ученика, обеспечить изучение материала с учетом личностных особенностей учащихся;

- понимание того, что является ТП, какие уровни ТП можно выделить и сформировать у учащихся;

- основные компоненты методики, реализующие поэтапное формирование ТП и включающие в себя целостное изучение тригонометрии, опору на образную составляющую и постепенный переход к логической составляющей, при этом основным результатом обучения является формирование представления;

- психолого-педагогические условия реализации формирования ТП.

Реализация методики формирования ТП обеспечивалась:

- новым пониманием места и роли тригонометрии в курсе геометрии основной школы;

- новой логикой изложения курса тригонометрии;

- новым методическим подходом к формированию ТП, в основе которого лежат психолого-педагогические и методические идеи: переход при формировании ТП от образного мышления к логическому, поэтапное формирование этапов умственной деятельности, организация личностно ориентированного обучения; системой заданий в тестовой форме, включающей в себя различные виды заданий, направленной на формирование ТП трех уровней.

Как показала апробация, методика формирования ТП позволяет:

- создать условия для поэтапного формирования ТП;

- добиться осознанности, повышения интереса к предмету и мотивации обучения при изучении тригонометрии;

- использовать в процессе изучения тригонометрического материала систему заданий в тестовой форме, позволяющую реализовать учителю и учащимся разные возможности ее применения.

Анализ результатов педагогического эксперимента показал, что учащиеся, изучающие тригонометрию с учетом требований, предъявляемых нами к методике формирования ТП, добились более высоких результатов и ТП у них сформировались лучше, чем у учащихся, изучающих курс тригонометрии без привлечения предложенной методики или же частичного ее применения.

Таким образом, в результате проведенного теоретико-экспериментального исследования была подтверждена гипотеза и достигнута цель - разработана методика формирования ТП у учащихся основной школы в курсе геометрии, способствующая изучению тригонометрии в рамках личностно ориентированного обучения.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1. Нестерук О.В. К вопросу о преподавании тригонометрии в средней школе / В сборнике: Проблемы геометрического образования на современном этапе: материалы второго Всероссийского геометрического семинара (18 - 19 мая 2001, Псков) / Псков, 2001. - С. 93 - 104. 0,69 п.л.

2. Нестерук О.В. К вопросу об использовании заданий в тестовой форме для развития и обучения учащихся / В сборнике: Современные технологии в высшем и среднем профессиональном образовании: проблемы качества подготовки специалистов: материалы четвертой региональной научно-методической конференции. - Псков, 2003. - С. 60 -61. 0,13 п.л.

3. Нестерук О.В. К вопросу о формировании тригонометрических представлений // Псковская школа. - 2003. - № 5. - С.115 - 117. 0,25 п.л.

4. Нестерук О.В., Остапенко М.В. Об изучении тригонометрии в курсе геометрии // Математика в школе. - 2004. - № 4. - С. 32 - 35. 0,38 п.л. (авт. вклад 70%)

5. Нестерук О.В. Учебник геометрии как основное средство формирования тригонометрических представлений / В сборнике: Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе: материалы Всероссийской научно-методической конференции (23 - 26 сентября 2004, Великий Новгород) / Великий Новгород, 2004. - С. 194 - 197. 0,2 п.л.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Нестерук, Ольга Валентиновна, Москва

1. Аванесов B.C. Композиция тестовых заданий: Книга для преподавателей вузов, техникумов и училищ, учителей школ, гимназий и лицеев, для студентов и аспирантов пед. вузов. М.: Адепт, 1998.

2. Аванесов B.C. Научные проблемы тестового контроля знаний /Гос. комитет РФ по высшему образованию. М., 1994.

3. Аванесов B.C., Гетманенко Г.Е. Методические принципы композиции тестовых заданий. М., 1996.

4. Агибинов А.В. Конструирование тестов и методика их использования при контроле знаний учащихся по математике: Автореф. дис. канд. пед. наук М., 1987.

5. Адрова И.А., Ромашко И.В. Так мы приступаем к тригонометрии // Математика в школе. 1999. - № 4. - С. 31 - 34.

6. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. -№3.- С. 56-62.

