автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методические особенности изучения геометрических приложений комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики

Автореферат диссертации по теме "Методические особенности изучения геометрических приложений комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики"

А П

ь а

« Г)

. Л

к.-

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОТОВА ШИЯ ВЛАДИМИРОВНА

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЙ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Московском государственном открытом педагогическом университете.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент Л. О. Деннщева.

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент С. Л. Атанасян.

Официальные оппоненты:

Заслуженный деятель науки России, доктор педагогических наук, профессор А. Г. Мордкович,

кандидат физико-математических наук, доцент Н. С. Денисова.

Ведущая организация - Ярославский государственный педагогически!! университет.

Защита состоится 17 апреля 1996 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 113.25.04 в Московском государственное открытом педагогическом университете по адресу: 109004, Москва, ул. Верхняя Радищевская, 16/18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московской: государственного открытого педагогического университета.

1996 г.

Ученый секретарь

/а

/

А. И. Нижников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Одним из центральных понятий школьной) курса математики является понятие числа. Его без преувеличения называют стержнем, фундаментом школьного курса математики. Это и одно из наиболее трудных понятий. Его особенностью является то, что оно находится в развитии, формируется у учащихся постепенно. На протяжении школьною * обучения понятие числа обогащается по содержанию, включая в себя все новые классы чисел и качественно изменяется вместе с сознанием учащихся, приобретая новые черты и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и лошческои завершенности. Последним этапом развития понятия числа в курсе математики школ и классов с углубленным изучением лчт> н|х:дмета является шакомство с множеством комплексных чисел.

Тема "Комплексные числа" имеет немаловажное идейно-научное шаченне. Она предоставляет большие во1можностп для математическою рашитня учащихся. Действительно, в лой теме подводится итог учению о числе, излагавшемуся в различное время в течение предшествующих чез обучения; учащиеся получают представление о современных алгебраических понятиях, знакомятся с нетривиальным примером алгебраического объема -нолем, двумерной алгеброй, с рядом основных положений теории многочлешш н алгебраических уравнений; аппарат комплексных чисел является хорошим средством решения геометрических задач, в следствие чего этот материал nací большие возможности для показа связи алгебры и геометрии, елинсим математики как науки.

Вместе с тем, рассматриваемая тема, как правило, плохо усваннасгея учащимися. Об этом свидетельствуют выступления в печати матемагнмт и мелодистов (П.Я.Внленкина, А.М.Колмогорова, А.И.Маркушевича. СИ. Новоселова, А.И.Фетисова, А.Я.Хннчина), данные днссерпшиоиныч исследований (В.М.Кухарь, Э.АЛаудынн, O.I1.Шаровой), беседы с учителями, преподавателями вузов, результаты наших наблюдений за выпускниками uimh. Можно выделить следующие основные недостатки в знаниях учащихся по лип теме: непонимание реального смысла комплексных чисел и oicytcmiic представлений об их приложениях. Одним из эффективных путей преолилення укамнных недостатков является изучение геометрических приложении комплексных чисел. Действительно, знакомство школьников с лнм мазериалом иоишзяет расширить их представления о применения \ комплексных чисе i. пок.п.нь н\ шичммость: в то же в|>емя оно способеmyei IK.OIII.IIIHHI )4,iiiiiiMik я шнможнисш ik iio il idh.iiiiih комплексных чнее i ;i и

характеристики векторных величин, а следовательно, раскрытию реального смысла новых чисел.

Методические особенности изучения комплексных чисел в школе раскрыты в статьях многих математиков и методистов (И.Я.Баркова, И.Я.Внленкнна, Е.Г.Гаркави, М.В.Гиршовича, Г.В.Дорофеева, М.Е.Драбкиной, А.Н.Колмогорова, А.И.Маркушевнча, С.И.Новоселова, А.И.Фетисова и др.). В них предла1-аются различные подходы к введению этот понятия, анализируются вопросы, связанные с изучением свойств новых чисел, правил действии над ними. Некоторые аспекты изучения геометрических приложении комплексных чисел раскрыты 8 работах Е.Д.Куланнна, ГЛ.Луканкина, П.Я.Понарина, Ч.А.Скопеиа, И.М.Яглома н др. В них предлатется теоретический и задачиын материал, но остаются без внимания вопросы методики и (учения соответствующих понятий, методов и т.н.

