автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика создания условий для понимания школьниками предельного перехода в математике

Автореферат диссертации по теме "Методика создания условий для понимания школьниками предельного перехода в математике"

На правах рукописи

ПОНОМАРЁВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА

МЕТОДИКА СОЗДАНИЯ УСЛОВИЙ ДЛЯ ПОНИМАНИЯ ШКОЛЬНИКАМИ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В МАТЕМАТИКЕ

Специальность 13 00 02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург

2003

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике Российского государственного педагогического университета имени А. И Герцена

Научный руководитель- кандидат педагогических наук,

профессор Е.И. Лященко

л

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, '

профессор H.A. Широков

I

кандидат педагогических наук, доцент Т.Е. Савелова

Ведущая организация- Карельский государственный педагогический

университет, г Петрозаводск

Зашита состоится «22» мая 2003 года в II00 на заседании Диссертационного Совета Д 212.199 03 по присуждению ученой степени доктора наук при Российском государственном педагогическом университете имени А И Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб р Мойки, д 48, корпус 1,ауд 237).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета имени А.И Герцена.

Автореферат разослан «21» апреля 2003 года

Ученый секретарь //■' У ^

диссертационного совета У/'¿¿Ту/ ИВ Симонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

На современном этапе основным направлением развития школьного математического образования становится идея гуманизации, которая подразумевает новые отношения между учащимся и предметом. Цель данного подхода состоит в том, чтобы обеспечить развитие и саморазвитие учащегося; сформировать личностно значимые для него знания и способы деятельности; способствовать образованию интегративного взгляда на всю математику

Для того чтобы реализовать гуманитарный подход в школьном обучении, необходимо разрешить противоречие между высоким уровнем абстракции понятий математики и субъектным опытом школьника Особенно это важно при изучении начал математического анализа в школе. Выйти из данного противоречия возможно, если процесс учебной деятельности при изучении начал математического анализа ориентировать не только на усвоение значений понятий, но и на поиск смысла, на достижение культурного понимания (В П Зинченко). Культурное понимание нацелено на решение мыслительных задач, которые составляют суть математической деятельности Понимающее обучение отличается от объяснительного активностью и самостоятельностью учащихся, нацеленных на раскрытие внутренних связей предмета.

Изучение начал математического анализа в старшей школе связано с рядом трудностей С одной стороны, это высокий уровень абстракции математических понятий, сложная структура определений, недостаточность учебного времени для осмысления вопросов, а значит, зачастую формальный характер изучения материала. С другой стороны, это появление совершенно новых для школьника идей математического анализа (предельного перехода, бесконечности, дискретности, непрерывности и т п), связанных с универсальными проблемами движения, развития, поисками характеристик сложных объектов, прогнозированием будущего и г.д. Так, структура определения предела числовой функции в точке носит родовидовой характер Родовая характеристика его - число Но видовые отличия не всегда конструктивно (операционно) соединены. И использовать это определение для операции нахождения предела функции или для доказательства существования предела непосредственно не представляется возможным Необходимо в ситуациях, обеспечивающих понимание данного понятия, раскрыть его смысл Нам представляется, это подтвердил наш эксперимент, будет более продуктивно и экономично раскрыть смысл, суть метода предельного перехода, его существенные характеристики (идеи изменения, стремления, непрерывности, близости) на материале предела функции в точке.

Анализ научно-методической литературы показал, что ранее были попытки найти пути постижения математического смысла предела функции в точке Но исследования проводились в контексте предметного подхода, а не гуманитарного Представленные в о6ъяшительней~-квнвенрии, они были направлены на анализ особа фор'М^бЙЙт э изложения

математического материала без особого учета как идей действия предельного перехода, так и субъектного опыта учащегося. Были разработаны различные способы введения понятия предела функции в точке: на языке последовательностей (В.Е Шумов, 1980); на основе направленного множества (В.В Рыжов, 1980), на основе использования топологических структур, в частности, окрестностей (ГМ. Серегин, 1978; Э.К. Брейтигам, 1982); на основе использования графического языка (Г.Т. Юртаева, 1978, А Н Земляков, 1977-1980) и др. Характер исследований диктовался, преимущественно, математическим аспектом изучаемого понятия, а не личным опытом школьника, не нацеленностью на достижение понимания Математический же аспект предельного перехода раскрывался в большей мере с алгебраической стороны, а не со стороны принципиальных особенностей анализа (идей изменения, стремления, непрерывности, близости и др.).

Современное состояние школьного обучения пределу функции в точке в частности и началам математического анализа вообще полно противоречий. В курсе математики общеобразовательной школы «предел функции в точке» не рассматривается как основное понятие математического анализа, а иногда предлагается вообще заменить алгебраической операцией, что противоречит смыслу данного понятия. Поэтому нельзя говорить об обучении, нацеленном на раскрытие внутренних связей начал математического анализа. Многие знания учащихся по началам математического анализа оказываются в итоге «чужими» для них, формальными.

Процессу понимания в традиционном обучении началам математического анализа чаще всего отводится вспомогательная, неосновная роль как эффективного средства для запоминания учащимся передаваемой ему учителем некоторой суммы математических знаний Но именно при обучении предельному переходу проблема понимания особенно актуальна. Во-первых, в курсе математики до изучения предельного перехода учащиеся уже встречаются с математическими понятиями, связанными с основным аналитическим действием, но рассматриваемыми в алгебраическом контексте Это и длина окружности, и действительное число, и площадь круга, и др Необходимо осмыслить их в аналитическом контексте. Во-вторых, в курсе начал математического анализа изучаются понятия производной и интеграла, основанные на действии предельного перехода. Без осмысления предельного перехода данные понятия раскрываются не с аналитической, а с алгебраической стороны, значит, не выполняют своего предметного значения. Проблема понимающего усвоения предельного перехода стоит и перед студентами, изучающими математический анализ.

Понимать предел функции в точке - значит осознавать математический смысл данного понятия (связь идей изменения, стремления, близости, непрерывности).

Таким образом, возможность разрешить проблему понимания учащимися (и студентами) такой абстракции высокого уровня как

предельный переход, попытаться наити средства обучения, помогающие достичь понимания, и определяет актуальность нашего исследования.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования' поиск методических средств, создающих условия для понимания учащимися предельного перехода.

Цель исследования состоит в разработке методики использования этих средств при изучении предельного перехода в старшей школе.

Объект исследования процесс изучения начал математического анализа в старшей школе.

Фундаментом обучения, содержательно направленного на достижение понимания, выступает связь идей, смысл Смысл предельного перехода есть система содержательных связей и отношений, которые устанавливаются самим учащимся. Создать условия для раскрытия смысла возможно с помощью разнообразных интерпретаций, состоящих из задач и заданий к ним, включающих действия по смыслообразованию (обратимые межъязыковые переводы, постановку вопросов идо). Формой организации процесса смыслообразования выступает диалог.

Учитывая высокий уровень абстракции понятия предельного перехода, важно дифференцировать уровни его понимания: житейский, базисный и строгий (предметный). Базисный уровень, построенный на житейском, выявляет основные идеи предельного перехода в математике. Данный уровень является фундаментом для следующего уровня понимания, строгого или предметного, раскрывающего строгий математический смысл изучаемого понятия (например, определений по Коши, по Гейне, на языке окрестностей и т.д.)

Интерпретация выступает в качестве основного условия для самостоятельного «вычерпывания» учащимся идей, раскрывающих математический смысл изучаемого понятия. Цель интерпретации - показать, раскрыть определённую сторону математического смысла такого многоаспектного понятия как «предельный переход». Поэтому именно совокупность интерпретаций даст возможность учащемуся выявить все разнообразные смысловые связи в изучаемом понятии. Совокупность фактов, связей между ними, смысловых связей составляет семантическое поле понятия. Чтобы учащийся мог совершить переход от житейских представлений о пределе к строгому математическому понятию предела функции в точке, необходимо говорить о последовательности семантических полей житейского, базисного и предметного уровпей Последовательность семантических полей есть форма выражения результатов содержательного анализа. Содержательный анализ для понятия предельного перехода проводится с целью выделения главных идей. Поля всех уровней имеют общий «стержень» - основные идеи предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности

Предмет исследования - интерпретации, нацеленные на раскрытие смысла предельного перехода, с использованием обратимого межъязыкового перевода

Посредством разнообразных интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, актуализируется и систематизируется субъектный опыт учащихся, происходит осознание связей, обнаружение идей, то есть раскрытие смысла предельного перехода В качестве действий по смыслообразованию применяются обратимый межъязыковый перевод, вопросы и диалог.

В эксперименте участвовали учащиеся классов с углубленным изучением математики, но разного уровня подготовленности (по уровню предметных фоновых знаний и по уровню математического мышления).

Гипотеза исследования' организация диалога через использование интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, позволяет достичь различных уровней понимания предельного перехода в зависимости от разной подготовленности учащихся

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа философской, математической, психолого-педагогической, научно-методической литературы, содержания курсов математического анализа, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить- а) особенности и основные уровни понимания магематических понятий и возможности учета этих особенностей в процессе обучения; б) возможность использования различных средств обучения абстракциям высокого уровня, позволяющих достичь понимания.

2. Установить уровни понимания школьниками (и студентами) смысла предельного перехода.

3. Разработать методику организации учебного материала и деятельности учащихся, нацеленную на достижение понимания понятия предела функции в точке (в зависимости от разной подготовленности учащихся).

4. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики

Для решения поставленных задач были использованы методы исследования:

■ изучение и анализ философской, математической, психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования;

■ анализ содержания школьного курса алгебры и начал математического анализа, вузовского курса математического анализа;

■ изучение опыта преподавания начал математического анализа в старшей школе и вузе и учебной деятельности школьников и студентов;

■ организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов;

■ количественная и качественная обработка данных, полученных в ходе экспериментов.

Исследование проводилось с 1998 по 2003 гг и включало три этапа.

