автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Алгебраические структуры, связанные с интервальной математикой, как средство повышения теоретической подготовки учителей информатики

Автореферат диссертации по теме "Алгебраические структуры, связанные с интервальной математикой, как средство повышения теоретической подготовки учителей информатики"

V. а

Ой

На правах рукописи

КРОПОТОВА Елена Юрьевна

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ, СВЯЗАННЫЕ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКОЙ, КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ

13.00.02. — теория и методика обучения информатике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор Ю. К. Кузнецов

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Г.Г.Меньшиков;

кандидат педагогических наук, доцент И.Б.Готская.

Санкт-Петербургский государственный университет педагогического мастерства.

Защита состоится " 25 " декабря 1997 г. в 16 часов 30 минут на заседании Диссертационного Совета Д 113.05.09 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д.48, корп.1, ауд.209)

Ведущая организация:

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им. А. И. Герцена.

Автореферат разослан

1997 г.

Ученый секретарь /

Диссертационного Совета / 3. И. Новосельцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационное исследование посвящено разработке методики обучения интервальному варианту численных методов и интервальных оценок погрешностей при решении прикладных задач в курсе информатики студентов физико-математических специальностей педагогичесих вузов.

Актуальность исследования обусловлена современными тенденциями в развитии науки. Социокультурная и научная ситуация обуславливает глубокие изменения в методологическом фундаменте образования, а значит ведет к обновлению его компонентов. В процессе подготовки учителя в области информационных технологий выделяются следующие противоречия социально-педагогического характера: между потребностью общества в специалистах с высоким уровнем информационной культуры и недостаточной разработанностью методических путей подготовки таких специалистов, между быстро меняющимся набором обязательных знаний педагога и методами, обеспечивающими единство процесса обучения и требуемого уровня его профессиональной подготовленности, между потребностью учителей в теоретических и прикладных знаниях по использованию информационных технологий в обучении и уровнем научной разработанности методологии этих знаний.

Большой вклад в теорию и практику информатизации сферы образования был внесен Г.А.Бордовским, А.П.Ершовым, В.А.Извозчиковым, Э.И.Кузнецовым, Ю.К.Кузнецовым,

В.В.Лаптевым, Н.В.Макаровой, В.Г.Разумовским, И.А.Румянцевым.

В профессионально-педагогической подготовке учителей информатики приоритет отдается теоретической и технологической сторонам, на которые опирается прикладная. Значение решения теоретических и научно-практических проблем для сферы образования состоит в разработке новых и совершенствовании существующих

методов и средств обучения информатике и информационных технологий и специальных дисциплин. В соответствии с мнением В.В.Лаптева и М.В.Швецкого, к перспективным направлениям развития теоретической информатики можно отнести вычислительную математику, компьютерную алгебру, математическое моделирование и основы вычислительного эксперимента.

Одной из компонент, составляющих педагогическую деятельность учителя информатики, является математический аппарат (паспорт специальности раздел2 п.1.4.), включающий современные численные методы и алгоритмы решения задач алгебры, анализа, численный эксперимент и алгоритмы компьютерной алгебры, оценку погрешностей полученных результатов и определение их достоверности.

В учебные планы подготовки студентов по специальности "Учитель ИВТ" и программы по информатике средних школ включен раздел методы вычислений, в котором отводится особая роль умению решать прикладные задачи и выполнять анализ вычислений (паспорт специальности раздел 2 п. 2.5., 1.4.). Успешность усвоения знаний по информатике представляется через непосредственное общение с вычислительной техникой. Именно процесс решения практической задачи дает такую возможность. Поэтому возникает задача более глубокого пересмотра содержания и методики изложения данного раздела в соответствии с последними научными достижениями.

При разработке учебной дисциплины необходимо ориентироваться на соответствующую область научных знаний. В последние годы широкое распространение при решении численных задач получили методы интервального анализа. Возникновение интервального анализа связано с именем американского математика Рэймона Эдгара Мура, основополагающая работа которого вышла в 1966 году.

Первоначально интервальные методы возникли как средство автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ и впоследствии

превратились в один из разделов современной прикладной математики. При этом в основе лежала идея двусторонней аппроксимации, которая при учете погрешностей приводит к необходимости обобщения понятия вещественного числа. Эта новая технология научных вычислений приводит к гарантированным двусторонним границам искомого результата в тех случаях, когда невозможно получить точное значение.

Последующие исследования показали, что методы интервального анализа могут служить не только для учета ошибок округления на ЭВМ, но и являются новыми аналитическими методами для теоретических исследований.

Вопросы интервалов применительно к различным научным проблемам рассматривались в работах Р. Мура, Г.Алефельда, Ю.Херцберга, Л.Хансена, Ю.И.Шокина, З.Х.Юлдашева, С.А.Калмыкова, Б.С.Добронца, В.М.Нестерова, Г.Г. Меньшикова, Т.Э. Каминского и других ученых.

Основным требованием к оценкам погрешностей является требование их достоверности, состоящее в запрете как их занижения, так и чрезмерного завышения. В отличие от традиционных, интервальные методы позволяют получать решения задач вместе с полным и строгим учетом ошибок вычислений, удовлетворяют требованиям достоверности, отличаются относительной простотой вычислений и легко реализуются на персональных компьютерах. Участие вычислительной техники в интервальных расчетах представляется необходимым в силу того, что несмотря на простоту вычислений, они могут оказаться значительными по объему.

В связи с этим, актуальность исследования мы видим в следующих аспектах. Во-первых, требуется пересмотр содержания и методики изложения раздела методы вычислений, читаемого студентам специальности "Учитель ИВТ", с учетом развития и достижений науки. Во-вторых, необходимо добиться, чтобы будущие учителя, оказавшись в системе школьного образования легче

воспринимали различные тенденции в развитии новых информационных технологий обучения. В-третьих, интеграция России в мировую образовательно-информационную среду, обуславливает необходимость владения интервальной техникой научного счета, так как на международном рынке алгоритмов и программ ей придается все большее значение.

Цели работы. Разработка методики обучения решению прикладных задач в интервальном варианте, получение оценки погрешностей результатов, научное обоснование и реализация модифицированного метода в курсе информатики педагогического вуза.

Объект исследования. Раздел численные методы решения прикладных задач для специальности "Учитель ИВТ", изучаемый в педагогических вузах (паспорт специальности раздел 1), как элемент процесса обучения теоретическим основам информатики.

Предмет исследования составляют содержание этого раздела, ориентированное на исследование интервальных оценок погрешностей вычислений (анализ вычислений) (паспорт специальности раздел2 п. 1.4.), методы и формы обучения разработанным модифицированным методам.

