автореферат и диссертация по педагогике 13.00.08 для написания научной статьи или работы на тему: Креативно ориентированная математическая подготовка в вузе

Автореферат диссертации по теме "Креативно ориентированная математическая подготовка в вузе"

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВА ЕЛЕНА ЕВГЕНЬЕВНА

КРЕАТИВНО ОРИЕНТИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА В ВУЗЕ

13.00.08 - теория и методика профессионального образования

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

Москва-2007

□030В0583

003060583

Работа выполнена в Московском государственном университете технологий и управления

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор философских наук,

доктор филологических наук, профессор

Гуревич Павел Семенович

доктор педагогических наук, профессор Бугакова Нина Юрьевна

доктор педагогических наук, профессор Солодова Евгения Александровна

доктор педагогических наук, профессор Власова Елена Зотиковна

Ведущая организация: Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского

Защита состоится «

_ 2007 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.122.04 по присуждению ученой степени доктора педагогических наук в Московском государственном университете технологий и управления по адресу: 109004, г. Москва, ул. Земляной Вал, 73

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУТУ по адресу: 109004, г. Москва, ул. Земляной Вал, 73

Автореферат разослан « 2 / » ^(¿Сйй- 2007 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО СОВЕТА кандидат философских наук

Э.М. Спирова

ОСНОВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Радикальные и быстрые социальные перемены в современной России активно влияют на массовое сознание, объективно повышают требования общества к его членам в аспекте образованности, компетентности, когнитивной активности во всех областях деятельности. Образованность общества сегодня становится не только важнейшим условием технологического и социально-экономического развития любой страны, но и условием выживания цивилизации, преодоления ее глобального экологического и духовного кризиса.

Процесс демократических изменений в обществе порождает и новые требования к современному образованию - оно должно стать гуманистически ориентированным, призвано рассматривать человека как основную ценность, быть направленным на развитие индивидуальной, социальной и профессиональной культуры личности. При такой тенденции формы, методы, технологии образования являются не самоцелью, а рассматриваются в контексте одной из основных задач образования - обеспечить максимально благоприятные условия для саморазвития личности. Высоконравственная, духовно богатая, гармонично развитая личность, способная к личностному росту, является тем самым ориентиром и целью, на достижение которой должны быть направлены все усилия педагогики как науки в области практической деятельности.

Проблемы математической подготовки студентов постоянно находятся в зоне повышенного внимания исследователей, занимающихся проблемами математического образования в России и других странах СНГ. Это связано, прежде всего, с тем, что в последнее время концепция курса высшей математики в ВУЗе во многом не отвечает предъявляемому социальному заказу общества. Не случайны, поэтому, активные поиски новых концепций и, как следствие, активные поиски методов преподавания высшей математики в ВУЗе. Достаточно указать на ряд докторских диссертационных работ, посвященных этой проблеме, таких как работы Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, З.А. Магомеддибировой, В.Т. Петровой, В.М. Туркиной, М.И. Шабунина. Этой же проблеме посвящены кандидатские диссертации Г.И. Баврина, Н.Ф. Власовой, О.В. Ефременковой, М.Е. Ткаченко.

Из всего блока вопросов математической подготовки в ВУЗе нами выбран раздел математического анализа «Числовые ряды». Этот выбор объясняется не только математической специализацией автора исследования, но и рядом объективных не всегда положительных обстоятельств, которые создают множество проблем негативного свойства, оказывающих существенное влияние на мировоззрение, философские убеждения и восприятие существующей реальности.

Математический анализ является важнейшей составной частью математической подготовки студента. Суть даже не в том, что элементы

математического анализа в той или иной степени входят в программу школьного курса математики или факультативных курсов. Дело в том, что идеи и методы математического анализа в явной или неявной форме пронизывают, весь школьный курс алгебры, которая в качестве одной из приоритетных содержательно-методических линий имеет функционально-графическую линию.

Традиционно сложилось так, что исследователи, занимающиеся проблемами теории и методики постановки курса математического анализа в ВУЗах, уделяют внимание лишь начальным разделам анализа (функция, предел, производная, интеграл).

Мало работ, оценивающих значение дифференциальных уравнений, функций многих переменных, для студентов изучающих высшую математику в ВУЗе, особенно недостаточно исследований, связанных с курсом числовые ряды. Указанные обстоятельства подчёркивают насущную необходимость более глубокого изучения данной научной области с новых теоретико-методологических позиций с учётом выявленных противоречий между:

необходимостью постоянного совершенствования учебно-методического процесса, отслеживающего современные достижения и тенденции развития математической науки, математического анализа в целом, и курса «Числовые ряды» в частности, обеспечивающего наиболее полное проявление и развитие индивидуальности каждого обучающегося и директивностью системы образования, ориентированной на единые для всех государственные стандарты;

- потребностями научно-методологической постановки раздела числовые ряды в ВУЗе, как раздела математического анализа во всем его многообразии и единстве преподавания в ВУЗе высшей математики и тенденцией, которая на сегодня представлена в исследованиях ученых методистов, рассматривающих «Числовые ряды» как обособленный, самостоятельный, вне связи с историческими корнями, раздел математики, что очевидно не способствует формированию глубины педагогических взглядов и умению делать широкие обобщения у будущих специалистов;

- креативными возможностями математической подготовки в ВУЗе и недостаточным исследованием гуманитарных и творческих возможностей курса математического анализа во всех его взаимосвязях и проявлениях;

- системным характером образовательного процесса и разрозненными, недостаточно методологически и организационно обоснованными методиками преподавания высшей математики в ВУЗе.

Перечисленные противоречия были выделены на основе полученных эмпирических данных о результативности процесса обучения математике, изучения практики преподавания, теоретического анализа разнообразных литературных источников (диссертаций, монографий, статей, учебников и т.д.) и явились мотивом для проведения настоящего исследования, определив его актуальность.

Отмененные противоречия указывают направление научного поиска и позволяют сформулировать проблему данного исследования: каковы педагогические основы процесса развития креативно ориентированной математической подготовки студентов, и каковы креативные возможности математического обучения студентов в ВУЗе.

Объектом исследования является математическая подготовка будущих специалистов в высших учебных заведениях.

Предмет исследования креативная направленность обучения числовым рядам в высшем учебном заведении.

Цель исследования состоит в разработке креативно ориентированной научно-методической системы изучения курса «Числовые ряды» в ВУЗах и путей ее реализации в практике преподавания.

Гипотеза исследования состоит в том, что реализация разработанной креативно ориентированной концепции курса числовых рядов в ВУЗах позволит:

- сформировать у студентов правильные представления о гуманитарном потенциале курса числовых рядов, включающем в себя методологическую и креативную направленность курса;

- обеспечить рациональную креативно ориентированную направленность курса числовые ряды.

- повысить качество преподавания высшей математики в высших учебных заведениях;

- обеспечить у студентов развитие содержательного, процессуально-деятельностного, мотивационного и оценочного компонентов креативно ориентированной математической подготовки;

- выявить педагогические условия, которые содействуют процессу развития креативно ориентированной математической подготовки.

Проблема, предмет и гипотеза исследования определяют следующие задачи исследоватш которые распределены по двум группам.

Первая группа задач:

1. Провести научный анализ методологических составляющих курса «Числовые ряды» в практике подготовки специалистов в ВУЗах, выявить когнитивные возможности курса «Числовые ряды» в обучении студентов высшей математике.

2 Выявить способы осуществления прикладной направленности в преподавании и формировании у студентов правильных представлений о роли

математики в реальных жизненных процессах, о преемственности знаний, их месте, значении и способах реализации в учебном процессе.

3. Исследовать пути реализации креативно ориентированной концепции обучения математике будущих специалистов в курсе «Числовые ряды».

4. Разработать концепцию и программу курса «Числовые ряды» для ВУЗов, творчески ориентированную и в максимальной степени раскрывающую гуманитарный потенциал курса, наметить пути для ее реализации в методической системе обучения.

5. Обосновать научно-методические принципы работы с .числовыми рядами, стимулирующие творческое отношение студентов к возникающим математическим проблемам.

Решению этих задач посвящена первая глава диссертации.

Вторая группа задач:

1. Учитывая специфику курса числовых рядов, исследовать новые формы и методы изложения материала в учебном процессе ВУЗа.

2. Разработать методы и способы гуманитаризации и креативного наполнения курса «Числовые ряды».

3. Экспериментально обосновать креативные возможности математической подготовки в ВУЗЕ.

Решению этих задач посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.

Известно, что основным инструментом математики, как и философии, является формальная логика и, прежде всего, по этой причине имеет место широкое взаимопроникновение этих наук. Важными для нашего исследования являются те философские работы, которые обосновывают процессы становления и развития личности в обществе, исследуют природу творчества, рассматривают человека в его целостности, как носителя духовности, творца и созидателя, обладающего активным началом.

К иаучно-теоретическим предпосылкам исследования относятся

идеи:

- о стремительном росте научного знания, создающего своеобразную "ноосферу" (В .И. Вернадский);

- о бесконечности образования, превышающего по своим масштабам человеческую жизнь (М.К. Мамардашвили);

- о целостности и внутреннем единстве человеческой личности (H.A. Умов, П.С. Гуревич, B.C. Соловьёв, И.А. Ильин);

- об уникальности и неповторимости каждой личности (С.И. Гессен, Н.О. Лосский, В. Франкл, М. Хайдегтер, Э. Фромм);

- о природе творчества, имманентно присущего человеческой сущности и вместе с тем представляющего самотрансценденцию - выход человека за

пределы самого себя (H.A. Бердяев, П.А. Флоренский, М.М. Бахтин, Ф.А. Степун).

Психологический базис работы составляют научные исследования, описывающие механизмы процессов творчества и развития личности в образовательной среде, рассматривающие вопросы взаимосвязи обучения и развития, раскрывающие природу творческих способностей человека и изучающие методы и возможности создания среды для их "культивирования и выращивания".

Важными в данной области являются идеи:

- о взаимосвязи обучения и развития, о необходимости постоянной опоры на "зону ближайшего развития" обучающегося (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, П.С. Гуревич, В.П. Зинченко, Т.Н. Березина, В.В. Селиванов);

- о развитии человека как личности в контексте его "жизненного пути" (С.Л. Рубинштейн, Б.Г. Ананьев, Н.Ф. Талызина);

- о субъектности человека, как свойства "самодетерминации его бытия в мире" (К.А. Абульханова, Т.Н. Березина, A.B. Петровский, Н.Л. Нагибина, М.В.Каминская);

- об ориентировочной основе действия и целесообразности её выделения в содержании любой образовательной дисциплины (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, В.Б. Хозиев);

- о творческих способностях личности, несводимых к её интеллекту и могущих получить становление и развитие только в специально организованной образовательной среде (Д.Б. Богоявленская, Л.И. Айдарова, П.С. Гуревич, В.Н. Дружинин, В.В. Селиванов, М.А. Холодная, Д. Гилфорд, Э. Торренс).

Изучение курса числовых рядов и его методов дает один из важных инструментов для познания мира, в котором мы живем, позволяет сформировать образное научное представление о реальном физическом пространстве.

Несмотря на колоссальный прогресс в развитии теории рядов, этот раздел математики, все ещё и сегодня имеет массу слабо разработанных или вообще неразработанных вопросов особенно в методике изложения материала и интерпретации некоторых теорем и следствий из них. В то же время этот раздел математики является одним из важнейших и продуктивных разделов математики, обязательных для изучения и включенных в Государственный образовательный стандарт высшего профессионального обучения. Именно это и есть практические предпосылки для нашего исследования.

Были использованы следующие методы исследования:

- анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и истории методики

преподавания математики, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий;

- массовые проверки уровня математической подготовки студентов ВУЗов;

- экспертные оценки при работе с преподавателями ВУЗов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками;

- изучение и обобщение педагогического опыта;

- беседы с преподавателями ВУЗов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками;

- поисковые и констатирующие эксперименты по проверке отдельных методических положений работы.

Выполняя исследование, автор руководствовался методологией системного подхода. Психолого-педагогическую основу исследования составили концепции воспитывающего и развивающего обучения, концепция обучения деятельности, концепция проектирования креативной образовательной среды в ВУЗе.

Научная новизна и значимость проведенного исследования состоит в том, что:

• обоснованы смыслы, сущность и основные направления формирования креативно ориентированной математической подготовки студентов в ВУЗе, учитывающие российские и мировые достижения в области педагогики и теории педагогического проектирования, психологии и теории высшей нервной деятельности;

• разработана и обоснована целостная, креативно ориентированная авторская концепция курса числовых рядов в ВУЗе, на основе комплексного анализа психолого-педагогических и методико-математических аспектов проблемы, в максимальной степени раскрывающая богатый гуманитарный потенциал этого курса;

• теоретически обоснованы педагогические принципы системности и преемственности знаний, заключающиеся в соблюдения логической связи между понятиями и методами систем знаний, между теорией и ее практикой, между приобретенными и приобретаемыми знаниями, между исходным уровнем интеллектуального развития обучаемого и задачами его развития;

• разработан и теоретически обоснован принцип бинарности - наиболее адекватного соединения математической и общеметодической линии, обеспечивающий единую методологическую и понятийную основу для саморазвития личности в креативно направленной образовательной среде;

• создана динамическая модель курса «Числовые ряды» наполненная конкретным творческим содержанием, адекватная динамике целей развития креативно ориентированной математической подготовки студентов, что существенно отличает ее от существующей эмпирической практики обучения в вузе;

• обоснованы диагностические средства для определения динамики состояний креативно ориентированной математической подготовки студентов и эффективности разработанных педагогических методик.

Теоретическая значимость исследования: в диссертации получены результаты, которые позволяют реализовать, креативную направленность курса числовые ряды, совершенствовать процесс обучения высшей математики в ВУЗе. Разработанные научно-методические принципы работы с числовыми рядами, эффективно стимулируют творческое отношение студентов к возникающим математическим проблемам.

Практическая значимость полученных результатов обусловлена, прежде всего, созданием учебно-методического комплекса пособий нового идейного содержания для обеспечения занятий по курсу числовых рядов, уже внедрённых в практику преподавания в ВУЗах.

В диссертации содержатся конкретные рекомендации по реализации в курсе числовых рядов методологических и методических аспектов, по усилению креативной направленности курса числовых рядов, обеспечению преемственности и системности обучения.

На основе результатов исследования были созданы учебные пособия и монографии:

1. Ряды в задачах и примерах (учебное пособие).

2. Проблемы и решения в теории рядов (монография).

3. Числовые ряды (учебное пособие).

4. Креативно ориентированная математическая подготовка в ВУЗе (монография).

5. Реализация креативной направленности курса «Числовые ряды» в учебном процессе ВУЗа (монография).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются опорой на базовые положения педагогики и психологии высшей школы с учетом современных достижений в области дидактики, комплексным использованием методов педагогического исследования, адекватных его объекту, предмету, целям, задачам и логике, преемственностью и взаимосвязанностью результатов, полученных на разных этапах исследования. Адекватность решений и интерпретации практических задач проверялась компьютерными методами с использованием программ «MathCAD» и «Excel».

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования нашли отражение в монографиях, учебных пособиях, методических рекомендациях, научных статьях, докладах, тезисах, программах, опубликованных в разные годы в Калининграде, Волгограде, Москве, Санкт-

Петербурге, Мурманске, Нефтекамске, Самаре, Сургуте, Оше, Оренбурге, Томске, Тамбове, Архангельске, Астрахани. Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

- Х1-Й Международной конференции МГУ имени Ломоносова «Математика, компьютер, образование», Москва-Дубна, 2004 год;

- У-й Международной научно-технической конференции «Анализ и прогнозирование систем», СЗГЗТУ Санкт-Петербург, 2004 год;

- Международной научно-технической конференции МГТУ «Наука и образование», Мурманск, 2004 год,

- 5-й Международной конференции молодых ученых Самарского Государственного Технического Университета, Самара, 2004 год;

У-й окружной конференции молодых ученых Сургута «Наука и инновации XXI века», Сургут, 2004 год;

- Международной научной конференции МГТУ «Наука и образование», Мурманск, 2005 год;

Международной научной конференции «Актуальные проблемы современной математической науки», Бишкек, 2005 год;

- 1Х-й Всероссийской конференции «Наука и образование», ТГПУ Томск, 2005 год;

- Международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов Самарского Государственного Технического Университета, Самара, 2005 год;

- Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 15-летию со дня принятия Декларации о государственном суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГу, 2005 год;

- У1-й окружной конференция молодых ученых Сургута «Наука и инновации XXI века», Сургут, 2005 год.

- Международной научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование», Оренбург, 2006 год;

- 2-ом Международном форуме «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 2006 год;

- VI Международной научной конференции «Наука и образование» Кемеровский государственный университет. Беловский институт (филиал). Белово, 2006 год.

- Международной научной конференции «Современное математическое образование и проблемы методологии математики». Тамбовский государственный университет им. Державина, Тамбов, 2006 год;

IV Международной научной конференции «Инновации в науке и образовании - 2006», Калининград, КГТУ , 2006 год;

14-ой Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» МГУ, Пущино, 2007год.

В исследовании обобщен и систематизирован пятнадцатилетний опыт работы автора в Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота.

На защиту выносятся:

- Креативно ориентированная математическая подготовка студентов опирается на целостные, способные к изменению и развитию психические свойства личности, которые характеризуются владением математическими знаниями, умениями, навыками для системного творческого усвоения знаний и их применения на практике. Структура креативно ориентированной математической подготовки в ВУЗе представляет собой систему взаимосвязанных компонентов: содержательного, процессуалыю-деятельностного, мотивационного и оценочного.

- Теоретическое обоснование рациональных креативно ориентированных форм и методов изучения курса числовых рядов в ВУЗе, выдвигающих на первый план идею самореализации связи конкретного курса высшей математики с соответствующим школьным предметом - принцип ведущей идеи, который определяет отношение к знанию как личностно-значимой ценности, что значительно минимизирует неожиданные внешние влияния и максимизирует альтернативные возможности самопознания и самоутверждения, готовность к самостоятельному, творческому применению знаний в учебной и далее в профессиональной деятельности.

- Общая концепция построения курса числовых рядов в ВУЗе и, разработанная на этой основе, концептуальная программа курса «Числовые ряды». Её основные идеи, интегрирующие исследование, нашли отражение в следующих положениях: 1) раздел «Числовые ряды» рассматривается не как отдельный, самостоятельный курс, а как раздел математического анализа, во всех его многообразиях и взаимосвязях; 2)в курсе математического анализа выделяется содержательно-методическая линия числовых рядов; 3) в постановке самого раздела «Числовые ряды» органически сочетаете содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни, что является системо-образующим фактором создания креативно ориентированной математической подготовки.

- Процесс обучения математики, реализующий возможности креативно ориентированной математической подготовки студентов включает целевой (система педагогических целей), содержательный (условия структурирования содержания учебного предмета), процессуальный (методы усвоения знаний), результативно-диагностический (критерии оценки уровня креативно ориентированной математической подготовки студентов) и организационный (формы креативной дискуссии, творческий разбор практических ситуаций, анализ ситуаций выбора оптимального решения с точки зрения креативно-оценочного выбора) компоненты.

- Методика преодоления трудностей в учебном процессе при решении задач с участием условно сходящихся рядов, методики решения задач о суммировании расходящихся рядов в обычном смысле слова, которые является реализацией принципа гуманитаризации раздела «Числовые ряды»

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Объем диссертации 361с., из них 23 с. приходится на список использованной литературы. Основной текст работы содержит 11 рисунков. Практически все примеры приведенные в работе являются оригинальными и прошли экспериментальную проверку на практических занятиях в различных группах студентов ВУЗов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы объект, предмет, научная проблема, основная цель и вытекающие из нее конкретные задачи и методы исследования, представлены гипотеза исследования, научная новизна, определены практическая значимость, положения, которые выносятся на защиту.

ГЛАВА 1.

КРЕАТИВНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА

«ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ»

В этой главе проанализирована роль креативной и гуманитарной направленности учебного процесса в ВУЗе, его системности и преемственности. В настоящее время можно считать общепризнанным положение о том, что преподавание математики на любой ступени обучения (в школе, лицее, колледже, ВУЗе и т.д.) следует постоянно увязывать с вопросами методологии, философии, истории, то есть с тем, что составляет так называемый методологический аспект преподавания.

