автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика изучения основных понятий математического анализа без использования теории пределов

Автореферат диссертации по теме "Методика изучения основных понятий математического анализа без использования теории пределов"

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИ!'! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени П. И. ЛЕ1ШИЛ

Специализированны!'! сонет Д 113.08.11

На правах рукописи

ЛРЛКЕЛЯН Коркш Гярегппопнч

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ (для школ с углубленным изученном математики)

lo.00.02 — методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Армянском педагогическом государственном институте имени X. Лбовяна.

Научный руководитель:

Член-корреспондент ЛИП СССР, доктор физико-математических паук, профессор БОЛТЯНСКИЙ В. Г.

Официальные оппонент ы: Доктор педагогических наук, профессор Г. Д. ГЛЕЙЗЕР Кандидат педагогических паук, доцепт В. Л. ГУСЕВ

Ведущая организация — Самаркандским Государственным Университет.

.Чащнта состоится-жЖ?...» 1991 г. ча-

сов па заседании специализированною совета Д 113.08.11 г, Москопском педагогическом государственном университете имени 13. II. Ленина, но адресу: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., 1, а уд. 209.

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке университета по адресу: 115)882, Малая Пироговская ул., 1.

Автореферат разослан апреля 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

¿Ыш"- Г'-Б ЛУД1ША

I. ОБЩАЯ ХАРШЕРЙСТИКА РАБОТЫ.

Актуальноеть псследованяя.Школьная реформа требует решительного поворота педагогической науки к иуядам школы, страны, к требованиям научно-технической революции, требует усиления внимания I к уровню подготовки учащихся, к нуждам учителей. Критика в ад-1 рес Академии педагогических наук СССР и органов народного образования, развернутая на страницах газет и журналов, требует привлечения новых идей в педагогику, в содержание и взаимную увязку школьных курсов по различным предметам.

Важная составная часть -реформы школы - совершенствование преподавания предметов естественно-математического цикла. Математика, физика, химия, биология всегда служили теоретической основой производственной деятельности. Особенно повышается роль этих наук сейчас, в эпоху научно-технической и компьютерной революции, в эпоху ускорения развития социалистического производства, введения прогрессивных технологий, гибких автоматизированных производств и широкого внедрения современной вычислительной техники.

Введение в курс математики новых тем (таких, как движения, векторы, производная и др.), а также внедрение нового курса "Основы информатики и вычислительной техники" было продиктовано требованиями научно-технической революции, успехами современной науки (в первую очередь физики, химии, биологии), развитием микроэлектроники, достижениями производства и социалистического народного хозяйства. Изучение начал математического анализа находится как бы в фокусе всех этих проблем. О важности овладения элементами математического анализа в плане обеспечения производственной сферы современными высококвалифицированными кадрами, повышения уровня обороноспособности страна и получения выпусти -каш школ наиболее важных элементов современной культуры и овладения основа».® наук говорили многие ученые, методиста, педагога и среди них акадешки, члены-корреспоцденгы, доктора и кандидаты наук М.А.Лаврентьев, А.Н.Колыогоров, С.М.Никольский, А.И.Мяр-кушевич, В. Г. Болтянский, 0. С. Ивашев-Муса топ, М.М.Постпиков, Г.Д. Глейэер, Ю.Ы.Колягин, Н.Я.Виленкин, С.И.Швадабурд, А.М.Абрамов, Г.В.Дорофеев, Н.В.Чхаидзе, Д.Д.Кудрявцев и многие другие.

Успехи внедрения начал математического анатаза несомненны. Однако быстрые темпы перестройки привели к появлению п рода не-

достатков. В отношении математического анализа одним из основных недостатков является копирование содержания, последовательности геы, методики изучения, свойственных вузовскому преподаванию этой дисциплины: действительные числа, предел и непрерывность, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление.

