автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач

Автореферат диссертации по теме "Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач"

Аксёнов Андрей Александрович

ТЕОРИЯ ОБУЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОМУ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора педагогических наук

2 0 ?П]П

Нижний Новгород - 2010

004603187

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении 1 высшего профессионального образования

"Орловский государственный университет"

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Родионов Михаил Алексеевич

доктор педагогических наук, профессор Дробышева Ирина Васильевна

заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор физико-математических наук, профессор Мантуров Олег Васильевич

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина"

Защита состоится 10 июня 2010 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.166.17 по присуждению учёной степени доктора педагогических наук в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, д. 23, корпус 2, зал научных демонстраций.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан 29 апреля 2010 г.

Ведущая организация:

Учёный секретарь диссертационного совета, д.п.н.

И.В. Гребенев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Проблема целенаправленного обучения поиску решения математических задач всегда привлекала внимание и крупных математиков, и учёных-методистов, и учителей математики средней школы. Этой проблеме посвящены труды, ставшие классическими, к которым в первую очередь относятся книги всемирно известного методиста-математика Д. Пойа. Среди отечественных исследователей много внимания данной проблеме уделяли такие известные авторы, как С.И. Туманов, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, JI.M. Фридман, E.H. Турецкий, Е.Ф. Данилова, А.Б. Василевский, А.К. Артёмов и др., в разные годы опубликовавшие книги для учителей математики и учащихся средних школ.

Различные аспекты проблемы обучения учащихся средней школы поиску решения задач исследовали ведущие специалисты в области методики преподавания математики: A.A. Столяр, П.М. Эрдниев, Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, В.Г. Болтянский, В.И. Крупич, ЯМ. Грудёнов, Н.В. Метельский, А.Б. Василевский, Н.К. Рузин и др., отражая полученные результаты в монографиях, учебниках по методике преподавания математики, книгах для учителей и многочисленных статьях.

Диссертационные исследования непосредственно по проблеме обучения школьников поиску решения математических задач выполнили: Г. Абдуллаев,

A.Ш. Багаутдинова, СЛ. Валитова, В.В. Воробьёв, Г.Н. Глыва, В.Ю. Гуревич,

B.М. Турина, В.П. Заесенок, Т.Д. Моралишвили, И.Б. Ольбинский, Ю.А. Розка, Н.С. Тюина, Н.И. Фоменко, Хан Инки, О.М. Шеренцова и др. Кроме того, проблемы, существенным образом связанные с обучением школьников поиску решения задач, исследовались в диссертациях Б.А. Абремского, А.Д. Герасимовой, H.A. Демченковой, H.A. Меньшиковой, С.М. Мирзаева, М.С. Маскиной, H.A. Резник, И.Б. Шмигириловой и др.

Статьи по проблеме обучения учащихся средних школ поиску решения математических задач написаны: Г.В. Дорофеевым, O.A. Ивановым, М.И. Бурдой, A.B. Гузкиным, Д.Ф. Изааком, Е.С. Каниным, Ф.Ф. Нагибиным, Ю.А. Ку-люткиным, Г.С. Сухобской, В.В. Орловым, Е.С. Семёновым, H.A. Тарасенко-вой, И.Ф. Шарыгиным и др.

Однако в силу целого ряда причин проблема обучения поиску решения школьных математических задач не теряет своей актуальности.

Во-первых, в различных научных исследованиях и методических публикациях, посвященных проблеме обучения поиску решения задач, отражены те или иные частные её аспекты. В большинстве работ содержатся методические рекомендации, основанные на специфике конкретного предметного материала, пределами которого зачастую определялись и границы их применимости, что затрудняет перенос этих рекомендаций на другой материал. Таким материалом могли быть алгебраические уравнения (В.Г. Болтянский), задачи, решаемые на основании теоремы о точке пересечения медиан треугольника (Хан Инки), стереометрические задачи на доказательство (Ю.А. Розка), сюжетные задачи (JI.M. Фридман), планиметрические задачи на вычисление (Б.А. Абремский) и т. д.

Среди авторов диссертационных исследований нет единства как в понимании сущности процедуры поиска решения задачи, так и в выборе исходных положений предлагаемых ими методик обучения школьников поиску решения задач. Многие работы были выполнены в то время, когда методика обучения математике в значительной мере была рецептурной дисциплиной, что предопределяло практико-ориентированный их характер.

Вышеперечисленные факты приводят к выводу о том, что, с одной стороны, описанные способы обучения поиску решения задач обладают высокой степенью достоверности, поскольку они многократно экспериментально проверены, учитывают специфику учебного материала, а часть из них успешно используется в практике массового обучения, внося существенный вклад в решение проблемы обучения поиску решения школьных математических задач. С другой стороны, эти факты позволяют утверждать, что в теории и методике обучения математике в настоящее время накоплен немалый объём разрозненных неупорядоченных сведений, методических рекомендаций по обучению школьников поиску решения задач, который практически всецело располагается в русле эмпирического научного знания и нуждается в теоретическом обобщении, позволяющем выделить общие объективные идеи, закономерности и взаимосвязи.

Во-вторых, в современной теории и методике обучения математике сформулировано несколько трактовок понятия "математическая задача", введены понятия внутренней и информационной структуры задач (охарактеризованы её компоненты: условие, требование, теоретический базис задачи, способ её решения, реализованное в ней основное отношение), предложены способы оценки сложности и трудности задач и т. д. Однако всё это даёт характеристику лишь самой задаче, но не составляет теоретического описания процесса поиска её решения. Поиск решения задачи - это отыскание предметного содержания теоретического базиса и способа её решения, причём сущность способа решения заключается в обнаружении взаимосвязей между теоретическими фактами, составляющими базис задачи и выстраивании их в такой последовательности, следуя которой от условия задачи можно прийти к выполнению её требования. Но этот процесс - установление внутрипредметных связей в ходе решения математической задачи. Таким образом, вне их установления в принципе не может быть выполнен поиск её решения. Однако этот аспект работы над задачей в современной методике обучения математике теоретически ещё не описан.

В-третьих, в теории и методике обучения математике утвердилась тенденция к исследованию различных аспектов проблемы использования задач в обучении школьников математике на основе деятельностного подхода. Однако сама деятельность любого субъекта определяется не только мотивом, целью, конкретными действиями, условиями их выполнения и т. д., но и предметом его деятельности, которым в данном случае является школьная математическая задача. Ввиду того, что теоретическое изучение задач в методике обучения математике на сегодняшний день нельзя признать полностью завершённым, можно утверждать, что исследование проблемы обучения поиску решения школьных математических задач в русле деятельностного подхода в значительной мере выполняется в отрыве от изучения предмета деятельности учащихся.

В-четвёртых, в различных учебниках, пособиях и задачниках ещё не сложилась традиция такого составления систем задач, которое предопределяет целенаправленное обучение школьников поиску их решения, на различных этапах этого процесса акцентирующее внимание на тех или иных его аспектах. Такое положение дел объясняется тем, что система образования (в частности, школьного математического) в своей сущности консервативна и инертна, поэтому требуется определённое время, чтобы какие-либо научно-методические идеи, реализованные в научных трудах, были адаптированы к практике массового обучения математике и внедрены в неё. Анализ школьных учебников математики разных лет, а также учебных пособий, предназначенных для средней школы и различных дополнительных задачников к ним, позволил обнаружить следующий факт. Во всех этих книгах не уделялось должного внимания проблеме целенаправленного обучения отысканию способа решения задач. В большинстве задачников и учебников почти все предлагающиеся учащимся задачи были в достаточно высокой степени стандартизированными, не требующими практически никакой напряжённой умственной работы. Опрос учащихся, проводимый в разные времена исследователями, неизменно показывал, что подавляющее большинство школьников (в том числе и обладающих математическим способностями среднего или более высокого уровня) необходимым условием решения задачи считает наличие соответствующего образца. Такая же ситуация сложилась и в специализированных или профильных математических классах. Вообще примерно до восьмидесятых годов прошлого века в массовой школьной практике доминировала точка зрения, состоящая в том, что ведущую роль в математике играет теория, а задачи даны для того, чтобы качественнее её освоить. В настоящее время ситуация изменилась и теперь в программе по математике указано, что главное внимание в обучении нужно уделять решению задач. Сейчас практически методической аксиомой стало положение, состоящее в том, что задачи - это и цель, и основное средство обучения математике. Для того, чтобы оно утвердилось, потребовались усилия многих учёных. В частности, признанию этого положения способствовали труды A.A. Столяра, JI.M. Фридмана, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, С.И. Шохор-Троцкого, Я.И. Грудёнова, В.И. Мишина, С.Б. Суворовой, Г.В. Дорофеева и др.

В-пятых, большинство школьных учителей не готово в своей работе восполнить указанные пробелы (это следствие всего перечисленного ранее).

Также в исследовании проблемы обучения поиску решения школьных математических задач необходимо учесть, что уровень математических способностей школьников различен. В связи с этим бессмысленно и даже негуманно требовать от каждого учащегося достижения высокого уровня в умении решать нетривиальные математические задачи. Поэтому основные положения данной диссертации преимущественно отражают сущность обучения математически способных учащихся поиску решения задач.

Изложенные выше рассуждения вскрывают диалектическое противоречие между современным состоянием научного изучения исследуемой проблемы, традициями, сложившимися в учебном процессе, и внутренними потребностями методико-математической теории, а также практики школьного обучения

математике. Анализ его причин позволяет утверждать, что для преодоления этого противоречия необходимо построить теорию, целостно описывающую процесс обучения поиску решения школьных математических задач. Одним из подходов к её построению является исследование детерминации процедуры поиска решения задачи специфическими особенностями самих задач. Фактически речь идёт о логическом аспекте поиска решения задачи.

Таким образом, актуальность данного исследования обусловлена необходимостью целостного теоретического описания процедуры поиска и процесса обучения поиску решения школьных математических задач, которое будет способствовать синтетическому обобщению различных методических средств, используемых в формировании умения решать задачи.

Проблема исследования: выявление сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, специфических особенностей и этапов целенаправленного обучения учащихся средней школы логическому поиску их решения, а также роли общего умения выполнять логический поиск решения задач в математической подготовке школьников.

Цель исследования: построение и экспериментальная проверка теории, описывающей процесс обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач.

Объект исследования: процесс обучения математике в средней школе.

Предмет исследования: обучение школьников логическому поиску решения математических задач.

Современное состояние изучаемой проблемы позволяет выдвинуть об-и(ую концепцию диссертационного исследования. Суть её состоит в целостном теоретическом описании основных этапов и специфических особенностей процедуры поиска решения и процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач на основе трактовки понятия "задача", предложенной Ю.М. Колягиным и дополненной В.И. Кру-пичем. Общая концепция конкретизируется в трёх взаимосвязанных концептуальных положениях, изложенных ниже.

I. Задача, согласно трактовке этого понятия, принятой в качестве исходного положения исследования, образована диалектической взаимосвязью её информационной и внутренней структур. На основе информационной.структуры выявляются основные теоретико-методические характеристики задач, такие как их типы, виды, классы, особенности теоретического базиса их формулировки и решения. В общем случае задача в ходе решения расчленяется на несколько более простых подзадач, каждой из которых соответствует локальная идея её решения (решение каждой подзадачи - отдельный этап решения исходной задачи). Подзадача является единицей анализа школьных математических задач, а структурной единицей логического поиска решения задачи является локальная идея. Логический поиск решения школьной математической задачи в конечном итоге сводится к выдвижению и реализации локальных идей её решения.

II. Решение школьной математической задачи заключается в отыскании предметного содержания неизвестных компонентов её информационной структуры, что в конечном итоге сводится к нахождению ряда теоретических фактов

и такой логической взаимосвязи между ними, которая позволит от условия задачи прийти к выполнению её требования. То есть в данном аспекте осуществление логического поиска решения может быть рассмотрено как реализация внутрипредметных связей посредством решения задач, в значительной мере предопределяющая генерирование локальных идей решения задачи. Многообразие внутрипредметных связей, проявляющихся в процессе решения задач, описывается с помощью отдельных видов их реализации, применимых к задачам любой разновидности. Поэтому внутрипредметные связи можно рассматривать как средство, позволяющее построить теоретическую модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, представляющую собой полную ориентировочную основу действий (ПООД) по осуществлению поиска решения задач, которая также включает в себя и все теоретико-методические характеристики задач, указанные в положении I.

III. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач ориентировано на овладение учащимися основными поисковыми ресурсами (содержащимися в ПООД), в ходе которого школьники учатся способам логических рассуждений, самостоятельному "открытию" некоторых теоретических фактов и способов решения задач, выделению совокупности действий, адекватных понятиям, теоремам и методам решения задач. Это предполагает осмысление ими практически каждого поискового ресурса как общего поискового действия. В свою очередь это означает, что обучение поиску решения задач целесообразно осуществлять на основе деятельностного подхода. Многообразие поисковых ресурсов и необходимость регулярного их использования в обучении предопределяет выявление основных видов деятельности, осуществляемой в ходе работы над задачей, на основе которых может быть упорядочен процесс обучения логическому поиску решения задач.

Первое и второе положения совместно образуют процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, а третье положение - содержательную составляющую.

Концептуальный подход к понятию "задача", предложенный Ю.М. Коля-гиным, во многом обусловлен логикой взаимосвязи компонентов информационных структур задач, поэтому выдвинутая концепция детерминирует исследование логического поиска их решения (выполняемого посредством логики, а не интуиции или вербальной информации, заложенной в задаче, и т. п.), и исследование проблемы обучения логическому поиску решения задач, то есть она в полной мере соответствует цели и задачам данной работы. В тексте диссертации и автореферата при упоминании процесса поиска решения задач иногда слово "логический" не используется, исходя из стилистических соображений.

В исследовании была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что теория, целостно описывающая обучение школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач, может быть построена, если: а) исходя из основополагающей трактовки понятия "задача" будут выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяющие особенности выполнения логического поиска их решения, и в его описании будет отражена специфика школьного курса матема-

тики, в контексте исследуемой проблемы выражаемая реализованными в нём внутрипредметными связями;

б) на этой основе будет построена теоретическая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, позволяющая выявить основные поисковые ресурсы и определить этапы процесса обучения поиску решения задач;

в) обучение общему умению выполнять логический поиск решения задач, предполагающее осмысление поисковых ресурсов как общих поисковых действий, будет осуществляться на основе деятельностного подхода, обеспечивающего систематичность и регулярность этого обучения;

г) теоретическое описание процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач будет включать в себя обоснование его реализации в практике школьного обучения математике;

д) овладение школьниками общим умением выполнять логический поиск решения математических задач получит экспериментальное подтверждение, оцениваемое по результатам выполнения ими специальных контрольных работ.

Проблема, цель, предмет, концепция и гипотеза совместно обусловливают ведущие задачи исследования, которые разделяются на пять групп.

I. Первая группа состоит из задач, связанных с выявлением и разработкой научных положений, являющихся психолого-педагогическим основанием процесса обучения поиску решения школьных математических задач.

1. Установление сущности психологического и логического процессов поиска решения задачи.

2. Выявление психолого-педагогических особенностей организации учебного процесса, основанного на целенаправленном обучении поиску решения школьных математических задач.

3. Выбор концептуального подхода к трактованию понятия "задача", являющегося психолого-педагогическим базисом решения исследуемой проблемы.

И. Вторую группу составляют задачи, которые относятся к теоретико-методологичекому обоснованию сущности логического поиска решения школьных математических задач и сути процесса обучения поиску их решения.

1. Выявление основных теоретико-методических характеристик школьных математических задач и структурной единицы логического поиска их решения.

2. Создание опорных схем и механизмов, моделирующих сущность внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи.

3. Разработка метода оценивания логической трудности математических задач как критерия умения школьников выполнять поиск их решения.

III. В третью группу включены задачи, призванные выявить возможности использования внутрипредметных связей в качестве основного ресурса процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

1. Выявление основных видов реализации внутрипредметных связей, проявляющихся в ходе решения задач и установление дидактических возможностей каждого из них в обучении логическому поиску решения задач.

2. Построение полной ориентировочной основы действий, выполняемых в ходе поиска решения задач.

3. Выделение поисковых ресурсов, которые должны изучаться учащимися в качестве основы процесса поиска решения задач.

4. Определение сущности и этапов процесса обучения школьников логическому поиску решения задач.

IV. Четвёртая группа состоит из задач, решение которых позволяет упорядочить процесс обучения логическому поиску решения школьных математических задач на основе деятельностного подхода.

1. Выявление основных видов деятельности, описывающих процесс логического поиска (и обучения поиску) решения задач.

2. Разработка методов систематизации задач и систематизации систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения.

3. Выявление взаимосвязи структуры школьного курса математики и процесса обучения школьников поиску решения задач.

V. Пятую группу составляют задачи, предназначенные для экспериментальной проверки построенной теории.

1. Разработка (совместно с учителями-экспериментаторами) конкретных систем задач, их применение на различных этапах обучения математике.

2. Анализ результатов педагогического эксперимента.

Методологической основой исследования являются фундаментальные положения философской теории познания: диалектико-материалистическая методология, основанная на принципах объективности, всесторонности, детерминизма, конкретности, историзма и противоречия и др.; общенаучные подходы и методы исследования, суть которых состоит в обеспечении взаимоперехода философского и частнонаучного знания благодаря использованию таких общенаучных понятий, как "информация", "модель", "система", "функция", "элемент", "структура" и др.; основные логические законы. Поставленные в диссертации задачи были решены с помощью следующих методов исследования:

1. Теоретические методы;

а) формализация, применяемая в процессе абстрагирования и идеализации объектов посредством их отображения в знаково-символическом виде;

б) метод восхождения от абстрактного к конкретному, с помощью которого на основе понятия "задача" посредством синтеза и дедукции рассмотрены частные проблемы, возникающие в обучении логическому поиску решения задач, что позволило в целостной теории изложить предмет исследования.

2. Общелогические методы:

а) анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, посвященной исследуемой проблеме и смежным научным проблемам;

б) анализ и синтетическое обобщение передового опыта учителей математики, уделяющих значительное внимание обучению учащихся поиску решения задач;

в) методология системного подхода (метод, основанный на понимании системы как совокупности объектов, взаимосвязь которых обусловливает наличие новых интегративных качеств, не свойственных образующим её компонентам, и метод, состоящий в расчленении системы и выделении её минимального компонента - структурной единицы, способной к относительно самостоятельному существованию в рамках целого (структурно-функциональный метод))',

г) абстрагирование и идеализация, применяемые для создания объектов, принципиально не существующих в действительности, которые послужили опосредованным выражением реальных объектов и процессов (например, абстрактный субъект, логический поиск решения задачи и др.);

д) конструктивно-генетический метод, понимаемый как рассмотрение всевозможных ситуаций и выполнение логических рассуждений в процессе разработки основных теоретических положений данной диссертации (проявлением этого метода является мысленный эксперимент с идеальными объектами)',

е) моделирование (основанное на конструктивно-генетическом методе и системном подходе), позволившее построить ряд научных положений, в качестве главных средств которого используются аналогия, индуктивный и дедуктивный методы в их диалектической взаимосвязи и единстве;

ж) вероятностно-статистические методы (обработка результатов педагогического эксперимента).

3. Эмпирические методы:

а) наблюдение за учебной деятельностью учащихся, обучающихся в общеобразовательных, профильных и специализированных математических классах средних школ;

б) сравнение процессов поиска решения школьных математических задач, относящихся к алгебре, геометрии и математическому анализу для обнаружения их сходства и различия с целью выявления возможности разработай общих подходов к обучению поиску решения задач;

в) экспериментальная работа, проводимая в классах различных профилей, с использованием систем математических задач, разработанных на основе построенной теории.

Теоретической основой исследования являются:

• психологические концептуальные подходы к понятию "задача", их сопоставление в контексте исследуемой проблемы (Г.А. Балл, Я.А. Пономарёв, К.А. Славская, JI.JI. Гурова, A.B. Брушлинский, Л.М. Фридман и др.);

• концепции учебной деятельности и развивающего обучения, психологические концепции усвоения знаний (Л.С. Выготский, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин и др.);

• концептуальный подход A.M. Матюшкина к осмыслению соотношения понятий "задача" и "проблемная ситуация" и их изучению;

• теория и методика обучения решению школьных математических задач (A.A. Столяр, Л.М. Фридман, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, В.И. Крупич);

• концепция деятельностного подхода к обучению математике учащихся средних школ (В.И. Крупич, О.Б. Епишева и др.);

• основные положения теории и методики реализации внутрипредметных связей в обучении математике (В.М. Монахов, В.А. Далингер, A.A. Аксёнов, К.С. Муравин, Л.С. Капкаева и др.);

• основные труды по проблеме обучения поиску решения школьных математических задач (Д. Пойа, Л.М. Фридман, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, С.И. Туманов, A.A. Столяр, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев и др.).

Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые построена теория, целостно описывающая обучение общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач, в рамках которой:

• уточнена сущность психологического и логического аспектов поиска решения задач, раскрыт психолого-педагогический аспект процесса обучения поиску решения задач;

• выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, по которым они квалифицируются в контексте исследуемой проблемы;

• выделена структурная единица логического поиска решения школьных математических задач;

• разработаны схемы и механизмы, моделирующие процесс логического поиска решения школьных математических задач;

• выявлены десять основных видов реализации внутрипредметных связей посредством решения школьных математических задач, установлены дидактические возможности каждого из них в обучении поиску решения задач;

• построена полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых в ходе поиска решения школьных математических задач, являющаяся теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск их решения;

• выявлены основные виды деятельности, выполняемой в процессе работы над школьными математическими задачами;

• раскрыта сущность и этапы обучения школьников логическому поиску решения математических задач.

Теоретическая значимость исследования:

• методика обучения математике обогащена новой теорией, систематизирующей и обобщающей имеющиеся в современной науке представления об обучении школьников решению математических задач;

• методическая теория школьных математических задач пополнена рядом теоретико-методических характеристик:

- понятием информационной структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач;

- понятием обобщённой характеристической функции задач, описывающей теоретико-методические характеристики, совмещаемые в одной задаче;

- методом количественного и качественного оценивания трудности школьных математических задач;

- методом оценивания эффективности использования внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач;

- методами систематизации задач, внутритематического и межтематического упорядочивания систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения;

- методом системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений в практике школьного обучения;

- критериями построения школьного курса математики, способствующими повышению эффективности обучения поиску решения задач.