На первом этапе (1998-2000) осуществлялся анализ литературы и содержания школьного курса математики. Уточнена проблема исследования

и выявлены возможности использования различных действий, нацеленных на достижение понимания при изучении предельного перехода Проведена первая стадия констатирующего эксперимента. В результате были разработаны основные теоретические положения исследования

На втором этапе (2000-2001) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения предельного перехода, разработана методика использования этих средств Проведена первая стадия обучающего эксперимента для проверки достоверности выдвинутой гипотезы.

На третьем этапе (2001-2003) был продолжен обучающий эксперимент Обобщены экспериментальные результаты, сделаны выводы

Концептуальной основой исследования явились философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, личностно ориентированная образовательная парадигма

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в том, что

1 Обоснована возможность изучения в старшей школе предельного перехода на уровне культурного понимания.

2 Обоснован вывод, что изучение предельного перехода в старшей школе целесообразно только на уровне культурного понимания.

3 Разработаны и экспериментально проверены условия понимания понятия предельного перехода на различных уровнях К ним относятся содержательный анализ метода предельного перехода и выделение на его основе необходимых для школы идей - изменения, стремления, близости, непрерывности; интерпретации, составленные из различных задач и заданий к ним, включающие действия но смыслообразованшо (обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог) и объединяемые в семантические поля определенного уровня.

Практическая значимость исследования состоит в том, что' 1. Предложена методика проведения содержательного анализа действия

предельного перехода. 2 Разработаны конкретные учебные материалы (задачи и задания к ним); примеры диалогового построения обучения; контрольные и самостоятельные работы для установления факта понимания

Все материалы могут быть использованы при обучении началам математического анализа в старшей школе и в вузе, нацеленном на достижение культурного понимания.

Достоверность результатов исследования обеспечивают разносторонний теоретический анализ проблемы и результата экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации. Апробация результатов исследования.

Результаты исследования докладывались на Герценовских чтениях в РГПУ им А И. Герцена (2000-2001); на методологических и научно-методических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им А.И. Герцена (1999-2001); на V Международной конференции по проблемам

преггодаванйя математики и физики в высшей и средней школе (Петрозаводск, 2000), на Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов АГТУ (Архангельск, 2001); на III Российско-американской конференции по проблемам математического образования (С -Петербург, 2001); на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Вологда, 2001) Апробация работы осуществлялась в ходе экспериментальной работы в Архангельском государственном лицее № 19 им. МВ Ломоносова; Архангельской городской гимназии № 3; средних общеобразовательных школах №№ 22, 43, 51 г Архангельска, в Поморском государственном университете им М.В Ломоносова, в Архангельском государственном техническом университете, в Российском государственном педагогическом университете им А И Герцена.

На защиту выносятся следующие положения: Для достижения понимания школьниками предельного перехода необходимо выполнение следующих условий'

1) содержание интерпретаций, объединяемых в семантические поля определенного уровня, выстраивается на основе целостности, обусловленной главными идеями предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности;

2) для создания эффективных интерпретаций, состоящих из задач и заданий к ним, необходимо выполнять ряд требований:

■ задачи нацелены на вскрытие ведущих идей метода предельного перехода, свойств предела функции в точке, связей свойств;

■ в задачах используются различные формы предъявления содержания' графическая, символьная, вербальная, кинематическая и др, что позволяет использовать действия по смыслообразованию обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог;

3) соблюдение последовательности семантических полей от житейского к базисному и далее к предметному уровню позволяет учащемуся совершить осмысленный, самостоятельный переход от собственных житейских представлений о пределе к строгому математическому определению предела функции в точке

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения.

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цели и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе описываются теоретические основы создания условий для обучения, нацеленного на культурное понимание предельного перехода в математике.

В §1 ставится проблема понимания начал математического анализа в старшей школе, раскрывается значимость изучения предельного перехода, проводится анализ современного состояния обучения пределу функции в точке в старшей школе.

В школьном математическом образовании понятое предельного перехода требует к себе именно не формального, а понимающего отношения. Определение предела функции в точке родовидовое, где род - это число Данного свойства для раскрытия смысла такого многообразного понятая явно не достаточно Важно осмыслить свойства, имеющие и операционную, и не операционную природу.

Анализ литературы и опыт работы школ показывают, что в общеобразовательной школе предел функции в точке не рассматривается как основное понятие математического анализа Идеи предельного перехода остаются не осознанными учащимся Поэтому об обучении, нацеленном на раскрытие внутренних связей начал математического анализа, говорить нельзя Для решения поставленной проблемы необходимо, прежде всего, раскрыть математический смысл предельного перехода, выявив все внутренние взаимосвязи и идеи Затем - искать пути постижения найденного смысла, условия достижения понимания предела функции в точке. Обнаружить разнообразные взаимосвязи и идеи поможет содержательный анализ понятия предельного перехода.

В §2 представлен содержательный анализ понятия предельною перехода Выделены основные содержательные связи этого понятия: связь алгебраического и топологического; конечного и бесконечного; бесконечности актуальной и потенциальной; дискретного и непрерывного; логического и интуитивного; взаимосвязи двух переменных; связи ассоциативные; связи грамматические. Выявление связей служит главным средством их осмысления Связь идей составляет смысл математического объекта, его генетическую сущность, основу интерпретационной стороны обучения Необходимо отметать, что идеи не приобретаются учащимся извне путем только объяснения, но могут быть выявлены лишь им из собственного опыта и самостоятельной деятельности в определенных условиях, при которых возможно достичь понимания

Главные идеи предельного перехода - изменение, стремление, близость и непрерывность (рис 1), базируются на интуитивных представлениях человека о времени и пространстве, о движении Динамическая идея изменения содержит в себе идеи переменности, движения, взаимосвязи двух изменений, процесса и пр. Стремление и непрерывность - суть качества изменения. Идея стремления охватывает идеи приближения, близости, бесконечности и т д. Идея непрерывности включает идеи дискретности, близости, непрерывной связи и др. Статическая идея близости помогает раскрыть сущность стремления и непрерывности Именно

взаимосвязь идей раскрывает принципиальную особенность предельного перехода.

Рисунок 1.

Учитывая высокий уровень абстракции понятия предельного перехода, важно дифференцировать уровни его понимания учащимися Мы выделили житейский, базисный и строгий (предметный) уровни понимания В результате эксперимента мы пришли к выводу, что для всех категорий учащихся необходимым является базисный уровень понимания, построенный на житейском уровне. На житейском уровне актуализируются и обобщаются житейские представления учащихся о пределе. На базисном уровне описательно раскрываются основные идеи данного объекта в математике Базисный уровень понимания предела функции в точке достижим для учащихся всех уровней подготовленности. Базисный уровень является фундаментом для следующего уровня понимания предела функции в точке, строгого или предметного, раскрывающего строгий математический смысл изучаемого понятия (например, определений по Коши, по Гейне, на языке окрестностей и т.д.). Предметный уровень понимания предела функции в точке обязателен для учащихся математических классов.

В §3 рассматриваются вопросы, связанные с проблемой культурного понимания при обучении предельному переходу в старшей школе.

При выборе подхода трактовки понятия понимания для методики обучения математике важно учесть деятельностную природу математического мышления. В нашем исследовании будем опираться на процессуальное направление в трактовке понимания (JIС Выготский, A.A. Леонтьев, В П Зинченко, В.В. Знаков, J1.M Веккер и др) как деятельности по связыванию фактов в целостность путём придания всем им единого связующего смысла. Раскрытие смысла, обнаружение идеи - есть главное

условие обучения началам математического анализа, нацеленного на понимание Создать условия для достижения культурного понимания возможно с помошью разнообразных интерпретаций, включающих действия по смыслообразованию (обратимые .нежъяуыковые переводы, вопросы, диалог).

Интерпретации как главному условию достижения понимания предельного перехода школьниками посвящен §4 Интерпретация представляется кшг процедура достижения понимания математического понятия, как действие, инициирующее поиск смысла. Смысл раскрывается путем выявления разнообразных связей: вертикальных (связей между разными уровнями абстракции одного и того же понятая) и горизонтальных (содержательных и логических связей между математическими объектами на одном уровне абстракции) Интерпретирование в процессе учебной деятельности может быть реализовано различными способами:

1. Приведение примера или совокупности примеров (дая подтверждения) или контрпримера (для опровержения математического утверждения). При этом важна не констатация математических фактов, а именно их содержательное истолкование.

2. Задачи и задания к ним, направленные на раскрытие смысла предельного перехода.

Задачи можно охарактеризовать следующим образом (в зависимости от пути раскрытия смысла): 1) Задачи на осмысление взаимосвязи идей метода предельного перехода Например, следующая задача.

Луч АМ неограниченно приближается к стороне АО квадрата АВСО так, что точка М движется по стороне СБ к точке О (рис. 2). Каков характер изменения величин а и \MD\1 Каков характер изменения отношений

\Щ. м. |см|?

С

м

Л а

А И

величин

\АМ\' \АС\ ' \АМ\

Рисунок 2.

2) Задачи на обоснование наличия свойств, на выявление разнообразных по степени абстрактности свойств понятия. Например, в задаче «Как вычислить площадь круга и длину окружности с помощью действия предельного перехода?» понятая площади круга и длины окружности раскрываются в аналитическом контексте.

3) Задачи на раскрытие связи свойств понятия друг с другом и с ранее изученными понятиями Например, задача «Можно ли связать понятия секущей и касательной, проведенных из одной точки окружности'' Ответ поясните.» нацелена на раскрытие связи между понятиями «окружность», «секущая», «касательная», «предельный переход», «стремление» и др.

4) Задачи на подтверждение или опровержение утверждений о понятии (посредством приведения примеров или контрпримеров) Например, задача «Всегда ли неограниченная функция является бесконечно большой?».

Выделим основные требования к наборам задач-

1 Подбор задач включает обратимые переходы между основными идеями, заложенными в понятая предельного перехода' стремления, изменения, приближения, непрерывности, близости и др.

2 Задачи нацелены на конкретизацию идей, основных свойств понятия, связей свойств и т.д

3. В задачах используются различные формы предъявления содержания графическая, символьная, вербальная, кинематическая и др.

