Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы

Виноградова, Елизавета Павловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы

Автореферат

Автор научной работы: Виноградова, Елизавета Павловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2003
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы"

На правах рукописи

Виноградова Елизавета Павловна

Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы

Специальность: 13.00.02. - теория и методика обучения и воспитания (математика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва-2003

Работа выполнена на кафедре методики начального обучения Московского государственного педагогического университета им. М.А. Шолохова

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор

Наталья Борисовна Истомина

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, старший

научный сотрудник, «Заслуженный учитель РФ»

Лидия Михайловна Короткова

кандидат педагогических наук, профессор Любовь Петровна Стойлова

Ведущая организация - Оренбургский государственный педагогический университет им. В.П. Чкалова

Защита состоится « 20 » 2003 г. в «/V» часов на заседании

диссертационного совета Д.212.136.02 в Московском государственном педагогическом университете им. М.А. Шолохова по адресу: 109004, г. Москва, ул. Верхняя Радищевская 16/18. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОПУ

Автореферат разослан" " 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, профессор А.Х.Ин.

29/7$

Общая характеристика работы

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации.

В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития «предлагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, нр и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей» (Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года).

В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.

Одним из направлений модернизации содержания математического образования на современном этапе является включение элементов статистики и теории вероятностей в программу школьного курса математики. В новом проекте концепции образовательной области «Математика» Министерства образования Российской Федерации в разделе «Общая характеристика математического образования» отмечается, что «элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение».

При изучении этого материала обогащаются представления учащихся о современной картине мира и методах его исследования.

Возможность включения комбинаторики и теории вероятностей в

школьный курс математики была обоснована в ряде диссертационных

»■' - ,

РОС Н':л*!."ЛЛЬНЛ*

' МА

2005Грк

исследований семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия.

Рассматривались различные аспекты этой проблемы: совместное изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей (З.П. Сагимуллина, JI.JI. Кабехова); выделение в школьном курсе математики сквозной комбинаторико-вероятностной линии (А.Я. Дограшвнли); изучение комбинаторики с помощью графов (В.Ф. Волгина, Л.Ю. Березина); разработка методики обучения решению комбинаторных задач (A.II. Шихова). Названные исследования ориентировались на учеников основной и средней школы, тем не менее, во всех работах отмечалась целесообразность решения комбинаторных задач в начальной и основной школе как основы сознательного использования учащимися средней школы комбинаторных правил и формул.

Новый этап исследований, связанных с включением комбинаторных и вероятностных задач в школьный курс математики относится к девяностым годам двадцатого века. Он знаменуется усилением развивающей функции математического образования и появлением работ, в которых выявляется роль комбинаторных задач в развитии мышления учащихся (О .С. Медведева, Е.Е. Белокурова).

С точки зрения диссертационного исследования особый интерес представляет работа Е.Е. Белокуровой, в которой обоснована роль комбинаторных рассуждений в совершенствовании умственных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и абстрагирования; в развитии действенного, образного и словесно-логического компонентов мышления и их взаимосвязи; в формировании таких качеств мышления как вариативность, гибкость и критичность. Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения комбинаторных задач в процесс обучения младших школьников математике активно реализуется в массовой школьной практике (Э.И.Александрова, И.И.Аргинская, С.И. Волкова, Н.Б.Истомина, М.М.

Моро, Л.Г.Петерсон).

С одной стороны это обусловлено развивающими возможностями комбинаторных задач, а с другой - преемственностью курса математики начальной и основной школы. Так, в некоторые учебники математики 5-го класса включена тема «Перебор возможных вариантов» (Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин).

Однако задачи комбинаторного характера по-прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется:

1. Модернизацией содержания математического образования на современном этапе развития школы.

2. Отсутствием исследований, выявляющих развивающие и дидактические возможности использования комбинаторных задач в курсе математики четырехлетней начальной школы.

3. Потребностью школьной практики в разработке системы комбинаторных задач для младших школьников и методики их решения.

4. Необходимостью решения проблемы преемственности между начальной и основной школы.

Проблемой исследования является поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процессе усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы.

Объект исследования - процесс обучения младших школьников математике.

Предмет исследования - комбинаторные задачи как средство усвоения младшими школьниками программного содержания развивающего курса математики начальной школы.

Цель исследования - разработать систему комбинаторных задач для младших школьников и обосновать возможность и целесообразность ее включения в процесс усвоения программного содержания развивающего курса математики начальной школы.

Гипотеза исследования. Если в русле единой методической концепции, направленной на развитие учащихся, разработать систему комбинаторных задач, в процессе решения которых учащиеся усваивают основные вопросы программного содержания, то это позволит повысить качество математических знаний младших школьников и сформировать у них умение решать комбинаторные задачи.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики.

2. Разработать систему комбинаторных задач для четырехлетней начальной школы, обеспечивающую усвоение программного содержания.

3. Разработать методику обучения младших школьников решению комбинаторных задач в русле концепции, нацеленной на развитие мышления младших школьников.

Экспериментально проверить ее эффективность.

Методологической основой - исследования явились: принцип единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании; основные положения теории деятельности; современные представления о развитии ребенка в процессе обучения; методическая концепция развивающего обучения младших школьников математике [авт. Н.Б. Истомина].

Организация исследования.

Исследование проводилось с 1997 по 2003 года и включало в .себя несколько этапов.

На первом этапе (1997 - 1998гг.) анализировалась: психолого-педагогическая и методическая литература по проблеме развития мышления младших школьников, исследования, связанные с обучением младших школьников решению комбинаторных задач; действующие программы и учебники для четырехлетней школы; проводился поисковый эксперимент по отбору комбинаторных задач, связанных с программным содержанием начального курса математики.

На втором этапе (1998 - 2002гг.) велась теоретическая разработка методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач; проводился обучающий эксперимент в рамках методической системы развивающего обучения математике младших школьников, сравнительный эксперимент для проверки эффективности предложенной системы комбинаторных задач, включенной в программное содержание начального курса математики.

На третьем этапе (2002 - 2003гг.) анализировались и обобщались результаты исследования; были сделаны выводы; выполнено литературное оформление диссертации.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования заключается в том что:

1. Впервые комбинаторные задачи рассматриваются как средство усвоения программного содержания развивающего курса математики в начальных классах.

2. Разработана система комбинаторных задач, сориентированная на усвоение основных вопросов начального курса математики.

3. Определены этапы обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его материалы могут быть использованы для совершенствования учебников математики для начальных классов; при разработке спецкурсов и спецсеминаров для студентов педагогических колледжей и педагогических вузов; в системе повышения квалификации педагогов; в практике работы учителей начальных классов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов диссертационного исследования обеспечивается использованием предшествующих результатов методических исследований; выбором взаимодополняющих методов педагогического исследования, соответствующих поставленным задачам; опорой на идеи и методы математической науки; на экспериментальную проверку разработанной системы комбинаторных задач.