Практическая значимость исследования:

• разработанные в теории механизмы взаимодействия субъекта с задачей, построения систем задач, определения эффективности внутрипредметных связей и т. д. носят универсальный характер и могут быть применены к любой теме, виду и подвиду задач школьного курса математики;

• основные положения диссертации могут быть учтены авторами задачников по математике для средней школы с целью составления систем задач, обусловливающих целенаправленное обучение общему умению выполнять логический поиск их решения;

• в соответствии с государственной программой по математике для общеобразовательных, профильных и специализированных классов разработаны конкретные методические модели, реализующие на практике построенную в диссертации теорию и апробированные экспериментально;

• методические модели, используемые в обучении школьников логическому поиску решения задач, также могут составлять методисты институтов повышения квалификации учителей и опытные учителя математики;

• соответствующие методические построения могут выполнять студенты математических педагогических специальностей вузов на семинарских занятиях по теории и методике обучения математике с целью осмысления содержательной составляющей обучения логическому поиску решения задач;

• основные теоретические положения, описывающие процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, могут непосредственно применяться в методической подготовке будущих учителей математики в качестве средства, помогающего им осмыслить сущность общего умения выполнять поиск решения задач и процесс формировании этого умения у школьников;

• эти же теоретические положения помогут учителями математики составить целостное представление о процессе логического поиска решения задач и на этой основе обучать школьников его выполнению.

Достоверность полученных в исследовании результатов и обоснованность научных выводов обеспечивается: использованием достижений психолого-педагогических наук; применением логических законов в создании теоретических положений; использованием различных методов исследования, адекватных поставленным задачам; результатами экспериментальной работы, длившейся несколько лет; подтверждением выдвинутой в диссертации гипотезы.

Основные этапы исследования. Выполнение исследования началось в 1996 г. и велось поэтапно в соответствии с логикой своего развития.

На предварительном этапе (1996-2000 г.г.) было начато исследование в области теоретического обоснования методики обучения решению задач и изучен такой его аспект, как реализация внутрипредметных связей в процессе решения задач. Итогом исследований стала защита диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук по теме "Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики".

Теоретический этап исследования (2001-2002 г.г.) заключался в создании теоретического обоснования методики обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В этот период времени было выдвинуто и обосновано подавляющее большинство научных положений, которые составили практически всё содержание данной диссертации.

На заключительном этапе (2002-2010 г.г.), был проведён формирующий эксперимент по проверке эффективности разработанных теоретических положений, а также по установлению некоторых фактов, которые невозможно определить только теоретически. На этом этапе осуществлялась доработка и редактирование созданных ранее теоретических положений в зависимости от результатов формирующего эксперимента, оформление результатов исследования в виде диссертации на соискание учёной степени доктора педагогических наук.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования докладывались и получили одобрение на Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе" (Арзамас, 2004), XXVI Всероссийском семинаре преподавателей математики "Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе" (Самара, Москва, 2007), Международной научной конференции "Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании" (Пермь, 2007), Региональной научно-практической конференции "Современные информационно-коммуникационные технологии в образовательном процессе сельской школы" (Арзамас, 2007), Всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования" (Самара, 2007), Международной научной конференции "Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования" (Котлас, 2007), Международной научной конференции "Современные образовательные технологии в системе математического образования" (Архангельск, 2008), Международной научной конференции "Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании" (Арзамас, 2008), Всероссийской (с международным участием) научной конференции "Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы" (Пенза, 2009), Всероссийской научной конференции "Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментали-зации образования" (Саранск, 2009).

Внедрение полученных результатов осуществлялось посредством публикации монографий, методических пособий, статей, организации экспериментальной работы в школах Орловской области, выступлений перед методистами и учителями в Орловском областном институте усовершенствования учителей, в Орловском государственном университете и ряде других вузов страны.

Положения, выносимые на защиту:

1. Логический поиск решения школьных математических задач детерминируется содержащейся в компонентах их информационной структуры объективной информацией, теоретико-методическими характеристиками задач, по которым они квалифицируются, и спецификой обоснования и реализации решения, выраженной совокупностью внутрипредметных связей, свойственных

содержанию школьного курса математики, и используемых в решении задачи. Внутренняя структура процесса логического поиска решения задачи может быть выражена совокупностью схем и механизмов, моделирующих процедуру анализа задачи и отыскания способа её решения. Информационная структура этого процесса определяется лишь для каждой конкретной задачи и обусловливается информационной структурой данной задачи. Минимальным компонентом процесса логического поиска решения школьных математических задач является локальная идея, которая реализуется в течение одного этапа решения задачи, представляющего собой отдельную подзадачу.

2. Обучение логическому поиску решения задач - это обучение выдвижению идей решения задачи на основе факторов, детерминирующих логический поиск. Структурной единицей процесса обучения учащихся логическому поиску решения школьных математических задач является обучение их генерированию и реализации локальных идей решения задачи.

3. Основным ресурсом выдвижения локальных идей решения школьной математической задачи является установление внутрипредметных связей, содержащихся в школьной математике. Многообразие проявлений внутрипредметных связей в процессе решения школьных математических задач описывается десятью основными видами их реализации. Они являются своеобразными эвристиками в выборе конкретных теоретических средств и идей логического поиска решения, а в конечном счёте, формируют у школьников общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач.

4. Полную ориентировочную основу действий (ПООД) субъекта по осуществлению логического поиска решения школьной математической задачи образуют дидактические характеристики основных видов реализации внутри-предметных связей, теоретико-методические характеристики задач и внутренняя структура процесса логического поиска их решения. Упорядоченная совокупность подходов к выполнению логического поиска решения задач, позволяющая выдвигать и реализовывать локальные идеи решения задачи, представленная в ПООД, является обобщённой теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач.

5. Обучение логическому поиску решения школьных математических задач состоит в создании условий, при которых учащиеся смогут последовательно овладевать поисковыми ресурсами, содержащимися в ПООД, что предполагает регулярное их применение в процессе решения задач и осмысление как общих поисковых действий, то есть на основе деятельностного подхода. Многообразие действий, выполняемых в ходе решения задач, описывается девятью основными видами деятельности. В контексте повышения эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач необходима систематизация задач, а также внутритематическое и межтематическое упорядочивание систем математических задач на основе выделенных видов деятельности.

6. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач теоретически может быть представлено диалектическим единством его процессуальной и содержательной составляющих. Процессуаль-

ная составляющая - это описание сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, содержательная составляющая заключается в обеспечении регулярности обучения школьников этому умению. Обучение логическому поиску решения задач предполагает: пропедевтику поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) для учащихся 1-7 классов; упорядочивание процесса обучения, обусловливающего освоение школьниками основных поисковых ресурсов и овладение умением их применять в решении задач; формирование общего умения выполнять поиск решения задач, в ходе которого учащиеся с помощью ПООД учатся выдвижению и реализации локальных идей решения задачи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка, насчитывающего 305 источников, включает 4 таблицы и 7 рисунков. Основные научные положения изложены во второй, третьей и четвёртой главах.

Во введении обоснована актуальность, сформулированы проблема, объект, предмет, концепция, цель и задачи исследования, его методологические и теоретические основы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе "Психолого-педагогические основания процесса обучения поиску решения математических задач" рассмотрен психолого-педагогический аспект исследуемой проблемы.

Во второй главе "Теоретико-методологическое обоснование сущности логического поиска решения школьных математических задач и обучения поиску их решения" выявлены основные теоретико-методические характеристики задач, по которым квалифицируются задачи в контексте исследуемой проблемы, построена модель внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи и выделен теоретико-методологический базис обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач.

В третьей главе "Внутрнпредметные связи как основной ресурс процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач" выявлены дидактические возможности внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач, раскрыта сущность общего умения выполнять логический поиск решения задач, построена его обобщённая модель - полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых субъектом в ходе решения задачи, описаны основные этапы процесса обучения школьников логическому поиску решения математических задач.

В четвёртой главе "Деятельностный подход к обучению математике как методическая основа формирования общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач" описаны основные виды деятельности, осуществляемой в процессе работы над задачей, методы систематизации задач и упорядочивания их систем, способствующие регулярному использованию в обучении основных поисковых ресурсов, рассмотрены перспективы дальнейшего теоретического изучения исследуемой проблемы.

В заключении подведены итоги исследования и сформулированы сделанные на их основе выводы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

I. Для построения теории, описывающей обучение школьников логическому поиску решения математических задач, необходимо знать её психолого-педагогический базис. Эта проблематика рассмотрена в первой главе диссертации. В современной психологии отчётливо прослеживаются два основных подхода к трактовке понятия "задача". Первый подход состоит в том, что задача — это объективное отражение той внешней ситуации, в которой разворачивается целенаправленная деятельность субъекта. Задача не существует вне проблемной ситуации. Такие психологи, как Г.А. Балл, А.Н. Леонтьев, Я.А. Пономарёв, JI.JI. Гурова, К.А. Славская и др. рассматривают задачу как проблемную ситуацию, в которой действует субъект. Второй подход состоит в том, что задача трактуется как "ситуация внешней деятельности", которая может быть проанализирована и описана в отрыве от субъекта, осуществляющего деятельность. Такие учёные, как A.B. Брушлинский, A.M. Матюшкин, JI.M. Фридман и др. разграничивают понятия задачи и проблемной ситуации в целях более глубокого их анализа. В этом случае задача рассматривается как сложный объект (система), не требующий для своей характеристики субъекта действия.

Эти два подхода обусловлены тем, что задача как сложный объект (система) содержит два вида информации: субъективную и объективную информацию. Это обстоятельство предопределяет как субъективный, так и объективный поиск решения задачи, причём на основе субъективной информации психологический поиск решения задачи выполняет реальный субъект, а на основе объективной информации логический поиск решения выполняет абстрактный субъект. В исследовании обосновано, что логический поиск решения задачи является неотъемлемой частью психологического поиска. Разграничение этих видов поиска может быть выполнено только теоретически с целью более глубокого их анализа. Сущность психологического поиска в диссертации описана как внешняя структура поискового процесса, суть логического поиска - как внутренняя структура. Так как она определяется объективной информации, содержащейся в задаче, предметное содержание внутренней структуры процесса поиска зависит от специфики предметной области, к которой относится задача, поэтому оно может быть установлено лишь с учётом этой специфики.

Поскольку логический поиск решения школьных математических задач предопределяется только объективной информацией, содержащейся в задачах, в качестве психолого-педагогической основы исследования принят концептуальный подход к пониманию сущности задач, предложенный A.M. Матюшки-ным. Согласно этому подходу, задача может существовать объективно, но эта концепция не исключает существования задачи и в мышлении субъекта, решающего её. Сущность логического поиска решения математических задач детерминируется только самой задачей, следовательно, необходимо изучить специфику задач, и то, как она обусловливает процесс логического поиска их решения, что позволит осмыслить суть обучения логическому поиску решения задач. Это предопределяет разработку основных научных положений исследования на основе одного исходного понятия - "математическая задача".

II. В диссертации обосновано, что поисковой деятельности, выполняемой в ходе решении задач, в наибольшей степени адекватен третий тип ориентировки учения школьников (ПЛ. Гальперин Н.Ф. Талызина и др.), поскольку он основан на том, что учитель предоставляет учащимся метод анализа объектов (математических задач), с помощью которого они составляют ориентировочную основу действий, выполняемых в ходе решения задач данного класса, включающую в себя генерирование идей решения задачи и отыскание совокупности теоретических фактов, используемых в её решении.

Предельно общая схема составления полной ориентировочной основы действий (присущей третьему типу ориентировки учения) фактически представляет собой процесс поиска решения учебной задачи в её понимании, предложенном Д.Б. Элькониным (в диссертации принято это понимание учебной задачи). В данной трактовке учебная задача задаёт общий способ решения или принцип подхода к выполнению решения многих частных задач. Метод использования учебных задач - один из базисных элементов теории учебной деятельности (JI.C. Выготский, А.Н. Леонтьев, В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, H.A. Менчинская и др.). Данная теория предопределяет формирование у школьников научно-теоретического типа мышления, поэтому целенаправленное обучение логическому поиску решения задач вносит определённый вклад в развитие теоретического мышления школьников.

Таким образом, сущность психолого-педагогического аспекта процесса обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач состоит в следующем. Необходимо обучать школьников составлению ориентировочной основы действий, которые нужно выполнить, отыскивая способ решения конкретной задачи. Но многообразие школьных математических задач не позволяет использовать ориентировочную основу действий, применимую для данной задачи, в ходе решения задач другой разновидности. Поэтому необходимо разработать общий метод, который позволил бы школьникам составлять ориентировочные основы действий для каждой конкретной задачи. Формирование общего умения выполнять логический поиск решения задач заключается в том, чтобы на основе этого метода научить школьников составлению конкретной ориентировочной основы действий, выполняемых в решении данной задачи, а также её непосредственному применению в процессе поиска решения этой задачи. Помогая учащимся в составлении ориентировочной основы действий, учитель побуждает их к действиям, но не указывает конкретные действия, которые им нужно выполнить. Например, если в решении задачи требуется применить средства теории, которая не была задействована для её формулирования, учителю следует в первую очередь добиваться от школьников того, чтобы они осознали саму необходимость отыскания теорий, аппарат которых может быть использован в решении задачи.

III. Выявлению специфики школьных математических задач, предопределяющей сущность поисковой деятельности, а также особенности процесса обучения поиску их решения, посвящена вторая глава диссертации.

Анализ публикаций и научных трудов по исследуемой проблеме позволил сделать вывод о том, что в настоящее время стала практически очевидной

необходимость в теоретическом исследовании проблемы обучения учащихся общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач, основанном на теоретико-методических характеристиках задач, которые помимо описания всего многообразия задач позволили бы отразить специфику школьной математики, проявляющуюся в контексте изучаемой в диссертации проблемы. Следовательно, исходным положением данного исследования может быть лишь трактовка понятия "задача", удовлетворяющая указанным требованиям, и позволяющая разрабатывать его основные теоретические положения, исходя из своей сущности.

В качестве исходного положения выбрана трактовка понятия "задача", предложенная Ю.М. Колягиным и дополненная В.И. Крупичем (которым введено понятие основного отношения, реализованного в задаче, ставшего составной частью её информационной структуры). В данной трактовке понятие "задача" представляет собой диалектическое единство информационной (внешней) и внутренней структур (учение о внутренней структуре задачи создано В.И. Крупичем). Информационная структура задачи состоит из пяти компонентов: S = (А, С, R, D, В), где А - условие задачи, В - её требование, то есть искомое (искомые) и отношения между ними, С - теоретический базис решения задачи, D — способ её решения, R — основное отношение, реализованное в задаче. Задача является школьной математической, если её теоретический базис С состоит только из теоретических фактов, относящихся к школьному курсу математики. Эта трактовка понятия "задача" описывает любые математические задачи, поскольку не содержит каких-либо ограничений в плане видов задач (будь то задачи на доказательство или построение и т. п.), теорий, которые применяются для их формулирования и решения, специфики самих задач (уравнения, геометрические задачи, сюжетные задачи и т. д.) и многих других факторов. Поэтому она была выбрана в качестве исходного положения данного исследования.

Исходя из количества неизвестных компонентов, содержащихся в информационной структуре задачи, Ю.М. Колягиным предложена типология задач. В данной работе приняты во внимание шесть информационных структур задач, в каждой из которых известен компонент А - условие задачи, что почти всегда имеет место для школьных математических задач. В.И. Крупичем установлена следующая типология задач: I тип - ACDB и ACDX, - алгоритмические задачи (примером является квадратное уравнение); II тип - АСХВ и ACXY, - полуэвристические задачи (например, задача: "Найти объём конуса, образующая которого равна 8 м, а угол между образующей и радиусом основания равен 60°"); III тип - AXYB и AXYZ, - эвристические задачи (таковой является, например, задача: "Решить уравнение 2'°"" +5х'°!!'г =36", если её предложить школьникам, не изучавшим следующего свойства логарифма числа: = Ь'щ ", поскольку без его использования решить это уравнение не представляется возможным).

В эту типологию (с известным компонентом А) не вошли задачи типов AXDB и AXDY. В них неизвестен теоретический базис, но известен способ решения. Для математических задач это не имеет места, поскольку теоретический базис - это теоретическое обоснование способа решения, следовательно, если известен способ решения, то должен быть известен и теоретический базис. За-

дачи типа АСОВ не рассматриваются при изучении проблемы обучения поиску решения задач, так как в них известен способ решения. Таким образом, в данной работе исследуются задачи только пяти типов: АСОХ, АСХВ, АСХУ, АХУВ, АХУг. В.И. Крупичем обосновано, что основное отношение Я не влияет на типологию задач, поэтому оно не учитывалось в её выявлении.

В ходе исследования показано, что все школьные математические задачи, исходя из смысла требования, содержащегося в их формулировке, могут быть разделены на шесть основных видов: 1) задачи на нахождение; 2) задачи на доказательство; 3) задачи на построение; 4) задачи на исследование; 5) конструктивные задачи; 6) задачи, решаемые приведением конкретного примера.

Логика построения теории предопределила разделение всех школьных математических задач на четыре класса в зависимости от того, каким образом выполняется их решение: 1) задачи, в решении которых используется лишь известные алгоритмы, причём непосредственно (то есть без выполнения преобразований, выходящих за рамки предметного содержания алгоритма); 2) задачи, в решении которых непосредственно применяются только известные стандартные методы и алгоритмы; 3) задачи, в решении которых допускается использование стандартных методов (и алгоритмов), после выполнения преобразований; 4) задачи, в решении которых стандартные методы не применяются ни для какой стратегии поиска. Также к четвёртому классу отнесены задачи, в решении которых применяются общие методы решения задач. Под стандартным в диссертации понимаются такие методы, сущность которых может быть выражена теоремой (с помощью теоремы можно выразить сущность метода оценки, применяемого в решении уравнений и т. п.), а под общими - методы, сущность которых выражена совокупностью общих указаний по их применению в решении задач (метод координат, метод геометрических мест и др.).

Логикой дальнейшего развития теоретических положений работы обусловлена необходимость выделения лишь четырёх типов ситуаций, определяемых количеством теорий, средствами которых задача сформулирована и решена: 1) задача сформулирована и решена средствами одной теории; 2) задача сформулирована средствами одной теории, но решена с привлечением аппарата дополнительных теорий; 3) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена только их средствами; 4) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена с привлечением арсенала дополнительных теорий. Это названо четырёхаспектной типологией теоретического базиса задач.

Ю.М. Колягиным обосновано, что тип информационной структуры данной задачи зависит от того на каком этапе обучения она предложена учащимся, поэтому в диссертации информационная структура задачи определяется только в зависимости от места этой задачи в школьном курсе математики. Логика дальнейшего развития исследования позволила установить, что с точки зрения субъекта, решающего конкретную математическую задачу, её информационная структура обусловливает информационную структуру процесса логического поиска решения задачи. Эта структура имеет вид "Б = (*А, *С, О, *В). Здесь *А состоит из её условия и результатов, полученных в ходе интерпретации, равносильной переформулировки, а также прочих преобразований условия, не

приводящих к нарушению логической равносильности данной задачи. *В состоит из требования данной задачи, понимаемого только в смысле побудительного предложения, если искомое в задаче неизвестно, и понимаемого и в качестве побудительного предложения, и искомого, если последнее известно, а также результатов, полученных в ходе интерпретации, равносильной переформулировки требования (искомого, если оно известно и допускает интерпретацию), прочих преобразований, не приводящих к нарушению логической равносильности данной задачи. *С включает в себя либо сам теоретический базис задачи, либо определённый круг теоретических фактов, из которых этот базис в конечном итоге вычленяется. Под Э понимается поиск решения задачи. Поскольку в процессе поиска решения задача расчленяется на подзадачи, то каждая их них может иметь какое-либо основное отношение, может быть, не совпадающее с основным отношением в исходной задаче. Каждое такое основное отношение ( Я) является "производным" от исходного основного отношения. Установлено, что существует пять типов информационных структур процесса логического поиска решения задач: *А*С'0 X, *А*С*Х*В, *А С*Х У, *А*Х*У*В, *А'Х*У*Л Для задач типа АСЭХ существует только один тип информационной структуры поиска - А С Б X. Для задач типа АСХВ имеют место информационные структуры поиска типов *А*С X В и А*Х*У В. Для задач АСХУ - *А*С*Х*У и *А*Х*У*2, для задач АХУВ - *А'Х*У*В, для задач АХУг - 'А'х'у'г.

Логика развития исследования потребовала рассмотрения вопроса о расчленении задачи на подзадачи. Любая школьная математическая задача (за исключением решаемой в один этап) расчленяется на подзадачи, каждая из которых составляет отдельный этап решения задачи. Показано, что расчленение может быть индифферентным (если каждую из подзадач можно сформулировать безотносительно к результату решения всех остальных подзадач) и поэтапным (если логика решения последующей подзадачи детерминируется результатом решения предыдущей). Каждая подзадача является отдельной математической задачей, так как удовлетворяет трактовке понятия "задача", принятой в диссертации. Таким образом, подзадача, которую уже невозможно расчленить на подзадачи, является структурной единицей системного анализа школьных математических задач (в контексте исследуемой проблемы). Каждой подзадаче соответствует некоторая идея её решения. Другой подзадаче может соответствовать иная идея решения, поэтому идея, реализуемая для каждой из подзадач, названа локальной. Под идеей решения задачи в диссертации понимается отображение в сознании субъекта данных, имеющихся в информационной структуре задачи (и появляющихся в качестве промежуточных результатов её решения), позволяющее понять их смысл и выполнить нахождение предметного содержания неизвестных компонентов её информационной структуры. Такая трактовка обусловлена тем, что решением задачи, согласно принятому в диссертации концептуальному подходу, является нахождение предметного содержания всех неизвестных компонентов в её информационной структуре.

