автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач

Автореферат диссертации по теме "Методика обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Р4> РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ! ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И.ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

БЕЛОКУРОВА ЕКАТЕРИНА ЕВГЕНЬЕВНА

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРОВЕДЕНИЮ КОМБИНАТОРНЫХ РАССУЖДЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

13.00.02 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена

Научный руководитель - кандидат педагогических наук,

доцент Стефанова Н.1.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор, действительный член РАО Башмаков М.И.

часов на заседании Специализированного совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена /191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корпус 1, ауд. 209/.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

кандидат педагогических наук, доцент Туркина В.М.

Ведущая организация - Пензенский государственный

педагогический институт имени В.Г. Белинского

Защита состоится

года в

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного

>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность исследования. П настоящее время происходит изменение акиентов в целях начального обучения математике. На первый план вместо традиционной пели усвоения предметных знаний, умений и навыков выходят цели воспитания и развития личности ребенка /В.В.Давыдов, А.М.Пыптало и др./, В младшем школьном возрасте наиболее интенсивно развивается мышление, которое оказывает влияние и на другие психические процессы /Л.С.Выготский/. От-слма приоритетным направлением мы считаем нормирование у учащихся способности нестандартно мыслить, правильно и четко рассуждать. обучение младших школьников проведении комбинаторных рассуждений при решении задач открывает возможности для реализации этого направления.

Овладение умением проводить комбинаторные рассуждения имеет практическое значение для лучшей ориентации человека в реальной жизни, а также является важным и для обучения математике.

Проблема изучения комбинаторики в школе активно исследовалась в период 1970-80 гг. Рассматривались различные аспекты этой проблемы: совместное изучение комбинаторики и начал теории вероятностей /З.П.Самигуллина, Л.М.Кабехова/, рыаеление в курсе математики сквозной комбинаторно-вероятностной линии /А.Я.Дограш-вили/, изучение элементов комбинаторики с помощью графов /ВЛ. Волгина, Л.Ы.Березина/, определение содержания этапов и методики обучения комбинаторике и ее приложениям /А.П.Шихова/, популяризация идей комбинаторики /Н.Я.Виленкин, А.Я.Халамайзер и др./. Названные авторы ориентировались на учеников средней школы, но почти во всех работах содержатся указания на необходимость решения комбинаторных задач непосредственным перебором в начальных классах. Такое решение задач рассматривается как основа для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. И только в 90-х годах появляются работы, в.которых исследуется роль комбинаторных задач в развитии мышления учащихся /О.С.Медведева, С.И. Сельдюкова/. О.С.Медведевой были выявлены развивающие возможности комбинаторных задач и разработана соответствующая методика с учетом определенного возраста детей /5-6 класс/. В исследовании С.И.Сельдюковой комбинаторные задачи составляют незначительную

часть применяемых в экспериментальном обучении учащихся 1-3 классов нестандартных задач, поэтому не ясна роль в развитии мышления учеников именно комбинаторных задач и не решены мно: методические проблемы, связанные с обучением решению этих за Таким образом, остаются невыявленными конкретные направления развитии мышления младших школьников в соответствии со спецщ кой комбинаторных рассуждений, не разработаны система задач, зволяюцая обучать учеников проведению комбинаторных рассужде] и соответствующая методика.

Результаты проведенного нами эксперимента показали, что значительная часть учеников начальной школы без специального обучения самостоятельно в некоторой степени овладевает умени< проводить комбинаторные рассуждения. Но чаще всего /в зависит ти от сложности задачи от. 44% до 87$ учащихся/ они не могут построить рассуждения при решении комбинаторных задач, чтобы найти все возможные варианты, соответствующие условию, и не ) пустить повторов. При этом в большинстве случаев дети действ; хаотично:"число учащихся осуществляющих перебор вариантов в ( ределенной системе , меняется от 4$ до 32$ в разных задачах.

Необходимость реализации цели развития мышления младших школьников в процессе обучения математике, важность в настоян время для человека приобретения умения проводить комбинаторш рассуждения, неразработанность в методической литературе вощ са формирования этого умения и низкий уровень овладения им у* никами начальных классов определили актуальность выбранной тс исследования.

ПРОБЛЕМА исследования состоит в поиске возможностей и С1 собов обучения младших школьников проведению комбинаторных рг суждений при решении задач с целью усиления развивающей функи начального курса математики.

ОБЪЕКТОМ исследования является процесс обучения младших школьников решению задач.

ПРВДМЕТ исследования - комбинаторные рассуждения при реш нии задач.

Комбинаторные рассуждения - это рассуждения, содержанием которых является построение различных комбинаторных объектов

дискретных элементов. Умение проводить комбинаторные рассужде

>

ния при решении задач определяется по тому, направлена ли мыслительная деятельность ученика на поиск различных вариантов решения задачи и может ли он организовать целенаправленный перебор всех этих возможных вариантов. Средством формирования у младших школьников этого умения является система комбинаторных задач.