Проблемы изучении' комплексных чнсеч » средней школе рассматривались в диссертациях Н.М.Кухарь, 'О.А.Лаудыип, 0.11.Шаровой и К).И.Гол ьлберга.

В диссертационной работе Ю.И.Ги/и.лбсрм исследован вопрос о во ложности орг.жн ышт повторения и углубления основных сведений о действительных числах до введения мнимых чисел и прослежено влияние этой работы на изучение учащимися мнимых чисел и формирование понятия комплексного числа. Однако, разработкой вопросов методики изучения комплексных чисел автор занимается фрагментарно, об нх приложениях не упоминается.

В.М.Кухарь в своей диссертации приводит исторические сведения о развитии понятия комплексного числа, которые мшуг быть использованы в средней школе в процессе преподавания, дает краткий об юр теорий комплексных чисел с точки зрения возможности их использования в средней школе. Автор анализирует трудности введения мнимых чисел и основные ошибки учащихся, связанные с этими трудностями, на этой основе с учетом различных подходов к введению комплексных чисел разрабатывает методические рекомендации по подготовке к введению мнимых чисел в средней школе и обеспечению дальнейшего закрепления и полного осознания учащимися этого понятия. Вместе с тем автор не занимается разработкой вопросов методики изучения приложении комплексных чисел и подготовки к изучению этого материала.

Вопросы изучения приложении комплексных чисел рассмотрены в диссертациях О.П.Шаровой п Э.А.Лаудынн.

О.П.Шарова на основе анализа содержания темы "Комплексные числа" II различных подходов к введению понятия комплексного числа в

отечественной и зарубежной учебно-методической литературе с учетом недостатков в знаниях учащихся по данной теме разработала вариант ее изучения в 10 классе средней школы. Основной его особенностью является сочетание обучения комплексным числам на уроках математики и внеклассных занятиях, при этом обращается внимание на геометрические приложения комплексных чисел. Ею также разработан вариант факультативного изучения этой темы в 9-10 классах по программе факультативного курса "Дополнительные главы и вопросы математики", расширенной вопросами, связанными с приложениями комплексных чисел в различных разделах школьного курса математики (комплексные числа и решение алгебраических уравнений, геометрические преобразования) и физики (сложение и разложение скоростей и сил, использование комплексных чисел при расчете цепей переменного тока).

Диссертация Э.АЛаудыни посвящена методической разработке преподавания некоторых вопросов геометрии в школе и пединституте на базе комплексных чисел. В ней показана плодотворность использования этих чисел в преподавании некоторых вопросов школьной геометрии, представлен материал факультативного курса в школе и спецкурса для студентов педвузов по геометрии комплексных чисел.

Таким образом, в диссертациях О.П.Шаровой и Э.АЛаудыни рассмотрены вопросы изучения геометрических приложений комплексных чисел. Однако, указанные авторы не вычленяют принципы отбора содержания, подлежащего изучению, требования к системе упражнений, не разрабатывают методику обучения учащихся решенню геометрических задач с помощью комплексных чисел.

Итак, вопросы отбора содержания и методики изучения геометрических приложений комплексных чисел в школе остались недостаточно разработанными. Преподавание математики в классах с углубленным изучением этого предмета имеет особенности, которые должны учитываться при отборе материала, задач, отражаться в акцентах методики преподавания, в применяемых средствах обучения. Таким образом, налицо противоречие между необходимостью совершенствования методики изучения комплексных чисел посредством включения в содержание обучения их геометрических приложений и недостаточной разработанностью принципов отбора соответствующего материала и методики его изучения. Это и определяет актуальности нашего исследования.

Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования методики изучения комплексных чисел и их геометрических приложении в классах с углубленным изучением математики.

!

Иелдг_лсслсясвашш - разработать методику изучения комплексных и дуальных чисел, направленную на осознание учащимися реального смысла этих чисел и формирование представлений об их приложениях.

Обьектлссждшшш - процесс обучения математике учащихся классов с углубленным изучением математики.

11рсдмс1_жслежаваяни - содержание и организация познавательной деятельности учашнхея при изучении комплексных чисел и их приложений.

В ходе исследования нами была выдвинута гипотеза: изучение комплексных чисел с ориентацией на их геометрические приложения будет способствовать формированию представлений о приложениях комплексных чисел и осознанию реального смысла комплексных чисел.

Для реализации поставленной пели необходимо было решить следующие )ааачц:

1. Обосновать целесообра шость шучення геометрических приложений комплексных чисел, дуальных чисел и их геометрических приложений.

2. Выявить особенности методики изучения комплексных чисел, ориентированной на знакомство сих геометрическими приложениями.

3. Определить содержание и разработать методику изучения геометрических приложений комплексных чисел.

4. Определить содержание и разработать методику изучения дуальных чисел, элементов геометрии Галилея и приложений дуальных чисел к решению задач галнлеевон геометрии.

Проблема, пели, задачи исследования обусловили выбор методов исследования: анализ психолого-недагогичесмш, математической и методической литературы, школьных программ по математике, учебных и учебно-методнческнх пособий по математике для средней школы: наблюдение уроков учителей: беседы с учителями, нреполаваз-елямн вузов; экспериментальная работа.

Научная новизна н теоретическая значимость исследования заключается в разработке концепции изучения комплексных и дуальных чисел, ориентированной на раскрытие реального смысла этих математических объектов и их геометрических приложений.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть использованы при разработке методических пособий для учителей; в учебном процессе при изучении курса алгебры и начал аналнм в классах с ушубленным изучением мазематнкн. на факультативных (.тятях с учащимися II класса: н лекциях дчя учнзелей и студентов млк'машчсскич (|мк\ нимон но.чну юн. ,

На зашиту выносится:

1. Методика изучения комплексных чисел и их геометрических приложений в курсе алгебры и начал анализа классов с углубленным изучением математики.

2. Методика изучения дуальных чисел, геометрии Галилея и приложении дуальных чисел к решению задач галнлеевой геометрии на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов н выводов обеспечивается использованием разнообразных методов исследования, соответствующих поставленным задачам; опорой на результаты психолого-пелагошческих и методических исследований.

Апробация оспо^щ.удрлцАсцшыирсдультатов исследования. Ос нови ые результаты исследования были представлены автором на Всероссийским семинаре преподавателей математики педвузов "Подготовка учителя математики в педвузах в условиях профильной и уровневой дифференциации обучения" (Елабуга, 1994 г.), на межрегиональной маучно-практнчеемш конференции "Содержанке, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе" (Орехово-Зуево, 1995 г.), на Герценонскпх чтениях "Школьное математическое образование: вопросы содержания и методов" (С.-Петербург, 1995 г.), на заседании кафедры алгебры и геометрии МГОПУ (1995 г.).

Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИИ РДЬОТЫ.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы п 2-х приложений.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулирую к-и проблема, цель, гипотеза исследования, его объект и предмет; опрелелякисм задачи и методы исследования, показывается научная новизна к практическая значимость работы, формируются теоретические результаты.

Первая глава "Теоретические предпосылки совершенствования методики изучения комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики" состоит из двух параграфов. В первом параграфе в историческом аснекге рассмотрен вопрос становления и развития содержания темы "Комплексные числа" в школьном курсе математики, анализируются различные подходы к введению понятия комплексного числа.

