Методика изучения площадей геометрических фигур в курсе математики III-IX классов

Казакова, Мирослава Алиевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика изучения площадей геометрических фигур в курсе математики III-IX классов

Автореферат

Автор научной работы: Казакова, Мирослава Алиевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Карачаевск
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика изучения площадей геометрических фигур в курсе математики III-IX классов"

На правахрукопи си

КАЗАКОМ Мирослава Алиев на

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НИХ КЛАССОВ

Специальность 131)002 - теория и мегодикаобучения и воспитания (матемаггака* у ровеньобщего и профессионального образования)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканиеученой степенк кждидатапедашгическихн^к.

Махачкала- 2006

№

Работа выполнена на кафедре математики и методики ее преподавания Карачаево-Черкесского государственного университета.

Научный руководитель

доктор педагогических наук, профессор З.А. Магомеддибирова

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

заслуженный учитель РФ и РД профессор М.Г. Мехтиев

кандидат физ.-мат. наук, профессор Э.И. Эфендиев

Ведущая организация

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Защита состоится^1^^г5?^?^2(Ю6 г. в 14 часов, на заседании диссертационного совета К212.051.05 в Дагестанском государственном педагогическом университете по адресу: 367013, г.Махачкала, пр.Гамидова,17, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дагестанского' государственного педагогического университета (г. Махачкала, ул.. М.Ярагского,57). 3

Автореферат разослан . ЛгО^к^Р^2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор педагогических наук, профессор З.А. Магомеддибирова

Актуальность исследования. Многими достижениями современная эпоха обязана уровню развития математического знания, поэтому на рубеже веков школьное математическое образование находится в центре внимания специалистов разного профиля. Геометрическое образование как отдельное направление математического образования обладает самостоятельной ценностью не только с точки зрения развития и обогащения математического знания, но и с позиции гуманизации образования. Это объясняется тем, что именно геометрический материал позволяет обеспечить более гармоничную мыслительную деятельность школьников, что особенно важно на начальном этапе обучения математике. Поэтому многие отечественные ученые (А.Д.Александров, Г.Д. Глейзер, В.М. Тихомиров, И.Ф. Шарыгин и др.) стремились создать свои оригинальные концепции обучения геометрии в школе, учитывающие не только специфику предмета и метода геометрии, но и содержащие тот или иной ответ на возможность психологического развития детей средствами геометрии.

В настоящее время поиском новых моделей обучения геометрии занимаются многие исследователи, связывая решение методических проблем с некоторыми положениями и закономерностями педагогической психологии. Это привело к созданию новых систематических и пропедевтических курсов геометрии, авторами которых являются В.А. Гусев, Г.А. Клековкин, В.А. Панчищина, Н.С. Подходова, И.М. Смирнова и В.А. Смирнов, Т.Г. Ходот, И.Ф. Шарыгин и др.

Геометрия, являясь феноменом общечеловеческой культуры, отличается собственным методом познания мира. В геометрии изучаются объекты окружающего мира, идеализированные в простых и наглядных понятиях, что способствует развитию пространственного воображения и логического мышления. Именно поэтому в геометрии заложены потенциальные возможности воспитывать в ребенке интеллектуальные качества личности.

Работы Б.П. Белоцерковского, В.Г. Болтянского, В.А. Гусева, В.А. Жарова, Ю.М. Колягина, Ф.Ф. Нагибина, А.Д. Семушина, З.А. Скопеца, Д. Пойа посвящены проблеме обучения учащихся элементам геометрии и решению геометрических задач, формированию у них рациональных приемов учебной работы при решении задач. Эту проблему рассматривают также в диссертационных исследованиях Э.Г. Готман, Г.Б. Кузнецова, Л.М. Ноздрачева, Е.В. Потоскуева, Ю.А. Розка, Г.И. Саранцева, Е.Е. Овчинникова и другие.

Одним из важных разделов школьного курса является геометрические величины.

Методике изучения геометрических величин в средней школе посвящен целый ряд кандидатских диссертаций. Диссертации М.С. Мацкина, В.Н. Шишлянниковой целиком посвящены детальной разработке содержания и методики изложения основных разделов, связанных с измерением геометрических величин. В исследованиях А.Ф. Спасского и И.С. Климова разработаны приемы привития учащимся практических навыков измерения: дана методика работы с измерительными инструментами, система практических работ по измерению геометрических величин. Математическое обосно-

вание теории скалярных величин, и в частности геометрических величин, излагается в диссертации К.Ф. Рубина.

Тема «Площадь» является базовой, фундаментальной и изучается на протяжении всего курса математики, начиная с начальных, а затем в 5-6-классах, продолжая вплоть до 11 класса.

Вопросы изучения теории площадей в школьном курсе геометрии подвергались всестороннему анализу многими педагогами и методистами. Было установлено фундаментальное значение этой темы для дальнейшего изучения математики, указывались пути и средства формирования данного понятия.

В диссертации З.И. Турлаковой излагается методика изучения в старших классах таких разделов, как «Длина отрезка», «Длина кривой» и «Площадь геометрической фигуры».

С другой стороны, теоретическое обоснование вычисления площадей геометрических фигур и применение площади в качестве инструмента для решения задач в современной методической литературе исследовано недостаточно.

Э.Г. Гогман, И.А. Кушнир, Н.Д. Новиков, В.В. Прасоров, И.Ф. Шарыгин показывают в своих работах методы вычисления площадей, но в них не сформирована теория и система обучения этому методу.

Однако, несмотря на достаточно серьезные исследования в области методики обучения математике, усвоение школьниками темы «Площадь» вызывает определенные трудности. Об этом свидетельствуют опыт работы учителей, систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты вступительных экзаменов.

Таким образом, анализ теории и практики предполагает поиск эффективных методов, средств и организационных форм обучения элементам геометрии. Этим обоснована актуальность выбранной темы исследования.

Поэтому в качестве проблемы исследования рассматривается поиск путей совершенствования методики изучения темы «Площадь».

Объект исследования: обучение математике учащихся Ш-1Х классов.

Предмет исследования: методика изучения площадей геометрических фигур в Ш-1Х классах, используя альтернативный подход.

Цель исследования состоит в разработке альтернативной методики изучения темы «Площадь».

Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что если обучение по теме «Площадь» в Ш-1Х классах вести по разработанной нами методике, то это будет способствовать повышению качества математических знаний учащихся.

Задачи исследования:

1) выполнить анализ состояния проблемы исследования в теории и практике обучения математике;

2) исследовать целесообразность и возможность нового подхода к введению понятия «Площадь»;

3) разработать методику изучения темы «Площадь». Определить характеристики и диапазон применимости;

4) выявить и обосновать требования к системе задач на вычисление величины площади;

5) разработать систему задач и методику ее внедрения в учебный процесс;

6) экспериментально проверить эффективность предложенной методики.

Методологической основой для исследования послужили работы

отечественных педагогов и ученых-методистов в области совершенствования методики обучения математике в общеобразовательных учреждениях (Ю.М. Колягин, Н.М. Бескин, Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, М.Г. Мехтиев, Х.Ш. Шихалиев, Г.И. Саранцев).

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования:

изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования;

- изучение опыта работы учителей школ региона, обобщение собственного опыта;

- наблюдение за процессом обучения;

- анкетирование и опросы учителей, родителей и беседы с учителями и учащимися;

- педагогический эксперимент.

Организация исследования.

Исследование проводилось с 1995 по 2006 годы и включало три этапа.

На первом этапе (1995-1996 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент для определения уровня усвоения учащимися ПЫХ классов темы «Площадь», проводилось анкетирование учителей, наблюдение за их работой.

На втором этапе (1996-1999 гг.) проводился поисковый эксперимент, уточнялась альтернативная (к существующей) методика изучения темы «Площадь», были разработаны система задач по теме «Площадь» и экспериментальные материалы.

На третьем этапе (1999-2006 гг.) проводился обучающий эксперимент в рамках разработанной методики изучения темы «Площадь». На этом этапе проверялась надежность и эффективное влияние разработанной и внедренной в учебный процесс методики на формирование более глубокий и прочных знаний по теме «Площадь» у учащихся начальной и основной школ, обобщались результаты исследования, делались выводы. Экспериментальной базой служили СОШ №№ 1, 5, 6 г. Карачаевска и СШО Эркин-Шахар Карачаево-Черкесской республики.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

1) обоснована целесообразность и возможность альтернативного подхода к изучению темы «Площадь», опираясь на понятие «полоса».