В экспериментальном обучении ставилась цель достижения полноты и правильности проведения учащимися комбинаторных рассуждений при решении задач. Полнота проведения рассуждений проявляется в том, что найдены все возможные решения задачи. О правильности проведения рассуждений можно говорить, если решения соответствуют поставленным условиям и нет повторов, газработан-ная система комбинаторных задач включает и такие задачи, в которых нужно из ьсех найденных решений выбрать оптимальное по определенным критериям. Следовательно, можно предположить, что экспериментальное обучение окажет положительное влияние на нахождение учащимися оптимального результата. В процессе проведения рассуждений при решении разнообразных комбинаторных задач от учащихся требуется проявление вариативности и критичности мышления. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи, когда на это нет специальных указаний. Критичность мышления проявляется в данном случав в способности ученика подвергнуть проверке, оценить разные варианты решения и выбрать из них наилучший по указанным критериям. Таким образом, была выдвинута следующая гипотеза.

ГИПОТЕЗА исследования: если младших школьников целенаправленно обучать решению комбинаторных задач, выстроенных в определенную систему, то это:

1/ положительно повлияет на полноту и правильность проведения комбинаторных рассуждений, а также на нахождение оптимального /по определенным критериям/ результата,

2/ будет способствовать разбитию таких качеств мышления как вариативность и критичность.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить состояние рассматриваемой проблемы в теории и практике обучения.

2. Выявить направления и показатели развития мышления младших школьников на основе анализа ближайших перспектив этого развития, роли и специфики комбинаторных рассуждений в реализации этих направлений.

3. Определить ведущие идеи методики обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений и требования к отбору содержания.

4. Разработать содержание /систему задач/ и методику обучения комбинаторным рассуждениям младших школьников.

5. Экспериментально проверить эффективность предложенной методики.

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования: анализ психолого-педагогической и методической литературы, программ и учебников по математике для начальной школы; наблюдение за учебной деятельностью учащихся; индивидуальные устные опросы учеников; организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов; обработка и интерпретация полученных экспериментальных данных.

Исследование проводилось в три этапа /с 1990 по 1993 гг./.

На первом этапе /1990 - 1991 гг./ осуществлялся анализ литературы по проблеме исследования. Были выявлены возможности развития мышления учащихся в процессе обучения проведению комбинаторных рассуждений при решении задач. Проведен анализ содержания обучения младших школьников решению задач по действующей программе. Изучалось состояние владения учениками 3-4 классов приемами комбинаторных рассуждений. Были определены основные идеи методики обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений и требования к отбору содержания. Проведен поисковый эксперимент с целью апробации разработанных материалов.

На втором этапе /1991 - 1992 гг./ с учетом выделенных требований к отбору содержания и основных идей методики, а также результатов поискового эксперимента, была разработана система комбинаторных задач и методика обучения учащихся начальных классов проведению комбинаторных рассуждений. Составлены методические рекомендации для учителей и проведен обучающий экспе-

зимент /обучение младших школьников проведению комбинаторных зассуждений без использования средств организации перебора/. Доводились сбор и обработка экспериментальных данных.

На третьем этапе /1992 - 1993 гг./ бил продолжен обучаю-щй эксперимент: младшие школьники обучались проведению комби-!аторных рассуждений с помощью таблиц и градов. Были обобщены ice полученные экспериментальные и теоретические результаты, :дёланы еыводы. • Научная новизна исследования состоит в следующем:

Установлены конкретные направления в развитии мышления [ладных школьников при обучении проведению комбинаторных рассуж-,еНИЙ| связанные с формированием определенных качеств, операций ввдов-.мышления.

2»-Выявлена дидактическая и методическая ценность комбина-орных задач относительно детей младшего школьного возраста.

3. Сформулированы требования и создана система комбинатор-ых задач, являющаяся средством формирования у младших школьни-ов приемов комбинаторных рассуждений.

4. Разработана методика обучения учащихся начальных клас-ов проведению комбинаторных рассуждений, учитывающая психоло-ические особенности детей данного возраста и направленная на азвитие их мыпшения.

Практическая значимость проведенного исследования заключатся в том, что разработаны система задач и методические реко-ендаяии для учителей по обучению младших школьников проведению омбинаторных рассуждений. Разработанные материалы могут быть спользованы при обновлении содержания обучения математике в ладших классах, а также при организации внеклассной работы с чащимися.

Апробация результатов и их внедрение.