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертационного исследования были представлены автором на Всероссийской научно-практической конференции посвященной 90-летию Уфимского учительского института г. Уфа (1999г.); на Всероссийской конференции «Развитие и саморазвитие ученика и учителя» г. Орск (2001г.); на межрегиональной научно-практической конференции «Форум: Инновации 2002. Актуальные проблемы подготовки кадров для развития экономики Оренбуржья» г. Оренбург (2002г.), на международной научно-практической конференции «Народное образование в XXI веке» г. Москва (2002г.), на заседаниях кафедры начального обучения МГОПУ им. М.А. Шолохова.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Комбинаторные задачи в развивающем курсе начальной математики возможно и целесообразно использовать как средство усвоения профаммного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса новых понятий.

2. Система комбинаторных задач должна быть согласована с логикой

построения содержания курса начальной математики и Сориентирована на последовательное овладение учащимися доступными способами решения комбинаторных задач (системный перебор, составление таблиц, построение графов и «дерева» возможных вариантов).

3. Включение системы комбинаторных задач в процессе усвоения программного содержания способствует повышению качества математических знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель, гипотеза и задачи исследования; определены объект и предмет, изложены методы и этапы исследования, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Различные подходы к трактовке понятия «задача» рассмотрены: психолого-педагогический аспект данного понятия (Г. А. Балл, В. И. Загвязинский, И. И. Ильясов, И. П. Калошина, Ю.М. Колягин, А.М.Матюшкин, Л. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов); его специфика в начальном курсе математики (Н. Б. Истомина, В. В. Малыхина, Л. И. Фридман, С. Е. Царева, Н. А. Царева и др.); дана характеристика комбинаторным задачам и способам их решения (Н. Я. Виленкин, Б. В. Гнеденко, А.Н.Колмагоров, В. Г. Потапова, А. Я. Хинчин).

Приняв точку зрения Г. А. Балла, мы рассматриваем задачу, как некоторую ситуацию, в которой оказывается и должен действовать субъект.

В этом случае возможны различные трактовки понятия «задача»:

- как цели действия субъекта, требований, поставленных перед ним;

- как ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она

должна быть достигнута;

- как словесная (знаковая) формулировка этой ситуации.

В начальном курсе математики термин «задача» обычно используется, когда речь идет о текстовых задачах. В методической литературе их называют сюжетными, вычислительными, арифметическими. Хотя вряд ли можно согласиться с тем, что эти характеристики равнозначны. Например, логические задачи можно отнести к текстовым, но они не будут вычислительными.

Рассматривая текстовую задачу как словесную модель ситуации, явления, события, процесса, мы полагаем, что комбинаторные задачи, так же, как и арифметические можно отнести к текстовым и сюжетным. В связи с этим, решение комбинаторной задачи как любой сюжетной следует рассматривать с различных точек зрения: с математической (какие операции следует выполнить), с логической (какие рассуждения надо провести), с психологической (какие мыслительные операции выполнить), с педагогической (какие методические приемы целесообразно использовать).

В начальных классах решение комбинаторных задач связано с практическим методом, с моделированием описанной ситуации с помощью реальных объектов (прием драматизации), предметных или графических моделей (выполнение рисунка), таблиц и графов («дерево» возможных вариантов).

Во второй главе «Образовательные функции комбинаторных задач» анализируется опыт включения комбинаторных задач в математическое образование отечественной и зарубежной школ и обосновывается их роль в развитии мышления школьников. Целесообразность включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики неоднократно отмечалось в работах С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко. Однако, несмотря на большое количество исследований, связанных с разработкой раздела «Элементы комбинаторики и

„ теории вероятностей», он так и остался невостребованным для массовой отечественной школы. Предлагаемые экспериментальные программы использовались либо в классах с углубленным изучением математики, либо как факультатив.

На современном этапе попытка включения раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» была предпринята в учебнике математики для 5-го класса (под ред. Г. В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина). Однако анкетирование учителей математики г. Оренбурга, г. Орска, г.Новотроицка, г. Гая (108 человек) показало, что этот раздел либо:

- вообще не изучается - 30 учителей;

- изучается факультативно - 56 учителей;

- рассматривается обзорно - 22 учителя.

В процессе бесед учителя отмечали, что:

- нет связи этого раздела с другими вопросами курса - 11 учителей;

- большинство учащихся не могут справиться с самостоятельным решением комбинаторных задач - 23 учителя;

- комбинаторные задачи не включаются в проверку знаний учащихся -74 учителя.

Причины столь неадекватного отношения учителей к вышеуказанным вопросам заключаются в том, что:

- пятиклассники не подготовлены к их восприятию и пониманию;

- отсутствует методика обучения решению комбинаторных задач.

В этой же главе обосновывается роль комбинаторных задач в формировании у учащихся приемов умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение); в развитии таких качеств мышления как гибкость, вариативность, критичность; в расширении объема и концентрации внимания, в развитии памяти, в формировании умения рассуждать, способствуя тем самым развитию речи ребенка.

Анализ различных аспектов (математический, логический,

психологический и методический) процесса решения комбинаторной задачи младшими школьниками позволил сформулировать основные положения методики обучения учащихся начальных классов решению комбинаторных задач (глава 3, п. 3.1).

1. Комбинаторные задачи являются средством реализации методической концепции курса, выражающей необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения программного содержания. Они обеспечивают вариативность учебных заданий и расширяют представления учащихся о способах моделирования.

2. Основным методом решения комбинаторных задач является неформальный метод, так как он учитывает особенности мышления младших школьников, их опыт и не перегружает учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса новых понятий.

3. В качестве способов решения комбинаторных задач младшими школьниками целесообразно использовать способ перебора (хаотичного, системного), составление таблиц и построения графов и «дерева» возможных вариантов.

4. Комбинаторные задачи органически вписываются в методику обучения младших школьников решению арифметических задач: на подготовительном этапе они способствуют формированию у учащихся приемов умственной деятельности, навыков чтения, развитию речи, умению переводить вербальную модель в предметную; на основном этапе -расширяют представления учащихся о способах моделирования при решении текстовых задач.

5. При составлении комбинаторных задач для учащихся начальных классов используются различные виды соединений (комбинаций), которые связаны с размещениями, перестановками, сочетаниями.

Во втором параграфе третьей главы эти положения конкретизируются

на примере различных комбинаторных задач, которые явились содержанием экспериментальной работы.

Формирующий эксперимент осуществлялся в течение четырех лет. В нем приняли участие 246 учеников (школа - гимназия № 1; школы № 6, 25," 50 г. Орска, № 12 г. Новотроицка, и № 2 пос. Энергетик, школа - гимназия г.Гая).

Целью эксперимента явилась проверка эффективности разработанной методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Критериями эффективности явились: качество усвоения программного содержания и способность учащихся самостоятельно решать комбинаторные задачи.

В течение всего периода формирующего эксперимента систематически велись наблюдения на уроках за процессом обучения учеников начальных классов математике, анализировались работы учащихся, проводились контрольные работы в конце каждого года обучения, проверялось качество усвоения программного материала и продвижение младших школьников в умении решать комбинаторные задачи.

Исходя из того, что процесс решения комбинаторных задач требует активного использования приемов умственной деятельности, гибкости, вариативности, критичности мышления мы полагаем, что самостоятельное решение учащимися комбинаторных задач может свидетельствовать о развитии их мышления.

