Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы

Егорченко, Игорь Викторович

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы

Автореферат

Автор научной работы: Егорченко, Игорь Викторович
Ученая степень: доктора педагогических наук
Место защиты: Саранск
Год защиты: 2003
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы"

На правах рукописи

ЕГОРЧЕНКО Игорь Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АБСТРАКЦИИ И МЕТОДИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

I / (/

Саранск 2003

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института имени М.Е. Евсевьева

Научный консультант: член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор Саранцев Геннадий Иванович

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Гусев Валерий Александрович;

доктор педагогических наук,

профессор Дорофеев Сергей Нниколаевич;

доктор педагогических наук, профессор Назиев Асланбек Хамидович

Ведущая организация: Вологодский государственный педагогический университет

Защита состоится 10 сентября 2003 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени М.Е. Евсевьева по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, д. 11а, ауд. 320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТШ имени М.Е. Евсевьева. Автореферат разослан " 9 "обгусГдЮОЪ г.

Ученый секретарь ,

диссертационного совета _ Л.С. Капкаева

ОО^-А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

в алгебре (арифметике, началах анализа): количественные отношения реального мира —> числа —► термы —► алгебра действительных (комплексных) чисел, математический анализ элементарных функций —► математические структуры как абстрактные дедуктивные системы вне их возможных конкретных интерпретаций;

в геометрии: пространственные формы реального мира —> геометрические фигуры —» геометрические понятия —> евклидова геометрия —► математические структуры (Сх. 1).

В процессе формирования и развития у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности и, соответственно, в процессе овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня реализуются следующие цели в) (и решаются адекватные задачи):

1. ( 81): На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществить: 1) переход от непосредственного оперирования множествами предметов (число неотделимо от множества конкретных объектов, которое оно характеризует) к действиям над их обобщенными символами - числами, т.е. отделить числа от конкретных объектов; 2) выполнение анализа воспринимаемых геометрических форм, посредством которого понятия начинают выступать как носители своих свойств и распо-знаютря по этим свойствам. Таким образом реализуется цель — решить дидактическую задачу формирования первичных математических абстракций -числа и фигуры.

2. ( Бг): На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществить: 1) переход от конкретных чисел к буквенным выражениям и «локальное» логическое упорядочение свойств числовых множеств и операций над ними; 2) логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Геометрические фигуры при этом выступают в логической взаимосвязи, устанавливаемой посредством определений, но значение дедуктивной системы в целом ещё не постигается; осуществляется лишь «локальное» понимание её значения в рамках нескольких тем, при этом часть свойств находится экспериментально, часть выводится дедуктивно, оптимизируя и сокращая нахождение их опытным путем. Данный этап характеризуется формированием математических абстракций второго уровня - предметных констант и переменных {термов), геометрических понятий.

3. ( вз): На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий осуществить построение школьных курсов геометрии, алгебры и начал анализа, которые связаны с эмпирическими знаниями человека об окружающем мире и таким образом осуществить конкрета^^Д^^йЩ^^^^перпретации

БИБЛИОТЕКА С.Петербург г-*!/ ОЭ 1003 шхСЗ 7

абстрактных дедуктивных систем: 1) постижение значения дедукции «в целом» как способа построения и развития всей математической теории; выявление сущности аксиом, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и т.д.; 2) осуществить «содержательную» аксиоматизацию геометрической теории - аксиоматизацию теории в определенной конкретной интерпретации (геометрия Евклида); 3) выявить возможности дедуктивного построения алгебры в заданной конкретной интерпретации (например, алгебры действительных чисел). Таким образом, на данном этапе осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях окружающего мира (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел), и овладение учащимися адекватной этому этапу совокупностью знаний и способов деятельности.

4. (84): На основе осуществления перехода от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (например, абстрактные алгебры, кольца, поля и т.п.) и обратно от абстрактной теории к другим её возможным интерпретациям реализовать: 1) раскрытие сущности геометрических теорий, построенных как абстрактные дедуктивные системы; 2) выявление абстрактной сущности алгебры как математической структуры; 3) конструирование различных возможных интерпретаций абстрактных математических структур и теорий и соотнесение, контроль и коррекцию результатов интерпретаций с практикой. Следовательно, на данном этапе осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории, т.е. осуществляется формирование математических абстракций третьего уровня - развитие дедуктивных теорий и формирование абстрактных математических структур, и от нее к другим ее возможным интерпретациям и, соответственно, овладение учащимися адекватной этому этапу совокупностью знаний, навыков и умений.

В процессе овладения математическими абстракциями различного уровня учащиеся оперируют:

A. Объектами, отношениями и ситуациями реальной действительности и соответствующими им, математически формализуемыми предметными моделями, которые используются в школьных курсах физики, астрономии, информатики и т.д., математическими моделями явлений, методом математического моделирования.

Б. Содержательной и методологической связью школьного курса математики с практикой, в том числе производством, техникой и т.д. Эти связи составляют основные законы развития природы и общества, принципы и особенности современного производства и техники (направления и компоненты политехнической направленности математического образования), профессиональная ориентация учащихся в процессе обучения математике, прикладная направленность обучения математике, связи математики с учебными предметами средней школы.

B. Элементами историзма в обучении математике (исторические аспекты развития математического знания, биографии ученых-математиков и ученых, просветителей, общественных деятелей, чья деятельность связана с процессом возникновения, формирования и развития математического познания, историче-

ские задачи и проблемы математики, взаимосвязь идей философии и математики).

Совокупность указанных объектов (А.-В.) назовем методической реальностью (МР).

Существенными признаками МР выступают следующие характеристики: 1) применимость к данному школьному курсу математики; 2) применимость к данной теме школьного курса математики; 3) принадлежность к той совокупности (см. выше компоненты А. - В. ), реализацию которых в процессе обучения математике наиболее целесообразно осуществить в данной (определенной) методической форме.

В процессе математического познания происходит овладение учащимися все более высокими уровнями математических абстракций, уровнями реализации моделирования, уровнями осуществления взаимосвязи учебно-познавательной деятельности с практикой (Сх. 1). Овладение процессом абстрагирования и, в целом, содержанием современного математического образования требует системного, комплексного изучения рассматриваемых явлений, когда целенаправленно и систематически учитывают в процессе обучения и предметную структуру математического знания, и структуру деятельности, и структуру личности, и логику формирования личности. Одним из ярких примеров в методике математики, иллюстрирующих сказанное выше, является попытка внедрения теоретико-множественного подхода в школьный процесс обучения математике. Идея оказалась неудавшейся, так как предложенный высокий уровень математических абстракций оказался недоступен подавляющему числу школьников. Для усвоения учащимися абстракций такого уровня нужно реализовать в школьном учебном процессе целый ряд необходимых промежуточных этапов и осуществить овладение системой соответствующих знаний, навыков и умений.

Анализ методической и психолого-педагогической литературы показывает, что до настоящего времени были разработаны лишь отдельные аспекты проблемы формирования у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности в школьном учебном процессе. Это прикладная и практическая направленность обучения математике, историзм, политехнизм, использование межпредметных связей математики и др. Составляющие указанной выше проблемы рассматриваются изолированно, трактуются достаточно произвольно. Это приводит к большому числу рекомендаций, некоторые из которых противоречат друг другу, например, требования, предъявляемые к трактовкам прикладных или практических задач. Односторонние подходы не позволяют выделить всю совокупность теоретических положений, составляющих научную основу теории и методики формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. Заметим при этом, что имеет место неполнота отражения существующими понятийными средствами всех взаимосвязей математики и реальности в процессе обучения, которые целесообразны для использования в школьном учебном процессе. Например, имеется свыше 15 типов нестандартных задач, используемых в процессе реализации методической реальностью математических абстракций, для которых не существует даже термина, необходимого для ссылки на такие задачные ситуации.

Различные аспекты проблемы реализации методической реальностью мате-

матических абстракций в процессе обучения (историзм, прикладная и практическая направленность обучения математике) привлекали и привлекают внимание исследователей и являются приоритетными проблемами теории и методики обучения математике.

Так, в работах П.Я. Гальперина, Е.М. Кабановой-Меллер, H.A. Менчинской, Ю.А. Самарина, Н.Ф. Талызиной и др. обоснована необходимость осуществления прикладной направленности, а также проанализированы психологические механизмы ее реализации.

Сформулированы общие принципы, обеспечивающие прикладную направленность школьного курса математики, и разработаны пути ее реализации в процессе обучения школьников (Ю.М. Колягин, В.М. Монахов, H.A. Терешин, В.В. Фтфсов и др.), в том числе по отдельным разделам планиметрии, тригонометрии, арифметики, дифференциального и интегрального исчисления, понятию вектора, понятию функции и т.д. (И.К. Андронов, С.С. Варданян, Т.В. Малкова и многие др.).

Исследованы вопросы осуществления политехнической направленности математического образования, а также реализации в учебном процессе межпредметных связей математики и физики, химии, астрономии, биологии и т.д. (P.A. Архонтова, Т.А.Ильина, М.Н. Скаткин и многие др.).

Рассмотрена проблема формирования умений, необходимых при осуществлении процессов формализации, интерпретации и, в целом, метода математического моделирования (М.В. Крутихина, В.М. Монахов, Г.М. Морозов, В.А. Сту-калов, H.A. Терешин и др.).

Накоплен позитивный опыт формирования приемов учебной деятельности в процессе работы учащихся над сюжетной задачей (В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, JI.M. Фридман и др.).

Исследованы приемы деятельности, использование которых необходимо при решении различных видов нестандартных (творческих, проблемных и т.п.) задач (А.К. Артемов, В.А. Гусев, С.Н. Дорофеев, A.B. Ефремов, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, П.М. Эрдниев и др.).

ций и реальной действительности в процессе обучения. 5. Анализ образовательного потенциала использования методической реальности в обучении математике (в частности: а) формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования МР в обучении математике; б) роль и место МР в школьном процессе обучения математике при формировании научного мировоззрения учащихся; в) реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования МР в обучении математике; г) разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике).

В теории и методике обучения математике до настоящего времени не было целостной теоретической концепции, созданной на основе комплексного (учитывающего предметную структуру математического знания, структуру деятельности, структуру личности, логику формирования личности) исследования гносеологических, психолого-педагогических и предметно-методических особенностей и аспектов процессов познания и обучения, в рамках которых адекватно отражался бы объём всей совокупности задачных ситуаций и материалов, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, и осуществлялась методика работы с ними. В то же время требования практики школьного процесса обучения прямо выдвигают задачу коренного улучшения результатов решения проблемы овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня и формирования у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Необходимо разрешить противоречие между назревшей потребностью в научно обоснованной теории и методике реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения и овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня и наличием односторонних, разобщенных подходов, не позволяющих получить удовлетворительное решение данной проблемы. Поэтому проблема исследования данной работы и заключается в построении целостной концепции, на основе которой осуществляется разрешение указанного выше противоречия.

Таким образом, актуальность темы исследования вытекает из необходимости разрешения противоречия между назревшей потребностью в научно обоснованной теории и методике формирования у учащихся представлений о сущности математических абстракций и о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и, соответственно, теории и методики реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике и их фактическим состоянием.

Проблема исследования данной работы заключается в построении концепции формирования и развития у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности, посредством которой и осуществляется разрешение указанного противоречия.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе, а его предметом — цели, содержание, методы, формы, средства реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике.

Цель исследования: разработка концепции формирования и развития у уча-

щихся представлений о сущности математических абстракций, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и условий ее функционирования в школьном учебном процессе.

Поиск путей разрешения проблемы исследования основывается на следующей исходной гипотезе:

гипотеза исследования: формирование у школьников представлений о природе математики и взаимосвязях математики и реальной действительности, овладение учащимися математическими абстракциями различного уровня и реализация методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике учащихся средней школы могут быть эффективными, если в их основе лежат следующие положения:

Методологическую основу реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике составляют:

- теория системного подхода;

- концепция учебной деятельности, ориентированная на овладение школьниками в учебном процессе способами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию;

- комплексный подход, целенаправленно и систематически учитывающий в процессе обучения и предметную структуру математического знания, и структуру деятельности, и структуру личности, и логику формирования личности.

Качество знаний и умений школьников в процессе обучения математике повысится, а также развитие у учащихся правильных представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений и процессов реального мира осуществляется более эффективно, если: а) разработать теоретические основы реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике; б) разработать методику формирования основных мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности; в) выявить наиболее эффективные методические средства и формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике; г) разработать на этой основе методику и систему дидактических материалов, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальности и внедрить их в практику школьного учебного процесса.

Концепция включает в себя следующие основные положения:

1. Решение проблемы формирования и развития у школьников представлений о природе математике и характере отражения ею явлений реальной действительности осуществляется на основе реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике.

2. Данный процесс включает следующие этапы:

1) На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществляется формирование первичных математических абстракций - числа и фигуры. Это выполняется путем непосредственного оперирования реальными объектами: использования моделей геометрических фигур и тел, построения и измерения чертежей, схем, рисунков, использования приспособлений для счета; решения задач, раскрывающих взаимосвязи и отношения важнейших

физических и пространственных величин; использования в процессе обучения математике экскурсов, раскрывающих исторические аспекты развития математического познания.

2) На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществляется формирование математических абстракций второго уровня - предметных констант и переменных (термов), геометрических понятий. Это реализуется посредством: решения стандартных прикладных задач; использования задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными; реализации межпредметных связей математики с учебными предметами средней школы; использования лабораторных и практических работ.

3) На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии, как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел). Это осуществляется посредством решения нестандартных прикладных задач, реализации в процессе обучения содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой путем использования прикладной направленности обучения математике, использования элементов профессиональной ориентации учащихся, реализации связей математики с современным производством и техникой, использования элементов историзма.

4) Осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (формирование математических абстракций третьего уровня - абстрактных математических структур и дедуктивных теорий, отвлеченных от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними) и обратно — переход от абстрактной теории к другим ее возможным интерпретациям. Это реализуется посредством решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами, а также осуществления моделирования на уровне теоретического осмысления предмета математики; изучения основных законов развития природы и общества, связанных с системой общественных и производственных отношений, принципами и особенностями современного производства и техники; осуществления анализа взаимосвязей идей философии и математики.

3. Реализация методической реальностью математических абстракций в школьном обучении математике осуществляется на основе специальной методики формирования основных мыслительных и учебных умений, которые необходимы для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности, а также посредством системы дидактических материалов в виде комплекса серий-плакатов.

Целью, предметом и гипотезой исследования соответственно была обусловлена необходимость решения следующих задач:

1. Теоретически переосмыслить и обобщить частные результаты методических исследований по проблеме формирования и развития у учащихся представлений о сущности математических абстракций, об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. Выполнить анализ существующих понятийных средств, на основе которых осуществляется содержательное формирование МР.

2. Уточнить и определить совокупность методических средств, реализация которых необходима для формирования у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Раскрыть их содержание и установить взаимосвязи с фенбменами практической и прикладной направленности, историзмом и др.

3. Выявить образовательный потенциал использования методической реальности в обучении математике учащихся средней школы: установить ее роль и место в формировании научного мировоззрения школьников, реализации гуманитарного потенциала школьного курса математики, формировании математического мышления и развитии творческих способностей школьников в процессе обучения математике и т.д.

4. Сформулировать теоретическую концепцию реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и разработать теоретические и методологические основы, на фундаменте которых осуществляются основные положения данной концепции и соответствующее методическое обеспечение ее функционирования в учебном процессе средней школы. Выявить совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для оперирования МР в различных ситуациях, и разработать методическое обеспечение реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения: а) выявить наиболее целесообразные и эффективные методические формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике учащихся средней школы; б) выделить основные мыслительные и учебные умения, необходимые для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности (в т.ч. задач, не являющихся прикладными), которые и составляют "фундамент" специальной методики, положенной в основу методического обеспечения МР.

К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся:

- деятельностный подход (А.Н. Леонтьев, П.А. Гальперин, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, В.П. Зинченко, А.К. Артемов, В.А. Гусев. О.Б. Епишева, Ю.М. Ко-лягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, В.Д. Шадриков и др.);

-системный подход, основы которого заложены в трудах В.П. Кузьмина, В.Н. Садовского, А.И. Уемова, П.К. Анохина, Э.Г. Юдина и др., а возможности реализации в методических исследованиях продемонстрированы в работах Ю.М. Колягина, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, В.А. Тестова и др.;

- методологические основы математики, в которых раскрывается природа математического познания, его движущие силы и источники развития (Ж. Адамар, Г. Вейль, Д. Гильберт, М. Клайн, Ф. Клейн, И. Лакатос, Д. Пойа,

A. Пуанкаре, Г. Фройденталь, П.Х. ван Хиле, А.Д. Александров, Л.Д. Кудрявцев,

B.А. Молодший, Г.И. Рузавин и др.);

- методологические положения, определяющие развитие системы современного математического образования в русле концепций гуманизации и гуманитаризации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (В.А. Гусев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и др.); усиления мировоззренческой направленности математических курсов (Б.В. Гнеденко, A.JI. Жохов, Д. Икрамов, H.A. Терешин, Ю.Ф. Фоминых, А.Я. Хинчин и др.); индивидуализации и дифференциации обучения математике (Т.Д. Глейзер, В.А. Гусев, И.М. Смирнова, P.A. Утеева и др.).

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования; системный анализ и моделирование МР на различных этапах обучения и фазах протекания поисковых процессов; наблюдения за педагогической деятельностью преподавателей и учебно-познавательной деятельностью учащихся и анализ организации процесса обучения математике в реальной школьной практике; обобщения собственного опыта работы автора в школе, педагогическом институте и институте усовершенствования учителей; сравнительный анализ школьных учебников и учебных пособий; проведение педагогического эксперимента и обработка полученных результатов методами статистики, используемыми в педагогических исследованиях.

Работа над диссертацией включала следующие основные этапы исследования: I этап (1990-1993 гг.) включал в себя установление исходных фактов и осознание замысла исследования, проведение констатирующего этапа педагогического эксперимента. Было выявлено состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения математике. Результатом этого изучения явилось выделение предпосылок для разработки теоретических и выявления общеметодологических основ решения исследуемой проблемы.

П этап (1993-2001 гг.) содержал изучение количественных и качественных характеристик предмета исследования. На этом этапе было проведено теоретическое исследование, выявлены психолого-педагогические и теоретико-методологические основы решения проблемы формирования и развития у школьников представлений о природе математических абстракций и взаимосвязях математики и реальной действительности. Осуществлялось создание теоретической модели МР, разрабатывались психолого-педагогические и методические условия эффективного функционирования МР в школьной практике, выполнялась подготовка пособий и материалов в русле исследуемой проблемы, осуществлялись их внедрение и апробация в практике учебной деятельности средней школы. Был проведен поисковый эксперимент и проанализированы его результаты.