Основные положения, результаты исследования докладывались обсуждались на заседаниях и методологических семинарах кафед-j методики преподавания математики РГПУ имени А.И.Герцена L990 -1993 гг./, на заседаниях секции методики преподавания атематики, а также секции методики начального обучения матема-яке на Герценовских чтениях /1990, 1991, 1992 гг./, на лекциях чя учителей в методических кабинетах Фрунзенского, Московского,

Василеостровского и Красногвардейского районов С.-Петербурга /1992 - 1993. гг./.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и практическое обоснование целесообразности и возможности обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач.

2. Требования, предъявляемые к системе комбинаторных задач.

3. Разработанная на основе выдвинутых требований система комбинаторных задач.

4. Методика обучения учащихся начальных классов проведению комбинаторных рассуждений при решении задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии.

' ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется проблема, объект и предмет исследования, высказывается гипотеза, определяются задачи, указываются методы исследования, характеризуются научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе определены и обоснованы конкретные направления развития мышления учащихся младшего школьного возраста в соответствии с современными целями школьного математического образования. На основе этого и с учетом анализа действующих программ и учебников отобрано новое содержание, дополняющее курс начального обучения математике и способствующее развитию учащихся в выбранных направлениях.

В §1 выделены цели, которые ставятся перед школой в области математического образования и Ъпределена роль начального обучения математике в их решении. В современных условиях школьное математическое образование призвано реализовывать следующие цели: во-первых, у учащихся должно быть создано целостное представление о математике как науке .с большой сферой применимости, ученики должны знать и понимать ее основополагающие идеи, математические методы и уметь их использовать для решения разнообразных проблем, во-вторых, нужно развивать у учеников способность мыслить нестандартно, приучать их к правильности и четкости рассуждений, формировать у них познавательные мотивы, стрем-

[ение к самообразованию /Н.М.Бескин, Ь.В.Гнеденко, Н.В.Метель-;кий и др./. Начальное обучение математике - своеобразная сту-[ень целостного математического образования, имеющая огромное 1начение для достижения названных целей. В первые годы обуче-[ия, как мы считаем, главное - это добиться того, чтобы каждый >ебенок смог почувствовать радость познания, чтобы у него по-шилось и не пропадало желание узнавать новое, чтобы он смог [остичь максимального продвижения в своем развитии.

Развитие учащихся может выражаться в расширении их круго-ора. Оканчивая среднюю школу, ученики должны ориентироваться I двух крупных направлениях в математике: математике непрерыв-[ых и математике дискретных величин /А.П.Шихова/. В младших лассах ученики чаде всего имеют дело с множествами, состоящими [3 дискретных элементов. Таким образом, возникает мысль о ес-'ественном введении в курс начальной математики системы комбина-•орных задач с целью расширения представлений учащихся о воз-гажностях математики, о сфере ее применимости. Это одно из на-[равлений в развитии младших школьников в процессе обучения ма-•ематике. Другое из возможных направлений - это развитие у уча-1ихся способности мыслить, правильно и четко рассуждать, поль-оваться разнообразными методами рассуждений. Обучать этому де-•ей можно, в частности, и в процессе проведения комбинаторных >ассуждений при решении задач. В начальной школе важно, чтобы в ;оде рассуждений учащиеся могли опираться на непосредственное [анипулирование с предметами или их заместителями, чтобы рассуж-.ения учеников были подкреплены возникающими у них образами. Эти ■словия могут быть реализованы при проведении комбинаторных рас-;уждений.

В §2 определены направления развития мышления младших шко-ъников при обучении проведению комбинаторных рассуждений на ос-:ове анализа ближайших перспектив этого развития и специфики омбинаторных рассуждений. Обоснованы целесообразность и возмож-ость развития в этих направлениях. •

В процессе комбинаторных рассуждений нужно соединять отде-зные элементы, образуя тем самым новые объекты. Мысль учеников :аправляется на поиск различных вариантов осуществления этого ребования. Составление детьми комбинаторных соединений может

происходить в процессе непосредственного манипулирования предметами или их заместителями, а также с помощью представливания этих манипуляций /деятельности, направленной на создание и оперирование образами/. Так как множество элементов конечное, то может быть поставлена задача найти все имеющиеся варианты, а также выбрать среди них наилучший по определенным критериям. В большинстве случаев для этого необходимо уметь организовать целенаправленный перебор всех возможных вариантов, т.е. сначала разработать стратегию проведения рассуждения.

Проанализированные особенности психического развития и его ближайшие перспективы в младшем школьном возрасте позволили выделить следующие направления развития мышления учащихся при обу чении математике:

1/ развитие вариативности и критичности мышления, 2/ совершенствование умственных операций: анализа, синтеза сравнения, обобщения и абстрагирования,

3/ развитие действенного, образного и словесно-логического компонентов мышления в их взаимосвязи.

Специфика комбинаторных рассуждений обуславливает возможность реализации этих направлений в единстве.

