Технология изучения элементов математической логики в основной школе

Елифантьева, Светлана Сергеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Технология изучения элементов математической логики в основной школе

Автореферат

Автор научной работы: Елифантьева, Светлана Сергеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Ярославль
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Технология изучения элементов математической логики в основной школе"

На правах рукописи

ЕЛИФАНТЬЕВА СВЕТЛАНА СЕРГЕЕВНА

ТЕХНОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02-теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Ярославль 2006

Работа выполнена на кафедре теории и методики обучения математике Ярославского государственного педагогического университета имени К.Д. Ушинского

Научный руководитель: доктор педагогических наук,

профессор Ястребов Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Игошин Владимир Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент Кузнецов Дмитрий Юрьевич

Ведущая организация: Вологодский государственный педагогический университет

Защита состоится 18 октября 2006 года в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.307.05 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук в Ярославском государственном педагогическом университете имени К.Д. Ушинского по адресу: 150000, Ярославль, ул. Республиканская, 108, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского.

Автореферат разослан «]£_» сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Трошина Т.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Перемены, произошедшие в сфере образования, а именно личностно-ориентированный подход к образованию, его гуманизация и гуманитаризация, уровневая и профильная дифференциация, привели к смещению акцентов с информационной функции обучения на развивающую. Сегодня в процессе обучения учитель должен не только передать определенную сумму знаний, но и научить школьников самостоятельно получать новую информацию и творчески ее перерабатывать. В этой ситуации проблеме формирования у школьников логической грамотности должно быть уделено существенное внимание.

Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных предметов, В этой ситуации на учителя математики ложится основная нагрузка по формированию у школьников логической грамотности. В свою очередь владение элементарным комплексом логических понятий и действий позволяет школьникам лучше усваивать математику.

Таким образом, на сегодняшний день актуальна проблема одновременного изучения школьного курса математики и элементов логики.

Проблеме формирования у школьников логических знаний и умений на уроках математики и на факультативных занятиях по математике посвящены работы О.В. Алексеевой, М.А. Артамонова, В.Г. Болтянского, Б.Ф. Высокого, М.Е. Драбкиной, В.Г. Ежковой, В.И. Игошина, Л.А. Калужнина, А.Н. Капиносова, Т.А. Кондрашенковой, И.Л. Никольской, Ф.Ф. Притуло, A.A. Столяра, А.И. Фетисова и др.

Исторически существовало три подхода к решению проблемы формирования у школьников логической грамотности.

1. Введение логики в курс средней школы как отдельного учебного предмета (А.Д. Гетманова, К.Я. Хабибуллии).

2. Включение элементов логики в содержание базовых школьных предметов, в частности математики (О.В. Алексеева, В.Г. Ежкова, Т.А. Кондрашенкова).

3. Изучение элементов логики на факультативных курсах по математике (И.Л. Никольская, A.A. Столяр).

В истории нашей школы был период (1947 - 1956 гг.), когда логика изучалась как отдельный учебный предмет в 10 (11) классе. Однако практика показала, что кратковременное обучение элементам логики, да еще и в конце школьного обучения, не дает заметного развивающего эффекта. В итоге логика как самостоятельная учебная дисциплина была исключена из школьной программы.

грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления» был впервые поставлен лишь в 70-е гг. И.Л. Никольской. Именно она уточнила понятие «логическая грамотность» и предъявила требования к логической подготовке выпускников средних школ.

Между тем, стоит отметить еще и то, что большинство авторов предлагало изучать элементы логики и математической логики в рамках факультативных курсов. Другими словами, разработанные программы были рассчитаны только на учащихся, занимающихся математикой дополнительно.

Отметим, что предложенный И.Л. Никольской подход носил обобщенный характер и требовал конкретизации. В итоге в 80-е и 90-е гг. уже применительно к конкретным ступеням обучения появляются работы Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой. Однако предложенные методики были направлены на формирование и развитие у школьников только общслогичсских умений и оставили в стороне группу логических умений.

В настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики общеобразовательной средней школы. Однако анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что они, как правило, не содержат материала по логике. И только учебники для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон содержат необходимый теоретический и задачпый материал.

Таким образом, несмотря на актуальность проблемы формирования у школьников знаний и умений по логике и математической логике, в настоящее время отсутствует необходимое методическое обеспечение.

Кроме того, накопленный в данной области опыт не полностью снимает ряд противоречий, связанных с логической подготовкой школьников:

- противоречие между потребностями в знании школьниками элементов математической логики и фактическим уровнем их логической грамотности;

- противоречие между необходимостью создания целостной системы обучения логике в средней школе и ориентацией созданных методик на формирование и развитие отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений;

- противоречие между целесообразностью длительного изучения логики, а именно на протяжении всего периода обучения в школе, и локальностью предлагаемых методик, охватывающих лишь какую-то конкретную ступень обучения в школе.

Выявленные противоречия позволили сформулировать проблему исследования: какой должна быть технология обучения математике в средней школе, чтобы наряду с изучением программного материала курса математики происходило освоение элементов математической логики, и, в более широком контексте, формирование и развитие логических умений школьников.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе.

Предметом исследования является целенаправленное и систематическое формирование у школьников логических умений в рамках курса математики основной школы.

Цель исследования — разработать технологию изучения элементов математической логики в рамках курса математики основной школы.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует принципиальная возможность такой организации процесса обучения математике, при которой наряду с формированием математических знаний и умений г1еленаправ-пенно и систематически будут формироваться логические умения. Гипотеза будет подтверждена, если удастся создать такую технологию формирования логических умений, которая будет обладать следующими свойствами:

- технология реализуется в рамках обычных уроков математики, без выделения специальных часов на изучение вопросов из области математической логики;

- технология ориентирована на развитие совокупности логических умений, связанных с основными понятиями математической логики; технология охватывает период обучения с 5 по 9 класс.

Говоря о принципиальной возможности организации подобного обучения, мы подразумеваем две вещи: 1) математический материал может быть трансформирован таким образом, что одновременно будет происходить формирование у школьников и математических, и логических знаний и умений; 2) интеллектуальные возможности учащихся основной школы вполне достаточны для того, чтобы ими был адекватно воспринят материал по математической логике.

В соответствии с целью исследования и выдвинутой гипотезой решались следующие задачи.

1. Выявить сущность базовых элементов: логические умения, общелогические умения, логическая грамотность, бифункциональные задачи.

2. Провести анализ состояния изучаемого вопроса в практике современной школы:

а) проанализировать стандарты образования, учебную программу и действующие школьные учебники по математике с точки зрения логического развития учащихся;

б) определить уровень логической грамотности учащихся средней школы.

3. Разработать технологию формирования и развития у школьников логических умений в процессе обучения математике, которая снимет существующие противоречия.

4. Провести экспериментальное исследование по проверке эффективности разработанной технологии в условиях средней школы.

Проблема, цель и задачи исследования обусловили выбор методов исследования:

- анализ тенденций, существующих в теоретических взглядах на поставленную проблему;

- анализ программы и основных действующих учебников по математике для средней общеобразовательной школы;

- тестирование школьников, наблюдение, беседы с учащимися;

- информационный обмен с учителями школ и преподавателями вузов;

- проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования с последующей статистической обработкой данных.

Теоретико-методологическую основу исследования составили

- Работы, связанные с проблемой формирования и развития у школьников логической грамотности (О.В. Алексеева, М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, В.Г. Ежкова, В.И. Игошин, Л.А. Калужнин, А.Н. Капиносов, Т.А. Кондрашенкова, И.Л. Никольская, A.A. Столяр, А.И. Фетисов и др.)

- Технологический подход к обучению (В.П. Бсспалько, И.П. Волков, М.В. Кларин, Д.Г. Левитес, В.М. Монахов, Г.К. Селевко, М. Чошапов и др.)

- Теория учебных задач (Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.)

- Работы по теории и методике преподавания математики (Т.А. Иванова, A.A. Столяр, P.C. Черкасов, A.B. Ястребов и др.)

- Работы о сущности и особенностях образовательного процесса (П.И. Пидкасистый, И.П. Подласый, В.А. Сластенин, И.Ф. Харламов и др.)

- Работы по мотивации учения школьников (А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов и др.)

- Педагогические работы математиков (А.Я. Хинчин, Д. Пойа и др.)

- Работы по теории педагогического эксперимента и обработке статистических данных (В.В. Афанасьев, В.И. Загвязинский, Е.В. Сидоренко и др.)

База исследования. Исследование проводилось в 2002 - 2005 гг. в общеобразовательных средних школах № 33 и № 52 и гимназии № 2 г. Ярославля.

Основные этапы исследования. На первом этапе (2002 - 2003 гг.) проводился теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучалось состояние проблемы в практике современной школы (был проведен анализ программы и основных действующих школьных учебников по математике). Были сформулированы проблема, цель и гипотеза исследования.

На втором этапе (2003-2004 гт.) была разработана технология изучения элементов математической логики в основной школе.

На третьем этапе (2004 - 2005 гг.) была осуществлена экспериментальная проверка эффективности разработанной технологии.

Достоверность результатов и обоснованность выводов обеспечиваются методологической обоснованностью исходных позиций; информационным обменом с коллегами; адекватностью теоретических и эмпирических методов исследования поставленной цели и задачам; разнообразием методов исследования, приводящих к одним и тем же результатам; экспериментальной проверкой основных положений на практике в условиях средней школы.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что

- обоснована принципиальная возможность организации систематической и целенаправленной работы по формированию и развитию у школьников логи-

ческих умений на протяжении всего периода обучения математике в основной школе, причем без выделения на это специальных уроков;

- разработана и апробирована технология обучения учащихся элементам математической логики в рамках обычных уроков математики в основной школе;

- разработан метод составления бифункциональных задач.

Практическая значимость исследования заключается в том, что

- создано учебно-методическое пособие по математической логике для учителей и учащихся 6-9 классов средней школы;

- предложена и апробирована система бифункциональных задач для учащихся 6-9 классов;

- разработанная технология может быть использована учителями математики в качестве одного из способов реализации основной учебной программы.