Понимая, что полученные результаты могли обуславливаться не только внедрением в процесс усвоения программного содержания комбинаторных задач, но и целым рядом других факторов, мы провели две серии сравнительного констатирующего эксперимента.

В первой серии сравнивались результаты обучения по тем же критериям (усвоение программного материала и самостоятельное решение комбинаторных задач) в четырех группах учащихся.

Первая группа (78 учеников) обучалась по традиционной программе и учебникам (авт. М. И. Моро и др.), где решение комбинаторных задач не связано с усвоением программного содержания; они включаются в раздел «для смекалистых» и адресованы сильным ученикам.

Вторая группа (74 ученика) обучалась по программе и учебникам Л.Г.Петерсон, содержащим большое количество комбинаторных задач, но методика их использования была такой же, как и в традиционных классах.

Третья групйа (75 учеников) обучалась по программе Н. Б. Истоминой, где комбинаторные задачи использовались эпизодически.

Четвертая группа учащихся - экспериментальная (76 учеников) обучалась по программе и учебникам Н. Б. Истоминой с включением системы комбинаторных задач в процесс усвоения программного материала.

Экспериментальные задания сравнительного . констатирующего эксперимента были составлены адекватно критериям и представлены задачами пяти видов: арифметические задачи, решаемые методом перебора («Как можно без сдачи заплатить 10 руб. за книгу, если у тебя есть 6 монет по 1руб., 3 монеты по 2 руб. и 1 пятирублевая монета», «Мама дала Антону 10 конфет и предложила каждый следующий день съедать на 1 конфету больше, чем в предыдущий. На сколько дней хватит Антону этих конфет?»); задания, имеющие несколько вариантов решения («На овощном складе хранились яблоки в ящиках по 6 кг, 8 кг, 10 кг. Кладовщик должен отпустить для школы 100 кг яблок целыми ящиками, не вскрывая ни одного из них. По сколько ящиков каждой массы он должен взять, чтобы получить ровно 100 кг.?»;

«Расставь скобки так, чтобы равенства были верными

24-18:6 + 3*2=27

24-18:6 + 3*2=7

24-18:6 + 3*2=20

24-18:6 + 3*2=48

24-18:6 + 3*2=15

24-18 : 6 + 3 * 2 =12»), задачи с одним способом решения, требующие анализа различных комбинаций («Поставь два знака «плюс» в нужном месте между указанными цифрами так, чтобы получилась данная сумма 6974289=990»); геометрические задания, процесс решения которых связан с методом перебора («На прямой поставь 5 точек пересчитай все полученные отрезки»); комбинаторные задачи («В магазине продают сказки народов мира: русские, немецкие, узбекские, арабские. Сколько различных наборов из трех книг можно составить?»). Причем, выполнение одних заданий требовало усвоения программного материала, а выполнение других опиралось только на опыт учеников, успешное применение которого свидетельствовало о сформированности определенных качеств мышления (гибкости, вариативности).

Результаты первой серии констатирующего сравнительного эксперимента представлены на гистограмме и диаграмме.

100-, 90 80 7060 50 4030 20 10

0-■----.- ----

Эк И П М

Эк- экспериментальные классы;

И- классы, обучающиеся по учебникам Н.Б. Истоминой; П- классы, обучающиеся по учебникам Л.Г. Петерсон; М- классы, обучающиеся по учебникам М.И. Моро;

Рис. 1. Результаты констатирующего сравнительного эксперимента (качество знаний).

Эк.

1 I без помощи

ЛУ//Л обращались за помощью

Рис. 2. Результаты констатирующего сравнительного эксперимента (степень самостоятельности в решении комбинаторных задач).

Вторая серия сравнительного констатирующего эксперимента была проведена в двух группах с учащимися пятых классов (гимназия № 1 г.Орска). В контрольную группу вошли ученики, обучающиеся математике по учебникам Г. В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Такой выбор был определен тем, что в программное содержание этого учебника включен раздел «Перебор возможных вариантов». Ученики этой группы в начальных классах обучались математике по учебникам Л.Г. Петерсон, которые содержат достаточно большое число комбинаторных задач.

Экспериментальная группа была представлена учениками, прошедшими экспериментальное обучение в начальных классах. В пятом классе эти ученики продолжали обучаться по программе и учебникам Н.Б.Истоминой. Комбинаторные задачи как самостоятельный раздел в этом учебнике отсутствуют. Цель данного эксперимента - проверить умение пятиклассников самостоятельно решать комбинаторные задачи методом перебора Эксперимент проводился в конце II четверти. В нем участвовало 56 человек:

5 «В» класс (Л. Г. Петерсон) - контрольный;

5 «А» класс (Н. Б. Истомина) - экспериментальный.

Задание для эксперимента включали в себя три задачи, подобранные таким образом, что их решение системным перебором, предполагало при решении первой - начертить граф, второй - заполнить таблицу, третьей -построить «дерево решений» (все задачи были взяты из учебника «Математика» под ред. Г. В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина).

100 90 80 7060 50 40 30 20100-

Экспериментапьная Контрольная группа группа

Рис.3. Результаты констатирующего сравнительного эксперимента (умение решать комбинаторные задачи).

I | системный перебор унта хаотичный перебор

Рис. 4. Результаты констатирующего сравнительного эксперимента (способы решения комбинаторных задач).

В процессе решения задач методом системного перебора пользовались в экспериментальной фуппе (81%, 97%) учащихся, контрольной - (30% и 50%) учащихся. Таким образом, в экспериментальных классах у учащихся сформированы умения решать комбинаторные задачи методом перебора. В контрольных классах этот показатель значительно ниже, несмотря на то, что комбинаторные задачи включены в процесс обучения этих школьников математике. Причина на наш взгляд в том, что учащиеся контрольной группы не готовы к пониманию сути комбинаторной задачи (нет подготовительной работы); недостаточно времени в 5 классе на усвоение учащимися способов решения комбинаторных задач; не разработаны методические рекомендации для учителей математики.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Предложен и научно обоснован один из возможных методических подходов включения комбинаторных задач в начальный курс математики, при котором комбинаторные задачи выступают как средство усвоения основных вопросов программного содержания.

2. Разработана методика обучения решению комбинаторных задач, нацеленная на развитие мышления младших школьников, на расширение их представлений о способах моделирования (таблицы, графы, «дерево» возможных вариантов), на овладение младшими школьниками доступными способами решения комбинаторных задач.

3. Экспериментально обоснована эффективность предложенной методики: включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества обучения математике и формирует у младших школьников умение решать комбинаторные задачи неформальным методом.

4. Разработана система комбинаторных задач (200 задач), которую возможно использовать в процессе обучения младших школьников

математике.

Основное отражение диссертации нашло отражение в следующих публикациях:

1) Развивающие возможности комбинаторных задач. / Образование: От опыта прошлого к перспективам будущего. Сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 90-летию Уфимского учительского института - Уфа, 1999 - с 56-57.

.2) Комбинаторные задачи как средство саморазвития личности ученика. / Материалы Всероссийской конференции: Развитие и саморазвитие ученика и учителя. - Орск, 2001, стр. 267-273.

3) Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения начальной школы. / Детский сад - школа - вуз: проблемы и перспективы развития. Материалы межвузовской научно-практической конференции. -Брянск, 2001, стр. 17-19.

4) Комбинаторные задачи в начальном курсе математики. / Народное образование в XXI веке. Тезисы научных докладов Международной юбилейной научно-практической конференции, посвященной 70-лстию МПУ, выпуск 2. Москва, 2001, стр. 27-28.

5) Роль комбинаторных задач в формировании приемов умственных действий младших школьников. / Материалы XXIV преподавательской и Х1Л1 студенческой научно-практической конференции ОПТУ. - Оренбург, 2002, стр. 134-138.

6) Графическое моделирование как способ решения комбинаторных задач в начальном курсе математики. / Сб. Актуальные проблемы начального образования. Москва МГОПУ им. М.А. Шолохова, 2002, стр. 142149. Тезисы и статьи научной работы преподавателей и аспирантов кафедр методики начального обучения и педагогики начального образования.

Подписано в печать 15 СЧ С Ь .

Формат 60x90, 1/16. Объем 1,25л^ Тираж 100 экз. Заказ У Отпечатано в ООО КПСФ «Спенстройсервис-92» Копировально-множительный отдел. 101000, Москва, Мясницкая, 35,стр.2

í I

(

Í Í t

(

)

РНБ Русский фонд

2005-4 29178

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Виноградова, Елизавета Павловна, 2003 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ТРАКТОВКЕ ПОНЯТИЯ «ЗАДАЧА».

1.1. Психолого-педагогическая характеристика понятия «задача».

1.2. Понятие «задача» в начальном курсе математики.

1.3. Виды комбинаторных задач и способы их решения.

ГЛАВА 2 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ.

2.1. Опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики.

2.2. Комбинаторные задачи как средство развития мышления школьников.

ГЛАВА 3 СИСТЕМА КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ В РАЗВИВАЮЩЕМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

3.1. Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

3.2. Взаимосвязь комбинаторных задач с программным содержанием начального курса математики.

3.3. Организация и проведение эксперимента.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы"

В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития «предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей» [89 ].

Одним из направлений модернизации содержания математического образования на современном этапе является включение элементов статистики и теории вероятностей в программу школьного курса математики. В новом проекте концепции образовательной области «Математика» Министерства образования Российской Федерации в разделе «Общая характеристика математического образования» отмечается, «что элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение».

Возможность включения комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики была обоснована в ряде диссертационных исследований семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия. Рассматривались различные аспекты этой проблемы: совместное изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей [53]; выделения в школьном курсе математики сквозной комбинаторико-вероятностной линии [79]; изучение комбинаторики с помощью графов [20,40]; разработка методики обучения решению комбинаторных задач [114]. Названные исследования ориентировались на учеников основной и средней школы, тем не менее, во всех работах отмечалась целесообразность решения комбинаторных задач в начальной и основной школе как основы сознательного использования учащимися средней школы комбинаторных правил и формул.

Новый этап исследований, связанных с включением комбинаторных и вероятностных задач в школьный курс математики относится к девяностым годам двадцатого века.

Он знаменуется усилением развивающей функции математического образования и появлением работ, в которых выявляется роль комбинаторных задач в развитии мышления учащихся [105].

С точки зрения диссертационного исследования особый интерес представляет работа Е. Е. Белокуровой, в которой обоснована роль комбинаторных рассуждений в совершенствовании умственных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и абстрагирования; в развитии действенного, образного и словесно-логического компонентов мышления и их взаимосвязи; в формировании таких качеств мышления как вариативность, гибкость и критичность. Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения комбинаторных задач в процесс обучения младших школьников математике активно реализуется в массовой школьной практике [11,67,68,69,70,111,121].

С одной стороны это обусловлено развивающими возможностями комбинаторных задач, а с другой - преемственностью курса математики начальной и основной школы. Так в некоторые учебники математики 5-го класса включена тема «Перебор возможных вариантов» [103].

Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется:

1. Модернизацией содержания математического образования на современном этапе развития школы.

2. Отсутствием исследований, выявляющих возможность использования комбинаторных задач в курсе математики четырехлетней начальной школы.

4. Необходимостью решения проблемы преемственности между начальной и основной школой.

Проблемой исследования является поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процесс усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы.

Объект исследования - процесс обучения младших школьников математике.

Цель исследования — разработать систему комбинаторных задач для младших школьников и обосновать возможность и целесообразность ее включения в процесс усвоения программного содержания развивающего курса математики начальной школы.

Гипотеза исследования.

Если в русле единой методической концепции, направленной на развитие учащихся, разработать систему комбинаторных задач, в процессе решения которых учащиеся усваивают основные вопросы программного содержания, то это позволит повысить качество математических знаний младших школьников и сформировать у них умение решать комбинаторные задачи.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1 .Проанализировать опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики.

2.Разработать систему комбинаторных задач для четырехлетней начальной школы, обеспечивающую усвоение программного содержания.

3.В русле концепции, нацеленной на развитие мышления младших школьников, разработать методику обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Экспериментально проверить ее эффективность.

Организация исследования. Исследование проводилось с 1997 по 2003 года и включало в себя несколько этапов.

На первом этапе (1997-1998гг.) анализировалась психолого-педагогическая и методическая литература по проблеме развития мышления младших школьников; исследования, связанные с обучением младших школьников решению комбинаторных задач; действующие программы и учебники для четырехлетней начальной школы; проводился поисковый эксперимент по отбору комбинаторных задач, связанных с программным содержанием начального курса математики.

На втором этапе (1998-2002гг.) велась теоретическая разработка методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач; проводился обучающий эксперимент в рамках методической системы развивающего обучения математике младших школьников; сравнительный эксперимент для проверки эффективности предложенной системы комбинаторных задач, включенной в программное содержание начального курса математики.

На третьем этапе (2002-2003гг.) анализировались и обобщались результаты исследования; были сделаны выводы; выполнено литературное оформление диссертации.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования заключается в том что:

1. Впервые комбинаторные задачи рассматриваются как средство усвоения программного содержания развивающего курса математики в начальных классах;

2. Разработана система комбинаторных задач, сориентированная на основные вопросы начального курса математики;

3. Определены этапы обучения младших школьников решению комбинаторных.

Достоверность и обоснованность — полученных результатов диссертационного исследования обеспечивается использованием предшествующих результатов методических исследований; выбором взаимодополняющих методов педагогического исследования, соответствующих поставленным задачам; опорой на идеи и методы математической науки; на экспериментальную проверку разработанной системы комбинаторных задач.

Апробация результатов исследования.

Основные положения диссертационного исследования были представлены автором на Всероссийской научно-практической конференции посвященной 90-летию Уфимского учительского института в г. Уфа (1999г.); на Всероссийской конференции «Развитие и саморазвитие ученика и учителя» г. Орск (2001г.); на межрегиональной научно-практической конференции «Форум: Инновации 2002. Актуальные проблемы подготовки кадров для развития экономики Оренбуржья» г.Оренбург (2002г.), на международной научно-практической конференции «Народное образование в XXI веке" г.Москва (2002г.), на заседаниях кафедры методики начального обучения МГПОУ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Комбинаторные задачи в развивающем курсе начальной математики возможно и целесообразно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса новых понятий.

