Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы

Малых, Елена Владимировна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы

Автореферат

Автор научной работы: Малых, Елена Владимировна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Киров
Год защиты: 2005
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы"

На правах рукописи

МАЛЫХ Елена Владимировна

Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы

Специальность 13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Киров - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики преподавания математики при ГОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, профессор

Канин Евгений Степанович

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Перевощикова Елена Николаевна

кандидат физико-математических наук, доцент Караулов Василий Михайлович

Ведущая организация - ГОУ ВПО «Мордовский государственный

педагогический институт им. М. Е. Евсевъева»

Защита состоится 2 июня 2005 года в 12 часов на заседании диссертационного совета КМ 212.041.01 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет» по адресу: 610002, г. Киров, ул. Ленина, д. 111, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вятского государственного гуманитарного университета.

Автореферат разослан «¿У» апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

^ж А. Коханов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

При возрастающем объеме математических знаний, входящих в школьную программу, и при ограниченном сроке их усвоения необходимым становится поиск более эффективных путей изучения учебного материала на основе развития научно-теоретического способа мышления. Способ мышления учащегося, как доказано в психологических исследованиях, зависит от применяемых при обучении обобщений. Поэтому мы связываем проблему совершенствования школьного математического образования с проблемой использования обобщений в обучении математике.

Проблема обобщений занимает одно из центральных мест в философии, психологии и педагогике. Исследованием обобщений занимались философы Е. К. Войш-вилло, Д. П. Горский, Б. М. Кедров, П. В. Копнин, Г. Д Левин, Ю. Е. Петров, В. А. Светлов, В. С. Степин, психологи Н Д. Богоявленский, Л. С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, Л. Н. Ланда, Н. А. Мен-чинская, С. Л. Рубинштейн, Д. Б. Эльконин, педагоги И. Я. Лернер, В. Ф. Паламар-чук, В. А Онищук, Н Ф Талызина, С. А. Шапоринский и другие. Все ученые единодушно признают, что без обобщения не может быть познания.

Значимость обобщений в математике и при обучении математике подчеркивали такие выдающиеся ученые как Г. Вейль, Д. Гильберт, Н. И. Лобачевский, В. И. Арнольд, А. Пуанкаре, А. Н. Колмогоров и др. «Обобщение - это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний» -писал У. Сойер в «Прелюдии к математике». Необходимость использования обобщений в обучении математике отмечали математики-методисты В. Г. Болтянский, В. М. Брадис, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, В. А. Далингер, О. Б. Епишева, М. И. Зайкин, Т. А. Иванова, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, В. А. Крутецкий, Е. И. Лященко, Д. Пойа, В. В. Репьев, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, Р. С. Черкасов и другие.

Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы, опыта работы учителей математики показал, что методическое значение обобщений как средства обучения математике достаточно велико и разнообразно. Обобщение, как один из методов мышления при обучении математике, способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления, совершенствованию умений учащихся находить общее и существенное в конкретных явлениях, объектах, примерах, абстрагироваться от несущественного и так далее. Обобщения являются средством и способом введения и определения многих математических понятий, формулировок теорем, средством и методом доказательства различных теорем, решения и обучения решению большого числа математических задач Обобщения также могут быть источником новых математических задач.

Однако лишь в небольшом числе публикаций по методике обучения математике рассматриваются некоторые обобщения при изучении понятий, реже теорем, еще реже при решении задач. Поэтому в кандидатских диссертациях по методике преподавания математики вновь поднимается проблема обобщений, но исследуются в основном проблемы обобщения и систематизации понятий и теорем на уроках обобщающего повторения (М. И. Зайкин, Н В. Зайченко, О. С. Кретинин).

Диссертация С. П. Зубовой посвящена формированию умения обобщать у учащихся 4-6-х классов.

Таким образом, проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике недостаточно изучена в условиях полной средней школы. Имеется противоречие между значительным потенциалом обобщений и недостаточной разработанностью теории и методики их применения при обучении математике учащихся полной средней школы. Требуется исследование вопроса во всех его аспектах. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность диссертационного исследования.

Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования процесса обучения математике учащихся средней школы.

Объект исследования: процесс обучения математике и использование обобщений в этом процессе.

Предметом исследования являются содержание, виды, методы, роль и место осуществления обобщений в процессе обучения математике.

Методологической основой исследования послужили философские, психолого-педагогические и математико-методические положения теории обобщений в процессе познания, основные положения теории системного анализа, методологии методики обучения математике, основные положения методики обучения решению математических задач.

Целью является исследование теоретических основ осуществления обобщений в обучении математике и условий их реализации в полной средней школе.

В основу исследования положена гипотеза: если исследовать теоретические основы осуществления обобщений в учебном процессе, на их основе разработать методику использования обобщений в обучении математике и применить ее в школьной практике, то это позволит повысить качество математических знаний и умений учащихся.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) проанализировать философскую, психолого-педагогическую, математико-методическую литературу с целью определения базовых понятий и методологической основы исследования;

2) определить содержание, виды, роль обобщений, методы и место их применения в процессе обучения школьников математике;

3) разработать методику использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней школы;

4) экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики в практике обучения.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по исследуемой проблеме; наблюдение и анализ работы учителей математики по обучению решению задач; применение разработанных учебно-методических

материалов в учебном процессе и экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.

смысл коэффициентов функции у = х2 + рх + д » в 9 классе школы № 1008 (Московская область, 2001 г.); «Как разделить отрезок на две равные части» в 9 классе школы МДЦ «Артек» (Крым, 2001 г.); «Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений» в 11 классе школы № 1 (Сосновый Бор, 2003 г.), «Задачи на движение» в 5 классе школы № 2 (Тихвин, 2003 г.); «Доказательство неравенства Коши» в 10 классе школы № 2 (Самара, 2004 г.). Результатом первого этапа явились формулировка рабочей гипотезы исследования и разработка основных положений методики обучения математике с использованием обобщений.

На втором этапе (2003-2004 гт.) проведен обучающий эксперимент на базе средних школ №№ 21, 40, 52 г. Кирова, в ходе которого происходила корректировка разработанной методики. Анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов позволил сформулировать окончательные выводы диссертационного исследования.

Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся решается путем использования обобщений как эффективного средства обучения математике. Такой подход позволил уточнить роль и место обобщений в содержании школьного математического образования, выявить и обосновать виды и методы осуществления обобщений в процессе обучения математике. В рамках этого подхода разработана методика использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней школы.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что.

- расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике;

- уточнено определение обобщения,

- определены пути осуществления обобщений в обучении математике,

- выявлены психолого-педагогические условия проведения обобщений при обучении математике.

Практическая значимость работы определяется тем, что теоретические выводы и разработанная методика осуществления обобщений в процессе обучения математике могут быть использованы учителями математики в их педагогической деятельности, а так же при разработке учебных и методических пособий по изучению школьного курса математики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Эффективным средством обучения школьников математике является обобщение. Использование обобщений в процессе обучения математике способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления учащихся, прочному и осознанному усвоению математических знаний и умений.

2. Разработана методика использования обобщений

- при введении математических понятий и обобщении известных уже понятий до математических понятий с более широким объемом;

- при введении формулировок теорем и рассмотрении их доказательств;

- при обучении общим методам решения математических задач, обобщении самих задач, использовании обобщений как методов решения математических 'задач.

Достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на философские, психолого-педагогические и математико-методические основы обобщений, непротиворечивостью полученных выводов с психологическими закономерностями усвоения знаний, полнотой изученного фактического материала, а также положительными результатами экспериментального исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись и продолжают осуществляться путем проведения экспериментального обучения, в виде докладов и выступлений на научных конференциях, семинарах, фестивалях и слетах работников образования.

Основные положения и выводы по результатам исследования были доложены и обсуждены на II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001 г.); на Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск, 2002 г.); на международном семинаре учителей (МДЦ «Артек», 2001 г.); на VIII Всероссийском слете «Учитель года» (Тихвин, 2003 г.); на международной научно-практической конференции «Проблемы социального самоопределения учащейся молодежи в условиях современного общества» (Киров, 2003 г.); на III Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2004 г.); на фестивале «Лидеры образования России» (Самара, 2004 г.); на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и методики преподавания математики ВятГТУ; на семинарах учителей математики в ИУУ Кировской области.

По теме исследования имеется 8 публикаций.