На защиту выносятся следующие положениях

1. Технология изучения элементов математической логики в основной школе, обладающая следующими свойствами:

- технология ориентирована на развитие совокупности логических умений, связанных с основными понятиями математической логики;

- технология охватывает период обучения с 5 по 9 класс.

2. Метод составления бифункциональных задач.

3. Система бифункциональных задач по отдельным темам основных содержательных линий школьного курса математики, полученная на основе разработанного нами метода составления бифункциональных задач.

4. Утверждение о том, что метод составления бифункциональных задач применим ко всему курсу математики за 6-9 классы, причем ко всем его основным линиям, с одной стороны, и ко всем основным логическим умениям, с другой стороны.

Апробация и внедрение результатов исследования, а) Основные теоретические и практические результаты исследования обсуждались на научных семинарах в Ярославском государственном педагогическом университете. Кроме того, результаты исследования докладывались на трех международных научных конференциях «Чтения Ушинского» (Ярославль, 2003, 2004, 2005 гт.), на двух Всероссийских конференциях - на IV школе-семинаре по проблемам фундирования профессиональной подготовки учителя математики (Ярославль, 2003 г.) и на XXIV всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005 г.).

б) Результаты исследования внедрены в ряде школ г. Ярославля.

в) Основные теоретические и практические результаты исследования отражены в шести публикациях, в том числе в трех статьях, двух тезисах докладов, в одном учебно-методическом пособии.

Личный вклад автора заключается во введении понятия «бифункциональная задача» и разработке метода составления бифункциональных задач;

разработке технологии изучения элементов математической логики в основной школе; организации и проведении педагогического эксперимента и обработке его результатов.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность исследования, формулируются его проблема и цель, выдвигается гипотеза исследования, определяются объект, предмет, задачи и методы исследования; раскрывается научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; формулируются положения, выносимые па защиту.

В первой главе «Элементы логики в курсе математики средней школы: состояние вопроса» представлены результаты анализа тенденций, существующих в теоретических взглядах на поставленную проблему, и результаты анализа существующих методик обучения школьников элементам логики и математической логики в процессе изучения математики. Кроме того, в первой главе изложены результаты анализа состояния изучаемого вопроса в практике современной общеобразовательной школы, а именно, представлены результаты анализа учебной программы и основных действующих учебников по математике, и описано планирование, ход и результаты многоаспектного констатирующего эксперимента по определению уровня логической грамотности школьников.

Произошедшие в сфере образования изменения, потребности курса математики и других школьных дисциплин, мнения специалистов в области методик преподавания математики и логики - все приводит к следующим выводам. 1) Элементы логики должны стать предметом специального изучения в средней общеобразовательной школе. 2) Наиболее целесообразно изучение элементов логики в единстве с изучением курса математики. 3) Элементы логики должны изучаться на протяжении всего периода обучения математике в средней школе, и началом для систематического изучения элементов логики должен стать 5 класс.

Однако в практике современной школы не реализуются объективно существующие возможности для одновременного изучения курса математики и элементов логики. Как показало исследование, элементы логики в качестве объекта изучения не входят в содержание курса математики средней школы, поэтому большинство действующих школьных учебников по математике не содержит теоретического материала из области логики и доля логических задач и упражнений в этих учебниках незначительна (в среднем 1,4 %). Более полно по сравнению с другими учебниками по математике идеи одновременно изучения математики и элементов логики отвечает учебник для 5-6 классов авторов Г.В, Дорофеева, Л.Г. Петерсон (программа «Школа 2100»). В названном учебнике рассматриваются отдельные вопросы из области логики, и доля логических задач соответственно выше, чем в остальных учебниках по математике

(8,1 %). Однако и в данном учебнике не рассматривается весь спектр вопросов из области логики, необходимый для успешного формирования у школьников логической грамотности.

В свою очередь существующие методики по обучению школьников логике и математической логике, как правило, ориентированы на формирование и развитие у них не всей совокупности общелогических и логических умений в целом, а лишь отдельных групп умений, и при этом рассчитаны на конкретную ступень обучения, а не на весь период обучения в средней школе.

В подобных условиях общелогические и логические умения формируются у школьников стихийно. Нами был проведен многоаспектный констатирующий эксперимент, основная цель которого заключалась в том, чтобы определить, каков стихийно сложившийся уровень логической грамотности учащихся. Проводился констатирующий эксперимент среди учащихся шестых, девятых и одиннадцатых классов ряда школ г. Ярославля и состоял из трех этапов. Дадим описание каждого из этапов.

Первый этап констатирующего эксперимента. В силу того, что с точки зрения логического развития школьников наиболее важным периодом считаются 5-6 классы, прежде всего нами был определен уровень логической грамотности учащихся шестых классов, обучающихся по программе, не включающей специальной логической подготовки. Как показало исследование, к шестому классу в процессе обучения учащиеся приобретают некоторые первоначальные логические знания и умения. Однако сформированные знания и умения не являются полными и систематизированными. Так, большинство учащихся шестых классов не понимают смысла словосочетаний вида «не более (не менее) л», не умеют строить отрицания утверждений. Также у них плохо сформированы умения, связанные с классификацией понятий, умения иллюстрировать истинность утверждения с помощью примеров и опровергать утверждения с помощью контрпримеров. Итак, в целом стихийно сложившийся уровень логической грамотности шестиклассников является низким (как правило, он не высок даже у сильных учащихся). Отметим еще и тот факт, что уровень логической грамотности у разных учащихся отличается значительно.

Кроме того, на первом этапе констатирующего эксперимента были решены еще две задачи. Во-первых, было определено, насколько эффективно использование специализированных программ с точки зрения повышения уровня логической грамотности школьников. Во-вторых, была изучена динамика изменений в стихийно сложившемся уровне логической грамотности шестиклассников, происходящих в течение последующих трех лет обучения, т. е. к моменту окончания основной школы. Для решения этих задач был использован тот же самый тест, который проводился среди шестиклассников, обучающихся по программе, не включающей специальной логической подготовки. В исследовании приняли участие шестиклассники, обучающиеся по программе «Школа 2100», которая предусматривает изучение отдельных вопросов по логике, и учащиеся девятых классов общеобразовательного уровня, обучающихся по обычной программе.

Проведенное исследование показало следующее. 1) У шестиклассников, обучающихся по программе «Школа 2100», по сравнению с шестиклассниками, обучающимися по обычной программе, лучше сформированы те группы общелогических и логических умений, внимание формированию которых согласно действующей программе уделяется на уроках математики. 2) Уровень логической грамотности учащихся девятых классов общеобразовательного уровня хотя и выше, чем уровень логической грамотности учащихся шестых классов, обучающихся по обычной программе, но весьма незначительно.

На втором этапе констатирующего эксперимента были решены следующие задачи: 1) определен стихийно сложившийся уровень логической грамотности учащихся к концу обучения в общеобразовательной средней школе; 2) определены изменения в уровне логической грамотности выпускников средних школ, произошедшие в течение последних тридцати лет; 3) определено, насколько отличается уровень логической грамотности у выпускников классов общеобразовательного уровня и выпускников классов с углубленным изучением математики. Для решения этих задач был использован тест, составленный И.Л. Никольской и проведенный ей среди выпускников средней школы в начале 70-х годов. Проведенное нами исследование показало следующее. 1) Уровень логической грамотности выпускников средних школ по сравнению с 70-ми гг. повысился, хотя в целом остается низким. Большинство учащихся одиннадцатых классов средней школы не умеют проводить классификацию, строить отрицания сложных предложений, не понимают смысла термина «логическое следование». Кроме того, у выпускников средних школ слабо развиты умения, связанные с правильным пониманием и употреблением логических слов и словосочетаний. 2) Уровень логической грамотности учащихся одиннадцатых классов общеобразовательного уровня значительно ниже, чем уровень логической грамотности учащихся одиннадцатых классов с углубленным изучением математики.

На третьем этапе констатирующего эксперимента было оценено соотношение между «математической подготовкой» и «логической подготовкой» выпускников средних школ. Проведенное исследование показало следующее: наблюдается большой разрыв в уровне «математической подготовки» и «логической подготовки» учащихся, а именно уровень «логической подготовки» значительно ниже уровня «математической подготовки».

Таким образом, проведенный констатирующий эксперимент дал следующий результат: даже если не обучать школьников логике специально, они усваивают ее стихийно, однако сложившийся у них при этом уровень логической грамотности не может быть признан удовлетворительным. Вместе с тем исследование показало, что обучение математике по специальным программам оказывает положительное влияние на уровень логической подготовки учащихся средних школ. Это лишний раз подтверждает целесообразность введения элементов логики в качестве специального объекта изучения в курс математики средней школы.

Во второй главе «Изучение элементов математической логики на уроках математики в основной школе» изложены вопросы, связанные с по-

нятием «бифункциональные задачи» (авторский термин), а именно дано определение и типология бифункциональных задач, рассмотрены их состав и функции, а также описан метод составления данных задач. Кроме того, во второй главе описана технология обучения учащихся основной школы элементам математической логики. Здесь же показано, что названная «технология» удовлетворяет критериям технологичности, систематизированным Г.К. Селевко, и, следовательно, в действительности является педагогической технологией.

Сегодня многие специалисты в области методики преподавания логики отмечают то, что уровень логической грамотности учащихся общеобразовательных средних школ является неудовлетворительным. Данный факт подтверждается и проведенным нами констатирующим экспериментом, ход и результаты которого описаны выше. Возникает вопрос: в чем причины такого несоответствия между потребностями в знании школьниками элементов логики и фактическим уровнем их логической грамотности?

Здесь можно указать две достаточно значимые причины. 1) В практике современной школы не реализуются объективно существующие возможности для формирования и развития у учащихся логических и общелогических умений. 2) Существующие методики по формированию у школьников логической грамотности, как правило, ориентированы либо на формирование только общелогических умений, либо на формирование каких-то отдельных групп логических умений, а не всей совокупности общелогических и логических умений в целом. Кроме того, предлагаемые методики рассчитаны не на весь период обучения в школе, а на конкретную ступень обучения.

