автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование обобщенного подхода к решению математической задачи

Автореферат диссертации по теме "Формирование обобщенного подхода к решению математической задачи"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДЛГОГПЧЕСКШ1 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный сонет К-0,">3.01.1С

На правах рукописи

АЧАРАЕВ Ибрагим Цапкнмшч

ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

13.00.02 — методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете имени В. й. Ленина.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, профессор КРУПИЧ В. И.'

О ф и ц и а л Ы1 ы е о п попет ы:

доктор педагогических паук, профессор САРАНЦЕВ Г. И.

кандидат педагогических наук, доцент ТЕРЕ11ТЫ5В А. Д.

Ведущая организации — Орехово-Зуевский государственный педагогический институт.

Защита состоится «............»..............................1991 г. в ............ час.

в аудитории .................. на заседании специализированного совета К 053.01.10 но присуждению ученой степени кандидата педагогических наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина, но адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, МП ГУ пм. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина (119435, Москва, Малая Пироговская, !, МИГУ имени В. II. Ленина).

Автореферат разослан «............»..............................1991г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Для плодотворного решения проблеш образования и воспитания подрастающего поколения, как это показывает реальность жизни общества сегодня, требуется новый подход а единая методологическая основа, которая позволит построить последовательную теорию обучения. Сущность методологической основы теории обучения должна находить свое проявление в практике обучения а" форме процесса последовательного образования в сознании обучаемого системы обобщенных знаний /понятий/, внутри которой его мысль могла бы свободно двигаться по определенным логическим законам. Только эта возможность для мысли обучаемого свободно двигаться внутри ею же образовываемой, конструируемой системы понятий может реализовать познание им сущности вещей, ради чего он собственно и переступает порог школы.

Однако, учитель, в своих поисках способов практической реализации возможности развития мышления обучаемого, сталкивается о тем, что в философской, психолого-педагогической и методической литературе термин "развитие мышления" либо употребляется вовсе без его определения, либо толкуется неоднозначно. Осуществленный. нами анализ литературы показал, в частности, что содержание этого термина раскрывается как поэтапный переход от внешнего действия к внутреннему /П.Я.Гальперин/; как умение оперировать "в уме" /В.В.Давидов/; как изменение уровня анализа и синтеза при решении мыслительных задач /Н.А.Ыенчииская/; как прохождение определенных качественно различных этапов формирования внутренней стратегии действий в единотве с внешней /Я.А.Пономарев/; как развитие аналитического наблюдения и успехи в формирования понятий /Л.В.Занков/; как аналитико-синтетическая деятельность, содержащая анализ проблемной ситуации, воспроизведение знаний, необходимых для решения задачи, перенос усвоенных способов действий /О.Л.Рубинштейн/. Мы, разумеется, не утверждаем, что той ила явоЙ из приведенных трактовок развитие мышления целиком и полностью сводится к развитию именно указанной в этой трактовке компоненты, выделенной автором в качестве ведущей. Речь вдет только о том, что наблюдаемое несовпадение трактовок одного и того же термина в научной психсмого-педагогичеокой литературе, служащей теоретико-методологической базой адресуемых учителю научных методических исследований, имеет своим следствием /как это показывает анализ таких исследований я .подтверждает практика обучения/

ситуации, когда развитию мышления в процессе обучения придается громадное значение,. приводятся различные примеры его развития, указываются конкретные характеристики последнего, предлагаются специальные рекомендации, но вместе с тем остается неясным, чтсГ при этом имеется в виду,

Мышеиие часто определяют как процесс оперирования понятиями. Однако, что такое понятие? Е.К.Войшвилло, анализируя определения понятия, данные известными логиками Х.Зигвартом, И.В.Введенским и В.Ф.Асмусом, констатирует, что "во всех этих случаях есть те или иные характеристики понятия, но нет ответа на основной вопрос, что именно представляет собой понятие" и далее отмечает: "Аналогичная ситуация наблвдается в других курсах, учебниках, научных работах, посвященных понятию /и при том. не только логиков, но также осюкмогов и философов/.

