Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой

Смыкалова, Елена Владимировна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой

Автореферат

Автор научной работы: Смыкалова, Елена Владимировна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Санкт-Петербург
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой"

На правахрукописи

СМЫКАЛОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА

ЗАДАЧИ С РАЗВИВАЮЩИМИ ФУНКЦИЯМИ КАК СРЕДСТВО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ МЕЖДУ НАЧАЛЬНОЙ И ОСНОВНОЙ ШКОЛОЙ

Специальность 13. 00. 02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена

Научный руководитель: доктор педагогических наук,

профессор Наталья Леонидовна Стефанова

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Ирина Юрьевна Алексашина

кандидат педагогических наук, доцент Марина Ивановна Калинина

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Зашита состоится 18 марта 2004 года в 11 часов на заседании Диссертационного Совета Д212.199.04 по присуждению ученой степени доктора наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д. 48, корпус 1, ауд. 237).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена.

Автореферат разослан 16 февраля 2004 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

И.В. Симонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Одной из тенденций развития современного школьного математического образования является его гуманизация. Она выражается, в частности, в усилении в содержании элементов, открывающих возможности математических знаний для интеллектуального развития ребенка, в обеспечении взаимодействия человека с миром. Кроме того, она обусловливает расширение содержания математического образования, а также новый подход к построению задач, ориентированных на развитие мышления. Этим и вызвано появление альтернативных программ и учебников для начальной и основной общеобразовательной школы. В связи с этим становится актуальной проблема согласования программ и учебников, используемых в начальной и основной школах, которая отражает более общую проблему обеспечения преемственности содержания математического образования в выделенных ступенях общеобразовательной школы.

Преемственность в общефилософском смысле трактуется как связь между различными этапами или ступенями развития. Сущность ее состоит в сохранении и развитии тех или иных элементов целого или отдельных его характеристик при переходе к новому состоянию.

Решение проблемы преемственности в методике обучения математике предполагает тесную взаимосвязь психологических и собственно методических закономерностей.

В настоящее время многие программы и учебники по математике для начальной школы (Э.И.Александрова, И.И.Аргинская, Н.Б.Истомина, Л.Г.Петерсон) ориентированы на "развивающее обучение". Учебники по математике в 5-6 классах, используемые в массовой практике (И.В.Баранова, Н.Я.Виленкин, Э.Р.Нурк), являются учебниками традиционного обучения. Традиционное обучение уделяет основное внимание формированию навыков вычислений. Развивающее обучение ориентировано на комплексное развитие личности ученика. Возникает идейная, а, следовательно, и содержательная несогласованность курса математики начальной и основной школы.

Содержательная несогласованность обусловлена тем, что авторы "развивающих учебников" для начальной школы идут по пути расширения объема содержания начального курса математики, включают в него те вопросы, которые традиционно изучаются в основной школе. Другой аспект содержательной несогласованности учебников состоит в том, что упомянутые учебники для начальной школы насыщены нестандартными, занимательными задачами, а также задачами, основанными на дополнительном теоретическом материале. В традиционных учебниках для основной школы таких задач недостаточно.

Возможное решение этой проблемы лежит па пуп-т уо^ряпи^ рлотюгп курса "Математика 1-6". Работа в этом направлении уже |

упомянуть учебникиН.Б.Истоминой). I !

СП

оэ

В нашем исследовании принят иной подход к решению проблемы -обогащение содержания, точнее, заданного материала традиционных учебников математики 5-6 классов, продолжающего линии развития учащихся, принятые в учебниках начальной школы. Это должно обеспечить преемственность с развивающим курсом математики начальной школы.

Несогласованность программ и учебников математики для начальной школы и 5-6 классов, отсутствие эффективной методики, способствующей развитию учащихся в массовой практике, определяют актуальность нашего исследования. Научных исследований, связанных с решением этой проблемы ' в выделенном нами ракурсе, нам обнаружить не удалось, однако на страницах журналов "Математика в школе" и " Начальная школа" в последнее время появились статьи, затрагивающие эти актуальные проблемы.

Проблема исследования состоит в поиске путей обеспечения содержательной преемственности в обучении и развитии учащихся при переходе из начальной школы в основную.

Определилась цель исследования: разработать дополнительный набор задач с развивающими функциями для 5-6 классов, а также методику работы с ними, в которой отражены линии общего и математического развития, принятые в начальной школе.

Для решения проблемы исследования нами выделен следующий объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе и в 5-6 классах.

Предметом исследования является набор дополнительных задач с развивающими функциями для 5-6 классов и методика работы с ним.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике в 5-6 классах использовать специально созданный набор задач с развивающими функциями, то это будет способствовать:

• обеспечению поступательного характера развития учащихся, обучающихся в начальной школе по "развивающим" программам и учебникам, а в основной - по традиционным;

• усвоению базового содержания и развитию умений решать задачи повышенной сложности;

• развитию интереса учащихся к математике.

Для достижения цели исследования и проверки выдвинутой гипотезы были поставлены и решены следующие задачи:

• проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу с целью изучения понятий "развивающее обучение", "преемственность как условие развития", "развитие математического мышления", "задачи с развивающими функциями";

• провести сравнительный анализ содержания учебных программ и учебников по математике в начальной школе и в 5-6 классах,

утвержденных Министерством образования Российской Федерации и используемых в практике;

• выявить типы задач, решение которых может способствовать общему и математическому развитию, сформулировать требования к набору задач;

• разработать набор задач с развивающими функциями и методику его использования при обучении теме "Натуральные числа" в 5 классе на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы;

• экспериментально проверить выдвинутую гипотезу: поступательный характер развития будем выявлять экспериментально по переходу учащихся с более низкого на более высокий уровень развития; усвоение базового содержания, развитие умений решать задачи повышенной сложности и развитие интереса к математике будем выявлять в ходе проведения тестовых и срезовых работ и анкетирования.

В ходе исследования были использованы различные методы:

• теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;

• организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов;

• количественная и качественная обработка результатов эксперимента;

• наблюдение;

• интервью с учителями и методистами.

Исследование проводилось с 1996 по 2003 год и включало несколько этапов.

На первом этапе (1996 - 1998 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической, методической литературы и содержания школьных учебников, определены типы задач, которые целесообразно использовать для общего и математического развития учащихся.

На втором этапе (1998 - 2000 гг.), в рамках поискового эксперимента, определялись принципы организации задач в набор, уточнялись формулировки задач и методика их использования в процессе обучения. Итогом работы на этом этапе было уточнение теоретической концепции исследования.

На третьем этапе (2000 - 2002 гг.) был разработан набор задач и методика его использования при обучении учащихся 5 класса теме "Натуральные числа" на этапе обобщающего повторения курса математики . начальной школы, осуществлялся формирующий эксперимент.

На четвертом этапе (2002 - 2003 гг.) была проведена количественная и качественная обработка результатов эксперимента, их теоретическое осмысление.

Методологической базой нашего исследования являются: теория развивающего обучения, система общедидактических принципов, важнейшим из которых является принцип преемственности в обучении, и исследования, связанные с проектированием наборов и систем математических задач.

Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем:

• обоснована возможность и целесообразность создания условий для обеспечения более эффективного общего и математического развития учащихся 5-6 классов при обучении по традиционной программе;

• предлагается новый подход к осуществлению преемственности в обучении и развитии учащихся, обучающихся в начальной школе по "развивающим" программам и учебникам, а в основной - по традиционным.

Теоретическая значимость исследования:

• разработаны требования к набору дополнительных задач с развивающими функциями для 5-6 классов, обеспечивающему преемственность в обучении и развитии между начальной и основной школой;

• разработаны теоретические положения, лежащие в основе методики использования набора дополнительных задач с развивающими функциями.

Практическая значимость состоит в создании набора дополнительных задач с развивающими функциями по теме "Натуральные числа" для реализации на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы, и методики его использования при обучении учащихся 5 класса, разработаны практические рекомендации учителям 5-6 классов по выбору программы и учебника. Результаты исследования могут быть использованы учителями общеобразовательных учебных заведений при обучении математике.

Достоверность результатов исследования обеспечивают: разносторонний анализ проблемы, согласованность полученных теоретических и экспериментальных данных с ранее проведенными исследованиями, результаты экспериментальной проверки.

Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в гимназии № 52 Санкт-Петербурга, а также во всех школах Приморского района Санкт-Петербурга. Результаты исследования докладывались на методологических семинарах аспирантов и преподавателей кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И.Герцена (1999, 2001 гг.), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена (2001, 2002, 2003 гг.), на семинарах учителей математики Приморского района Санкт-Петербурга, на семинарах учителей математики в Санкт-Петербургском университете педагогического мастерства (1998-2003 гг.).

На защиту выносятся следующие положения:

• Чтобы набор задач с развивающими функциями для 5-6 классов обеспечивал преемственность в обучении и развитии учащихся между начальной и основной школой, он должен включать задачи, согласованные по содержанию с отдельными блоками теоретического материала, представленного в учебниках 5-6 классов; содержать группы задач, ориентированных на обеспечение выделенных в ходе исследования направлений общего и математического развития.

• Методика работы с набором дополнительных задач с развивающими функциями должна обеспечить увеличение доли самостоятельности учащихся при решении задач за счет использования приемов, стимулирующих внутреннюю мотивацию, выполнение поисковых и контрольно-оценочных действий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

Во введении обоснована актуальность иследования, сформулированы проблемы, цели и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе "Теоретические основы обеспечения преемственности в развитии учащихся 5-6 классов с начальной школой" разработана теоретическая база для создания набора дополнительных задач с развивающими функциями с целью обеспечения преемственности в обучении и развитии учащихся при переходе из начальной школы в основную.

Исследование посвящено задачам с развивающими функциями и развивающим функциям обучения. Более широким понятием является понятие "развивающее обучение". Именно поэтому, в первом параграфе диссертации речь идет о развивающем обучении.

В параграфе 1 рассматриваются работы Л.С.Выготского, С.Л.Рубинштейна, А.Н.Леонтьева, Л.В.Занкова, Н.А.Менчинской, П.Я.Гальперина, Н.Ю.Талызиной, Д.Б.Богоявленской, Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова, З.И.Калмыковой, И.С.Якиманской, посвященные развивающему обучению. Перечисленные публикации позволяют судить о важности проблемы обучения и развития учащихся и об интенсивности научных исследований в этом направлении.

Более подробно рассматриваются работы Л.С.Выготского и Л.В.Занкова.

В качестве важнейшего методологического положения, лежащего в основе нашего исследования, рассматривается положение о том, что учение ведет за собой развитие только тогда, когда оно является ведущей деятельностью учащегося и когда он учится тому, что находится для него в

зоне ближайшего развития и становится доступным ему только с помощью обучающего взрослого.

Говоря о важности сотрудничества ребенка со взрослым, рассматривается вопрос самостоятельности учащихся. На первый взгляд кажется, что именно самостоятельные виды обучения ведут к высокому развивающему эффекту. На самом деле это не так. Дело в том, что самостоятельно ученик, особенно в возрасте 10-12 лет, не может открыть сущность научных понятий, причинно-следственных связей и т.д. В лучшем случае ребенок может самостоятельно познать внешние свойства предметов, на этой основе составить общее представление о них. В силу этого самостоятельная деятельность учащихся начальной школы и 5-6 классов должна быть использована только после знакомства их с содержанием научных понятий и методов работы с ними. Учащиеся должны не переоткрывать, а усваивать то, что уже открыто и хранится в социальном опыте человечества.

Таким образом, сотрудничество со взрослым, подражание ему выступают как решающее условие при переходе ребенка от того, что он умеет, к тому, чего он не умеет, но чему может научиться.

Л.В.Занков, рассматривая проблему обучения и развития как соотношение обучения и общего развития психики ребенка, создал новую систему обучения, которая была направлена на оптимальное общее развитие школьника. Исследователи признавали: термин "оптимальное" не означает, что оптимальное развитие может быть достигнуто только в этой системе. Л.В.Занковым была выдвинута руководящая идея новой системы - идея максимальной эффективности обучения для общего развития школьников.

Касаясь показателей общего развития психики, по которым можно судить о продвижении школьника в направлении развития, Л.В.Занков характеризует его новообразованиями по трем линиям: наблюдение, мышление и практические действия.

Наблюдение - сложная деятельность. Основным компонентом этой деятельности является восприятие. Деятельность наблюдения включает действие сравнения различия и сходства одного объекта с другим. Постепенно наблюдение приводит учащихся к обобщенной характеристике свойств наблюдаемого объекта, которое находит свое выражение в точности и в значительном росте количества высказываний.

Показателями развития наблюдения выбираются такие, как: число деталей, выделенных в объекте; количество признаков, которыми характеризуется этот объект; степень обобщенности наблюдения; повышение активности, планомерности и разносторонности наблюдения; увеличение длительности наблюдения без отвлечения внимания. Из этих показателей наиболее значимы, с точки зрения содержания обучения математике в 5-6 классах, следующие:

• число деталей, выделенных в объекте;

• количество признаков, которыми характеризуется этот объект.

Продвижение учащихся по такой линии развития как мышление прослеживается на всем протяжении обучения ребенка. Для постоянного наблюдения выбираются такие операции мышления как анализ и синтез, абстракция и обобщение.

Важнейшей для математического мышления операцией является обобщение. Ее сформированность наиболее ярко проявляется при выполнении действия - мыслительная группировка объектов. Изменения в характере мыслительной деятельности при этом можно распределять по уровням следующим образом:

• учащиеся выделяют объекты в группу по заданному извне основанию, делят объекты на группы по заданному извне основанию (признаку);

• учащиеся выделяют в группу или делят объекты на группы по двум, трем основаниям, т.е. предлагается рассмотреть объекты с разных точек зрения и, совместив два (три) аспекта, выделить группу или разделить объекты на группы (признаки, по которым надо провести деление, задаются);

• учащиеся самостоятельно выделяют (угадывают) существенные признаки (основания) для классификации объектов и правильно делят эти объекты на группы.

Практические действия связаны с практической деятельностью. В исследованиях практических действий решающим является сочетание оперативной и целеполагающей деятельности по планированию и изготовлению материального объекта (сочетание целевых и операционных действий). Предполагается необходимость зрительного анализа предложенного образца и обдумывание плана процесса изготовления заданного предмета. Словесный отчет о выполненной работе отражает характер осознания школьником всего процесса изготовления объекта. В процессе выполнения задания происходит анализ объекта, подлежащего изготовлению (выделение отдельных его частей, уяснение их значениях и синтез - рассмотрение тех же частей в их взаимосвязи в готовом изделии.