Итак, решая задачи, фактически субъекту необходимо выдвигать локальные идеи её решения. Таким образом, локальная идея является структурной единицей процесса поиска решения задачи. Следовательно, обучение логиче-

скому поиску решения задач в конечном итоге - это обучение выдвижению и реализации локальных идей решения задачи. Исходя из этого, всё содержание диссертации направлено на то, чтобы раскрыть сущность обучения выдвижению и реализации локальных идей решения задачи. Речь идёт не только о непосредственных действиях, направленных на достижение этой цели в ходе решения данной задачи, но и об опосредованных факторах, например, регулярности обучения поиску решения задач н т. д. В исследовании обосновано, что основная трудность обучения поиску решения задач сопряжена с использованием в обучении задач (и подзадач) с информационной структурой поиска типов *А Х*У'В и 'А Х'У'Т, относящихся к третьему и четвёртому классам, для которых невозможно индифферентное расчленение на подзадачи (они названы основными поисковыми задачами).

IV. Раскрытие сущности процесса обучения школьников логическому поиску решения задач предполагает исследование сути процедуры поиска решения. В диссертации разработан ряд опорных схем и механизмов, которые совместно теоретически моделируют внутреннюю структуру процесса поиска решения задачи. В качестве примера приведём схему № 1 и механизм № 1, частью которого является эта схема.

СХЕМА № 1

(выявления условия и требования в формулировке задач)

1. Выяснить, в чём заключается смысл побудительного предложения в формулировке задачи (оно выражено руководством к действии?, вопросом и т. п.).

2. Указать объекты (фигуры, тела, понятия и т. д.), по отношению к которым сформулировано это побудительное предложение. Выяснить, содержится ли в формулировке информация об объектах (фигурах, телах, понятиях и т. д.), к которым не относится это побудительное предложение.

3. Установить взаимосвязь между всеми этими объектами (отношение принадлежности, взаимную обусловленность и т. п.). Условием данной задачи будут установленные объекты и связи между ними, требованием - смысл побудительного предложения.

4. Переформулировать задачу так, чтобы условие и требование были сформулированы в явном виде.

МЕХАНИЗМ № 1

(установления принадлежности задачи к тому или иному виду задач)

1. Разграничить в формулировке задачи условие и требование, в случае необходимости воспользоваться схемой № 1.

2. Если требование задачи таково, что в результате её решения нужно только получить результат вычислительного характера, - это задача на нахождение.

3. Если в задаче требуется лишь построить фигуру (в том числе, график функции) или комбинацию фигур - это задача на построение.

4. Если требование задачи состоит в выявлении искомого вместе с указанием условий его существования, выяснении вопроса об обладании данным объектом какими-либо свойствами и т. п., - это задача на исследование.

5. Если суть требования данной задачи состоит в том, чтобы составить условие задачи на основе некоторых сведений о ней - это конструктивная задача.

6. Если в задаче требуется доказать некоторое утверждение - это задача на доказательство.

7. Если в задаче требуется лишь установить возможность (невозможность) существования некоего факта, она относится к виду задач, решаемых приведением конкретного примера. Если таким способом её решить не удаётся, она относится к виду задач на доказательство, причём "в общем виде" доказывается возможность (или невозможность) выполнения требования. Здесь возможность (невозможность) выполнения требования является искомым в задаче, и оно известно.

Ниже (рис. 1) схематически изображена теоретическая модель внутренней структуры процесса логического поиска решения задач.

Схема 1.

Рис. 1. Схематическое представление процесса поиска решения задачи. (Заметим, что механизмы и схемы, содержащиеся в диссертации, в общем случае не предназначены для непосредственного использования учащимися.

Они нужны для осмысления сути процесса поиска и действий, которые учитель должен выполнять в обучении школьников поиску решения задач.)

Таким образом, системный подход позволил выявить все основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач (с известным компонентом А в их информационной структуре), выделить структурную единицу системного анализа задач (подзадачу) и структурную единицу процесса логического поиска их решения - локальную идею решения задачи, сформулировать ряд основных положений обучения выдвижению локальных идей решения задачи. Всё это составляет теоретико-методологические основы данного исследования. Дальнейшие теоретические положения работы построены на этом теоретико-методологическом базисе.

V. В процессе логического поиска решения задачи важно определить, как связаны друг с другом теоретические факты, используемые в обосновании её решения. Поэтому в третьей главе диссертации в качестве основного ресурса процесса поиска решения задач представлены внутрипредметные связи. Проблема реализации внутрипредметных связей в обучении математике ещё не получила в науке и практике приемлемого решения, несмотря на многочисленные публикации и исследования таких авторов, как К.С. Муравин, В.А. Далингер, В.А. Богус, Г.В. Дорофеев, Л.С. Капкаева, В.В. Крылов, В.Л. Крюкова, Г.Б. Лу-дина, У.М. Махсудова, В.М. Монахов, В.Ю. Гуревич и др. Это объясняется многоаспектностью данной проблемы. В самом деле, внутрипредметные связи - это эффективное средство, используемое в решении многих проблем: интенсификации обучения, системности знаний и т. д., в том числе и проблемы обучения поиску решения задач.

Принятый в диссертации концептуальный подход к выполнению данного исследования позволил установить наличие только десяти основных принципиально различных видов реализации внутрипредметных связей: 1) применение одинаковых идей в решении задач, обусловленных общими логическими закономерностями, содержащимися в их формулировках; 2) применение одинаковых идей в решении задач, причём формулировки данных задач общих логических закономерностей не содержат; 3) использование базисных задач для решения некоторой совокупности задач; 4) использование дополнительных задач в решении основной задачи; 5) переформулировка исходной задачи, при которой равносильно меняется и условие, и требование; 6) непосредственный аналитический переход от одной теории к другой в ходе решения задачи; 7) решение задач, сформулированных средствами одного теоретического базиса с помощью аппарата других теорий; 8) одновременное использование сразу нескольких теорий в процессе решения задачи; 9) независимое решение одной и той же задачи с помощью арсенала разных теорий; 10) различные варианты решения одной и той же задачи средствами лишь той теории, на основе которой она была сформулирована.

В процессе исследования изучены дидактические возможности каждого из видов реализации внутрипредметных связей, обосновано, что непосредственно генерированию локальных идей в решении задач способствуют только первый, второй, третий, пятый, шестой, седьмой и восьмой виды. Также выяв-

лены возможности применения внутрипредметных связей для осуществления аналитико-синтетического поиска решения задачи, причём речь идёт не только о видах реализации внутрипредметных связей, но и самой их сущности, состоящей в том, что любой математический факт в науке не существует обособленно, он всегда связан с какими-либо другими фактами. Во многих случаях наличие внутрипредметных связей обусловливает использование тех или иных видов их реализации в качестве эвристик - поисковых ресурсов решения задачи. С другой стороны, эти виды способствуют более глубокому пониманию школьниками сущности самих внутрипредметных связей, что способствует развитию у школьников умения выдвигать локальные идеи решения задачи.

VI. Изучение внутрипредметных связей в качестве поискового ресурса процесса решения математических задач позволило построить полную ориентировочную основу действий (ПООД), которые выполняет субъект, осуществляющий логический поиск решения задачи. Она может применяться к поиску решения любой школьной математической задачи, вне зависимости от её теоретико-методических характеристик, поэтому ПООД представлена так, чтобы на том или ином шаге (начиная со второго, для корректно сформулированных задач) её применение было приостановлено, если задачу удалось решить. В данной диссертации ПООД понимается не как универсальный способ решения математических задач, а скорее как упорядоченная совокупность подходов к выполнению поиска их решения и даже высокий уровень умения пользоваться ей не даёт субъекту гарантии решения конкретной задачи. Фактически представленная ниже ПООД - это метод анализа школьных математических задач, характерный для третьего типа ориентировки учения. Решая какую-либо задачу, учащиеся с помощью неё должны будут составить конкретную ориентировочную основу действий, выполняемых в ходе поиска решения данной задачи.

Полная ориентировочная основа действий, выполняемых субъектом в процессе поиска решения задач, структурирована пятью взаимодополняющими блоками. На уровне первого блока субъект анализирует формулировку задачи на предмет выявления и оценивания возможных путей её решения. На уровне второго блока субъект пытается применить в отыскании способа решения данной задачи известные ему на данный момент обучения стандартные методы или алгоритмы решения задачи, известные интерпретации, которые могут быть использованы в решении задач данной разновидности (например, систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно интерпретировать как пару прямых на плоскости, заданных этими уравнениями), базисную задачу, если она задана и т. п. На уровне третьего блока задача не расчленяется на подзадачи. Здесь предпринимается попытка использовать в решении задачи известные субъекту идеи, в том числе и те, которые применялись в решении аналогичных задач. На уровне четвёртого блока задача расчленяется на ряд подзадач, причём здесь учитывается четырёхаспектная типология их теоретического базиса. На уровне этого блока основное внимание уделено решению основных поисковых задач, относящихся к числу полуэвристических. На уровне пятого блока аналогичные поисковые действия выполняются в ходе решения эвристических задач. Представим ПООД в виде блок-схемы (рис. 2).

__Схема 2.

I ЗАДАЧА I I. БЛОК - ОЦЕНОЧНЬиГ*^

ОЦЕНОЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ: а) корректность формулировки (схема № 1); б) отношение к виду и подвиду задач (механизм № 1); в) определение теоретического базиса формулировки;

_г) известность (неизвестность) способа (метода) решения задачи.

ОБОБЩАЮЩАЯ И СОБСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ (схемы № 2, № 3, VI вид связей).

I II. БЛОК - ПРИМЕНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ СРЕДСТВ j

1. Если задача первого или второго класса, применить известный алгоритм или стандартный метод. 2. Если нет, применить в решении задачи известную интерпретацию (если она существует для задач этого класса) (V вид связей) и перейти к блоку I. 3. Если это невозможно, то в том случае, когда задача сформулирована средствами нескольких теорий, непосредственно применить VIII вид связей. 4. Задана ли для данной задачи базисная задача?

НЕТ. Перейти к блоку III. ДА. Применяется ли она непосредственно?

НЕТ. Перейти ДА. Применить базисную задачу, к блоку III. Если задача не решена, перейти к блоку 1.

111. БЛОК - ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗВЕСТНЫХ ИДЕЙ

Задача сформулирована средствами: Одной теории. | Нескольких теорий.

1. Установить тип информационной структуры процесса поиска решения задачи ( А X У В или А X V Т).

2. Не расчленяя задачу на подзадачи, задействовать в поиске её решения I или II виды связей.

1 IV. БЛОК - РАСЧЛЕНЕНИЕ ЗАДАЧИ НА ПОДЗАДАЧИ |

1. Расчленить задачу на подзадачи индифферентно (применить признаки индифферентного расчленения и механизм № 2). Возможно, после этого задача будет решена. Если нет, то перейти к блоку I.

2. Если это невозможно или получились подзадачи, которые расчленяются на подзадачи поэтапно, то:

Задача сформулирована средствами:

Одной теории.

Нескольких теорий.

1) за пределы теории не выходим:

а) применить совместно механизмы № 3 и № 4, где их действие ограничено данными рамками.

2) за пределы теории выходим:

а) применить VII (VI) вид связей;

б) в случае неудачи применить VII (VI) вид связей несколько раз, совместно с механизмами № 3 и № 4;

в) в случае неудачи применить V вид связей.

1) за пределы теорий не выходим:

а) непосредственно применить VIII вид связей;

б) в случае неудачи применить VI вид связей (в пределах средств исходных теорий);

в) в случае неудачи совместно применить механизмы № 3 и № 4.

2) за пределы теорий выходим:

а) непосредственно применить VIII вид связей;

б) в случае неудачи применить VII (VI) вид связей, для VII вида использовать совместно механизмы 3 и № 4;

в) в случае неудачи применить V вид связей.

3. В случае неудачи применить совместно механизм № 4 и III вид связей.

Возможно, после этого задача будет решена. Если нет, то перейти к блоку I. ^^Еслитадач^е^ешен^^

V. БЛОК-РЕШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ВЫПОЛНЯЕТСЯ ПОИСК БАЗИСНОЙ ЗАДАЧИ КАК ОДНОЙ ИЗ ПОДЗАДАЧ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ

_В ПРОЦЕССЕ ПОИСКА ЕЁ РЕШЕНИЯ (психолого-дидактическая установка)._

Задача сформулирована средствами:

Одной теории.

Нескольких теорий.

За пределы теории не выходим.

За пределы теории выходим.

За пределы теорий не выходим.

За пределы теорий выходим.

Во всех четырёх случаях поиск решения выполняется как в блоке IV.

Рис. 2. Схематическое представление ПООД. 25

По сути, ПООД есть обобщённая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач. Сущность этого умения состоит в знании основных поисковых ресурсов, содержащихся в ПООД, осознании этих ресурсов как поисковых действий общего характера (то есть применимых к задачам многих разновидностей), понимании того, что в процессе поиска решения часто нужно реализовывать идеи, ранее отвергнутые как бесперспективные, и в овладении всем интегративным комплексом поисковых действий, составляющих ПООД. Таким образом, общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач - не альтернатива частным поисковым умениям. Это базис, опираясь на который, субъекту необходимо определять основные стратегии поискового процесса, в рамках которых далее он может применять и частные приёмы поиска.

VII. В диссертации обосновано, что основной причиной неумения способных учащихся выполнять поиск решения математических задач является неумение самостоятельно организовывать и логически упорядочивать свою деятельность в осуществлении поиска решения задачи, которое, в свою очередь, объясняется рядом факторов. Во-первых, значительная часть ресурсов процесса логического поиска решения задач (содержащихся в ПООД) в обучении школьников целенаправленно и регулярно практически не используется. Во-вторых, большинство из этих ресурсов школьниками воспринимается лишь как конкретное средство, применяемое только для решения задач, аналогичных данной, но не осмысливается как общее поисковое действие, что не позволяет применять эти ресурсы в обучении в качестве средства, развивающего общее умение выполнять логический поиск решения задач. В-третьих, в настоящее время в школе доминирует обучение частным поисковым умениям, которые в основном применимы лишь к задачам какой-либо отдельной их разновидности. Для изменения этой ситуации необходимо чтобы школьники знали поисковые ресурсы, содержащиеся в ПООД, и осознавали сущность общего умения выполнять логический поиск решения задач, моделью которого является ПООД.

Весь процесс целенаправленного обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения задач целесообразно разделить на три этапа. На первом этапе руководящая роль принадлежит учителю, который управляет поисковой деятельностью учащихся. Здесь его обучающая деятельность, в первую очередь, состоит в формировании у учащихся основных стандартизированных поисковых умений (они отражены в первых трёх блоках ПООД), а затем - в обучении их использованию ПООД в ходе решения задач. На этом уровне основное внимание уделено обучению поиску решения задач с информационной структурой поиска типов АХ УВи AXYZ, относящихся к третьему и четвёртому классам, для которых невозможно индифферентное расчленение на подзадачи и непосредственное применение стандартных методов решения (основные поисковые задачи). На втором этапе свою поисковую деятельность организуют и логически упорядочивают сами учащиеся, но речь идёт об их деятельности, выполняемой с помощью и под контролем учителя. Третий этап - это самостоятельное индивидуальное решение задач школьниками. Педагогический эксперимент показал, что третий этап в обучении в полной мере

имеет место, в основном, к моменту окончания учащимися школы. Первый и второй этапы по продолжительности могут занимать один-два учебных года.

Ниже (рис. 3) представлена блок-схема, демонстрирующая иерархическую упорядоченность процесса обучения логическому поиску решения задач.

Схема 3.

Рис. 3. Иерархическая упорядоченность обучения поиску решения задач.

VIII. Также в третьей главе диссертации была рассмотрена проблема повышения эффективности использования внутрипредметных связей в обучении школьников математике, поскольку это способствует регулярности задействования видов их реализации как эвристик процесса поиска решения задач. Эффективность реализации внутрипредметных связей для данной системы задач вычисляется по формуле: Q = N-T и выражается в процентах, где N - эффективность системы (в зависимости от использованных в её построении тем и подвидов задач школьного курса математики), т - отношение количества задач, реализующих внутрипредметные связи, к общему количеству задач в системе. Под подвидом задач понимается часть данного вида задач школьного курса математики, в задачах которой одинаковое требование (с точностью до его редакции). Например, подвидами могут быть "Уравнения, неравенства и их системы", "Преобразование графиков" и т. д. Для вычисления числа Т в диссертации приняты специальные соглашения, поскольку практически все методы какой-либо дидактометрии могут быть введены только посредством постулирования. Для определения числа N используется графическая интерпретация (рис. 4) и несколько соглашений, сформулированных для неё. В первом квадранте координатной плоскости вдоль горизонтальной оси фиксируются темы (теории), изучаемые в школьном курсе математики. Вдоль вертикальной оси фиксируются подвиды задач школьной математики. Единичный отрезок на обеих осях одинаковый. Задачи, принадлежащие одной теме (одному подвиду), будут располагаться внутри вертикальной (горизонтальной) полосы единичной ширины. Каждый единичный квадрат - модель ти-

па СВ, каждый вертикальный прямоугольник единичной ширины - модель типа СВ , каждый горизонтальный прямоугольник единичной ширины - модель типа С В, любая другая фигура - модель типа С'в'. Символ (*) означает, что в модели данного типа содержатся задачи, имеющие отношение к нескольким темам и (или) подвидам задач. Теоретически и экспериментально установлено, что внутрипред-метные связи достаточно эффективны, если 0 > 50%.

В

в4 •

В3

В2 • • •

В, ____

О С| С2 Сз С4 С5 Сб С

Рис. 4. Графическая интерпретация оценки эффективности реализации внутрипредметных связей.

IX. Теоретически обосновывая методику обучения школьников логическому поиску решения математических задач, необходимо рассмотреть прикладной аспект исследуемой проблемы. Этому посвящена четвёртая глава диссертации. В ходе овладения применением каждого поискового ресурса школьникам необходимо осознать степень его общности, осмыслить его как поисковое действие. Для этого им надо предлагать задачи, в ходе решения которых нужно выделять действия, адекватные каждому из поисковых ресурсов. Это является основой формирования у школьников способности логически рассуждать в ходе обучения их умению задавать себе вопросы, выполняя поиск решения задачи. Следовательно, поисковые ресурсы, описанные во второй и третьей главах, могут выступать в качестве средства, реализующего деятельно-стный подход в обучении логическому поиску решения школьных математических задач, поскольку в современной теории и методике обучения математике утвердилось мнение, что деятельностный подход, в частности, лежит в основе обучения учащихся способам логических рассуждений, самостоятельному "открытию" теоретических фактов, способов решения задач, и предполагает выделение совокупности действий, адекватных понятиям, теоремам и методам решения задач. Основных поисковых ресурсов довольно много, поэтому возникает проблема систематизации обучения их освоению, а так как они реализуют деятельностный подход в обучении математике, то решать данную проблему целесообразно на его основе. Справедливость этого утверждения косвенно подтверждает тот факт, что в публикациях и исследованиях по проблеме систематизации школьных математических задач таких авторов, как К.И. Нешков, А.Д. Сёмушкин, В.П. Радченко, Л.Н. Скаткин, Е.В. Смыкалова, А. Фуше, А.Я. Цу-карь, Б.И. Аргунов, М.Б. Балк, М.И. Башмаков, Э.Г. Готман, Ф.А. Орехов, Т.М. Савина и др. рассмотрены другие подходы к её решению, однако актуальность проблемы обучения логическому поиску решения задач в настоящее время не снята, что обусловливает поиск иных путей её исследования.

Деятельностный подход к обучению математике исследовался многими учёными (А.А. Столяром, О.Б. Епишевой, Г.И. Саранцевым, М.А. Родионовым, Р.А. Утеевой, С.Л. Валитовой, О.Ю. Глуховой, Г.Н. Ермаковой и др.) Однако в работах этих авторов деятельностный подход к обучению математике реализуется посредством описания деятельностной природы самого знания. Настоящее исследование предполагает теоретическое изучение сущности школьных математических задач, то есть оно выполнено на ином теоретико-методологическом базисе. Поэтому в контексте исследуемой в диссертации проблемы необходимо выявить виды деятельности, раскрывающие сущность теоретических положений, описывающих процесс поиска решения математических задач и обучение поиску их решения (изложенных во второй и третьей главах диссертации). Таким образом, в данной работе в рамках деятельностного подхода исследуется детерминация специфических особенностей деятельности субъекта (выполняемой в процессе поиска решения задач) всеми выявленными ранее теоретико-методическими характеристиками школьных математических задач, и обусловливаемыми ими видами реализации внутрипредметных связей.

В ходе исследования были выявлены девять основных видов деятельности, выполняемой в процессе работы над задачей: 1) исследование формулировки задачи; 2) освоение навыков, используемых в решении задач; 3) изучение (или использование) метода (стандартного или общего) решения задач; 4) изучение (или использование) нового вида реализации внутрипредметных связей; 5) изучение (или использование) аналитического метода поиска решения задачи; 6) изучение (или использование) синтетического метода поиска решения задачи; 7) составление математических задач учащимися; 8) работа с решённой задачей; 9) овладение действиями, адекватными конкретному блоку ПООД (в ходе решения задач).

Решая конкретную математическую задачу, субъект выполняет несколько видов деятельности, значимость которых для решения данной задачи, очевидно, неодинакова. Среди них практически всегда можно указать ту деятельность, которая для решения этой задачи является наиболее значимой. В диссертации такая деятельность названа доминирующей. В основу систематизации школьных математических задач, осуществляемой в контексте деятельностного подхода к обучению поиску их решения, положена доминирующая деятельность учащихся. Смысл этой систематизации в том, что в одну систему объединяются задачи, предопределяющие одну доминирующую деятельность, в другую систему - задачи, детерминирующие другую доминирующую деятельность. Под системой в данном случае понимается множество элементов, на котором реализовано данное отношение с фиксированными свойствами (А.И. Уёмов). Под "данным отношением" будем понимать вид доминирующей деятельности. Следует учесть, что задачи данной системы могут предопределять одну доминирующую деятельность, выполняемую в ходе их решения, или это не имеет места по причине того, что одну такую деятельность задачи данной системы детерминировать не могут. Таким образом, можно составлять системы задач с одной доминирующей деятельностью (монодоминантные) и несколькими доминирующими видами деятельности (полидоминантные). Для полидоминантных

систем характерно доминирование нескольких видов деятельности, но и среди них можно выделить наиболее значимый вид в пределах дидактических функций данной системы задач, который является главным фактором систематизации. Таким образом, полидоминантную систему в первую очередь составляют на основе главного фактора систематизации, а затем поочередно учитывают все остальные доминирующие виды деятельности, предопределяемые образующими её задачами. Следовательно, задачи, составляющие полидоминантную систему, совместно обусловливают наличие новых интегративных качеств, не присущих каждой из задач в отдельности, то есть удовлетворяют и другой трактовке понятия "система" (В.Г. Афанасьев).