Научная новизна. Получены следующие результаты:

— Теоретически и экспериментально обоснована целесообразность внедрения интервальных методов решения прикладных задач в курс информатики педагогического вуза в рамках раздела методы вычислений.

— Разработана методика обучения интервальным методам студентов специальности "Учитель ИВТ"

— Сформулированы методические рекомендации по ее использованию и пути внедрения теории интервалов в учебный процесс педагогического вуза.

— Предлагается интерпретация численных методов в интервальном варианте. Выполнена сравнительная оценка

классической и интервальной методик для арифметических операций и элементарных функций.

Практическая значимость работы. Получена и доведена до практической реализации методика интервальных методов в курсе информатики как средство ознакомления студентов с современными подходами к анализу точности вычислений при решении практических задач и обработке информации. Материал может стать отдельным факультативным курсом по методике интервальных вычислений или разделом по решению прикладных задач в курсе информатики средней школы.

Методы исследования.

— Теоретический анализ методической, педагогической, психологической, научной, учебной литературы и учебных программ, исследований по проблеме.

— Комплексная диагностика с использованием анкетирования, методик анализа мотивационно-целостных установок обучаемости студентов, усвоенных ими способов деятельности; опыта работы преподавателей.

— Наблюдение за процессом преподавания специальных дисциплин, качества деятельности студентов на лекционных, семинарских, лабораторных занятий, на зачетах и экзаменах.

— Опытно-экспериментальная работа как основной метод диагностирования и коррекции выдвинутой гипотезы и апробирования результатов.

Гипотеза исследования заключается в следующем: если построить доступную и строгую систему интервальных методов, в качестве одного из направлений изучения численных методов, используемых при решении прикладных задач в курсе обучения информатике в педагогическом вузе, то это позволит студентам на более высоком качественном уровне усваивать вопросы, связанные с информационной картиной мира, построением математических моделей, разработкой

алгоритмов, обработкой информации, достоверностью решения задач реальной жизни.

Апробация работы. Теоретические результаты работы и их практические приложения докладывались и обсуждались на Герценовских чтениях / Санкт-Петербург, 1994, 1995, 1996, 1997 / , на конференции по малокомплектной и сельской школе / Арзамас, 1997 /, на заседаниях кафедры прикладной математики РГПУ им. А.И.Герцена, в Вологодском педагогическом институте, в школе, где проводился педагогический эксперимент .

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 126 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 154 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Выносимые на защиту положения.

— Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности внедрения интервальных методов решения прикладных задач в курсе информатики педагогических вузов.

— Методика обучения интервальному варианту численных методов.

— Содержание разработанного курса.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации дано обоснование темы исследования, раскрыта его актуальность, практическая значимость, определены цель, объект, предмет и задачи выбранного направления исследования, отмечены этапы проведенной работы.

Глава I

1." Информатика и вычислительная математика ".

В п. 1.1. "Решение численной задачи" делается краткий обзор литературы относительно подходов к определению понятий "информатика" и "вычислительная математика".

Рассматривается процесс решения численной задачи в информатике с одной стороны и в прикладной математике, с другой.

Проводится сравнительный анализ, выделяются общие и различные черты. Делается вывод о том, что исследуемые процессы достаточно похожи, но отождествить их нельзя: наблюдается определенное наложение в планах решения задач, предлагается сравнительная таблица. Приводятся примеры, являющиеся существенным доводом взаимопроникновения вычислительной математики и информатики.

П. 1.2. "Новые информационные технологии и школьное образование" посвящен интегративным курсам, включающим области знаний информатики, математики и вычислительной математики. Рассматриваются варианты взаимодействий и взаимовлияний школьной математики и школьной информатики и соответственно их методические особенности.

Приводятся примеры авторских единых курсов информатики и математики, реально используемых сегодня в средних школах и гимназиях.

2. "Методическое обоснование перехода к интервальному варианту курса "Численные методы".

В п. 2.1 "Краткий обзор теории интервалов" отмечаются положительные стороны интервальной арифметики, которые состоят в достоверности получаемых оценок погрешностей. Рассматриваются проблемы, которыми занимается интервальный анализ. Он может рассматриваться как эффективный метод решения задачи контроля за погрешностями машинных операций, а следовательно, и транспортабельности программ. Сообщаются некоторые сведения из истории развития интервальной теории.

П. 2.2 "Пути внедрения теории интервалов в учебный процесс" представляет собой методическое обоснование модифицированного курса. Постановка раздела численные методы, читаемого в педагогических вузах в настоящее время базируется на классической теории погрешностей. В связи с тем, что в большинстве случаев, численные методы используются при обработке результатов измерений или экспериментов, классический подход оказывается неоправданным,

так как не обеспечивает достоверности оценки погрешностей. Оценивается положение существующего курса в рамках современной науки и высказывается предположение о необходимости его уточнения и совершенствования. Предлагаются варианты реализации поставленной цели и рассматриваются возможности их внедрения в учебный процесс на современном этапе и в будущем. Анализ вариантов организации обучения решению практических задач в курсе информатики, программы курса "Численные методы", почасовой расстановки лекционных, практических и лабораторных занятий, загруженности студентов показал, что на сегодняшний день возможно парралельно с классическими методами построить систему аналогичных интервальных методов и вести их как спецкурс на основе знаний, полученных в курсе классических численных методов. Отмечаются преимущества такого подхода.

3. "Программа курса".

В данном разделе представлено тематическое содержание модифицированного курса и даются методические рекомендации по использованию предложенной программы.

Глава II "Интервальный вариант численных методов" представляет собой непосредственное изложение методики изучения разработанного спецкурса.

1. "Интервальная арифметика"

Вводится понятие интервального числа: основные объекты интервальной арифметики - замкнутые вещественные интервалы [а;Ь], где а, Ь е Я и а<Ь. В случае а=Ь, интервал [а;а] называется вырожденным или точечным интервалом.

Даются определения, теоремы и следствия из них, описывающие действия над отрезками. Раскрывается, что коммутативность, ассоциативность, существование нейтральных элементов относительно сложения и умножения сохраняются, а дистрибутивность нарушается в интервальной арифметике. Дается определение произведения

интервала на скаляр, доказывается монотонность арифметических операций относительно включения.

Вводятся определения непрерывной и монотонной на отрезке функции, интервального расширения:

Интервально-значную функцию F(Xi,...Xn) интервальных аргументов Xi,...,Xn будем называть интервальным расширением вещественно-значнои функции /(хi,...,xn) вещественных аргументов xi,...хп, если

1. F(X],...,Xn)3{/(xi,...,xn) : XieXi, i=l,...,n}

2. F([xi; xi],...,[xn; x„]) = F(xi,...,xn)=/(xi,...,xn).

Если /(xi,...,xn) - рациональная вещественно-значная функция, то ее интервальное расширение F(Xn) получается непосредственно из / заменой аргументов Xi интервальными аргументами Xi и заменой вещественных арифметических операций соответствующими интервальными операциями.