Эта схема была перенесена в среднюю школу без критического осмысления, без экспериментальной проверки соответствия этого пути изложения возрастным особенностям школьников и их психологии восприятия. Результаты общеизвестны. Многолетняя практика преподавания начал математического анализа в школе убедительно показывает, что учащиеся не усваивают теорем о пределах, не говоря ужо о методике "£-5" - рассуждений". Поэтому строить в массовой школе изложение теш о производной на основе теории пределов педагогическл неоправданно.

Разумеется, сказанное не относится к школам и классам с углубленным изучением математики, где контингент учащихся специально подобран. Однако и в этих школах и классах дублирование вузовского курса анализа в несколько сокращенном объеме совершенно нецелесообразно.

В целях дальнейшего совершенствования школьного образования в области начал математического анализа и его приложений необходимо тщательно исследовать взаимосвязь понятий математического анализа с алгеброй и теорией функций, а также с физикой, отобрать наиболее важный для изучения материал, усовершенствовать методику его изучения. Особенно важна исследовательская работа в направлении поиска новых методов изложения понятий математического анализа, упрощения доказательств, нахождения новых форм подачи материала, выяснения наиболее эффективной последовательности изложения тем математического анализа, их взаимосвязи друг с другом и с материалом курсов алгебры и физики.

Вааность этих проблем для советской общеобразовательной и профессионально-технической школы (как массовой, так и с углубленным изучением математики) особенно усиливается в связи, с тем, что курс начал-математического анализа является в нашей школе сравнительно молодым. Методика работы по этому предмету во много« еще не разработана, несмотря на наличие ряда глубоких и интересных исследований, среди которых в первую очередь следует отметить работы А.Н.Колмогорова, Д.С.Понтрягина, Д.К.Фадеева, А.Я.Хинчшш, В.Г.Болгянского, Ю.М.Калягина, Ы.И.Башыакова, С.И. Шварцбурда, Н.Я.Вняенкина, А.Г.Ыордковича, Ш.А,Алимова, О.С.Ива-

шева-Мусатова, М.Б.Балка, В.А.Гусева, Г.Г.Масловой. Н.А.Терошина, Л.О.Денищевой, М.С.Гельфанда. Необходим пояск новых форм и методов введения понятий и изложения материала математического анализа и тщательный эксперимент для подтверждения осуществимости этих новых форм и методов и их прогрессивного влияния на глубину и качество знаний, приобретаемых учащимися.

Объектом диссертационного исследования является изучение дидактических проблем использования производной в средней школе и возможности введения этого понятия в восьмом классе физико-математической школы. К объекту исследования относится такие теоретическое обоснование целесообразности изучения производной именно в восьмом классе, возможности постпоения основных понятий анализа (производной, первообразной) без систематического использования теории пределов и обоснование отказа от. теории пределов в рамках общеобразовательной средней школы. Мы здесь опирались на работы МЛ.Башмакова, В.А.Гусева, О.С.Иваиева-1.1усатова, Н.А.Тершина и других авторов, а таюке на наши исследования.

Предметом исследования предлагаемой диссертации является возможность построения курса основ математического анализа в 8-м классе физико-математической средней школы, основанного на изложении этого курса без использования теории пределов, а также выработка рекомендаций для изучения этого курса (в упрощенном варианте) в 8-м классе массовой школы с широким использованием ыежпредметных связей курсов математики и физики.

Теоретический анализ курса начал математического анализа, его понятий с их взаимосвязями и методики изложения курса в различных учебника, а также современных научных тенденций в области математики и ее приложений позволяет выдвинуть следующую основную гипотезу: перестановка там о производной курса математического анализа в 8-й класс (в рамках физико-математической школы) и связанное с этим видоизменение методики изложения основных разделов курса, а таете влияние курса физики на формирование математических понятий и показ их связи с жизнью, с окружающей реальной действительностью позволяет существенно улучшить преподавание начал математического анализа, добиться улучнения и углубления знаний учащихся.

В соответствии с этой гипотезой становится понятной цель ЙСАШОВанид; обоснование и разработка такой последовательности я форма изложения отдельных тем и подтем курса математического анализа, которая обеспечивает оптимальное осуществление препо-

давания курса математического анализа и обуславливает дальнейшее совершенствование преподавания этого предмета, К цели исследования относится также постановка, разработка и решение методических вопросов,связанных с особенностями изучения начал математического анализа в В-м классе, физико-математической школы, а также с межпредметными связями курса начал математического анализа и курса физики 8-го класса.