Известно, что формирование в сознании обучаемого научных понятий, развале его мышления и выполнение им логических операций происходит в процессе усвоения им содержания образования. В своем исследовании мы исходим из следущего простого рассуждения. Понятие есть следствие развития мышления, вместе о тем мышеиие, будучи процессом оперирования понятиями, предполагает как эти понятия, так и логические операции над ними, но наряду со всей этим и логическая операция не может быть осуществлена вне мышления и без налитая ее компонентов, т.е. понятий. Отсгдамы заключаем, что понятие, мышление ияогичэская операция, одновременно ж взаимно предполагая самих себя, образует единое целое, отдельно от которого ни понятие, ни мышление, ни логическую операции нет смысла рассматривать. •

В свяэа с этим возникает чрезвычайно актуальная и глубокая пройдем^: выявить возможность выражения содержания образования так, чтобы овд.будучи звшв«и о сущности вещей, являлось одновременно и руководстве» к познавательной деятельности, и логикой; обосновать на иажвриаяда школьного математического образования общую иежедаку.рвааикйщм» «ов возможности.

£тшз двдактитесЕой я методической литературы , а также дис-свртащбзтаЕх иссяедсваиий в ебааст» предаете методики преподававши матвнатишг тшаш, чяво в настоящее ярена вех работ, сиециаяь-1 . ■ ■ —

Войшвазшш: Е'„К„. Пояяяи» кш февва шавегаа: яотико-гяоевадоги-чесюА аналаэ. - 1Ят-ш ШУ, 3989. - еЛ

но посвященных этой проблеме, т.е. проблеме выражения содержания образования в такой Форш, чтобы.оно осуществляло по отношению к обучаемому мировоззренческую, гносеологическую и логическую Функции одновременно.

Отметим, что под мировоззренческой, гносеологической и логической функциями содержания образования как основного компонента процесса обучения ш понимаем то, что оно выступает по отношению к обучаемому, соответственно, как знание о бытии, когда, рассматривая отношение изучаемых им понятий к вещам материальной действительности, он выявляет объективность этого содержания; как руководство к познавательной деятельности, когда, посредством развития мысли соответственно взаимосвязям и взаимоотношениям между понятиями, он выявляет отраженные в них необходимые закономерные связи и отношения между материальными вещами и явлениями; наконец, как логика, когда, осознавая единство объективной и субъективной сторон понятий, он выявляет приемы умственных действий по образованию .этих понятий и на этой основе усваивает, правила выполнения логических операций как элементов мышления.

Результаты первых двух этапов экспериментального и теоретического исследования /1973 - 1985 гг/ показали, что содержание образования осуществляет указанные-свои функции не всегда и не при любых обстоятельствах, а только при наличии определенных условий: если оно дисциплинировано, т.е. выражено в форме многоуровневой системы понятий, 'а его усвоение представляет собой обобщенный подход к решению задачи. Отметим, что в исследовании задачей /или проблемой/ мы называем ситуацию, когда понятие выступает одновременно и как предпосылка, и как необходимое следствие познавательной деятельности.

Из данного определения следует, что отношение "обучаемый -задача" заключает в себе, с одной стороны, как предпосылку учебной деятельности /понятие как ощущаемую потребность/, так и ее необходимое следствие /понятие как продукт удовлетворения потребности/ о другой стороны, как саму эту деятельность /познание/, так и. ее носителя /обучаемого/, хроме того, это отношение, очевидно, предполагает обучающего и конкретную ойяаоть своего определения. Поэтому оно обозначает и выражает собой оущность образования. Иначе говоря, это самое простое отношение есть оонова образования. Отсюда следует, что становление образования сущ-

ностью есть процесс последовательного снятия и восстановления его основного отношения /"обучаемый - задача"/ на конкретной области определения этого отношения. Процесс, о котором идет здесь речь .именуется наш в исследовании как обобщенный подход к решению задачи. Сказанное поясняет, почему объектам исследования стала задача,

предметом исследование явился обобщенный подход к решении школьной математической задачи, а

гипотезой исследования - предлоленпе о том, что реализация этого подхода позволит решить сформулированную выше проблему.

Проблема, предмет и гипотеза исследования обусловили необходимость решения ряда задач, основными среди которых явились следующие две:

Задача 1. Выявить основу и установить принцип становления содержания образования в vj-ормэ многоуровневой системы понятий.

Задача 7,. Разработать методику реализации обобщенного подхода к решению школьной математической задачи.

