автореферат и диссертация по педагогике 13.00.04 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование знаний об элементарных функциях в профессиональной подготовке учителя математики

Автореферат диссертации по теме "Формирование знаний об элементарных функциях в профессиональной подготовке учителя математики"

Гнститут педагопки I психологи професшноТ освгги Академи педагопчннх наук УкраУни

г6 ОД

О 3 ФЕЗ 1337

На правах рукопису

шунда никифор миколайович

ФОРМУВАННЯ ЗНАНЬ ПРО ЕЛЕМЕНТАРН1 ФУНКЦИ У ПРОФЕС1ИНИ П1ДГОТОВЦ1 ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

13.00.qE- професшна педагопка

13.00.02 - методика навчання (спешальних дисциплш)

Дисерташя на здобуття наукового ступеня доктора пелагопчних наук

КиТв-1996

Дисерташею € поабник Робота виконана у В1нницькому державному пeдaгoгiчнoмy шституп

Офцшш опоненти: доктор педагопчних наук, професор, дшсний член Академи педагопчних наук Украши Гончаренко С.У.

Провцна установа - Харшський державний педагопчний ушверситет ¡м. Г.С. Сковороди

Захист вибудеться "15" ачня 1997 р. о 14 год. на засаданга спешашовано!' вчено! ради Д 01.61.01 в 1нституп педагопки 1 психологи професШноТ освгги АПН Украши за адресою: 254060, м.Кшв, вул.М.Берлинського, 9, зал заадань.

3 дисертащсю можна ознаномитись у б!блютеш 1нституту педагопки 1 психологи професшно! освш! АПН Укра1ни (254060, м.Кшв, вул. М.Берлш1ського, 9)

доктор педагопчних наук, професор Бурда МЛ.

доктор педаго^ "чих наук, професор Слепкань 3.1.

Автореферат роз1'сланий "14"грудня 1996 р.

Вчений секретар спешал1'зовано1 вчено! ради

Г.М.Цибульська

1. Загальна характеристика дослщжсння

Актуальность та стушнь дое.мджувпност! проПлемг»

Свповий досвщ реформування освш! свщчить, що головним у цьому процес1 е оновлення зм1сту осв)ти. Сьогодш в його основ! лежать свггоглядш познцп людини, яка реалиовуватиме свШ творчий потентат в 'XXI столггп.

Перебудова украТнсько'1 школи, ззпочаткована Державкою национальною програмою "Освгга" ("Украша XXI столггтя") I тдтчерджена Законом УкраГнн "Про осв1ту'\ передбачае значш завдання у цьому напрямку, зокрема шсдо розробки та впроваджеиня ново! концепцн математично! осш'ти, н&вчальних програм I шдручникт з математики. Це сгосуеться не пльки зогалыюосытньо! або профеа'йно-техшчпоГ школи. втцих павчальннх закладгв 1-11 ршия акрсднгаци, але П вищо! школи 1И-1У р1ыи акредитацн, зокрема бищоТ педагопчноГ школи, де готутогь внкладач1в математики. Щоб цей ггроцос не набув самочичного гиптну, щоб запровадження нового зм|'сту матшатнчноТ подготовки у р1зшк навчалышх закладах не мало суб'ектнвно - штуггивного характеру, потр1бш комплексш м1'жгалузев! психолого-педагопчга 1 методнчш дослцження шодо визначення нового зм1сту освети у школ1 I прогреснвно! шдготовкн учителя математики.

Вони повннш враховлъати сощально-культурга тенденщГ розвчтку сусшльства на сучасиому еташ, зокрема пщвищення гумаштарного нотетйалу лгодини в и спикуванш з оточуючим середовищем, зростання технолопчносп р.иробишпва на основ! шформашйних технолспй, глобальшсть еколопчного мнслення та ¡н.

У Закош Украши "Про освггу" зазначасгься, що нсдагопчною дшлы^стю можуть займатнся особи з високими моральннми «костями, ям уоють мдповщну освпу, професШно-педагопчну пгдготовку, широку ерудтмю,

¡итс.чгсппн'сть.

Тому на сучасному етапо розшггку суспольства одним оз вагомих завдань освети удоскониюння професШно'о подготовки учительських кадр1в, а дослодження рпномаштних теоретнко-методолопчних проблем зм1сту профегойноо подготовки вчигеля математики е сьогодко досить актуальним.

Серед численних проблем змо'сту нрофеайно-педаголчно} подготовки вчителя математики чшьне мо'сце посщас проблема оновлення змосту освшо. Вц| надежного рсав'язання чавдапш "чему навчати?" насамооеред залежить ртеш подготовки вчителя. Проблема змосту оевто надзвичаошо складна. 3 одноп боку, необхцшо, щоб навчальш программ, подручники i навчальооо пособники оо; пезошй тривалий час зберггли певну ста(ильоисть. а з о'ншого - стромкно розвиток ооауки I техноки, бурхло/во пронеси у суспшьному житго вимагаюто, о: постЩного оновлення о вдосконалення. Змши часткового характеру вносять пр] нерево1даши оорограм 1 навчально! лотсратуроо.

Нион настав час. коли необх|'дш глибоы змши. Це стосуеться навчальни планов 1 програм, а також подручников о навчальких пособоооокпо.

Для сучасного отуково-тс-хопчного прооресу характероое значо пшвоощедал роло тгоретичких зн;шь, оцо дозволяе наущ глибоко проникооути познаооня явнщ та процесов навколишш.ого с в ¡ту. Тому одним з головних завдао сучасноо педагогочоооо науки е пошуки шляхт подвищення теоретичного р1вз Бивчення фундамелталыоил та прикладошх наук. В цьому плано оркнтаи наачалыоого пронесу на подситоооя ппнавально'о активносго студен гш, на загальний розвиток мае проооншпово важливе значеооня.

Сучасна втца педагогочна о л кола мае заоальновнзнано здобугки в плг щдготовки висококвашфжованоох спещал1(птв як шодо зд1йснеооооя навчалы виховнога функщй в шлому, так 1 з математичноо шдготовки зокрема.

Вишлимо дослщжеопоя. в яких глибоко о всебочно воосвплсоо! досво; проблеми професШноо шдготовки майбупих о1едагоотв (О.О.Абдуло А.М.Алексюк, Ю.К.Бабанеький, В.П.Беспалько, С.У.Гончаренко, В.Л.К

Калж, Л.Г.Коваль, В.А.Коззков, В В.Краеисышй, Н.В.к'узьмша, М.ДНь канлроз. Н.Г.Ничкало, М.М.Скгтмн, МЛ.Шичль, М.Д.Ярмичсихо т;;1*г.).

Питаниям тпдг отопки студенпв до тьорчоТ пгдзгопчнсл мраа! присиячеш робота ВЛ.Андреева, Д.Я.Вшькеева, ВЛ.Загв'язинського, !./ .Зязюна, БЛ.Коротягва, Ю.МКулюткнш, В.Ф.Паламарчук, Г.О.ПетровоТ, ЛЛ.Рувшського, Л.Ф.Сшрша, З.П.ШабалйюТ та ш.

Окрсмо ели вщшачити робота вйюмих вчених в галун методики навчаши математики, бшышеть з яких присвячена гпггаш1ям удосконалення змюту 1 методики математики у навчапьних закладах середньо! лат! осш'тн (Г .П.Бевз, Н.Я.Виенкш, О.С.Дубшчук, В.А.Крутецькнй. Л Д.Кудрявцев, ЗД.Слепкаиь, Л.Л.Столяр, 1.Ф.Тесленко, О.П.Фршман та ш.)

Водиочас, «езважаючн на доыггь широкий спектр I пагтп ргзультрш дослижень у галул' школьного курсу математики, а гакож деяк! спроби пок(\п'в у напрямку фххово'1 подготовки студентт математичних вмишенъ фоико-математичних факультетов до робот» з середшх навчально-шгеопних закладах, поза увагою доелктшмв залншились важлиз! питания теорстико-метсдолопчннх основ профеЫйноТ подготовки саме майбутшх вчитело'в.

Насамперед не стосусться проблем» формування знань студента про елементарш функцоо. Ная'пшсть такнх знань у майбутшх учителе математики важко персоцмшти, бо ох глибоке, грунтовне знания дае можливтеть широко пикористовунати 1х при вивченш шшоох литаиь математики та розв'кзупаиш прикладных задач з розких галузей науки. А введения одних I тих же футацй р1зними способами розвивас у студент пооЬукову, тзнавальну д1яльч1сгь.

Таким чином, актуалыйсть теми нашого дослщження зумовлена як об'ектнвооими потребами суспольства нашо!" держави у пщготовтп квал!-фо'кованих, професо'йно грамотних учителт математики в нишштх уморах роботи вшцоТ педагопчноТ школи, так о Р1дсути1стю коткитуплыпгх обгруитуиаиь в педаготшй науц! цшсиоТ системно'! науково-методично!

шдготовки майбутшх учите;иа математики. Це » зумовило вибф теми нашого дисертацШного досчщження.

Подана до захисту дисертащя "Формування знань про елемешарт функии у професц'шш тдготовц> вчигеля математики" продонжуе т! дидакгичш 1 методичш дослщження, автори яких намагалися дати психолого-псдагог¡чне 1 методичне обгруитувашш змюту профеС1ШЮ1 освгги ¡, зокрема, змюту математнчиоТ освпи ш'дпсвщно до вимог нового етапу розвитку сусгпльства.

{'азом з том вона пропонуе власний пщхц; до профеЫйно! шдготовки, що базугтьск на кригер1ях 1 вимогах квал1фжашйно1 характеристики 1 сучаспнх уявлень про )'де'1 та зм1ст професШио! шдготовки учителя математики. Дисертащя е пщеумком битьш як чридцятир1чно1, безпосередньо пов'язано'1 з темою нашого досл!джеш;я прац! автора як ьнкладача математики педшетитуту. Результата нашого иошуку знайшли вщображення в опублжованих щдручниках, навчальних 1 методичних пое1бниках, стачтях 1 тезах наукових доповщей загальним обсягом 141 друкований аркуш.

Оо'(кчом дослщжеиия с процес фахово!, npoфeciйнoí подготовки майбутшх учителш математики у систем! пишем педагопчно! осв1ти. ■

Предмет дослщження - формування зиаш про елементарш функци у студеттв математичних в1тилень фЬико-математичних факультета вищих пгдагопчних навчальиих заклад!в НЫУ р1вня акредитадп.

Мета досл;дження - шуково-теоретичне об1рунтувшнш рол1, мюця, значения, еутноеп, ¡сторична! еволюци, закономгностей та особливостей процесу формувшшя г -ань про елементарш функци у студенпв, вироблення наукових технолопчиих основ викладання спешальних диецппшн майбутшм учителям математики. У дослщжснш ми виходили з ппотези про тс, що ефектившеть процесу профессию! шдгозовки у педвуз1 значио шдвититься, яюгцр знания про елементарш функци будуть необхщшю суттевою складовою ищыатичнт осшти вчюеля математики. Це передбачае:

1. Нову модпфжашк» змгау математичио! осзгги у 'лглаузк яка "'.¡¡'Л; 'печ\ч сджсть таких компонент: знания про елемснтарш функин: в чип к та навички досдщжупати ¡х властивостк будузатн гр.!ф1кн: лосвш самост'кно; тпорч.л л(яльпосп. шо ор!енгуе не тьчьки на засвосння знань. формувапня \лмчь та навичок. але и на способи тзнавально! творчо'1 дтльносп, кис в ¿я емошкно-шншсшпх ставлень до пронесу засвоенш знань, ум|'нь та наглгчок: результат» ппнавалъно1 д1Ялт.но<гп, шо створюе умочн для саморешшаци. самостверлжскня особистостт

2. Opгaнiзauiю навчалъмого пронесу, лка зэбезпечуе оргатчну ипеграцте знань про елементарш функпи з р!знкх разлит матемагччннх гсурс'п, а також пшомосп з педагопки 1 методики навчання спешалышх чнсшиьпн в навчальному пронес! математичних 31дд1лень пелвузж.

3. Науково-метод1гчке згбезпечення пронесу профессию! п:дттовки вччтеля математики (навчальш программ, питруччики, назчальш пос1от1ки, спецкурси, практикуми з розв'чзання задач, методтпн рекомендаш' тошо| як ишаки системи. у «кш гармоншно посднаш цш, завдглпк. зм!ст, форма, метод» навчання та виховання майбутшх вчнтел(в математики, зокрема в галуз! знань про слементарш функци.

4. Наявш'сть сучасноТ педагопчно'! технолог^' формування у студентов знань про елементарю функци. яка оргашчно поеднуе сучасн! методи зиклалання I методичш прийомн. засоби навчання, форм» оргатшаий навчального процссу. як) забезпечують творче свиомс ставлення студентш до пронесу заспосння навчального матерталу.

В1дпов1дно до предмета, мети та ппотсзн нашого дослщження були визначеш так! його завдання:

1. Вивчити сучасний стан прдфесМно-педагопчно; тдгоговки } нтсля математики в педвузах 1 ушверситетах.

2. 11роанал1зувати вшом1 тдходи щодо (¡юрмування у студснпв знань про слсмснгапш функип у профессий шлготошц вчигеля математики.

3. Обгрунтуьати концепцио формувачня заань про елементарш функш у майбутшх вчител:в математики.

4. Ршробиги систему методичного забгзпечсиня пронесу формування знань студите про елементарш функцн.

5. Стоорнти методнчш рекомепдэци щодо викорисгання розроблених гадруч1!нк1в та поабниюв студентами та викладачами а навчальному npoueci.

Методолог1чна основа дослиисення базуеться на проыдних положениях теори тзнання про роль практики в ппндтн та геретворенш .шйсносп: про взаемозв'язок теоретично! i практично! шлыюстк про Д1'алектичний зв'язок об'аепшних i суб'ективчих фактор1в формування та розвитку особпстосп: про акгиишеп. суо'екта в npoueci навчапьно) д1яльностт

"Георетичну основу лостдження склалн положения та висновки сучасних мЬадисциплшарних дослщжень, що поеднус фшософсьы, психолого-яелагопчш, сошальт, методичж доробки, оскшьки професшна педагелчна дшльшеть суб'екта с багатогранним об'сктом аналиу, шо вщображае ¡снуючии широкий спектр прояву ft специф1чних особливостей.

