автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Устойчивые ошибки учащихся по алгебре и началам анализа и способы их устранения

Автореферат диссертации по теме "Устойчивые ошибки учащихся по алгебре и началам анализа и способы их устранения"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имепи В. Д. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.16

На правах рукописи

ЧУКОТАЕВ Мурат Пургазшговпч

УСТОЙЧИВЫЕ ОШИБКИ УЧАЩИХСЯ ПО АЛГЕБРЕ II НАЧАЛАМ АНАЛИЗА II СПОСОБЫ ИХ УСТРАНЕНИЯ

13.00.02 — методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва — 1992

Работа выполнена в Восточно-Казахстанском государственном университете.

Научный руководитель: «кандидат педагогических наук, доцент

М. У. ИОКАКОВ

Официальные о п по не п ты:

доктор педагогических наук, доцент Н. А. ТЕРЕШИН

капдпдат педагогических наук, с. н. с. А. М. АБРАМОВ

Ведущая организация —• Коломенский педагогический институт.

Защита диссертации состоится «./<£....»992 г. в часов на заседании специализированного совета

К 053.01.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата педагогических паук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., 14, математический факультет, МПГУ имени В. И. Ленина, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина то адресу: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ имени В. И. Ленина.

Автореферат разослан Лп...1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

КУЗНЕЦОВ

I. ОБВДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Анализ современного состояния школьного математического образования показывает, что в знаниях учащихся имеются пробелы, т. е. ими допускаются ошибка по - прежнему, несмотря на большие усилия учителей, методистов,, двдактов, психологов.

Одним из главных источников ошибок, выдвигаемых в психологин применительно к данной проблеме, является несовершенство «его -дики преподавания, не всегда учитывающая особенности мышления школьников."

Психология математического мышления рассмотрена в работах психологов Крутецкого В. А.; Лукина Н. С., Менчинской Я- А., Иеварева П. А.

Крутецкии В. А., Дукин Н. С. отмечают, что старшеклассники не всегда владеют умением понятийного мышления и нередко вы -нузденн прибегать к испытанному и освоенному приему - только запомнить.

Нарушение принципа сознательности в обучшял гматематике приводит к формальному усвоении учебного матеря ала, а на этой почве появляются ошибки в знаниях учащихся. 8 работах двдан -тов Ганелина Ш. И., Скаткина'М. Н. поднимаются задача формяро-вания сознательного подхода к усвоению знаний.

Различные стороны формализма в знаниях учащихся рассмотрены в работах методистов Икрамова Дж. 11., Столяра А. А., Теслен-ко И. Ф., Хинчина А. Я. и др.

Анализу и предупроедешто математических ошибок посвящена кавдодатская диссертация Про чуха ева 3. Г. В данной работе впервые подробно рассмотрены ошибки по математике в средней школе. Оэибки систематизированы по тем разделал!, где offli допу- . цены. Указанн причины устойчивых снибок по математике, пути предупрсжденил этих ошибок.

Анализу и искоренению типичных ошибок учащихся по математике посвящены диссертационные работы Асанова Р. А., Атаяна А. А., Икрамова Да. И., Имерлшвили Е. В., Копылэва В, С,, Марнян -окого И. А., фханова А. Т., Скрыпник Д. А., Сичикова А. Ф. и ДР» .

Причины возникновения' математических ошибок учашихся рас -слатриваются в работах Антропова В. , Березанской Е. С., Зыковой Н. И., Киселева k. Е., Никитина Н. И. и др.

- а -

На многие характерные и часто встречающиеся ошибки обра-ц^ется внимание в некоторых пособиях для поступающих в вузы Голубева Н. Г., Дорофеева Г. В., Туликова В. А. и др.

Вопрос о недостатках в знаниях утащхся и ошибках, допускаемых ими при решении задач часто поднимается на страницах журнала "Математика в школе".

Среди классификаций ошибок мы выделяем ошибки, которые имеют устойчивую природу и повторяются в знаниях учащихся неоднократно, т. е. из года в год. Таких повторяющихся оши -бок в знаниях учащихся из года в год будем кратко называть "устойчивыми ошибками". Устойчивые ошибки, появившиеся еще ■ в предыдущих классах, нередко в различных формах и проявлениях допускаются и учениками последующих классов.