Доказывается основная теорема интервальной арифметики:

Если F(Xi,...Xn) есть рациональное выражение относительно интервальных переменных Xi, Хг,..., Хп, т.е. конечная комбинация из конечного числа переменных Xj, j=l,...,n, полученная с помощью интервальных арифметических операций, то включения

XjO с ХР\ j=l.....п. влекут за собой включение

F(X,o>,...,X„<'>) с F(Xi<2),...,Xn(2))-

2. "Элементы теории погрешностей"

Приводятся формулы, по которым вычисляются классические и интервальные погрешности для чисел х=[а;Ь] и y=[c,d]:

Динт (х"Ту) = Дх _tAy;

Динт (ху) - 1/2 [ тах( ас,ad,be,bd)- min( ас,ad,be,bd)]

Динт (хТу) = 1/2 [ шах( a/c,a/d,b/c,b/d) - min( a/c,a/d,b/c,b/d)]

и для функции Дх): Д/(х) = I /(b) - /(а)| / 2,

формулы классических погрешностей общеизвестны. Проводится сравнительный анализ погрешностей арифметических операций и

значений элементарных функций, делаются выводы о преимуществах использования интервальных оценок. Они состоят в том, что интервальная методика не требует дифференцируемое™ исследуемых функций, а значит увеличивает класс функций к которым эти оценки применимы, в ней соблюдается основной принцип теории погрешностей, согласно которому оценки погрешностей приближенных значений должны быть достоверными и не могут занижаться (как и чрезмерно завышаться), учитывает все виды возникающих погрешностей в процессе вычислений.

3. "Метрическое интервальное пространство"

Вводится метрика, определения, приводится их геометрическая интерпретация.

4. "Решение алгебраических уравнений"

Проводится постановка задачи, где определяются понятия интервального сжатия, корня уравнения. Рассматривается вопрос о выделении из отрезка таких по возможности узких подынтервалов, которые содержат в себе вещественный корень уравнения, приводятся рисунки. Разбираются методы деления и метод Ньютона, как наиболее удачный при решении уравнений такого типа.

5. "Решение систем линейных алгебраических уравнений" Проводится постановка задачи, вводится определение решения интервальной системы, оптимального интервального решения. Приводится пример решения интервальной системы с иллюстрацией интервального решения и оптимального интервального решения для случая п=2.

Х=(Х1,Х2)-произвольное решение Х°=(Х1°,Х2°)-оптимальное решение,

^ ^о Х2°=[ тДх2); 5ир{х2}]=Пр0х1{х}.

Предполагается, что решением системы

(а^ является множсство Двухмерных точек {х}, образующих

заштрихованную фигуру.

Рассматривается интервальный аналог метода Крамера, матричный метод решения систем, метод Гаусса. Отмечаются условия, разработанные К. Райхманом, при которых возникают осложнения в случае решения систем уравнений методом Гаусса.

Подробно разбирается метод простой итерации, как наиболее точный, учитывающий все виды возникающих погрешностей и дающий право получать результат с любой степенью точности.

В третьей главе "Организация, проведение и результаты педагогического эксперимента" представлены материалы, полученные в ходе констатирующего, поискового и формирующего этапов исследования.

Основу констатирующего эксперимента составляла проблема поиска путей повышения развивающей функции обучения информатике через решение задач реальной жизни, которая в свою очередь представляла проникновение новых достижений науки в учебные программы педвузов.

Задача данного этапа заключалась в анализе состояния обучения. Диагностический этап уточнял и корректировал общие теоретические подходы. Был определен характер и уровень подготовки студентов (профессиональный и образовательный эффект материала и методики его изучения), установлена связь между вузовским и школьным курсом информатики и, в частности, разделом численные методы, выяснены возможности использовать студентами полученные знания в дальнейшей педагогической деятельности.

Исследование, проведенное с применением ряда соответствующих методик (анкетирования, наблюдения, бесед, анализа результатов экзаменов и зачетов, изучения и анализа методической, педагогической, научной литературы, учебных программ) показало отставание содержания исследуемого раздела от достижений

современной науки, выявлено понижение интереса студентов к изучению численных методов решения прикладных задач в связи с отрывом от других дисциплин. Это позволило предложить пути формирования и развития как содержания курса, так и методики обучения численным методам.

Главная задача поискового эксперимента состояла в отборе содержания материала для модифицированного курса и разработке методики обучения.

Был определен объем содержания материала. Изучение методов вычислений предполагалось осуществить на основе интервального анализа, теории новой и еще достаточно не известной широким кругам. Это обстоятельство определило первую задачу, состоящую в отборе содержания для изучения основ нового аппарата — интервальной арифметики.

Вторая задача включала интерпретацию численных методов и оценок погрешностей на новый модифицированный язык. Особенностью этой задачи являлся тот факт, что выбор интервальных численных методов должен ограничиваться критериями доступности, легкости изложения, вычислительной простотой, возможностью программирования.

Выработанные первоначально идеи о том, кто будет изучать новые численные методы и в каком объеме, в ходе работы претерпевали изменения. Были составлены варианты обучения.

Поисковый эксперимент подтвердил предположение о том, что введение новой методики без учета классических численных методов, пока невозможно. Это объясняется тем, что некоторые вопросы интервального анализа, несмотря на выгодность их применения в прикладных задачах, представляют сложность для изучения студентами. Наша задача рассмотреть те из них, которые позволяют увидеть достоинства новой методики: экономичность расчетов, качество получаемых результатов и их оценок, возможность реализации на персональных компьютерах.

Важным результатом поискового эксперимента явилось установление того факта, что необходимо четко выделить основную часть содержания и дополнительный материал, который может изучаться в качестве самообразования для расширения кругозора.

Формирующий этап эксперимента посвящался практическому внедрению разработанной программы.

В эксперименте принимали участие учащиеся 10-11 классов школы-лицея №211 Санкт-Петербурга, занимающиеся на спецкурсе по направлению информатика-математика.

Эксперимент преследовал следующие цели: уточнение и дополнение разработанной программы, практическое внедрение программы, а именно ознакомить учащихся с интервальной методикой вычислений, тем самым повысить образовательную функцию учебных предметов, и продемонстрировать преимущества использования интервального варианта при решении прикладных задач и получении оценок погрешностей.

