автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Арюткина, Светлана Владимировна, 2002 год

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 .ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ.

§1. Задачи с параметрами и их роль в математическом образовании школьников.

§2. Предпосылки и этапы формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

§3. Составы обобщенных приемов решения основных видов уравнений и неравенств с параметрами.

Выводы по главе 1.

Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ У УЧАЩИХСЯ 8

КЛАССОВ.

§ 1. Циклы задач как средство формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

1.1. Общие основы построения циклов задач.

1.2. Характеристика циклов уравнений и неравенств с параметрами основных видов.

§2. Методические особенности работы с циклами задач при различных формах усиленной математической подготовки школьников.

§3. Постановка педагогического эксперимента и его результаты.

Выводы по главе 2.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов"

На современном этапе развития школьного образования становятся приоритетными развивающие цели обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач таких, как уравнения и неравенства с параметрами. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совершает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных задач такого рода.

Изучением задач с параметрами, их роли в обучении, понятий, связанных с их решением, в разные годы занимались М.И. Башмаков [15], Г.В. Дорофеев [49], М.И. Зайкин [58], Т.А. Иванова [67], Г.Л. Луканкин [76], Я.Л. Крейнин [84], В.К. Марков [99], А.Г. Мордкович [111, 112], Н.Х. Розов [49], Г.И. Саранцев [150], Р.А. Утеева [172] и др. Многие из них подчеркивали важность обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметрами прежде всего в связи с необходимостью подготовки учащихся к выполнению работ итоговой аттестации и различного рода конкурсных испытаний. При этом большинство авторов характеризует задачи с параметрами как исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и техники исследования; как наиболее сложные в логическом и семантическом плане вопросы элементарной математики. В этой связи В.В. Вересова [23], В.И. Горбачев [33], Н.С. Денисова [23], В.Н. Литвиненко [96], А.Г. Мордкович [96, 111, 112], Т.Н. Полякова [23], Г.А. Ястребинецкий [194-196] и др. справедливо замечают, что для описания процесса их решения необходимо использовать систему понятий, математических утверждений и фактов, определяемую фундаментальными математическими идеями; некоторые из них предпринимают попытки к ее разработке. Однако в многочисленных пособиях и руководствах справочного и методического характера для поступающих в вузы рассматриваются лишь частные приемы решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами, чаще всего в рамках широкого спектра конкурсных заданий. При этом большинство авторов опирается на интуитивное описание используемых понятий.

В условиях реализуемого учителями информационно-объяснительного полхода к решению названных задач у учащихся формируются лишь частные приемы решения конкретных заданий, которые они не могут самостоятельно "перенести" на другие уравнения или неравенства. При осуществлении усиленной математической подготовки: в классах с углубленным изучением, на факультативах, спецкурсах, на подготовительных курсах, в репетиторской практике, как правило, предпринимаются попытки количественного обогащения, прежде всего, заданного материала: задействуется большее число задач, сами задачи становятся более разнообразными по сравнению с теми, которые содержатся в учебниках для общеобразовательных школ. Но при этом используются интуитивные представления об уравнениях и неравенствах с параметрами, а вместо выявления сущности таких задач, общих способов их решения каждое новое уравнение рассматривается фактически вне связи с предыдущими, что в конечном счете вызывает затруднения у школьников. Такой подход можно назвать интуитивно-эмпирическим или индуктивным. Анализ результатов вступительных экзаменов в вузы (ссузы), олимпиад-ных и конкурсных работ по математике, проведенный многими исследователями, в том числе и нами, свидетельствует о том, что учащиеся, получившие усиленную математическую подготовку в рамках данного подхода, по-прежнему, допускают ошибки в решениях уравнений и неравенств с параметрами, либо испытывают трудности при выполнении такого рода заданий. В теории обучения математике имеются многочисленные подтверждения того, что простое увеличение количества решаемых задач, далеко не всегда приводит к качественным "сдвигам" в умении выполнять соответствующую математическую деятельность. В связи с этим многими исследователями (В.И. Горбачев [33], Н.Д. Джиоев [46], Г.П. Мещерякова [109], Н.П. Ратников [142] и др.) активно обсуждается вопрос о необходимости формирования общего метода решения таких задач, в качестве которого чаще всего предлагается графический. Однако следует заметить, что этот способ наиболее эффективен, если в задании встречается один параметр и требуется найти не общие решения, а лишь их число.