В §3 выполнен анализ содержания обучения решению задач по действующим программам и учебникам для начальной школы. Особое внимание уделяется реализации развивающей функции задач, в част> ности формированию у учащихся способности проводить комбинаторные рассуждения. Показано, что обучение решению задач не оказывает должного влияния на развитие мышления учащихся. Решение за дач учениками довольно часто оказывается делом памяти и привычки, чем мышления /П.П.Блонский/. Это цроисходит не только потому, что у детей младшего школьного возраста более развитой оказывается память, но и вследствие соответствующего подбора задач в учебниках.

В начальном курсе математики большинство составляют задачи имеющие единственное решение /имеется ввиду не решение как процесс осуществления ^требования задачи, а решение как результат/. Отсвда у учащихся складывается неверное представление о том, что задача всегда имеет решение и при том одно, а также не формируется направленность на рассмотрение разных возможных реше-

1ий-отвбтов задачи. Следовательно, дети не учатся ориентироваться в таких, часто встречающихся в жизни, ситуациях, когда 1ужно рассмотреть различные возможности решения проблемы и сде-нать оптимальный выбор в зависимости от целей и внешних обстоятельств.

Использование для решения задач в основном только одного -ари4метического способа приводит к некоторым отрицательным результатам. У учащихся складывается стереотип: чтобы решить задачу, *ужно выбрать и выполнить определенные арифметические действия. I встречаясь с любой задачей, они сразу начинадгг вычислять, не задумываясь, каким другим способов можно резить задачу, какой :пособ удобнее применить в данной ситуация.

В процессе обучения математике по действующим программам и учебникам не создаются также предпосылки для развития у младших икольников способности к проведению комбинаторных рассуждений. 1исло комбинаторных задач незначительно. Большая часть этих за-1ач тесно связана с содержанием начального курса математики, что эграничивает возможность их использования, она появляется только : момента изучения соответствующей темы. Комбинаторные задачи, тредлагаемыв для иладятх школьников в методических пособиях и »урнальных статьях /С.И.Волкова, А.Т.Катасонова, Д.В.Клименчен-В.Н.Русанов, С.И.Сельдюкова и др./, очень часто оказываются /ало привлекательными для детей. Следует отметить также некоторое однообразие этих задач: во-первых, все задачи являются пере-*ислительными, т.е. в них требуется найти общее число возможных вариантов, но комбинаторика рассматривает более широкий круг 1роблем, во-вторых, не представлены обратные комбинаторные задали, в-третьих, в задачах используется только один способ расположения элементов при упорядочении их в объекте /"слева направо"/, хругие способы /"сверху вниз", "по кругу" и т.д./ не рассматриваются, в-четвертых, почти нет задач, в которых на составляемые юмбинаторные соединения накладываются какие-либо ограничения и *ужно из всех возможных вариантов отбирать только те, которые этвечают этим дополнительным условиям.

В §4 рассматриваются особенности комбинаторных' задач и способы их решения, применимые в начальной школе, и, исходя из этого, выявляется дидактическая и методическая ценность этих задач.

Показано, что разработка и включение системы комбинаторных зада в курс математики начальной школы позволяет устранить недостатк в обучении решению задач, названные в предыдущем параграфе. Так появляется возможность расширить знания учащихся о количестве и характере результата в задаче. Младшие школьники будут накапливать опыт решения задач, в которых возможно дать несколько разных ответов. Также ученики смогут получить представление о том, что задача может не иметь решения. Появляется возможность ознакомления младших школьников с новым способом решения задач. На комбинаторных задачах идет обучение способу перебора, который можно в дальнейшем использовать и для решения другого типа задач. Ознакомление со способом перебора позволяет расширить представление младших школьников о процессе нахождения результата в задаче. Ученики убеждаются, что для этого не всегда нужно выполнять какие-либо арифметические действия. Кроме того, конечное и небольшое число элементов в комбинаторных задачах и использование способа перебора дает возможность организовать элементарную исследовательскую деятельность, в процессе которой учащиеся экспериментируют, наблюдают, сопоставляют полученные факты, делают выводы. Особенности комбинаторных задач позволяют внести элементы творчества в деятельность младших школьников. Так как творчество существует везде, где человек воображает, комбинирует, изменяет и создает что-либо новое, какой бы крупицей ни казалось это новое по сравнению с созданиями гениев /Л.С.Выготский/. Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают ученикам лучше ориентироваться в окружающей действительности, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный в данной ситуации выбор. Комбинаторные задачи способствуют также возникновению и поддержанию у младших школьников желания изучать математику. С одной стороны, за счет своей занимательности, яркости, необычности, близости к конкретным жизненным ситуациям.эти задачи вызывают у детей такие положительные эмоции как интерес-волнение, радость, удивление. Все это облегчает для ребенка волевое усилие, необходимое для решения стоящей перед ним задачи, стимулирует его деятельность /3.В.Денисова, А.А.Люблинская, П.М.Якобсон и др./., С другой стороны, появляется возможность предлагать учащимся более

азнообразные задания, связанные с формированием умения выпол-ять вычисления. /Например: "Расставляя знаки "+" и "-" между ислами 9...2...4...1, составь различные примеры и вычисли."/ ем самым вычислительная деятельность становится для учащихся олее привлекательной и интересной.