И учение нршрамм позволило сделать вывод о том, что наиболее потном с точки зрения итожения теории комплексных чисел является нрофамма лчя

ь

школ (классов) с углубленным теоретическим и практическим изучением математики 1987 года. Ее отличительная особенность состоит в том, что она содержит вопросы, связанные с применением комплексных чисел не только в алгебре, но и в геометрии, причем применение комплексных чисел к решению геометрических задач содержится в требованиях к математической подготовке. В настоящее время внимание к геометрическим приложениям комплексных чисел ослаблено. Недостаточно внимания уделяется этому важному вопросу и в учебно-методической литературе. Об этом свидетельствует проведенный нами анализ отечественных и зарубежных учебных и учебно-методических пособий для средней школы.

Сравнительный анализ различных вариантов изложения теории комплексных чисел в учебно-мсзодическон литературе показал, что .можно выделить 6 подходов к введению комплексных чисел. Комплексное число может вводится как:

1) число вида а+Ы , те а и h - действительные числа, а число i определяется условием:

i=>/-Т :

2) вектор плоскости;

3) оператор растяжения и поворота на плоскости;

4) формальное выражение a+bi , гае а и b - действительные числа;

5) упорядоченная пара действительных чисел.

Шестой подход связан с введением комплексного числа с помощью понятия поля. При рассмотрении указанных подходов мы аналн шровалн прежде всего их методические качества: наглядность, достуииость, во)можность использования в приложениях, соответствие целям щученпя комплекЬных чисел и т. п. Достоинством первого из указанных подходов является "естественность" определений операций над комплексными числами. Кроме того, следует заметить, что широко используется именно ашебранческая форма записи комплексного числа, поэтому при любом введении указанного понятия обычно осуществляют переход к этой форме записи. Однако такой подход обладает следующим недостатком. Говорить о корне из -I можно лишь после расширения v множества действительных чисел такого, что в новом множестве чисел уравнение

2

Х+1=0 - имеет решение.

Потому укашнное введение комплексного числа не корректно. Основными д1Чзоинсзвамн ••немирного" подхода являются накшдиость и удобство нснолыовання в к'оморнчсскнх приложениях. К недостаткам можно отнести

го, . что при таком введении комплексное число выступает в рот

геометрического понятия, а не объекта арифметики, что уводит в сторону от

идеи расширения понятия числа. Операторное определение комплексных

чисел допускает наглядное истолкование всех соотношений между

комплексными числами, в частности равенства

X

В этом его преимущество. Однако, кроме недостатка, указанного при анализе "векторного" подхода, который в равной степени присущ и операторной форме введения, следует заметить, что попытка изложить теорию комплексных чисел на основе операторной теории числа методически себя не оправдала н не получила распространения в школьной практйке. Достоинством формальнологического определения комплексных чисел является внимание к вопросам теоретического характера, от обсуждения которых при других способах построения принято уклоняться. Наиболее распространенным является введение комплексных чисел на основе теории пар. Достоинства данного подхода состоят в возможности естественным обрезом перейти от определения к геометрической интерпретации комплексных чисел и с единых позиций в доступной учащимся форме изложить основы теорий комплексных, дуальных, двойных чисел. Недостатком такого йодхода является слабая мотивированность вводимых определений. Однако, от него легко избавиться. Введение комплексных чисел с помощью понятия поля приводит к необходимости доказательства существования поля комплексных чисел, которое может быть осуществлено путем реализации одного из указанных выше подходов, что требует дополнительных затрат времени. Можно постулировать возможность надлежащего расширения поля действительны* чисел, но это вряд ли целесообразно в специализированных классах.

Анализ рашичных подходов к введению комплексных чисел позволил сделать вывод, что для наших целей наиболее подходящим являезеи определение комплексных чисел на основе теории пар.

Во втором параграфе первой главы раскрыты психолого-педаготческие основы обучения геометрическим приложениям комплексных чисел.