Этот аспект содержит в себе необходимость постоянного акцентирования вопросов, связанных с происхождением и развитием математических понятий, роли и многоступенчатого характера математических абстракций. Такая необходимость объясняется постоянным уточнением и расширением в сознании обучающихся определения предмета математики, её роли в историческом развитии науки вообще, связи математики с реальной жизнью, с общественной деятельностью людей, с ролью критерия практики в математике и, наконец, с раскрытием сущности математизации современного научного

знания. Обучающиеся должны уметь видеть за общими понятиями математики конкретные образы реального мира, достоверно интерпретировать полученные результаты, увязывать теорию с практикой жизни. Правильно поставленное преподавание математики должно способствует правильному пониманию основных вопросов философии и других фундаментальных научных дисциплин, позволяющих адекватно ориентироваться в сложных жизненных ситуациях.

§ 1. Гуманитарный потенциал раздела «Числовые ряды»

Параграф посвящен раскрытию гуманитарного потенциала курса числовых рядов. Одной из главных целей математической подготовки будущего специалиста в высшем учебном заведении является воспитание у студентов научного мировоззрения. В классическом математическом анализе наибольшие потенциальные возможности в этом смысле содержится в курсе «Числовые ряды».

В этом параграфе сделан краткий исторический очерк развития теории числовых рядов, показывающий неразрывную связь методологии математического знания с числовыми рядами, креативную направленность курса числовых рядов. Здесь, в частности, отмечен вклад в теорию числовых рядов ученых России.

Существенный вклад в дело формирования у студентов научного мировоззрения и общей культуры вносит креативная направленность обучения.

Проблема творчества в обучении математике нашла широкое отражение в исследованиях математиков и методистов. Ее теоретическое обоснование проведено в работах Н.В. Аммосовой, A.M. Анохина, С.П. Андреева, А.И. Влазнева, О.В. Ефременковой, Г.Г. Левитас, Л.Н. Седовой, З.И. Хусаинова,

B.А. Гусева, М.И. Рожков, В.В. Фирсова, Г.В. Дорофеева, М.И. Башмакова,

C.Н. Позднякова, Н.Я. Виленкина, А.Д. Мышкиса, С.З. Кенжалиевой, Л.Д. Кудрявцева, Г. Трелиньски, A.M. Анохина, Л.М. Матросова, И.И.Баврина, Н.Д. Кучугурова, В.И. Крупич, С.А. Баляева, H.A. Терешина и других.

Большинство упомянутых авторов исследуют вопросы творческой направленности обучения математике в школе, не касаясь проблем высшей школы.

Образование представляет собой активную, непрерывную созидательную деятельность индивида по освоению им мировых научных и культурных ценностей, методологического опыта предшествующих поколений, "вхождению" в человеческое общество, осуществляемому на основе и с целью саморазвития личности.

С философской точки зрения категория творчества представляет собой достаточно сложный многоаспектный феномен, являющийся имманентной характеристикой человека, его жизненной потребностью, ведущим механизмом любого развития. Творчество это не только созидание, но, прежде всего,

самосозидание. Для того чтобы выйти на творческий уровень, человек должен достигнуть определённой ступени в своём саморазвитии. Каждый человек по природе является существом творческим. Нужно только суметь развить его творческие способности. И лучше всего это осуществлять целенаправленно в рамках единой образовательной среды.

Существуют различные варианты раскрытия понятия "креативность".

Креативность (от лат. creo - творить, создавать) - способность творить, способность к творческим актам, которые ведут к новому необычному видению проблемы или ситуации. Творческие способности могут проявляться в мышлении индивидов, в их трудовой деятельности, в обучении. Однако креативность, по-видимому, не является достоянием исключительно только человека. Эта способность присуща также многим «интеллектуальным» животным, обладающим достаточно развитым перцептивным мышлением, которое позволяет создавать многозначный образный контекст и извлекать из перцептивных образов необходимую для выживания новую когнитивную информацию (знание).

Высокоразвитые приматы (шимпанзе) проявляют удивительную изобретательность и могут сделать своего рода открытие (например, обнаружить новый прием, позволяющий отделить зерна пшеницы от песка), которое затем получает распространение в стаде. Но только человек способен творить объекты материальной и духовной культуры, и эта его способность развивается в ходе продолжающейся биологической, когнитивной и культурной эволюции разумного человека.

В психологии XX века был разработан ряд концепций, который связывал креативность личности с соответствующими способностями - например, с интеллектуальной способностью адаптировать поведение к изменяющимся условиям с помощью проб и ошибок (бихевиоризм), со способностью к продуктивному (гештальт-психология) или дивергентному (Дж.П. Гилфорд) мышлению. Поскольку предполагалось, что творческий процесс отличается от нетворческого прежде всего итоговым результатом, порождением нового, то в последние десятилетия получили широкое распространение психометрические исследования креативности, где с помощью соответствующих тестов предпринимались попытки выявить такие качества индивидов, которые можно было бы рассматривать как характеристические для их творческих способностей.

Однако, как оказалось, психометрические тесты (тесты на IQ, на креативность) игнорируют взаимодействие наследственных факторов и факторов окружающей среды. В подавляющем большинстве случаев применительно к исследованию человеческих креативных способностей, по-видимому, невозможно создать четкую экспериментальную ситуацию, которая позволяла бы осуществить с помощью психометрических или биометрических мотивов анализ параметров действий генов в центральной нервной системе. Необходимо учитывать, что фенотип всегда является результатом сложного

взаимодействия фенотипа и среды, и что генотипы, определяющие творческий потенциал личности, требуют от для своего оптимального развития соответствующих внешних условий. Поэтому правомерна постановка вопроса о врожденных креативных способностях индивидов только как о потенциальной возможности творчества, которая в силу многих причин может не реализоваться (например, из-за неустойчивости как свойства личности).

Личностные когнитивные особенности индивидов зависят от того, как их мозг справляется с информацией, как и с помощью каких мыслительных стратегий он ее обрабатывает и насколько он спонтанно активен.

Индивидуальные различия в нейропсихологических параметрах могут проявляться на уровне психики, в психологических различиях. Например, лица с быстрым вариантом затылочного а-ритма, который в стандартных условиях практически полностью определяется генетически, по-видимому, значительно превосходят других в абстрактном мышлении и в ловкости движений. Но при этом необходимо учитывать, что между действием генов и физиологическим фенотипом имеет место непрямая связь. Тем не менее было установлено, что креативные способности, как правило, не предполагают высокого уровня «общего интеллекта», а гораздо более тесно коррелируют с «врожденными талантами», со специфическими видами интеллекта - лингвистическим, музыкальным, логико-математическим, пространственным, телесно-кинестатическим, внутриличностным и межличностным (Г. Гарднер). Креативность, по - видимому, в значительной степени реализуется в неосознаваемых правополушарных мыслительных процессов и стратегиях. Поэтому конкретное соотношение когнитивных типов мышления в какой-мере определяет индивидуальные креативные способности людей. Для творческих личностей характерны весьма развитые способности к воображению и эмпатии, то есть к идентификации своего Я с воображаемыми Я - образами посредством самовнушения. Они спонтанно предпочитают определенные мыслительные стратегии, - например, широко используют аналогии, образы, мыслят оппозициями и отрицаниями (отсюда часто встречающееся название «мышление двуликого Януса», прибегая к противопоставлениям для при решении простых тестовых задач. Исследование также показывает, что для творческих личностей в целом типичен высокий уровень не только когнитивной, но и мотивационной активности. Они стремятся к автономии, независимости, самоутверждению, которые ведут их к поиску малоизученных или «горячих» проблем, формирующихся областей знания или видов искусства, чтобы именно здесь бросить вызов общепринятым представлениям. Они также оказывают явное предпочтение чему- то элегантному, оригинальному, сочетая это с толерантностью, терпимостью к критике, к двусмысленности, многозначности контекста.

Креативность — способность сделать или каким-то иным способом осуществить нечто новое; новое решение проблемы, новый метод или инструмент, новое произведение искусства (П.С. Гуревич).

Психологические эксперименты в области мотивации и научения показали и роль новизны как катализатора деятельности. У высокоорганизованных организмов существует основополагающее постоянное противоречие между установлением и поддержанием постоянства окружающей среды и достижением достигнутого равновесия ради новых возможностей и новых ощущений. Психологические исследования обладающих высоким творческим потенциалом людей раскрыли это противоречие как дуализм интеллекта и интуиции, сознания и бессознательного, психического здоровья и психического заболевания, общепринятого и нетрадиционного, сложности и простоты.

Обладающий креативностью человек обычно отличается высоким интеллектуальным уровнем в повседневной жизни и может рационально решать возникающие проблемы, но часто предпочитает действовать на основании интуиции и высоко ценит рациональность в себе. По достижении определенного уровня интеллект представляется имеющим незначительную корреляцию с креативностью, то есть обладающее высоким интеллектуальным уровнем лицо может и не иметь высокий творческий потенциал.

Анализ различных психолого-педагогических источников (H.A. Бердяев, П. Вайнцвайнг, П.С. Гуревич, Н.Ф. Талызина, Т.Н. Березина, E.H. Кабанова-Меллер, М.В. Каминская, H.JI. Нагибина, В.В. Селиванов, К.Г. Кречетников, М.И. Рожков) позволил определить креативность, как интегральную устойчивую характеристику личности, определяющую её способности к творчеству, принятию нового, нестандартному созидательному мышлению, генерированию большого числа оригинальных и полезных идей. Основная цель креативной направленности обучения состоит в том, чтобы "разбудить" в человеке творца, развить в нём заложенный творческий потенциал, пробудить потребность в дальнейшем самопознании, творческом саморазвитии.

Креативная направленность обучения в ВУЗе позволяет:

- обеспечить условия для удовлетворения образовательных потребностей каждой личности, раскрыть потенциал каждого обучающегося, развить его творческие способности, автономность, рефлексию, ответственность;

стимулировать познание человеком самого себя, выработать индивидуальный стиль деятельности;

- обеспечить подготовку профессионалов, соответствующих выше перечисленным требованиям к ним, обладающих опытом творческой деятельности и эмоционально-ценностного отношения к действительности;

- обеспечить качественную подготовку специалиста, удовлетворяющего потребности общества и самого обучаемого.

Креативная направленность курса числовых рядов связана и с тем, что именно здесь происходит реализация принципа преемственности, который требует соблюдения необходимых условий. Эти условия состоят в определенной логической связи между понятиями и методами систем знаний, между теорией и ее прикладным аспектом, между приобретенными и

приобретаемыми знаниями обучаемого, между исходным уровнем интеллектуального развития обучаемого и задачами его развития.

Разработка проблемы преемственности в учебном процессе осуществляется путём разработки и внедрения организационных и дидактических методов преподавания математики на разных уровнях обучения, начиная от средней школы, заканчивая ВУЗом. (С.М. Гондник, П.С. Гуревич, Г.Л. Луканкин, A.B. Коржуев, П.И. Самойленко, И.В. Горлинский, М.Е. Ткаченко, С.Я. Ромашина, Л.О. Филатова и др.). Разумно поставленные взаимосвязи близких по содержанию и родственных дисциплин не только обеспечивают повышение качества знаний обучаемых, но и способствуют подготовке их к применению полученных знаний на практике, развивают научный кругозор обучаемого.

Преемственность знаний в процессе обучения является одной из форм систематичности, отражения объективно существующей взаимосвязи, как в науке, так и в практике природных явлений.

Преемственность знаний способствует реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга.

Исследованиями психологов определена физиологическая основа преемственности знаний, заключающаяся в образовании в коре больших полушарий головного мозга межсистемных ассоциаций (Ю.А. Самарин), позволяющих человеку правильно воспринимать окружающий мир в процессе познания (как научного познания, так и познания в процессе обучения).

Формирующееся знание является многокомпонентным, включающим в себя элементы различных систем. В связи с этим преемственность полученных знаний студентом устанавливается, прежде всего, при изучении ведущих идей, формировании основных понятий, и на так называемых сквозных объектах. Научить этому будущих специалистов должна высшая школа, так как только в этом случае они получают возможность свободной и широкой ориентировки в различных областях научного знания и общественной практики, реализации приобретенных знаний, умений и навыков в различных ситуациях.

Разработка вопросов преемственности знаний у студентов многоплановая психолого-педагогическая проблема, ибо она затрагивает психологические основы учебного предмета (E.H. Кабанова-Меллер), теорию поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина), психологию обобщения (В.В. Давыдов).

В высшем учебном заведении преемственность следует рассматривать, прежде всего, как реализацию преемственности знаний, связей при изучении конкретных разделов математического курса для более успешного усвоения всего курса. Обобщение всего сказанного позволяет зафиксировать важнейшие направления гуманитарной составляющей курса числовых рядов в ВУЗе.

1. Научно-мировоззренческое, методологическое направление, позволяющее студенту сформировать правильные представления об

окружающей действительности, обеспечить возможность ориентироваться в безбрежном океане информации. В определенной мере этому способствует историко-математическая линия курса.

2. Креативное- направление курса, предоставляющее возможность каждому обучающемуся максимально развить и реализовать свою творческую доминанту, напрямую связанную с проблемой реализации в курсе преемственности знаний.

§ 2. Концепция создания креативной среды обучения и числовые ряды

В этом параграфе раскрывается сущность создания креативно ориентированной среды обучения. Концепция формирования креативно ориентированной образовательной среды позволяет создать условия для перехода от образования, как воздействия на обучающегося, к образованию, как самообучению, самовоспитанию и творческому саморазвитию. Здесь имеется целью оценка значения курса «Числовые ряды» с креативной точки зрения и обоснование соответствующих теоретических положений о месте и роли курса числовых рядов в учебной программе курса высшей математики ВУЗа.

В этом параграфе проанализирован вопрос о том, как соотносятся цели обучения математике студентов ВУЗов с возможностями курса числовых рядов. За основу взята структура целей, предложенная А.Г. Мордковичем (воспитание научного мировоззрения; формирование достаточного для работы в школе уровня математических знаний, умений и навыков; формирование достаточно высокого уровня математического мышления; обеспечение достаточного опыта математической деятельности).

Одним из непременных условий создания креативно ориентированной среды обучения является положение о том, что основу построения математического курса в ВУЗе должно составлять объединение общенаучной и методической линий - принцип бинарности, позволяющий освобождаться студенту от психологических «зажимов», приобретенных нередко еще в средней школе. Курс «Числовые ряды» имеет богатые возможности для реализации принципа бинарности. На материале курса числовых рядов можно реализовать следующие компоненты креативной среды обучения математике в ВУЗе:

- мотивация с усилением эмоционального фона путем продуманного подбора серии лекций, формализации определений, которые приводят к новой для студентов математической модели - числовому ряду;

- пропедевтика путем выделения числовых рядов во многих разделах курса математического анализа;

- прямое и косвенное обучение студентов принципам дидактики;

- обучение студентов реализации преемственности знаний, то есть правильному пониманию внутри и межпредметных связей;

Концепция креативной направленности обучения выдвигает на первый план идею самореализации связи конкретного курса высшей математики с соответствующим школьным предметом - принцип ведущей идеи. Этот принцип учитывает и тот факт, что опыт, навыки и знания, обуславливая полноту восприятия обучаемого, предвосхищают получаемую информацию в каждом познавательном акте. Отсюда рождается отношение к знанию, как к личностно-значимой ценности, что значительно минимизирует неожиданные внешние влияния и максимизирует альтернативные возможности самопознания и самоутверждения, готовность к самостоятельному, творческому применению знаний в учебной и далее в профессиональной деятельности. Тем самым, реализация данного принципа благотворно влияет на уровень усвоения студентами полученных знаний и на их интеллектуальное развитие.

Для успешного осуществления креативной среды обучения в курсе числовых рядов нами подготовлены учебные пособия (их содержание представлено во второй третьей и четвертой главах диссертации).

Раскроем общую концепцию курса числовые ряды, логически вытекающую из всего сказанного выше. В концентрированном виде она представляет собой совокупность нескольких положений.

1. Курс «Числовые ряды» рассматривается не только и не столько как определенную порцию новой информации, сколько как носитель гуманитарного потенциала математики, способствующий стимулированию ценностного отношения к изучаемым знаниям и методам их применения, расширению жизненного опыта восприятия знаний в единстве с их приложениями.

2. Курс «Числовые ряды» мы рассматриваем не как отдельный самостоятельный курс, а как раздел математического анализа, во всех его многообразиях и связях, широко использующий такие фундаментальные понятия, как бесконечно малая и бесконечно большая величина, понятие предела функции, понятие неопределённости и т.п.

3. В курсе математического анализа выделяется своя специфическая содержательно-методическая линия числовых рядов, имеющая органическую связь с теорией чисел и математикой конечных сумм, основы которой изучаются ещё в средней школе.

4. В постановке самого курса числовых рядов следует органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни, что является системо-образующим фактором создания креативно ориентированной математической подготовки.

Первый уровень предполагает содержательную трактовку понятий, использование генетических определений и методов доказательств, локально логическую организацию материала, широкое привлечение правдоподобных рассуждений, повышенное внимание к прикладным аспектам.

Второй уровень предполагает изучение учебного предмета, как замкнутой в себе области знаний, со своим кругом абстрактных понятий, специфическим языком, арсеналом утонченных средств доказательных рассуждений.

§ 3 Программа раздела «Числовые ряды» для ВУЗов

Представлено содержание обобщённой программы курса «Числовые ряды» в ВУЗе. Его программа в течение ряда лет экспериментальной работы в Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота исследовалась, подвергалась изменениям и коррективам. Приводится вариант, предложенный автором, и утвержденной кафедрой высшей математики и научно-методическим советом Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота в феврале 2004 года.

Реализация креативной направленности обучения предполагает, в частности, использование в конкретном математическом курсе ВУЗа всех тактических возможностей, средств и методов с целью повышения эффективности подготовки студента - будущего специалиста.

Экспериментальная работа, проведенная нами в течение ряда лет в Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота, дала возможность внедрить довольно широкий спектр разнообразных форм креативной среды обучения в процессе изучения курса числовых рядов.

К числу таких форм относится, например, студенческая лекция или студенческое практическое занятие. Речь идет о том, что конкретную лекцию или ее фрагмент, или конкретное практическое занятие ведет не преподаватель, а студент, который отобран и подготовлен заранее. Цели такого мероприятия разнообразны и имеют многоплановые позитивные последствия, выражающиеся в следующем:

- непосредственное приобщение данного конкретного исполнителя к творческой деятельности;

- призыв к другим студентам последовать положительному примеру своего товарища;

- возможность для преподавателя обсудить прочитанную лекцию или проведенное практическое занятие совместно со студентами, как с математической, так и методической, педагогической и других точек зрения;

- возможность определенного оживления в размеренный процесс чтения лекций и проведения практических занятий по данному курсу одним и тем же преподавателем.

Опыт показал, что такая форма работы, вызывает существенный интерес у студентов, повышение уверенности в своих способностях, и, как следствие, повышение результатов успеваемости.

Большие педагогические возможности заложены в семинарских занятиях. Идея семинарского занятия как форма обучения математике студентов ВУЗов (по сравнению с традиционными лекциями и практическими занятиями) была

выдвинута на Всероссийском семинаре преподавателей математики педагогических ВУЗов.

На семинары выносится теоретический материал, который оставлен студентам для самостоятельного изучения. Семинар проводят несколько студентов-докладчиков, причем после каждого доклада проводится коллективное обсуждение услышанного по ряду параметров:

- научность и доступность;

- методические достоинства и недостатки;

- речь, поведение, владение доской и техническими средствами обучения;

- контакт с аудиторией.

С педагогической точки зрения ценно то, что студенты приобретают не только знания, но и практические умения, опыт критического анализа. Применяющиеся в этих случаях методы дидактической игры, как средство развития общей и профессиональной культуры обучаемого, как правило, бывают весьма эффективны.

Профессиональная деятельность каждого человека представляет собой совокупность отдельных видов деятельности. От степени совершенства в овладении ими зависит уровень профессиональной компетентности будущего специалиста.

Курс «Числовые ряды» имеет большие потенциальные возможности в плане обучения студентов основным видам профессиональной деятельности и формирования его профессиональных умений. В процессе изучения курса студент учится анализировать учебную литературу, сравнивать, объяснять, доказывать, выделять противоречия, отбирать материал и генерировать идеи, видеть несколько способов решения проблемы, планировать свою работу, организовывать различные виды деятельности, учится рисковать, прогнозировать, планировать свою работу.