В контексте дальнейших исследований показано, что полидоминантные системы задач целесообразно разделить на два типа: обучающие и поисковые. Обучающими системами будут такие, в которых главным фактором систематизации является какой-либо вид деятельности за исключением первого (он применяется для монодоминантных систем) и девятого. Поисковыми названы системы, в которых главным фактором систематизации является девятый вид деятельности. В применении обучающих систем собственно поиск решения задач имеет второстепенное (хотя и важное) значение, а на первом месте находится овладение учащимися всеми поисковыми ресурсами. Поэтому для таких систем задач в качестве главного фактора систематизации используются второй-восьмой виды деятельности, так как эти виды обусловливают действия, непосредственно направленные на освоение всего инструментария поискового процесса. Поисковые системы предназначены непосредственно для обучения школьников выполнению логического поиска решения задач. В диссертации разработаны методы, с помощью которых могут быть составлены обучающие и поисковые полидоминантные системы школьных математических задач.

X. В одной системе задач невозможно учесть все поисковые ресурсы, которые необходимо задействовать в целенаправленном обучении поиску их решения. Поэтому возникла необходимость в упорядочивании самих систем задач. То есть системы нужно располагать в учебном предмете так, чтобы совместно они охватили все основные поисковые ресурсы. Решая данную проблему, нужно принять во внимание не только тему, изучаемую школьниками в данный момент, но и темы, изученные учащимися ранее. Пропедевтически следует ориентироваться и на темы, которые только предстоит изучать. Этому в значительной мере способствуют внутрипредметные связи. Итак, упорядочивать системы школьных математических задач можно внутри одной текущей темы (внутритематическое упорядочивание), а также в рамках нескольких тем (межтематическое упорядочивание). На рис. 5 схематически изображено внутритематическое и межтематическое упорядочивание двух тем. Условные обозначения этого рисунка таковы: Б I (Б 2) - блоки учебного материала темы; МС, -монодоминантные системы; ПОС, и ППС* - полидоминантные обучающие и поисковые системы, соответственно; ТМ/ - отдельная часть теоретического материала темы, соответствующая данному блоку (в изучении большинства тем после знакомства с частью теоретического материала учащиеся решают некоторое количество задач и т. д.).

В частных случаях в данной теме при осуществлении внутритематическо-го упорядочивания могут быть не задействованы монодоминантные или поисковые полидоминантные системы, что обусловливается спецификой учебного материала. Межтематическое упорядочивание необходимо лишь тогда, когда для некоторых (смежных) тем не может быть в полной мере выполнено внутри-тематическое упорядочивание. Такие темы объединяются в группы с целью их взаимного уравновешивания по параметрам (виды задач, доминирующие виды деятельности, виды реализации внутрипредметных связей), в соответствии с которыми в каждой из них в полной мере не состоялось внутритематическое упорядочивание. С этой целью в системах задач из последующей темы учитывается то, что не нашло места в предыдущей теме. Для осуществления внутри-тематического и межтематического упорядочивания систем школьных математических задач в диссертации разработаны соответствующие методы.

Схема 4.

систем математических задач.

Разумеется, такое упорядочивание систем математических задач не может быть выполнено в ущерб другим методическим аспектам обучения математике, а также с нарушением логики процесса познания и процесса обучения. Поэтому в диссертации рассмотрена проблема изложения теоретических фактов (определений, трактовок понятий, теорем, свойств изучаемых объектов) и предложен такой способ её решения, который, во-первых, обеспечивает сохранение в школьном курсе математики внутринаучных связей, что позволяет избежать нарушений в логике изложения учебного материала без ущерба для качества его усвоения школьниками, а во-вторых, способствует повышению эффективности обучения поиску решения задач. В данном контексте была рассмотрена

проблема наиболее рационального расположения тем, видов и подвидов задач в школьном курсе математики, причём она была рассмотрена и в рамках одного предмета (например, геометрии), и в рамках всей школьной математики. Решение этой проблемы заключается в нахождении факторов, обусловливающих такое расположение изучаемых тем в структуре каждого из предметов (алгебры, геометрии и математического анализа), а также видов и подвидов задач внутри каждой отдельной темы, при котором обучение поиску решения задач является регулярным и систематичным. В её решении были учтены такие факторы, как разделение курса математики на то или иное количество отдельных предметов, реализация внутрипредметных связей и т. д.

Таким образом, обучение логическому поиску решения школьных математических задач в учебном процессе реализуется на основе диалектического единства его процессуальной и содержательной составляющих. Суть первой из них моделирует ПООД, суть второй заключается в упорядочивании процесса обучения, осуществляемом на основе деятельностного подхода, что позволяет регулярно использовать в обучении основные поисковые ресурсы, и даёт возможность учащимся осмыслить их как общие поисковые действия (рис. 6).

Схема 5.

Рис. 6. Общая схема процесса обучения логическому поиску решения задач.

XI. В современной теории и методике обучения математике теоретически описано понятие "математическая задача". В частности, предложены его трактовки, введены понятия внутренней и информационной структуры задачи, охарактеризованы её компоненты, предложены способы оценки сложности и трудности задачи и т. д. Но всё это характеризует лишь саму задачу, но не описывает теоретически процесс поиска её решения. В диссертации предпринята по-

пытка восполнить этот пробел. На схеме 6 проиллюстрирована теоретическая концепция исследования (рис. 7). Суть концепции разъяснена ниже.

Схема 6.

Рис. 7. Иллюстрация теоретической концепции исследования.

Решая математическую задачу, необходимо от её условия (компонент А информационной структуры) прийти к выполнению требования (компонент В). Теоретически описать этот переход невозможно без учёта компонентов Си Э. Но в общем случае компонент С состоит из нескольких теоретических фактов, между которыми надо выявить взаимосвязь, что и позволит обосновать способ решения задачи, а это составляет сущность компонента Э. Таким образом, в процессе поиска решения школьной математической задачи устанавливаются внутрипредметные связи, а его ядром является нахождение предметного содержания компонентов С и О её информационной структуры. На этой основе построена обобщённая модель общего умения выполнять логический поиск

решения школьных математических задач (ПООД), а с её помощью объяснена причина неумения школьников находить способ решения задач. В совокупности с необходимостью осмысления основных поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) как общих поисковых действий, эта причина предопределила осуществление обучения школьников логическому поиску решения задач на основе деятельностного подхода, реализация которого описана с помощью девяти основных видов деятельности. Это дало возможность систематизировать задачи и упорядочить процесс обучения поиску решения задач, сделать регулярным применение основных поисковых ресурсов в обучении школьников.

XII. Педагогический эксперимент по проблеме обучения школьников поиску решения математических задач осуществлялся в период с 1996 по 2007 год. Поисковый этап эксперимента заключался в выявлении основных особенностей обучения решению задач учащихся школ (классов) с углублённым изучением математики. В частности, было установлено, что одну из главных ролей в обучении этого контингента школьников решению задач играют внутрипред-метные связи, реализуемые посредством решения задач. Впоследствии данная проблема была изучена теоретически. Затем экспериментальная работа показала, что даже эффективная реализация внутрипредметных связей не позволяет в полной мере решить проблему обучения школьников решению задач, поскольку данный методический ресурс в его непосредственном применении является лишь необходимым средством, используемым в обучении поиску решения задач. Это дало повод к переосмыслению роли внутрипредметных связей в обучении математике и изучению их возможностей в формировании умения выполнять поиск решения задач. Последующее теоретическое исследование этой проблемы привело к выводу о необходимости формирования общего умения выполнять поиск решения задач в контексте деятельностного подхода к обучению математике, поскольку внутрипредметные связи предопределяют осмысление основных поисковых ресурсов как общих поисковых действий.

В 2002-2007 годах в ряде школ г. Орла и Орловской области был проведён формирующий эксперимент, целью которого стала проверка сформулированной в работе гипотезы. Также в ходе эксперимента было необходимо определить конкретные количественные значения трудности задач, позволяющие ранжировать задачи по этой их характеристике. Экспериментальная работа проводилась, в основном, в классах физико-математического и экономико-математического профиля. В сравниваемых между собой экспериментальных и контрольных классах работал один и тот же учитель математики. Экспериментальное обучение школьников длилось с 7 по 11 класс. В обучении семиклассников выполнялась пропедевтика сведений о математических задачах и специфических особенностях выполнения поиска их решения. Целенаправленное обучение общему умению выполнять логический поиск решения задач осуществлялось с 8 по 11 класс.

В ходе проведения эксперимента были получены некоторые побочные результаты. В частности, было установлено, что отношение задач к одному из уровней трудности является более достоверным критерием этой их характеристики, чем их ранжирование по количественному показателю трудности. Ещё

одним побочным эффектом явилось повышение количественного критерия эффективности реализации внутрипредметных связей в ряде систем, задействованных в обучении поиску решения задач. В экспериментальном обучении были использованы некоторые системы задач, которые применялись в формирующем эксперименте предыдущего диссертационного исследования. В связи с целью настоящего исследования они были незначительно изменены, что и привело к вышеуказанному эффекту. Этот факт можно объяснить тем, что в данной работе внутрипредметные связи рассмотрены как основной ресурс процесса обучения логическому поиску решения задач, поэтому соответствующее построение систем задач, используемых в обучении, сопровождается повышением эффективности реализации внутрипредметных связей. Заметим, что это повышение эффективности для соответствующих систем задач, в принципе, не требовалось, поскольку для каждой из них коэффициент Q составлял около 60%.

В экспериментальном обучении школьников использовались системы задач, составленные на основе теоретических положений, изложенных в диссертации. Можно утверждать, что выдвинутая в исследовании гипотеза будет подтверждена статистически, если различие в умении выполнять поиск решения задач, выявляемое на разных этапах процесса обучения, для учащихся экспериментальных и контрольных классов будет статистически значимым. В конце каждого полугодия эти учащиеся выполняли одинаковые контрольные работы, оцениваемые по традиционной пятибалльной шкале. Для статистической обработки их результатов использовался критерий Манна-Уитни для уровня значимости а = 0,05. Для учащихся одиннадцатых классов различия в умении выполнять поиск решения задач были статистически значимыми, а для учащихся десятых классов различие было статистически значимым за исключением двух случаев (в первом полугодии). Ниже (рис. 8) приведена диаграмма, иллюстрирующая одно из таких сравнений (для учащихся одиннадцатых классов).

Диаграмма 1.

1е

14

12

10

2 О

Рис. 8. Сравнение результатов экспериментального и контрольного обучения.

Также в ходе эксперимента были выделены три основных уровня овладения умением выполнять логический поиск решения задач: высокий; средний; ниже среднего и низкий. Им соответствуют отметки: "отлично"; "хорошо"; "удовлетворительно" и "неудовлетворительно". Установлено, что умением выполнять поиск решения задач 30,2% учащихся экспериментальных классов овладели на высоком уровне, 46,7% - на среднем уровне, 23,1% - на уровне ниже среднего и низком. Приведённые значения являются средним арифметическим

Сравнение уровня сформированности умения решать задачи у учащихся экспериментального и контрольного классов

Высокий уровень Средний уровень Уровень ниже Низкий уровень среднего

9В Экспериментальный класс ^ Контрольный класс

количества отметок "отлично", "хорошо", "удовлетворительно" и "неудовлетворительно", подсчитанным для всех контрольных работ, результаты которых подвергались статистической обработке (рис. 9).

Диаграмма 2.

50,0% 40.0% 30,0% 20.0% 10,0% 0,0%

Показатели уровня сформирован мости умения решать задачи, достигнутого учащимися экспериментальных классов

□ Высокий уровень В Средний уровень И Уровень нижесреднего и низкий

Рис. 9. Сформированное™ умения решать задачи.

Результаты статистической обработки данных, полученных в ходе проведения формирующего эксперимента, позволяют утверждать, что экспериментально подтверждён тезис о том, что для школьника научиться выполнению логического поиска решения математических задач - это значит овладеть умением самостоятельно организовывать и логически упорядочивать свою деятельность в процессе поиска их решения, что удалось большинству учащихся экспериментальных классов к моменту окончания средней школы. Этот качественный критерий проявляется в том, что после длительного целенаправленного обучения школьники акцентируют процесс поиска решения задачи на логическом его аспекте. Опытному учителю нетрудно определить это по качеству ответов учащихся у доски, сущности вопросов, задаваемых ими, и сути попыток выполнения поиска решения тех задач, которые им не удалось решить и т. п.

Обучая школьников поиску решения задач, учитель математики первоначально должен сосредоточить своё внимание на четырёх обстоятельствах. 1. Помогая школьникам выполнять поиск решения задачи, учить их составлению конкретной ориентировочной основы действий, опираясь на сущность внутри-предметных связей. 2. Оказывать учащимся помощь в освоении поисковых ресурсов, способствовать осознанию ими этих ресурсов как общих поисковых действий 3. Помогать учащимся овладевать умением управлять своей деятельностью, выполняемой в процессе поиска решения задач. 4. Регулярно использовать в обучении задачи всех видов и классов, учитывать четырёхаспектную типологию теоретического базиса задач. После этого он может более детально применять в своей работе основные положения данного исследования.

В результате применения всех вышеописанных средств не удалось добиться какой-либо экономии времени, так как умение выполнять поиск решения задачи требует долгосрочного формирования, а кроме того, самостоятельное решение задач школьниками, осуществляемое в обучении математике, также требует немалого количества времени. Как и ожидалось, овладение умением выполнять поиск решения задач учащимися достигается, преимущественно, к моменту окончания ими средней школы. Таким образом, гипотеза, выдвинутая в данном исследовании, в целом экспериментально подтверждена.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Построена теория, целостно описывающая сущность общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, и процесс обучения школьников этому умению, в которой получены результаты, представленные ниже.

1. Выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяемые компонентами их информационной структуры: шесть типов задач (выделены Ю.М. Колягиным и В.И. Кру-пичем); шесть видов задач; четыре класса задач; четырёхаспектная типология их теоретического базиса, позволяющие квалифицировать задачи в контексте обучения поиску их решения. Обосновано, что типологию задач целесообразно описывать с помощью двух понятий: информационной структуры задач и информационной структуры процесса логического поиска решения задач. Первое понятие может быть определено по отношению к месту данной задачи в школьном курсе математики, второе - по отношению к субъекту, решающему её.

2. Выделена структурная единица системного анализа школьных математических задач, которой в рамках исследуемой проблемы является подзадача. Исходя из этого показано, что структурной единицей процесса логического поиска решения задачи является локальная идея (каждая из которых соответствует некоторой подзадаче), а обучение логическому поиску решения задач сводится к формированию умения выдвигать и реализовывать локальные идеи. На основе этого обстоятельства разработана модель внутренней структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач, построенная с помощью опорных схем и механизмов, описывающих основные составляющие процедуры поиска решения задачи. С помощью этой модели выделены основные поисковые задачи, работа с которыми является наиболее важной частью целенаправленного обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

3. Обосновано, что основным ресурсом обучения логическому поиску решения школьных математических задач являются внутрипредметные связи, устанавливаемые в школьном курсе математики. Выявлены десять видов их реализации, которые описывают проявление внутрипредметных связей в процессе решения задач, и являются своеобразными эвристиками, помогающими в выдвижении локальных идей решения задачи. Установлено, что непосредственно выполнению поиска решения задачи способствуют только первый-третий и пятый-восьмой виды реализации внутрипредметных связей.

4. Выявлена сущность общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, и построена его обобщённая модель -полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых субъектом в процессе поиска решения задачи. Установлена основная причина неумения школьников выполнять логический поиск решения математических задач. Осмысление этой причины предопределило целенаправленное формирование у школьников умения осуществлять поиск решения математических задач на основе деятельностного подхода к обучению математике.

5. Выделены девять основных видов деятельности, выполняемой в процессе работы над задачей, посредством которых в практике реального обучения может быть реализовано формирование у школьников осмысления поисковых ресурсов как общих поисковых действий. С учётом этого факта, разработаны методы систематизации школьных математических задач на основе деятельно-стного подхода в контексте исследуемой проблемы, а также созданы методы, с помощью которых обеспечивается регулярность процесса обучения логическому поиску решения задач. Это выражается в упорядочивании отдельных систем математических задач, осуществляемой в рамках как одной темы, так и нескольких смежных тем, и в структурировании школьного курса математики по темам, видам и подвидам задач, что способствует регулярному использованию в обучении математике всех поисковых ресурсов.

6. Предложены методы, способствующие повышению эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В частности, разработан метод количественной и качественной оценки логической трудности задач, используемый как критерии развитости умения их решать. В контексте этого метода все задачи разделены на четыре уровня трудности, различающихся качественно. Исходя из количественных значений трудности, все задачи разделены на пять групп: менее 10 баллов; 11-20 баллов; 21-30 баллов; 31-40 баллов, более 40 баллов. Задачи из этих групп соответственно названы лёгкими, умеренными, средней трудности, трудными и очень трудными. Также предложен метод оценивания эффективности использования внутрипредмет-ных связей в обучении поиску решения задач, разработан метод системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений данного исследования в практике школьного обучения математике. Выявлены основные критерии, на основе которых построение школьного курса математики, акцентированного на обучении поиску решения задач, обусловливает повышение эффективности этого обучения.

7. Показано, что целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач в учебном процессе реализуется на основе диалектического единства его процессуальной и содержательной составляющих. Суть первой составляющей моделирует ПООД, суть второй заключается в упорядочивании процесса обучения, осуществляемом на основе деятельностно-го подхода. Обосновано, что процесс обучения поиску решения задач состоит из трёх основных этапов. На первом этапе учитель непосредственно управляет поисковой деятельностью учащихся, на втором этапе школьники учатся организовывать и логически упорядочивать свои поисковые действия, третий этап преимущественно состоит из самостоятельной работы учащихся. В ходе исследования показано, что целенаправленное обучение логическому поиску решения задач должно осуществляться в русле третьего типа ориентировки учения школьников. Суть этого обучения в том, чтобы школьники с помощью данного им метода анализа задач (в диссертации он представлен с помощью ПООД) составляли конкретную ориентировочную основу действий, которые необходимо выполнить, решая данную задачу, что в конечном итоге направлено на выдвижение и реализацию локальных идей решения задачи.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Основные положения выполненного диссертационного исследования отражены в публикациях, суммарный объём которых составляет 79,77 условных печатных листов.

Монографии:

1. Аксёнов A.A. Теория обучения поиску решения школьных математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2007.200 с. (12,5 п. л.).

2. Аксёнов A.A. Теоретические основы обучения школьников поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2005. 122 с. (7,75 п. л.).

3. Аксёнов A.A. Теоретические основы систематизации учебного материала при обучении школьников поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2005. 79 с. (5 п. л.).

4. Аксёнов A.A. Общая теория обучения учащихся начальных и младших классов поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2008. 100 с. (6,25 п. л.).

5. Аксёнов A.A. Теоретические основы применения нечётких задач в обучении школьников математике. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2008. 48 с. (3 п. л.).

6. Аксёнов A.A. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики. Монография. Орёл: ОГУ, 2006. 152 с. (9,5 п. л.).

7. Аксёнов A.A. Реализация внутрипредметных связей при изучении раздела "Уравнения, неравенства и их системы" в профильных классах и классах с углублённым изучением математики. Монография. Орёл: ОГУ, 2004. 60 с. (3,75 п. л.).

Статьи из перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК:

8. Аксёнов A.A. Решение задач методом оценки // Математика в школе. 1999. № 3. С. 30-34. (0,5 п. л.).

9. Аксёнов A.A. Составление полной ориентировочной основы действий в процессе выполнения поиска решения школьных математических задач // Тамбов: Вестник Тамбовского университета. Серия "Гуманитарные науки". 2007. Выпуск 9 (53). С. 99-103. (0,56 п. л.).

10. Аксёнов A.A. Внутрипредметные связи как ресурс процесса поиска решения школьных математических задач // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. 2008. № 12 (81). С. 191-198. (0,5 п. л.).

11. Аксёнов A.A. Роль теоретического базиса математических задач в выполнении поиска их решения // Казанский педагогический журнал. 2008. № 9 (63). С. 14-19. (0,38 п. л.).

12. Аксёнов A.A. Об обучении школьников поиску решения математических задач // Начальная школа плюс До и После. 2008. № 10. С. 83-85. (0,38 п. л.).

13. Аксёнов A.A. Роль составления математических задач в обучении школьников поиску их решения // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. Серия "Педагогические науки". 2009. № 1 (35). С. 152-156. (0,5 п. л.).

14. Аксёнов A.A. Преемственность в обучении поиску решения математических задач в школе и вузе // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 2. С. 24-31. (0,83 п. л.).

15. Аксёнов A.A. Поиск решения эвристической задачи как средство "открытия" школьниками нового метода решения математических задач // Тамбов: Вестник Тамбовского университета. Серия "Гуманитарные науки". 2009. Выпуск 6 (74). С. 196-200. (0,58 п. л.).

Методические пособия для учителей:

16. Аксёнов A.A. Реализация внутрипредметных связей при изучении раздела "Уравнения, неравенства и их системы" в классах с углублённым изучением математики. Орёл: ООИУУ, 1999. 24 с. (1,5 п. л.).

17. Аксёнов A.A. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач. Орёл: ООИУУ, 1999. 20 с. (1,25 п. л.).

18. Аксёнов A.A. Методические модели, реализующие внутрипредметные связи посредством решения задач. Орёл: ООИУУ, 2000.20 с. (1,25 п. л.).

19. Аксёнов A.A. О теоретических основах методики обучения математике. Орёл: ООИУУ, 2000. 16 с. (1 п. л.).