Из определения понятия задачи, приведбнного выше..видно, что будучи поставленной, она переходит в цель, в которой понятие, определенное потребностью, выступает одновременно к как предпосылка, и как необходимое следствие ее реализации. Поэтому с логической точки зрения цель есть умозаключение. Реализация цели, стало быть, есть умозаключение целесообразного действовакия. В основе последнего как первичное лехвт материальное - реальный объект познания. Первоначально материальное /объект/ в субъективное /понятие/ противостоят друг другу: о одной, стороны, реальное содержание объекта должно быть выражено в содержании понятия; с другой стороны, понятие, бессодержательное 9 своей оторванности от объекта, должно получить свое содержание от этого объекта. Соединение объекта к понятая в единое целое и заключается в снятии указанного здесь противостояния их друг другу посредством умозаключения целесообразного действоваижя - познавательной деятельности, которая, следовательно, вопаощается в свой продукт - знание /единое целое объекта н понятия, выраженное в форме умозаключения/ - в сохраняется в нем, наполняя тем самым это знание чрезвычайно важным качеством: быть ее носителем, а значит, и основой своего дальнейшего становления. Поэтому сформулированное нами как принцип становления образования положение о том, что знание есть единое целое объекта и понятия,

выражонное в форме умозаключения, явилось методологической осрр-Р9Й хмштт-

Цовизка иослодованид заключается в том, что в нем

- выявлена возможность выражения содержания образования в форма многоуровневой систеки понятий, реалязуюуей по отношению к обучаемому мировоззренческую, гносеологическую и логическую функцин одновременно;

- обоснована на материале школьного математического образования методика практической реализации этой возможности;

- ви;шлона единая методологическая основа и установлен пран-циа становления содержания образования в форме многоуровневой системы понятий;

- выделен минимальный компонент знания, заключающий в себе существо этого знания: понятие;

- показана сущность обобщенного подхода к решению математической задачи и установлена католическая схема его форььирования ж реализации;

- разработана методика формирования обобщенного теоретико-функционального подхода обучаемого к решению школьной математической задачи*

Практическая зца^им^уь исследования определяется тем, что полученные в нем результаты имеют как методологическое, так а конкретно-методическое значение, поэтому они могут бить использованы авторами учебников, учителями я методистами. Их применение позволит реализовать мировоззренческую, гносеологическую, логическую и системообразующую функции содержания математического образования, что будет способствовать предупреждению формализма а знаниях и развитии творческих способностей учащихся, в значит, - и повышению успеваемости их по математике.

Обоснованность и до^овеунооть выдвинутых и формулированных автором а диссертации положений и принципов, а так^е указанных в ней выводов, нашли овоа выражение в том, что результаты теоретического и экспериментального исследования подтвердили предпосланную ему гипотезу.

. НЙ гаагл.вшюаятая;

1. Методологическая основа и принцип становления содержания образования в форме многоуровневой системы понятий, реализующей по отношению к обучаемому мировоззренческую, гносеологическую и логическую фунвдйг одновременно.

2. Сущность обобщенного подхода к решению математической задета и методическая схема его гффектавкой реализации в обучении математике.

3. Основы общей методики Армирования обобщенного подхода к решения школьной математической задачи.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные идеи, на базе которых разрабатывалась методика обобщенного подхода к решению математической задачи, развивались, уточнялись, оформлялись, обосновывалась в, параллельно, апробировались автором в практика 10-летней обучающей деятельности в сродней общеобразовательной школе в 7-летней - в вузе, начиная с 1973 - 74 учебного года. Гезультаты исследования » их апробации докладывались л являлись предает®* обсувденая на заседавшие методобъе-динеяий учителей математики Gffl a СЩ AZ с.Серашнь-Юрт, CHI A3 с.Шали, СШ J*3i г.Грозного ЧИАССР, а также на районных, городских ж республиканских совещаниях а ко»|«ренциях учителей школ 4HACCF /1976-1990 гг./. Опыт работы автора предметом изучения- и внедрения в практику работы школ республики Минпросом ЧМССР /1978-79 у® »г./, Основные результаты диссертационного исследования докладывались к обсуждались па заседаниях кафедры ИВТ и методики преподавания математики, на научно-методическом семинаре кафедр математического факультета ЧШМ /1987-1990 гг./, а также на научно-методическом семинаре кафедры методики срепо-давания математики МПМ им. В.И.Ленина /138Э г./. Результаты исслодования внедрены в практику работ» шзюавдах ешд, а также в практику работы со студентами матвматеческогс в) ^агаческого факультетов чигпи на занятиях по курса» "Методика ирепидаванш математики" и "Практикум по решению математических задет" s представлены автором в четырех публикациях.

Структура диссертации. Диссертация состоит ез» введения, двух глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ' СШЕьАШЕ ДЩЖШЩ

Во введение вошли постановка проблеш в обоснование ее актуальности; определения объекта и предмета изучения;. формулировки гипотезы, цели и двух основных задач исследования; методологическая основа последнего. Кроме этого, во введении раскрываются новизна, теоретическая'и практическая ценность результатов работы, a также приводятся'сведения об апробации и внедрении этих результатов.