Kpi.w цього, ми опирал! 1ся на методолопю сучасно! педагопки, в яюй обгрунтовано розвиток прющишв i uinickocTi, комплексности, наступносп, ivnerpauii, а також особисткно-дояльшсний i системно-цшений шдходи як нкгтрументарш достижения i оцшки педагопчнеч д(яльносгп.

Дня розя'язанш! нсставлсних завдань i nepeeipKH ппотеш нами заск>совупа:нся тсоретичш та eMnif i4Hi методи науково-педагопчного досл1'джснш. як1 зикористовузалися в сусшльних науках. Серед них: теоретичш (аналЬ, синтез, моцелювання, порйвняния. систематизашя, узагал!»нення пауково-теоретичних та досшдиих даних), емтпщчн] (анкетуванпя, нперв'ю.

контрольш тести, сностсрежеаня. самостюс^рсження, обговорення. екснсртш

г

оцйпояанш-рейтинги, Д1агносткчний та педагопчний експернменг, методи математично! статистики, комп'ютерна обробка даних експеримеплв).

Ькспериментальною базою дослйження с Вшпмиькин державний педагопчний i петиту г Иоряд з дим вив"звся аосвш иауково-методично* та викладалько)' робеггн ф!зико-матемапгм:»;х факультет 'укрп'шського державного пела! опчного ушверситету ím. М. Драгоманова, Житомирськото. Кам'янеиь-Подыьського. Полтазського, Терношльсысого педшетитупв. Харк1вського педзгопчного ушверентегу, Вслинського державного ушверситету (Украша). Санкг-Петербурзького ш. О.Гераена, Костромського та Калузького педшетитупв (Pocin), Келецько! Binnoi школи педагопчно! (Польша) та in.

В експеримснталыюму дослшженш брали участь понэд 1800 студств i викладач1в матсматичних кафелр педагопчпих bv3íb Укранш.

Дослшження проводилося протягом 1970-1995 рок('п i охоилювало кпька eranin паукового пелагопчного пошуку.

Перший етап (1970-1980 р и.) - акал1тйко-кснетатуючт1. Вивчекня стану дослшжувано! проблеми в тсорн i на практши: моделювання проиесу дсслшжгння: вивчення фпософськок сошально;. пснхрлого-недагопчноУ i методично! лггературс. обгрунтувзння проблеми лослшження: вивчення педагогичного досвшу стану подготовки учителя матемаппси в педвуз i, конструюванпя шлеспрямованих задач i завдаиь.

Другим етап ( 1980. - 1985 рр.) - аиалггико-пошуковий. Детальна обробка обраио1 хчя дослшження проблеми, визначення мети, зав дань, предмета, лпотезн. категор1'ального апарату лослодження, вивчення провшиих чиннтп'в нроцесу професшно! пшготовки вчителя математики, на ochobí чого проекгувався i складався "робочий" образ явиша. uio дослшжувалося. Це дало нам можтшеть здшеннти портняльннй аналЬ профеайноТ подготовки вчшеля матемаппси за разними напрямками та методиками i виявитн найбопьш ефективш шляхи полшшення цього процесу.

Тоетт етап (1985 - 1990 рр.) - формуючий екслсримент, метя якого полягала у розробш цшено! дидактично! систем« формувания знянъ про

елемектарш фушаш у професшшй шдготовщ вчителя математики в педвуз1 на ochobí використакня сучасних niaxo.aíb до технологи навчаиня.

Четвертин eran (1990 - 1995 рр.) - за^ершалыш-узагальнюючий. Розв'яза-iffls дос;пджувшю1 проблеми в теоретичному i практичному планах, шдбиггя шдсумюв роботи. узагальнення огримаши; даних. осмислення концептуальних положеиь дослшження.

Проводилася апробац¡я основних bhchobkíb лослшжсния i а впровадження IX у npoueci профссиикн подготовки вчителя математ ики у вищих педагопчнлх. чавчальних захладах Укранш.

Науков? иовизна дослдах-ння полягас в обгрунтуванш науково! кониепци формування знань про слементарш функцп v ирофесшьпй пщготозщ вчителя математики: у визначенш змосту. структур», умов та законом!рностей сгвореиля навчалыкм л;тератуэи для забезпечення процесу п1дготовки' вчителя; в створети та обгрунтуванш струкуурно-функцюнэльно! модел1 спецкурав i тештрактчкумт для шдготовки- вчителя математики до роботи в школк у формувашн наукових засад пщготоики кадр1а у систем» вишо! педагопчно) оевп-и.

Теореггичне значения дослщжеиня полягае в науковому осмислеши ссновних можливостей застооування властивостей елементарних функцш до вшчення шагах питань математики, виявленш концептуальних заьдань магемат-лччэ; ocbítíi у педвузах на шдстаЫ анализу тендеицш розвэтку ocbíthíx систем в кражах СМ,'./ та в Украан; в з'яс,ваиш сутносл' навчального шзнання егудентш ка cíthwx ршиях заивэения знань про елементарш функцп i створети ■ мстодично1 скстеми для забезиечекня цього процесу, у визначенш теоретичних i мстодичних основ i базового понятшно-термшолопчного апарату певних роздпш матемагично1 оевпи майбутнос вчигшьв математики.

' * Практичче значения дослшження гюлжае в розробщ програми, зм!сту i методики формування знань про елементарш функцп у професшшй шдгогопш вчителя математики, шо алробовано в педагопчному npoueci внщого

навчалмюго закладу: у вишаченш мюня освпнього цензу певно; дисииплши у систем! 1!роЛсст-йио1 гидготовки вчителя: в обгрутп л'яанн! умов Лунетночальпого агырату в пшготовш фах1вня у педвун: у розробш система наачадьннх посчбннкш з математичннх дипшгоин. то забезпечуюгь професишу п^го^очку вчшсля математики.

Результата нашого дослшясення можуть бути використаш гфи складашп нових програм. тдручник:в та навчальних поа'бшшв з математичних дисциплш. а також у пронеа зикладання та внвчення нуз1'вських к\рС1в з математики, и методики, проведенш науково-педагопчних лосл1Дже;1К

Мроплшсть отриманнх результата та и обгрунгуЕання п'дтверлжусться адекватшстто обраних метод!в науково-педагопчиого досла'женнк мел' 1 завданням достижения. широкою апробашею основних положень нашо!" робогн в пелагопчному експерименп" та практиш викладання магематичних дисциплш у иавчалыюму пронеси практичною реатзашпо наших пшручышв 1 попонию'в в навчанш маибупмх вчител1в математики в педвузах, трива.'пстю експеримснталыю! робота. можлив^стю в^дтворенга експерименп'в < иставлетш результат з масовнм педагопчннм доевщш, з наукознми даними.

На захисг виносяться:

- копцептуалыи основ» формування. знань про елементарт функци у ггрофесштн пщготовш вчителя математики в педагопчних навчальних

зак>ш,ах;

- система науково-методичного забезиечення процесу математично'| оевгги: шдручники, навчальш поабники. методичш р'озробки та рекомендащ'Г:

- сучпсна педагопчна технологи оволодгам майбуттми вчителями продуктивннми методами розв'язування математачних задач 1 завдань.

Апробашя 1 впровадження результат досл>дженнч здФсьпс ллися шляхом нублшашй науково-метхшпних та педпгол'чних прянь диссргента, внетушв з допов1лямн 1 науковими повщомленнями на науково-практачних ко.чферешп'ях р1зного р!'пня. семшарах.

В опублисованих роботах автора викладеш основш концепту альш пщходи до формування зниль про елементарш функии у професШно-педагопчнш шдготовщ вчителя математики, якими користуються викладач1 вищих педаголчних навчальних заклад!в. студенти матемагичних вишлень, слухач; курив пщвшцення квашфжацн шститупв шслядипюмно! осшти.

Особиста участь здобувача в одержанш наукових результат адекватно вщображена в багаточисленних публ1каиых: "Практикум розв'язування задач з математики", який виданий у 1975 р. видавннцгвом "Вища школа" з грифом ММстерсТва оевтги Украши як поыбник для педвузш i перевиданий ¡з зм1нами i доповненлями у 1978, 1939 pp. Автором неписано ^ 3, 6, 8 (роздш 1), роздш 11 (noBiiicno), crop. 318, 319, 336-339, 349-372. KpiM теоретичного матер1алу, тут вмодено 680 тематичних зм1стовних задач i вправ, сконструйованих дисертантом i спрямованих на профеЫш(у подготовку вчителя математики. До складних i нестандартних задач^дат коротш вказ»вки.

Дисертантом одпооабно написаний поабник "Функи!! та ix графши". який вийшов у видавницгв! "Радянська школа" у 1976 i 1983 pp. обсягом вщпов1дно 10 i 12 д.а. В ньому глибоко i широко розкрнвшоться властивосп елементарних функшй i показано ix засгосування до побудови графЫв, до розв'язування р1внянь i неровностей. Поздбник м1стить 1480 вправ i задач, переважна частшш яких складсна автором. Вони покликаш допомогти вчителям i студентам оволодп и функшональнйм апаратом. Значна частина » них вимагас творчого шяходу.кмгошвосп I в!шах1длчвост>. При ix виконанш студент мае можлив1Сть перешриш глибину ceoix теоретичних знань, вони спонукають ix до роэдушв i пошуктв. стимулюють ¡нтерес до теоретичного матер!алу.

ПоЫбник flicrae нозитивну ошнку ссред вчител1в, студент, викладач!в виню! школи.

Дисертантом однооЫбно пщготовлеш пос1бннки "Тригономегричш «

ршняннч" (Вштщя, 1991, 2,4 д а.), "Тригонометричш HepiBHOCTi" (Впшиця, 1994, 2,6 д.е.), в яких широко використовуються властивосп елементарних

функшй <адже питания розв'язувашш тригонометричних нсртносгси грунтовио 1нде пс розроблено). "Розв'язування р1вняш>. пов'язаних з обярненичк тригонометричними функшями" (В1нниця. ¡995. 2 л.а. I <це питания також е надто складним, а в навчально-метоличнШ лггерагур1 воно висв^лсно недостатньо).

Розроблено однооабно вкрай необхшний для студениз (та й учителгв) спецкурс "Розв'язування р^внянь. пов'язаних з функшями: цша частина дгйсного числа I дробова частина дШсного числа" (Випшия, 1996, 3,5 д.а.).

Пол1бних розробок немае, а необхшшсть у ньому чимала, оскшьки на матемгтгчних ол1мшадах гоним математикам пропонують р:вняння. як1 м!стять знаки згаданих више функшй. Спецкурс д1став високу оцнгку серед маге-матшав.

У "Вступному кура математики" мною написано роздал про елсментарга функци.

Протягом 20 рою'в дисертшгг читае курс математичного анагизу для стулешзв спешальносп "Математика та физика". Тому в "Практикум! з математичного анагизу (вступ до анагизу, диференшальне числеиня)", 1993 р. 1 "Практикум! з математичного ал&гпзу (нггегральне числения, ряди)", 1995 р., яга видаш вилавництвом "Вища школа" з грифом МЫстерства освпи УкраЬт, особлива увага придшена формуваито знань у студеипв з елементарних функшй 1 застосувашпо \х властивостей до шших пигань математики, а також конструюванню елементарних функшй з наперед прогнозованимн власгивостями.

Багаточисленж. розробки 1 стагп також присвячеш елеменгарним функшям I використанню 1'х властивостей до розв'язувшшя р1внянь та нер!вностей тошо.

2. Основний micT дослщження.

Розвиток сусшльства, науки, техншн, кульгури зумовлюе необхщшсть внесения певних змш у зьпст освггн. Дося/нення психолого-педагопчних наук дають мо;клив[Сть впроваджувати нов» методи. способи, прийоми напчання молод!.

Нч становить винятку i математика, яка за осташи три столптя розвивапася шндио i швидкими темпами. Вжс в KiHui XIX i на початку XX столптя BuiOMi математики шшимали питания i робили спроби модсрнпувати шкшьний курс математики. Особливого розмаху перебудова (модершзашя) пшлыюго курсу математики у ecix розвиньних крашах сшту набула у 50-Ti та OO-Ti роки нашого столгггя.

Зрозумшо, шо в рцних крашах було свое бачення модершзацн математично1 освгги. Разом з тим yci сходшшся в одному: в курс шкш>но! математики необидно ввести елсменти диферешцатьиого та интегрального числення.

У 1968 poui була затверджена нова програма з математики.

Осковш мотива и оведеиня * необх!дшсть вивчення традицШнот мзтср!алу.на основ! деяких щей сучасно! математики та включения до Hei' нових гоггэнь, необх1дних як для уешшного продовження навчання у вищому наьчальноыу заклаш, так i для практично! д!яльност1. Похшт та П застосування (.43 год.) була внесена в лрограму IX класу. а ¡итеграл (12 год.) - в'програму X класу.

При ввеленн! в середию школу елеменпв математичного аналпу Bi.ioMi математихи i провшп методисти наголошупали на тому, що диференщальне та ¡тегральне числення не повинно бути добудовою (доповпенням! до традшцКного шильного курсу, а нядбудивою. на яку повинен бути разрахоианий фундамент yeie'i будови.

В основу аивчення питань апгебри i початюв аналпу слщ покласти такс фушшме нтальне поняття як фун?1йю.

Тому ошючасно з введениям елемеппа вишо! математики були здшшеш певш кроки шоло виконання та умови: лжвщозано самсстшнии курс тригонометрй, внаслшок чого тригономстпичш фунюш вже розглядалкся нар1вт з лшмними, квааратними, показииковими, логарифм(чними фупкшямн: розв'язувания р1'внянь 1 нершиостей ■пснипе пов'язувалося з властавостямн виповшшх функщй; дослшкення властивостей функшй за допомогою похшног. посилилась увага до функшоналыки пропедевтики тошо.