III этап (2001—2003 гг.). На этом этапе осуществлялся анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов, выполнялась работа по уточнению и коррекции теоретических и методических аспектов и условий решения проблемы исследования, осуществлялась формулировка окончательных выводов, оформление диссертации и подготовка к публикации монографии.

Апробация и внедрение результатов исследования выполнялись в ходе целенаправленной и систематической работы с учителями школ на научно-методических семинарах и курсах повышения квалификации работников образования на базе республиканского института образования (1994-2003), в процессе обучения математике учащихся средних общеобразовательных школ (1990-2003), при

работе со студентами педагогического института в рамках спецкурса и на занятиях по методике преподавания математики (1996-2003).

Внедрению разработанных дидактических материалов и методических рекомендаций предшествовало их апробирование автором в ходе непосредственной педагогической деятельности (с 1985 г.) в школьном учебном процессе, а также их многократное использование институтом образования в качестве рекомендуемых к распространению материалов из опыта педагогической работы.

Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на международных и всероссийских научно-практических конференциях: "Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе" (Саранск, 1998), "Провинция: процесс международной интеграции в XXI веке" (Киров, 2001), "Интеграция региональных систем образования" (Саранск, 2001 и 2003), "Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики" (Нижний Новгород, 2002), "Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика" (Саранск, 2002), "Теория и методика непрерывного профессионального образования" (Тольятти, 2003), на XXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики" (Санкт-Петербург, 2002), а также в процессе выступлений среди участников круглого стола журнала «Педагогика» "Учитель для национального региона: каким ему быть" (Саранск, 2002), на региональной научно-практической конференции "Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении" (Арзамас, 2002), на ежегодных итоговых научных конференциях преподавателей и сотрудников МГПИ им. М.Е.Евсевьева (1996-2002 гг.) и МГУ им. Н.П. Огарева (2000-2002 гг.), на научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики в Мордовском государственном педагогическом институте (1996-2003). Полученные в ходе исследования методические разработки неоднократно были представлены на курсах повышения квалификации работников образования (Саранск, МРИО, 1994-2003).

Внедрение научных результатов осуществлялось также в процессе публикации монографий, учебных программ и методических рекомендаций, статей общим объемом более 50 учетно-издательских листов.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем впервые создана концепция формирования и развития у учащихся представлений о природе математических абстракций, об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и, соответственно, реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике учащихся средней школы.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем

1. Разработаны теоретические основы формирования и развития у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Сформулирована теоретическая концепция реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и разработано методическое обеспечение ее функционирования в школьном учебном процессе.

2. На основе разработанной концепции обобщены результаты методических исследований по соответствующей проблематике. Установлена неадекватность

отражения существующими понятийными средствами всего множества заданных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. В соответствии с этим уточнена и определена совокупность методических средств, необходимых для формирования у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею явлений реальной действительности, раскрыты содержание и объем понятия МР, адекватно отражающего указанную совокупность. Установлены взаимосвязи категории МР с феноменами практической и прикладной направленности, историзмом и др. и выявлена тенденция амплификации (расширения) в процессе генезиса данных понятий. Выделена совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальной действительности в процессе обучения (в том числе и задач, не являющихся прикладными).

3. Выявлен образовательный потенциал использования методической реальности в обучении математике учащихся средней школы: установлены ее роль и место в формировании научного мировоззрения школьников, реализации гуманитарного потенциала школьного курса математики, формировании математического мышления и развитии творческих способностей школьников в процессе обучения математике и т.д.

Практическая значимость исследования заключается в разработке методического обеспечения разработанной концепции формирования и развития у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. На основе анализа и экспериментальной апробации различных методических форм реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике выявлена та методическая форма, которая наиболее оптимально сочетает наибольшее число позитивных сторон при минимуме недостатков. Исходя из этого, создана система задач и материалов, посредством которых осуществляется реализация методической реальностью математических абстракций в процессе обучения, состоящая из серий специальных плакатов (количественно свыше 200 экземпляров), связанных с конкретными темами курса школьной математики. Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся школьного возраста, разработана и практически реализована методика формирования мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности, включающая в себя описание конкретных форм работы и примеры их реализации на соответствующих упражнениях. Дано обоснование эффективности (подтвержденной педагогическим экспериментом) использования данной методики в школьной учебной деятельности.

Обоснованность и достоверность полученных выводов обеспечивается согласованностью методологических и теоретических положений, составляющих концепцию исследования, их адекватностью целям, предмету и задачам исследования и соответствием концепциям базисных наук, а также опорой на результаты педагогического эксперимента и итоги их количественной и качественной обработки методами статистики, используемыми в педагогических исследованиях.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Современными концепциями процесса обучения, учебного познания, психологическими закономерностями усвоения знаний, практикой обучения математике обусловлена необходимость комплексного исследования гносеологических, психолого-педагогических и предметно-методических особенностей и аспектов процессов познания и обучения, в рамках которых осуществляется формирование у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математике и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности.

2. Процесс формирования и развития у школьников представлений о математике как форме описания и методе познания реальной действительности характеризуется уровнями реализации моделирования, уровнями осуществления взаимосвязи учебно-познавательной деятельности с практикой, овладением учащимися математическими абстракциями все более высокого уровня.

В процессе овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня осуществляется: 1) учебно-познавательная чувственно-предметная деятельность, направленная на овладение элементарными отношениями в системе основных отношений, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, и выполняется пропедевтика моделирования; 2) оптимизация чувственно-предметной эмпирической деятельности посредством дедуктивного вывода и овладение моделированием, которое необходимо для решения стандартных прикладных задач (модели которых очевидны или фактически заданы); 3) использование практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий и овладение моделированием, которое необходимо для решения нестандартных прикладных задач-проблем (модели которых неизвестны); 4) осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории и обратно от абстрактной теории к другим её возможным интерпретациям; соответственно при этом необходимо овладение моделированием на уровне теоретического осмысления предмета математики.

3. Понятие методическая реальность адекватно раскрывает совокупность задачных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования у школьников представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений реальной действительности.

Объем понятия МР составляют компоненты А — В. (С. 4). Существенными признаками МР выступает ряд характеристик (С. 5).

4. Моделирование МР (объектами «в^Мк», где в;, Р], Мц - уровни сформированное™ её компонентов) и соответствующий анализ стратегии возможных направлений реализации методической реальностью математических абстракций (трансформации этих объектов от простых к более сложным в рамках лидирующего направления, обусловленного изменением содержательного компонента МР) в обучении математике позволяют выделить из данных путей наиболее целесообразные и разработать соответствующее методическое обеспечение.

5. Методическую основу концепции реализации методической реальностью математических абстракций составляют принципы системности, целостности, иерархичности, структурности, открытости, деятельности, непрерывности, наглядности, гуманизации и гуманитаризации.

Реализация методической реальностью математических абстракций основана на специальной методике, осуществляющей формирование основных мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, а также посредством системы дидактических материалов в виде комплекса серий-плакатов.

Практическая реализация результатов исследования, осуществляемая посредством указанных выше средств, более эффективно по сравнению с традиционной методикой содействует формированию учебных умений школьников и повышению качества их знаний, способствует формированию у учащихся правильных представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений и процессов реальной действительности, вследствие чего имеет общеобразовательную значимость.

Структура исследования. Диссертация состоит из введения, содержание которого изложено выше, четырех глав, заключения, библиографии, приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования, определены проблема и цель научного поиска, раскрыты предмет, гипотеза, теоретическая и практическая значимость исследования, выделены этапы и методы исследования, сформулированы выносимые на защиту положения.

В первой главе диссертации излагаются методологические основы разработанной концепции. Исследуются объект и предмет современной математики, гносеологические основы и психолого-педагогические аспекты формирования у учащихся представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой объектов и процессов реальной действительности. Выявляются уровни абстракций, моделирования, а также принципы реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике. Раскрываются объем, содержание, структура методической реальности, а также место понятия МР в системе знаний. Выявляются функции МР и осуществляется анализ процесса реализации методической реальностью математических

ЭТАПЫ ПРОЦЕССА ПОЗНАНИЯ

I п ! ш

Чувственное восприятие > %

Абстрактное мышление

Практика

М [

(мотивация)

(восприятие) (осмысление)

0> и

(интериоризация)

подготовка осознание,

к восприятие с=£> осмысление сф закрепление,сф конт-

восприятию информации

роль

Использование МР на этом этапе НЕОБХОДИМО или весьма желательно

Использование

МР на этом этапе целесообразно

Использование МР на этом этапе НЕОБХОДИМО или весьма желательно

Рис. 1

абстракций в обучении математике.

Специфика математики как учебного предмета заключается в том, что в нем доминируют абстрактные понятия - осуществляется постепенное и последовательное повышение уровней абстрагирования в процессе познания и "продвижения" от объекта к предмету современной математики. Роль абстракции в том, что она дает возможность глубже проникнуть в сущность природы процессов и явлений объективной действительности: мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит от истины, а подходит к ней — абстракции материи, законы природы, абстракции стоимости и т.д. отражают природу глубже, вернее, полнее. Это сопрягается и с известной «формулой» развития познания человека: чувственное восприятие -> абстрактное мышление —» практика. Более современная «формула» может быть представлена следующим образом (Д. Брунер, А.К. Маркова, И.П. Подласый, В.Д. Шадриков, Н.М. Зверева): М В -> О И (мотивация -» восприятие —> осмысление -» интериоризация). См. рис. 1.

Термин абстракция понимается нами в следующем значении: это метод научного исследования, основанный на том, что при изучении некоторого явления, процесса не учитываются его несущественные стороны и признаки; это продукт познания (понятие, описание, закон, модель, идеальный объект и т.п.); это познавательная деятельность, направленная на получение этого продукта.

В естественно-математических науках роль абстракций особенно значима. В результате абстрагирования некоторого математического объекта происходит выделение новых признаков и, соответственно, происходит образование новых математических понятий. Так, абстрагируясь от различных материальных прообразов плоскости, постепенно и последовательно осуществляется переход к идеально "гладкой" поверхности - понятию геометрической плоскости. В процессе идеализации новообразуемые понятия обладают не только теми свойствами, которые получаются изоморфным "отражением" от реальных исходных объектов, но и новыми, такой является, например, бесконечность геометрической плоскости. Переход от реальной действительности к числовым моделям является первым уровнем (ступенью) абстракции. Переход от материальных и материализованных объектов к геометрическим фигурам тоже характеризует первый уровень (ступень) абстракции. Буквы в математике вводятся как обобщенные знаки чисел и числовых выражений. Поэтому алгебраические формулы и аналитические модели характеризуют второй уровень абстракции (Сх. 1). Дальнейшая абстракция алгебры характеризуется выделением алгебраических структур - группы, кольца, поля. А в геометрии дальнейшая абстракция характеризуется переходом от метрического пространства к топологическому.

Формирование и развитие у учащихся представлений о природе математики и о характере отражения ею явлений реального мира - программное требование к обучению математике. Доминирующее средство реализации этой цели - прикладная направленность обучения математике. Целью и основным средством ее реализации являются прикладные задачи. Но эти задачи не являются единственным и исчерпывающим видом задач, которые раскрывают связи математических абстракций с реальностью и успешно используются в школьном учебном процессе.

Приведем примеры.

1)10 класс, тема: теорема о трех перпендикулярах. Вопрос ученикам (после

(нулевой)

^^ШШЧЕСТВЕНЛЬГ^

ОТНОШЕНИЯ

РЕАЛЬНОГО МИРА ^

АЛГЕБРА (АРИФМЕТИКА) Число неотделимо от множества конкретных объектов, которое оно характеризует. Операции проводятся непосредственно над множествами предметов

ГЕОМЕТРИЯ

Геометрические фигуры рассматриваются как целые, различаются только лишь по своей форме

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ

ФОРМЫ

РЕАЛЬНОГО МИРА

(I)

ЧУВСТВЕННО-ПРЕДМЕТНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ НА ОСНОВЕ НАБЛЮДЕНИЙ И ВЫПОЛНЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

На данном этапе осуществляется моделирование фактически «нулевого» уровня (Мо) - непосредственное оперирование реальными предметами (счетные палочки и т.п.).

Процесс построения первичных математических абстракций (число, фигура) напрямую опирается на наблюдения и экспериментальную деятельность учащихся непосредственно с материальными объектами окружающей объективной действительности. На основе наблюдений и выполнения эмпирических экспериментов осуществляется анализ и описание геометрических форм различных тел и фигур и выявление их тривиальных свойств; индуктивно устанавливаются свойства арифметических операций и, соответственно, осуществляется деятельность, направленная на формирование таких математических абстракций как фигуры и числа.

Таким образом, построение первичных математических абстракций (число, фигура) и выявление их простейших свойств осуществляется на основе чувственно-предметной деятельности учащихся

ЧИСЛА

АЛГЕБРА (АРИФМЕТИКА)

Числа ГЧ, Z, <2 отделены от конкретных объектов, которые они характеризуют. Свойства операций устанавливаются индуктивно на экспериментальной основе

ГЕОМЕТРИЯ

Осуществляется анализ воспринимаемых форм. Понятия выступают как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам. Свойства фигур логически ещё не упорядочены и выявляются экспериментальным путем. Геометрические фигуры не упорядочены, сами они описываются, но не определяются. Этот уровень ещё не включает структуру логического следования

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

„ ФИГУРЫ ^

1 ЫЙ УРОВЕНЬ МАТЕМАТЯ-ТИЧЕСКОГО АБСТРАГИРОВАНИЯ

ЧИСЛА

АЛГЕБРА (АРИФМЕТИКА)

Числа N. Z, (2 отделены от конкретных объектов, которые они характеризуют. Свойства операций устанавливаются индуктивно на экспериментальной основе

ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

. ФИГУРЫ „

1 ИИ УРОВЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АБСТРАГИРОВАНИЯ

)

(п)

ФОРМИРОВАНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕДУКЦИИ КАК СРЕДСТВА ОПТИМИЗАЦИИ ЭМПИРИЧЕСКОГО ЧУВСТВЕННО-ПРЕДМЕТНОГО ПУТИ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПОЗНАНИЯ

На этом этапе оперирование материальными предметами «переходит» на новую качественную ступень -дедуктивный вывод на основе логического следования и анализ получающихся при этом взаимосвязей. В данном случае наряду с оперированием реальными предметами и первичными математическими абстракциями (число, фигура) используются элементы логического вывода следствий из посылок и анализа получающихся при этом взаимосвязей, что позволяет получить намеченный результат более коротким путем по сравнению с опытным (эмпирическим - на основе непосредственного оперирования предметами) способом. Вначале экспериментально устанавливаются некоторые свойства, которые, например, могут быть положены в основу определения, остальные свойства выводятся дедуктивно (в случае, когда логический вывод более оптимален по сравнению с опытным путем). Так, например, экспериментально устанавливаются некоторые свойства чисел, которые затем полагаются в основу алгебраизации числовых множеств и «локального» логического упорядочения свойств чисел и операций над ними

КАК ПРЕДМЕТНЫЕ КОНСТАНТШ__/

И ПЕРЕМЕН НЫЕ^— '

АЛГЕБРА

Осуществляется переход от конкретных чисел к буквенным выражениям. Осуществляется «локальное» логическое упорядочение свойств числовых множеств и операций над ними

ГЕОМЕТРИЯ

Осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Одно-два свойства принимаются за определение, другие устанавливаются дедуктивным путем. Геометрические фигуры выступают в логической взаимосвязи, устанавливаемой посредством определений. Но значение дедуктивной системы в целом ещё не постигается. Осуществляется лишь «локальное» понимание её значения в рамках нескольких тем. Таким образом, часть свойств находится экспериментально, часть - выводится дедуктивно, оптимизируя и сокращая нахождение их опытным путем

ОМЕТРИЧЕСКШГ^—\

ПОНЯТ!

2 М УРОВЕНЬ "МАТЕМАТИЧЕСКОГО АБСТРАГИРОВАНИЯ

ТЕРМЫ,

КАК ПРЕДМЕТНЫЕ КОНСТАНТЬ^ И ПЕРЕМЕННЫЕ

АЛГЕБРА

ГЕОМЕТРИЯ

Осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Одно-два свойства принимаются за определение, другие устанавливаются дедуктивным путем. Геометрические фигуры выступают в логической взаимосвязи, устанавливаемой посредством определений. Но значение дедуктивной системы в целом еще не постигается. Осуществляется лишь «локальное» понимание её значения в рамках нескольких тем. Таким образом, часть свойств находится экспериментально, часть - выводится дедуктивно, оптимизируя и сокращая нахождение их опытным путем

г -у-ГЕОМЕТРИЧЕСКИ:

понят

БСКИЁ ч

2 08 УРОВЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АБСТРАГИРОВАНИЯ

(Ш)

двутукшвное построение математических теории^ практические интерпретации которых используются как критерии

ИСТИННОСТИ И СРЩСЩ) ПРАКТИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРтоШдт ДАННЫХ ТЕОРИИ Осуществляется содержательная аксиоматизация и шмлтоение алгебры и геометрии, как дедуктивных систем, согласующихся ^эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия,

алгебра действительных чисел) На данном этапе осуществляется содержательная аксиоматизация математических теорий и построение дедуктивных систем, адекватных определенной конкретной интерпретации (геометрия Евклида, алгебра действительных чисел).

Таким образом, примерами являются аксиоматизация и дедуктивное построение геометрии, как дедуктивной системы (согласующейся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах окружающего мира), которая адекватно отражает свойства объективной действительности (геометрия Евклида). Аналогично -и анализ элементарных функций, и алгебра действительных чисел, когда постигается возможность дедуктивного построения, например, алгебры, операции в которой имеют обычный смысл, а термы обозначают объекты исчисления, которые можно соотнести с «привычными, наглядными» представлениями об окружающем мире, и соответственно, осуществить содержательные интерпретации, связанные с объектами, процессами и явлениями реальной действительности.

Таким образом, на данном этапе осуществляется построение дедуктивных математических систем, с последующим обращением к практике как к критерию истинности и средству практического использования приложении данных теорий.