Анализ решений различных типов геометрических задач метолом комплексных чисел позволил сделать вывод о том, что для успешного применения теории комплексных чисел к решению геометрических задач » ходе обучения необходимо сформировать у учащихся ряд •специальных" умений:

• не итообрашо выбрать снсгему мюрлнпат:

• нс|ювссш >о'ниню и г|К'Гмшанио мычи на тык комп-юксных чнее.г.

- no mimen условия сдачи на языке комплексных чисел получить адекватную eii îaniicb требования залами:

- перевести результат на геометрический Я1ык.

lin своему характеру это обобщенные умения (т.е. умения, необходимые при решении целого ряда задач). Исходя из этих соображений и принятого нами определения умения из различных современных концепций обучения, нами бы за выбрана концепция Е.Н.Кабановон-Меллер, связанная с разработкой обобщенных приемов (способов) деятельности. Раскрыты основные положения jToíi коннспннн и указано их применение в проведенном исследованин.

* Задачей обучения является организация деятельности учащихся по усвоению изучаемого материала. При этом особая роль принадлежит обобщенным приемам, т. к. именно они создают ориентировочную основу псятельнпстн по решению учебных задач и обеспечивают переносимость приемов на широкий круг новых частных залам, необходимы для самостоятельного решения задач н овладения знаниями, играют существенную рочь в умственном развитии учащихся. Здесь наиболее важным является умение учителя выделить приемы учебной деятельности разной степени обобщенности. Помочь учителю может следующая схема анализа материала:

Типология

учебных

залам

Конкретные типы задач

Знания и умения, необходимые для решения задач каждого типа

Соответствующие приемы учебной деятельности

Неизменное содержание деятельности по решению задач разных типов

Обобщенный прием учебной деятельности

Так, в нашем исследованин для определения состава обобщенного приема решения геометрических задач методом* комплексных чисел нами вначале определялась совокупность задач, однородных по своей содержательно-логической конструкции, которые могут быть решены с использованием единого приема. В результате мы получили типологию геометрических задач, решаемых с помощью комплексных чисел. Выделив совокупность задач определенного типа, проанализировав ее с точки зрения содержания системы действий, мы фиксировали состав приема решения задач

каждого типа. Анализ приемов решения рапичимх типов геометрически* залач позволил сформулировать обобщенный прием решения геметрическнх талач методом комплексных чисел:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Установить соответствие между точками (векторами) плоскости, заданными в условии задачи, и комплексными числами. '

3.-Перевести условие и требование задачи на язык комплексных чисел.

4. Доказать пли найти выделенное соотношение.

5. Перевести результат на геометрический язык.

Вторая глава "Методика преподавания комплексных и дуальных чисел и их геометрических приложении в курсе алгебры и начал анализа классов с углубленным изучением математики" состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе разрабатываются методические принципы преподавания комплексных и дуальных чисел и их геометрических приложении.

Обобшая мнения различных математиков и методистов, авторов диссертационных работ, мы пришли к выводу, что изучение темы "Комплексные числа" преследует следующие основные цели:

1) углубление прсяставлений о понятии числа:

2) знакомство учащихся с основными положениями теории алгебраических уравнении и многочленов:

3) дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки:

4) повышение математической культуры учащихся.

На основе анализа иелей введения комплексных чисел, а также знании и умении, необходимых учащимся для успешного овладения их геометрическими приложениями, разработаны принципы построения методики преподавания комплексных чисел, ориентированного на изучите их геометрических приложении: принципы расширения понятия числа, реального смысла, оптимальной полноты, пропедевтики геометрических приложений. Согласно принципу расширения понятия числа, следует подвести учащихся к изучению комплексных чисел как к логическому завершению и обобщению известных им до этого видов чисел. Этот принцип согласуется с принципом проблемности развивающего обучения. Принцип реального смысла предполагает оптимальное сочетание абстрактной формы нового понятия (комплексного числа) с наглядными геометрическими образами. Этот принцип соответствует следующему требованию развивающего обучения: оптимально развивать разные виды мыслительной деятельности^ абстрактно-логическое, и наглядно-образное, и наглядно-действенное мышление).Принцип оптимальной полноты предусматривает необходимость вооружить учащихся таким объемом