Встречаются попытки описать общий метод решения уравнений (неравенств) вида F(a, х)=0 (F(a, х)<0) с параметром а и переменной .г. Однако в виду максимальной общности методов исследования таких уравнений (неравенств), составляющие их действия детально не могут быть определены: уточнить состав учебных действий общего метода решения позволяет только знание свойств соответствующих функций, содержащихся в уравнении (неравенстве). Такой подход, в противовес первому, можно назвать абстрактно-теоретическим или дедуктивным. Он может быть полезен при работе с учащимися, студентами и другими категориями обучаемых, обладающииидостаточно высокой математической культурой. Но для учащихся 8-9 классов дедуктивный путь познания сопряжен с определенными трудностями: абстрактное "затеняет" конкретные проявления реального, лишает их "чувственности", актуальной значимости для ученика и, стало быть, снижает мотивационную направленность и развивающий потенциал всей учебной деятельности. Прием, как таковой не формируется в результате мыслительного поиска, скорее усваивается алгоритм его применения. А потому при работе с учащимися 8-9 классов более эффективным, на наш взгляд, является некий промежуточный подход, предполагающий восхождение от конкретного к общему, а от него к частному. Этот путь формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида (линейных, квадратных, дробно-рациональных) нами и разрабатывается.

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации идеи формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов при усиленной математической подготовке.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов с усиленной математической подготовкой.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в основной школе, а его предметом - особенности овладения учащимися способами решения уравнений и неравенств с параметрами.

В основу исследования положена гипотеза: если выделить действия, определяющие составы обобщенных приемов решения каждого отдельного вида уравнений и неравенств с параметрами (линейных, квадратных, дробно-рациональных), установить основные этапы процесса их формирования и в соответствии с ними разработать методическое обеспечение учебного процесса, то это позволит повысить качество обучения учащихся решению такого рода задан пи. поскольку специальное формирование обобщенных приемов учебной деятельности обеспечивает "переносимость" усвоенных действий на широкий круг новых задач.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) охарактеризовать роль задач с параметрами в математическом образовании школьников и уточнить их сущность;

2) выделить действия, определяющие составы обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида (линейных, квадратных, дробно-рациональных);

3) определить основные этапы и разработать методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида (линейных, квадратных, дробно-рациональных);

4) экспериментально проверить разработанное методическое обеспечение.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы педагогического исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; изучение и анализ опыта работы учителей математики, осуществляющих усиленную математическую подготовку учащихся 8-9 классов; интервьюирование и анкетирование учителей и учащихся; констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов экспериментов.

Методологической основой исследования явились: принципы единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании; принцип ведущей роли обучения в развитии; концепция деятельностного подхода в обучении математике; концепция формирования обобщенных приемов и основные положения теории поэтапного формирования умственных действий.

Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, фиксировалось состояние методической работы по данному вопросу; анализировался опыт учителей; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе изучались индивидуальные различия в деятельности школьников при решении математических задач с параметрами. Для этого использовались специально составленные задания. В ходе их апробации были выявлены и охарактеризованы уровни обученности учащихся. Разрабатывались теоретические основы процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов с усиленной математической подготовкой; создавалось соответствующее методическое обеспечение и проходила его первичная проверка. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые проблема обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами решена посредством формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основных видов (линейных, квадратных, дробно-рациональных).

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нем охарактеризованы функции задач с параметрами в математическом образовании школьников; выявлены этапы процесса формирования обобщенных приемов их решения; определены составы обобщенных приемов решения каждого вида уравнений и неравенств с параметрами; обоснована целесообразность циклического построения методического обеспечения процесса их формирования.

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что созданное методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами может быть использовано в практике обучения математике учащихся 8-9 классов на факультативных занятиях в общеобразовательной школе, при обучении учащихся математике в специализированных классах (школах), на подготовительных курсах в вузах и ссузах, при самоподготовке к различного рода конкурсным испытаниям. Результаты исследования могут быть использованы также при составлении учебно-методических пособий для учителей, учащихся и студентов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена опорой на методологические основы теории и методики обучения математике с учетом современных положений психологии обучения; применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике; а также проведенным экспериментом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Повышение качества обучения школьников решению уравнений и неравенств с параметрами может быть достигнуто посредством целенаправленного формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основных видов, линейных, квадратных, дробно-рациональных.