7. Александров А.Д., Вернер A.J1. Геометрия 7 9. - СПб.: Спецлит, 2000.

8. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Геометрия 7 9. - М.: Просвещение, 1995.

9. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8-9 (для физико-математических классов). М.: Просвещение, 1991.

10. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8. М.: Мирос, 1997.

11. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8. М.: Просвещение, 1986.

12. Алексеев Н.И. Личностно ориентированное обучение: вопросы теории и практики. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 1997.

13. Алексеев Н.И. Педагогические основы проектирования личностно ориентированного обучения: Автореф. дис. доктора пед. наук -Екатеринбург, 1997.

14. Альбер С.П. Вопросы преподавания специального курса тригонометрии: Дис. канд. пед. наук. -М., 1954.

15. Амонашвили Ш.А. Личностно-гуманная основа педагогического процесса. Минск: Изд-во БГУ, 1990.

16. Ананьев Б.Г. Психология чувственного познания. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960.

17. Андронов И.К., Окунев А.К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. М.: Просвещение, 1967.

18. Андронов И.К., Окунев А.К. Числовая окружность и круговые функции действительного аргумента в основном курсе тригонометрии // Математика в школе. 1958. - № 6. - С. 25 - 26.

19. Антропова М.В., Манке Г.Г., Кузнецова Л.М., Бородкина Г.В. Дифференцированное обучение: педагогическая и физиолого-гигиеническая оценка // Педагогика. 1992. - № 9 - 10. - С. 23 - 28.

20. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия 7 9. - М.: Просвещение, 2003.

21. Аяпберченов С. Построение учебника тригонометрии: Дис. канд. пед. наук. Алма-Ата, 1953.

22. Баряева Л.Б. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников (с проблемами в развитии). СПб.: РГПУ им. А.И. Герцена, Союз. - 2002.

23. Бевз Г.П. Геометрия 7 11. -М.: Просвещение, 1994.

24. Белая И., Дубильт А., Егорышева О., Юрина И. Экспертная система определения «белых пятен» в знаниях ученика (на примере курса тригонометрии) //Информатика и образование. 1991. -№ 2. - С. 73 - 77.

25. Белухин Д.А. Основы личностно ориентированной педагогики. -М.,1996.

26. Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. (Учебник для средних школ). -М.: Наука, 1967.

27. Бескин Н.М. Задачник-практикум по тригонометрии. М.: Просвещение, 1966.

28. Беспалько В.П. Программированное обучение (дидактические основы). -М.: Высшая школа, 1970.

29. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. М.: Педагогика, 1989.

30. Блинков А., Семенов А. Технология самоконтроля: тесты по геометрии // Математика. 2001. -№ 47. - С. 15-16.

31. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения: в 2-х томах / Под ред. А.В. Петровского. М.: Педагогика, 1979.

32. Блонский П.П. Память и мышление. СПб.: Питер, 2001.

33. Блох A.M. Тестовая система оценки знаний по математике в школах США // Математика в школе. 1990. - № 2. - С. 71-77.

34. Богушевский К.С. О сборнике задач по тригонометрии И.И. Смирнова // Математика в школе. 1961. - № 1. - С. 78 - 81.

35. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Геометрия 6-8 (пробный учебник). М.: Просвещение, 1979.

36. Бондаревская Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования // Педагогика. 1997. - № 4. - С. 11-17.

37. Бондаревская Е.В., Кульневич С.В. Педагогика: личность в гуманистических теориях и системах воспитания. М. - Ростов-на-Дону: ТЦ «Учитель», 1999.

38. Брунер Дж. Психология познания: за пределами непосредственной информации. М.: Прогресс, 1977.

39. Валицкая А.П. Современные стратегии образования: варианты выбора // Педагогика. 1997. - № 2. - С. 3 - 8.

40. Вардакян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием / Под редакцией В.А. Гусева. -М.: Просвещение, 1989.

41. Веккер J1.M. Психические процессы: в 2-х томах. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1974.

42. Вернер A.JL Роль и место тригонометрии в курсе геометрии основной школы // Математика. 2002. - № 41. - С. 9 - 10.