АЛГЕБРА ДЩКТВШЕЛЬНЬК (КОМПЛЕКСНЫХ) ЧИСЕЛ, МАЗЕМА1ИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ^эдшшгАтьк ФУнтум^^

АЛГЕБРА, НАЧАЛА АНАЛИЗА

Выявляются возможности дедуктивного построения алгебры в заданной конкретной интерпретации (например, алгебры действительных чисел). Буквы, обозначающие объекты исчисления, применяются в качестве имен и переменных для чисел некоторого заданного множества - натуральных, целых, рациональных или вещественных, а операции имеют «обычный» смысл

ГЕОМЕТРИЯ

Постигается значение дедукции «в целом» как способа построения и развития всей геометрической теории. Выявляется сущность аксиом, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и т.д. Геометрические фигуры выступают в определенной логической взаимосвязи, устанавливаемой посредством определений.

Осуществляется «содержательная» аксиоматизация геометрической теории - аксиоматизация теории в определенной конкретной интерпретации (геометрия Евклида)

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

КОНКРЕТНЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АБСТРАКТНЫХ ДЕДУКТИВНЫХ СИСТЕМ

АЛГЕБРА ДРКЛБИЖПЬНЫХ (КСМПЛЕЮСНЬК) ЧИСЕЛ, МАТЕИАХИЧВОШЙ АНАЛГО

ЛЩМЕШ'АИИЬК Ф:

АЛГЕБРА, НАЧАЛА АНАЛИЗА

ГЕОМЕТРИЯ

зс

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

КОНКРЕТНЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АБСТРАКТНЫХ ДЕДУКТИВНЫХ СИСТЕМ

(IV)

построение абстрактных дедуктивньк систем (отвлеченных сптюнкретнои приро/1ы объектов „и конкретного смысла отношении между ними).

осуществляется ПЕРЕХОД ОТ геометрии евклида и алгебры дтгйствительных чисел жабстрактнои1еории И ^ОБРАТНО* ОТ абстрактной теории К ДРУГИМ ЕЁ ВОЗМОЖНЫМ конкретным интерпретациям На этом этапе постигается возможность существования абстрактных дедуктивных теорий, отвлеченных от конкретной природы объектов и от конкретного смысла отношений между ними. В этом случае критерием истинности данной математической теории выступает внутренняя непротиворечивость, - практика как критерий истинности имеет лишь опосредованное значение (например, целый ряд положений неевклидовых геометрий вступают в "противоречие" со многими "привычными" представлениями). При этом также выполняется конструирование различных интерпретаций полученной абстрактной теории (неевклидовы геометрии приобретают физический смысл в приложениях к космологическим исследованиям в теории относительности Эйнштейна, а абстрактная теория групп находит одно из своих практических приложений в кристаллографии). Таким образом, на данном этапе осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (т.е. осуществляется формирование абстрактных математических структур, отвлеченных от конкретной природы объектов и смысла отношений между ними и развитие дедуктивных теорий вне всякой конфетной интерпретации) и "обратно" от абстрактной теории к другим её возможным конкретным интерпретациям

небра как абстрактная дедуктивная система вне всякой интерпретации, отвлеченная от конкретной природы объектов исчисления и конкретного смысла операций.

Например: абстрактные алгебры, кольца, поля и т.п., отличающиеся формальными свойствами операций

АБСТРАКТНЫЕ ДЕДУКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ ВНЕ ИХ ВОЗМОЖНЫХ КОНКРЕТНЫХ ИНТЕРПРЕТАЦИЙ

Геометрическая теория, построенная как абстрактная дедуктивная система! отвлеченная от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними, т.е. развивающая теорию вне всякой её конкретной интерпретации.

Например: геометрия как группа специальных преобразований на определенном множестве: геометрия Лобачевского, геометрия Римана, гиперболическая геометрия "и т.д.

3 Ш УРОВЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АБСТРАГИРОВАНИЯ

Схема 2

'количественные

чага

I. Осуществляется чувственно-предметная деятельность на основе наблюдений и выполнения эмпирических экспериментов.

Это реализуется путем:

- непосредственного оперирования реальными объектами: использования моделей геометрических фигур и тел, построения и измерения чертежей, схем, рисунков, использования приспособлений для счета, дидактических игр (мозаик, «раскрасок»), геоплана;

- решения задач, раскрывающих взаимосвязи и отношения важнейших физических и пространственных величин: массы, времени, скорости, площади, в процессе решения которых осуществляется овладение наиболее важными основными отношениями в системе отношений между данными и искомыми ("путь, скорость, время", "цена, количество,

II. Осуществляется формирование компонентов дедукции как средства оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания.

Реализуется посредством:

- решения стандартных прикладных задач (модели которых очевидны или фактически заданы);

- включения в процесс учебно-познавательной деятельности исторических лшки-исследований, которые содержат элементы про-блемности в своей постановке, требуют развития и применения исследовательских умений и навыков при их решении (например о сопоставлении античных и современных способов измерения площадей четырехугольников);

- использования задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами (задач, направленных на выявление взаимосвязей между данными объектами, процессами или явле-

III. Выполняется дедуктивное построение математических теорий, практические интерпретации которых используются как критерий истинности и средство практической реализации приложений данных теорий. Осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел).

Осуществляется посредством:

- решения нестандартных прикладных задач (модели которых неизвестны) и, соответственно, раскрытия математической природы характеристик многих реальных явлений и демонстрации универсального характера математики на конкретных примерах;

- реализации в процессе обучения содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой, в т.ч.: а) использования

а т1 Т Р е у м к а т т у и р

IV. Осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории и обратно от абстрактной теории к другим её возможным конкретным интерпретациям. Реализуется посредством: - решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами, а также осуществления "моделирования" на уровне теоретического осмысления предмета математики. Так, например, в процессе выявления интерпретаций, для абстрактных математических' теорий осуществляется поиск аналогичных математических конструкций и конкретных объектов, отношений, ситуаций, а затем выполняется соответствующая интерпретация моделей: их преобразования по аналогии; отыскание границ применимости полученных моделей; принятие решения на основе принципов построения и применения моделей; выполняют-'

j стоимость", "работа, произ-j водительность, время"; а f также соответствующими "производными" отношениями, например о =S/t ; t = S/v и т.п.

Решая эти задачи, учащиеся опираются на эмпириче-1 ски накопленные ими представления о величинах, с которыми они оперируют в процессе решения);

- использования в процессе обучения математике экскурсов, иллюстрированных докладов, сообщений и т.д., раскрывающих исторические аспекты развития математического познания (аспекты возникновения чисел и способов счета, этимология математических понятий и т.д.).

На этом этапе происходит овладение умениями распознавать геометрические фигуры, измерять длины отрезков и ломаных, а затем вычислять периметр, площадь и объем. Осуществляется овладение учащимися пропедевтическими умениями моделирования, необходимого для решения стандартных прикладных задач. Выполняется «аксиоматизация» и языковое оформление ситуации опыта, использование | эмпирических обще и част-j нонаучных методов.

II.

ниями, проведение и использование аналогий и т.п. - см. задачу 3 на С. );

- реализации межпредмегных связей математики с учебными предметами средней общеобразовательной школы: физикой, географией, биологией и др.;

- использования лабораторных и практических работ.

На этом этапе происходит накопление опыта аксиоматизации тривиальных дедуктивных конструкций. Осуществляется овладение важными умениями: абстрагированием, синтезом и анализом, аналогией, обобщением, конкретизацией, умением выполнять дедуктивные выводы. Выполняется построение простейших математических моделей; понятийное, языковое оформление задачной ситуации и знаково-символи-ческое оформление результата ее решения; выдвижение гипотез и проверка их применением.

Выполняется формализация объектов, отношений и ситуаций реальной действительности, а также предметных моделей, которые используются в школьных курсах физики, черчения, истории и т.д. Происходит построение математических моделей, их исследование, конструирование и анализ их приложений.

Осуществляется овладение учащимися пропедевтическими умениями моделирования, необходимого для решения нестандартных прикладных задач.

III.

прикладной направленности обучения математике; б) использования элементов профессиональной ориентации учащихся; в) реализации связей математики с современным производством и техникой (направлений политехнической направленности математического образования); г) использования элементов историзма.

На этом этапе происходит понимание учащимися сущности процесса построения и обоснования дедуктивных математических теорий: роли и значения аксиом, вывода следствий и доказательства, математического конструирования и преобразования объектов, сопоставления полученного результата с гипотезой и соответствующими контролем и коррекцией данного результата. Также осуществляется овладение указанными выше теориями, логическими операциями, законами и правилами вывода, логико-языковыми конструкциями и символизацией, математическими понятиями и их отношениями.

В учебной деятельности осуществляется систематическое использование исследовательского метода обучения и проблемное изложение знаний в процессе преподавания математики. Например, включение в процесс учебно-познавательной деятельности индивидуальных и групповых заданий творческого характера, раскрывающие исторические аспекты развития математического познания (процесс решения которых требует проявления и развития умений и навыков, присущих творческой деятельности).

IV.

ся прогнозы на основе точных' данных о моделях и границах их \ применимости, а также знаний о, границах применимости матема-' тических теорий. Таким является, j например, творческое задание, на-; целивающее учащихся на выявле-! ние роли и места проблемы дока-; зательства пятого постулата Евк-: лида в процессе построения со-, временной картины мироздания I и выявление "цепочки": доказа-1 тельство пятого постулата Евкли-' да; создание неевклидовых reo-! метрий; математическое обосно- j вание теории относительности;

- изучения основных законов; развития природы и общества, j связанных с системой обществен- \ ных и производственных отноше-1 ний, принципами и особенностями 1 современного производства и тех-1 ники, и раскрытия значения ма- j тематики в научно-техническом j прогрессе общества; !

- осуществления анализа взаи-1 мосвязей идей философии и мате- i матики в процессе их историче-| ского развития (например, понятие ] бесконечности в античном мире и. парадоксы Зенона). :

На этом этапе необходима сис-! тематическая реализация исследо-; вательского метода обучения на . высоком уровне познавательной j самостоятельности, когда учащи- j мися осуществляется самостоя- j тельная реализация этапов: на-' блюдение, эксперимент, выдви- 1 жение гипотез, построение плана i исследования, его выполнение. ',

изложения формулировки теоремы): "Где в жизни, технике, например, в автомобиле, явно "просматриваются" свойства теоремы о трех перпендикулярах?" (К ответу: любой рычаг, любая вращающаяся деталь. Если наклонная и ее проекция на плоскость перестают лежать в одной плоскости, перпендикулярной их общей оси, то происходит явление, известное в технике, как "люфт" - "болтанка" шестеренки, рычага, колеса и т.п.).

2) Задания в процессе дидактических игр: Как вы думаете, как римские числа можно было показать руками издали? Задание: покажите руками числа I, V, X, VII, IV. Или вопрос: как вы думаете, как связаны между собой слова: театр и теорема? Галька и микрокалькулятор? Цирк и циркуль?

3) 6-9 классы, тема: графики. На плакате приводятся графики зависимости следующих явлений: периоды активности солнца; времена наступлений засух на Земном шаре и массовых миграций грызунов; статистика автомобильных катастроф; статистика численности сердечно-сосудистых заболеваний. (Эти графики имеют поразительно сходный характер.)

Задание: проведите аналогию и установите (попытайтесь установить) причинно-следственные отношения между этими процессами и явлениями.

(К ответу: см. в журнале "Земля и вселенная", № 4,1981 г, С. 28).

Такие задачные ситуации интересны учащимся соответствующего школьного возраста, они позволяют мотивировать введение новых понятий через их практический характер, раскрывать математическую природу характеристик реальных явлений, демонстрировать универсальный характер математики на конкретных примерах и, соответственно, обладают образовательной ценностью и позволяют реализовать в учебном процессе образовательный потенциал МР.

Приведенные выше задачи не являются прикладными. Здесь не используется метод математического моделирования или его использования явно недостаточно для получения ответов этих задачных ситуаций - метод их решения является не только математическим или даже нематематическим. Такие задачи решаются с помощью аналогии, синтеза, обобщения понятий, установления взаимосвязей.

Существует совокупность задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, которые успешно и плодотворно используются в учебном процессе, обладают значительным образовательным потенциалом, но которые не являются прикладными или практическими задачами. К числу примеров таких задач также относятся некоторые дидактические игры, методы нахождения ответа в которых чисто математическими не являются, или задачи, не имеющие решения или неразрешимые в рамках школьной программы: легенда об удвоении Делосского жертвенного куба, объяснение природы иллюзий, используемых в процессе обучения геометрии и т.д. Возможно сообщение учащимся и постановка подобных известных проблем, имеющих трудное решение или не имеющих его вовсе, но цель постановки этих задач не в решении, а в реализации образовательного и воспитательного потенциала данных задачных ситуаций. Также существуют материалы, представляющие образовательную, педагогическую, культурную ценность, которые вообще не являются задачами (биографии, справки и экскурсы из истории, рассказы о применениях математики и т.д.). Данные материалы и служат конструкционным материалом для прикладных задач, используемых в обучении математике.

Таким образом, существуют целые классы задачных ситуаций (см. С. 34), об-

ладающих значительным образовательным потенциалом, которые не реализуются в рамках самого широкого из имеющихся понятий, отражающих совокупность материалов и задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения. Аналогичный вывод вытекает также и из посвященных соответствующей тематике работ Ю.М. Колягина, В.В. Пикан, которые не сводят средства реализации прикладной и практической направленности к решению прикладных задач, а рассматривают их значительно шире.

Таким образом, на примере анализа наиболее широкого из понятий, раскрывающих взаимосвязи математики и реальной действительности (прикладной направленности обучения математике), выявляется недостаточность имеющихся понятийных средств для полного содержательного раскрытия всей совокупности задач и методических средств, используемых в практике школьного процесса обучения. Такой же вывод еще более убедительно вытекает при рассмотрении остальных, относительно еще более узких понятий аналогичного характера (политехнизм, осуществление межпредметных связей, использование историзма и т.д.).

Исследование теоретических основ реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике в средней школе позволяет сделать следующие выводы:

1. Понятие прикладной задачи, взятое вне процесса обучения (научные, производственные проблемы), перенесено и на понятие прикладной задачи в процесс обучения. Осуществлен перенос понятия из области знания, далекой от педагогики, в образовательную сферу. Процедура такого переноса заключается в том, что на определение прикладных задач в самой широкой трактовке (как задач, поставленных вне математики, но решаемых математическими методами) налагаются некоторые ограничения (например, решение ее обязано иметь современную и существенную практическую значимость или же искомые и данные величины должны быть реальными, то есть такими, которые и используются непосредственно в практической деятельности). Так получаются различные варианты узких трактовок прикладных и практических задач. Как следствие этого возникает проблема многочисленности трактовок данных задач, которая является отражением следующих причин: а) различные подходы в требованиях к прикладным и практическим задачам, соответственно, привели к разным способам наложения ограничений на самую широкую трактовку их определения; б) неадекватность (недостаточность) понятия прикладной задачи как средства реализации всей совокупности заданных ситуаций и материалов, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальности, целесообразных для использования в школьном процессе обучения.

2. Образовательная сфера имеет свои существенные особенности, требования и приоритеты, принципиально отличные от требований и особенностей вне процесса обучения (например, в научной или производственной сферах). В результате переноса понятия прикладных задач из области, далекой от педагогики, в образовательную сферу в современной методической литературе реализация всего многообразия задачных ситуаций, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальности и целесообразных для применения в школьном учебном процессе, как правило, оказывается "сконцентрированной" лишь на некоторых подмножествах прикладных задач. При формировании у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею явлений и

процессов реального мира посредством реализации прикладной (или практической) направленности опускается и остается без должного внимания значительная часть образовательно ценного материала, а встречающиеся в методической литературе понятия (прикладная или практическая направленность и др.) не раскрывают всей совокупности методических средств, с помощью которых осуществляется реализация методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения.

Необходимо заметить, что использование объектов, процессов, отношений и ситуаций реальной действительности в школьном процессе обучения математике целесообразно, если их использование в процессе реализации методической реальностью математических абстракций способствует:

1. Развитию мотивационно-потребностного компонента личности школьника: а) мотивирует введение новых математических знаний, опираясь на их практическую значимость; б) раскрывает математическую природу характеристик реальных явлений и роль математики и её методов в познании человеком окружающего мира; в) демонстрирует универсальный характер математики на конкретных примерах и раскрывает значение математики в развитии научно-технического прогресса современного общества.

2. Развитию операционно-деятельностного компонента личности школьника: а) осуществляет формирование и развитие у школьников важных мыслительных и учебных умений (например, конструирование и исследование моделей, необходимых в процессе разрешения задачных ситуаций, встречающихся в практической деятельности, развитие специфических умений и самостоятельности учащихся в процессе поиска, систематизации и анализа различных источников информации и т.д.); б) служит средством конкретизации отвлеченных математических понятий и, соответственно, способствует более глубокому и качественному усвоению математических понятий и свойств, и в целом знаний, навыков и умений школьников в процессе обучения математике; в) позволяет осуществить в учебном процессе реализацию принципа наглядности и прямую и обратную связь теории с практикой.

3. Развитию эмоционально-волевого компонента личности школьника и возникновению позитивного эмоционального отношения учащихся к обучению математике: а) содействует реализации в учебном процессе гуманитарно-эстетического потенциала математики; б) способствует развитию познавательного интереса учащихся к предмету математики; в) создаёт условия для реализации воспитательного потенциала школьного курса математики.

Во второй главе разработаны теоретические основы реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике: выявляются и анализируются аспекты, история, тенденции, современная парадигма использования МР в учебном процессе; раскрывается содержание понятия методическая реальность, строятся различные классификации МР и выделяются из них наиболее важные в обучении, устанавливается связь понятия МР с феноменами практической и прикладной направленности, политехнизмом и др., осуществляется системный анализ МР, конструируется теоретическая модель МР и выявляются наиболее целесообразные направления реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике.

МР по отношению к различным сторонам учебного процесса выступает как

(рис. 2): I. Средство реализации целей обучения. II. Средство целенаправленного формирования и развития знаний, навыков, умений. III. Способ организации, управления и стимулирования учебной деятельности. IV. Способ реализации методов, форм и средств обучения. V. Способ применения знаний, навыков, умений (связи теории с практикой) и средство проверки, оценки и коррекции знаний, навыков, умений. VI. Средство реализации индивидуальных черт, способностей, интересов учащихся. VII. Средство формирования и развития мотивационно-потребностного, операционно-содержательного и эмоционально-волевого компонентов личности.

В процессе обучения математике реализуются следующие функции МР: образовательная, воспитательная, эвристическая, прикладная, развивающая, эстетическая, информационно-интегрирующая, гуманистическая, наглядно-иллюстративная, профессионально-ориентационная.

Цели, а также методы, формы и средства реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике характеризуются следующим образом.