В паевой глдвр "Основы становления образования" решается первая из двух основных задач исследования и устанавливается схема реализации обобщенного подхода к решению математической задачи.

В связи о отсутствием общепринятой теории понятия ш сочла возможным но прерывать изложение наших идей критическим обзором точек зрения других авторов на те же вопросы, а ограничится их кратким обзором в заключительной части главы.

'1.1. В этой части главы дан анализ формирования понятий в процессе образования. Суть его в следующем.

Каждая наука, содержание которой дисциплинировано, то есть выражено в системе понятий как единое и цельное понятие, представляет собой знание, определяющее объективную реальность /объект/ со стороны, составляющей предмет изучения этой науки. Однако, первоначально познающий имеет налицо лишь этот объект и необходимость его освоения, обусловленную ощущаемой потребностью. Будучи связан ею о объектом, субъект ощущений вступает во взаимодействие. с последним. Здесь он имеет перед собой ситуацию, когда основное понятие науки, которым обозначается объект ее изучения, выступая одновременно и как предпосылка, и как необходимое след-отаие его деятельности,, обусловливает проблему начала последней, '¿та ситуация обычно именуется проблемой начала познания или проблемой начала науки.

Однако, будучи осознанной, она легко снимается. В самом деле. Выше отмечено, что осознанная проблема переходит в цель, Поскольку цель есть умозаключение, то соотнося между собой сообразно ей конкретные восприятия /единичные представления/, полученные в процессе взаимодействия с объектом, познащий формирует в своем сознании представление, общее этим единичным представлениям я отражающее собой.запечатленные в них особенности объекта изучения. Получив аналогичным путем ряд общих представлений об объекте и соотнося теперь их между собой сообразно той же самой своей цели, познающий формируег в своем сознании представление, общее этим общим представлениям, то есть всеобщее представление, отра-^ хаххцее собой запечатленные в них особенности объекта. Поскольку каждое единичное представление подведено под определенное общее представление, а это' последнее - под всеобщее представление, то единичное, общее и всеобщее представления об объекте образуют в сознании познающего единое целое. Это единое целое есть его понятие об объекте. Аналогично получается и рад других понятий о

последнем. Далее, можно эти понятия условиться называть понятиями первого уровня познания и, считая их единичными представлениями, повторить никл указанных познавательных действий. 13 результате будут сформированы понятия второго уровня познания. Аналогично могут бить сформированы понятия третьего, четвертого и т.д. уровней познания. Подробнее об этом пойдет речь в п. 2.3.

1.2. Здесь достигается решение проблемы исследования в первой части ее формулировки.

Из изложенного в части 1.1 непосредственно видно, что .понятие, сформированное на каждом из последующих уровней познания, снимает, т.е.отрицает и, в атом отрицании, сохраняет понятие, сформированное на предшествовавшем уровне познания. Поэтому понятие, сформированное на л-ом уровне познания будет содержать в себе вое понятия, сформированные на предшествовавших а-1-ом уровнях этого познания. Отсюда ясно, что в ходе последнего формируется многоуровневая система, которая есть понятие.как в целом, так и в кавдом из своих уровней. Стало бить, эта система есть одновременно и знание об объекте, ибо она представляет собой идеальный образ его; и гносеология, ибо она содержит в себе в снятом вцде познавательную деятельность по своему формированию; а логика, ибо она представляет собой умозаключение как результат последователь^ них умозаключений.

Осуществленный нами в ч,1.1 анализ образования понятий и оказанное здесь показывают, что рассматриваемая система знания ив ' целом и в каждом из своих уровней формируется по следующей схеме:

потребность - ощущение - объект - задача - цель - реализация цели - понятие - новая потребность - .,, , /1/

которая в исследовании именуется нами охемой становления образования. Само становление последнего мы вырааавм отношением "обучаемый - задача", так как это становление есть, как показывает схема, процесс последовательного ешиия в восстановления данного от-но'ленкя. Отсюда непосредственно вытекает сформулированное вше как принцип становления образования предложение о том, что знагаш есть единое целое объекта и понятия, выраженное в форме умозаключения . ■■ ' .. ; - _ • .

Итак, возможность выражения содержания образования в система понятий так, чтобы оно выполняло одновременно мировоззренческую, гносеологическую и логическую функции реалвзуеш, если за основу этого его выражения принять схему /1/.