2) выявлены требования к подбору учебных материалов и на их основе разработана система задач на вычисление площадей геометрических фигур;

3) разработана методика изучения темы «Площадь».

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что внесен определенный вклад в развитие теории и методики изучения геометрическим величин, а именно: предложен альтернативный подход в изучении темы «Площадь», опираясь на понятие «полоса».

Практическая значимость исследования выражается в том, что разработанные учебные задания и задачи, методические рекомендации к изучению темы «Площадь» могут быть использованы в практике обучения математике в школе, а также при подготовке учителей в вузе, при составлении программ, учебных пособий.

На защиту выносятся:

1) альтернативная методика изучения темы «Площадь, характеризующаяся опорой на понятие «полоса»;

2) система задач по теме «Площадь» и методика их использования в учебном процессе.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечена опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики; экспериментальным подтверждением полученных результатов.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в школах Карачаево-Черкесии, а основные результаты диссертационной работы систематически докладывались на ежегодных научных сессиях, конференциях профессорско — преподавательского состава КЧГУ, на заседаниях методического объединения учителей математики института повышения квалификации республики, на заседаниях кафедры математики и методики ее преподавания Карачаево-Черкесского государственного университета. Основные положения диссертационного исследования опубликованы в 7 методических работах и статьях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключении, списка использованной литературы (178 названий), приложение.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы исследования, определены цель и задачи, объект, предмет исследования, сформулирована гипотеза и указаны методы исследования, его научная новизна и практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Методологические аспекты изучения темы «Площадь» в III-IX классах» отражены исторический аспект и анализ состояния изучения темы «Площадь» в школьном курсе математики. В результате анализа акцентируется внимание на том, что эта тема является базовой, фундаментальной и изучается на протяжении всего курса математики, начиная с начальных, а затем в 5-6 классах, продолжая вплоть до 11 класса.

Изучение темы «Площадь» происходит на двух уровнях: наглядно эмпирическом (в начальной школе и в 5-6 классах) и систематическом (изучение темы «Площадь» в 8 и 9 классах в курсе планиметрии).

Как пишет Глейзер Г.Д., на разных этапах обучения необходимо стремиться «к развитию у учащихся интуиции, образного (пространственного и логического) мышления», а по мнению Т.Г. Ходот, необходимо двукратное изучение геометрии: один раз — на наглядном интуитивном уровне и второй раз - на строго логическом.

Авторы одного из известных учебников геометрии А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, считая в целом геометрическое образование важнейшим элементом общей культуры, выделяют следующие задачи преподавания геометрии в школе — «развивать у учащихся три качества: пространственное воображение, логическое мышление и практическое применение». Все авторы современных учебников решают следующую методическую задачу: показать, как геометрия помогает познать окружающий мир, как с помощью геометрии познать его закономерности, как использовать геометрию в практической жизни, поэтому внедрение элементов геометрии в программу математики с начальных классов имеет для детей важное образовательное и развивающее значение.

В настоящее время пропедевтическому курсу геометрии отводится особая роль в улучшении геометрического образования школьников. Но, какое бы внимание не отводилось раннему этапу изучения геометрии, проблемы формирования некоторых геометрических понятий все еще остаются нерешенными. Одной из таких тем школьного курса геометрии, представляющих немалые трудности, является тема «Площадь».

В этой же главе рассматриваются психолого-педагогические аспекты изучения темы «Площадь». Констатируется, что каждая изучаемая тема в начальном курсе обучения (да и в процессе всего обучения в школе) рассчитана на определенный, соответствующий для восприятия данной темы, возраст учащегося и очень важно, чтобы ученик понял, усвоил то или иное преподносимое ему математическое понятие, действие, определение при первом его представлении. Ибо каждая неусвоенная тема, в цепочке связей с другими темами, будет служить причиной неусвояимости им другой, более сложной темы.

На основе анализа психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме «Площадь» сделаны следующие выводы:

1) деятельность по измерению площадей тесно связана с практической деятельностью человека;

2) в работе с построением фигур и измерением их площадей человек пользуется воображением, логикой, опытом своей практической деятельности;

3) тема «Площадь» как одна из базовых тем геометрии находится в тесной связи и взаимосвязи с познавательными процессами: восприятием, представлением, памятью и мышлением;

4) материал для изучения темы «Площадь» есть в каждом учебнике геометрии, но недостатки методики изложения этой темы и небольшой объем системы задач не позволяют учащимся глубоко усвоить эту тему.

Таким образом, в результате изучения состояния исследуемой проблемы в теории и практике мы отобрали лучшие идеи, рекомендации ученых и, опираясь на них с учетом многолетнего опыта работы в школе, пришли к выводу о необходимости разработки альтернативной методики изучения темы «Площадь» с учетом требований современных подходов в российском образовании.

Вторая глава диссертации «Методика изучения темы «Площадь» в ПЫХ классах» состоит из четырех параграфов. В § 2.1. «Пропедевтическая подготовка к изучению темы «Площадь» проводится подготовительная работа по введению понятия «Площадь». Сначала вводится понятия: «Точка», «Луч», «Прямая», «Линия»; описывается конкретная методика ведения этих понятий, разъясняется как на начальном этапе изучения геометрического материала изображаются точки, лучи, прямые линии; рассматриваются продольные и поперечные прямые линии. Затем вводится понятие отрезка, как части прямой, ограниченной с обеих сторон.

Ознакомление с измерением отрезков - исключительно ответственный момент в обучении младших школьников. Это обусловлено тем, что понятие длина отрезка является первым примером, относящимся к формированию общих представлений об измерении величин, в частности геометрических, тем более, что навыки в измерении любых величин имеют важное практическое значение. Далее приводятся примеры измерений различных величин и на этой основе излагается методика введения понятий сложения, вычитания, умножения и деления.

В § 2.2. «Методика изучения темы «Площадь» вводятся понятия плоскости, полосы, параллельных прямых и выводятся формулы для вычисления величины площади плоских фигур (согласно действующей программе по математике для НИХ классов).

Понятие плоскости формируется у учащихся на конкретных примерах из окружающей действительности: поверхность стола, классной доски, пола, потолка и т.д. Далее определяются параллельные прямые как непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. Примерами параллельных отрезков и прямых, на которых лежат эти отрезки, являются горизонтальные (вертикальные) линии тетради, противоположные стороны стола, классной доски и т.д. (3 кл.).

Следующим важным понятием, предшествующим понятию площади, является «полоса» (3 кл.). К понятию «полоса» учащихся подводят конкретными примерами, выполняя задания:

- постройте две параллельные прямые;

- разрежьте лист по этим параллельным прямым и т. д.

Затем формулируется определение полосы, как части плоскости, заключенной между параллельными прямыми. Эти прямые называются сторонами полосы. Ширина полосы везде одинаковая. Шириной полосы

назовем длину отрезка общего перпендикуляра, заключенного между сторонами полосы.

Далее вводится понятие единичной полосы.

Если полоса имеет ширину 1 см, то она называется единичной полосой шириной в 1 см. Если же полоса имеет ширину 1 м, то её называют единичной полосой шириной в 1 м и т.д.

Как известно, в традиционной методике изучения геометрических величин проходит по следующей схеме:

длина длина отрезка

величина площадь площадь геометрических фигур

Площадь определяется как неотрицательная величина, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) существует квадрат с единичной площадью;

2) если фигура состоит из двух частей, не имеющих общих внутренних точек, то площадь фигуры равна сумме площадей этих частей;

3) равные фигуры имеют равные площади.

Особенностью данного диссертационного исследования является то, что изучение площади происходит по похожей схеме на основе понятия «полоса»:

длина величина длины величина длины отрезка

площадь величина площади величина площадей фигур

Величина площади есть неотрицательное число, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) существует единичная площадь, как результат перпендикулярного пересечения двух единичных полос одного наименования;

2) если фигура состоит из двух частей, не имеющих общих внутренних точек, то величина площади фигуры равна сумме величин площадей этих частей;

3) равные фигуры имеют равные величины площадей.

Согласно выше изложенного, можно вычислять величины площадей различных фигур. 1. Величина площади прямоугольника (3 кл.). Разобьем прямоугольник на а вертикальных и Ъ горизонтальных единичных полос.