2. Определение составов обобщенных приемов целесообразно осуществлять посредством выделения действий по решению конкретных уравнений и неравенств с параметрами, их анализа и нахождения общих характеристик, охватывающих все особенности действий по решению уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида.

3. Методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно строить на основе циклов задач, состоящих из четырех взаимосвязанных блоков (вспомогательные, базисные, тренировочные и развивающие), в соответствии с основными этапами процесса их формирования и особенностями содержания деятельности на каждом из них.

На защиту выносится также разработанное нами методическое обеспечение, включающее задачи каждого из названных выше блоков по каждому из основных видов уравнений и неравенств с параметрами (линейных, квадратных, дробно-рациональных).

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского педагогического института, на Всероссийских, межрегиональных и межвузовских научно-практических конференциях в Орле (1999 г., 2001 г.); Кирове (2000 г., 2001 г.).

Арзамасе (2000 г.); Тобольске (2001 г.); Нижнем Новгороде (2001 г.); Брянске (2001 г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов с усиленной математической подготовкой. В эксперименте наряду с автором участвовали учителя Архангельской и Нижегородской областей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Основное содержание работы изложено на 155 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 199 наименований.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2

1. Методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно строить на основе циклов, состоящих из четырех блоков взаимосвязанных задач (вспомогательные, базисные, тренировочные, развивающие), в соответствии с основным этапами процесса их формирования и особенностями содержания деятельности на каждом из них.

2. При построении циклов уравнений (неравенств) с параметрами необходимо учитывать назначение и основные характеристики каждого блока задач: вспомогательные задачи обеспечивают актуализацию ранее полученных знаний (область актуализации содержит ОЗД, ОДЗФ, приемы решения уравнений (неравенств) с одной переменной, тождественные и равносильные преобразования уравнений (неравенств)); базисные задачи предназначены для выделения состава обобщенного приема (область образования приема включает уравнения (неравенства) с параметром одного типа, различающиеся по объему ОДЗП, числу рассматриваемых промежутков значений параметра, зависимости коэффициентов от значений параметра); тренировочные задачи обеспечивают формирование умения применять обобщенный прием (условия усвоения приема: охват состава действий обобщенного приема, соответствие основным положениям теории поэтапного формирования умственных действий, варьирование операционного состава действий); развивающие задачи ориентированы на перенос обобщенного приема, преобразование его состава (направления преобразования приема определяют уравнения (неравенства) с параметром, допускающие уменьшение числа действий, увеличение числа действий, включение новых действий).

3. От формы осуществления усиленной математической подготовки учащихся 8-9 классов зависят: цели обучения обобщенным приемам решения задач с параметрами; определение доминирующей функции самих задач; методическое обеспечение процесса формирования названных приемов; степень самостоятельности школьников при решении задач соответствующих блоков и определении составов действий обобщенных приемов (составлении их инструкций и опорных схем): а также достигаемый учащимися уровень сформированности указанных приемов.

4. В ходе эксперимента было установлено, что эффективность обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами решена посредством формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основных видов (линейных, квадратных, дробно-рациональных). Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целью и задачами сделаны основные выводы и получены следующие результаты.

Роль уравнений и неравенств с параметрами в математическом образовании школьников определяется свойственными им функциями: дидактическими, связанными с подготовкой учащихся к поступлению в вузы, математическим конкурсам и олимпиадам, систематизацией знаний приемов решения уравнений и неравенств с одной переменной, обобщением соответствующих умений: развивающими, предполагающими развитие исследовательских навыков, навыков самоконтроля и креативности учащихся; воспитательными, ориентированными на воспитание научного мировоззрения учащихся, их личностных качеств.

Составы действий обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно определять посредством выделения действий по решению конкретных уравнений и неравенств с параметрами; их анализа и нахождения общих характеристик, охватывающих все особенности действий по решению уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида.

На основе этого подхода выделены составы обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметром каждого отдельного вида (линейных, квадратных, дробно-рациональных).

Методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно строить на основе циклов, состоящих из четырех блоков взаимосвязанных задач (вспомогательные, базисные, тренировочные, развивающие), в соответствии с основными этапами процесса их формирования и особенностями содержания деятельности на каждом из них. Данный подход допускает возможность создания вариативных циклов уравнений и неравенств с параметрами, учитывающих изменения в целях учебной деятельности по решению задач с параметрами, доминирующих функциях самих задач в условиях различных форм усиленной математической подготовки. Что обеспечивает необходимую степень самостоятельности школьников при решении задач, выделении составов действий обобщенных приемов и заданный уровень сформированности приема.

