автореферат и диссертация по педагогике 13.00.08 для написания научной статьи или работы на тему: Наглядное обучение как фактор усвоения математических понятий студентами педагогических вузов

Автореферат диссертации по теме "Наглядное обучение как фактор усвоения математических понятий студентами педагогических вузов"

од

На правах рукописи

МУРИНА ИРИНА НИКОЛАЕВНА

НАГЛЯДНОЕ ОБУЧЕНИЕ КАК ФАКТОР УСВОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ СТУДЕНТАМИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ (НА БАЗЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ)

13.00.08-теория и методика профессионального образования 13.00.02- теория и методика обучения математике

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Ярославль 1997

Работа выполнена в Ярославском государственном педагогическом университете им. К.Д.Ушинского

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук, профессор Е.И.Смирнов

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, доктор педагогических наук,

профессор Г.Л.Луканкин профессор В.А.Кузнецова

Ведущая организация: ■ Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена

Защита состоится " 11" м+оня 1997 в /Г часов на заседании диссертационного совета К113.27.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата педагогических наук при Ярославском государственном педагогическом университете им. К.Д.Ушинского в помещении института педагогики и психологии по адресу: г.Ярославль, Которосльная набережная, д.44, ауд. 206.

Отзывы на реферат направлять по адресу: 150000, г.Ярославль, ул. Республиканская, д. 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке педуниверситета.

Автореферат разослан " & " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат педагогических наук, доцент -

СЛ.Паладьев

Общая характеристика работы

Демократизация общественной жизни, изменения в структуре высшего педагогического образования, появление средних школ разного профиля имеют в своей основе коренной поворот к гуманистическим позициям функционирования современного образования. Индивидуализация обучения, дифференцированный подход, использование новейших достижений психологии и педагогики для совершенствования процесса обучения, поиск оптимальных условий для усвоения сложного математического содержания требуют от учителя не только высокой компетентности в предметной области, но и достаточной подготовленности к самообразованию, к проявлению творчества. Поэтому вся деятельность педагогического вуза, его задачи, планы, программы исходят из потребности в поисках нового, оптимального в методах, средствах и формах обучения, способствующих формированию целостной системы научных знаний.

Эта задача особенно актуальна в отношении математических дисциплин: с одной стороны, это подтверждается ведущим положением математики как среди фундаментальных, так и среди прикладных наук, что находит свое яркое проявление в их интенсивной математизации; и, с другой стороны,- трудоемкостью математики как учебного предмета, обусловленной прежде всего многоступенчатым характером математических абстракций.

Проблемы совершенствования специальной и методической подготовки будущего учителя математики исследовались учеными-методистами Н.Я.Виленкиным, Н.В.Метельским, И.Я.Новик, М.В.Потоцким, А.А.Столяром, Р.С.Черкасовым и многими другими. В докторской диссертации А.Г.Мордковича разработана концепция профессионально - педагогической направленности обучения математике в педвузе. Разработке научно-методических основ профессиональной подготовки учителей математики в педвузе на основе комплексного исследования ее различных аспектов посвящена докторская диссертация Г.Л.Луканкина.

В процессе изучения в педвузе математических и методических дисциплин студент овладевает различными математическими понятиями, системами понятий и теорем, методами исследования и конкретизации как основ'ой профессиональной готовности учителя математики. Поэтому актуальной является проблема такой организации целостного процесса наглядного обучения математике, когда представления, возникающие в мышлении обучаемых, отражают основные, существенные стороны предметов и явлений, процессов.

Наглядное обучение метематике выступает фактором усвоения математических понятий, если оно трактуется в расширительном плане: как процесс формирования адекватного категории цели результата внутренних действий обучаемых посредством

моделирования отдельного математического знания или организованного набора знаний.

Такой подход к наглядному обучению математике реализован Т.Н.Карповой и Е.И.Смирновым только для средней школы, и поэтому является актуальным рассмотрение данной проблемы для высшего педагогического образования.

Среди многообразия изучаемых в вузовских курсах математики тем можно выделить те, которые отражают глубокие внутренние взаимосвязи, цементируют учебный материал, способствуют реализации дидактических целей. Одной из таких сквозных тем курсов математического анализа, элементарной математики и практикума по решению математических задач (ПРМЗ).методики преподавания математики (МПМ) является тема "Элементарные функции".