Проте 1 иа сьогодшшнШ день викладання шилъно'1 математики не переведено в повнш мф1 на "функцюнальш рейки". В тдручниках 1 пособниках ше недостатнш багаж задач I впргв на викорнсгання властивостей фунжвй, на глибоке 1\ розум1ння.

Введения в ншлъний курс математики елеменпв шпшн математики призвели до пезних змш в навчальних планах педшсппупв.

3 навчалышх плашв буди ватучети курси елемеитарноТ алгебри, елемеигарно! геометрн. елементарко} тригонометри. Це зразу ж пршвело до знижеиня якост! подготовки майбушис вчигелт. Не математик!п, а саме вчител|'в математики.

Отже. зм)'ни вибулися не на краше шодо ;х профео'йно! подготовки для роботи в школ!.

Зрозумшо, шо фуидамеитальну подготовку в педонсппуп майбутньему вчителево забезпечують таи курси, як математпчний ¡талоз, алгебра. геомггр'Я. теороя ймоворностей, теор1и чисел та ш.

Автори, вилучаючи з навчальних плата { (фограм елемеипфш курси, виходили з того, шо фундамснтальт курси. курс методики викладання математики, педагоп'чна практика помпе по забезпечать подготовку висококвалофокованого спецоалюта для робота в школ!

Проге така гйоотеза пе вииравдвла себе. Склалася така ситуаом. коли нередко випускиики фпнко-математичооого факультету успешно справляються а

задачами 1 вправами диференщалыюго 1а штегрального числення, але не можуть розв'язатн трансцендентне ршняння або нергвшсть середнъо! трудность

Огже, виявилося, шо фундаментально курси не забезпечугь в повшй студенпв знаниями для продуктивно! професншо! дгяльносп.

Математики, методиети, освггяни неодноразово пшшмали питания про усунення оце; ирогалинн В результат! був знайденнй шби компромкний вар1шгг. В иавчальм плани було введено практикум з розв'язування задач, його програма складасгься з чошрьох частин:

- практикум з алгебрн;

- практикум з трш'оноыетри;

- практикум з геометри;

- практикум з розв'язування задач пшвищено! трудносп.

Б пояснювальнм записои сказано, що вмшия розз'язувати залач1 г одним з важливих елеменпв математичнп! подготовки манбугнього вчителя. Гаке виишя виробляеться тшьки в тому випадку, коли протягом всього нерюду <швчаш1Я з ¡нстшуп, а не тшьки на завершальних семестрах, студент розв'язуе задач! рЬно» складносп 1 раного зм^сту".

В прахгикум з алгебри, тригоиометрн 1 геометри включений материал, я кий нсдостатньо подашш у фулдаментальних курсах. Зокрема, практикум з атгебрн 1 грикшомстрн представлений тотожностями, тотожними нер1вностями, р1ВНШ1НЯМИ I НСр)В1 (ОСТЯМИ з1 змшними.

Р.лв'язувангао р1внянь 1 неровностей у ирограли вшедена значиа частииа часу тому, шо це традшийы' теми шюльно! математики, з якимИ учш мають справу протягом 5-6 роюв навчания в школ).

Проте в пояснювалыйй записои шчого не сказано про функоиопальну спрямованкпь при розв'язуванш ршняиь 1 нертностеи, доведеиш тотожностей.

"Очевидно, {практикум из може до кшия виршитн проблему професшно! пцготовки вчэтеля математики. Необхино виюгадання фундамеоггальних курст якоаога мсюше гаов'язувати з профеепшою подготовкою спешал1ста.

Для цього спи добре знатн проб л ем ч. турботи еередш>0! шксли. 3mi"ct шк1лыю1 математики. основт тенденпм и розпшку. магм пет« метоттм нанрацюнання.

Зараз, як »¡коли, гостро степь проблема пщготовки вчптеля математики. Змша сошальноч:коном1чпого курсу в Укра'нн породила нимало прсстижних спешальностей (фшанси, економжа б1знес. управ.и'ння, ¡нформашя тошо).

Галановита. добре пщготсвлена молодь в основному вступае у вшювшо навчалып заклали. Престиж учителя остантпм часом значно впав через економ1чн1 негараз.ли. KpiM того, навчатися на спешальносп математика надто важко. Нелегко в;д6увасться адалташя студеетш першого курсу. low' конкурси на ф1311ко-математичш спешальносп останшмн роками невнсою.

Оскшьки зараз функшонуе чимало pi3inrx навчальних згклшв, що дагать середню ocniiy (загальноосвггня серелня школа, коледж. лпк-ii, МТУ. приватна школа, колепум). то вимоги до пщготовки вчителя математики зросли.

Без широко! математнчноУ epyiiiuii'. без творчото розумипш рЬннх шдхо/нв до навчання математнш в залежносп вщ суб'екта учитель не може розраховувати на усшшне виконання ceoix профеЫйннх обов'язюв

3 1970 року велись дослшжеиня шодо полишення тдготовки майбуппх вчител1в математики для'роботн у середшх навчальних закладах. 3 юао метою виявлявся pipeiib. широта i оператившсть знань студента, яю заинчш/и вивчення курсу матсматиччого ашлЬу. вчтынв, як> проходили тпвчщенка квашфжаин при шституп з питань, що мяють безпосередне вщношсння до ixiiboi профсси.

Вияснилося. що студенти i вчнгел! не мшоть глибокях знзыь з елементарннх функшй, не говорячи про вм1ння застосовувати 1х властявосп до вивчення традиш'йних питань шкшыкн математику.

Це пптверджують дат анкетування, оиитування. контроль!li замора

Гак. протягом 1970-1972 pp. студентам III-IV курс ¡в (теля вивчення курс-/ математичиога нна-изу» пропонувалнея завлання такого-«нету:

"Не проводят* досл!дження, вказати, яка з нижченаведсних функцШ псрюдична, i, якщо перюдинна. то чому дор1внюс перюд

1. y"sinJx;

2. y-cos-Jx ;

3. >=iglog2X;

4. у-y/sinSr ;

5. yleot2x-

6. y=logjsm-Jïx-,

7.

8. y=sin x+cos2 -У5 x;

9. y=tg VJx+ctgv^x;

1 я

10. y=sin(-jjix-—)+l;

П. >-sin2x+sin4x+sin84; 12. y=£in30+cosí0x.

Ряультати »еден! втаблнцю

KM долдонь прявцльн! в1дпив1д1 неправильн] BlqqoBlai чхстково правнльв! вйповМ

Ь 156 112 40

2 '. ..-; 48 260 ...

, ' . -з. 60 248

i ; • 4, 128 180,

5. 128 180

6,( 92 176 40

7, 256 52

12 Н 248 18

»

_ К • ' ...

9.

136 1 40

10

136. 132 40

Л.

— — 308

12.

.А

Частково правилып вшповш - не тт, яюши стверд-дрвалася пертдичшстъ функшй, аае неправильно вказувався и перюд.

Виясннлося, що студенти. ззкшчуючи шститут I праиюючн в школи мають загалом нал го обмежеш знания шодо перюдичносп функшй.

Вони г. переважшй битьшосп не знаюгь. як .»найти перюд функцн. шо с сумою тригонометричних функшй. у яких перед аргументами стоять рпш шло числа. рацюнальш числа, коли така функшя Руде перюдичного, ягацо перед аргументами стоять р4зниррашональш числа, а коли вона не буде перюдичиою?

А не знаючн нього. не можна ссрйозно говорнти про розв'язувания тригопомегрнчних нер|'вностен.

Здебшьшого майбупи вчнтел! не знакпъ. у якому випалку пеоюл складено! функцн зйгаеться з перюдом внутр!шнь61 функцй, яйцо внутрниня функшя перюднчна.

А коли було дано завдання назвати виом! 1м перюдичн! фунют. то вшновшъ обмежувалвсь лекшькома функшлми.

Не крашими буди вшповЫ студенп'в I при виконанш такого завдання:

"Не корисплючись похмною, вказати прочЬккн зростапня та спатупи таких функцш:

1. у= Л2 -1г + 2;

7. у=2!аге,8х|:

1

8. >= фо£х\х\-,

2. укщ 1

2 л «1

3. у=2"™;

4. у=1о&1хг-1|;

5. у= агсБт -;

.«тех

9. у= ^^ах+акх; 10. у=агсс^(х2-1); И. у= агссоэ (атасов х);

)агс51плг|

6. у= агсак (соях);

Тому виникла 1«. обхццнсть ознайомити студенпв з теоремою про монотонн ¡сть складено! фунхцп у с 1(<р(х)), тим бшьше - для випадку, коли зовшшня функщя строго монотонна, не пшлягас сумш'ву. Справд1, вона озброюс Гх дШовими, оперативиими знаниями знаходжения пром!жк1в зростання та спадания елсменгарних функшй. Знання теореми дозволяе усно I без особливо! затрати часу розв'язувати вправи заданого вище типу.

Значна частина студентю старших курс1в визначають паршсть та непаршсть за зовжшшми озиаками, без врахування обласп визначення, що нершко приводить до прикрих помазок. Наприклап, функшю б-пг2, яка виражае плошу круга через рашус, вони часто називають парною (зовшшня ознака). Знову ж тут не доводиться говорит» про вмшня студент застосовувати властнвосп парних та непарних функцШ до розв'язування ршнянь та нсртностей.

Даш' констатуючого експеримету заседании, то студенти не обпнаш з тим, як, користуючись понятгям множинн значень функш!, сформулювати достатш' умови в1дсутност1 кореш'в р)вияння Г(х)=(р(х), а отже, сформулювати 1игобх1Д1п умопи ¡снувашш корешв для даного р1вняння. Лбо, як| я оста пи умови кнув-шня корлнв р1вияння Г(х)*а, аеИ, яю достатш умови виюушосп к.ореиш

цього ж т'вняння. 'Гобто знову ж таки сгуденти не вмиоть застосовувати поняття множили значень функнй до традищйннх питань математики.

11ерсл|'к них невмшь можна було б продовжити i шдтвердити результатами тестування. Лле. мабуть. в цьому немас потреби. Наведен! даш засвщчукл ь що при такш пшготовш манбутш вчите.гп не змож>ть перевести викладання тралишйиих тем шюлмкм математики на "функнюналый рейки".

У за'ячку з инм на початку 70-х роюв нами була поставлена гака проблема: яким чином за рахупок введения в навчг-льш планн практикуму з розв'язування задач полшшити професпшу пмготовку майбутшх вчигешв математики. Ьксперимеиталып дан! засвщчили, що розв'язуваиня р1внянь i nepiBHocTeri шляхом хаотичного ix набору (взятих ¡з збфшшв конкурсних задач, з Bapiairrie завдань, шо ппононувались вступннкам на iciurrax в piiHi вшш павчалып заклали) та ше трацицшними способами бажаних результат!« не дають. При такому пиход1 сгуденти не бачать сповна оргашчного зв'язку функцц з р|'вня!шямн та неровностями, того спшьного i вщмшного, що мае Micite М1ж р1вняннями i нер1вностями.

На основ! експеримент&оьних даних, багатор!чного педагопчного доевщу нами була розробл<;на нова концепщя п шдход! до розв'язування piBiutm, i нершностей: в основу ix розв'язування покладено гаироке використання властивостей елементарннх функшй (облает, визначення, множнна значень, обмежешеть. неперервшеть. монотошнеть. пром1жки знакосталосп, перюдичшеть, паршеть, непарн!сть та iir. i ¡з залученням теоретнко-множннно! о апарату. Бона також передбачас ¡нтенсифжацш навчального пронесу за рахунок синхронного (паралельного, одно'.асного) розв'язування значноо частини р1внянь та HcpiBHOCTcii.

Це вик.агало створення чнмало} кмькосп нових шлеспрямованих задач, в тому чиагп зм1стовних, нестандартних. Усе це згодом знаишло свое Воображения в поабннках для студеоглв пелшеппупв (1), (2), (3). Нами дописано весь практикум з тригонометрн. перетворення показникових та

*

логарифкичких виразш, показникових г логарифм1чних ршнянь i uepiBiiocieii та fx снстеми.

Гут, зокрема. зд1йснено такий пщхад: розглядшоться дин елементарш функдп дШсно! 3MiHHoi y=f(x), у=ф(х) з областями внзначення виповщио X) та Х2. To/ii для будь-якого xeX»XinXi функш) y=f(x), у=чр(х) набувшоть певних числових значень. як1 можуть знаходитись м1ж собою тшьки в одному з трьох можлявих вшношень: дор1внюе, больше, мснше. По-новому ставиться завдання: для яких значень ХсХ числов! функш! y*f(x) i у«=<р(х) знаходяться м!ж собою у в)дношенш дор1анюс7 бмьше? менше?

Для иього необхшно розв'язати вшповщне ровняння i дв1 HepiBiiocri (сннхронне розв'язування piewon» та нершностей).

При такому п1дход1 стае природным введения поняття обласп визначення; р1вняннч та нер!вност1 (а не облает! допустнмих значень), бо важливо, що pi3Hi об'екти (функц'я, ршняния, HepiBiiicTb) розглядаються з одшп i Titi ж позицн.

Дошлыга нозначити множпну розв'язюв р1вняння (1) через Х°, а через Х+, X в1дповшио розв'язки нер1вностей.

Пкля цього студентн самослйно доходягь аисновку, то X = X°uX+uX", XcV~\Xv=0, X°nX"= 0 X+r>X"= 0. А з цього винлнвае, що коли BuoMi множина X i будь -як! дв! множини з трьох Х°, JC, X', то трет я визначасться за допомог ою оперший над множииамн.