В силу того, что проблеме формирования у школьников общелогических умений было уделено существенное внимание другими исследователями (А.Н. Капиносов, Т.А. Кондрашенкова и др.), мы остановимся только на проблеме формирования у школьников логических умений.

Мы сочли, что с целью повышения уровня логической грамотности учащихся средних школ является целесообразным создание педагогической технологии, которая удовлетворяла бы следующим требованиям: 1) разработанная технология должна быть ориентирована на развитие всех групп логических умений, связанных с основными понятиями математической логики; 2) созданная технология должна охватывать длительный период обучения в школе.

Как было отмечено выше, наиболее целесообразным будет, если предлагаемая технология будет реализована в рамках учебного предмета «Математика».

Представления В.И. Игошина о дидактическом взаимодействии математики и логики, а также представления A.B. Ястребова о многофункциональности упражнения и многофакторности умения привели нас к мысли о том, что основу технологии могут составить бифункциональные задачи.

Дадим определение бифункциональных задач.

Определение. Бифункциональные задачи - это задачи, при решении которых возникает необходимость выполнить одну или несколько логических операций над одним или несколькими математическими утверждениями.

Заметим, что данное выше определение бифункциональных задач является определением в узком смысле. На самом деле понятие бифункциональной задачи может быть расширено. По большому счсту логические операции можно выполнять не только над утверждениями из школьного курса математики, но и над утверждениями из области любой другой школьной дисциплины. Таким образом, под бифункциональными задачами, в широком смысле, следует понимать задачи, при решении которых требуется выполнить логическую операцию (операции) над одним или несколькими утверждениями, относящимися к любой из школьных дисциплин. Однако в нашей работе мы рассматриваем вопросы, связанные с формированием и развитием логической грамотности школьников, только на уроках математики. В силу этого, в рамках нашего диссертационного исследования мы будем придерживаться определения бифункциональных задач в узком смысле.

Основываясь на представления Л.М. Фридмана о составе задачи, охарактеризуем предлагаемые нами бифункциональные задачи.

Предметную область бифункциональных задач составляют числа, различные геометрические фигуры и другие математические объекты. Элементы предметной области связаны следующими отношениями: 1) отношениями из области математики (например, функциональными отношениями, отношением порядка и т.п.); 2) отношениями из области математической логики.

В соответствии с разработанной нами программой по математической логике можно выделить различные типы бифункциональных задач, полный список которых будет приведен ниже. То же, к какому именно из типов относится конкретная бифункциональная задача, зависит от того, какое требование выдвигается в задаче. Перечислим, какие требования предъявляются в разработанных нами бифункциональных задачах:

- определить значение истинности высказывания;

- найти множество истинности высказывательной формы;

- построить отрицание утверждения;

- доказать или опровергнуть утверждения, содержащие кванторы всеобщности и существования;

-определить, является ли условие необходимым, достаточным, необходимым и достаточным;

- определить, следует ли одно утверждение из другого; выяснить, являются ли эти утверждения равносильными.

В качестве операторов бифункциональных задач выступают: 1) различные математические действия (операции сложения, вычитания, умножения, деления, приведение подобных членов, разложение на множители и т. п.); 2) различные логические действия (операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, операции связывания кванторами всеобщности и существования).

Приведем конкретные примеры бифункциональных задач.

Пример 1. Определите значения истинности следующих высказываний. 1) Число - 74 положительно или 43 > - 44. 2) Если сумма положительных чисел положительна, то произведение двух отрицательных чисел отрицательно.

Пример 2. Найдите множества истинности следующих высказывательных форм. 1) Число т является целым и противоположным к числу 35. 2) Целое число а больше - 3 и меньше 1,

Пример 3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний. 1) Число 82 является отрицательным и противоположным к числу 28. 2) Существует два целых числа, сумма которых равна 0.

Бифункциональные задачи (также как и любая математическая задача) выполняют следующие функции: 1) обучающую; 2) развивающую; 3) воспитательную; 4) контролирующую; 5) практическую.

Отметим, что бифункциональные задачи могут быть предложены фактически при изучении любой темы школьного курса математики 5-9 классов. Однако для того, чтобы конструировать бифункциональные задачи, необходимо владеть методом их составления.

Суть метода составления бифункциональных задач заключается в следующем: для составления бифункциональной задачи необходимо выполнить одну или несколько логических операций над одним или несколькими математическими утверждениями.

Заметим, что бифункциональные задачи можно рассматривать как пропедевтику по отношению к решениям систем и совокупностей неравенств или уравнений. Действительно при переходе от единичного неравенства к системе неравенств употребляется союз «и», а при переходе к совокупности - союз «или». При работе с бифункциональными задачами ситуация «богаче», причем в двух отношениях одновременно. Во-первых, рассматриваются не только неравенства или уравнения, но и всевозможные математические факты. Во-вторых, используется гораздо большая группа логических союзов («и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда»), а также операции связывания квантором и построения отрицания.

До сих пор мы описывали способ составления одной задачи. Однако в реальном педагогическом процессе участвуют не единичные, разрозненные задачи, а системы задач. При составлении систем бифункциональных задач нужно, во-первых, подобрать математический материал, диктуемый потребностями процесса преподавания математики. Во-вторых, используя метод составления бифункциональных задач, нужно составить разнообразные (с точки зрения логических типов)задачи.

Перейдем к описанию созданной нами технологии изучения элементов математической логики в основной школе.

Общая характеристика технологии. Разработанная нами технология опирается на следующие положения.

1. Созданная технология рассчитана на период обучения с 5 по 9 класс и нацелена на развитие у школьников совокупности логических умений, связанных с основными понятиями математической логики (Комплексный характер технологии).

2. Элементы математической логики осваиваются учащимися в процессе изучения математики. Авторская технология не требует ни включения элементов математической логики в учебную программу, ни дополнительных уроков на изучение математической логики (Минимальность предварительных условий),

3. Технология предусматривает систематическое выделение на изучение элементов математической логики фрагментов уроков математики длительностью 5-7 минут (Организационное положение).

4. Выделенные фрагменты уроков математики отводятся для первоначального введения логических понятий и их полного формирования путем решения бифункциональных задач, которые одновременно связаны как с изучаемым математическим материалом, так и с материалом по математической логике (Принцип отбора материала).

5. Технология содержит систему бифункциональных задач по отдельным темам курса математики 6-9 классов, которые позволяют освоить следующие вопросы из области математической логики.

- Высказывания. Простые и сложные высказывания. Простейшие логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивален-ция). Построение отрицаний конъюнкции и дизъюнкции.

- Высказывательные формы. Множества истинности высказывательных

форм.

- Кванторы. Отрицание высказываний с кванторами.

- Теорема, структура теоремы. Теоремы «логического квадрата».

- Необходимые и достаточные условия.

- Логическое следование. Равносильность.

- Доказательство и опровержение утверждений с помощью примеров и контрпримеров.

(Результат применения принципа отбора материала).

Целевые установки.

1. Обучение школьников основным понятиям математической логики и логическим действиям как важной составляющей культуры мышления.

2. Использование сформированных у школьников знаний и умений из области математической логики для повышения эффективности образовательного процесса.

3. Использование математической логики в качестве инструмента, позволяющего включить математику в общекультурный контекст.

Содержание. В соответствии с поставленными целями и возрастными особенностями учащихся были выделены и распределены по классам вопросы из области математической логики, подлежащие изучению. Приведем перечень этих вопросов.

б класс. 1. Высказывания. 2. Простые и сложные высказывания. 3. Отрицание. 4. Конъюнкция. 5. Разделительный и неразделительный смыслы союза "или". 6. Дизъюнкция. 7. Импликация. 8. Эквиваленция. 9. Отрицание конъюнкции. 10. Отрицание дизъюнкции. 11. Высказывательные формы. 12. Множество истинности высказывательных форм. 13. Кванторы.

14. Отрицание высказываний, содержащих квантор всеобщности. 15. Отрицание высказываний, содержащих квантор существования.

7 класс. 1. Теорема. Структура теоремы (условие теоремы, заключение теоремы). 2. Теоремы «логического квадрата» (прямая теорема; обратная теорема; противоположная теорема; теорема, обратная противоположной). 3. Логическое следование. Необходимое условие. Достаточное условие. 4. Равносильность. Необходимое и достаточное условие.

В соответствии с предложенной нами программой по математической логике, были выделены блоки бифункциональных задач, предназначенных для полного формирования логических понятий. Перечислим их.

I. Задачи на определение значений истинности высказываний: простых высказываний; сложных высказываний, образованных при помощи основных логических союзов; высказываний с кванторами.

II. Задачи на нахождение множеств истинности высказывательных форм.

III. Задачи на доказательство и опровержение утверждений, содержащих кванторы.

IV. Задачи на построение отрицаний высказываний: простых высказываний; высказываний, содержащих частицу «не»; сложных высказываний, образованных при помощи логических союзов «и», «или»; высказываний с кванторами.

V. Задачи, связанные с понятиями «необходимое условие», «достаточное условие», «необходимое и достаточное условие»,

VI. Задачи, связанные с понятиями «логическое следование», «равносильность».

Методы обучения. Изложение материала по математической логике ведется с использованием традиционных для уроков математики методов: наблюдение, опыт, сравнение, аналогия, индукция, дедукция и т.п.

Формы обучения. Предложенный для изучения материал по математической логике излагается на обычных уроках математики. Отметим, что при этом время, затрачиваемое на рассмотрение вопросов, связанных с математической логикой, не превышает 5-7 минут, в крайнем случае, 10 минут.

Средства обучения. Для обучения элементам математической логики учащихся основной школы нами было разработано учебно-методическое пособие «Математическая логика».

Кроме того, в процессе обучения используется созданная нами для учащихся 6-9 классов система из 607 бифункциональных задач. Ядро системы составляют 320 задач по теме «Обыкновенные дроби» (6 класс) и 137 задач по теме «Целые числа» (6 класс), которые были .использованы при проведении формирующего эксперимента. Применимость метода составления бифупкцио-налышх задач к другим темам проиллюстрирована посредством 150 задач, охватывающих несколько тем из различных содержательных линий курса математики основной школы: «Линейная функция» (7 класс), «Линейные уравнения» (7 класс), «Линейные неравенства» (8 класс), «Четырехугольники» (8 класс).