1.3. В этой заключительной части главы дан краткий1 обзор точек зрения других авторов на рассматриваемые вопросы и показано преимущество предлагаемого нами подхода перед существующими: не предполагается заранее Данной основа математического мышления - рад натуральных чисел, но, напротив, последним обозначается и выражается абстрактно-всеобщая схема /1/ становления образования /в частности, математического/, состоящего из одного и того же элементарного процесса, необходимость выполнения которого при соединении объективного и субъективного в единое целое повторяется снова и снова; причем именно в упомянутом здесь соединении объекта изучения науки и основного ее понятия о нем в единое целое и оос-тоит та роль, которая при этом возлагается на понятие функции.

Во второй главе. "Основа методика Формирования обобщенного подхода к решоник» математической задачи" раскрывается сущность этого подхода, приводится методическая интерпретация схемы /1/ его реализации, указывается соответствующие примеры. Этим достигается окончательное резенае проблемы исследования.

2.1. В этой части содержания главы раскрывается сущность обобщенного подхода к решению математической задачи, который определяется как последовательный процесс становления в сознании обучаемого понятия о предмете изучения посредством отображения этого предмета на себя.

2.2. Здесь приводится методическая интерпретация схемы /1/ формировали обобранного подхода к решена» школьной математической • задачи. Математическое образование икадышка начинается с его знакомства с аря;«вТйкоЙ. Предметом изучения этой дисциплины является, как известно, количество. Основным ее понятием, посредством которого обозначается и выражается последнее, является понятие "число". Первоначально объективное /количество/ и субъективное /чяедо/ противостоят друг другу. В их соединении состоят основная задача аря^метяво». Ве решение, во есть деятельность по соединению объективного и субъективного есть реализация цели, в которой, результат »той деятельности в форте числа выступает од-поврэ.'.'еачо а' как яредпосияка ее в фориэ количества. Хаюш образом, суть решения ооковяой задав аряаыэтакл состоит в определении каадого количества как «саояа посредством умозаключений целесообразных действий. Ото значит, что ва множестве количеств определяется .¡уккция, посредством которой каждое'количество соотносятся о - оирвдолявдам давно »то количество понятием числа.

Алгебра, как и арифметика, изучает количество. О нем обычно говорят, что оно либо дискретно, либо непрерывно. Но дискретность и непрерывность - это .¡орш проявления количества, которые присущи ему одновременно. Поэтому особенностью изучения количества выступает то, что это количество находит наиболее полное свое отражение не только и не столько в конечных результатах его изучения, '.сколько во всей совокупности самих целесообразных действий /функций/ по достижению этих результатов. Так, решение основной задачи арифметики показывает, что конечный результат каждой ступени реализации этого решения отражает количество как некоторое "столько - то", то есть выражает его меру, в то время как совокупность целесообразных действий познающего по достижению этих результатов отражает увеличение, уменьшение, "уплотнение", "разряжение" и т.д. этого количества. Поскольку, таким образом, число обозначает и выражает соотнесенное с ним количество, постольку действия над числами обозначают и выражают действия над соотнесен-•ными с ними количествами, Следует отметить, что в самом количестве выделяются два момента: экстенсивность и интенсивность. Иногда само количество не отличают от того или другого из этих своих моментов и говорят о нем как об экстенсивном или же интенсивном количестве. В первом случав выражают, например, длину, площадь,• объем, угол, вес и др., а во втором - скорость, плотность, температуру и др. Существенное различив между экстенсивным и интенсивным количествами состоит в том, что первое аддитивно, а второе : неаддитивно.

Мы обратили внимание на формы /дискретность, непрерывность/ и моменты /экстенсивность, интенсивность/ количества с тем, чтобы отметить следующий важный факт: необходимое, имманентное развитие понятия числа как многоуровневой системы в шкальном математическом образовании имеет сшоей предабсылкой количество: в форме дис-. кратного - для введения натуральных и целых чисел; в форме непрерывного - для введения рациональных и действительных чисел; как экстенсивное - для введениями обоснования арифметических действий , Первой ступени /отражение аддитивности/- и, наконец, как интенсив-| ное - для введения и обоснования арифметических .действий второй : ступени /отражение неаддитивности/. Кроме-того, выступая Ве только ооновой, но и целью математического образования, оно позволяет видеть перспективу стайовления последнего.