20. Аксёнов A.A. Роль внутрипредметных связей в осуществлении поиска решения школьных математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 20 с. (1,25 п. л.).

21. Аксёнов A.A. Задачи на исследование в школьном курсе алгебры. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

22. Аксёнов A.A. Задачи на исследование в школьном курсе геометрии. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

23. Аксёнов A.A. Сведение задач к подзадачам в процессе обучения поиску их решения. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

24. Аксёнов A.A. Полуэвристические задачи в школьном курсе алгебры. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

25. Аксёнов A.A. Полуэвристические задачи в школьном курсе геометрии. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

26. Аксёнов A.A. Составление и использование полной ориентировочной основы действий в процессе обучения школьников поиску решения математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 20 с. (1,25 п. л.).

27. Аксёнов A.A. Пропедевтика процесса обучения поиску решения школьных математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007.20 с. (1,25 п. л.).

28. Аксёнов A.A. Обучение поиску решения математических задач в условиях организации профильных классов в малокомплектных сельских школах. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

29. Аксёнов A.A. О систематичности процесса обучения поиску решения школьных математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 24 с. (1,5 п. л.).

30. Аксёнов A.A. Эвристические задачи в школьном курсе алгебры. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

31. Аксёнов A.A. Эвристические задачи в школьном курсе геометрии. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

32. Аксёнов A.A. Научно-методические основы обучения учащихся средних школ поиску решения математических задач. Методическое пособие для учителей. Орёл: ООИУУ, 2007. 96 с. (6 п. л.).

Статьи и тезисы докладов на конференциях:

33. Аксёнов A.A. Об обучении поиску решения задач в профильных математических классах // Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе: сб. научн. тр. и методич. работ. Арзамас: АГПИ, 2004. С. 71-75. (0,25 п. л.).

34. Аксёнов A.A. Формирование у студентов педагогических вузов умения обучать школьников поиску решения математических задач с использованием современных средств обучения // Современные информационно-коммуникационные технологии в дополнительном образовании сельских школьников: сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию / Под. ред. М.И. Зайкина, H.A. Шкильменской; АГПИ им. А.П. Гайдара, КФ ПГУ им. М.В. Ломоносова. Арзамас: АГПИ, 2007. С. 219-221. (0,12 п. л.).

35. Аксёнов A.A. Систематизация математических задач при обучении поиску их решения в малокомплектной школе // Современные информационно-коммуникационные технологии в дополнительном образовании сельских школьников: сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию / Под. ред. М.И. Зайкина, H.A. Шкильменской; АГПИ им. А.П. Гайдара, КФ ПГУ им. М.В. Ломоносова. Арзамас: АГПИ, 2007. С. 73-75.(0,13 п. л.).

36. Аксёнов A.A. Равновеликость фигур в школьном курсе геометрии и задача о квадратуре круга // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Международной научной конференции. Пермь: ПГПУ, 2007. С. 275-277. (0,13 п. л.).

37. Аксёнов A.A. Роль исторических сведений в обучении решению математических задач // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Международной научной конференции. Пермь: ПГПУ, 2007. С. 277-279. (0,12 п. л.).

38. Аксёнов A.A. Формирование у студентов педагогических специальностей вузов умения обучать школьников поиску решения математических задач // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во "Старая Вятка", 2007. С. 272-274. (0,12 п. л.).

39. Аксёнов A.A. Подготовка будущих учителей к углублённому обучению школьников математике в системе многоуровневого образования // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во "Старая Вятка", 2007. С. 274-276. (0,13 п. л.).

40. Аксёнов A.A. Формирование умения обучать школьников поиску решения математических задач у бакалавров математики // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во "Старая Вятка", 2007. С. 276-278. (0,12 п. л.).

41. Аксёнов A.A. О теоретико-методических основах формирования готовности будущих учителей математики к обучению школьников поиску решения задач в условиях многоуровневого образования // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во "Старая Вятка", 2007. С. 278-283. (0,32 п. л.).

42. Аксёнов A.A. Базисные задачи и их роль в обучении поиску решения задач // Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе: Материалы XXVI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. Самара, Москва: Самарский филиал МГПУ, МГПУ, 2007. С. 148-149. (0,11 п. л.).

43. Аксёнов A.A. Роль составления математических задач в обучении поиску их решения // Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе: Материалы XXVI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. Самара, Москва: Самарский филиал МГПУ, МГПУ, 2007. С. 149-150. (0,11 п. л.).

44. Аксёнов A.A. Роль задач на исследование в формировании у школьников общего умения выполнять поиск решения математических задач // Интегратив-ный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2. Самара: Самарский гос. пед. ун-т, 2007. С. 8-9. (0,12 п. л.)

45. Аксёнов A.A. Обучение школьников поиску решения задач в классах с углублённым изучением математики // Интегративный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2. Самара: Самарский гос. пед. ун-т, 2007. С. 1011. (0,13 п. л.)

46. Аксёнов АЛ. О систематичности обучения школьников поиску решения математических задач // Интегративный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2. Самара: Самарский гос. пед. ун-т, 2007. С. 12. (0,06 п. л.)

47. Аксёнов A.A. Роль вертикальной интеграции профильных групп сельской малокомплектной школы в обучении учащихся поиску решения математиче-

ских задач // Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании: Сборник статей и практических материалов участников Международной научной конференции / Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2008. С. 132— 133. (0,13 п. л.).

48. Аксёнов A.A. Обучение поиску решения математических задач на уроках математики в сельской школе // Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании: Сборник статей и практических материалов участников Международной научной конференции / Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2008. С. 272-273. (0,12 п. л.).

49. Аксёнов A.A. Влияние интеграционных процессов в образовательной сфере на селе на подготовку учителей математики к обучению школьников поиску решения задач // Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании: Сборник статей и практических материалов участников Международной научной конференции / Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2008. С. 358-359. (0,13 п. л.).

50. Аксёнов A.A. О некоторых проблемах обучения учащихся поиску решения математических задач в условиях профильного обучения // Современные образовательные технологии в системе математического образования: Материалы Международной научно-практической конференции. Ч. 2. Архангельск: ПГУ, 2008. С. 159-160. (0,13 п. л.).

51. Аксёнов A.A. Обучение поиску решения задач на уроках математики в сельской школе // Современные образовательные технологии в системе математического образования: Материалы Международной научно-практической конференции. Ч. 2. Архангельск: ПГУ, 2008. С. 160-161. (0,12 п. л.).

52. Аксёнов A.A. Об организации и логическом упорядочивании поисковой деятельности школьников, осуществляемой в ходе решения математических задач // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: материалы V Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Артёмовские чтения" / под общей ред. д.п.н., профессора М.А. Родионова. Пенза. 2009. Т.1. С. 117-119. (0,12 п. л.).

53. Аксёнов A.A. О нечётких задачах, используемых в обучении школьников математике // Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования: материалы Всероссийской научной конференции: часть II / под редакцией Г.И. Саранцева. Саранск. 2009. С. 114-118. (0,2 п. л.).

54. Аксёнов A.A. Роль внутрипредметных связей в поиске и обучении поиску решения школьных математических задач // Международный научный альманах. Выпуск 3. Сборник статей преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов. Актобе: Редакционно-издательский отдел Актюбинского государственного университета им. К. Жубанова, 2009. С. 433^442. (0,62 п. л.).

Подписано в печать 24.03.2010 г. Формат 60x80 1/16 Печать ризография. Бумага офсетная. Гарнитура Times Объём 2,7 усл. печ. л. Тираж 150 экз. заказ № 92

Лицензия ПД№ 8-0023 от 25.09.2000 г. Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО Полиграфическая фирма "КАРТУШ" г. Орёл, ул. Васильевская, 138. Тел. 8 (4862) 74-11-48, тел./факс 8 (4862) 74-11-52. E-mail: kartush@orel.tu www.kartush-oreI.ru

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Аксёнов, Андрей Александрович, 2010 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

§ 1. Анализ освещения исследуемой проблемы в теоретико-методической и психолого-педагогической литературе.

1.1. Понятие "задача" в психологии.

1.2. Проблемы обучения поиску решения задач.

1.3. Психолого-физиологический аспект процесса обучения поиску решения задач.

§ 2. Сопоставление различных психолого-дидактических трактовок понятия "задача" в контексте обучения поиску решения задач.

2.1. Различные психолого-дидактические трактовки понятия "задача".

2.2. Субъективная и объективная информация в задаче.

2.3. Психологический и логический поиск решения задачи.

2.4. Внешняя и внутренняя структура процесса поиска решения задачи.

§ 3. Психолого-педагогическая специфика построения учебного процесса, ориентированного на обучение поиску решения задач.

3.1. Задачи, используемые для освоения и применения учебного материала

3.2. Деятельность учащихся в процессе поиска решения задач.

3.3. Взаимодействие учителя и учащихся в процессе обучения поиску решения задач.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА И

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ СУЩНОСТИ

ЛОГИЧЕСКОГО ПОИСКА РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

И ОБУЧЕНИЯ ПОИСКУ ИХ РЕШЕНИЯ

§ 1. Анализ публикаций и научных трудовпо исследуемой проблеме.

§ 2. Методологические основания решения исследуемой проблемы <.

§>3. Системно-структурный анализ процесса логического поиска решения математических задач.

3.1. Основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач■.

3.2. Сущность логического поиска решения школьных математических задач.

§ 4. Количественная и качественная оценка логической трудности школьных математических задач как критерий умения их решать.

4.1. Различные подходы к оценке трудности математических задач.

4.2. Обобщённый метод количественной и качественной оценки логической трудности математических задач.

4.3. Систематизация задач в зависимости от их трудности.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА III

ВНУТРИПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ КАК ОСНОВНОЙ РЕСУРС ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОМУ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

§ 1. Реализация внутрипредметных связей в обучении математике посредством решения задач.

§ 2. Дидактические возможности каждого вида реализации внутрипредметных связей в обучении логическому поиску решения задач.

2.1. Роль видов реализации внутрипредметных связей в выполнении логического поиска решения задачи.

2.2. Специфика логического поиска решения задач, детерминируемая теоретическим базисом их формулировки и решения.

2.3. Использование внутрипредметных связей для осуществления аналитико-синтетического поиска решения задач.

§ 3. Полная ориентировочная основа действий, выполняемых в процессе логического поиска решения школьных математических задач.i-.

§ 4. Оценка эффективности использования внутрипредметных связей в обучении логическому поиску решения задач.

§ 5. Общие основы реализации базовых теоретических положений процесса обучения логическому поиску решения задач в реальном обучении школьников математике.

5.1. Теоретические сведения о задачах и процессе поиска их решения, необходимые школьникам для овладения умением решать задачи.

5.2. Ознакомление учащихся с основами процесса.поиска решения математической задачи.

5.3. Сущность и этапы обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач

Выводы по третьей главе*. 290

ГЛАВА IV

ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ. ПОДХОД К. ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКЕ

КАК МЕТОДИЧЕСКАЯ ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ ОБЩЕГО УМЕНИЯ ВЫПОЛНЯТЬ ЛОГИЧЕСКИЙ ПОИСК РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

§1.0 деятельностном подходе к обучению математике.

§ 2. Основные виды деятельности, выполняемой в процессе решения задач.

§ 3. Систематизация школьных математических задач и их систем в контексте деятельностного подхода к обучению логическому поиску решения задач.

3.1. Сущность проблемы систематизации задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения.

3.2. Обобщённые механизмы построения полидоминантных систем задач.

3.3. Систематизация систем школьных математических задач как средство повышения эффективности обучения логическому поиску решения задач.

§ 4. Специфика построения школьного курса математики, способствующего повышению эффективности обучения логическому поиску решения задач.

4.1. Особенности изложения теории в контексте обучения поиску решения задач.

4.2. Теория и задачи в пределах одной темы.

4.3. Структурирование школьного курса математики по темам, видам и подвидам задач.

§ 5. Системный анализ эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

§ 6. Педагогический эксперимент.

6.1. Основные этапы и сущность экспериментальной работы.

6.2 Особенности применения основных положений теории в практике школьного обучения математике.

6.3. Границы применимости построенной теории.

§ 7. Современное состояние и перспективы развития теории обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

7.1. Теоретическая схема выполненного исследования.

7.2. Перспективы дальнейших теоретических исследований.

Выводы по четвёртой главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач"

Проблема целенаправленного обучения поиску решения математических задач всегда привлекала внимание крупных математиков, учёных—методистов и учителей математики средней школы. Её решению посвящены их статьи, книги для учителей математики и учащихся средних школ, монографии, диссертации. Однако в силу целого ряда причин проблема обучения поиску решения школьных математических задач не теряет своей актуальности.

Во-первых, различные исследования учёных и методические публикации учителей математики, посвящённые проблеме обучения поиску решения задач, касались тех или иных частных её аспектов. В большинстве статей по проблеме обучения школьников поиску решения математических задач содержатся методические рекомендации, основанные на специфике конкретного предметного материала, пределами которого зачастую определялись и границы их применимости, что затрудняет перенос этих рекомендаций на другой материал [39, 40, 45, 122, 145, 189, 192, 201, 212 и др.]. Таков был и характер многих книг для учителя и учащихся, монографий [30, 31, 47, 48, 69, 77, 93-95, 128, 195-197, 208, 235, 243, 254-257 и др.], а также ряда диссертаций, посвящённых обучению поиску решения школьных математических задач [1, 29, 46, 52, 72, 80, 82, 144, 171, 175, 186, 205, 244, 250, 262, 280 и др.] и смежным научным проблемам [2, 97, 98, 110, 126, 153, 162, 202, 239, 269, 283 и др.]. Среди авторов диссертационных исследований нет единства в понимании сущности процедуры поиска решения задачи и в выборе исходных положений предлагаемых ими методик обучения школьников поиску решения задач. Многие работьъ выполнены» в то время,, когда методика обучения математике в значительной мере была рецептурной дисциплиной, что обусловило практико-ориентированный их характер.

Вышеперечисленные факты приводят к выводу о том, что, с одной' стороны, описанные способы обучения учащихся поиску решения задач обладают высокой степенью достоверности, поскольку они многократно экспериментально проверены, учитывают специфику учебного материала, а часть из них 5 успешно используется в практике массового обучения, внося существенный вклад в решение проблемы обучения поиску решения школьных математических задач. С другой стороны, эти факты позволяют утверждать, что в теории и методике обучения математике в настоящее время накоплен немалый объём разрозненных неупорядоченных сведений, методических рекомендаций по обучению школьников поиску решения задач, который практически всецело располагается в русле эмпирического научного знания и нуждается в теоретическом обобщении, позволяющем выделить общие объективные идеи, закономерности и взаимосвязи.

Во-вторых, в современной теории и методике обучения математике сформулировано несколько трактовок понятия "математическая задача", введены понятия внутренней и информационной структуры задач (охарактеризованы её компоненты: условие, требование, теоретический базис задачи, способ её решения, реализованное в ней основное отношение), предложены способы оценки сложности и трудности задач и т. д. Однако всё это даёт характеристику лишь самой задаче, но не составляет теоретического описания процесса поиска её решения. Поиск решения задачи - это отыскание предметного содержания теоретического базиса и способа её решения, причём сущность способа решения заключается в обнаружении взаимосвязей между теоретическими фактами, составляющими базис задачи и выстраивании их в такой последовательности, следуя которой от условия задачи можно прийти к выполнению её требования. Но этот процесс - установление внутрипредметных связей в ходе решения математической задачи. Таким образом, вне их установления в, принципе не может быть выполнен поиск её решения. Однако этот аспект работы над задачей в современной методике обучения математике теоретически ещё не описан.

В-третьих, в теории и методике обучения математике утвердилась.тенденция к исследованию различных аспектов проблемы использования задач в обучении школьников математике на основе деятельностного подхода. Однако сама деятельность любого субъекта определяется не только мотивом, целью, конкретными действиями, условиями их выполнения и т. д., но и предметом его деятельности, которым в данном случае является школьная математическая задача. Ввиду того, что теоретическое изучение задач в методике обучения математике на сегодняшний день нельзя признать полностью завершённым, можно утверждать, что исследование проблемы обучения поиску решения школьных математических задач в русле деятельностного подхода в значительной мере выполняется в отрыве от изучения предмета деятельности учащихся.

В-четвёртых, в различных учебниках, пособиях и задачниках ещё не сложилась традиция такого составления систем задач, которое предопределяет целенаправленное обучение школьников поиску их решения, на различных этапах этого процесса акцентирующее внимание на тех или иных его аспектах. Такое положение дел объясняется тем, что система образования (в частности, школьного математического) в своей сущности консервативна и инертна (что неоднократно обосновано в работе [135]), поэтому требуется определённое время, чтобы какие-либо научно-методические идеи, реализованные в научных трудах, были адаптированы к практике массового обучения математике и внедрены в неё. Анализ школьных учебников математики разных лет, а также учебных пособий, предназначенных для средней школы и различных дополнительных задачников к ним [16-25, 33, 62-67, 113, 114, 150, 151, 194, 216, 274 и др.], позволил обнаружить следующий факт. Во всех этих книгах не уделялось должного внимания проблеме целенаправленного обучения отысканию способа решения задач. В большинстве задачников и учебников почти все задачи, предлагающиеся учащимся для решения, носили тренировочный характер или были в достаточно высокой степени стандартизированными, не требующими практически никакой напряжённой умственной работы. Опрос учащихся, проводимый в разные времена исследователями, неизменно показывал, что подавляющее большинство школьников (в том числе и обладающих математическим способностями среднего или более высокого уровня) необходимым условием решения задачи считает наличие соответствующего образца [253]. Такая же ситуация сложилась и в специализированных или профильных математических классах. Вообще примерно до восьмидесятых годов прошлого века в массовой школьной практике доминировала точка зрения, состоящая в том, что ведущую роль в математике играет теория, а задачи даны лишь для того, чтобы её глубже осознать и лучше запомнить. В настоящее время ситуация изменилась и теперь в программе по математике указано, что главное внимание в обучении нужно уделять решению задач [200, 217]. Сейчас практически методической аксиомой стало положение, состоящее в том, что задачи - это и цель, и основное средство обучения математике. Для того, чтобы оно утвердилось, потребовались усилия многих учёных, в частности, признанию этого положения способствовали труды A.A. Столяра, JIM. Фридмана, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, В.И. Кру-пича [232-235, 251-256, 129-134, 212-214, 139-141 и др.].

В-пятых, большинство школьных учителей не готово в своей работе восполнить указанные пробелы (это следствие всего перечисленного ранее).

Также в исследовании проблемы обучения поиску решения школьных математических задач необходимо учесть, что уровень математических способностей школьников различен. В связи с этим бессмысленно и даже негуманно требовать от каждого учащегося достижения высокого уровня в умении решать нетривиальные математические задачи. Поэтому основные положения данной диссертации, преимущественно, отражают сущность обучения математически способных учащихся поиску решения задач.

Изложенные выше рассуждения вскрывают диалектическое противоречие между современным состоянием научного изучения исследуемой проблемы, традициями, сложившимися в учебном процессе, и внутренними потребностями методико-математической теории и практики школьного обучения математике. Анализ причин противоречия позволяет утверждать, что для его преодоления необходимо построить, теорию; целостно описывающую процесс обучения поиску решения^ школьных математических задач. Одним из концептуальных подходов к её построению является исследование' детерминации процедуры поиска решения задачи специфическими особенностями самих задач. То есть речь идёт о логическом аспекте процесса поиска решения школьных математических задач.

Таким образом, актуальность данного исследования обусловлена необходимостью целостного теоретического описания процедуры поиска и процесса обучения поиску решения школьных математических задач, которое будет способствовать синтетическому обобщению различных методических средств, используемых в формировании умения решать задачи.

Проблема исследования: выявление сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, специфических особенностей и этапов целенаправленного обучения учащихся средней школы логическому поиску их решения, а также роли общего умения выполнять логический поиск решения задач в математической подготовке школьников.

Цель исследования: построение и экспериментальная проверка теории, описывающей процесс обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач.

Объект исследования: процесс обучения математике в средней школе.

Предмет исследования: обучение школьников логическому поиску решения математических задач.

Современное состояние изучаемой проблемы позволяет выдвинуть общую концепцию диссертационного исследования. Суть её состоит в целостном теоретическом описании основных этапов и специфических особенностей процедуры поиска решения и процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач на основе трактовки понятия "задача", предложенной Ю.М. Колягиным и дополненной В.И. Кру-пичем. Общая концепция конкретизируется в трёх взаимосвязанных концептуальных положениях, изложенных ниже.

II Задача, согласно трактовке этого понятия, принятой в качестве исходного положения исследования, образована диалектической взаимосвязью её информационной и внутренней структур. На основе информационной структуры выявляются основные теоретико-методические характеристики задач, такие как их типы, виды, классы, особенности теоретического базиса их формулировки и решения. В общем случае задача в ходе решения расчленяется на несколько более простых подзадач, каждой из которых соответствует локальная идея её решения (решение каждой подзадачи - отдельный этап решения исходной задачи). Подзадача является единицей анализа школьных математических задач, а структурной единицей логического поиска решения задачи является локальная идея. Логический поиск решения школьной математической задачи в конечном итоге,сводится к выдвижению и реализации локальных идей её решения.

Iii Решение школьной математической задачи заключается в отыскании предметного содержания неизвестных компонентов её информационной структуры, что в конечном итоге сводится к нахождению ряда теоретических фактов (аксиом, определений, теорем, формул и т. п.), и такой логической взаимосвязи между ними, которая позволит от условия задачи прийти к выполнению её требования. То есть в данном аспекте осуществление логического поиска решения может быть рассмотрено как реализация внутрипредметных связей посредством решения задач, в значительной мере предопределяющая генерирование локальных идей решения задачи. Многообразие внутрипредметных связей, проявляющихся в процессе решения задач, описывается с помощью отдельных видов их реализации, применимых к задачам любой разновидности. Поэтому внутрипредметные связи можно рассматривать как средство, позволяющее построить теоретическую модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, представляющую собой полную ориентировочную основу действий (ПООД) по осуществлению поиска решения задач, которая также включает в себя и все теоретико-методические характеристики задач, указанные в положении I.