Наши многочисленные опыты по проведению дидактических игр на плановых занятиях привели к убеждению, что дидактическая игра является одним из эффективных средств развития общей и профессиональной культуры студента. Она даёт возможность студенту выйти за пределы нормированной учебной деятельности, обогащая ее нестандартными решениями, находками и открытиями, хотя бы даже и теми, которые имеют значение только для самого студента.

Для успешного претворения в жизнь указанных форм работы со студентами при изучении ими курса «Числовые ряды» мы пользуемся авторскими учебными разработками. Монография «Проблемы и решения в теории рядов» полезна студентам не только потому, что с её помощью они знакомятся с ещё одной, пока ему незнакомой категорией высшей математики -числовой ряд. Она полезна, прежде всего, по тому, что в ней содержится новая логика изложения материала, на основе уже известного еще с курса школьной алгебры (арифметическая и геометрическая прогрессии) материала. В этом случае студент значительно легче подходит к понятию числового ряда и всему

из этого понятия вытекающему. Учебное пособие «Числовые ряды» позволяют увязать в единую систему понятие конечной суммы и ряда, обеспечивая органическую преемственность материала средней школы и ВУЗа.

Этими же пособиями пользуются студенты для подготовки самостоятельной студенческой лекции, практического пли семинарского занятия.

Анализ гуманитарных составляющих курса числовых рядов в ВУЗе, позволил выделить в числе ведущих четыре компонента, вносящих наибольший вклад в формирование общей и математической культуры студента:

1. научно-мировоззренческий;

2. методологический;

3. креативный;

4. преемственный.

Сформулированные в первой главе креативные требования к математическому курсу числовых рядов ВУЗа определяют требования к подготовке преподавателя, к программе обучения и учебно-методическим материалам.

Подробный набор и обоснование требований, установок, принципов, концепции демонстрируется конкретными образцами их реализации. Именно такое значение мы и придаем материалу, включенному во вторую, третью и четвертую главы, где в конспективном виде представлены учебные пособия для занятий по курсу числовые ряды, по структуре и идейному наполнению отличающиеся от традиционных пособий.

ГЛАВА 2.

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ И СИСТЕМНОСТЬ КАК ПРИНЦИПЫ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Глава посвящена анализу принципиальных требований преемственности и системности при решении вопросов теории числовых рядов. Удобнее всего этот анализ производить на базе арифметической и геометрической прогрессий, свойства которых изучены досконально. Можно сказать, что арифметическая и геометрическая прогрессии были провозвестниками рядов, как таковых. Свойства этих прогрессий (рядов) изучены так основательно, что они вполне могут использоваться, как эталонные математические категории для обеспечения финитности в рассуждениях при исследовании свойств рядов. Однако, в современном математическом анализе положительный опыт дефиниций применяющихся к арифметической и геометрической прогрессии не учтён ни в малейшей мере. Изучение раздела «Числовые ряды» начинается с определения понятия ряда, которое вообще не содержит никаких определяющих признаков, позволяющих идентифицировать ряд среди других незакономерных сумм, тех, которые не являются рядами. В данной главе для системного анализа корней возникновения понятия ряда, рассматриваются

свойства арифметической и геометрической прогрессии во всех их проявлениях.

§ 1. Арифметическая прогрессия в понятиях н определениях, действия над арифметическими прогрессиями

Проведен анализ свойств арифметической прогрессии, выделены важнейшие положения:

— в части арифметических прогрессий не имеется нерешённых вопросов и проблем, прежде всего, из-за наличия строгой формулы расчёта её суммы, не подлежащей никакому сомнению;

— бесконечная арифметическая прогрессия по существу является исключительно расходящимся рядом, не имеющим ни одной точки сходимости (даже при нулевых параметрах а = 0, г = 0, когда 5 = «э • О ). Эта её исключительность позволяет использовать её как эталонный ряд для анализа свойств расходящихся рядов.

Проанализированы действия с арифметическими прогрессиями, определено, что случаи сложения и вычитания арифметических прогрессий не создают никаких особых проблем и затруднений.

Умножение и деление арифметических прогрессий (взаимообратные операции) не содержат ничего оригинального или неожиданного. Результаты деления арифметических прогрессий, как непосредственно по схеме деления многочлена на многочлен, так и из вычислений с помощью аналитических выражений их сумм, дают совпадающие результаты.

Заметим, что деление одного расходящегося ряда на другой (а арифметические прогрессии только таковыми и являются) не принято считать обычным делом.

Если такие операции производятся, то в них, как правило, оперируют суммами в так называемых «особых смыслах» (суммами по Пуассону-Абелю, Чезаро, Эйлеру, Борелю, Гёльдеру и т.д.). На примере арифметической прогрессии видно, что такие операции вполне возможны и в обычном смысле, они могут приводить к нетривиальным и даже интересным результатам.

Дополнительно заметим, что свойства арифметической прогрессии однородны на всей числовой оси. Она бывает только расходящейся и никакой другой. В силу своей однородности она и отличается бесконфликтностью в выводах.

§ 2. Геометрическая прогрессия в понятиях и определениях, действия над геометрическими прогрессиями

Проведен анализ свойств бесконечной геометрической прогрессии, рассмотрен отдельно случай геометрической прогрессии, у которой значение а = 0, где а - первый член прогрессии. Конечная геометрическая прогрессия

при я = 0 представляет собой тривиальный случай и её сумма 5 = 0. Бесконечная геометрическая прогрессия при а = 0 на отрезке её сходимости при <1 так же имеет сумму 5 = 0. За пределами участка сходимости при а = 0 и ¿7 = 1 имеет место неопределенность. Которая говорит о том, что геометрическая прогрессия с параметрами а=0 и ^=1 не имеет никакой суммы. При условии я = о и <7>1, сумма бесконечной геометрической * прогрессии так же неопределённа. В случае, когда а-0, а д=-1, и при а = 0 и <7<-1 сумма геометрической прогрессии отсутствует.

Отдельно рассмотрен особый случай, когда параметры геометрической прогрессии а яд равны нулю. В этом случае (на первый взгляд тривиальном) сама прогрессия записывается в виде: 5 = 0 + 0 0 + 0 02 +0-03 +...+0-0" +... Если такая прогрессия конечна, то она тривиальна и её сумма равна 0. Так же было и с конечной арифметической прогрессией при а = о и г = 0. Если геометрическая прогрессия бесконечна, то формула её суммы даёт однозначно нулевой ответ. Может возникнуть соблазн произвести тождественные упрощения О ■ 0' = 0, 0-02 =0, о о' =о и т.д. Если поддаться этому соблазну, то получим бесконечную сумму нулей, сделав предельный переход, получим неопределенность вида да • 0. Но, это совсем иной ответ.

Сказанное означает, что при математических операциях с бесконечными рядами надо быть исключительно осмотрительным. Казалось бы, нет разницы между о1 и о5, О". Однако, в параграфе показано, в контексте бесконечных числовых рядов, эта разница существует..

§ 3. Сравнительный анализ свойств арифметической и геометрической прогрессий

Проведённый анализ свойств арифметической и геометрической прогрессий позволяет отметить, прежде всего, то, что арифметическая прогрессия является сугубо расходящейся, геометрическая же прогрессия имеет зону сходимости и зону расходимости. Арифметическая и геометрическая прогрессии, имеющие абсолютно чёткие определения этих понятий, относящиеся к числу фундаментальных математических категорий, являются наиболее характерными и удобными объектами математического анализа и могут служить эталонами при решении многих вопросов теории числовых рядов.

Наличие формул для расчёта сумм арифметических и геометрических прогрессий позволяет строгими методами выполнять обстоятельный анализ вопросов о свойствах бесконечных числовых рядов и результатах математических операций производимых с ними.

Проведённый в самом общем виде анализ операций сложения, вычитания, умножения и деления, арифметических и геометрических прогрессий показал, что реальный интерес при производстве таких операций

представляют не только ряды сходящиеся, но и ряды расходящиеся и даже неопределённые.

Показано, что когда речь идёт о бесконечных числовых рядах, таких как арифметическая и геометрическая прогрессии, то даже прогрессии, кажущиеся на первый взгляд пустыми (тривиальными) на самом деле могут таковыми не являться. Установленная нетривиальность задачи о нулевых рядах применительно к бесконечным арифметическим и геометрическим прогрессиям даёт основание к более глубокому анализу этого вопроса по отношению к числовым и функциональным рядам вообще.

Распространение арифметической и геометрической прогрессий на отрицательную половину оси изменения аргумента п даёт новый материал для анализа и учёта его при работе с рядами вообще.

§ 4. Конечные суммы и способы их определения

Для обеспечения преемственности между математикой средней школы и высшей школы и органичного перехода от конечных сумм к рядам вторая глава завершается рассмотрением конечных сумм, из которых автоматически, путем предельного перехода получаются ряды, которые отличаются от конечных сумм лишь тем, что сумма членов ряда бесконечна.

Изучение числовых рядов в соответствии с предлагаемой концепцией требует принципиально иной рабочей программы курса и некоторых изменений в структуре распределения учебных часов. Показано, что традиционное содержание программы курса нуждается в дополнении об основных понятиях из теории чисел, а так же об углублённых понятиях о бесконечно малой и бесконечно большой величинах. Здесь необходимо так же осветить понятия о раскрываемых и нераскрываемых неопределённостях и о значении этих категорий для теории числовых рядов. Это требование вытекает из принципа преемственности, а невыполнение его создаёт массу трудностей и поводов для ошибок, многочисленные примеры которых цитируются в работе.

С точки зрения последовательности изучения предлагаемого материала редлагаемая концепция также может служить иллюстрацией к осуществлению а практике требования отдавать приоритет при изучении какой-либо сложной гатематической теории не формально-логическому построению курса, а ледованию при этом изучении принципу - «от простого к сложному», ействительно, следуя установившимся канонам с позиций формальной огики, следовало бы перед изучением числовых рядов сформулировать пределение ряда, а потом уже изучать непосредственно числовые ряды. Так, стати, и происходит практически во всех классических учебниках и учебных особиях. Однако такой путь не позволяет студенту и преподавателю опереться а арсенал немалых знаний, полученных студентом ещё в средней школе. Ведь тудент, не понимает природы происхождения ряда, как бесконечной акономерной суммы слагаемых, тем более, что в классическом определении

понятия ряда отсутствует какой-либо определяющий признак, позволяющий идентифицировать ряд как таковой. В классическом определении ряда нет никакого намёка на то, что числовой ряд является закономерной бесконечной алгебраической суммой. Именно по этой причине классическое определение ряда, как такового часто становится причиной ошибок даже в научной литературе. В работе приведены многочисленные примеры подтверждающие это.

ГЛАВА 3.

ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ КРЕАТИВНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ КУРСА ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ ВУЗА

Данная глава посвящена рассмотрению методологических вопросов курса "Числовые ряды" в ВУЗах, отвечает общим требованиям, сформулированным в первой главе в отношении основных компонент, вносящих наибольший вклад в формирование математической культуры будущего специалиста.

§ 1. Концептуальные требования к учебно-методическому обеспечению математического курса числовых рядов

Обсуждая в главе I гуманитарные составляющие практически любого математического курса ВУЗа, мы выделили в числе ведущих 4 компонента, вносящих наибольший вклад в формирование общей и математической культуры студента: научно-мировоззренческий, методологическую направленность, креативную направленность курса, преемственность знаний. Обсуждая креативные составляющие математического курса ВУЗа, мы заострили внимание на тех компонентах, которые вносят наибольший вклад в формирование культуры будущего специалиста. В совокупности получился весьма обширный набор требований к математическому курсу и, естественно, к преподавателю ВУЗа, который I излагает этот курс студентам. Известно, что сколь бы ни был подробен и обоснован набор требований, установок, принципов, сколь бы логичной и детерминированной ни была выстроенная концепция, она остается мертворожденной схемой на уровне деклараций, пок не дан конкретный образец ее реализации. Именно такое значение мы и придаем материалу, включенному в эту главу.

В настоящей главе в конспективном виде представлены материалы, опубликованные автором в 2001 и 2006 годах в учебных пособиях для занятий по курсу числовые ряды, а так же в монографии 2004 года и внедренные в учебный процесс в Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота.

Принципиальной методической особенностью этих материалов являются:

1.Отработка понятия «числового ряда», «общего члена ряда», которые д сегодняшнего дня в своем определении не имели определяющих признаков.

2. Устранение противоречий, имеющих место в математическом анализе, в части универсальности коммутативного и ассоциативного законов математики.

На основе решения этих чисто математических задач и уточнения некоторых кардинальных положений теории рядов разработаны новые формы изложения материала теории рядов в ВУЗе.

§ 2. Анализ и уточненне основных понятий и определений в теории числовых рядов

Если говорить о методологической направленности этого раздела, то в первую очередь заметим, что предложенные определения понятий числового и функционального рядов позволяют устранить существующие пробелы и избегать впредь бытующей сегодня в математической науке недосказанности. Новое определение понятия ряда, фиксирует реальные определяющие признаки, позволяющие однозначно идентифицировать ряд, как таковой. Предлагаемое к использованию определение ряда и выражение общего члена ряда записывается следующим образом.

Определение. Числовым рядом называется алгебраическая сумма чисел

да п=1

являющихся явной однозначной функцией своего номера по порядку.

Общим членом ряда называется аналитическое выражение функции, позволяющей вычислять величину каждого члена ряда по его порядковому номеру.

Данное определение понятия ряда, а так же общего члена ряда, заставляет учащихся, более строго соблюдать математическую дисциплину. Оно учитывает фактически существующие ограничения, исключает возможность математических ошибок и заблуждений. Полезным будет убедить студентов на примере различных определений числового ряда, общего члена яда, что всякие необоснованные математические вольности без правил и ётких определений неизбежно ведут к грубым математическим ошибкам. В анном параграфе так же проведена классификация числовых рядов.

§ 3. Дистрибутивный и ассоциативный законы, учебно-методические проблемы интерпретации ассоциативного закона

В данном параграфе рассмотрены дистрибутивный и ассоциативный аконы в числовых рядах. Выявлены методические проблемы в изложении еории рядов в современной учебной литературе, дезавуирующие ссоциативный закон, определены причины заблуждений современной атематической науки в трактовке ассоциативного закона. Проведен анализ овременной теории числовых рядов, что, несомненно, является реализацией

принципа гуманитаризации курса числовых рядов. Этот анализ позволил обнаружить, что существует и часто применяется неточная трактовка суммы пустого бесконечного ряда. Показано, что эта сумма может быть нулевой, а может быть и неопределённой. Сформулированы условия, при которых имеет место тот или другой случай. Показана неточность теоремы H.H. Воробьёва о нулевой сумме пустого ряда, которая весьма часто вводит в заблуждение при решении серьёзных вопросов теории числовых рядов. Разъяснение этого заблуждения и, соответственно, устранение этого ошибочного положения позволило произвести пересмотр весьма существенных положений из теории бесконечных числовых рядов, что немаловажно для будущих специалистов, для формирования их научного мировоззрения.

Анализ свойств числовых рядов позволил установить, что в современной теории числовых рядов ассоциативный закон не считается универсальным. На этот счет существует заблуждение о том, что не всегда можно группировать члены бесконечного числового ряда, равно как и убирать скобки. Разъяснение этого заблуждения студентам, показывает, что устраняются ложные ограничения, насаждаемые учебной, научной и справочной литературой при работе с бесконечными числовыми рядами.

Отмечено следующее:

1. Ассоциативный закон, всеобъемлющ и не имеет никаких исключений из правил. Он применим к рядам сходящимся, расходящимся и неопределённым.

2. Первопричиной не точной трактовки применимости ассоциативного закона являлись частные примеры, основанные на заблуждениях, которые возникали из-за отсутствия надлежащего определения понятия ряда, общего члена ряда, а так же переносе свойств конечных величин и конечных сумм на бесконечно малые величины и бесконечные суммы.

3. Результаты установленного факта всеобщности ассоциативного закон трудно переоценить. Это, даёт право группировать слагаемые в любых рядах любым способом, не опасаясь за эквивалентность группированного и н группированного рядов. Показаны примеры широкого использования этого вывода при решении самых различных практических задач, рекомендуемых студентам в учебном процессе.

4. Уточненные корректные определения понятий ряда, общего член ряда, приведённые нами исключают возможность появления подобны неточностей.

5. Доказательство того, что бесконечный ряд, составленный из нулей имеет неопределённую сумму вида «о, позволила ликвидироват существующие на этот счёт заблуждения в теории числовых рядов и создат предпосылки для исключения подобных заблуждений впредь.

§ 4. Учебно-методнческне проблемы.связанныс с коммутативным законом

в теории рядов

Современная математика утверждает, что коммутативный закон применим только по отношению к абсолютно сходящимся рядам.

От перемены мест слагаемых сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется.

В данном параграфе приведено доказательство, которое разрешает ользоваться переместительным законом при работе только с абсолютно ходящимися рядами. Все другие, названные выше ряды, - условно сходящиеся, асходящиеся, колеблющиеся, расходящиеся колеблющиеся современная атематика относит к рядам, на которые действие коммутативного переместительного) закона не распространяется. Основанием для такого аключения является теорема Римана, доказанная им в отношении условно •ходящихся рядов.

Первые сомнения в применимости переместительного закона к условно ходящимся рядам были высказаны Гольдбахом, о которых он писал Эйлеру в 1742 г. и в 1752 г.

В параграфе доказана неточность интерпретации теоремы Римана о гереместительном законе применительно к условно сходящимся рядам, которая ке полтора века даёт неправильную ориентацию в вопросе о свойствах ■словно сходящихся рядов. В связи с этим научная литература, справочники и •чебники заполнены бесконечными предостережениями и предупреждениями, ie имеющими под собой корректных оснований.

С точки зрения методики преподавания необходимо учитывать, что оказательство некорректности интерпретации этой теоремы позволило онстатировать отсутствие исключительности свойств этих рядов и правил аботы с ними. Потенциальная неопределённость условно сходящихся рядов в иде разности двух собственно расходящихся рядов является главной причиной атруднений возникающих при работе с этими рядами. Для иллюстрации того, ак исключить эти затруднения, нами рекомендуется студентам методика реобразования, условно сходящихся рядов в абсолютно сходящиеся ряды-квиваленты.

Одним из главных выводов, является вывод о том, что со всеми есконечными числовыми рядами можно производить все те же самые перации, что и с обычными конечными суммами. К ним применимы истрибутивный, ассоциативный, коммутативный законы, их можно кладывать, вычитать, делить и умножать. Иначе говоря, среди числовых рядов е существует никаких исключений из правил, которые применяются к онечным суммам.

§ 5. Интерпретация сходимости и расходимости рядов, как важнейшей характеристики свойств ряда

В параграфе рассмотрены сильные и слабые стороны признако сходимости рядов. Очевидно, что это одно из ведущих тем всего раздел числовые ряды преподаваемого в курсе математического анализа в высше учебном заведении. Рассмотрен признак Лейбница для знакочередующихс рядов, приведены примеры типичных неточностей при толковании теорем Лейбница. Показано, что абсолютно корректная запись условий сходимост знакопеременных рядов Лейбница относится только к монотонно убывающи рядам и имеет вид:

lim ип = О

Л-+00

хотя в учебной литературе применительно к условию Лейбница весьма част фигурирует требование немонотонного убывания ряда.

§ 6. Методы определения точной суммы сходящегося ряда

В данном параграфе для создания креативно ориентированной сред обучения на практических занятиях высшей математики в ВУЗе, показан различные способы определения сумм сходящихся числовых рядо Проанализированы нестандартные, творческие методики отыскания сум сходящихся рядов при помощи линейных преобразований других рядов известными суммами. Приведен вывод обобщённой формулы разложения в ря числа обратного натуральному числу и обобщённое разложение в ряд числ обратного натуральному числу методом экстраполирования.