) 1

знаний, который бы позволил найти их применение в школьном курсе, иоказап бы преимущество нового математического аппарата и пробудил бы интерес к идеям современной математики; Следуя принципу пропедевтики геометрических приложений При изучении комплексных чисел надо руководствоваться стремлением максимально раскрыть геометрическую сторону рассматриваемых вопросов, Подготовить учащихся к изучению геометрических приложений комплексных чисел посредством формирования умения переводить математические факты с геометрического языка на язык комплексных чисел и обратно.

В процессе формйрокайия методических основ преподавания геометрических приложений Комплексных чисел охарактеризовано значение изучения этого материала, разработаны Принципы отбора содержания.

Гпри отборе материала, подлежащею и1ученню по рассматриваемой теме, следует руководствоваться принципами: оптимальной широты применимости, выделения опорных знаний, многократной применимости, культуросообразностн. Принцип оптимальной широты применимости предусматривает вооружение учащихся таким объемом знаний, который бы оптимально расширил круг задач« решаемых с помощью комплексных чисел, н дал возможность продемонстрировать преимущество нового метода решения геометрических задач.ПрйнциПЫ выделения опорных знаний и многократной применимости позволяют минимизировать объем изучаемого материала. Следуя принципу выделения опорных знаний) целесообразно обеспечить изучение учащимися прежде всего тех знаний, на основе которых мо1уг быть получены остальные необходимые сведения. Принцип многократной применимости предполагает включить I содержание обучения знания, используемые при решении большинства ^адицндИнЫх задач школьного курса геометрии методом комплексных чМсел. Наконец, принцип культуросообразностн предусматривает введенйе в содержание обучения того теоретического материала, который важен С точки зрекня повышения математической культуры учащихся, позволяет Повторить, систематизировать, углубить, имеющиеся у школьников знанняЛ

Анализ выделенных нами целей изучения дуальных чисел и требований к методике изучения комплексных чисел позволил сформулировать методические принципы преподавания дуальных чисел: расширения понятия числа, оптимальной полноты я аналогии понятий и фактов. Первые два из перечисленных принципов являют?* принципами отбора содержания по п'орнн луапных чисе.|. И* формулировка несколько отличается от ь потен/тяпни» пчТмиинин к мОпинм' напаивания комплексных чисел, но >ы 1ЧШ хин сныимкн •(!<> н мним! 1н и» ючр.нпш. "с ирис" нашанни.

Принцип аналогии понятий и фактов лежит в основе построения методики изучения дуальных чисел. Следуя ему, при изучении дуальных чисел целесообразно осуществлять аналогии между соответствующими понятиями и математическими фактами теорий дуальных и комплексных чисел.

На основании аналогии между применениями в геометрии комплексных и дуальных чисел сделан вывод о целесообразности при изучении геометрических приложений дуальных чисел рассмотреть те же вопросы, чзо и при изучении геометрических приложений комплексных чисел, руководствуясь при этом принципом аналогии понятий и фактов.

На основании анализа учебной, методической, психологической литературы охарактеризовано значение изучения геометрии Галилея, ем» преимущества но сравнению с изучением геометрии Лобачевской). Определены прнпнипы отбора содержания (принципы оптимальной полноты и культуросообра шости) и требование к методике преподавания (принцип аналогии понятии и фактов) этого материала,

Второй нлрафаф второй главы посвящен разработке метлики преподавания комплексных п луачьиых чисел. В нем покашна специфика организации обучения комплексным числам, построенного на выработанных принципах.