Ш. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач ориентировано на овладение учащимися основными поисковыми ресурсами (содержащимися в ПООД), в ходе которого школьники учатся способам-логических рассуждений, самостоятельному "открытию" некоторых теоретических фактов и способов решения задач, выделению совокупности действий, адекватных понятиям, теоремам и методам решения задач. Это предполагает осмысление ими практически каждого поискового ресурса как общего поискового действия, то есть обучение поиску решения задач целесообразно осуществлять на основе деятельностного подхода. Многообразие поисковых ресурсов и необходимость регулярного их использования в обучении предопределяет выявление основных видов деятельности, осуществляемой в ходе работы над задачей, на основе которых может быть систематизирован процесс обучения логическому поиску решения задач.

Первое и второе положения совместно образуют процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, а третье положение - содержательную составляющую.

Избранный в диссертации концептуальный подход к понятию "задача" во многом обусловлен логикой взаимосвязи компонентов информационных структур задач, поэтому выдвинутая концепция детерминирует исследование логического поиска их решения (выполняемого посредством логики, а не интуиции или вербальной информации, заложенной в задаче, и т. п.), и исследование проблемы обучения логическому поиску решения задач, то есть она в полной мере соответствует цели и задачам данной работы. В тексте диссертации при упоминании процесса поиска решения задач иногда слово "логический" не используется, исходя из стилистических соображений.

В ходе исследования была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что теория, целостно описывающая процесс обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач, может быть построена, если: а) исходя из основополагающей трактовки понятия "задача" будут выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяющие особенности выполнения логического поиска их решения, и в его описании будет отражена специфика школьного курса математики, в контексте исследуемой проблемы выражаемая реализованными в нём внутрипредметными связями; б) на этой основе будет построена теоретическая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, позволяющая выявить основные поисковые ресурсы и определить этапы процесса обучения поиску решения задач; в) обучение общему умению выполнять логический поиск решения задач, предполагающее осмысление поисковых ресурсов как общих поисковых действий, будет осуществляться на основе деятельностного подхода, обеспечивающего систематичность и регулярность этого обучения; г) теоретическое описание процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач будет включать в себя обоснование его реализации в практике школьного обучения математике; д) овладение школьниками общим умением выполнять логический поиск решения математических задач получит экспериментальное подтверждение, оцениваемое по результатам выполнения ими специальных контрольных работ.

Проблема, цель, предмет, концепция и гипотеза совместно обусловливают ведущие задачи исследования, которые разделяются на пять групп.

I. Первая группа состоит из задач, связанных с выявлением и разработкой научных положений, являющихся психолого-педагогическим основанием процесса обучения поиску решения школьных математических задач.

1. Установление сущности психологического и логического процессов поиска решения задачи.

2. Выявление психолого-педагогических особенностей организации учебного процесса, основанного на целенаправленном обучении поиску решения школьных математических задач.

З^Выбор концептуального подхода к трактованию понятия "задача", являющегося психолого-педагогическим: базисом решения исследуемой; в диссертации* проблемы.

II. Вторую группу составляют задачи, которые относятся к теоретико-методологичекому обоснованию сущности логического поиска решения школьных математических задач и сути процесса обучения поиску их решения:

1. Выявление основных теоретико-методических характеристик школьных математических задач и структурной единицы логического поиска их решения.

2. Создание опорных схем и механизмов, моделирующих сущность внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи.

3. Разработка метода оценивания логической трудности математических задач как критерия умения школьников выполнять поиск их решения.

III. В третью группу включены задачи, призванные выявить возможности использования внутрипредметных связей в качестве основного ресурса процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

1. Выявление основных видов реализации внутрипредметных связей, проявляющихся в ходе решения задач и установление дидактических возможностей каждого из них в обучении логическому поиску решения задач.

2. Построение полной ориентировочной основы действий, выполняемых в ходе поиска решения задач.

3. Выделение поисковых ресурсов, которые должны изучаться учащимися в качестве основы процесса поиска решения задач.

4. Определение сущности и этапов процесса обучения школьников логическому поиску решения задач.

IV. Четвёртая группа состоит из задач, решение которых позволяет упорядочить процесс обучения логическому поиску решения школьных математических задач на основе деятельностного подхода.

1. Выявление основных видов деятельности, описывающих процесс логического поиска (и обучения поиску) решения задач.

21 Разработка методов систематизации задач и систематизации систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения. 3. Выявление взаимосвязи структуры школьного курса математики и процесса обучения школьников поиску решения задач.

V. Пятую группу составляют задачи, предназначенные для экспериментальной проверки построенной теории.

1. Разработка (совместно с учителями-экспериментаторами) конкретных систем задач, их применение на различных этапах обучения математике.

2. Анализ результатов педагогического эксперимента.

Методологической основой исследования являются фундаментальные положения философской теории познания: диалектико-материалистическая методология, основанная на принципах объективности, всесторонности, детерминизма, конкретности, историзма и противоречия и др.; общенаучные подходы и методы исследования, суть которых состоит в обеспечении взаимоперехода философского и частнонаучного знания благодаря использованию таких общенаучных понятий, как "информация", "модель", "система", "функция", "элемент", "структура" и др.; основные логические законы. Поставленные в диссертации задачи были решены с помощью следующих методов исследования:

1. Теоретические методы: а) формализация, применяемая в процессе абстрагирования и идеализации объектов посредством их отображения в знаково-символическом виде; б) метод восхождения от абстрактного к конкретному, с помощью которого на основе понятия "задача" посредством синтеза и дедукции рассмотрены частные проблемы, возникающие в обучении логическому поиску решения задач, что позволило в целостной теории изложить предмет исследования.

2. Общелогические методы: а) анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, посвященной исследуемой проблеме и смежным научным проблемам; б) анализ и синтетическое обобщение передового опыта учителей математики, уделяющих значительное внимание обучению учащихся поиску решения задач; в) методология системного подхода (метод, основанный на понимании системы как совокупности объектов, взаимосвязь которых обусловливает наличие новых интегративных качеств, не свойственных образующим её компонентам, и метод, состоящий в расчленении системы ^ выделении её минимального компонента - структурной единицы, системы, способной к относительно самостоятельному существованию с выполнением определённой функции в рамках целого (<структурно-функциональный метод)); г) абстрагирование и идеализация, применяемые для создания объектов, принципиально не существующих в действительности, которые послужили опосредованным выражением реальных объектов и процессов (абстрактный субъект, логический поиск решения задачи и др.); д) конструктивно-генетический метод, понимаемый как рассмотрение всевозможных ситуаций и выполнение логических рассуждений в процессе разработки основных теоретических положений данной диссертации (проявлением этого метода является мысленный эксперимент с идеальными объектами); е) моделирование (основанное на конструктивно-генетическом методе и системном подходе), позволившее построить ряд научных положений, в качестве главных средств которого используются аналогия, индуктивный и дедуктивный методы в их диалектической взаимосвязи и единстве; ж) вероятностно-статистические методы (обработка результатов педагогического эксперимента).

3. Эмпирические методы: а) наблюдение за учебной деятельностью учащихся, обучающихся в общеобразовательных, профильных и специализированных математических, классах средних школ; б) сравнение процессов поиска решения школьных математических задач, относящихся к алгебре, геометрии и математическому анализу для обнаружения их сходства и различия с целью выявления возможности разработки общих подходов к обучению поиску решения задач; в) экспериментальная работа, проводимая в классах различных профилей, с использованием систем, математических задач, разработанных на основе построенной теории.

Теоретической основой исследования являются:

• психологические концептуальные подходы к понятию "задача", их сопоставление в контексте исследуемой, проблемы (Г.А. Балл, Я.А. Пономарёв, К.А. Славская, Л.Л. Гурова, А.В. Брушлинский, Л.М. Фридман и др.);

• концепции учебной деятельности и развивающего обучения, психологические концепции усвоения знаний (Л.С. Выготский, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин и др.);

• концептуальный подход A.M. Матюшкина к осмыслению соотношения понятий "задача" и "проблемная ситуация" и их изучению;

• теория и методика обучения решению школьных математических задач (A.A. Столяр, JIM. Фридман, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, В.И. Крупич);

• концепция деятельностного подхода к обучению математике учащихся средних школ (В.И. Крупич, О.Б. Епишева и др.);

• основные положения теории и методики реализации внутрипредметных связей в обучении математике (В.М. Монахов, В.А. Далингер, A.A. Аксёнов, К.С. Муравин, JI.C. Капкаева и др.);

• основные труды по проблеме обучения поиску решения школьных математических задач (Д. Пойа, JIM. Фридман, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, С.И. Туманов, A.A. Столяр, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др.).

Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые построена теория, целостно описывающая процесс обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач, в рамках которой:

• уточнена сущность психологического и логического аспектов поиска решения задач, раскрыт психолого-педагогический аспект процесса обучения поиску решения задач;

• выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, по которым они квалифицируются в контексте исследуемой проблемы;

• выделена структурная единица логического поиска решения'школьных математических задач;

• разработаны схемы и механизмы, моделирующие процесс логического поиска решения школьных математических задач;

• выявлены десять основных видов реализации внутрипредметных связей посредством решения школьных математических задач, установлены дидактические возможности каждого из них в обучении поиску решения задач;

16 построена полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых в ходе поиска решения школьных математических задач, являющаяся теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск решения задачи; выявлены основные виды деятельности, выполняемой в процессе работы над школьными математическими задачами; раскрыта сущность и этапы обучения школьников логическому поиску решения математических задач.

Теоретическая значимость исследования: методика обучения математике обогащена новой теорией, систематизирующей и обобщающей имеющиеся в современной науке представления об обучении школьников решению математических задач; методическая теория школьных математических задач пополнена рядом теоретико-методических характеристик:

- понятием информационной структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач;

- понятием обобщённой характеристической функции задач, описывающей теоретико-методические характеристики, совмещаемые в одной задаче;

- методом количественного и качественного оценивания трудности школьных математических задач;

- методом оценивания эффективности использования внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач;

- методами систематизации задач, внутритематического и межтематического упорядочивания систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения;

- методом системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений в практике школьного обучения;

- критериями построения школьного курса математики, способствующими повышению эффективности обучения поиску решения школьных математических задач.

Практическая значимость исследования: разработанные в теории механизмы взаимодействия субъекта с задачей, построения систем задач, определения эффективности внутрипредметных связей и т. д. носят универсальный характер и могут быть применены к любой теме, виду и подвиду задач школьного курса математики; основные положения диссертации могут быть учтены авторами задачников по математике для средней школы с целью составления систем задач, обусловливающих целенаправленное обучение общему умению выполнять логический поиск их решения; в соответствии с государственной программой по математике для общеобразовательных, профильных и специализированных классов разработаны конкретные методические модели, реализующие на практике построенную в диссертации теорию и апробированные экспериментально; методические модели, используемые в обучении школьников логическому поиску решения математических задач, также могут составлять методисты институтов повышения квалификации учителей и опытные учителя математики; соответствующие методические построения могут выполнять студенты математических педагогических специальностей вузов на семинарских занятиях по теории и методике обучения математике с целью осмысления содержательной составляющей обучения логическому поиску решения задач; основные теоретические положения, описывающие процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, могут непосредственно применяться в методической подготовке будущих учителей математики в качестве средства, помогающего им осмыслить сущность общего умения! выполнять поиск решения задач и процесс формировании этого умения у школьников; эти же теоретические положения помогут учителями математики составить целостное представление о процессе логического поиска решения задач и на этой основе обучать школьников его выполнению.

Достоверность полученных в исследовании результатов и обоснованность научных выводов обеспечивается: использованием достижений психолого-педагогических наук; применением логических законов в создании теоретических положений; использованием различных методов исследования, адекватных поставленным задачам; результатами экспериментальной работы, длившейся несколько лет; подтверждением выдвинутой в диссертации гипотезы.

Основные этапы исследования. Выполнение исследования началось в 1996 г. и велось поэтапно в соответствии с логикой своего развития.

На предварительном этапе (1996-2000 г.г.) было начато исследование в области теоретического обоснования методики обучения решению задач и изучен такой его аспект, как реализация внутрипредметных связей в процессе решения задач. Итогом исследований стала защита диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук по теме "Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики".

Теоретический этап исследования (2001-2002 г.г.) заключался в создании теоретического обоснования методики обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В этот период времени было выдвинуто и обосновано подавляющее большинство научных положений, которые составили практически всё содержание данной диссертации.

На заключительном этапе (2002-2010 г.г.), был проведён формирующий эксперимент по проверке эффективности разработанных теоретических положений, а также по установлению некоторых фактов, которые невозможно определить только теоретически. На этом этапе осуществлялась доработка и редактирование созданных ранее теоретических положений в зависимости от результатов формирующего эксперимента, оформление результатов исследования в виде диссертации на соискание учёной степени доктора педагогических наук.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования докладывались и получили одобрение на Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе" (Арзамас, 2004), XXVI Всероссийском семинаре преподавателей математики "Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе" (Самара, Москва, 2007), Международной научной конференции "Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании" (Пермь, 2007), Региональной научно-практической конференции "Современные информационно-коммуникационные технологии в образовательном процессе сельской школы" (Арзамас, 2007), Всероссийской научно-практической конференции "Интегративный. характер современного математического образования" (Самара, 2007), Международной научной конференции "Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования" (Котлас, 2007), Международной научной конференции "Современные образовательные технологии в системе математического образования" (Архангельск, 2008), Международной научной конференции "Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании" (Арзамас, 2008), Всероссийской научной конференции "Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы" (Пенза, 2009), Всероссийской научной конференции "Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования" (Саранск, 2009). Внедрение полученных результатов осуществлялось посредством публикации монографий, методических пособий, статей [6-12], организации экспериментальной работы в школах Орловской области, выступлений перед методистами и учителями в Орловском областном институте усовершенствования учителей, в Орловском государственном университете и других вузах страны.

Положения? выносимые на защиту:

Г., Логический поиск решения школьных математических задач детерминируется содержащейся в компонентах их информационной структуры объективной информацией, теоретико-методическими характеристиками задач, по которым они квалифицируются, и спецификой обоснования и реализации решения, выраженной совокупностью внутрипредметных связей, свойственных содержанию школьного курса математики, и используемых в решении задачи.

Внутренняя структура процесса логического поиска решения задачи может быть выражена совокупностью схем и механизмов, моделирующих процедуру анализа задачи и отыскания способа её решения. Информационная структура этого процесса определяется лишь для каждой конкретной задачи и обусловливается информационной структурой данной задачи. Минимальным компонентом процесса логического поиска решения школьных математических задач является локальная идея, которая реализуется в течение одного этапа решения задачи, представляющего собой отдельную подзадачу.

2. Обучение логическому поиску решения задач - это обучение выдвижению идей решения задачи на основе факторов, детерминирующих логический поиск. Структурной единицей процесса обучения учащихся логическому поиску решения школьных математических задач является обучение их генерированию и реализации локальных идей решения задачи.

3. Основным ресурсом выдвижения локальных идей решения школьной математической задачи является установление внутрипредметных связей, содержащихся в школьной математике. Многообразие проявлений внутрипредметных связей в процессе решения школьных математических задач описывается десятью основными видами их реализации. Они являются своеобразными эвристиками в выборе конкретных теоретических средств и идей логического поиска решения, а в конечном счёте, формируют у школьников общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач.

4: Полную ориентировочную основу действий (ПООД) субъекта по осуществлению логического поиска решения школьной математической задачи образуют дидактические характеристики основных видов реализации внутри-предметных связей, теоретико-методические характеристики задач и* внутренняя структура процесса логического поиска их решения. Упорядоченная совокупность подходов к выполнению логического поиска решения задач, позволяющая выдвигать и реализовывать локальные идеи решения задачи, представленная в ПООД, является обобщённой теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач.

5. Обучение логическому поиску решения школьных математических задач состоит в создании условий, при которых учащиеся смогут последовательно овладевать поисковыми ресурсами, содержащимися в ПООД, что предполагает регулярное их применение в процессе решения задач и осмысление как общих поисковых действий, то есть на основе деятельностного подхода. Многообразие действий, выполняемых в ходе решения задач, описывается девятью основными видами деятельности. В контексте повышения эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач необходима систематизация задач, а также внутритематическое и межтематическое упорядочивание систем математических задач на основе выделенных видов деятельности.

6. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач теоретически может быть представлено диалектическим единством его процессуальной и содержательной составляющих. Процессуальная составляющая — это описание сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, содержательная составляющая заключается в обеспечении регулярности обучения школьников этому умению. Обучение логическому поиску решения задач предполагает: пропедевтику поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) для учащихся 1-7 классов; упорядочивание процесса обучения, обусловливающего освоение школьниками основных поисковых ресурсов и овладение умением их применять в решении задач; формирование общего умения выполнять поиск решения задач, в ходе которого учащиеся с помощью ПООД учатся выдвижению и реализации локальных идей решения-задачи.

Структура диссертации. определяется последовательностью»поставленных задач и логикой создания теоретических положений. Диссертация^ состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка, насчитывающего 305 источников, включает в себя 4 таблицы и 7 рисунков. Основные положения данного исследования изложены во второй, третьей и четвёртой главах.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по четвёртой главе

Данная глава посвящена выявлению возможностей деятельностного подхода к обучению математике в формировании общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач. Фактически основные положения второй и третьей глав диссертации раскрывают сущность обучения учащихся: а) способам логических рассуждений, самостоятельному "открытию" теоретических фактов и способов решения задач; б) выделению совокупности действий, адекватных, понятиям, теоремам и методам решения задач. То есть они описывают деятельностный подход к обучению математике в этих двух смыслах. В четвёртой главе эти положения переосмыслены с позиций деятельностного подхода, а описание их непосредственного применения в обучении завершило построение целостной теоретической концепции данного исследования, которая схематически изображена ниже (рис. 7).

Рис. 7.

Сущность концепции такова. Решая математическую задачу, необходимо от её условия (компонент А информационной структуры) прийти к выполнению её требования (компонент В). Теоретически описать этот переход невозможно без учёта компонентов С и О. Но в общем случае компонент С состоит из нескольких теоретических фактов, между которыми надо выявить взаимосвязь, что и позволит обосновать способ решения задачи, а это составляет сущность компонента О. Следовательно, в процессе поиска решения задачи устанавливаются внутрипредметные связи, а ядром процесса поиска решения школьной математической задачи является нахождение предметного содержания компонентов С и Б её информационной структуры. На этой основе построена модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач (ПООД), а с её помощью объяснена причина неумения школьников находить способ решения задач. В совокупности с необходимостью осмысления основных поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) как общих поисковых действий, эта причина предопределила осуществление обучения школьников логическому поиску решения задач на основе деятельно-стного подхода, реализация которого описана с помощью девяти основных видов деятельности. Это дало возможность систематизировать задачи и упорядочить процесс обучения поиску решения задач, сделать регулярным применение в обучении школьников всех основных поисковых ресурсов.

Таким образом, сущность изложенной в диссертации концепции обучения логическому поиску решения задач заключается в диалектическом единстве её процессуальной и содержательной составляющих. Полная ориентировочная основа действий (ПООД) является обобщённой моделью общего умения выполнять логический поиск решения задач, то есть описывает сущность процессуальной составляющей. Методы упорядочивания процесса обучения поиску решения задач, способствующие регулярности использования в нём всех поисковых ресурсов, описывают сущность содержательной составляющей.

В решении любой научной проблемы сначала следует раскрыть категорию "качество", а лишь затем можно в полной мере осмыслить категорию "количество". Этот принцип, обоснованный ещё Г. Гегелем, в настоящее время является практически аксиомой в философии науки. Использованный в диссертации методологический аппарат базируется на этом принципе, поэтому в первую очередь полученные результаты дают возможность качественно (теоретически) осмыслить сущность процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач. Также в четвёртой главе показано, что данная теоретическая концепция может развиваться и далее, в том числе и во взаимосвязи с другими методико-математическими теориями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование проблемы обучения логическому поиску решения школьных математических задач позволило выявить её сущность и обосновать её решение в рамках целей и задач, поставленных в диссертации. Главный итог исследования состоит в том, что в нём построена теория, целостно описывающая сущность общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач и процесс обучения школьников этому умению. Её психолого-педагогическим базисом служит концептуальный подход к понятию "задача", предложенный A.M. Матюшкиным, а конструктивным основанием является трактовка понятия "задача", сформулированная Ю.М. Колягиным и дополненная В.И. Крупичем. В ходе построения теории получены результаты, представленные ниже.

1. Выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяемые компонентами их информационной структуры: шесть типов задач (выделены Ю.М. Колягиным и В.И. Крупичем); шесть видов задач; четыре класса задач; четырёхаспектная типология их теоретического базиса, позволяющие квалифицировать задачи в контексте обучения поиску их решения. Обосновано, что типологию задач целесообразно описывать с помощью двух понятий: информационной структуры задач и информационной структуры процесса логического поиска решения задач. Первое понятие может быть определено по отношению к месту данной задачи в школьном курсе математики, второе - по отношению к субъекту, решающему её.

2. Выделена структурная единица системного анализа школьных математических задач, которой в рамках исследуемой проблемы является подзадача. Исходя из этого показано, что структурной единицей процесса логического поиска решения задачи является локальная идея (каждая из которых соответствует некоторой подзадаче), а обучение логическому поиску решения задач сводится к формированию умения выдвигать и реализовывать локальные идеи. На основе этого обстоятельства разработана модель внутренней структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач, построенная с помощью опорных схем и механизмов, описывающих основные составляющие процедуры поиска решения задачи. С помощью этой модели выделены основные поисковые задачи, работа с которыми является наиболее важной частью целенаправленного обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

3. Обосновано, что основным ресурсом обучения логическому поиску решения школьных математических задач являются внутрипредметные связи, устанавливаемые в школьном курсе математики. Выявлены десять видов их реализации, которые описывают проявление внутрипредметных связей в процессе решения задач, и являются своеобразными эвристиками, помогающими в выдвижении локальных идей решения задачи. Установлено, что непосредственно выполнению поиска решения задачи способствуют только первый-третий и пятый-восьмой виды реализации внутрипредметных связей.