Значимость этой темы закреплена в Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования Российской Федерации (1995г.). Известно также, что школьное математическое образование осуществляется по пяти методико - содержательным линиям, одна из которых -функционально - графическая - практически посвящена элементарным функциям.

Результаты в области методики изучения системы функциональных понятий в различных аспектах, методики преподавания элементарных функций в педвузе и в школе изложены в диссертациях А.В.Абрамова, В.В.Андреева, В.А.Байдака, Н.А.Богуш, М.В.Бородиной, Ю.Б.Великанова, О.Ю.Глуховой, В.В.Затакавай, О.И.Федяева и многих других исследователей.

Элементарные функции являются средством конкретизации основных понятий математики: производной, интеграла, ряда , уравнения и т.п. Знание элементарных функций является одной из основ математической культуры будущего учителя, средством представления целостности и единства математических знаний будущего учителя и всей школьной математики в целом, основой профессионально-педагогической направленности обучения математике в вузе и, в итоге, основой практической деятельности учителя математики. Именно это и определило актуальность темы нашего исследования.

Но, несмотря на интенсивное развитие методики преподавания элементарных функций, многие учителя и учащиеся не обладают в достаточной мере целостным представлением об элементарных функциях и классе элементарных функций. Об этом свидетельствуют многолетний опыт работы ученых - методистов, отраженный в публикациях в журнале "Математика в школе" (М.И.Башмаков, Н.Я.Виленкин, Г.В.Дорофеев, А.Г.Мордкович и др.) и различных сборниках, посвященных методике обучения математике в педвузе, результаты вступительных экзаменов, оценка качества знаний будущих учителей на государственных экзаменах по математике и МПМ.

Выпускники физико-математических факультетов

педагогических вузов не обладают в достаточной степени профессиональной готовностью к реализации различных методик формирования основных математических понятий, связанных, в частности, с осуществлением уровневой и профильной дифференциации обучения математике в школах разных типов.

Результаты экспериментальной работы, характеризующие уровень предметной и методической подготовки учителя математики, теоретический анализ разнообразных литературных источников (монографий, диссертаций, статей, учебников, отчетов) позволили выделить ряд противоречий:

•между практической значимостью математического содержания (основные математические понятия) и унифицированной, узко направленной методикой обучения математике в педвузе;

•между абстрактностью и сложностью исследуемых математических понятий: элементарная функция, класс элементарных функций, производная, экстремум - и уровнем использования современных методов обучения математике;

•между объективно существующими компонентами целостного представления об элементарных функциях и реальным учебным содержанием курсов математического анализа, элементарной математики и практикума по решению математических задач ,

мпм.

Эти противоречия определили проблему исследования: при каких условиях наглядное обучение выступает в качестве фактора усвоения математических понятий студентами физико-математических факультетов педвузов в процессе изучения математического анализа, элементарной математики и ПРМЗ, методики преподавания математики.

Цель исследования - определить и обосновать условия использования наглядного обучения в качестве фактора, влияющего на качество и целостность усвоения математических понятий студентами физико-математических факультетов педвузов.

Объект исследования - наглядное обучение математике и методике преподавания математики на физико-математическом факультете педвуза.

Предмет исследования - педагогические условия использования наглядного обучения как фактора, определяющего качество и целостность усвоения математических понятий на базе элементарных функций студентами физико-математического факультета педвуза.

Гипотеза исследования: наглядное обучение может являться фактором, определяющим качество и целостность усвоения математических понятий на базе элементарных функций, формирующих основу профессиональной деятельности учителя математики, если:

•научно обосновать представление о целостности наглядного обучения математике в педвузе, включая общую профессионально-педагогическую направленность на достижение поставленной цели, методы, формы и средства обучения на основе сочетания различных видов наглядности (структурной, оперативной, формализованной, преемственности) в обучении студентов математике;

•создать целостную модель класса элементарных функций и модель целостного процесса изучения темы "Элементарные функции" в единстве трех компонентов: теоретического (математический анализ), практического (элементарная математика и ПРМЗ), методического (МПМ);

• разработать методику исследования элементарной функции на экстремум альтернативными методами.