Экспериментальное обучение доказало эффективность обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами посредством формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основных видов (линейных, квадратных, дробно-рациональных), что подтвердило гипотезу исследования.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Арюткина, Светлана Владимировна, Арзамас

1. Абремский Б.А. Формирование приемов решения планиметрических задач на вычисление в процессе анализа их решений: автореферат дис. .канд. пед. наук. М. 1990. 16 с.

2. Алексеева С.В. Углубленное изучение курса геометрии 8-9 классов средней школы на основе внутри классной дифференциации: дис.канд. пед. наук. Арзамас. 1998. 250 с.

3. Алгебра: Для 8 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сур-вилло и др.; Под ред . Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение. 1995. 256 с.

4. Алгебра: Для 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сур-вилло и др.; Под ред . Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение. 1995. 384 с.

5. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Ко-лягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение. 1993. 191 с.

6. Алгебра: Учеб. для 7 кл. средних школ/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.II Нешков, С.Б. Суворова. М.: Просвещение. 1993. 240 с.

7. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Ко-лягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение. 1999. 255 с.

8. Алгебра: Учеб. для 8 кл. средних школ/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И Нешков, С.Б. Суворова. М.: Просвещение. 1991. 239 с.

9. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Ко-лягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение. 1992. 224 с.

10. Алгебра: Учеб. для 8 кл. средних школ/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И Нешков, С.Б. Суворова. М.: Просвещение. 1992. 271 с.

11. П.Александров Б.И., Марков В.К. Задачи с параметрами// Математика в школе. 1970. №2, с. 80-85.

12. Артемов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений школьников: дис.доктора пед. наук. Пенза. 1984. 350 с.

13. Байдак В.Ю. Содержание и методика адаптационной подготовки студентов-первокурсников математических специальностей вузов: дис.канд. пед. наук. Орел. 2000. 204 с.

14. Балл Г.А. Теория учебных задач. М.: Педагогика. 1990. 184 с.

15. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М.: Наука. 1976. 96 с.

16. Беспалько В.П. Программированное обучение (дидактические основы). М.: Высшая школа. 1970. 300 с.

17. Блох А.Я. Курс алгебры средней школы: Методическая разработка для слушателей ФПК. М.: МГПИ им. В.И. Ленина. 1986. 85 с.

18. Богоявленский Д.Н. Приемы умственной деятельности и их формирование у школьников// Вопросы психологии. 1969. №2, с. 25-39.

19. Бурдин А.О. Методические требования к системе упражнений по алгебре и началам анализа в средней школе: дис.канд. пед. наук. М. 1982. 219 с.

20. Валитова С.Л. Методические основы обучения поиску решений текстовых алгебраических задач в 7-9 классах на основе формирования приемов учебной деятельности: дис.канд. пед. наук. М. 1998. 188 с.

21. Василевский А.Б. Методы решения задач. Мн.: Вышейшая школа. 1974. 240 с.

22. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии. М.: Статистика. 1971. 296 с.

23. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение. 1979. 240 с.

24. Выготский Л.С. Возрастная психология. М.: Просвещение. 1986. 250 с.

25. Гайдамакина И.В. Формирование приемов учебной деятельности на основе базисных задач планиметрии: дис.канд. пед. наук. Орел. 2000. 177 с.

26. Газиев Э. Перенос приемов обобщения у школьников// Вопросы психологии. 1974. №2, с. 116-123.

27. Гальперин П.Я. О методе поэтапного формирования умственных действий// Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии/ Под ред. И.И. Ильясова, В.Я. Ляудис. М.: Изд-во Моск. Университета. 1981, с. 97-101.

28. Гальперин П.Я. Формирование умственных действий// Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления/ Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.В. Пету-хова. М.: Изд-во Моск. Университета. 1981, с. 78-87.

29. Ганелин Ш.И., Есипов Б.П., Сорокина А.И. Методы обучения// Основы дидактики/ Под ред. Б.П. Есипова. М. 1967, с. 234-290.

30. Георгиев B.C. Опыт активизации деятельности школьников на основе использования циклов задач// Математика в школе. 1988. №1, с. 77-78.

31. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами// Математика в школе. 1999. №6, с. 60-68.

32. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Брянск: Изд-во БГПУ. 1999. 116 с.