Новообразования в развитии практических действий характеризуются:

• повышением качества их выполнения и умения планировать эти действия;

• характером изготовления детьми модели и ее отличием от образца;

• изменением соотношения между планом действий и словесным отчетом о них, между планирующим и исполнительным этапом;

• особенностями планирования и самоконтроля.

О положительных сдвигах в развитии можно судить по совокупности показателей в трех линиях развития - в наблюдении, в мышлении и в практических действиях.

В параграфе 2 рассматривается понятие "преемственность", приводится анализ работ по этой теме. Подробно рассматриваются работы

Ж.Пиаже, Д.Б.Эльконина, Э.А.Баллера, К.И.Нешкова, В.М.Туркиной. Кроме того, в этом параграфе рассматриваются проблемы преемственности в обучении математике между начальной и основной школой на современном этапе.

Как уже было отмечено, под преемственкостью мы понимаем связь между различными этапами или ступенями развития, сущность которой состоит в сохранении и развитии тех или иных элементов. Преемственность - это процесс, обеспечивающий непрерывное и результативное осуществление учебной деятельности, совершенствование и систематизацию знаний, умений и навыков учащихся, а также их психическое развитие (развитие мыслительных операций, памяти, способностей и т. п.). Этот процесс связан с содержанием обучения и с организацией преемственного обучения.

Кроме того, в этом параграфе рассматриваются проблемы преемственности в обучении математике между начальной и основной школой на современном этапе. Многие программы и учебники по математике для начальной школы ориентированы на "развивающее обучение", а учебники по математике в 5-6 классах, используемые в массовой практике, являются учебниками традиционного обучения. Возникает несогласованность курса математики начальной и основной школы, прежде всего, содержательная. Проведенный нами анализ учебников математики развивающего обучения для начальных классов показывает, что все они в той или иной мере сориентированы на развитие познавательной активности учащихся и их творческого потенциала, на формирование учебной деятельности и таких качеств мышления, как гибкость и критичность. Об этом свидетельствует вариативность учебных заданий, выполнение которых предполагает наблюдение, анализ, обобщение, выявление разнообразных зависимостей и закономерностей, установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями.

Эти направления не получают должного логического продолжения в учебниках математики для 5-6 классов, используемых в массовой практике, в которых объяснительные тексты, содержащие примеры-образцы, и система репродуктивных упражнений на закрепление новых знаний ориентируют учителя на объяснительный метод преподавания, а ученика - на исполнительский и репродуктивный методы учения.

Таким образом, с точки зрения организации деятельности учащихся, развивающие учебники математики для начальной школы и учебники математики для 5-6 классов моделируют учебные процессы разного характера.

Системы развивающего обучения начальной школы соответствуют современному взгляду на цель образования: максимальное общее развитие и обучепие человека на основе его индивидуальных способностей. Окончив начальное обучение по системам развивающего обучения, учащиеся часто оказываются в 5 классе в условиях традиционной методики, направленной на

получение суммы знаний и формирование прочных навыков. Таких учащихся, по результатам анкетирования школ Санкт-Петербурга в сентябре 2001 года, 24 % от общего количества пятиклассников. Практика показала, что учителя математики испытывают большие трудности, пытаясь решить самостоятельно проблему преемственности начальной и основной школы.

В работе рассматривается, в первую очередь, содержательная составляющая преемственности.

В параграфе 3 рассматриваются вопросы развития математического

мышления учащихся. Развивающее обучение, в отличие от традиционного, характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления - специальным предметом усвоения. В этом параграфе рассматриваются работы А.И.Маркушевича, А.Н.Колмогорова, С.И.Шварцбурга, В.А.Крутецкого, Ю.М.Колягина, А.В.Брушлинского, С.Л.Рубинштейна.

Основное содержание положении о математическом мышлении, высказанных в данных публикациях, выражается в утверждении о том, что формирование математического мышления обусловлено отбором и усвоением учащимися содержания конкретного учебного материала и особенностями его обобщения.

В результате анализа психолого-педагогической и методической литературы по проблемам развития математического мышления учащихся, были выбраны те направления (линии), которые определены в исследованиях Ю.М.Колягина. Это развитие логического, функционального и пространственного мышлений.

Логическое мышление обычно характеризуется умением выводить следствия из данных предпосылок, вычленять частные случаи из некоторого общего положения, теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Логическое мышление проявляется и развивается у учащихся, прежде всего, в ходе получения различных математических выводов: индуктивных и дедуктивных, при доказательстве теорем, обосновании решения задач и т. д.

Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи зависимости между переменными, трансформирующиеся в математическое понятие функции.

Сформированность пространственного мышления характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами,

Эти характеристики (логическое, функциональное и пространственное мышления) используются в дальнейшем при создании набора дополнительных задач и методики работы с ними. Преемственность будет

проявляться в успешности выполнения соответствующих действий при усложнении заданий.

В параграфе 4 рассматриваются функции задач в процессе обучения и, прежде всего, развивающая функция. Рассматриваются работы Д.Пойа, А.Н.Леонтьева, Ю.М.Колягина, Е.И.Лященко, К.И.Нешкова, А.Д.Семушина.

Выделяется подход К.И.Нешкова и А.Д.Семушина. Задачи с развивающими функциями, по мнению К.И.Нешкова и А.Д.Семушина, это задачи, содержание которых может отходить от основного курса математики, посильно осложнять некоторые из изученных ранее вопросов школьной программы; запоминание и усвоение этого материала всеми учащимися необязательно. Задачи, несущие развивающие функции, в основном предназначены для развития мышления учащихся. Под развивающими функциями задач понимаются такие их функции, которые направлены на развитие творческого и математического мышления учащихся.

В этом параграфе дается сравнительный анализ учебников математики начальной школы и 5 класса с точки зрения содержания задач с развивающими функциями. Этот анализ проводится с целью наглядного представления проблемы преемственности в обучении и развитии при переходе из начальной школы в основную. Анализ задач показывает, что в традиционных учебниках преобладают репродуктивные задачи базового уровня сложности, направленные, прежде всего, на формирование навыков вычислений. В учебниках развивающего обучения содержатся, в основном, задачи повышенного уровня сложности, ориентированные на продуктивную деятельность учащихся, т.е. в этих учебниках преобладают задачи с развивающими функциями.

Итак, в результате теоретических и практических исследований, делается вывод, что проблему преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой, проблему содержательной несогласованности сможет решить специально разработанный набор дополнительных задач с развивающими функциями.

Вторая глава "Методика использования набора задач с развивающими функциями, обеспечивающая преемственность в обучении и развитии" раскрывает особенности построения методики использования набора дополнительных задач с развивающими функциями.

В параграфе 5 формулируются основные требования к набору дополнительных задач с развивающими функциями, обеспечивающему преемственность в обучении между начальной и основной школой. Эти требования вытекают из ориентации на дальнейшее общее и математическое развитие учащихся.