2. Система комбинаторных задач должна быть согласована с логикой построения содержания курса начальной математики и сориентирована на последовательное овладение учащимися доступными способами решения комбинаторных задач.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Модернизация содержания математического образования, направленная на развитие мышления школьника, отсутствие исследований, выявляющих возможность использования комбинаторных задач в курсе математики четырехлетней начальной школы, потребность школьной практики в разработке системы комбинаторных задач и методики их решения для младших школьников, необходимость решения проблемы преемственности между начальной и основной школой обусловили цель данного исследования, которое заключается в разработке системы комбинаторных задач для младших школьников и обоснованность возможности и целесообразности её включения в процесс усвоения программного содержания развивающего курса математики начальной школы, а также в доказательстве, что данная система является эффективным средством повышения качества математических знаний.

Исследование включало в себя две части: теоретическую и практическую.

В теоретической части определены исходные положения исследования на основе изучения и анализа научных исследований психологов (Л.С. Выготский, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, А.К. Дусавицкий, Л.В.Занков, А.А.Люблинская, С.Л.Рубинштейн, И.С.Якиманская), педагогов и специалистов в области методики преподавания математики (А.К.Артемьев, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, Н.Б.Истомина, Ю.М.Колягин, А.Н.Колмогоров, Г.В.Дорофеев, Л.П.Стойлова, Л.М.Фридман, А.Ф.Эсаулов), а также ученых-математиков (К.Берж, А.Кофман, Г.Райзер, А.Ренои, К.А.Рыбников, А.Я.Халамайзер).

В качестве исходных определены следующие теоретические положения «комбинаторика», «комбинаторная задача» и на их основе сформулированы существенные признаки понятия «система комбинаторных задач».

Система комбинаторных задач - это совокупность видов и способов решения комбинаторных задач, а также определенный порядок их реализации как средства усвоения программного содержания начального курса математики».

Исходя из обозначенной сущности понятия «система комбинаторных задач» раскрыты структурные элементы системы комбинаторных задач. Выделены взаимосвязанные подсистемы: виды комбинаторных задач, способы решения комбинаторных задач, этапы реализации видов и способов решения комбинаторных задач.

Первая подсистема включает три вида задач: задачи на перестановки, задачи на размещения, задачи на сочетания.

Вторая подсистема (способы решения комбинаторных задач) содержит два способа: хаотичный перебор, системный перебор.

Третья подсистема (этапы реализации видов и способов решения комбинаторных задач) состоит из подготовительного и основного этапов. Взаимосвязь первой и второй подсистем заключается в следующем: способы решения для всех видов комбинаторных задач одинаковы. Реализация взаимосвязи осуществляется сначала с помощью пропедевтических заданий (подготовительный этап), а затем - решение комбинаторных задач всех видов и разными способами (основной этап).

Обозначенная система комбинаторных задач, разработанная в русле методической концепции развивающего обучения математике (авт. Н.Б.Истомина) стала теоретической основой для разработки методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Средствами реализации разработанной методики являются: логика построения начального курса математики, сориентированная на формирование приемов умственной деятельности: анализа, синтеза, сравнения, аналогии, классификации, обобщения; новые методические подходы к усвоению учащимися теоретических понятий и общих способов действий; методика обучения решению текстовой задачи, сориентированная на формирование обобщенных умений: навыков чтения, усвоение конкретного смысла арифметических действий, приобретение опыта в соотнесении предметных, вербальных и схематических моделей, знакомства со схемой, знакомство со схемой как способом моделирования.

В условиях формирующего эксперимента осуществлялась проверка разработанной методики обучения решению комбинаторных задач.

Результаты проведения сравнительно-констатирующего эксперимента подтвердили выдвинутую гипотезу, что если в русле единой методической концепции, направленной на развитие учащихся, разработать систему комбинаторных задач, в процессе решения которых учащиеся усваивают основные вопросы программного содержания, то это повысит качество математических знаний младших школьников и сформулирует у них умение решать комбинаторные задачи.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Виноградова, Елизавета Павловна, Москва

1. Абдульманов Р. Н. Клименченко В. В., Шихалиев X. Ш. Различные комбинаторные упражнения. /Нач. школа №6/,1977.

2. Азовский В. В. Решение некоторых учебных задач по комбинаторике : Пособие по решению задач : Для студентов физ.-мат. специальности и учителей математики. / В. В. Азовский, Е. И. Томина, Т. В. Фомина;

3. Азовский В. В. Элементы комбинаторики в примерах и задачах: Пособие по решению задач / В. В. Азовский, Е. И. Томина, Т. В. Фомина; Самар. ин-т повышения квалификации и переподгот. работников образования .- Самара : Изд-во СИПКРО, 2000.- 51 с.

4. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах /Под ред. М. И. Моро, А. М. Пышкало,- М.: Педагогика, 1977.- 248 с.

5. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9-го класса средней школы //Колмогоров А. Н., Вейц Б. Е., Демидов И. Т. и др. /Под ред. А. Н. Колмогорова.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1976.- 222 с.

6. Анализ различных подходов к обучению младших школьников решению, задач : Теорет. аспект. // Учебная деятельность и психическое развитие школьников.-Нижневартовск,1994.- С. 88-94.

7. Аргинская И. И. Математика. Комплект учебников для 1,2,3,4 кл; М.,2001

8. Артемов А. К. Обучение сравнению в математике // Начальная школа.-1932.-№ 4 . с. 43-46.

9. Артемов А. К. Развивающее обучение математике в начальных классах: Учебное пособие для учителей и студентов факультета педагогики и методики начального обучения.-Самара:Самарский ун-т, 1995.-117с.

10. Артемов А. К., Истомина Н. Б., Микулина Г. Г. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. М.,1996.

11. Балл Г.А. Теория учебных задач.:М.- Педагогика 1980-184с.

12. Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для учащихся школьных отделений под.училищ /Под ред. М. А. Байтовой.- 3-е изд., испр.-М.: Просвещение, 1984.335 с.

13. И.Бартенев Ф. А., Савин А. П. Метод перебора /Занимательно о физике и математике /Сост. С. С. Кротов, А. П. Савин.- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1937.-С. 27-29.

14. Белокурова Е. Е. Методика обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач. Автореф. дис.канд. пед. наук.-Спб-1993.-17с.

15. Беляева И. О. Комбинаторный подход и его применение в преподавании математики в восьмилетной школе: Автореф. дис. канд. пед. наук.- Орел, 1971.18 с.

16. Березина Л. Ю. Графы и их применение .-М.: Просвещение ,1979.-143с.

17. Березина Л. Ю. Использование графов в совершенствовании среднего математического образования: Автореф. дис . канд. пед. наук.- М., 1975.25 с.

18. Берж К. Теория графов и ее применения. Пер. с франц. А. А. Зыкова /Под ред. И. А. Вайнштейна. М.: Изд-во иностр. литературы, 1962.- 319 с.

19. Блонский П. П. Избранные психологические произведения.-М.: Просвещение, 1964.- 547 с.