Выше мы отметили вывод, значение-которого как для теории и

практики обучения, так и для всего познания в целом трудно переоценить: сама деятельность, посредством которой реализуется постановка и решение основной задачи арифметики /равно как и основной задачи любой другой науки/, есть функция /в истинно математическом смысле этого слова/. Последовательное решение основной задача арифметики есть отображение объективного /количества -множества X, элементами которого являются объекты, рассматриваемые как реальные, пока неопределенные количества/ на себя /множество 3 , элементами которого являются количества, о каждом из которых познающий сформировал представление - идеальный образ его/. В рассматриваемом отображении модно выделить два момента или, лучше сказать, две его стороны: отоздестаченив и различение реальных количеств. Но, очевидно, нет отоздветвления без различения, равно как нет различения без отождествления, поэтому рассматривая одну из указанных сторон отображения, ш одновременно учитываем и противоположную его сторону. Отсюда ясно, что функция разбивает предметную область X своего определения на классы, элементы каждого из которых попарно эквивалентны между собой, ив то же время из каждого класса эквивалентности выделяет по одному и только одному элементу - представителю элементов данноро класса, образуя тем самым из них множество 5 своих значений. Поэтому Функция выражает умозаключение о том, что эквивалентные /равные/ порознь третьему, эквивалентны /равна/ между собой. Далее, поскольку отождествление и различение реальных количеств есть "прерогатива", соответственно, уравнений и неравенств, то . функция представляет собой единое целое трех моментов: уравнения /момент уравнивания количеств/, неравенства /момент различения количеств/ и тождества / момент отождествления количеств/. В этом состоит подлинная научная основа единства всех так называемых содержательно-методических линий школьного курса алгебры. Поскольку алгебра, как это следует из изложенного в данном пункте, есть обобщенное выражение арифметики, а геометрию, как показал еще Р.Декарт, можно атгебраизировать, то в сказанном выше состоит основа единства содержания школьной математики в целом. Отметим теперь, что каждый уровень становления как содержания образования, так .и самого этого образования содержит в себе не только результаты предшествовавших ему уровней этого становления, но также необходимость я возможность становления следующего за ним . уровня: совокупность связей н отношений,. установленных между по-

нятиями, отражающую соответственные связи и отношения между количествами, определяемыми этими понятиями.

2,3. В этой части приведены примеры, наглядно иллюстрирующие вышеизложенное. Ограничимся здесь указанием одного из них.

Изложенное выше подтверждает мысль о том, что гораздо более целесообразной, по сравнению с традиционной, является выработка у обучаемого всеобщего представления о функции, осуществляемая в форме некоторого подведения итогов его собственной учебной познавательной математической деятельности, ибо ата деятельность, освобожденная от всего несущественного и внешнего к ней, то есть рассматриваемая в своей чистоте именно как совокупность последовательных умозаключений целесообразных дейотвий по отображению объективного /предмета изучения/ на себя и формированию на этой основе субъективного /понятия о предмете изучения/ ость, как уже отмечено, функция. Научно-методические основы осуществления упомянутого подведения итогов состоят в следующем. Оперируя количествами я, параллельно, обозначая к выражая эти операции /действия/ и ах компоненты, соответственно, знаками действий и числами, обучаемый получал числовые термы, то есть имена резуль-1 татов этих действий: новых количеств. Цожно условиться считать бти имена нестандартными и тек; самым отличать их от стандартных имен количеств: чисел. Поскольку, очевидно, каждое количество может быть получено множеством различных способов,.то возникает необходимость отождествления и различения количеств, выраженных _раз-ными своими именами. Основой этого отожествления и различения ях слушт то, что каздому количеству, в результате его изучения, сопровождавшемуся получением множества нестандартных имен, ставится в соответствие одно и только одно стандартное имя, которым» оно обозначается я выражается: число. Стало быть, каадое нестан« дартное имя каждого количества заменяется одним я только одним эквивалентным ему стандартным именем этого количества. Поэтому указанной заменой на множестве X количеств определяется отношение зквивалентноотя, которым*это .множество разбивается на классы попарно эквивалентных маду собой его элементов. В один н тот же . класс при этом, очевидно', попадают те я только те количества, нестандартные имена каждого из которых эквивалентны одному и только одному стандартному имени - Данному числу. Поскольку всем элементам данного класса присуща одна н та же особенность, то можно выбрать какой-нибудь один из них р качестве представителя всех

остальных, то есть в качестве единого представителя целого класса, что обычно называют абстрактней отождествления или, что в данной случав то же самое, абстракцией обобщения.

