автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Дифференциальные уравнения как завершающий этап развития методической линии уравнений в школе

Автореферат диссертации по теме "Дифференциальные уравнения как завершающий этап развития методической линии уравнений в школе"

с л

На правах рукописи

ПОЛЕХИНА Галина Евгеньевна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ЗАВЕРШАЮЩИЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета имени В.И. Ленина .

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор ТЕРЕШИН НА.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАО, профессор БАВРИН И.И.

кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник БОКОВНЕВ О А

Ведущая организация - Московский педагогический университет.

Защита диссертации состоится «21» февраля 1997 г. в 15 часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ имени В.И. Ленина, ауд.301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета имени В.И. Ленина по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного Совета

КУЗНЕЦОВ Э.И.

Задачей обучения математике в современной школе является прочное и осознанное овладение учащимися математическими знаниями, умениями и навыками, приемами учебной работы и умственной деятельности, необходимыми для изучения математики и других предметов, в повседневной жизни и работе, для дальнейшего изучения математики в вузах, для самообразования.

Одним из стержневых вопросов в школьном курсе математики является изучение уравнении. Уравнения широко применяются как в самой математике ( при решении геометрических и алгебраических задач, при решении текстовых задач), так и в физике, биологии, химии, вычислительной технике, экономике, радиотехнике и других областях. Основным способом с помощью которого матенатика применяется в производстве "... является составление уравнения задачи; без уравнений нет математики как способа познания природы".

Изучение практики преподавания математики показывает, что в знаниях большинства учеников псе еше есть существенный недостаток: непрочная связь обшего с конкретным, неумение в полной мере распорядиться знаниями при рассмотрении основных Фактов изучения курса алгебры и математического анализа. Главной причиной этого является недостаточное внимание к Формированию обобщенных знании об уравнениях. Формирование знаний является целью и средством обучения, воспитания и развития учашихся. Овладение приемами является одним из необходимых условий успешного обучения и применения знаний.

Проблеме изучения уравнений в школьном курсе посвяшен целый ряд исследовании: М. И. Башмакова, П. А. Будагшева, Г. с. Крыжко, V. А. Куд-реватова, и. м. Степуро и других.

Большой вклад в усовершенствование методики школьного курса математики внесли II. С. Александров, А. Н. Колмогоров, Ю. М. Колягин, А.И. Маркушевич и другие.

Вопросам, тесно связанным с изучением в школе уравнений, посвяшены работы А. Н. Барсукова , К. С. Муравина,Е. И. Скугоревой и других, особое место уравнениям уделено в методических пособиях Н. Я. Виленкина, ю. Н. Макарычева, А. К. Окунева, П. Б. Талочкина, Л. М. Фридмана , II. Й. Эрдниева .

Многие из этих работ посвящены разработке методов начального изучения уравнении-введению основных понятий,отбору способов и приемов решения конкретных типов уравнений,обоснованию выбора теорем о равносильности. Большая группа работ посвяшена рассмотрению

- г -

отдельных типов уравнении и методов их решения. Наконец,в ряде работ рассматриваются обшие методики решения основных классов уравнений, связываемые обычно либо с определением областей задания участвующих в уравнениях функции, либо с использованием равносильных замен.

Изучение уравнении в курсе алгебры и математического анализа средней школы занимает ведущее место не только по содержанию,но и по приемам и способам решения, они используются в процессе решения огромного числа задач теоретического и прикладного характера.

Однако, как показали наши исследования, уровень усвоения учащимися уравнений и практических умений их решения далеко недостаточный. особенно если иметь ввиду завершающий этап их изучения.

Хотя уравнения по школьной программе изучаются на длительном промежутке времени,значительная часть учащихся непрочно владеет способами их решения. Неуверенно учащиеся владеют алгоритмами приведения уравнении к более простому виду.

Научить в школе решению всех уравнении.которые могут встретиться, невозможно.Но можно научить учащихся подходам к решению задач,которые связаны с необходимостью владения общими правилами и приемами. Поэтому, овладение обшими подходами к изучению теории и решению задач является неотъемлемым условием творческой работы в любой деятельности учащихся. Следовательно, теоретическое обобшение при изучении математических знаний должно занимать важное место.