Достижение поставленной цели основывается на решении следующих частных задач исследования:

- осуществить отбор материала, связанного с понятием производной, целесообразного для изучения в восьмом классе;

- разработать принципы построения учебного материала, связанного с определением производной на основе положения о том, что разность АЦз"е) -имеет более высокий порядок малости по сравнении с ¿ас и уточнить приемлемое для школы понимание термина "малая более высокого порядка";

- доказать преимущество такого изучения понятия производной (в восьмом классе) для углубления изучения курса алгебры и осуществления межпредметных связей с курсом физики; .

- дать теоретически обоснованные методические рекомендации азло&еит материала, связанного с производной, в восьмом классе;

- провести экспериментальную проверку и дать экспериментальное подтвервдение правильности выдвинутой гипотезы и педагогической эффективности предлагаемых перестановок и видоизменений.

Новизна исследования состоит в разработке целостной (теоретически я методически обоснованной) системы преподавания начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы без опоры на теорию пределов. В этом направлении определенные продвижения были получены рядом исследований. В первую очередь следует отметить работы М.И.Бадаакова,, В.А.?усева,О.С. Ивашева-Мусатова, Н.А.Термина и др. В этих работах наметены подходы к более раннему изучению понятия производной, к ослаблению роли теории пределов при выводе свойств производной, к установлению более прямой связи меаду приращениями я производными. Однако, разработки материала, связанного с производной, в виде целостной системы, сочетающей отход от теория пределов с математической строгостью изложения (чт- оообенно важно для физико-математической школы), предложено не было. В разработке такой систеш (о привлечением свойств лшшяцевых функций) заключается новизна предлагаемого исследования.

Для достижения поставленной цели, подтверждения выдвинутой

гипотезы и решения поставленных задач наш применялись следующие методы исследования.

1. Изучение педагогической, психологической и методической литературы, посвященной преподаванию начал математического анализа в школе, изучение различных учебников и научных работ по этой теме.

2. Проведение наблюдений на уроках, посвященных изучению видоизменяемых или подвергающихся перестановке в 8-й класс тем и подтем курса математического анализа в экспериментальных и контрольных классах, изучение ответов учащихся, а также контрольных и самостоятельных работ с целью обнаружения закономерного углубления знаний, умений и навыков учащихся.

3. Педагогический эксперимент, связа1гчый с преподаванием начал математического анализа по видоизмененным программам и составленным учебным материалам; анализ данных эксперимента путем проведения экспертных оценок и их обработки средствами математической статистики.

4. Беседы с учителями и проведение анкетирования (среди учащихся) с целью выявления углубления интереса к математике и влияния перестановок материала в 8-й класс и видоизменения курса начал математического анализа на облегчение его усвоения.

Достоверность проведенного исследования обусловлена теоретическим анализом с опорой на принципы дидактики; статистически достоверными выводами аэ проведенных экспериментов; результатами внедрения разработанных учебных текстов, эадачного материала и методических рекомендаций в практику преподавания.

Практическая значимости исследования заключается в том, что предложены новые эффективные приемы изложения начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы, которые обеспечивают действенные и широко используемые меяпред-метные связи курсов математики и физики, а таете позволяют углубить знания учащихся.

Апробация работы. Результаты исследования были доложены и обсуждены на кафедрах методики преподавания математики Ереванского государственного педагогического института имени Абовяна и Московского государственного педагогического университета имени Ленина, на годичных научно-практических конференциях преподавателей и методистов в Ереванском городском ИУУ и на кафедре алгебры Батумского государственного педагогического института (1987 г.).

,Основ¡Щ$ УЮШтт.КЪОАУШШЯл которые выносятся на защиту.