20. Божович Л. И., Леонтьев А. П., Морозова П. Г., Эльконин Д. Б. Очерки психологии детей (младший школьный возраст).- М.: Изд-во АНН РСФСР, 1950.- 191 с.

21. Бондаренко С. М. Учите детей сравнивать.- М.: Знание, 1981.- 96 с.

22. Бунимович Е.А. Вероятность и статистика : Пособие для общеобразоват. учеб. заведений : 5-9 кл. / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев,- М.: Дрофа, 2002.-159с.

23. Бухарова Г. Д. Понятие " задача " в психологии, общей и частной дидактиках: На прим. изуч,. естеств.- науч. дисциплин в сред. шк. . // Понятийный аппарат педагогики и образования.- Екатеринбург, 1995.- Вып. 1,-С. 96-106.

24. Варга Т. Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность: Математические игры и опыты. Пер. с нем.- М.: Педагогика, 1978.- 112 с.

25. Варга Т. Математика. Математические игры и опыты. Кн. 1,2. М. 1978.

26. Василевский С. И. Методы решения задач.- Минск: Вышэйшая школа, 1974,- 238 с.

27. Вергелес Г. И. Развитие анализа и синтеза у младших школьников в условиях управления их умственной деятельностью в процессе обучения: Автороф. дис. . канд. пед. наук.- JI., 1972.- 22 с.

28. Верченко А. И. Верченко С. Б. Дифференциальное обучение математике во Франции //Математика в школе.-1989.-№3.

29. Виленкин И. Я., Голубкова Н. К. Материалы для внеклассной работы по математике в 4-5 классах. Множества и комбинаторика. М.: Изд-во НИИ. общ. и пед. психологии, 1981.- 70 с.

30. Виленкин Н. Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах //Математика в школе.- 1965.- № 1.-С. 19-30.

31. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика.- М.: Наука, 1975.- 208 с.

32. Виленкин П. Я. Индукция. Комбинаторика: Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1976.- 48 с.

33. Виленкин П. Я. Комбинаторика.- М.: Наука, 1969.- 328 с.

34. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) /Под ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова.- М.: Просвещение, 1966.- 442 с.

35. Возрастные возможности усвоения знаний (Младшие классы школы). /Под. ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. М.Д996.

36. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся /Под ред. И. С. Якиманской.- М.: Педагогика, 1989.- 224 с.

37. Волгина В. Ф. Графовые модели в методике преподавания математики: Автореф. дис. . . . канд. пед. наук.- М., 1977.- 23 с.

38. Выготский J1. С. Воображение и творчество в детском возрасте: Психол. очерк: Кн. для учителя,- 3-е изд.- М.: Просвещение, 1991.- 93 с.

39. Выготский JT. С. Избранные психологические исследования. М., 1956.-519с.

40. Выготский Л, С. Педагогическая психология /Под ред. В. В. Давыдова М.: Педагогика, 1991 .-480с.

41. Гальперин П. Я. Формирование умственных действий// Хрестоматия по психологии.-М., 1981.

42. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях: Элементы теории вероятностей в курсе сред, школы: Пособие для учителя /Пер. с фр. А. К. Звонкина.- М.: Просвещение, 1979. 176 с.

43. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире и математическое образование // Математика в школе.- 1991.- № 1 .-С. 2-4.

44. Грабарь М. И., Краснянская К. А. Некоторые положения выборочного метода в связи с организацией изучения знаний учащихся.- М.: Педагогика, 1973,- 46 с.

45. Груденов Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике.- М.: Педагогика, 1987.- 160 с.

46. Гутенмахер В.Л., Раббот Ж. М. Введение в комбинаторику : Решения задач: Метод, разработки для преподавателей ВЗМШ / АПН СССР, Всесоюз. заоч. мат. шк. при МГУ,- М.: АПН СССР, 1989,- 18 с.

47. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М.:Педагогика, 1972.-423с.

48. Давыдов В. В. Психическое развитие младших школьников. М.: Педагогика, 1990.

49. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения.-М.,1996.

50. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Текстовые задачи и методы их решения.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.- 261 с.

51. Дограшвили А. Я. Формирование у учащихся умений и навыков решения комбинаторных и вероятностных задач при обучении математике в восьмилетней школе: Автореф. дис. . . . канд. пед. наук.- Тбилиси, 1976.- 30 с.

52. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования//Математика в школе.-1990.-№6.-С. 2-5

53. Дусавицкий А. К. Развивающее обучение: зона актуального и ближайшего развития//Начальная школа,-1999.-№7.-С.24-30.

54. Ермакова Е. С. Развитие гибкости мыслительной деятельности детей как предпосылки продуктивного и творческого мышления. Иваново, 1997.

55. Загашев И. Как решить любую проблему / И. Загашев.- СПб.:Прайм-ЕВРОЗНАК; М.: Олима-Пресс, 2001.- 127 с.

56. Зайцев Г. Т. Теоретические основы обучения решению задач в начальных классах: Учебное пособие.- Л.: Изд-во ЛГПИ, 1983.- 98 с.

57. Зайцев Г. Т. Теоретические основы обучения решению задач в начальных классах . Учебное пособие .-Л., 1983.-99с.

58. Зак А. 3. О развитии у младших школьников способности действовать «в уме» //Вопросы психологии.-1981.-№5.

59. Занков Л. В. Избранные педагогические труды. М., 1990.-420с.

60. Ильясов И.И. Система эвристических приемов решения задач.-М., 1992 с.101

61. Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. Пособие для учителей. —М.: Просвещение, 1985.-63с.

62. Истомина Н. Б. Концепция обучения математике в начальной школе. //Начальная школа, 1996, №10. С. 48-57

63. Истомина Н. Б. Курс математики в начальных классах. //Начальная школа, 1995, №8. С. 49

64. Истомина Н. Б. Математика. Учебник для второго класса четырехлетней начальной школы.-Смоленск,2002.-175с.

65. Истомина Н. Б. Математика. Учебник для первого класса четырехлетней начальной школы.-Смоленск,2002.-176с.

66. Истомина Н. Б. Математика. Учебник для третьего класса четырехлетнейначальной школы.-Смоленск,2002.-175с.

67. Истомина Н. Б. Математика. Учебник для четвертого класса четырехлетней начальной школы.-Смоленск,2002.-239с.

68. Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах.-M.: Академия, 1999.-288с.

69. Истомина Н. Б. Методическая система развивающего обучения математике в начальной школе. Автореф.докт. пед. наук.-М., 1995.-42с.

70. Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика 1 класс».-Смоленск,2002.-105с.

71. Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика 2 класс».-Смоленск,2002.-95с.

72. Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика 3 класс».-Смоленск,2002.-112с.

73. Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика 4 класс».-Смоленск,2002.-129с.

74. Кабанова-Меллер Е. Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников.-М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.- 376 с.

75. Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся.- М.: Просвещение, 1968.- 288 с.

76. Кабехова Л. М. Методика построения единого курса "Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики" для 9 класса средней школы: Автореф. дис. . . . канд. пед. наук.- Л., 1971.-21 с.