По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно ясной в последнем классе.

До недавнего времени дифференциальные уравнения не входили в программу математики средней школы и это делало содержательно-методическую линию уравнений незавершенной. В связи с этим в диссертации будет реализована проблема построения изучения простейших дифференциальных уравнений, соответствующим образом согласованная с изучением других типов уравнений.

Теория дифференциальных уравнений начиная со своего возникновения развивалась в неразрывной связи с физикой, механикой и математическими проблемами техники.

Введение в содержание математического образования сведений о дифференциальных уравнениях играет большую роль в Формировании научного мировоззрения учащихся, в прикладной направленности обучения математике, в реализации межпредметных связей, которые со-

действуют пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в познании и практике.

Вопросы введения дифференциальных уравнении рассматривались в работах А. Н. Колмогорова, А. И. Маркушевича, Н. Я. Виленкина и других. Этим же вопросам посвяшены и диссертационные исследования К. С. Сураганова, В. В. Ветрова, Ш. И. Хаджиева.

Изучение теш "Дифференциальные уравнения" расширяет понятие об уравнениях. Для того, чтобы учащиеся понимали общность дифференциальных и ранее изученных уравнении (алгебраических и трансцендентных) ,целесообразно соблюдать преемственность в изложении этих тем.

Преемственность математического образования -понятие многоплановое. Оно связано с реализацией внутрипредметных связей, трактовкой основных понятий, последовательностью изложения учебного материала, уровнями возрастания его сложности и трудности и т. д.

Нами были изучены вопросы непрерывного образования, вопросы преемственности обучения математике,внутри и межпредметных связей.

Настоящее исследование опирается, в частности, на работы по этим проблемам известных педагогов, психологов и методистов: А. Я. Гальперина, Г. Д. Глейзера, й. Д. Зверева, В. Н. Келбакиани, Ю. И. Коля-гина, В. И. Крупича, Н. А. Терешина, В. В. Фирсова и др., а также ученых математиков:П. С. Александрова, В. Г. Болтянского, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорова, Л. Д.Кудрявцева, А. И. Маркушевича и др.

Противоречие между объективной потребностью преемственности обучения математике в школе и ее Фактическим отсутствием, когда преподавание на разных этапах обучения ведется практически независимо друг от друга, выявило проблему данного исследования и определило ее актуальность.

Актуальность исследования состоит в том, что в нем впервые получила завершение содержательно-методическая линия уравнений, включая дифференциальные уравнения в органическом единстве с изучаемыми ранее алгебраическими и трансцендентными уравнениями,на основе широкого использования аналогий методов их решения.

Проблема диссертации заключается в исследовании возможности решения дифференциальных уравнений на основе использования аналогий с методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Объект исследования:содержательно-методическая линия уравнении в курсе математики средней школы.

- ч -

Предмет исследования:методы решения дифференциальных уравнений. основанные на обобщении методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Основной целью исследования является разработка методики изучения и решения дифференциальных уравнений первого порядка, которая основана на обобщении методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить конкретные задачи :

1. Проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу по исследуемой проблеме.

2. Исследовать методические подходы к изучению уравнений.

3. отобрать наиболее эффективные методы и приемы, способствующие осмысленному усвоению уравнений учащимися,повышению их познавательной активности, развитию творческих способностей.

4. разработать методику решения дифференциальных уравнений, основанную на конструировании аналогов с методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений и дать методические рекомендации по изучению дифференциальных уравнений.

Ь. Привить учащимся умение строить математические нодели реальных процессов в Форме дифференциальных уравнений на основе межпредметных связей.

6. Реализацию принципа научности осуществлять через логику построения учебного материала, на естественном обобщении и развитии ранее изученного, при одновременном включении нового учебного материала в активное применение.

7. Провести экспериментальную проверку основных положений диссертации.

При решении поставленных задач использовали следующие методы исследования:

- теоретический анализ философской, историко-математической, психолого-педагогической,научно-методической литературы по теме исследования,программ и учебников по алгебре и математическому анализу,

- проведение констатирующего, поискового и обучающего эксперимента.

Научная новизна.

1. Разработана методика изучения дифференциальных уравнений, основанная на обобщении методов решения алгебраических и

■трансцендентных уравнений, позволяющая обеспечить успешную деятельность учащихся по решению дифференциальных уравнений.