В программу первого года обучения вошли вопросы изучения численных методов и некоторые вопросы теории погрешностей в классическом варианте. Второй год — период внедрения интервального варианта численных методов и получение результатов. На момент введения основ интервальной арифметики, учащиеся хорошо владели классическими методами решения алгебраических уравнений и систем линейных уравнений, формулами для вычисления погрешностей арифметических операций и значений элементарных функций, техникой алгоритмирования этих методов и реализацией решения практических задач на компьютере. В результате обучаемые могли уловить связь, выясцить сходство и различие численных методов в двух вариантах. Кроме того, задачи, решаемые ранее и ответы на которые уже получены, решались снова, но по новой методике. В этом случае, у обучаемых была возможность часть практического материала выполнять самостоятельно, сравнивая, анализируя и делая выводы о целесообразности каждого метода в отдельности.

Теоретический материал вводился согласно разработанному содержанию главы II и методическим рекомендациям. По окончании теоретического изложения каждой темы проводились практические занятия по решению задач. В начале изучения раздела учащимся предлагалось индивидуальное домашнее задание на весь период изучения темы. Проводились самостоятельные, проверочные и контрольные работы, тесты для проверки уровня запоминания материала.

В конце изучения курса был проведен теоретический зачет, в который вошли вопросы по численным методам как в классическом , так и в интервальном вариантах. Это было сделано с целью не предвосхищать преимущества того или иного метода, а подтвердить их научную значимость.

Итогом нашего эксперимента явилась контрольная работа, которая состояла из набора разнообразных задач. Важным фактом было то, что в ней не указывался способ, которым необходимо было решить задачи, т.е. учащимся предоставлялось право выбора. Основные цели, стоящие перед нами заключались в следующем: проанализировать типы задач, решаемых по интервальной методике, выяснить общую популярность интервальной версии численных методов в экспериментальной группе.

В заключение, для внесения общего эмоционального подъема , была проведена игра-консилиум, на которой "представители" двух направлений разработки численных методов поделились мнениями о преимуществах использования того или иного метода при решении различных прикладных задач.

Для подведения итогов и анализа полученных результатов воспользовались методами статистики.

Эффективность применения методики выяснялась через вычисление результата усвоения предмета, которое определяется с помощью методики вычисления качества знаний по балловым оценкам. Статистической обработке подвергались балловые оценки,

которые характеризуют только одну сторону процесса обучения — качество знаний. Другая сторона — раскрытие творческих способностей (проявление интереса и самостоятельности) не может подвергаться статистической обработке, в этом случае необходимо учитывать индивидуальные особенности отдельных обучаемых.

Итоговая контрольная работа стала материалом для анализа популярности интервальных численных методов у обучаемых. Данный критерий позволил судить об изменении уровня знаний учащихся. Мы не ставили во главу успеха тот факт, что работа выполнена только по интервальной методике. Раскрытие творческих способностей, по нашему мнению, связано с повышением образовательного уровня, умением в различных ситуациях "увидеть" тот способ решения, который обеспечит экономное во времени, эффективное и наиболее точное решение.

Для описания результатов в этом случае мы обратились к векторным диаграммам. Они демонстрируют реализацию второй цели экспериментальной работы — ознакомить учащихся с последними достижениями науки и по возможности популяризировать их.

Диаграмма!. Показывает уровень владения обучаемыми интервальным вариантом численных методов.

0 — численными методами не владеет вообще;

1 — владеет классическими численными методами;

2 — владеет интервальной методикой в применении к простейшим численным задачам;

4 — владеет интервальной методикой в применении к любым численным задачам (в рамках изучаемой программы).

3—1| !|---—

2"Т 7

Н----1—-----------

О

Диаграмма 2. Проявление творческих способностей.

0 — итоговая работа выполнена с использованием только классических численных методов;

1 — работа выполнена с использованием тех и других методов, но без четкой применимости того или иного метода к определенному типу задач;

2 — работа выполнена с использованием только интервальных методов;

3 — работа выполнена с применением обеих методик соответственно типу предложенных задач. 32" 1'

О'

Исследование результатов проведенной работы позволило сделать вывод о том, что экспериментальная методика способствует усвоению основных знаний по разделу численные методы и создает условия для развития выборочной способности применения полученных и ранее изученных научных фактов в различных ситуациях.

В заключении диссертации излагаются выводы и итоги работы, возможные направления дальнейших исследований.

Основное содержание диссертационного исследования отражено в публикациях:

1. Кропотова Е.Ю. Интервальная арифметика и теория погрешностей: Дипломная работа. — Вологда.: ВГПИ, 1992, 42с.

2. Кропотова Е.Ю. Решение систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами // "Герценовские чтения — 95". — Спб.: Образование, 1995, С. 90-91.

3. Кропотова Е.Ю. Совершенствование преподавания численных методов студентам педвузов // Материалы конференции по малокомплектной и сельской школе. — Арзамас.: АГПИ, 1997.

4. Кузнецов Ю.К., Кропотова Е.Ю. Один из аспектов межпредметной связи вычислительной математики и информатики // "Теоретические и методические проблемы подготовки учителя в системе непрерывного образования (математика, информатика). — Мурманск.: МГПИ,1997, С. 54-57.

5. Кропотова Е.Ю. К вопросу о модификации курса "Численные методы" // "Теоретические и методические проблемы подготовка чителя в системе непрерывного образования (математика, информатика). — Мурманск.: МГПИ,1997, С. 57-60.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Кропотова, Елена Юрьевна, 1997 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

1. ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 1.1. Решение численной задачи.

1. 2. Новые информационные технологии и школьное образование

2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПЕРЕХОДА К ИНТЕРВАЛЬНОМУ ВАРИАНТУ КУРСА "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

2. 1. Краткий обзор теории интервалов.

2. 2. Пути внедрения теории интервалов в учебный процесс . 24 2.3. Программа курса "Интервальный вариант численных методов"

ГЛАВА II

ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

1 . Интервальная арифметика

1.1. Интервальные числа.

1. 2. Интервальные арифметические операции.

1. 3. Свойства интервальной арифметики.

1. 4. Монотонность интервальных рациональных выражений. Интервальное расширение.

2 . Элементы теории погрешностей

2. 1. Интервальные погрешности результатов арифметических операций.

2. 2. Сравнение классических и интервальных погрешностей арифметических операций.

2. 3. Интервальные погрешности значений элементарных функций.

2. 4. Выводы.

3 . Метрическое интервальное пространство

3.1. Принятые обозначения.

3. 2. Введение метрики. Необходимые леммы.

4 . Решение алгебраических уравнений

4. 1. Постановка задачи.

4. 2. Методы деления.

4. 3. Интервальный вариант метода Ньютона.

4. 4. Основные леммы и теоремы о сходимости метода.

5 . Решение систем линейных алгебраических уравнений

5. 1. Постановка задачи.