1. На основе теоретического анализа психодого-ведагогической литературы,научно-методических источников, изучения состояния преподавания начал математического анализа, обобщения передового опыта учителей и личного опыта преподавания автором были определены основные направления, в которых должны осуществляться видоизменения курса начал математического анализа при его переносе

в 8-й класс (в рамках физико-математической школы) и меяпредмет-ные связи курсов математики и физики. Этими направлениями являются липшицевы функции, связь между приращениями функции и аргумента, производная, дифференциал, первообразная.

2. 3 результате проведанного анализа выявлены недостатки в преподавании нат*ал математического анализа, которые связаны с копированием вузовского курса высшей математики, использованием теория пределов и введением понятия производной с помощью предела. Вскрыты типичные трудности и ошибки, которые обнаруживаются при таком изучении начал математического анализа в школе.

3. Разработаны теоретические я соответствующие им методические модели, позволяющие осуществить решение проблем преподавания начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы. В частности, дана принципиально новая модель изучения производной (на материала многочленов и липшцевых функций) в 8-м классе, основанная на новой идейной основе преподавания математического анализа и решающая проблемы преподавания курса анализа без опоры на пределы, а такие решающая проблемы кежпродмеиных связей математики и физики в 8-ы классе; построена развернутая модель преподавания начал математического анализа в 8-м классе, устранявшая несоответствия курсов математики и физики; предложена система занятий (теоретический материал и упражнения), способствующая улучшению знаний учащихся школ с углубленным изучением математики. Разработана также упрощенная модель аналогичных видоизменений, приемлемая для массовой школы,

4. В ходе поискового, а зате;л проверочного экспериментов получено подтверждение педагогической и методической правильности и эффективности разработанной идейной основе преподавания начал . математического анализа на основе рассмотрения лшзпшцевых функций и замены опо*ы на предел рассмотрением приращения функции в его главной (линейной) части. В частности, подтверждено, что разработанная система видоизменений математического материала, база-

рующаяся на этой идейной основе, впервые и в наиболее полном виде решает проблему осуществления преподавания начал математического анализа без опоры на понятие предела и межпредметннх связей курсов математики и физики. Подтверждено, что эти видоизменения и перестановки не нарушают, а усиливают логическую линию изложения материала в курсе математики.

5. Разработана конкретные методические рекомендации осуществления такого построения курса математики, которое основано на указанной идейной основе и полностью решает проблемы преподавания начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы. Эти методические рекомендации содержат учебные материалы и систему задач по тема.-« курса начал математического анализа, которые подвергаются видоизменениям и перестановкам (действительные числа, ляпшицевы функции, производная, первообразная), а также систему диагностических задании, позволяющих судить о математической подготовленности учащихся к изучению дальнейшего курса начал математического анализа.

Структура диссертации. В соответствии с логикой исследования диссертация приобрела следующую окончательную структуру. Введение. Глава Теоретический анализ основ школьного курса математического анализа. Эта глава содержит 5 параграфов, которые посвящены дидактическим проблемам, связанным с понятиями предела, непрерывности, производной, первообразной, лшшш-цевой функции. Глава П: Методические основы построения курса математического анализа (.для школ с углубленным изучением математики). Эта глаиа содержит 5 параграфов, посвященных методическим аспектам теоретического анализа, проведенного в главе 1, а также экспериментальному обоснованию разработанной методики. Вывода. Список литературы(67 названий).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава содержит теоретический анализ дидактических проблем использования предела, производной и первообразной в средней школе и межпредметных связей курсов математики и физики, а также сопоставление свойств непрерывных и липшицевых функций. Рассматривается вопрос о степени строгости и полноты доказательств при изложении начал математического анализа и обсу-здаются пути введения понятия производной без использования теории пределов.

§ I главы I посвящен вопросу о дидактических проблемах использования пределов в курсе математики. Обсуждается тог путь введении строгости в изложение начал математического анализа, который основан на использовании понятия предела и связанной с ним £-2? техники. Показывается, что этот путь, представляющий собой копирование (в несколько упрощенном изложении) вузовского курса высшей математики, совершенно неприемлем для массовой средней школы.