Исходя из цели, объекта, предмета исследования, выдвинутой гипотезы, были поставлены следующие задачи:

1. Разработать теоретические основы наглядного обучения математике в педвузе в контексте целостного восприятия.

2. Обосновать методику использования различных видов наглядности в обучении студентов физико-математического факультета педвуза при целостном изучении тем "Элементарные функции", "Производная", "Экстремум функции".

3. Разработать методику обучения студентов физико-математического факультета педвуза исследованию элементарных функций альтернативными методами.

4. Обосновать методами статистического анализа влияние наглядного обучения на качество и целостность усвоения математических понятий студентами педвузов.

Методологическую и теоретическую основу диссертации составили философские, психолого-педагогические и методико-математические исследования, связанные с проблемой исследования: общенаучный метод системного подхода (В.Г.Афанасьев, И.В.Блауберг, В.Н.Садовский, Б.Г.Юдин и др.), деятельностный подход к учению как процессу сознательной, целенаправленной познавательной деятельности, организуемой с помощью определенных познавательных средств (А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн), концепция наглядного обучения математике (Т.Н.Карпова, Е.И.Смирнов), концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике в педвузе (А.Г.Мордкович).

В ходе решения поставленной проблемы использовались следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, учебной математической, методической литературы, вузовских и школьных программ, материалов педагогической печати по проблеме исследования; изучение педагогического опыта; анкетирование, тестирование; констатирующий , поисковый и обучающий эксперименты.

База исследования: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, школы № 33, 52, 76 г.Ярославля.

Основные этапы и организация исследования.

На первом этапе исследования (1988-1990 гг.) изучались различные подходы к наглядному обучению математике, в том числе концепция наглядного обучения Т.Н.Карповой, Е.И.Смирнова, развивающая трактовка А.Н.Леонтьева ("внешняя опора для внутренних действий обучаемых") и В.Г.Болтянского ("изоморфизм плюс простота") применительно к математической деятельности. Продолжался поиск наиболее эффективных путей представления элементарных функций в курсах математического анализа, ПРМЗ и МПМ.

Проводились обследования студентов, преподавателей, учителей, методистов с целью выявления их профессиональной и личностной точек зрения на процесс наглядного обучения математике. Исследовались пути адекватного отражения в школьной математике разрабатываемых приемов организации познавательной деятельности студентов при изучении математических понятий.

На втором этапе (1990-1995 гг.) реализовывалась концепция исследования путем внедрения конкретных методик обучения студентов основным математическим понятиям в трех направлениях: теоретическом, практическом, методическом и осуществлялась опытно-экспериментальная работа с контрольной и экспериментальной группами студентов.

На третьем этапе (1996-1997 гг.) проводился статистический анализ результатов экспериментальной работы и оформлялась рукопись диссертации.

Научная новизна исследования состоит в том, что впервые на основе концепции наглядного обучения разработана и обоснована методика изучения элементарных функций в математических и методических курсах педвузов. Впервые на основе асимптотического представления непрерывной функции в точке разработана оригинальная методика исследования элементарных функций на экстремум и на этой основе построено алгебраическое (нетопологическое) определение производной рациональной функции и дифференциальное исчисление на множестве таких функций.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке педагогических условий использования наглядного обучения как фактора, определяющего качество и целостность усвоения математических понятий на базе элементарных функций; концепции наглядного обучения математике применительно к педагогическому процессу в педвузе; научно обоснованного представления о целостности наглядного обучения математике в педвузе.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанная методика наглядного изложения учебного материала способствует формированию целостного представления о математических объектах, формированию профессионально значимых умений будущего учителя. Содержательная математическая часть исследования может быть внедрена в практику

работы средней школы и преподавания курсов математического анализа, элементарной математики и ПРМЗ, МПМ в педвузах.

Достоверность результатов исследования подтверждается анализом теоретических основ процесса обучения студентов, соотнесением теоретического материала с данными проверенных научных концепций и передового педагогического опыта, результатами педагогического эксперимента и опытом преподавательской деятельности автора.