2. Разработаны блоки задач, включающие в себя как дифференциальные, так и алгебраические и трансцендентные уравнения такие, что методами их решения учащиеся имеют возможность воспользоваться при решении дифференциального (дифференциальных) уравнении.

3. Составлены блоки текстовых задач, которые помогают учащимся сформировать представление о прикладных возможностях математики и приводят к повышению математического и общего развития учащихся.

В процессе исследования была выдвинута следующая гипотеза:

1) разработанные методика решения дифференциальных уравнений и методические рекомендации по использованию блоков задач способствуют повышению эффективности обучения учащихся, обеспечивают достаточно прочное усвоение учашимися рассматриваемых обобщенных методов решения уравнений;

2) разработанная методика изучения дифференциальных уравнений в школе позволит усилить прикладную направленность обучения математике, более широко и глубоко раскрыть межпредметные связи и приведет к повышению уровня математической культуры учащихся за счет углубления знаний элементов математического анализа и, как следствие, к повышению уровня математического и обшего развития учащихся.

практическая значимость работы состоит в том, что в исследовании разработана эффективная методика решения уравнений, основанная на единстве и различии методов решения алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнении, пригодная для внедрения в школу. Разработан Факультативный курс по теме "Дифференциальные уравнения", который может быть использован в классах с углубленным изучением математики. Практическая значимость состоит также в том, что разработанные блоки задач могут быть использованы авторами учебников.

Теоретическая значимость работы состоит в том,что нетодичес-кие идеи,на основе которых разработаны предлагаемые блоки задач, могут быть использованы при исследовании других содержательно-методических линий.

На защиту выносится:

1.Идея непрерывное™ и преемственности методов решения алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений как

- ь -

составная часть методической линии уравнений в средней школе.

2. Методические рекомендации и блоки задач включающие в себя как дифференциальные так и алгебраические и трансцендентные уравнения, методы которых используются при решении дифференциальных уравнении.

3. Блоки текстовых задач, которые позволяют усилить прикладную направленность обучения математике и приводят к повышению уровня математической культуры и мировоззрения учащихся за счет углубления знаний элементов математического анализа.

Апробация и внедрение результатов работы.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на заседании аспирантского методического семинара в 1996 г. в Н11ГУ им. В. и. Ленина.

Но результатам исследования опубликовано 4 работы.

Обьен и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации составляет 227 страниц основного машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы исследования,определены цель исследования, объект, предмет, гипотеза, задачи и методы, раскрыта научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе "Нсихолого-педагогические основы изучения уравнений в средней школе" рассмотрены алгебраические и трансцендентные уравнения,подходы к их изучению, а также прикладное значение уравнений. С учетом обшей теоретической основы изучения уравнений в школе отобран минимум теоретических сведений.необходимых для глубокого.осознанного изучения уравнений,выделены обшие вопросы теории равносильности уравнен™.

Проблеме методики изучения уравнений в психолого-педагогической литературе посвяшено немало исследований. Вопросы изучения уравнении рассматривались в тесной связи с осознанным усвоением математики в делом,где особое внимание уделено широкому использованию разнообразных приемов,методов и средств обучения,направленных на Формирование у учащихся приемов умственной деятельности и учебной работы, на овладение основами наук,усвоение школьниками знаний и умений на всех этапах учебного процесса.

В работах Д.Н. Богоявленского, П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова, н.А.Иенчинской,и. м. зрдниева, А. С. Столяра,Ю. Н. Колягина утверждается, что необходимо обучать учащихся проводить аналогию, сравнение через сопоставление и противопоставление, обобщению изученного ранее материала об уравнениях,выделять основные обшие свойства и различия,уметь их обосновывать и осуществлять перенос знаний в новые нестандартные ситуации. Принятие данной точки зрения позволило нам рассматривать решение дифференциальных уравнений на принципиально новой основе.