Руководствуясь пришитом расширения понятия числа, п основу введения комплексных чисел в школе надо положить идею дальнейшего расширения понятия числа. Прежде, чем приступить к введению комплексных чисел необходимо система гншрпвать шапня учащихся об hibccihi.ix iim расширениях ПОНЯ1НЯ числа. Следуя ирнишшу реального смысла cpaiy ас после определения комплексных чисел и операции нал -ними необходимо . иеренти к их геометрической интерпретации. Принцип пронслепшкн геометрических приложений щюдусматрнвает уделить большое внимание выясненню геометрического смысла рассматриваемых понятий, выражении и i. и. 1'го учет при изучении различных вопросов теории комплексных чнсеч иллюстрирует приведенная ниже таблица.

N.. теоретический вопрос пропедевтика геометрических приложений

1 Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия с комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек, векторов плоскости. Геометрическая ингернретацня сложения и вычитания комплексных чисел, геометрический смысл ранснс1в: г'--г. г'=г+п

Пролнлжсиис

2 Сопряженные комплексные чнела. Геометрический смысл равенства г'= г

3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Геометрический смысл понятий модуля и аргумента; геометрический смысл выражения |г-\у |, где г и V/ - произвольные комплексные числа.

4 Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Геометрический смысл операции умножения на комплексное число.

Нами разработана система упражнении, построенная с учетом принципа пропедевтики геометрических приложений.

Кроме того, во втором параграфе второй имвы охарактеризована специфика методов изучения темы "Комплексные числа" в классах с углубленным изучением математики: широкое использование проблемных ситуаций на всех этапах обучения; приведены примеры.

На основе разработанных принципов отбора содержания предложена программа изучения теории дуальных чисел. Рассмотрены методические особенности преподавания выделенных вопросов, построенного на выработанных принципах.

Третий параграф посвящен разработке методики изучения геометрических приложений комплексных и дуальных чисел. В нем на основе выделенных принципов отобрано содержание темы "Применение комплексных чисел в геометрии" и предложена последовательность ее изучения. Разработана методика обучения учащихся решению геометрических задач с помощью комплексных чисел в процессе изучения выделенных вопросов, направленная на формирование обобщенного приема такого решения посредством анализа и обобщения частных приемов.

В результате отбора материала предложена программа изучения геометрии Галилея. Раскрыта специфика организации обучения этому материалу. Предлагаемая нами методика базируется на принципе аналогии понятии и фактов. Руководствуясь указанным принципом, при изучении базовых понятий галилеевой геометрии следует сопоставлять соответствующие определения "ново!«" и евклидовой геометрии. Для оргашгашш такой работы, сиетематташш полученных результатов целесообразно заполнить с учащимися следующую таблицу:

Базовые понятия в евклидовой геометрии в галилеевой геометрии

рисунок формула рисунок формула

Расстояние между лпумх точками у ь У« "Г !., сМ (Х2-Х,)г* у £ ---|а2 1 1 1 1 , сМх2-х,1 А/«,/

0 Х1 ч ( у ъ 6 0 *1 «1 ч а2 ! 1 -!-

Утл межлу цкумя прямыми II »¡ШЯИНММН урлшишкми: у 0 ¡Фу 7х<» А. Т кк,ч у ь

II

Р-ктюямис межлу илр.ишои.пы-МП прямыми II С^ку*) у > / Т.

и ' А (1- / •■—■к

Расиояннс 111 Н1чм« М(^у0) ЯО прямой ' у=кх+5 у Ус М у. ' Ртг у Уо ---м Vх /

0 / Хс г 0 / Хс X

I »

и

"Аналогичную работу следует провести и при изучении фигур плоскости Галилея. Соблюдение указанного принципа помогает мотивировать вводимые определения. В диссертации приведены примеры.

На основании результатов экспериментального преподавания сделан вывод об эффективности параллельного изучения геометрии Галилея и геометрических приложений дуальных чисел.