43. Вернер A.J1. Уроки Александрова // Математика в школе. 2002. - № 7.-С. 21 -26.

44. Вернер A.JI. Цикл учебников по геометрии // Математика в школе. -1996.-№6.-С. 34-37.

45. Вернер A.JL, Рыжик В.И. О структуре курса геометрии основной школы // Математика в школе. 2004. - № 7. - С. 78 - 80.

46. Вернер A.JL, Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия 8. М.: Просвещение, 2001.

47. Веровский В.И. Представление как чувственно-наглядный образ и его роль в познавательной деятельности: Автореф. дис. канд. фил. наук. -Киев, 1976.

48. Владимиров А.С. Работы практического характера в курсе тригонометрии // Математика в школе. 1957. - № 1. - С. 54 - 62.

49. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления у учащихся / Под редакцией И.С. Якиманской. М.: Педагогика, 1989.

50. By Зпонг Туй Методика использования векторного аппарата при изучении тригонометрии в старших классах общеобразовательной школы. Дис. канд. пед. наук. М.: 1980.

51. Гальперин П.Я Умственное действие как основа формирования мысли и образа // Вопросы психологии. 1957. - № 6. - С. 58 - 69.

52. Гальперин П.Я. Введение в психологию: Учебное пособие для ВУЗов. -М.: Высшая школа: Университет, 2002.

53. Гальперин П.Я. Лекции по психологии: Учебное пособие для ВУЗов. -М.: Высшая школа: Университет, 2002.

54. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственного развития ребенка. -М.: Изд-во МГУ, 1985.

55. Генкин Г.З. Тригонометрические упражнения в основной школе // Математика в школе. 2004. - № 7. - С. 33 - 38.

56. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. 1991.-№4.-С. 68-71.

57. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире и математическое образование // Математика в школе. 1991. - № 1. - С. 2 - 4.

58. Гнеденко Б.В., Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии // Математика в школе. 1996. - № 1. - С. 5254.

59. Горбатый П.А. Опыт преподавания тригонометрии в школе. Киев, 1953.

60. Гостев А.А. Образная сфера человека. М., 1992.

61. Грабарь М.И. Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. -М.: Педагогика, 1977.

62. Грекулова А.Г. Содержание упражнений по изучению тригонометрических функций и методика их решения: Дис. канд. пед. наук. М., 1956.

63. Грибулин В.А. Тригонометрический задачник в русской дореволюционной и советской школе и построение упражнений потригонометрии в курсе математики средней школы: Дис. канд. пед. наук. -Смоленск, 1964.

64. Гуревич К.М. Индивидуально-психологические особенности школьников. М.: Знание, 1988.

65. Гуревич К.М., Горбачева Е.И. Умственное развитие школьников: критерии и нормативы. -М.: Знание, 1992.

66. Гусев В.А. Каким должен быть школьный курс геометрии? // Математика в школе. 2002. - № 3. - С. 4 - 8.

67. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. 1990. - № 4. - С. 27 - 31.

68. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. -М.: Вербум -М, 2003.

69. Давыдов В.В. Умственное развитие младших школьников в процессе обучения // В кн.: Психолого-педагогическое изучение личности школьника: Сборник трудов / Моск. обл. пед. институт им. Крупской. М.: Б.И., 1977.-С. 24.

70. Джураева М.Ю. Гносеологическая роль представления в современной науке: Автореф. дис. канд. фил. наук. Ташкент, 1989.

71. Днепров Э.Д. Современная школьная реформа в России: Научное издание. М.: Наука, 1998.

72. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 2 -5.

73. Евстафьева Л.П., Мамаджанова Ю.А. Геометрия 8. Рабочая тетрадь. -М.: Просвещение, 1999.

74. Завалова Н.Д. Образ в системе психической регуляции деятельности. -М.: Наука, 1986.

75. Загорский А.Н. Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся в курсе математики восьмилетней школы на основе меж предметных связей: Дис. канд. пед. наук Л., 1986.

76. Иванова Е.О. Личностно ориентированное обучение: индивидуализация содержания образования // Завуч. 2002. - № 8. - С. 100-117.