Оскшьки практикума (1) - (3) в основному шстять задач1 i вправи та зразки ix розв'язування, то виникла потреба водночас напнсати поЫбник (4), (5), в «кому детальюше висш'тлити питания викорисгаиия властивостей функцш до р<1зв'я>уванач ртнянь i нер1внсклей. Гак, якшо множшюми значень функцш у » f(x) i у ■= ср(х) будуть вщповино Yi i Yj, а Х| с коренем р1вияння у = <р(х), то виконуватаметься числова piBHicrb f(X|) = ф(*Г), i тому f(n)£ Y(, <p(xi)eY2. Toai мйожини Yi • Yj мають спшьний елемекг, тобто YinYj*0. Звщси i випливае необхщна умова ¿снування корешв pieimmw. Якшо ж YinY:=0 . то pieiwuiw

кореши не мае. а огже магмо достатню умову шдсугносп корешв. Для р1внянш f(x)=a, яеR нсобхиною i достатньою умовою ¡снування коренч с умовэ aeY. де Y - множима значень функцн f(x). Якшо ж aiY , то р1вияння кореше не мае. Наведеш моркування дозволяють майбутшм вчителям ше у студентсьы роки навчитись самое riOno конструтовати так звшн несгандартш р|вияння. а огже вмгги 1х розв'язувати i навчитн цього учит, особливо в спешалвсташгх навчалытх закладах з поглибленнм внвченням математики.

Так, наприклад, р1вняння "Jx — 2 + -s/x +14 =3 розв'язку не пае, бо Y=[4;+qo), a 3eY. А як його розв'язують учш i студентн? Не винкаючи глибоко в суть справи, вони иоступово звмьняються В1Д радикал ¡в i в кшневому результат! д1стають сторонш корень

HepiflKO на олпнн'алах i встлтших icmrrax до престижинх вшцнх навчалытх заклад!'в пропонують для розв'язування нестандартне рншлння Г(\) = ф(х). Kopeni якого вдаеться знанти, якшо його звесги до зигляду

fg(x) = 0

g2(x)+x2(xMJ- А воно р/вносильне систем! двох р)'внянь — тобш

нуль повинен належати множшн значень функпп ' (х) = g^x)4- х\х).

Цим самим даеться майбутньому пч!ггелю технолопя конструкт ання нес1анларт1!их ртнянь, бо для цього достатньо рухатись у зворотньому напрям':у: ni.i системи до р^вняння rj(x)+ х'(*) - 0, а В1д нього до pieiunma f\x) = ф(х).

ГНсля розв'язування таких р(внянь (вони с в (I) - (3)) кожному студенту лап ься заедания самостШно сконст руювати 5-6 р1внянь такого типу.

Ознакомившись з мфкуваннями шодо використання множили значень функцн, студентн без будь-якпх трудноии'в розв'язують нестандартт piei. .ния, наприклад, Зч+3"4 = l+cos4x. Осю'льки Yi=[2;+oo), Yj=[0;2], то YinY^fx). Огже. коренем ртпяння можугь бут тъчьки Ti х , для яких обидв! функшТ

одночасно набувакпъ значения 2. Але функшя ^ч^З^+З" набуваг u.wwo значения тьзьки для х-Ч). Виявлясться. що г ф(0У=2. Отже, коренем р^вняння с О*.

Мало того, область змши с.лсме парно* функии застосовують i при розв'язува нш окремих р)вняпь. ям митять не одну, а деылька змшних.

Наведен! ьиркувания шодо застоеування множини значень функин до розв'язуваиия окремих р:вяяиь проводиться » застосовуються до розв'язуваиня нестандартных HepiaHocreH Пособники (1) - (5) М1с»ять -значну млью'сть сригшалышх pibHHiib i нершностеи на застоеування множини значень функци, шо дозволяе студентам набути необхшних навичок.

Caxie розв'язування таких нсста»1да,/тких ршнянь i неровностей дозволяе ш внявши свш особисгий гворчий потенщал. шукати i знаходити огггимальт ефективш шляхи та методи для досягнення мети.

Не менш доиыьно ti ефективно елга застосовувати властивоеп парких та непариих фуикщй при розв'язуБанн! р^внянь > нер1вностей. Насамперед з) студеотами необхшно розглннуги очевидш фактн про:

- алгебра!чну суму сличенного числа парних (непариих) функшй;

- добуток парних (непариих) функшй;

- добугок (частка) парно! i непарно! функшй:

- складену фуккшю у=Г(ф(х)), де <р(ж)- парна функшя;

- складену функцио y=f(<p(x)), у яко! f- парна, а <р - непарна:

- складену функиио у=1'(ф(х)), у яко! i j <р - непапш функцп га inmi. Оск!льки napni та nenapni функцн мають симетричну в!дносно нуля

область визначення, то для парни?: функшй маемо: я кто лля x=f(m) 0, то i

для х—m f(-ra>^ 0.

Зз1дси студенти роблять висновок: для того, щоб знайти множину розв'язк!в р)вняння f(x)=4) де f|x) - r.jpiia функшя, достатньо спочатку знайти множину Bcix невщ'шних (недодатшх) корешв, екласти множину з Kopenie симетричннм знайдештм i об.Чднати ui миожини Якшо необхшно мерешриги

кореш ри;нянчч. то. зрозуммо. перев|'рясгься топькч один ¡i лвох снмстрнччн.ч. Очевидно. розв'язки нерншосп f(x)>0 (f(xi<0> будить енмстрнчнимн вшноом •нуля, тому ix доаатньоспочатку знати .i|; х > 0 або * < 0. Шсля ш-ого стуяен-и самостжно робдять внсновхи про Kopeni р1вняння fii;=0. де fí\; -непарна функшя. Вони таю' ж. як i для парно! функцп.

Необхшно звернути увагу студент на т0й факт, шо коли функшя-f(xl -четтриа i пичнячемч ддя х=(1 . то нуль г коренем ртниння ffx)=(). Im стаг.кться питания: яким чином можна внкорнстати властивосп непарно! функцн при розв'яптшнш HeniBHOCTi f(x)>0 (f(*)<0) . Студента самостшно рослать правилмшн виснонок: якшо лана HcpiniHcrb виконуеться в нром1Жку <я: Ь> . де а>0. Ь>0. то вона не виконуеться « снметричиему пром|'жку <-b: -а>. i. навпакн. якто ncpiniiicTb не виконусгьсч'в пром1жк"у <с: d>. де с>0. <i>0. то на пртнжку <-d: -с> fiep¡BHÍCTb буде вихонуватись.

Lie iicoó.iimo дошльно засюсовх^ати до ротв'язувакня тригонометричинх р)внянь та iieniiwocieii.

У HociômiK.ix (41 iS) пропонусться велика К1Л1.К1СТЬ творчих вправ на закрепления знань студент про пари! та Hcnspui фунташ та застосуванкя ïx властивостеи до розв'язування ртвняиь i tiept»nостей та тотожностей.

У поеюниках (I) -'(3) лостатньо «прав, дня роэв'язання яких значний ефект лас використання парник та непарних функшй. С i «правн. rai -вимагають 1 HOp'IOI о подходу.

Напрнклад. дано, що ртняння Ssin'x+Jcoiîï+îieelii+tH) на ттро\пжку (0:~ ] мае лпше один корни, . Загтсати фвэв'язкн дано го р(вшганя та яшповйших HepiBHOCTeii:

8sm6x+3cos2x->-2cos4x-H~--6.

8sin<,x+3cos2x+2cos4x'4 <0.

Для його розв'язування необхшно скористатнся ппршетю i перюдичтепо фуикнн. uto в JiÍHtii част nui pieimim*. На студент не спрпвляс силык ьрпження.

бо за одним коренем д1стасмо шформрщю про загальний розв'язок ршиянкя i двох HepiBHocreii. А все не завдяки глибокому розумшню властнвосп функцй.

Такого плану вправи сприяють розьетку функщонального мислення, що е прюритетним на завершальному еташ професшно! пшготовки майбутшх вчителов математики. Саме при цьому усвщомлюються лопчш та iniui зв'язки ыЬх окремими компонентами знань.

Як уже зазначалось, у студент викликають значш трудншш заидання на знаходження промЫодв монотонное!! для складено! функин y=t'{cp(x)), де f i <р -елемснтарш функцй i f - строго монотонна. В той же час вшомо, шо при розв'язувашн р1внянь i нер1вностей властивють монотонних чи кусково ыонотонних функшй в!д!грас основну роль. Тому ми дасмо студентам таку теорему:

Складена функшя у=Г(ф(х)), зростае, якшо функцй f i Ф змонюються в одному нанрямку, i спадас. якщо вони змшюються в протилежних напрямках.

Доведения н просто як за доломогою noxifliioi, так i на ochobi означения зростаючо! (спадно!) функцй. Досв1д i експеримент показуе, що И доведения на ocnoBi означения зростаючо! (спадно!) функш! дос упне учням старших класш.

Звертаемо у вагу студентке також на те, як знаходити пром1жки зростання (спадания) складено! функцй у випадку, коли f - зростаюча або спадна, а <р - кусково-монотонна функцй.

Наведена теорема широко викорнстовусться иг тшьки при розв'язувашн р!внянь i HepiBnoc-ieii, i ie i при побущда графшв складених функцй).

KpiM того, не можна обминути шггання про пром1жки зростання (спадания) суми будь-якого скпгчеиного числа функшй, що змшкноться в одному напрямку, нро змшу в протилежних напрямках функцй! y=f(x) i y=-f(x) та y=f(x) i y=f(-x).

Властнвосп зростаючих (еиадних) та кусково-моиотонних функшй зыаходять широке застосування при розв'язувашн р1вняиь i нер1вностсй.

Треба добитися того, шоб стулентн ;та й учш) hitko розумпн так! очевидш (Ьлктп:

- якчю функшя у = f(x) зростаюча (спална). то ршняння f(x| = ffrini. де хк належигь'oouacri внзначення piBiwmra. \:ас елиннй коршь \л :

- якшо фупкшя у = f(x) кусково-монотонна. то р1вняння f(x) = f( моде мати не чиьки к1лька корешв. але й несюнченну ix множит ty;

- якшо функшя у = ffj) зростаюча (спаяна) в обласп п визначення. го р1вняння f(x> = а не може мати битьше одного кореня i буде його матн, якшо aeY.

- якшо ж функшя у = f(4) кусково-мбнотбпнй. то р1вняши може матн декшька корешв 1 иав)ть нескйтенну ix мнЬЖиНу. як: не мае' Micue пр'й розв'язувашп тригонометрич^шх ршнянъ: Це тг.ер'икен'ня часто викорнстовупься при !розв язуванш' piBimru.-: з параметрами якщс футщи у = f(* I i у = <р(х) змшкяоться в протнлежних найрямках. то р!вняння f(x) = <m) не може мати бшьше одного кореня.

Yci ui гпердження ели ¡люсгрувати на графжах, шо забезпечуе Miimi знания.

Лналопчш м!ркування з граф!чнимтг глтострашями проводимо для nepiBHocreii.

Лошльио також ознайомити студентго з теоремою про ртноснлыисть piBi!4iii. f(x)=m(x>

F(f(x))=F(9(*» та iiepinitocTcfl Дх ) < ср(х),

F№»>F(<p(s))f F(fW>>F(<p(*))

у випалку. якщо функшя F строгомонотонна. Гака теорема звтыкс студента 1нл вивчеиня i залам ятовування iu.to'i низки теорем про р1нноснлъшсп> pini'.nrb.

riocioniucii (Г» - (5) «¡стять широкий en6ip змктовних вправ. складених дисертатом на знаходження пром1жьзв зросташш за спадания функшй. на застосування властивостей ыонотонних функцш до розв'язувания piuiiHiib i неровностей. Наприклад. довести, шо ршняння log,(bx+c) + lopa(Ux+/) = d. де Ь. к одного знаку, а & | а - 1| > 0 мае один i тшькн один коршь.

Розв'язаш нершшеть 22*' + 42"1 + б2*"1 + Г,1''' < 4.

HepiBHicTb розв'язусться усно.

Студент повинен ч'ики розу.мйи, що ршияшш -JcK+b-t-xtt+d = С, дс j i с одного знаку, не може мати бшьше очного кореня, i якзй vmoui повинно задовольнятн /, щоб не it коршь ¡снував. а при якш був вшеутнш. Розроблепа технололя використання властшюстеи монотоииих i куеково-моиотонних функцш для розв'язувания р1вняш, та нер1вностен спрямована на розвпток у сгудгнпа фунздюналыюго мнелення, пошукових здшиостси, на творче застосувашш набутих знань з фундаментальних дисциплш, зрештого. ни безпееередшз профеийну шдготоаку Maii6yinix вчнтелт.

Чн нг нанслабин знания мають учи! i студенти шодо перюдичних фушсцШ. Досвщ свадчить, то крш означения перюдично! функцн вони г.-ало що про них знхоть. А ознакомления з такими ионяттями, як перюд р1аняння f(x) = ф(х) Hepiwioeri f(x) < ср(х) ис передбачаг жодиа nporpa.ua. Мало того, у

сш'н час oirpewi езтори статей сзверджували, що введения 'поияття иерюду piBiunuw (iiepieiiocii) г не mo inure. як пеевдонаукошеть. 3 таким тверджешым категорично не межна погодтись, бо як же можна розв'язувати складш тригоиометричш Hepianocii без поняття ix пер|'оду. В науково-методичних cvarmx, присвячених . перюдичним фуиыцям, дсям азтори означают!» перюд риняння f(x) = <р(х) кк сшлмшй перюд функцш у => f(s) i у = ф(х). Не неправильно, бо функцн Т(х) i <р(х) ыожуть бути неперюдкчними, a piBiwnim use перюд. Гая, наприклад, й журнал* "Математика в школГ1 № 5 (1985 р.)

И0Д2Н0 розв'язалия ршшшш {х ] " [2х] - fx].