Типология задач основана на выделении трех характеристик (линий) общего развития (наблюдение, мышление, практические действия) и характеристик математического развития (логическое, функциональное и пространственное мышление). Для каждой линии выделяются типы задач,

решение которых, будет способствовать дальнейшему общему и математическому развитию учащихся, а также формулируются требования к набору задач с развивающими функциями для обеспечения преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой.

Для каждой характеристики или линии выделены действия, на выполнение которых должны быть ориентированы задачи соответствующего типа. Они выделены таким образом, что являются более сложными действиями по сравнению с теми, что формируются в этом направлении в начальной школе.

В каждом направлении общего и математического развития выделены типы задач и разные уровни сложности этих задач.

Основное требование к набору задач - набор задач должен включать группы задач, отражающих линии:

• наблюдения - задачи на изучение объекта и на сравнение объектов;

• мышления - задачи на обобщение;

• практических действий - задачи на планирование и осуществление этих действий;

• логического мышления - задачи на получение и обоснование выводов;

• функционального мышления - задачи на выявление и использование зависимостей;

• пространственного мышления - задачи на вычленение деталей геометрического объекта, его переконструирование;

• задачи внепрограммного материала.

Обеспечению преемственности с начальной школой будет способствовать постепенное предъявление задач более высокого уровня сложности.

При определении требований к набору задач выделяются также требования к структуре набора задач, к содержанию задач, входящих в набор, и к особенностям их формулировки.

В этом параграфе также приводится анализ учебника математики Л.Г.Петерсон для выпускного класса начальной школы и учебника математики Н.Я.Виленкина для 5 класса.

Анализ показывает, что учебник Л.Г.Петерсон содержит задачи всех направлений общего и математического развития. Больше всего, задач на наблюдение, на логическое и на пространственное мышление/ Уровень сложности задач высокий, в основном, задачи 2 и 3 уровней сложности.

Учебник Н.Л.Виленкина содержит значительно меньше задач, направленных на общее и математическое развитие. Особенно недостает задач на практические действия, на логическое, функциональное и пространственное мышление. Практически отсутствуют задачи внепрограммного материала. Уровень сложности задач, в основном, 1 и 2.

В результате анализа делается вывод, что на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы учащимся 5 класса необходимы дополнительные задачи, направленные на общее и математическое развитие, для того, чтобы восполнить пробел, имеющий место в случае традиционного обучения в 5 классе. Необходимы задачи всех направлений общего и математического развития с постепенным повышением уровня сложности (от 1 до 3).

В соответствии со сформулированными требованиями может быть разработан набор задач с развивающими функциями по какой-либо теме.

В следующем параграфе 6 приводится набор задач по теме "Натуральные числа", который предлагается учащимся 5 класса на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы.

Подобраны задачи с развивающими функциями, дополняющие содержание базовых учебников. Это задачи повышенного уровня сложности, ориентированные на продуктивную деятельность учащихся. Основное достоинство приводимых задач в том, что они носят развивающий характер, поскольку при их составлении реализованы требования к набору дополнительных задач для общего и математического развития учащихся. В набор входят задачи всех выделенных направлений общего и математического развития всех уровней сложности. Система содержит 36 задач.

Приведем примеры наиболее сложных задач всех выделенных направлений:

1) Рассмотрите числа: 3355; 5353; 1153; 3155; 5153. Назовите число, две средние цифры которого образуют число, в 5 раз большее числа тысяч и в 3 раза большее числа единиц.

2) Цифру 9, с которой начиналось трехзначное число, перенесли в конец числа. В результате получилось число, которое на 216 меньше исходного. Какое число было первоначально?

3) Сделайте модель данной фигуры и разрежьте ее на две одинаковые.

4) Докажите, что для записи всех натуральных чисел от 1 до 10000 включительно понадобится 38894 цифры.

5) Найдите закономерность в построении последовательности: 111,

213,141,516,171,819,202, ...

6) Сколько треугольников и сколько прямоугольников на рисунке?

7) Какое слово зашифровано в числе 222122111121, если каждая буква заменена ее номером в алфавите?

В параграфе 7 раскрывается методика обучения теме "Натуральные числа" учащихся 5 класса на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы с использованием разработанного набора дополнительных задач с развивающими функциями. Базовое положение методики: увеличение доли самостоятельности учащихся при выполнении в процессе решения задач действий, отвечающих каждой из выделенных линий развития.

Выделены следующие направления работы по активизации самостоятельной деятельности учащихся:

• формирование внутренней мотивации учения;

• формирование умений осуществлять деятельность по решению поставленных перед ними задач;

• формирование контрольно-оценочного компонента деятельности учащихся.

Для каждого направления указываются конкретные приемы, с помощью которых учитель сможет организовать самостоятельную деятельность учащихся, активизировать каждый ее этап, создать условия для осознания учащимися структуры процесса приобретения знаний. Выделяются главные приемы: прием использования аналогии и сравнения, заключения по индукции; прием решения одной и той же задачи различными способами; прием проверки решения по образцу. Именно эти приемы обеспечивают поступательное развитие и увеличение доли самостоятельности в деятельности учащихся.

Основные положения методики рассматриваются на конкретных примерах задач, входящих в набор.

Параграф 8 посвящен описанию эксперимента и его результатов.

В процессе констатирующего эксперимента:

проанализированы разные программы и системы обучения в начальной школе и в 5-6 классах с целью поиска ответов на вопросы: каковы цели развивающего обучения, как при этом определяется содержание обучения, какие изменения в содержание, методы и формы работы предлагается внести;

проанализировано содержание задачного материала школьных учебников с точки зрения его соответствия целям развивающего обучения и с точки зрения преемственности с начальной школой,

изучены мнения учителей, методистов, ученых по проблеме преемственности и определения содержания обучения математике в 3-6 классах.

В ходе констатирующего эксперимента получены следующие выводы:

1) работа по развитию на уроках математики проводится учителями эпизодически, они испытывают потребность в разработке учебных материалов развивающего характера доступного для учащихся уровня сложности;

2) учащиеся, особенно те, которые в начальной школе обучались по программам развивающего обучения, имеют потенциальные возможности для дальнейшего общего и математического развития; при отсутствии в обучении развивающих заданий эти возможности могут остаться нереализованными, а достигнутый уровень развития может сохраниться или даже понизиться;

3) задачный материал необходимо существенно расширить за счет дополнительных задач, направленных на общее и математическое развитие учащихся с учетом преемственности в обучении.

Целью проведения поискового эксперимента было определить типы задач, которые могут служить средством развития и характер деятельности учащихся по их решению.

В ходе поискового эксперимента устанавливались типы задач, которые могли бы способствовать общему и математическому развитию учащихся 3-6 классов, составлялись и корректировались такие задачи по теме «Натуральные числа», определялись требования к организации деятельности учащихся по их решению.

Формулировки задач, особенности организации обучения математике в 3-6 классах с использованием набора задач для общего и математического развития учащихся уточнялись в процессе работы автора учителем математики в 52 гимназии Приморского района Санкт-Петербурга.

В результате были разработаны набор дополнительных задач с развивающими функциями по теме «Натуральные числа» и методические рекомендации для учителя по использованию этого набора задач в процессе обучения на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы.

Целью проведения формирующего эксперимента было проверить эффективность разработанной методики. В формирующем эксперименте принимало участие девять пятых классов, общее количество учащихся свыше 200.