77. Игнатьев Е.И. О некоторых особенностях представления и воображения. М.: Известия АПН РСФСР. - Выпуск 76, 1956. - С. 3 -17.

78. Ильенков Э.В. Диалектическая логика. Очерки истории и теории. М.: Политиздат, 1984.

79. Кабанова-Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. Проблема приемов умственной деятельности. М.: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1962.

80. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. -М.: Знание, 1981.

81. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968.

82. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Новгород: НРЦРО, 1996.

83. Каплунович И.Я. Специфика образного мышления при овладении системой математических понятий // В кн.: Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под редакцией И.С. Якиманской. М.: Педагогика, 1989. - С. 69 - 95.

84. Каплунович И.Я., Петухова Т.А. Пять подструктур математического мышления: как их выявить и использовать в преподавании // Математика в школе. 1998. - № 5. - С. 45 - 48.

85. Кипнис И.М. Об исследовании геометрических задач, решаемых с применением тригонометрии // Математика в школе. 1955. - № 4. - С. 72 -76.

86. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия 7-9. Учебник и задачник. -М.: Дрофа, 1995.

87. Кисловская О.И. О формализме в школьном учебнике тригонометрии // Математика в школе. 1948. - № 3. - С. 46 - 48.

88. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6 8. -М.: Просвещение, 1981.

89. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Гусев В.А., Черкасов Р.С. Геометрия. Учебное пособие для 8 класса средней школы. М.: Просвещение, 1975.

90. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. М.: Просвещение, 2001.

91. Контроль знаний учащихся по физике / Под ред. В.Г. Разумовского. -М.: Просвещение, 1982.

92. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. - № 2. - С. 13-18.

93. Концепция структуры и содержания общего среднего образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. - № 2. - С. 6 - 13.

94. Крылова Н. Что такое «личностное» знание? // Народное образование. -2003.-№9.-С. 25-34.

95. Крылова Н., Александрова Е. Как обеспечить индивидуальное образование // Народное образование. 2002. - № 9. - С. 73-82.

96. Крылова Н., Александрова Е. Как организовать индивидуальное образование? // Народное образование. 2003. - № 2. - С. 87 - 95.

97. Кузьменко О.А. Особенности изучения элементов тригонометрии в курсах геометрии и алгебры 8-9 классов: Автореф. дис. канд. пед. наук. -Киев, 1989.

98. Кучеренко Е. Критерии оценки уровня обученности и качества знаний // Директор школы. 2004. - № 7. - С. 41 - 45.

99. Ладоренко О.А. Диалектика перехода от представления к понятию: Автореф. дис. канд. фил. наук. М., 1964.

100. Лебедев В.П. Изучение начального курса тригонометрии в 8 классе в свете задач политехнического обучения: Дис. канд. пед. наук. -М., 1957.

101. Лежников В.П. Гуманизация образования: сущность, цели, пути (философский аспект): Автореф. дис. канд. фил. наук. М., 1996.

102. Личностно ориентированный подход в работе педагога: разработка и использование / Под ред. Е.Н. Степанова. -М.: ТЦ Сфера, 2003.

103. Ломов Б.Ф. Методологические и теоретические проблемы психологии.-М.: Наука, 1984.

104. Лоповок Л.М. Новое пособие по тригонометрии // Математика в школе. 1954. - № 2. - С. 77 - 80.

105. Люсин Д.В. Основы разработки и применения критериально-ориентированных педагогических тестов. Учебное пособие для слушателей курсов повышения педагогической квалификации М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 1993.

106. Майоров А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образования. М.: Народное образование, 2000.

107. Марев И. Методологические основы дидактики. М.: Педагогика, 1987.

108. Маркушевич А.И. Некоторые проблемы обучения математике в школе // Математика в школе. 1969. - № 6. - С. 22 - 28.

109. Математические тесты / Перевод с англ. Г.А. Маркушевича // Математика в школе. 1961. -№ 3. - С. 72 - 79.

110. Мацько Н.Д. Формирование пространственных представлений у учащихся 1 5 классов. Автореф. дис. канд. пед. наук. - Киев, 1975.

111. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника: Избранные психологические труды / Редактор составитель И.С. Якиманская АПН СССР. - М.: Педагогика, 1989.