Диссертация (163 с.) состоит из введения (7 с), двух глав (гл.1 - 61 с, гл.2 -73 с), заключения (2 с), библиографического списка (188 ед. наименований) и 5 приложений, Текст диссертации содержит 20 рисунков, 10 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы, формулируются проблема, цель, объект и предмет исследования, выдвигается гипотеза, определяются задачи и методы исследования, раскрывается новизна, теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту

Первая глава диссертации «Теоретические основы обобщений и их роль в обучении математике» посвящена исследованию проблемы использования обобщений в обучении и воспитании учащихся полной средней школы

Анализ философской (параграф 1 1 «Философские основы обобщения»), пси-холого-педагогинеской (параграф 1 2 «Психолого-педагогические основы обобщения»), математико-методической (параграф 1 3 «Обобщение в исследованиях по методике преподавания математики») научной литературы, а также изучение опыта работы учителей по теме исследования, позволили нам рассмотреть понятие обобщения с различных точек зрения и сформулировать его опредеченис для процесса обучения математике, выявить роль и место обобщений в обучении математике, сформулировать психолого-педагогические условия осуществления обобщений на уроках математики, слетать выводы о том, как следует проводить обобщения при обучении математике

В философии обобщение рассматривается в историческом, логическом и гносеоло-гичсском аспектах Обобщение с точки зрения логики - ото построение универсальных и экзистенциальных утверждений В гносеологии обобщение рассматривается как метод научного познания В большинстве случаев обобщение понимают как переход от знания к знанию об общем, от знания о менее общем к знанию о более общем, а так же как результат такого перехода, фиксируемый в соответствующих понятиях и суждениях

В психологии обобщение рассматривается как процесс мышления, состоящий в выделении общего, существенного в различных предметах или явлениях, и объединении их на этой основе, как прием мышления, заключающийся в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств предметов и их отношений, обозначении словом некоторою инварианта в многообразии предметов, образовании общего понятия, а также как результат мышления В педагогике обобщение рассматривается как этап усвоения знаний, как форма приращения знаний, как звено учебного процесса

Обобщение в обучении математике рассматривается как переход от данного множества предметов к рассмотрению более широкого множества, содержащего данное (Д Пойа, Ю М Колягин), как метод обучения математике (А А Столяр), как прием мышления (В И Крупич, О Б Епишева), как эвристический прием (Г И Саранцев), как прием конструирования задачи (Е С Канин), как прием систематизации математических знаний и умений (В А Далингер)

В своем исследовании обобщение при обучении математике будем рассматривать как переход а) от конкретных математических фактов к их отождествлению в мыслях и образованию о них общих понятий и суждений, б) от рассмотрения частной задачи (или нескольких задач) к рассмотрению некоторого класса, со-

держащего эту задачу (задачи) в качестве своего элемента (элементов) Будем различать результат обобщения и процесс, ведущий к нему, хотя и то и другое обозначается одним термином - обобщение

В философских научных трудах выделяются обобщения переменных, индуктивные обобщения и обобщения по аналогии. Для методики обучения математике особый интерес представляют индуктивные обобщения, как способы получения общего знания (неполная индукция и полная индукция через перечисление, теоретическая индукция, математическая индукция) Сущность индуктивных обобщений состоит в том, что рассмотрение частных случаев наводит на общее суждение. Способы индуктивных обобщений, формально-индуктивный и содержательно-логический являются взаимодополняющими друг друга, но ведущим считается содержательно-логический.

В психологических исследованиях обобщения разделяют на эмпирические и теоретические В основе эмпирических обобщений лежит операция сравнения. Такие обобщения осуществляются по внешним, наглядным признакам и приводят к раскрытию общих внешних сторон объективных явлений Теоретические обобщения осуществляются путем анализа данных о каком-либо объекте или явлении с целью выделения существенных внутренних связей, которые определяют этот объект или явление как целостную систему.

Изложенные философские и психолого-педагогические положения позволяют сделать выводы о том, как следует проводить обобщения при обучении математике. Если процесс обобщения есть процесс перехода от менее общего к более общему, то абстрагирование, как указывает Д П Горский, «есть процесс, позволяющий осуществлять этот переход». При осуществлении обобщения происходит движение мысли и от конкре.ного к абстрактном)', и от абстрактного к конкретном). На основе сравнения и анализа сопоставляются данные и искомые объекты, элементы задач и отношения между ними, а также способы решения задач Выделение существенных и абстрагирование от несущественных свойств и сторон рассматриваемых компонент различных математических понятий и задач позволяет выявить общее в математических предложениях, в том числе в задачах и их решениях, и на этой основе выполнить классификацию математических понятий, теорем, задач Сравнение и анализ конкретных сходных объектов позволяют обобщить их до нового математического понятия, а сходных задач и их решений - до метода решения класса задач Поэтом)' возникает возможность систематизировать понятия и способы решения математических задач

В результате исследования нами были выявлены психолого-педагогические условия осуществления обобщений при обучении математике развитое умение проводить операции абстрагирования, сравнения и анализа; специальная ориентированность обучения на получение обобщений' общее в понятиях, теоремах, задачах и и\ решениях должно специально вычленяться, осознаваться, формулироваться, фиксироваться, осознанность учащимися проведения обобщений, учет возрастных и индивидуальных особенностей учащихся, управление процессом обобщения

Таким образом, обобщения в обучении математике являются средством введения и изучения новых математических понятий, теорем математики, средством обучения решению математических задач, одним из методов их решения, а также источником новых задач, то есть служат эффективным средством обучения математике

Обобщения в обучении математике

при формировании математических понятий

от конкретных примеров до математического понятия

самих математических понятий

отрешения задач ю различных областей знаний до математического понятия

при обучении решению математических задач

при обучении методам решения математических задач

как метод решения математик еских задач

как источник новых математических задач

при изу чении теорем математики

от способа решения конкретной задачи до метода доказательств

самих теорем и их доказательств

»-О §

Во второй главе диссертационного исследования «Обобщение как средство обучения математике» мы рассматриваем методику использования обобщений в обучении математике (рис. 1). При ее описании мы отвечаем на вопросы: что обобщать, зачем и как осуществлять обобщения? Такой подход позволил нам уточнить роль и место обобщений в процессе обучения математике учащихся полной средней школы, обосновать виды и методы осуществления обобщений в процессе обучения математике. В рамках этого подхода описаны обобщения при формировании понятий, изучении теорем и решении задач.

В параграфе 2.1. «Обобщения при формировании математических понятий» показано, что к появлению и формированию нового понятия чаще всего приводят: а) обобщения примеров конкретных объектов до математического понятия (так можно ввести понятия смежных углов, одночлена, четной и нечетной функций и др), б) обобщения самих математических понятий (понятие касательной к окружности можно обобщить до касательной к гладкой замкнутой кривой, затем до касательной к графику дифференцируемой функции, далее до касательной к произвольной гладкой кривой, понятие угла между лучами - до угла между прямыми, затем до угла поворота; понятие тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника - до тригонометрических функций любого угла действительного числа и т.д), в) обобщения решений задач из раличных областей знания до математического понятия (подобным образом можно ввести понятия арифметической и геометрической прогрессий, функции, предела, производной, определенного интеграла и др.)

Формирование многих понятий математики (алгебры, геометрии и математического анализа) осуществляется путем индуктивных обобщений От сравнения и анализа нескольких специально подобранных примеров объектов, задач через выделение в них характеристических свойств, общих признаков и компонентов, путем абстрагирования от несущественных свойств и компонентов можно перейти к новому математическому понятию, его определению. Такой путь введения понятий приемлем с 5 по 11 классы. В 8 - 11 классах новые понятия вводятся и через обобщения ранее известных математических понятий. Такие обобщения обычно многоступенчаты Например, обобщение понятия касательной осуществляется постепенно с возрастанием общности этого понятия (рис. 2).

Рис 2

Проведение обобщений при формировании понятия позволяет осуществить мотивацию введения понятия, устранить временные разрывы в изучении понятия, проследить генезис понятия, показать связи между изучаемыми понятиями, сис-

тематизировать понятия. Такой подход способствует прочному и осознанному усвоению определения понятия.

В параграфе 2.2. «Обобщения при изучении теорем» рассмотрены пути осуществления обобщений при изучении теорем математики, а) обобщение конкретных примеров и задач до формулировки теоремы; б) обобщение способа решения конкретной задачи на доказательство до метода доказательства; в) обобщение самих теорем и их доказательств. Например, теорема о центральном угле (рис. За) обобщается до теорем о других видах углов, связанных с окружностью, вписанном угле (рис 3б, 3 в, Зг), угле между хордами с вершиной внутри круга (рис. Зд), угле между касательной и хордой окружности с вершиной на окружности (рис. Зе), угле между касательной и секущей с вершиной вне круга (рис. Зж), угле между двумя касательными (рис. Зз), угле между двумя секущими с вершиной вне круга (рис. Зи)

При таких обобщениях расширяется множество объектов, к которым применимы рассматриваемые свойства и часто сохраняются методы доказательства Роль обобщений при изучении теорем математики аналогична роли обобщений при формировании понятий

Обобщения используются при обучении методам решения математических задач и как метод решения задач, а также как источник новых математических задач

Индуктивные обобщения в обучении методам решения математических задач (параграф 2 3) могут осуществляться как а) индуктивные обобщения способов решений конкретных задач до метода решения класса задач, б) индуктивные обобщения методов решения задач до методов решения более широкого класса задач, в) обобщения и систематизации способов поиска решений многих задач до системы советов решающему математическую задачу

При овладении общими методами решения математических задач полезны прежде всего индуктивные обобщения способа решения конкретной задачи до метода решения нескольких задач, решений различных конкретных задач до общего метода решения класса задач Например, обобщение способа решения конкретной задачи на отыскание наибольшего или наименьшего значения до метода решения класса задач можно выполнить следующим образом Выбирается конкретная задача, решение этой задачи записывается в табл 1, состоящую из двух столбцов В левом столбце - решение конкретной задачи, в правом -решение обобщенной задачи

Таблица 1

Решение конкретной задачи Решение обобщенной задачи

Из всех прямоугольников с периметром 36 см найдите прямоугольник наибольшей площади По данным исходным условиям требуется найти наибольшее или наименьшее значение какой-либо функции

1 Нацш-уйте праипуглт.ни<г g Q ABCD D Рис 4 1 Построение раоочего чертежа по условию задачи

2 Введите переменные АВ = х. ВС = 18 —дг 2 Введение переменной, выражение через нее все* остальных переменных задачи

3 Площадь прямоугольника будет являться функцией S(x) = 8- х) 3 Составление функции для исследования на экстремум

4 Так как х - длина стороны прямоугольника с периметром 36 см, то 0 < х < L 8 4 Опредетение по условию задачи области задания функции

5 Задача свелась к нахождению такого значения t, при котором функция ¿(д:)= х(18-х) принимает наибольшее значение на интервале (0,18) / = 18-2х, 18-2х = 0. г=9 При i = 9 функция S(x)=x(l8-r) на интервале (018) принимает наибольшее значение 5 Исследование полученной функции на экстремум затем на наибольшее или наименьшее значение на области задания