§ 7. Арифметические ряды в понятиях и определениях, идентификация

арифметических рядов

В параграфе приведены определение арифметического ряда и ег свойства. Описана методика отыскания выражения общего член арифметического ряда, которая даёт инструмент для решения широкого класс задач с участием арифметических рядов. Дана методика, для определен общего члена арифметического ряда способом последовательного понижени порядка полинома. Способ последовательного понижения порядка полином позволяет достаточно быстро и без громоздких вычислений определят выражение общего члена ряда, а применительно к последовательност частичных сумм ряда и выражение его суммы. Рассмотрен арифметически ряд, как функция натурального числа л. Определено, что все операции арифметическими рядами, в которых аргумент п представляет собо натуральное число л = 1,2,3,4..., ничем не отличаются от таковых д

арифметических рядов в области изменения аргумента п от нуля и далее п = 0,1,2,3,4,....

§ 8. Функциональные ряды в понятиях и определениях

Так же, как для числовых рядов, применительно к функциональным ядам дано уточнённое определение функционального ряда, общего члена функционального ряда:

Определение. Функциональным рядом называется алгебраическая сумма

00

= "1 (*'") + "г (х>") + "з (-<■") + - + "„ (*> ") + ■••,

Л=1

•лагаемые ип(х,п) в которой являются явными однозначными функциями фгумента х и своего порядкового номера л.

Общим членом функционального ряда называется аналитическое выражение функции ип(х,п), позволяющей вычислять выражение каждого шена ряда по заданным величинам аргумента х и порядковому номеру п.

Отдельно рассмотрен степенной ряд, как одна из разновидностей |>ункционального ряда. Рассмотрены действия со степенными рядами, щфференцирование и интегрирование этих рядов, показано, что степенной ряд шеет производные любого порядка.

Из предлагаемого курса видно, что в нем большое внимание уделено -реативной направленности. Это характерно для данного предмета. Ведь ешаемые здесь вопросы требуют от студентов проявления самостоятельности мышления, творческой активности. Остальные методические рекомендации по ¡спользованию предлагаемого пособия не выходят за рамки общих екомендаций по методике изучения обычного математического курса.

Практическая проверка эффективности изучения числовых рядов роводилась в Балтийской государственной академии рыбопромыслового злота. Результаты оказались положительными. Можно констатировать своение большинством студентов основных понятий этого курса и выработку остаточно прочных навыков по их практическому применению.

ГЛАВА 4.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРЕАТИВНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ

В ВУЗЕ

§ 1. Педагогические условия формирования креативно

ориентированной математической подготовки студентов в ВУЗе

Важнейшей составляющей креативно ориентированной математическо подготовки в ВУЗах является практическая подготовка студента обеспечивающая не только знания, но и умения решать прикладные задачи готовность к творческому труду, в будущей профессиональной деятельности.

Система математической подготовки в ВУЗе, как и на предварительны стадиях обучения, предусматривает ее движение к конкретным задачам, практике. Без отражения в теории объективной реальности А. Эйнштейн н видел смысла науки — «без веры в то, что возможно охватить реальност нашими теоретическими построениями, без веры во внутреннюю гармони нашего мира не могло быть никакой науки». Наука для науки столь ж нецелесообразна, как и искусство для искусства.

Математика позволяет исключительно глубоко проникнуть в сут явлений по причине абсолютной абстрактности категорий, которыми он оперирует, но именно по этой же причине ее результаты потенциальн наиболее подвержены вхождению в противоречие с реалиями жизни действительности.

Объективный характер этого противоречия заставляет не прост учитывать его существование, а разрабатывать способы эффективног научного познания и методов обучения, позволяющих достигать максимально! эффективности учебного процесса. Система обучения математике в ВУЗе, как любая другая система, имеет в своем составе средства и методы ее реализации.

Научное знание к средствам математики относит:

- аксиомы и постулаты, как правило, возникающие из созерцай объективной реальности;

- определения и дефиниции, обозначающие и идентифицирующи предмет или категорию;

- принципы исследования и обучения, из которых к числу важнейши может быть отнесён принцип «от простого к сложному»;

- интерпретация математического знания в аспекте жизненных реалий.

К методам изучения математики относят:

- восхождение «от конкретного - к абстрактному» и наоборот;

- аксиоматическое построение научных и технических моделей;

- использование эвристических подходов к исследованию процессов решению задач.

Набор средств и методов их использования образуют систему. Че совершение средства и методы, и чем рациональнее структура, включающа эти средства и методы, тем эффективнее система.

Любая система должна быть внутренне непротиворечивой результативной и эффективной. Развитие креативно ориентированно математической подготовки студентов в ВУЗе, потребовало дополнить систе: традиционно используемых организационных форм - коллективных индивидуальных. Поэтому мы ввели такие организационные формы, ка формы групповой дискуссии, разбор практических ситуаций, творчески

анализ ситуаций выбора оптимального решения задачи с точки зрения оценочного выбора. Так разбор практических ситуаций, формы групповой дискуссии использовались с целью проявления каждым студентом своей творческой точки зрения, актуализации способности к доказательству и обоснованности собственных суждений, умения признавать вариативность мнений. Педагогический процесс протекает в этом случае в форме «сотворческого поиска» (И.В. Горлинский). Сотворчество выражалось в том, что каждый студент имеет право высказать свое суждение по любому вопросу, может ошибаться, находить свои пути решения задачи. Это приводило к открытости, заинтересованности, желанию понять друг друга, служило стимулом для дальнейшего развития мышления, продуцирования новых идей. В концепции ЮНЕСКО сфера межличностного общения преподавателя и студента включена в понятия системы образования. С точки зрения многих психологов и педагогов С.И. Архангельского, К.А. Абульханова, Ю.К. Бабанского, Т.Н. Березиной, П.С. Гуревича, A.B. Коржуев, П.И Самойленко, Н.Ф. Талызиной, Г.А. Урунтаевой, Л.И. Айдаровой, Е.А. Солодова, В.Б. Хозиева, развитие учебного процесса невозможно вне творчества обучаемого, которое создается путем общения и деятельности. Анализируя методики обучения числовым рядам в ВУЗах, и, определяя новые решения в этой области математики, будем, прежде всего, исходить из анализа перечисленных средств и методов, имеющих место в современной практике обучения.

§ 2. Принципы действий над рядами

С 2003 по 2007 год автором проводилась подготовка и проведение 1едагогического эксперимента по внедрению в учебный процесс творчески азвивающих приемов умственной деятельности студентов Балтийской осударственной академии рыбопромыслового флота. В качестве базового атериала для эксперимента использовались конкретные творческие, технические задачи. Эксперимент проводился в учебном процессе на базе трех 'чебных групп первого курса судоводительского факультета Балтийской осударственной академии РФ, в рамках обычного расписания, с спользованием контролирующих и тренировочных заданий подготовленных втором по разделу «Числовые ряды» для ВУЗа. В рамках эксперимента далось существенно повысить эффективность самостоятельной работы тудентов по изучению учебного материала с сохранением высокого качества бучения, усовершенствовать проведение текущего, рубежного и итогового онтроля знаний. Достижению этого эффекта способствовала, прежде всего, редложенная новая редакция определения понятия ряда, постановка акцента ia том, что ряд как таковой имеет органическую связь и происхождение из онечной суммы и обладает принципиальными особенностями, вытекающими з бесконечной суммы его членов, о чем говорилось в третьей главе настоящего сследования. На этой основе в дальнейшем содержании четвертой главы,

изложено систематическое описание обновленных принципов обучения числовым рядам на практических занятиях в ВУЗе, а также решение учебных и научно-методических задач.

Признавая важность выработки практических умений и навыков в обучении высшей математике, преподавателя необходимо вооружить адекватными методами и приемами работы с числовыми рядам, способствующими реализации выше указанных принципов.

В параграфе рассмотрены принципы сложение и вычитание рядов в обобщённой форме, сложение и вычитание абсолютно сходящихся рядов, сложение и вычитание сходящихся и расходящихся рядов, сложение и вычитание условно сходящихся рядов. Общие принципы умножения рядов, умножение сходящихся рядов, умножение расходящихся рядов, умножение условно сходящихся рядов. Общие принципы деления рядов, деление сходящихся рядов, деление с участием сходящихся и расходящихся рядов, деление сходящегося ряда на собственно расходящийся ряд, деление собственно расходящегося ряда на собственно расходящийся ряд, деление с участием неопределённых и собственно расходящихся рядов.

В параграфе приведены примеры, которые показывают, что непосредственное деление сходящихся рядов на ряды собственно расходящиеся, когда заведомо известна нулевая сумма результирующего ряда может быть использовано для определения сумм самых различных числовы рядов. Непосредственное деление расходящихся рядов на расходящиеся рядь по схеме деления многочлена на многочлен далеко не во всех случая обеспечивает получение результата, который пригоден для практическог использования. Ответ всегда пригодный для практического использован] обеспечивает расчёт предела отношения частичных сумм рядов участвующих делении, что в свою очередь означает исключительную важность умени записать аналитически выражения частичных сумм этих рядов. Все основны выводы получены, прежде всего, на базе формул сумм арифметической геометрической прогрессий. Однако, показано, что такая методика получен: результатов может быть использована и при анализе других типов рядов.

§ 3. Методика суммирование расходящихся рядов так называемыми обобщёнными методами

В данном параграфе проведен исторический анализ вопроса суммировании расходящихся рядов. Определены требования, положенные основу суммирования расходящихся рядов. Представлены и раскрыть обобщённые методы суммирования расходящихся рядов:

1) Суммирование расходящихся рядов методом Пуассона - Абеля

2) Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметически Чезаро

3) Суммирование расходящихся рядов по методу Бореля.

Даны комментарии к современному пониманию вопроса о суммировании расходящихся рядов. Определено, что все «особые смыслы» уводят математику с пути здравого смысла, отвечающего жизненным реалиям. Это тем более так, что расходящиеся ряды без особых усилий тождественно заменяются сходящимися рядам в рамках обычного смысла, что показано в данной главе. Показано, что в безграничном море научного знания и упоминавшиеся «особые смыслы» в отдельных частных задачах могут иметь прагматический интерес, но ставить их выше обычного смысла совершенно не допустимо.

§ 4. Методика суммирования расходящихся рядов в обычном смысле слова

Совершенно очевидно, что суммирование расходящихся рядов в обобщённых смыслах появилось, прежде всего, из-за отсутствия способов пределения суммы этих рядов в самом обычном смысле слова. Можно даже тредположить, что этих обобщённых методик не появилось бы вообще, если бы разу была решена задача тождественного преобразования расходящегося ряда с ряду, сходящемуся в обычном смысле слова. Неограниченное число уммирующих функций и «особых смыслов» в отношении к одному и тому же бьекту исследования, а именно, расходящемуся ряду не столько обогащает «тематику, сколько уводит её от обыкновенного здравого смысла, практики и еального мира.

Утверждение Эйлера о том, что каждому ряду, в том числе асходящемуся, должно быть придано какое-то значение, не лишено снований. Ведь если ряд получен разложением функции, которая имеет онкретное значение, значит, и ряд должен иметь это же значение. Если ряд не аёт такой же суммы (в зоне расходимости), то это должно означать лишь то, то форма, в которой он представлен, в пределах этой зоны не соответствует ебованиям, обеспечивающим решение задачи. В этом случае нельзя редложить ничего другого кроме попытки произвести эквивалентное реобразование самого ряда или производящей его функции таким образом, тобы вновь полученный ряд — эквивалент сходился в зоне расходимости сходного ряда. На первый взгляд эта задача может показаться нереальной, но в ействительности она оказывается разрешимой гораздо чаще, чем это можно одумать и исключительно простыми средствами.

При вычислении суммы ряда всегда предполагается получить её гачение равным значению функции, из которой ряд получен. На примере ометрической прогрессии, свойства которой исследованы во второй главе, тально рассмотрен и обоснован способ преобразования функции гиперболы виду позволяющему получить недостающие ветви разложения в ряд, одящийся за пределами обычного интервала (-1,+1) от -оо до +«>.

Показано, что те многочисленные обобщённые методы (в принципе их личество неограниченно) суммирования расходящихся рядов, которые

традиционно изучаются в курсе математического анализа в ВУЗе, возникли, прежде всего, от бессилия просуммировать расходящийся ряд (в зоне его расходимости) в обычном смысле этого слова.

В работе предложена методика тождественного преобразования исходной функции, из которой получен ряд, к виду, позволяющему получить новый ряд, сходящийся в зоне расходимости исходного ряда:

Предложен способ исключительно наглядной демонстрации студента получения недостающих ветвей разложения в ряд бинома Ньютона. На пример разложения в ряд гиперболы по правилу деления многочлена на многочлен дв различные, но тождественные формы записи исходной функции позволяют получить недостающие ветви разложения в ряд. Дополнительно полученны ряд сходится в пределах от до -1 и от +1 до + ю.

5(.г) = —= а + ах + ахг + ... ++ ... (при -1 ч х -< 1) 1 — х

о, ^ а а а а а , ,

ЗД =-г =----7--Г----

-х + 1 х х- .Г* х"

Такая методика перехода показана практически для разложений в ря самых различных функций, таких как алгебраических, логарифмически обратных тригонометрических, обратных гиперболических, биномиальных.

Показано, что биномиальное разложение в ряд, распространённое на вс числовую ось изменения аргумента х, является наиболее фундаментальной продуктивной математической категорией. Знание этого обстоятельства весьм важно для будущего специалиста, поскольку интегрирование частны биномиальных рядов ведёт к самым различным классам функций и и разложений.

§ 5. Анализ природы возникновения сходящихся и расходящихся рядов

Наиболее широко принятый порядок изучения различных явлений ид" «от простого - к сложному». Это наиболее естественный способ поиска истинь Ряды образуются при выполнении любых математических действий, таких к сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень извлечение корня. Математические операции высокого ранга могут бы выражены через операции низкого ранга — возведение в степень чер умножение, умножение через сложение. То же можно сказать и об обратнь действиях — извлечении корня, делении и вычитании.

Если с пониманием роли сходящихся рядов и способов их использован в науке всё обстоит достаточно благополучно, то это не столь очевидно в час рядов расходящихся.

Технические средства производства, транспорта, сельского хозяйств науки, медицины, культуры и других отраслей человеческой деятельное

растеризуются процессами в них происходящими. Обычно эти процессы лжны характеризоваться устойчивостью, плавностью, а неустойчивость >ычно интересна лишь с точки зрения избегания её. Эта психология вольно га невольно проникает и в математику и зачастую выражается в ответствующем отношении к расходящимся рядам. Процесс этот вполне зъективный и объяснимый, и, как уже отмечалось, расходящиеся ряды это же средство описания объективной реальности, а если это так, то это едство необходимо разумным способом использовать для достижения ложительных целей.

Следуя этому, в параграфе проанализирована природа возникновения одящихся и расходящихся рядов, а так же потенциальные возможности •пользования расходящихся рядов для решения различных математических дач.

Весьма важным с точки зрения методики преподавания математики ляется вывод, подтверждённый конкретными примерами, о том, что сходящийся ряд, имеющий сходящийся ряд-эквивалент всегда сохраняет в бе информацию об этом ряде-эквиваленте. Показано, что он сохраняет её, же участвуя в математических операциях высокого ранга, таких как деление, зволяя извлекать эту информацию из результатов математических действий с дами.

§ 6. Обоснование эффективности педагогических условий

процесса развития креативно ориентированной математической подготовки студентов

Для проверки эффективности разработанных педагогических условий оцесса развития креативно ориентированной математической подготовки

были выдвинуты следующие задачи эксперимента:

- разработать диагностические средства, позволяющие следить за шамикой развития креативности у студентов на занятиях высшей тематики;

- на основании разработанных диагностических средств выявить ходный уровень креативности студентов на занятиях высшей математики;

доказать эффективность разработанных педагогических условий оцесса развития креативно ориентированной математической подготовки.

Были выделены три критерия оценки уровня развития креативности удентов при изучении высшей математики, это осознанность, система-чность, результативность. Для того чтобы эти критерии давали возможность енить процесс развития креативности, они должны содержать существенные тойчивые признаки, которые можно измерить.

К признакам осознанности мы отнесли:

- студенты осознают математические методы как средство решен общетехнических задач, выделяют математику как нужный предмет д изучения общетехнических дисциплин и как ориентировочно необходимь для общего инженерного образования;

- испытывают познавательный интерес к предмету,

- осознают творческую значимость математических знаний и метод (как средство интеллектуального развития, средство самосовершенствования)

Для измерения признаков осознанности мы проводили: 1) анализ резул татов ответов студентов на вопросы анкеты; 2) монографическое изучение к ждого студента экспериментальной группы; 3) индивидуальные беседы со ст дентами.

К признакам систематичности мы отнесли следующие:

- студенты постоянно ведут конспект лекций;

- к каждому практическому занятию изучают необходимь теоретический материал по конспекту лекций, по учебнику;

- систематизируют теоретические знания, составляя структурн логические схемы изучаемой темы, раздела проявляя творчество;

- полностью, выполняют задания самостоятельной работы, некоторые задания нестандартно, творчески;

- не допускают пропусков занятий.

Способы «замера» признаков систематичности содержали: 1) провер выполнения требований к основному конспекту лекций; 2) провер выполнения самостоятельного конспектирования разделов и тем курса предложенной литературе; 3) проверка умений студента найти самостоятелы необходимую литературу; 4) проверка выполнения практических заданий; проверка выполнения самостоятельных заданий; 5) анализ активное студентов на занятиях; 5) анализ посещаемости студентами лекционны практических и дополнительных занятий.

К признакам результативности мы отнесли:

- творчески используют математическую и логическую символику п ведении конспекта лекций, для записи условия задачи;

- справляются с выбранной группой задач при выполнен самостоятельных заданий;

- представляют креативные схемы, таблицы, графы полученных знани "

- составляют тематические тезаурусы по изученной теме, разделу;

- составляют матрицу применения изученной теории.

Способы «замера» признаков результативности содержали: наблюдение за выбором типов предложенных задач при выполнен самостоятельной работы; 2) анализ решения студентами специаль подобранных творческих задач, требующих математической формулировки; анализ ошибок при выполнении проверочных работ и ответов на зачет экзамене.

Для установления динамики развития креативной математической дготовки студентов введены три частных показателя: Q,S,R, где:

<2=— показатель проявленных признаков критерия осознанности Я

ждого студента; 5 = — показатель проявленных признаков критерия 1стематичн0сти каждого студента; д = — показатель проявленных признаков

г

итерия результативности каждого студента (здесь - число

эоявленных признаков каждого критерия у отдельного студента, а д,$,г -нцее число признаков каждого критерия). Анализируя результаты еативно ориентированной математической подготовки студентов, мы 1блюдали, что развитие этого происходит поэтапно.

На первом этапе работа студентов по систематизации знаний носит шзодический характер, часто не доводится до конца. При представлении шбной информации в виде таблиц, графов, при составлении структурно->гических схем алгоритмов решения определенного класса задач рвокурсники испытывают существенные трудности. На этом этапе влияние дагогического руководства на активизацию процесса развития креативно иентированной математической подготовки имеет решающее значение.

На втором этапе углубляются знания первокурсников о значении матема-ческой подготовки в инженерном образовании, о роли математических зна-га и методов в решении физических, общетехнических, экономических задач, бота по систематизации полученных знаний пока не отличается систематич-)стыо, влияние педагогического руководства на активизацию процесса разви-я креативно ориентированной математической подготовки имеет еще щественное значение

На третьем этапе процесс творческого, самостоятельного развития имеет тойчивый характер. Педагогическая помощь по составлению структурно-гических схем, по систематизации знаний на этом этапе ограничивается нсультациями и советами.

Выявленная последовательность этапов развития креативно иентированной математической подготовки студентов выступает как фажение определенной тенденции сознательного систематического )рмирования собственной системы знаний, основной чертой которой ляется получение принципиально новой информации на основе уже 1еющейся путем построения ассоциативных связей и схем. Используя эти емы, студент имеет возможность выбрать наиболее рациональный способ шение задачи, быстро перестроить ход решения с изменением условия, .еНить результаты своих действий в ходе решения.

Полученные данные свидетельствуют о значительных положительных из-нениях в уровне креативной математической подготовки в ходе спериментальной работы у студентов экспериментальной группы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Произведённый в работе анализ позволяет констатировать, ч математический курс «Числовые ряды» играет большую роль в фу даментальной математической подготовке специалиста в плане формирования него научного мировоззрения, определенного уровня математической методической культуры, творческой направленности в обучении математи умения осуществлять в обучении преемственность.