Общеобразовательные цели: овладение системой математических знаний, умений, навыков, которые дают представление о природе математических абстракций и, в целом, математического знания; предмете математики и его развитии; математике как методе познания реальной действительности, гносеологическом процессе познания в математике и научных методах познания реальности, о роли и месте математики в системе наук и универсальности математических методов; возникновении, логике и периодах развития математического знания; о взаимосвязи математики и философских идей в процессе исторического развития.

Воспитательные цели: формирование научной картины мира и научного гуманистического мировоззрения учащихся; воспитание нравственных черт личности; формирование и развитие математического стиля мышления, приобщение учащихся к творческой деятельности; воспитание устойчивого интереса к изучению математики, развитие познавательной самостоятельности и активности; реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики (использование воспитательных аспектов истории математики, эстетическое воспитание школьников и т.д.).

Практические цели: формирование умений конструировать математические модели реальных явлений, исследовать явления по данным моделям, конструировать приложения моделей, а также ознакомление учащихся с ролью математики в научно-техническом прогрессе общества, современном производстве и, соответственно, взаимосвязями математического знания с практикой человека.

/личность ¡[как абстра; а людей

цели

обучения

СОДЕРЖАНИЕ обучения

МЕТОДИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ (МР)

,\ЧЧЧЧ Чч >\NN\V. s\V- чучу \\ЧЧЧ\ ЧЧ\\\\ V. \4\\4\\\V,V

'\4\W\ ч

.■A44V4^444^,444\44\V w ■л v\wiyvw 4\\v№ %aj^wwv л чфччЧЧЧЧуКчЧЧЧЧ» 4*Jprf^444\4444S\4444\444^ V V

N4\\^<4W\\V^«^\\\\v\\W\4\\\WW44\4W V-- Vs \ЧЧЧ^*^70ллЧЧЧЧЧ\ЧЧ \N \ W> * v» vw л -o-4 w \\\v • чЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ' Ч1» W ЧЧЧ \ ч\Ч Ч\ч'

WVsWWWWWWWW

¿Л^УЛЧ\УЛ\\\УЛ\Ч\У

ЧЧЧ v\V

Л WWW^WASWS

ЛЧЧЧЧЧЧЧ ^NfcW ч ЛЧЧЧЧЧЧЧЧЧ •• ЧЧЧ' \v4 ЛЧЧЧ^МЧЧЧЧЧ» чЧЧЧ'ЧЧЧЧЧ

лч\\ччччч<\ь\.\чч\* чч^ ч л-

ЧЧ-.ЧЧЧЧЧ

и»

\\\Ч\\У/

МЕТОДЫ, организационные ФОРМЫ, СРЕДСТВА обучения

РЕЗУЛЬТАТЫ>

обучения

Рис.2

Имеются как традиционные средства реализации методической реальностью математических абстракций в школьном обучении математике: оборудование для лабораторных и практических работ, экранные, в т.ч. и мультимедийные средства, приборы и модели, анаглифы, компьютерные средства и технологии, так и специфические: специальные доска и стенд, комплексы серий плакатов и др. Практика школьной учебной деятельности показывает, что большое значение в процессе реализации методической реальностью математических абстракций занимают такие средства обучения, как: специальные учебно-методические пособия; приборы и модели; оборудование для лабораторных и практических работ; специальная доска и стенд; комплексы серий плакатов.

Реализация методической реальностью математических абстракций протекает в определенных организационных формах обучения математике. Это лабораторные и практические работы, индивидуальные и групповые творческие задания, учебные экскурсии и т.д. Это и специфические формы обучения: специальный урок ("урок открытых сообщений и задач" и т.п.); использование в процессе урочной или внеурочной учебной деятельности специальных досок и стендов задач, серий специальных листков-плакатов; а также такая комплексная форма, включающая и перечисленные выше виды, как, например "Научное общество учащихся" (НОУ) и др. Наиболее оптимально сочетает наибольшее число позитивных сторон при минимуме недостатков методическая форма реализации методической реальностью математических абстракций, которая состоит из комплекса специальных серий плакатов, а также соответствующей методики их использования в процессе урочной или внеурочной учебной деятельности.

В третьей главе раскрывается образовательный потенциал реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике: реализация гуманитарного потенциала математического образования посредством использования МР; роль и место МР при формировании научного мировоззрения учащихся в школьном учебном процессе; формирование математического мышления школьников и развитие их творческих способностей посредством реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике; разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством использования МР в обучении математике учащихся средней школы.

Проиллюстрируем роль и место МР в процессе решения проблемы реализации гуманитарного потенциала математического образования в школьном обучении математике. Полное и исчерпывающее разрешение данной проблемы ещё весьма далеко от своего завершения. До сих пор не установилась доминирующая точка зрения в понимании самого фенбмена гуманитаризации математического образования. Имеется в наличии целый ряд различных подходов и трактовок этого явления. Однако, опираясь на совокупность существующих ныне исследований (Г.И. Саранцев, Т.А. Иванова, А.Х. Назиев, Г.В. Дорофеев, Т.Н. Ми-ракова и др.), можно выделить гуманитарный потенциал в содержании общего математического образования, который включает в себя (курсив наш): 1) предмет и метод математики, её ведущие идеи и понятия, связь с другими науками и практикой (математическое моделирование), математический язык; 2) процесс познания в математике, а также математику как метод познания природы и общества; 3) специфику творческой математической деятельности; 4) методы научно-

го познания (как общие эвристические и логические, так и частные, специфические); 5) культуру мышления, включающую и стиль научного мышления; а также нравственное и эстетическое воспитание и формирование научной картины мира, научного гуманистического мировоззрения; 6) историю математики, как часть общечеловеческой культуры.

Не требуется подробной аргументации для того, чтобы заметить тот факт, что всё выделенное курсивом в перечисленных выше компонентах составляет содержание МР, реализуемое в процессе обучения математике. Более детальный анализ показывает, что и четвертый компонент также удовлетворяет этому условию, то есть пять из шести основных компонентов гуманитарного потенциала математического образования реализуются посредством использования МР в процессе обучения математике учащихся средней школы.

Аналогично и далее, анализируя проблему реализации образовательного потенциала методической реальности в школьном процессе обучении математике, со всей необходимостью получаем следующие выводы: использование МР в обучении математике является необходимым фактором формирования фактически всех основных компонентов математического мышления школьников (конкретного, абстрактного, интуитивного, функционального мышления); формирование и развитие значительной части компонентов совокупности умений, присущих творческой деятельности учащихся в школьном учебном процессе, эффективно реализуется посредством использования МР в обучении математике; реализация более половины основных направлений формирования научного мировоззрения учащихся осуществляется посредством использования МР; использование МР является необходимым фактором разрешения значительной части противоречий процесса обучения математике учащихся средней школы.

Итак, в процессе формирования у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня (в практике школьной учебной деятельности) необходимо реализовать дидактические цели 8,-, ¡=1,4 (С. 3-4).

При этом необходимо осуществить реализацию в обучении математике взаимосвязей учебно-познавательной деятельности с практикой Р1, которые раскрываются в процессе использования:

1. (Р1): приемов учебной деятельности, направленных на овладение способами решения наиболее важных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности ("скорость -путь - время", "цена - количество - стоимость", "время - производительность -работа" и т.п.; наиболее важными основными отношениями в системе отношений между данными и искомыми -,£ = «•/; «=5/*; / = 5/« и т.п.). А также реализации стандартных репродуктивных приемов использования историзма и межпредметных связей в процессе обучения математике (см. также в Сх. 2).

2. (Р2): продуктивных приемов учебной деятельности (целенаправленно и систематически реализуемых в процессе использования эвристического метода и проблемного изложения знаний и осуществления частично-поискового уровня познавательной деятельности учащихся), направленных на овладение способами решения стандартных прикладных задач (при реализации всех этапов мате-

матического моделирования - формализации, внутримодельного решения, интерпретации), а также применения продуктивных форм учебной деятельности в процессе реализации межпредметных связей в обучении математике, историзма, решения задач, в т.ч. и не являющихся прикладными.

3. (Р3): продуктивных приемов учебной деятельности (целенаправленно и систематически реализуемых в процессе использования исследовательского метода в преподавании математики и соответствующих исследовательских форм познавательной деятельности учащихся), направленных на овладение способами решения нестандартных прикладных задач при реализации соответствующих специфических особенностей решения таких задач (реализации учащимися основных мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения); а также применения исследовательских форм учебной деятельности, отличающихся высоким уровнем познавательной самостоятельности в процессе реализации межпредметных связей в обучении математике и использования историзма (реализации в процессе обучения всех основных этапов исследовательской деятельности - наблюдение, эксперимент, выдвижение гипотез, построение плана исследования, его осуществление, анализ оптимальности полученного решения и его исследование, поиск задач-обобщений, конкретизации, аналогов).

При этом необходимо осуществить в процессе обучения математике поэтапное овладение школьниками умениями, адекватными следующим уровням реализации метода математического моделирования:

1. (М]): пропедевтика моделирования. Осуществляется формирование начальных умений, необходимых для реализации метода моделирования: 1) выполняется замена исходных терминов их математическими эквивалентами; 2) происходит оценка полноты исходной информации и введение недостающих данных; 3) делается выбор точности числовых значений; 4) происходит выявление возможности получения данных для решения задачи. Осуществляется первичное осмысление и понятийное, языковое оформление задачной ситуации; создание средств построения первых моделей; «аксиоматизация» опыта моделирования; поиск опорных знаний; овладение пропедевтическими умениями использования эмпирических обще- и частнонаучных методов; предметное и знаково-символи-ческое оформление результатов осмысления задачи и ее моделирования и т.д.

2. (М2): реализация основных этапов метода математического моделирования — формализации, внутримодельного решения, интерпретации. Осуществляется математическое моделирование (и реализация соответствующих этапов: формализация —» внутримодельное решение —» интерпретация) реальных объектов, процессов и явлений, которое необходимо в процессе решения стандартных прикладных задач (модели которых очевидны или фактически заданы). Выполняется формализация объектов, процессов, отношений и ситуаций реальной действительности, которым соответствуют математически формализуемые предметные модели, используемые в школьных курсах физики, информатики, истории, астрономии и т.д. При этом осуществляется исследование математических моделей реальных явлений, конструирование и анализ их приложений.

3. (Мз): реализация метода математического моделирования в комплексе, составляющем все необходимые умения для решения нестандартных при-

кладных задач-проблем (модели которых неизвестны). Осуществляются

возможные интерпретации моделей, их преобразования по аналогии; отыскание границ применимости полученных моделей; принятие решения на основе принципов построения и применения моделей; выполнение прогнозов на основе точных данных о моделях и границах их применимости; сопоставление с предполагаемыми положениями, контроль и коррекция данных полученного результата. Также при этом осуществляется выдвижение гипотез, "малые изменения" моделей и их вариации, выдвигаются и проверяются гипотезы о границах применимости моделей, выполняется поиск необходимых опорных знаний, проверка гипотез применением в практике и т.д.

Схема 3

Р1 Мо (возможна и желательна реализация компонентов Р2)

Р1 -► Р2 и М, -► М2 (реализация (систематическая (осуществляется постепен-Р1) реализация Р2) ный "переход" от уровня моделирования М1 к М2

вз Р| Р2 и Р3 и М2 -► Мз (реализация (систематическая (осуществляется постепен-Р1) реализация Р2 и Р3) ный "переход" от уровня моделирования М2 к М3

Р1 Р2"> Рз и М2 и | М3| (реализация (систематическая (осуществляется реализация Р1) реализация Р2 и Рз; М2; доминирует система-доминирование Рз) тическая реализация М3)

Таблица 1

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ЦЕЛЕЙ 81 в процессе обучения математике учащихся средней школы

в! в2

1 - 2кл. 2-7кл. 8-11 кл. 8-9 —11 кл. (углу& изучен.),

<8,Р1Мо> <8зР,М,> <8гР1М2> <82Р2М2> <82Р2М3> <82РзМЗ> <8зРгМ2> <8зРгМз> <взРзМз> <84Р3М3>

В процессе реализации методической реальностью "математических абстракций в школьном обучении математике происходит овладение учащимися все более высокими уровнями реализации моделирования, уровнями осуществления взаимосвязей учебно—познавательной деятельности с практикой, уровнями мате-

матических абстракций. МР моделируется объектами «в^М^, где в,, Р), Мк - уровни сформированности её соответствующих компонентов. "Развитие" МР в данном контексте есть трансформация этих объектов, переход от простых к более сложным в рамках лидирующего направления, обусловленного изменением содержательного (вО компонента МР.

В случае анализа учебного процесса на уровне учебного предмета математики необходимо выделить следующие уровни МР:

I уровень (соответствует Б^М^. Осуществляется учебно-познавательная чувственно-предметная деятельность, направленная на овладение элементарными отношениями в системе основных отношений, раскрывающими связи математических абстракций и реальности в процессе обучения. При этом осуществляется пропедевтика моделирования.

II уровень (¡УгМг). Осуществляется учебно-познавательная деятельность продуктивного характера, направленная на оптимизацию чувственно-предметной эмпирической деятельности посредством использования дедуктивного вывода. Осуществляется овладение моделированием, которое необходимо для решения стандартных прикладных задач (модели которых очевидны или фактически заданы).

III уровень (взРзМз). Осуществляется учебная деятельность продуктивного характера, направленная на использование практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий. При этом осуществляется овладение моделированием, которое необходимо для решения нестандартных прикладных проблем (модели которых неизвестны).

IV уровень (84РзМз). Осуществляется учебная деятельность продуктивного характера, в процессе реализации которой выполняется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (абстрактные алгебры, кольца, поля и т.п.) и обратно от абстрактной теории к другим её возможным конкретным интерпретациям. Соответственно при этом необходимо овладение моделированием (формализацией, интерпретацией) на уровне теоретического осмысления предмета математики.

Анализ стратегии (сх. 3 и табл. 1) возможных путей реализация методической реальностью математических абстракций в обучении математике позволяет выделить из них основные направления (рис. 3), наиболее целесообразным из которых является следующий:

Р!Мо> *

<8, Р1М1> *

<$г Р1М„> *

Р1 Мг> "<82РгМг>

<вз Рз Мз> <84РзМз>

Рис. 3

|8,Р!Мо> г*-

«в^М^ <82Р1М1> <82Р1М2>

1-2 кл.

->• <82Р2М2> 2-7 кл.

<82РзМЗ>-

<83Р,М1> — <84РзМЗ>- |

8-11 кл.

1 ~ '* "— 1

В контексте проблемы создания методического обеспечения для реализации

методической реальностью математических абстракций в процессе обучения необходимо заметить следующее.

Процесс овладения учащимися умениями, необходимыми для осуществления моделирования, характеризуется такими этапами, как: 1) Пропедевтика моделирования: овладение учащимися начальными умениями, необходимыми для реализации моделирования, и поэтапное овладение основными компонентами метода математического моделирования - формализацией, внутримодельным решением, интерпретацией. (Осуществляется в процессе реализации в школьной учебной деятельности объекта <82Р]М1>). 2) Моделирование в процессе решения стандартных прикладных задач (<82Р2М2>). 3) Пропедевтика осуществления моделирования, необходимого в процессе решения нестандартных прикладных задач (<в2Р2Мз> и (или) <82Р3М3>). 4) Моделирование в процессе решения нестандартных прикладных задач-проблем (<в2РзМз> и <83РзМэ>). 5) Моделирование на уровне теоретического осмысления предмета математики (<84РэМ3>).

Овладение методом математического моделирования требует значительной пропедевтической работы. В процессе обучения математике необходимо осуществлять как пропедевтику моделирования, необходимого в процессе решения

лччччччччччч^^ччхчччччччч^Н^^^Л^^ччччччч^

.ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^кчЧЧ\^^Ч\ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ

лччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччч\чччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччччч>Ач>«*»*.чччччч\

.ЧЧЧЧЧЧЧЧ\ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ*Гч\ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ\

'¿'.'.V///, ..'//,>.',>?,>Г,, /уу^/////////;//.■////,//г А!

'1'УУУУ/,УУ/УУ/УУУУ/УУУУУУ//4^^Ф;А*^МУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ^УУУУУУУУУУУУУУУУУУ/УУУУУУУУУУУУУУ/У//УУУ/УУУУ/УУУУУ//У///УУ , '?/УУУУ/УУУУУУУУУУУ/У/УУУ/УУУУЛ?УЯЖ2ГА/У///УУУУ//М |

■ ■ ■ ■ А . ...1. . . , . .'....... * ■. * • •. • •.■.•....... •,

Рис.4

стандартных прикладных задач, так и пропедевтику моделирования, которое необходимо при решении нестандартных прикладных задач-проблем, поэтому одним из существенных моментов осуществления учебной деятельности, ориентированной на овладение школьниками методом математического моделирования, является ориентация на методику работы с учащимися ещё 2-5 кл., как подготовительный этап на пути обучения учащихся старших классов методу математического моделирования уже на более высоком уровне (сх. на рис. 4 и табл. 1).

В четвертой главе разрабатывается методическое обеспечение созданной стратегии реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике. Осуществляется анализ аспектов и особенностей использования МР в обучении математике. Выявляются наиболее целесообразные и эффективные методические формы реализации методической реальностью математических абстракций. Осуществляется анализ процесса овладения учащимися умениями, необходимыми для моделирования. Далее выявляются особенности нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности (в целом, как прикладных, так и не являющихся прикладными) и специфика их реализации в процессе обучения математике. Затем, соответственно, выделяется совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для решения таких задач. Разрабатывается методика, на основе которой осуществляется формирование указанных мыслительных и учебных умений, а также система дидактических материалов в виде специальных серий-плакатов. Далее раскрываются результаты внедрения разработанной методики и системы дидактических материалов в практику школьной учебной деятельности.

Анализируя методические аспекты реализация методической реальностью математических абстракций в обучении математике учащихся средней школы, заметим следующее (I. - VI.):

I. Подавляющее число задач, возникающих в практической деятельности, не являются стандартными математическими задачами, а являются проблемными, обучающими, поисковыми. Совокупность задач, обусловленных этими тремя случаями, обозначим как нестандартные задачи (посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальности в процессе обучения). Этот термин будет охватывать все возможные случаи, отличные от ситуации стандартной задачи.

II. Дать исчерпывающую классификацию нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, вряд ли возможно. Многообразие форм и видов отклонений от стандартности очень велико. Наиболее приемлемой типизацией для практической деятельности представляется выделение типов нестандартных задач указанного характера по этапам постановки и решения данной задачи А. - Г.:

А. Нестандартные формы, способы, особенности постановки задачи: 1. Задачи с лишними, противоречивыми, недостающими данными. 2. Задачи, в которых требуется сформулировать вопрос, составить задачу, найти ошибку или убедиться в истинности результата, обнаружить смысловое противоречие. 3. Задачи с нестандартной формой представления начальных данных: в виде рисунка, фотографии, плана, схемы и т.п. 4. Задачи с рекуррентным способом постановки начальных данных. 5. Задачи с необычной фабулой постановки вопроса. 6. Зада-

измерения. И др.