В процессе проведения формирующего эксперимента прослеживалась динамика развития учащихся. Для того, чтобы можно было определить динамику развития учащихся, были выделены показатели общего и математического развития учащихся в соответствии с основными компонентами линий развития. Было установлено, что динамика развития носит поступательных характер,

В процессе проведения формирующего эксперимента также было установлено, что набор дополнительных задач и разработанная методика способствуют усвоению учащимися базового содержания и развитию умений решать задачи повышенной сложности.

В процессе проведения формирующего эксперимента проводилось анкетирование учащихся и учителей экспериментальных и контрольных классов. Результаты анкетирования показали, что набор дополнительных задач развивает интерес учащихся к математике. Это полностью подтверждает гипотезу нашего исследования.

Выводы. Проведенное исследование показало, что использование набора дополнительных задач с развивающими функциями и разработанная методика работы с ними способствуют общему и математическому развитию учащихся, обеспечивают преемственность в обучении и развитии между начальной и основной школой, способствуют развитию интереса учащихся к математике.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1) Стефанова Н.Л., Смыкалова Е.В. Обеспечение преемственности в обучении математике между начальной и основной школой // Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2001.-с. 165. (0,06 п.л.)

2) Смыкалова Е.В. Типы задач с развивающими функциями. // Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2002. - с. 185. (0,09 п.л.)

3) Смыкалова Е.В. Психолого-педагогические основы построения системы задач с развивающими функциями. // Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2003. - с. 220. (0,09 пл.)

4) Смыкалова Е.В., Григорян Н.В., Лукичева Е.Ю., Жигулев Л.А. О проблеме преемственности в обучении математике между начальной и

основной школой // Начальная школа плюс: до и после. - 2002. №7. - с. 17-21. (0,25 пл.)

5) Смыкалова Е.В. Тест за курс начальной школы // Математика. Приложение к журналу «1 сентября». - 2002. № 22. - с, 1-2. (0,125 пл.)

6) Смыкалова Е.В. Математические каникулы // Математика. Приложение к журналу «1 сентября». - 2003. № 2. - с. 7. (0,06 пл.)

7) Смыкалова Е.В. Развивающее обучение на уроках математики в 5-6 классах. Программа, поурочное планирование, тесты. СПб: СМИО Пресс, 2001.-64 с. (4 пл.)

8) Смыкалова Е.В. Опорные конспекты по математике 5-6 классы. СПб: СМИО Пресс. 2000. - 48 с. (3 пл.)

9) Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике. 5 класс. СПб: СМИО Пресс. 2000. - 80 с. (5 пл.)

10) Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике. 6 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. - 112 с. (7 пл.)

11) Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике. 5 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. - 48 с. (3 пл.)

12) Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике. 6 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. - 48 с. (3 п.л.)

13) Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике. 7 класс. СПб: СМИО Пресс. 2003. - 48 с. (3 п.л.)

Отпечатано в ООО «АкадемПринт». С-Пб.ул.Миллионная, 19.Тел :315-11-41. Подписано в печать .02.04. Тираж 100 экз.

»- 3554

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Смыкалова, Елена Владимировна, 2004 год

Введение.

Глава 1. Теоретические основы обеспечения преемственности в развитии учащихся 5-6 классов с начальной школой.

1.1. Понятие «развивающее обучение» в психолого-педагогической и методической литературе

1.2. Преемственность как условие развития.

1.3. Развитие математического мышления учащихся.

1.4. Задачи с развивающими функциями

Глава 2. Методика использования набора задач с развивающими функциями, обеспечивающая преемственность в обучении и развитии

2.1. Требования к набору задач с развивающими функциями

2.2. Набор дополнительных задач по теме «Натуральные числа» для осуществления обобщающего повторения курса математики начальной школы.

2.3. Методика обучения теме «Натуральные числа» в 5 классе с использованием набора дополнительных задач с развивающими функциями

2.4. Основные этапы и результаты экспериментального исследования.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой"

Одной из тенденций развития современного школьного математического образования является его гуманизация. Она выражается, в частности, в усилении в содержании элементов, открывающих возможности математических знаний для интеллектуального развития ребенка, в обеспечении взаимодействия человека с миром. Кроме того, она обусловливает расширение содержания математического образования, а также новый подход к построению задач, ориентированных на развитие мышления. Этим и вызвано появление альтернативных программ и учебников для начальной и основной общеобразовательной школы. В связи с * этим становится актуальной проблема согласования программ и учебников, используемых в начальной и основной школах, которая отражает более общую проблему обеспечения преемственности содержания математического образования в выделенных ступенях общеобразовательной школы.

В настоящее время многие программы и учебники по математике для начальной школы (Э.И.Александрова, И.И.Аргинская, Н.Б.Истомина, Д.Г.Петерсон) ориентированы на "развивающее обучение". Учебники по математике в 5-6 классах, используемые в массовой практике (И.В.Баранова, Н.Я.Виленкин, Э.Р.Нурк), являются учебниками традиционного обучения. Традиционное обучение уделяет основное внимание формированию "навыков вычислений" (103). Развивающее обучение ориентировано на комплексное развитие личности ученика. Возникает идейная, а, следовательно, и содержательная несогласованность курса математики начальной и основной школы.

Возможное решение этой проблемы лежит на пути создания единого курса "Математика 1-6". Работа в этом направлении уже ведется (достаточно упомянуть учебники Н.Б.Истоминой),

В нашем исследовании принят иной подход к решению проблемы -обогащение содержания, точнее, задачного материала традиционных учебников математики 5-6 классов, продолжающего линии развития учащихся, принятые в учебниках начальной школы. Это должно обеспечить преемственность с развивающим курсом математики начальной школы.

Несогласованность программ и учебников математики для начальной школы и 5-6 классов, отсутствие эффективной методики, способствующей развитию учащихся в массовой практике, определяют актуальность нашего исследования. Научных исследований, связанных с решением этой проблемы в выделенном нами ракурсе, нам обнаружить не удалось, однако на страницах журналов "Математика в школе" и " Начальная школа" в последнее время появились статьи, затрагивающие эти актуальные проблемы.

• усвоению базового содержания и развитию умений решать задачи повышенной сложности;

• развитию интереса учащихся к математике.

Для достижения цели исследования и проверки выдвинутой гипотезы были поставлены и решены следующие задачи:

• проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу с целью изучения понятий "развивающее обучение", "преемственность как условие развития'*, "развитие математического мышления", "задачи с развивающими функциями";

• провести сравнительный анализ содержания учебных программ и учебников по математике в начальной школе и в 5-6 классах, утвержденных Министерством образования Российской Федерации и используемых в практике;

В ходе исследования были использованы различные методы:

• теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;

• организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов;

• количественная и качественная обработка результатов эксперимента;

• наблюдение;

• интервью с учителями и методистами.

Исследование проводилось с 1996 по 2003 год и включало несколько этапов.

На третьем этапе (2000 - 2002 гг.) был разработан набор задач и методика его использования при обучении учащихся 5 класса теме "Натуральные числа" на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы, осуществлялся формирующий эксперимент.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в следующем:

• предлагается новый подход к осуществлению преемственности в обучении и развитии учащихся, s обучающихся в начальной школе по "развивающим" программам и учебникам, а в основной - по традиционным;

На защиту выносятся следующие положения:

Методика работы с набором дополнительных задач с развивающими функциями должна обеспечить увеличение доли самостоятельности учащихся при решении задач за счет использования приемов, стимулирующих внутреннюю мотивацию, выполнение поисковых и контрольно-оценочных действий.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1) Обеспечение преемственности в обучении математике между начальной и основной школой (в соавторстве с Н.Л.Стефановой) // Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2001. — сД 65.