В зависимости от того, какие будут даны задания к задачам, такая будет выполняться и их познавательная функция Мы сформулировали следующие требования к отбору заданий к задачам:

1 При работе с задачами необходимо выполнять разнообразные обратимые межъязыковые переводы, причем внимание должно фиксироваться на самом процессе и подчеркиваться инвариантность смысла. Перевод возможен с использованием разных языков (собственно перевод) или внутри одного языка (переформулирование).

В случае перевода совершается переход на более высокий уровень осмысления. Например, осуществим перевод ситуации стремления переменной х к постоянной а на разные языки Используя естественный язык

- «переменная х приближается к постоянной величине а»; символьный язык

- <а—>а» (язык «стремления»), «(\/ё>0)(\х-а\<е)у> (язык неравенств), ч(УО(а))(х еО(а))у> (язык окрестностей) и т.д. При таком переводе происходит уточнение языка - от естественного языка до строго математического. При обратном переводе (со строго математического языка на естественный) мы конкретизируем абстракцию Этот вид перевода (вертикальный) очень важен в процессе порождения целостности понимания

При переформулировании совершается непрерывный обратимый перевод с языка слов и символов на язык образов. В этом случае математический контекст не меняется, а меняется точка зрения на ситуацию с целью высветить разные грани смысла, который инвариантен. Переформулирование можно отнести к внутриуровневому или горизонтальному переводу, цель которого состоит в отыскании новых содержательных связей. Возможно следующее переформулирование ситуации стремления на естественном языке, «переметшая х стремится к постоянной величине а», «переменная х безгранично приближается к а», <а становится соседним с а», <сс с течением времени нечувствительно мало отличается от а» и т.д.

2 Постановка вопросов, нацеленных на выявление связей Например, в ситуации непонимания необходимо задавать (и обучать

учащегося ставить самому себе) вопросы, направленные на поиск Это устанавливающие вопросы (Кто? Что? и др.), направленные на

идентификацию объекта; вопросы-гипотезы (Может быть, это..? и др), причинные вопросы, направленные на выявление связи, причины или отношения (Почему? Как? Что это значит? А как это понять? и др.). Такая очередность следует из того, что часто учащийся просто не готов немедленно ответить на причинный вопрос, так как собственный ответ еще не "созрел" 3 Организация действий в смысловом диалоге.

В ходе смыслового диалога осуществляется реконструкция интерпретаций, способствующая расшифровке смысла, вложенного в них. Происходит «работа понимания», здесь учащийся мыслит для другого, означивает то, что он сам осмыслил.

Объединенные в совокупность факты, связи между ними, смысловые связи составляют семантическое поле изучаемого понятия. Чтобы учащийся мог совершить переход от житейских представлений о пределе к строгому математическому понятию предела функции в точке, необходимо говорить о последовательности семантических полей житейского, базисного и предметного уровней Нами разработаны основные требования к последовательности семантических полей.

1 Семантические поля всех уровней имеют общий «стержень» - основные идеи предельного перехода, изменения, стремления, близости и непрерывности.

2 Очередное поле отличается от предыдущего более глубоким уровнем понимания ведущих идей предельного перехода и, в частности, интерпретации этих идей на примере понятия предела функции в точке.

3 Каждое семантическое поле наполнено интерпретациями избьиочно, хаотично, открыто, что позволяет ему быть структурой, «где прослеживаются даже слабые связи».

Вторая глава раскрывает особенности методики обучения предельному переходу, нацеленной на понимание.

В §5 описывается реализация основных положений данной методики для достижения житейского уровня понимания предельного перехода. Семантическое поле житейского уровня создастся для актуализации и систематизации знаний о пределе из субъектного опыта учащихся В диалоге упорядочиваются житейские представления учащихся о пределе, конкретизируются различия и сходства житейского и научного понятия, которые могут обусловить противопоставление или опору на житейские понятия для дальнейшего понимания «Вытаскивая» с помощью интерпретаций и упорядочивая основные идеи предельного перехода, используется только естественный язык. Таким образом, можно подойти к определению предела на житейском уровне понимания - как результата ограниченного изменения одной величины в связи с изменением другой в некотором процессе.

В §6 описана реализация основных положений методики для достижения базисного и предметного уровней понимания предельного перехода

В работе над семантическим полем базисного уровня организуется диалог, нацеленный на актуализацию предметных фоновых знаний; на раскрытие связей между понятиями «процесс», «изменение», «переменная величина», «функциональная зависимость» и др.; на осмысление в аналитическом контексте известных учащимся понятий длины окружности, площади круга, действительного числа и др ; на введение символьной формы предъявления материала для ситуаций предельного перехода Интерпретации семантического поля базисного уровня разделяются по характеру содержания на задачи с содержанием бытового и физического характера, с геометрическим содержанием динамического характера, с аналитическим содержанием, по переводу содержания на различные языки Следует заметать, что задачи с геометрическим содержанием предусматривают динамику в условии и в чертеже. В результате диалога, обобщающего решение задач и заданий к ним, учащиеся переводят на нестрогий математический язык выведенную ранее суть предела (конкретизация методики будет приведена в §7, описывающем эксперимент)

Для того чтобы осознать предельный переход на предметном уровне понимания, необходимо в интерпретации ситуации зависимости двух стремлений перейти от описательного к строгому математическому языку. При таком переходе идея стремления развивается от базисного уровня понимания к предметному вследствие вертикального перевода. Для этого требуется проанализировать в данном контексте ситуацию стремления для одной переменной величины, а затем ситуацию взаимосвязи стремлений двух переменных величин

§7 посвящен описанию педагогического эксперимента и его результатов.

В констатирующем эксперименте мы исследовали. 1). Житейские представления учащихся 10-х классов о пределе до изучения предела функции в точке.

Для актуализации житейских представлений школьникам предложили следующие задания (в форме анкеты на отдельном листе каждому учащемуся) .

1. Зарисуйте всевозможные образы, возникающие у Вас в связи со словом «предел».

2. Дайте подробное развернутое определение слову «предел».

Результаты ответов на задание 1 представлены в таблице 1.

№ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗОВ УЧАЩИХСЯ %

1 Предел как итог стремления 18

2 Предел есть, но стремление подразумевается 15

3 Только предел, без стремления 59

4 Математический образ «1ип» 5

5 Нет образов 3

аблида 1

Анализ образных представлений учащихся о пределе показывает, что при конкретизации и обобщении житейских представлений школьников необходимо акцентировать их внимание на динамических обстоятельствах ситуации предельного перехода, идеях изменения, стремления и др Результаты ответов на задание 2 представлены в таблице 2

№ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТВЕТОВ УЧАЩИХСЯ % 49

1 Предел - то, после чего прекращается действие

2 Предел - граница, апогей и т.д. (только статические характеристики) 46

3 Неправильное математическое определение 3

4 Нет ответа 2

Таблица 2.

Анализ ответов учащихся на задание 2 показывает, что почти половина опрошенных вербально зафиксировали и статичность, и динамичность в ситуации предельного перехода. Только статические характеристики предела отметили 46% учащихся.

Результаты анализа выполнения учащимися анкеты, как первого, так и второго заданий по актуализации житейских представлений подтверждают необходимость деятельности по фиксированию в сознании школьников динамической природы предельного перехода

2). До изучения предела функции в точке исследовали уровень понимания школьниками 10-х классов понятий математического анализа, относящихся к предметным фоновым знаниям.

Учащимся были заданы следующие вопросы:

1. Как Вы думаете, иррациональное число - «конечное» или «бесконечное»? Поясните, почему? (Анализ уровня осознания природы числа).

2. Разъясните смысл (идею, суть) понятия функции и поясните, зачем она нужна. (Анализ уровня осознания идеи функциональной зависимости).

3. Найдите точки координатной прямой, расстояние от которых до точки А (5) не превосходит 2. Решите задачу на всех известных Вам языках математики (символьном, графическом и пр). (Анализ уровня осознания модуля числа).

В результате анализа ответов учащихся был сделан вывод о низком уровне понимания школьниками предметных фоновых знаний, связанных с понятием предела.

3). В ходе констатирующего эксперимента также выясняли уровень развития математического мышления школьников. Значительная часть учащихся характеризуется периодом перехода от эмпирического мышления к теоретическому.

Обучающий эксперимент были проведен с целью опытной проверки гипотезы - позволяет ли организованное в диалоге обучение предельному переходу через использование нацеленных на раскрытие смысла интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня,

достичь различных уровней его понимания в зависимости от разной подготовленности учащихся.

В качестве критерия данной методики и чтобы подтвердить гипотезу, было проведено ряд исследований В качестве критерия понимания смысла предельного перехода мы рассматривали умение переформулирования. Для сравнительного анализа уровня понимания предельного перехода учащимся экспериментальных и контрольных классов были предложены письменная работа № 2 и анкета. Задачи и задания, составляющие письменную работу № 2, нацелены на анализ раскрытия учащимися различных сторон идеи предельного перехода:

1. Как Вы думаете, каков смысл или главная идея понятая «предел функции в точке»7 Что характеризует данное понятие? Приведите пояснения и на графическом языке.

2. Какой смысл символов е и 8 в (^-^-определении предела функции в точке? В какой зависимости находятся они между собой?

х2 — 4х + 4

3. Дано утверждение: <4(х)~- бесконечно мала при х-»2».

х-2

Докажите утверждение. Задания:

1). Переформулируйте утверждение, используя различные языки (символьный, графический, аналитический),

2) В Вашем доказательстве выделите строку, на которую опирается вся структура доказательства.

4. Может ли одна и та же функция быть и бесконечно большой, и бесконечно малой? Ответ поясните.

Анализ показал, что учащиеся экспериментальных классов выполняют разнообразные переформулировки и тем самым показывают более глубокие, осмысленные содержательные связи в понятии предела функции в точке. Можно сделать вывод о более глубоком понимании предела функции в точке школьниками экспериментальных классов.

Кроме того, для анализа результатов обучающего эксперимента учащимся была предложена анкета, задания которой школьники выполняли еще до изучения предела функции в точке (на констатирующем этапе).