Устойчивые ошибки, безусловно, поддаются предупреждению и ликвидации, но только' при соответствующей организации совместной деятельности учителя и учащихся.

В методике обучения математике, несмотря на ватаость темы, имеется мало публикация и исследований соответствующего направления по курсу "Алгебры и начал анализа".

Курс "Алгебра и начала анализа" является завершающим этапом в изучении математики учащимися средней школы. Данный предмет является не просто продолжением курса алгебры, но и • представляет школьную математику в новом качестве. За послед- I ние годы в курсе "Алгебры и начала анализа" подход к.изуче- ■ нию многих понятий претерпел существенные изменения. Таким I образом, на наш вэглед, необходимость дальнейшего исследова- ' нил причины возникновения устойчивы« ошибок учащихся по алгебре и началам анализа определяет актуальность темы нашего диссертационного исследования.

Проблема, решению которой посвящена настоящая диссерта -ционная работа, заключается в исследования и выявлении причал появления устойчивых ошибок учащихся в ходе изучения курса "Алгебры и начал анализа".

Объект исследования - процесс обучения учащихся по алгебре и началам анализа, • Предмет исследования - совокупность методических приемов, направленных на выяснение причин появления устойчаьых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа, способов их предупреждения и устранения.

Цель исследования заключается в разработке методики

предупреждения и устранения устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа.

Анализ психолого - педагогическом литературы, методических исследований, результатов изучения практики работ" учителей математики, собственного опыта позволили сформулировать следующую гипотезу исследования : изучение устойчивых ошибок учандася, на этой основе установленные причины их появления являются важными факторами в устранении и по предупреждению устойчивых ошибок учащихся по алгебре и нача/нм анализа.

В ходе решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие падачи :

1. Выявить причини появления устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа и их классификация.

2. Р&зраОотать систему упра;шений, обеспечивающую предупреждение появления УСТОЙЧИВЫХ ошибок ут-ВЩИХСЯ.

3. Разработать методику предупревдения и устранения устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа.

Для решения поставленных задач применялись следующие . метопы исследования:

- изучение документов и материалов в области народною образования;

- изучение психолого - педагогической и научно - методической литературы по этому вопросу;

- изучение итогов контрольных и экзаменационных ¡работ учащихся по алгебре и началам анализа и анализа результатов вступительных экзаменов по математике в ВУЗ -у а техникумы;

- обобщение личного педагогического опыта работы автора диссертацаи /14 лет /;

- изучение передового опыта учителей средних школ,;

- опытно - педагогическая работа в школах ко применению разработанных нами отдельных рекомендаций.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложена методика выявления устойчивых ошибок уча -щнхся и причины-их появления.

2. Разработаны методические пути предупреждения и устранения устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа.

3. Разработаны системы управлений по предупретдению появления устойчивых ошибок утацихся по алгебре и началам анализа.

Практическая значимость работы состоит в том, что раэра -ботанние системы упражнений и методика иредуцреадения и уо -трашкия устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа смогут оказать помощь учителям в кх конкретной учеб -ной работе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Установленные в ходе исследования причины появления устойчивых ошибок учащихся и их классификация.

2. Методические пути обнаружения и устранения устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа /решение задач различными способами; грубая ■ "прикидка" - приближенная оценка искомой величин«; проверка правильности решения задач путем составления и решения обратных задач к данной; оценка результата решения задач о точки зрения здравого смысла; проверка аналитического решения графически /.

3. Деятельность учителя по преодолению устойчивых ошибок учащихся должна основываться на дифференцированном' подходе к учащимся, ориентировать учащихся на самостоятельную работу и на самоконтроль.

Апробация результатов исследования и внедрение в практику работы. Об основных результатах исследования автор докладывая на научно - теоретических конференциях профессором» - препо -давятельского состава Казахского педагогического государственного унивзрейтета имени Абая /1980 г. /, Восточно - Казах -станского государственного университета /1983, 1984, 1985, 1987, 1989 гг. /, выступал с сообщениями перед учителями средних школ Восточно - Казахстанской области.