Во второй главе определены требования к содержанию и основ-ые положения методики обучения младших школьников комбинатор-ым рассуждениям при решении задач. Дана характеристика разрабо-анному содержанию и описана методика работы на отдельных эта-;ах, выделяемых в обучении.

В §1 представлена система комбинаторных задач. К ней предъ-влялись следующие требования:

- задачи должны быть подчинены единой цели: обучению млад-их школьников проведению комбинаторных рассуждений;

- система комбинаторных задач должна строиться с учетом юзрастных психологических особенностей детей, с другой стороны 1на должна быть рассчитана на разных учеников, допускать возмож-юсть проявления, учащимися индивидуальных различий;

- система задач должна позволять организовывать элементар-[ую исследовательскую и творческую деятельность учащихся;

- система задач должна давать возможность рассматривать зазные пути проведения комбинаторных рассуждений и учить детей шбирать наиболее удобный в данной конкретной ситуации;

- необходимо максимально разнообразить задачи за счет варьирования их по различным параметрам;

- последовательность расположения задач должна определяться юстепенным нарастанием сложности их решения;

- система комбинаторных задач должна иметь связь с материа-гом основного курса математики.

Отдельные комбинаторные задачи должны отвечать требованием, предъявляемым к любой задаче: они должны быть понятны, зна-шш и интересны для младших школьников; точно и просто изложены. Специфическим будет требование к сложности задачи: решение комбинаторной задачи должно состоять из доступного для перебора числа всевозможных вариантов.

При характеристике системы комбинаторных задач сначала описываются ее компоненты, а затем указываются взаимоотношения и

взаимосвязи между ними, определяется последовательность их рас положения в системе. В предлагаемой системе мы выделяем три основные группы задач. Основанием для такого разделения является характер получаемых комбинаторных соединений в процессе и результате решения. Таким образом, первая группа - это задачи на а хождение перестановок, вторая группа - задачи на нахождение ра; мещений, третья группа - задачи на нахождение сочетаний. В каждой группе содержатся разнообразные задачи, получаемые благодаря варьированию их по различным параметрам:

- по числу элементов, составляющих комбинаторные объекты;

- по наличию повторяющихся элементов, а также дополнительных условий, накладываемых на образуемые объекты;

- по способам упорядочения элементов в объекте /"сверху вниз", "слева направо", "по кругу" и т.д./;

- по характеру элементов, образующих объекты. Элементы могут быть либо совершенно одинаковыми, либо отличаться по одном; двум или нескольким признакам. С другой стороны, эти элементы могут быть либо реальными предметами, либо знаково-символическ] ми моделями.

Приведем примеры задач из трех основных групп, в которых учтены названные параметры:

1. Задача на нахождение перестановок, с дополнительными у< ловиями, без повторяющихся элементов, элементы являются знаковс символическими, используется способ упорядочения "справа напеве "Как по-разному можно нарисовать в ряд следующие фигуры: малеш кие круг, квадрат, треугольник и большие круг и квадрат, чтобы одинаковые по форме и одинаковые по размеру фигуры не стояли р; дом?"

2. Задача на нахождение размещений с повторениями, без дополнительных условий, при использовании способа упорядочения "в квадрате": "Около окна находится клумба квадратной формы. Ее разделили на 4 равных квадрата и в каждой части хотят посадить по одному кусту роз. В магазине продаются белые и красные куст! роз. Нарисуй все варианты посадки 4 любых купленных кустов роз, чтобы вид клумбы из окна при каждом варианте был другим."

3. Задача на нахождение сочетаний, без дополнительных услс

вий и повторяющихся элементов, элементы являются реальными пре;

»

летами: "Ты собираешься нарисовать картинку. Но у тебя есть только три краски: желтая, красная и синяя. Сколько различных но-зых цветов ты можешь получить, смешивая эти краски по две?"

В предлагаемой системе разнообразие комбинаторных задач называется и в характере, содержащегося в них требования. Мож-ю выделить:

- перечислительные задачи - задачи, в которых требуется 1айти и сосчитать, сколько всего возможно составить различных вариантов,

- задачи, в которых требуется найти наилучший вариант по >пределенным критериям,

- задачи, в которых нужно выяснить, существует ли опреде-шнная комбинаторная конфигурация, отвечающая поставленным усло-)ИЯМ.