чи, данные в которых представлены в 1______„„,..„„

■ ги«.. НА^ИОпА)}

| БИБЛИОТЕКА ] С.Петербург

< ОЭ >69 ю

Б. Нестандартные формы, способы, особенности процесса решения: 1. Процесс решения задачи, которая имеет нематематический или не только математический характер решения. 2. Задачи, процесс решения которых осуществляется во время проведения дидактических игр или в виде практической демонстрации (эксперимента). 3. Процесс решения задачи, осуществляемый посредством использования различных способов выбора, перебора; путем мысленного эксперимента-деформации. И др.

В. Нестандартные формы, особенности, способы представления результатов и Г. Нестандартные формы, особенности, способы осуществления проверки решения: 1. Возможность неединственности (вариативности) ответа. 2. Возможность случая отсутствия приемлемого ответа или отсутствие необходимости в получении формального результата данной заданной ситуации - целью постановки задачи является не получение ответа, а реализация в процессе обучения образовательного потенциала данной заданной ситуации (Великая теорема Ферма и т.п.). 3. Представление результата задачи в виде рисунка, графика,схемы и т.д., когда это не является специальной темой данного урока. И др.

III. Необходимо выделить следующие типы нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными: 1. Задачи, ставящие целью выявление взаимосвязей между объектами, процессами или явлениями. 2. Задачи, в процессе решения которых необходимо использование метода аналогии, требуется осуществить выявление различий, установить противоположности или антиподы. 3. Задачи, для решения которых необходимо привлечение помимо математических методов и методов исследования других наук. 4. Задачи, которые неразрешимы или не решаются средствами школьного курса, но которые обладают значительным образовательным потенциалом (легенда о Делосском жертвенном кубе и т.п.). 5. Задачи, в которых необходимо осуществить практическую демонстрацию или эксперимент, имеющих нематематический или не только математический характер решения. 6. Задачи, в процессе решения которых необходимо установить причинно-следственные отношения между данными объектами, процессами или явлениями, выстраивать причинно-следственные "цепочки". 7. Задачи, решение которых осуществляется в процессе дидактических игр и является не только математическим или нематематическим. 8. Задания такого характера: закончите прерванную фразу, рассказ, сюжет; вставьте в пропуски слово, термин, имя и т.п.; поставьте разумные вопросы (задайте возможные вопросы); восстановите ответ (восстановите вопрос); установите, где можно увидеть проявления этих математических законономерностей или фактов в окружающей жизни? Выясните, где применяются такие способы? Установите, как это используется, например, в технике? И др.

IV. Синтезируя полученные результаты по обоим предыдущим случаям (И. и III.), выделим следующие основные мыслительные и учебные умения, необходимые для решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности: 1. Умение устанавливать взаимосвязи между различными объектами, процессами, явлениями и выявлять характер этой взаимосвязи (импликация, эквивалентность, иньективность и изоморфность и т.д.). 2. Умение правильно проводить аналогии, устанавливать различия, выявлять противоположности, антиподы. 3. Умение устанавливать причину, правильно де-

лать логический вывод. Устанавливать причинно-следственные отношения. Правильно выстраивать аналитическим или синтетическим путем причинно-следственные "цепочки" в определенном процессе. 4. Правильно оценивать полноту системы исходных данных и выявлять недостающие. Умение выделять лишние или противоречивые данные. Умение использовать различные источники информации и применять разные методы решения (возможно из нематематических областей знания). 5. Устанавливать противоречие, факт истинности или ложности высказывания, выявлять возможность существования объекта или процесса. 6. Анализировать условия задачи с нестандартно заданными начальными данными (рисунок, фотография, схема, график). 7. Умение анализировать результат с неединственным (вариативным) ответом. 8. Умение осуществить (продемонстрировать) и обосновать результат при выполнении практической работы. И др.

V. Поиск и анализ различных методических форм реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике позволяет выявить ту методическую форму, которая наиболее оптимально сочетает наибольшее число позитивных сторон при минимуме недостатков - методическую форму изложения материалов в виде комплекса серий плакатов. Суть этого способа в том, что к данной теме занятия (1-3 урока) подобраны материалы, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, оформленные в виде специального листка-плаката.

Подчеркнем следующие позитивные стороны данной методической формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике: а) Психологическая привлекательность интригующей фабулы заголовка и яркой гаммы красок, психологически непроизвольно привлекающих внимание ученика, б) Сочетание позитивных моментов представления материалов и в письменном виде, и соответствующего устного комментария: постоянно имеется опора на наглядность, возможность использования материалов, как на различных этапах урока, так и в процессе внеурочной учебной деятельности, в) Использование данной методической формы возможно в любой методической системе: крупноблочной, "традиционной", г) Расходные средства, необходимые для реализации данной методической формы в процессе обучения, минимальны. Необходимо иметь 1-2 комплекта серий-плакатов на параллель из 7-8 классов. Это намного экономичнее издания сборников или учебников для каждого ученика.

В соответствии с отмеченным выше создана дидактическая система материалов в виде комплекса серий специальных плакатов (более 200). Они апробированы и использованы в ходе непосредственной практики школьного учебного процесса и многократно использованы институтом повышения квалификации работников образования в качестве рекомендуемых к распространению материалов из опыта педагогической деятельности.

VI. В экспериментальной работе в целом было задействовано и приняло участие свыше 1100 учащихся средней школы, студентов и учителей.

Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся школьного возраста, разработана и практически реализована методика формирования основных мыслительных и учебных умений (указаны в IV.), включающая в себя описание конкретных форм работы и примеры их реализации на соответствующих упражнениях. Эта методика и проходила апробацию в ходе экспериментальной проверки. Цель проведения экспериментальной работы заключалась в выявлении то-

го, насколько плодотворно формирование указанных выше умений влияет на умение школьников решать нестандартные задачи, раскрывающие связи математических абстракций и реальности в процессе обучения. Анализ полученных результатов, выявляет устойчивую тенденцию более успешного решения указанных задач экспериментальными классами. В случае достаточно тривиальных заданий разница между результатами экспериментальных и контрольных классов еще не столь существенна. В заданиях же, в которых необходима оценка полноты исходных данных, использование дополнительных источников информации, умение работать с процессуальными, образно-геометрическими и количественными характеристиками явлений, имеются существенные различия. Применение методов математической статистики к анализу результатов экспериментальной работы полностью подтверждает гипотезу данного исследования.

Экспериментальная проверка подтверждает, что практическая реализация результатов исследования, осуществляемая посредством указанных выше средств, более эффективно по сравнению с традиционной методикой содействует формированию учебных умений школьников и повышению качества их знаний, способствует формированию у учащихся правильных представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений и процессов реальной действительности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе теоретического и экспериментального исследования, в соответствии с его целью и задачами, получены следующие основные выводы:

1. Существующие односторонние подходы не позволяют выделить всю совокупность теоретических положений, составляющих научную основу теории и методики формирования и развития у учащихся представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой объектов и процессов реальной действительности. Решение данной проблемы должно осуществляться на основе комплексного исследования особенностей и аспектов процессов познания и обучения.

2. В процессе математического познания осуществляется овладение все более высокими уровнями математических абстракций: 1) числа, геометрические фигуры; 2) термы как предметные константы и переменные, геометрические понятия; 3) математические структуры как абстрактные дедуктивные системы вне их возможных конкретных интерпретаций.

3. Овладение учащимися математическими абстракциями различного уровня в процессе обучения математике характеризуется следующими этапами:

1) На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществляется формирование первичных математических абстракций — числй и фигуры. Это выполняется путем: непосредственного оперирования реальными объектами — использования моделей геометрических фигур и тел, построения и измерения чертежей, схем, рисунков, использования приспособлений для счета; решения задач, раскрывающих взаимосвязи и отношения важнейших физических и пространственных величин; использования в процессе обучения математике экскурсов, раскрывающих исторические аспекты развития математического познания.

3) На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел). Это осуществляется посредством решения нестандартных прикладных задач, реализации в процессе обучения содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой путем использования прикладной направленности обучения математике, использования элементов профессиональной ориентации учащихся, реализации связей математики с современным производством и техникой, использования элементов историзма.

4) Осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (формирование математических абстракций третьего уровня - абстрактных математических структур и дедуктивных теорий, отвлеченных от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними) и обратно - переход от абстрактной теории к другим ее возможным интерпретациям. Это реализуется посредством решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами, а также осуществления моделирования на уровне теоретического осмысления предмета математики; изучения основных законов развития природы и общества, связанных с системой общественных и производственных отношений, принципами и особенностями современного производства и техники; осуществления анализа взаимосвязей идей философии и математики.

4. Понятие методическая реальность адекватно раскрывает совокупность задачных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования у школьников представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений реальной действительности.

Объем понятия МР составляют компоненты А - В. (С. 4). Существенными признаками МР выступает ряд характеристик (С. 5).

5. МР выступает в процессе обучения математике как средство реализации целей обучения; средство целенаправленного формирования и развития знаний, навыков, умений; способ организации, управления и стимулирования учебно-познавательной деятельности; способ реализации методов, форм и средств обуче-

ния; способ применения знаний, навыков, умений (связи теории с практикой) и средство проверки, оценки и коррекции знаний, навыков, умений; средство реализации индивидуальных черт, способностей, интересов учащихся; средство формирования и развития мотивационно-потребностного, операционно-содержа-тельного и эмоционально-волевого компонентов личности.

6. Реализация методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике предполагает осуществление учебной деятельности в соответствии с принципами системности, целостности, иерархичности, структурности, открытости, комплексности, деятельности, непрерывности, наглядности, гуманизации и гуманитаризации. В процессе обучения математике реализуются следующие функции МР: образовательная, воспитательная, эвристическая, прикладная, развивающая, эстетическая, информационно-интегрирующая, гуманистическая, наглядно-иллюстративная, профессионально-ориентационная.

7. Выделение структурной единицы анализа МР позволяет моделировать ее объектами <ВДМк>, где 18|, Р], Мк - уровни сформированности её соответствующих компонентов: дидактических целей реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения - в;; взаимосвязей учебно-познавательной деятельности с практикой и реализации межпредметных связей математики и историзма в процессе обучения уровня Р]; моделирования уровня Мк . Анализ стратегии возможных путей реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике позволяет выделить из них наиболее целесообразный.

8. Методическое обеспечение реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике основано на использовании системы дидактических материалов в виде комплекса серий-плакатов, а также посредством специальной методики, осуществляющей формирование основных мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, с помощью которых раскрываются связи математических абстракций и реальности в процессе обучения.

9. Экспериментальная проверка подтверждает, что практическая реализация результатов исследования, осуществляемая посредством указанных выше средств, более эффективно по сравнению с традиционной методикой способствует формированию учебных умений школьников и повышению качества их знаний, содействует формированию и развитию у учащихся представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений и процессов реальной действительности, вследствие чего имеет общеобразовательную значимость.

10. Проведенное исследование инициирует постановку и поиск путей разрешения целого цикла методических проблем, позволяющих наметить круг возможных перспектив предлагаемого научного направления. Среди этих проблем можно, например, указать разработку критериального аппарата для оценки «прикладной емкости» создаваемых учебников и учебных пособий для средней школы, а также исследование влияния активно внедряемого в практику школьного обучения компьютерного обеспечения учебного процесса как средства реализации гуманитарного, мировоззренческого и прикладного потенциала школьного курса математики.

Таким образом, результаты исследования можно объединить в три группы. К

первой отнесем результаты методологического характера: концепция исследования, теоретическая модель МР, понятийный аппарат. Вторую группу составляют результаты исследования модели МР, этапы овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня, образовательный потенциал МР, связь понятия МР с соответствующими понятиями теории и методики обучения математике, классификация МР, цели, содержание, методы, формы, средства реализации методической реальностью математических абстракций в школьном обучении математике, совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности. К третьей группе отнесем результаты приложения методологии и теории формирования у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности в школьном учебном процессе: разработанную систему лекционных занятий для курсов повышения квалификации работников образования, тематику и содержание спецкурса для студентов физико-математического факультета пединститутов, систему дидактических материалов для средней школы в виде комплекса серий-плакатов (свыше 200 экземпляров для курса школьной математики), которая многократно использована институтом образования в качестве рекомендуемых к распространению материалов из опыта педагогической работы.

Основное содержание исследования отражено в 49 публикациях:

1. Егорченко И.В. Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы: Монография. Саранск, 2003.286с.

2. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: теория и практика: Монография. Саранск, 2001.184с.

3. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике учащихся средней школы: программа курса по выбору. Саранск, 2003. Юс.

4. Файштейн В.А., Егорченко И.В., Будко А.Г. Петербург подсказывает задачи // Математика в школе. 2003. № 4. С.18-21.

5. Егорченко И.В. Региональные проблемы подготовки учителя математики в педвузе // Материалы круглого стола «Учитель для национального региона: каким ему быть». Педагогика. 2002. № 8. С. 54-55.

6. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике: образовательный потенциал //Интеграция образования: федеральный науч.-методич. журнал Регионального учебного округа при МГУ им. Н.П. Огарева. 2001. №4. С. 61-67.

7. Егорченко И.В. Противоречия школьного учебного процесса и их разрешение посредством использования явлений реальности в обучении математике. Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики: Тр. XXI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. СПб., 2002. С. 128-130.

8. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике: образовательный потенциал и теоретическая модель. Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып. 3. Киров, 2001. С. 164-169.

9. Егорченко И.В. Реализация целей математического образования и образовательный потенциал использования явлений реальности в обучении математике.

Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всероссийской науч.-практич. конф., 2002. Нижний Новгород, С. 60-62.

Ю.Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике: уровни, аспекты и этапы реализации феномена. Образовательные технологии: методический аспект. Межвуз. сб. науч. тр. Вып 8. Воронеж, 2002. С. 124-127.

П.Егорченко И.В. Исторические мини-исследования в школьном процессе обучения математике. Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики: Межвуз. сб. науч. тр. Вып 4. Калуга, 2002. С. 14-17.

12.Егорченко И.В. Методологические аспекты интеграции математических абстракций с реальной действительностью в процессе обучения. Интеграция региональных систем образования: Ч. 2: Интеграционные аспекты в содержании и технологии образования: Матер. IV Междунар. конф. Саранск; 2003. С.133-137.

13.Егорченко И.В. Использование явлений реальности как средство реализации мировоззренческих функций математики // Народное образование: Научно-метод. и инф. журнал Мин. образов. Республ. Мордовия. 2000. № 5. С. 15-22.

14.Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике: к истории вопроса. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 14. Саранск, 2000. С. 48-54.

15.Егорченко И.В. Реализация явлений реальности в обучении математике как фактор развития интеллектуальных способностей школьников. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 15. Саранск, 2000. С. 35-38.

16.Егорченко И.В. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования явлений реальности в обучении математике. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 17. Ч. 1. Саранск, 2001. С. 35-39.

П.Егорченко И.В. Формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования явлений реальности в процессе обучения математике. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 1. Саранск, 2002. С. 53-59.

1 В.Егорченко И.В. Образовательный потенциал использования явлений реальности в обучении математике: развитие творческих способностей школьников. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. тр. Вып.19. Саранск, 2002. С. 24-28.

19.Егорченко И.В. Развитие интереса к математике путем постановки занимательных проблем и заданий. Проблемы развития математических способностей школьников. Материалы республ. науч.-практ. конф. Саранск, 1996. С. 21-22.

20.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. XXXI науч. конф. преподавателей и студентов МГПИ имени М.Е. Евсевьева. Саранск, 1996. С.71-73.

21.Егорченко И.В. Методические формы реализации прикладной и практической направленности в обучении математике. XXXI науч. конф. преподавателей и студентов МГПИ имени М.Е. Евсевьева. Саранск, 1996. С.69-71.

22.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. Гуманизация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 1997. С.138-146.

23.Егорченко И.В. Прикладные аспекты в обучении математике, реализуемые в

форме творческих заданий. Актуальные проблемы преподавания математики. Материалы науч.-методич. семинара МРИО. Саранск, 1998. С.58-61.

24.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 10. Саранск, 1998. С.52-54.

25.Егорченко И.В. Тенденция расширения понятий, отражающих совокупность материалов реального содержания, используемых в обучении математике. XXXIV науч. конф. препод. МГПИ им. М. Е. Евсевьева. Саранск, 1998. С.108-110.

26.Егорченко И.В. Задачи, раскрывающие в процессе обучения взаимосвязи математики и реальной действительности. Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе. Матер. Всеросс. науч. конф. Саранск, 1998. С.141—143.

27.Егорченко И.В. К вопросу о типизации задач, раскрывающих в процессе обучения взаимосвязи математики и реальной действительности. Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе. Материалы Всеросс. науч. конф. Саранск, 1998. С.161-163.

28.Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 11. Саранск, 1998. С. 70-74.

29.Егорченко И.В. Задачи, раскрывающие в процессе обучения взаимосвязи математики и реальной действительности. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 12. Саранск, 1999. С. 78-82.

30.Егорченко И.В. Мировоззренческие функции математики в школьном учебном процессе // Народное образование: Научно-метод. и инф. журнал Мин. образов. Республ. Мордовия. 1999. № 3. С. 68-72.

31.Егорченко И.В. Основные мыслительные умения, необходимые для решения нестандартных задач, раскрывающих взаимосвязи математики и реальности в процессе обучения. XXXV науч. конф. препод, и студентов МГПИ им. М.Е. Евсевьева. Саранск, 1999. С. 122-124.

32.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: понятия, их возникновение и взаимосвязи. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 13. Саранск, 1999. С. 85-90.

33.Егорченко И.В. Образовательный потенциал использования явлений реальности в обучении математике. Технические и естественные науки: проблемы, теория, практика: Межвуз. Сб. науч. тр. Саранск, 2000. С.158-161.

34.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: содержательные аспекты явления. Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза, 2001. С. 183-189.

35.Егорченко И.В. Материалы, раскрывающие взаимосвязи математики и реальности в процессе обучения. Математическое моделирование: технологические процессы и научные исследования: Межвуз. сб. науч. тр. Вып I. Саранск, 2001. С. 117-120.

36.Егорченко И.В. Использование реальности в обучении математике (содержательные компоненты феномена). Математическое моделирование: технологические процессы и научные исследования: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2001. С.124—125.

I I

37.Егорченко И.В. Об одном рисунке школьного учебника геометрии II Народное образование: науч.- методич. и инф. журнал министерства образования Республики Мордовия. 2001. № 6. С. 124-132.