Результаты исследования отражены в трех опубликованных работах автора.

Принципиальные положения, выводы, материалы диссертации использовались па практических занятиях по методике препода -вания математики со студентами Восточно - Казахстанского государственного университета.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и заключений, полученных в результате исследования, обесаечи -вается корректным использованием известных научных результатов по теме исследования и результатами опытно'.- педагогической проверки выдвинутой гипотезы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы; с од ер:?, ит 12 рисунков, 2 схемы, 2 таблицы, 2 графика.

II. ОСНОВНОЕ СОДЕИАНИЕ РАБОТЫ'

Во введении обоснована актуальность темы, определены объект, предмет, цель, гипотеза, задачи и методы исследования, раскрыт.« научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава "Устойчивые ошибки учащихся по алгебре и началам анализа" состоит из двух параграфов.

В первом параграфе данной главы проведен анализ педагогической, психологической и научно - методической литературы по проблеме, анализ развития подходов к исследованию проблемы устойчивых ошибок по алгебре и началам анализа с точки зрения психологии, дидактики, методики обучения математике.

На основе этого анализа научной и методической литературы делается вывод об основном источнике ошибок, как формальное усвоение учебного материала учащимися. Указана еще одна при -чина появления устойчивых ошибок учащихся - неадекватный пе -ревод учебников, терминологии на казахский язык.

Во втором параграфе рассматриваются причины появления устойчивых ошибок учащихся по алгебре и началам анализа.

Педагогически?,! причинам появления ошибок отнесли следующие :

1. Недостаточная опытность учителя, малейшие промахи и ошибки учителя, шаблон и формализм в работе, притупленность чувств нового и творческого начала в обучении. Если при прохождении того или иного раздела изучаемой темы допущена су -щественная недоработка, если изучаемый новый учебный материал недостаточно четко объяснен учителем и не закреплен дол -иным образом в сознании всех учащихся на уроке, то это приводит к.плохому выполнению юли практического задания и к появ -данию устойчивых ошибок в их знаниях.

2. Недоработка в знаниях по алгебре в предшествующих классах. Отсутствие надлежащей взаимной связи и преемствен -ности в педагогических требованиях и в системе и методике обучения, применяемых учителями в разных классах, еще чаще -

в выпускных классах девятилетних школ, составляющих контин -гент учащихся десятых классов средней школы.

Отсутствие преемственности в обучении выступает в качестве важной причины появления устойчивых ошибок у учащихся по алгебре и началам анализа. ОЗъясняется это тем, что предметы математического цикла, как известно, требуют1 особенно стро -той последовательности, преемственности в продвижении учащихся от известного к неизвестному и в овладении умениями практического применения приобретенных знаний.

3. Серьезной причиной допущения устойчивых ошибок уча -щихся является то, что многие учителя слабо перестраивают свою.работу в соответствии с новыми требованиями, предъяв -ляемыми к школе; вопросы перестройки рассматривают только

со стороны изменения содержания программного материала,забывая об изменении форм организации и методов обучения в школе.

4. Слабо применяются активные методы обучения, мало предлагш/гся самостоятельные работы; не на должной высоте находится научный уровень преподавания алгебры и начала анализа, что находит выражение, например, в том, что преподаватели допускают недостаточную строгость в рассуждениях; про -верка знании учащихся проводится часто только с целью накопления оценок, а обучающее значение контроля учителя часто забывают; не во всех школах систематически проводятся устные упражнения; учителя еще мало обучают ушсихся решению задач наиболее рациональными способами; несерьезная подготовка учителей к урокам.

Во многих школах слабо развернута внеклассная работа по алгебре и началам анализа.

5. Неадекватный перевод некоторых терминов на казахский язык искажает содержания понятий и в результате в знаниях учащихся возникает формальное усвоение учебного материала.

Отсутствие в казахском языке предлогов в переводе соз -дает определенные трудности в передаче синела выражении. Примером такого явления служит "отображение в" и "отображение на".