Результаты анкеты представлены в таблицах 3 (на задание 1) и 4 (на задание 2).___

№ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗОВ УЧАЩИХСЯ ЭК (%) КК(%)

1 Предел как итог стремления 18 10

2 Есть предел, но стремление подразумевается 5 19

3 4 Только предел, без стремления 2 18

Математические образы ситуации предельного перехода На аналитическом языке 75 16 53 22

На графическом языке 59 31

Таблица 3

Большинство учащихся экспериментальных классов (ЭК) по сравнещпо с контрольными классами (КК) в качестве образов привели матемгщтческие интерпретации предельного перехода. При этом среди математических интерпретаций учащихся ЭК графические интерпретации встречаются в 4 раза чаще Среди нематематических интерпретаций предельного перехода процент неправильных интерпретаций гораздо выше у учащихся КК, чем в ЭК.______

№ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТВЕТОВ УЧАЩИХСЯ ЭК (%) КК(%)

1 Предел как результат стремления 13 29

2 Предел - граница, апогей и т.д. Указана только статическая характеристика - 33

3 Математическое определение описательное 86 37 25 19

строгое 49 6

4 Неправильное математическое определение 1 13

Таблица 4

В качестве вербального описания большинство учащихся ЭК по сравнению с КК предпочли математические определения предельного перехода. Учитывая, что в задании не требовалось именно математической интерпре1ации, можно сделать вывод, что большинство учащихся ЭК подразумевает предел как понятие математического контекста и находится на предметном уровне понимания предельного перехода. Можно сделать вывод, что с учащимися КК не была проведена работа по актуализации, анализу и обобщению житейских представлений о пределе

Таким образом, анализируя ответы учащихся на анкету и письменную работу №2, можно сделать вывод о том, что учащиеся экспериментальных классов достигли более высокого уровня понимания предела функции в точке.

Итак, эксперимент показал результативность методики реализации условий обучения, нацеленного на достижение различных уровней понимания предела функции в точке в зависимости от разных уровней подготовленности учащихся. Условия понимания понятия предела функции в точке (на различных уровнях) реализуются через использование эффективных интерпретаций, составленных из различных задач и заданий к ним, включающих действия по смыслообразованию (обратимый перевод с одного языка на другой, постановка вопросов, организация диалога).

Таким образом, в ходе теоретико-экспериментального исследования были решены поставленные задачи и подтверждена выдвинутая гапотеза.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1 Интерпретации как одна из процедур понимания начал математического анализа // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник тучных трудов Вып. 3 / Отв ред Э О Зеель, Е.Ф. Фефилова. - Архангельск: Поморский государственный университет, 2000. - С. 84-89. (0,4 п л).

2 Интерпретация как необходимая процедура понимания предела функции в точке // Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе Тезисы докладов XX Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов 2-4 октября 2001г. - Вологда: Легия, 2001. С 81. (0,08 п. л.).

3 Категории «смысл» и «значение» в контексте проблемы понимания математики // Вестник математического факультета' Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4 / Отв ред ЭО Зеель, ЕФ Фефшгова. - Архангельск: Поморский государственный университет, 2001. - С. 75-77. (0,2 п. л ).

4 Метафоризация как одна из процедур понимания начал математического анализа // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Межвузовский сборник научных трудов. Вып 3 / Под ред Ю А Дробышева и И.В. Дробытевой - Калуга- Изд-во КГПУ им. К Э Циолковского, 2001 -С 116-120. (0,3 п. л)

5 Нацеленность на достижение понимания при обучении началам математического анализа // Молодёжная культура и ценности будущего - СПб • Verba Magistri, 2001. - С 364-368. (0,3 п. л.).

6. Проблема непонимания и возможные выходы из неё (на примере понятия предела) // Модернизация общего образования на рубеже веков Часть II' Сборник научных трудов. - СПб: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2001. - С. 153-157. (0,3 п. л.).

7 Семантические поля для создания базисного понимания предела в математике // Проблемы теории и практики обучения математике' Сборник научных работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «54-е Герценовские чтения» / Под ред. В В. Орлова. -СПб • Изд-во РГПУ им. А И. Герцена, 2001. - С. 60-64. (0,3 п. л.).

8 Ситуации непонимания математики // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе Сборник материалов по методике преподавания математике Вып 6. - М.: Ml Н У, 2001. - С 4143 (0,2 п л)

9. Interpretation as one of procedures for understanding of mathematical analysis beginnings // Kari M Sormunen, Vladimir A Tarasov, Sergei R Bogdanov (Eds)' Learning and Teaching Science and Mathematics in Secondary and Higher Education Proceeding of the Fifth Inter-Karelian Conference Petrozavodsk, Russia, 17-19 May 2000. - Petrozavodsk: Joensuu University Press, 2000. - P. 145-149. (0,3 п. л.).

10 Phenomenon of understanding and studying mathematics // Third U.S -Russia Joint Conference on Mathematics Education, St. Petersburg, Russia, 22-25 May 2001. - St. Petersburg, 2001. - P 15. (0,08 п. л.).

Отпечатано в ООО «АкадемПринт» СПб, ул. Миллионная, 19, т. 315-11-41 Подписано в печать 14 04.2003 Тираж 100 экз

РНБ Русский фонд

2005-4 26633

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Пономарёва, Елена Владимировна, 2003 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБУЧЕНИЕ, НАЦЕЛЕННОЕ НА КУЛЬТУРНОЕ ПОНИМАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ.

§1. ИЗУЧЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ В КОНЦЕПЦИИ ПОНИМАНИЯ.

1.1. Постановка проблемы понимания начал математического анализа в старшей школе.

1.2. Современное состояние обучения пределу функции в точке в старшей школе.

§2. СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА.

2.1. Определения предела функции в точке.

2.2. Содержательный анализ понятия «предельный переход».

§3. НАЦЕЛЕННОСТЬ НА КУЛЬТУРНОЕ ПОНИМАНИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ ПРЕДЕЛЬНОМУ ПЕРЕХОДУ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ.

§4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КАК ГЛАВНОЕ УСЛОВИЕ ДОСТИЖЕНИЯ ПОНИМАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА.

4.1. Смысл и значение математического выражения.

4.2. Интерпретация как основное условие обучения, нацеленного на понимание предельного перехода.

4.3. Семантические поля как средство достижения понимания предельного перехода.

ВЫВОДЫ ПО I ГЛАВЕ.

ГЛАВА II. МЕТОДИКА СОЗДАНИЯ УСЛОВИЙ ДЛЯ ПОНИМАНИЯ

ШКОЛЬНИКАМИ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА.

§5. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДЛЯ ДОСТИЖЕНИЯ ЖИТЕЙСКОГО УРОВНЯ ПОНИМАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.

§6. УСЛОВИЯ ДОСТИЖЕНИЯ ПОНИМАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ.

6.1. Достижение базисного уровня понимания предельного перехода.

6.2. Методические рекомендации по обучению пределу функции в точке на предметном уровне понимания.

§7. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА.

ВЫВОДЫ ПО II ГЛАВЕ.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика создания условий для понимания школьниками предельного перехода в математике"

На современном этапе развития школьного математического образования основной идеей становится идея гуманизации, которая подразумевает новые отношения между учащимся и предметом. В центре гуманитарного подхода находится школьник с его личным опытом, с его психологическими особенностями. Цель данного подхода состоит в том, чтобы обеспечить развитие и саморазвитие учащегося; сформировать личностно значимые для него знания и способы деятельности; способствовать образованию единого взгляда на всю математику. Переход в обучении математике от предметного подхода к гуманитарному, нацеленному на человека, происходит и в изучении математического анализа.

Изучение начал математического анализа в старшей школе связано с рядом трудностей. С одной стороны, это высокий уровень абстракции математических понятий, сложная структура определений, недостаточность учебного времени для осмысления вопросов, а значит, зачастую формальный характер изучения материала. С другой стороны, появление совершенно новых для школьника идей математического анализа (предельного перехода, бесконечности, дискретности, непрерывности и т.п.), связанных с универсальными проблемами движения, развития, поисками характеристик сложных объектов, прогнозированием будущего и т.д. Так, структура определения предела числовой функции в точке носит родовидовой характер. Родовая характеристика его - число. Но видовые отличия не всегда конструктивно (опе-рационно) соединены. И использовать это определение для операции нахождения предела функции или для доказательства существования предела непосредственно не представляется возможным. Необходимо в ситуациях, обеспечивающих понимание данного понятия, раскрыть его смысл.

Для того чтобы реализовать гуманитарный подход в школьном обучении, необходимо разрешить противоречие между высоким уровнем абстракции понятий математического анализа и субъектным опытом школьника. Выйти из данного противоречия возможно, если обучение устремить не только на предмет, но и на побуждение человека к развитию. Такую нацеленность можно реализовать, если процесс учебной деятельности при изучении начал математического анализа ориентировать не только на усвоение значений понятий, но и на поиск смысла математических объектов, на достижение культурного понимания (В.П. Зинченко), а не на запоминание определенной суммы математических знаний. Культурное понимание нацелено на решение мыслительных задач, которые составляют суть математической деятельности. Понимающее обучение отличается от объяснительного активностью и самостоятельностью учащихся, нацеленных на раскрытие внутренних связей предмета.

Учитывая сущность математического анализа, мы сможем раскрыть его внутренние связи только в том случае, когда в центр изучения поставим основной аналитический метод - метод предельного перехода. Во-первых, без осознания идей данного метода не представляется возможным понять главный предмет математического анализа - функциональную зависимость, потому что предельное значение функции в точке характеризует поведение функции вблизи данной точки. Во-вторых, в курсе математики до изучения предельного перехода учащиеся уже встречаются с математическими понятиями, связанными с основным аналитическим действием, но рассматриваемыми в алгебраическом контексте. Это и длина окружности, и действительное число, и площадь круга, и др. Необходимо осмыслить их в аналитическом контексте. В-третьих, в курсе начал математического анализа изучаются понятия производной и интеграла, основанные на действии предельного перехода. Без осмысления предельного перехода данные понятия раскрываются не с аналитической, а с алгебраической стороны, значит, не выполняют своего предметного значения. Потому без раскрытия смысла метода предельного перехода можно говорить лишь о формальном продолжении курса алгебры, а не об изучении собственно «математического анализа». Таким образом, в старшей школе необходимо раскрытие идей предельного перехода как основного метода математического анализа. Нам представляется, это подтвердил наш эксперимент, будет более продуктивно и экономично раскрыть смысл, суть метода предельного перехода, его существенные характеристики (идеи изменения, стремления, непрерывности, близости и др.) на материале понятия предела функции в точке.