На защиту выносятся:

• Основные положения концепции наглядного обучения математике (структура, содержание, компоненты, личностная ориентация, вариативность) применительно к педагогическому процессу в педвузе.

• Модель целостного процесса изучения темы "Элементарные функции" в единстве трех компонентов (теоретического, практического и методического) на основе использования различных видов наглядности: структурной, преемственности, фоновой, формализованной, оперативной.

• Методика исследования элементарной функции на экстремум на основе асимптотического представления непрерывной функции, построение алгебраического (нетопологического) определения производной рациональной функции и дифференциального исчисления на множестве таких функций.

Апробация исследования осуществлялась автором через публикации (статьи, пособия, методические рекомендации). Результаты исследования докладывались и обсуждались на научно-методических конференциях Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского (1987-1996 гг.), на "методическом семинаре МПГУ (руководитель - профессор В.И.Мишин, 1989 г.), на заседаниях республиканского научно-методического семинара "Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки будущего учителя" (руководитель - профессор А.Г.Мордкович) в Барнауле (1990 г.), Рязани (1991 г.), Чебоксарах (1992 г.), Орске (1995 г.), Санкт-Петербурге (1996-97 гг.).

Внедрение результатов осуществлялось при обучении студентов физико-математического факультета ЯГПУ, на курсах повышения квалификации учителей г. Ярославля и Ярославской области, на факультативных занятиях в школах г. Ярославля.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы, определены - цель, объект, предмет , задачи, гипотеза, методологические основы, методы исследования, его этапы. Раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе "Использование наглядного обучения как фактора целостности восприятия математических объектов" дается характеристика функциональной, операционной и мотивационной доминант целостности восприятия математических объектов.

Целостность восприятия математических объектов предполагает чувственно воспринимаемую знаковую математическую модель основных существенных признаков и структуры внутренних и внешних взаимосвязей объекта в соответствии с вектором цель-результат. При этом необходимость внешних взаимосвязей указывает на общую направленность компонентов математического объекта, подчеркивая его целостность.

Моделирование позволяет организовать формирование у студентов полноценных умственных действий по третьему типу ориентировки П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной, когда предполагается метод анализа математического объекта для самостоятельного составления полной ориентировочной основы действий. Существенно также, что "...актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной активности субъекта, т.е. занимает структурное место непосредственной цели внутреннего или внешнего действия в системе той или иной деятельности"( А.Н.Леонтьев).

Таким образом, для того, чтобы студент усвоил целостность математического понятия, необходимо ввести эту целостность в виде знаковой математической модели и сделать ее усвоение целью его действий в процессе обучения.

В качестве признаков целостного математического объекта выделяются следующие: основные существенные компоненты; структура внутренних взаимосвязей; структура внешних взаимосвязей; интегративность; функциональность; обобщенность. При этом полнота, содержание и объем признаков определяются целеполаганием и местом математического объекта в системе математических знаний.

Поскольку знание закономерностей организации целого и его восприятия является необходимым условием успеха во многих видах деятельности, постольку знание этих закономерностей должно стать необходимым компонентом общей культуры любого человека, и способность воспринимать целое необходимо включить в профессиональные качества.

Рассматривая наглядное обучение как "процесс формирования адекватного категории цели устойчивого результата внутренних

действий обучаемых при непосредственном восприятии приемов деятельности, отражающих моделирование отдельного знания или организованного набора знаний"(Е.И.Смирнов, Т.Н.Карпова), можно утверждать, что использование наглядности в процессе обучения математике в вузе выражает непременное условие начального целостного раскрытия внешних признаков и свойств изучаемого объекта.

Наглядное обучение определяет процесс формирования понятия со стороны обучающего как взаимосвязь дидактической схемы формирования понятия и ее реализации, с учетом того, что формируется результат адекватный категории цели, если для каждого отдельного внешнего действия известен его исходный и планируемый уровень внутренних действий при условии коммутативности диаграммы (рис. 1),

где а - внешнее действие; ■

9(*1

9

/:а->/(а) - дидактическая схема;

- реализация дидактической схемы;

I - отображение булеана множества результатов внутренних действий по овладению понятием на себя;

I - отображение множества внешних действий на себя.