Причины ошибок, связанные с психологическими факторами.

I. Быстрый переход к абстракциям.

'¿, Отсутствие познавательного интереса и .воли к учебе.

3. Слабое развитие память, отсутствие внимания на уроке.

4. Неправильное применение аналогии, т. е. влияние ошибочной ассоциации.

Причины ошибок, которые имеют математическую природу.

1. Непонимание учащимся связей мекду символами и соответствующими ими понятиями.

2. Недопонимание и не владение записями простых числовых множеств и рперации над ними.

Искажение и слабое владение смысловым содержанием математических фактов и теории.

В диссертации каждая группа причин ошибок подкреплена примерами с анализом ошибок и верного решения.

Вторая глава "Формы и методы работы по ликвидации устойчивых ошибок по алгебре и началам анализа" состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе рассматривается взгляд на деление . класса, для проведение индивидуально - дифференцированной работы с учащимся, по уровням учебных возможностей, исходя из показателя работоспособности, потребности в математических знаниях, уровня обучаемости учащихся.

Ни, в своей исследовательской работе, рекомендуем проводить возможное распределение учащихся в старших классах на группы по трем факторам, т. е. берется во внимание уровень работоспособности, потребности учащихся в математических знаниях п уровень обучаемости учащихся.

На основе определения этих уровней, указываем примерные критерии для учителя, которые позволят ему с точки зрения научного подхода, группировать учащихся данного класса для проведения в дальнейшем индивидуально - дифференцированной работы с учащимися.

Таким образом, в соответствии с вццеленнши характеристиками /уровень работоспособности, потребности учащихся в математических знаниях, уровень обучаемости / возможно Формальное разделение учащихся данного класса на четыре групп.

I. Ученики с вьспгими учебными возможностями, которые имеют потребность в математических знаниях, высокий уровень работоспособности и высокий уровень обучаемости /их типичная

оценка "5" /.

. 2. Ученики с высокими учебными возможностями, которые имеют потребность в математических знаниях, высокий уровень работоспособности и средний уровень обучаемости или средний уровень обучаемости и высокий уровень работоспособности /их типичные оценки "4" и "5" /.

3. Ученики со средними учебными возможностями, которые имеют оба средние или один высокий, второй низкий уровни, но не имеют потребности в математических знаниях /их типичные оценки "3" и "4" /.

4. Ученики с низкими учебными возможностями, которые имеют один средний, второй низкий или оба низкие уровни, обычно такие ученики не имеют потребности в математических знаниях /их типичные оценки "2" и "3" /.

Во втором параграфе второй глнвы детально рассмотрено одно из средств в борьбе с ошибками, с формализмом - планомерная и целенаправленно организуемая самостоятельная работа учащихся. Показаны методы и приемы организации самостоятельной работы: программированные задания на перфокартах, математические диктанты, сочинения, систематическая индивидуальная работа на основе учета пробелов в знаниях учащихся.

Нами разработаны упражнения в трех вариантах для самостоятельной работы учащихся с учетом от их учебной возможности. Упражнения составлены по всем разделам программы.

.Дополнительные самостоятельные работы приведены к тем же пунктам учебного пособия, что и самостоятельные работы, и имеют ту же нумерацию. Но задачи в дополнительных самостоятельных работах несколько выше по трудности, чем в других самостоятельных работах. Они используются для работы с учащимися с высшими учебньг/.и возможностями, т. е. проявляющими повышенный интерес к математике.

В третьем параграфе второй главы рассмотрены формирование у учащихся умений обоснования правильности своих результатов.

Умение учащихся обосновать правильность своих результатов при решении задач имеет большое значение и оказывает сущес -твенное влияние на осознанное усвоение ими изучаемого мате -риала, на повышение качества их знаний. Ученик, хорошо ознакомившись с какой - нибудь ошибкой и подробно проанализировав ее, страхует себя от повторения подобных ошибок в будущем.