Остановимся более подробно на отдельных аспектах, касающихся разработанной нами технологии.

Прежде чем рассматривать со школьниками серьезные вопросы из области математической логики, необходимо вызвать у них интерес к данному предмету. В силу этого мы сочли целесообразным период обучения в пятом классе посвятить созданию у школьников мотивации изучения математической логики. Нами были составлены четыре серии задач, направленные на формирование у школьников мотивации изучения математической логики.

В первую серию были включены задачи, для решения которых знание курса математики не является достаточным, нужно проявить еще сообразительность и смекалку. Во вторую серию вошли логические задачи, т. е. задачи для решения которых не требуется никаких специальных знаний из области математики, но нужны умения проводить логический анализ ситуации, умение отличать доказанное от недоказанного и умение выводить следствия из известных фактов путем логических рассуждений. Третья серия задач состоит из математических софизмов. В силу того, что при изучении основных понятий математической логики и логических операций у школьников возникают определенные трудности, была предложена четвертая серия задач, цель которой (наряду с формированием мотивации изучения логики) заключается в осуществлении пропедевтики отдельных вопросов курса математической логики.

При решении предложенных серий задач у школьников формируются как познавательные, так и социальные мотивы. Кроме того, при решении данных серий задач развиваются такие качества ума, как гибкость, целенаправленность, доказательность и критичность, а также воспитываются аккуратность и обоснованность суждений, логичность выводов, настойчивость и трудолюбие. Следовательно, предложенные задачи помимо основной функции (формирование мотивации изучения математической логики) выполняют еще развивающую и воспитательную функции. Подчеркнем также, что такие факторы, как необычность содержания предлагаемых задач, новизна методов решений и возможность решения их несколькими способами, способствуют повышению уровня познавательной активности учащихся.

Заметим, что формированию у школьников мотивации изучения элементов математической логики также будут способствовать беседы о пользе знания основ логики в повседневной и практической деятельности.

С шестого класса уже начинается систематическое изучение школьниками элементов математической логики. Согласно разработанной нами программе изучению в шестом классе подлежат 15 вопросов из области математической логики, которые перечислены выше.

Как уже отмечалось, материал по математической логике изучается на обычных уроках математики, при этом продолжительность изучения каждого из пятнадцати вопросов не должна превышать 5 — 7 минут, в крайнем случае, 10 минут.

Мы считаем, что предложенный для изучения материал по математической логике целесообразно рассмотреть при изучении темы «Делимость чисел». Отметим, что при разработке технологии мы ориентировались на учителей, ра-

ботающих по учебнику «Математика-6» Н.Я. Виленкина и др. Автором исследования предлагается следующее распределение логического материала по урокам (см. табл. 1):

Таблица 1

№ урока Содержание учебного материала Темы занятий по логике

1-3 Делители и кратные 1-3

4-6 Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 4-6

7-9 Признаки делимости на 9 и на 3 7-8

10-12 Простые и составные числа 9-10

13-15 Разложение на простые множители 11-12

16-19 Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа 13-15

20-23 Наименьшее общее кратное

24 Контрольная работа № 1

Отметим, что предлагаемое распределение логических тем носит рекомендательный характер. По усмотрению учителя предложенная программа может быть реализована в рамках любой другой темы школьного курса математики или вообще не привязываться к какой-либо конкретной теме. Кроме того, данный материал может быть использован и учителями, работающими по другим учебным пособиям.

Изложение материала по математической логике ведется с использованием традиционных для уроков математики методов и следует традиционной схеме: объяснение нового материала (с резервными примерами для объяснений), закрепление изученного и домашнее задание. Коллекция упражнений, предлагаемых на занятиях, включает в себя как примеры из повседневной жизни, так и примеры из различных областей науки, в том числе и математики.

После того, как школьники изучили основные вопросы по математической логике, становится возможным решение с ними бифункциональных задач. В соответствии с предложенными учащимся для изучения вопросами из области логики становится возможным включение в курс математики шестою класса I -IV блоков бифункциональных задач (типологию задач см. выше).

Ряд специалистов в области методики преподавания логики отмечает, что работа по формированию и развитию у школьников логических умений будет эффективной только в случае, когда будет осуществляться на протяжении длительного периода обучения в школе. В силу этого работа по формированию у школьников логической грамотности, начатая в 5-6 классах, должна быть продолжена в 7-9 классах.

В рамках решения проблемы формирования у учащихся 7-9 классов на уроках математики логической грамотности нами было выделено два основных направления работы.

I. Обучение школьников новым для них логическим понятиям и действиям.

Полный список вопросов по математической логике, подлежащих изучению школьниками в 7 классе, приведен выше.

Опишем наш подход к введению новых для семиклассников логических понятий.

Общепризнанно, что введение новых для школьников логических понятий целесообразно осуществлять на базе ранее изученного и хорошо освоенного ими материала. В силу этого при изложении перечисленных выше логических вопросов нами были использованы примеры по теме «Делимость чисел». Данная тема была изучена школьниками в шестом классе, и примеры, относящиеся к этой теме, достаточно разнообразны и интересны, и их решение, как правило, не вызывает у школьников никаких затруднений. В результате нами с использованием небольшого количества примеров был изложен достаточно обширный круг логических вопросов.

II. Организация деятельности по решению школьниками бифункциональных задач по основным темам курсов алгебры и геометрии.

В плане привития школьникам логической грамотности важной составной частью работы учителя математики является его деятельность по организации решения учащимися бифункциональных задач. Как уже отмечалось, данные задачи позволяют одновременно формировать как математические знания и умения, так и логические знания и умения.

Напомним, что после того, как в б классе учащиеся изучили ряд вопросов из области математической логики, стало возможным включение в структуру уроков математики бифункциональных задач I - IV типов. В 7 классе, после изучения оставшейся части вопросов из области математической логики, соответственно класс бифункциональных задач расширяется. В результате школьникам помимо задач I - IV типов могут быть предложены для решения теперь еще и задачи V и VI типов.

Заметим, что учитель математики может предложить учащихся 7-9 классов достаточно большое количество бифункциональных задач, которые, с одной стороны, будут охватывать необходимый ему спектр вопросов из курса математики, с другой стороны, будут затрагивать нужный ему материал из области математической логики. Для того чтобы это осуществить, достаточно владеть методом составления бифункциональных задач, суть которого описана выше.

И, наконец, отметим еще один важный аспект, касающийся созданной нами технологии. В работе нами обосновано, что разработанная технология изучения элементов математической логики в основной школе удовлетворяет критериям технологичности, систематизированным Г.К. Селевко. Значит можно утверждать, что предложенная технология действительно является педагогической технологией в том смысле, в котором ее понимает Д.Г. Левитес (речь идет об определении педагогической технологии в широком смысле), и понимаем мы.

В третьей главе «Экспериментальная проверка эффективности технологии изучения элементов математической логики» описаны ход и результаты проведенных экспериментов: поискового и формирующего.

Экспериментальная проверка эффективности разработанной технологии проводилась в 2003-2005 гг. в общеобразовательных средних школах № 33 и № 52 г. Ярославля силами учителей С.С. Елифантьевой (автор), E.H. Цикиной, В.В. Ермоленко, Е.Г. Черномордик. Проведенный эксперимент проходил в два этапа:

I этап. Поисковый эксперимент (2003-2004 г.);

II этап. Формирующий эксперимент (2004-2005 г.).

На ранних этапах настоящего исследования были выявлены некоторые реалии учебного процесса, которые предопределили ряд последующих действий автора.

1. Существует единое мнение о том, что элементы математической логики должны изучаться систематически и на протяжении длительного периода. Однако на логику, как на объект специального изучения, часов в учебной программе по математике не выделяется. Это привело нас к необходимости материал по математической логике разбить на небольшие дидактические единицы и включить их в уроки по математике в качестве 5-7-минутных фрагментов.

2. Априори можно предположить ряд опасностей от подобного включения элементов математической логики в структуру уроков математики. Действительно, «логические фрагменты» заполняют И -16% времени урока (плюс время на переключение с одного вида деятельности на другой), что порождает ряд вопросов. 1) Возможно ли такое включение с организационной точки зрения? 2) Если подобное включение возможно, то не потребует ли оно чрезмерных педагогических усилий? 3) Не приведет ли уменьшение количества времени, отведенного на изучение собственно самой математики, к снижению качества знаний по математике? 4) Достаточно ли отводимого нремсни (5-7 минут) для усвоения материала по математической логике? 5) Каким именно материалом заполнить время, отведенное на изучение математической логики, и какие использовать при этом методы и формы работы? В ходе экспериментального исследования данные вопросы получили свое решение.

На первом этапе (поисковый эксперимент), во-первых, была обоснована принципиальная возможность реализации разработанной нами технологии изучения элементов математической логики в рамках обычных уроков математики, во-вторых, была подтверждена основная идея о том, что с целью повышения эффективности образовательного процесса и привития школьникам логической грамотности задачный материал школьных учебников по математике целесообразно дополнить бифункциональными задачами.

Полученные на первом этапе результаты позволили перейти ко второму этапу эксперимента — формирующему эксперименту. Основная цель формирующего эксперимента состояла в установлении того, насколько эффективна разработанная нами технология. Другими словами, нужно было выяснить, позволяет ли созданная технология на достаточно высоком уровне освоить

школьникам материал по математической логике, не снизив при этом качество знаний по математике.

Формирующий эксперимент проводился в 2004/2005 учебном году в шестых классах общеобразовательных средних школ № 33 и № 52 г. Ярославля.