В соответствии с этим, опираясь на выводы А.Н. Леонтьева, теория наглядного обучения математике выделяет структурные и опорные внешние действия обучаемых,

Рис.1

где 1-организованный набор знаний;

2-модель объекта восприятия;

3-результат внутренних действий обучающих при непосредственном восприятии.

Процесс обучения

а

Рис.2

В процессе обучения математике в вузе формирование адекватного категории цели результата занимает, как правило, длительный промежуток времени. Так, одним из узловых, опорных понятий является понятие элементарной функции. Однако процесс формирования этого понятия во всем разнообразии логических взаимосвязей, исторических подходов, практических навыков оперирования с ним пронизывает почти весь курс математического анализа, элементарной математики и ПРМЗ, методики преподавания математики в школе. Поэтому процесс восприятия учебного материала предполагает наличие узловых, опорных, характерных, специфических качеств объекта восприятия, будь то отдельное

и

знание или организованный набор знаний. Именно формирование этих качеств объекта восприятия (модель) и представляет суть наглядного обучения.

Важной функцией наглядности является образование целостных представлений, которые кладутся в основу понятий, обеспечение связи наблюдаемых признаков и создаваемых представлений с сознательным и глубоким пониманием существа предмета изучения.

На основании классификации внешних действий обучающего и градации приемов деятельности, отражающих способы моделирования отдельного математического знания гаи организованного набора знаний, выделяются следующие виды наглядности: оперативная, структурная, формализованная, фоновая, дистрибутивная, преемственности. В диссертации приводятся примеры использования каждого вида наглядного обучения студентов в курсах математического анализа, элементарной математики, методики преподавания математики.

Во второй главе "Элементарные функции в системе предметной и методической подготовки учителя математики" анализируются программы педвузов по математическому анализу, элементарной математике и ПРМЗ, методике преподавания математики с точки зрения соответствия их содержания цели формирования целостного представления у будущего учителя о математическом объекте -классе элементарных функций.

Элементарные функции служат основным базовым звеном преемственности школьного и вузовского преподавания, оставаясь при этом основой профессиональной готовности учителя математики в предметной области. Исходя из Федерального стандарта среднего математического образования, изучение программного материала функциональной линии должно быть так организовано учителем, чтобы ученик в старших классах получил возможность систематизировать и развить знания о функции как важнейшей математической модели, о содержании и прикладном значении задачи исследования функции, обобщить сведения об основных элементарных функциях, развить графическую культуру. Чтобы это осуществить, у учителя должно быть сформировано целостное представление о классе элементарных функций как целостном математическом объекте, на основании которого он мог бы сформировать модель учебной деятельности школьников.

Анализ рассмотренных учебных пособий для вузов также позволяет сделать вывод, что ни в одном из них не ставится вопрос о модели целостного объекта - классе элементарных функций, отвечающей требованиям профессиональной направленности, полноты адекватно поставленным дидактическим целям, оптимальности используемого математического аппарата, взаимообусловленности внутренних взаимосвязей в единстве теоретического, практического и методического компонентов.

Процесс изучения организованного набора математических знаний предполагает переход от простого к сложному , от знания

неполного к более полному, превалирующее направление формирования понятий, умений и практических навыков. Цементируют учебный материал, способствуя дидактическим целям и являясь внешними опорами восприятия студентов, сквозные темы. Элементарные функции - одна из сквозных тем математического анализа. Сочетание различных видов наглядности позволяет построить модель целостного объекта - класс элементарных функций - и модель целостного процесса его изучения. Для изучения элементарных функций в диссертации приведены: опорная таблица кодировки основных знаний, умений, навыков, математических методов; структурный анализ понятия "класс элементарных функций"; структурный анализ понятия "элементарная функция"; структурный анализ понятия "основная элементарная функция"; структурная схема исследования элементарной функции; логический анализ теорем.

Понятие функциональной зависимости - одно из основных понятий высшей математики, и поэтому качество подготовки будущих студентов к усвоению математики в вузе в значительной степени измеряется тем, насколько прочно и глубоко они "свыклись" с этим понятием в школе. Определенный уровень развития "функционального стиля мышления" (Ф. Клейн) не менее важен и для будущего специалиста, деятельность которого напрямую не связана с математикой.