Установлено, что системность, преемственность и креативн направленность в преподавании курса числовых рядов в ВУЗах обеспечива высокую эффективность и результативность учебного процесса.

Показано, что именно в курсе числовых рядов скрыты наиболын возможности для полноценной реализации креативно ориентированн математической подготовки, поскольку студент подходит к изучению это курса после изучения курса математического анализа как в школе, так уже и ВУЗе. Одновременно установлено, что именно курс числовых рядов содерж сегодня наибольшие предпосылки к формированию неточных представлени как чисто математического свойства, так и общенаучного. Это обстоятельст налагает на преподавателя курса числовых рядов особые обязанности реализации в процессе обучения принципа бинарности - наиболее адекватно соединения математической и общеметодической линий.

В процессе исследования выделены шесть целевых установок, котор следует реализовать при постановке креативно ориентированного разде «Числовые ряды» в ВУЗе. К их числу относятся:

- воспитание научного мировоззрения;

- формирование достаточного для будущей профессиональн деятельности уровня математических знаний, умений и навыков, в частност прикладных умений:

- формирование высокого уровня математического мышления:

- обеспечение достаточного опыта математических исследовани включающей в себя разработку аппарата для исследования математичес принципов, умение преобразовать научный материал в учебный, т.е. умен осмыслить фрагмент научной теории и дидактически препарировать его фрагмент учебной дисциплины;

- формирование достаточного уровня математической культуры, к чис компонент которой можно отнести умение выбрать правильное соотношен между формой и содержанием, между строгостью и наглядностью, умен выбрать уровень строгости и полноты изложения адекватно целям и задач обучения;

- воспитание интереса к математике, развитие математическ способностей.

На материале курса «Числовые ряды» показано, как можно наполнить нкретным творческим содержанием следующие компоненты методической дели курса, включающей в себя следующие составные элементы:

- мотивация учения;

- принципы дидактики в прямом и косвенном обучении студентов;

- межпредметные связи, как внутри самой математики, так и связи с угими предметами, такими как философия, физика и т.п.;

- методика воспитания критического подхода к анализу и оценке учебных териалов и пособий.

В процессе исследования разработаны и обоснованы концептуальные ложения в части организации креативно ориентированной математической дготовки студентов на примере изучения числовых рядов в ВУЗах:

- Математический курс «Числовые ряды» мы рассматриваем не только и столько, как определенную порцию новой информации, сколько, как

сителя гуманитарного потенциала математики, способствующего общему звитию будущего специалиста.

- Раздел курса «Числовые ряды», в отличие от общепринятой системы еподавания числовых рядов в ВУЗе, рассматривается нами не как особленный, самостоятельный раздел математического анализа, а как гическое продолжение курса школьной алгебры, и математического анализа всех его многообразиях и взаимосвязях.

- В курсе математического анализа следует выделять креативно правленную содержательную линию числовых рядов.

- В разделе «Числовые ряды» следует широко использовать знообразный спектр креативно ориентированных форм учебной работы,

- В постановке самого курса числовых рядов следует органически етать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни.

Первый уровень предполагает содержательную трактовку понятий, ользование генетических определений и методов доказательств, локально-вескую организацию материала, широкое привлечение правдоподобных •суждений, повышенное внимание к прикладным аспектам. Важнейшей кретной реализацией этого уровня в работе является формулировка :чнешюго определения ряда, содержащего конкретный определяющий ганак, позволяющий идентифицировать ряд, как таковой, среди прочих сумм, ;ами не являющихся.

Второй уровень предполагает изучение учебного предмета как замкнутой ебе области знаний со своим кругом абстрактных понятий, специфическим ком, арсеналом утонченных средств доказательных рассуждений, нейшими конкретными реализациями этого уровня в работе являются ение вопроса о сумме пустой арифметической прогрессии, решение роса о сумме расходящегося ряда в обычном смысле этого слова, решение роса о сходимости биномиального ряда на всей числовой оси от - да до + °о.

В исследовании представлена разработанная автором программа разде «Числовые ряды», реализующая концептуальные положения, являющие итогом настоящей работы.

Для диагностики динамики креативной ориентированной математическ подготовки студентов и обоснования эффективности разработанн педагогических методик были разработаны диагностические средст включающие: критерии оценки уровня развития креативно ориентированн математической подготовки студентов, признаки критериев, способы «замера», творческие задания, позволяющие выяснить исходный урове креативно ориентированной математической подготовки студентов, компле творческих диагностических заданий, позволяющий следить за динамикой поэтапного развития.

Методологическую основу разработки критериев оценки уровня развит креативно ориентированной математической подготовки студентов состави работы С.Л. Рубинштейна о соответствии действия с целеполаганием. основании этого положения мы выделили три критерия оценки уров развития креативно ориентированной математической подготовки студент осознанность, систематичность, результативность.

Для установления динамики развития креативно ориентированн математической подготовки студентов нами были введены три часта показателя: показатель проявленных признаков критерия осознанности каждо студента; показатель проявленных признаков критерия систематичное каждого студента; показатель проявленных признаков критер результативности каждого студента. Общий показатель развития креатив ориентированной математической подготовки студентов определялся произведение этих показателей, что было обусловлено рядом причин, первых, сущность каждого признака различна. Во-вторых, не ясен долев вклад каждого признака. При равенстве одного (или нескольких) часта показателей мы считали, что креативно ориентированная математичес подготовка студентов не сформирована.

В ходе эксперимента получена шкала, дающая связь между интервала значений общего показателя развития креативно ориентированн математической подготовки студентов, и обычной оценкой, применяемой ВУЗе.

Диагностика динамики развития креативно ориентированн математической подготовки студентов была включена в структуру учебн деятельности. Поэтому система диагностических заданий состояла из систе творческих задач для самостоятельного решения и системы проверочных раб

Как показало экспериментальное обучение, развитие креатив ориентированной математической подготовки студентов проходит поэтапно

На первом этапе работа студентов носит эпизодический характер, ча не доводиться до конца. При представлении учебной информации в ви таблиц, графов и т.д., студенты испытывают существенные трудности. На эт

апе влияние преподавателя направлено на активизацию процесса развития реативно ориентированной математической подготовки.

На втором этапе углубляются знания о значении математической одготовки в образовании, о роли математических знаний и методов в решении ■хнических задач, экономических задач. Работа по систематизации олученных знаний пока не отличается систематичностью, влияние педагога на стивизацию креативно ориентированной математической подготовки дентов имеет еще существенное значение.

На третьем этапе процесса самостоятельного развития креативно иентированной математической подготовки имеет устойчивый характер, едагогическая помощь при решении творческих заданий ограничивается шсультациями и советами.

Статистическими методами с помощью непараметрических критериев ридмана и Пейджа подтверждена гипотеза о том, что тенденция увеличения гдивидуальных показателей креативно ориентированной математической дготовки студентов экспериментальной группы от начала первого этапа ко орому, а затем к третьему не является случайной.

Система разработанных диагностических средств позволяет фиксировать стояние развития креативно ориентированной математической подготовки -удентов.

В результате исследования показаны пути и способы реализации 'манитарной и креативно ориентированной математической подготовки ■удентов на примере раздела «Числовые ряды», опубликованные автором в ответствующих учебных пособиях и монографии с приведением не только еретического обоснования, но и многочисленных оригинальных зактических примеров и задач.

Все кардинальные выводы, полученные в работе, находятся в ютветствии с фундаментальными законами науки, вносят ясность во многие 'ществующие сегодня вопросы педагогического и математического знания и >еспечивают возможность существенного продвижения в деле повышения чества обучения студентов ВУЗов

Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные задачи, ¡строена система креативно ориентированной математической подготовки дентов при обучении числовым рядам в ВУЗе.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Алексеева Е.Е. Ряды в задачах и примерах (учебное пособие), шининград: БГА РФ, 2001. 70 с. (учебное пособие под грифом совета УМО в ласти эксплуатации водного транспорта на базе ГМА имени адмирала С.О. акарова).

2. Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. Проблемы и решения в теории ряд (монография). Калининград: Янтарный сказ, 2004. 256 с.

3. Алексеева Е.Е. Числовые ряды (учебное пособие). Калининград: БГ РФ, 2006. 155 с.

4. Алексеева Е.Е. Креативно ориентированная математическая подготов в ВУЗе (монография). Калининград: БГА РФ, 2006. 158 с.

5. Алексеева Е.Е. Реализация креативной направленности курса «Числовь ряды» в учебном процессе ВУЗа (монография). Калининград: БГА РФ, 2007. 115 с.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах изданиях:

6. Алексеева Е.Е. История суммирования расходящихся ряд обобщенными методами. Методика разложения бинома Ньютона в степени ряд, сходящийся на всей числовой оси. Вестник Тамбовского Университет Сер. естественные и технические науки. -Тамбов, 2006. - т. II.- Вып. 3. 280 283 с.

7. Алексеева Е.Е. Методика введения понятия числового ряда, частичн суммы ряда, остатка ряда, суммы ряда. Классификация числовых рядо Вестник Поморского университета. Научный журнал № 3, 2006 Естественные точные науки. Архангельск, 2006. 94-99 с.

8. Алексеева Е.Е. Определение арифметического ряда и его свойств Методика определения выражения общего члена арифметического ряд Вестник АГТУ. Научный журнал № 4, 2006. - Астрахань:Изд-во АГТУ, 2006. с. 293-302

9. Алексеева Е.Е. Ассоциативный закон в числовых рядах, методическ аспект. Омский научный вестник № 9 (46). - Омск: Изд-во ОГТУ, 2006, с. 15 163.

10. Алексеева Е.Е. Гуманитарный потенциал математической подготовки ВУЗе. Вестник Тамбовского университета. Серия Гуманитарные наук Тамбов, 2007.Выпуск 3(47), с. 241-243.

Статьи, опубликованные в других изданиях:

11. Алексеева Е.Е. Особенности интерактивных методов обучен Сборник докладов XXVI научной конференции профессорск преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов. Калининград: КГУ, 1995.-С. 7

12. Алексеева Е.Е. Дидактические условия формирования мотивац достижения и мотивации аффилиации у старших школьников (диссертация соискание ученой степени кандидата педагогических наук). Калининград: КГ 1995

13. Алексеева Е.Е. Дидактические условия формирования мотивац достижения и мотивации аффилиации у старших школьников (авторефер

ссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук) ининград: КГУ, 1995

14. Алексеева Е.Е. Роль профессионально ориентированных тематических задач в подготовке будущих специалистов. Научно-хнические разработки в решении проблем рыбопромыслового флота и анспорта: Сборник статей международной научно-технической конференции, алининград: БГА РФ, 1996. - С. 93-94

15. Алексеева Е.Е. Пути разработки и применения информационных хнологий в учебном процессе. Профессиональная подготовка учителя в стеме университетского образования: Материалы научных исследований.-

ининград: КГУ, 2000. - С. 7-8

16. Алексеева Е.Е. Применение информационных технологий в ническом вузе, как первая начальная ступень информатизации образования, временные проблемы высшего образования: Материалы докладов научно-тодической конференции МГТУ: Мурманск, МГТУ, 2001,- С.235-236.

17. Алексеева Е.Е. Развивающие возможности интерактивных методов в рмировании мотивации достижения и аффилиации студентов. Современные нологии обучения: Материалы VI международной конф. - 4.2. - СПб.: ТИ, 2000.-С. 125-126.

18. Алексеева Е.Е. Обобщение неравенства С.Н. Бернштейна для оизводных тригонометрических полиномов. Математика и физика: Сборник

шых трудов. Вып. 44. Калининград: БГА РФ, 2001,- С. 11-13.

19. Алексеева Е.Е. Дифференциальные свойства тригонометрических иномов, аппроксимирующих заданную функцию. Математика и физика:

орник научных трудов. Вып. 44. Калининград: БГА РФ, 2001,- С. 13-15.

20. Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. О переместителыюм законе шенительно к условно сходящимся рядам (статья) Прикладная математика в кенерных и экономических расчетах: Сб. науч. тр. - СПб.: СПГУВК, 2001.52-261.

21. Алексеева Е.Е. Определение точной суммы сходящегося ряда. Наука и азование: Материалы Международной научно-технической конференции ТУ: Мурманск: МГТУ,2004.- С.290-294

22. Алексеева Е.Е. Выводы обобщенной формулы разложения в ряд урального числа методом экстраполирования (статья) Наука и образование: гериалы Международной научно-технической конференции МГТУ: рманск: МГТУ,2004.-294-297

23. Алексеева Е.Е. Определения и фундаментальные законы в числовых ах (тезисы) Сб. докл. XI международной конференции «Математика, тьютер, Образование» Дубна, Москва-Ижевск: МГУ, 2004.-С.304

24. Алексеева Е.Е. К вопросу о суммировании расходящихся рядов в чном смысле слова. Сб. науч. тр. 5-й международной конференции молодых ых и студентов СамГТУ, Самара, 2004. С. 9-12.

25. Алексеева Е. Е. К проблеме общего члена арифметического ря произвольного порядка в компьютерных вычислениях. Сб. науч. тр. V международной конференции. - СПб: СЗТУ, 2004.- С.258-268

26. Алексеева Е.Е. Свойства бесконечной арифметической прогрессии свойства бесконечной геометрической прогрессии. Наука и образован Материалы Международной научно-технической конференции МГТ Мурманск: МГТУ,2005.-с.135-139

27. Алексеева Е.Е. Особый случай геометрической прогресс Сравнительный анализ свойств арифметической и геометрической прогресс Наука и образование: Материалы Международной научно-техническ конференции МГТУ: Мурманск: МГТУ, 2005. - с. 140-142

28. Алексеева Е.Е. Биномиальное разложение в степенной р сходящийся на всей числовой оси. Вестник науки, культуры, образования 2005.-T.l,№ 1.-С. 17-22

29. Алексеева Е.Е. Геометрическая прогрессия ее свойства. Сб. науч. международной конференции молодых ученых и студентов СамГТУ, Сама

2005. с. 7-10

30. Алексеева Е.Е. Разложение бинома Ньютона в степенной сходящийся на всей числовой оси. Наука и инновации XXI века: матери V окр., конф., молодых ученых. Сургут , 25-26 ноября 2004 года. С. 10-11.

31. Алексеева Е.Е. Определения и фундаментальные законы бесконечных числовых рядах. Известия вузов. Специальный выпу Материалы международной научной конференции по актуальным пробле современной математической науки (Ош, 26 февраля 2005 г.). Бишкек, 2005 С. 14-20.

32. Алексеева Е.Е. Сходимость знакочередующихся рядов по призн Лейбница Томск IX всероссийская конференция «Наука и образование» (25 апреля 2005 г.) ТГПУ, 2005. - С. 5-9.

33. Алексеева Е.Е. Интерпретация разложения функции гиперболь степенной ряд, сходящийся на всей числовой оси. Сб. науч.тр. международ конференции молодых ученых и студентов СамГТУ. Самара, 2005. 9-16 с.

34. Алексеева Е.Е. Признак Лейбница для сходимости знакочередующи рядов. Материалы всерос. Н-п конференции: в 3-х частях: Ч 3,- Нефтека РИО БашГу, 2006, с. 8-12

35. Алексеева Е.Е.Проблемы ассоциативного закона применительн числовым рядам. Наука и образование: Материалы VI Международной науч конференции (2-3 марта 2006 г.): В 4 ч. / Кемеровский государствен университет. Беловский институт (филиал). Белово: Беловский полиграф

2006. Ч. 1. с. 364-368

36. Алексеева Е.Е. Развитие содержания обучения математики в Вуз основе понятий и методов формализации Сургут Наука и инновации XXI в материалы VI окр., конф., молодых ученых. Сургут , 25-26 ноября 2005 г /Сур.Г.У, 2006. С. 330-331.

37. Алексеева Е.Е. Разложение тригонометрических функций в степенные яды, сходящиеся на всей числовой оси Сургут Наука и инновации XXI века: атериалы VI открытая окр., конф., молодых ученых. Сургут , 25-26 ноября 005 года / Сур.ГУ, 2006. - С. 18-19

38. Алексеева Е.Е. К вопросу о преобразовании расходящегося ряда к его ходящемуся эквиваленту. Сборник научных трудов международной научной онференции «Современное математическое образование и проблемы етодологии математики». Тамбовский государственный университет им. ержавина, 11-15 сентября 2006. Тамбов, изд-во Першина Р.В. 2006, с.145-152.

39. Алексеева Е.Е. К вопросу о возникновении бесконечного ряда туальные проблемы современной науки: труды 2-го Международного

орума. Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое оделирование. Механика. Самара: Изд-во СамГТУ, 2006, с. 14-19.

40. Алексеева Е.Е. Некоторые аспекты и вопросы преподавания раздела Ряды» в ВУЗе Труды IV международной научной конференции «Инновации в ауке и образовании — 2006», Калининград, КГТУ в двух частях, часть 2, с. 31922.

41. Алексеева Е.Е. Методика разложения тригонометрических, обратных ригонометрических функций в ряд, сходящийся на всей числовой оси. истуальные проблемы современной науки: труды 2-го Международного орума. Педагогика. Часть 4-8. Самара: Изд-во СамГТУ, 2006, с. 12-15

42. Алексеева Е.Е. К вопросу о преподавании раздела «Числовые ряды» сшей математики в ВУЗе. Математические операции с геометрическими

I огрессиями КГТУ Труды IV международной научной конференции I нновации в науке и образовании — 2006», Калининград, КГТУ в двух частях, сть 2, с. 322-326

43. Алексеева Е.Е. Методика определения суммы сходящегося ряда, как едела частичных сумм. Математика. Информационные технологии, бразование: Материалы международной научно-практической конференции в ух частях. Часть 2. - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2006. 255-258 с.

44. Алексеева Е.Е. Обобщенные формулы сумм рядов на множестве оизвольных чисел. Сб. докл. XIV международной конференции ¡атематика, Компьютер, Образование» Пущино, Москва: МГУ, 2007. 299 с.

Алексеева Елена Евгеньевна

КРЕАТИВНО ОРИЕНТИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА В ВУЗЕ

Автореферат

Формат 60x84/16

Печать офсетная. Заказ №608-2

Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота

236029, Калининград, ул. Молодежная, 6

Лицензия N3 021350 от 28 06.99 г Подписано в печать 06.04.2007 г.

Объем 2,9 п.л. Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский отдел

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Алексеева, Елена Евгеньевна, 2007 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 КРЕАТИВНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ».

§ 1 Гуманитарный потенциал раздела «Числовые ряды».

§ 2 Концепция создания креативно ориентированной среды обучения и числовые ряды.

§ 3 Программа раздела «Числовые ряды» для ВУЗов.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2 ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ И СИСТЕМНОСТЬ КАК

ПРИНЦИПЫ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

§1 Арифметическая прогрессия в понятиях и определениях, действия над арифметическими прогрессиями.

§2 Геометрическая прогрессия в понятиях и определениях, действия над геометрическими прогрессиями.

§3 Сравнительный анализ свойств арифметической и геометрической прогрессий.

§ 4 Конечные суммы и способы их определения.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА 3 ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ КРЕАТИВНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ

КУРСА ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ ВУЗА.

§1 Концептуальные требования к учебно-методическому обеспечению математического курса числовых рядов.

§2 Анализ и уточнение основных понятий и определений в теории числовых рядов.

§3 Дистрибутивный и ассоциативный законы, учебно-методические вопросы интерпретации ассоциативного закона.

§4 Учебно-методические вопросы, связанные с коммутативным законом в теории рядов.

§5 Интерпретация сходимости и расходимости рядов, как важнейшей характеристики свойств ряда.

§6 Методики определения точной суммы сходящегося ряда.

§7 Арифметические ряды в понятиях и определениях, идентификация арифметических рядов.

§8 Функциональные ряды в понятиях и определениях.

Выводы по третьей главе.

ГЛАВА 4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРЕАТИВНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ

В ВУЗЕ.

§ 1 Педагогические условия формирования креативно ориентированной математической подготовки студентов в ВУЗе.

§2 Числовые ряды в практике вычислительных работ.

§3 Методика суммирование расходящихся рядов так называемыми обобщёнными методами.

§4 Методика суммирования расходящихся рядов в обычном смысле слова.

§5 Анализ природы возникновения сходящихся и расходящихся рядов.

§ 6 Обоснование эффективности педагогических условий процесса развития креативно ориентированной математической подготовки студентов.