б Итак, стороны прямоугольника равны 9 см кидая б Запись ответа

Существенно сопоставить полученную схему со схемой решения алгебраических текстовых задач и сделать обобщенный вывод, что текстовые задачи алгебры и начал анализа решаются по общей схеме Так совершается переход от частных методов решения задач к общим, совершенствуется процесс обучения решению математических задач

am)

Осуществляя индуктивные обобщения при решении задач, учитель может сделать вполне естественной постановку многих теоретических вопросов Учащиеся могут проследить генезис метода решения задач целого класса, обнаружить связи между методами, систематизировать методы решения задач и, даже, создать систему советов эвристико-организационного характера, которую можно использовать при решении многих задач

Обобщения и сами по себе являются методом решения некоторых классов задач (параграф 2 4) Таковы метод решения задач «по индукции», способ решения задач «в общему виде

Обобщение при решении задач «по индукции» может проводиться по следующей схеме 1) выделяется частный случай задачи, для которого задача решается легче и решается задача для этого частного случая, 2) рассматривается ботее общий, но все же частный случай, сводящийся к первому, 3) рассматривается общий случай

Например, при доказательстве того, что сумма расстояний от любой точки А/ правильного треугольника до его сторон равна длине высоты треугольника выделяется простой частный случай, когда задача решается легко А/ -вершина треугольника (рис 5а) Очевидно, что сумма расстояний от М до сторон треугольника равна длине высоты АН Далее рассматривается более общий случай точка А/ В находится на стороне треугольника (рис 5б) Через точку М проводится прямая МЕ\\ВС Треугольник МАЕ правильный, и высоты АК и MZ равны Легко )станавливается, что Наконец, рассматривается общий случай точка А/ - произвольная внутренняя точка треугольника ЛВС (рис 5в) Через точку М проводится прямая DE || ВС, тогда треугольник ADE правильный и AK = РМ +MZ, поэтом)' All-РМ + MZ + Ш = РМ +- MZ +MF Следовательно, сумма расстояний от любой точки А/ правильного треугольника до его сторон равна длине высоты треугольника

Иногда при решении задачи необходимо рассмотреть несколько вариантов, исчерпывающих все частные случаи, о чем прямо в задаче не сказано Тогда рассматриваемый метод будет иметь несколько другую схему рассуждений 1) выделяются все варианты частных случаев ситуации, описанной в задаче или создавшейся при ее решении, 2) решается задача для каждого варианта, 3) объединяются решения всех вариантов Применение метода возможно лишь при небольшом конечном числе вариантов Решение задач этим методом удобно оформлять в виде таблицы

Некоторые задачи легче и рациональнее решать, предварительно сформулировав их в «общем» виде Обобщение выступает в этом случае эвристическим приемом решения задачи Обобщенная формулировка задачи облегчает усвоение математической сущности конкретных задач и позволяет обнаружить способ решения исходной задачи К более общей задаче могут быть

Мр \F.

/ к\

/ 1 1 \

F Н б) А

dfA у

/м к \

1 "1 \

В F Н в)

Рис.5

применимы методы, которые не применимы к исходной задаче Иногда обобщенная задача подсказывает новый способ решения Особенно следует отметить решение задач в «общем» виде с последующей подстановкой числовых данных. Обучать учащихся применению обобщения как метода решения математических задач возможно уже в 5 классе

Обобщения самих математических задач служат источником новых учебных математических задач (параграф 2 5) Для того чтобы получить новые задачи при помощи обобщений, используют некоторые приемы 1) обобщение данных при сохранении искомых, 2) обобщение (добавление) искомых при сохранении данных, 4) обобщение данных и искомых Часто обобщение данных задачи приводит и к обобщению искомых

Например, обобщение понятий, входящих в условие задачи ведет к обобщению и требования задачи Теорема «В прямоугольном треугольнике ABC высота СН, проведенная к гипотенузе АВ, есть среднее геометрическое отрезков АН и ВН, т е СП2= АН ■ ВИ » обобщается до теоремы «В прямоугольном треугольнике ABC перпендикучяр ED, опущенный на гипотенузу АВ из любой точки катета АС, находится по формуле ED2 = ADDB-AE ЕС» путем обобщения не только данных, но и искомых задачи

Обобщение искомых и данных задачи нередко приводит и к обобщению используемых при решении задач теорем Например, теоремы «В равностороннем

треугольнике со стороной а медиана равна -v », «в равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b длина медианы ть, проведенной к основанию, равнf iv4a2 -b2 » доказываются с помощью теоремы Пифагора, но уже

при доказательстве теоремы «В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b длина медианы та, проведенной к боковой стороне, равна

+ а2 » и более общей «В треугольнике со сторонами а,Ь,с, длина медианы

та, проведенной к стороне а, равна - а2 » применяется теорема ко-

синусов - обобщение теоремы Пифагора Дальнейшие обобщения приводят к теоремам «Для любого треугольника ABC имеет место равенство сГ +Ь2 +с2 = 3IpA2 +GB~ +GC2), где а,Ь,с - длины сторон, G - точка пересечения медиан треугольника» и «Для треугольника ABC и произвольной точки пространства Р, PG2=±[PA2+PB2 + PC2)-t{AB2+BC2+CA2), где G - точка пересечения медиан треугольника»

При обобщении учащиеся необходимо выполняют сравнение математических объектов, анализируют данные объекты, задачи, учатся абстрагированию от несущественных фактов, условий, свойств объектов, а также специализации и конкретизации, таким образом овладевая методами и приемами мышления

Итак, использование обобщений при обучении математике способствует развитию теоретического мышления учащихся, что проявляется в повышении качества математических знаний и умений

Для проверки гипотезы исследования был проведен педагогический эксперимент на базе средних школ № 21, № 40, № 52 г Кирова, который описан в заключительном параграфе 2 6 второй главы В эксперименте участвовало 158 учащихся пятых классов (77 - экспериментальные классы, 81- контрольные классы) и 129 учащихся десятых классов (69 - контрольные классы, 60 - экспериментальные) В отличие от контрольных, в экспериментальных классах обобщения осуществлялись целенаправленно и систематически при формировании понятий, изучении теорем и решении математических задач с использованием приемов и методов, описанных во второй главе В экспериментальных классах учащиеся специально побуждались вычленять, формулировать и фиксировать общее в примерах, задачах и их решениях При этом упор делался на анализ рассматриваемых объектов примеров, задач и их решений, что вело к осознанным теоретическим обобщениям математических понятий, теорем, задач, методов решения

В пятых экспериментальных классах осуществлялись в основном обобщения в обучении методам решения математических задач Обобщения от конкретных задач к общим моделям их решения, а затем к методу решения класса аналогичных задач проводились при решении математических задач на зависимости троек некоторых величин, например, а) скорость, время, расстояние, б) цена, количество товара, стоимость, в) производительность труда, время работы, объем работы и др Обобщения и систематизация методов решения класса задач проводились при обучении решению трех основных видов задач на дроби (нахождение дроби от числа, нахождение числа по его части, нахождение отношения двух чисел) Методы решения задач на обыкновенные дроби переносились на задачи на десятичные дроби, далее на задачи на проценты При этом обобщались задачи на проценты до задач на десятичные дроби, а они, в свою очередь до задач на обыкновенные дроби

В десятых классах обобщения использовались при введении понятий предела функции в точке, касательной, производной, определенного интеграла, объема тела и других, при изучении теорем геометрии, алгебры и математического анализа, при обучении методам решения математических задач (например, методу решения задач на наибольшее и наименьшее значения функции, различным общим методам решения уравнений, при обучении обобщению, как методу решения задач), при систематизации задач и их решений по теме, при составлении задач, порожденных данной, при составлении советов решающему задачу

Для проверки влияния использования обобщений на качество знаний и умений учащимся были предложены диагноспиеские контрольные работы в начале и в конце эксперимента

В десятых классах работы включали по 5 задач, на решение которых отводилось 80 минут Результаты выполнения контрольных работ в десятых классах в начале и в конце эксперимента представтены на диаграммах 1 и 2 соответственно Отраженные на диаграммах данные показывают, что в экспериментальных классах (ЭК) произошли существенные изменения увеличилось количество оценок «5» (на 11,6 %) и «4» (на 8 4 %), за счет этого значительно сократилось количество оценок «3» (на 15 %) и стало меньше «2» (на 5 %) В отличие от экспериментальных, в контрольных классах (КК) не произошло резких изменений уменыни-

лось количество оценок «5» (на 1,4 %) и «2» (на 2,9 %), оценок «4» хотя и стало больше, но незначительно (на 1,4 %), возросло количество оценок «3» (на 2,9 %)

Анализ результатов выполнения контрольных работ позволил нам выдвинуть нулевую гипотезу //„ «распределение учащихся по баллам существенно не различается» при конкурирующей гипотезе «распределение учащихся по баллам различается существенно» Гипотеза Я0 проверена по критерию и установлено на уровне значимости 0,05, что в начале эксперимента показатели учащихся в КК и ЭК существенно не различаются, а в конце эксперимента -различаются существенно

Для того чтобы убедиться в положительном влиянии предложенной методики на качество знаний учащихся десятых классов, была проверена гипотеза о равенстве средних генеральных значений Выдвинута нулевая гипотеза «средние баллы в КК и ЭК существенно не различаются» при конкурирующей гипотезе Я, «средний балл в КК существенно ниже среднего балла в ЭК» На основании критерия Стьюдента можно утверждать, что на уровне значимости 0,05 средний балл в КК существенно ниже, чем в ЭК

Статистическая обработка результатов аналогичного эксперимента в пятых классах позволила сделать выводы на начало эксперимента качество знаний в экспериментальных и контрольных классах существенно не различались, в конце эксперимента результаты учащихся экспериментальных классов имеют тенденцию быть выше, чем рез)льтаты учащихся контрольных классов

Итак, статистическая обработка результатов педагогического эксперимента свидетельствует о более высоких показателях у учащихся экспериментальных классов Так как различие в обучении математике в контрольных и экспериментальных классах заключалась лишь в том, что в экспериментальных клас-

сах систематически, целенаправленно проводились обобщения при формировании понятий, изучении теорем, методов решении математических задач, то более высокое качество знаний в экспериментальных классах мы склонны объяснять положительным влиянием использования обобщений в учебном процессе.