77. Кабехова Л. М. Некоторые вопросы комбинаторики в курсе 9 класса /Преподавание математики в средней школе.- Л.: Изд-во ЛГНИ, 1972.- С. 102119.

78. Калмыкова 3. И. Продуктивное мышление, как основа обучаемости. М.,1981.-200с.

79. Калошина И.П. Структура и механизмы творческой деятельности.-М., 1983.

80. Каменкова, Наталья Геннадиевна. Элементы теории вероятностей в начальной школе : Учеб. пособие / Рос. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена.- СПб.:

81. Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 1999.- 44 с.

82. Катасонова А. Т. Простейшие комбинаторные задачи /Нач. шк.- 1972.- № 9.-С. 36-38.

83. Клименченко Д. В. Задачи с многовариантными решениями /Нач. шк,-1991.-№ 6,- С. 25-29.

84. Клименченко Д. В. Различные комбинаторные упражнения / Нач. шк.-1977,- № в.- С. 44-48.

85. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть I, 2.- М.: Просвещение, 1977.- 109 с.

86. Колягин Ю. М. Оганесян В. JI. Санинский В. Я. Луканкин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика.-М.: Просвещение, 1980.

87. Колягин Ю.М. «Поисковые задачи по математике».-М., 1979

88. Комбинаторные задачи на кружковых занятиях в 4-8 классах: Методические рекомендации для учителя /Составитель М. А. Шайдук.- Омск: Омское обл. отделение Цед. о-ва РСФСР, 1979.- 12 с.

89. Концепция развития школьного математического образования //Математика в школе.- 1990.- № I.- С. 2-14.

90. Концепция четырехлетнего начального образования /Разраб. под рук. В. В. Давыдова, А. М. Пышкало //Начальная школа.- 1992.-№ 7-8.- С. 62-67.

91. Коробейникова М. Н. Как учить детей самостоятельно решать математические задачи // Развитие познавательной самостоятельности школьников.- Киров, 1999.- С. 82-99.

92. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику /Пер. с фр. В. П. Мякшиева и В. Е. Тараканова /Под ред. Б. А. Севастьянова.- М.: Наука, 1975,- 480 с.

93. Крутецкий В.А. Психология.-М., 1980.

94. Кузбеков Т.Т. Методы решений тестовых задач по математике / Т. Т. Кузбеков, Ф. А. Саитгареева.- Уфа : Б. и., 2001. Ч. 1.- 2001,- 108 с. Дорофеева Н. В.

95. Кушнерук Е. Н., Айзенберг М. Н. . Клименченко Д. В. Комбинаторные упражнения. /Нач. шк. №6,1977,с. 44.

96. Леонтьев А. Н. Умственно развитие ребенка. М., 1950.-30с.

97. Ли Г. М. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Алма-Ата. 1976.

98. Липкина А. И., Рыбак Л. А. Критичность и самооценка в учебной деятельности.- М.: Просвещение, 1968.- 142 с.

99. Лишенко Г. П. Совершенствование системы математических задач для начальных классов общеобразовательных школ: Автореф. дис. . . . канд. пед. наук.- Киев, 1990.- 18 с.

100. Люблинская А. А. Ранние формы мышления ребенка /Исследования мышления в советской психологии,- М.: Наука, 1966.-С. 319-348.

101. Люблинская А. А. Учителю о психологии младшего школьника.- М.: Просвещение, 1977,- 224 с.

102. Математика. Учебник для пятого класса/Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина,М., 1996.-286с.

103. Математическая энциклопедия. Том 2. /Гл. редактор И. М. Виноградов.-М.: Советская энциклопедия, 1979.- 1103 с.

104. Медведева 0. 0. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов: Автореф. дис. . . . канд. пед. наук.- М., 1990,- 15 с.

105. Менчинская Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьника.-М.: Педагогика, 1989.- 220 с.

106. Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах.- М.: Просвещение, 1965,- 224 с.

107. Метельский Н. В. Идеи движения за реформу современны // Математика в школе. " 1992.-№ 1.- С. 8-10.

108. Методика начального обучения/Под ред. А. А. Столяра, В. Л. Дрозда. Минск, 1988.-254с.

109. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов /Колягин Ю. М.,

110. Оганесян В. А., Санинский В. Я., Луканкин Г. Л.- М.: Просвещение, 1975.462 с.

111. Моро М. И. Волкова С. И. Степанова С. В. Математика. Комплект учебников для 1,2,3 и 4 классов.- М.:Просвещение, 2002.

112. Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в 1-3 классах: Пособие для учителя.- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Просвещение, 1978.-336с.

113. Начальное обучение математике в зарубежных школах/Под ред. Л. Н. Скаткина. М., 1973.-184с.

114. Обухова Л. . Ф. Концепция Жана Пиаже: За и против.- М.: Изд-во Московского ун-та, 1981.- 191 с.

115. Обучение и развитие/Под ред. Л. В. Занкова. М., 1975.-440с.

116. Овсиенко Г. В. Развитие личности школьника средствами математики: //Развитие одаренности детей.- М.,1997.- С. 47-53.

117. Общая характеристика /Под ред. А.В.Петровского.-М., 1975

118. Орехов Ю.В. Начала комбинаторики,- Уфа : Технология, 1998.- 36;

119. Пали Ф., Пали Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетного возраста математическим понятиям.- Брюссель-Монреаль-Париж, 1968. Пер. с фр,-М.: Педагогика, 1974,- 192 с.

120. Петерсон Л. Г. Математика. Комплект учебников-тетрадей для 1,2,3 4 кл. .-М.:С-инфо,1999.

121. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников : Кн. для учащихся.- М.: Просвещение, 1996.- 188 с.

122. Плоцки А. Вероятность события в стохастической линии школьного математического образования : Пер. внематемат. пробл. на яз. математики // Математика в шк,- 1997,- № 2,- С. 24-28. №3. -С.67-70.

123. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы /Сост. Г. Д. Глейзер, М.: Просвещение, 1989.240 с.

124. Поддъяков А. Развитие комбинаторных способностей : Занятия в дет.саду./ А. Поддъяков // Дошкол. воспитание.- 2001.- N 10.- С. 90-96.

125. Пономарев Я. А. Знание, мышление и умственное развитие. М.,1967.-263с.

126. Пойа Дж. Обучение через задачи /На путях обновления школьного курса математики: Пособие для учителей,- М.: Просвещение, 1978.- С. 220-226.

127. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов. Часть 1 /Научный редактор А. Е. Мерзон.- М.: Изд-во МГПИ, 1989.- 216 с.

128. Прикладная комбинаторная математика. Сб. статей.-М.:Мир, 1968.

129. Процесс мышления и закономерности анализа, синтеза и обобщения/Под ред. С. JI. Рубинштейна. М.,1960.-167с.

130. Психологические критерии качества знаний школьников: Сб. науч. тр. /Под ред. И. С. Якиманской.- М.: Изд-во АПН СССР, 1990.- 142 с.

131. Психологический словарь/Под ред. В. В. Давыдова и др.

132. Психология младшего школьника /Под род. Е. И. Игнатьева.- М.: Изд-во АНН РСФСР, I960.- 336 с.