Тогда величина площади одной горизонтальной полосы будет «а» кв.ед. Поскольку всего горизонтальных, единичных полос «Ь», то площадь прямоугольника Б= а кв.ед.- Ъ= а• Ъ (кв.ед.), где «а» - длина одной стороны прямоугольника, «Ъ» - ширина полосы. На стороне которой построен прямоугольник.

А а- полос £)

Рис. 1

Теперь легко сформулировать правило для вычисления величины площади прямоугольника: чтобы вычислить величину площади прямоугольника, нужно длину любой из его параллельных сторон умножить на ширину полосы, которой принадлежат эти стороны.

2. Далее подробно излагается методика вычисления величины площади параллелограмма, предварительно рассмотрев некоторые свойства:

- у параллелограмма противоположные стороны параллельны;

- у параллелограмма противоположные стороны равны;

- диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам. Пусть параллелограмм АВСй — пересечение двух полос, ширины которых

а и Ъ.

Из вершин В и С проведем два отрезка перпендикуляров: ВМ и СК, которые выражают ширину горизонтальной полосы. Рассмотрим ААВМ и Д/ЖС. Эти треугольники прямоугольные. Они равны, т.к. АВ = ВС (как стороны данного параллелограмма), ВМ = СК (как ширина полосы). Тогда величина площади прямоугольника МВСК равна величине площади параллелограмма АВСЭ. Величина площади прямоугольника МВСК вычисляется как МК • ВМ. Аналогично, можно заменить величину площади параллелограмма АВСИ величиной площади прямоугольника АВЕР, т.к. величины их площадей равны. Итак:

Чтобы вычислить величину площади параллелограмма, достаточно длину любой из его параллельных сторон умножить на ширину полосы, которой принадлежат эти стороны.

Далее, используя термин «полоса», подробно излагаются выводы формул для вычисления величины площади:

- ромба. Чтобы вычислить величину площади ромба, надо длину любой из его параллельных сторон умножить на ширину полосы, которой принадлежат эти стороны;

- треугольника. Величина площади треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на ширину полосы, проходящей через третью его вершину;

- трапеции. Чтобы вычислить величину площади трапеции, нужно полусумму длин ее оснований, лежащих на сторонах полосы, умножить на ширину этой полосы;

- произвольного четырехугольника. Пусть ABCD - произвольный четырехугольник. Вершины А и С лежат на сторонах полосы. Диагональ BD разбивает его на два треугольника: ABD и BCD, величины площадей которых

равны: SBCD=^\BD\-\CK\; Sabd =^ВО\-\АМ\, тогда

SABCD =\<\CK\ + \AM$-\BD\. Следующий рисунок иллюстрирует это утверждение.

Рис. 3.

Итак, получили следующее правило:

Чтобы вычислить величину площади произвольного четырехугольника, надо умножить длину любой из его диагоналей на полусумму ширины полос, содержащих данную диагональ и противоположные ей вершины.

Введя обозначения: а - длина диагонали ВЭ, Ъ\ - длина отрезка АМ и /?2 — длина отрезка СК, получим:

Используя понятие «полоса», далее выводится формула для вычисления величины площади круга: 5 = -^С • , где С-длина окружности и Я — радиус.

Учитывая, что С = формула принимает вид: £ = пЛ .

В § 2.3. «Методика решения задач на вычисление величины площади» приводятся конкретные задачи, с помощью которых реализуется разработанная методика. К содержанию задач предъявляются следующие требования:

1) предлагаемые задачи должны соответствовать ныне действующим общеобразовательным стандартам;

2) каждая задача должна адекватно отражать содержания рассматриваемых тем;

3) задачи по теме должны распределяться по принципу «от простых к более сложным»;

4) содержание задач должно быть направлено на привитие умений и навыков, необходимых при вычислении величины площади.

При решении задач на вычисление величины площади различных фигур преследуются следующие цели:

1. Создать ясное представление о таких важных понятиях, как точка, прямая, луч, отрезок, плоскость, параллельные прямые, полоса, площадь.

2. Научить учащихся выводить формулы для вычисления величины площадей плоских фигур, используя полосу.

3. Развивать:

а) навыки построения элементарных геометрических фигур: точек; прямых линий; полосы; отрезка, соответствующий ширине полосы;

б) умения распознавать геометрические фигуры по их форме: прямоугольники, квадраты, параллелограммы, ромбы, треугольники, трапеции, четырехугольники и т.п.;

в) умения применять формулы для вычисления величин площадей плоских фигур в процессе решения задач.

4. Воспитывать в учащихся:

а) логическое мышление;

б) математическую культуру;

в) культуру общего умственного труда;

г) интеллектуальные качества личности.

5. Научить использовать на практике полученные математические знания.

В диссертации рассмотрены серия задач и методика их решения.

В § 2.4. описана опытно-экспериментальная работа, приведены результаты обучающего эксперимента.

На основании изученной литературы, данных, полученных в ходе констатирующего эксперимента для обеспечения полноты диагностики уровня усвоения темы «Площадь», были выделены интеллектуально-практические умения, через которые наиболее полно выражается сформированность умений и навыков у учащихся по данной теме. К ним относятся:

1. Умение воспроизводить объекты, имеющие площадь.

2. Умение распознавать объекты, имеющие площадь.

3. Умение строить объекты, имеющие площадь.

4. Умение вычислять величину площади заданной фигуры: прямоугольника, прямоугольного треугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, четырехугольника, круга.

5. Умение выполнять необходимые дополнительные построения.

6. Умение устанавливать взаимосвязь между различными единицами измерения площадей.

7. Умение осуществлять оценку величины площади.

8. Умение использовать теоретические знания по теме «Площадь» в процессе решения практических задач.

С целью выявления уровня сформированное™ вышеназванных умений и навыков были предложены задания, не выходящие за рамки программы по математике с учетом возможности их выполнения.

Как известно, по программе традиционной системы в 3 классе изучается площадь прямоугольника, в 4 классе - площадь прямоугольного треугольника, в 5 классе - систематизируются знания по теме площадь прямоугольника, в 6 классе рассматривается площадь круга, в 9 классе - площадь параллелограмма, трапеции, произвольного треугольника.

Поэтому ниже будут отражены результаты экспериментальных Ш-1Х классов (в рамках действующей программы).

Эффективность изучения темы «Площадь» по предложенной методике оценивалась на основании двух параметров: результатов выполнения учащимися программной контрольной работы по соответствующей теме и специально подобранной системе контрольных заданий.

4 кл.

Задания.

1. Начертите два отрезка, чтобы длина одного из них была меньше длины другого на 3 см. Измерьте длины отрезков.

2. Постройте произвольную полосу и вычислите ее ширину.

3. Начертите квадрат стороной 4 см, разделите его на два равных треугольника и вычислите величину площади одного из них.

4. Нарисуйте фигуру, у которой есть площадь, и фигуру, у которой площади нет.

С помощью первого и второго заданий мы предполагали проверить степень усвоения навыков построений отрезков и измерений их длин. Третье задание направлено на оценку сформированности умений выполнять дополнительные построения и навыков вычисления величины площади фигуры. Четвертое задание имело целью проверку способности учащихся распознавать различные типы фигур: имеющих «площадь» и не имеющих «площади». Результаты выполнения этих заданий отражены в таблице 1.

Таблица 1

Показатели сформированное™ умений и навыков вычисления величины площади 4 кл.

ЮС1 ЭК?

1. Умение строить отрезок 80 91

2. Умение измерять длину отрезка 76 88

3. Умение строить фигуру, имеющую площадь. 71 75

4. Умение производить необходимые

геометрические построения 69 79

5. Умение вычислять величину площади 68 74

прямоугольника (квадрат^

6. Умение распознавать объект, имеющей 86 89

площадь

6 кл.

1. Периметр фигуры, полученный перпендикулярным пересечением полос, имеет длину 20 см. Какая эта фигура? Сколько получится фигур, имеющих заданный периметр? Вычислите величину площади одной из этих фигур.

2. Постройте окружность, радиус которой 5 см, и вычислите величину площади круга.

3. Прямоугольник получен пересечением двух полос. Ширина одной полосы 3,5 дм. Вычислите ширину другой полосы, если величина площади прямоугольника равна 14 дм2. Вычислите периметр данного прямоугольника в сантиметрах.