Таким образом, эксперимент подтвердил гипотезу исследования о роли обобщений в обучении математике

В процессе теоретического и экспериментального исследования получены следующие основные выводы и результаты

1. Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по теме исследования показал, что проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике недостаточно исследована в условиях полной средней школы Разрешение противоречия между значительным потенциалом обобщений в совершенствовании процесса обучения математике учащихся средней школы и недостаточной разработанностью теории и методики их применения в обучении математике потребовало исследования вопроса во всех его аспектах

2. В настоящем диссертационном исследовании уточнено определение обобщения, выявлены теоретические и методические основы использования обобщений при обучении математике, а так же существенно расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике

3. В работе решается проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся путем использования обобщений как эффективного средства обучения математике Такой подход позволил уточнить роль и место обобщений в содержании школьного математического образования, выявить и обосновать виды обобщений в процессе обучения математике

4 В рамках этого подхода разработана методика использования обобщений в обучении школьников математике. 1) при введении и изучении математических понятий и обобщении известных уже понятий до математических понятий с более широким объемом, 2) при введении формулировок теорем и рас-смотробучении их доказательствам, 3) при обучении общим методам решения математических задач, обобщения самих задач, использования обобщений как методов решения математических задач

5. Эффективность разработанной методики подтверждена экспериментально

Изложенное выше позволяет считать, что поставленные цель и задачи исследования достигнуты, верность выдвинутой гипотезы подтверждена экспериментально.

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях

1. Малых, Е. В. Системы задач и упражнений при обучении математике [Текст] // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России тез докл II межрегиональной науч конф / Е. В. Малых - Киров Изд-во ВГПУ,2001 -С. 96 (0,06п л)

2. Малых, £ В. Некоторые индуктивные обобщения при решении математических задач [Текст] // Вестник ВятГГУ /Е. В. Малых. - Киров: Изд-во ВятГТУ, 2002. -№6.-С. 130-133. (0,19 п. л.)

3. Малых, Е. В. Дифференциация и некоторые обобщения при решении текстовых задач [Текст] // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: м-лы Всерос. науч. конф. 18-20 сент. 2002 г. Часть 2/Е. В. Малых. - Саранск: Мордов. гос. пед. ин-т, 2002. -С. 139-144. (0,3 п. л.)

4. Малых, Е. В. Некоторые случаи применения обобщений [Текст] // Математика в школе /Е. В. Малых. - 2003. - № 6. - С. 38-40. (0,13 п л.)

5. Малых, Е. В. Аксиологическая направленность изучения математики [Текст] // Проблемы социального самоопределения учащейся молодежи в условиях современного общества: материалы международной научно-практической конференции (Россия, г. Киров, 34 марта 2003г.) / Е В. Малых. - Киров: Изд-во ВятГТУ, 2003. -С. 486490. (0,3 п. л.)

6. Малых, Е. В. Способы обобщения при решении математических задач, основанные на применении абстракции отождествления [Текст] // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: тез. докл. Ш Всерос. науч. конф / £ В. Малых. - Киров. Изд-во ВятГТУ, 2004. - С. 37-38. (0,1 п л.)

7. Малых, Е. В. Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений [Текст] // Профессиональный конкурс «Учитель года Кировской области»: панорама уроков /Методическое пособие. Часть 2/ЕВ. Малых. - Киров: ИУУ, 2004.-С. 5-10. (0,38 п. л.)

8. Малых,.£ В. Обобщение и систематизация знаний и умений - необходимое условие решения математических задач на доказательство [Текст] // Педагогическая Мастерская /Е. В. Малых. - 2005. - № 1. - С. 20-23. (0,25 п. л.)

Подписано в печать 25 04.2005 Формат 60x84);, Бумага типографская Усл. печ. л. 13 Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в типографии Вятского государственного гуманитарного университета 610002. г. Киров, ул. Ленина, 111

/ г , „ t

1Д Д /изо

О 9 МАЙ 2005 '

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Малых, Елена Владимировна, 2005 год

Введение.

Глава 1. Теоретические основы обобщений и их роль в обучении математике.

1.1. Философские основы обобщения.

1.2. Психолого-педагогические основы обобщения.

1.3. Обобщение в исследованиях по методике обучения математике.

Выводы по первой главе.

Глава 2. Обобщение как средство обучения математике.

2.1. Обобщения при формировании математических понятий.

2.2. Обобщения при изучении теорем.

2.3. Индуктивные обобщения и абстрагирование в обучении методам решения математических задач.

2.4. Обобщение - метод решения задач.

2.5.Обобщения математических задач как источник новых учебных математических задач.

2.6. Педагогический эксперимент.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы"

Проблема обобщений занимает одно из центральных мест в философии, психологии и педагогике. Исследованием обобщений занимались философы Е. К. Войшвилло, Д. П. Горский, Б. М. Кедров, П. В. Копнин, Г. Д. Левин, Ю. Е. Петров, В. А. Светлов, В. С. Степин, психологи Н. Д. Богоявленский, JI. С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, JI. Н. Ланда, Н. А. Менчинская, С. Л. Рубинштейн,,Д. Б. Эльконин, педагоги И. Я. Лернер, В. Ф. Паламарчук, В. А. Онищук, Н. Ф. Талызина, С. А. Шапоринский и другие. Все ученые единодушно признают, что без обобщения не может быть познания.

Значимость обобщений в математике р при обучении математике подчеркивали такие выдающиеся ученые как Г. Вейль, Д. Гильберт, Н.И.Лобачевский, В.И.Арнольд, А. Пуанкаре, А. Н. Колмогоров и др. «Обобщение - это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний» - писал У. Сойер в «Прелюдии к математике». Необходимость использования обобщений в обучении математике отмечали математики-методисты В. Г. Болтянский, В. М. Брадис, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, В. А. Далингер, О. Б. Епишева, М. И. Зайкин, Т. А. Иванова, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, В. А. Крутецкий, Е. И. Лященко, Д. Пойа, В. В. Репьев, Г. (И. Саранцев, А. А. Столяр, Р. С. Черкасов и другие.

Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы, опыта работы учителей математики показал, что методическое значение обобщений как средства обучения математике достаточно велико и разнообразно. Обобщение, как один из методов мышления при обучении математике, способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления, совершенствованию умений учащихся находить общее и существенное в конкретных явлениях, объектах, примерах, абстрагироваться от несущественного и так далее. Обобщения являются средством и способом введения и определения многих математических понятий, формулировок теорем, средством и методом доказательства различных теорем, решения и обучения решению большого числа математических задач. Обобщения также могут быть источником новых математических задач.

Таким образом, проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике недостаточно изучена в условиях полной средней школы. Имеется противоречие между значительным потенциалам обобщений и недостаточной разработанностью теории и методики их применения при обучении математике учащихся полной средней школы. Требуется исследование вопроса во всех его аспектах. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность диссертационного исследования.

5 I

Объект исследования: процесс обучения математике и использование обобщений в этом процессе.

Методологической основой исследования послужили философские, психолого-педагогические и математико-методические положения теории обобщений в процессе познания, основные положения теории системного анализа, методологии методики обучения математике, основные положения 1 методики обучения решению математических задач.

3) разработать методику использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней Николы;

4) экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики в практике обучения.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической h математико-методической литературы по исследуемой проблеме; наблюдение и анализ работы учителей математики по обучению решению задач; применение разработанных учебно-методических материалов в учебном процессе и экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.

Исследование проводилось с 2001 по 2004 г. и включало два этапа. На первом этапе (2001-2003 гг.) выявлялось состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения учащихся полной средней школы. Для этого осуществлялись изучение и анализ 1 философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по проблеме исследования, наблюдение и анализ опыта работы учителей математики с целью исследования роли, места, путей эффективного использования обобщений в обучении математике. Автором проводилось экспериментальное обучение на базе 10-11 классов средней школы № 21 г. Кирова, а также на открытых уроках «Решение уравнений вида х2 = а и Гх = а» в 8 классе школы № 21 (Киров, 2000 г.); «Задачи на совместную работу» в 8 классе школы № 46 (Киров, 2000 г.); «Геометрический смысл I Л коэффициентов функции у~х + рх + q» в 9 классе школы № 1008 (Московская область, 2001 г.); «Как разделить отрезок на две равные части» в 9 классе школы МДЦ «Артек» (Крым, 2001 г.); «Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений» в 11 классе школы № 1 (Сосновый Бор, 2003 г.); «Задачи на движение» в 5 классе школы № 2 (Тихвин, 2003 г.); «Доказательство неравенства Коши» в 10 классе школы № 2 (Самара, 2004 г.). Результатом первого этапа явились формулировка рабочей гипотезы исследования и разработка основных положений методики обучения математике с использованием обобщений.

На втором этапе (2003-2004 гг.) проведен обучающий эксперимент на базе средних школ № № 21, 40, 52 г. Кирова, в ходе которого происходила корректировка разработанной методики. Анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов позволил сформулировать окончательные выводы диссертационного исследования. I

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

- расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике;

- уточнено определение обобщения;

- определены пути осуществления обобщений в обучении математике;

- выявлены психолого-педагогические условия проведения обобщений при обучении математике.