В данной главе показана роль и место методической линии уравнений в курсе математики средней школы. Рассмотрены следующие преобразования алгебраических и трансцендентных уравнений:

(1) перенос слагаемых в противоположную часть уравнения с изменением знака; прибавление к обеим частям уравнения одинакового числа;

(2) умножение обеих частей уравнения на неравное нулю число; деление обеих частей уравнения на общий числовой множитель;

(3) подстановка, замена переменных;

(4) почленное сложение и перемножение уравнений;

(5) переход от уравнения а-Ь^О к совокупности а=0,Ь=0.

Составлен граф, показывающий направленность преобразований.С

помошью этого граФа можно составить некоторое представление о разнообразии заданий на Формирование навыков решения уравнений различных типов в их связи друг с другом, об их положении в системе упражнений.

Необходимо иметь в виду особенность отражения на графе динамики обучения. Цель обучения решению уравнений состоит в организации все более обобщенных операционных блоков и,в перспективе единого блока,включающего все ранее изученные типы уравнений.

Именно общность производимых преобразований является ведущим принципом соединения различных типов уравнений в единый блок.

К числу наиболее важных обобщенных понятий теории уравнений принадлежат понятия равносильности и логического следования. Необходимость их выявления в курсе школьной алгебры имеет следующую причину:среди используемых типов преобразований содержания как равносильные, так и неравносильные. Пока изучаемый материал ограничивается линейными уравнениями, потребность в применении неравносильных преобразований отсутствует и введение этого понятия неоп-равдано. При изучении более сложных типов уравнений равносильность

может нарушаться даже при использовании простейших преобразовании.

В этой главе рассматриваются различные определения понятия уравнения, подходы к изучению уравнений (функциональный и теоретико-числовой) . Показаны преинушества и недостатки каждого из двух подходов.

Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении решения текстовых задач.

Роль текстовых задач в процессе обучения математике многообразна, и она сводится главным образом к следующим Функциям:

- служат усвоению математических понятий и отношений между ними;

- обеспечивают усвоение учащимися специальных понятий,входящих в предметную область задач;

- способствуют более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости;

- повышают вычислительную культуру;

- учат школьников применению такого метода познания действительности, как моделирование;

- способствуют более полной реализации межпредметных связей;

- развивают у учащихся способность анализировать, рассуждать,обосновывать;

- развивают логическое мышление школьников;

- развивают познавательные способности учащихся через усвоение способов решения задач;

- Формируют универсальные качества личности, такие как привычка к систематическому интеллектуальному труду, стремление к познанию, потребность в контроле и самоконтроле и т.п.;

- прививают и укрепляют интерес школьников к натематике.

Обобшая сказанное, можно заключить, что решение текстовых задач Формирует у учащихся предметные и обшеинтеллектуальные умения и навыки, навыки учебно-познавательной деятельности и самообразования.

В литературе имеют место различные классификации текстовых задач.

Задачи на составление уравнений-ведущий тип текстовых задач. Главная роль отводится развертыванию теории уравнений-как по обширности материала, так и по глубине изучения.

Текстовые задачи присутствуют в учебном материале, однако целью их решения является иллюстрация возможных приложений основных аналитических понятий,то есть внимание учащихся всякий раз

сосредотачивается на решении Формализованной части задачи, линия текстовых задач,являвшаяся одним из основных направлений развития алгебраического материала в неполной средней школе,в старших классах почти не развивается. Имеющиеся текстовые задачи лишь в небольшой степени способствуют закреплению навыков решения текстовых задач на новом учебном материале. Возможности развития этой линии в старших классах связаны с появлением в алгебре и начал анализа новых классов уравнений,с новыми возможностями для составления математических моделей, которые дает материал начала анализа.

Составление уравнения данной задачи-это есть основной прием, посредством которого математика применяется к естествознанию и технике. Уравнения составляют центр алгебры и начал анализа, и на них можно убедительно показать силу математического метода.

Очень важен в этом случае выбор задач:важно, чтобы как можно больше задач имели реальное содержание, убедительное для учащихся, а не были выдуманы лишь в целях упражнения.

Исследование разнообразных связей математики с другими науками не только играет большую роль в формировании научного мировоззрения учащихся,но и важно с методической точки зрения.

С одной стороны,использование примеров прикладного характера расширяет представления учащихся о роли математики в изучении реальных процессов, о взаимосвязи математики и практики,о диалектическом единстве науки как средстве познания объективного мира.