Однако знания функциональных понятий у выпускников средней школы имеют существенные недостатки. Анализ опыта работы со старшеклассниками, абитуриентами, первокурсниками

свидетельствует о том, что их знания часто не являются осознанными, гибкими и прочными. В подтверждение приведем некоторые примеры.

Большинство учащихся и абитуриентов безошибочно дают общее определение функции, используя термин "зависимость" или "соответствие" и не могут подвести под него понятие конкретной трансцендентной функции. На вопрос о характере монотонности функции f(x)=log2(l-x) сразу следует ответ, что "f возрастающая, так как основание логарифма больше единицы".

Ни у кого из абитуриентов не вызывает затруднений ответ на вопрос об области значений функции f(x)=sin х, но в качестве решения уравнения sin х=л получают ответ х=0 или x=k (keZ).

Графики функций f(x)=\/x2 + 5x + 6, f(x)=2*', f(x)=lg(x2+l) и т. п. все без исключения строят, проведя исследования с помощью производной.

В качестве примеров элементарных функций обычно приводятся частные виды многочленов. Вопрос о том, являются ли элементарными функции f(x)=sin х, f(x)=e\ f(x)=lnx?, вызывает затруднения. К неэлементарным функциям могут относиться самые разнообразные, типа f(x)= -Ух + sinx, f(x)=|x|, f(x)=esin*+c°sx, f(x)=7t\ f(x)=x2+sin x+lg x и т. п.

Даже этот далеко не полный перечень примеров позволяет утверждать, что у окончивших среднюю школу достаточно распространенными являются ошибочные обобщенные ассоциации, причем указанные недочеты в знаниях и допускаемые ошибки повторяются из года в год, обладая значительной устойчивостью.

Поэтому формирование целостного представления о классе элементарных функций целесообразно начинать во введении в анализ. В качестве ориентировочной основы действий и операций, определяющей познавательную деятельность студентов, выбирается согласование свойств основных элементарных функций с операциями на множестве этих функций, при реализации которого будут актуализироваться знания о свойствах элементарных функций(монотонность, четность, периодичность, непрерывность, ограниченность), полученные в школьном курсе.

На основе созданной нами системы первоначального исследования элементарной функции студентам предлагается самостоятельно проанализировать теоретические и практические выводы конкретного исследования.

Модель целостного процесса изучения элементарных функций по трем выше указанным содержательным направлениям завершает вторую главу.

В третьей главе "Элементарные функции как средство представления целостности и единства математических знаний" исследуются основные понятия математического анализа -экстремум и производная функции. Исходя из проблемы исследования элементарной функции на экстремум, приходим к необходимости выявления критериев того, когда соответствующее значение аргумента является экстремальной точкой функции, и того, каков характер экстремума функции в данной точке.

В основу исследования на экстремум рациональной функции положен лишь тот факт, что такая функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Пусть f:D—»R рациональная функция и xoeD(f), тогда feC(xo) и, следовательно, в достаточно малой окрестности этой точки она может быть представлена в виде:

f(x)=f(xo)+a(x-xo), (*)

где а(х-хо) —>0 при х->хо и а(0)=0.

Представление функции (*) обычно называют асимптотическим в окрестности точки х=хо.

На основании полученного представления f можно утверждать:

если существует окрестность точки х=хо такая, что в этой окрестности а(х-хо) сохраняет знак, то f(xo) - экстремальное значение.

При этом, если:

1) а(х-хо)>0, то f(xo) - локальный минимум,

2) а(х-хо)<0, то f(xo) - локальный максимум.

На основании этого необходимого и достаточного условия наличия локального экстремума функции в точке доказана

теорема 1. Функция f(x)=aoxn+aixn-l+...+an имеет в точке х= а экстремальное значение f(a)=a тогда и только тогда, когда существует четное к (1<к<п) такое, что ее асимптотическое представление в окрестности этой точки имеет вид

f(x)=a+(x-a)k(boxn'k+b |ХП'Ы+...+b„-k), A(a)=boa"-k+bian-k-1+...+bn-k7íO

При этом, если

1) Д(а)>0, то f(a) - локальный минимум,

2) Д(а)<0, то f(a) - локальный максимум.