38.Егорченко И.В. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования явлений реальности в обучении математике. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2002. С. 43-49.

39.Егорченко И.В. Роль и место реальности в обучении математике при формировании научного мировоззрения учащихся. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2002. С. 65-71.

40.Егорченко И.В., Цацкина Е.П. Разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством использования явлений реальности в обучении математике. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2002. С. 100-105.

■ 41 .Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть 1. Саранск, 2002. С. 153-156.

42.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: системный анализ феномена. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть 1. Саранск, 2002. С. 47-51.

43 .Егорченко И.В. «Царица наук» и окружающий нас мир слов // Народное образование: Науч.-метод. и инф. журнал Мин. образов. Республ. Мордовия. 2003. № 1-2.С.69—75.

44.Егорченко И.В. Образовательный потенциал реальности и развитие творческих способностей школьников в обучении математике. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Материалы региональной научно-практической конференции. Арзамас, 2002. С. 41-46.

45.Егорченко И.В. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования явлений реальности в обучении математике / Провинция: процесс международной интеграции в XXI веке: Материалы международной научно-практической конференции. Киров, 2001. С. 300-301.

46.Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: содержание, объем, дефи-■ ниция понятия. Технические и естественные науки: проблемы, теория, практика: Сб. науч. тр. Вып II. Саранск, 2002. С. 52-55.

47.Егорченко И.В. Профессиональное образование и реализация явлений реальности в процессе обучения математике / Теория и методика непрерывного профессионального образования. Сб. тр. V Всероссийской науч.-методич. конф. Тольятти, 2003. Том 1. С. 183-187.

48.Егорченко И.В. Эстетическое воспитание школьников посредством использования явлений реальности в обучении математике. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. тр. Вып.20. Саранск, 2003. С. 39-43.

49.Yegorchenko I. Realization of humanitarian potential of school course of mathematics by means of using of reality phenomena in teaching mathematics. Province: International integration process in 21 century: International Scientific-Practcal Conference (Russia, Kirov, October 15-16,2001) P. 79.

Лицензия ЛР № 040312 от 24.03.97., ПД № 18-0088 от 09.04.01 Подписано в печать 26.06.03. Формат 60x84 1/16. Печать ризография. Гарнитура Times Усл. печ. л. 2,4. Уч.-изд.л. 2,5 Тираж 110 экз. Заказ № 286

Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева Лаборатория множительной техники 430007, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11 а

2.оо?-Д

»13 3 4 в

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Егорченко, Игорь Викторович, 2003 год

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОНЦЕПЦИИ МЕТОДИЧЕСКОЙ

РЕАЛЬНОСТИ

1.1. Объект и предмет современной математики. Место понятия MP в системе знаний.

1.2. Гносеологические основы и психолого-педагогические аспекты реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике. Функции MP.

1.3. Объем, содержание и структура MP. Принципы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике.

1.4. Процесс реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и его компоненты. Уровни абстракций, моделирования, взаимосвязи школьного курса математики с практикой.

Глава II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ АБСТРАКЦИЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ.

2.1. Реализация методической реальностью математических абстракций в обучении математике: аспекты, особенности подходов, тенденции.

2.1.1. Исторические аспекты проблемы использования MP.

2.1.2. Использование MP: основные понятия - их взаимодействие, взаимосвязь и тенденции развития.

2.2. Категория МЕТОДИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ (MP).

2.2.1. Современная парадигма использования MP.

2.2.2. Взаимосвязи математики и реальности в образовательной сфере и вне ее: сравнительный анализ содержания и форм.

2.2.3. Классификации MP. Понятие MP.

2.2.4. Тенденция амплификации понятий, раскрывающих содержание MP.

2.3. Системный анализ MP.

2.3.1. Компоненты MP.

2.3.2. Уровни MP.

2.3.3. Модель MP. Основные направления реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике

Глава III. Образовательный потенциал использования методической реальности в обучении математике.

3.1. Формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования методической реальности в обучении математике.

3.1.1. Проблема формирования математического мышления учащихся и развития их творческих способностей в школьном учебном процессе.

3.1.2. Формирование математического мышления школьников и развитие их творческих способностей посредством использования MP.

3.2. Роль и место MP в обучении математике при формировании научного мировоззрения учащихся.

3.2.1. Формирование научного мировоззрения учащихся в процессе обучения математике.

3.2.2. Роль и место MP при формировании научного мировоззрения учащихся в школьном учебном процессе.

3.3. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования методической реальности в обучении математике.

3.3.1. Гуманитарный потенциал в содержании общего математического образования.

3.3.2. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования MP.

3.4. Разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством использования методической реальности в обучении математике.

3.4.1. Противоречия процесса обучения.

3.4.2. Разрешение противоречий школьного процесса обучения математике посредством использования MP.

Глава IV. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ АБСТРАКЦИЙ в ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ (МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ).

4.1. Особенности методики использования MP в обучении математике.

4.1.1. Основные аспекты реализации методической реальностью математически^ абстракций в обучении математике.

4.1.2. Методические формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике.

4.1.3. Особенности этапов формализации и интерпретации метода математического моделирования в процессе обучения математике.

4.2. Типизации нестандартных задач РСМАР.

4.2.1. Основные типы нестандартности задач РСМАР.

4.2.2. Типизация нестандартных задач РСМАР, не являющихся прикладными задачами.

4.3. Основные мыслительные и учебные умения, необходимые для решения нестандартных задач РСМАР. Методика их формирования.

4.4. Реализация методической реальностью математических абстракций в практике школьной учебной деятельности.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы"

Концепция математического образования в школе и вузе подчеркивает задачу формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. В процессе математического познания осуществляется овладение все более высокими уровнями математических абстракций: в алгебре (арифметике^ началах анализа): количественные отношения реального мира —* числа —* термы —► алгебра действительных (комплексных) чисел, математический анализ элементарных функций —*■ математические структуры как абстрактные дедуктивные системы вне их возможных конкретных интерпретаций; в геометрии: пространственные формы реального мира —► геометрические фигуры —геометрические понятия —► евклидова геометрия —> математические структуры (Сх. 1 на С. 106).

В процессе формирования и развития у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности и, соответственно, в процессе овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня реализуются следующие цели Si (и решаются адекватные задачи):

1. ( Si): На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществить: 1) переход от непосредственного оперирования множествами предметов (число неотделимо от множества конкретных объектов, которое оно характеризует) к действиям над их обобщенными символами - числами, т.е. отделить числа от конкретных объектов; 2) выполнение анализа воспринимаемых геометрических форм, посредством которого понятия начинают выступать как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам. Таким образом реализуется цель — решить дидактическую задачу формирования первичных математических абстракций -числа и фигуры.

2. ( S2): На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществить: 1) переход от конкретных чисел к буквенным выражениям и «локальное» логическое упорядочение свойств числовых множеств и операций над ними; 2) логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Геометрические фигуры при этом выступают в логической взаимосвязи, устанавливаемой посредством определений, но значение дедуктивной системы в целом ещё не постигает/ ся; осуществляется лишь «локальное» понимание её значения в рамках нескольких тем, при этом часть свойств находится экспериментально, часть выводится дедуктивно, оптимизируя и сокращая нахождение их опытным путем. Данный этап характеризуется формированием математических абстракций второго уровня - предметных констант и переменных {термов), геометрических понятий.

3. ( S3): На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализагщи дедуктивно построенных математических теорий осуществить построение школьных курсов геометрии, алгебры и начал анализа, которые связаны с эмпирическими знаниями человека об окружающем мире и таким образом осуществить конкретные содержательные интерпретации абстрактных дедуктивных систем: 1) постижение значения дедукции «в целом» как способа построения и развития всей математической теории; выявление сущности аксиом, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и т.д.; 2) осуществить «содержательную» аксиоматизацию геометрической теории - аксиоматизацию теории в определенной конкретной интерпретации (геометрия Евклида); 3) выявить возможности дедуктивного построения алгебры в заданной конкретной интерпретации (например, алгебры действительных чисел). Таким образом, на данном этапе осуществляется содержателъная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях окружающего мира (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел), и овладение учащимися адекватной этому этапу совокупностью знаний и способов деятельности.

4. ( S4): На основе осуществления перехода от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (например, абстрактные алгебры, кольца, поля и т.п.) и обратно от абстрактной теории к другим её возможным интерпретациям реализовать: 1) выявление абстрактной сущности алгебры как математической структуры; 2) раскрытие сущности геометрических теорий, построенных как абстрактные дедуктивные системы; 3) конструирование различных возможных интерпретаций абстрактных математических структур и теорий и соотнесение, контроль и коррекцию результатов интерпретаций с практикой. Следовательно, на данном этапе осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории, т.е. осуществляется формирование математических абстракций третьего уровня - развитие дедуктивных теорий и формирование абстрактных математических структур, и от нее к другим ее возможным интерпретациям и, соответственно, овладение учащимися адекватной этому этапу совокупностью знаний, навыков и умений.

В процессе овладения математическими абстракциями различного уровня учащиеся оперируют:

Совокупность указанных объектов (А.-В.) назовем методической реальностью (MP).

Существенными признаками MP выступают следующие характеристики: 1) применимость к данному школьному курсу математики; 2) применимость к данной теме школьного курса математики; 3) принадлежность к той совокупности (см. выше компоненты А. - В. ), реализацию которых в процессе обучения математике наиболее целесообразно осуществить в данной (определенной) методической форме.

Различные аспекты проблемы реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения (историзм, прикладная и практическая направленность обучения математике) привлекали и привлекают внимание исследователей и являются приоритетными проблемами теории и методики обучения математике.

Так, в работах П.Я. Гальперина, Е.М. Кабановой-Меллер, Н.А. Менчинской, Ю.А. Самарина, Н.Ф. Талызиной и др. обоснована необходимость осуществления прикладной направленности, а также проанализированы психологические механизмы ее реализации.

Сформулированы общие принципы, обеспечивающие прикладную направленность школьного курса математики, и разработаны пути ее реализации в процессе обучения школьников (Ю.М. Колягин, В.М. Монахов, Н.А. Терешин, В.В. Фирсов и др.), в том числе по отдельным разделам планиметрии, тригонометрии, арифметики, дифференциального и интегрального исчисления, понятию вектора, понятию функции и т.д. (И.К. Андронов, С.С. Варданян, Т.В. Малкова и многие др.).

Исследованы вопросы осуществления политехнической направленности математического образования, а также реализации в учебном процессе межпредметных связей математики и физики, химии, астрономии, биологии и т.д. (Р.А. Архонтова, Т.А.Ильина, М.Н. Скаткин и многие др.).

Исследованы приемы деятельности, использование которых необходимо при решении различных видов нестандартных (творческих, проблемных и т.п.) задач (А.К. Артемов, В.А. Гусев, С.Н. Дорофеев, А.В. Ефремов, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, П.М. Эрдниев и др.).

Однако за рамками этих исследований остается ряд таких нерешенных проблем, среди которых: 1. Анализ ситуации неадекватного отражения существующими понятийными средствами (политехнизма, прикладной и практической направленности) совокупности задачных ситуаций и материалов, которые целесообразны для применения в школьном учебном процессе и формирования у учащихся правильного понимания природы математики и глубоких взаимосвязей математики и реальной действительности. 2. Содержательное раскрытие всей совокупности этих материалов, отражающих взаимосвязи математики и реальности в процессе обучения и способствующих овладению учащимися математическими абстракциями различного уровня. 3. Поиск наиболее эффективных методических форм реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике и формирования у учащихся представлений о природе математических абстракций, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. 4. Более глубокое и полное изучение проблемы формирования основных мыслительных и учебных умений, которые необходимы для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальной действительности в процессе обучения. 5. Анализ образовательного потенциала использования методической реальности в обучении математике (в частности: а) формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования MP в обучении математике; б) роль и место MP в школьном процессе обучения математике при формировании научного мировоззрения учащихся; в) реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования MP в обучении математике; г) разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике).

Таким образом, актуальность темы исследования вытекает из необходимоста разрешения противоречия между назревшей потребностью в научно обоснованной теории и методике формирования у учащихся представлений о сущности математических абстракций и о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и, соответственно, теории и методики реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике и их фактическим состоянием.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе, а его предметом - цели, содержание, методы, формы, средства реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике.

Цель исследования: разработка концепции формирования и развития у учащихся представлений о сущности математических абстракций, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и условий ее функционирования в школьном учебном процессе.

Поиск путей разрешения проблемы исследования основывается на следующей исходной гипотезе: гипотеза исследования: формирование у школьников представлений о природе математики и взаимосвязях математики и реальной действительности, овладение учащимися математическими абстракциями различного уровня и реализация методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике учащихся средней школы могут быть эффективными, если в их основе лежат следующие положения:

- теория системного подхода;

Концепция включает в себя следующие основные положения:

2. Данный процесс включает следующие этапы:

1) На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществляется формирование первичных математических абстракций - числа и фигуры. Это выполняется путем: непосредственного оперирования реальными объектами - использования моделей геометрических фигур и тел, построения и измерения чертежей, схем, рисунков, использования приспособлений для счета; решения задач, раскрывающих взаимосвязи и отношения важнейших физических и пространственных величин; использования в процессе обучения математике экскурсов, раскрывающих исторические аспекты развития математического познания.

2) На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществляется формирование математических абстракций второго уровня - предметных констант и переменных (термов), геометрических понятий. Это реализуется посредством: решения стандартных прикладных задач; использования задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными; реализации связей математики с учебными предметами средней школы; использования лабораторных и практических работ.

3) На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии, как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел). Это осуществляется посредством решения нестандартных прикладных задач, реализации в процессе обучения содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой путем использования прикладной направленности обучения математике, использования, элементов профессиональной ориентации учащихся, реализации связей математики с современным производством и техникой, использования элементов историзма.

4) Осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (формирование математических абстракций третьего уровня - абстрактных математических структур и дедуктивных теорий, отвлеченных от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними) и обратно - переход от абстрактной теории к другим ее возможным интерпретациям. Это реализуется посредством решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами, а также осуществления моделирования на уровне теоретического осмысления предмета математики; изучения основных законов развития природы и общества, связанных с системой общественных и производственных отношений, принципами и особенностями современного производства и техники; осуществления анализа взаимосвязей идей философии и математики.

2. Уточнить и определить совокупность методических средств, реализация которых необходима для формирования у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Раскрыть их содержание и установить взаимосвязи с феноменами практической и прикладной направленности, историзмом и др.

4. Сформулировать теоретическую концепцию реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и разработать теоретические и методологические основы, на фундаменте которых осуществляются основные положения данной концепции и соответствующее методическое обеспечение ее функционирования в учебном процессе средней школы. Выявить совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для оперирования MP в различных ситуациях, и разработать методическое обеспечение реализации методической'реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения: а) выявить наиболее целесообразные и эффективные методические формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике учащихся средней школы; б) выделить основные мыслительные и учебные умения, необходимые для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности (в т.ч. задач, не являющихся прикладными), которые и составляют "фундамент" специальной методики, положенной в основу методического обеспечения MP.

К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся:

- деятельностный подход (А.Н. Леонтьев, П.А. Гальперин, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, В.П. Зинченко, А.К. Артемов, В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, В.Д. Шадриков и др.);

- системный подход, основы которого заложены в трудах В.П. Кузьмина, В.Н. Садовского, А.И. Уемова, П.К. Анохина, Э.Г. Юдина и др., а возможности реализации в методических исследованиях продемонстрированы в работах Ю.М. Колягина, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, В.А. Тестова и др.;

В.А. Молодший, Г.И. Рузавин и др.);

- методологические положения, определяющие развитие системы современного математического образования в русле концепций гуманизации и гуманитаризации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (В.А. Гусев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и др.); усиления мировоззренческой направленности математических курсов (Б.В. Гнеденко, A.JI. Жохов, Д. Икрамов, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых, А.Я. Хинчин и др.); индивидуализации и дифференциации обучения математике (Т.Д. Глейзер, В.А. Гусев, И.М. Смирнова, Р.А. Утеева и др.).

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования; системный анализ и моделирование MP на различных этапах обучения и фазах протекания поисковых процессов; наблюдения за педагогической деятельностью преподавателей и учёбно-познава-тельной деятельностью учащихся и анализ организации процесса обучения математике в реальной школьной практике; обобщения собственного опыта работы автора в школе, педагогическом институте и институте усовершенствования учителей; сравнительный анализ школьных учебников и учебных пособий; проведение педагогического эксперимента и обработка полученных результатов методами статистики, используемыми в педагогических исследованиях.

II этап (1993-2001 гг.) содержал изучение количественных и качественных характеристик предмета исследования. На этом этапе было проведено теоретическое исследование, выявлены психолого-педагогические и теоретико-методологические основы решения проблемы формирования и развития у школьников представлений о природе математических абстракций и взаимосвязях математики и реальной действительности. Осуществлялось создание теоретической модели MP, разрабатывались психолого-педагогические и методические условия эффективного функционирования MP в школьной практике, выполнялась подготовка пособий и материалов в русле исследуемой проблемы, осуществлялись их внедрение и апробация в практике учебной деятельности средней школы. Был проведен поисковый эксперимент и проанализированы его результаты.

III этап (2001-2003 гг.). На этом этапе осуществлялся анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов, выполнялась работа по уточнению и коррекции теоретических и методических аспектов и условий решения проблемы исследования, осуществлялась формулировка окончательных выводов, оформление диссертации и подготовка к публикации монографии.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем 1. Разработаны теоретические основы формирования и развития у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Сформулирована теоретическая концепция реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и разработано методическое обеспечение ее функционирования в школьном учебном процессе.

2. На основе разработанной концепции обобщены результаты методических исследований по соответствующей проблематике. Установлена неадекватность отражения существующими понятийными средствами всего множества заданных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. В соответствии с этим уточнена и определена совокупность методических средств, необходимых для формирования у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею явлений реальной действительности, раскрыты содержание и объем понятия MP, адекватно отражающего указанную совокупность. Установлены взаимосвязи категории MP с феноменами практической и прикладной направленности, историзмом и др. и выявлена тенденция амплификации (расширения) в процессе генезиса данных понятий. Выделена совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальной действительности в процессе обучения (в том числе и задач, не являющихся прикладными).