Практическая значимость работы определяется тем, что теоретические выводы и разработанная методика осуществления обобщений в процессе обучения математике могут быть использован^ учителями математики в их педагогической деятельности, а так же при разработке учебных и методических пособий по изучению школьного курса математики.

На защиту выносятся следующие положения:

2. Разработана методика использования обобщений

- при введении формулировок теорем и рассмотрении их доказательств;

- при обучении общим методам решения математических задач, обобщении самих задач, использовании обобщений как методов решения математических задач.

Основные положения и выводы по результатам исследования были доложены и обсуждены на II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001 г.); на Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск,1 2002 г.); на международном семинаре учителей (МДЦ «Артек», 2001 г.); на VIII Всероссийском слете «Учитель года» (Тихвин, 2003 г.); на международной научно-практической конференции «Проблемы социального самоопределения учащейся молодежи в условиях современного общества» (Киров, 2003 г.); на III Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2004 г.); на фестивале «Лидеры образования России» (Самара, 2004 г.); на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и методики преподавания математики ВятГГУ; на семинарах учителей математики в ИУУ Кировской области.

По теме исследования имеется 8 публикаций.

Диссертация (163 с.) состоит из введения (7 е.), двух глав (гл.1 - 61 е., гл.2 - 73 с.), заключения (2 е.), библиографического списка (188 ед. наименований) и 5 приложений. Текст диссертации содержит 20 рисунков, 10 таблиц.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по второй главе

1. Обобщения при обучении математике помогают решать проблему развития мышления учащихся, так как при обобщении учащиеся необходимо выполняют сравнение математических объектов, анализируют данные объекты, задачи, синтезируют их, учатся абстрагированию от несущественных фактов, условий, свойств объектов, а также специализации и конкретизации, таким образом овладевая методами и приемами мышления.

2. Обобщения являются эффективным средством введения и изучения новых математических понятий, многих теорем математики.

При формировании многих математических понятий (понятий алгебры, геометрии, математического анализа) велика роль индуктивных обобщений. От сравнения и анализа нескольких специально подобранных объектов примеров, задач через выделение в них характеристических свойств, общих признаков и компонентов, путем абстрагирования от несущественных свойств и компонентов - к новому математическому понятию, его определению. Такой путь введения понятий приемлем с 5 по 11 классы. В старших же (8 - 11) классах новые понятия вводятся и через обобщение ранее известных математических понятий (например, понятие касательной к произвольной кривой). Такие обобщения могут быть и многоступенчатыми. Аналогичную роль играют индуктивные обобщения при изучении формулировок теорем и их доказательств.

3. Обобщения задач и их решений являются эффективным средством овладения общими методами решения задач, создают потребность учащихся мыслить общими структурами и избавляют их от необходимости запоминать на длительное время многие частные способы решения задач и таким образом формируются прочные умения решения задач, экономится время обучения их решению.

4. Обобщения и сами по себе могут являться методом решения некоторых классов задач. Таковы метод решения задач «по индукции», способ решения задач «в общем виде», введение вспомогательной функции как обобщения данных или промежуточных результатов задач.

5. Обобщения самих математических задач служат источником новых учебных математических задач. Обобщения задач могут быть обобщением данных или искомых, обобщением данных и искомых, обобщением задач по аналогии и так далее.

6. Работа по осуществлению обобщений в процессе обучения математике школьников должна проводиться систематически и целенаправленно. Эффективность такой работы подтверждена экспериментально. 1

Заключение

Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по теме исследования показал, что проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике в полной средней школе исследована недостаточно. Разрешение противоречия между значительным потенциалом обобщений в совершенствовании процесса обучения математике учащихся средней школы и недостаточной разработанностью теории и методики их применения в обучении математике потребовало исследования вопроса во всех его аспектах.

В настоящем диссертационном исследовании уточнено определение обобщения, выявлены теоретические и методические основы использования обобщений при обучении математике, а так же расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике.

В работе решается проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся путем использования обобщений как эффективного средства обучения математике. Такой подход позволил уточнить роль и место обобщений в содержании школьного математического образования, выявить и обосновать виды обобщений в процессе обучения математике.

В рамках этого подхода разработана методика использования обобщений в обучении школьников математике: 1) при введении и изучении математических понятий и обобщении известных уже понятий до математических понятий с более широким объемом; 2) при введении формулировок теорем и рассмотрении их доказательств; 3) при обучении общим методам решения математических задач, обобщении самих задач, использовании обобщений как методов решения математических задач. Эффективность разработанной методики подтверждена экспериментально.

Теоретические выводы и практические рекомендации, приведенные в работе, могут быть использованы учителями математики в их педагогической деятельности, а так же при разработке учебнь!х и методических пособий по изучению школьного курса математики.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Малых, Елена Владимировна, Киров

1. Абдурасулова, В. П. Некоторые пути формирования способности к обобщению у младших школьников (на материале математики) Текст. / В.П. Абдурасулова // Вопросы психологии. 1979. - № 5. — С. 126-129.

2. Алгебра и начала анализа Текст.: учеб. для 10-11 кл. сред. шкУ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров. М.: Просвещёние, 1992. - 254 с.

3. Алгебра и начала анализа Текст.: учеб. для 10-11 кл сред, шк./ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын ; под ред. А.Н. Колмогорова. -М.: Просвещение, 1994. 320 с.

4. Александров, А. Д. Геометрия Текст. : учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений /А. Д. Александров, A. J1. Вернер, В. И. Рыжик. М.: Просвещение, 1995.- 415 с.

5. Александров, А. Д. Математика, ее содержание, методы и значение Текст. Т.З/А. Д. Александров. М., 1956. -109 с.

6. Артемов, А. К. Обобщения в обучении математике Текст. / А. К. Артемов // Начальная школа. -1985. -№ 11. С. 65-68.

7. Артемов, А. К. Формирование обобщенных умений решать текстовые задачи Текст. / А. К. Артемов // Начальная школа. -1992. № 2. - С. 30 - 35.

8. Атаханов, Р. А. Особенности эмпирического и теоретического обобщения решения арифметических задач младшими школьниками Текст. : дис. . канд. пед. наук. / Р. А. Атаханов. М.,1972. - 175с.

9. Балк, М. Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления Текст. / М. Б. Балк, Г. Д. Балк // Математика в школе. -1985. № 2. - С. 55-60.

10. Балл, Г. А. Теория учебных задач Текст.: пскхолого-педагогический аспект / Г. А. Балл М.: Педагогика, 1990. -183 с.

11. Бевз, Г. П. Геометрия Текст.: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / Г.П.Бевз, Н.Г.Владимирова. М.: Просвещение, 1992. - 352 с.

12. Бевз, Г. П. Обобщения при решении задач с помощью векторов Текст. / Г. П. Бевз // Математика в школе. 1978. - № 2. - С. 47-50.

13. Бернштейн, М.С. Задачи на доказательство В| курсе геометрии Текст. / М. С. Бернштейн // Математика в школе. -1941. № 4. - С. 19-30.

14. Богоявленский, Н. Д. Психология усвоения знаний в школе Текст. / Н. Д. Богоявленский, Н. А. Менчинская. М.: АПН РСФСР, 1959. - 347с.

15. Богушевский, К. С. Из писем и заметок читателей Текст. / К. С. Богушевкий // Математика в школе. —1952. -№ 5. С. 60-72.

16. Болтянский, В.Г. Анализ — поиск решения задачи Текст. / В. Г. Болтянский // Математика в школе. 1974. - № 1. - С. 34-40

17. Бондаревская, В. М. Некоторые особенности становления стратегий решения задач Текст. / В. М. Бондаревкая, М. А. Смульсон // Вопросы психологии. — 1973.-№ 5.-С. 58-65

18. Бондаревский, В. Б. Воспитание интереса к знаниям и потребность к самообразованию Текст. / В. Б. Бондаревский. М.: Просвещение, 1985 . -178 с.

19. Брадис, В. М. Методика преподавания математики в средней школе Текст. : учеб. пособие для ин-тов и гос. ун-тов/ Брадис В. М.; под ред. А.И.Маркушевича. М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.

20. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем Текст. / Н. П. Бусленко. -М.: Наука, 1978.-399с. i

21. Введение в психологию Текст. / под общ. ред. проф. А.В.Петровского. М.: Академия, 1996.-496 с.

22. Войшвилло, Д. К. Логика как часть теории познания и научной методологии Текст. : фундаментальный курс : учеб. пособие для студентов философ, факультетов и преподавателей логики / Д. К. Войшвилло, М. Г. Дектярев.— М.: Наука, 1994. Кн. 1. - 312 с.

23. Войшвилло, Д. К. Логика как часть теории познания и научной методологии Текст. : фундаментальный курс: учеб. пособие для студентов философских факультетов и преподавателей логики / Д. К. Войшвилло, М. Г. Дектярев.— М.: Наука, 1994.-Кн. 11.-333 с.

24. Волович, М. Б. Наука обучать. Технология преподавания математики Текст. / М. Б. Волович. М.: ЛИНКА - Пресс, 1995. - 243с.

25. Восканян, К. В. Разные способы решения геометрических задач как средство развития мышления школьников Текст. V К. В. Восканян // Вопросы психологии. 1995. - № 5. - С. 26-32.

26. Выготский, Л. С. Избранные психологические исследования Текст. / Л. С. Выготский. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956. - 519с.

27. Выготский, Л. С. Педагогическая психология Текст. / Л. С. Выготский; под ред. В.В.Давыдова. — М.: Педагогика Пресс, 1999. — 536с.

28. Газиев, Э. Перенос приемов обобщения у школьников Текст. / Э. Газиев // Вопросы психологии.- 1974.-№2.-С. 116-123.