4. На одной стороне полосы отложены два отрезка величиной 4 см и 5 см. Что можно сказать о величинах площади прямоугольников, для которых данные отрезки являются основаниями, а высотой является ширина данной полосы? Если сможете, начертите такие прямоугольники.

Результаты работы представлены в таблице 2.

Таблица 2

Показатели сформированности умений и навыков вычисления величины площади 6 кл.

КК2 ЭК*

1. Умение применять формулу для вычисления 60 84

величины площади прямоугольника

2. Умение правильно строить геометрические 81 88

фигуры на плоскости

3. Умение переводить единицы измерения 76 83

величины площади, длины из одних

наименований в другие

4. Умение производить необходимые измерения 80 94

5. Умение вычислять периметр фигуры 79 84

6. Умение вычислять величину площади 83 87

7. Умение осуществлять оценку величины 79 89

площади 60 91

8. Умение использовать усвоенные знания в

процессе решения практических задач

9кл.

1. Параллелограмм стороной 20 см имеет величину площади 1 дм2. Вычислите высоту параллелограмма.

2. Постройте произвольный четырехугольник. Выполните необходимые измерения и вычислите величину его площади.

3. Ширина полосы 4 см. На этой полосе постройте равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине. Вычислите величину площади данного треугольника.

4. Меньшая диагональ АС трапеции АВСЭ (рис. 4) делит ее на части, площади которых имеют величину 12 см2 и 20 см2. Вычислите длину большего основания трапеции в дециметрах, если длина меньшего основания трапеции равна 6 см. Сделайте необходимые построения.

Рис. 4

Проведение педагогического эксперимента в 9 классах имело целью проверить доступность альтернативной методики обучения по теме «Площадь» для этой возрастной категории.

С помощью первого и четвертого заданий мы предполагали проверить умения и навыки вычисления величины площади при использовании различных единиц измерения длины и площади. Второе задание позволяло оценить сформированность умений и навыков при построении и измерении геометрических величин.

Результаты работы представлены в таблице 3.

Таблица 3

Показатели сформированное™ умений и навыков вычисления величины площади 9 кл.

КК2 ЭК'

1. Умение работать с различными единицами 80 91

длины и площади

2. Умение вычислять величину площади фигуры 81 97

3. Умение вычислять периметр фигуры 86 93

4. Умение выполнять необходимые 73 89

дополнительные построения

5. Умение выполнять необходимые измерения 87 94

6. Умение осуществлять оценку величину 68 91

площади 81 96

7. Умение строить объект, имеющий площадь 82 94

8. Умение применять формулу для вычисления

площадей фигур 72 91

9. Умение использовать знания на практике

Полученные данные свидетельствуют о том, что лучшие результаты при выполнении всех предложенных заданий показала экспериментальная группа.

• в экспериментальной группе не отмечено случаев, когда ученик не приступал к выполнению того или иного задания, тогда как в контрольных группах наблюдались такие учащиеся;

• учащиеся экспериментальной группы выполняли построения геометрических фигур более качественно (аккуратно), чем учащиеся контрольных групп. В контрольных классах наблюдались фигуры, выполненные «от руки» и без соблюдения линейных размеров.

Резюмируя общие итоги исследования, можно заключить: в целом гипотеза нашла свое подтверждение, цель достигнута и поставленные задачи решены.

Основные результаты, полученные в процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научно-методической проблемы в соответствии с задачами и целями, приведены в заключении и сформулированы в виде следующих выводов:

1) установлено, что проблема формирования математических знаний на базе материала темы «Площадь» как средства осознанного подхода при обучении математике в начальной и основной школах является одной из актуальных педагогических проблем, обусловленная недостаточной ее теоретической и практической разработкой;

2) констатировано, что курс математики ПЫХ классов обладает широкими потенциальными возможностями для расширения кругозора учащихся, повышения их интереса к предмету, формирования и развития математических знаний, умений и навыков, которые являются необходимым компонентом современного школьного образования;

3) обоснована необходимость и возможность совершенствования методики изучения темы «Площадь» в начальной и основной школах;

4) установлено, что одним из направлений развития качественных математических знаний, умений и навыков учащихся начальной и основной школ является организация учебного процесса с использованием разработанных дидактических материалов по теме «Площадь»;

5) разработана альтернативная методика изучения темы «Площадь», определены характеристики и диапазон ее применимости для решения конкретных задач;

6) сформулированы требования к подбору учебных материалов и на их основе подготовлена система задач по теме «Площадь», являющейся средством развития математических знаний учащихся, и разработана методика их использования в учебном процессе;

7) экспериментально подтверждена доступность и эффективность разработанной методики изучения темы «Площадь».

По теме диссертационного исследования автором опубликованы

следующие работы:

1. Казакова М.А. Научно-методическое пособие для учителей математики и физики и учащихся общеобразовательных учебных заведений. -Минеральные Воды, 2004. - 24 с.

2. Казакова М.А. Понятие площади в начальном курсе обучения математике // Карачаево-Черкесский государственный университет. Вестник. Карачаевск, 2004. № 14.-С. 241-249.

3. Казакова М.А. Образ числа при изучении арифметических операций. Учебно-методическое пособие для учителя начальных классов и математике 5-6 классов. Часть 1. - Карачаевск, 2005. - 28 с.

4. Казакова М.А. Полоса. Особенности изучения темы «Площадь» в курсе математики 1-6 классов. Учебно-методическое пособие для учителей начальных классов и математики 5-6 классов. Часть 2. - Карачаевск, 2005. -44 с.

5. Казакова М.А. Полоса. Площадь // Сборник научных трудов СевКав ГТУ. №2. Серия «Естественнонаучная». - Ставрополь, 2006. - С. 32-38.

6. Казакова М.А. К вопросу об изучении умножения в начальном курсе математики // Начальная школа. — М., 2006. № 8. - С. 68-71.

7. Казакова М.А. Использование геометрического материала при изучении действия деления // Карачаево-Черкесский Государственный Университет. Вестник, 2006.-С. 11-18.

Подписано в печать «10» ноября 2006 г. Фурнитура «Tames» Печать ризография Уел. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Издательский центр ДГПУ Махачкала Ярагского, 57

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Казакова, Мирослава Алиевна, 2006 год

Введение.

Глава 1. Методологические аспекты изучения темы «Площадь» в 3-9 классах

1.1. Элементы историзма в изучении темы «Площадь».

1.2. Анализ состояния изучения темы «Площадь» в школьном курсе математики.

1.3. Психолого-педагогические и методические аспекты изучения темы «Площадь».

Выводы по главе 1.

Глава 2. Методика изучения темы «Площадь» в III-1X классах

2.1. Пропедевтическая подготовка к изучению темы «Площадь».

2.2. Методика изучения темы «Площадь»

2.3. Методика решения задач на вычисление величины площади.

2.4. Результаты педагогического эксперимента.

Выводы по главе 2.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика изучения площадей геометрических фигур в курсе математики III-IX классов"

Гуманистические мировоззренческие ориентиры современной цивилизации выдвигают и определяют в качестве важнейших средств решения проблем человечества «компетентность и добрую волю, базирующиеся на знании и общечеловеческих ценностях». Эти тенденции развития общества находят отражение и в школьном образовании: в настоящее время пути обновления школы в основном связываются с идеями личностно - ориентированной педагогики» [109,с.З]

Современную школу отличает гуманизация образования, усиление внимания к ученику, к его саморазвитию. В последнее время все большее признание получает развивающее обучение, которое формирует по существу одну цель, состоящую в том, что «обучение должно вести к умственному, нравственному и физическому развитию учащегося» [44,с.4]

Многими достижениями современная эпоха обязана уровню развития математического знания, поэтому на рубеже веков школьное математическое образование находится в центре внимания специалистов разного профиля. При этом, в психолого- педагогических исследованиях подчеркивается, что современная методика обучения математике формируется не только под влиянием развития самой математики, но и под воздействием современных исследований о человеке в его целостности и неповторимой индивидуальности.