Теоретический анализ перечисленных вопросов завершается рассмотрением дидактических проблем использования понятия предела в школьном курсе математики. На анализе конкретного материала в нашем исследовании показано, что эти теш остаются за пределами ясного понимания для большинства учащихся средней школы, и ставится задача построения курса начал математического анализа без опоры на понятие предела. Заметам, что само по себе понятие предела важно, наглядно просто и, несомненно,, должно присутствовать в курсе. Однако техника работы с пределами и пришедшее из вузовских учебников определение непрерывности и, главное, производной на якобы усвоенном формальном понятии предела для школы недопустимо.

Завершается параграф рассмотрением межпредметных связей курсон физики и математики.

§ 2 главы 1 трактует вопрос о применении понятия непрерывности в курсе начал математического анализа. Формулировки теоремы Вейервгграсса, теоремы о промежуточных значениях (или теоремы о корне, используемой в последних изданиях учебника /427 под редакцией А.Н.Колмогорова) и дгоугнх свойств непрерывных функций в традиционном обучении сообщаются всем учащимся. В то же время само понятие непрерывности, опирающееся на неусвоенное учащимися понятие предела, является лишь формально пройден-

ним (при всей наглядной его покятости). В связи с этим обсуждается общий вопрос о степени строгости и полноты доказательств при изложении начал математического анализа. Полное исследование этих проблем уместно в школах (ш классах) с углубленным изучением математики.

Третий параграф главы I посвящен изучению производной в курсах физики я математики. Понятие скорости движения является одним из основных в физике и основным в курсе 8-го класса. Однако, в математике соответствующее понятие (производная) изучается лишь в 9-м классе ввиду кажущейся сложности этого понятия (вводимого по аналогии с высшей школой).

Приводится модель изучения производной на основе оценки разности -/ах/ , т.е. через £'(Ло) обоз-

начается такое число, что эта разность имеет более высокий порядок малости по сравнении с Ах. . Для высянения смысла термина "величина более высокого порядка малости по сравнению с Лхи рассматриваются конкретные примеры, которые делают естественным понимание величины более высокого порядка малости по сравнению . с Ах , как величины 1 , оцениваемой (на заданном отрезке) неравенством ¡^¡¿М^х)2' .. Дается обоснование этого определения на основе теоремы Лагранжа и предположения о непрерывности второй производной (этот анализ предназначен, резумеется, не для учащихся, а для теоретического выяснения смысла определения) .

Параграф заканчивается замечаниями о применимости этой модели в 8-м классе физико-математической школы, а также обсужца-втся те упрощения, которые делают ее приемлемой для массовой школы.

§ 4 главы 1 имеет особенно важное значение в вопросе преподавания начал математического анализа и осуществления меж-цредметннх связей математики и физики. Здесь рассматривается понятие.первообразной, его трактовка и значение для курсов математики и физики. Несоответствие в преподавании этого понятия в курсе математики с необходимостью его применения в курсе физики особенно резко сказывается на преподавании обоих предметов. И это несоответствие правде всего состоит в том, что изучение этих вопросов в курсе математики запаздывает, по крайней мере-, на год по сравнению с их потребностями в курсе физики.

Рассматриваемая модель состоит в дополнительном рассмотрении (в рамках физико-математической школы) еще двух теорем, фактически означающих пропедевтику понятия первообразной. Одна из этих теорем (непосредственно вытекающая из теоремы Лагранжа) говорит о том, что функция, определенная на некотором отрезке и имеющая нулевую производную, является константой. Вторая (являющаяся непосредственным следствием первой) утверждает, что две функции, определенные на некотором отрезке л имеющие одну и ту же производную, отличаются лишь на константу. Эти теоремы позволяют дать простой и математически строгий вывод формулы перемещения для равноускоренного движение.