С другой стороны,привлечение такого рода примеров способствует развитию интереса учащихся собственно к математике,противодействует воспитанию формального мышления.

Во второй главе "Содержание раздела "Дифференциальные уравнения" в школьном курсе математики" рассмотрена история возникновения и развития дифференциальных уравнений, решение практических задач с помощью метода дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются важнейшей моделью для исследования различных процессов. При этом мы отталкиваемся от тех дифференциальных уравнений и от тех сведений о них,которые предусмотрены программой средней школы.

Обращение к истории развития математического анализа, к жизни и деятельности ученых укрепляет представление учащихся о неразрывной связи математического анализа с общественным развитием. Ис-торико-математические сведения повышают интерес школьников к изу

чению математики. Поэтому нельзя отказываться от этого мощного Фактора повышения эффективности занятий.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать,что прикладное значение уравнений определяется тем,что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

В работе рассмотрены различные подходы к понятию моделирования, выделяются два наиболее характерных случая моделирования (практическая научно-техническая операция и познавательный процесс) ,понятие модели,структура процесса моделирования, математическая модель.

Для составления математической модели мы использовали язык дифференциальных уравнений.

История развития различных наук показывает,что многие далекие по содержанию задачи приводят к одинаковым дифференциальным уравнениян, в результате чего они занимают одно из первых мест в курсе математического анализа по своей практической направленности.

Через представления о сущности математических моделей и математического моделирования открывается возможность для развития представлений о роли и сущности моделей и моделирования в химии, Физике, биологии, географии, литературе.

Формирование основных представлений о математическом моделировании мы прежде всего связываем с содержанием, богатым приложениями или ориентированным на решение прикладных задач.

Дело в том, что изучение приложений математики связано с построением математических моделей,с непосредственной реализацией процесса математического моделирования.

Натематическое исследование любой задачи касающейся реального мира,распадается на три основных этапа:

а) построение математической модели явления;

б) изучение этой математической модели и получение решения соответствующей математической задачи;

в) приложение полученных результатов к практическому вопросу, из решения которого возникла данная математическая модель,и отыскание других вопросов,к которым она приложима.

В диссертации подробно рассмотрено решение геометрических и Физических задач с поношью дифференциальных уравнений,предложена

последовательность действий, также рассмотрены задачи из следующих разделов:химия, экономика, экология, биология.

Создание математической модели объекта, явления или пропес-са-важный этап познания, поскольку он позволяет четко Формулировать наши представления о ходе интересующего нас явления и о действующих в нем связях.

Как мы уже говорили, очень часто разные задачи приводят к одинаковым дифференциальным уравнениям:

зование которого позволяет решать проблемы других дисциплин, с другой стороны, владение аппаратом дифференциальных уравнений позволяет более обше и глубже осветить в старших классах вопросы, проиденые ранее.

Изучение темы "Дифференциальные уравнения" имеет огромное воспитательное значение. Составление дифференциальных уравнений прикладных задач и анализ их решения может быть источником глубоких философских выводов о единстве мира, роли практики в изучении действительности.

В конце главы приведено соответствие между операциями, приме няемыми при составлении алгебраических и дифференциальных уравне-

нии.

В третьей главе "Методика решения дифференциальных уравнений" описывается содержание, методика и результаты экспериментальной части нашего исследования.

В этой главе рассмотрены сходства и различия методов решения дифференциальных уравнений и уравнений, решаемых в курсе математики средней школы.

Изучение методов решения уравнений входит составной частью в содержание обучения математике на протяжении всех лет пребывания учащихся в школе. Совокупность относящихся к этому вопросу знаний, умений и навыков учащихся образует определенную содержательно-методическую линию курса математики,пронизывающую весь материал обучения и тесно связанную с другими основными линиями кур-са-вкчислительнои, алгоритмической, логической и другими.

Вместе с тем распределенное по курсу математики школы изучение уравнений приводит и к определенным издержкам. Многообразие частных приемов, отсутствие обобщающей теории решения уравнений приводит к появлению ряда хорошо известных устойчивых ошибок,допускаемых учащимися при решении относительно более сложных уравнений.

Все это говорит о необходимости введения в курс математики школы достаточно полной и математически корректной обобщающей теории решения уравнений и соответствующей методики их решения.