Приведем примеры задач, характеризующие указанные виды:

1. Перечислительная задача: "Запиши все трехзначные числа, юторые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, так чтобы число :отен было меньше числа десятков, а число десятков меньше числа ущниц."

2. Задача, в которой нужно осуществить выбор наилучшего, ва->ианта с учетом нескольких критериев: "Дети идут в поход. Из ла-■еря М им нужно дойти в лагерь $2 /рис.1/. Помоги детям выбрать :амый короткий и удобный для похода путь."

3. Задача на выяснение существования требуемой комбинатор-ой конфигурации: "Часть стены прямоугольной формы разделена на летки и имеет в длину 8 клеток, а в ширину 6 клеток. Мастеру

агерь №1 5км 2км

Лагерь №2

- тропинка

- шоссе с интенсивным движением

Рис.1

нужно покрыть ее кафельными плитками, использовав 5 плиток ква ратной формы /размером 2 на 2 клетки/ и 7 плиток прямоугольной формы /размером 1 на 4 клетки/. Можно ли это сделать?".

Комбинаторные задачи различались и по сложности осуществл ния перебора всех возможных вариантов. В одних задачах нужно проводить полный перебор всех возможных комбинаторных конфигур ций. В других задачах использование полного перебора нецелесоо разно и нужно сразу отделить некоторые варианты и их не рассма ривать, т.е. осуществлять сокращенный перебор. А в некоторых з дачах операцию перебора нужно проводить несколько раз и по отн шению к разного рода объектам.

В разработанную нами систему комбинаторных задач входят к прямые, так и обратные комбинаторные задачи. Приведем пример о ратной комбинаторной задачи: "Винтик и Шпунтик смастерили всег 25 автомобильчиков на сиропе для жителей Цветочного города. Бы решено давать этим автомобилям двузначные номера. Сколько дост точно взять различных цифр, чтобы у всех автомобилей были номе ра?".

. Для составления большей части задач использовался жизненн практический материал. Есть задачи со сказочным сюжетом. Часть комбинаторных задач составлена в виде разнообразных игр. Напри мер, игра "Лотерея"; В ней используются красный, синий и желты шары. Они кладутся в коробку. При "розыгрыше лотереи" учитель будет не гладя вынимать по очереди два шара. Ученикам предлага ется заполнить "лотерейные билеты", т.е. зарисовать, какие по цвету два шара и в каком порядке можно вынуть из коробки. При этом следует найти все возможные варианты, которые могут получиться при розыгрыше, чтобы обязательно выиграть. Затем проводится розыгрыш. И тот, у кого зарисован такой вариант, станови ся победителем.

Мы предлагаем следующую последовательность расположения з дач. Комбинаторные задачи располагаются по группам: сначала за дачи на нахождение перестановок, затем - размещений и последни ми включаются задачи на нахождение сочетаний. В каждой группе задачи расположены в порядке усложнения в следующих направлени ях:

- от прямых задач к обратным;

- от задач, требующих выполнения полного перебора к задав которых возможен сокращенный перебор, а затем к задачам, эрых операция перебора осуществляется несколько раз и по ению к разного рода объектам;

- от отсутствия в задаче дополнительных условий к их нали-

- от задач, где элементы в комбинаторных соединениях отли-я по нескольким признакам, к задачам, где они отличаются по у признаку, а затем к задачам, в которых элементы совершен-инаковые.

Таким образом, последовательность расположения определялась нением задач по всем указанным направлениям. Причем в одних ях переход от одной задачи к другой мог сопровождаться ус-нием одновременно по нескольким параметрам, а в других слу-усложнение по одному параметру иногда вызывало необходимость иного упрощения задачи по другим параметрам. В §2 сначала определяются общие положения предлагаемой мето-затем они конкретизируются, показывается специфика работы ждом этапе, выделяемом в обучении. Методика обучения млад-кольников проведению комбинаторных рассуждений строится с м психологических особенностей детей данного возраста и на-ена на развитие их мышления. Умение проводить комбинаторные ждения формируется в процессе решения комбинаторных задач, бы действия не даются учащимся "в готовом виде", а дети са-иходят к их "открытию", накапливая собственный опыт решения етных задач. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач личных возможностей осуществления их решения /разный ход ждений, средства организации перебора, способы обозначения тов/ позволяет не формировать у учащихся ненужных стереоти-обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соот-вии со своими индивидуальными особенностями. В обучении со-ется этапность. Основное направление работы - это переход хся от осуществления случайного перебора вариантов к прове— | систематического перебора сначала без использования средств рганизации, а затем с их помощью.