5. 2. Интервальный аналог метода Крамера.

5. 3. Матричный метод решения систем. Обращение интервальных матриц.

5. 4. Метод Гаусса.

5. 5. Пример К . Райхмана.

5. 6. О методах, заведомо порождающих оптимальное интервальное решение.

5. 7. Метод простой итерации.

5. 8. Способ коррекции границ нулевого приближения.

ГЛАВА III

ОРГАНИЗАЦИЯ, ПРОВЕДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Констатирующий эксперимент.

1. Поисковый эксперимент.

1. Формирующий эксперимент. Анализ результатов.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Алгебраические структуры, связанные с интервальной математикой, как средство повышения теоретической подготовки учителей информатики"

Многие математические модели приводят к необходимости решать те или иные задачи с приближенными значениями исходных величин. В практических задачах редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно исходные данные являются результатами измерений, а значит сопровождаются погрешностями, влияющими на точность и возрастающими с увеличением объема вычислений. Поэтому оценка погрешности состоит в поиске промежутка, заключающего искомый результат, причем этот промежуток должен учитывать все виды возникающих погрешностей.

Основным требованием к оценкам погрешностей является требование их достоверности, состоящее в запрете как их занижения, так и чрезмерного завышения. Действительно, указывая, что погрешность величины х ограничена числом А х, мы гарантируем, что в любом случае приближенное значение этой величины находится в интервале [ х- А х; х+ А х] и ни при каких условиях не может выйти за пределы этого интервала. Выполняя над приближенными числами какие-либо операции, по существу работают с отрезками, содержащими эти числа. При этом возникает задача определить операции над отрезками надлежащим образом.

Выход из этой ситуации может быть найден при использовании методов интервального анализа - теории, которая в последние десятилетия приобретает все большую популярность. В отличие от традиционных, интервальные методы позволяют получать решения задач вместе с полным и строгим учетом ошибок вычислений.

Возникает противоречие между необходимостью включить в учебные программы педагогических вузов вопросы, построенные на основе новых достижений науки и отсутствием методики их изучения. Проблема исследования состоит в поиске возможных путей усовершенствования предметной подготовки студентов.

В современной профессионально-педагогической подготовке учителей информатики приоритет отдается теоретической и технологической сторонам, на которые опирается прикладная. В соответствии с мнением В.В.Лаптева и М.В.Швецкого, к перспективным направлениям развития теоретической информатики можно отнести вычислительную математику, компьютерную алгебру, математическое моделирование и основы вычислительного эксперимента [72].

При проектировании учебной дисциплины необходима ориентация на соответствующую область научных знаний. Настоящая работа посвящена разработке и применению интервального варианта методов вычислений. Объектом нашего исследования является раздел численные методы решения прикладных задач в курсе информатики педагогических вузов. Предмет исследования составляют содержание этого раздела, ориентированное на исследование интервальных оценок погрешности вычислений, методы и формы обучения модифицированным численным методам.

Выбор темы исследования обусловлен рядом причин. Описанные выше обстоятельства делают естественным требование, состоящее в том, что исходя из достижений современной науки, школьный учитель должен владеть методикой интервальных вычислений. Сам по себе аппарат интервальной математики представляет интерес, так как дает достаточно строгие оценки результатов решения большинства прикладных задач. И, наконец, третья причина, состоит в том, что студенты физико-математических специальностей должны быть ознакомлены с современными подходами к анализу точности вычислений.

В связи с этим, нашей основной задачей явилась переработка содержания курса численных методов, заключающаяся в замене классических оценок погрешностей на интервальные, которые выгодно отличаются удовлетворением требования достоверности, относительной простотой вычислений и легко реализуются на персональных компьютерах.

Актуальность исследования мы видим в следующих аспектах.

I Во - первых, требуется пересмотр содержания и методики изложения курса численных методов, с учетом развития и достижений науки. Во - вторых, необходимо добиться, чтобы будущие учителя, оказавшись в системе школьного образования легче воспринимали различные тенденции в развитии информационных наук. В-третьих, интеграция России в мировую образовательно-информационную среду, обуславливает необходимость владения интервальной техникой научного расчета, так как на международном рынке алгоритмов и программ ей оказывается значительное внимание [81].

Учитывая актуальность и специфику исследуемой темы, основной цепью настоящей работы является разработка методики решения прикладных задач в интервальном варианте, получение оценки погрешности результатов, научное обоснование и реализация использования модифицированного метода в разделе методы вычислений в курсе информатики педагогического вуза.

Тема в науке разработана слабо, публикаций мало. Разработка темы поможет накопить положительный опыт как в теории интервальных вычислений, так и по ряду теоретических и прикладных вопросов обучения информатике, что определяет научную новизну исследования.

В исследовании впервые представлена возможность использования интервальных методов вычислений при обучении информатике в педагогических вузах.

Практическая значимость работы заключается в разработке содержания усовершенствованного варианта курса численных методов и методических рекомендаций по его использованию.

Этапы исследования.

1. Диагностический этап: выявление проблемы и обоснование ее актуальности (анализ состояния обучения, выявление противоречий, нуждающихся в ликвидации с помощью изменений, анализ литературы).

2. Прогностический этап: разработка программы исследования (постановка цели, формулирование гипотезы, прогнозирование результатов, отбор содержания курса).

3. Практический этап: проведение педагогического эксперимента (реализация разработанной программы, получение результатов, корректировка используемых методов и содержания курса).

4. Обобщающий этап: обработка полученных результатов (соотнесение результатов с поставленными целями, анализ результатов, оформление и описание исследования).

Диссертационная работа выполнена в рамках научно-исследовательской программы "Интегративная открытая развивающая система непрерывного педагогического образования" ( руководитель-действительный член РАО, профессор Г.А.Бордовский) по направлению - "Информационные технологии обучения" (руководитель- профессор В.А. Извозчиков), связанному с разработкой проектов инвариантов обучения студентов и школьников в области информационных технологий.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Результаты исследования и возможности изучения вопросов интервальной теории при обучении информатике и, в частности, численных методов позволяют проводить дальнейшую работу по рассматриваемой тематике, которая может быть как продолжением данного исследования, так и самостоятельным научным исследованием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования:

1. Накоплен положительный опыт в вопросах изучения интервальной арифметики и ее применения в курсе "Численные методы".

2. Выработано мнение о возможности использования нового научного направления в процессе обучения информатике.

3. Предложены программа и методика реализации модифицированного курса "Численные методы" в процессе обучения информатике.

4. Апробирована построенная модель курса, показана ее эффективность и преимущества перед существующими классическими методами.