Отметим, что в ходе формирующего эксперимента уровень логической грамотности участников эксперимента определялся следующим образом. Каждому учащемуся присваивалось индивидуальное значение уровня логической грамотности от 0 до 8 в зависимости от того, сколько из восьми предложенных заданий он правильно выполнял (каждое задание оценивалось в 1 балл). Данные восемь заданий соответствовали следующим восьми показателям уровня логической грамотности: 1) определение значения истинности конъюнкции; 2) определение значения истинности дизъюнкции; 3) построение отрицания простого высказывания; 4) построение отрицания высказывания с частицей «не»; 5) построение отрицания высказывания с квантором всеобщности; 6) построение отрицания высказывания с квантором существования; 7) доказательство ложности утверждения с квантором всеобщности; 8) доказательство истинности утверждения с квантором существования. Выбор именно этих показателей уровня логической грамотности объясняется следующими соображениями. Во-первых, данные показатели позволяют сделать вывод о том, насколько хорошо у школьников сформированы логические умения. Во-вторых, данные показатели связанны с теми группами логических умений, которые могут формировать у школьников на интуитивной основе.

Проводился формирующий эксперимент в три взаимосвязанных этапа.

На первом этапе (сентябрь 2004 г.), прежде всего, были определены первоначальный уровень логической грамотности и уровень математической подготовки участников эксперимента. Определение уровня логической грамотности отдельного учащегося происходило так, как это было описано выше. Далее для выявления различий в уровне логической грамотности классов использовался критерий Манна-Уитни. Для сравнения же уровней математической подготовки были проанализированы средние четвертные и годовые отметки по математике за предыдущий год обучения.

На основании полученных данных о логической и математической подготовке классов были выделены экспериментальные и контрольные группы. Остановимся кратко на том, как это делалось.

1. Во всех трех шестых классах школы № 33 работали разные учителя математики с различным педагогическим стажем. Кроме того, классы различались по уровню математической и логической подготовки учащихся. В итоге возникла необходимость уравнивания личностного фактора - воздействие личности педагога и влияние состава учащихся. Уравнивание состава группы было достигнуто за счет того, что в качестве экспериментальной группы был выбран заведомо более слабый класс, а именно б1 класс. С целью же уравнивания воздействия личности педагога возникла идея при проведении эксперимента рассматривать б2 и б3 классы как одну группу. Эти соображения привели к следующему заключению: в качестве экспериментальной группы выбрать б1 класс, а в качестве контрольной группы - объединенную группу б2 и б3 классов.

2. В 6Л и бБ классах школы № 52 обучение математике происходило по одной программе, и работал в этих классах один и тот же учитель математики. Кроме того, уровни математической и логической подготовки учащихся 6А и 6Б классов значительно не отличались. В итоге к экспериментальной группе был отнесен 6Б класс, а к контрольной - 6А класс.

На втором этапе формирующего эксперимента (сентябрь 2004 г. - март 2005 г.) в экспериментальных группах происходило обучение элементам математической логики по разработанной нами технологии.

В середине процесса обучения была проведена промежуточная контрольная работа по математической логике. Данные, полученные в ходе промежуточной контрольной работы, были сопоставлены с первоначальными данными. Для оценки произошедших изменений был использован критерий Манпа-Уитни. Проведенное исследование показало, что уровень логической грамотности учащихся экспериментальных групп повысился по сравнению с первоначальным уровнем. Однако оставались существенные возможности для дальнейшего повышения уровня логической грамотности.

На третьем этапе формирующего эксперимента (апрель - май 2005 г.) было проведено итоговое диагностическое исследование по определению уровня логической грамотности учащихся экспериментальных и контрольных групп. Полученные на этом этапе данные были сопоставлены с первоначальными данными. Для оценки произошедших изменений использовался критерий Манна-Уитни.

Полные подробные расчеты с использованием указанного критерия содержатся в тексте диссертации. Здесь же мы приведем пример расчета только для одной из экспериментальных групп, а именно 6Б класса школы № 52. Отметим, что присвоение индивидуальных значений уровня логической грамотности происходило так, как это описано выше.

Таблица 2

До эксперимента (П] <=■ 22) После эксперимента (п> = 16)

Индивидуальные зна- Индивидуальные

чения уровня лог. Ранг значения уровня лог. Ранг

грамотности грамотности

8 37

7 34,5

б 33

5 30,5 5 30,5

5 30,5

4 26

3 21,5 3 21,5

3 21,5

3. 21,5

Л 16,5 2 16,5

2 16,5

2 16.5

2 1 1 1 1 1 1 16,5 8 8 8 8 8 О

1 1 1 1 1 1 0 О 8 8 8 8 8 1,5

0 1,5

Сумма 268,5 472,5

Общая сумма рангов: = 268,5+ 472,5 - 741.

38 • 39

Расчетная сумма рангов: = —-— =741.

Итак, общая сумма рангов совпадает с расчетной суммой рангов. Перейдем к формулированию гипотез.

Нц: Уровень логической грамотности учащихся 6Б класса по сравнению с первоначальным уровнем не повысился.

Нг. Уровень логической грамотности учащихся 6Б класса по сравнению с первоначальным уровнем повысился.

Определим эмпирическое значение критерия 11:

иэмп = 22• 16 + - 472,5 = 15,5

Определим по специальной таблице критические значения критерия И: „ = |119(р й 0,05) ^ |96(р<0,01)

Итак, иэмп < и,,, о,01. Следовательно, гипотеза Н0 отвергается, и принимается гипотеза II] при уровне значимости 0,01.

В итоге проведенное исследование показало следующее. 1) Уровень логической грамотности учащихся экспериментальных групп (б1 класс школы № 33 и 6Б класс школы № 52) по сравнению с первоначальным уровнем логической грамотности повысился. 2) В уровне логической грамотности учащихся контрольных групп (б2,3 класс школы № 33 и 6Л класс школы № 52) значимых изменений не произошло.

Однако было необходимо еще выяснить, зависит ли уровень логической грамотности школьников от длительности обучения по разработанной нами технологии. Для этого данные, полученные в ходе итогового диагностического

исследования, были сопоставлены с данными, полученными в ходе промежуточной контрольной работы. Для оценки произошедших изменений мы также как и ранее воспользовались критериям Манна-Уитни. Полученные результаты позволили сделать следующий вывод: разработанная нами технология окажется тем эффективней, чем продолжительней будет период обучения.

В силу того, что обучение элементам математической логики происходило на уроках математики, нужно было получить еще и ответ на следующий вопрос: не произошло ли снижения качества обучения собственно самой математике? Нами были проанализированы средние годовые отметки по математике в экспериментальных и в контрольных группах за год, в течение которого проводился эксперимент, и за предыдущий год обучения. В итоге для получения ответа на интересующий нас вопрос необходимо было выяснить следующее: не превзошла ли доля отрицательных сдвигов в экспериментальных группах доли отрицательных сдвигов в контрольных группах. Поясним, что под отрицательным сдвигом мы понимаем снижение годовой отметки конкретного учащегося на 1 балл, а под положительным сдвигом - соответственно повышение на 1 балл. В ходе исследования выяснилось, что процент отрицательных сдвигов оказался, наоборот, выше в контрольных группах, а не в экспериментальных. Для того чтобы попять, являются ли значимыми различия в процентных долях отрицательных сдвигов, было проведено статистическое исследование с использованием критерия Фишера. Однако проведенное исследование показало, что различия в процентных долях отрицательных сдвигов не являются значимыми. Итак, изучение элементов математической логики в рамках уроков математики не привело к снижению качества знаний по математике.

Таким образом, экспериментальная проверка эффективности технологии изучения элементов математической логики показала следующее.

1. Намеченные формы изучения математической логики являются доступными для учащихся шестых классов как с точки зрения освоения изучаемого материала по логике и овладения умением решать логические задачи, так и с точки зрения освоения терминологии по математической логике.

2. Изучаемые элементы математической логики вызывают у школьников не меньший интерес, чем материал по математике.

3. Предлагаемые для решения бифункциональные задачи воспринимаются и учениками и учителями как естественная часть математики.

4. Реализация предложенной нами программы по математической логике приводит к повышению уровня логической грамотности учащихся шестых классов.

5. Включение элементов математической логики в систематический курс математики не снижает качество усвоения самой математики.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты исследования по решению поставленных задач. С точки зрения автора, поставленные в начале исследования задачи были решены, а также была подтверждена выдвинутая гипотеза.

Дальнейшие перспективы работы в этом направлении могут быть рассмотрены в форме создания учебно-методических пособий по логике для учителей и учащихся 7-9 классов, в основе которых должны лежать бифункциональные задачи.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Елифантьева С.С. Некоторые аспекты введения логики в курс средней школы // Современные проблемы математики, физики и физико-математического образования: Материалы конференции «Чтения Ушин-ского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. С. 102-106.

2. Елифантьева С.С., Ястребов A.D. Введение элементов математической логики в курс средней школы: возможности и ограничения // Труды школы-семинара по проблемам фундирования профессиональной подготовки учителя математики. Посвящается 100-летию со дня рождения академика А.Н. Колмогорова. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. С. 208-221.

3. Елифантьева С.С., Ястребов A.B. Элементы методической системы раннего изучения математической логики // Совершенствование структуры и содержания физико-математического образования: Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. С. 142-149.

4. Елифантьева С.С. Математическая логика: Учебно-методическое пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004. 32 с.

5. Елифантьева С.С. Формирование мотивации изучения математической логики у учащихся основной школы // Математика, физика, экономика и физико-математическое образование: Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005, С. 177-183.

6. Елифантьева С.С. Методика раннего изучения математической логики // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тез. докл. XXIV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов / Под ред. А.Г. Мордковича, И.К. Кондауровой. - М.; Саратов: Ред.-изд. отдел Моск. гос. пед. ун-та, Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 207-209.

Формат 60x84 1/16. Бумага тип № 1. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз.

Заказ № '-г" г 5

Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, 108

Типография Ярославского государственного

педагогического университета 150000, г. Ярославль, Которосльная наб., 44

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Елифантьева, Светлана Сергеевна, 2006 год

Введение.

Глава 1. Элементы логики в курсе математики средней школы: состояние вопроса.

§ 1. Математика и логическая грамотность.

§ 2. Логический компонент школьных учебников по математике.

§ 3. Анализ существующих методик по формированию и развитию у школьников общелогических и логических умений.

§ 4. Определение фактического уровня логической грамотности школьников.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Изучение элементов математической логики на уроках математики в основной школе.

§ 1. Понятие «педагогическая технология».