Кратко охарактеризуем этапы, которые выделяются нами в обу-: младших школьников проведению комбинаторных рассуждений

при решении задач. Первый этап - подготовительный. На этом эт учащиеся приобретают опыт образования объектов из отдельных э, ментов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя пока ха тичный перебор, и от них не требуется найти все возможные вар анты в данной задаче. Например: "Составь из трех одинаковых п размеру кубиков красного, желтого и синего цвета несколько от, чающихся друг от друга построек." На подготовительном этапе и. также работа над совершенствованием мыслительных операций /ан, лиза, синтеза, сравнения/, которые входят в состав деятельное при решении комбинаторных задач.

На втором и третьем этапах школьники учатся находить все возможные варианты в комбинаторных задачах, организуя перебор определенной системе. Но на втором этапе решаются задачи с не( лышм числом возможных вариантов. А на третьем - более сложны« задачи и для их решения используются такие средства организащ перебора как таблицы и графы. Работа с графическими средствам! была отнесена на третий этап, так как, во-первых, при решении задач с небольшим числом возможных вариантов не возникает неос ходимость в их использовании, во-вторых, "язык" графов и табл! не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется сш циальное ознакомление с ним. На втором и третьем этапах велас! работа над развитием вариативности и критичности мышления учащихся; совершенствованием операций: анализа, синтеза, сравнен* обобщения и абстрагирования; развитием действенного, образного словесно-логического компонентов мышления.

Покажем на конкретных примерах, какие задачи и как они ре шаются младшими школьниками на втором и третьем этапах обученн проведению комбинаторных рассуждений. Задача, предлагаемая на втором этапе: "На каждом флажке должны быть три горизонтальные полоски: красного, синего и белого цвета. Нарисуй все флажки, торые можно получить, если менять порядок расположения цветов. Сначала ученики решают для себя, каким образом они будут изобр жать флажки. И если в начале обучения дети используют конкретн наглядные заместители реальных предметов, то в дальнейшем, пос пенно отвлекаясь от все большего числа несущественных для реше задачи признаков предмета, переходят к применению условных обо начений /рис. 2а-г/.

з

К 1

б 2 с 3

Рис.2а Рис.2^ Рис.2в Рис.2Г

В рассматриваемой задаче систематический перебор можно осудить по-разному, и каждый ученик сам выбирает, как он будет ¡твовать. Например, возможны следующие рассуждения при сос-[ении флажков: "Верхняя полоска может быть красной или синей, белой. Если верхняя полоска красная, то либо средняя полос-1влая, тогда нижняя - синяя, либо средняя - синяя, тогда ни-[ - белая. Если верхняя полоска синяя ... и т.д.". В резуль-I ученик получает 6 флажков:

к к с с а б

с б к б к с

б с б к с к

Можно было использовать и прием, заключающийся в первона->ном сужении объема рассматриваемых элементов и составлении »уемых в задаче комбинаторных соединений на основе найден-вариантов для меньшего числа элементов. Тогда рассуждения гт такими: "Если взять две полоски: красного и синего цвета, юлучим 2 флажка. Возьмем первый флажок, белую полоску можно юложить над двумя имеющимися полосками, либо между ними, ли-юд ними. Возьмем второй флажок ... и т.д.".

На третьем этапе младшие школьники при проведении комбина-1ых рассуждений могут использовать таблицы и графы. Напри, предлагается следующая задача: "Поезд, который идет из го-I Ах в город Ух, делает по пути три остановки в городах Ох, Эх. Сколько различных по стоимости железнодорожных билетов юбуется, если пассажиры могут переезжать из любого города в >й другой?". Решение этой задачи возможно и с помощью табли-'рис.З/, и с помощью графа /рис.4/. Для того чтобы облегчить щмся вычерчивание таблицы мы предлагаем использовать специ-ше трафареты, которые позволяют размечать таблицу. Через >шечки" на трафарете вписываются в верхнюю строчку и в пер-столбик данные задачи, через прорези намечаются места запи-

си составляемых объектов.

А ■0 И э У

А — А-0 А-И А-Э А-У

0 - - 0-И 0-Э 0-У

И - - - И-Э И-У

э - - - - Э-У

У - - - — -

Рис.3 Рис.4

На третьем этапе решались комбинаторные задачи и с использованием граф-дерева. Например, задача: "Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа. Сколько среди них чисел, меньших 700?". Граф изображен на рисунке 5.

О 5 Рис.5

Главным общим полезным свойством графов и таблиц является то, что они могут служить для детей опорой при проведении комбинаторных рассуждений. Они позволяют расчленить ход рассуждений, четко провести перебор, не упустить при этом каких-либо имеющихся возможностей. Однако в некоторых случаях решение комбинаторных задач с применением графов и таблиц не является целе сообразным. На третьем этапе ученикам предлагаются разные задачи. Это и задачи, в которых возникает необходимость в использовании средств организации перебора, так как без них трудно найти все возможные варианты. Это и задачи, в которых применять эти средства нерационально. А также задачи, занимающие среднее положение, которые можно решать по-разному. В этом случае ученики действуют по своему желанию, сами выбирают, будут ли чертить таблицы и графы или нет.