33. Горбачев В.И. Технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы: дис. .доктора пед. наук. М. 2000. 335 с.

34. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.И. Задачи с параметрами. Харьков: "Гимназия". 1998. 326 с.

35. Григорьева Т.П., Иванова Т.А., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н. Основы технологии развивающего обучения математике: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во НПГУ. 1997. 134 с.

36. Груденов Я.И. О принципах непрерывного повторения// Народное образование. 1963. №11, с. 56-59.

37. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М.: Просвещение. 1990. 224 с.

38. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: дис.доктора пед. наук. М. 1990. 364 с.

39. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Кн. для учащихся. М.: Просвещение. 1990. 416 с.

40. Гусева Н.Б., Сычева Г.В. О чем "молчит" учебник// Математика в школе. 2000. №3, с. 16-23.

41. Гутенхемахер В.А. Основные аспекты анализа математических задач/ Заочное обучение школьников 8-10 классов. М. 1977, с. 22-25.

42. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика. 1986. 240 с.

43. Давыдов В.В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности школьников/ Вопросы психологии. 1981. №6, с. 13-14.

44. Данилочкина Г.А. Индивидуализация обучения как средство развития познавательной самостоятельности учащихся (на материале математики старших классов): автореферат дис.канд. пед. наук. М. 1973. 18 с.

45. Дегтяренко В.А. Уравнения и неравенства с параметрами. Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара. 2000. 80 с.

46. Джиоев Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнения с параметром// Математика в школе. 1996 №2, с. 54-57.

47. Дмитриев А.Е. Повышение эффективности формирования умений и навыков у младших школьников/ Вопросы активности познавательной деятельности школьников. М.: МГПИ им. В.И. Ленина. 1978, с. 3-131.

48. Дорофеев Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач// Математика в школе. 1983. №6, с. 34-39.

49. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика: Пособие для поступающих в вузы. М.: Дрофа. 1999. 560 с.

50. Епишева О.Б. Приемы учебной деятельности в обучении математике// Математика. 1999. №38, с. 3-7.

51. Епишева О.Б. Формирование приемов учебной деятельности учащихся при изучении курса алгебры восьмилетней школы: дис.канд. пед. наук. Тобольск. 1988. 245 с.

52. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Книга для учителя. М.: Просвещение 1990. 128 с.

53. Загородных К.А. Формирование приемов учебной деятельности учащихся 4-5 классов при обучении решению текстовых задач: дис.канд. пед. наук. М. 1989. 208 с.

54. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя/ Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушани-на. М.: Просвещение. 1996. 96 с.

55. Зубова И.И. Прикладная направленность системы задач физического содержания при обучении математике в средней школе: дис.канд. пед. наук. Орел. 2000. 160 с.

56. Зубова С.П. Формирование обобщений у учащихся 4-6 классов в обучении математике: автореферат дис.канд. пед. наук. Саранск. 1994. 17 с.

57. Иванов О.А. Углубленное математическое образования в школе сегодня// Математика в школе. 2000. №2, с. 40-44.

58. Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования. Н. Новгород: Изд-во НПГУ. 1998. 206 с.

59. Исследования мышления в советской психологии/ Под ред. Е.В. Шороховой. М.: Наука. 1966. 476 с.

60. Исследования развития познавательной деятельности/ Под ред. Дж. Брунера, Р. Олвер, П. Гринфилд. М.: Педагогика. 1971. 392 с.

61. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. М.: Знание. 1981. 196 с.

62. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности умственное развитие учащихся. М.: Просвещение. 1968. 288 с.

63. Калмыкова З.И. К проблеме диагностики умственного развития школьников// Вопросы психологии. 1982. №2, с. 74-79.

64. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике: некоторые вопросы теории и практики. Мн.: Народная асвета. 1981. 191 с.

65. Кожухов С.К. Уравнения и неравенства с параметрами. Орел. 1999. 108 с.

66. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средних школ: дис.доктора пед. наук. М. 1977. 400 с.

67. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. институтов. М.: Просвещение. 1975. 462 с.

68. Кормихин А.А. Об уравнениях с параметром// Математика в школе. 1994. №1, с. 33-35.

69. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Книга для учителя. М.: Просвещение. 1991. 239 с.

70. Кочарова С.К. Об уравнениях с параметром и модулем// Математика в школе. 1995. №2, с. 2-4.

71. Краевский В.В. Проблемы научного обоснования обучения. М.: Политиздат. 1985.432 с.