§ 2. Бифункциональные задачи как метод включения элементов математической логики в курс математики.

§ 3. Бифункциональные задачи: определение, типология, функции, метод составления.

§ 4. Характеристика технологии изучения элементов математической логики на уроках математики в основной школе.

§ 5. Формирование у школьников мотивации изучения математической логики.

§ 6. Раннее изучение элементов математической логики.

§ 7. Формирование у учащихся 7-9 классов на уроках математики логических умений.

§ 8. Изучение математической логики и критерии технологичности

Выводы по главе 2.

Глава 3. Экспериментальная проверка эффективности технологии изучения элементов математической логики.

§ 1. Поисковый эксперимент.

§ 2. Формирующий эксперимент.

Выводы по главе 3.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Технология изучения элементов математической логики в основной школе"

Перемены, произошедшие в сфере образования, а именно лично-стно-ориентированный подход к образованию, его гуманизация и гуманитаризация, уровневая и профильная дифференциация, привели к смещению акцентов с информационной функции обучения на развивающую. Сегодня в процессе обучения учитель должен не только передать определенную сумму знаний, но и научить школьников самостоятельно получать новую информацию и творчески ее перерабатывать. В этой ситуации проблеме формирования у школьников логической грамотности должно быть уделено существенное внимание.

Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных предметов. В этой ситуации на учителя математики ложится основная нагрузка по формированию у школьников логической грамотности. В свою очередь владение элементарным комплексом логических понятий и действий позволяет школьникам лучше усваивать математику.

Проблеме формирования у школьников логических знаний и умений на уроках математики и на факультативных занятиях по математике посвящены работы О.В. Алексеевой [5], М.А. Артамонова [6], В.Г.Болтянского [11-12], Б.Ф. Высокого [17], М.Е. Драбкиной [31], В.Г. Ежковой [34], В.И. Игошина [49-50], Л.А. Калужнина [52], А.Н. Капиносова [53], Т.А. Кондрашенковой [58], И.Л. Никольской [83], Ф.Ф. Притуло [97], А.А. Столяра [108-113], А.И. Фетисова [119] и др.

Исторически существовало три подхода к решению проблемы формирования у школьников логической грамотности.

1. Введение логики в курс средней школы как отдельного учебного предмета (А.Д. Гетманова [22-23], К.Я. Хабибуллин [123]).

2. Включение элементов логики в содержание базовых школьных предметов, в частности математики (О.В. Алексеева [5], В.Г. Ежкова [34], Т.А. Кондрашенкова [58]).

3. Изучение элементов логики на факультативных курсах по математике (И.Л. Никольская [83], A.A. Столяр [108-113]).

В 60-е гг. проблемой формирования и развития у школьников логических умений занялись М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, К.А. Рупасов, А.Д. Семушин, A.A. Столяр, А.И. Фетисов. Однако большинство исследователей рассматривали логику только как средство повышения эффективности процесса обучения самой математике. Вопрос же о формировании «логической грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления» был впервые поставлен лишь в 70-е гг. И.Л. Никольской. Именно она уточнила понятие «логическая грамотность» и предъявила требования к логической подготовке выпускников средних школ.

Отметим, что предложенный И.Л. Никольской подход носил обобщенный характер и требовал конкретизации. В итоге в 80-е и 90-е гг. уже применительно к конкретным ступеням обучения появляются работы Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой. Однако предложенные методики были направлены на формирование и развитие у школьников только общелогических умений и оставили в стороне группу логических умений.

В настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики общеобразовательной средней школы. Однако анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что они, как правило, не содержат материала по логике. И только учебники для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [26-30]содержат необходимый теоретический и задачный материал.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе.

Цель исследования - разработать технологию изучения элементов математической логики в рамках курса математики основной школы.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует принципиальная возможность такой организации процесса обучения математике, при которой наряду с формированием математических знаний и умений целенаправленно и систематически будут формироваться логические умения. Гипотеза будет подтверждена, если удастся создать такую технологию формирования логических умений, которая будет обладать следующими свойствами:

- технология охватывает период обучения с 5 по 9 класс.

В соответствии с целью исследования и выдвинутой гипотезой решались следующие задачи.

2. Провести анализ состояния изучаемого вопроса в практике современной школы: а) проанализировать стандарты образования, учебную программу и действующие школьные учебники по математике с точки зрения логического развития учащихся; б) определить уровень логической грамотности учащихся средней школы.

Проблема, цель и задачи исследования обусловили выбор методов исследования:

- анализ тенденций, существующих в теоретических взглядах на поставленную проблему;

- анализ программы и основных действующих учебников по математике для средней общеобразовательной школы;

- тестирование школьников, наблюдение, беседы с учащимися;

- информационный обмен с учителями школ и преподавателями вузов;

Теоретико-методологическую основу исследования составили

- Работы, связанные с проблемой формирования и развития у школьников логической грамотности (О.В. Алексеева, М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, В.Г. Ежкова, В.И. Игошин, JI.A. Калужнин, А.Н. Капиносов, Т.А. Кондрашенкова, И.Л. Никольская, A.A. Столяр, А.И. Фетисов и др.)

Технологический подход к обучению (В .П. Беспалько, И.П. Волков, М.В. Кларин, Д.Г. Левитес, В.М. Монахов, Г.К. Селевко, М. Чошанов и др.)

- Теория учебных задач (Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.)

- Работы по теории и методике преподавания математики (Т.А. Иванова, A.A. Столяр, P.C. Черкасов, A.B. Ястребов и др.)

- Работы о сущности и особенностях образовательного процесса (П.И. Пидкасистый, И.П. Подласый, В.А. Сластенин, И.Ф. Харламов и ДР-)

- Работы по мотивации учения школьников (А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов и др.)

- Педагогические работы математиков (А.Я. Хинчин, Д. Пойа и

ДР-)

На втором этапе (2003-2004 гг.) была разработана технология изучения элементов математической логики в основной школе.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что

- обоснована принципиальная возможность организации систематической и целенаправленной работы по формированию и развитию у школьников логических умений на протяжении всего периода обучения математике в основной школе, причем без выделения на это специальных уроков;

- разработан метод составления бифункциональных задач.

Практическая значимость исследования заключается в том, что

- предложена и апробирована система бифункциональных задач для учащихся 6-9 классов;

На защиту выносятся следующие положения:

1. Технология изучения элементов математической логики в основной школе, обладающая следующими свойствами:

- технология охватывает период обучения с 5 по 9 класс.

2. Метод составления бифункциональных задач.

Апробация и внедрение результатов исследования, а) Основные теоретические и практические результаты исследования обсуждались на научных семинарах в Ярославском государственном педагогическом университете. Кроме того, результаты исследования докладывались на трех международных научных конференциях «Чтения Ушинского» (Ярославль, 2003, 2004, 2005 гг.), на двух Всероссийских конференциях - на IV школе-семинаре по проблемам фундирования профессиональной подготовки учителя математики (Ярославль, 2003г.) и на XXIV всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005 г.). б) Результаты исследования внедрены в ряде школ г. Ярославля. в) Основные теоретические и практические результаты исследования отражены в шести публикациях, в том числе в трех статьях, двух тезисах докладов, в одном учебно-методическом пособии.

Личный вклад автора заключается во введении понятия «бифункциональная задача» и разработке метода составления бифункциональных задач; разработке технологии изучения элементов математической логики в основной школе; организации и проведении педагогического эксперимента и обработке его результатов.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 3

В 2003 - 2005 гг. на базе общеобразовательных средних школ № 33 и № 52 г. Ярославля была осуществлена экспериментальная проверка эффективности разработанной автором технологии изучения элементов математической логики. Проводился эксперимент в два этапа.

На первом этапе (поисковый эксперимент), во-первых, была подтверждена основная идея о том, что с целью повышения эффективности образовательного процесса и формирования у школьников логической грамотности задачный материал школьных учебников по математике целесообразно дополнить бифункциональными задачами, во-вторых, была обоснована принципиальная возможность реализации разработанной нами технологии изучения элементов математической логики.

Полученные на первом этапе результаты позволили перейти ко второму этапу эксперимента - формирующему эксперименту. Основная цель формирующего эксперимента состояла в установлении того, насколько эффективна разработанная нами технология. Другими словами, нужно было выяснить, позволяет ли созданная технология на достаточно высоком уровне освоить школьникам материал по математической логике, не снизив при этом качество знаний по математике.

В итоге формирующий эксперимент дал следующие результаты. 1) Предлагаемый для изучения учащимся шестых классов материал по математической логике является доступным, интересным и полезным для них. 2) Включение элементов математической логики в структуру уроков математики позволяет повысить уровень логической грамотности учащихся средней школы, не снижая при этом качества их знаний по математике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги выполненной работы, рассмотрим, каковы результаты решения поставленных задач.

Первая задача работы состояла в исследовании изучаемого вопроса в практике современной школы. К результатам решения первой задачи отнесем следующие положения.

1. В практике средней общеобразовательной школы не реализуются объективно существующие возможности для интеграции курса математики и элементов логики.

Как показало исследование, логика в качестве самостоятельного объекта изучения вообще не входит в содержание курса математики средней школы. Кроме того, в большинстве действующих школьных учебниках по математике доля логических задач незначительна (в среднем 1,4 %). Более полно идеи интеграции школьного курса математики и элементов логики отвечает учебник по математике для 5-6 классов авторов: Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [26-30]. В названном учебнике рассматриваются отдельные вопросы из области логики, и доля логических задач соответственно выше, чем в остальных учебниках по математике, и составляет 8,1%.

В этой ситуации основная нагрузка по привитию школьникам логической грамотности ложится на учителей. В помощь учителю математики существует ряд методик по организации логической подготовки школьников. Однако, как правило, предлагаемые методики ориентированы на формирование и развитие у школьников лишь отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений, и рассчитаны не на весь период обучения в школе, а на какую-то конкретную ступень.

Итак, объективно существующие возможности для формирования и развития у школьников логических и общелогических умений не нашли отражения в основных действующих учебниках по математике, а созданные частные методики не решают полностью возникшие в практике школы противоречия.