В § 5, которым завершается первая глава диссертации, сопоставлены результаты исследования, проведенного в предыдущих параграфах. Трудности, связанные с введением теории пределов (л ее ¿-В -техники), а также целесообразность применения понятия производной в 8-м классе школы приводят к выводу о желательности такого изложения материала о производных, которое совсем не опирается на сколько-нибудь развитую теорию пределов. Подход, приемлемый для физико-математических школ, основан на поиске строгого введения понятия производной (с доказательством основ-яых ее свойств) не на основе теории пределов, а на каком-либо ином характеристическом свойстве производной. В предлагаемом изложении в качестве определения производной (вместо свойства, 'выражаемого пределом а обычно принимаемого за определение про-: изводной), берется положение о том, что равность ' Л£(х0) — £'(ХВ)АХ. имеет более высокий порядок малости по сравнению с АХ . Здесь преяде всего показывается, что сравнительно сложное понятие непрерывности (основанное при традшдаоином изложении на использовании понятия предела) целесообразно заменить логически более простым (но вполне достаточным для всей теории элементарных функций) понятием лшшшцввой функции, т.е. тако* функции, заданной на некотором отрезке, что при некотором /С справедливо равенство

//¿г*.;-

для любых , , взятых из рассматриваемого отрезка

(или в более короткой записи [Ау/^К/Ах/ ). Формулируются и доказываются основные свойства лишицевых функций, используемые в нашей модели изучения начал математического анализа, Доказывается, что для лишицевых функций справедливы тео-

рема о корне и теорема Ввйеритрасса. Приводятся доказательства этих теорем, причем они не требуют использования теории пределов. Эти доказательства не настолько просты, чтобы их рассматривать в массовой школе, но в физико-математической школе они успешно усваиваются.

В заключительной части параграфа приводятся обсуждение вопроса о связи липшицевых функций с понятием первообразной. Доказывается теорема о площади криволинейной трапеции под графиком положительной липшицевой функции. В качестве следствия пен-лучается результат о том, что для каждой липшицевой функции, определенной на отрезке ь] , существует первообразная. Таким образом, при том определении понятия производной, которое введено в § 3 первой главы диссертации,получается корректная модель построения математического анализа функпяй, имеющих липши-цеву производную. Эта модель вполне достаточна для физико-математической школы (и для вуза), причем она является математически строгой, достаточно простой для усвоения и не требующей опоры на теорию пределов.'

Детали этого построения (с приведением фактического материала, приближающегося к учебному тексту) приведены вместе о ■ методическими пояснениями по второй главе дассертацаи. - ,

Вторая глава посвящена методическому обеспечении того построения курса начал математического анализа без использования теории пределов, которое было теоретически исследовано в первой главе. Теоретические гипотезы, обоснованные в штп параграфах первой главы, здесь получают свое методическое обоснование,

В § I главы П дается методика изложения тем о действительных числах д пределах. Предлагается аксиоматический подход, представляющий собой (с точки зрения учащихся) как бы повторение известных 'ему свойств.чпеел, я в то яа время обеспечивающий владение веет свойствами действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби появляются при'обсуждении рациональных приближений действительных чисел (в виде конечных десятичных дробей). Вместе с тем такой подход дает сопоставление свойств рациональных л действительных чисел, что существенно длялености понимания, Заканчивается параграф обсуждением понятия предала в той форме," в которой оно достаточно для рассмотрения в школе.

' В тексте параграфа приведены фрагменты учебных материалов

- и -

с

J

и примеры задач по теме о действительных числах, которые были использованы в нашей экспериментальной работе в физико-математической школе № I при Ереванском государственном университета.

В § 2 главы П представлена методика изложения тем, связанных с непрерывными и лшшицёвыми функциями^ Второе из этих понятий является основным. Приводится учебный текст, показывающий несложность этого материала для школ и классов с углубленным изучением математики, и методические замечания по изучению этого материала.

§ 3 главы П содержит методические замечания, связанные с рассмотрением скорости движения в физике, определением производной в математике. Дается развернутая методика раннего введения понятия производной в курсе алгебры 8-го класса. По программе предусмотрена тема о приращениях аргумента и функции. Мы в нашей методике рассматривали и отношение приращений, довода изложение этого вопроса до понятия производной, причём производная рассматривалась в 8-м классе только для многочленов (и, разумеется, без использования понятия продела и без 6-0 -техники). Производная вводится (в соответствии с излагаемой методикой) описательно, наглядно, с опорой на параллельно изучаемые физические понятия. Естественно место для этого - первая четверть 8-го класса", когда в курсе физики изучается понятие мгновенной скорости.