Ценностное богатство идейного содержания позволяет предельному переходу занимать главенствующее положение среди основных понятий математики в целой совокупности аспектов: культурном, философском, методологическом, математическом, методическом и других; входить в универсальное знание человечества. Подобный статус обязывает изучать данное понятие в концепции понимания, а не объяснения. Методика обучения предельному переходу, нацеленная на осмысление, позволит разрешить противоречия между сущностью данного математического объекта и закономерностями развития учащегося.

Анализ научно-методической литературы показал, что ранее были попытки найти пути постижения математического смысла предела функции в точке. Но исследования проводились в контексте предметного подхода - в концепции объяснения, а не понимания. Они были направлены на анализ особенностей формального изложения математического материала без особого учета как идей предельного перехода, так и субъектного опыта учащегося. Были разработаны различные способы введения понятия предела функции в точке: на языке последовательностей (В.Е. Шумов, 1980); на основе направленного множества (В.В. Рыжов, 1980); на основе использования топологических структур, в частности, окрестностей (Г.М. Серегин, 1978; Э.К. Брейтигам, 1982); на основе использования графического языка (Г.Т. Юртае-ва, 1978; А.Н. Земляков, 1977-1980) и др. Характер исследований диктовался, преимущественно, математическим аспектом изучаемого понятия, а не личным опытом школьника, не нацеленностью на достижение понимания. Математический же аспект предельного перехода раскрывался в большей мере с алгебраической стороны, а не со стороны принципиальных особенностей анализа (идей изменения, стремления, непрерывности, близости и др.).

Современное состояние школьного обучения пределу функции в точке в частности и началам математического анализа вообще полно противоречий. В курсе математики общеобразовательной школы «предел функции в точке» не рассматривается как основное понятие математического анализа, а иногда предлагается вообще заменить алгебраической операцией, что противоречит смыслу данного понятия. Идеи метода предельного перехода остаются не осознанными учащимися. Поэтому нельзя говорить об обучении, нацеленном на раскрытие внутренних связей начал математического анализа. В классах с углубленным изучением математики и математических школах учебный материал по пределу функции в точке содержательно повторяет в той или иной степени традиционные вузовские курсы математического анализа. Большее внимание уделяется формальной стороне изучения основных вопросов анализа, нежели идейной и наглядно-интуитивной. Несмотря на то, что основные методы математического анализа выстроены на идеях, которые не выразимы в логических понятиях и суждениях. В связи с этим материал оказывается трудным для большей части учащихся, не отвечает возрастным психологическим особенностям школьников, являясь чрезмерно абстрактным. В вузовских курсах нет обращения к личному опыту человека. Ранний же переход к абстракциям ведёт к тому, что у школьников формируются неадекватные представления об объекте, несмотря на то, что формальные знания учащийся демонстрирует. Школьник научается не осознавать идеи математических объектов, а скорее просто применяет определенные схемы или «рецепты» без понимания их значения и связей. Многие знания учащихся по началам математического анализа оказываются в итоге «чужими» для них, формальными.

Таким образом, процессу понимания в традиционном обучении началам математического анализа чаще всего отводится вспомогательная, неосновная роль как эффективного средства для запоминания учащимся передаваемой ему учителем некоторой суммы математических знаний. При этом определенной нацеленности на достижение понимания математического материала нет. Но именно при обучении началам математического анализа проблема понимания особенно актуальна. Н.Н. Лузин подчеркивал, что «.в изложении основ анализа бесконечно малых есть та особенность, что нужно: или совсем не входить в них, ограничивая себя одним формализмом и домогательством механической памяти, или полностью войти в детали пояснений, основывая знание анализа бесконечно малых не на механической памяти, но на совершенно ясном понимании основных его понятий.» [42: V]. Проблема понимающего усвоения предельного перехода как основного понятия математического анализа стоит и перед студентами, изучающими математический анализ.

Обеспечить понимание предельного перехода возможно, если обучение нацеливать на постижение содержательной, предметной стороны изучаемого объекта, например, путём изыскания различных связей; раскрытия основных идей, порождения у человека математического смысла объекта. Понимать предел функции в точке - значит осознавать содержательный математический смысл данного понятия (связь идей изменения, стремления, близости, непрерывности), уметь объединить, охватить в целостность, упорядочив по значимости все связи, как между компонентами внутри понятия, так и между понятиями математического анализа. Так, в предельном переходе можно выделить следующие связи: алгебраического и топологического, конечного и бесконечного, бесконечности актуальной и потенциальной, дискретного и непрерывного, логического и интуитивного, связь двух изменений, связи ассоциативные и т.д. Выявление связей служит главным средством осмысления, то есть обнаружения идей, заложенных в изучаемом понятии. Посредством выделенных связей можно раскрыть основные идеи предельного перехода - идеи изменения, стремления, близости и непрерывности. Необходимо отметить, что идеи не приобретаются учащимся извне путем только объяснения, но могут быть выявлены лишь им из собственного субъектного опыта и самостоятельной деятельности в определенных условиях, при которых возможно достичь понимания. Связь обнаруженных идей составляет смысл изучаемого математического объекта, основу интерпретационной стороны обучения.

Таким образом, возможность разрешить проблему понимания учащимися (и студентами) такой абстракции высокого уровня как предельный переход, попытаться найти средства обучения, помогающие достижению понимания, и определяет актуальность нашего исследования.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: поиск методических средств, создающих условия для понимания учащимися предельного перехода.

Цель исследования состоит в разработке методики использования этих средств при изучении предельного перехода в старшей школе.

Объект исследования - процесс изучения начал математического анализа в старшей школе.

Обучение, содержательно направленное на достижение понимания, строится как деятельность по связыванию фактов и идей, установлению отношений между ними, выявлению главного отношения, приведению фактов к целостному виду. Фундаментом обучения выступает связь идей, смысл. Смысл предельного перехода есть система содержательных связей и отношений, которые устанавливаются самим учащимся. Создать условия для раскрытия смысла возможно с помощью разнообразных интерпретаций, состоящих из задач и заданий к ним, включающих действия по смыслообразо-ванию (обратимые межъязыковые переводы, постановку вопросов и др.). Формой организации процесса смыслообразования выступает диалог.

Учитывая высокий уровень абстракции понятия предельного перехода, важно дифференцировать уровни его понимания: житейский, базисный и строгий (предметный). Базисный уровень, построенный на житейском, раскрывает основные идеи предельного перехода в математике. Данный уровень является фундаментом для следующего уровня понимания, строгого или предметного, раскрывающего строгий математический смысл изучаемого понятия (например, определений по Коши, по Гейне, на языке окрестностей и т.д.).

Интерпретация выступает в качестве основного условия «вычерпывания» идей, раскрывающих математический смысл изучаемого понятия. Цель интерпретации - показать, раскрыть определённую сторону математического смысла такого многоаспектного понятия как «предельный переход». Поэтому именно совокупность интерпретаций даст возможность учащемуся выявить все разнообразные смысловые связи в изучаемом понятии для достижения необходимого уровня его понимания. Совокупность фактов, связей между ними, смысловых связей, позволяющая раскрыть идеи предельного перехода на определенном уровне понимания, составляет семантическое поле данного уровня. Чтобы учащийся мог совершить переход от житейских представлений о пределе к строгому математическому понятию предела функции в точке, необходимо говорить о последовательности семантических полей житейского, базисного и предметного уровней. Семантическое поле одного уровня является основой для выстраивания семантического поля последующего, более высокого уровня понимания предела функции в точке. Последовательность семантических полей есть форма выражения результатов содержательного анализа. Содержательный анализ для понятия предельного перехода проводится с целью выделения главных идей. Поля всех уровней имеют общий «стержень» - основные идеи предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности. С помощью интерпретаций, учитывая результаты содержательного анализа, создаются такие условия обучения, чтобы связи устанавливал учащийся.

Предмет исследования - интерпретации, нацеленные на раскрытие смысла предельного перехода, с использованием обратимого межъязыкового перевода.

Использование в качестве главного средства обучения предельному переходу специально подобранных и организованных интерпретаций позволяет достичь понимания учащимися абстракции высокого уровня. Посредством разнообразных интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, актуализируется и систематизируется субъектный опыт учащихся, происходит осознание связей, обнаружение идей, то есть раскрытие смысла предельного перехода. Реализовать понимающее обучение началам математического анализа возможно, если выстроить условия достижения понимания предельного перехода: использовать интерпретации (задачи и задания к ним), включающие действия по смыслообразованию (обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог) и объединяемые в семантические поля того или иного уровня.

В эксперименте принимали участие учащиеся классов с углубленным изучением математики, но разного уровня подготовленности (по уровню предметных фоновых знаний и по уровню математического мышления).

Гипотеза исследования: организация диалога через использование интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, позволяет достичь различных уровней понимания предельного перехода в зависимости от разной подготовленности учащихся.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа философской, математической, психолого-педагогической, научно-методической литературы, содержания курсов математического анализа, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить: а) особенности и основные уровни понимания математических понятий и возможности учета этих особенностей в процессе обучения; б) возможность использования различных средств обучения абстракциям высокого уровня, позволяющих достичь понимания.

2. Установить уровни понимания школьниками (и студентами) смысла предельного перехода.

3. Разработать методику организации учебного материала и деятельности учащихся, нацеленную на достижение понимания понятия предела функции в точке (в зависимости от разной подготовленности учащихся).

4. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.