Практическая значимость исследования заключается в разработке методического обеспечения разработанной концепции формирования и развития у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. На основе анализа и экспериментальной апробации различных методических форм реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике выявлена та методическая форма, которая наиболее оптимально сочетает наибольшее число позитивных сторон при минимуме недостатков. Отправляясь от этого, создана система задач и материалов, посредством которых осуществляется реализация методической реальностью математических абстракций в процессе обучения, состоящая из серий специальных плакатов (количественно свыше 200 экземпляров), связанных с конкретными темами курса школьной математики. Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся школьного возраста, разработана и практически реализована методика формирования мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности, включающая в себя описание конкретных форм работы и примеры их реализации на соответствующих упражнениях. Дано обоснование'эффективности (подтвержденной педагогическим экспериментом) использования данной методики в школьной учебной деятельности.

На защиту выносятся следующие положения:

Объем понятия MP составляют компоненты А,- В. (С. 7). Существенными признаками MP выступает ряд характеристик (С. 8).

4. Моделирование MP (объектами <SiPjMk>, где Sj, Pj, Mk - уровни сфор-мированности её компонентов) и соответствующий анализ стратегии возможных направлений реализации методической реальностью математических абстракций (трансформации этих объектов от простых к более сложным в рамках лидирующего направления, обусловленного изменением содержательного компонента MP) в обучении математике позволяют выделить из данных путей наиболее целесообразные и разработать соответствующее методическое обеспечение.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

заключение

1) На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществляется формирование первичных математических абстракций - числа и фигуры. Это выполняется путем: непосредственного оперирования реальными объектами - использования моделей геометрических фигур и тел, построения и измерения чертежей, схем, рисунков, использования приспособлений для счета; решения задач, раскрывающих взаимосвязи и отношения важнейших физических и пространственных величин; использования в процессе обучения математике экскурсов, раскрывающих исторические аспекты развития математического познания.

2) На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществляется формирование математических абстракций второго уровня.- предметных констант и переменных (термов), геометрических понятий. Это реализуется посредством: решения стандартных прикладных задач; использования задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными; реализации межпредметных связей математики с учебными предметами средней школы; использования лабораторных и практических работ.

3) На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел). Это осуществляется посредством решения нестандартных прикладных задач, реализации в процессе обучения содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой путем использования прикладной направленности обучения математике, использования элементов профессиональной ориентации учащихся, реализации связей математики с современным производством и техникой, использования элементов историзма.

4) Осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (формирование математических абстракций третьего уровня - абстрактных математических структур и дедуктивных теорий, отвлеченных от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними) и обратно -переход от абстрактной теории к другим ее возможным интерпретациям. Это реализуется посредством решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами, а также осуществления моделирования на уровне теоретического осмысления предмета математики; изучения основных законов развития природы и общества, связанных с системой общественных и производственных отношений, принципами и особенностями современного производства и техники, и раскрытия значения математики в научно-техническом прогрессе общества; осуществления анализа взаимосвязей идей философии и математики.

4. Понятие методическая реальность адекватно раскрывает совокупность Iзадачных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования у школьников представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений реальной действительности.

Объем понятия MP составляют компоненты А - В. (С. 192). Существенными признаками MP выступает ряд характеристик (С. 192-193).

5. MP выступает в процессе обучения математике как средство реализации целей обучения; средство целенаправленного формирования и развития знаний, навыков, умений; способ организации, управления и стимулирования учебно-познавательной деятельности; способ реализации методов, форм и средств обучения; способ применения знаний, навыков, умений (связи теории с практикой) и средство проверки, оценки и коррекции знаний, навыков, умений; средство реализации индивидуальных черт, способностей, интересов учащихся; средство формирования и развития мотивационно-потребностного, операционно-содержа-тельного и эмоционально-волевого компонентов личности.

6. Реализация методической реальностью математических абстракций в „4^. процессе обучения математике предполагает осуществление учебной деятельности в соответствии с принципами системности, целостности, иерархичности, структурности, открытости, комплексности, деятельности, непрерывности, наглядности, гуманизации и гуманитаризации. В процессе обучения математике реализуются следующие функции MP: образовательная, воспитательная, эвристическая, прикладная, развивающая, эстетическая, информационно-интегрирующая, гуманистическая, наглядно-иллюстративная, профессионально-ориентационная.

7. Выделение структурной единицы анализа MP позволяет моделировать ее объектами <SiPjMk>, где Sj, Pj, Мь - уровни сформированности её соответствующих компонентов: дидактических целей реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения - Si ; взаимосвязей учебно-познавательной деятельности с практикой и реализации межпредметных связей математики и историзма в процессе обучения уровня Pj ; моделирования уровня Мк . Анализ стратегии возможных путей реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике позволяет выделить из них наиболее целесообразный.

10. Проведенное исследование инициирует постановку и поиск путей разрешения целого цикла методических проблем, позволяющих наметить круг возможных перспектив предлагаемого научного направления. Среди этих проблем можно, например, указать. разработку критериального аппарата для оценки «прикладной емкости» создаваемых учебников и учебных пособий для средней школы, а также исследование влияния активно внедряемого в практику школьного обучения компьютерного обеспечения учебного процесса как средства реализации гуманитарного, мировоззренческого и прикладного потенциала школьного курса математики.

Таким образом, результаты исследования можно объединить в три группы. К первой отнесем результаты методологического характера: концепция исследования, теоретическая модель MP, понятийный аппарат. Вторую группу составляют результаты исследования модели MP, этапы овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня, образовательный потенциал MP, связь понятия MP с соответствующими понятиями теории и методики обучения математике, классификация MP, цели, содержание, методы, формы, средства реализации методической реальностью математических абстракций в школьном обучении математике, совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности. К третьей группе отнесем результаты приложения методологии и теории формирования у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности в школьном учебном процессе: разработанную систему лекционных занятий для курсов повышения квалификации работников образования, тематику и содержание спецкурса для студентов физико-математического факультета пединститутов, систему дидактических материалов для средней школы в виде комплекса серий-плакатов (свыше 200 экземпляров для курса школьной математики), которая многократно использована институтом образования в качестве рекомендуемых к распространению материалов из опыта педагогической работы.

327

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Егорченко, Игорь Викторович, Саранск

1. Адайкина Е.Ф. Прикладная направленность в преподавании математики / Проблемы развития математических способностей школьников. Саранск: Мордовск. республ. ин-т повыш. квалиф. работа, образования, 1996. С.33.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Пер. с фр. М.: "Советское радио", 1970. 152с.

3. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. М.: Школа-Пресс, 1998. 160с.

4. Александров А.Д. Научный поиск и религиозная вера. М.; 1974, 137с.

5. Александров П.G. Несколько слов по поводу речи Лобачевского "О важнейших предметах воспитания" // Математика в школе. 1977. № 2. С.45-47.

6. Амонашвили Ш.А. Здравствуйте, дети! М.: Просвещение, 1988. 208с.

7. Андронов И.К., Окунев А.К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. М.: Просвещение, 1967. 648с.

8. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. М.: Просвещение, 1987. 109с.

9. Аргунов Б.И. О некоторых путях и средствах реализации воспитательных функций школьного курса математики / Преподавание геометрии в 9-10 классах. Сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. М.: Просвещение, 1980. С. 6-24.

10. Аристотель. Соч. М., 1976, Т. I. 348с.

11. Арнольд В. И. Математика с человеческим лицом // Природа. 1988. № 3. С. 117-119.

12. Артемов А.К., Тихонова Н.Б. Основы методического мастерства учителя в обучении математике младших школьников. Самара: СамГПУ, 1999. 119с.

13. Бабанский Ю.К. Рациональная организация учебной деятельности. М.: Знание, 1981. 96с.

14. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике. М.: Просвещение, 1999. 80с.

15. Байдак В.А. Обучение доказательству теорем: теорема, доказательство теоремы, методы доказательства теорем // Современные проблемы методики преподавания математики. Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. М.: Просвеще328ние, 1985. С. 54-69.

16. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика: учеб. для 5 кл. ср. шк./ Под ред. Н.М. Матвеева. М.: Просвещение, 1989. 239с.

17. Бекбоев И. К вопросу осуществления связи обучения математике с жизнью. Обучение математике на материале задач с практическим содержанием. Фрунзе: Мектеп, 1964. 132с.

18. Бим-Бад Б.М., Петровский А.В. Образование в контексте социализации // Педагогика. 1996. № 1. С. 4-5.

19. Блехман И.И., Мышкис А.Д, Пановко Я.Г. Правдоподобность и доказательность в прикладной математике / Механика твердого тела, 1967. №2. С. 196202.

20. Блехман И.И., Мышкис А.Д, Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990. 356с.

21. Блонский П.П. Избранные психологические произведения. М.: Просвещение, 1964. 250с.

22. Блонский П.П. Память и мышление. М.: Соцэкгиз, 1935. 214с.

23. Болтянский В.Г. Геометрические преобразования плоскости / Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред. шк. Сост. И.Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. 383с.

24. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982. №2. С.40-42.

25. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. К вопросу о перестройке общего математического образования / Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя: Из опыта работы. Сост. Г.Д.Глейзер М.: Просвещение, 1989. С. 125-135.

26. Болтянский В.Г., Пашкова Л.М. Проблема политехнизации курса математики // Математика в школе. 1985. №5. С.6-8.

27. Большая Советская энциклопедия / Гл. ред. A.M. Прохоров Изд. 3-е М.: «Советская энциклопедия», 1975 Т. 21. 640с.

28. Брунер Д. Процесс обучения. М.: Просвещение, 1962. 206с.

29. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970.329191с.

30. Брюгтенер К.Х. Пути формирования творческого мышления школьников / Формирование творческого мышления школьников в учебной деятельности. Межвуз. сб. науч. тр. Уфа. Башкир, гос. пед. ин-т, 1985. С.39-48.

31. Бурбаки Н. Архитектура математики. М., 1972. 32с.

32. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. 312с.

33. Валицкая А. П. Философские основания современной парадигмы образования // Педагогика. 1997. № 3. С. 15-19.

34. Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Кн. для учащ. 6-8 кл.ср.шк /Под ред. В.А.Гусева. М.: Просвещение, 1989. 144с.

35. Вартофский М. Модели: репрезентация и научные модели: Пер. с англ. М., 1988. 506 с.

36. Вейте Р.А. Формирование инструментальных вычислительных умений при обучении математике в 4-5 классах: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М.,

37. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты//Математика в школе. 1988. №4. С.7-14.

38. Виленкин Н.Я., Сатволдиев А. Метод сквозных задач в школьном курсе математики / Повышение эффективности обучения математике в школе Сост. Г.Д. Глейзер М.: Просвещение, 1989. С.125-135.

39. Выготский JI.C. Воображение и творчество в детском возрасте. Психологический очерк. М.: Просвещение, 1967. 93с.

40. Гайбуллаев Н.Р. Практическая направленность учебно-воспитательного процесса. Ташкент: Укитувчи, 1986. 110с.

41. Гайбуллаев Н.Р. Практическая направленность обучения математике в школе. Ташкент: Укитувчи, 1987. 118с.

42. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: «Оникс», 1994. 511с.

43. Гегель Г. Наука логики. М., 1971, Т. I. 501с.

44. Глаголева Е.Г. Некоторые вопросы воспитания мировоззрения учащихся 6-8 классов / Преподавание алгебры в 6-8 классах: Сб. ст., Сост. Ю.Н. Макары-чев, Н.П. МиндюкМ.: Просвещение, 1980. С.262-269.

45. Глейзер Г.Д. Цели общего образования в современном мире // Инновации и традиции в образовании. Белград, 1996. С. 93-104.

46. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV-VI кл.: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981. 239с.

47. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл.: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1982. 240с.

48. Глушков В.М., Гнеденко Б.В., Коронкевич А.И. Современная культура и математика. М.: Знание, 1975. 64с.

49. Гнеденко Б.В. Знание истории науки преподавателю школы // Математика в школе. 1993. №3. С. 30-32.

50. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение,1985. 191с.

51. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1982. 145с.

52. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. 136с.

53. Гуманизация науки и гуманитаризация образования: Научно-аналитический обзор. М., 1995. 82с.

54. Гуманитарное знание: сущность и функции. СПб., 1991.48 с.

55. Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе: Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. СПб., 1996. 191с.

56. Гурова JI.JI. Психологический анализ решения задач. Воронеж. 1976.

57. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику ? Ч. 1. М.: Авангард, 1994. 168с.

58. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М., 1996. 544 с.

59. Давыдов В.В., Зинченко В.П. Предметная деятельность и онтогенез познания // Вопросы психологии. 1998. №5. С. 11-29.

60. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. М.: Просвещение, 1991. 80с.

61. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособ. для уч-ся 5-6 кл.ср.шк. М.: Просвещение, 1989. 287с.

62. Дидактика средней школы: некоторые проблемы современной дидактики / Под ред. М.Н. Скаткина. М.: Просвещение, 1982. 319с.

63. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. №4. С.59.

64. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования //Математика в школе. 1990. №6. С.2-5.

65. Дорофеев С.Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности: Монография. Пенза, 2002. 218 с.

66. Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко-генетического метода//Математика в школе. 2000. №6. С.68-70.

67. Дробышева И.В. Методы осуществления методической подготовки будущего учителя математики к дифференцированному обучению учащихся. Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики Вып. 4 Калуга, 2002. С. 210-218.

68. Егорченко И.В. Развитие интереса к математике путем постановки занимательных проблем и заданий. Проблемы развития математических способностей школьников. Материалы республ. науч.-практич. конф. / Мордов. РИПКРО. Саранск, 1996. С. 21-22.

69. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. XXXI науч. конф. преподавателей и студентов МГПИ имени М.Е. Евсевьева. / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1996. С.71-73.

70. Егорченко И.В. Методические формы реализации прикладной и практической направленности в обучении математике. XXXI науч. конф. преподава332телей и студентов МГПИ имени М.Е. Евсевьева. / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1996. С.69-71.

71. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. Гуманизация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1997. СЛ38-146.

72. Егорченко И.В. Прикладные аспекты в обучении математике, реализуемые в форме творческих заданий. Актуальные проблемы преподавания математики. Материалы науч.-методич. семинара. / Мордов. РИПКРО. Саранск, 1998. С.58-61.

73. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 10 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1998. С.52-54.

74. Егорченко И.В. Тенденция расширения понятий, отражающих совокупность материалов реального содержания, используемых в обучении математике. XXXIV науч. конф. препод, и студентов МГПИ им. М. Е. Евсевьева. / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1998. С.108-110.

75. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике. Современные проблемы психологопедагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 11 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1998. С. 70-74.

76. Егорченко И.В. Задачи, раскрывающие в процессе обучения взаимосвязи математики и реальной действительности. Современные проблемы психологопедагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 12 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1999. С. 78-82.

77. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: понятия, их возникновение и взаимосвязи. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 13 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 1999. С. 85-90.

78. Егорченко И.В. Использование явлений реальности как средство реализации мировоззренческих функций математики // Народное образование: Научно-метод. и инф. журнал Мин. образов. Республ. Мордовия. 2000. № 5. С. 15-22.

79. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике: к истории вопроса. Современные проблемы психолого-педагогических наук: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 14 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 2000. С. 48-54.

80. Егорченко И.В. Образовательный потенциал использования явлений реальности в обучении математике. Технические и естественные науки: проблемы, теория, практика: Межвуз. Сб. науч. тр. Саранск: СВМО, 2000. С.158-161.

81. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: теория и практика: Монография. Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 2001. 184с.

82. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: содержательные аспекты явления. Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. / Пензенский гос. пед. унит. Пенза, 2001. С. 183-189.

83. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике:1. A*образовательный потенциал и теоретическая модель. Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып. 3 / Вятский гос. пед. унит. Киров, 2001. С.164-169.

84. Егорченко И.В. Материалы, раскрывающие взаимосвязи математики и реальности в процессе обучения. Математическое моделирование: технологические процессы и научные исследования: Межвуз. сб. науч. тр. Вып I. Саранск: СВМО,2001. С. 117-120.

85. Егорченко И.В. Использование реальности в обучении математике (содержательные компоненты феномена). Математическое моделирование: техно1.логические процессы и научные исследования: Межвуз. сб. науч. тр. Вып I.

86. Саранск: СВМО,2001. С. 124-125.

87. Егорченко И.В. Об одном рисунке школьного учебника геометрии // Народное образование: науч.- методич. и инф. журнал министерства образования Республики Мордовия. 2001. № 6. С. 124-132.

88. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике: образовательный потенциал // Интеграция образования: федеральный научно-методический журнал Регионального учебного округа при МГУ им. Н.П. Огарева. 2001. № 4. С. 61-67.

89. Егорченко И.В. Роль и место реальности в обучении математике при формировании научного мировоззрения учащихся. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 2002. С. 65-71.

90. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть 1 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 2002. С.153-156.

91. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: системный анализ феномена. Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть 1 / Мордов. гос. пед. инт. Саранск, 2002. С. 47-51.

92. Егорченко И.В. Реализация целей математического образования и образовательный потенциал использования явлений реальности в обучении математике. Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики:

93. Материалы Всероссийской науч.-практич. конф., 2002. Нижний Новгород; НГПУ, С. 60-62.

94. Егорченко И.В. Реальность в обучении математике: содержание, объем, дефиниция понятия. Технические и естественные науки: проблемы, теория, практика: Сб. науч. тр. Вып И. СВМО, Саранск, 2002. С. 52-55.

95. Егорченко И.В. Использование явлений реальности в обучении математике учащихся средней школы: программа курса по выбору / Мордов. гос. пед. ин-т; Саранск, 2003. Юс.

96. Егорченко И.В. Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы: Монография. Мордов. гос.пед. ин-т; Саранск, 2003. 285с.

97. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности М.: Просвещение, 1990. 128с.

98. Жохов A.JI. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе (теоретический аспект): Монография: М.: Академия профессионального образования, 1999. 150с.

99. Задачи и упражнения по началам математического анализа. / Сост. Е.С.Канин, С.И.Калинин. Под общей ред. Е.С.Канина. Киров, 1997. 203с.

100. Загвязинский В.И. Противоречия учебного процесса и способы их разрешения // Советская педагогика, 1970, № 12. С. 20-29.

101. Загвязинский В.И. Развитие творческих способностей учащихся на основе самостоятельного проблемного анализа учебного материала / Проблемы способностей в советской психологии. М.: АПН СССР, 1984. С. 129-134.

102. Зайкин М.И., Колосова В.П. Провоцирующие задачи //Математика в школе. 1994. №6. С.32-34.

103. Зверева Н.М., Маскаева Т.Е. Дидактика для учителя: Учеб. пособие. Н.Новгород, 1996. 131 с.

104. Зворыкин А.О. О разработке проблемы научного творческого мышления // Наука и жизнь. 1967. №1. С.100-104.

105. Зинченко В.П. Психологическая педагогика. Материалы к курсу лекций. 4.1. Самара, 1998. 296с.

106. Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: Монография. Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998. с. 206.