Процесс привития учащимся умения обосновать правилы эать своих результатов под руководством учителя становится эффективным средством в развитии познавательного интереса и интереса к изучению математики.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно формирование навыков самоконтроля у учащихся. Причиной появления ошибок учащихся в решении задач является отсутствие привычек вдумываться, недооценка значения дополнительной работы над ответом задачи. Поэтому учащихся следует приучать задумываться над полученным ответом, нередко сопоставлять ответ с реаль-' ной жизнью, проводить контроль полученного ответа.

Надо добиваться, чтобы ученики сами проверяли свою работу "' и исправляли ошибки. Возможности учить самоконтролю разно -образны и своеобразны. Опытные учителя при выполнении пись -менных работ специально не замечают ошибку ученика, а затем дают возможность самим учащимся обнаружить ошибку последующей самопроверкой. Однако, в школьной практике большинство учителей поступают по - иному. При малейшем затруднении ученика • учитель постановкой ряда вопросов спешит направить мысль его на правильный путь, а допущенную ошибку исправляет на ходу, почти незаметно. В результате такой излишней опеки ученики..не приучаются к самостоятельному отысканию ошибок и становятся беспомощными в такой работе.

Чтобы ученики самостоятельно обнаружили и исправили свои ошибки, необходимо ознакомить их с приемами самоконтроля, как-то :

а/ грубая "прикидка" - приближенная оценка искомой величины;

б/ проверка вычисления и тождественного преобразования . путем выполнения обратного действия или преобразования;

в/ проверка правильности решения задач путем составления н решения обратных задач к данной;

г/ оценка результата решения -задач с точки зрения здравого смысла;

д/ проверка аналитического решения графически.

Большую помощь в выроботке навыков самоконтроля оказывает взаимопроверка и взаимное рецензирование письменных работ учавдгхея. При их выполнении развивается зоркость, внимательное отношение к результатам учебной деятельности, вырабатыва-

- IÜ -

ется критерий самооценки.

Самоконтроль уча.цихся не отменяет контроль со стороны учителя. Учитель додаен систематически изучать и анализировать ошибки учащихся, обращать внимание на внутреннее содержание, а не на внешнюо, формальную сторону, выявлять причины появления ошибок и принимать меры к их предупреждению.

Качество и систематичность самоконтроля зависит от характера контроля учителя за учебной работой ученика, от обучения их специальным умениям и навыкам проверки результатов своих учебных действий. Учитель, обнаружив ошибку в учебных действиях ученика, должен указать на нее или организовать работу по ее исправлению и предупреждения. Доступным средством исправления ошибок является проверка решения. Проверка решения в данном случае выступает как вид самоконтроля. Пример. nfxi7xr77~ = Некоторые ученики решили так:

Так как дискриминант квадратного трехчлена ^r yj-y-/ отрицателен и старший коэффициент положителен, то неравенство Д" -t-oc-t-f > ¿> выполняется при любых значениях X , откуда Ода: (- оо ; со ) ■

Возведя обе части уравнения в квадрат, получили:

X¿ + 1 + I = X2 - ах + 16, откуда X = -J • s

Думая, что — € (-со; cx>J , записывают ответ: ДГв — •

На самом деле, проверка показывает, что не является корнем данного уравнения, т.е.

ч.

А? 5 /5"

— у — 1"/ / ^ - у /

3 3 3 ' Ответ: Р •

В приведенном примере- посторонний корень. Покажем

причину появления этого корня. Уравнения

УЙчГ = $(х) / I / И - / 2 /

не равносильны. Уравнение / 2 / равносильно уравнению

У^ХГ - I I, которое в свою очередь будет равно -

сильно двум уравненнял - • получаемому

при § и Г при ^

Причиной появления посторонних корней является уравнение

- /¿V. Корнями уравнения / I / являются лишь

- II -

те корни уравнения / 2 /, при которых . таким

образом, корни уравнения вида / I / должны удовлетворять двум неравенствам: , — т. е.

системе неравенств

i J

Следовательно, чтобы решить уравнение вида / I /, нужно предварительно наити решение системы неравенств

I C?{XJ ■

Если система неравенств не имеет решений-, то и уравнение . не имеет решения.