Для решения поставленных задач были использованы методы исследования: изучение и анализ философской, математической, психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования; анализ содержания школьного курса алгебры и начал математического анализа, вузовского курса математического анализа; изучение опыта преподавания начал математического анализа в старшей школе и вузе и учебной деятельности школьников и студентов; организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов; количественная и качественная обработка данных, полученных в ходе экспериментов.

Исследование проводилось с 1998 по 2003 гг. и включало три этапа.

На первом этапе (1998-2000) осуществлялся анализ литературы по проблеме исследования и содержания школьного курса математики, изучался опыт работы учителей средних школ по преподаванию начал математического анализа и состояние обучения этому курсу. Уточнена проблема исследования и выявлены возможности использования различных действий, нацеленных на достижение понимания при изучении предельного перехода. Проведена первая стадия констатирующего эксперимента. В результате были разработаны основные теоретические положения исследования.

На втором этапе (2000-2001) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения предельного перехода, разработана методика использования этих средств. Проведена первая стадия обучающего эксперимента для проверки достоверности выдвинутой гипотезы.

На третьем этапе (2001-2003) был продолжен обучающий эксперимент. Обобщены экспериментальные результаты, сделаны выводы.

Концептуальной основой исследования явились философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, лично-стно ориентированная образовательная парадигма.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в том, что:

1. Обоснована возможность изучения в старшей школе предельного перехода на уровне культурного понимания.

2. Обоснован вывод, что изучение предельного перехода в старшей школе целесообразно только на уровне культурного понимания.

3. Разработаны и экспериментально проверены условия понимания понятия предельного перехода на различных уровнях. К ним относятся содержательный анализ метода предельного перехода и выделение на его основе необходимых для школы идей - изменения, стремления, близости, непрерывности; интерпретации, составленные из различных задач и заданий к ним, включающие действия по смыслообразованию (обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог) и объединяемые в семантические поля определенного уровня.

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

1. Предложена методика проведения содержательного анализа действия предельного перехода.

2. Разработаны конкретные учебные материалы (задачи и задания к ним); примеры диалогового построения обучения; контрольные и самостоятельные работы для установления факта понимания.

Все материалы могут быть использованы при обучении началам математического анализа в старшей школе и в вузе, нацеленном на достижение понимания.

Достоверность результатов исследования обеспечивают разносторонний теоретический анализ проблемы и результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.

Апробация результатов исследования.

Результаты исследования докладывались на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И. Герцена (2000-2001); на методологических и научно-методических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена (1999-2001); на V Международной конференции по проблемам преподавания математики и физики в высшей и средней школе (Петрозаводск, 2000); на Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов АГТУ (Архангельск, 2001); на III Российско-американской конференции по проблемам математического образования (С.-Петербург, 2001); на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Вологда, 2001). Апробация работы осуществлялась в ходе экспериментальной работы в Архангельском государственном лицее № 19 им. М.В. Ломоносова; Архангельской городской гимназии № 3; средних общеобразовательных школах №№ 22, 43, 51 г. Архангельска, в Поморском государственном университете им. М.В. Ломоносова, в Архангельском государственном техническом университете, в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена.

На защиту выносятся следующие положения:

Для достижения понимания школьниками предельного перехода необходимо выполнение следующих условий:

1) содержание интерпретаций, объединяемых в семантические поля определенного уровня, выстраивается на основе целостности, обусловленной главными идеями предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности;

2) для создания эффективных интерпретаций, состоящих из задач и заданий к ним, необходимо выполнить ряд требований: задачи нацелены на вскрытие ведущих идей метода предельного перехода, свойств предела функции в точке, связей свойств; в задачах используются различные формы предъявления содержания: графическая, символьная, вербальная, кинематическая и др., что позволяет использовать действия по смыслообразованию - обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог; 3) соблюдение последовательности семантических полей от житейского к базисному и далее к предметному уровню позволяет учащемуся совершить осмысленный, самостоятельный переход от собственных житейских представлений о пределе к строгому математическому определению предела функции в точке.

Структура диссертации и логика ее изложения отражают последовательность решения основных задач исследования. Основной текст диссертации состоит из введения, двух глав и заключения. Работа включает библиографию (176 наименований) и приложение.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО II ГЛАВЕ

Достижение понимания предельного перехода в курсе математики старшей школы возможно, если обучение выстраивать с помощью разнообразных интерпретаций, объединенных в семантические поля житейского, базисного и предметного уровней. С помощью разнообразных интерпретаций семантического поля житейского уровня учащиеся актуализируют, анализируют и обобщают собственные житейские представления о пределе. Семантическое поле базисного уровня описательно раскрывает математический смысл предельного перехода, что необходимо учащимся всех типов школ. Данный уровень понимания позволяет осознать уже известные понятия (длина окружности, площадь круга, действительное число и др.) в аналитическом контексте. Семантическое поле предметного уровня выявляет строгий математический смысл предельного перехода (в частности, определения предела функции в точке по Коши), что является обязательным для учащихся математических классов.

134

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате теоретического и экспериментального исследования доказана возможность создания условий понимания школьниками понятия предельного перехода в курсе математики старшей школы.

1. При изучении предельного перехода необходима нацеленность на достижение понимания. Если при обучении предельному переходу нет нацеленности на понимание, то не стоит вообще изучать данное понятие в старшей школе. Обучение, содержательно направленное на достижение понимания, строится как деятельность по связыванию фактов и идей, установлению отношений между ними, выявлению главного отношения, приведению фактов к целостному виду. Фундаментом обучения предельному переходу выступает смысл, связь идей изменения, стремления, непрерывности, близости. Смысл математического объекта есть система содержательных связей и отношений данного объекта, которые устанавливаются самим учащимся.

2. Учитывая высокий уровень абстракции понятия предельного перехода, важно дифференцировать для учащихся уровни его понимания: житейский, базисный и строгий (предметный). Построенный на житейском базисный уровень понимания предельного перехода раскрывает основные идеи объекта в математике. На базисном уровне понимания возможно осмысление в аналитическом контексте уже известных школьнику математических понятий (длина окружности, площадь, действительное число и др.). Данный уровень является фундаментом для следующего уровня понимания, строгого или предметного, раскрывающего строгий математический смысл предельного перехода (например, определений предела функции в точке по Коши, на языке окрестностей и т.д.).

3. Создать условия для раскрытия смысла возможно с помощью разнообразных интерпретаций. Интерпретация выступает в качестве основного средства вычерпывания идей, раскрывающих математический смысл предельного перехода. Интерпретации - это задачи и задания к ним, включающие действия по смыслообразованию: обратимые межъязыковые переводы, постановку вопросов, организацию диалога. Задачи и задания нацелены на конкретизацию идей на примере предела функции в точке. В задачах используются различные формы предъявления содержания (графическая, символьная, вербальная, кинематическая и др.). Цель интерпретации - показать, вскрыть определённую сторону математического смысла такого многоаспектного понятия как «предельный переход». Поэтому именно совокупность интерпретаций даст возможность учащемуся выявить все разнообразные смысловые связи в изучаемом понятии для достижения необходимого уровня его осознания.

4. Совокупность фактов, связей свойств и связей смысловых составляет семантическое поле понятия. Чтобы учащийся мог совершить переход от житейских представлений о пределе к строгому математическому понятию, необходимо говорить о последовательности семантических полей житейского, базисного и предметного уровней. Семантическое поле одного уровня является основой для выстраивания семантического поля последующего, более высокого уровня понимания предельного перехода. Последовательность семантических полей есть форма выражения результатов содержательного анализа. Содержательный анализ проводится с целью выделения главных идей, принципиальных особенностей понятия предельного перехода. Основные идеи предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности образуют общий «стержень» для семантических полей всех уровней

Разработанная методика прошла опытную и экспериментальную проверку, и была подтверждена рабочая гипотеза исследования: если организовать диалог через использование интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, то можно достичь различных уровней понимания понятия предельного перехода в зависимости от разной подготовленности учащихся.

Начатое исследование может быть продолжено по следующим направлениям:

1. Развитие идей предела функции в точке в вузовском курсе математического анализа.

2. Развитие идей метода предельного перехода в вузовском курсе математического анализа.

3. Разработка методики обучения, нацеленной на понимание других математических понятий высокого уровня абстракции.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Пономарёва, Елена Владимировна, Санкт-Петербург

1. Автономова Н.С. Метафорика и понимание // Загадка человеческого понимания. Сб. ст. / Сост. В.П. Филатов. Под общ. ред. А.А. Яковлева. - М.: Политиздат, 1991. - С. 95-113.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Под ред. И.Б. Погребынского. М.: Сов. Радио, 1970.- 152с.

3. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1992.-335с.

4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.-254с.

5. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. -2-е изд. М.: Просвещение, 1991. - 320с.

6. Александров А.Д., Колмогоров А.Н., Лаврентьев М.А. Математика: её содержание, методы и значение. T.I. - М.: Изд. АНСССР, 1956. - 296с.

7. Александров П. О новых течениях математической мысли, возникших в связи с теорией множеств // Сборник статей по философии математики / Под ред. С.А. Яновской. М.: Учпедгиз, 1936. - С. 14-20.

8. Алексеев К.И. Восприятие метафоры и его виды. Автореф. дисс. . канд. психол. наук. М., 1998. - 25с.

9. Артемьева Е.Ю. Основы психологии субъективной семантики / Под ред. И.Б. Ханиной. -М.: Наука; Смысл, 1999. 350с.

10. Ю.Артищева Е.К., Гриценко В.А. О целесообразности отделения начал анализа от курса элементарной математики // Математика в школе, 1999, №6. -С. 43-45.

11. Н.Арутюнова Н.Д. Метафора // Языкознание. БСЭ / Гл. ред. В.Н. Ярцева. -2-е изд. М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. - С. 296-297.

12. Асмолов А.Г. XXI век: психология в век психологии // Традиции и перспективы деятельностного подхода в психологии: школа А.Н. Леонтьева / Под ред. А.Е. Войскунского, А.Н. Ждан, O.K. Тихомирова. М.: Смысл, 1999.-С. 332-349.