При исследовании многочленов на экстремум в школьном курсе математики эта теорема становится очевидной. На основании теоремы 1 получена теорема 2: многочлен f(x)=aox"+aixn-1+...+an имеет в точке х=а локальный экстремум f(a), если

íta)=naoan-1+(n-l)aia.n-2+...+an-i=0 и (**)

P'(a)=n(n-1 )aoa«-2+(n-1 )(n-2)ai ctn-3+...+2an-2*0, при этом, если Г'(а)>0, то f(a) - локальный минимум, если Г'(а)<0, то Да) - локальный максимум.

Отметим, что условия (**) получены чисто алгебраическими средствами (метод неопределенных коэффициентов).

Для рациональной функции общего вида сформулирована

чд. ci \ а0х° + а,х°"'+...+а Р„(х)

теорема3: функция f(x) = —-1—¡--- "

b0xm + b,xm"'+...+bm Qm(x)

имеет в точке х=а локальный экстремум f(a)=a, если существует четное число к (1<к<р; p=max{n,m}) такое, что асимптотическое представление f в окрестности точки х=а имеет вид:

f(x)=f(a)+(x-a)k

QmW Q»(a)

где Рп-к(х)-частное от деления многочлена Pn(x)-aQm(x) на (х-а)к. При этом, если:

1) Д(а)>0, то f(a) - локальный минимум,

2) Д(а)<0, то f(a) - локальный максимум.

Эта теорема также находит применение к тем рациональным функциям, которые исследуются на экстремум в школьной практике.

Полученные алгоритмы дифференцирования рациональных функций позволили завершить этот раздел построением дифференциального исчисления на множестве этих функций.

На основании решения задачи о касательной к кривой удалось распространить понятие производной на некоторые иррациональности.

В четвертой главе "Результаты опытно-экспериментальной работы" содержатся результаты статистической обработки данных, полученных в ходе проведения педагогического эксперимента.

В педагогическом эксперименте использованы следующие методы: анализ научной литературы, анкетирование, контрольные срезы знаний.

Все данные сводились в статистические таблицы, сравнивались, анализировались, подвергались статистической обработке. При этом определялись такие показатели, как "изменение коэффициента усвоения объема математических понятий", "средний балл уровня знаний по учебной дисциплине".

Исследование показало, что расширительное толкование наглядного обучения математике, уточненное нами применительно к обучению математике в педвузе, существенно отличается от традиционных взглядов на наглядное обучение. Последние доминируют в представлениях учителей старших классов о наглядном обучении.

Исследуя сформированность основных математических функциональных понятий у школьников одиннадцатых классов и студентов физико-математического факультета, мы снимали следующие показатели: коэффициент усвоения понятийного аппарата и приращение коэффициента усвоения понятийного аппарата.

Проведенный нами эксперимент показал, что знания абитуриентов педагогических вузов несущественно отличаются от знаний репрезентативной совокупности учащихся 11 классов; в дальнейшем мы исследовали только абсолютное изменение коэффициента усвоения объема понятий, производя замеры в контрольной и экспериментальной выборках. Поскольку первоначальное распределение имело значительную асимметрию, мы пользовались критерием Фишера для проверки нулевой гипотезы.

Рассматривая вопросы влияния наглядного обучения на процесс целостного усвоения знания темы "Элементарные функции", мы обследовали 114 респондентов в экспериментальной группе и 108 в контрольной. Совокупности состояли из студентов 5 курса физико-математического факультета педагогического университета. В качестве параметров, позволивших судить о целостном усвоении темы "Элементарные функции", были выбрани следующие характеристики целостного математического объекта, определенные нами: знание основных существенных компонентов темы; знание структуры внутренних взаимосвязей; понимание структуры внешних взаимосвязей; интегративность; функциональность; обобщенность.