Если система неравенств имеет решение, то обе части уравнения / I / нужно возвести в квадрат, решить уравнение / 2 / и в ответ включить лишь те значения горней, которые входят в решение системы неравенств

S

В выше приведенном примере Х- — не удовлетворяет". • второму неравенству системы

ЭГ-+ -7 о,

поэтому не является корнем исходного уравнения.

Во многих местах курса "Алгебры и начала анализа" встречаются задачи, которые решаются несколькими способами. Получение одного и того же результата существенно разными путя ми - это и есть проверка ответа, способ самоконтроля.'

Проверяя правильность решения примера или задачи с целью самоконтроля, используя при этом другие способы решения; данной задачи, приучаем учащихся находить более рациональные, изящные способы, отыскивать нестандартные, нешаблонные приемы реаения задач. В данной исследовательской работе указаны нестандартные приемы решения некоторых уравнений и неравенств. Нестандартные приемы решения задач и примеров девают процесс обучения нескучнш, вызывают большой интерес учащихся к решению задач, активизирует их работу, способствуют развитию ини-

цнативы, находчивости учащихся.

В четвертом параграфе описаны организация и результаты опытно - педагогической работы.

Опытно - педагогическая работа была проведена в сельских школах Восточно - Казахстанской области.

Ознакомление с результатами исследования и внедрение их ' в практику общеобразовательной школы осуществлялось в различных формах:

а/ путем совместного с учителями анализа полученных опытным путем материалов и обсуждения полученных результатов по вопросам самостоятельной работы;

б/ путем разработки рекомендаций по вопросам планирования и руководства целенаправленной организацией и проведением самостоятельных работ учащихся на уроке и вне его;

в/ путем сообщения о результатах исследования на научно-практических конференциях профессореко - преподавательского состава Восточно - Казахстанского государственного университета и учителей школ;

г/ путем опубликования статей по материалам диссертации в педагогической печати.

Опытно - исследовательская работа включала три этапа. Первоначальный этап /1978 - 1980 гг. / характеризуется выявлением возможных причин появления устойчивых ошибок уча -щихся по алгебре и началам анализа. На этом этапе был проведен теоретический анализ проблемы исследования, организован констатирующий эксперимент наряду с анкетированием учащихся и наблюдением за их деятельностью на уроках.

На следующем этапе /1981 - 1986 гг. / определена и охарактеризована система действий, составляющих процесс поиска путей ликвидации устойчивых ошибок учащихся; выявлены психолого - педагогические основы формирования и разработана мето-• дика формирования названной системы действий; составлены упражнения, дидактические материалы и организована их первоначальная апробация на небольшой выборке учащихся.

ч На заключительном этапе работы /1967 - 1988 гг. / про -веден обучающий эксперимент, обработаны и проанализированы . некоторые результаты исследования.

В ходе обучающего эксперимента происходило сове1, шенство-вание дидактических материалов; определялся оптимальный комплекс упражнений, возможные формы их выполнения.

Для учителей, ведущих экспериментальные классы, действовал семинар, на котором обсуддались цели и задачи эксперимента, раскрывалось содержание предлагаемой методики. Каждому учителю были переданы дидактические материалы и план изучения темы.

Управление экспериментом осуществлялось посредством наблюдения за его ходом и соответствующей корректировкой методики проведения экспериментальных материалов. Анализу подвергались результаты обучающих самостоятельных и контрольных, работ. На семинаре, организованном для учителей, работающих в экс -периментальных классах, осуществлялся обмен мнениями, рас -пространекие положительного опыта работы, что оказывало влияние на ход эксперимента.

В экспериментальных и контрольных-классах по единому тексту проводились контрольные работы. Результаты контрольных работ, проведенных нами, показали, что в знаниях.учащихся по алгебре и началам анализа имеются много пробелов. Средняя успеваемость в результате этих контрольных упражнении для различных школ колебалась мезду • 2,65 и 3,23.

Общие результаты проведенных контрольных работ показали, что наблюдается сравнительное понижение неудовлетворительных и удовлетворительных оценок и повышение хороших и отличных оценок в экспериментальных ювссах по сравнению с контрольными.