72. Крамор B.C. Примеры с параметрами и их решения: Пособие для поступающих в вузы. М.: Аркти. 2000. 48 с.

73. Краснянская К.А., Кузнецова Л.В. Оценка математической подготовки школьников. М.: Просвещение. 1995. 57 с.

74. Крейнин Я.Л. Функции. Пределы. Уравнения и неравенства с параметрами: теория и решение задач: Книга для учащихся. М.: Просвещение. 1995. 319 с.

75. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей. 1995. 210 с.

76. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение. 1968. 432 с.

77. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии// Математика в школе. 1966. №6, с. 19-31.

78. Кухарчик П.Д., Федосенко B.C., Азаров А.И. Как успешно сдать экзамены в вуз: методы решения задач с параметрами. Мн.: Изд-во БГПУ. 1992. 230 с.

79. Кушнир И.А. Уравнения. Задачи и решения. Киев: Астарта. 1996. 608 с.

80. Легошина С. Решение неравенств первой и второй степени с параметрами// Математика. 2000. №6, с. 15-17.

81. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения: в 2 томах, т. 2. М.: Педагогика. 1983. 320 с.

82. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика. 1981. 185 с.

83. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? М.: Знание. 1973. 43 с.

84. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Знание. 1980. 96 с.

85. Лизогуб Е.И. О системе упражнений в курсе алгебры восьмилетней школы: дис.канд. пед. наук. Киев. 1970. 242 с.

86. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению задач школьной математики. Алгебра. М.: Просвещение. 1983. 128 с.

87. Локоть В.В. Задачи с параметрами в курсе алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики. Мурманск. 1996. 172 с.

88. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение. 1996. 207 с.

89. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. М.: Изд-во Московского университета. 1970. 146 с.

90. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте: Учебное пособие для учителя. М.: Просвещение. 1983. 96 с.

91. Математика 5-11 классы: Сборник нормативных документов/ Сост. Г.М. Кузнецова. М.: Дрофа. 1999. 192 с.

92. Махкамов М. Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств в курсе алгебры неполной средней школы: дис.канд. пед. наук. Душанбе. 1993. 161 с.

93. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе: Книга для учителя. М.: Просвещение. 1977. 240 с.

94. Махмутов М.И. Проблемное обучение. Основные вопросы теории. М.: Педагогика. 1975. 367 с.

95. Менцис Я.Я. Дидактические функции элементарных упражнений: дис.канд. пед. наук. М. 1976. 176 с.

96. Метельский Н.В. Дидактика математики. Лекции по общим вопросам. Мн.: Изд-во БГУ. 1975.256 с.

97. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика/ А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др. М.: Просвещение. 1985. 336 с.

98. Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования/ Под ред. В.В. Орлова. С.-Пб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена. 2000. 163 с.

99. Мещерякова Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметрами// Математика в школе. 1999. №6, с. 69-71.

100. Миндюк М.Б. Групповая работа как средство реализации уровневой дифференциации при обучении алгебре 7 класса: дис.канд пед. наук. М. 1992. 162 с.

101. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для подготовительных отделений вузов. М.: Высшая школа. 1987. 416 с.

102. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. М.: Школа—Пресс. 1995. 272 с.

103. Муравин Г.К. Принципы построения системы упражнений по алгебре в неполной средней школе: дис.канд. пед. наук. М. 1988. 134 с.

104. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении// Математика в школе. 1971. №2, с. 4-7.

105. Одинамадов К.О. Методика обучения тождественным преобразованиям в курсе алгебры неполной средней школы на основе формирования приемов учебной деятельности: автореферат дис.канд. пед. наук. М. 1991. 16 с.

106. Ольбинский И.Б. Развитие задачи// Математика в школе. 1998. №2. с. 15-16.

107. Онищук В.А. Урок в современной школе: Пособие для учителей. М.: Просвещение. 1981. 191 с.

108. Осинская В.Н. Формирование у старшеклассников приемов умственной деятельности в процессе обучения математике: дис.канд. пед. наук. Киев. 1978. 172 с.

109. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. М.: Просвещение. 1987. 208 с.

110. Папышев А.А. Формирование приемов учебной деятельности учащихся старших классов в процессе обучения решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств: автореферат дис.канд. пед. наук. Саранск. 1993. 17 с.