В заключительной части параграфа рассматриваются метода- ■■ ческие вопросы, связанные о введением понятия касательной к графику функции. Приводится описание проблемной ситуации, подводящей учащихся (под руководством учителя) к пониманию связи медду касательными и производными. Следует подчеркнуть, что это дает лишь интуитивные соображения, поскольку точного математического определения понятия касательной ранее дано не было. Как итог, формулируются определение мгновенной,скорости движения и касательной к графику дифференцируемой функции с помощью математического понятия производной. Учащиеся физико-математической школы получают -четкие представления о том, что формулы

следует рассматривать как математические определения (подкрепленные наглядными и интуитивными соображениями) понятия мгновенной скорости и понятия касательной.

§ 4 главы Д посвящен методике изложения тем, связанных с применениями производной и первообразной. Рассматриваются методические приемы, связанные с рассмотрением теоремы Лагранжа и ее приложений. В соответствии с линией на осуществление межпредметных связей с курсом физики, интерпретация теоремы Лагранжа дается как в механической, так и в геометрической форме. Приво- ■ дится ряд задач (некоторые о решениями), применявшихся для' подкрепления методической линии. В заключительной частя параграфа изучается методика применения теоремы ферма к решению математических и физических задач на нахождение наибольших и наименьших значений. Параграф заканчивается методическими замечаниями об использовании понятия первообразной и определенного интеграла для вычисления площадей и работы. В частности, приводится строгий (и доступный восьмиклассникам без натяжек) вывод формулы перемещения для равноускоренного движения.

Наконец, в 5-м, последнем параграфе главы П дается описание экспериментов, проведенных лично автором или под руководством автора, по разработке а проверке теоретических положений п методики. Эксперименты в этом направлении проводились на?лз, начиная с 1982/83 учебного года я проходили в физматшколе & I г. Еревана. На уроках в экспериментальных классах применялись все разработанные приеш преподавания начал математического анализа и осуществления меяяредоетиых связей между курсами математики я физики.

Приводится программа, реализующая изучение начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы (30 уроков), с детальнам описанием изучаемых тем. Кроме того, приведены варианты диагностических заданий по некоторым темам курса.

Упрощенный вариант изложения (без липпшцевых функций) бил экспериментально проверен в массовой школе № 120 г.Еревана. В диссертации описаны основные этапы этой экспериментальной работы.

Результаты исследования были доложены и обсуждены на кафедре математики Ереванского государственного педагогического института имени Абовяна, на годичных научно-практических кон-

ференциях преподавателей в методистов в Ереванском ИУУ, на совещаниях- учителей математики во время летних сборов (Ереван, 1985 и 1986 гг.), на кафедре алгебры Батумского государственного педагогического института (¿987г.).

Основные результаты диссертация опубликованы в следующих работах автора:

1. Об изучении темы "Действительные числа" в 8 кл. печат. "Матеыатикан ев физикан дароцуы" (Математика и физика в школе) на арм. яз. 1984 г. Л 6, 5 стр.

2. Предел или непрерывность?

печат. "Математикан ев физйкан дпроцум* (Математика и физика в школе) на арм. яз. 1984 г. , № 2, 4 стр.

3. Вычисление площадей и объемов о помощью первообразной функции, печат. "Математикан ев физикан дпроцум" (Математика и физика в школе) на арм. яз. 1985, * 5, 4 стр.

4. Жшппнцевые функции, лечат. "Матеыатикан ев физикан дпроцум4 (Математика я физика в школе) на ары. яз. 1988, # 2, 5 стр.

5. Когда и как вводить производную? "Математика в школе" (на рус.яэ.) 1987, » 3, 4 стр.

Ш. ПУБЛИКАЦИЙ