Выводы по четвертой главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Креативно ориентированная математическая подготовка в вузе"

Радикальные и быстрые социальные перемены в современной России, активно влияют на массовое сознание, объективно повышают требования общества к его членам в образованности, компетентности, когнитивной активности во всех областях деятельности. Образованность общества сегодня становится не только важнейшим условием технологического и социально-экономического развития любой страны, но и условием выживания цивилизации, преодоления ее глобального экологического и духовного кризиса.

Процесс демократических изменений в обществе порождает и новые требования к современному образованию - оно должно стать гуманистически ориентированным, рассматривать человека как основную ценность, быть направленным на развитие индивидуальной, социальной и профессиональной культуры личности. При такой тенденции формы, методы, технологии образования являются не самоцелью, а рассматриваются в контексте одной из основных задач образования - обеспечить максимально благоприятные условия для саморазвития личности. Высоко нравственная, духовно богатая, гармонично развитая личность, способная осуществлять постоянное активное саморазвитие, является тем самым ориентиром, целью, на достижение которой должны быть направлены все усилия педагогики как науки в области практической деятельности.

Проблемы математической подготовки студентов постоянно находятся в зоне повышенного внимания исследователей, занимающихся проблемами математического образования в России и других странах СНГ. Это связано, прежде всего, с тем, что в последнее время концепция курса высшей математики в ВУЗе во многом не отвечает социальному заказу, предъявляемому обществом. Не случайны, поэтому активные поиски новых концепций курса высшей математики в ВУЗе и как следствие, активные поиски методов преподавания высшей математики в ВУЗе. Достаточно указать на ряд докторских диссертаций, посвященных этой проблеме и защищенных в последние годы. Это работа, Н.В. АммосовоЙ [35] Г.Л. Луканкина [164], А.Г.Мордкович [187], З.А. Магомеддибировой [167], М.Нугмонов [203], В.Т. Петровой [207], В.М. Туркиной [255], М.И.Шабунина [277], кандидатских диссертациях Г.И.Баврина [44], Н.Ф. Власовой [84]. О.В.Ефременковой [120], М.Е. Ткаченко [253].

Из всего блока вопросов математической подготовки в ВУЗе нами выбран раздел математического анализа «Числовые ряды». Этот выбор объясняется не только математической специализацией автора исследования, но и рядом объективных не всегда положительных обстоятельств, которые создают множество проблем негативного свойства, оказывающих существенное влияние на мировоззрение, философские убеждения и восприятие существующей реальности.

Математический анализ является важнейшей составной частью математической подготовки студента. Дело даже не в том, что элементы математического анализа в той или иной степени входят в программу школьного курса математики или факультативных курсов. Дело в том, что идеи и методы математического анализа в явной или неявной форме пронизывают, например, весь школьный курс алгебры, которая в качестве одной из приоритетных содержательно-методических линий имеет функционально-графическую линию.

Традиционно сложилось так, что исследователи, занимающиеся проблемами методической постановки курса математического анализа в ВУЗах, уделяют внимание лишь начальным разделам анализа (функция, предел, производная, интеграл). Мало работ, оценивающих значение дифференциальных уравнений, функций многих переменных, для студентов изучающих высшую математику в ВУЗе, особенно мало исследований, связанных с курсом числовые ряды. Указанные обстоятельства подчёркивают насущную необходимость более глубокого изучения данной научной области с новых теоретико-методологических позиций с учётом выявленных противоречий между: методического процесса, отслеживающего современные достижения и тенденции развития математической науки, математического анализа в целом, и курса «Числовые ряды» в частности, обеспечивающего наиболее полное проявление и развитие индивидуальности каждого обучающегося и директивностью системы образования, ориентированной на единые для всех государственные стандарты; потребностями научно-методологической постановки раздела числовые ряды в ВУЗе, как раздела математического анализа во всем его многообразии и единстве преподавания в ВУЗе высшей математики и тенденцией, которая на сегодня представлена в исследованиях ученых методистов, рассматривающих «Числовые ряды» как обособленный, самостоятельный, вне связи с историческими корнями, раздел математики, что очевидно не способствует формированию глубины взглядов и умению делать широкие обобщения у будущих специалистов;

- креативными возможностями математической подготовки в ВУЗе и недостаточным исследованием гуманитарных и творческих возможностей курса математического анализа во всех его взаимосвязях и проявлениях;

- системным характером образовательного процесса и разрозненными, недостаточно методологически и организационно обоснованными методиками преподавания высшей математики в ВУЗе.

Перечисленные противоречия были выделены на основе полученных эмпирических данных о результативности процесса обучения математике, изучения практики преподавания, теоретического анализа разнообразных литературных источников (диссертаций, монографий, статей, учебников и т.д.) и явились мотивом для проведения настоящего исследования, определив его актуальность. необходимостью постоянного совершенствования учебно

Отмеченные противоречия указывают направление научного поиска и позволяют сформулировать проблему данного исследования: каковы педагогические основы процесса развития креативно ориентированной математической подготовки студентов, и каковы креативные возможности математического обучения студентов в ВУЗе.

Объектом исследования является математическая подготовка будущих специалистов в высших учебных заведениях.

Предмет исследования креативная направленность обучения числовым рядам в высшем учебном заведении.

Цель исследования состоит в разработке креативно ориентированной научно-методической системы изучения курса «Числовые ряды» в ВУЗах и путей ее реализации в практике преподавания.

Гипотеза исследования состоит в том, что реализация разработанной креативно ориентированной концепции курса числовых рядов в ВУЗах позволит:

- сформировать у студентов правильные представления о гуманитарном потенциале курса числовых рядов, включающем в себя методологическую и креативную направленность курса;

- обеспечить рациональную креативно ориентированную направленность курса числовые ряды.

- повысить качество преподавания высшей математики в высших учебных заведениях;

- обеспечить у студентов развитие содержательного, процессуально-деятельностного, мотивационного и оценочного компонентов креативно ориентированной математической подготовки, выполняя выявленные педагогических условий процесса развития креативно ориентированной математической подготовки.

Проблема, предмет и гипотеза исследования определяют следующие задачи исследования которые распределены по двум группам.

Первая группа задач:

1. Провести научный анализ методологических составляющих курса «Числовые ряды» в практике подготовки специалистов в ВУЗах, выявить когнитивные возможности курса «Числовые ряды» в деле обучения студентов высшей математике.

2 Выявить способы осуществления прикладной направленности в преподавании и формировании у студентов правильных представлений о роли математики в реальных процессах, о преемственности знаний, их месте, значении и способах реализации в учебном процессе.

3. Исследовать пути реализации креативно ориентированной концепции обучения математике будущих специалистов в курсе «Числовые ряды».

4. Разработать концепцию и программу курса «Числовые ряды» для ВУЗов, творчески ориентированную и в максимальной степени раскрывающую гуманитарный потенциал курса, наметить пути для ее реализации в методической системе обучения.

5. Разработать научно-методические принципы работы с числовыми рядами, стимулирующие творческое отношение студентов к возникающим математическим проблемам. I

Решению этих задач посвящена первая глава диссертации. I

Вторая группа задач:

1. Учитывая специфику курса числовых рядов, исследовать новые формы и методы изложения материала в учебном процессе ВУЗа.

2. Разработать методы и способы гуманитаризации и креативного наполнения курса «Числовые ряды».

3. Экспериментально обосновать креативные возможности математической подготовки в ВУЗЕ.

Решению этих задач посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.

Известно, что основным инструментом математики, как и философии, является формальная логика и, прежде всего, по этой причине имеет место широкое взаимопроникновение этих наук. Важными для нашего исследования являются те философские работы, которые обосновывают процессы становления и развития личности в обществе, исследуют природу творчества, рассматривают человека в его целостности, как носителя духовности, творца и созидателя, обладающего активным началом.

К научно-теоретическим предпосылкам исследования относятся идеи:

- о стремительном росте научного знания, создающего своеобразную "ноосферу" (В.И. Вернадский);

- о бесконечности образования, превышающего по своим масштабам человеческую жизнь (М.К. Мамардашвили);

- о целостности и внутреннем единстве человеческой личности (H.A. Умов, П.С. Гуревич, B.C. Соловьёв, И.А. Ильин);

- об уникальности и неповторимости каждой личности (С.И. Гессен, Н.О. Лосский, В. Франки, М. Хайдеггер, Э. Фромм);

- о природе творчества, имманентно присущего человеческой сущности и вместе с тем представляющего самотрансценденцию - выход человека за пределы самого себя (H.A. Бердяев, П.А. Флоренский, М.М. Бахтин, ФАI

Степун, К. Поппер).

Психологический базис работы составляют научные исследования, описывающие механизмы процессов творчества и развития личности в образовательной среде, рассматривающие вопросы взаимосвязи обучения и развития, раскрывающие природу творческих способностей человека и изучающие методы и возможности создания среды для их "культивирования и выращивания". Важными в данной области являются идеи:

- о взаимосвязи обучения и развития, о необходимости постоянной опоры на "зону ближайшего развития" обучающегося (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, П.С. Гуревич, В.П. Зинченко, Т.Н. Березина, В.В. Селиванов);

- о развитии человека как личности в контексте его "жизненного пути" (С.Л. Рубинштейн, Б.Г. Ананьев, Н.Ф. Талызина); о субъектности человека как свойства "самодетерминации его бытия в мире" (К.А. Абульханова, Т.Н. Березина A.B. Петровский, Н.Л. Нагибина, М.В. Каминская);

- об ориентировочной основе действия и целесообразности её выделения в содержании любой образовательной дисциплины (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, В.Б.Хозиев);

- о творческих способностях личности, несводимых к её интеллекту, и могущих получить становление и развитие только в специально организованной образовательной среде (Д.Б. Богоявленская, Л.И. Айдарова, П.С. Гуревич, В.Н. Дружинин, В.В. Селиванов, М.А. Холодная, Д. Гилфорд, Э. Торренс).

Изучение курса числовые ряды и его методов дает еще один инструмент для познания мира, в котором мы живем, позволяет сформировать образное научное представление о реальном физическом пространстве.

Не смотря на колоссальный прогресс в развитии теории рядов, этот раздел математики, все ещё и сегодня имеет массу недоработанных или вообще неразработанных вопросов в части методики изложения материала и интерпретации некоторых теорем и следствий из них. В то же время этот раздел математики является одним из важнейших и продуктивных разделов математики, обязательных для изучения и включенных в Государственный образовательный стандарт высшего профессионального обучения. Именно это и есть практические предпосылки для нашего исследования.

Были использованы следующие методы исследования:

- анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и истории методики преподавания математики, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий;

- массовые проверки уровня математической подготовки студентов ВУЗов;

- экспертные оценки при работе с преподавателями ВУЗов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками;

- изучение и обобщение педагогического опыта;

- беседы с преподавателями ВУЗов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками;

- поисковые и констатирующие эксперименты по проверке отдельных методических положений работы.

Выполняя исследование, автор руководствовался методологией системного подхода. Психолого-педагогическую основу исследования составили концепции воспитывающего и развивающего обучения, концепция обучения деятельности, концепция проектирования креативной образовательной среды в ВУЗе.

Выполняя исследование, автор руководствовался методологией системного подхода. Психолого-педагогическую основу исследования составили концепции воспитывающего и развивающего обучения, концепция обучения деятельности, концепция проектирования креативной образовательной среды в ВУЗе.

Научная новизна и значимость проведенного исследования состоит в том, что:

- обоснованы смыслы, сущность и основные направления формирования креативно ориентированной математической подготовки студентов в ВУЗе, учитывающие российские и мировые достижения в области педагогики и теории педагогического проектирования, психологии и теории высшей нервной деятельности;

- разработана и обоснована целостная, креативно ориентированная авторская концепция курса числовых рядов в ВУЗе, на основе комплексного анализа психолого-педагогических и методико-математических аспектов проблемы, в максимальной степени раскрывающая богатый гуманитарный потенциал этого курса;

- теоретически обоснованы педагогические принципы системности и преемственности знаний, заключающиеся в соблюдения логической связи между понятиями и методами систем знаний, между теорией и ее практикой, между приобретенными и приобретаемыми знаниями, между исходным уровнем интеллектуального развития обучаемого и задачами его развития;

- разработан и теоретически обоснован принцип бинарности - наиболее адекватного соединения математической и общеметодической линии, обеспечивающий единую методологическую и понятийную основу для саморазвития личности в креативно направленной образовательной среде;

- разработана динамическая модель курса «Числовые ряды» наполненная конкретным творческим содержанием, адекватная динамике целей развития креативно ориентированной математической подготовки студентов, что существенно отличает ее от существующей эмпирической практики обучения в вузе;

- обоснованы диагностические средства для определения динамики состояний креативно ориентированной математической подготовки студентов и эффективности разработанных педагогических методик.

Теоретическая значимость исследования: в диссертации получены результаты, которые позволяют реализовать, креативную направленность курса числовые ряды, совершенствовать процесс обучения высшей математики в ВУЗе, разработанные научно-методические принципы работы с числовыми рядами, эффективно стимулируют творческое отношение студентов к возникающим математическим проблемам.

Практическая значимость полученных результатов обусловлена, прежде всего, созданием учебно-методического комплекса пособий нового идейного содержания для обеспечения занятий по курсу числовых рядов, уже внедрённых в практику преподавания в ВУЗах.

В диссертации содержатся конкретные рекомендации по реализации в курсе числовых рядов методологических и методических аспектов, создания креативно ориентированного курса числовых рядов, обеспечению преемственности и системности обучения.

На основе результатов исследования были созданы учебные пособия и монографии:

1. Ряды в задачах и примерах

2. Проблемы и решения в теории рядов.

3. Числовые ряды.

4. Креативно ориентированная математическая подготовка в вузе.

5. Реализация креативной направленности курса «Числовые ряды» в учебном процессе ВУЗа.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика профессионального образования"

Выводы по четвертой главе

Развитие креативно ориентированной математической подготовки студентов есть целостный педагогический процесс, в состав которого входят следующие компоненты; целевой, содержательный, процессуальный, организационный, результативно-диагностический. Компоненты исследуемого процесса рассмотрены как педагогические условия, способствующие эффективности развития креативно ориентированной математической подготовки студентов.

Целевой компонент исследуемого процесса включает в себя систему целей, которая разработана на основе следующих положений: понятие цели в педагогики, иерархическое структурирование системы целей (конечная цель, промежуточная цель и текущие цели - задачи, реализуемые в определенных условиях), сущность и уровни креативно ориентированной математической подготовки студентов.

В ходе исследования было установлено, что наиболее эффективно процесс обучения воздействует на развитие креативно ориентированной математической подготовки студентов, если в нем реализуется единство функций; творчески - прикладной значимости математики, индивидуально-процессуальной и культура - образующей. Для реализации этих функций были разработаны следующие условия отбора содержания учебного материала; учет креативно - математической значимости различных разделов курса математики, включающей внутри- и межпредметную значимость математических понятий, методов, теорий; линейно-концентрическое построение содержания учебной дисциплины, позволяющее широко использовать рассуждения по аналогии, выдвигать гипотезы и предположения, проводить сравнения и широкие обобщения, организовывать перенос знаний и умений в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций, уже изученного ранее родственного материала; учет индивидуально-психологических, психофизических особенностей студенческого возраста.

Для развития креативно ориентированной математической подготовки необходимо дополнить систему традиционно используемых организационных форм - коллективных и индивидуальных. Поэтому нами были введены такие организационные формы, как формы групповой дискуссии, разбор практических ситуаций, анализ ситуаций выбора оптимального решения с точки зрения оценочного выбора.

Результативно-диагностический компонент включает в себя критерии оценки уровня развития креативно ориентированной математической подготовки студентов: осознанность, систематичность, результативность.

Для обоснования эффективности педагогических условий разработаны диагностические средства, которые позволили выявить исходный уровень креативно математической подготовки студентов экспериментальной группы и следить за динамикой ее поэтапного развития.

Качественные диагностические методы включают признаки критериев оценки уровня развития креативной математической подготовки студентов, способы их замера. Наиболее эффективно исследуемые качества выявляются в ситуациях решения экспериментальной системы задач, при наблюдении различных реакций студентов в процессе их учебной деятельности, при анализе умственной деятельности студентов. Качественные методы значительно конкретизируются и дополняются методом количественного анализа, примененным в эксперименте. Система диагностических средств позволяет более эффективно фиксировать состояния креативной математической подготовки студентов.

Развитие креативной математической подготовки каждого студента -это, прежде всего процесс формирования собственной системы знаний, который заключается не в складировании отдельных математических знаний, методов, фактов, умений и навыков применять полученные знания и методы на практике, а в побуждении студента к активной творческой работе по систематизации знаний, выделению связей, построению абстрактных конструкций.

Развитие креативно ориентированной математической подготовки студентов проходит поэтапно.

На первом этапе работа студентов по творческой систематизации знаний носит эпизодический характер, часто не доводится до конца. При представлении учебной информации в виде таблиц, графов, при составлении структурно-логических схем изучаемого раздела или темы первокурсники испытывают существенные трудности. На этом этапе влияние педагогического руководства на активизацию процесса развития математической подготовки имеет решающее значение.

На втором этапе углубляются знания студентов о значении математической подготовки в инженерном образовании, о роли математических знаний и методов в решении физических, общетехнических, экономических задач. Работа по творческой систематизации полученных знаний с помощью составления структурно-логических схем, тезаурусов, матриц применения пока не отличается систематичностью, влияние педагогического руководства на активизацию процесса развития креативной математической подготовки имеет еще существенное значение.

На третьем этапе процесс творческого самостоятельного развития креативно ориентированной математической подготовки имеет устойчивый характер. Педагогическая помощь по составлению структурно-логических схем, по систематизации знаний на этом этапе ограничивается консультациями и советами.

Последовательность этапов развития креативно ориентированной математической подготовки студентов выступает как выражение определенной тенденции сознательного систематического формирования собственной системы знаний, основной чертой которой является получение новой информации на основе уже имеющейся путем построения ассоциативных связей и схем. Используя эти схемы, студент имеет возможность выбрать наиболее рациональный способ решение задачи, быстро перестроить ход решения с изменением условия, оценить результативность своих действий в ходе решения.

В ходе эксперимента получены данные, свидетельствующие о значительных положительных изменениях в уровне креативной математической подготовки студентов экспериментальной группы. Этот вывод подтвержден математическими методами обработки экспериментальных данных

К числу важных результатов следует отнести вывод о том, что разработанная методика непосредственного деления сходящихся рядов на ряды собственно расходящиеся, когда заведомо известна нулевая сумма результирующего ряда, может быть весьма продуктивно использована для определения сумм самых различных числовых рядов.

Непосредственное деление расходящихся рядов на расходящиеся ряды по схеме деления многочлена на многочлен далеко не во всех случаях обеспечивает получение результата, который пригоден для практического использования. Ответ всегда пригодный для практического использования обеспечивает расчёт предела отношения частичных сумм рядов участвующих в делении, что в свою очередь означает исключительную важность умения записать аналитически выражения частичных сумм этих рядов. Все выводы получены на базе формул сумм арифметической и геометрической прогрессий. Однако, такая творческая методика получения результатов может быть использована и при анализе других типов рядов.

Предложенная креативно ориентированная методика тождественного перехода от расходящегося ряда к сходящемуся ряду-эквиваленту, позволяет закрыть вопрос о суммировании расходящихся рядов в обычном смысле слова. Такая методика перехода показана практически для разложений в ряд самых различных функций, таких как алгебраических, логарифмических, обратных тригонометрических, обратных гиперболических, биномиальных, активизирует креативно ориентированную математическую подготовку.

Весьма важен с точки зрения креативной методики преподавания математики вывод, подтверждённый конкретными примерами, о том, что расходящийся ряд, имеющий сходящийся ряд-эквивалент всегда сохраняет в себе информацию об этом ряде-эквиваленте.

Произведённый в работе анализ позволяет констатировать, что математический курс «Числовые ряды» играет большую роль в фундаментальной математической подготовке специалиста в плане формирования у него научного мировоззрения, определенного уровня математической и методической культуры, творческой направленности в обучении математике, умения осуществлять в обучении преемственность.

Установлено, что системность, преемственность и креативная направленность в преподавании курса числовых рядов в ВУЗах обеспечивает высокую эффективность и результативность учебного процесса.