13. Атаханов Р. Математическое мышление и методики определения уровня его развития / Под науч. ред. В.В. Давыдова. Москва - Рига: Эксперимент, 2000. - 208с.

14. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. -М.: Просвещение, 1991. 352с.

15. Башмаков М.И. Определение основных понятий анализа в школьном курсе математики // Математика в школе, 1988, №3. С. 41-44.

16. Башмаков М.И., Поздняков С.Н., Резник Н.А. Информационная среда обучения. СПб.: Свет, 1997. - 400с.

17. Бем Д.А., Волков А.А., Струве Р.Э. Алгебра. Полный сборник упражнений и задач по элементарному курсу. Л.: ГИЗ, 1924. - 576с.

18. Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Янус-К, 1997. - 400с.

19. Биркгофф Г. Математика и психология / Пер. с англ. Г.Н. Поварова. М.: Сов. Радио, 1977.-96с.

20. Брадис В.М., Минковский В.Л., Харчёва А.К. Ошибки в математических рассуждениях. Пособие для учителей. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1967. -191с.

21. Брейтигам Э.К., Пайсон Б.Д. Различные формы представления понятий математического анализа. Учебное пособие. Барнаул: Изд. БГПУ, 1997. -113с.

22. Брудный А.А. Психологическая герменевтика. Учебное пособие. М.: Лабиринт, 1998.-336с.

23. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки: (На материалах истории философии и математики). М.: Наука, 1987. - 133с.

24. Варфоломеева С.В. Усиление общеобразовательной функции обучения математике на основе использования её взаимосвязей с языковыми дисциплинами. Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1988. - 16с.

25. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 400с.

26. Веккер JI.M. Психика и реальность: единая теория психических процессов. М.: Смысл, 1998. - 685с.

27. Велихов Е.П., Зинченко В.П., Лекторский В.А. Сознание: опыт междисциплинарного подхода // Вопросы философии, 1988, №11. С. 3-30.

28. Верттеймер М. Продуктивное мышление: Пер. с англ. / Общ. ред. С.Ф. Горбова и В.П. Зинченко. Вступ. ст. В.П. Зинченко. М.: Прогресс, 1987. - 336с.

29. Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. М.: Наука, 1983. - 160с.

30. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Пределы, непрерывность. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1977. - 79с.

31. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. О преподавании пределов переменных величин и функций в средней школе // Математика в школе, 1961, №1. -С. 24-34.

32. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под ред. И.С. Якиманской. М.: Педагогика, 1989. - 224с.

33. Волжина В. Теория пределов и её приложения (для V и VII классов реальных училищ). Моршанск: Типография А.А. Пультера, 1895. - 20с.

34. Выготский Л.С. Избранные психологические исследования / Под ред. А.Н. Леонтьева и А.Р. Лурия. М.: АПН РСФСР, 1956. - 520с.

35. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя. 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1997. - 352с.

36. Ганзен В.А. Восприятие целостных объектов. Л.: Изд. ЛГУ, 1973. - 153с.

37. Ганзен В.А. Системные описания в психологии. JL: Изд. ЛГУ, 1984. -176с.

38. Гачев Г.Д. Книга удивлений, или Естествознание глазами гуманитария, или Образы в науке. М.: Педагогика, 1991. - 272с.

39. Герасимова B.C. Психосемиотические аспекты решения математических задач школьниками // Психосемиотика познавательной деятельности и общения: Межвузовский сб. науч. трудов. М.: Изд. МГЗПИ, 1988. - Вып. 2.-С. 114-125.

40. Глаголев Н.А. Проблема включения в программу математики средней школы элементов высшей математики // Советская педагогика, 1944, №8-9.-С. 28-32.

41. Грановская P.M. Элементы практической психологии. 3-е изд., с изм. и доп. - СПб.: Свет, 1997. - 608с.

42. Грэнвиль В., Лузин Н.Н. Элементы дифференциального и интегрального исчисления. 4.1. - (Введение в анализ и дифференциальное исчисление). - 8-е изд., перераб. и доп. - М.-Л.: ГИЗ, 1930. - 706с.

43. Гудков Л.Д. Метафора и рациональность. М.: Русина, 1994. - 430с.

44. Гузеев В.В. Как задавать вопросы // Математика в школе, 1993, №5. С. 56-57.

45. Гусев С.С. Метафора как средство организации теоретического знания. Автореф. дисс. докт. филос. наук. Л., 1985. - 31с.

46. Гусев С.С., Тульчинский Г.Л. Проблема понимания в философии: Фило-софско-гносеологический анализ. -М.: Политиздат, 1985. 192с.

47. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. - 544с.

48. Доблаев Л.П. Смысловая структура текста и проблемы его понимания / Под ред. В.В. Давыдова. М.: Педагогика, 1982. - 176с.

49. Дорофеев Г.В. Непрерывный курс математики в школе и проблема преемственности // Математика в школе, 1998, №5. С. 70-76.

50. Дружинин В.Н. Психология общих способностей. СПб.: Питер Ком, 1999.-359с.

51. Дубнов Я.С. Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе // Математическое просвещение, 1960, вып. 5. С. 17-55.

52. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления. Пер. с англ. Н.М. Никольской. М.: Совершенство, 1997. - 208с.

53. Знаков В.В. Понимание как проблема психологии мышления // Вопросы психологии, 1991, №1. С. 18-26.

54. Иванов О.А. Обучение поиску решения задач (фантазии в манере Пойа) // Математика в школе, 1997, №6. С. 47-51.

55. Ивин А.А. Основы теории аргументации: Учебник. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1997. - 352с.

56. Кавтарадзе Д.Н. Обучение и игра. Введение в активные методы обучения.- М.: МПСИ «Флинта», 1998. 192с.

57. Каплунович И.Я., Петухова Т.А. Пять подструктур математического мышления: как их выявить и использовать в преподавании // Математика в школе, 1998, №5. С. 45-48.

58. Карп А.П. Даю уроки математики.: Книга для учителя: Из опыта работы.- М.: Просвещение, 1992. 190с.

59. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. -М.: Просвещение, 1999. 176с.

60. Катречко C.J1. Знание как сознательный феномен // Что значит знать?: Сб. науч. ст.: (Материалы симпозиума) / Отв. редакторы Г.Б. Гутнер, C.JT. Катречко. - М.; СПб., 1999. - С. 60-99.

61. Кисельников И.В. Обучение началам математического анализа в средней школе с использованием различных форм представления его фундаментальных понятий. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. СПб., 1997. - 17с.

62. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ. / Под ред., с предисл. и примеч. И.М. Яглома. М.: Мир, 1984. - 434с.

63. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2-х томах. -T.I. Арифметика. Алгебра. Анализ: Пер. с нем. / Под ред. В.Г. Болтянского. - 4-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 432с.

64. Ковалёва Г.С. Состояние российского образования (по результатам международных исследований) // Педагогика, 2001, №2. С. 80-88.

65. Кодряну И.Г., Яркин В.А. Диалектика дискретного и континуального в математическом знании // Вест. Моск. Ун-та, Сер. 7, Философия, 1996, №6.-С. 56-62.

66. Крейдлин Г.Е., Шмелев А.Д. Языковая деятельность и решение задач // Математика в школе, 1989, №3. С. 39-45.

67. Кричевец А.Н. Четыре шага интуиции в математике // Школа диалога культур: Идеи. Опыт. Проблемы. / Под общ. ред. B.C. Библера. Кемерово: «АЛЕФ» Гуманит. Центр, 1993. - С. 387-405.

68. Крутецкий В.А. Психология математических способностей. М.: Просвещение, 1968.-432с.

69. Кузнецова В.А., Коршунова Н.И., Медведева Л.Б. О содержании курса алгебры и начал анализа в общеобразовательных классах средней школы // Математика в школе, 1998, №4. С. 82-84.

70. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. - 223с.

71. Леонтьев А.А. Основы психолингвистики. М.: Мысль, 1997. - 287с.

72. Леонтьев А.А. Формы существования значения // Психолингвистические проблемы семантики / Под ред. А.А. Леонтьева, A.M. Шахнаровича. М.: Наука, 1983.-С. 5-20.

73. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1975. -304с.

74. Леонтьев А.Н. Философия психологии: Из научного наследия / Под ред. А.А. Леонтьева, Д.А. Леонтьева. М.: Изд. МГУ, 1994. - 228с.

75. Леонтьев Д.А. Психология смысла: природа, строение и динамика смысловой реальности. М.: Смысл, 1999. - 486с.

76. Линдсей П., Норман Д. Переработка информации у человека. (Введение в психологию). -М.: Мир, 1974. 501с.

77. Лотман Ю.М. Семиосфера. СПб.: Искусство-СПБ, 2000. - 704с.

78. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. 2-е изд. - М.: Сов. наука, 1949.-476с.

79. Лузин Н.Н. Ньютонова теория пределов // Собрание сочинений. T.III. -М.: Изд. АНСССР, 1959. - С. 373-400.

80. Лузин Н.Н. Эмоции юного математика (письмо Н.Н. Лузина к М.Я. Выгодскому) // Математика в школе, 1976, №6. С. 25-32.

81. Лузина Л.М. Понимание как духовный опыт (о понимании человека). -Псков: Изд. ПГПИ им. С.М. Кирова, 1997. 168с.

82. Лурия А.Р. Язык и сознание / Под ред. Е.Д. Хомской. Ростов н/Д.: Феникс, 1998.-416с.

83. Лященко Е.И. К проблеме понимания в обучении математике // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике: Сб. науч. раб. -СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 1999. С. 18-21.

84. Лященко Е.И., Крылов В.В. Виды объяснений при обучении математике // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования: Сб. науч. раб. СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2000.-С. 18-23.

85. Мадер В.В. Введение в методологию математики (Гносеологические, методологические и мировоззренческие аспекты математики. Математика и теория познания). М.: Интерпрокс, 1994. - 448с.

86. Малиновская К.В. Понимание и его роль в науке // Философские науки, 1974, №1.- С. 49-55.

87. Математика в афоризмах, цитатах, высказываниях / Сост. Н.А. Верченко. Киев: Вища школа, 1983. - 278с.