112. Методика обучения геометрии / Под редакцией В.А. Гусева. М.: Академия, 2004.

113. Методика оценки учебных показателей учащихся // Практика административной работы в школе. 2004. -№ 1. - С. 13-15.

114. Михайлова И.Б. Роль представлений в процессе познания: Автореф. дис. фил. наук. М, 1963.

115. Михайлова И.Б. Чувственное отражение в современном научном познании. М.: Мысль, 1972.

116. Михайлычев Е.А. Дидактическая тестология. М.: Народное образование. - 2001.

117. Михеев В.И. Моделирование и методы теоретических измерений в педагогике. М.: Высшая школа, 1987.

118. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. - № 6. - С. 32 -38.

119. Мордкович А.Г., Тарасов JI.B. Каким быть школьному учебнику? // Математика в школе. 2003. - № 8. - С. 2 - 6.

120. Новиков А.И. К вопросу о реформе математического образования // Математика в школе. 2000. - № 6. - С. 2 - 4.

121. Новиков А.И. Математическое образование и система тестирования // Математика в школе. 2002. - № 4. - С. 12 - 14.

122. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии (для пед. институтов и гос. университетов). -М.: Высшая школа, 1967.

123. Новоселов С.И. Руководство по преподаванию тригонометрии. М.: Учпедгиз, 1958.

124. Новоселов С.И. Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1965.

125. Об учебнике тригонометриии С.И. Новоселова изд. 1956 г. // Математика в школе. 1957. - № 5. - С. 65 - 87.

126. Общая психология. Учебник для пед. институтов / Под редакцией А.В. Петровского.-М.: Просвещение, 1986.

127. Окунев А.А. Методические раздумья о преподавании по новому учебнику // Математика в школе. 1996. - № 4. - С. 26 - 29.

128. Окунев А.К. О преподавании тригонометрии в средней школе: Дис. канд. пед. наук. М., 1956.

129. Осипова B.JL, Феоктистов И.Е. Итоговое повторение тригонометрии в девятом классе // Математика в школе. 2000. - № 3. - С. 5 - 10.

130. Пардала А. Тест как средство исследования пространственного воображения // Математика в школе. 1995. - № 3. - С. 75 - 80.

131. Педагогический словарь. В 2-х т. / Под редакцией И.А. Каирова. М.: Изд-во Акад. пед. наук, 1960.

132. Пиаже Ж. Как дети образуют математическое понятие // В кн.: Хрестоматия по психологии. М., Просвещение, 1977

133. Пикан В.В. Формирование обобщенных понятий современной математики в процессе изучения тригонометрических функций в средней общеобразовательной школе: Дис. канд. пед. наук. Киев, 1974.

134. Пичурин А.Ф. О тригонометрии и не только о ней: пособие для учащихся 9-11 кл. -М.: Просвещение, 1996.

135. Погорелов А.В. Геометрия 7-11. -М.: Просвещение, 1990.

136. Подходова Н.С. К проблеме личностно-ориентированного обучения геометрии // Математика в школе. 2000. - № 10. - С. 54 - 58.

137. Подходова Н.С. Формирование пространственных представлений младших школьников при изучении геометрического материала: Дис. канд. пед. наук. СПб., 1992.

138. Полани М. Личностное знание: На пути к посткритической философии. М.: Прогресс, 1985.

139. Полякова А.Г. Психолого-педагогические условия формирования пространственных представлений у подростков: Автореф. дис. канд. пед. наук. Екатеринбург, 1993.

140. Применение знаний в учебной практике школьников. Психологические исследования / Под редакцией Н.А. Менчинской. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961.

141. Психический образ: строение, механизмы, функционирование и развитие: (Тезисы докладов) / Вторые Международные научные Ломовские чтения 25-27 января 1994 года. -т. 1. -М.: ИПАН, 1994.

142. Психическое развитие младших школьников: экспериментальное психологическое исследование. (НИИ общей и педагогической психологии АН СССР / Под редакцией В.В. Давыдова. М.: Педагогика, 1990.