В четвертом параграфе второй главы описаны организация и результаты экспериментального обучения, основной целью которого являлась проверка эффективности разработанной методики изучения комплексных и дуальных чисел и их геометрических приложений. В эксперименте участвовали учащиеся 11-х классов с углубленным изучением математики школы-гимназии № 654 г.Москвы. Итоги экспериментального обучения подтвердили эффективность разработанной методики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного исследования получены следующие результаты:

1. На основе анализа учебно-методической и психолого-педагогической литературы обоснована целесообразность изучения геометрических приложений комплексных чисел, дуальных чисел и их геометрических приложений. Установлено, что изучение приложений комплексных чисел к решению геометрических задач имеет большое научное и воспитательное значение, а именно: дает новое средство решения геометрических задач, способствует дальнейшему развитию представлений о единстве математики как науки, усилению мотивации изучения алгебры комплексных чисел, убеждает учащихся в реальности и полезности новых чисел, пробуждает интерес к идеям современной математики; изучение дуальных чисел и их приложений к решению задач галнлеевой геометрии способствует систематизации и обобщению знаний учащихся о комплексных числах, повышению их математической культуры.

2. На основе анализа целей введения комплексных чисел, знании и умений, необходимых учащимся для успешного овладения их геометрическими приложениями, с учетом принципов развивающего обучения сформулированы принципы преподавания комплексных чисел, ориентированного на изучение их геометрических приложений: расширения понятия числа, реального смысла, оптимальной полноты, пропедевтики геометрических приложений. Раскрыт? специфика организации обучения, построенного на выработанных принципах.

3. На основе рацибогашшх принципов оптимальной широты применимости, вьослгимя шюрних знании, ышмшф.шши применимости и

культурпсообра ihoctii определено содержание темы "Применение комггн-ki них чисел в геометрии".

4. Установлено, что обучение применение комплексных чисеч к решению геометрических задач предполагает формирование определенной системы обобщенных умений. Разработана методика обучения учашихся решению геометрических задач методом комплексных чисел, направленная па формирование обобщенного приема такого решения.

5. Па основе анализа целей изучения »теории дуальных чисеч сформулированы принципы ее преподавания: расширения понятия числа, оптимальной полноты и аналогии понятии и фактов. В соответствии с принципами оптимальной полноты и расширения понятия числа отобрано содержание изучения теории дуальных чисел. Раскрыты методические особенности преподавания этого материала, построенного на принципах расширения понятия числа и аналогии понятий и фактов. Обосновано, что при щученнп геомефических приложений дуальных чисел нелесообра то рассмотреть те же вопросы, что н при шучеиин геометрических приложении комплексных чисел, руководствуясь при зтом принтиюм аналогии поияжй и фактов.

6. На оспине разработанных принципов оптимальной полнот и кульгуросообрашосзн составлена программа и (учения геометрии Галичея. Описана методика преподавания этого материала, базирующаяся па принципе аналогии понятии и фактов.

(Х'новное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Некоторые вопросы метлики щучення теории комплексных чнее i // Пснхолот-пслагошчсскис проблемы обучения п воспитания: Сборник нлхчных статей аспирантов. • M., 1994. - С. 96-99.

2. Некоторые аспекты подготовки учителя к преподаванию комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики И Подготовка учи геля математики в условиях профильной и уровневой дифференциации обучения: Тезисы докладов XIII Всероссийского семинара преподавателей матемликн педвузов. - Елабуга, 1994. - С. 84.

3. Изучение геометрических приложении комплексных чисел Н Школьное математическое образование: вопросы содержания и методов-Тезисы докладов на Герценовскнх чтениях. - С.-Петербург, 1995. - С. 28-29.

4. К вопросу о реализации принципов развивающего обучения при изучении комплексных чисел // Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе: Тезисы докладов межрегиональной научно-практической конференции. - Орехово-Чуево, 1995. - С. 61-63.

5. Дуальные числа и геометрия Галилея. Часть I. // Математика: еженедельное приложение к газете "Первое сентября". - 1995. - N.'2. - С. 6-7.

6. Дуальные числа и геометрия Галилея. Часть 2. // Математика: еженедельное приложение к газете "Первое сентября". - 1995. - №7. - С. 4-5.

I а.1 [Л/д ЛИ] .'.и дЧ. и хИиО'Ч