Использование модифицированной методики

1) повышает теоретическую и прикладную направленность курса;

2) повышает интерес к изучению предмета, развивая тем самым творческие способности и познавательную активность;

3) позволяет довести определенные навыки до автоматизма;

4) создает возможность для самостоятельного получения знаний через решение задач и самоконтроля за ними;

5) вызывает необходимость обращаться к смежным дисциплинам, обеспечивая межпредметную связь;

6) способствует проникновению достижений науки в образовательную сферу, что положительно влияет на повышение профессионального и образовательного уровня студентов и школьников.

Как было показано в главе II, интервальная арифметика - теория, обладающая рядом особенностей, которые ограничивают ее применимость к некоторым классам прикладных задач. Несмотря на это, та часть теории , которая рассмотрена в разработанной методике, выгодно отличается от классических методов главной особенностью, состоящей в получении наиболее точных результатов решения задач и учета ошибок, возникающих при разного рода погрешностях.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Кропотова, Елена Юрьевна, Санкт-Петербург

1. Агекян Т. А. Основы теории ошибок. М.: Наука, 1972. - 72 с.

2. Александров Р. Л. Информатика плюс математика. Проблемы взаимопроникновения / Математика в школе. 1987. № 3 С. 31-32.

3. Алефельд Г., Херцберг Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. - 356 с.

4. Арменский Б. В., Винокуров В. А., Дышлевой П. С. Взаимодействие математики и технологии через ЭВМ в условиях НТР /Вопросы философии. 1983. № 11. С. 51-61.

5. Архангельский С. И. Вопросы измерения, анализа и оценки результатов в практике педагогических исследований. М.: Знание, 1975.-43 с.

6. Бабанский Ю. К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: Дидактический аспект. М.: Педагогика, 1982. - 192 с.

7. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. -744 с.

8. Бабин А. В. Итерационный метод, применимый непосредственно к дифференциальным уравнениям /Вычислительная математика и математическая физика. Т. 23. 1983. №4.- С. 771-784.

9. Бауэр Ф. Л., Гооз Г. Информатика: Вводный курс: В 2 ч. / Пер. с нем. М.: Мир, 1990. - 747 с.

10. Ю.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 476 с.

11. И.Бахвалов Н. С. и др. Задачи по курсу "Методы вычислений". М.: МГУ, 1989. - 127 с.

12. Безменов И. В. Статистическое исследование погрешностей округления при вычислении на ЭВМ. М.: Наука, 1985.

13. И.Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, Т.1. М.: ГИФ-МЛ, 1962.-464 с.

14. М.Бильдюкевич Е. В., Гурачевский В. Л. ЭВМ и микропроцессор: Книга для учащихся. Минск.: Народная асвета, 1990.-207 с.

15. Блехман Н. Н., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложения математики. М.: Наука, 1983. - 624 с.

16. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев.: Наукова думка, 1976. - 272 с.

17. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1983.

18. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высш.шк., 1990. - 544с.

19. Болтянский В. Г., Глейзер Г. Д. К проблеме дифференциации математического образования / Математика в школе. 1988. № 3 С. 913.

20. Бузурханов В. К., Назиров М. У. Формальное интегрирование рациональных функций на ЭВМ. Алгоритмы / АН УзССР, 1984 вып. 54. С. 28-34.

21. Варга Р. С. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Пер. с англ. Ю. А. Кузнецова и А. М. Мацокина. М.: Мир, 1974. - 126 с.

22. Васильев Н. С. О новом подходе к численному решению нелинейных уравнений / Вычислительная математика и математическая физика Т. 30. 1990. № 11. С. 1638-1645.

23. Васильков Г. Д., Загонов В. П. О точности одного метода численного решения обыкновеннных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / Дифференц. уравнения Т. 19. 1983. №7. -С. 1146-1154.

24. Васин В. В., Сидоров А. Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений / Изв. Вузов. Математика. 1983. № 7. С. 13-27.

25. Введение в научное исследование по педагогике: Учебное пособие для студентов педагогических вузов / Ю. К. Бабанский, В. И. Журавлев, В. К. Розов и др . М.: Просвещение, 1988. - 237 с.

26. Виленкин Н. Я. Методы последовательных приближений. М.: Наука, 1968. - С. 68-72.

27. Воеводин В. В. Ошибки округления и устойчивости в прямых методах линейной алгебры. М.: МГУ, 1969. - 103 с.

28. Воеводин В. В. Компьютерная революция и вычислительная математика. М.: Знание, 1988. - 46 с.

29. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

30. Воеводин В. В. Вычислительные методы и программирование. -М.: МГУ, 1974.-319 с.

31. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966. - 296 с.

32. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248 с.

33. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике: Для техникумов. 2-е изд., перераб., доп. - М.: Высшая школа, 1990. -208 с.

34. Воскобойников Ю. Е. Эффективный алгоритм решения плохо обусловленных систем уравнений при интерпретации экспериментальных данных / Автометрия. 1988. № 5. С. 104-110.

35. Вычислительная математика: Учеб. пособие для техникумов / Данилина Н. И., Дубровская Н. С., Кваша О. П., Смирнов Т. JI. М.: Высш. шк., 1985. - 472 с.

36. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.-С. 18-20.

37. Глазунов Н. М., Карпинский Ф. Г., Корняк В. В. Решение некоторых задач алгебры, анализа и математической физики с помощью систем аналитических вычислений на ЭВМ / Кибернетика. 1991. №2.-С. 23-29.

38. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии / Пер. с англ. Л. И. Хайрусовой /. М.: Прогресс, 1976. -495 с.

39. Глебов Е. П., Потапенко А.А. О методе последовательных приближений / Изв. Высш. учебн. заведений. Математика. № 5, 1963. -43 с.

40. Головинский И. А. О методе интерполяции Коши / Ист.-мат. исслед. АН СССР, Инс-т истории естествознания и техники 1985, вып. 28. С. 26-78.

41. Годунов С. К. Решение систем линейных уравнений. -Новосибирск, 1980. 177 с.

42. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. М.: Мир, 1988. - 287 с.

43. Гуляев Г. М., Земзюлина В. Д. Анализ уровня подготовленности абитуриентов на основе результатов вступительных экзаменов / Математика в школе. 1990. № 2. С. 38.

44. Д . Мордухай Болтовский. Психология математического мышления / Вопросы философии и психологии. Кн. 94. - М, 1908. - С. 491-534.

45. Дж. Тейлор. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. -272с.

46. Звенигородский Г. А. Первые уроки программирования. -М.: Наука, 1985. 208 с.

47. Изард К . Эмоции человека. М.: Наука, 1980. - 145 с.

48. Извозчиков В. А. и др. Межпредметные связи и информатика: Метод, рекомендации. Спб.: СПбГУПМ, 1992. - 43с.