143. Психологическая диагностика детей и подростков: Учебное пособие для студентов / Под редакцией К.М. Гуревича, Е.М. Борисовой. М.: Международная педагогическая академия, 1995.

144. Психологическая диагностика: Проблемы и исследования / под редакцией К.М. Гуревича. М.: Педагогика, 1981.

145. Психологические особенности систем математических понятий. -Ровно, 1977.

146. Психологические проблемы учебной деятельности школьника / НИИ общей пед. психологии / Под редакцией В.В. Давыдова. М.: Сов. Россия, 1977.

147. Психология: Словарь / Под ред. А.В. Петровского. М.: Политиздат, 1990.

148. Радьков A.M. Научные основы тестирования в системе непрерывного обучения математике: Автореф. дис. докт. пед. наук. Минск, 1996.

149. Разумовский В.Г. Задания для контроля знаний учащихся по физике: VIII кл. Механика. -М.: Просвещение, 1976.

150. Ребер Артур Большой толковый психологический словарь. В 2-х т. -М.: Вече: ACT, 2000.

151. Ришар Ж.Ф. Ментальная активность. (Понимание, рассуждение, нахождение решений). М.: Институт психологии РАН, 1998.

152. Родионов Б.У., Татур А.О. Стандарты и тесты в образовании. -М.: МИФИ, 1995.

153. Розов Н.Х. Вечные вопросы о школьном курсе математики. Чему учить? Как преподавать? // Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 34 -36.

154. Розов Н.Х., Савин А.П. Лабораторные работы .по геометрии? Да! // Математика в школе. 1994. - № 6. - С. 52 - 54.

155. Роль задач в формировании математических знаний и развитии учащихся: Учебное пособие. Екатеринбург: Уральский пед. институт, 1994.

156. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание. М.: Изд-во АН СССР, 1957.

157. Рубинштейн С.Л. К критике метода тестов / Против педологических извращений в педагогике. Л., 1938.

158. Рубинштейн С.Л. Принципы и пути развития психологии. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

159. Рыбкин Н. Прямолинейная тригонометрия. Учебник для 9 и 10 классов средней школы. М.: Учпедгиз, 1955.

160. Рыбкин Н. Сборник задач по тригонометрии. Для 8, 9 и 10 классов средней школы. М.: Учпедгиз, 1956.

161. Рыбников К.А. Тригонометрия в школе и в системе математических наук // Математика в школе. 1984. - № 6. - С. 51 - 55.

162. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995. - № 5. -С. 36-39.

163. Саранцев Г.И. Методика обучения математике на рубеже веков // Математика в школе. 2000. - № 7. - С. 2 - 5.

164. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе // Математика в школе. 1998. - № 6. - С. 27 - 30.

165. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях // Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 36 - 41.

166. Семенов В.Е. О некоторых вопросах математики в средней школе // Математика в школе. -1955. № 2. - С. 44 - 47.

167. Сеночноева Н.А. Использование обучающих тестов в курсе геометрии 7-9 классов: Дис. канд. пед. наук. М., 1996.

168. Серебрякин A.JL Использование поурочного тестирования при обучении // Образовательная индустрия. (Приложение к журналу «Наука и школа»). 1999. - № 4. - С. 21 - 26.

169. Сериков В.В. Личностно-ориентированное образование // Педагогика. 1994,-№5.-С. 16-21.

170. Сеченов И.М. Избранные произведения. М.: Учпедгиз, 1953.

171. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. -СПб.: Речь, 2001.

172. Симонов В.П. Диагностика степени обученности учащихся. Учебно-справочное пособие. М.: МПА, 1999.

173. Симонов В.П., Черненко Е.Г. Десятибальная шкала оценки степени обученности по предметам. Учебно-справочное пособие. М.: Граф -Пресс, 2002.

174. Смирнов А.А. Избранные психологические труды. В 2-х т. / Под редакцией Б.Ф. Ломова. АПН СССР. -М.: Педагогика, 1986.

175. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7 9. - М.: Просвещение, 2001.

176. Стандарт основного общего образования по математике // Математика в школе. 2004. - № 4. - С. 4 - 9.

177. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике // Математика в школе. 2004. - № 4. - С. 9 - 16.