88. Метельский Н.В. Очерки истории методики математики. К вопросу о реформе преподавания математики в средней школе / Под ред. И.Я. Депма-на. Минск: Высшая школа, 1968. - 340с.

89. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.: Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336с.

90. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1980. - 368с.

91. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.: Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. -416с.

92. Можаровский И.Л. Осознание житейских представлений как условие их изменения в процессе усвоения научных знаний. Автореф. дисс. . канд. психол. наук. М., 1996. - 23с.

93. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. (Концептуальная методика. Рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи.). М.: Школа-Пресс, 1995. - 272с.

94. Мордухай-Болтовский Д.Д. Философия. Психология. Математика. -М.: Серебряные нити, 1998. 560с.

95. Мухамедьярова Ж.У. Обучение выявлению смысловых связей в учебном тексте как условие его творческого понимания школьниками. Автореферат дисс. насоиск. учен. степ. канд. пед. наук. М., 1991. - 18с.

96. Мышкис А.Д., Сатьянов П.Г. О развитии математической интуиции учащихся // Математика в школе, 1987, №5. С. 18-22.

97. Наан Г.И. Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии. -М.: Наука, 1965.-41с.

98. Неискашева Е.В. Идеи нестандартного анализа в истории науки и в преподавании // Математика в школе, 1999, №3. С. 76-79.

99. Никитин М.В. Курс лингвистической семантики. СПб.: Научный центр проблем диалога, 1996. - 760с.

100. Нишанов В.К. Феномен понимания: когнитивный анализ / Отв. ред. А.А. Брудный. Фрунзе: Илим, 1990. - 228с.

101. Новиков А.И. К вопросу о реформе математического образования // Математика в школе, 2000, №6. С. 2-4.

102. Ованесов Н.Г. Научные основы начал математического анализа. Учебное пособие по спецкурсу. Астрахань: Изд. Астраханского пед. ун-та, 1993.- 120с.

103. Окунев А.А. Как учить не уча или 100 мастерских по математике, литературе и для начальной школы. СПб.: Питер Пресс, 1996. - 448с.

104. Открытое письмо преподавателей МГУ Министерству общего и профессионального образования РФ // Математика в школе, 1996, №6. С. 2-3.

105. Панфилов В.А. Связь философии и математики в познании проблемы конечного и бесконечного. Автореф. дисс. . канд. филос. наук. Киев, 1980.-22с.

106. Петренко В.Ф. Основы психосемантики: Учебное пособие. Смоленск: Изд. СГУ, 1997.-400с.

107. Позднякова Н.В. Метафора в научно-популярном стиле. Автореф. дисс. канд. филол. наук. Белгород, 1995. - 14с.

108. Пономарёв Я.А. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика, 1976.-280с.

109. Пономарёва Е.В. Нацеленность на достижение понимания при обучении началам математического анализа // Молодёжная культура и ценности будущего. СПб.: Verba Magistri, 2001. - С. 364-368.

110. Пономарёва Е.В. Проблема непонимания и возможные выходы из неё (на примере понятия предела) // Модернизация общего образования на рубеже веков. Часть II: Сборник научных трудов. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001. - С. 153-157.

111. Пономарёва Е.В. Ситуации непонимания математики // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе. Сборник материалов по методике преподавания математике. Вып. 6. — М.: Ml 11'У, 2001.-С. 41-43.

112. Попруженко М. Материалы по методике анализа бесконечно-малых в средней школе. СПб.: Пед. сборник, 1912. - 91с.

113. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте (Из опыта работы). М.: Просвещение, 1975. - 208с.

114. Пуанкаре А. Интуиция и логика в математике // Пуанкаре А. О науке / под ред. Л.С. Понтрягина. М.: Наука, 1983. - С.205-218.

115. Ракитов А.И. Диалектика процесса понимания. (Истоки проблемы и операциональная структура понимания) // Вопросы философии, 1985, №12.-С. 62-71.

116. Раушенбах Б.В. Поиск решения в задачах математического характера // Психологический журнал, 1996, Т. 17, №2. С. 80-87.

117. Розанов В.В. О понимании. СПб.: Наука, 1994. - 540с.

118. Розов А.И. Проблемы категоризации: теория и практика // Вопросы психологии, 1986, №3. С. 90-97.

119. Ротенберг B.C., Бондаренко С.М. Мозг. Обучение. Здоровье: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1989. - 239с.

120. Рубцов В.В. О двух путях образования понятий у ребёнка // Психологическая наука и образование, 1997, №3. С. 53-54.

121. Рыжик В.И. 25000 уроков математики. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1993.-240с.

122. Свидерский В.И., Кармин А.С. Конечное и бесконечное (Философский аспект проблемы). М.: Наука, 1966. - 320с.

123. Семёнов Е.Е. Актуализировать диалог в преподавании // Математика в школе, 1999,№2.-С. 21-23.

124. Серёгин Г.М. Методика обучения началам математического анализа в средней школе на основе использования топологических структур. Авто-реф. дисс. канд. пед. наук. М., 1978. - 22с.

125. Сивкина М.И. Формирование обобщенных приемов перевода с одного языка науки на другой (на материале математики). Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1978. - 16с.

126. Симон М. Дидактика и методика математики в школе второй ступени / Пер. И.В. Яшунского. М.: ГИЗ, 1922. - 270с.

127. Скидан О.П. Математическое сознание: предметное содержание, категориальная структура, культурные измерения. (К экспликации математического концепта). Автореф. дисс. . канд. филос. наук. М., 1994. - 16с.

128. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, К.И. Дуничев, JI.A. Калужнин, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1980. - 240с.

129. Солсо Р.Л. Когнитивная психология / Пер. с англ. М.: Тривола, 1996. - 600с.

130. Степанов А.А. Понимание и усвоение понятий различной степени общности // Психология. Ученые записки КГПИ. - Т.5. - Кустанай, 1959.-С. 28-69.

131. Степанов Ю.С. Константы. Словарь русской культуры. Опыт исследования. М.: Школа «Языки русской культуры», 1997. - 824с.

132. Столяр А.А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. -Мн.: Высшая школа, 1986. -414с.

133. Тамберг Ю.Г. Как научить ребёнка думать: Учебное пособие. СПб.: Изд. «Михаил Сизов», 1999. - 326с.

134. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999. - 304с.

135. Тийтанен Т.Э. Пространство и время: истоки научного понимания мира // Пространство и время в научной картине мира. Тезисы докладов конференции. -Уфа, 1991. С. 31-35.

136. Толкачёв В.К. Роскошь системного мышления. Руководство практикум по развитию мышления. - СПб.: Центр практической психологии «Эмпатия», 1999. - 360с.

137. Традиции и перспективы деятельностного подхода в психологии: школа А.Н. Леонтьева / Под ред. А.Е. Войскунского, А.Н. Ждан, O.K. Тихомирова. М.: Смысл, 1999. - 429с.

138. Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. T.I. -Общия собрания. - СПб.: Север, 1913. - 600с.

139. Филатов В.П. К типологии ситуаций понимания // Вопросы философии, 1983, №10.-С. 71-78.

140. Халперн Д. Психология критического мышления. СПб.: Питер, 2000. -512с.

141. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.: Наука, 1977.-280с.

142. Хинчин А.Я. Основные понятия математики в средней школе // Математика в школе, 1939, №4. С. 4-22.

143. Хинчин А.Я. Педагогические статьи / Под ред. Б.В. Гнеденко. М.: АПН РСФСР, 1963. - 204с.

144. Чефраиов Г.В. Бесконечность и интеллект. Ростов н/Д.: Изд. РГУ, 1971.-176с.

145. Чистяков И. Теория пределов и её приложения в средней школе // Математика в школе, 1938, №5-6. С. 41-55.

146. Чучин-Русов А.Е. Образование и культура // Педагогика, 1998, №1. -С. 9-17.

147. Швырев B.C. Понимание в структуре научного сознания // Загадка человеческого понимания. Сб. ст. / Сост. В.П. Филатов. Под общ. ред. А.А. Яковлева. М.: Политиздат, 1991. - С. 8-24.

148. Шеин С.А. Диалог как основа педагогического общения // Вопросы психологии, 1991, №1. С. 44-52.

149. Шеншев Л.В. Мышление в процессах усвоения математики и иностранных языков // Вопросы психологии, 1960, №4. С. 9-22.

150. Шмелёва Е.А. О курсе математического анализа в средней школе // Математика в школе, 1997, №5. С. 76-78.

151. Шумакова Н.Б. Роль вопроса в структуре мышления // Вопросы психологии, 1984, №1.-С. 91-95.

152. Энгельгардт В.А. Интегратизм путь от простого к сложному в познании явлений жизни // Вопросы философии, 1970, №11. - С. 103-115.

153. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. М.: Госполитиздат, 1950. - 376с.

154. Юдин Б.Г. Понимание и эксперимент в естествознании // Загадка человеческого понимания. Сб. ст. / Сост. В.П. Филатов. Под общ. ред. А.А. Яковлева. М.: Политиздат, 1991. - С. 145-159.

155. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. М.: Сентябрь, 2000. - 112с.

156. Definition and their motivation: Continuities and limits / Nader Sam B. (Jr) //PRIMUS: Proll., Pesour., and Issues Math. Undergrad. Stud., 1994, V.4, №3. -P. 244-248.

157. Metaphor: Implications and Applications / Ed. by Jeffery Scott Mio, Albeit N. Katz. — Mahwah (N.Y.): Lawrence Erlbaum associates, New Jersey, 1996. -296p.

158. Paivio A. Images, propositions, and knowledge // The University of Western Ontario ser. in philosophy of science, 1977, V.8. P. 47-71.

159. Ponomaryova E. Phenomenon of understanding and studying mathematics // Third U.S.-Russia Joint Conference on Mathematics Education, St. Petersburg, Russia, 22-25 May 2001. St. Petersburg, 2001. - P. 15.

160. Weyl H., Half A. Century of Mathematics // Amer. Math. Monthly, 1951, V.58, №8. P. 523.152