29. Гальперин, П. Я. Развитие исследований по проблеме формирования умственных действий и понятий Текст. / П.1 Я. Гальперин // Психол. наука в СССР. 1959. - Т.7. - С. 441-469.

30. Гальперин, ПЛ. Проблемы формирования знаний и умений у школьников и новые методы обучения в школе Текст. / П. Я. Гальперин, А. В. Запорожец, Д. Б. Эльконин// Вопросы психологии. — 1963. —№ 5. — С. 61-73.

31. Гамезо, М. В. Знаковое моделирование в процессе решения учебных текстовых задач Текст. / М. В. Гамезо, В. С. Герасимова // Психологические проблемы переработки знаковой информации. М., 1977. - С. 237-251.

32. Геометрия Текст. : учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев. L- 5-е изд. М.: Просвещение, 1995.-335 с.

33. Гильберт, Д. Основания математики Текст.: теория доказательств / Д. Гильберт; пер. с нем. Н.М.Нагорного; под ред. С.И. Адяна. М.: Наука, 1982. -652с.

34. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст.: учеб. пособие для ВТУзов / В. Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1977. -479 с.

35. Гнеденко, Б. В. Математика и научное познание Текст. / Б. В. Гнеденко. -М.: Знание, 1983.-64 с.

36. Горский, Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий Текст. / Д. П. Горский. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - 352 с.

37. Горский, Д. П. Научная теория и способы ее обобщения Текст. / Д. П. Горский // Вопросы философии. 1966. -№ 8. - С. 45-54.

38. Горский, Д. П. О процессе идеализации и eit-o значении в научном познании Текст. / Д. П. Горский // Вопросы философии. 1963. -№ 2. - С. 50-60.

39. Горский, Д. П. Обобщение и познание Текст. / Д. П. Горский.- М.: Мысль, 1985.-208 с.

40. Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием Текст. / А. Б. Горстко. -М.: Знание, 1991. 160с.

41. Груденов, Я. И. Психолого-педагогические основы методики обучения математике Текст. / Я. И. Груденов. -М.: Педагогика, 1987. 176 с.

42. Гусев, В. А. Практикум по решению математических задач. Геометрия Текст. : учеб. пособие для студентов физ.-мйт. спец. пед. ин-тов / В.А.Гусев,

43. B.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович. -М.: Просвещение, 1985.-223 с.

44. Гусев, В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике Текст. / В. А. Гусев. М.: Вербум - М.; Академия, 2003. - 432 с.

45. Давыдов, В. В. Виды обобщения в обучении Текст. : логико-психологические проблемы построения учебных предметов / В. В. Давыдов. -М.: Педагогика, 1972-424 с.

46. Давыдов, В. В. Концепция учебной деятельности школьников Текст. / В. В. Давыдов, А. К. Маркова // Вопросы психологии 1981. - № 6 - С. 13-27.

47. Давыдов, В. В. К проблеме соотношения абстрактных и конкретных знаний в обучении Текст. / В. В. Давыдов // Вопросы психологии. 1968. - № 6.1. C.34-49

48. Далингер, В. А. Геометрия помогает алгебре Текст. / В. А. Далингер // Математика в школе.-1996. № 4. - С. 29-34.

49. Далингер, В. А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения Текст. / В. А. Далингер // Математика в школе. 1983. - №1. — С.10-14.

50. Далингер, В. А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии Текст. / В. А. Далингер // Математика в школе. 1995. - № 6. - С. 16-21.

51. Декарт, Р. Разыскание истины Текст. / Р. Декарт; пер. А. Гутермана, М.Позднева, Н.Сретенского, Г.Тынянского. СПб.: Азбука, 2000. - 288 с.

52. Дорофеев, Г. В.Обобщение метода интервалов Текст. / Г. В. Дорофеев // Математика в школе 1969. -№ 3 - С. 39-44.

53. Дубровина, И. В. Анализ компонентов1 математических способностей школьников: дисканд. пед. наук./И. В. Дубровина. -М., 1968. 195 с.

54. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике Текст.: формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. М.: Просвещение, 1990. -127 с.

55. Ермолаев, О. Ю. Математическая статистика для психологов Текст. / О. Ю. Ермолаев. М.: Московский психолого- социальный ин - т, 2003. - 336с.

56. Есипов, Б. П. Основы дидактики Текст. / Б. П. Есипов [и др.]. М.: Просвещение, 1967. - 197 с.

57. Жуков, Н. И. Философские основания математики Текст.: учеб. пособие для студентов вузов и аспирантов / Н. И. Жуков. Минск: Университетское, 1990.-107 с.

58. Зайкин, М. И. Методика обобщающего повторения при изучении математикив 4-5 классах средней школы Текст.: дисканд. пед. наук / М. И. Зайкин. 1. М, 1984.-186 с.

59. Зайченко, Н. В. Методика обобщающего повторения при обучении алгебре в 8 классе Текст.: дис. канд. наук. / Н. В. Зайченко. М., 1986. - 178 с.

60. Запорожец, А. В. Развитие мышления Текст. / А. В. Запорожец, В. П. Зинченко, Д.Б. Эльконин // Запорожец А.В.1 Психология детей дошкольного возраста. М., 1964. - С. 183-246

61. Зетель, С. И. О применении свойств корней квадратного уравнения к решению задач на максимум и минимум Текст. / С. И. Зетель // Математика в школе. -1949. № 1. - С. 45.

62. Зильберберг, Н. И. Урок математики Тексту.: подготовка и проведение: кн. для учителя / Н. И. Зильберберг. — М.: Просвещение; Учеб. лит., 1995. 178 с.

63. Зимняя, И. А. Педагогическая психология Текст.: учеб. пособие для вузов / И. А. Зимняя. М.: Логос, 1999. - 384 с.

64. Зинченко, В. П. Формирование зрительного образа Текст. / В. П. Зинченко, Д. Ю. Попов. -М.: Изд во МГУ, 1969. - 301 с.

65. Зубова, С. П. Формирование обобщений у учащихся 4-6 классов в обучении математике Текст.: дис. . канд. наук.- Пенза, 1994. -197 с.

66. Ильин, В.А. Математический анализ Текст. / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х.Сендов.-М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 Cj.

67. Ильясов, И. И. Система эвристических приемов решения задач Текст. / И. И. Ильясов. М.: Изд-во Российского открытого ун-та, 1992. -140 с.

68. Иржавцева, В. П. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе изучения математики Текст.: пособие для учителя / В. П. Иржавцева, Л. Я. Федченко; под ред. Н.Л. Коломинского. Киев: Рад. шк., 1989. - 208 с.

69. Искаков, М. У. Формула Герона в пространстве Текст. / М. У. Искаков // Математика в школе. — 1967. № 5. - С. 78-79.

70. Кабанова-Меллер, Е. Н. Проблема эмпирического и теоретического обобщения в советской педагогической психрлогии Текст. / Е. Н. Кабанова-Меллер // Советская педагогика. 1973. - № 11. - С. 140-146.

71. Кабанова-Меллер, Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся Текст. / Е. Н. Кабанова Меллер. — М.: Просвещение, 1968.-288с.

72. Канин, Е. С. Аналитическое моделирование текстовых задач Текст. / Е. С. Канин // Функции задач в обучении математике. Киров - Йошкар-Ола, 1985.-С. 44-63.

73. Канин, Е. С. Заключительный этап решения учебных задач Текст. / Е. С. Канин, Ф. Ф. Нагибин // Преподавание алгебры и геометрии в школе / сост. О. А. Боковнев. М., 1982.- С. 131-139.

74. Канин, Е. С. Изучение касательной в курсе средней школы Текст. / Е. С. Канин // Математика в школе. 2002. - № 8. - С. 51-56.

75. Канин, Е. С. Наглядно-геометрический вариант введения и изучения понятия предела Текст. / Е. С. Канин // Математика в школе. 2003. - № 8.—С. 47-53.

76. Канин, Е. С. Развитие темы задачи Текст.1 / Е. С. Канин // Математика в школе.- 1991.-№3.-С. 8-12.

77. Канин, Е. С. Учебные математические задачи Текст.: учеб. пособие / Е. С. Канин. Киров: Изд - во Вят. ГГУ, 2003. - 191 с.

78. Канин, Е. С. Формирование и совершенствование графических представлений и умений учащихся при изучении начал математического анализа Текст. : учеб. пособие / Е. С. Канин. Киров: Вятский гос. педагог, ун-т, 1998.-48 с.

79. Канин, Е.С. Упражнения по началам математического анализа в 9 10 классах Текст.: кн. для учителя / Е.С.Канин,' Е.М.Канина, М.Д.Чернявский. -М.: Просвещение, 1986. - 160 с.

80. Кедров, Б. М. Единство диалектики, логики и теории познания Текст. / Б. М. Кедров. — М.: Полит, лит., 1963. 295с.

81. Кедров, Б. М. Обобщение как логическая операция Текст. / Б. М. Кедров // Вопросы философии. 1965. -№ 12. - С. 46-57.

82. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей Текст. В 2 Т. Т.2. Геометрия: пер. с немУ Ф. Клейн; под ред. В.Г.Болтянского. 2-е изд. -М.: Наука, 1987.-416 с.

83. Клещев, В. А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности Текст. / В. А. Клещев // Математика в школе. 1992. - №6. - С. 17-18.

84. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике Текст. Ч. II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач / Ю. М. Колягин. М.: Просвещение, 1977.-128 с.

85. Кондаков, Н. И. Логика Текст. / Н. И. Кондаков. М.: Учпедгиз,1954. -452с.

86. Копнин, П. В. Философские идеи В.ИЛенина и логика Текст. / П. В. Копнин. -М.: Наука, 1969.-483 с.