111. Певцова Е.А. Дифференциация обучения в теории и практике общеобразовательных учреждений (период 1917-1994): дис.канд. пед. наук. М. 1994. 172с.

112. Пигарев Б.П., Пронина Е.Б. Задания письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия и решения по итогам 1999-2000 учебного года. М.: Школьная пресса. 2001. 64 с.

113. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. М.: Педагогика. 1980. 240 с.

114. Пичурина Г.Б., Короткова JI.M., Мисилин В.И., Перевощикова Е.И. Практикум по алгебре для 8 класса/ Под ред. Ю.М. Колягина. Н. Новгород. 1992. 124с.

115. Познавательные задачи в обучении гуманитарным наукам/ Под ред И.Я. Лернера. М.: Педагогика. 1972. 240 с.

116. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз. 1961. 207с.

117. Пойа Д. Математическое открытие. М. 1976. 448 с.

118. Пономарев Я.А. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика. 1976. 280 с.

119. Попов В.А. Уравнения и неравенства с параметрами в курсе алгебры девятилетней школы: алгоритмический подход// Математика. 2000. №10, с. 6-10.

120. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Готовимся к экзамену по математике: Учебное пособие для поступающих в вузы. М.: Аст-Пресс. 1997. 352с.

121. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. М.: Наука. 1992. 478 с.

122. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Математика: методы решения задач. М. 1995. 167 с.

123. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Изд-во МГУ. 1992. 16 с.

124. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. М.: Учпедгиз. 1963.200 с.

125. Программы для общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение. 1996. 192 с.

126. Пронина Е. Методические советы из опыта преподавания// Математика. 2001. №8, с. 1-5.

127. Психологические проблемы неуспеваемости школьников/ Под ред. Н.А. Менчинской. М.: Педагогика. 1970. 272 с.

128. Психологические проблемы формирования научного мировоззрения школьников/ Под ред. Н.А. Менчинской. М.: Просвещение. 1968. 240 с.

129. Психологический словарь/ Под ред. В.В. Давыдова. М.: Педагогика. 1983. 448 с.

130. Пушкина Т.А. О системе школьных задач и психологических принципах ее структурирования// Вопросы психологии. 1981. №2, с. 111-115.

131. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами/ Под ред. С.А. Тынянкина. Волгоград: В.П. 1991. 160 с.

132. Ратников Н.П. От уравнения с параметром — к графику, задающему параметр// Математика в школе. 1990 №3, с. 80-81.

133. Розка Ю.А. Формирование приемов аналитико-синтетического поиска решения задач на доказательство в курсе стереометрии 9 класса средней школы: автореферат дис.канд. пед. наук. М. 1984. 16 с.

134. Розов Н.Х. Вечные вопросы о школьном курсе математики. Чему учить? Как преподавать?// Математика в школе. 2000. №6, с. 34-36.

135. Романов П., Романова Т. Решение задач с параметрами// Математика. 2001. №12, с. 13-15.

136. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: в 2 томах, т. 1. М.: Педагогика. 1989.488 с.

137. Рузин Н.К. Познавательные и развивающие функции задач в обучении математике учащихся начальных классов средних школ: автореферат дис.канд. пед. наук. М. 1971. 24 с.

138. Саакян С.М. Система упражнений как средство обучения алгебре и началам анализа в вечерней (сменной) школе: дис.канд. пед. наук. М. 1972. 259 с.

139. Саранцев Г.И. Методология обучения математике. Саранск. 2001. 144 с.

140. Сборник задач для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс/ А.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. М.: Дрофа. 1996. 144 с.

141. Сборник задач по математике с решениями/ Под ред. М.И. Сканави. М.: Издательский дом ОНИКС: Альянс В. 1998. 624 с.

142. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. М.: Народное образование. 1998. 256 с.

143. Селиверстова Е.Н. Прием обучения как способ единства преподавания и учения: дис.канд. пед. наук. М. 1982. 241 с.

144. Семенова И.Н. Роль и место сюжетных задач в развитии мышления и повышение качества знаний учащихся: дис.канд. пед. наук. М. 1990. 195 с.

145. Семушин А.Д. Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. М.: Просвещение. 1978. 64с.

146. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: дис.доктора пед. наук. М. 1994. 364с.

147. Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе. М.: Просвещение. 1991. 80 с.

148. Стефанова Г.П. Методика формирования вычислительных навыков учащихся 4-5 классов: дис.канд. пед. наук. JI. 1983. 221 с.