49. Ильин В. П. Вычислительная информатика: открытие науки. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 198 с.

50. Ингенкамп, Карлхайнц. Педагогическая диагностика. М.: Педагогика, 1991. - 238 с.

51. Ительсон Л. Б. Математические методы в педагогике и педагогической психологии. Вып. 1. М.: Знание, 1968. - 60 с.

52. Информатика: Энциклопедический словарь для начинающих / Сост. Поспелов Д. А. М.: Педагогика-Пресс, 1994. - 352 с.

53. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

54. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. Методы интервального анализа. Новосибирск.: Наука, 1986. 223 с.

55. Каминский Т. Э. Модификация интервальной арифметики на базе среднего арифметического / Информационно-оперативный материал. Препринт № 6, АН СССР, Сибир. отд-ние /. Красноярск, 1988.-С. 21-23.

56. Каминский Т. Э. Введение групповой структуры на множестве интервальных чисел / Конференция "Интервальная математика". Саратов, 1989.-С. 19-21.

57. Каминский Т. Э., Каминская Э. J1. Модифицированная интервальная арифметика и теория погрешност / Сб. "Вычислительная математика и математическая физика", МГПИ им. Ленина, 1982. С. 96-105.

58. Картавов С. А. Математические термины: Справ. библиогр. словарь. - К.: Выща шк., 1988. - 295 с.

59. Кастрица О. А. О построении интерполяционных формул для матричной функции / Вестник Белорусского ун-та. Сер.1. Физика, математика, механика, 1985. 1. С. 68-70.

60. Клоков Ю. А., Шкерстена А. Я. Оценка погрешности интерполяционных формул Лагранжа -Чебышева / Вычислительная математика и математическая физика. 1987. Т. 27. № 9. С. 1418-1420.

61. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2: Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. - 724 с.

62. Краевский В. В. Проблемы научного обоснования обучения. -М.: Педагогика, 1977. 187 с.

63. Кропотова Е. Ю. Интервальная арифметика и ее приложения / Дипломная работа по математике. Вологда, 1992.

64. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы, Т. 1. М.: Наука, 1976. -304 с.

65. Кузнецов Э. И. Новые информационные технологии и обучение математике / Математика в школе. 1990. № 5. С. 5-8.

66. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М.: Наука, 1990.198 с.

67. Ланцош К . Практические методы прикладного анализа. -М.:ГИФ- МЛ, 1961.-524 с.

68. Лаптев В.В.,Швецкий М.В. Содержание курса информатики для будущих учителей информатики: проблемы и перспективы // Вопросы теории и практики обучения информатике. СПб, 1996.

69. Лапчик М. П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1989. -207 с.

70. Маргулис Л. Ф., Шагбазан А. М. Оценки относительной погрешности некоторых итерационных методов / Докл. АН ТаджССР, Т. 31 №8, 1988.-С. 492-490.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 608 с.

72. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978. 320 с.

73. Математика и информатика: педагогические инновации и научные разработки: Герценовские чтения 95. - Спб.: Образование, 1995.- 160 с.

74. Математика наших дней. Сборник. М.: Знание, 1976. - 64 с.

75. Математический энциклопедический словарь . М. : Сов. Энциклопедия , 1988. - 847 с.

76. Меньшиков Г. Г. Практические начала интервальных вычислений . Учебное пособие. Л.: ЛГУ , 1991 . 92 с.

77. Меньшиков Г. Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Спб , 1996 . - 36 с .

78. Мину М. Математическое программирование : Теория и алгоритмы / Пер . с фр . М .: Наука , 1990 . - 486 с .

79. Михеев В. И. Моделирование и методы теории изменений в педагогике . М .: Высшая школа , 1987 . - 198 с .

80. Михельсон В. С. Элементы вычислительной математики . -М.: Высшая школа , 1966 . 275 с .

81. Михлин С. Г. Некоторые вопросы теории погрешностей . Л.: ЛГУ, 1988.-С. 16-20.

82. Михлин С. Г. , Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения интегральных и дифференциальных уравнений . М.: Наука , 1965 . С . 19-20 .

83. Михлин С. Г. Погрешности вычислительных процессов . -Тбилиси , 1983 . 261 с .

84. Михлин С. Г. О погрешностях вычислительных процессов I. / Изв . Вузов . Математика , 1981 . № 7 (230). - С . 15 .

85. Михлин С. Г. О погрешностях вычислительных процессов II . / Изв . Вузов . Математика , 1981 . № 8 (231). - С. 17 .

86. Монахов В. М. Перспективы разработки и внедрения новой информационной технологии обучения на уроках математики /Математика в школе . 1991 . № 3 . С . 58-62 .

87. Назаренко Т. И. , Марченко J1. В. Введение в интервальные методы вычислительной математики . Иркутск .: ИРГУ , 1982 . - 108с.

88. Раковщик Л. С. Итерационные методы решения уравнений . -Л., 1974 . С . 50-54 .

89. Першиков В. И. Савинков В. М. Толковый словарь по информатике . М.: Финансы и статистика , 1991. - 543 с.

90. Полонский В. М. Оценка качества научно-педагогических исследований . М .: Педагогика , 1987 . - 142 с .

91. Попов Б. А. , Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ . -Киев.: Наук, думка ,1984 . 135 с .

92. Применение ЭВМ в практическом тестировании : Метод . рекомендации к сравнительной эдукологии . (Сост . Извозчиков А. В., Слуцкий А. М.). Спб .: Образование , 1992 . - 84 с .

93. Программа курса " Вариационное исчисление и методы оптимизации " для гос. ун-тов . М .: МГУ , 1977 .-6с.

94. ЮО.Программы средней общеобразовательной школы : Основы информатики и выч . техники . ( Гос . ком . по нар . обр . ) . М . : Просвещение, 1991 . - 43 с .

95. Пуанкаре А. О науке . М .: Наука , 1983 .

96. Пулькин С. П. Вычислительная математика . М . : Просвещение , 1980 . - 176 с .

97. ЮЗ.Пулькин С. П. Вычислительная математика . Пособие для учащихся 9-10 кл . по факультативному курсу . М . : Просвещение , 1974 . 239 с .

98. Рабочие программы и экз . вопросы . Высшая математика , теория вероятности , математическая статистика , математическое программирование . Для инженерно-эконом . ф-та . Рига , 1976 .-51 с.

99. Ю5.Романов В. Н. Экспериментальный курс " Прикладная математика и программирование " / Математика в школе . 1984 . № 4 . С . 38-42.

100. Юб.Рыбников К. А. Очерки методологии математики . М. : Наука , 1987. - 243 с.

101. Рыжова Н.И., Швецкий М.В. Гносеологическое определение информатики: уточнение понятия // Вопросы теории и практики обучения информатике. Спб, 1996.