Теперь, возвращаясь к исходному вопросу, можно сделать вывод

0 том, что механизм соединения объективного^/количества/ и субъективного /числа/ состоит в указанной здесь отображающей деятельности. Этот вывод будет правомерен, если верны рассуждения обратные приведенным. Но они верны. В самом деле, толя множество

1 количеств разбито на подмножества, то отношение мшзду элементами atoro множества, такое, чтоасЗС «ícS удовлетворяют этому отношению в том и только в том единственном случае, когда д. и $ принадлежат одному и тому же подмножеству этого разбиения, есть отношение эквивалентности. Поэтому осуществление абстракция обобщения /отождествления/ и образование тем самым понятия числа имеет законное основание.

Указанным здесь образом в исследовании нами показано, что перед непосредственным введением на начальном этапе изучения алгебры понятия функция в сознания обучаемого накопилось бесчисленно» множество восприятий к представлений, необходимых для этого его ' введения. Как отмечено выше, оперируя уже изученными им реальными количествами я получая тем самым новые количества, обучаемый присваивал каадоцу из них сложные /нестандартные/ имена, составленные из имен исходных количеств, соединенных знаками этих операций. Далее, каждому реальному количеству в результате .егоизу- . чекия он присваивая одно я только одно простое /стандартное/ имя - число. Поэтому обучаеный. как это показало экспериментальное обучение, естеетвеядам путем умозаключает о том, что каждому нестандартному имени любого реального количества соответствует одно и только одно стандартное имя этого количества. Отметим попутно, что об именах реальных количеств в школе обычно говорят как о числовых вара*ен*яхили числовых термах, а об операциях над количествами - как об операциях над этики выражениями /Термами/, кроме того, о стандартных именах количеств /стандартних числовых тёрках/ часто говорят просто как о числах. Поэтому указанное ywзаключена обучаемого можяо переформулировать: каждому нестандартному числовому терцу соответствует сдав и только один статаартяый чисяовой терм, о» другими словами, кавдому числовому выражению соответствует одно я только одно чиоло. Ыо«7 но условиться, что кавды* стандартный терм /число/ соответствует

самому себе. Тогда, очевидно, каждому числовому терму, обозначающему реальное количество, соответствует одно it только одно число. Здесь обучаешй вплотную подведен к определении понятия функции. Пусть X и Jf - множества, элементами которых являются, соответственно, числовые термы и числа. Тогда, согласно изложенному, каждому элементу множества«? соответствует один и только один элемент ; множества У , Остается сообадать обучаемому, что такое соответствие между элементами двух множеств называют функцией и обозначают: ц - J(x) , где xe-Z иие jf . В процессе дальнейшего изучения алгебры осуществляется последовательная конкретизация этого всеобщего представления о функции, иначе говоря, реализуется подведение под него всего многообразия содержания обидах и еди-1 ничных представлений о ней, Эта конкретизация связана с формированием понятия алгебраического выражения /то есть понятия терма , с.переменной, являющегося формой имени реального количества/ че-. . рез хорошо известный обучаемому факт о том, что с каждым выбранным значением переменной, входящей в терм, непосредственно связан числовой терм, получающийся из данного терма с переменной подстановкой вместо нее этого выбранного значения. Поэтому, формируя " в процессе изучения школьной алгебры последовательно понятия степенного /линейного, квадратичного и др./, показательного, лога-рзфшчеокого и тригонометрических термов о. переменной, изучают, соответственно, степенную /линейную, квадратичную и др./, показа-*тельную, логарифмическую и тригонометрические функции. Этим и • обеспечивается единство содержания школьной алгебры. ' .

Изложенным выше относительно механизма соединения количества и числа в единое целое в диссертации, показано, что этот механизм -обобщенный подход к решению основной задачи арифметики и адгеб- • ры - реализуется по схеме /л/ и представляет собой формирование основного понятия "число" как многоуровневой системы понятий посредством отображения'количества как предмета, .изучения: на это i же количество, Bceii ходом этого исследования подтверждено также и то, что каждый уровень числовой многоуровневой оистемы есть понятие, которое формируется ва основе двух последовательных, а { поэтому непосредственных', отображений и одного опосредствованно;; го отображения. Первые отвечают "восхоадешям", соответственно, . от каждого единичного /£/ представления к одному и только одному общему /0/ представлений /В-0/ и от худого общего представления ; х одному и только одному всеобщему /В/ представлению /О-В/, а

второе - "восхождению* от каждого единичного представления к тому воаобщему предстоялопию, под которое подведено общее представ лвкие, подводящее под себя это единичное /3-В/. В этом состоит целесообразность познавательной деятельности по соединению объек тивного и субъективного: наакдо умозаключение В-О-В, которое £ л В соэдтгяет посредством О. Точько благодаря такой целесообразное ти обнаруживается внутренняя необходимость, приводящая в движение как содержание образования, тал и само образование. Только она /целесообразность/ вновь и вновь актуализирует эту необходимость соединения объективного и субъективного, являясь тем самим не только основанием этого их соодщгзти, но и его необходимым следствием.- Изложенное послужило осиойаняел; для ьывода о том,что обобщенный подход к решению задачи, реализуешь. По схсме /1/, есть в буквальном смысле слова теорзтлко- ¿.ункцноналышй подход к ее решению.