2. В сложившихся условиях логические знания и умения формируются у школьников стихийно, что, безусловно, сказывается на уровне их логической грамотности.

Нами был проведен многоаспектный констатирующий эксперимент, который показал следующее.

1) Даже если не обучать школьников логике специально, они усваивают ее стихийно. Однако в целом уровень логической грамотности школьников является низким, а полученные подобным образом знания не являются полными и систематизированными. Естественно, учителя не могут в процессе обучения опираться на стихийно сформированный уровень логической грамотности, поскольку он существенно различается у учащихся одной возрастной группы, причем даже у сильных учащихся является низким.

2) Уровень логической грамотности учащихся классов общеобразовательного уровня, обучающихся по классическим учебникам по математике, разных возрастных групп отличается незначительно. В частности, незначительные различия в уровне логической грамотности наблюдаются у учащихся шестых классов и девятых классов общеобразовательного уровня.

Отличия в уровне логической грамотности наблюдаются только в случае, если школьники обучаются по разным учебным программам и различным учебникам по математике. Так, например, уровень логической грамотности учащихся шестых классов, обучающихся по классическому учебнику Н.Я. Виленкина и др., ниже, чем уровень логической грамотности учащихся шестых классов, обучающихся по учебнику «нового поколения» авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон. Также, например, уровень логической грамотности учащихся одиннадцатых классов общеобразовательного уровня ниже, чем уровень логической грамотности учащихся одиннадцатых классов с углубленным изучением математики.

Итак, проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что стихийно сложившийся уровень логической грамотности учащихся общеобразовательных средних школ является низким.

В результате решения второй задачи была создана технология изучения элементов математической логики в основной школе.

Дадим общую характеристику созданной нами технологии.

1. Технология ориентирована на развитие у школьников всех групп логических умений, связанных с основными понятиями математической логики, и охватывает период обучения с 5 по 9 класс.

2. Элементы математической логики осваиваются школьниками в процессе изучения математики. Разработанная технология не требует ни включения математической логики в учебную программу, ни дополнительных уроков на изучение математической логики. Технология предусматривает систематическое выделение на изучение элементов математической логики фрагментов уроков математики по 5-7 минут.

3. Основу созданной технологии составляют бифункциональные задачи, т. е. задачи ориентированные одновременно как на формирование у школьников математических знаний и умений, так и на формирование логических знаний и умений.

4. Технология содержит систему бифункциональных задач для учащихся 5-9 классов, которая позволяет освоить следующие вопросы из области математической логики.

- Высказывания. Простые и сложные высказывания. Простейшие логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция). Построение отрицаний конъюнкции и дизъюнкции.

- Высказывательные формы. Множество истинности высказыва-тельных форм.

- Кванторы. Отрицание высказываний с кванторами.

- Теорема. Структура теоремы (условие теоремы, заключение теоремы). Теоремы «логического квадрата» (прямая теорема; обратная теорема; противоположная теорема; теорема, обратная противоположной).

- Необходимые и достаточные условия.

- Логическое следование. Равносильность.

- Иллюстрация и опровержение утверждений с помощью примеров и контрпримеров (соответственно).

Кроме того, нами обосновано, что разработанный в рамках технологии метод составления бифункциональных задач применим ко всему курсу математики 6-9 классов.

Третья поставленная задача заключалась в необходимости проведения проверки эффективности разработанной технологии на практике. Для ее решения в условиях средней школы были проведены поисковый эксперимент и формирующий эксперимент.

Поисковый эксперимент был проведен в 2003/2004 учебном году в восьмом классе общеобразовательного уровня школы № 33 г. Ярославля и дал следующие результаты.

1) Была обоснована принципиальная возможность реализации разработанной нами технологии в рамках обычных уроков математики без выделения на это специальных уроков.

2) Была подтверждена основная идея о том, что для эффективности образовательного процесса задачный материал школьных учебников по математике целесообразно дополнить бифункциональными задачами. Как показала практика, данные задачи в действительности содействуют лучшему пониманию и усвоению школьниками курса математики и полезны в плане формирования у них логических умений.

Полученные в результате апробации методики в восьмом классе, данные, а также данные констатирующего эксперимента, позволили предположить, что предлагаемый для изучения материал по математической логике окажется доступным, интересным и полезным для учащихся шестых классов.

Формирующий эксперимент был проведен в шестых классах общеобразовательных средних школ № 33 и № 52 г. Ярославля в 2004/2005 учебном году и показал следующее.

1) Намеченные формы изучения математической логики являются доступными для учащихся шестых классов, как с точки зрения освоения изучаемого материала по логике и овладение умением решать логические задачи, так и с точки зрения освоения терминологии по математической логике.

2) Изучаемые элементы математической логики вызывают у школьников не меньший интерес, чем материал по математике.

3) Предлагаемые для решения бифункциональные задачи воспринимаются и учениками и учителями как естественная часть математики.

4) Реализация предложенной нами по математической логике программы приводит к значительному повышению уровня логической грамотности учащихся шестых классов.

5) Включение элементов математической логики в систематический курс математики не снижает качество усвоения самой математики.

С точки зрения автора, поставленные в начале исследования, задачи были решены, а также была подтверждена выдвинутая гипотеза.

Дальнейшие перспективы работы в этом направлении могут быть рассмотрены в форме создания учебно-методических пособий по математической логике для учителей и учащихся 7-9 классов, в основе которых должны лежать бифункциональные задачи.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Елифантьева, Светлана Сергеевна, Ярославль

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. 11-е изд. - М.: Просвещение, 2001.-384 с.

2. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 10-е изд. - М.: Просвещение, 2001. -224 с.

3. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 9-е изд. - М.: Просвещение, 2001. -238 с.

4. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 10-е изд. - М.: Просвещение, 2003. -271 с.

5. Алексеева О.В. Логическая подготовка младших школьников при обучении математике: Автореферат дисс.канд. пед. наук М., 2000.- 19 с.

6. Артамонов М.А. Элементы логики в курсе математики средней школы. Львов, 1957.

7. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004. 250 с.

8. Березина Л.Ю. Графы помогают решать логические задачи // Математика в школе. 1972. № 2. С. 62-65.

9. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. М.: Педагогика, 1989.- 190 с.

10. Ю.Бирюков Б.В. Как возникла и развивалась математическая логика //Вопросы философии. 1959. № 7. С. 112-121.

11. П.Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями // Математика в школе. 1973. № 5. С. 45-50.

12. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? // Математика в школе. 1973. № 1. С. 41-49.

13. БрадисВ.М., Харчева А.К. Ошибки в математических рассуждениях. -М.: Учпедгиз, 1938. 147 с.

14. Варламова Т.П. Формирование логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике: Автореферат дисс. .канд. пед. наук Красноярск, 2006. - 22 с.

15. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними // Математика в школе. 1984. № 4. С. 43^7.

16. Вишняцкая И.Г. Необходимо или достаточно? // Математика в школе. 1982. №2. С. 48-49.

17. Высокий Б.Ф. Факультативный курс по изучению понятий логики // Математика в школе. 1977. № 4. С. 48-52.

18. Вышенский В.А., Калужнин Л.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе // Математика в школе. 1970. № 1. С. 35-40.

19. Ганелин Д.Г. Использование элементов математической логики на уроках математики в IX классе // Математика в школе. 1973. № 1.С. 55-56.

20. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 12-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 384 с.

21. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / JI.C. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 11-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 206 с.

22. Гетманова А.Д. Занимательная логика для школьников. Ч. 1. М.: Гуманит.-изд. центр «ВЛАДОС», 1998. - 239 с.

23. Гетманова А.Д. Логика: Учебник для педагогических учебных заведений. 6-е изд. - М.: ИКФ Омега-Л; Высшая школа, 2002. -416 с.

24. Груденов Я.И., Калинский E.H. Методическая разработка темы «Необходимые и достаточные условия» // Математика в школе. 1994. №6. С. 7-11.

25. Депман И.Я. Первое знакомство с математической логикой. Ленинград, 1965.

26. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 1. М.: Издательство «Ювента», 2002. - 176 с.

27. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 2. М.: Издательство «Ювента», 2002. - 240 с.

28. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 1. М.: «Баласс», «С-инфо», 1998. - 112 с.

29. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. М.: «Баласс», «С-инфо», 1999. - 128 с.

30. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3. М.: «Баласс», «С-инфо», 2002. - 176 с.

31. Драбкина М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореферат дисс.канд. пед. наук-Минск, 1971.-22 с.

32. Дразнин И.Е. О применении обратных и противоположных теорем в курсе геометрии // Математика в школе. 1994. № 6. С. 11-13.

33. Дудницын Ю.П. К методике изучения необходимых и достаточных условий на уроках геометрии // Математика в школе. 1975. № 5. С. 25-28.

34. Ежкова В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики: Автореферат дисс.канд. пед. наук М., 1999. - 20 с.

35. Елифантьева С.С. Математическая логика: Учебно-методическое пособие. Ярославль: Издательство ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004. 32 с.

36. Елифантьева С.С. Формирование мотивации изучения математической логики у учащихся основной школы // Математика, физика, экономика и физико-математическое образование: Материалыконференции «Чтения Ушинского». Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. С. 177-183.

37. Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б., Саакян С.М. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике, 5-11 классы. М.: Вербум-М, 2001. - 208 с.

38. Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. -М.: Педагогика, 1982. 160 с.

39. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по пед. и психологическим направлениям и спец. 2-е изд., доп., испр. и перераб. - М.: Логос, 2000.-383 с.

40. Зорин В.В. Необходимый минимум логической культуры учащихся // В сб.: Математика. Методическое руководство для преподавателей подготовительных отделений при вузах. М.: «Высшая школа», 1975. - С. 5 - 21.

41. Зубков В.А. Необходимые и достаточные условия в курсе математики средней школы / В сб.: Из опыта преподавания математики в средней школе. -М.: Просвещение, 1979. С. 100 - 106.

42. Ивин A.A. Искусство правильно мыслить: Книга для учащихся. -М., 1986.

43. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах. Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995. - 616 с.