Параметры целостности Экспериментальная группа Контрольная группа

Уровни предъявления Уровни предъявления

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Знание основных существенных компонентов темы (1) 8 21 61 19 5 21 54 17 И 5

Знание структуры внутренних взаимосвязей (2) 4 13 38 52 7 28 31 28 13 8

Понимание структуры внешних взаимосвязей (3) 9 26 62 14 3 29 29 26 21 3

Интегративность (4) 8 27 59 17 3 19 41 27 19 2

Функциональность (5) 4 17 40 48 5 24 34 30 17 3

Обобщенность (6) 6 26 60 18 4 15 42 32 18 1

Диаграмма сравнения уровней предъявления параметров целостности усвоения темы "Элементарные функции" студентами 5 курса

параметра

Данные таблицы позволяют вычислить средний уровень показателя целостности усвоения темы "Элементарные функции".

Данные проведенного дисперсионного анализа позволили утверждать, что существенное различие исследуемого параметра в контрольной и экспериментальной группах обусловлено применением предлагаемой нами методики обучения математике.

Результаты исследования подтвердили гипотезу и позволили сделать выводы:

¡.Наглядное обучение математике в педвузе является целостным педагогическим процессом, раскрывающим структуру внешних признаков и свойств изучаемых математических объектов. Формируемое представление об объекте адекватно категории цели и является устойчивым результатом внутренних действий обучаемых.

2,Ограничение объема математических понятии множеством элементарных функций дает возможность структурного представления понятий производной и экстремума функции в курсе математического анализа средствами наглядности преемственности.

3.Понятие непрерывности на базе элементарных функций, представленное в виде наглядной знаковой модели, позволяет указать критерии наличия локального экстремума, служащие основой для алгоритма исследования функции.

4.Наглядное обучение математике, сочетание различных видов наглядности позволяет организовать изучение сквозных тем с различных точек зрения, аспектов, подходов, позиций. Изучаемые понятия оказываются логически и преемственно связанными, при этом развивают, дополняют и взаимно обогащают друг друга.

Продолжение исследования может найти применение в развитии технологии наглядного обучения математике, создании конкретных методик наглядного обучения другим разделам математики.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. О наибольшем и наименьшем значении функции/1 Математика в школе.-1988.- №5. - С. 28-32. (в соавторстве).

2. Элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная в курсе математического анализа (методические указания) - Ярославль: ЯГПИ, 1988,- 37 с. (в соавторстве).

3. Математический анализ элементарных функций как система факультативов для средней школы. - Деп. в ОЦНИ "Школа и педагогика".- № 459-89.- 25 с. (в соавторстве).

4. Реализация принципа профессионально-педагогической направленности в процессе подготовки студентов к проведению факультативных занятий по математике. - Деп. в НИИВО № 54590,- 8 с.

5. Элементарные исследования функции и построение эскизов графиков: Пособие для учителя. - Ярославль: ИУУ, 1990. -32 с.

6. Реализация принципа наглядности обучения математике в педвузе// Проблемы научно-методического обеспечения учебного процесса: Тезисы Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. - Рязань, 1991.- С. 137-138 (в соавторстве).

7. О наглядном обучении решению задач с параметрами в курсе элементарной математики// Курс элементарной математики в системе подготовки будущего учителя: Тезисы докладов X Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов.-Чебоксары, 1992 .- С. 128 . (в соавторстве).

8. Об обучении студентов исследованию рациональных функций. // Курс элементарной математики в системе подготовки будущего учителя: Тезисы докладов X Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов.-Чебоксары, 1992.- С.45-46. (в соавторстве).

9. К исследованию на экстремум непрерывных функций. - Деп. в ОЦНИ "Школа и педагогика".- № 146-92,- 16 с. (в соавторстве).

10. Согласование научных понятий в процессе преподавания математического анализа// Научные понятия в учебно-воспитательном процессе школы и вуза.-Челябинск, 1994. -С.221-222.

11.0 наглядности преемственности основных понятий математического анализа в школе// Непрерывное педагогическое образование.-Ярославль, 1995.- С.86-94. (в соавторстве).

12.0 методе наглядного обучения в системе методической подготовки учителя!! Проблема стандарта подготовки учителей математики в педвузах: Тезисы докладов XIV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. - Орск, 1995,- С. 155. (в соавторстве)

13.Наглядное обучение математике как средство гуманизации учебного процесса // Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе: Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. - С.-Петербург, 1996. - С. 114. (в соавторстве)

14.0 наглядности преемственности в курсе элементарной математики и МПМ I/ Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе: Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. - С.-Петербург, 1996. -С.100-111.