Геометрическое образование как отдельное направление математического образования обладает самостоятельной ценностью не только с точки зрения развития и обогащения математического знания, но и с позиции гуманизации образования. Это объясняется тем, что именно геометрический материал позволяет обеспечить более гармоничную и синхронную мыслительную деятельность школьников, что особенно важно на начальном этапе обучения математике. Поэтому в последнее время многие отечественные ученые (А.Д. Александров, Г.Д. Глейзер, В.М. Тихомиров, И Ф. Шарыгин и др.) стремились создать свои оригинальные концепции обучения геометрии в школе, учитывающие не только специфику предмета и метода геометрии, но и содержащие тот или иной ответ на возможность психического развития детей средствами геометрии. «Сейчас, - подчеркивает В.А.Гусев,- все понимают, что без учета психологических закономерностей развития личности школьника добиться успехов в обучении математике невозможно» [35, с.5 ]

В настоящее время поиском новых моделей обучения геометрии занимаются многие исследователи, связывая решение методических проблем с некоторыми положениями и закономерностями педагогической психологии. Это привело к созданию новых систематических и пропедевтических курсов геометрии, авторами которых являются В.А. Гусев, Г.А.Клековкин, В.А. Панчищина, B.C. Подходова, И.М. Смирнова и В.А. Смирнов, Т.Г. Ходот, И.Ф. Шарыгин и JI.H. Ерганжиева и др.

Очевидно, что в процессе формирования геометрического знания школьников на разных этапах обучения возникают задачи, которые различаются полнотой познавательной информации как логической, так и образной. При этом отсутствие или недостаток фактического материала создает проблемные ситуации, неопределенность которых заставляет включаться в процесс решения задачи на воображение. Воображение помогает объединить в учебной деятельности абстрактные понятия и чувственно - наглядные элементы, отличающие и характеризующие геометрическое знание. «. В существе своем геометрия и есть не что иное, как органическое соединение строгой логики с наглядным представлением, пронизанное и организованное строгой логикой, оживленной наглядным представлением. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии», - так характеризует ее один из выдающихся отечественных математиков А.Д. Александров [2,стр. 282 ], поэтому «в школьном обучении основная методическая проблема определяется соотношением интуитивно - наглядного и логического» [139, с.3-4 ].

В современной концепции математического образования отмечается, что на современном этапе «изучение геометрии подвергается весьма существенному пересмотру, предлагается отказаться от строго дедуктивного построения курса, усилив внимание к его наглядно - эмпирическому аспекту. При этом овладение пространственными формами должно проходить непрерывно, начиная с первых лет обучения» [ 63, с. 16].

В концепции развития школьного математического образования подчеркивается, что «в настоящее время одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, включающее в себя способность человека к усвоению новых знаний. Ориентация на личность ученика выдвигает как одну из тенденций в направлении разработки эффективной методики преподавания математики перенос акцентов с обучения математическим фактам на формирование умения анализировать, продуцировать и использовать информацию». [96, с.З]

Особое внимание в настоящее время уделяется пересмотру содержания школьного математического образования (Арнольд, В.А.Садовничий, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Манвелов С.Г., Мехтиев М.Г., Шихалиев Х.Ш., И.Ф.Шарыгин, Г.Д.Глейзер, Э.Г.Гельфман и др.). В частности, по мнению В.С.Подходовой, «Наука стремится стать человечнее, .что выражается во все более частом использовании образов, живых метафор, . делающих понятия видными. Эти изменения в науке должны найти отражение и в образовании» [116, с. 177]

Во многих работах [20,21,22, 27, 40, 50, 52,54, 63, 98, 99, 100, 101, 112, 116, 131, 144, 160] подчеркивается, что обучение математике в школе должно учитывать специфику не только логического, но и образного мышления учащихся. Исследователи (Л.Л.Гурова, Е.Н.Кабанова - Меллер, И.Я.Каплунович, М.С.Шехтер, И.С.Якиманская) приводят данные, свидетельствующие о том, что несоответствие методики обучения особенностям мышления может снизить ее эффективность.

Учащиеся начальных классов довольно нелегко овладевают знаниями, связанными с геометрическим материалом. Изучение геометрии на начальной ступени математического образования позволяет познакомить детей с существенной, по сравнению с арифметикой, стороной математического способа познания окружающего мира, а разнообразие геометрических форм и методов познания способствует возможности показать эстетическую сторону математики, в которой красота и гармония часто служат первым критерием истинности. Между арифметикой и геометрией существует очевидное различие, по крайней мере в тех разделах, которые изучаются в школе и служат важной составляющей общего образования. Арифметика есть наука о дискретном, а геометрия - наука о непрерывной протяженности. Это определяет как различия познавательной деятельности в процессе их изучения, так и особенности арифметического и геометрического мышления.

Так как основное содержание начального математического образования традиционно составляла арифметика, главной целью изучения которой было формирование вычислительных навыков и умения решать различные типовые арифметические задачи, большинство учащихся испытывают трудности в работе с элементами геометрии, будучи малоподготовленными к их восприятию.» [154, с.4-5]

В геометрии изучаются объекты окружающего мира, идеализированные в простых и наглядных понятиях, что способствует развитию пространственного воображения и логического мышления. Именно поэтому в геометрии заложены потенциальные возможности воспитывать в ребенке интеллектуальные качества личности.

Геометрия, являясь феноменом общечеловеческой культуры, отличается собственным методом познания мира, а геометрическая деятельность и философски и онтогенетически есть первичная интеллектуальная деятельность. Геометрическое мышление в своей основе есть мышление образное, чувственное, физиологически связанное с субдоминантным полушарием головного мозга. Только по мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и соответственно роли левого полушария. Для детей преимущественным развитием правого полушария изучение геометрии, особенно в возрасте 8-12 лет, исключительно важно в прямом физиологическом смысле.

Одной из важнейших педагогических проблем обучения геометрии является разрешение противоречия между первичностью пространственных форм с точки зрения процесса познания мира и абстрактностью плоских фигур в традиционной логике построения геометрических курсов, развивающихся от плоской к пространственной геометрии. Еще Н.И. Лобачевский указывал на необходимость обучения геометрии на принципе фузионизма, то есть на взаимопроникновении стереометрии и планиметрии. Разные его реализации в начальном обучении геометрии предлагаются Шарыгиным И.Ф. и Шарыги-ной Т.Г. в рабочей тетради по геометрии для 2-го класса [156]; Е.Знаменской в рабочей тетради по геометрии для младших школьников [52] , В.А. Гусевым [34]

В концепции И.Ф.Шарыгина предлагается разделить школьное обучение геометрии на три этапа. «Первый - широкая геометризация всего изучаемого материала при приоритетности пространственных форм (1-6 классы), второй - систематический курс геометрии, частично фузионистский (7-9 классы). На последнем (10-11 классы) множественные курсы, программы которых определяются целями и потребностями соответствующих категорий школьников, имеющих ясные профориентационные цели.» [156, с5].

Для успешного усвоения геометрического материала, подчеркивает Шадрина И.В., необходим достаточно высокий уровень развития логической культуры. Учащимся «очень трудно дается даже умение держать нить рассуждения, не говоря уже о том, чтобы освоить такие приемы, как абстрагирование или обобщение» [154, с.34-38] .

В исследовании Магомеддибировой З.А. подчеркивается, что некоторые ученики не могут самостоятельно сформулировать утверждение, вытекающее из приведенных ранее рассуждений. Учащиеся не умеют анализировать заданный рисунок к задаче. «К концу 5 класса отдельные учащиеся не умеют пользоваться формулами для вычисления периметра и площади прямоугольника (квадрата), продолжают путать единицы длины и площади, периметр и площадь, затрудняются сравнить площади фигур, выполнять измерения и построения с помощью линейки, циркуля, транспортира, нетвердо знают соотношения между изученными мерами длины, площади» [72, с. 180].

Решение данной проблемы имеет особое значение для дальнейшего совершенствования обучения математике в 5- 9 классах, так как в мышлении именно этой возрастной группы происходит переход от конкретно - образного к абстрактно - логическому. Эта проблема важна при обучении геометрии начиная с самого начального курса обучения математике. Изучение геометрии, базирующейся на воображении и интуиции, с одной стороны, и на логике, с другой стороны, способствует интеллектуальному развитию учащихся, развитию их познавательных интересов.

Немало проблем и в обучении учащихся решению геометрических задач, где заложен развивающий потенциал геометрии.

Несмотря на постоянное внимание к данной проблеме, умения учащихся решать геометрические задачи остаются на невысоком уровне. «Об этом свидетельствует систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты вступительных экзаменов в ВУЗы, где каждая задача по геометрии является «камнем преткновения» для учащихся» (исследования Е.Е.Овчинниковой) [35, с.24]. Долгие годы высокое качество геометрической подготовки школьников нашей страны определялось системой обучения, связанной с именем А.П.Киселева, выдающегося педагога, по учебникам которого изучало геометрию не одно поколение российских школьников.