Лвюрн iiouiuiKono етпсрлжують. що в обол част ппах ртняпня маемо

i

перкшрш! функнй з перюдом Т-1. Наспрлг.и ;п функшя f(x) = ], in

функшя <р{\) =[2*| - [х] не е перюднчнимн, а от pimwiiiiH дшсно маг. пгрй>д Т=1, бо шел я вйпонцишх иеретворень д[Стзнемо piBimmw 1 1

{2х} - {х + —} - {х} + — = 0, з якого видно, що в Л1вп1 його чзстнш маемо

перюднчну фупкипо з перюдом Т=1 , ü отже, я их ¡дне ршняння мае цей пер:'од. Розглянемо immiü приклад.

В nep¡BH0CT¡ cos4x + cosx > cosSx + cosx стлытн перюд для функшй л:а:и'

л

i право! часгин буде 2к (Т| = 2л, Т2 = 2л ), а перюдом нертюстЬс Т= —

Експеримеит i досшд сш'дчать, що перел тим. як перейти до розс'ялувалня р1виянь i iiepiBHocreii, пов'язаиих з тригонометричними або ¡чшпмн перюдичиимн функцшмн, необхшно дещо розшнриги i снстемаппупати знания студентт про перюдичж функцн. Пасамперед вони повиши знати таке'

- якщо функшя у = Г(х) периодична з перюдом Т, то i функшя

1

у = f(kx+b), де к>0 перюдична з перюдом Т|=—. Р-фюди функшй у= sin(kx+b),

2л

у = cos(kx+b) маемо за формулою Т= 'щ (¡k| тому що для цнх ф\ :ixniíl завжди

можиа зробтн к>0, а ,чля функшй у-1«(кч+Ь), y=ctg(Ux+b)-3a формулоюТ-уг-,

- я!С!Но функшя ф(х) перюднчча з перюдом Т, го i складена функшя у = Г(ф(х)) буде нерюднчною i Т буде слугувати írt перюдом. Але перюд Т може впяпптнеь не осповним для складеноТ функщТ. Це можиа показати студентам иа простому прикладк перюд функцн е{\) = slnx дор!внюс 2п, а перюд фухш! у - cos(slnx) flopiBiHov л . Це зумовлено в даному пипадку тим, що зовн'шшя функшя парна а orne, кусково-монотонна.

Студентам пропонусться довести: якщо фушаця f строго монотонна, а функция ф(х) перюдична, то перюди функцш у = ф(х) i у=Г(ф(х)) зб1гаю!ься.

Наприклад, функцн' у = 2cos4í, у - (sin ij-x)5, у = logitgx мшоть такт лерюди, як ¿

иерюдн вцщовщних Biiyrpiuiiiix функцШ;

якщо abí або будь-яке скщчснне число функшй мають пер:од Т, то Т буде перюдом фушщн, що с алгебрадчнош сумою, добутком, часткою ци\ функцш. Проте пер ¡од таким чином утворено! фуш<ци можс вияянтись меншнм за пепюд Т. Так, наприклад, функцн у = sin4 х, у = cos4x мшогь период л, а период функцп

у - sin4 X + cos4x Т - Функщя, яка е олгебраУчиою сумою, добутком, часткою

двох або декьчькох функшй з рвнимп пер ¡одам и, може виявитись непгрюдичною. Наприклад, функцн' у ■= cosax + cosbx, у = sinax + cosbx,

cosax . _ а .

у - . J у " tgax + tgbx Оудуть герюднчними, якщо ТГ с рацюиальне число, i

nc:icp;o;;H4iii:,v!H, якщо це шдношгшш е ¡ррашональне число. Tai:, функцк

у = c;y3v3x + COS6-/¿x перюдична, а функцк у ~ cos3j3>: -> v.cJ2x [:гпер;сдачна, хоч кохена з функцШ доджткш пгрюдиши. В цьому нележко пгргхсштгася, скористшиись лоняттям иссум!рност» зуфикш (не межиа вкк-

2я 2 я

ЗЗТИ EWP¿303C, У якому РМ1СТ11Л0СЯ б Ц1ЛС ЧИСЛО разщ ШДрШИ ДОВЖШШ

Студентам обоа'шково дагио форму ли для знаходаеиня перюду функцп f(x) = Ci-ihi 0|X +...+ ü¿x + djSos mix +...+ cos v¿¡\, T *• м у де с, i dj -

дй!гш числа, a a¡, е N, î— I,k,, j'J.s,, анмолчна да; фунг.цй, що с сумою тангеисш котангенс^ з tício рнницею, що дыимо i; im I). • - Бажздо пззнойомигн ст>дск(к з формулами для зиаход>::ешш першду tciíí» фуиеиД де когфнцягг»! при аргумент! • рацюнальш числа, а також iKfiHjrni ïx кснструювати nepbstvuú функцйз будь - яко'( функци, що визначепа на вгвноиу гцишжку.

ШогС- становнги. шо дана функщя неперюдична. достатньо пока кии. шо вона не новторюе припаикп ni одну п cBoix властивостей.

А пню \ cianoanTH неиерюдичшсть складено! фуикци у = f(<p(x)), у яко! f -перюдичиа. а ф(х) - неперюдична. досташьо переконатнся в тому, шо функшя ф(х) змшюсгьсн iiepibhomipno при pibhomipniii змии аргумента х Це дае можливкть студентам без додагковнх дослщжень стверажуваги. шо наприклад, функин у = c*js2*, у = sin*1 - неиерюдичж.

П;сл:: пього вг.отнмо попяпя нерюду рзвияипя ( ncpiciiocri) f(.x ) i'b(x) .

За перюл piBiwiiim (nenipnocTi) приймагться таке число Г. яке е основннм пертлом функпн rix) = f(x) - <р(х) або, шо те саме, - функнн h(x) = (¡1(1) - f(x).

11ер1од ршпяния та нершносп плщно застосовусмо для i'x розв'язування.

Гак. якщо р1вняння ( iiepiuiricTb) мае перюд Т. то достатньо спочатку знайтн iioro (in розв'язкн на в1др1зку, довжгаоа якого дор!шное перюду . а шсля до них дола! и nT. n е Z

Перюд внкористовуемо ii у випадку. коли внникае необхшшсть переконатнся в тому, що одержан! р1зними способами загальш розв'язки pißiMHiM (ncpißiiocri) виражають одну i ту ж множину. а також тод1, коли загальш рочв'язки р1вняння виражаються декшькома сершмн i треба визначитн, чи не MiciflTb вони сшльних елеменпв.

А при розв'язуванш тригонометричних нертностей загалышм способом без перюду iiepiBiiocri влагалi не обштись. Мало того, тут треба навчнтн студента дштаваги ¡з cepiii загалышх розв'язмв вщповшного pioiwinin Ti, ню належать обраному вшр|'зку, довжш.а якогО дор^пнюс перюду ргвпяння.

Викладене про пластивосгп елсментарних функцш та ix засгосувшшя до розв'язування pieiunn. i нер1вностей знайшло свое безпосереднс воображения при складянш дпсертантом вправ i задач практикуму (1) - (. 3).

KpiM того, значка ix частина конструговалась з таким розрахунком, шоб tpancueiweirrni р1вняш*л i nepiBiiocri розв'язувались тими ж прийомамн, що i

алгебраТчш. Це, як показус експериментальна робота, дозволяе забезпечоти студентам мщш знания щодо розв'язування трансцендентнн.х piaiwiib i iiepißHoci ей.

Так, розв'язування значноТ частини трансцендентних ршнянь (nepiu-ностей) зводнться до квадратннх виноспо певно! транецендентно! функцп,

тобто маемо конструкщю г?(х) + bf(x) + с = 0 (af2(i) + bf(x) + с < 0), де f(x)-

трансцендеотна функшя, але така, що розв'язки р1вняння f(x) = / можна знайти.

Та й взагай, конструюсмо ршняння (nepiBiiocri), kk¡ зводяться до Ц1лнх, ' ращональних, ¡ррашоналышх р1внянь (нер1вностей) вщносно певно! транецендентно! функцй. Наприклад, при розв'язуванш шгебршчних р1внянь

виду (х+а) + (х+Ь) ■= с застосовувалась тдетановка х = t - Тепер

конструюсмо р1вияния (f(x) + я)4 + (Г(х) + Ь)4 = с - трансцевдентна функшя, зокрема. показиикова, логарифчпчна, тригонометрнчна тощо, для розв'язування

а+ b

яких застосовуемо постановку f(x)=t- ^ •

Або рош'язування алгебрами юго ршшшня виду Са-Х+л/Ь+х=с зводиться

Г u+u=c;

до розв'язування системн ]u^+ü^=a+b, де

Знову конструюсмо ршняння -v'a-ÍTx) +^'Ь-г(х)=с де f(\) - тран-сцендентна функшя, яка розв'язуп ься знову ж таки за допомогою tí ri ж снстеми piel 1я пь.

Тригонометричний матер1ал практикуму с надзвнчайно сприятливнм для того, щоб показати, як "пращою гь" п комплекс пластипосп трш онометрнчних фуикшИ при розв'язуванш pimisiib i iiepimiocreii.

В той же час студент, не кужучн про випускникш середшх iiikíji. маюп, тлю mh ii.kí знания саме з них ни ишь.

Роз.^чаючи pniii способи розв'язуванн.ч тригоиометричних ргвпянь '.i шильному kvpci математики та в рпномаш ших поабнпклх. авгори роблягь спробу провести ix кпасиф1к;мйю в залежносп ni л тою. jikí при ньому в основному формул и застосовуюгься. Зрозумшо. шо така класиф*хашч виправлана и шкыъиому кура математики з лклактичио! i методично! гочок зору. бо р!п1!я!!ня прог.оиуються розв'язувати в Mipy встаноплення новнх формул. Але така клэсифжашя ( тнпвашя» не досконала i недошльна п iiiCTiiiyri. 1л ii чи можна и взагал! провести, зважаючи на те. шо uncyuiiii загальнкй cnocio ( OKpÍM иаближсиого) дня i'x розв'язувания. kpím тою. при розв'язуваши одного i того ж р1впяння можуть застосовуватися декшька pÍ3imx формул, i i ж р1вняннч. шо пропонуються у зб1рннках задач - ue лише i'x деякин клас.

Тому лошлыю вести мову про типи р!внянь, до якнх в кшцевому результат* (шсля певннх перегворень) зводяться тригономегричш р*иняиия.

Ми вндшяемо в(1) - ( 3). (Ib) п'ять thhíb рйшянь: наштроспин, алгебра-Í4HÍ вшносно тригоиометричних функцш. л1ва частика прелставляе собою добуток тригоиометричних функцш. а права - нуль, л1ва часгина представляе собою частку двох функш'й. а права - нуль i нестппдартш ртняпня.

До таких же тип1в зводяться вщповщно з ригонометричш iiepiBHOCTi ( 1) -(3), ( 17).

Важлнво показати студентам, шо для тригоиометричних ршнянь ( нер1в-ностей) i'x тишзашя е умокною. бо одне i те ж ршнянпя ( nepÍBiricrb) можна звестн в кшцевому результат! i до pi3iiiix тишв. А ие в свою чергу ( в залежносп В1Д внбору способу розв'язання) нерщко призводнть до р(з'них за формою загальних вщповшей. шо виклика. невпевпешсть у студекпв ( учшв! у flocTOBipiiocii них ш'дпсвщей. Эксперимент показав, то треба роз глянути це питания з самого початку на конкретному piniiHinii. напрнюшд, sin X+COS Х=1

За допомогою доповняльного куга воно зводться до найпростшюго вщносно синуса ( косинуса) i aiciae.MO вщповщь:

{-f+(-l)n J+ mt, neZ}, neZ}).

Якщо застосовуваги ущверсальну подстановку, то дютанемо алгебра!чне

х тг

ршняння вадносно ig 2 . ' "ого розв'язки запишуться {2кл, у+2пя,к, neZ}

За допомогою половинного аргументу це ровняння можна звести до вигляду, в якому лта частнна с добутком функщй, а права - нуль. KpiM того, . дане ртняння можна розглядати як нестандартне, тобто розв'язки дютати нестандартним способо.\., виходячи безпоссредньо з означения косинуса i

синуса. Справд!, трив>альним розв'язком будуть дш ссрй значсиь х: 2кк,

k, neZ, бо шгм значениям вщювшшоть точки одиничного кола з координатами вщповшно (1; 0), (0; 1).

Залпшасться, переконатися4 що шших корешв ровняння не мае. л

ДШсно, якщо 2кл<х<^+2кк, то координате точок одиничного кола, що

вишовщають цим значениям х . будуть додатними i виражати довжиии катет1в, а тому Тх сума буде большою за величину ппотенузи, яка дор1вшос 1. я

Якщо ~2 +2кп < х < 2гс+2кя, то принайшн одна 13 координат точок

однннчного кола буде вщ'емною i, отже-, i'x сума менша I.

Знайдеш в такий cnoci6 розв'язки р1вняння дають можлшпеп. студентам зразу ж записатн розв'язки вмповщних нертнооей

я

jfnx + ensx > 1 (2кя<х< j+2kjr, keZ), z

ninx + cos* < 1 (r +2krt<x<2n+2Un, keZ).

I си." студентам ставиться заедания: довести, то одержан! розн'язкн ршняння рпними способами вирпняються м1ж собою лише за формою. Студенти пропонують зробнти переш'рку знайденпх розв'язюв постановкою у р1вияння. Греба ш показати хибшсть такого гйдходу. 6о якшо одним способом д1стали множину розв'язмв А. а шшим - множнну Н. то може впяви пк:я. шо АсВ або ВсА. 1 постановкою загальних розв'язкт у р1вняння ми цього можемо не внявш и.

Ось тут зиову таки природно прнходимо до необхшносп введения понятгя перюду 1 р1вняння.

Оскоьки '1=271. го ¡з одержаннх сер(11 розв'язкт знаходнмо ткшо належать иром1жку |0:2я). або будь-якому шшому пром1жку, довжнна якого дор1внюс 2я.