133. Психология. Словарь. /Под ред. А. В. Петровского,М. Г. Ярошевского.- М. 1990.

134. Пути повышения качества усвоения знаний в начальных классах /Под ред. Д. Н. Богоявленского, Н. А. Менчинской.- М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.280 с.

135. Радченко В. П. Теоретико-методологические основы использования сюжетных задач в обучении математике : // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике .- СПб., 1999.- С. 21-26.

136. Развитие учащихся в процессе обучения (1-2 классы) /Под ред. JT. В. Занкова,- М.: Изд-во АЛЛ РСФСР, 1963.- 291 с.

137. Развитие учащихся в процессе усвоение знаний (на материале начальных классов)/Под ред. М. В. Зверевой. М.,1981 .-108с.

138. Райзер Г. Дд. Комбинаторная математика /Перевод с англ. К. А. Рыбникова,- М.: Мир, 1966,- 154 с.

139. Реньи А. Трилогия о математике. /Переписка Паскаля и Ферма/. "Мир". 1980.

140. Ринбаяси К., Чошанов М., Ямазаки И. Радостные уроки, или почему японские дети любят математику / Народное образование.- 1991.- № 12.- С. 53-58.

141. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования .-М.,1958.-147с.

142. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. В двух томах. Том I.- М.: Педагогика, 1989.- 486 с.

143. Румянцева Л. И. Особенности процесса сравнения у младших школьников /Типические особенности умственной деятельности младших школьников /Под ред. С. Ф. Жуйкова.- М.: Просвещение, 1968.- С. 12-71.

144. Русанов В. И. Математические олимпиады младших школьников: Кн. для учителя: Из опыта работы (в сел. . р-нах).- М.: Просвещение, 1990.- 77 с.

145. Рыбников К. А. О комбинаторных методах современной математики /Математика в школе.- 1966.- № 4.-С. 12-23.

146. Салмина И. Г. Виды и функции материализации в обучении.- М.: Изд-во Московского ун-та, 1981.- 134 с.

147. Самигуллина 3. П. К методике решения простейших комбинаторных задач и задач на вычисление вероятности в средней школе: Автороф. дис. . . . канд. пед. наук.- Челябинск, 1970.- 21 с.

148. Сельдюкова С. И. Нестандартные текстовые задачи в обучении младших школьников математике: Автореф. дис. . . . канд. пед. наук.- М., 1982.- 16 с.

149. Скрипченко А. В. Умственное развитие младших школьников: Автореф. дис. . . . д-ра психол. наук.- Л., 1971.- 55 с.

150. Стойлова Л. П. Математика.-М.:Издат. Центр «Академия», 1999.-424с.

151. Стойлова Л. П. Способы решения комбинаторных задач //Начальная школа.-1994.-№1.

152. Сурикова, С. В. Элементы комбинаторики и теории графов: Учеб. пособие / Рос. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена,- СПб.: Образование, 1995.- 70с.

153. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников.-М., 1988

154. Умственное развитие младших школьников в процессе обучения: Сб. науч.тр.- Л.: ЛГПИ, 1974.- 240 с.

155. Усина 0. А. Нестандартная задача как средство развития математического мышления учащихся : Математика в нач. шк. . // Активизация познавательной деятельности младших школьников в процессе обучения.-Ульяновск, 1997.- С. 11-15.

156. Федосеев В. Н. Решение вероятностных задач / Всерос. шк. математики и физики "Авангард".- М.: Авангард, 1998. Ч. 1,- 1998, 198 с.

157. Федосеев В. Н. Решение вероятностных задач / Всерос. шк. математики и физики "Авангард".- М.: Авангард, 1999. Ч. 2,- 1999. 111с.

158. Формирование знаний и умения на основе теории поэтапного формирования умственных действий/ Под ред. П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызина. М.,1968.

159. Фридман Л. М. Методика обучения решению математических задач /Математика в школе,- 1991.- № 5.- С. 59-63.

160. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.,1983.

161. Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике. М.,1998.

162. Хабибуллин К. Я. Обучение учащихся творческой деятельности в процессе решения задач : Математика в сред. шк. ./ К. Я. Хабибуллин // Школ. техн. ологии,- 2002,- №4,- С. 115-119.

163. Халамайзер А. Я. Комбинаторика и бином Ньютона: Пособие для учащихся 9-10 классов.-М.: Просвещение, 1980.- 32 с.

164. Халамайзер А. Я. Математика?-Забавно! М. 1989.

165. Холл М. Комбинаторика. /Перевод с англ. /. М. 1970.

166. Царева С. Е. Обучение решению задач // Нач. шк.- 1997.- N 11.- С. 93-98.

167. Цукерман Г. А. Азбучные истины развивающего обучения //Начальная школа.-1991 .-№4.-С. 37-38.

168. Цукерман Г. А. Виды обобщения в обучении.-Томск.,1993.

169. Чуприкова Н. И. Умственное развитие и обучение. Психологическиеосновы развивающего обучения. .-М.,1995.

170. Шарыгин И. Ф. Решение задач. М.,1994.-352с.

171. Шибасов JI. П., Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики : Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин, и занимат. задачи: Кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. шк.- М.: Просвещение, 1997.- 268 с.

172. Шилова Е. Н. Формирование у младших школьников (1-2 класс) интеллектуального приема сравнения в процессе обучения математике: Автореф. дис. . . . канд. психол. наук.- JL, 1972.-23 с.

173. Шихова А. П. Комбинаторные задачи в 1-8 классах средней школы / Обучение и воспитание учащихся в процессе преподавания математики в школе.- Киров-Йошкар-Ола: КП1И, 1976.-С. 24-34.

174. Шихова А. П. Комбинаторные задачи в 1-8 классах. Обучение и воспитание учащихся в процессе преподавания математики в школе . Киров . Йошкар-Ола. 1978.

175. Шихова А. П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе: Автореф. дис. . . канд. под. наук.- М., 1978.-20 с.

176. Элементы комбинаторики: Учеб. пособие. Минск: НИИ Педагогики МП БССР, 1976.-44 с.

177. Эльконин Д. Б. Возрастные возможности усвоения знаний .-М.,1966.

178. Эльконин Д. Б. Избранные психологические труды

179. Эльконин Д. Б. О теории начального обучения. //Народное образование.-1963.-№4

180. Эльконин Д. Б. Психология обучения младшего школьника.-М.,1974.

181. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Теория и методика обучения математике в начальной школе.- М.: Педагогика, 1988.-208 с.

182. Эсаулов А. Ф. Психология решения задач: Методическое пособие. М.: Высшая школа, 1972.- 216 с.

183. Якиманская И. С. Развивающее обучение.- М.: Педагогика, 1979,- 141 с.

184. Якиманская И. С. Как развивать учащихся на уроках математики.-М.,1996.

185. Artigues С., Bellecave Y, Terracher P. Mathematiques 2-е, 1990.

186. Fredon D. Mathematiques 2-е, 1990.

187. National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and Evaluation for School Mathematics Reston: Discussion. VA: Author, 1989.

188. National Council of Teachers of Mathematics. Principles and Standards for School Mathematics: Discussion Draft NCTM Web-site, 1999.