Достоинством учебника была сложившаяся с годами система упражнений, насыщенность собственно эвристическими методами и приемами решения задач, воспитывающими активный творческий подход к изучению геометрии.

Позднейшие реформы школьного математического образования, связанные с алгебраизацией, а также переход на всеобщее среднее образование, фактически свели геометрию к решению вычислительных задач, а освоение учащимися наиболее ценных в эвристическом плане методов решения задач практически выпало из содержания обучения геометрии. В 70-е годы осуществлено введение в курс геометрии векторного метода, но это не решило проблему геометрического образования, потому что он является не собственно геометрическим, а более универсальным.

Преодоление трудностей, испытываемых учащимися при решении геометрических задач, остается актуальной проблемой и в настоящее время.

Вопросы изучения теории площади в школьном курсе подвергались всестороннему анализу многими педагогами и методистами. Было установлено фундаментальное значение этой темы для дальнейшего изучения математики, указывались пути и средства формирования данного понятия.

Методике изучения геометрических величин в средней школе посвящен целый ряд кандидатских диссертаций. Диссертации М.С.Мацкина, В.Н. Шишлянниковой [163] целиком посвящены детальной разработке содержания и методики изложения основных разделов, связанных с измерением геометрических величин. В исследовании А.Ф.Спасского и И.С.Климова [147] разработаны приемы привития учащимся практических навыков измерения: дана методика работы с измерительными инструментами, система практических работ по измерению геометрических величин. Математическое обоснование теории скалярных величин, и в частности геометрических величин, излагается в диссертации К.Ф.Рубина. Наконец, в диссертации З.И.Турлаковой излагается методика изучения в старших классах таких разделов, как «Длина отрезка», «Длина кривой» и «Площадь геометрической фигуры».

С другой стороны, теоретическое обоснование вычисления величины площади и применение площадей в качестве инструмента для решения задач в современной методической литературе исследована недостаточно.

Объект исследования: обучение математике учащихся III-IX классов.

Предмет исследования: методика изучения площадей геометрических фигур в III-IX классах.

Цель исследования состоит в разработке альтернативной методики изучения темы «Площадь».

Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что если обучение по теме «Площадь» в III-IX классах вести по разработанной нами методике, то это будет способствовать повышению качества математических знаний учащихся.

Задачи исследования: 1) выполнить анализ состояния проблемы исследования в теории и практике обучения математике;

2) исследовать целесообразность и возможность нового подхода к введению понятия «Площадь»;

3) разработать методику изучения темы «Площадь». Определить характеристики и диапазон применимости;

4) выявить и обосновать требования к системе задач на вычисление величины площади;

5) разработать систему задач и методику ее внедрения в учебный процесс;

6) экспериментально проверить эффективность предложенной методики.

Методологической основой для исследования послужили работы отечественных педагогов и ученых-методистов в области совершенствования методики обучения математике в общеобразовательных учреждениях (Ю.М. Колягин, Н.М. Бескин, Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, М.Г. Мехтиев, Х.Ш. Ши-халиев, Г.И. Саранцев).

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования:

- изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования;

- изучение опыта работы учителей школ региона, обобщение собственного опыта;

- наблюдение за процессом обучения;

- анкетирование и опросы учителей, родителей и беседы с учителями и учащимися;

- педагогический эксперимент.

Организация исследования.

Исследование проводилось с 1995 по 2006 годы и включало три этапа.

На первом этапе (1995-1996 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент для определения уровня усвоения учащимися III-IX классов темы «Площадь», проводилось анкетирование учителей, наблюдение за их работой.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

1) обоснована целесообразность и возможность альтернативного подхода к изучению темы «Площадь»;

3) разработана методика изучения темы «Площадь».

На защиту выносятся:

1) методика изучения темы «Площадь», характеризующаяся опорой на понятие «полоса»;

2) система задач по теме «Площадь», отвечающая специальным требованиям, и методика их использования в учебном процессе.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в школах Карачаево-Черкесии, а основные результаты диссертационной работы систематически докладывались на ежегодных научных сессиях, конференциях профессорско - преподавательского состава КЧГУ, на заседаниях методического объединения учителей математики института повышения квалификации республики, на заседаниях кафедры математики и методики ее преподавания Карачаево-Черкесского государственного университета. Основные положения диссертационного исследования опубликованы в 7 методических работах и статьях.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

2) констатировано, что курс математики III-IX классов обладает широкими потенциальными возможностями для расширения кругозора учащихся, повышения их интереса к предмету, формирования и развития математических знаний, умений и навыков, которые являются необходимым компонентом современного школьного образования;

141

Заключение

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Казакова, Мирослава Алиевна, Карачаевск

1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. -1980. №3.-с.56-62.

2. Александров А.Д. Основания геометрии. -М.: Наука, 1987.-288 с.

3. Александров А.Д. и др. Геометрия: Учеб. для учащихся 7 кл. средних школ. -СПб.: «Специальная литература», 1998. -238 с.

4. Александров А.Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. -1986-№1. 12-19.

5. Атанасян JI.C. Геометрия 7-9. Учебники для общеобразовательных учреждений.- Москва. Просвещение. 2003.

6. Александров А.Д. Что такое многогранник? //Математика в школе, 1981, «2, с. 22-27.

7. Александров АД., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 9: учебное пособие. -М.: МИРОС, ЧеРо, 1997.-348 с.

8. Алексеев П.В., Панин А.В. Теория познания и диалектика. Учеб. пособие для ВУЗов. -М.: -Высш. шк., 1991,-383 с.

9. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР.

10. Аргинская И.И.,Занков JI.B. Математика. 1кл. «Просвещение», 1991

11. Аргинская Я.Я.Математика 1-3.2кл.М.П. 1997г.

12. Аргинская И.И. Математика 1-З.Зкл.М.П. 1999г.

13. Белошистая А.В. Почему школьникам так трудно дается геометрия? //

14. Математика в школе. -1999.-№6. -с. 14-19.

15. Бескин Н.М. Методика геометрии. Учпедгиз. 1947 год.

16. Болтянский В.Г., Воловин М.Б., Семуишн А.Д. Геометрия. Пробныйучебник для 8-9 кл. -М.: Просвещение, 1979. 159 с.

17. Бруннер Дж. Психология познания. -М.: Прогресс, 1977. -412 с.

18. П.Виленкин Н.Я. О понятии величины // Математика в школе .№ 4, 1973г.,с.4-7.

19. Виленкин Н.Я., Мышкис АД. HTP и школьный курс математики // Математика в школе, 1987, №3, с. 41-52.

20. Выготский JI.C. Воображение и творчество в детском возрасте: Психол. очерк: Книга для учителя. -3 изд.-М.: Просвещение, 1991.-90 с.

21. Выготский J1.C. Собрание сочинений: В 6-ти т. Т2. Проблемы общей психологии (Под.ред В.В. Давыдова.-М.: Педагогика, 1982.-502 с.

22. Выготский JI.C. Собрание сочинений: В 6-ти т.Т.4. Детская психология /Под ред. Д.Б.Эльконина. -М.: Педагогика, 1984.-432 с.

23. Выготский J1.C. Воображение и его развитие в детском возрасте. Хрестоматия по психологии. -М.: Просвещение, 1987. -с. 320-325.

24. Выготский ДС.Воображение и творчество в детском возрасте: Психол. очерк: Книга для учителя. 3 изд. -М.: Просвещение, 1991. -90с.

25. Выготский JI.C. Мышление и речь. -М.: Лабиринт, 1996. -415 с.

26. Возрастные возможности усвоения знаний //Под ред. Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова. -М.: Просвещение, 1966. -442 с.

27. Геометрия 7-11.9 кл. Погорелое А.В. М.П. 2000г.

28. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. -1991. №4.-с.68-71.

29. Глейзер Г.Д.Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978.—104с.

30. Гопгчап Э.Г. Совершенствование содержания геометрических задач и методов их решения как средство повышения качества знаний учащихся по математике. Дисс. канд. пед.наук.-Арзамас, 1967,-202 с.

31. Готман Э.Г. Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. -М.: Просвещение, 1979. -128 с.

32. Гурова J1.J1. Психологический анализ решения задач. -Воронеж: Изд. Воронежского ун-та, 1976.-327с.

33. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Дисс. докт. пед наук. М., 1990. -364с.

34. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? М.: Авангард, часть 1, 1994.-168 с.

35. Гусев В.А. Геометрия-7: Экспериментальный учебник. Часть 3. М.: Авангард, 1998.-96 с.

36. Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии // Математика в школе. -2002 .№3. -с. 4-8.

37. Гусев В.А. Геометрия. 5-6 классы: Учебное пособие. М.: ООО «ТИД» Русское слово -РС», 2002. -256 с.

38. Гусев В.А. Программа курса «Геометрия» для 5-11 классов общеобразовательных учреждений. -М.:000 «ТИД» Русское слово-РС», 2002. -32 с.

39. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: ООО Издательство "Вербум- М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003.-432 с.

40. Гусев В.А. Геометрия-6: Экспериментальный учебник. Часть 2. -М.: Авангард, 1995.-149 с

41. Долбилин Н.П., Шарыгип И.Ф.О курсе наглядной геометрии в младших классах //Математика в школе. -1990. № 6. -С. 19-21.

42. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования //Математика в школе. 1990. №6 - с. 19-21.42Дорофеев Г.В. Гуманитарные аспекты преподавания математики // Математика в школе. -1990. №6. с. 12-13.

43. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Часть 1. Уч.для 5 кл. -М: ООО «Баланс», ООО «С-инфо», 1997. -240 с.

44. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 2: Уч. для 5 кл. М: ООО «Баласс», ООО «С-инфо», 1997. -240 с.

45. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 1: -М.: «Баласс», «С-инфо», 1998. -122 с.

46. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 6 класс. Часть 2: М.: «Баласс», «С-инфо», 1998. -128 с.

47. Екимова М.А. Дисс. канд. пед. наук. Развитие логического мышления учащихся 5-7 классов посредством обучения решению задач с геометрическим содержанием. Омск. - 2003.

48. Жаров В.А. Основные принципы построения задачника по геометрии. -Ярославль: изд-воЯПИ, 1960. -188 с.

49. Знаменская Е. Тетрадь по наглядной геометрии. -Тверь, 1995.

50. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся М., «Просвещение». 1968. -288 с.

51. Как развивать пространственное мышление учащихся на уроках математики. -М.: НИИ общей и педагогической психологии. -1985. -11 с.

52. Казакова М.А. Научно-методическое пособие для учителей математики и физики и учащихся общеобразовательных учебных заведений. -Минеральные Воды. -2004. -24 с.

53. Казакова М.А. Понятие площади в начальном курсе обучения математике // Карачаево-Черкесский государственный университет. Вестник. Ка-рачаевск -2004. №14. с.241-249.

54. Казакова М.А. Образ числа при изучении арифметических операций. Учебно методическое пособие для учителей начальных классов и математики 5-6 классов. Часть 1. Карачаевск,- 2005.- 28 с.

55. Казакова М.А. Полоса. Особенности изучения темы "Площадь" в курсе математики 1-6 классов. Учебно методическое пособие для учителейначальных классов и математики 5-6 классов. Часть 2. Карачаевск.-2005.-44 с.

56. Казакова М. А. Полоса. Площадь. Сборник научных трудов СевКав ГТУ. № 2. Серия «Естественнонаучная» Ставрополь.- 2006.- с. 32-38.

57. Казакова М.А. К вопросу об изучении умножения в начальном курсе математики // Начальная школа, Москва,2006. № 8.- е.- 68-71.

58. Казакова М.А. Использование геометрического материала при изучении действия деления. Карачаево-Черкесский Государственный Университет. Вестник. 2006 год.

59. Казакова М.А. Логарифмы и их свойства. // Математика в школе, Москва 2004. №9. -с 59.

60. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников впроцессе обучения математике: Учебное пособие. -Новгород: НРЦРО, 1996.-100 с.

61. Клековкин Г.А. Геометрия 5. Книга для учащихся 5 класса, их родителей и учителей. Самара. -1997. -311 с.

62. Кокстер Г.С.М., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978.- 223с.

63. Колмогоров А.Н., Семенович А. Ф., Нагибин Ф.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Пробный учебник для 6 класса. М.: Просвещение, 1970. - 142 с.

64. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современном мире // Математика в школе. 1971. - № 6.

65. Колягин ЮМ., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л., Оганесян В.А., Пичурин Л.Ф., Саннинский В .Я. Методика преподавания математики в среднейшколе. Частные методики. Учебное пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. ин-тов. М. «Просвещение», 1977.

66. Л.Кузнецова Г.Б. Координатный метод решения планиметрических задач в средней школе. Автореф. диссертации. канд. пед. наук. Ярославль, 1973.-23 с.

67. Магомеддибирова З.А. Методическая система реализации преемственности при обучении математике. Москва. -2003.

68. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе М.П. Москва. 1963.

69. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики. М.1. Просвещение». 2002

70. Манвелов С.Г. // Математика в школе. -№6. 2006г.

71. Математика ЗА.Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Волкова

72. С.И., Степанова С.В. М.П. 1997г.

73. Математика 3. Пчелко А.С., Бантова М.А., Моро М.И., Пышкало A.M.1. Москва «Просвещение» 1993

74. Математика 1-4. 4кл. Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.1. М.П. 1999г.

75. Математика 5 кл. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. М. «Сайтком» 2000г.

76. Математика -5. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Издательский дом «Дрофа».М.1999.

77. Математика -5. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Краснянская К.А., Кузнецова Я.В., Минаева С.С., РословаЛ.О., Шевкин А.В. М.П. 2000.

78. Математика 6 кл. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Мнемозина» М. 2002г.

79. Математика. 6 кл. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Москва. Дрофа. 2001.

80. Математика. 6 кл. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Краснянская К.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С.,1. РословаЛ.О., Шевкин А.В.85. «Математика в школе» № 4. 1973г.86.«Математика в школе» №4.1961г.;№5.1966г.

81. Математика о математике. -М.: Знание, 1967. -32 с.5&Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. уч. заведений /В.А.Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А.Гусева. -М.: Издательский центр «Академия». 2004. -368 с.

82. Методика обучения математике 1 -3 классах. М.П.1975

83. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика; Сост.В.И. Мишин.- М.: Просвещение, 1978. -416с.

84. Методика обучения геометрии. В.А.Гусев и др. Москва. 2004.

85. Методы исследования невербального мышления: Сборник тестовых методик /Под.ред. Якиманской И.С.-М.: Фолиум, 1993. -32 с.

86. Мехтиев М.Г. Задачи на построение в курсе геометрии средней школы. Махачкала. Дагучпедгиз. 1992

87. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Учебное пособие для педагогических институтов. Москва «Просвещение» 1987.

88. Ноздрачева Л.М. Аналитические методы решения геометрических задач в курсе планеметрии. Дисс. канд. пед. наук. - М., 1992. - 198 с.

89. Овчинникова Е.Е. Исследование метода площадей и объемов при решении школьных геометрических задач, diss.rsl.ru. -2003.

90. Панчищина В.А., Гельфман Э.Г. и др. Геометрия (часть II): Учебное пособие по геометрии. -Томск: Изд-во Томского ун-та, 1998.-288 с.

91. Панчищина В.А. О концепции и содержании экспериментальной программы «Геометрия для младших школьников» (вводный курс геометрии) /В.А.Панчищина; Медвуз. Центр при ТГПУ-Томск: Издательство ТГУ, 2003.-31 с.

92. Панчищина В.А. Обогащающая модель обучения в проекте МПИ: Организация работы на уроках геометрии. Методические указания, книга для учителя: Межвуз. центр при ТГПУ.-Томск: Издательство ТГУ. -2001.-147 с.

93. Панчищина В.А., Расташанская Т.В. Геометрическое образование младших школьников // В сб.:- Образование в XXI веке /Материалы Всероссийской научной заочной конференции. -Тверь: ЧуДо, 2002. с.274-277.

94. ПардалаА. Формирование пространственного воображения у учащихся при обучении математике в средней школе (с учетом специфики школы республики Польша). Дисс. докт. пед.наук. -Москва, 1993.-327 с.

95. Пардала А. О системе задач для формирования пространственных предствлений //Математика в школе. -1993. №5. с. 14-17.

96. Пардала А. Тест как средство исследования пространственного воображения // Математика в школе. -1995. №3. с.75-80.