Знаходження корёшв р1вняння. що належить певному пром1Жку ¡з загальних розв'язмв . станоинть. як показус досвщ. певш трудной« для окремих студент1в 1 переважно')' бшьшост! внпускшшв середшх шил. ям вступають на ф13ико-математичний факультет. А в тестовнх заеданиях 1994 р. якраз аначна частина завдаиь тригонометричного матер1алу пропонувалася на знаходження корешв р1вняння, що належить певному пром1жку.

Що ж досягаеться таким шдходом до розв'язування тригонометричних р1внянь з педагопчно! та методично!' точок зору?

По-перше, важливо, шо оди.. I той же об'ект ( ршняння) розглядасгься з р1зних альтернативннх позишй. що сприяе усуненню односпрямованосп мислення, його "лшжност",

11о-друге, природно зумовлюс потребу введения поняггя перюду р1вняння, тобто практичне завдання призводить до розш1фення теоретичних знань.

По-трете. даг можлив1сть студентам зрозумгги зв'язок 1 вщмшшсть м1ж

типом ришяння 1 способом його розв'язування. По-четверте, посилюсгься »»

ирофесшиа спрямовашсть.

У <16) детально виклалена геор1я ( методика розв'язування тригонометричних ртнячь у вшиовыност! з ппнйштою тишзашсю 1 концеп-1110010 . Значна увага иридшенг розв'язуванню нестандартных тчвиянь. а також ътрап 1 тюят сторотих корешв. вилучетио -сшлтлвгх корен]в 13 сер!!1 загальних ■розв'яэив отвняння.

Якшо у внпускниюв 1 студент е певш знания з розвязування р1внянъ. то тригонометричш Т1ер1Вносп кони розв'язувати тграктнчно те вмноть. ■Сильки-небудь трунтовиих иавпалыно-методнчних розробок з иього питания немае. Як правило, » «автально-метааичтй Л1тсратур1 числя ¡розглялу тригонометричних р1внянь подаготься зразки розв'язування лише двох-трьох простеньких нер1вностей за допомогхио систем.

Тому трозутяо. то яри такому пеаэсгатньому методичному 1 дшахтичному забеги ечегоп не можиа сполгвагиоь «а грунтовш знания студент з даного нигання.

икс 1ериментаяьн1 деклтаження питвсрлжукггь дошлымсть постановки завдания перед студентами в такому ракурса: якшо студента вмИють зианти

область внзначеп!!я псртност» -Гюго пертд. корен! витиовиного

р|'вняння «*) = <р{«) па дадр1зку, шо дс^иос довжшп перюду . то вони зобов'язаш зиайтирозв'язкинертвност1 загальиим способом ( сиоаб про\пжк|'в). 1 ака постановка задач! те раз перекшгус студент у дошлыюсп синхронного (паралельного) ротвязування ргвиянь { иср1вностей. введения поняття перюду р1вняння та иергввосп 1 навггь поняггя кратних корешв для трансцендентное функцн.

Дат досл1дження шдтверджують, шо загальний способ повинен стати домигуючим при розв'язуванш тригонометричних нершностей. Самс йога засгосування лозволяс стуясизам иололати психолопчний бар'гр псвпевненосп з иього складного питания, спонпп застосовувати властивосп тригонометричних функшй.

У й)1 - с широким вио!р ншеспря.мованих вправ I задач,

сконсфуйе^итшх дисертантом на р!31н. мотива. а в (17)' розроблена методика розв.'язув.ишя григонометричних нер!вностей.

Ршняння. пов'язаш з оберненими тршчшометричннмн функшями. зусгачаютъся на практиш не так уже 1 часто. 1очу ¡м не знаходиться \н'сня у школьному к\рс1 математики. хоча нропонуються виравн на виконання певннх диЧ над числошши виразами. шо мктять обернеш зригонометричш функци.

Але майбутнт вчигель повинен володгги прийомами розв'язування р1вняиь 1 иер1впосгей. пов'язаних з оберненими трнгономегрнчними функшями.

Розв'язування таких р^внянь I иер|'вносгеи мае сво! особливоеп 1 труднош). як( зумовлеш властивостями обернених фигономе1ричних функшй (обмежешеть облает! визначення 1 множили зиачень для обернешк синуса 1 косинуса. обмежешеть множшш значень обернет« тангенса 1 котангенса). Кр1м того, значил частниа ршнянь розв'язупься взяттям В1Д обох частин р1вняння. шо М1стигь знаки обериених функшй. одшп з тригономеф^чннх функшй, шо може призвести до наслшкового р1вня, отже. до появи стороншх корешв, оскшьки тригонометричш функци е кусково-моногонними.

У (18) розроблена детальна методика розв'язування р!ьнянь. пов'язаних з оберненими тригонометричними функшями. Розглянуто таких чотири основннх тйпй: наипростшн р1вняння. Т1. шо розв'язуються взяттям В1Д обох його частин одше'1 тригонометрично! функци, р1вш»ння. шо зводяться до алгебра1чних вшносно обернених функцШ, нестандартШ ршняння ( останш два тини р1внянь у эб^рниках майже пшеутш).

Нершносп. знову ж таки, дошльно розв'язувати загальннм способом 1

СИНХРОННО 'I Р1В11ЯШ1ЯМ11.

Лише глнбоке знания властивостей обериених григонометричних функшй може забезпечитн сгудеитам грунтовш знания з даного питания.

В окремнх винадках 1х застосування звшьнюс студент ¡а вш зайвнх ;<юслшжень.-

Особливу увагу студент ¡в звертаемо на оикористаиня монотонноси та множнни значень обернених . тригонометричних функнш при розв'язуванш р1внянь 4 нер1вностей. На(нр розв'язаних приклал1в у (18) лас можлив1сть студентам самостишо конструювати ш об'екти.

Не секрет, шо вуз!вськ1 фундаментальш курси математики значно вшрпняються вщ ык!льного курсу своею складшспо. Якшо врахуватн ше й псрехщ на нов1 форми навчально! д1яльносп, то стане зрозумишм, яко! ваги набувае проблема адапташ! першокурсшшв. У них оволодишя новими формами навчально! д1ялыюсп вшбуваеться повшьно. оскшьки основш зусилля спрямоваш в першу чергу на засвоення змкту матер1алу, його форма-льне запам'ятовування, а не на розумшня методш одержання нових математичиих зна!и>. Вшсутшсть умжня прогнозувати результата ускладгаоють швндке засвоення. не дае змоги роз1братись у ршшх вар1антах систематизаци. а там бшыне "¡мпров1зувати" в рамках здобутих знань.

Тому в (6) було поставлено одне п важливих завдань - допомогтн першокурсникам систематнзувати знания шкшыго'! математики 1 виробитм та закршити на цьому матер1ал1 иеобхшш навчально - дослшп навичкн. У зв'язку з ним у поЫбнику на першому план! подано не шформацио з школьного курсу математики, а способн д1яння з нею. прийомн органгза1П1 и в систему.

Увага зосереджусться не на строгости викладу заради по! само!, а на суп понять, мето/пв. Комеитуються провшп! шс! математики, демонструеться лопка одержання нових ма!смашчних знань.

Деям означения вводятъея формально, а бшьиисть з'являсгься в пронес! обговорення. Строгими с лише окрсм|' доведения.

Таким чином, систематичшсть викладу лосягапься не за рахуиок внутршшьо! лопки нрогюнованого Marepia.iv. а завлккн ¡1010 мстодопопчпому ! методичному ашинзу.

Постник може бути використаний як зб1рник зплач. прпчому шачпа часгнна 1 них складена авюрамн.

Як -показують наип дослщження. в шяготовш манбутпього вчителя математики чиьне м'сне повинш зайняти цшеспрямоваш на <х професпшу гпдготопкх спеикурси ( безумовно. поряд ¡з спецкурсами з фундаменталышх наук).

Впроловж останшх 15 рок1в ми пропонусмо сгудентам невеликий за обсягом спецк>'рс на побудову графтв функшй. якин вони з шгересом сприймаюгь.

Основнин ЗМ1С1 спецкурсу викладено в (4). (5) (роздал И). Особлива увага придшягться конструюваншо. з'ясуванню властивостей га побудов1 графтв складених функшй.

Сконструйованр понад 420 таких функшй, а всього в цьому роздш !х нараховусться понад 680. Ппичому технолопя ¡¡х конструювання проста, доступна для кожного студента. БЬьше того, 1м дасться завдання коиструювати функцп з наперед прогнозованими властизостями, шо дуже важлнво.

Здавалось би. для чого студентам такий спецкурс, коли вони в кура математичного аналпу детально розглядали питания дослщження функшй, зокрема за допомогою похщно!.

Виявляегься. що для практичного з^стосування до розв'язування ршнянь 1 неровностей в такш детал1зацп немае необх!дпосп. ДШсно. шоб намгшги план розв'язування дсяких р!внянь 1 нер1вностей. особливо нестандартних або з параметрами, достатньо вмети побудувати ест граф1ка функни. що входить до них, а отже вмгги за анал!тичним заданиям функцп "читати" ¡1 властивосп. Лише при шй умов! традишйш питания практикуму з алгебри 1 тригонометри можна значно оживити функшошиьним ¡м1стом.

При встановленш властивостей складених функшй у=Г(ф(х» злебьльшого немае потреби слшувати вщомШ схем1 ¡х дослшження. Краще скористатися властнвостями функшй у=Г(ч) I и=<р(х).

Спочатку робимо загальш зауважения шодо обласп визначення, парность *непарностк перюдичнссп, пром!жк|'в монотонносп склонено! фунгаш.

Дам знаиомимо студентов 1з эагачышм способом геометрично! побулови складено! функцн. А це викликае у них значний iirrepec. осюльки без обчнслень i таблиць вони можуть вк&заги кожнш .очш з обласп визначсння складено1 функшг точку п графика.

ГНсля цього знаиомимо студенттв о загапьним подходом до побудови гр&фжш скчадеиих функцш, у яких зовшшия функцш фасована i ii властивосп BWOMi, a BH)TpiuiH4 функшя будь-яка, але така, граф1к яко! пиомий або може буш побудованим, а огже вщом1 ii властиBOCTi. Ь такий способ розглядаемо побудову графив функщй у = f г(х), у = а , у = log . f(x), y=sin f(x), y=cosf(x), у« tg f (ж), у «• ctgf(<), у = arcs® f (x). v^arccos f(x), y=arctgf(x), y«argctg f(x), у яких зовншш степенева, псказникова, логарифм^чна, тригоно-мстрнчна, обернено тригономстричш функцн, а внутршшя - будь-яка функщя график, а отже властивосп яко! einoMi. Розглянемо, наприклад, побудову графока фушши у » a resin f (*).

Область визначення шукаемо з умови -Is f (х) < 1. Якицо ж Ыдомий графж фунхцн у» f(x), то треба провести прям! у--1, у=1 i для побудови шуканого граф)ка використагги точки, шо не внхо"ять за смугу, утворену ними

Я л • .

прямима Враховуючи, що arcMiixi'j, то шуканий графж не вийде за

я я

мам смугн, угворсно! ирямими , У= 2 " ^ВДСи вшишвае. що шуканий

графи; не може чати Hi вертикалышх, ш похилих асимптот. Ще npocriuie вьршзусться питания парносп, непарносп та перюдичноси дано! функцн.

Нул! функщй f(x) i у=аresin f(x) зб^аються, тобто точки nepcTmiy графжа функцн f(x) з Biccw абсцис будуть i точками перетину шуканого графжа.

я

• Для тих х, для яких f(x)==-l arcsin f (х)=- "Г,

л

для тих х, для якпх 1"(х( =1 arcsin f (х)~ ^ •

Оскзльки обеднении синус - функши зпостшоча. то гфом!жк!! зроетаннч I спадания) складено! функин збнаються в обласп ii визначення з пром^жкамн зростання ( спалання) функш fix). Враховуемо також. шо для (кх<1 x<arcsinx . а для -1<х<0 x>argsinx. Отже. для тих х, для яких 0<f(xi<l fix) < argsinffx) ( гиуканай графж розташований више вшомого ). Якщо ж -1< f(x)<0. то ftx)>arcsinfix) ( шукании граф!к буде розташований нижче графика функин fix)). 1 Пели иьогобудуемо графк.

Гепер можемо конструювати шлу шгзку складеннх функши, у яких зовншшя функшя г обернсний синус, а виутрганя - будь-яка елемснтарна. i на основ* загального подходу будувати ix граймки.

В иьому ж спецкура розглядасмо з студентами побудову 1рафшв imiiHx функшй. зокрема тих. аналггичш виразч яких детально попередньо спросппн (ними добре ¡люструвати розширення чи звужеиия областей визначення р!вняння та неровностей при виконанш певчих перетворень) або можиа подати у виглял! сумм чи добутку двох функшй. шо м(стять знак модуля. Розглядасмо також побудову графшв деяких складеннх ф\ iKuiii, у я'-лх зовшшня або внутршня функин с не елемиггаршши, побудову графшв ргвнянь, шо Micnm.

дв1 змшн1.

Такий спецкурс не иереобтяжений ¡нформэшвно i в той же час формуе нролуктивне оперативке мислення. привчае до лопчного aiianisy, до узагальнснь i конкретних bhchobkib.

Внродовж багатьох роюв на учшвських ол|'мшадах pi3noro piBim i форм все чаепше пропонуються для розв'язування р|'вняння, пов'язат з функциями: шла часгина дшеного числа та дробова частииа дШсного числа. •

Розв'язання таких р1внянь мае cboi особливоеп i трудной«. Разом J тим вуивсью' ¡фогрпми ix внвчення не нередбачпють. I тому переважна час пит

випускшшв не мае шякого уявлення шодо (х розв'язування . Очевидно, це в якшсь мф! зумовлено I тим. шо воно не розроблене ш теоретично. ш методично.

Тому постало актуально завдання - розробити I впровадити спецкурс для студенпв магематичних вииилень: "Розв'язування р|внянь. пов'язаннх з функшями типу "шла частина дШсного числа та дробова частина дшсного числа". Такий спецкурс (12) нами розроблено.