4. Выявлена сущность общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, и построена его обобщённая модель — полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых субъектом в процессе поиска решения задачи. Установлена основная причина неумения школьников выполнять логический поиск решения математических задач. Осмысление этой причины предопределило целенаправленное формирование у школьников умения осуществлять поиск решения математических задач на основе деятельностного подхода к обучению математике.

5. Выделены девять основных видов деятельности, выполняемой в. процессе работы над задачей, посредством которых в практике реального обучения может быть реализовано формирование у школьников осмысления поисковых ресурсов как общих поисковых действий. С учётом этого факта, разработаны методы систематизации школьных математических задач на основе деятельностного подхода в контексте исследуемой проблемы, а также созданы методы, с помощью которых обеспечивается регулярность процесса обучения логическому поиску решения задач. Это выражается в упорядочивании отдельных систем математических задач, осуществляемой в рамках как одной темы, так и нескольких смежных тем, и в структурировании школьного курса математики по темам, видам и подвидам задач, что способствует регулярному использованию в обучении математике всех поисковых ресурсов.

6. Предложены методы, способствующие повышению эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В частности, разработан метод количественной и качественной оценки логической трудности задач, используемый как критерии развитости умения их решать. В контексте этого метода все задачи разделены на четыре уровня трудности, различающихся качественно. Исходя из количественных значений трудности, все задачи разделены на пять групп: менее 10 баллов; 11-20 баллов; 21-30 баллов; 31-40 баллов, более 40 баллов. Задачи из этих групп соответственно названы лёгкими, умеренными, средней трудности, трудными и очень трудными. Также предложен метод оценивания эффективности использования внутрипредмет-ных связей в обучении поиску решения задач, разработан метод системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений данного исследования в практике школьного обучения математике. Выявлены основные критерии, на основе которых построение школьного курса математики, акцентированного на обучении поиску решения задач, обусловливает повышение эффективности этого обучения.

7. Показано, что целенаправленное обучение логическому поиску решения-школьных математических задач в учебном процессе реализуется на основе диалектического единства его процессуальной и содержательной составляющих. Суть первой составляющей моделирует ПООД, суть второй заключается в, упорядочивании процесса обучения, осуществляемом на основе деятельностно-го подхода. Обосновано, что процесс обучения поиску решения задач" состоит из трёх основных этапов. На первом этапе учитель непосредственно управляет поисковой деятельностью учащихся, на втором этапе школьники учатся организовывать и логически упорядочивать свои поисковые действия, третий этап преимущественно состоит из самостоятельной работы учащихся. В ходе исследования показано, что целенаправленное обучение логическому поиску решения задач должно осуществляться в русле третьего типа ориентировки учения школьников. Суть этого обучения в том, чтобы школьники с помощью данного им метода анализа задач (в диссертации он представлен с помощью ПООД) составляли конкретную ориентировочную основу действий, которые необходимо выполнить, решая данную задачу, что в конечном итоге направлено на выдвижение и реализацию локальных идей решения задачи.

8. Подтверждена гипотеза, выдвинутая в исследовании. Статистическая обработка результатов формирующего педагогического эксперимента выполнена с помощью критерия Манна-Уитни для уровня значимости а = 0,05. В его проведении использовались системы задач, построенные в соответствии с теоретическими положениями, разработанными в диссертации.

Таким образом, экспериментально подтверждён тезис о том, что для школьника научится выполнению логического поиска решения математических задач — это значит овладеть умением самостоятельно организовывать и логически упорядочивать свою деятельность в процессе поиска их решения, что удалось большинству учащихся экспериментальных классов к моменту окончания средней школы. Это качественный критерий, проявляющийся в том, что после длительного целенаправленного обучения школьники акцентируют процесс поиска решения задачи на логическом его аспекте. Опытному учителю нетрудно определить это по качеству ответов учащихся у доски, сущности вопросов, задаваемых ими, и сути попыток выполнения поиска решения тех задач, которые им не удалось решить и т. п. Также заметим, что учащиеся были способны решать многие задачи, обычно предлагаемые на математических кружках и факультативах, то есть довольно трудные.

Целенаправленное обучение логическому поиску решения задач не только требует, но и обусловливает более качественное овладение учащимися теоретическим материалом, способствует осознанию его иерархической упорядоченности, предопределяет формирование системности знаний школьников и развивает у них логическое мышление, то есть, оно способствует повышению общего уровня математической подготовки школьников, которое учитель может зафиксировать с помощью перечисленных выше признаков.

Обучая школьников поиску решения задач, учитель математики первоначально должен сосредоточить своё внимание на четырёх обстоятельствах. 1. Помогая школьникам выполнять поиск решения задачи, учить их составлению конкретной ориентировочной основы действий, опираясь на сущность внутри-предметных связей. 2. Оказывать учащимся помощь в освоении поисковых ресурсов, способствовать осознанию ими этих ресурсов как общих поисковых действий 3. Помогать учащимся овладевать умением управлять своей деятельностью, выполняемой в процессе поиска решения задач. 4. Регулярно использовать в обучении задачи всех видов и классов, учитывать четырёхаспектную типологию теоретического базиса задач. После этого он может более детально применять в своей работе основные положения данного исследования.

В диссертации выполнен системно-структурный анализ процесса логического поиска решения задачи. Он позволил установить, что школьники не могут выполнить поиск решения задачи потому, что не умеют организовывать и логически упорядочивать свои поисковые действия. Причина этого неумения заключается в том, что в обучении математике целенаправленно практически не используется большинство поисковых ресурсов, на применении которых базируется процесс логического поиска решения задачи. В настоящее время в традиционном обучении школьников поиску решения задач преобладает использование частных приёмов поиска, применимых лишь к задачам данной разновидности, поэтому учащиеся затрудняются в отыскании способа решения задач, относящихся к незнакомой им разновидности. Следовательно, полноценное обучение поиску решения математических задач не может базироваться- на-формировании у школьников частных поисковых умений. Необходимо обучать их общему умению выполнять поиск решения математических задач.

Сущность общего умения выполнять логический поиск решения задач не может заключаться только в знании основных поисковых ресурсов, поскольку они выражены конкретными средствами. Для того, чтобы отвлечься от их понимания как частных ресурсов и осмыслить эти ресурсы как общие, надо осознать не только то, что было использовано в решении задачи, но и то, как это было осуществлено, то есть понять, что было сделано в ходе применения данного поискового ресурса. Иными словами, каждый поисковый ресурс учащимся необходимо осмыслить как общее поисковое действие.

Таким образом, для целенаправленного обучения школьников логическому поиску решения математических задач необходимо не только ввести в процесс обучения все основные поисковые ресурсы, но и помочь учащимся осмыслить их как общие поисковые действия. На практике для этого, в частности, от учащихся следует требовать чёткого формулирования тех действий, которые они выполняли в уже решённой ими задаче, а также и тех действий, которые они планируют предпринять, выполняя поиск решения данной задачи. Причём все эти действия они должны осмыслить и сформулировать как обобщённые. Кроме того, учителю следует обращать внимание школьников на то, что эти же действия они уже выполняли в процессе решения задач других разновидностей. Фактически всё это приводит к выводу о том, что формирование у школьников общего умения выполнять логический поиск решения математических задач реализуется на основе деятельностного подхода к обучению математике.

Целенаправленное обучение логическому поиску решения задач в контексте деятельностного подхода предполагает, прежде всего, упорядочивание всех обучающих действий учителя. Однако эти действия в первую очередь предопределяются основными поисковыми ресурсами; которые, в свою очередь, детерминируются теоретико-методическими характеристиками задач и внутри-предметными связями, реализованными в школьном курсе математики. Следовательно, использование деятельностного подхода в решении проблемы обучения логическому поиску решения задач, главным образом, сводится- к систематизации основных поисковых ресурсов, которая« осуществляется с помощью систематизации задач (а затем уже и систем задач), в ходе решения которых используются основные поисковые ресурсы. Для выполнения систематизации задач надо выделить какие-либо средства, положенные в её основу. В качестве таких средств в диссертации использованы основные виды деятельности, предопределяемые задачей в процессе логического поиска её решения.

Таким образом, объяснение причины неумения учащихся выполнять поиск решения математических задач предопределило сущность и средства целенаправленного обучения школьников поиску их решения. Знание этой причины позволило установить, что учащиеся смогут полноценно научиться решать задачи лишь тогда, когда они овладеют общим умением выполнять логический поиск решения задач. Причём само общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач — не альтернатива частным поисковым умениям. Это базис, опираясь на который, субъекту необходимо определять основные стратегии поискового процесса, в рамках которых далее он может применять и частные приёмы поиска. Этот фактор стал решающим в обосновании того, что целенаправленное обучение школьников логическому поиску решения математических задач следует реализовывать в контексте деятельностного подхода к обучению математике.

Все поисковые ресурсы и способы их целенаправленного использования в обучении математике детерминируются теоретико-методическими характеристиками задач и внутрипредметными связями, реализованными в школьном курсе математики. Они выявлены в ходе теоретического исследования проблемы обучения логическому поиску решения задач. Следовательно, сама эта проблема может быть решена лишь тогда, когда на теоретическом уровне выявлена её сущность и определены основные пути решения.

Подводя окончательный итог, отметим, что изначально не ставилось цели решить изучаемую проблему в полной мере. В дальнейших исследованиях по этой проблеме будут дополнены и, возможно, пересмотрены некоторые основные положения, разработанные в диссертации. В данной работе представлен один из альтернативных концептуальных подходов, состоящий в создании теории, описывающей процесс обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач. Полученные результаты позволяют утверждать, что эта цель достигнута.

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Аксёнов, Андрей Александрович, Орел

1. Абдуллаев Г. Развитие поисковой деятельности учащихся при изучении математики в 7-9 классах. Автореф. дисс. . канд. пед наук. Киев, 1991. 23 с.

2. Абремский Б.А. Формирование приёмов решения планиметрических задач на вычисление в процессе анализа их решений. Дисс. . канд. пед наук М., 1990. 202 с.

3. Аксёнов A.A. Решение задач методом оценки // Математика в школе. 1999. № 3. С. 30-34.

4. Аксёнов A.A. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики. Дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 2000. 160 с.

5. Аксёнов A.A. Реализация внутрипредметных связей при изучении раздела "Уравнения, неравенства и их системы" в профильных классах и классах с углублённым изучением математики. Монография. Орёл: ОГУ, 2004. 60 с.

6. Аксёнов A.A. Теоретические основы обучения школьников поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2005. 122 с.

7. Аксёнов A.A. Теоретические основы систематизации учебного материала при обучении школьников поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2005. 79 с.

8. Аксёнов A.A. Теория обучения поиску решения школьных математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2007. 200 с.

9. Аксёнов A.A. Об- обучении школьников поиску решения математических задач // Начальная школа плюс До и После. 2008. № 10. С. 83-85:

10. Аксёнов A.A. Внутрипредметные связи как ресурс процесса поиска решения школьных математических задач // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. 2008. № 12 (81). С. 191-198.

11. Аксёнов A.A. Роль теоретического базиса математических задач в выполнении поиска их решения // Казанский педагогический журнал. 2008. № 9. С. 14—19.

12. Аксёнов A.A. Общая теория обучения учащихся начальных и младших классов поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, ООО Полиграфическая фирма "Картуш", 2008. 100 с.

13. Аксёнов A.A. Теоретические основы применения нечётких задач в обучении школьников математике. Монография. Орёл: ОГУ, ООО Полиграфическая фирма "Картуш", 2008. 48 с.

14. Аксёнов A.A. Роль составления математических задач в обучении школьников поиску их решения // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. Серия "Педагогические науки". 2009. № 1 (35). С. 152-156.

15. Аммосова Н.В. Методико-математическая подготовка студентов педагогических факультетов к развитию творческой личности школьника при обучении математике. Дисс. . д-ра пед. наук. Астрахань, 1999. 420 с.

16. Алгебра: Для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др., под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1995. 256 с.

17. Алгебра: Для 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др., под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1996. 384 с.

18. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. 3-е. изд., дораб. М.: Просвещение, 1992. 335 с.

19. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. 2-е. изд., дораб. М.: Просвещение, 1990. 288 с.

20. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1994. 239 с.

21. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1990. 272 с.

22. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 1991. 239 с.

23. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 1992. 223 с.

24. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 1992. 354 с.

25. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др., под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1990. 320 с.

26. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957. 266 с.

27. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966. 366 с.

28. Аткинсон Р. Человеческая память и процесс обучения. М.: Прогресс, 1980.528 с.

29. Багаутдинова А.Ш. Задачи как средство организации поисковой деятельности учащихся при изучении математики в 5-6 классах. Дисс. . канд. пед. наук. СПб., 2004. 187 с.

30. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971. 462 с.

31. Балк М.Б., Балк Г.Д. Поиск решения. М.: Детская литература, 1983. 143 с.

32. Балл Г.А. Теория учебных задач: психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. 184 с.

33. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. 3-е изд. М.: Просвещение, 1993. 351 с.

34. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1971. 94 с.

35. Башмаков М.И. Уровень и профиль школьного математического образования // Математика в школе. 1993. № 2. С. 8-9.

36. Бирюков В.В., Тюхин В.С. О понятии сложности // Логика и методология наук. М.: Мысль, 1967. С. 218-225.

37. Блонский П.П. Память и мышление. СПб.: Питер, 2001. 288 с.

38. Болтянский В.Г. Анализ поиск решения задачи // Математика в школе. 1974. № 1.С. 34-40.

39. Болтянский В.Г., Грудёнов Я.И. Как учить поиску решения задач // Математика в школе. 1988. № 1. С. 8-14.

40. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. 1988. № 3. С. 9-13.

41. Брейтигам Э.К. Деятельностно-смысловой подход в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа. Дисс. . д-ра пед. наук. Барнаул, 2004. 433 с.

42. Брушлинский A.B. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970. 202 с.

43. Брушлинский A.B. Психология мышления и проблемное обучение. М.: Знание, 1983. 96 с.

44. Бурда М.И. Формирование умений осуществлять поиски геометрических доказательств // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. O.A. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. 223 с.

45. Валитова C.JI. Методические основы обучения поиску решения текстовых алгебраических задач в 7-9 классах на основе формирования приёмов учебной деятельности. Дисс. . канд. пед. наук. М., 1998. 188 с.

46. Василевский А.Б. Методы решения задач. Мн.: Высшая школа, 1974. 238 с.

47. Василевский А.Б. Обучение решению задач по математике. Мн.: Высшая школа, 1988. 255 с.

48. Воробьёва Н.Г. Формирование познавательной активности учащихся в процессе решения геометрических задач. Атореф. дисс. . канд. пед наук. М., 1989. 16 с.

49. Воробьёв В.В. Поисково-исследовательские задачи по алгебре и геометрии как средство развития творческого мышления учащихся математических классов. Дисс. канд. пед. наук. Омск, 2005. 255 с.

50. Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. М.: АПН РСФСР, 1957. 517 с.

51. Выготский Л.С. Собрание сочинений. М.: Педагогика, 1982. Т.1. 488 с.

52. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991. 480 с.

53. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследования мышления в советской психологии. М.: Наука, 1966. С. 236-277.

54. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие школьников. М.: Педагогика, 1985. 392 с.

55. Танеев Х.Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике в средней школе. Дисс. . д-ра пед. наук. Екатеринбург, 1997. 327 с.

56. Гейбука С.В. Подготовка будущих учителей математики к формированию исследовательской деятельности школьников (на примере курса алгебры). Дисс. канд. пед. наук. Новосибирск, 2005. 147 с.

57. Генкин Г.З., Глейзер А.П. Преподавание в классах с углублённым изучением математики//Математика в школе. 1991. № 1. С. 20-23.

58. Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач // Математика в школе. 2001. № 7. С. 61-66.

59. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. 3-е изд., пере-раб. М.: Просвещение, 1992. 464 с.

60. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. М.: Просвещение, 1991. 415 с.

61. Геометрия. Доп. Главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / JI.C. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1996. 205 с.

62. Геометрия. Доп. Главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики / JI.C. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, И.И. Юдина. М.: Просвещение, 1997. 176 с.

63. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / JI.C. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1990. 336 с.

64. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / JI.C. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б: Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1992. 207 с.

65. Георгиев B.C. Опыт активизации деятельности школьников на основе использования циклов задач // Математика в школе. 1988. № 1. С. 77-78.

66. Герасимова А.Д. Методические основы обоснования дополнительных построений: Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. университетов. Тирасполь: РИО ПГУ, 1995. 72 с.

67. Гильманов P.A. Измерение трудности учебных упражнений посредством моделирования процесса их выполнения. Дисс.' . канд. пед. наук. Казань, 1987. 156 с.

68. Гильманов P.A. Проблема дидактометрии трудности учебных упражнений; Казань:.Изд-во Казан, ун-та, 1989. 182 с.

69. Глыва Г.Н. Формирование обобщённости умений решать геометрические задачи у учащихся 6-8 классов. Дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1988. 179 с.

70. Горина О.П. Проблемные задания как средство организации развивающего обучения математике в 5-6 классах. Дисс. канд. пед. наук. М., 2002. 130 с.

71. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. М.: Просвещение, 1996. 240 с.

72. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. 136 с.

73. Грудёнов Я.И. Поиск решения задач // Квант. 1973. № 12. С. 39-44.

74. Грудёнов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М.: Просвещение, 1990. 224 с.

75. Губа С.Г. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей // Математика в школе. 1972. № 3. С. 19-22.

76. Гузкин А.В. Переформулировка текста задачи как путь отыскания способа её решения // Из опыта преподавания математики в школе: Пос. для учителей / Сост. А.Д. Сёмушкин, С.Б. Суворова. М., 1978. С. 119-128.

77. Гуревич В.Ю. Формирование приёмов поиска решения задач на уроках математики в 6 классе. Дисс. . канд. пед. наук. М., 1972. 308 с.

78. Гуревич С.В. Методика построения чертежа к геометрической задаче при изучении геометрии, основанном на идеях фузионизма. Дисс. . канд. пед. наук. М., 1997. 173 с.

79. Турина В.М. Формирование общих приёмов поиска доказательства математических утверждений. Дисс. . канд. пед наук. JL, 1984. 180 с.

80. Гурова JI.JI. Психологический анализ решения задач. Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1976. 314 с.

81. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Дисс. . д-ра пед наук. М., 1990. 364 с.

82. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: М.: Педагогика, 1972. 423 с.

83. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика, 1986. 423 с.

84. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. 544 с.

85. Далингер В.А. Методические рекомендации к проведению обобщающих повторений // Математика в школе. 1988. № 2. С. 57-59.

86. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1991. 80 с.

87. Далингер В.А. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математике в школе. Дисс. . д-ра пед. наук. Омск, 1992. 489 с.

88. Далингер В.А. Методика обобщающих повторений при обучении математике: Пособие для учителей и студентов. Омск: Изд-во ОГПИ, 1992. 88 с.

89. Далингер В.А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. 156 с.

90. Далингер В.А., Толпекина Н.В. Организация и содержание поисково-исследовательской деятельности учащихся по математике: Учеб. Пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. 263 с.

91. Далингер В.А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2005. 456 с.

92. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. М.: Учпедгиз, 1961. 144 с.

93. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач. М.: Издательский центр "Академия", 2002. 288 с.

94. Демченкова H.A. Проблемно-поисковые задачи как средство формирования исследовательских умений будущего учителя в курсе методики преподавания математики в педвузе. Дисс. канд. пед. наук. Тольятти, 2000. 203 с.

95. Дзида Г.А. Теоретические основы формирования и развития обобщённого умения решать задачи у учащихся средней школы. Автореф. дисс. . д-ра пед. наук. Челябинск, 1997. 37 с.

96. Добрынина В.В. Методическая система опережающего обучения математике на основе, синергетического подхода. Дисс. . канд. пед. наук. Армавир, 2005. 275 с.

97. Дорофеев Г.В. Переформулировка задачи // Квант. 1974. № 1. С. 53-59.

98. Дорофеев Г.В., Розов Н.Х. Чертёж в геометрической задаче // Квант. 1976. № 6. С. 49-56.

99. Дорофеев Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. 1983. № 6. С. 34-39.

100. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Суворова В.В., Фирсов В.В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. 1990. № 4. С. 15—21.

101. Дорофеев С.Н. Теория и практика формирования творческой активности будущих учителей математики в педагогическом вузе. Дисс. . д-ра пед. наук. Пенза, 2000. 390 с.

102. Дробышева И.В. Методическая подготовка будущего учителя математики к дифференцированному обучению учащихся средней школы. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 2001.431 с.

103. Юб.Егулемова H.H. Видоизменение геометрических задач как средство развития познавательного интереса учащихся основной школы. Дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 2003. 144 с.

104. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: формирование приёмов учебной деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1900. 129 с.

105. Епишева О.Б. Деятельностный подход как теоретическая основа* проектирования методической системы обучения математике. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 1999. 460 с.

106. Ш.Зайкин М.И. Развивай геометрическую интуицию: Кн. для учащихся 5-9-х кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: Туманит, изд. центр "ВЛАДОС", 1995. 112 с.

107. Зайкин М.И. Избранные вопросы теории обучения. Монография. Арзамас: АГПИ, 2003. 323 с.

108. Зильберберг Н.И. Алгебра 8: Учеб. пособие для угл. изуч.1 математики. Псков: Изд-во Псковского обл. ин-та усов, учителей, 1996. 365 с.

109. Зильберберг Н.И. Алгебра — 9: Учеб. пособие для угл. изуч. математики. Псков: Изд-во Псковского обл. ин-та усов, учителей, 1993. 241 с.

110. Зорина Л.Я. Системность качество знаний. М.: Знание, 1976. 64 с.

111. Зорина Л .Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М.: Педагогика, 1978. 128 с.

112. Иванов O.A. Обучение поиску решения задач (фантазии в манере Пойа) // Математика в школе. 1997. № 6. С. 47-51.

113. Изаак Д.Ф. О применении скалярного произведения при решении задач на многогранники // Математика в школе. 1977. № 6. С. 31.

114. Изаак Д.Ф. Поиски решения, исследование и обобщение задач по геометрии // Математика в школе. 1998. № 2. С. 84-87.

115. Изаак Д.Ф. Поиски решения геометрической задачи // Математика в школе. 1998. №6. С. 30-34.