2.1. В этой.части главы описывается результаты эксперименталь ного-исследования. Эксперга.-ант включая три тгтана: 1 - констати-рующе - поисковый /1373-1976 гг/} 2 - поисково - обучавдай /19761985 гг/; 3 - обучающий /Ш5-1.9ЭС гг/. Результаты I и 2 этапов показали необходимость Данного исследования и легли.в его основу, а результаты 3 этапа Практически подтвердили обоснованность и достоверность как пол0*91 шЛ и принципов, выдвинутых п ходе етого исследования, так я его выводов.

ц заключении указала ' _ ' ,

ОЛЮОГЛЗ ПЗЗУЛЬТАТЫ исавдлшш В диссертации показано, что фундаментальной предпосылкой построения и осуществления развивающего обучения является решение проблемы выражения содер-шш х образования в ■Хорме мнегоуройневой систеш понятий, реализующей по отксгаекшо к обучаемому одновременно мировоззреическуо,. гйосеологичвскую в логическую футщя* Установлено, что отсутствие ясаладешакий, специально носйодййнйх решению этой дройяека, есть следствие недостаточной разработанности теории понятия в философской, спиральной логической, йсчг-хояого-педагогяческой й методической литературе.

Изучение! природа начала развертываяия учебно-по знаватеиьной деятельности обучаемого, приступайцвго к науке, показало, что здесь перед ним возникает смуаадя, котда основное понятие наука об рбъекте. ее "изучения ваегуйШ отщтквто и кал предпосылка, и как необходимое следствие згой его» деятельности. Данная елтуа-

цвя определена в исследовании как основная задача /проблема/науки. Установлено, что она, будучи осознанной, переходит в даль, в которой следствие ее реализации в субъективной форма /как основное понятие/ выступает одновременно и предпосылкой этой ее реализации в объективной форме /как объект изучения/. Яоказано.что 1/ эта цель есть умозаключение; '2/ решение обучаешм основной задачи науки, осуществляемое на всей стадии изучения последней, есть умозаключение целесообразного действования по соединению объективного я субъективного; 3/ результат решения этой задачи -единое целое объекта изучения науки и ее основного понятия о нем, выраженное в форме умозаключения, - есть знание. Отсвда выявлено, что становление содержания науки /содержания образования/ в искомой настоящим исследованием ¿орме не только возможно, но в необходимо. Изучение процесса образования научшх понятий позволило установить исходный принцип этого .становления содержания образования в искомой форме: выполнение посредством понятия 4унк-•ции умозаключений целесообразного 'действования по соединению объективного и субъективного, состоящэго из одного и того ¡¿е элементарного процесса, необходимость выполнения которого возникает . снова и снова. Определено, что в последовательном процессе реализации этого'принципа состоит существо обобщенного подхода к решению задачи.

Сформулирована основная задача школьной арифметики и школьной *'алгебры. Разработана общая методика формирования обобщенного подхода к решению этой задачи. Теоретически обоснована й посредством внедрения в практику обучения математике подтверждена эффективность этой методики.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях: •

1/ Ачараев И.Ц. Основы диалектики образования /Чеч.-Инг. гос. пед. ин-т. - Грозный: 1989 - 19 с, /гукопиоь деп. в ОЦЦИ "Шкода и педагогика" НИИ АПН СССР 25.09.1989 г, * 32389/.

2/ Ачараев И.Ц. Диалектика образования /Чеч.-йяг. гос. пед. ин-т Грозный: 1990 - 19 о., /Рукопись деп. в ОДНИ "Школа и педагогика"

НИИ АПН СССР 04.06.1930 * К2-&а

3/ Ачараев И.Ц. Фэрмирэвание обобщенного подхода к решению математической задачи: методические рекомендации /чеч.-йнг. гос. пед. . ин-т - Грозный: 1990 - 18 о. .

! 4/ Ачараев И.Ц. Методика формирования основных понятий школьной • алгебры: методическая'разработка /Чеч.-Инг. гоо. пед. ин-т -! Грозный: 1990 - 64 о.

Цу

ГУ