3 точки зору сучасно! технолога навчання методично 1 дидактично виправдано спочатку ретельно розглянуги властивосп функшй у=|х|, у={х} , побудувати IX графжи. П1сля иього розглянути побудову графиав складених функшй у=Г(|х|), у=|Пх)|. у»Г({х}), у»{Г(ж)>.

Вони доиоможуть у пошуках загальних п(дход1в до розв'язування окремих тишв р1внлнь. Зазначнмо, що побудова графиав такого типу фунмдй з шострашями на конкрстних прикладах подана детально в (4), (5). Там же пропонуеться 70 вправ на побудову граф1кш функшй. сконструнованих дисертан.ом.

У спецкурс розглянуто розв'язування таких тишв р1внянь:

1. И[х|) = 0, Я|ф(х)])в0.

2.(Г(х)) = ф(х).

3.|«х)1 = |ф(х)]. •

4Г({*)) = 0,Г({ф(ж)}) = 0.

5. (Г<к))±<р(х).

6. (ГГх)| = {ф(х)}.

7. |«*)|=ф(|х|).

Де ГI ф - елементарш функин.

Розглянсмо, наириклал, розв'язування р1вняпня Ц|х|) = ф({х}).

Гут необхшно полерелиьо з'ясувати таке: якшо функшя у=Г(х) шпначенз для шлого аргументу п. то фун.чшя усГ(|*|) визначсна на всьому промпкку |п:п+1). а якшо не визначсна для п. то у=И(|*|) не визначсна на ньому. Оскш.ки

функшя y-ffx}) перюдична з перioдом Т = 1, то це означас, що коли функшя у=ф(х) визничека для Хле[0 1), то функшя у=чр({х)) визначена i для xft+n, neZ, а якщо функшя у=ф(х) визначена i пеперервна на пром!жку <а;в>, то функшя У=Ф({*}) визначена i иеперервка на промЬкках виду < a+n;n+ri>, nsZ.

Якшо функшя у=ф(х) вшображае промЬкок <а;в>е[0:П в пром1жок lc;d>, то функщя у=ф({х}> вшображас промЬкки виду <а+п;в+п> також в пром]'жок <c:d>.

Тепер впжлипо знати, як записатн функцию у=Ф([*)) на кожному з пром!жк1в <атп;вн п> без знака функцн: дробова частина в1д дШсного числа.

Очевидно, будемо мати у=ф(х-п), nsZ. Тут необхщне вмшня зробити з будь-яко! элементарно! функцп перюдичну h заданим перюдом.

Отже, на пром1жку <а+п:в+п> KopeHi pieiwmw f(|x|)=4p({i}) слщ шукати з рйшяння ДпИр(х-п), ncZ.

Зрозумшо, шо в загальному випадку перебратн yci uini значения п практично неможлнво. Нроте пропонований cnociô дозволяе знайги кореш на будь-якому з прок«жх1'в<а+п;в+п>, який нас щкавигь.

Очевидно, при розв'язуванш конкретних р^вняиь можна визначити tî п, для яких р1ввяпня fi(n)=<p(x-n) не мае розв'язку. .

Насамперед треба вилучитн tî значеши п, для яких функшя y~f(x) не визначена. Р1вняш1я також не мгтнме розв'язку i для тих значень п, для яких f(n)>d або fi(n)<c, де с, deR. Для цього розв'язують сукугпнсть двох неровностей

'f(n)> d, f С n > < с.

У (12) значна увага ирид1лена практичному застосуванню Teopiï: детально розглянуто розв'язування 61 р1вняння.

Немае сумшву, що такий спецкурс спрямований безпосередиьо на профссШну шдготовку майбутнього вчителя для роботи в середшх аавчальних закладах,особливо в класах з поглполепим вивченням математики.

Проекснериментоваш рпш пщходи до внкладання такого спецкурсу. В результат! ми дшшли впсновку. ию навчапьннн пронес треба оргапЬувати так, шоб студенти залучалнся до учасп в розробщ тсорн розв'язування таких ршнянь, бо при ньому проявлясться и навчалыю-дослшшцька дшльшсть. Студент нёршко висловлюють полярш точки зору. Ствставлення думок та Ух аиаш самими студентами з участю викладача дае змогу глибше вникнути в суть справи 1 тим самим знайти нравнльне вир1шення поставленого завдання.

Вцаомо, шо тригонометричш функци в математиш вцпгршоть важливу . роль. Студенти вивчали $х в шкшьному кура математики 1 дешо поглиблюють вшомосп про них у курс1 математнчного анашу в шституп. Означения тригонометричних функшй пов'язувалося з евюндовою геометр1ао (одиничне коло або коло довшьного радиуса з центром в початку координат). МЛ.Лобачевський скористався синусом I коитусом, означеними за допомогою степеневих ряд1в.

Очевидно, висновкн математичного анал1зу не новикш залежати вш вибору геометрп. Тому дощльно ввести для студеттв старших курст спецкурс, присвячений р131!нм подходам до означення тригонометричних функшй 1 побудови ¡¡X теорШ (15).

У спецкурс! розглянуто таких- чотири: ■

1. Аналп ична тсор1я тригонометричних функшй, означеннх за допомогою степенсвих ряд1в.

2. Введения тригонометричних функшй за допомогою р!вняння у"= -у.

3. Аксюматичне означения 1 теор1я тригонометричних функцШ.

4. Функшональне означення 1 теор1я тригонометричних функшй.

'Гакий спецкурс маг. методолопчне значения, ггрофеепкг/ спрямова!нсть, -носить шзнапалмшй характер, лас можлив1сть засгосувати набуп знания з магемаииного аихнзу для глибокого пгшання нового, подивится на олш IТ! ж об Пети ( рйпчх ючос зору гид [мшим кугом переконагися в сквшаленгносл рпкич ошачеш,.

Широке застосування в математиш знаходять orry icni функцн. npononoiia'iaiii нами спецкурс (13) , (14) для стуштв присвячений дшсним опуклим функшям одша змшнок

В ньому BCCÔÎ4HO розглядаються р)'зиомаштш вллстигшсп опуклих, функцш. зна«па частина лких с критер1ями. Особлива увага придимсться застосувашпо опуклих функшй до розв'язування багатьох зм1стовнн\. нестандартен*, задач, доведению nepinimcTcit та in. Нричому чнмало п них достушн навггь учнчм старших клаив.

Детально розглянут! iiepifluocri кнсена. оскьльки вони е. характеристичними властивостями опуклих функшй i тому широко застосовуютьея в теорн i практиш опуклих. функшй. Студеити маютв можлпв!сть опанувати ефективним методом застосувшшя цнх нершностей при-доведет» класичних та шших нершностей. Вказуегься також на доступши^.дла учшв серсдшх шки enociô введения нер1вностен [снсена.

Розглядаегься значна к!льк1сть задач на застосуиання нер1вностей 1енсена для дослщження екстремальшгх властивостеи опуклих функшй, штегральнйх ^ нер1вгзстей та ¡иших аспектов.

Такий спецкурс вщцрае важливу роль у пицхповщ майбутнього вчнтеля математики, осильки спрямоваиий на розширення як фундаментальной так i професШно! подготовки.

О дне з важлиних завдань, яке ставить перед собою вища школа, - навчити студента працювати . (здобуватн знания) самостийно. Проте донедавна назчальний процес. зокрема з математнчиого àïiaJiiVy, 'не був забезпечений ш методично, ni дидактично для Birpiùieftfdi ftf ei 'г^ббЛе^и.

Нракгично булй тндсугй 'ndcfôMicn. ftki б с;Атували сту дептам'пупвншом для самостзйНого злобуття ноеПх з'нань. toMV Нами булн створеш nociôraoat (9), (10), метою яких с заповнитн нказапу прогалину. В них гюдаш теорезичш виюмосп до кожного параграфа, причому в залежносп вш складносп' матершу в41 з'ясовуегься або досить детально, або формултосться у вигляд! задач!

Навслсш зразки розп'язуванкя багаточисленних задач. д1апазон яких досить широкий - вп вправ треиувалыюго характеру до задач з елеменгами творчосп га задач для практичних занять > самостшного розв'язуваяия.

Пособники М1стять не тшьки снстематизоваш методн розв'язування задач, але й пркйоми конструювання нових об'екпв, зразки фрагментов математнчно! теорн (математичш твори).

Червоною шгткою проходить у них 1дея, що основним об'сктом математичиого аиал!зу с функшя, а основним методом дослщження е метод

*

граничного переходу. Користуючись поабником (9), студенти мають можлшисть нерекопатнсь, шо глобальним заеданиям теорн функшй с $х конструювання, знаходження фуищн за значениям аргументу, знаходження значения аргументу за значениям функцн, з'ясування властивостей функщ!, задано! р!зними способами, знаходження функцн за Л властнсостями, використання метош математичного анашу для розв'язання задач з ¡шних роздшв математики \ прикладних задач

Одним з найважлившхих роздал ¡в математичного анашу с диференщалыв числения, яке найбшьш пов'язане з шкшною програмою. Тому в псхлбниху (8) йому придшяегься значиа увага. Кр1м теоретнчних вщомосгей, тут наведено ч им ало розв'язаних прикладав 1 задач розного цшьового призначення. Ычышсть з них - це нестандартно задач», яю вимагають зиачних зусиль студент при

знаходженш щлях1в розв'язувания. .....

Подбор прикладов 1 задач подпорядковано псреважно гтрофссппий пшготовш вчитсля математики.

У пособнику вмодено також задач1 проблемного характеру, ям розв'язуються нсстандяргними прийомами, що дозволяе виробляти у стулеогтов навички дослщницьктч) характеру.

Материал огоабооика допоможс студентам розкрити нрикладне значения, загалмшх мето/ив математики. поз'ячаннх з дослщжсиням функшй I •»астосувинним основних влоостошостей дш^сшнйоваин.ч функшй. На зрачках

реп в язув;:ння задач 1 на задачах для сачостшного опращовання виховнться у студен;т во.ы, иаполегливкггь 1 вщг.ов1аалыисть, аргументоване обгруитування !стин. естетичний смак до математики, тобто г! якосп. яю вкраи псобхшгн майбутньочу вчмтелю математики в йиго практичшй роботз.

Опублшншш нами розробкн (19) - (38) спрямоваш в першу чергу на:

- дилактичну (гС'робку вшювшпого. теоретичного матер1л.:у ) метою розкрштя робочнх можливостей основних теорем 4 метода 1\ доведения:

- створення системи вправ. заоланням яких г поглиб1Тги розумшия основних ¡дей I методш матсматичного аналпу;

- набуття студентами навичок формування банку задач, зокрема теоретичного 1 навчально - дослшницького характеру;

- систематизацйо шформаци навколо певного матсматичного факту;

- озланомлення з. комбшашями р1зннх метод1» I прийом!в доведения певтк положень;

- прогнозування результалв i методш ¿х досягаення;

- оргашзацио навч£льно-досл1дно1 роботи студенпв як одн:а з дШоаих форм шдвшцення якосп пшготовки спешал1ст1в, що в значнш мф! стимул юс {х сачостшну навчально-пошукову Д1ялынеть:

- показ того, шо найкраипш засобом засвоення теоретичних знань, метсдав 4 способ!в с використання !х в конкретнш д!ялыюеп;

- вмшня самостшно конструювати головний об'ект матсматичного ляалиу - функцн, побудову фрагментов математично'1 теорн.

Висновки

1. Достижения засводчили, шо ямсие дидактично 4 методнчне забезпечення математичних курст, в тому чист I з фундаментальних днсцшшн, дозволяе значно подвищити теоретнчний 1 методичний р1вень знань студента, сприяе виробленню у ш ум1ння застосовувати Тх для розв'язання практичних завдань.

2. У педагопчно-математичшй логератур! нгодноразово шдшмалося питания про роль задач в навчшпн математики, при цьому натолошувалося на * незадовольие йога виртення. Запропонована нами система вправ на дослодження властивосгей функшй та побудову !х графтв, на розв'язувшшя ршнянъ та неровностей, в тому чиои 1 синхронне, сприяе позитивному його вирнненню з вшповщних роздошв математики.

3. Запропонована нами система щодо функцюналыю! спрямованосп при вивченш практикуму з алгебри 1 тригонометрй дозволяе значно пщвищити яюсть подготовки майбутшх учител1в до роботи в ршшх типах навчальннх закладо'в.

4. Викладання курив з фундаментальних дисциплш необхщио тгаише пов'язувати з професШною подготовкою майбутнього вчителя математики. Так, при вивченш диференшального числения слщ больше уваги придыигн глибокому 1 широкому з'ясуванню властивосгей елементарних функшй та застосуванню !х до ¡нших тем 1 питань математики.

Сучасш ж програми I подручники иередбачають лише поверховиИ Гх огляд. Подб1р задач I вправ повинен також бути пщпорядкований професШшй шдготовщ майбутнього вчителя.

5. Синхронне розв'язувашоя ртшшь 1 нерюностей з практикуму значно нггенсифокуг навчалышй процес, розширюс 1фи цьому дшиазон засгосування властивосгей функшй, дас можлив1сть студентам зрозумгш тс сш.пьнс I вщмнше, то е М1Ж ними. Водпочас вони опановують загальними методами рош'щування ришянь I неровностей.

6. ГПдтверджена дошльш'сть фуикцюналыгого шдходу до вивчеиня багатьох п.иань математики, зокрема р1внянь I нер1вностей, бо при цьому оживае в руках студента один а погужних математичних апарапв, дае ¡'м можлив|'сть проявити елементи творчостп, виводить 1х на р1вень широких узагальнень 1 теоретичних осмислень.

7. Ексиеримент, показав, щр при заиропоновцному нами ш'дхо;н до оргашзацн навчального процесу з практикуму 1 з врахуванням спецкурсу шодо вивчення влаетивостей функцш та побудсвн IX графшв дозволяс в значит м1р1 забезпечити майбутшм учителям подготовку до переходу на "фупкцюналып рейки" при викладаши математаки в навчалышх закладах середньо! ланки.