102. Ю8.СаитовЕ. , Сайтов А. Е. Больше внимания методической подготовке студентов / Математика в школе . 1990 . № 4 . С . 13 .

103. Ю9.Салтыков А. И. , Семашко Г. Л. Программирование для всех. 2-е изд ., перераб . - М .: Наука , 1985 . - 176 с .

104. Ю.Самарский А. А. Введение в численные методы . М.: Наука, 1985. - 192 с.

105. Ш.Саранцев Г. И. О профессионализме в подготовке учителей /Математика в школе . 1990 . № 4 . С . 11 .

106. Скаткин М. Н. Методология и методика педагогических исследований : ( В помощь начинающему исследователю ) . М. : Педагогика , 1986 . - 150 с.

107. Советский энциклопедический словарь . М. : Сов . Энциклопедия , 1979. - 1600 с.

108. Сорокин В. К. Вычислительная математика . Конспект лекций . Калинин , 1973 . 88 с .

109. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний . -М, 1984. -254с.

110. Ташпулатова Ж. Н. Об использовании методов интервального анализа для нахождения корней полиномов . Дипломная работа . Самарканд , 1976 .

111. Теория и практика педагогического эксперимента / Под ред . А. И. Пискунова , Г. В. Воробьева . М .: Педагогика , 1979 . - 207 с .

112. Тихонов А. Н. , Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике . М .: Наука , 1984 .

113. Турчак Л. И. Основы численных методов . М.: Наука , 1987. - 320 с.

114. Фомин Ю. Т., Шокин Ю. И. Особенности интервального варианта метода простой итерации . Красноярск . : ВЦ СО АН СССР , 1984 . / Препринт № 3 АН СССР , Сиб . отд-е /. 22 с .

115. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений . М.: Мир , 1980 . -279 с .

116. Фридман Л. В. Психологический справочник учителя . М , 1990 . - 286 с .

117. Фурунжиев Р. И. и др . Применение математических методов и ЭВМ . Минск .: Вышэйш . шк ., 1988 . 189 с .

118. Черепанов В. С. Экспертные оценки в педагогических исследованиях . М .: Педагогика , 1989 . - 150 с .

119. Шаталов В. Ф. Точка опоры . Организационные основы экспериментальных исследований . Минск .: Университетское , 1990 .- 223 с.

120. Шокин Ю. И. , Захаров А. В. Алгебраическое интервальное решение систем линейных интервальных уравнений Ах=Ь и Ax+d=b .- Красноярск., 1987 .- 12с.

121. Шокин Ю. И. Интервальный анализ . Новосибирск , 1981 .- 112с.

122. Шокин Ю. И. Численный анализ и задачи интерпретации экспериментов . Красноярск , 1987 . - С . 24-30 .

123. Шокин Ю. И. Интервальный анализ .4.1,2.-Новосибирск , 1987 . 139 с .

124. Шокин Ю. И. , Калмыков С. А. Интервальные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Ташкент , 1986.-84с.

125. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения . -Красноярск , 1990 . 18 с .

126. Шокин Ю. И. , Фомин Ю. Т. Введение в машинную интервальную арифметику . Новосибирск . : ИТПМ , 1983 . - 34 с . /Препринт АН СССР , Сиб . отд-е . Ин-т теорет . и прикл . механики , №12/.

127. Шокин Ю. И. , Фомин Ю. Т. Интервальные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их машинная реализация . Красноярск . : ВЦ СО АН СССР , 1985 . - 30 с . / Препринт АН СССР . Сиб . отд-ние ВЦ , № 18 /.

128. Шокин Ю. И., Рогалев А . Н. Пакет интервальных операций для ЭВМ БЭСМ- 6 . Новосибирск .: ИТПМ , 1981 . - 22 с .

129. Шокин Ю. И. Интервальный анализ .4.1. Некоторые задачи анализа и алгебры в интервальной математике. Новосибирск , 1978.- 126 с.

130. Шокин Ю. И. , Фомин Ю. Т. Машинная реализация интервального варианта метода прогонки . Красноярск .: ВЦ СО АН СССР , 1993 . - 33 с . (Препринт / АН СССР . Сиб . отд-ние ВЦ , № 18 ).

131. Юлдашев 3. X. Некоторые вопросы интервального анализа и применение интервальных методов для решения задач вычислительной математики : Автореф . дисс . канд . физ-мат . наук . Новосибирск, 1977 .-Юс.

132. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику . М . : Наука , 1979 .212 с.

133. Язенин А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование / Изв . Рос . АН Техн . кибернетика . 1993 . № 5 . -С. 149-155.

134. Яненко Ю. И. , Шокин Ю. И. , Рогалев А. Н. О принципах построения пакета интервальных операций . / Численные методы механики сплошной среды . 1980 Т . 11 . № 5 . С . 147-151 .

135. Forsait D. , Moler К. Numtrical solution of systems line algebraic equation . New York , Wiley and sons 1969 .

136. Kracht H. , Schsoder G. Zur Intervallrechnung in linearen Raumtn . Computing, 11 (73-79), 1973 .

137. Kracht K. , Mafred . Methods of complex analysis in partial differential equation with application . N . Y ., 1988 .

138. Mendtlson E . Introducsion to Mathematic logic . N . Y . -London , Princeton , 1971 .

139. Moor R. E. Interval analysis , Prentice Hail, Inc ., Englewood , Chiffs , N . I. , 1966 .

140. Nickel К . Intervall Mathemattic , ZAMM , 58 , 1978 . - p . 7285.

141. Nickerson , Charles . Statistical analysis for decission making . N. Y., Prenceton , 1978 .

142. Polya . Mathematical descovery . Vol . 1-2 . N. Y. London ,1965.

143. Ratsehek H. Nichtnumerisehe Aspekte der Intervall arithmetik / Ltcture Notes in Computer Scientes , 29 (1975), 48-74 .

144. Ratsehek H. Die binaren Systeme der Intervall arithmetik Computing , 6 , 295-308 (1970).

145. Schroder G. Charakterisierung der quasilineare Raumes I ( R ) und Klassifizierung der duasilinearen Raume der Dimension 1 und 2 . Cjmputing , 10 ( 111-120 ) , 1972 .

146. Strangl G. , Fix G. J. An analysis of the finit element method . -Englewood Cliffs (N. Y.): Prentice Hall, cop . 1973 У . XIV. - 306 p .

147. Wendorff B. Theoretical numerical analysis . N. Y. , Academic Press . 1966 . 225 p .

148. Wilkinson J. H. R ounding errors in algebraic processes . ( National Physical Laboratory . Notes on Applied science). London , 1963 . -161 p.