Мы остановились на общих идеях, обших методах, на которых основана вся школьная линия уравнении с 7 по 11 классы и восприятие которых учащимися должно постоянно быть в поле внимания учителя. Этих обпшх методов три:метод разложения на множители, метод введения новых переменных, графический метод.

При изучении методов решения дифференциальных уравнений необходимо, наряду со специфическими для них методами, рассмотреть способы решения уравнений известные учащимся из курса элементарной математики (например,метод решения однородных уравнении).

Знание изученного ранее материала является необходимым условием, обеспечивающим доступность нового, отсюда следует, что изучение дифференциальных уравнений должно быть организовано так, чтобы создавалась возможность регулярного повторения основных вопросов, рассмотренных ранее.

Возможность повторения ранее изученного материала может быть обеспечена разными средствами. Одно из наиболее эффективных

- 13 -

средств-повторение через блоки задач.

Организация повторения через блоки задач состоит в том, что изученные методы решения задач по мере продвижения по курсу включаются во все новые и новые связи и отношения. Тем самым приобретенные ранее знания получают подкрепление, углубляются, обобщаются. Изучение нового при такой организации обучения сочетается с "непрерывным" повторением пройденного.

Например, метод замены переменной имеет мировоззренческую ценность,выходящую за пределы математики. Это разновидность общенаучного пути познания сложных явлений-сведение их к простым, изучении.

Изучая математику, учащиеся не раз использовали метод замены переменной-это было при решении алгебраических и трансцендентных уравнений. Этот метод используется и при решении дифференциальных уравнений.

Без установления связей между понятиями у учащихся не будет складываться представление о структуре изучаемого предмета, не будет понимания идей и методов математики.

Граф, рассмотренный в 1 главе мы дополняем дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Свое исследование мы проводили в рамках факультативного курса. Этот курс рассчитан на учашихся 11 классов. Его обьем-28 часов. Основная цель изучения-показать учащимся как "работают"основ-ные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений на примере решения дифференциальных уравнений; показать учащимся,что дифференциальные уравнения являются одним из основных орудий математического естествознания, т. е. акцентировать внимание на мате -матическом моделировании реальных процессов методом дифференциальных уравнений; познакомить с алгоритмами решения дифференциальных уравнений.

При решении первой задачи необходимо учитывать, что соблюдение преемственности между разделами и частями учебного предмета приводит к лучшему усвоению учебного материала.

В работе разработаны блоки задач, включающие в себя как дифференциальные, так и алгебраические, и трансцендентные уравнения такие.что методами их решения учащиеся имеют возможность воспользоваться при решении дифференциальных уравнений. При правильном построении заданий учашихся можно подвести к решению новых уравнений, в данном случае- дифференциальных.

Вторая задача вытекает из основной дели Факультативов-позка-кониться с процессом применения математики, т. е. с большей яркостью показать межпредметные связи математики с другими науками. В основу положены задачи,решаемые с помощью дифференциальных уравнений, которые и реализуют прикладную направленность обучения и межпредметные связи.

В диссертации подробно рассмотрены алгоритмические предписания для составления и решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве языка мы выбираем блок-схемы,т. к. они дают воз можность учесть все могущие возникнуть в процессе решения ситуации и проследить развитие каждой из них до конца. Ими вполне обеспечивается пошаговый контроль за ходом действий.

Здесь же представлено подробное описание экспериментальной части исследования.

Целями педагогического эксперимента являлись:

1) отбор и отработка с соответствующей корректировкой содержания проверяемого теоретического и задачного материала по теме "Дифференциальные уравнения" на Факультативных занятиях,а таете разработка методических рекомендаций по изучению отобранного содержания;

2) проверка влияния методов, применяемых при решении уравнений элементарной математики на формирование умений решать и составлять дифференциальные уравнения:

а) эффективность использования метода подстановки;

б) эффективность использования метода вынесения обшего множителя за скобки;

в) эффективность использования метода разложения на множители.

Для достижения этих целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Определить уровень умений учащихся решать алгебраические и трансцендентные уравнения, и характер формируемых у них умений решать дифференциальные уравнения, без предварительного решения дифференциальных уравнений.