' 8. ГНдтверджено, що поряд з впроваджешмм спецкурав з фундаменталышх дисципл1"н слщ впроваджувати спецкурси, як1 "пращоють" безпосередньо на школу. Причому 1х дощльно вводити вже на 2-3 курсах.

Досвщ показус, шо шнроке впроваджешм актуальш!х спецкура'в сприяе шв: дшому становлению у студетчв аналогичного 1 методичного мислення.

9. У шдготопш майбутшх учител1в математики плодною виявилася ¡дея навчапня студента прийомам конструювання математичних об'екпв I особливо з наперед прогнозованими властивостями (створення банку задач, написания твор1в тошо). Це дозволяе проявите Гм самоспйну творчу працю, поглибити 1 розш1ф1гп1 шзнавальну Д1яльшсть.

Основиий 31шст виконаного дослщження вщображено в таких публшащях автора:

Поабники

1. Практикум з розв'язувания задач з математики: Павчалышй noci6n»k для студетв ф1зико-математичних факультета педшститупв. - К.: Вшца школа, 1975.-29 д.а. (у сшвавторсш, авторсьы §§ 3, 8 (роздш 1), роздш II (пов-шстю), стор. 318, 319, 336-339, 349-372) . Мае гриф Мпйстерства освети УРСР.

2. Практикум з ргав'язуваиия задач з математики: Наачальиий поабиик » для студенпв фвико-математичних факультет педшститупв. Видаиия друге, перероблеие i доповиене. - К.: Вшца. Школа, 1978. 31.- 28 га. ( у сшвавтсрстви авгорськ! §§ 3, 8 ( роздш 1), роздш II ( повшстю), сюр. 346, 347, 363-369, 381406). Мае гриф Мнистерства освети УРСР.

3. Практикум з розв'язувания задач з математики: Навчалышй поздбник для студент пгдвузш. Видання трете, перероблене i доповиене. - К.: Вшца школа, 1989,- 32 д.а. (у сшвавторсш, автореш §§ 3,8 (роздш 1), роздш П (г.оп-nicno), стор. 307, 308, 323-328, 339-365). Мае гриф Мкистерстпа оезгги УРСР.

4. Функцн та Тх графжи. По-Ыбншс для г<ч!:гел1в та сгудеппз. - К.: Ра-дянська школа, 1976.- 10 д.а.

5. Функш! та ix графжи: Шабник для вчителш та студент. Видглшй друге, доповиене. - К.: Рашшська школа, 1983.-10,5 да.

6. Вступний курс математики: Наачальиий поабник для студснтш ф!зико-математичних факультегш педшетшупв. - К.: Вшца школа, 1990,- 8,0 д.а. ( у сшвавторств!, азторських 2,5.- д.а.).

7. Зб1рннк задач з алгебри для 6-8 класЬ: Методнчннй поЫбник,- К., Ра-дянська школа, 1987.-10.08 д.а.

8. Дифсренщальмс числення функцй одшеГ змшно;: Назчальннй ги>«.'шшгс для студшпв фпико-магематичнах факультет педшститупв. - К.: Пиша

школэ. )0О1..]4 28 да. (у сшвавторств1, авторських - 7 д.а.). Мае гриф Мшютерстьа освш; УРСР.

9. Практикум з математичного анализу ( вступ до анашу, диференщальне J числения). Затнерджеяо М)Н1стерством освтг Украши як навчадьний поабиик для студенпв, шо ышчдють дисципл1ну "математнчиин анадп". - К.: Вища школа, 1993 -22 л а (у сшзавторсга, авторсьиус - 2 д.а.).

1(). Практикум з магшатичного анашу ( ¡кт.чральне числення, ряди). Затверджспо Мпиаерстном освпи УкраУни як нанчачыши поо'бннк для сгудеип'з педагопчиих навчальпих заклаш'в. - К.: Вища школа. 1995.-32 д. а. (у с1шавторсгв1, авторських -15 д.а.),

11. Елеменгарна математика. Алгебра для фиико-математичшк факультет!» педагопчких шститугш. - К.: Внвда школа, 1.970.- 6 д.а. (у ств-ат-торсгв!, авторських - 4 д.а).

Спенкурсн

12. Розв'язування ршнянь, пов'язаних ч функщями: шла частина дйсного числа I дробова частина дШсного числа. - Вшниця: ВДП1, 1996.- 3,5 д.а.

13. Опуюи функцп: Ч. I. - Вшниця: ВДП1, 1993.- 4 д.а. (у сглвазторсш, авторських - 2 д.а)

14. Опуюп функцн: Ч. II - Вшниця: ВДШ, 1995,- 3,5 д.а (у сшваь^орсш, авторских -1,7 д а).

15. Р1зш способи введения тригокометричннх функцШ. - Вшниця: ВДП1, 1995,- 3 д.а. (у ствавторсга, авторських -1,5 д.а.).

• Методнчш оозробкя. пекомендаш'Т

16. Розв'язування григоиомет;.ичнйх р1внянь ( методична розробка). - Вшниця: ВДШ, 1991,- 2,4 д.Ь.

17. Ро^в'язуват'й 1г|)йгономе11ричПпх пертиостей (методична розробка). -Вшниця: ВДП1,1994.- 2,6 Д.а.

18. Розв'язування р1внянь, пов'язаних з оберненнми тригономегрнчнпмн функшями (методична розробка). - Вшниця: ВДП1, 1995,- 2 д.а.

19. Математика. Навчально-дослшна робота студеттв (методичш ре-комевдацн для студент). - Вшниця: ВДГП, 1990.-4,08 д.а. ( у сшвавторсгш, авторських - 2 д.а.).

20. Математичний анали. Деяю пнтання программ державного екзамену з математики для студенпв випускних KypciB фшосо - математичних факультет. - Вшниця: ВДП1, 1982,- 2,0 д.а (у сшвавторсга, авторських - 0,8 д.а).

21. Вступний курс математики. Методична розробка Ч. I. - Вшниця: В ДТП, 1983,- 2,6 д.а. (у сшвавторст, авторських - 0,8 да).

22. Вступний курс математики. Методична розробка: Ч. II. - Вшниця: ВДГП, 1983.- 2,6 д.а. (у ствавторсш, авторських - 0,8 д.а).

23. Методика викладання математики: Контрольна роботи для студештв-заочниюв ф1зико-математичних факультетie педагопчних ¡HcnnyriB. - К.: Навчально-методичний Ka6incT заочно? оевгги, 1970.-2,0 д.а. ( у сшвавторств!, авторських -1 д.а.).

24. МатематичниИ аналЬ. Основш властивост! диференшйовних функщй -Ч. I.: Методична розробка для студенпв фозико-математичного факультету. -Вшниця: ВДП1,- 1984,- 2,77 д.а. (у ствавторсш, авторських -1,3 д.а).

25. Математичний анали. Основш властивосп диференшйовних функщй. Ч. II. Методична розробка для студента ф1зико-математичного факультету. -Вшниця: ВДП1,1984.- 2,7 д.а. (у сшвавторсш, авторських -1,3 д.а).

26. Математичний анашз. Самоспйна робота - Bifimuw: ВДП1, 1986.- 1,5 д.а (у сшвавторств!, авторських - 0,5 д.'а.).

27. Математичний ашинз. Сам ост ¡йш роботи ( II семсстр.) . - Вшниця: ВДГП, 1987,-1,2 д.а (у сшвавторс™, авторських - 0,4 д.а).

28. Математичний шшпз. Самоспйш роботи ( 111 семестр.).- Вшниця: ВДГП, 1987.-1,9 д.а. (у сшвавторств!, авторських - 0,6 д. а.).

29. Математичний аналгз. Метрич:н простори. - Вшниця: ВД111, 1987,- 2 д.а. ( у ciiiamrropciBi. авторських - 0,7 д. а).

30. Матемагичний аналгз. Диференщальш рюняння, теорема ¡снування -Ч. I. - Вйшиця: ВДП1, 1988.- 2 д. а. (у ствавторст, авторських - i д а.).

31. Математнчний анага. СамоетШш роботи ( IV семестр) - Вшниця: j ВДП1, 1988.-1,9 д.а. (у сшвавторств!, авторських - 0,6 д. а.).

32. Математнчний аиа.то. Самостшш роботи (V семес:р.) . - Вшниця: ВДП1, 1988.-1,8 д.а. ( у сшвавторствг авторських - 6,6 д.а.).

33. Магематичний aiiajiij. Самоеттйш роботи ( VII семестр.). -Вшниця: ВДП1. 1989.-2 д.в. ( у сш'вавторств!, авторських - 0,8 д.а.).

34. Математнчний аналгз. Циференшальш ршняння. Ч.И. - Вшниця: ВДП1, 1989,- 2,0 д.а. (у сшвавторст, авторських - 0,8 д.а.).

35. Математика. Навчально-дослщна робота студентлв. - Вшниця: ВДП1, 1991.-1,5 д.а. (у стьавторств), авторських - 0,5 д.а.).

36. Елементи комбшаторики. - Вшниця: ВДП1, 1996,- 4,4 д.а. ( у eiiiBaBTOpCTui, авторських -1,2 д.а.).

37. Математнчний аналп. Навчально-дослшна робота студента. -Вшниця: ВДП1,1984.- 2,0 д.а. (у сгпвавторств!, авторських - 0,7 д.а.).

38. Математнчний аналЬ. Навчально-дослщна робота студент ¡в других KypciB. - Вишиця: ВДГП, 1985.- 2,0 д а. (у сшвавторспи, авторських - 0,8 д.а.).

Статт8

39. Побудова графшв деяких функшй // У свт математики. Науково-популярний зб1рник,- № 2. - К., Радянська школа, 1970,- 0,7 д.а.

40. Об использовании свойств функций ири решении уравнений и неравенст в // Математика в школе.-1970,- № 3,- 0,5 д.а.

41. Використання властивостей функшй при розв'язуваши р1ьнянь i нер1вностей //' Методика викладання математики: Республшанськнй науково-ме-тодичний зСфник. Вип. б. - К.: Радянська школа, 1970.- 0,5 д.а.

42. Використання властивосзт монотонносп елемеитарких функщй при розв'язуваши р1внянь i нер1вностсй // Методика викладання математики:

Реснублканський науково-методичний зб1рннк. - Бип. 7.- К.: Радянська школа, 1971.-0.5 д.а.

43. Вккорнстання властивосп парносп та непарност! функцш при розв'язуванш деяких р1внянь I нер1вностсй // Нозс у викладанш математики: Зб1рник статей: - К.: Радянська школа, 1972.- 0,5 д.а.

44. Розв'язування деяких р1внянь 1 нсршюстей на основ1 властивостей функщй //' У свш математики: Науково-популяршШ збфник,- № 3. - К.: Радянська школа, 1972.- 0,5 д.а.

45. Алгоритм знаходження деяких складних тригонометричних функщй ! його застосувашш до розв'язування нершностей // Методика зикладання математики. Республнсанський науково-методичний зб!рник.- Вил, б. - К.: Радянська школа, 1972.- 0,5 д.а.

46. Розв'язування деяких р1внянь, що М1'стять знак функцн шггье // Методика викладання математики: Республжанський науково-методичний зб1рник. Вип. 9. - К.: Радянська школа, 1974 - 0,5 д.а.

47. Розв'язування деяких р1внянь ! нер1вностсй з параметрами // У евт математики: Науково-популярний зСмриик.- № 5. - К.: Радянська школа, 1974.0,5 д.а.

48. Дополнительные упражнения на исследование функций // Математика в школе,- № 3 - 1981,- 0,5 д.а.).

49. Деяет зауваження до "Пра:<тикуму з розв'язузання задач" // Матер1алн респуб.тансъко? науково-нраетичноТ конферснин "Проблема удосконалская навчального процесу в педагопчному вуз1." - К.: 1975,- 0,2 д.а.

Шунда Н.И. Формирование знщшЛ об элементарных фунишях в профессиональной подготовке учителя математики.

Диссертация в ферме пособия на соискание ученой степени доктора педагогических наук по специальностям 13.00.04 - профессиональная педагогика и 13.09.02 - методика обучения ( спешшьным дисциплинам).

Институт педагогики и психологии профессионального образования АПН Украины, Г,лсв, 1997..

Защищается Диссертация, в которой дано теоретическое обоснование необходимости формиропания знаний об элементарных функциях в

о

профессиональной подготовке учителей математики. Разработано eä содержание, нашедшее отражение в пособиях, спецкурсах, методических рекомендациях, статьях. Указаны пути, формы., методы практического осуществления задачи и условия, способствующее её решению при подготовке учителей математики л пединституте.

Теоретические выводы базируются на значительном фактическом материале: изучении уровня знаний студентов и учителей, анкетировании, экспериментальной апробации

Shunda N.N. Formation of the knowledge about elementary (tactions in the mathematics professional training.

Thesis in the fonn of manual for the degree of Doctor of Pedagogical Science on the specialities 13.00.04-Professional Pedagogies and 13.00.02-Methods for teaching (special disciplines). Institute of Pedagogies and Psychology of Professional Education of the Ukrainian Academy of Pedagogical Science, Kiev, 1997.

Present thes.3 gives theoretical grounds for the necessity of formation of the knowledge about elementary functions in the process of mathematics teacher professional training. Professional training conient is vorked out and reflected in manuals, methodial recommendations, special courses, articles. Ways, forms and methods for practical realization of said objective arc indicated as well as conditions contributing to solving of this problem in the. process of mathematics teacher professional training in pedagogical institute. Theoretical conclusions are based upon substatial actual material such аь studying the level of students and teachers knowledge, guestiomiaries, experimental verification

Клгочовг слова: дидактичне i методичке забезпечення навчального процесу, професШна спрямовашсть, нггенснфкащя навчального процесу,

технология навчання, конструювання обе'кта, сшвставлення, множила, функщя та П властнвост1, ршнминя, uepiBuicTb, еинхроннс розв'язування рдашпь та неровностей, пршсгикуми з математики, спецкурси, иосюшгки, задач! та вправи.