87. Кострикина, Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов Текст. : кн. для учителя / Н. П. Кострикина. — М.: Просвещение, 1991.-239 с.

88. Кретинин, О. С. Обобщение и специалйзация при изучении системы математических понятий Текст. : дис. .канд. наук / О. С. Кретинин.-Нижний Тагил, 1972.- 166 с.

89. Крутецкий, В. А. Психология Текст. / В. А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968.-432с.

90. Кудрявцев, Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении Текст. / Л. Д.Кудрявцев. М.: Наука, 1977. - 111 с.

91. Курант, Р. Что такое математика? Текст. / Р. Курант, Г. Роббинс. М.: МЦНМО, 2001.-568с.

92. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики Текст.: учеб. пособие для студентов физ. — мат. спец. пед. ин — тов / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко ; под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988.-223 с.

93. Ланда, Л. Н. Алгоритмизация в обучении Текст. / Л. Н. Ланда; под ред. Б. В. Гнеденко, Б.В. Бирюкова. -М.: Просвещениё, 1966.-415 с.

94. Ланда, JI. Н. О формировании у учащихся общего метода мыслительной деятельности при решении задач Текст. / JI. Н. Ланда // Вопросы психологии. 1959. - № 3. - С. 14-27.

95. Левин, Г. Д. Анализ и синтез в геометрии Текст. / Г. Д. Левин // Вопросы философии. -1998. № 9. - С. 45-55. 1

96. Левин, Г. Д. Теоретическая индукция, «общий предмет» и правило Локка Текст. / Г. Д. Левин // Вопросы философии. 1994. - № 12. - С. 115-121.

97. Лернер, И. Я. Проблемное обучение Текст. / И. Я. Лернер. М.: Знание, 1974.-244 с.

98. Людмилов, Д. С. Задачи без числовых данных Текст. / Д. С. Людмилов. М.: Гос. уч.-пед. изд-во мин - ва просвещения РСФСР, 1961.- 240 с.

99. Людмилов, Д. С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике Текст. / Д. С. Людмилов, Е. А. Дышинский, А. М. Лурье. Пермь, 1975. -117 с. 1

100. Максимов, Л. К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения Текст. / Л. К. Максимов // Вопросы психологии. -1979. -№ 2. С. 58-65.

101. Маркова, А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте Текст.: пособие для учащихся М.: Просвещение, 1983. - 96 с.

102. Маркс, К. Сочинения Текст. / К. Маркс, Ф. Энгельс.- 2-е изд.- Т.20. 827 с.

103. Маркушевич, А. И. Совершенствование образования в условиях научно-технической революции Текст. / А. И. Маркушевич. М.: Изд-во АПН СССР, 1971-52 с. 1

104. Матюшкин, А.М. Виды обобщения и проблемы психологии обучения Текст. / А. М. Матюшкин, М. М. Новоселов // Вопросы психологии. 1974. - № 2. -С. 180-184.

105. Мельник, Н. С. О взаимосвязанных геометрических задачах Текст. / Н. С. Мельник // Математика в школе. 1986. -№ 6. — с.48-50.

106. Метлов, В. И. Теория индукции Джона Венна Текст. / В. И. Метлов // Вопросы философии. 1967. - № 7. - С. 126-131.

107. Методика обучения геометрии Текст.: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А.Гусев, В.В.Орлов, В.А.Панчгацина; под ред. В.А.Гусева. М.: Академия, 2004. - 368 с.

108. Методика преподавания математики Текст.: пособие для учителей и студентов пед. ин-тов / под общ. ред. С.Е.Ляпина. — JL: Учпедгиз, Ленингр. отд-ние, 1955.-484 с.

109. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методикаI

110. Текст.: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / АЛ.Блох, Е.С.Канин ; сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336с.

111. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика Текст.: учеб. пособие для студентов физ. — мат. фак. пед. ин-тов / ВЛ.Оганесян, Ю.М.Колягин, ГЛЛуканкин, ВЛ.Саннинский. М.: Просвещение, 1980.-368 с.

112. Михайлова, И. Б. О характере обобщения в представлениях Текст. // Вопросы философии. — 1963. № 7. - С.74-84.

113. Моисеев, Н. Н. Математика ставит эксперимент Текст. / Н. Н. Моисеев.I1. М.: Наука, 1979.-224 с.

114. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Текст.: учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2001. -335 с.

115. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики Текст.: Концептуал. методика. Рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи / А. Г. Мордкович. -М.: Школа-Пресс, 1995.-272 с.

116. Мултановский, В. В. Проблема теоретических обобщений в курсе физикисредней школы Текст. :автореф. дис. . .док. наук / В. В. Мултановский М.,I1979.- 19 с.

117. Надирашвили, Ш. А. Ступени развития обобщения в школьном возрасте и вопросы их моделирования Текст. / Ш. А. Надирашвили / Вопросы психологии. -1964. -№ 6. С. 78-87.

118. Нгуен-Ке -Хао. Характер мотивации учебно|й деятельности в зависимости от типа обобщения учебного материала Текст. / Нгуен Ке - Хао // Вопросы психологии.-1981.-№ 1.-С. 130-133.

119. Немов, Р.С. Психология Текст. Т. 1 / Р. С. Немов. М.: Владос, 1998. -279 с.

120. Ненашев, М. И. Введение в логику Текст. / М. И. Ненашев. Киров, 1995240 с.

121. Никитина, Н. Ш. Математическая статистика для экономистов Текст. / Н. Ш. Никитина. -М.: Инфра-М; Новосибирск: Изд во Hi 1 У, 2001. - 170 с.

122. Никольская, И. JI. Учимся рассуждать и( доказывать Текст. : кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. / И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов. М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

123. Носатов, В. Т. Психологическая характеристика анализа как основы теоретического обобщения Текст. / В. Т. Носатова // Вопросы психологии. -1978.-№4.-С. 46-53.

124. Нысанбаев, А. Принцип соответствия и математика Текст. / А. Нысанбаев //Вопросы философии. 1965. -№ 7. - С. 95-104.

125. Онищук, В. А. Типы, структура и методика урока в школе Текст. / В. А. Онищук. — Киев: Рад. школа, 1976. 184 с. (

126. Онищук, В. А. Урок в современной школе Текст.: пособие для учителей / В. А. Онищук. М.: Просвещение, 1981. - 205с.

127. Орехов, Ф. А. Решение задач методом составления уравнений Текст.: пособие для учителей восьмилетней школы / Ф. А. Орехов. М.: Просвещение, 1971.-160 с.

128. Осинская, В. Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике Текст.: кн. для учителя. Киев: Рад. шк., 1989. -192 с.

129. Островский, А. И. Геометрия помогает арифметике Текст. / А. И. Островский, Б. А. Кордемский. -М.: Физматрз, 1960. 168 с.

130. Паламарчук, В. Ф. Школа учит мыслить Текст. / В. Ф. Паламарчук. М.: Просвещение, 1987. - 206 с.

131. Педагогика Текст. : учеб. для вузов по пед. спец. / В.В.Краевский, А. Ф. Меняев, П. И .Пидкасистый; под ред. П.И. Пидкасистого. — М.: Педагог, общество России, 2004. 608 с.

132. Педагогика Текст. : учеб. пособие для ртудентов пед. ин-тов / Ю. К. Бабанский, В. А. Сластенин, Н. А. Сорокин ; под ред. Ю. К. Бабанского.- 2- е изд., доп. и перераб. М.: Просвещение, 1988. - 479 с.

133. Педагогика Текст.: учебное пособие для учеб. заведений / Сластенин В.А., Исаев И.Ф., Мищенко А.И. М.: Школьная Пресса, 2002. - 512 с.

134. Педагогический энциклопедический словарь Текст. / гл. ред. Б.М. Бим Бад. — М: Большая Российская энциклопедия, 2002. — 528 с.

135. Петров, Ю. Е. Диалектика научных абстракций в математическом познании Текст. / Ю. Е. Петров. М.: Изд. - во МГУ, 1986. - 172с.

136. Погорелов, А. В. Геометрия Текст.: учеб.| для 7 — 11 кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

137. Пойа, Д. Как решать задачу Текст. : пер. с англ. / Д. Пойа. М.: Учпедгиз, 1959.-216 с.

138. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения Текст. / Д. Пойа. М.: Наука, 1975.-464 с.

139. Пойа, Д. Математическое открытие Текст. / Д. Пойа. М.: Наука, 1970 — 452 с.

140. Полонский, В. Б.Геометрия Текст.: задачник к школьному курсу / В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир. г М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр- S, 1998.-256 с.

141. Поляк, Г. Опыт систематизации типовых задач Текст. / Г. Поляк // Математика в школе. -1940. № 4. - С. 22-28.

142. Понарин, Я. П. Геометрия Текст.: учебное пособие / Я. П. Понарин. -Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. 512 с.

143. Поспелов, Н. Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников Текст. / Н. Н. Поспелов, И. Н. Поспелов. М.: Педагогика, 1989. - 152 с.

144. Психологический словарь Текст. / под ред. В.В.Давыдова, А.В.Запорожца, Б.Ф.Ломова; науч. исслед. ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР. - М.: Педагогика, 1983. - 448 с.

145. Психологический словарь Текст. М.: Педагогика, 1983. - 447 с.

146. Психология Текст. : словарь / под ред. А. В. Петровского, М.Г.Ярошенко. -М.: Полит, лит., 1990. 440 с.

147. Пушкин, В. Н. Оперативное мышление в больших системах Текст. / В. Н.I

148. Пушкин.-М.-Л., 1965.- 125 с.

149. Раев, А. И. Управление умственной деятельностью младшего школьника Текст. / А. И. Раев. Л.: Ленинградский гос. пед. ин-т им. А.И.Герцена, 1976.-63 с.