2) Типы задач с развивающими функциями. // Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: РГПУ им. А.ИГерцена, 2002. - с. 185.

3) Психолого-педагогические основы построения системы задач с развивающими функциями. // Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2003. - с. 220.

4) О проблеме преемственности в обучении математике между начальной и основной школой (в соавторстве с Н.В.Григорян,

Л.А.Жигулевым, Е.Ю.Лукичевой) // Начальная школа плюс: до и после. -2002.№7.-с. 17-21.

5) Тест за курс начальной школы // Математика. Приложение к журналу «1 сентября». - 2002. № 22. - с. 1-2.

6) Математические каникулы // Математика. Приложение к журналу «1 сентября». - 2003. № 2. - с. 7.

7) Смыкалова Е.В. Развивающее обучение на уроках математики в 5-6 классах. Программа, поурочное планирование, тесты. СПб: СМИО Пресс, 2001.-64 с.

8) Смыкалова Е.В. Опорные конспекты по математике 5-6 классы. СПб: СМИО Пресс. 2000. - 48 с.

9) Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике. 5 класс. СПб: СМИО Пресс. 2000. - 80 с.

10) Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике. 6 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. - 1X2 с.

11) Смыкалова Е,В. Дополнительные главы по математике. 5 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. - 48 с.

12) Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике. 6 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. - 48 с.

13) Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике. 7 класс. СПб: СМИО Пресс. 2003. - 48 с.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 1.

Развитие учащихся становится приоритетным направлением в системе обучения. Обеспечить его при обучении учащихся 5-6 классов можно нахождением методических средств, адекватно отражающих принципы развивающего обучения, выдвинутые Л.С.Выготским и Л.В.Занковым.

Важнейшим условием обеспечения развивающего обучения является преемственность. С другой стороны, сама преемственность может проявляться в построении единой стратегии развития учащихся в начальной школе и в 5-6 классах. Особенно значимым в этой стратегии является содержательный аспект.

Основным средством, обеспечивающим преемственность развития учащихся 5-6 классов, является набор задач с развивающими функциями, в котором реализуются линии общего и математического развития.

В качестве линий общего развития выделены развитие наблюдения, общих операций мышления и практических действий согласно исследованиям Л.В.Занкова, а линии математического развитая - развитие логического, функционального и пространственного мышлений - согласно исследованиям Ю.М.Колягина. Преемственность будет реализовываться в переводе учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике на более высокий уровень (по сравнению с тем, на который они должны выйти в начальной школе) владения операциями, которые характеризуют выделенные психологические образования.

Глава 2. Методика использования набора задач с развивающими функциями, обеспечивающая преемственность в обучении и развитии 2.1. Требования к набору задач с развивающими функциями

Требования к набору дополнительных задач с развивающими функциями, обеспечивающего преемственность в обучении между начальной и основной школой, вытекают из ориентации на дальнейшее общее и математическое развитие учащихся, В главе 1 мы обосновали существование трех направлений общего развития (см. параграф 1.1) и трех направлений математического развития (см. параграф 1.3). Типология задач основана на выделении трех характеристик общего развития {наблюдение, мышление, практические действия) и характеристик математического развития (.логическое, функциональное и пространственное мышление), которое продолжает и совершенствует стратегию развивающего обучения математике.

В этом параграфе мы определим для каждой линии тип задач, решение которых, по нашему мнению, будет способствовать дальнейшему общему и математическому развитию учащихся, а также сформулируем требования к набору задач с развивающими функциями для обеспечения преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой.

Для каждой характеристики или направления выделены показатели (действия), на выполнение которых должны быть ориентированы задачи соответствующего типа. Эти показатели были выделены нами таким образом, что являются более сложным действием по сравнению с тем, что формируется в этом направлении в начальной школе.

Отметим, что решение любой задачи предполагает выполнение действий, отвечающих разным направлениям. Далее мы покажем, как в каждом направлении общего и математического развития мы выделили типы задач и разные уровни сложности этих задач.

Набор задач должна включать в себя задания разного уровня сложности. Только в таком случае возможно обучение каждого ученика на высоком уровне трудности.

Уровень сложности будем определять числом элементов, связей и видов связей в задаче. "Сложность задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта, она определяется числом элементов, связей и видов связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи" [37, с. 55]. Элементы - это такие минимальные компоненты задачи (системы), на которых реализовано основное отношение. Зная структуру задачи, можно определить ее сложность как объективную характеристику, независимую от мнения субъекта. Зная структуру задач, их можно ранжировать по степени сложности.

На каждом уровне сложности задачи можно расположить по степени возрастания их трудности. "Критерий трудности (как субъективная характеристика) в общем случае пока неизвестен, однако учет индивидуальных возможностей учащихся, степени новизны предложенной задачи, количество выполняемых преобразований, опыта учителя и т.п. позволяют на интуитивном уровне решать в конкретных условиях также и проблему ранжирования задач по трудности" [37, с. 56-57].

Можно выделить задачи, для решения которых наиболее существенным является одно из трех направлений общего развития: наблюдение, мышление или практические действия (см. параграф 1.1 диссертации), и одно из трех направлений математического развития (см. параграф 1.3 диссертации).

Приведем ниже типологию задач, разработанную нами.

Общее развитие

Заключение

На основе теоретических и экспериментальных исследований удалось выделить направления развития учащихся 5-6 классов, которые обеспечили бы их общее и математическое развитие. В связи с современной тенденцией развития математического образования особенно важно определить направления общего развития, которые можно осуществить средствами математики. В качестве направлений общего развития были избраны разработанные Л.В.Занковым следующие направления; наблюдение, мышление, практические действия. Кроме того, были выделены направления, обеспечивающие математическое развитие учащихся 5-6 классов; логическое мышление, функциональное мышление, пространственное мышление.

В каждом из выделенных направлений были установлены действия, которые должны обеспечить преемственное развитие учащихся 5-6 классов при изучении математики.

Система этих действий стала основой для выделения типов задач, которые целесообразно включить в набор дополнительных задач с развивающими функциями для 5-6 классов.

Разработаны требования к структуре набора задач, к содержанию и к формулировкам задач. В соответствии с ними разработан набор дополнительных задач по теме: "Натуральные числа" на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы.

Была предложена методика работы с этим набором задач, которая использовалась в формирующем эксперименте. Основное положение методики - увеличение доли самостоятельности учащихся при решении задач. Это обеспечивается следующими приемами: развитием внутренней мотивации; расширением спектра способов деятельности учащихся; овладением различными приемами оценки своих действий. Выделены главные приемы: прием использования аналогии, сравнения, индукции; прием решения одной и той же задачи различными способами; прием проверки решения по образцу.

Формирующий эксперимент полностью подтвердил гипотезу исследования. Таким образом, экспериментально доказано, что набор задач с развивающими функциями способствует:

• усвоению базового содержания, развитию умений решать задачи повышенной сложности;

• развитию интереса учащихся к математике.