178. Степанов Е.Н., Амосенок H.JL, Горелин И.Ф. и др. Личностно-ориентированный подход в работе педагога: Разработка и использование / Под редакцией Е.И. Степанова. М.: Сфера, 2003.

179. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 5 - 7.

180. Стратилатов П.В. Сборник задач по тригонометрии. Для 9 и 10 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1965.

181. Талызина Н.Ф. Теоретические проблемы программированного обучения. М.: Изд-во МГУ, 1969.

182. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1975.

183. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. -М.: Знание, 1983.

184. Теория и практика личностно ориентированного образования. «Круглый стол» // Педагогика. 1995. - № 5. - С. 72 - 80.

185. Теория и практика педагогического эксперимента / Под редакцией А.И. Пискунова, Г.В. Воробьева. М.: Педагогика, 1979.

186. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. 1993. - № 4. - С. 3 -9.

187. Точные науки и науки о человеке. (Интервью с Б.В. Раушенбахом) // Вопросы философии. 1989. - № 4. - С. 110 - 113.

188. Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. М.: Педагогика, 1990.

189. Управляемое формирование психических процессов: Сборник статей. под редакцией П.Я. Гальперина. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.

190. Ушинский К.Д. Сочинения. Т. 2. - М.: Педагогика, 1974.

191. Формирование приемов математического мышления / Под редакцией Н.Ф. Талызиной. М.: Вектана Граф, 1995.

192. Фридман J1.M. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 1984.

193. Хамитов Р. Тест обучающая программа // Математика. - 1997. - № 16.-С. 12-13.

194. Хинчин А.Я. Основные понятия математики в средней школе. В сборнике Вопросы преподавания математики в средней школе. - М.: Учпедгиз, 1961, С. 81.

195. Хофман И. Активная память: экспериментальные исследования и теории человеческой памяти. -М.: Прогресс, 1986.

196. Худобины А.И. и Н. И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. -М.: Просвещение, 1973.

197. Цукарь А.Я. Изучение функций в 7 классе с помощью средств образного характера // Математика в школе. 2000. - № 4. - С. 20 - 28.

198. Чебаевская А.А. Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии // Математика в школе. 1955. - № 4. - С. 77 -79.

199. Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов. М.: «Логос», 2002.

200. Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. 1997. - № 4. - С. - 88 - 92.

201. Чичигин В.Г. Методика преподавания тригонометрии. М.: Учпедгиз, 1954.

202. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982.

203. Шамова Т.И., Давыденко Т.М., Шибанова Р.Н. Управление образовательными системами. -М.: Академия, 2002.

204. Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе XXI века геометрия? // Математика в школе. 2004. - № 4. - С. 72 - 79.

205. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7 9. - М.: Дрофа, 2000.

206. Шарыгин И.Ф. Некоторые размышления по поводу школьного курса геометрии // Учительская газета. 1992. - № 20. - С. 11, 14.

207. Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем образовании // Математика в школе. 2001. - № 3. - С. 6 - 11.

208. Шацков Д.Д. Представление и понятие: Автореф. дис. канд. фил. наук.-М., 1954.

209. Шемякин Ф.Н. Некоторые теоретические проблемы исследования пространственных восприятий и представлений // Вопросы психологии. -1968.-№4. С.-18-28.

210. Шёнфельд X. // Математика в школе. Что общего между заходом Солнца и функцией синус? - 1993. -№ 2. - С. 75 - 77.

211. Шехтер М.С. Образные компоненты знания в обучении // Вопросы психологии. 1991.-№4.-С. 50-58.

212. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979.

213. Якиманская И.С. Технология личностно-ориентированного образования. М.: Сентябрь, 2000.

214. Якиманская И.С. Знание и мышление школьника. М.: Знание, 1985.

215. Якиманская И.С. Основные направления исследования образного мышления // Вопросы психологии. 1985. -№ 5. - С. 5 - 18.

216. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. -М.: Педагогика, 1980.

217. Piaget J. Lestructures matematiques les operatories de Pintelligensell // L'enseignements de mathemaatiques Paris, 1955.

218. Piaget J. L'image mental chez Г enfant, 1966.