97. Пардала А., Свобода Э. Об ошибках при выполнении и использовании геометрических чертежей //Математика в школе,1994, №1, с.35-36.

98. Педагогическая энциклопедия. T.I А-Е. 1964.-832 с.

99. Пиаже Ж. Избранные психологические труды: Психология интеллекта. Генезис числа у ребенка. Логика и психология. -М.: Международная педагогическая академия, 1994.-675 с.

100. Пиаже Ж. Избранные педагогические труды. -М.: Международная педагогическая академия. 1994. -680 с.

101. Погорелое J1.B. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2000 г. -383 с.

102. Погорелое А.В. Геометрия. -М.: Наука, 1983. -288 с.

103. Погорелое А.В. Элементарная геометрия.-М.: Наука,Ж 1974. -208 с.

104. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учебное пособие /Под ред. В.Д.Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. -38 с.

105. Подходова Н.С. Геометрия. 5 кл. Учебное пособие. -2-е изд., исправл. -СПб.: Издательство «Голанд», 1997. -136 с.

106. Подходова Н.С. Формирование пространственных представлений младших школьников при изучении геометрического материала. Дисс. канд. пед. наук-Санкт-Петербург, 1992.-234 с.

107. Подходова Н.С. К проблеме личностно-ориентированного обучения геометрии // Математика в школе. 2000. №10. -с 55-58.

108. Подходова Н.С., Оводова Е.Г. Геометрия в пространстве: Знакомство с объемными фигурами и симметрией. 6 класс. -20е изд., исправл. -СПб.: Издательство «Голанд», 1997. -168 с.

109. Подходова Н.С. Теоретические основы построения курса геометрии 1-6 классов: Дисс. докт. пед наук. -СПб., 199. -387 с.

110. Подходова Н.С. Развитие пространственного мышления учащихся V-VI классов // Математика в школе, №2, 1997, с 29-34.

111. ПойаД. Как решать задачу. -М.: Учпедгиз, 1961.-208 с.

112. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. -464 с.

113. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач // Математика в школе. 1995. - №1.- с. 23-25

114. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. -М.: Наука, 1986. -ч. 1.-270 е., 4.2. -288 с.

115. Прасолов В.В. Используя площадь //Квант. 1986. - №5.-с. 16-19, 43.

116. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение, 1998.-240 с.

117. Реформы образования в совершенном мире: глобальные и региональные тенденции. М.: Изд. Российского открытого ун-та, 1995. -272 с.

118. Психология. Словарь /Под.общ. ред. А.В.Петровского, М.Г. Ярошев-ского. -М.: Политиздат, 1990. -494 с.

119. Пышкало A.M. Геометрия в I-IV классах. М.: «Просвещение», 1968. -262 с.

120. Пышкало A.M. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах. Издательство «Просвещение» Москва. 1970

121. Развитие творческой активности школьников /Под ред. А.М.Матюшкина. -М.:Педагогика, 1991,-160 с.

122. Расташапская Т.В. Детское математическое творчество и воображение //Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса. Тезисы докладов межрегиональной научно-методической конференции. Часть II -Кем ГУ, 2000, с. 73-76.

123. Расташанская Т.В. Особенности развития воображения школьников при изучении геометрии //Дидактика математики: сегодня и завтра. — Томск: Изд-во Томского государственного педагогического университета, 2000, с.72-74.

124. Расташанская Т.В. О задачах для развития воображения младших школьников при обучении геометрии //Новые технологии в образовании. Сб. трудов. Вып. 7. -Воронеж: Центрально-Черноземное книжное издательство, 2003.-с. 48-50.

125. Расташанская Т.В. Развитие воображения учащихся 5-6 класов при обучении элементам геометрии. Дисс. .канд. пед. наук. — Омск, 2004.-21 с.

126. Результаты исследования Министерства просвещения РСФСР и Академии педагогических наук // Математика в школе. №4. -1961; №5. — 1965 г.

127. Розка Ю.А. Формирование приемов аналитико-синтетического поиска решения задач на доказательство в курсе стереометрии в 8-9 классах средней школы. Диссертация . канд. пед. наук. - М., 1987. - 177с.

128. Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Измерения: Учебное пособие. -М.: Изд-во гимназии "Открытый мир", 1995. -64 с.

129. Рубин К.Ф. Обоснование учения о геометрических величинах. -Дисс. канд.пед. наук. Киев, 1952.

130. Садовничий В.А.Математическое образование: настоящее и буду-щее.//В кн. Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь 2000. М.: МЦНМО, 2000, с.36-39.

131. Самсонов П.И. Об обучении доказательствам // Математика в школе. -2001. -№4.- с 34-38.

132. Саранцев Г.И. Методика обучения математике на рубеже веков // Математика в школе. -2000. №7 с. 2-5.

133. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учеб. для 7-9 кл. общеобра-зов. учреждений.-М.: Просвещение, 2001.-271 с.

134. Спасский А. Ф. Измерение геометрических величин на разных ступенях обучения в политехнической школе. Дисс. кан. пед. наук. -М., 1958.

135. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании //Математика в школе.-1993. -№4 с. 3-9.

136. Философский словарь (Под ред. И.Т.Фролова. -М.: Республика, 2001. -719с.

137. Ходот Т.Г. и др.Книга для учителя.-СПб.: «Иван Федоров», 2002-152 с.

138. Ходот Т.Г. и др. Геометрия: Учебник для 5 класса общеобразовательной школы. СПб.: «Иван Федоров», 2002. -272 с.

139. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. — СПб: Питер, 2002. -264 с.

140. Холодная О.В. Методика изучения движений плоскости в основной школе с опорой на образное мышление учащихся. Дисс.канд. пед. наук. Москва. - 2002

141. Шадрина И.В. Обучение геометрии в начальных классах. -М., 2002.

142. Шарыгин И.Ф.Геометрия. 7-9 кл. -М.: Дрофа, 1998. -352 с.

143. Шарыгин И.Ф. Наглядно-эмпирическая концепция построения школьного курса геометрии // К концепции содержания школьного математического образования: Сборник научных трудов /Редколлегия, С.Б.Суворова и др. -М.: Дрофа, 1997, с48-54.

144. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева J1.H. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов. -М.: МИРОС, 1995, -240с.

145. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 классы. -М.: Дрофа, 1997. -352 с.

146. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку. -М.: Просвещение, 1995.-80 с.

147. Шарыгин И.Ф. и Шарыгина Т.Г. Первые шаги в геометрии. -М., 1995.

148. Шехтер М.С.Образные компоненты знания в обучении // Вопросы психологии. №4,1991, с.50-58.

149. ШихалиевХ.Ш.Математика 5-6. Махачкала ДГПУ, 1997.

150. Шишляиникова В.Н. Измерение площадей фигур при изучении геометрии в средней школе. -Дисс. канд. пед. наук. М., 1954.

151. Энциклопедический словарь. Государственное научное издательство «Большая советская энциклопедия». М. 1953. Т: 1,14,27,31, 33.

152. Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах. Книга для учителя (2 изд.).-М.: АО «Столетия». 1995. -172с.

153. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.Т. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: 1986. - 238с.

154. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979.-144 с.

155. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М. «Педагогика», 1980. -240 с.

156. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. -М.: Сентябрь, 200. -111 с.

157. Якиманская И.С. О некоторых особенностях мыслительной деятельности, проявляющихся при чтении чертежа // Докл. АПН РСФСР, №3, 1958, с.49-54.

158. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. -М.: Педагогика, 1980. -240 с.

159. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся /Под ред. И.С. Якиманской. -М.: Педагогика, 1989. -221.

160. Learninq То Be. Ed. By Edqar. Paris, 1972, c.7.

161. M. Alessandra Mariotti: Justifying and proving: figural and conceptual aspects// ERCME 97, European Research Conference on Mathematical Education, Proceedings, Podebrady, The Czech Republic. Charles University, Faculty of Education, p.23

162. Frantisek Karina. Geometry in early childhood education in Czechoslovakia. Pythagogas, 33, April 1994, P 24-32

163. Geometry: Learning by Doing Hartwig Meissner SEMT 95 International Symposium Elementary Math Teaching Prague, The Czech Republic Charles University, Faculty of Education, 1995. - 26 p.

164. Sawyer W. W. mathematicians Delight, Toronto, 1943, с 3.155