Разработанный набор задач способствует обеспечению преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой.

Возможности продолжения исследования мы видим в определении конкретных направлений развития учащихся средствами математики, которые обеспечивали бы как общее, так и математическое развитие учащихся более старшего возраста (по крайней мере в основной школе), и в отыскании соответствующих методических средств для их реализации.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Смыкалова, Елена Владимировна, Санкт-Петербург

1. Аргинская И.И. Математика: Учеб. для 3 кл. трехлет. нач. шк. -М.: Просвещение, 1997.

2. Атаханов Р. Математическое мышление и методики определения уровня его развития / Под научной ред. Давыдова В.В. Москва - Рига, 2000.

3. Бадмаев Б.Ц. Психология в работе учителя: в 2 кн. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000. - Кн. 1: Практическое пособие по теории развития, обучения и воспитания. (Психология для всех),

4. Балк Г.Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики // Математика в школе. 1969. - №5. - с. 21-28.

5. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971.

6. Балл А.Г. Общая теория задач. М., 1990.

7. Баллер Э.А. Преемственность в развитии культуры. М., 1969.

8. Баранова И.В. и др. Задачи по математике для 4-5 классов/И.В.Баранова, З.Г.Борчугова, Н.Л.Стефанова. М.: Просвещение, 1988. (Б-ка учителя математики).

9. Баранова И.В,, Борчугова З.Г. Математика: Учебник для 5 класса средних общеобразовательных учреждений. 2-е изд., испр./ Под ред. Н.М.Матвеева~Спб.: Специальная Литература, 1999.

10. Баттерворт Дж., Харрис М. Принципы психологии развития / Пер. с англ. М.: «Когито-Центр», 2000. (Университетское психологическое образование).

11. Богоявленская Д.Б. Пути к творчеству. М., 1981.

12. Брунер Дж. Психология познания. М., 1977.

13. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М., 1970.

14. Брушлинский А.В. Субъект: мышление, учение, воображение. -М.; Воронеж, 1996.

15. Выготский JI.C. Мышление и речь. Собр. соч. т. 2. М., 1982.

16. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. -М., 1997.

17. Выготский Л.С. Вопросы детской психологии. СПб.: СОЮЗ, 1997.

18. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М., 1991.

19. Гальперин П.Я. Введение в психологию. М., 1976.

20. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М., 1985.

21. Гальперин П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий, // Психологическая наука в СССР. М., 1959.

22. Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся. // Математика в школе. -1990. № 1. - с. 14-17.

23. Гнеденко Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики. // Математика в школе. 1991. - №4. - с. 3.

24. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990.

25. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач, Воронеж: Воронежский университет, 1976.

26. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. 1990. - № 4. - с. 27.

27. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? М.: Авангард, 1994. -ч. 1.

28. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М., Педагогика, 1972.

29. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986.

30. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996.

31. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина ГГ., Савельева О.В. Программа развивающего обучения (система Д.Б.Элым>ннна -В.В.Давыдова) 1-6 классы. Математика. М.: ИНТОР, 1997.

32. Давыдов В.В., Репкин В.В. Организация развивающего обучения в 5-9 классах средней школы. Рекомендации для учителей, руководителей школ и органов управления образования. М.: ИНТОР, 1997.

33. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе. // Математика в школе. - 1997. - N° 4. - с.59.

34. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования.// Математика в школе. 1990, ~ N° 6. - с. 2.

35. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Часть 1: Уч. для 5 кл. «Баллас», «С-инфо», 1996.

36. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления. Пер. с англ. Н.М. Никольской. -М.: Совершенство, 1997.

37. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990.

38. Зайкин М.И. Математический тренинг: Развиваем комбинационные способности: Кн. для учащихся 4-7 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1996.

39. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М,3 1994.

40. Занков Л.В. Избранные педагогические труды М., Педагогика, 1990.

41. Занков Л.В. Обучение и развитие. М., 1975.

42. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для 4 класса четырехлетней начальной школы. «Ассоциация XXI век», Смоленск, 1999.

43. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред, и высш. пед. учеб. заведений. 3-е изд. - М.: Издательский центр «Академия», 1999.

44. Кабанова Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. - М.: Знание, 1981. - (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология"; 6/1981).

45. Кабанова Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М., 1968.

46. Калмыкова 3,И. Обучаемость и принципы построения методов ее диагностики. М., 1975.

47. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. -М., 1981.

48. Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. -М., 1979.

49. Карп А.П., Некрасов В.Б. Математика в петербургской школе: Справочные материалы. СПб.: СпецЛит, 2000.

50. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл. сред. шк. -М.: Просвещение, 1992.

51. Колягин Ю.М. Вопросы и задачи, развивающие математическое мышление учащихся. // Начальная школа. -1970. № 7. - с. 17-19,

52. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, Ч. I, П. М., Просвещение, 1977.

53. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. М., 1980.

54. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. 1990. - № 4.-с. 21.

55. Концепция развитая школьного математического образования. // Математика в школе. 1990. - №1. - с. 2-13.

56. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1986.

57. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1991,

58. Коспок Г .С. Избранные психологические труды. М., 1988.

59. Крайг Г. Психология развития. СПб., 2000.

60. Краснянская К.А,, Кузнецова JI.B. Оценка математической подготовки школьников по результатам международного тестирования: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1995.

61. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе (Методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК).-М., 1985.

62. Крутецкий В.А. Проблема способностей в психологии. М., 1971.

63. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

64. Лейтес Н.С. Возрастная одаренность школьников. М., 2000.

65. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения. М,, 1983.

66. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в IV-V классах. — Минск: Нар. Асвета, 1976.

67. Лященко Е.И. Проблема задач в школьном курсе математики // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы. Межвузовский сборник научных трудов. Л., ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1981.

68. Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б.Фшщшюв. -М.: Фазис, 2000.

69. Математика: Учеб. для 5 кл. сред, шк./ Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов. СПб., ИЧП «Хардфорд», 1996.

70. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина. 3-е изд. - М.: Просвещение, 2000,

71. Математика: Учеб. для 3 кл. трехлет. нач. шк. и 4 кл, четырехлет. нач. шк. / М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др.; Под ред. Ю.М.Колягина. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

72. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. -М., 1977.

73. Махмутов М.И. Проблемное обучение. М.: Педагогика, 1975.

74. Махмутов М.Й. Современный урок: Вопросы теории. М.: Педагогика, 1981,

75. Менчинская Н.А. Вопросы умственного развития ребенка. М., 1970,

76. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьников. М., 1989.

77. Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. М., Учпедгиз, 1955.

78. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я.Блох, Е.С.Канин и др.; Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1985.

79. Миклин А.М., Подольский В. А. Категория развития в марксистской диалектике. М., 1989.

80. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. 4-е изд., нерераб. и доп. - М.: Просвещение, 1984.

81. Нешков К.И. Некоторые вопросы преемственности при обучении математике // Преемственность в обучении математике. Пособие для учителей. Составитель А,М.Пышкало. М., Просвещение. 1978.

82. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. -1971. № 3. - с. 4.

83. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э, Математика: Учеб. для 4 кл. сред.шк. -М.: Просвещение, 1989.

84. Образовательные результаты / Под ред. О.Е.Лебедева, ~ СПб.: СпецЛит, 1999.