В третьей главе представлены результаты констатирующего, поискового и обучающего экспериментов. В ходе констатирующего эксперимента были проведены письменные самостоятельные работы

в девяти выпускных классах начальной школы. Они показали, что младшие школьники не владеют умением проводить комбинаторные рассуждения. Это сказывается в том, что в большинстве случаев они не могут полно и правильно решить комбинаторные задачи, организовав для этого перебор в определенной системе, хотя соответствующие задачи в учебниках есть. А также было выявлено, что в процессе обучения математике по действующим программам и учебникам у младших школьников не формируется направленность на поиск различных вариантов решения задач, т.е. вариативность мышления. В процессе поискового эксперимента была апробирована разработанная методика и внесены необходимые коррективы. Обучающий эксперимент проводился в течение 1991/92 и 1992/93 уч. гг. в восьми 1-2 классах школ М 24, 470, 121, 137 С.-Петербурга. Контрольные классы /КК/ были в школах №№ 24, 470, 146, 534. Сравнение результатов выполнения работ в КК и ЭК позволило убедиться в необходимости и возможности обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений на основе разработанной системы задач. В КК, несмотря на то что в них не проводилось специальное обучение, часть учащихся полно и правильно решала комбинаторные задачи, и наблюдалось некоторое улучшение результатов в последующих работах. Однако, в ЭК показатели полноты и правильности решения комбинаторных задач во всех работах оказывались более, чем в 2 раза выше, чем в КК. Причем в ЭК постоянно уменьшался процент полно и правильно решенных задач, в которых перебор проводится хаотично /18$, 10$, 7$/, в КК он остается приблизительно одинаковым /10$, 16$, 15%/.

Выяснилось также, что экспериментальное обучение способствовало развитию вариативности мышления младших школьников. Учащимся были даны задачи, в которых предполагалось несколько ответов, но указаний на нахождение разных вариантов ответов не давалось. Процент учеников, которые во всех задачах привели только один вариант, в КК - 67$, а в ЭК - только 4$. В ЭК больше учащихся, которые дали несколько вариантов в двух, трех, четырех задачах. И если в КК не было работ, в которых во всех пяти задачах приведено несколько ответов, то в ЭК такие работы появились.

Работа, проверяющая влияние экспериментального обучения на

нахождение учащимися оптимального результата в зависимости от определенных.критериев, из-за специфичности предлагаемых задач проводилась только в ЭК. Результаты оказались высокими: задачи, в которых был найден оптимальный результат в зависимости от указанных критериев, составляют 915? от общего числа задач, при этом 70% учащихся во всех задачах нашли наилучший вариант. Полученные данные говорят о положительном влиянии экспериментального обучения на нахождение учащимися оптимального результата. Характер выполняемых при решении этих задач действий свидетельствует о наличии такого качества мышления как критичность. Следовательно, приведенные выше данные говорят и о том, что экспериментальное обучение способствовало развитию критичности мышления младших школьников.

Таким образом, в ходе эксперимента была подтверждена достоверность выдвинутой гипотезы исследования.

, Результаты проведенного исследования позволяют сделать следующие выводы:

Проблема конкретной реализации приоритетной в настоящее время цели развития младших школьников в процессе обучения математике является актуальной.

Один из возможных путей решения этой проблемы - разработка содержания, формирующего у учащихся начальной школы способность к проведению комбинаторных- рассуждений.

Комбинаторные рассуждения являются естественной основой для развития вариативности и критичности мышления; совершенствования операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и абстрагирования; развития образного, словесно-логического и действенного компонентов мышления в их взаимосвязи.

Средством обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений может быть специальным образом составленная система комбинаторных задач.

Экспериментальная проверка разработанной на основе этой системы задач методики показала доступность и эффективность обучения младших школьников комбинаторным рассуждениям.

По теме диссертации имеются следующие публикации:

1. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики/ Начальная школа.-1992.-Л1.-С.20-22.

*

2. Школьный практикум: Методические рекомендации по методике преподавания математики для студентов факультета начальных классов/ Составители: Е.Е.Белокурова, Г.В.Бельтюкова, O.A.Ивашова.-С.-Петербург: Образование, 1992.-16с.

3. Элементы комбинаторики как средство развития мышления младших школьников// Современные проблемы подготовки учителя к обучению и воспитанию младших школьников: Тезисы докладов научно-практической конференции.-Волгоград: Перемена, 1992.-С.172-173.

4. Обучение младших школьников решению коубинаторных задач /1 класс/ : Методические рекомендации.-С.-Петербург: Образование, 1993.-48с.