150. Репьев, В. В. Общая методика преподавания математики Текст.: пособие для пед. ин-тов/ В. В. Репьев. -М.: Учпедгиз, 1958. 265 с.

151. Рогов, Е. И. Общая психология Текст. : курс лекций / Е. И. Рогов. М.: Владос, 1998.-283 с.

152. Родионов, М. А. Теория и методика формирования мотивации учебнойIдеятельности школьников в процессе обучения математике Текст. : дис. . докт. пед. наук. Саранск, 2001.

153. Розенфельд, Д. И. Об ознакомлении учащихся с методом обобщения Текст. / Д. И. Розенфельд // Математика в школе. 1965. - № 1. — С. 41-43

154. Рубинштейн, С. Л. Бытие и сознание Текст. / С. Л. Рубинштейн.- М.: Изд-во АН СССР, 1957.-512 с.

155. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии Текст. / С. Л. Рубинштейн. -СПб.: Питер Ком, 1998. 688 с.

156. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии Текст. В 2 т. Т. 1 / С.Л.I

157. Рубинштейн. -М.: Педагогика, 1989.-488 с.

158. Рынков, А. Е. Обобщение и систематизация знаний учащихся по алгебре в системе подготовки к обучению в средних профессиональных учебных заведениях Текст.: дисканд. наук. Киев, 1995.- 164 с.

159. Самарин, Ю. А. Очерки психологии ума. Особенности умственнойIдеятельности школьников Текст. / Ю. А. Самарин. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.-504 с.

160. Саранцев, Г. И. Обучение методу аналогии Текст. / Г. И. Саранцев // Математика в школе. -1989. № 4. - С. 42 - 46.

161. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе Текст. : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И.Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. 224 с.

162. Саранцев, Г. И. Методы научного познания как средство упорядочениягеометрических задач Текст. / Г. И. Саранцев, Т. М. Калинкина //I

163. Математика в школе. 1994. - № 6 - С. 2-4.

164. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе Текст.: кн. для учителя / Г. И. Саранцев. М.: Просвещение, 2000. -173 с.

165. Светлов, В. А. Практическая логика Текст. / В. А. Светлов. СПб: Изд-во РХГИ, 1995.-472с.

166. Семушин, А. Д. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации Текст. : пособ. для учителей / А. Д. Семушин, О. С. Кретинин, Е. Е. Семенов. М.: Просвещение, 1978. - 64 с.

167. Смирнова, И. М. Геометрия Текст.: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ИМ.Смирнова, В.А.Смирнов. —М.: Просвещение, 2001 -271 с.

168. Сойер, У. Прелюдия к математике Текст. / У. Сойер; пер. с англ. М. Л.Смолянского, С. Л.Романовой. -М.: Просвещение, 1972. 192 с.

169. Степин, В. С. Теоретическое знание Текст. / В. С. Степин. М.: Прогресс-Традиция, 2000. - 744 с.

170. Стражевский, А. А. О сравнении числовых значений величин Текст. / А. А. Стражевский // Математика в школе. 1959. - № 2. - С. 56-59.

171. Талызина, Н. Ф. Деятельностный подход к механизмам обобщения Текст. / Н. Ф. Талызина // Вопросы психологии. 2001. - № 3. - С. 3-16.

172. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология Текст. : учебное пособие для пед. сред. учеб. заведений / Н. Ф. Талызина. М.: Академия, 1998. - 288 с.

173. Талызина, Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний Текст. / Н. Ф. Талызина. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 343 с. (

174. Теоретические основы обучения математике в средней школе Текст. : учеб. пособие / под ред. Т.А. Ивановой. Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320 с.

175. Теплов, Б. М. Избранные труды Текст.: в 2 т. / Б. М. Теплов; ред. сост. и авт. коммент. Н.С. Лейтес, Н.В. Равич. — М.: Педагогика, 1985.

176. Туркина, В. М. Установление преемственных связей в преподавании математики в условиях развивающего обучения Текст. : автореф. дис. . .доктора пед. наук / В. М. Туркина.- СПб, 2003. -19 с.

177. Философская энциклопедия Текст. Т.4.- М.: Сов. энциклопедия», 1967. -519 с. ,

178. Философский энциклопедический словарь Текст. М.: Сов. энциклопедия, 1983.- 446 с.

179. Флешнер, Э А. Возрастные особенности абстрагирования в процессе применения знаний Текст. / Э. А. Флешнер // Вопросы психологии. -1964. -№2.-С. 146-154.

180. Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе Текст.: учителю математики о пед. психологии / Л. М. Фридман. М.: Просвещение, 1983. -160 с.

181. Фридман, Л. М. Теоретические основы ^етодики обучения математике Текст. : пособие для учителей, методистов и педагогических высш. учеб. заведений / Л. М. Фридман. М.: Моск. психолого - социальный ин — т; Флинта, 1998.-217 с.

182. Фридман, Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи Текст.: кн. для учащихся ст. классов сред, шк./ Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий. 3-е изд., дораб. -М.: Просвещение,1989. -192 с.

183. Хабибуллин, К. Я. Психолого-педагогические аспекты применения граф-схем при решении геометрических задач Текст. / К. Я. Хабибуллин // Школьные технологии. 2001. - № 6. - С. 65-70.

184. Цукарь, А. Я. Построение обобщений теорем Текст. / А. Я. Цукарь // Математика в школе. -1984. -№ 5 С. 57-60.

185. Черкасов, Р. С. К вопросу о роли обобщений в преподавании геометрии Текст. / Р. С. Черкасов // Математика в школе. -1996. № 4 - С. 23-26.

186. Шапоринский, С. А. Обучение и научное познание Текст. / С. А. Шапоринский. М.: Педагогика, 1981. - 208 с.

187. Шардаков, М. Н. Мышление школьника Текст. / М. Н. Шардаков. М.: Учпедгиз, 1963.-252 с.

188. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 7-9 кл. Текст. / И. Ф. Шарыгин. 2-е изд. - М.: Дрофа, 1998.-352 с.

189. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике : Решение задач Текст. : учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. / И. Ф. Шарыгин. М.: Просвещение, 1989. — 252 с. |

190. Шеварев, П. А. Теория обобщенных ассоциаций в психологии Текст.: избр. психологич. тр. / П. А. Шеварев. М.: ИПП; Воронеж: МОДЭК. - 1998. -608 с.

191. Шор, Я. А. Развитие функционального мышления на обобщении типовых задач Текст. / Я. А. Шор // Математика в школе. 1950. -№ 4. - С. 27-30.

192. Эрдниев, П. М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике Текст.: кн. для учителя / П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев. М.: Просвещение, 1986.- 255 с.

193. Система задач для обучения методу решения уравнений с помощью свойства ограниченности функции

194. Для овладения учащимися данным методом информация должна быть представлена в таком виде, чтобы стал возможен активный зрительный анализ ее структуры, т.е. создан обобщенный образ задачной ситуации.

195. Функция . называется ограниченной на промежутке X, если существуют числа А и В, такие, что для всех х еХ справедливо неравенство А</(х)<В.

196. Геометрический смысл определения: в координатной плоскости существует полоса, ограниченная . у = А и у = В, в которую попадает . график функции / и нет точек этого графика, лежащих вне указанной полосы. 1

197. Следующие упражнения обеспечивают актуализацию знаний, необходимых для решения уравнений.2.Докажите, что21. tg2x + -Ar> 2 tg х

198. Оцените значение выражения 3.1. 4cos2 л: 3 2 2Usin2x+2cos2x

199. Найдите множество значений функции i41. у= фс2 +2д: + 1042. у= log з (4 sin3x)43. у= + arcctg (0,4х + 1)

200. Докажите, что график функции51. у = 3 г лежит ниже прямой у=31. X 1 I52. у =—— лежит в полосе —< у <— J х +1 2 253 у = 1 + tog5 л/х2 +х + . лежит не ниже прямой у=1

201. Так как /(*)> M,g{x)< М , тоуравнение /(*•)= g(jc) может

202. Гf(x)=M иметь корни, если < , .g{x)=Mб)1. Рис. 1

203. А > В, то уравнение f(x) = g(x) корней не имеета)

204. После отделения и обобщения существенного в решении уравнений необходимо выполнение упражнений, которые вынуждают учащихся ориентироваться на общее существенное.

205. Обобщения при обучении общему методу решения уравнений позволяют основной акцент сделать не на запоминание информации, а на ее глубокое понимание, сознательное и активное усвоение.

206. Изобразите схематически графики фуркций, заданных формулами у = х2-рх + \ и y = x2+px-q^

207. Задан график функции y = x2+px + q. Схематично постройте графики функций у = х2 px + q, у = х2 + px-q, у = х2-px-q .1. Рис. 1

208. Дана правильная треугольная пирамида и некоторые ее элементы (рис. 1). Установите всевозможные отношения (зависимости) между элементами пирамиды.

209. Отношения между элементами пирамиды можно получить, выделив1. У 9 О hпрямоугольные треугольники. Например, из A AOD: Ъz = hr + R ; sin or = —;b

210. R x h a t^s^ts 7 2 1 2 2 • n h n r x n hcosa = — \ tg<2 = —; из A DOK: к =h +r ; smfi = —; cosfi = —; tgfl = — ; bR к к гиз ADKB: b2=k2 +—; sin^ = —; cos^ = -; tg^ = —; из AMHC:4 2 2b 2 b 2 2k1. ЯМ = —ctg—; MC = 2 2a2 sin—

211. Можно рассмотреть и другие прямоугольныетреугольники: АСМВ, ACMD, AHMD.

212. Можно установить связи между тригонометрическими функциямивыделенных углов: sin or = ~ctg—; cos& = -^psin —; tg—-^J3cos/?;tga = \tgp\ cos- =2 0 • (p 2 sin—и другие.