85. Общая психология. Уч. пособие для педагогических институтов. Под ред. проф. А.В.Петровского. М., 1970.

86. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей учащихся: Из опыта работы: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1988.

87. Онищук В.А. Урок в современной школе: Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1981.

88. Основы технологии развивающего обучения математике: Учеб. пособие / Т.П.Григорьева, Т.А.Иванова, Л.И.Кузнецова, Е.Н.Перевощикова. Н.Новгород: НГПУ, 1997.

89. Оценка качества знаний обучающихся, оканчивающих начальную школу / Н.Ф.Виноградова и др. М.: Дрофа, 2000.

90. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике / Г.В. Дорофеев, Л.В .Кузнецова, Г.М.Кузнецова и др. М.: Дрофа, 2000.

91. Педагогический поиск / Сост. И.Н.Баженова. 3-е изд., с испр. И доп. - М.: Педагогика, 1989.

92. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2, 3, 4: Уч. для 3 кл. «Баллас», «С-инфо», 1996.

93. Пиаже Ж. Психология интеллекта / Избр. психол. Труды. М., 1969.

94. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. -М.: Педагогика, 1980.

95. Подходова Н.С., Оводова Е.Г. Геометрия в пространстве: Знакомство с объемными фигурами и симметрией. 6, 7-9 классы. СПб.: Голанд, 1996.

96. Поисковые задачи по математике (4-5 кл.): Пособие для учителей/ Крысин А.Я., Руденко В.Н., Садкова В.И., Соколова А.В., Шепетов А.С., Колягин Ю.М. М.: Просвещение, 1979.

97. Пойа Д. Как решать задачу? М.: Просвещение, 1962.

98. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер с англ. 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1975.

99. Пойа Д. Математическое открытие. М., Наука, 1970.

100. Полякова А.В. Особенности учебника для начальных классов в условиях развивающего обучения, -М.: А.В.Мерзлов, 1997.

101. Пономарев Я.А. Знания, мышление и умственное развитие. М., 1967.

102. Примерные программы начального образования / Сост. А.М.Водянский, И.А.Петрова. 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.

103. Программно-методические материалы. Математика. Начальная школа / Сост. И.А.Петрова. 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.

104. Программно-методические материалы. Математика. 5-11 кл. Тематическое планирование / Сост. Г.М.Кузнецова. 2-е изд. - М.: Дрофа,1999.

105. Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк. М.: Дрофа,2000.

106. Психодиагностика: теория и практика. Пер. с нем. Общая редакция и вст. статья чл.-корр. АПН СССР Н.Ф.Талызиной. М., Прогресс, 1986.

107. Психология одаренности детей и подростков: Учеб пособие для студ. высш. и сред. пед. учеб. заведений / Ю.Д.Бабаева, Н.С.Яейтес, Т.М.Марютина и др.; Под ред. НС.Лейтеса. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Издательский центр «Академия», 2000.

108. Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В. Математика. 5-6 класс. Уроки математического мышления. М.: Йздат-школа, 1998.

109. Пыщкало А.М. Методические аспекты проблемы преемственности в обучении математике: Сб. статей / Сост. А.М.Пышкало. М.: Просвещение, 1978.

110. Рогов Е.И. Настольная книга практического психолога в образовании: Учебное пособие. М.: ВЛАДОС, 1996.

111. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М., Изд-во АН СССР, 1958.

112. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. М.: Педагогика, 1989.

113. Рубинштейн С. Л. Принципы и пути развития психологии М., 1959.

114. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.

115. Саранцев Г.Й. Гуманизация и гуманитаризация школьного математического образования // Педагогика. -1999. Ш 4, - с. 39.

116. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. М.: Просвещение, 2002.

117. Саранцев Г.И. Цели обучения математике // Математика в школе. -1999.-№6.-с. 24.

118. Сергеева Л.А. Развивающие функции тренировочных упражнений по математике. // Начальная школа. -1997. №12. - с. 25.

119. Столяр А.А. Педагогика математики: Курс лекций. 2-е изд., перераб. и доп. - Минск: Высшая школа, 1974.

120. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. 1990. - Ка 6. - с. 5.

121. Столяренко Л.Д. Педагогическая психология. Серия «Учебники и учебные пособия». Ростов н/Д: «Феникс», 2000.

122. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М., 1998.

123. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. М,: Просвещение, 1988.

124. Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 7 кл. сред. шк. -М.: Просвещение, 1993.

125. Туркина В.М. Виды преемственности в преподавании математики. // Методичесике аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования. СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2000.

126. Туркина В.М. Общие подходы к пониманию преемственности в обучений математике. // Проблемы теории и практики обучения математике. СПб.: РГПУ им. А.Й.Герцена, 2001.

127. Туркина В.М. Теоретические аспекты понимания преемственности в обучении математике. // Проблемы теории и практики обучения математике. СПб.: РГПУ им. АЙ.Герцена, 2002.

128. Утеева Р.А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке // Математика в школе. -1995. № 2. - с. 33.

129. Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. М.: Прометей, 1997.

130. Философский энциклопедический словарь, с. 529.

131. Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н.Ф.Талызиной. М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995.

132. Формирование учебной деятельности школьников / Под ред. В.В.Давыдова, Й-Ломпшера, А.К,Марковой. -М.: Педагогика, 1982.

133. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ задач. М.: Педагогика, 1977.

134. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о психологии. М.: Просвещение, 1983.

135. Фридман Л.М. Учись учиться математике: Кн. для учащихся. -М.: Просвещение, 1985.

136. Фридман Л.М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. -М., 1991.

137. Фридман Л.М., Турецкий ЕЛ. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. 2-е изд., нерераб. и доп. - М.: Просвещение, 1984.

138. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. -М.; Томск, 1997.

139. Чуприкова Н.И, Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. М., 1995.

140. Чуракова Р.Г. Дидактическая система Л.В.Занкова, Проблемы и перспективы. Методическое пособие для системы повышения квалификации работников образования. М: Центр общего развития, 1999.

141. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М.; Педагогика, 1981.

142. Шаталов В.Ф. Точка опоры. М.: Педагогика, 1987.

143. Шевандрин Н.И. Психодиагностика, коррекция и развитие личности. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1998.

144. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах: Методическое пособие для учителя. 3-е изд., дораб. ~ М.: ООО «ТИД Русское слово - РС», 2001.

145. Шиянов Е.Н., Котова Й.Б. Развитие личности в обучении: Учеб. пособие для студ. пед. вузов. ~М.: Издательский центр «Академия», 1999.

146. Эльконин Б.Д. Введение в психологию развития. М., 1994.

147. Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. М., 1989.

148. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике: Пособие для учителей. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1970.

149. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. М.: Просвещение, 1978.

150. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М., 1979,

151. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980.

152. Якиманская Й.С. Психологические проблемы обучения. М., 1989.

153. Якиманская И.С. Технология личностно-ориентированного обучения в современной школе. М.: Сентябрь, 2000.

154. Ярошевский М.Г. Психологи XX столетия. М., 1971.

155. Butterworth G.E., Rutkowska J. & Skaife M. (1985). Evolution and developmental psychology. Brighton: Harvester.

156. Harris P.L. (1989). Children and emotion. Oxford: Blackwell.