107. Ильенков Э.В. Диалектическая логика. М.: Политиздат, 1984. 320с.

108. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. 288с.

109. Канин Е.С., Нагибин Ф.Ф. Заключительный этап решения учебных задач// Преподавание алгебры и геометрии в школе. Сост. О.А. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. С. 131-138.

110. Касьян А.А. Гуманитаризация образования: некоторые теоретические предпосылки // Педагогика. 1998. №2. С. 17-22.

111. Касьян А.А. Контекст образования: наука и мировоззрение. Нижний Новгород, 1996. 184с.

112. Касьян А.А. Математический метод: проблема научного статуса. Куйбышев, 1990. 96с.

113. Кедровский О.М. Методологические проблемы развития математического познания. Киев. Вшца шк., 1977. 230с.

114. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. М., 1988. 296 с.

115. ЬСларин М.В. Педагогическая технология в учебном процессе. Анализ зарубежного опыта. М., 1989. 75 с.

116. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. М.: Просвещение, 1990. 96с.

117. Когаловский С.Р. и др. Путь к понятию (От интуитивных представлений к строгому понятию). Иваново: ИПК, 1998. 208с.

118. Кожекина Т.В. Использование физического материала в обучении геометрии в VIII классе //Математика в школе. 1987. №2. С. 15-16.

119. Колмогоров А. Н. Математика//БСЭ. 2-е изд. 1954. Т.26. С.464-483.

120. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Изд-во МГУ, 1959. 30с.

121. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике (обучение математике через задачи и обучение решению задач). М.: Просвещение, 1977. 144с.

122. Колягин Ю.М., Пикан В.В. О прикладной и практической направленности обучения математике //Математика в школе. 1985. №6. С. 27-32.

123. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1976. 369с.

124. Конфорович А.Г. Атеистическое воспитание в процессе преподавания математики. М.: Педагогика, 1984. 160с.

125. Концепция математического образования в 12-летней школе: проект. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». №7, 2000. С. 1-5.

126. Кострикин А.П. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. 495с.

127. Кретинин О.С. Обобщение и специализация при изучении системы математических понятий: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1973. 24с.

128. Кретинин О.С. Формирование приемов обобщения и специализации в V классе //Математика в школе. 1972. №2. С.28-30.

129. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 210с.

130. Крутецкий В.А. Психология математических способностей у школьников. М.: Просвещение, 1968. 432с.

131. Крутихина М.В. Обучение элементам моделирования при- решении сюжетных задач в курсе алгебры 8-летней школы как путь реализации прикладной направленности школьного курса математики: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Д., 1986. 16с.

132. Крылов А.Н. Собр.тр., Т. I, Ч. 2-я. 477с.

133. Кулюткин Ю.Н., Сухобская Г.С. Развитие творческого мышления школьников. Л., 1967. 40с.

134. Леднев B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. М., 1991.224 с.

135. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М., 1977. 575 с.

136. Лернер И.Я. Проблемное обучение. М.: Знание, 1974. 64с. (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология", №7).

137. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М., 1980. 96 с.

138. Лернер И.Я. Развитие мышления учащихся в процессе обучения истории. М.: Знание, 1981. 128с.

139. Лобачевский Н.И. О важнейших предметах воспитания //Математика в школе. 1977. №2. С.42-44.

140. Лоповок Л.М. Задачи на восстановление записей (арфметических действий)

141. Математика в школе. 1967. №6. С.66-67.

142. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дисс. докт. пед. наук. Л., 1990.

143. Мадер В.В. Введение в методологию математики. М., 1994. 448с.

144. Майер Р.А. Задачи, направленные на развитие функционального стиля мышления школьников / Роль и место задач в обучении математике. М.; 1973. С. 36-50.

145. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математике в школе //Математика в школе. 1962. №2. С.3-14.

146. Маркушевич А.И. Преподавание в школе естественно-математических наук и формирование научного мировоззрения // Математика в школе. 1976. №2. С.10-12.

147. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. 3-е изд. М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. 848 с.

148. Математика в школе: Сб. нормат. документов / Сост. М.Р. Леонтьева, Б.С. Сорокин, В.В. Фирсов М.: Просвещение, 1988. 288с.

149. Мантуров О.В., Исаева М.А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1988. №3. С.38-41

150. Махмутов М.И. Проблемное обучение (Основные вопросы теории). М.: Педагогика, 1975. 367с.

151. Махмутов М.И. Теория и практика проблемного обучения. Казань: Таткни-гоиздат, 1972. 551с.

152. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьников. М.: Педагогика, 1989. 218с.

153. Меражов З.Ш. Формирование измерительных навыков при обучении математике (на базе восьмилетней школы): Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1986. 16с.

154. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. М.: Просвещение, 1980. 368с.

155. Методические рекомендации по усилению практической направленности Ы обучения математике: Из опыта работы учителя математики с/ш №14 г. Белорецка Башкирской АССР Хазанкина Р.Г. Саранск: Мордовск. ин-т. усовер. учит. 1988. 58с.

156. Мешков Н.И. Мотивация учебной деятельности студентов. Саранск, 1995. 184с.

157. Михайлов Ф.Т. Всегда ли мы знаем то, что знаем? // Управление школой. 1996. Ноябрь. № 2. С.27-30.

158. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. 303с.

159. Мордкович А.Г. О новом курсе алгебры для общеобразователной школы // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования: Сб. науч. работ, представленых на 53 Герценовские чтения. С.14-18.

160. Морозов Г.М. Проблема формирования умений, связанных с применением математики: Дисс. канд. пед. наук. М.; 1978. 150с.

161. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. М.: Мысль, 1969. 212с.

162. Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное обучение математике в общеобразовательной школе: Монография. Рязань: Изд-во РИРО, 1999. 112с.

163. Насыров А.З. Значение прикладного и исторического аспектов в преподавании математики. М.: Высш.шк., 1984. 63с.

164. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. 2-е изд. М.: Просвещение, 1990. 304с.

165. Общая психология. Учебник для студентов пед. ин-тов / Под. ред. А.В. Петровского. М., 1976.

166. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. М.: Наука, 1988. 159с.

167. Левина Р.Д. Формирование у учащихся 4-7 классов представлений об оригинале на основе знаковой учебной модели: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1986. 16с.

168. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: «Триада-литера», 1994. 200с.

169. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.: СТОЛЕТИЕ, 1994. 176с.

170. Перельман Я.И. Занимательная астрономия. Д.: ВАЛ, 1994. 208с.

171. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. Д.: ВАЛ. 1994, 288с.

172. Перельман Я.И. Занимательная физика. Т.2. Уфа: "Слово", 1993. 240с.

173. Платонов К.К. Структура и развитие личности. М., 1986. 255 с.

174. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособ. / Под. ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. 383 с.

175. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1961. 205с.

176. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. 452с.

177. Пойа Д. Математика и прадоподобные рассуждения. М.: Просвещение, 1975.

178. Пойа Д. Обучение через задачи //Математика в школе. 1972. №3. С.89-91.

179. Попов Г.Ф. Развитие творческих способностей учащихся / В помощь учителю математики. Сб.2: Коми-Пермяц. кн. из-во, 1962. С.39-53.

180. Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Математика без формул. М.: "Столетие", 1995.

181. Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Математика в образах. М.: Знание, 1989. 205с.

182. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. М.: Педагогика, 1989. 152с.

183. Протопопов Ю.К. Философские проблемы развития математики. М.: Высш. шк., 1983. 87с.

184. Противоречия школьного воспитания / С.В. Бадмаева, Е.Ф. Баранова,315с.208с.

185. О.Н. Лукашонок и др.; Под ред. М.Е. Щурковой. М.: Москов. город, пед. общество, 1998. 96с.

186. Профессиональная ориентация учащихся сельских школ в процессе обучения математики: Учеб. пособ. М., 1989. 40с.

187. Психолого-педагогический словарь для учителей и руководителей общеобразовательных учреждений /Под ред. П.И. Пидкасистого Ростов н/Д.: Изд-во "Феникс", 1998. 544с.

188. Пуанкаре А. О науке: Пер. с франц. М., 1990. 735с.

189. Пучкова Л.А. К вопросу о воспитании диалектико-материалистического мировоззрения учащихся в процессе решения математических задач / Воспитание школьников в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1981. С. 53-58.

190. Расстригин Л.А., Марков В.А. Кибернетические модели познания. Рига. «Зинатне», 1976. 236с.

191. Рахимов А.З. Сущность творческого мышления учащихся / Формирование творческого мышления школьников в учебной деятельности. Межвуз. сб. науч. тр. Уфа: Башк. гос. пед. ин-т, 1985. С. 12-23.

192. Режабек Е.Я. Категория противоречия и её роль в теоретическом познании // Философские науки. 1985. №3. С.53-55.

193. Резник Н.А. Использование и развитие визуального мышления на уроках математики: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Л., 1990. 13с.

194. Родионов М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике. Дисс. докт. пед. наук. Саранск, 2001. 381с.

195. Российский энциклопедический словарь: в 2 кн. М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. 2015с.

196. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. В 2 т. T.l М.: Педагогика, 1989. 485с.

197. Рузавин Г.И. О природе математического знания. (Очерки по методологии математики.) М.: Мысль, 1968. 302с.

198. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука,1983. 302с.

199. Рузин Н.К. О постановке вопроса к решению задачи //Математика в школе. 1970. №4. С.48-49.

200. Рутман Л.М. Проверим практикой //Математика в школе. 1988. №5. С.50-51.

201. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математических знаний. М.: Просвещение, 1988. 160с.

202. Рыбников К. А. История математики. М.: МГУ, 1974. 455с.

203. Рыжик В.И. 25000 уроков математики: Кн. для учителя: Из опыта работы. М.: Просвещение, 1993. 241с.

204. Рязанова Л.М. Опыт использования элементов историзма в воспитании мате-риалистичского мировоззрения учащихся в процессе обучения математике //Математика в школе. 1982. №4. С.50-52.

205. Саранцев Г.И. Гуманизация и гуманитаризация математического образования / Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе. Материалы Всероссийской науч. конф. МГПИ. Саранск, 1998. 252 с.

206. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики //Математика в школе. 1995. №5. С.36-39.

207. Саранцев Г.И. Деятельностный подход к осмыслению понятия "Знание" / Математический вестник педвузов Волго-Вятского регина. Вып. 3. Киров, 2001. С. 121-123.

208. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск, 2001. 144с.

209. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие. Саранск, 1999. 208с.

210. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240с.

211. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики. Саранск, 1997. 160с.

212. Сафонова В.Ю. Внеурочная работа по математике в 4-5 классах как важная форма воспитания интереса учеников к предмету: Автореф. дисс. канд. пед.1. JK

213. Семушин А.Д. Политехническое содержание школьного курса математики //Математика в школе. 1977. №4. С.20-22.

214. Семушкин А.Д.,Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизция мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978. 64с.

215. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. М.: Наука, 1989. 240с.

216. Сергеева А.Б. Осуществление взаимосвязи школьных курсов математики и физики на основе идеи вектора: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Калинин, 1970. 20с.

217. Симонов А.С. О математических моделях экономики в школьном курсе математики //Математика в школе. 1997. № 5. С.72-74.

218. Скаткин М.Н. Школа и всестороннее развитие детей. М.: Просвещение, 1980. 144с.

219. Скаткин М.Н., Батурина Г.И. Межпредметные связи, их роль и место в процессе обучения /Межпредметные связи в процессе преподавания основ наук в средней школе: Тезисы Всесоюзной конференции. М.: НИИ общей педагогики АПН СССР, 1973, чЛ, С. 18-23.

220. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения. М.: Прометей, 1994. 152с.

221. Соболев C.JI. Судить по конечному результату // Математика в шкколе. 1984. №1. С.15-19.

222. Совайленко В.К. Об обновлении тематики школьных задач // Математика в школе. 1994. №5. С.49-52.

223. Совайленко В.К. Система обучения математике в 5-6 классах: Кн. для учителя: Из опыта работы. М.: Просвещение, 1991. 479с.

224. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышейшая школа, 1986. 414с.

225. Стукалов В.А. Использование представлений о математическом моделировании в обучении математике: Дисс. канд. пед. наук. М.; 1976. 176с.

226. Сухорукова Е.В. Прикладные задачи как средство формирования математического мышления учащихся: Дисс. канд. пед. наук. М., 1997. 193с.

227. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М., 1975. 343с.

228. Терешин Н.А. Мировоззренческая направленность курса методики преподавания математики: Учеб. пособ. Прометей, 1989. 105с.

229. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. М.: Просвещение, 1990. 96с.

230. Тесленко И.Ф. Формирование диалектико-материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики. М., Просвещение, 1990.ц 250. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999. 304с.

231. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М.: Наука, 1979. 206с.

232. Успенский В.В. Школьные исследовательские задачи //Сов. педагогика, 1968. №7. С.31-36.

233. Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Дисс. докт. пед. наук. М., 1998. 363с.

234. Учебно-наглядные пособия по математике / Сб. стат., Ред. и сост. A.M. Пышкало. М: Просвещение, 1968. 312с.

235. Фаермарк Д.С. Развитие интереса к математике. М.: Учедгиз, 1962. 88с.

236. Файзуллаев А. Конструктивные методы в школьном курсе геометрии как средство осуществления связи теории с практикой: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Минск, 1986. 18с.

237. Файштейн В.А., Егорченко И.В., Будко А.В. Петербург подсказывает задачи // Математика в школе. 2003. №4. С. 18-21.

238. Факультативный курс по математике: учеб. пособ. для 7-9 кл. / Сост. И.Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. 383с.

239. Федосеев П.Н., Фролов И.Т. Материалистическая диалектика: краткий очерк истории. М.: Политиздат, 1980. 193с.

240. Философский словарь / Под ред. М.М. Розенталя. Изд. 3-е. М.: Политиздат, 1975.496 с.Г

241. Философская энциклопедия / Гл. ред. Ф.В. Константинов М.: «Советская энциклопедия», 1967. Т. 4. 592с.

242. Философский энциклопедический словарь / редакторы-составители Е.Ф.Губский, Г.В. Кораблева, В.А. Лутченко М. ИНФРА-М, 1999. 576 с.

243. Философский энциклопедический словарь. / Гл. ред. Л.Ф. Ильичев, П.Н. Федосеев, С.М. Ковалев и др. М.: Сов. Энциклопедия, 1983. 840с.

244. Фирсов В.В. О прикладной направленности курса математики // Углубленное изучение алгебры и анализа. Сб. ст. М.: Просвещение, 1977. С. 216-239.

245. Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. М.: Просвещение, 1999. 112с.

246. Фоминых Ю.Ф. Теоретические основы развития научного мировоззрения учащихся средней школы в системе математического образования: Дисс. докт. пед. наук. М., 1993. 322с.

247. Формирование научного мировоззрения учащихся / Под ред. С.И. Моно-сзона, С.И. Правдина. М.: Педагогика, 1985. 232с.

248. Формирование учебной деятельности школьников / Под ред. В.В. Давыдова, И. Ломпшера, А.К. Марковой. М., 1982. 216с.

249. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. 208с.

250. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 1984. 80с.

251. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. 180с.

252. Фридман Л.М. Самостоятельность в решении задач. (О методике проведения практических занятий по математике.) //Вестн. высш. школы, 1970. №3. С.88-89.

253. Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М.: Мир, 1977. 261с.

254. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч.И. М.: Просвещение, 1983. 192с.

255. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики / Повышение эффективности обучения математике в школе: Книга для учителя: Из опытаработы / Сост. Г.Д. Глейзер М.: Просвещение, 1989. С. 18-38.

256. Хинчин А.Я. Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятностей //Вопросы философии, 1961. № 1. С. 91-Ю2, № 2. С. 77-89.

257. Хуторской А.В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика. М.: Межд. пед. академия, 1998. 266с.

258. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск. Вы-шэйш. шк., 1978. 168с.

259. Шабашова О.В. Геометрия в древних практических задачах //Математика в ^ школе. 1995. №5. С.79-81.i

260. Шакуров Р.Х. Психология преодоления: контуры новой теории // Известия РАО. М.: Магистр, 1999. С.77-88.

261. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982. 208с.

262. Шаронова Н.В. Методика формирования научного мировоззрения учащихся при обучении физике. М.: «МАР», 1994. 183 с.

263. Шаталов В.Ф. Учить всех, учить каждого / Педагогический поиск. М.: Педагогика, 1990. С. 143-210.

264. Швырев B.C. Научное познание как деятельность. М., 1984. 232 с.

265. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М.: Из-во АПН РСФСР, 1959. 293с.

266. Штейнберг И.Л. Подготовка будущих учителей к привитию материалистического мировоззрения учащимся при изучении геометрии в школе // Математика в школе. 1974. №1. С. 18-19.

267. Шкарин А.Б., Сандлер Б.Г. Алгебраические задачи в технике. (Сборник задач). М.: Учпедгиз, 1962. 116с.

268. Штофф В.А. Моделирование и познание. Минск: Наука и техника, 1974. 212с.

269. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Кн. для учителя М.: Просвещение, 1994. 221с.

270. Шубинский B.C. Формирование диалектического мышления у школьников. М.: Просвещение, 1979. 48с.

271. Шумилин А.Т. Проблемы структуры и содержания процесса познания. М .1. МГУ, 1969. 166с.

272. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. М.: Просвещение, 1979. 160с.

273. Энгельс Ф. Анти-Дюринг//Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т.20. С.5-338.

274. Эрдниев О.П. От задачи к задаче по аналогии. М.: СТОЛЕТИЕ, 1998. 288с.

275. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255с.

276. Яглом И.М. Математика и реальный мир. М.: Знание, 1978. -63с.

277. Якиманская И.С. Образное мышление и его место в обучении // Советская педагогика, 1968. №12. С.62-71.

278. Якутова М.И. Пути реализации прикладной направленности алгебры восьмилетней школы: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1988. 16с.

279. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. 280с.

280. Grassman М. Naherungsrechnung in Klase 6 // Math. Schule, Berlin 20 (1982) 4, S. 244-257.

281. Hiele Van P. H. La pensee de Г enfant et la geometrie, «Bulletin de Г АРМ», 1959, 198.

282. Moldenhauer W. Notwendige und hinreichende Bedingungen // Math. Schule, Berlin 20 (1982) 4, S. 266-270.

283. Paul S. Praxis Mathematik - Zur: Geschichte und zu einigen methodologischen Problemen der angewandten mathematik // Math. Schule, Berlin 20 (1982) 4, S.258-265.

284. Zahlen und Fakten: Intensivierung als Hauptweg der Entwicklung der gesell-schaftlichen Produktion //Math. Schule, Berlin 20 (1982) 4, S. 271-274.