149. Столяр А.А. Педагогика математики. Мн.: Вышейшая школа. 1974. 384 с.

150. Суворова С.Б. Организация материала в учебниках алгебры 6-8 классов/ Сост. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. М.: Просвещение. 1980, с. 35-46.

151. Суворова С.Б. Упражнения как средство организации учебной деятельности при обучении алгебре в 6-8 классах: дис.канд. пед. наук. М. 1982. 152 с.

152. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ. 1975. 343 с.

153. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. М.: Просвещение. 1988. 175 с.

154. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание. 1983. 96 с.

155. Таточенко В.И. Методика формирования у учащихся 6-8 классов приемов умственной деятельности при обучении математике: дис.канд. пед. наук. Киев. 1989. 180 с.

156. Телебаева Р.Д. Индивидуальных подход к учащимся при обучении геометрии: Пособие для учителя. Фрунзе: Мектеп. 1984. 60 с.

157. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение. 1990. 96 с.

158. Токмазов Г.В. Задачи динамического характера// Математика в школе. 1994. №5, с. 35-38.

159. Требования к знаниям и умениям школьников/ Под ред. А.А. Кузнецова. М.: Педагогика. 1987. 87 с.

160. Требования к обязательному уровню усвоения содержания// Математика в школе. 1999. №6, с. 2.

161. Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: дис.доктора пед. наук. М. 1998. 363 с.

162. Формирование приемов математического мышления/ Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: ТОО "Ветана-Граф". 1995. 232 с.

163. Формирование учебной деятельности школьников/ Под ред. В.В. Давыдова. И. Ломпшера, А.К. Марковой. М.: Педагогика. 1982. 216 с.

164. Формирование у школьников приемов умственной деятельности как один из путей успешного обучения: Мет. рек. в помощь учителю/ Сост. В.И. Решетников. Владимир. 1974. 44 с.

165. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика. 1977. 208 с.

166. Фридман JI.M. Моделирование в учебной деятельности// Формирование учебной деятельности школьников/ Под ред. В.В. Давыдова, И. Ломпшера. А.К. Марковой. М.: Педагогика. 1982, с. 73-86.

167. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: учителю математики о пед. психологии. М.: Просвещение. 1983. 160 с.

168. Фридман Л.М., Кулагина Н.Ю. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение. 1991. 290 с.

169. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся старших классов средних школ. М.: Просвещение. 1989. 192 с.

170. Хмель В.П. Формирование у старшеклассников обобщенных приемов решения математических задач: дис.канд. пед. наук. Киев. 1983. 163 с.

171. Цукарь А.Я. О типологии задач// Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей. Учебное пособие для студентов мат. и физ.- мат. специальностей пед. институтов/ Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. М.: Просвещение. 1985. 304 с.

172. Чаплыгин В.Ф. Анализ и задачи с параметрами// Математика в школе. 1999. №6, с. 72-74.

173. Чуракова Р.Г. Формирование приемов мышления учащихся средних школ (на материале алгебры и геометрии): дис.канд. пед. наук. М. 1971. 292 с.

174. Чучуков В.Ф. Система дифференцированных заданий как средство управления процессом обучения: дис.канд. пед. наук. Киев. 1975. 188 с.

175. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика. 1982. 208 с.

176. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процесс: Учебное пособие для пед. институтов. М.: Просвещение. 1979. 160 с.

177. Щукина Г.И. Роль деятельности в учебном процессе. М.: Просвещение. 1968. 144 с.

178. Эльконин Д.Б. Психологические вопросы учебной деятельности в младшем школьном возрасте/ Вопросы обучения и воспитания. Киев. 1961, с. 12-14.

179. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач: Метод, пособие. М.: Высшая школа. 1972. 216 с.

180. Якиманская И.С. Знание и мышление школьника. М.: Знание. 1985. 80 с.

181. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика. 1979. 144 с.

182. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами: Книга для учителя. М.: Просвещение. 1986. 128 с.

183. Ястребинецкий Г.А. К вопросу о решении уравнений, содержащих параметры// Математика в школе. 1967. №2, с. 40-41.

184. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение. 1972. 128 с.

185. Ausubel D.P. Psychologi des Unterrichts. Basel. 1974.

186. Dunker K. Zur Psychologi des produktiven Denkens. Berlin (West). 1966.

187. Denkpsychologische Analisen matimatischer Fahigkeiten. Berlin. 1971.iHS