116. Имранов Б. Применение векторов к получению тригонометрических неравенств // Математика в школе. 1980. № 2. С. 62-65.

117. Канин Е.С., Нагибин Ф.Ф. Заключительный этап решения учебных задач // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. O.A. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. 223 с.

118. Капкаева Л.С. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании. Дисс. . д-ра пед. наук. Саранск, 2004. 424 с.

119. Карелина Т.М. О проблемных ситуациях на уроках геометрии // Математика в школе. 1999. № 6. С. 19-20.

120. Карелина Т.М. Методы проблемного обучения // Математика в . школе. 2000. №5. С. 31-32.

121. Клещёва И.В. Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся при изучении математики. Дисс. . канд. пед. наук. СПб., 2003. 176 с.

122. Кожухов C.K. Составление задач школьниками // Математика в школе. 1995. № 2. С. 4-6.

123. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. Изд-во НИИ школ МП РСФСР, 1972. 96 с.

124. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. М.: Просвещение, 1977. 110 с.

125. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II. М.: Просвещение, 1977. 144 с.

126. Колягин Ю.М., Харьковская В.Ф., Гульчевская В.Г. О системе учебных задач как средстве развития математического мышления школьников // Из опыта преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1977. С. 36-46.

127. Колягин Ю.М. Методические проблемы применения задач в обучении математике // Роль и место задач в обучении математике / Под ред. Ю.М. Коляги-на. М.: Изд-во НИИ школ, 1978. С. 5-12.

128. Колягин Ю.М. Обучение математике в процессе решения задач и обучение решению задач в средней школе // Вопросы обоснования содержания школьного математического образования / Под ред. O.A. Боковнева. М.: Изд-во НИИ школ, 1981. С. 4-11.

129. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. 1990. № 4. С. 21-27.

130. Корина П.С. Проблемность в обучении математике как средство развития у учащихся познавательного интереса. Дисс. . канд. пед. наук. Шадринск, 1994. 219 с.

131. Кохановский В.П., Лешкевич Т.Г., Матяш Т.П., Фахти Т.Б. Основы философии науки: учебное пособие для аспирантов. Изд. 5-е. Ростов на Дону: Феникс, 2007. 603 с.

132. Креславская O.A. Система задач как средство развития математического мышления учащихся 8-9 классов с углублённым изучением математики (на примере изучения функций). Дисс. . канд. пед. наук. СПб., 1998. 152 с.

133. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. Монография. М.: Прометей, 1995. 166 с.

134. Крупич В.И. Модель систематизации структур текстовых задач школьного курса математики // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы: Межвузовский сборник научных трудов. JL: ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1981. С. 13-25.

135. Крылов В.В. Установление содержательных взаимосвязей учебного материала на практикуме по решению математических задач посредством качественных заданий. Дисс. канд. пед. наук. СПб., 2000. 128 с.

136. Крюкова В.Л. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углублённым изучением математики. Дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 2005. 181 с.

137. Кузнецова Ю.А. Формирование поисковой деятельности в обучении математике учащихся 1-6-х классов. Дисс. . канд. пед. наук. Пенза, 2004. 168 с.

138. Кулюткин Ю.Н., Сухобская Г.С. Эвристический поиск при решении задач: Эвристика как открытие способа решения // Новые исследования в педагогических науках. М.: Просвещение, 1967. № 11. С. 97-103.

139. Кур дин Д.А. Формирование интуитивного компонента геометрической подготовки школьников при обучении математике в 5-6 классах. Дисс. . канд. пед. наук. Арзамас, 2006. 147 с.

140. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. 3-е изд. М.: Политиздат, 1977. 358 с.

141. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. М.: Наука, 1981. 584 с.

142. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Просвещение, 1996. 207 с.

143. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Просвещение, 1997. 224 с.

144. Маликов Т.С. Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школе. Дисс. . д-ра пед. наук. Кокшетау, 2005. 283 с.

145. Маскина М.С. Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах. Дисс. канд. пед. наук. Рязань, 2003. 189 с.

146. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. 196 с.

147. Махмутов М.И. Некоторые особенности проблемного обучения // Советская педагогика. 1970. № 9. С. 49-57.

148. Махмутов М.И. Проблемное обучение. М.: Педагогика, 1975. 367 с.

149. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1977. 240 с.

150. Махмутов М.И. Современный урок. 2-е изд., испр. и доп. М.: Педагогика, 1985. 184 с.

151. Махсудова У.М. Изучение вектора в 7-9 классах как одно из средств реализации внутрипредметных связей при обучении математике. Дисс. . канд. пед. наук. Махачкала, 2004. 128 с.

152. Мелешко С.И. Проблемное обучение в современной школе. Мн.: Народная асвета, 1975. 110 с.

153. Менчинская H.A. Проблемы учения и умственного развития школьников. М.: Педагогика, 1989. 218 с.

154. Меньшикова H.A. Учебно-исследовательская математическая деятельность в средней школе как фактор приобщения к будущей научной работе. Дисс. . канд. пед. наук. Ярославль, 2003. 176 с.

155. Мерлина Н.И. Теоретические основы дополнительного математического образования школьников. Дисс. . д-ра пед. наук. Чебоксары, 2000. 289 с.

156. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск: Издательство БГУ им. В.И. Ленина, 1-975. 256 с.

157. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Минск: Выш. шк., 1977. 160 с.

158. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и её проблемы: Учеб. пособ. для вузов. 2-е изд., перераб. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. 256 с.

159. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Сост. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. М.: Просвещение, 1975. 462 с.

160. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Сост. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. М.: Просвещение, 1975. 480 с.

161. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох* В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. / Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.

162. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов. / Блох А.Я., Канин Е.С. и др. / Сост. P.C. Черкасов, А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1985. 336 с.

163. Мирзаев С.М. Методика формирования исследовательских умений у учащихся 7-9 классов на основе применения приёмов ограничения и обобщения (Впроцессе обучения математике). Дисс. . канд. пед. наук. Махачкала, 2004. 162 с.

164. Молонова М.М. Самостоятельная работа по формированию математических понятий у учащихся 7-9 классов в условиях уровневой дифференциации. Дисс. . канд. пед. наук. М., 2005. 179 с.

165. Монахов В.М., Гуревич В.Ю. Об одном методе системного анализа внутрипредметных связей // Математика в школе. 1980. № 2. С. 54-57.

166. Моралишвили Т.Д. Обучение поиску решения задач по алгебре и началам анализа в старших классах средней школы. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1987. 16 с.

167. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 1986. 416 с.

168. Мостовой А.И., Шарипов Т.А., Наконечный М.Н. О создании проблемных ситуаций при решении задач разными способами // Математика в школе. 1979. № 1. С. 20-23.

169. Муравин К.С. Принципы внутрипредметной связи как средство построения системы упражнений в восьмилетней школе. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1967. 16 с.

170. Наглядно-конструктивное изучение школьной геометрии / Сост. Г.П. Сенников. Горький: Волговятское кн. изд-во., 1990. 158 с.

171. Немов P.C. Психология. Учеб. для студентов высш. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 1. Общие вопросы психологии. 2-е изд. М.: Просвещение: "ВЛАДОС", 1995. 576 с.

172. Нешков К.И., Сёмушкин А.Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. 1971. №3. С. 4-7.

173. Николау JI.JI. Технология проблемного обучения математике в начальных классах. Дисс. канд. пед. наук. Тирасполь, 2002. 172 с.

174. Нугмонов М. Теоретико-методологические основы методики обучения математике. Дисс. . д-ра пед. наук. Душанбе, 1999. 306 с.

175. Оконь В. Процесс обучения. М.: Учпедгиз, 1962. 172 с.

176. Оконь В. Основы проблемного обучения. М.: Просвещение, 1968. 208 с.

177. Ольбинский И.Б. Методика обучения учащихся старших классов рефлексивному исследованию математических задач. Дисс. . канд. пед. наук. М., 2002. 222 с.

178. Онищук В.А. Использование учебника на уроке при изучении нового материала// Советская педагогика. 1962. № 10. С. 35-38.

179. Орехов Ф.А. Решение задач методом составления уравнений. М.: Просвещение, 1971. 158 с.

180. Орлов В.В. Организация обучения поиску решения планиметрических задач // Математика в школе. 1996. № 1. С. 5-7.

181. Певчева Т.В. Обучение постановке проблемных вопросов и составлению задач как условие развития творческих возможностей учащихся. Дисс. . канд. пед. наук. М, 1994. 243 с.

182. Перевощикова E.H. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности. Дисс. . д-ра пед. наук. Нижний Новгород, 2000. 344 с.

183. Петрова Е.С. Обучение методике поиска решения задач в условиях школьных факультативов // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средних школ / Сост. Лященко Е.И. и др. Л. J JUL НИ, 1981. С. 120-123.

184. Петрова Е.С. Система методической подготовки будущих учителей по углублённому изучению математики. Дисс. д-ра пед. наук. Саратов, 1998. 456 с.

185. Погорелов A.B. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1990. 383 с.

186. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. 464 с.

187. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: Наука, 1976. 448 с.

188. Пойа Д. Как решать задачу. Львов: Квантор, 1991. 216 с.

189. Пономарёв Я.А. Психология творческого мышления. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. 352 с.

190. Поспелов М.В. Использование внутренних связей учебного материала для интенсификации учебного процесса по математике в 8-9 классах средней школы. Дисс. . канд. пед. наук. Киров, 2005. 146 с.

191. Программы средней общеобразовательной школы: Математика. М.: Просвещение, 1998. 206 с.

192. Радченко В.П. К вопросу о методике обучения решению задач // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средних школ / Сост. Лященко Е.И. и др. Л. ЛГПИ, 1981. С. 123-135.

193. Резник И.А Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления. Дисс. . д-ра пед. наук. СПб., 1997. 500 с.

194. Рогановский Н.М. О методе подготовительных задач // Математика в школе. 1988. №2. С. 15-16.

195. Родионов М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике. Дисс. . д-ра пед. наук. Саранск, 2001. 381 с.

196. Руденко В.Н. Об использовании домашнего задания при изложении нового материала // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. O.A. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. 223 с.

197. Рузин H.K. Методика обучения и стимулирования поисковой деятельности учащегося по решению школьных математических задач: Учебное пособие. Горький: ГГПИ им. М. Горького, 1989. 80 с.

198. Рыженко Н.Г. Информационно-логический подход к оценке сложности и трудности математических задач. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1992. 16 с.

199. Санина Е.И. Методические основы обобщения и систематизации знаний учащихся в процессе обучения математике в средней школе. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 2002. 381 с.

200. Саранцев Г.И. О методике обучения школьников поиску решения математических задач // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. O.A. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. 223 с.

201. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240 с.

202. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. Саранск: Тип. "Красный октябрь", 1999. 208 с.

203. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск: Тип. "Красный октябрь", 2001. 139 с.

204. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с угл. изуч. математики. М.: Просвещение, 1992. 271 с.

205. Сборник нормативных документов. Математика: Федеральный компонент государственного стандарта. Федеральный базисный учебный план и примерные учебные планы / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. 2-е изд., стереотипное. М.: Дрофа, 2008. 128 с.

206. Семёнов Е.С. Размышления об эвристиках // Математика в школе. 1995. № 5. С. 39^0.

207. Семёнов П.В. Как составлять уравнения л/ах+Ь =cx+d II Математика в школе. 2000. № 10. С. 18-19.

208. Семёнов П.В. Как составлять некоторые логарифмические уравнения // Математика в школе. 2001. № 8. С. 51-52.

209. Сёмушкин А.Д., Кретинин Д.С., Семёнов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при обучении математике: обучение обобщению и конкретизации. М.: Просвещение, 1978. 64 с.

210. Силаев Е.В. Теоретические основы методической подготовки будущего учителя к преподаванию школьного курса геометрии. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 1997.331 с.

211. Скаткин JI.H. Обучение решению простых арифметических задач. Пособие для учителей начальной школы. М.: Учпедгиз, 1951. 104 с.

212. Славская К.А. Детерминация процесса мышления // Исследование мышления в советской психологии. М.: Наука, 1966. С. 175-224.

213. Смыкалова Е.В. Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой. Дисс. канд. пед. наук. СПб., 2004. 153 с.

214. Смыковская Т.К. Теоретико-методологические основы проектирования методической системы учителя математики и информатики. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 2000. 383 с.

215. Советский энциклопедический словарь. Гл. ред. A.M. Прохоров. 4-е изд. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 1632 с.

216. Сохор A.M. Об анализе внутренних связей учебного материала // Новые исследования в педагогических науках, 1965. № 4. С. 56-66.

217. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала. М.: Педагогика, 1974. 189 с.

218. Статуев A.A. Реализация углубленного обучения математике в сельской школе с использованием информационно-коммуникационных технологий. Дисс. канд. пед. наук. Нижний Новгород, 2006. 147 с.

219. Столин A.B. Комплексные задания по математике с решениями. 7-11 классы. X.: ИМП "Рубикон", 1995. 240 с.

220. Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Выш. шк., 1965. 254 с.

221. Столяр A.A. Педагогика математики. Минск: Выш. шк., 3-е изд., 1986. 414 с.

222. Столяр A.A. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником. Минск: Нар. асвета, 1987. 143 с.

223. Столяр A.A., Каплан Б.С., Рузин Н.К. Методы обучения математике. Минск: Нар. асвета, 1981. 191 с.

224. Столяр A.A. Как математика ум в порядок приводит. 2-е изд. перераб. и доп. Минск: Выш. шк., 1991. 240 с.

225. Страчевский Э.А. Составление задач по математике как средство активизации мыслительной деятельности учащихся. Дисс. . канд. пед. наук. Петрозаводск, 1972. 183 с.

226. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: МГУ, 1975. 344 с.

227. Таранова М.В. Учебно-исследовательская деятельность как фактор повышения эффективности обучения математике учащихся, профильных классов Дисс. канд. пед. наук. Новосибирск, 2003. 190 с.

228. Тарасенкова H.A. Пропедевтический этап обучения поиску дополнительных построений // Математика в школе. 2000. № 4. С. 32—35.

229. Теоретические основы обучения математике в средней школе / Под. ред. Т.А. Ивановой. Нижний Новгород: НГПУ, 2003. 318 с.

230. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека. М.: МГУ, 1969. 304 с.

231. Туманов С.И. Поиски решения задачи. М.: Просвещение, 1969. 280 с.

232. Тюина Н.С. Формирование анализа через синтез как приёма творческой деятельности младших школьников в обучении математике. Дисс. . канд. пед. наук. Пенза, 2003. 162 с.

233. Уёмов А.И. Системный подход и общая теория систем. М.: Педагогика, 1978.272 с.

234. Утеева P.A. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. Дисс. д-ра пед. наук. М., 1998. 363 с.

235. Уткина Т.И. Теоретические основы управления качеством подготовки учителя математики. Дисс. . д-ра пед. наук. М., 2005. 396 с.

236. Федосеева З.Р. Формирование пространственных представлений учащихся посредством пропедевтики стереометрических знаний в процессе обучения математике. Дисс. . канд. пед. наук. М., 1998. 164 с. г

237. Фоменко Н.И. Развитие познавательного интереса учащихся 5-6 классов в процессе поиска решения текстовых алгебраических задач. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1997. 16 с.

238. Фридман В.Г. Методика арифметики. М. Пг., Гос. Изд., 1923. 188 с.

239. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.:.Педагогика, 1977. 208 с.

240. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. 160 с.

241. Фридман Л.М., Турецкий E.H. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Просвещение, 1984. 175 с.

242. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1985. 112 с.

243. Фридман JIM. Педагогический опыт глазами психолога: Кн. для учителя. М., 1987. 234 с.

244. Фридман JIM. Изучаем математику. М., 1995. 254 с.

245. Фридман J1.M. Теоретические основы обучения математике. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. 224 с.

246. Фридман JI.M. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей. М.: Школьная Пресса, 2002. 208 с.

247. Фуше А. Педагогика математики. Пер. с франц. М.: Просвещение, 1969. 126 с.

248. Хабибуллин К.Я. Стандартный приём в нестандартных задачах // Математика в школе. 2000. № 8. С. 14-15.

249. Хан Инки. Методика осуществления поиска решения геометрических задач в условиях дифференцированного изучения математики в школах Южной Кореи. Дисс. канд. пед. наук. М., 1998. 195 с.

250. Цукарь А.Я. О типологии задач // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учеб. Пос. для студентов мат. -и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. М.: Просвещение, 1985. С. 132-139.

251. Цукарь А.Я. Самостоятельная работа учащихся по решению и составлению задач как средство повышения качества знаний по математике. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1985. 16 с.

252. Цукарь А.Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления. Дисс. . д-ра пед. наук. Новосибирск, 1999. 430 с.

253. Цукарь А.Я. Изучение функций в 7 классе с помощью средств образного характера // Математика в школе. 2000. № 4. С. 20-27.

254. Цукарь А.Я. О полезности интерпретации решения задачи // Математика в школе. 2000. № 7. С. 34-37.

255. Чекмарёв Я.Ф., Снигирёв В.Т. Методика преподавания арифметики. М.: Учпедгиз, 1952. 272 с.

256. Черноуеова Н.В. Развитие познавательной самостоятельности студентов педагогических факультетов в процессе поиска решения текстовых алгебраических задач. Дисс. канд. пед. наук. М., 1999. 170 с.

257. Чиркова O.A. Реализация идеи опережающего ознакомления при обучении доказательствам теорем в курсе геометрии основной школы. Дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 2002. 138 с.

258. Шамова Т.М. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982. 203 с.

259. Шарыгин И.Ф. Чертёж в стереометрических задачах // Квант. 1974. № 10. С. 32-37.

260. Шарыгин И.Ф. Наглядно-эмпирическая концепция построения школьного курса геометрии // К концепции содержания школьного математического образования: Сб. науч. трудов / Редкол. С.Б. Суворова и др. М.: Изд-во АПН СССР, 1991. С. 24^12.

261. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс. М.: Дрофа, 1997. 352 с.

262. Шаталов В.Ф. Куда и как исчезли тройки. М.: Педагогика, 1979. 136 с.

263. Шаталов В.Ф. Точка опоры. М.: Педагогика, 1987. 158 с.

264. Шаталов В.Ф. Эксперимент продолжается. М.: Педагогика, 1989. 336 с.

265. Шаталов В.Ф. Психологические контакты. М., 1992. 74 с.

266. Шевкин A.B. Об учёте и использовании внутрипредметных связей в процессе преподавания математики // Проблемы совершенствования преподавания математики в средней школе / Под ред. С.Б. Суворовой. М.: Изд-во АПН СССР, 1986. С. 130-135.

267. Шеренцова О.М. Обучение поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы. Дисс. . канд. пед. наук. Киров, 2004. 216 с.

268. Шило Н.Г. Формирование системности знаний учащихся на заключительном этапе решения геометрических задач. Дисс. . канд. пед. наук. М., 1997. 219 с.

269. Шкильменская H.А. Различные варианты углублённого изучения алгебры в 8-9 классах на основе внутренней дифференциации и их сравнительная эффективность. Дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 2002. 162 с.

270. Шмигирилова И.Б. Использование учебно-поисковых заданий для развития творческого мышления учащихся в обобщающем повторении планиметрии. Дисс. . канд. пед. наук. Омск, 2005. 255 с.

271. Шор Я.А. О решении арифметических задач. Пособие для учителей педагогических училищ. М.: Учпедгиз, 1953. 100 с.

272. Шохор-Троцкий С.И. Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования. СПб., журн. "Русская школа", 1892. 116 с.

273. Шульга Е.В. Задачи как средство оптимизации процесса проблемного обучения математической деятельности в 5-6 классах. Дисс. . канд. пед. наук. Омск, 2003. 151 с.

274. Эльконин Д.Б. Психология обучения младшего школьника. М.: Знание, 1974. 64 с.

275. Эрдниев П.М. Методика упражнений по арифметике и алгебре. М.: Просвещение, 1965. 327 с.

276. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. М.: Просвещение, 1970.314 с.

277. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупнённых упражнений). М.: Просвещение, 1978. 304 с.

278. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1986. 255 с.

279. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. В 2 ч. Ч. I. М.: Просвещение, 1992. 175 с.

280. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. В 2 ч. Ч. II. М.: Просвещение, 1992. 256 с.

281. Эрдниев П.М. Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе / Укрупнение дидактических единиц: Кн. для учителя. 2-е изд. испр. и доп. М.: АО "СТОЛЕТИЕ", 1996. 320 с.

282. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Синтез геометрического и алгебраического как средство достижения качественного математического знания // Математика в школе. 2000. № 8. С. 32-33.

283. Эрн Ф.А. Очерки по методике арифметики. Рига, 1915. 188 с.

284. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. М.: Высш. шк., 1972. 216 с.

285. Янущик О.В. Интеграция курсов алгебры и геометрии посредством содержательно-методической линии неравенств в классах с углублённым изучением математики. Дисс. канд. пед. наук. Омск, 2002. 201 с.

286. Bernardo Allan В. I. Analogical Problem Construction and Transfer in Mathematical Problem Solving. Educational Psychology. Volume 21, Issue 2 June 2001, pp. 137-150.

287. Davenport P. Conceptual Gain and Successful Problem-solving in Primary School, Mathematics Educational Studies, Volume 25, Issue 1 March 1999, pp. 5578.

288. Holton D., Anderson J., Thomas В., Fletcher D. Mathematical problem solving in support of the curriculum? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Volume 30, Issue 3 May 1999, pp. 351-371.

289. Lester F.IC.Jr., Masingila J.O., Mau S.T., Lambdin D.V., dos Santón V.M., Raymond A.M. Learning how to teach via problem solving. Professional Development for Teachers of Mathematics. Reston, Virginia: NCTM, 1994, pp. 152-166.

290. Olkin I., Schoenfeld A. A discussion of Bruce Reznick's chapter. Mathematical Thinking and Problem Solving. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, pp. 3951.

291. Reed S.K. Research and Curriculum Reform. London: Lawrence Erlbaum Associates, 1999. 200 pgs.

292. Wyndhamn J., Saljo R. Source: Learning and Instruction, Publisher: Elsevier Volume 7, Number 4, December 1997. p