44. Игошин В.И. Дидактическое взаимодействие логики и математики // Педагогика. 2002. № 1. С. 51-56.

45. Игошин В.И. Математическая логика в системе подготовки учителей математики. Саратов: Изд-во Слово, 2002. - 240 с.

46. Игошин В.И. Профессионально-ориентированная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов учителей математики в педагогических вузах: Автореферат дисс. .докт. пед. наук М., 2002. - 38 с.

47. Казакова JI.H. Технология формирования логико-понятийной культуры учащихся на уроке литературы: Автореферат дисс. . канд. пед. наук. Ярославль, 2004. - 22 с.

48. Калужнин JI.A. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1978. - 88 с.

49. Капиносов А.Н. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 4-5 (5-6) классах: Автореферат дисс.канд. пед. наук-М., 1988. 16 с.

50. Кларин М.В. Педагогическая технология в учебном процессе: (Анализ зарубеж. опыта). М.: Знание, 1989. - 75 с. - (Новое в жизни, науке, технике. Педагогика и психология; № 6)

51. Кольман Э.Я., Зих О. Занимательная логика. М.: «Наука», 1966.

52. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Часть I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977.

53. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Часть II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977.

54. Кондрашенкова Т.А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4-5 классах: Автореферат дисс.канд. пед. наук-М., 1981. -20 с.

55. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. О межпредметном значении «логической составляющей» курса математики. // Математика в школе. 1980. № 3. С. 62-63.

56. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. Формирование общелогических умений при обучении математике в IV V классах / В сб.: Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике. - М.: Просвещение, 1985, - С. 45-65.

57. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников.-М.: Просвещение, 1968.

58. Кузьминский М.И. Элементы логики в преподавании геометрии // Математика в школе. 1953. № 1. С. 39-43.

59. Курдюмова H.A. «Все» и «некоторые» на одном уроке // Математика в школе. 2001. № 1. С. 34-35.

60. Кутасов А.Д. Элементы математической логики. Пособие для учащихся 9-10 кл. М.: Просвещение, 1977. - 63 с.

61. Левитес Д.Г. Школа для профессионалов, или Семь уроков для тех, кто учит. М.: Московский психолого-социальный институт; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2001. - 256 с. (Серия «Библиотека педагога-практика»).

62. Леонтьева М.Р., Суворова С.Б. Упражнения в обучении алгебре: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1985. - 128 с.

63. Лысова Н.М. Доказательство геометрических теорем методом от противного // Математика в школе. 1972. № 2. С. 30-34.

64. Мадер В.В. Математический детектив: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1992. - 95 с.

65. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. 3-е изд. - М.: Просвещение, 2000.-368 с.

66. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд. -5-е изд., испр. и доп. М.: Издательство «Русское слово», 1998. -385 с.

67. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин, и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2000.-416 с.

68. Математика: Учебник для 6 кл. средн. шк. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 3-е изд.- М.: Фирма «Фарминвест» совместно «Русское слово», 1995. - 286 с.

69. Маркова А.К., Орлов А.Б., Фридман JT.M. Мотивация учения и ее воспитание у школьников / Науч.-исслед. ин-т общей и педагогической психологии Акад. пед. наук СССР. М.: Педагогика, 1983. - 64 с. - (Воспитание и обучение. Библиотека учителя).

70. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения: Кн. для учителя/ А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов. М.: Просвещение, 1990. - 192 с. - (Психол. наука - школе).

71. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. P.C. Черкасов, A.A. Столяр. -М.: Просвещение, 1985. 336 с.

72. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институtob / Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

73. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. Волгоград: Перемена, 1995. -152 с.

74. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. 5-е изд. - М.: Просвещение, 1988. -160 с.

75. Никольская И.Л. Изучение логического следования и логической равносильности в 7 классе // Математика в школе. 1977. № 1. С. 37-39.

76. Никольская И.Л. Математическая логика: Учебник. М.: Высш. школа, 1981.-127 с.

77. Никольская И.Л. Об изучении некоторых логических понятий на уроках математики / В сб.: Из опыта преподавания математики: 6-8 классы. -М.: Просвещение, 1977. С. 18-26.

78. Никольская И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике / В сб.: Преемственность в обучении математике. М.: Просвещение, 1978. - С. 24-36.

79. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: Автореферат дисс.канд. пед. наук М., 1973. - 26 с.

80. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. -192 с.

81. Обидных С.Т. Воспитание у учащихся IV класса потребности в доказательстве утверждений // Математика в школе. 1972. № 3. С. 63-64.

82. Олоничев П.М. Логически истинные предложения // Математика в школе. 1976. № 4. С. 55-63.

83. Павлов В.А. О контроле за усвоением учащимися элементарных логических понятий // Математика в школе. 1975. № 4. С. 33-34.

84. Пайсон Б.Д. О логической составляющей образовательной области «Математика» // Математика в школе. 2003. № 2. С. 10-14.

85. Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. -М.: Педагогическое общество России, 1998. 640 с.

86. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / Под ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. -383 с.

87. ПодласыйИ.П. Педагогика: Новый курс: Учеб. для студ. Высш. учеб. заведений: в 2 кн. -М.: Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС, 2002.- Кн. 1: Общие основы. Процесс обучения. 576 с.

88. Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. Пер. с англ. В.Г. Звонаревой и Д.Н. Белла. Под ред. Ю.М. Гайдука. Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1961.

89. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ. И.А.Вайнштейн. Под ред. С.А.Яновской. Изд. 2-е, испр. М., «Наука», 1975.

90. Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: Основные понятия, изучение и преподавание / Д. Пойа; Пер. с англ. B.C. Бермана; Под ред. И.М. Яглома. 2-е изд., стереотип. - М.: «Наука», 1976.-448 с.

91. Потоцкий М.В. Логика на уроках математики и в жизни // Математика в школе. 1980. № 2. С. 24-25.

92. Предметные недели в школе. Математика / Сост. Л.В. Гончарова.- Волгоград: Издательство «Учитель», 2001. С. 124-125.

93. Притуло Ф.Ф. Элементы логики в школьном курсе математики // Математика в школе. 1953. № 1. С. 25-35.

94. Программы для общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение, 1998. - 205 с.

95. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. М.: АО «Столетие», 1995.-512 с.

96. Рассуждая логически.- М.:Бюро Квантум, 2001. 128 с. -(Прил. к журналу «Квант» № б / 2001)

97. Рожков М.И. Теоретические основы педагогики: Учебное пособие. Ярославль: ЯГПУ им. Ушинского, 1994, 63 с.

98. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. - 240 с. (Б-ка учителя математики).

99. СелевкоГ.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. М.: Народное образование, 1998. - 256 с.

100. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб.: ООО «Речь», 2004. - 350 с.

101. Сластенин В.А. и др. Педагогика: Учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, E.H. Шляпов; Под ред. В.А. Сластенина. М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 576 с.

102. Столяр A.A. Как математика ум в порядок приводит. 2-е изд., перераб. и доп. Минск: Выш. шк., 1991. - 207 с.

103. Столяр A.A. Как мы рассуждаем? Минск: «Нар. асвета», 1968.- 112 с.

104. Столяр A.A. Логические конструкции школьной алгебры и практика преподавания / В сб.: Логика и проблемы обучения. Под ред. Б.В.Бирюкова и В.Г. Фарбера. М.: Педагогика, 1977. -С. 88-124.

105. Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Изд-во «Высшая школа», 1965.

106. Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики: Автореферат дисс. .докт. пед. наук. -М., 1969. -37 с.

107. Столяр А.А О некоторых применениях логики в педагогике математики. / В сб.: Логика и проблемы обучения. Под ред. Б.В.Бирюкова и В.Г. Фарбера. М.: Педагогика, 1977. -С. 125-139.

108. Столяр A.A. Педагогика математики. Минск: Изд-во «Вышэйшая школа», 1986.

109. Столяр A.A. Элементы математической логики в средней школе с математической специализацией / В сб.: Обучение в математических школах. М.: Просвещение, 1965. - С. 126 - 150.

110. Таварткиладзе Р.К. О языке школьного курса математики // Математика в школе. 1981. № 3. С. 41.

111. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т.А. Иванова, E.H. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова; Под ред. проф. Т.А. Ивановой. -Н. Новгород: НГПУ, 2003. 320 с.

112. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного // Математика в школе. 1994. № 3. С. 36-38.

113. Тихонова А. Элементы математической логики // Газета «Математика». №42/2002; №4,5,14,22/2003.

114. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред. шк. / Сост. И.Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. -С. 172-205

115. Фетисов А.И. Элементы логики в преподавании математики / Изв. АПН РСФСР. Вопросы общей методики математики. М.: изд. АПН РСФСР, 1958, вып. 92, С. 149-198.

116. ФисковичТ.Т. Повышение уровня логического развития учащихся IV V классов // Математика в школе. 1973. № 6. С. 23-25

117. Фридман JI.M. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977.

118. Фридман JI.M., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. - 287 с. - (ПНШ: Психологическая наука школе).

119. Хабибуллин К.Я. Формирование общелогических умений учащихся // Школьные технологии. 2002. № 1. С. 124 -133.

120. Харламов И.Ф. Педагогика: Учеб. пособие. 4-е изд., пере-раб. и доп. - М.: Гардарики, 2003. - 519 с.

121. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // В сб.: Математика в образовании и воспитании. М.: ФАЗИС, 2000.-С. 64-102.

122. ХитринаН.А. О применении контрпримеров // Математика в школе. 1974. № 6. С. 34-41.

123. Хуторской A.B. Технология эвристического обучения // Школьные технологии. 1998 -№ 4 - С. 55-75.

124. ЧошановМ.А. Гибкая технология проблемно-модульного обучения: Метод, пособие. М.: Нар. образование, 1996. 157 с.

125. Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин, A.B. Шевкин. -7-е изд. М.: Просвещение, 2003. - 95 с.

126. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986.

127. Яглом И.М. Необыкновенная алгебра. -М.: Наука,1968.

128. Ястребов А.В. Многофункциональность упражнения и многофакторность умения // Ярославский педагогический вестник, 2000, №2 (24), С. 135-139.