Показано, что именно в курсе числовых рядов скрыты наибольшие возможности для полноценной реализации креативно ориентированной математической подготовки, поскольку студент подходит к изучению этого курса после изучения курса математического анализа как в школе, так уже и в ВУЗе. Одновременно установлено, что именно курс числовых рядов содержит сегодня наибольшие предпосылки к формированию неточных представлений, как чисто математического свойства, так и общенаучного. Это обстоятельство налагает на преподавателя курса числовых рядов особые обязанности по реализации в процессе обучения принципа бинарности -наиболее адекватного соединения математической и общеметодической линий.

В процессе исследования выделены шесть целевых установок, которые следует реализовать при постановке креативно ориентированного раздела «Числовые ряды» в ВУЗе. К их числу относятся:

- воспитание научного мировоззрения;

- формирование достаточного для будущей профессиональной деятельности уровня математических знаний, умений и навыков, в частности, прикладных умений:

- формирование высокого уровня математического мышления:

- обеспечение достаточного опыта математических исследований, включающей в себя разработку аппарата для исследования математических принципов, умение преобразовать научный материал в учебный, т.е. умение осмыслить фрагмент научной теории и дидактически препарировать его во фрагмент учебной дисциплины; формирование достаточного уровня математической культуры, к числу компонент которой можно отнести умение выбрать правильное соотношение между формой и содержанием, между строгостью и наглядностью, умение выбрать уровень строгости и полноты изложения адекватно целям и задачам обучения;

- воспитание интереса к математике, развитие математических способностей.

На материале курса «Числовые ряды» показано, как можно наполнить конкретным творческим содержанием следующие компоненты методической модели курса, включающей в себя следующие составные элементы:

- мотивация учения;

- принципы дидактики в прямом и косвенном обучении студентов;

- межпредметные связи, как внутри самой математики, так и связи с другими предметами, такими как философия, физика и т.п.;

- методика воспитания критического подхода к анализу и оценке учебных материалов и пособий.

В процессе исследования разработаны и обоснованы концептуальные положения в части организации креативно ориентированной математической подготовки студентов на примере изучения числовых рядов в ВУЗах:

- Математический курс «Числовые ряды» мы рассматриваем не только и не столько, как определенную порцию новой информации, сколько, как носителя гуманитарного потенциала математики, способствующего общему развитию будущего специалиста.

- Раздел курса «Числовые ряды», в отличие от общепринятой системы преподавания числовых рядов в ВУЗе, рассматривается нами не как обособленный, самостоятельный раздел математического анализа, а как логическое продолжение курса школьной алгебры, и математического анализа во всех его многообразиях и взаимосвязях.

- В курсе математического анализа следует выделять креативно направленную содержательную линию числовых рядов.

- В разделе «Числовые ряды» следует широко использовать разнообразный спектр креативно ориентированных форм учебной работы.

- В постановке самого курса числовых рядов следует органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни.

Первый уровень предполагает содержательную трактовку понятий, использование генетических определений и методов доказательств, локально-логическую организацию материала, широкое привлечение правдоподобных рассуждений, повышенное внимание к прикладным аспектам. Важнейшей конкретной реализацией этого уровня в работе является формулировка уточненного определения ряда, содержащего конкретный определяющий признак, позволяющий идентифицировать ряд, как таковой, среди прочих сумм, рядами не являющихся.

Второй уровень предполагает изучение учебного предмета как замкнутой в себе области знаний со своим кругом абстрактных понятий, специфическим языком, арсеналом утонченных средств доказательных рассуждений. Важнейшими конкретными реализациями этого уровня в работе являются решение вопроса о сумме пустой арифметической прогрессии, решение вопроса о сумме расходящегося ряда в обычном смысле этого слова, решение вопроса о сходимости биномиального ряда на всей

ЧИСЛОВОЙ ОСИ ОТ - 00 до + 00 .

В исследовании представлена разработанная автором программа раздела «Числовые ряды», реализующая концептуальные положения, являющиеся итогом настоящей работы.

Для диагностики динамики креативной ориентированной математической подготовки студентов и обоснования эффективности разработанных педагогических методик были разработаны диагностические средства, включающие: критерии оценки уровня развития креативно ориентированной математической подготовки студентов, признаки критериев, способы их «замера», творческие задания, позволяющие выяснить исходный уровень креативно ориентированной математической подготовки студентов, комплекс творческих диагностических заданий, позволяющий следить за динамикой ее поэтапного развития.

Методологическую основу разработки критериев оценки уровня развития креативно ориентированной математической подготовки студентов составили работы С. Л. Рубинштейна о соответствии действия с целеполаганием. На основании этого положения мы выделили три критерия оценки уровня развития креативно ориентированной математической подготовки студентов: осознанность, систематичность, результативность.

Для установления динамики развития креативно ориентированной математической подготовки студентов нами были введены три частных показателя: показатель проявленных признаков критерия осознанности каждого студента; показатель проявленных признаков критерия систематичности каждого студента; показатель проявленных признаков критерия результативности каждого студента. Общий показатель развития креативно ориентированной математической подготовки студентов определялся как произведение этих показателей, что было обусловлено рядом причин. Во-первых, сущность каждого признака различна. Во-вторых, не ясен долевой вклад каждого признака. При равенстве одного (или нескольких) частных показателей мы считали, что креативно ориентированная математическая подготовка студентов не сформирована.

В ходе эксперимента получена шкала, дающая связь между интервалами значений общего показателя развития креативно ориентированной математической подготовки студентов, и обычной оценкой, применяемой в ВУЗе.

Диагностика динамики развития креативно ориентированной математической подготовки студентов была включена в структуру учебной деятельности. Поэтому система диагностических заданий состояла из системы творческих задач для самостоятельного решения и системы проверочных работ.

Как показало экспериментальное обучение, развитие креативно ориентированной математической подготовки студентов проходит поэтапно.

На первом этапе работа студентов носит эпизодический характер, часто не доводиться до конца. При представлении учебной информации в виде таблиц, графов и т.д., студенты испытывают существенные трудности. На этом этапе влияние преподавателя направлено на активизацию процесса развития креативно ориентированной математической подготовки.

На втором этапе углубляются знания о значении математической подготовки в образовании, о роли математических знаний и методов в решении технических задач, экономических задач. Работа по систематизации полученных знаний пока не отличается систематичностью, влияние педагога на активизацию креативно ориентированной математической подготовки студентов имеет еще существенное значение.

На третьем этапе процесса самостоятельного развития креативно ориентированной математической подготовки имеет устойчивый характер. Педагогическая помощь при решении творческих заданий ограничивается консультациями и советами.

Статистическими методами с помощью непараметрических критериев Фридмана и Пейджа подтверждена гипотеза о том, что тенденция увеличения индивидуальных показателей креативно ориентированной математической подготовки студентов экспериментальной группы от начала первого этапа ко второму, а затем к третьему не является случайной.

Система разработанных диагностических средств позволяет фиксировать состояние развития креативно ориентированной математической подготовки студентов.

В результате исследования показаны пути и способы реализации гуманитарной и креативно ориентированной математической подготовки студентов на примере раздела «Числовые ряды», опубликованные автором в соответствующих учебных пособиях и монографии с приведением не только теоретического обоснования, но и многочисленных оригинальных практических примеров и задач.

Все кардинальные выводы, полученные в работе, находятся в соответствии с фундаментальными законами науки, вносят ясность во многие существующие сегодня вопросы педагогического и математического знания и обеспечивают возможность существенного продвижения в деле повышения качества обучения студентов ВУЗов

Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные задачи, построена система креативно ориентированной математической подготовки студентов при обучении числовым рядам в ВУЗе.

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Алексеева, Елена Евгеньевна, Москва

1. Абульханова К.А. Березина Т.Н. Время личности и время жизни Алтея: 2001г.-304 стр.

2. Азимов А. В мире чисел. От арифметики до высшей математики. М.: Центрополиграф, 2004. 76 с.

3. Александрова Е.С. Педагогическое проектирование как средство ценностного согласования во взаимодействии субъектов образовательного процесса. Автореферат диссертации кандидата пед. наук: СПб., 2002. 19с.

4. Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. Проблемы и решения в теории рядов. Калининград: Янтарный сказ, 2004. 256с.

5. Алексеева Е.Е. Дидактические условия формирования мотивации достижения и мотивации аффилиации у старших школьников (диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук): Калининград, КГУ, 1995.

6. Алексеева Е.Е. Числовые ряды. Калининград: БГА РФ, 2006. 151с.

7. Алексеева Е.Е. Гуманитарный потенциал математической подготовки в ВУЗе. Вестник Тамбовского университета. Серия Гуманитарные науки. Тамбов, 2007.Выпуск 3(47), с. 241-243.

8. Алексеева Е.Е. Развивающие возможности интерактивных методов в формировании мотивации достижения и аффилиации студентов (статья). Современные технологии обучения: Материалы VI международной конференции. Ч.2.СП6.: ЛЭТИ, 2000. с. 125-126.

9. Алексеева Е. Е., Лушников Е.М. О переместительном законе применительно к условно сходящимся рядам. Прикладная математика в инженерных и экономических расчетах: Сб. научных трудов. СПб.: СПГУВК, 2001. с.252-261.

10. Алексеева Е.Е. Выводы обобщенной формулы разложения в ряд натурального числа методом экстраполирования. Наука и образование. Материалы Международной научно-технической конференции. Мурманск: МГТУ, 2004. с.294-297.

11. Алексеева Е.Е. Определения и фундаментальные законы в числовых рядах. Сб. докладов Х1-й международной конференции. Дубна, Москва: МГУ, 2004. с.304.

12. Алексеева Е.Е. К вопросу о суммировании расходящихся рядов в обычном смысле слова. Сборник научных трудов 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов Самарского ГТУ. Самара: ГТУ, 2004. с.9-12.

13. Алексеева Е. Е. К проблеме общего члена арифметического ряда произвольного порядка в компьютерных вычислениях. Сборник научных трудов У-й международной НТК. СПб.: СЗТУ, 2004. с.258-268.

14. Алексеева Е.Е. Свойства бесконечной арифметической прогрессии и свойства бесконечной геометрической прогрессии. Наука и образование. Материалы Международной научно-технической конференции МГТУ: Мурманск: МГТУ, 2005. с.135-139.

15. Алексеева Е.Е. Особый случай геометрической прогрессии, сравнительный анализ свойств арифметической и геометрической прогрессий. Наука и образование. Материалы Международной научно-технической конференции МГТУ. Мурманск: МГТУ,2005. с. 140-142.

16. Алексеева Е.Е. Биномиальное разложение в степенной ряд, сходящийся на всей числовой оси. Вестник науки, культуры, образования. Т.1, № 1.2005, с. 17-22.

17. Алексеева Е.Е. Геометрическая прогрессия и ее свойства. Сб. научных трудов Международной научной конференции молодых ученых и студентов Самарского ГТУ. Самара, 2005. с.7-10.

18. Алексеева Е.Е. Разложение бинома Ньютона в степенной ряд, сходящийся на всей числовой оси. Наука и инновации XXI века. Материалы V окружной конференции молодых ученых. Сургут, 2004. с. 10-11.

19. Алексеева Е.Е. Определения и фундаментальные законы в бесконечных числовых рядах. Известия вузов. Специальный выпуск. Материалы Международной научной конференции по актуальным проблемам современной математической науки. Ош-Бишкек, 2005. с.14-20.

20. Алексеева Е.Е. Сходимость знакочередующихся рядов по признаку Лейбница. Томск: 1Х-я Всероссийская научная конференция «Наука и образование». ТГПУ, 2005. с. 5-9.

21. Алексеева Е.Е. Интерпретация разложения функции гиперболы в степенной ряд, сходящийся на всей числовой оси. Сборник научных трудов международной НТК молодых ученых и студентов Самарского ГТУ. Самара.2005. с. 9-16с.

22. Алексеева Е.Е. Признак Лейбница для сходимости знакочередующихся рядов. Материалы Всероссийской научно-производственной конференции: Ч 3. Нефтекамск: РИО Башкирского ГУ,2006. с. 8-12.

23. Алексеева Е.Е. . Развитие содержания обучения математики в Вузе на основе понятий и методов формализации Сургут Наука и инновации XXI века: материалы VI окр., конф., молодых ученых. Сургут , 25-26 ноября 2005 года. /Сур.Г.У, 2006 С. 330-331.

24. Алексеева Е.Е. Разложение тригонометрических функций в степенные ряды, сходящиеся на всей числовой оси Сургут Наука иинновации XXI века: материалы VI открытая окр., конф., молодых ученых. Сургут , 25-26 ноября 2005 года/Сур.Г.У, 2006.- С. 18-19.

25. Алексеева Е.Е. Методика введения понятия числового ряда, частичной суммы ряда, остатка ряда, суммы ряда. Классификация числовых рядов. Вестник Поморского университета. Научный журнал №3, 2006 Естественные и точные науки. Архангельск. 2006. 94-99с.

26. Алексеева Е.Е. Определение арифметического ряда и его свойства. Методика определения выражения общего члена арифметического ряда. Вестник АГТУ. Научный журнал № 4 2006. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2006.- с. 293-302.

27. Алексеева Е.Е. Ряды в задачах и примерах. Калининград: БГА РФ, 2001.40с.

28. Аммосова Н.В. Методико-математическая подготовка студентов педагогических факультетов к развитию творческой личности школьника при обучении математике. Докторская диссертация. Астрахань, 1999. 420с.

29. Анохин A.M. Педагогическая среда, как условие формирования творческой личности студента педвуза. Автореферат кандидатской диссертации. Башкирский педагогический Институт. 1997. 23с.

30. Андреев С.П. Методика подготовки современного инженера к профессионально-творческой деятельности в условиях конкурентной среды. Кандидатская диссертация. Тамбов, 2003. 221с.

31. Алексеева Е.Е. Креативно ориентированная математическая подготовка в ВУЗе (монография). Калининград: БГА РФ 2006. 158с.

32. Алексеева Е.Е. Реализация креативной направленности курса «Числовые ряды» в учебном процессе ВУЗа (монография). Калининград: БГА РФ 2006. 115с.

33. Артебякина О. В. Формирование математической культуры у студентов педагогических вузов. Автореферат кандидатской диссертации. Челябинский Государственный педагогический университет. 1999. 21с.

34. Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г. Сказки по математике. М.: Высшая школа, 1994. 63с.

35. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М.: Высшая школа, 1980. 36с.

36. Асланов Р. М. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе. Докторская диссертация. Москва, 1997. 390с.

37. Баврин Г. И. Усиление профессиональной и прикладной направленности преподавания математического анализа в педвузе. Кандидатская диссертация. Москва, 1998. 202с.

38. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М.: Владос, 2002. 399 с.

39. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 199с.

40. Баврин И.И. Курс высшей математики. М.: Владос, 2004. 559 с.

41. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Владос, 2004. 516 с.

42. Баврин И.И. Общий курс математического анализа. М.: Прометей, 1994. 242с.

43. Баврин И.И. Высшая математика для естественных научных специальностей педагогических ВУЗов. Академия, 2004. 616с.

44. Бадмаев С.А. Психология и методика ускоренного обучения. М.: Владос, 1998. 272 с.

45. Баляева С.А. Теоретические основы фундаментализации общенаучной подготовки в системе высшего технического образования. Автореферат докторской диссертации. М. 1999. 21 с.

46. Беляев А. Что мешает студенту учиться? //Высшее образование в России. №3. 1998. с. 64-67.

47. Бердяев H.A. Философия свободы, смысл творчества. М. 1989. 607с.

48. Берне Роберт. Что такое Я-концепция. WEB-документ. http://www.nsu.ru/psych/internet/ 1999.

49. Бордовский В. А. Теория и практика организационно-методического обеспечения инновационного развития высшего педагогического образования. Автореферат докторской диссертации. СПб., 1999. 52 с.

50. Бояринцева H.H. Психолого-терапевтическая функция учителя в формировании адаптивной образовательной среды ученика: Автореферат кандидатской диссертации М.: МПГУ, 2001. 19с.

51. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Лань, 2006. 736с.

52. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложения математики. М.: Наука. 1983. 328с.

53. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Владос, 2000. 309с.

54. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Сборник задач по математике для ВУЗов. М.: Наука. Физматлит, 1981. 367с.

55. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе №2, 1982. с. 40-43.

56. Бондаревская Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования. // Педагогика №4, 1997. с. 35-39.

57. Боярчук А.К., Гай Я.К., Головач Г.П., Ляшко И.И. АнтиДемидович. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента т 2. М: Ком Книга, 2003. 224с.

58. Бронштейн И. Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М: Физматлит, 1998. 606с.

59. Бугров Я.С. Никольский СМ. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратный интеграл. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1985. 464с.

60. Бугров Я.С. Никольский СМ. Сборник задач по высшей математике. М.; Физматлит, 2001. 321 с.

61. Будак Б.И., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. М.: Физматлит, 2002. 607с.

62. Буняев М.М. Научно-методические основы проектирования разлет-вленно-диалоговых обучающих систем. Автореферат докторской диссертации. М.: МШУ им. В.И. Ленина, 1992. 34с.

63. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 292с.

64. Вайнцвайг П. Десять заповедей творческой личности. М.: Наука, 1990. 192с.

65. Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых. М.: ГТТЛ. Т-П, 1933. 462с.

66. Васильева М. В. Методические особенности обучения элементам математического анализа учащихся профильной школы. Кандидатская диссертация. Москва, 2004 215с.

67. Вентцель Е.С. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе. // Математики о математике. Сб. статей. М.: Знание №8. 1982, 64с.

68. Вилейтнер Г. История Математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Физматлит, 1969. 467с.

69. Виленкин Н.Я. Гробер Н. Высшая математика для студентов. М.: Феникс, 2005. 432с.

70. Виленкин Н.Я., Мышкис А.Д. Научно-техническая революция и школьный курс математики. // Математика в школе №3. 1987. с.40-43.

71. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. М.: Высшая школа, 2002. 725с.

72. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 2. М.: Высшая школа, 2002. 712с.

73. Вишнякова Н.Ф. Креативная акмеология. Психология развития творческой личности взрослого человека. В 2-х томах. Минск, 1998. 125с.

74. Влазнев А.И. Теория и практика развития технического творчества студентов вузов. Автореферат докторской диссертации. Екатеринбург, 1997. 351с.

75. Власова Е.А. Ряды. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 612с.

76. Власова Н. Ф. Самостоятельная работа как средство повышения познавательной самостоятельности обучаемых в курсе высшей математики. Кандидатская диссертация. Москва, 2003. 250с.

77. Вопросы истории физико-математических наук. М.: Высшая школа. 1963. 522с.

78. Воробьёв Н.Н., Теория рядов. СПб.: Изд. «Лань», 2002. 408с.

79. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике для ВУЗов. М.: Джангар, 2001. 863с.

80. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: АСТ, 2001.509с.

81. Высшая математика. Сборник задач. Под общей редакцией П.Ф. Овчиникова. Киев: "Высшая школа", 1991. 455с.

82. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. // В книге «Исследование мышления в советской психологии». М.: Наука, 1966. с.236-277.

83. Геворкян С.Т. Высшая математика. М.: Физматлит, 2004. 247с.

84. Гладкий A.B. Числа натуральные, рациональные, действительные, комплексные. М.: Вербум, 2000. 144с.

85. Глейзер Г.Д. Повышение эффективности обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1989. 239с.

86. Глушкова Т.И. Обучение элементам математического анализа, как средство повышения общеобразовательной подготовки учащихся средней школы. Кандидатская диссертация, 1987. 203с.

87. Горлинский И.В. Педагогическая система гибкого обучения специалистов в высших учебных заведениях МВД России. Академия управления МВД России. М. 1997.

88. Гондник С.М. Процесс преемственности высшей и средней школы. Воронеж, 1981. 65с.

89. Государственные образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования» (квалификация-инженер). М. 2000.

90. Гребенюк О.С, Гребенюк Т.Б. Основы педагогики индивидуальности. Калининград КГУ, 2000. 572с.

91. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. М.: Изд. Академия, 2004. 179с.

92. Гуревич П.С. Психология: Учебное пособие: Старик Ватулинг , 2005 г., 715 с.

93. Гусак A.A. Высшая математика. 2 т. М.: Тетра Система, 2003.992с.

94. Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Автореферат докторской диссертации. М.: 1990. 39с.

95. Гюнтер Н.М. Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей математике. Том II, СПб.: Лань, 2003. 286с.

96. Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении. М.: Педагогика, 1972. 424с.

97. Давыдов H.A., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1973. 255с.

98. Данильчук В.И. Гуманитаризация физического образования в средней школе. Волгоград: Перемена, 1996. 255с.

99. ДанкоПЕ. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1, М.: ОНИКС 21 век, 2006. 304с.

100. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. М.: Оникс 21 век, 2002. 365с.

101. Данфорт Н. Шварц Д. Линейные операторы. М.: ИИЛ, 1962. 895с.

102. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 465с.

103. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М.:АСТ, 2005. 654с.

104. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:АСТ, 2004. 558с.

105. Двайт Г.Б.Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Лань, 2005г. 228с.

106. Дорофеев Г.В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики. // Математика в школе №5, 1980. с. 12-24.

107. Дъедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Физматлит, 1964. 430с.

108. Егерев В.К., Несененко Г.А. Сборник тем курсовых работ по математике. М.: Просвещение, 1985. 49с.

109. Епишева О. Б. Деятельностный подход, как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике. Докторская диссертация. Москва, 1999. 460с.

110. Еремкин А.И. Система межпредметных связей в высшей школе. Харьков: Высшая школа, 1984. 50с.

111. Ефимов A.B. Сборник задач по математике для ВТУзов. Том 3. Векторный анализ. Ряды и их применение. Физматлит, 2003. 354с.

112. Ефременкова О.В. Гуманитарно-ориентированные математические задачи в процессе развития творческой активности студентов в техническом вузе. Кандидатская диссертация. Барнаул: Алтайский ГУ, 2003. 23с.

113. Зайцева Ж. И. Методика преподавания высшей математики с применением новых информационных технологий. Кандидатская диссертация. Елабуга, 2005. 235с.

114. Зимина О.В., Кириллов А.Н., Сальникова Т.А. Высшая математика. М.: Физматлит, 2001. 364с.

115. Зорич В.А. Математический анализ. М. Изд. МЦНМО, 2002.787с.

116. Игнатьева A.B., Краснощенкова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики. М.: Изд. Высшая школа, 1964. 685с.

117. Икрамов Д. Математическая культура. Ташкент: Укитвучи, 1981.277с.

118. Ильин Е.П. Мотивация и мотивы. СПб.; Высшая школа, 2000. 512с.

119. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1 М.: Физматлит, 2001. 646с.

120. История математики. Т.З. М.: Наука, 1970.

121. История и методология естественных наук выпуск (XVI). М.: Изд. МГУ, 1974. 254с.

122. История и методология естественных наук выпуск (XXV). М.; Изд. МГУ, 1980. 168с.

123. История и методология естественных наук выпуск (XXXVI). М.: Изд. МГУ. 1989.97с.

124. История математики (Математика XVIII столетия). Том 3. М.: Изд, "Наука", 1972. 495с.

125. История отечественной математики. Т 1. Киев.: «Наукова думка», 1966. 491с.

126. История отечественной математики. Т 4. Книга 1. Киев: «Наукова думка», 1970.883 с.

127. Каминская М.В. Педагогический диалог в деятельности современного учителя. Смысл: 2003. 231с.

128. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. Харьков, 1967. 947с.

129. Картан А. Дифференциальное исчисление, дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392с.

130. Келбакиани В.Н. Теория и практика подготовки будущих учителей на основе реализации межпредметной функции математики. Докторская диссертация. Кутаиси, 1988. 384с.

131. Кенжалиева С. 3. Теория и методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики. Кандидатская диссертация. Астрахань, 2004. 167с.

132. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе. М.: Наука, 1978. с. 97-100.

133. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 623с.

134. Колягин Ю.М., Пикан B.B. О прикладной и практической направленности обучения математике. // Математика в школе №6. 1985, с.27-32

135. Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. М.: Учпедгиз, 1955. 287с.

136. Королев С. Я., Селиванов В. В. Особенности внедрения новых государственных образовательных стандартов // Современные технологии учебного процесса в вузе. Тезисы докладов научно-методической конференции. Ульяновск, 2001. - 72 с.

137. Котов A.A. Структура раздела «Ряды» методического практикума по математике. НТК «Современные проблемы высшего образования». Материалы научно-методической конференции МГТУ. Мурманск, 2001. с. 185-187.

138. Креативная педагогика: методология, теория, практика./ Под ред. Круглова Ю.Г. М.: «Альфа», 2002. 240 с.

139. Кречетников К.Г. Проектирование креативной образовательной среды на основе информационных технологий в ВУЗе. Автореферат докторской диссертации. Ярославль, 2003. 40с.

140. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач.//Автореферат докторской диссертации. М.: 1992. 37с.

141. Кудрявцев В. А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: ACT, 2005. 654 с.

142. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М.: Наука, 1977. 112с.

143. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985. 144с.

144. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Т.2, Интегралы, ряды. М.: Физматлит, 2003. 504с.

145. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Ряды. М.: Альфа. 1998. 400с.

146. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб: Лань, 2005. 240с.

147. Кузнецов С.И. «Садко» система автоматизированного диалога и полиативного обучения.//Человеко-машинные обучающие системы. Вопросы кибернетики. Выпуск 60. М.: 1979. с. 164-169.

148. Кулешова И.И. Формирование математической культуры студентов технических вузов на основе технологии модульного обучения. Автореферат кандидатской диссертации. Барнаул: АГТУ, 2003. 21с.

149. Курс элементарной математики в системе подготовки учителя. // Тезисы докладов X Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Чебоксары, 1992. 134с.

150. Кучугурова Н.Д. Опорные конспекты и творческие задания по курсу частной методики преподавания математики. Методические рекомендации. Ставрополь: СГПУ, 1995. 70с.

151. Леднев B.C. Содержание образования. Сущность, структура, перспективы. М.: Высшая школа, 1991. 223 с.

152. Левина М.М. Образование, как гуманитарная ценность в современной культуре. //Общество, образование, человек. Сборник тезисов докладов 4.1. Ярославль, 1998. С. 84.

153. Ломакина Т.Ю. Развитие системы непрерывного профессионального образования: Методические рекомендации.: 2005. 63 с.

154. Лузин H.H. Интегральное исчисление. М.: Высшая школа, 1961.415с.

155. Луканкин Г. Л., Луканкин А.Г. Высшая математика для экономистов. М: Экзамен, 2006. 285с.

156. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы подготовки учителя математики в педагогическом институте.//Автореферат докторской диссертации, М., 1989. 59с.

157. Ляпунов A.M. Избранные труды. // Комментарии С.Н.Бернштейна, Л.Н.Сретенского и Н.Г.Четаева. М.: АН СССР, 1948. 540с.

158. Мадер В.В. Методика расширения представлений о природе математического знания у студентов-математиков. Кандидатская диссертация, М., 1973. 213с.

159. Магомеддибирова З.А. Методическая система реализации преемственности при обучении математике. Докторская диссертация. М., 2003. 300с.

160. Мазаева Л.Н. Преемственность довузовской и вузовской подготовки, как фактор формирования профессиональной педагогической деятельности. Докторская диссертация, Ярославль. 2002. 392с.

161. Мамедов Р. Курс высшей математики. Том 3. Баку: Просвещение. 1984. 498с.

162. Мамедов Я.Д. О некоторых свойствах решений нелинейных уравнений гиперболического типа в гильбертовом пространстве. ДАН СССР. 158, № 1, 1964. с.45-48.

163. Маркович Э.С. Курс высшей математики. М.: Росвузиздат, 1963.408с.

164. Маркушевич А.И. Ряды. М.: Наука, 1979. 190с.

165. Матросов В.Л. Избранные статьи и доклады. М.: Магистр, 1996.254с.

166. Матросов Л.Н. Деловая игра в подготовке учителя. М.: Магистр, 1996. 133с.

167. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. 846с.

168. Математическая энциклопедия. M.: Советская энциклопедия, 1985.

169. Математика XIX века. Под редакцией Колмогорова А.Н., Юшкевич А.П. М.: Наука. 1987. 306с.

170. Медведов Ф.А. Развитие понятия интеграла. М.: Наука, 1974.423с.

171. Межпредметные и внутрипредметные связи математических курсов пединститутов. // Тезисы докладов XI Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Коломна, 1993. 112с.

172. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 319с.

173. Меркулова М. А. Технологический подход к проектированию курса математического анализа для педагогических университетов. Кандидатская диссертация. М. 1999. 180с.

174. Методическая направленность преподавания физико-математических дисциплин в вузах. Москва. 1980. 215 с.

175. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Физматлит, 2004. 233с.

176. Миракова Т.Н. Дидактические основы гуманитаризации школьного математического образования: Докторская диссертация. Москва, 2001.465с.

177. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности подготовки студентов. М.: Советская педагогика №12, 1985. с.52-57.

178. Мордкович А.Г. Обеспечивая педагогическую направленность. //Вестник Высшей Школы № 12, 1985. с. 22-26.

179. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. // Докторская диссертация, М., 1986. 355с.

180. Мордкович А.Г. Алгебра 6(7). Экспериментальный учебник. М.: Авангард, 1995. 169с.

181. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. М.: Мысль, 1969. 212с.

182. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. Москва: Наука, 1964. 601с.

183. Мышкис А. Д. Что такое прикладная математика? // Вестник высшей школы. №4, 1967. с.74-80.

184. Мышкис А.Д., Садовский Л.А. Прикладная математика. // Квант, 1976. с.41-48.

185. Мышкис А.Д. Об особенности логики прикладной математики. // Сб. научных статей по математике. Министерство высшего и среднего специального образования СССР. М.: Высшая школа №8, 1978. с.11-16.

186. Мышкис А.Д., Шамсутдинов М.М. К методике прикладной направленности обучения математике. // Математика в школе №2, 1988. 132-135с.

187. Нагибина Н.Л. с соавторами. Познание и личность: Типологический подход. М.: Книга и бизнес, 2004. с. 423.

188. Назиев А. X. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в педагогических вузах. Докторская диссертация. М., 2000. 386с.

189. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. М.: Лань, 2003.348с.

190. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Физматгиз, 1974. 479 с.

191. Несие Е.И. Методы математической физики. М., 1977. 199 с.

192. Николаева В.В. Учебно-исследовательская работа студентов как средство совершенствования методической подготовки учителя математики. //Автореферат кандидатской диссертации. Минск, 1985. 18с.

193. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебник для ВУЗов. М.: Физматлит, 2001. 592с.

194. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. Под общей редакцией. Е.С. Полат. М.: Наука, 1999. 223с.

195. Нугмонов М. Теоретико-методологические основы методики обучения математике. Докторская диссертация. Душанбе, 1999. 306с.

196. Очан Ю.С., Шнейдер В.Е. Математический анализ. М.: Учпедгиз, 1961.874с.

197. Очерки развития математики в СССР (1917-1977). Киев, Наукова думка, 1983. 763с.

198. Педагогика и психология высшей школы. Ростов на Дону, 1998. 544с.

199. Петрова В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях. Докторская диссертация: М., 1998. 410с.

200. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. Российская Академия образования. М.:ВЛАДОС, 1999.311с.

201. Попков В.А. Коржуев A.B. дидактика высшей школы:Учеб.пособие для студентов.- М.: Академия, 2001.- 136 с.

202. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2 М.: Интеграл-Пресс, 2004. 576с.

203. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математики. Часть 2. М.: Айрис-Пресс, 2002. 198с.

204. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. 448с.

205. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. 463с.

206. Понтрягин Л.С. Анализ бесконечно малых. М.: Физматлит, 2004. 256с.

207. Проблемы Гильберта. // Сборник. Под, общ, ред. П.С.Александрова. М.: Наука, 1969. 39с.

208. Проблемы двухступенчатой подготовки учителя в педвузах. // Тезисы докладов XII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Липецк, 1993. 175с.

209. Проблемы стандарта подготовки учителя математики в педвузах. // Тезисы докладов XIV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Орск, 1995. 167с.

210. Прудников А.П., Брычков Ю.А, Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Физматлит, 2003. 631с.

211. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 415с.

212. Раухман A.C. Формирование методических умений и навыков у студентов математической специальности педагогических институтов. // Кандидатская диссертация. Киев. 1976. 194с.

213. Reviews of Mathematical Software j Computers and Mathematics, 1936 V. 40. N6. p. 613-623.

214. Роджерс К. Творчество, как усиление себя. //Вопросы психологии №. 1. М„ 1990, с.164-168.

215. Рожков М.И. Теоретические основы педагогики. Ярославль, 1994.63с.

216. Рожков М.И., Байбородова Л.В. Организация воспитательного процесса в школе. М., 2000. 256с.

217. Розанова С. А. Формирование математической культуры студентов технических вузов. Докторская диссертация. Москва, 2003. 327с.

218. Ромашина С.Я. Дидактические основы формирования культуры коммуникативного воздействия педагога: Учебное пособие для студентов педагогических вузов. Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002. 204 с.

219. Рудин У. Основы математического анализа. Санкт-Петербург: Лань, 2002. 319с.

220. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии./Сост. A.B. Брушлинский, К.А. Абульханова. Спб., М., Харьков, Минск, 1999. 802с.

221. Сахаров Ю.К. Вычисление сумм числовых рядов. Санкт-Петербург 2003. 37с.

222. Сборник задач по курсу высшей математики. Для ВТУЗов. Под редакцией Дюбюка Кручковича. М.: Высшая школа, 1963. 652с.

223. Седова Л.Н. Становление творческой личности в условиях развивающей образовательной среды. Автореферат докторской диссертации. М.,2000. 26 с.

224. Серикбаев В.Е. Совершенствование подготовки будущих учителей математики в педагогических институтах к реализации межпредметных связей в средней школе. Кандидатская диссертация. СПб., 1987. 205с.

225. Сериков В.В. Образование и личность. М., 1999. 272с.

226. Сидоров Ю.В. Преемственность в системе обучения алгебре и математическому анализу в школе и в вузе.// Диссертация в форме научного доклада на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., 1994. 35с.

227. Сластенин В.А.Педагогика М.: Издательский дом МАГИСТР-ПРЕСС, 2000. 488с.

228. Смирнов В.И. Курс высшей математики. T.l М.: Наука, 1965. 479с.

229. Смирнов В.А. Функции нескольких переменных. М.: Прометей, 1993. 169с.

230. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования. От деятельности к личности. М., 1995. 271с.

231. Смирнова Т.М. Формирование научного творчества студентов колледжа в педагогическом процессе как средство развития творческой активности //Общество, образование, человек. Ярославль 4.1, 1998. с.253.

232. Смыковская Т.К. Теоретико-методологические основы проектирования методической системы учителя математики и информатики. Докторская диссертация. Москва, 2000. 383с.

233. Солодова Е.А., Холодов E.H. Методические рекомендации по разработке компьютеризованного учебника// Компьютерная технология обучения: сб. Акад. им. Ф.Э.Дзержинского. -М., 1993. С. 157- 163.

234. Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1981. 1599с.

235. Consewriter version. Anthor's Guile. SH 20 1009. IBM Program Product. 1973.

236. Стратегия модернизации содержания общего образования материалы для разработки документов по обновлению общего образования. М., 2001. http://www.informica.ru/text/goscom/general/

237. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-воМГУ. 1975.343 с.

238. Тасмуратова С.С. Методические основы интенсификации обучения по курсу математического анализа в педвузе. Кандидатская диссертация. М.: 1997. 174с.

239. Терешин H.A. Прикладная направленность школьного курса математики. М.: Просвещение. 1990. 97с.

240. Темербекова А. А. Методика преподавания математики. Учебное пособие для студентов вузов. М.: ВЛАДОС, 2003. 175с.

241. Тихонов А.Н. Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М.: Наука, 1979. 206с.

242. Тихонравов Ю.В. Экзистенциальная психология. М., 1998. 238с.

243. Толстов Г.П. Курс математического анализа. Том II, М.: Государственное издательство ТТЛ, 1957. 543с.

244. Ткаченко М. Е. Обеспечение преемственности изучения математического анализа в системе колледж — вуз. Кандидатская диссертация. Новосибирск, 2004. 216с.

245. Трелиньски Г. Теоретические основы прикладной ориентации обучения математике и их реализации в школах ПНР. Докторская диссертация. М. 1989. 298 с.

246. Туркина ß.M. Установление преемственных связей в преподавании математики в условиях развивающего обучения. Докторская диссертация. СПб., 2003. 340с.

247. Тюлина А.Н. Жозеф Луи Лагранж. М.: Наука, 1977. 223с.

248. Улуходжаев А. Усиление прикладной направленности преподавания курса математического анализа в педагогическом институте. Кандидатская диссертация. Ташкент, 1986. 169с.

249. Утенков В.М., Овсянников В.И. Ценностные ориентации студентов педагогического вуза. // Педагогика №5 1998. с.70-72.

250. Федорова В.Н. Кирюшкина Д.М. Межпредметные связи. М.: Педагогика, 1972. 152с.

251. Феликс Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть I. Л.: Изд. Научно-технической литературы, 1937. 432с.

252. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики. // Углубленное изучение алгебры и начала анализа. М. 1977. с.215-239.

253. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 М.: Физматлит, 2001. 864с.

254. Фрид Э, Пастор И, Ревес П, Рейман И, Ружа И. Малая математическая энциклопедия. Издательство академии наук Венгрии. Будапешт, 1976. 499с.

255. Фоминых Ю.Ф. Теоретические основы развития научного мировоззрения учащихся средней школы в системе математического образования. Автореферат докторской диссертации. М.: 1993. 36 с.

256. Формирование учебной деятельности студентов // Под ред. В.Я. Ляудис. М.: Наука, 1989. 240с.

257. Фрейденталь Г. Математика, как педагогическая задача. М.: Просвещение. 1982. 160с.

258. Фридман JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. 160с.

259. Фролов H.A. Курс математического анализа. Часть II (Пособие для пединститутов). Москва: Учпедгиз, 1963. 350с.

260. Фролов СВ. Шостак Р.Я. Курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1966. 663с.

261. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода. Докторская диссертация. Мурманск, 1994. 372с.

262. Хозиев В.Б. Практикум по общей психологии.Уч.пособие для Вузов. 2-е изд.,стер. Академия 2005 г. 272 с.

263. Хусаинова 3. И. Проектирование творческой деятельности учащихся как технология гуманитарно-ориентированного обучения математике. Кандидатская диссертация. М., 2001. 183с.

264. Черкес-Заде Н.М. Межпредметные связи как условие совершенствования учебного процесса. Кандидатская диссертация. М., 1968. 198с.

265. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Том 2. СПб. Политехника: 2003. 156с.

266. Чернилевский Д.В., Филатов O.K. Технология обучения в высшей школе. М.: Наука, 1996. 288с.

267. Шабуш М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов ВУЗов. Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М. 1994. 27 с.

268. Шаронин Ю. В. Психолого-педагогические основы формирования качеств творческой личности в условиях непрерывного образования. Докторская диссертация. М., 1998. 403 с.

269. Шварц Л. Анализ. Т.2. М.: Мир. 1972. 528с.

270. Шварцбурд СИ. Проблема повышения математической подготовки учащихся. Авторский доклад об опубликованных работах, представленный на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., 1972. 105 с.

271. Шварцбурд С.И., Фирсов В.В. О проблемах совершенствования факультативных занятий по математике. Факультативные занятия в средней школе. М.: Педагогика, 1973. с.68-81.

272. Шкерина Л.В. Профессионально-ориентированная учебно-познавательная деятельность студентов в процессе математической подготовки в педвузе. Докторская диссертация. Красноярск, 1999. 332с.

273. Щипачев B.C. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006. 364с.

274. Щипачев B.C. Курс высшей математики. М.: Проспект, 2005. 385с.

275. Филатова Л.О. Развитие преемственности школьного и вузовского образования в условиях введения профильного обучения в старшем звене средней школы: Монография. 2005, 191с.

276. Эрдниев П.М. Математика. Алгебра. Элиста: Калмыцкое книжное издательство, 2003. 96с.

277. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М.: Наука, 1968.591с.

278. Яковлев Г.Н. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004. 584с.

279. Якушева Г.М. и др. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма, 2004. 639с.