В ходе экспериментальной работы установлено, что многие ошибки по алгебре и началам анализа допускаются учащимися из-за искажения и слабого владения смысловш содержанием математических фактов и теории.

Поэтому в экспериментальных классах о учащимися проводили дополнительные занятия. В назначенное вредя на дополнительные занятия была приглашены школьники из различных классов с одинаковыми или приблизительно одинаковыми ошибками в своих знаниях. Учадася давата предварительно подобранные, подходящие задачз. _

Обычно, ученики допускают приблизительно одни и те же ошибки при их решении.

Тогда учитель выясняет правильный способ решения задачи

- 14 -

с целью устранения таких ошибок, затем дает другие подобные задачи для самостоятельной работы, а сам -наблюдает за работой нескольких учеников. Если учащиеся снова допускают ошибки, он опять вмешивается и т. д.

На следующем дополнительном занятии группа может состоять из других учеников - из тех, кто допускает ошибки другого • характера.

В заключении кратко сформулируем некоторые основные выводы:

I. Самостоятельная работа учащихся на уроках по алгебре и началам анализа необходима в целях сознательного и углубленного усвоения преподаваемого материала и тем самш предупредить учащихся от появления ошибок в их знаниях.

'¿. Умение учащихся обосновать правильность своих результатов при решении задач имеет большое значение и оказывает существенное влияние на осознанноо усвоение ими изучаемого материала, на повышение качества их знаний, Ученик, хорошо ознакомившись с какой - нибудь ошибкой и подробно проанализировав ее, страхует себя от повторения подобных ошибок в будущем. Процесс привитая учащимся умения обосновать правильность своих результатов под руководством учителя становится эффективным средством в развитии познавательного интереса и интереса к изучению математики.

Содержательный анализ ошибок и причины их возникновения являются эффективными средствами в борьбе с устойчивыми ошибками по алгебре и началам- анализа. Разбор устойчивых ошибок полезен еще и потому, что ознакомившись с какой- нибудь ошибкой и тщательно проанализировав ее, ученик в той или иной степени застраховывает себя от повторения подобных ошибок в будущем.

4. В процессе преподавания алгебры и начал анализа иногда наблюдаются случаи обособленного изучения программных вопро -сов. Вопросы нового материала недостаточно связываются с мл -' териалами ранее пройденного. Расширение круга знаний учащихся ' недостаточно используется для обобщения и систематизации прежде изученного и для пересмотра изученного с новых, более общих, точек зрения. При рассмотрении того или иного вопроса не всегда подчеркивается значение изучаемого вопроса в после. дующим курсе алгебры и начал анализа.

0. Положительный результат в борьбе с гаквидашк й»устои -чивых ошибок в знаниях учащихся по алгебре и началам анализа, достигается лишь тогда, когда педагогические меры применены

в определенной системе, по - продуманно^ плану и диф^ерен -цированно, в полном соответствии с реальной потребностью пэ -дагогического процесса в 1саждом данном конкретном случае. Исходя из характера оиибок и форм их проявления, з ка\даом' конкретном случае, в соответствии с причинами, намечаются педагогические моры по их преодолению и. предупреждению.

Данная работа не претендует на полное, исчерпывающее решение проблема.

Результаты работы отражены в слодувдкх публикациях:

1. Пути предупреждения ошйок. Научно - методический журнал "Школа Казахстана". - Алма - Ата, 1984, 8, с. 58- 59 /на казахском языке /.

2. Некоторые устойчивые ошибки учащихся при решении три -гонометричеоюгх уравнений. - В кн.: Актуальные вопросы школьной и вузовской методики преподавания математики: Сборник научных трудов профессорско - преподавательского состава

ВУЗ - ов МП Каз ССР. - Алма - Ата, 1965. - С. 59 - 63.- ' - •

3. Рациональные способы решения простых григонометричес -ких уравнений» Научно - методический аурнал "Шкода Казахстана" - Алма - Ата, 1991, Й II, с, 55 - 5? /на каз. языке /.