2. Установить степень влияния предлагаемой системы заданий на качество усваеваемых учащимися знаний.

3. Доказать реализуемость разработанной методической системы на Факультативных занятиях.

Исследования проводились в три этапа:констатирушии. поисковый и обучаюшии. Эти три этапа следовали друг за другом.

Первый этап экспершента-констатируюший зксперинент-пр(. в период с 1993-1994 г., второй этап-поисковый эксперимент-про дил в период с 1993-1994 г.,а третий этап-обучаюший эксперт мент-был проведен в 1995-1996 г. Эксперимент проводился на базе математического класса Череповецкого государственного педагогического института им. А. В. Луначарского и в школе Я 598 г. Москвы.

Экспериментальное обучение учащихся 11 классов по формированию приемов решения дифференциальных уравнений позволяет сделать следующие выводы:

1. Разработанная методика может успешно использоваться учителем в обучении, так как при составлении задач каждого блока учитывалась динамика мыслительной деятельности учащегося, возможное использование им аналогов решения алгебраических и трансцендентных уравнений и пошаговый самоконтроль.

2. Обучение учашихся ориентирам поиска приемов решения задач является средством усвоения учащимися всевозможных приемов и развития их творческого мышления.

3. Многократная экспериментальная проверка эффективности разработанной нами методики показала, что она обеспечивает достаточно прочное усвоение учащимися рассматриваемых приемов.

4. Формирование приемов решения уравнений вырабатывает у учашихся более общие и глубокие взгляды на способы решения математических задач.

Основные результаты проведенного исследования состоят в том, что:

1. Проведенное исследование позволило разработать методику изучения и решения дифференциальных уравнений,которая основана на обобщении методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Показано влияние методов, применяемых при решении уравнений элементарной математики на Формирование умений решать дифференциальные уравнения:

а) эффективность использования метода подстановки;

б) эффективность использования метода разложения на множители;

в) эффективность использования метода группировки.

2. Разработаны блоки задач.

3. Разработаны содержание и методические рекомендации Факультативного курса "Дифференциальные уравнения". В качестве основных задач этого курса является-изучение различных методов решения дифференциальных уравнений, содержательные прикладные задачи, кото-

рые позволяют наиболее полно реализовать кежпредметнке связи,повысить уровень математической культуры учащихся; изучение и составление алгоритмов решения дифференциальных уравнений. 4. Роль дифференциальных уравнений в процессе обучения определяется тем,что введение их в школьное математическое образование дает более широкие возможности для эффективного Формирования научного мировоззрения у учащихся, позволяет существенно усилить прикладную ориентацию курса математики и математического образования в целом;наиболее полно выявить связи между предметами* учебного цикла.

э. Экспериментально показано, что внедрение разработанной методической системы в Факультативный курс школьного математического образования дает возможность достигнуть поставленных задач,а

а) обобщить методы решения уравнений, показать учащимся,как методы реиенкя алгебраических и трансцендентных уравнений "работают" при решении дифференциальных уравнений;

б) провести соответствие между операциями, применяемыми при составлении алгебраических и трансцендентных уравнении;

в) усилить прикладную направленность обучения математике;

г) более широко и полно реализовать межпредиетше связи;

д) повысить уровень математического развития учащихся.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Беляева Ы. Н., Ястребова Г. Е. формирование алгоритмической культуры на уроках математики /7Деп. в ОЦНЙ "Школа и педагогика" АПН СССР. 22. 10. 90. N 331-90.

Н. Беляева Н. Н.,Ястребова Г. Е. Трудовое воспитание и профессио нальная ориентация учащихся при обучении математике. //Деп. в ОДНИ "Школа и педагогика" АНН СССР.20. 05.91. N 101-91.

3. Ястребова Г. Е. Преемственность в подходах к решению уравнений элементарной математики и дифференциальных уравнений //Международная конференция "Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы",Москва,МПГУ, 24-26 мая 1994 г. : Тез. докл. -И., 1994. -Ч. 2. -С. 109-110.

4. Ястребова Г. Е. о методических особенностях изучения дифференциальных уравнений средней школы//Научнке труды МШ'У им. в. Я. Ленина. Серия:естественные науки. -"Прометей", 1995. -С. 192-194.

именно: