Методика изучения понятия "Вектор" и его свойств в основной школе

Новгородова, Ольга Ивановна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика изучения понятия "Вектор" и его свойств в основной школе

Автореферат

Автор научной работы: Новгородова, Ольга Ивановна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика изучения понятия "Вектор" и его свойств в основной школе"

На правах рукописи

Новгородом Ольга Ивановна

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ "ВЕКТОР" И ЕГО СВОЙСТВ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре теории и методики обучения математике математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор

Волович Марк Бенцианович

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Смирнова Ирина Михайловна

кандидат физико-математических наук, доцент Замаховский Михаил Петрович

Ведущая организация: Московский городской педагогический

университет

Защита состоится «17» апреля 2006 года в 15 часов на заседании Диссертационного совета К 212.154.11 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет Mill У, ауд. 301

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан « у» марта 2006 года

Ученый секретарь Лу

Диссертационного совета ') ' Н.И. Чиканцева

2Q0 ^fl 45-ZS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Тема «Векторы» появилась в курсе математики школ России сравнительно недавно - в 1963 году. Вопрос о том, должны ли изучаться векторы в школьном курсе, в настоящее время практически не обсуждается. Эта тема важна потому, что, во-первых, позволяет, используя векторы, упростить решение многих задач школьного курса математики, которые другими методами решаются гораздо труднее. Так же векторы в школьном курсе геометрии позволяют сделать доказательства многих теорем не только более понятными ученикам, но и более естественными и наглядными, что способствует обучению поиску доказательств теорем и решения задач.

Во-вторых, понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким на первый взгляд далеким от математики предметам как электротехника, радиотехника, теория антенн и др. i очень широко используют векторы.

В-третьих, понятие вектора является важным понятием школьного курса физики и играет существенную роль в межпредметных связях математики и физики.

Несмотря на большое внимание, которое уделяется теме «Векторы» в методической литературе, она до сих пор остается одной из самых трудных для учеников тем школьного курса, о чем свидетельствуют исследования таких авторов как: А.Д. Александров, JI.C. Атанасян, Г.П. Бевз, В.Г. Болтянский, В.Ф.Бутузов, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, С.Б. Кадомцев, В.М. Клопский, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.А.Лурье, А.Ф.Пичурин, В.А. Погорелов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А.Ф. Семенович, А.Д. Семушин, З.А. Скопец, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, Ф.И. Фетисов, P.C. Черкасов, И.Ф. Шарыгин, И.М. Яглом, М.И. Ягодовский и др. - где весьма большое внимание уделяется выявлению трудностей, с которыми сталкиваются ученики при изучении темы «Векторы», и отысканию способов их преодоления.

Методике изучения темы «Векторы» в курсе геометрии средней школы посвящены диссертации С. В. Бабаджанян, С. Р. Джапарова, А.И. Иванова, А.К. Кагазбаевой, Н.Я. Минина, В.Г. Михеевой, Е. В. Старцевой, А. М. Суфиева, Д.И. Хана, и д.р. В этих работах исследовались межпредметные связи физики и математики, вопросы систематизации и закрепления знаний при изучении вешгоров, использование векторов при решении геометрических задач.

Анализ работ выше перечисленных исследователей, беседы с учителями и со студентами математического факультета Ml 11 У, констатирующий эксперимент позволили выделить в теме «Векторы» то, что вызывает у

учащихся наибольшие затруднения:

- сам способ введения понятия вектор; определение вектора как направленного отрезка (наиболее распространенное в действующих учебниках) приводит к тому, что для учащихся вектор - это отрезок (геометрическая фигура), хотя и «с направлением»;

- свойства сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного умножения векторов даются в учебниках в готовом виде и поэтому учащиеся часто их забывают и путают. Между тем знакомство с этими свойствами может быть организовано таким образом, чтобы ученики сознательно формулировали гипотезу о наличии этих свойств (по аналогии со свойствами, которые им известны по действиям с числами);

- трудности вызывают доказательства многих теорем темы (переместительный и сочетательный законы сложения векторов, свойства умножения вектора на число, теоремы о выражении скалярного произведения векторов через координаты векторов, и т.д.)

Необходимость преодоления выявленных затруднений и устойчивых недостатков, связанных с изучением темы «Векторы» в курсе основной школы свидетельствует об актуальности темы исследования.

Преодоление противоречий между большой теоретической значимостью темы «Векторы» и ее практической реализацией, которая вызывает у учащихся существенные затруднения при изучении, составляет проблему исследования.

Целью работы является разработка методики, которая позволила бы избежать устойчивых затруднений, возникающих у учеников при введении понятия вектора и изучении его свойств. Это позволит сделать изучение темы «Векторы» понятной и доступной для большинства учащихся.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования - разработка методов и средств обучения, направленных на преодоление устойчивых недостатков в ходе усвоения определений и теорем на примере изучения темы «Векторы» в основной школе.

Гипотеза исследования заключается в том, что предложенный в исследовании способ введения понятия вектора и разработанные на основе деятельностного подхода Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, ГТ.Я. Гальперина методика и средства обучения позволят устранить выявленные устойчивые затруднения, возникающие у учеников, и тем самым, повысят эффективность изучения темы «Векторы» в курсе основной школы.

Цель, проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования.

Поскольку, несмотря на накопленный, на сегодняшний момент опыт организации усвоения материала темы «Векторы», она остается наиболее

сложной для учеников, необходимо выявить те устойчивые трудности, с которыми сталкиваются учащиеся при изучении этой темы. Это первая задача исследования.

Процесс обучения в большой мере определяется тем, какая психологическая теория лежит в основе организации усвоения. Поэтому второй задачей исследования является рассмотрение существующих психологических теорий, для того, чтобы определить какие их них целесообразно использовать, организуя усвоение темы «Векторы».

Поскольку, как уже отмечалось, определение вектора как направленного отрезка приводит к появлению устойчивых недостатков, возникла необходимость найти такой способ введения понятия вектор, который позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников данное понятие. Это третья задача исследования.

Четвертая задача исследования: разработать такие подходы к усвоению темы «Векторы», которые позволят не только устранить затруднения, возникающие при традиционных доказательствах теорем, вводящих свойства векторов, но и сделают доказательства этих теорем доступными для учеников и, вместе с тем, математически корректными.

Нужно было проверить: 1) устраняют ли разработанный способ введения понятия вектора и предложенные способы доказательства некоторых «векторных теорем» выявленные устойчивые ошибки; 2) доступны ли ученикам разработанные средства обучения. Отсюда следует пятая задача исследования: в ходе педагогического эксперимента убедиться, что разработанная в исследовании методика способствует лучшему усвоению темы «Векторы».

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

—теоретические методы: анализ психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы, работ по истории математики, программ по математике средней школы; изучение опыта отечественной школы по проблеме введения определения вектора;

—эмпирические методы: наблюдение, беседы со студентами и учителями, педагогический эксперимент.

Методологической основой исследования явились:

- теория учебной деятельности, разработанной в трудах психологов школы Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина;

- исследования педагогов по реализации оптимизации учебного процесса;

- разработки в области педагогики и методики обучения математике по формированию приемов учебной деятельности и дидактических средств управления этой деятельностью.

Научная новизна исследования заключается в совершенствовании методики изучения темы «Векторы»:

1. Преодолены недостатки введения понятия вектора; дано описание, позволяющее сделать так, чтобы вводимое понятие было математически корректно и, вместе с тем, оказалось в зоне актуального развития ученика.

2. Предложены более простые для восприятия и оперирования учащимися доказательства основных теорем темы «Векторы» (переместительного и сочетательного законов сложения векторов, теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и т.д.). В частности, удалось найти доказательства, которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи.

3. В соответствии с рекомендациями психологов, формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования.

4. Разработаны средства обучения, позволяющие организовать собственную работу учеников, обеспечивающую адекватное оперирование с новыми знаниями.

Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что разработаны методические подходы, позволяющие не только дать доступное ученикам, математически корректное описание понятия вектора и более естественные и простые для учеников доказательства векторных теорем, но и способствующие обучению поиску доказательств.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные теоретические положения, связанные с введением понятия вектор и доказательствами наиболее важных теорем темы, позволят любому учителю сделать усвоение темы «Векторы» доступной практически для всех учащихся основной школы.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается:

- использованием достижений психолого-педагогической науки;

- осмыслением педагогического опыта, в том числе, опубликованного в методической литературе.

- данными педагогического эксперимента, который доказал доступность разработанных материалов для учеников и их эффективность.

На защиту выносится:

Разработанная методика усвоения темы «Векторы», включающая:

1. принципиально новый способ введения понятия вектор, исключающий понимание вектора как фигуры (множества точек);

2. структурированные формулировки определений и теорем, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования;

3. более доступные ученикам доказательства теорем темы «Векторы», позволяющие организовать обучение поиску доказательств теорем и решения задач;

4. методическое обеспечение активного участия учеников в доказательстве векторных теорем, включающее рабочие тетради, элементы мультимедийного обеспечения, дидактические материалы.

Апробация и внедрение результатов исследования проходило в ГОУ СОШ № 1254 BAO г. Москвы в ходе преподавания автором исследования геометрии (темы «Векторы») учащимся 8-9 классов и в МОУ СОШ №35 села Чуево-Алабушки Уваровского района Тамбовской области.

Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы. (Mill У, апрель 2003г.; март 2005 г.); в академии повышения квалификации и переподготовки работников образования на курсах по МПМ «Технология преподавания математики, реализующая теорию Л.С. Выготского - А.Н. Леонтьева - П.Я. Гальперина (февраль 2004 г.); на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики Ml 11У (июнь 2005г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность исследования; определена проблема научного поиска; намечены задачи теоретического и экспериментального характера; установлены объект, предмет и гипотеза исследования; показаны новизна, теоретическая и практическая значимость; сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Анализ учебной и методической литературы по теме "Векторы"» содержит четыре параграфа. В этой главе проанализировано, как осуществлялось проникновение векторного метода в школы нашей страны. На основе этого анализа выявлены основные затруднения, связанные как с методикой введения понятия вектора, так и с доказательством многих «векторных теорем».

В 1959 году был опубликован проект программы, в котором впервые появился раздел «Векторы. Метод координат» (авторы В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, И.М. Яглом.). В 1962 году в издательстве «Учпедгиз» вышло пособие для учителей «Векторы в курсе геометрии средней школы», авторов В.Г. Болтянского и И.М. Яглома, которое, до появления учебника этих же авторов, раскрывала учителям возможные способы определения понятия вектора. В данном пособии авторы рассмотрели наиболее возможные в школьном курсе планиметрии способы определения этого понятия. В частности, они аргументировали отказ от определения вектора через параллельный перенос, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании представляется им недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах. Авторы приняли в качестве основного следующее определение вектора: «вектором называется семейство всех параллельных между собой, одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков»', но замечают, что, несмотря на полную математическую четкость, давать такое определение в школьном курсе нецелесообразно. И считают, что разумнее всего определять в школе вектор как направленный отрезок. Но при этом отмечают, что учитель должен понимать разницу между понятиями вектора и направленного отрезка.

В учебнике тех же авторов, который вышел в 1963 году, вектор введен как направленный отрезок. В пособии для учителя «Преобразования. Векторы» В.Г. Болтянский и И.М. Яглом вновь предупреждают о тех трудностях, которые неизбежно возникнут, если определить вектор как направленный отрезок. К примеру, о том, что при таком определении вектора происходит подмена математических понятий, а именно подмена понятия равенства понятием эквивалентности. К сожалению, в данном пособии авторы не сообщают, как избежать таких трудностей.

Учебник В.Г. Болтянского и И.М. Яглома просуществовал в школе только два года и авторы не успели внести какие-либо уточнения в определение понятия вектора.

К началу 1968 г. была разработана программа по математике для средней школы под руководством А.Н. Колмогорова, а в 70-х годах под его редакцией появляются учебные пособия по геометрии для 6-8 классов.

В курсе геометрии, разработанном под руководством А.Н. Колмогорова, вектор определялся как параллельный перенос: «В этой главе мы будем специально заниматься параллельными переносами, называя их по-новому векторами».2 Выбор такого определения Колмогоров объяснил тем, что существуют лишь две возможности определения вектора, которые можно использовать в школьном курсе математике: как параллельный перенос или как класс равных направленных отрезков. Он выбрал наиболее доступное, по его

1 Болтянский В.Г, Яглом И М Векторы в курсе геометрии средней школы' Пособие для учителей. - М •

Учпедгиз, 1962.-96 с. -с.7.

3 Колмогоров А Н , Семенович А Ф , Нагибин Ф Ф , Черкасов Р С Геометрия Учебное пособие для 7 класса средней школы Изд. 6-е - М: Просвещение, 1977.-е 50

мнению, определение, сознательно отказавшись от определения, которое было дано в учебнике В.Г. Болтянского и И.М. Яглома. Но данное определение вектора также нельзя признать удачным. Оно, как и предупреждали В.Г. Болтянский и И.М. Яглом, оказалось недоступным ученикам.

Данный курс геометрии и, в частности, определение понятия вектор, вызвал бурную критику со стороны учителей, методистов, родителей, а также со стороны Отделения математики АН СССР.

К сожалению, предостережение А.Н. Колмогорова о том, что определение вектора как направленного отрезка математически некорректно не нашло отражения в школьных учебниках, включая ныне действующие. На наш взгляд причина этого в том, что не удалось сформулировать одновременно и математически корректное, и доступное ученикам определение понятия 1 вектора. Нельзя не согласить с точкой зрения В.А. Гусева, Ю.М. Колягина,

Г.Л. Луканкина, которые в книге «Векторы в школьном курсе геометрии» замечают, что в традиционных математических курсах вектор определялся как направленный отрезок. При этом два вектора считаются равными, если имеют одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственных, но различных понятия: равенство и эквивалентность.

Полагаем, что имеет смысл прислушаться к мнению В. И. Рыжика, который считает, что на вопрос о том, как преодолеть возникающие трудности, должны дать ответ методисты. Как возможный вариант решения он предлагает поступиться логической безупречностью при начальном введении понятия, если только это не приводит к прямым ошибкам. Именно по этому пути мы пошли во второй главе исследования, отказавшись от строгого определения понятия вектора. Предложенное нами описание понятия вектора не только не приводит к «прямым ошибкам», но и позволяет избежать многих устойчивых затруднений.

В действующих учебниках определение вектора практически одинаково. «Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором».3 Такое упрощение определения приводит к тому, что большинство учеников, да и I учителей видят вектор в его изображении, т. е. воспринимают вектор как

геометрическую фигуру - отрезок, что математически некорректно.

Установлено, что такие свойства векторов как свойства суммы векторов, I произведения вектора на число и т.д., даются в готовом виде, что не

"способствует их сознательному усвоению. Например, очень сложно объяснить ученикам, почему при доказательстве переместительного закона сложения векторов требуется рассматривать коллинеарные и неколлинеарные векторы, а в случае сочетательного закона при доказательстве, которого используются не коллинеарные векторы, не требуется рассматривать еще какие-либо случаи.

3 Атанасян Л С , Бутузов В Ф, Кадомцев С Б и яр Геометрия Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений М Просвещение, 1998 г-с 183-186

Одной из существенных причин появления трудностей при изучении темы «Векторы» является формальный способ изложения материала в ныне действующих учебниках. Как подчеркивает профессор В.А. Гусев, на сегодняшний день все учебники излагают уже готовые мысли, часто совершенно непонятно откуда взявшиеся, и без достаточных ссылок на те положения, из которых эти мысли получены. Это приводит к неприятию массовым учеником соответствующих текстов. Конечно, учитель старается преодолевать эти трудности, опытный квалифицированный учитель переписывает многие доказательства, ищет пути обучения учащихся рассуждать и доказывать. Вместе с тем, если бы этих трудностей не было, учитель мог бы свою деятельность направлять по более эффективному пути.

Во второй главе исследования показано, как можно устранить те устойчивые недостатки, которые были выявлены в первой главе.

Вторая глава «Методика, обеспечивающая преодоление устойчивых затруднений в ходе усвоения учащимися понятия вектора и его свойств», состоит из шести параграфов.

В первом параграфе второй главы исследуется вопрос о том, какую из существующих в настоящее время психологических теорий целесообразно положить в основу совершенствования методики изучения темы «Векторы».

Показано, что в настоящее время разработана эффективная теория усвоения - деятельностный подход Л.С. Выготского - А.Н. Леонтьева -П.Я.Гальперина, которая позволяет существенно повысить эффективность изучения темы «Векторы».

В данном параграфе обосновано то, что при обучении математике в основной школе целесообразно реализовать «механизм» усвоения, предложенный авторами этой теории: для обеспечения понимания материала, необходимо фиксировать в краткой схематичной форме его основное содержание. Фиксирование должно быть таким, чтобы ученик мог, опираясь предъявленные учителем «ориентиры», приступить к работе с новым материалом, предварительно ничего не заучивая. Само оперирование, в соответствии с теорией, необходимо организовать так, чтобы каждый шаг в выполнении первых 2-3 заданий можно было проконтролировать. Прежде чем учащиеся перейдут к полностью самостоятельному оперированию с новыми знаниями необходимо обеспечить оперирование в речевой форме. В исследовании это обеспечивается при помощи заданий рабочей тетради.

Во втором параграфе показано, каким образом можно ввести понятие вектора так, чтобы оно было математически корректным и, вместе с тем, доступным ученикам. Учитывая, что не только ученики, но преподаватели нередко осознают вектор как состоящую из точек фигуру, мы определили направленный отрезок как упорядоченную пару точек. Подчеркивая этим, что направленному отрезку, а в последствии и вектору, принадлежать лишь две точки, одна - начало направленного отрезка, а другая - конец. В этом же параграфе формируется понятие направления (направления луча,

начинающегося в первой точке пары и проходящего через вторую точку) и длины (расстояния между точками пары) направленного отрезка. Изображением направленного отрезка является традиционный отрезок со стрелкой, но это лишь изображение, помогающее указать какая из точек пары первая, а какая - вторая. Далее, как и при традиционном обучении, вводится понятие равных направленных отрезков.

Определение понятия вектора не дается, вместо этого дается описание, смысл которого в следующем: можно считать, что все равные между собой направленные отрезки «неразличимы». С неразличимостью различных по внешнему виду объектов учащиеся к этому времени уже знакомы. Например,

такие различные по виду записи как 2; 2,00; 4л являются

представлением одного и того же числа, изображаемого единственной точкой числовой прямой. На уроках физики учащиеся встречались с «неразличимостью» по-разному изображенных объектов. Например, скорость движения плывущих по реке щепок (на участке где скорости движения всех щепок одинаково равны скорости реки), изображается различными равными направленными отрезками, характеризующими «одно и то же» - скорость движения реки.

Обращение к опыту учащихся, связанному с наличием самых разных записей одного и того же числа, самым различным изображениям одной и той же величины - скорости реки, «примиряет» учеников с мыслью, что бесконечно большое число равных между собой направленных отрезков и каждый из этих направленных отрезков, называется одним и тем же словом -вектор. Тем самым мы фактически вводим вектор как класс равных направленных отрезков, но понятие класса не формируется, да и само слово класс не употребляется.

В §§ 3-5 второй главы показано, как можно преодолеть, выявленные в первой главе, устойчивые затруднения и повысить эффективность изучения понятий и теорем темы «Векторы».

1) Реализовано сходство, которое существует между действиями с числами и действиями с векторами. Например, это сходство позволило сделать так, что разность векторов а - Ъ понимается учащимися как сумма вектора а и вектора противоположного вектору Ь: а + {-Ъ).

При введении таких свойств вектора как: свойства сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного умножения векторов, прежде чем сообщить эти свойства учащимся предлагалось, вспомнить соответствующие свойства чисел, и сформулировали гипотезу, какими из этих свойств могут обладать векторы. Тем самым учащиеся были поставлены в ситуацию, когда если какое либо свойство векторов забыто они могут вспомнить свойство произведения чисел, а, следовательно, и соответствующее свойство векторов.

2) В соответствии с рекомендациями психологов были, во-первых, структурированы формулировки определений и теорем, т.е. даны в краткой схематической форме, удобной для работы. Например, определение произведения вектора на число структурировано следующим образом:

Произведением числа к на вектор а является вектор ка.

Ел:ли к = 0 или а = 0, то этот вектор равен 0.

Если к*0и а*0, то

1. \Щ = \кЩ

2. ка и а колпинеарны и если к> 0, то Аа Т11 а; если к< 0, то ка^1а.

Во-вторых, с каждой формулировкой организовано адекватное оперирование с помощью специальных заданий, в том числе помещенных в рабочую тетрадь. Например, такое задание. (Для удобства чтения все пропуски заполнены подчеркнутым курсивом.)

Задание. Используя, формулировку определения произведения вектора на число запишите, что означает запись 5 :.

Решение: Произведением числа 5на вектор ¡1 является вектор 5 с/.

Если й= б, то этот вектор равен 0.

Если ^ 0., то

1. |5*|=5р|

2. Ъй и </ коллинеаты и так как 5 > 0, то 5<1 ТТ Л.

3) Эффективная реализация предлагаемой методики стала возможной во многом благодаря разработанным в исследовании специальным средствам обучения. Это, прежде всего элементы мультимедийного обеспечения Действительно, одним из важных условий полноценности усвоения, в соответствии с рекомендациями психологов, является предоставление в распоряжение учеников кратких схематических записей основного содержания подлежащего усвоению материала. Тем самым создаются предпосылки для успешной ориентировки в новом материале и способах работы с ним.

При этом с помощью мультимедиа обеспечения может быть организовано повторение, стимулирующее учеников к изучению нового материала. Например, знакомство со свойствами вектора (при умножении вектора на число) может быть организовано так: с помощью мультимедиа проектора на экран выводится таблица, в которой в левом столбце записаны (с пропусками), известные учащимся свойства чисел при умножении, а правый столбец -свойства векторов, пустой.

Организуется обсуждение: например, распределительное свойство чисел

(а + Ь)с - ас + Ьс. Может ли оно быть применено и к векторам? Так как речь идет о выдвижении гипотезы о свойстве при умножении числа на вектор учащиеся, пользуясь определением вполне могут выдвинуть предположение, что в данном свойстве нужно рассматривать два случая, когда (а + ь)~ вектор, и тогда с - число, или же когда (а + Ь) - число и тогда с - вектор. Таким образом учащиеся могут самостоятельно прийти к тому факту, что в данном случае существует два распределительных закона: (а + Ъ) с =ас+Ьс и (а+ Ь)с

— аС + Ьс.

Элементы мультимедийного обеспечения позволяют сформулировать и обсудить гипотезу. Чтобы предоставить каждому ученику возможность убедиться в том, что он правильно «уловил» смысл гипотезы предлагается сразу же после завершения обсуждения заполнить пропуски в задании рабочей тетради. Приведем фрагмент этого задания (распределительное свойство).

Задание. Запишите, какими свойствами обладает произведение чисел, и укажите, какими из этих свойств может обладать произведение вектора на число. (Для удобства чтения все пропуски заполнены подчеркнутым курсивом.)

Решение, (а + Ь)с = ас + Ьс - распределительное свойство умножения относительно сложения.

Если аналогичное свойство существует для произведения вектора на число, то один из множителей произведения (а + Ь)с, должно быть _, а второе -_.

(котором, числом) (вектором, числом)

Если (а + Ь) - вектор, т.е. рассматривается сумма а + Ъ, с -_, то

(вектор; число)

распределительное свойство может быть записан так: (а + Ь)с = а ■ с + Ь ■с Если (а + Ь) - число, т.е. рассматривается сумма а + Ь, с -_, то

(аесгор; число)

распределительное свойство может быть записан так: (о + Ь) с -а ■ с *гЬ ■ с

Один из самых важных этапов работы ученика - этап подконтрольной работы. Его выполняют все учащиеся, следовательно, нужно, чтобы и контролировался он у всех. При этом очень важно проговаривание учащимися изучаемого материала. Осуществить эти рекомендации психологов в условиях классно-урочной формы организации обучения без средств обучения невозможно, поэтому мы и предлагаем использовать рабочую тетрадь.

Разработанные в исследовании рабочие тетради реализуют идею создания этого средства обучения, предложенную М.Б. Воловичем, Ю.А. Глазковым, Г.Г. Левитасом. В них дается не только задание и место для решения, но и само

подробное решение с опорой на изученную теорию, но при этом ключевые слова пропущены. В исследованиях Н.Ф. Талызиной доказано, что заполнение пропусков невозможно без проговаривания текста. Тем самым организуется необходимое для полноценного усвоения речевое оперирование с материалом.

5) Удалось сделать более понятными и доступными для учеников доказательства большинства теорем темы «Векторы».

Например, доказательство переместительного закона сложения векторов стало проще благодаря тому, что предлагаемое нами доказательство не требует рассмотрения частых случаев.

При доказательстве сочетательного закона сложения векторов и теоремы о скалярном произведении векторов в координатах не использовался чертеж. При этом были использованы методические находки, выявленные в ходе анализа литературы (исследования В.Г. Болтянского и И.М. Яглома). Это позволило сделать понятным для учеников, что предлагаемые доказательства годятся для любых векторов.

Как было выяснено в процессе анализа литературы, традиционное доказательство сочетательного закона сложения векторов не может сделать понятным для учеников, почему рассуждения, выполненные с использованием неколлинеарных векторов верны и для случая, когда векторы коллинеарны (тем более что при доказательстве переместительного закона сложения векторов утверждалось, что нужно рассматривать частные случаи). В исследовании предложено следующее доказательство.

Теорема. Каковы бы ни были векторы а, Ъ и с,

в + Ь + с — а + (Ъ+с) ~ (а +Ъ) + с

Доказательство теоремы.

Чтобы найти сумму векторов а + Ь + с, мысленно отложим от произвольной точки А вектор АВ, равный в, от точки В отложим вектор ВС, равный Ь; от точки С отложим вектор СД, равный с.

Поскольку а = АВ, Ь = ВС, с = СО, а + Ь + с = АВ+ВС+СО= АО;

а +(Ь+ с)=АВ +(ВС +СО)= АВ + ВО = АО;

(а + Ъ)+с =(АВ + ВС)+ СО = АС + СО = АО.

Тем самым доказано,что а + Ь + с = а + (6 + с)- (а + Ь)+ с.

Теорема доказана.

Изменение в доказательстве ряда теорем заключалось в том, что удалось обеспечить активное участие учеников в поиске доказательств. Например, разворачивание условия и заключения теоремы о координатах суммы векторов позволяет не только лучше усвоить эту теорему, но и научить учащихся способам работы при решении задач и доказательстве теорем.

Дано-. a{x/,y¡} и Ь {х2,У2}-

Доказать: что координаты вектора а +Ь равны {x¡+ х2 ,y¡+y2}-

Поиск доказательства.

Разворачиваем условие. Из определения координат вектора следует, что если a {xi,y¡}, то а = x¡i +y¡j, аналогично, b -x2i +y2j-

Разворачиваем заключение: вектор а +Ь имеет координаты {x¡+ х2 ,y¡+ у2}-Теорема будет доказана в том случае если удастся доказать, что

а +6 = (х, + x¡)¡ Myi+yjj.

Осталось выполнить последний шаг, показать, что из условия действительно следует то выражение, из которого в свою очередь следует истинное заключение.

Действительно: а + Ь = х¡i +yj, + хг i +y2j Если воспользоваться переместительным и сочетательным законом, то a +b = (xii + x¡ i) + (уj +у; j), применив распределительный закон, получим a +b = (x, + x¡)i +(У/+Уг)1 Что и требовалось доказать.

Такое доказательство способствует обучению поиску доказательства. Действительно, первый шаг поиска доказательств, как показано в исследования М.Б. Воловича, заключается в разворачивании условия. Ученикам совершенно доступно сделать вывод о том, что из условия, зная определение координат вектора, может быть сделан только один вывод. Этот вывод после обсуждения при помощи мультимедиа проектора выводится на экран. Так как из условия больше ни каких выводов сделать нельзя, учащимся предлагается попытаться развернуть заключение. Результаты так же выводятся на экран. После того как выводы из условия «соединены» с выводами из заключения и поиск доказательства теоремы завершен, ученикам предлагается соответствующее задание в рабочей тетради, которое направляет и организует поиск доказательства данной теоремы, делает его посильным.

В шестом параграфе второй главы рассказывается о проведенном педагогическом эксперименте. Он состоял из двух частей: констатирующего и обучающего эксперимента.

Констатирующий эксперимент проводился для того, чтобы установить, характерны ли, выявленные в первой главе затруднения для учащихся школ, в которых было намечено проводить обучающий эксперимент. Поэтому эта часть эксперимента проводилась в ГОУ СОШ № 1254 BAO г. Москвы и в МОУ СОШ №35 села Чуево-Алабушки Уваровского района Тамбовской области. Он подтвердил, что выявленные устойчивые недостатки в полной мере характерны для учащихся данных школ. Кроме того, чтобы убедиться в том, что

устойчивые затруднения носят массовый характер, констатирующий эксперимент проводился среди студентов IV курса математического факультета Mi 11У и на конференциях для учителей и методистов в городах: Москва, Новосибирск, Омск, Самара, Воронеж и многих других. Было установлено, что выявленные в первой главе исследования затруднения характерны и для студентов и для преподавателей.

Обучающий эксперимент проводился в 2003-2004 уч. г. и 2004-2005 уч. г., в школе № 1254 BAO г. Москвы в школе №35 села Чуево-Алабушки Уваровского района Тамбовской области, с целью установить обеспечивают ли разработанные в исследовании средства обучения и методика их реализации преодоление тех недостатков, которые были выявлены.

Проведенный обучающий эксперимент позволил сделать вывод, что разработанные нами материалы позволяют сделать изучение темы «Векторы» более эффективным, избежав при этом тех устойчивых трудностей, о которых говорилось в первой главе.

Всего в констатирующем эксперименте принимало участие - 242 человека, в обучающем - 80 человек. Результаты педагогического эксперимента следующие.

Констатирующий эксперимент Обучающий эксперимент

Кол-во человек Вектор как отрезок (геометрическ ую фигуру) воспринимают При доказательстве векторных теорем испытывают существенные затруднения Кол-во человек Вектор как отрезок (геометрическ ую фигуру) воспринимаю! При доказательстве векторных теорем испытывают существенные затруднения

Учители, методисты 100 98% - - -

Студенты МПГУ 63 100% - - -

ГОУ СОШ №1254

8 «Б» 26 100% 96% 27 0% 0%

9 «Б» 27 100% 100% 26 4% 0%

МОУ СОШ №35

8 класс 15 100% 100% 12 0% 8%

9 класс 11 100% 100% 15 7% 7%

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы и полученные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование позволяет сделать вывод о том, что поставленные задачи решены.

1- Выявлены устойчивые трудности, которые испытывают учащиеся при изучении темы «Векторы». Эти трудности связаны в основном с восприятием вектора как геометрической фигуры - отрезка, и недоступностью для большинства школьников доказательств векторных теорем из-за необходимости рассматривать частные случаи.

2. Обоснован выбор психологической теории, позволяющей существенно повысить эффективность изучения темы «Векторы».

3. Усовершенствована методика изучения темы «Векторы», позволяющая математически корректно и доступно для учеников ввести понятие вектора, сделать доказательства векторных теорем более простыми, доступными для учеников и при этом позволяющими организовать обучение поиску доказательства теорем и решения задач.

4. Разработано методическое обеспечение (задания рабочей тетради и элементы мультимедиа обеспечения, дидактические материалы), позволяющее сделать изучение темы более доступным для учеников.

5. Осуществлена экспериментальная проверка доступности для учеников разработанных в исследовании материалов. Установлено, что реализация разработанной методики позволяет устранить устойчивые затруднения, которые существуют при традиционном преподавании.

Проведенное исследование позволяет предположить, что использование таких средств обучения, как рабочие тетради, мультимедийное обеспечение, позволят реализовать деятельностный подход при изучении практически всех тем школьного курса математики. Что свидетельствует о перспективах исследования.

Основные положения диссертации отражены в публикациях:

1) Новгородова О.И. Векторы в школьных учебниках геометрии //Проблемы школьного учебника. Сборник научных трудов./ Под ред. A.A. Кузнецова, М.В. Рыжакова, Т.Б. Захаровой и др. М.: РАО. - 2005.-С.184-188. - 0,25 п.л.

2) Новгородова О.И. Использование векторов при доказательстве теорем// Проблемы совершенствования математической подготовки 8 ШКРЛе и ВУЗе. Выпуск 10 (юбилейный), - М.: Прометей, МПГУ. - 2005. -с.45-48. - 0,17 п.л.

3) Новгородова О.И. Трудности, связанные с введением определения вектора, и возможные пути их решения// Научные труды МПГУ. Серия:

Естественные науки. Сборник статей. - М.: ГНО издательство «Прометей» МПГУ, 2005. - с. 101-105. - 0,28 п.л.

4) Новгородова О.И. Что называют вектором?// Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 9. - М.: Прометей, МПГУ.-2004.-с. 128-131.-0,19 п.л.

5) Новгородова О.И. Об определениях вектора// Информационные технологии в образовательном процессе школы. Сборник статей. Выпуск 4./ Под ред. В.П. Симонова. - М.: Международная педагогическая академия, 2005. - с. 47-51,- 0,26 пл.

Подл, к печ. 01.03.2006 Объем 1 п.л. Заказ №. 35 Тир 100 экз.

Типография МПГ'У

ZööQb

4 5 2 8

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Новгородова, Ольга Ивановна, 2006 год

Введение.

Глава I. Анализ учебной и методической литературы по теме «Векторы».

§1.1. Определение понятия вектор.

§1.2. Свойства векторов.

1.2.1. Сумма и разность векторов.

1.2.2. Переместительный закон сложения векторов.

1.2.3. Сочетательный закон сложения векторов.

§1.3. Умножение вектора на число.

§1.4. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Глава II. Методика, обеспечивающая преодоление устойчивых трудностей в ходе усвоения учащимися понятия вектора и его свойств.

§ 2.1. Деятельностный подход как теоретическая основа повышения эффективности изучения темы «Векторы».

§ 2. 2. Способ введения понятия вектор.

§ 2. 3. Сумма и разность векторов.

2.3.1. Переместительный закон сложения векторов.

2.3.2. Сочетательный закон сложения векторов.

§ 2.4. Умножение вектора на число.

§ 2.5. Скалярное произведение векторов.

2.5.1. Скалярное произведение векторов и его свойства.

2.5.2. Скалярное произведение векторов в координатах.

§ 2.6. Апробация результатов исследования.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика изучения понятия "Вектор" и его свойств в основной школе"

Тема «Векторы» появилась в курсе математики школ России сравнительно недавно - в 1963 году. Вопрос о том, должны ли изучаться векторы в школьном курсе, в настоящее время практически не обсуждается. Эта тема важна потому, что, во-первых, позволяет, используя векторы, упростить решение многих задач школьного курса математики, которые другими методами решаются гораздо труднее. Также векторы в школьном курсе геометрии позволяют сделать доказательства многих теорем не только более понятными ученикам, но и более естественными и наглядными, что способствует обучению поиску доказательств теорем и решения задач.

Во-вторых, понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким, на первый взгляд, далеким от математики предметам, как электротехника, радиотехника, теория антенн и др., очень широко используют векторы.

Несмотря на большое внимание, которое уделяется теме «Векторы» в методической литературе, она до сих пор остается одной из самых трудных для учеников тем школьного курса, о чем свидетельствуют исследования таких авторов, как А.Д. Александров, Л.С. Атанасян, Г.П. Бевз, В.Г. Болтянский, В.Ф.Бутузов, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, С.Б. Кадомцев, В.М. Клопский, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.А.Лурье, А.Ф.Пичурин, В.А. Погорелов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А.Ф. Семенович, А.Д. Семушин, З.А. Скопец, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, Ф.И. Фетисов, Р.С. Черкасов, И.Ф. Шарыгин, И.М. Яглом, М.И. Ягодовский и др., где весьма большое внимание уделяется выявлению трудностей, с которыми сталкиваются ученики при изучении темы «Векторы», и отысканию способов их преодоления.

Методике изучения темы «Векторы» в курсе геометрии средней школы посвящены диссертации С. В. Бабаджанян, С. Р. Джапарова, А.И. Иванова, А.К. Кагазбаевой, Н.Я. Милина, В.Г. Михеевой, Е. В. Старцевой, А. М. Суфиева, Д.И. Хана и др. В этих работах исследовались межпредметные связи физики и математики, вопросы систематизации и закрепления знаний при изучении векторов, использование векторов при решении геометрических задач.

Анализ работ вышеперечисленных исследователей, бессм~* учителями и со студентами математического факультета МГГГУ, констатирующий эксперимент позволили выделить в теме «Векторы» то, что вызывает у учащихся наибольшие затруднения:

- свойства сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного умножения векторов даются в учебниках в готовом виде, и поэтому учащиеся часто их забывают и путают. Между тем знакомство с этими свойствами может быть организовано таким образом, А^оы ученики сознательно формулировали гипотезу о наличии этих свойств (по аналогии со свойствами, которые им известны по действиям с числами);

Необходимость преодоления выявленных затруднений и устойчивых недостатков, связанных с изучением темы «Векторы» в курсе основной школы, свидетельствует об актуальности темы исследования.

Преодоление противоречий между большой теоретической значимостью темы «Векторы» и ее практической реализацией, которая Bbi3i>.-i„A у учащихся существенные затруднения при изучении, составляет проблему исследования.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования — разработка методов и средств обучения, направленных на преодоление устойчивых недостатков в ходе усвоения определений и теорем на примере изучения темы «Векторы» в основной школе.

Гипотеза исследования заключается в том, что приложенный в

7 4 исследовании способ введения понятия вектора и разработанные на основе деятельностного подхода JI.C. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина методика и средства обучения позволят устранить выявленные устойчивые затруднения, возникающие у учеников, и тем самым повысят эффективность изучения темы «Векторы» в курсе основной школы.

Цель, проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования.

Поскольку, несмотря на накопленный на сегодняшний момент опыт организации усвоения материала темы «Векторы», она остается наиболее сложной для учеников, необходимо выявить те устойчивые трудности, с которыми они сталкиваются при изучении этой темы. Это первая задача исследования.

Процесс обучения в большой мере определяется тем, какая психологическая теория лежит в основе организации усвоения. Поэтому второй задачей исследования является рассмотрение существующих психологических теорий, для того чтобы определить, какие из них целесообразно использовать, организуя усвоение темы «Векторы».

Четвертая задача исследования - разработать такие подходы к усвоению темы «Векторы», которые позволят не только устранить затруднения, возникающие при традиционных доказательствах теорем, вводящих свойства векторов, но и сделают доказательства этих теорем доступными для учащихся и вместе с тем математически корректными.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: теоретические методы: анализ психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы, работ по истории математики, программ по математике средней школы; изучение опыта отечественной школы по проблеме введения определения вектора; эмпирические методы: наблюдение, беседы со студентами и учителями, педагогический эксперимент.

Методологической основой исследования явились:

- теория учебной деятельности, разработанная в трудах психологов школы JI.C. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина; *

- исследования педагогов по реализации оптимизации учебного процесса;

Научная новизна исследования заключается в совершенствовании методики изучения темы «Векторы»:

3. В соответствии с рекомендациями психологов формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования.

4. Разработаны средства обучения, позволяющие организовать собственную работу учеников, обеспечивают,^.* адекватное оперирование с новыми знаниями.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается:

- использованием достижений психолого-педагогической науки;

- осмыслением педагогического опыта, в том числе опубликованного в методической литературе.

На защиту выносится:

Разработанная методика усвоения темы «Векторы», включающая:

1. принципиально новый способ введения понятия вектор, исключающий понимание вектора как фигуры (бесконечного множества точек);

Апробация и внедрение результатов исследования проходило в ГОУ СОШ № 1254 В АО г. Москвы в ходе преподавания автором исследования геометрии (темы «Векторы») учащимся 8-9 классов и в МОУ СОШ jx^Jb села Чуево-Алабушки Уваровского района Тамбовской области.

Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы (МПГУ, апрель 2003г.; март 2005 г.); в академии повышения квалификации и переподготовки работников образования на курсах по МПМ «Технология преподавания математики, реализующая теорию JI.C. Выготского - А.Н. Леонтьева - П.Я. Гальперина (февраль 2004 г.); на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МПГУ (июнь 2005г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение.

Первая задача нашего исследования решена в первой главе работы: выявлены устойчивые трудности, с которыми сталкиваются учащиеся при изучении темы «Векторы». Установлено, что практически во всех учебно-методических пособиях вектор рассматривается как «Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой - концом» [6, с. 186]. Между тем, как следует из работ А.Н. Колмогорова, В.Г. Болтянского, И.М. Яглома и др., такое определение неизбежно приводит к устойчивым недостаткам.

Было установлено, что делались многочисленные попытки дать корректное определение понятия вектора. Все эти попытки оказались неудачными.

Выявлены причины того, что тема «Векторы» остается одной из самых трудных тем школьного курса геометрии: недостаточно структурированы формулировки определений и теорем; доказательства многих теорем трудны для понимания учащихся, в частности, требуют рассмотрения частных случаев; введение свойств умножения вектора на число, скалярного произведения векторов и т.д. не связывается с аналогичными свойствами чисел.

Решению второй задачи, рассмотрению существующих психологических теорий, для того, чтобы определить, какие их них целесообразно использовать, организуя усвоение темы «Векторы», посвящен §2.1 второй главы. Установлено, что повсеместно используется ассоциативная теория усвоения. Анализ литературы показал, что более эффективной теорией усвоения является деятельностный подход J1.C. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина. Сделан вывод о целесообразности построения изучения темы «Векторы» с опорой на эту психологическую теорию.

Третья задача решена в §2.2: разработан способ введения понятия вектор, который позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников это понятие, а именно обеспечить интуитивное восприятие вектора как класса равных направленных отрезков, не используя при этом недоступное ученикам понятие «класса».

Четвертая задача исследования решена в §§2.3 - 2.5: разработаны такие подходы к усвоению темы «Векторы», которые позволяют не только устранить затруднения, возникающие при традиционных доказательствах теорем, вводящих свойства векторов, но и делают доказательства этих теорем, во-первых, доступными для учеников, во-вторых, математически корректными. В частности, были найдены более простые, чем описанные в литературе, доказательства некоторых векторных теорем: удалоеi «::шти такие доказательства переместительного и сочетательного законов сложения векторов, теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и др., которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи. Разработаны средства обучения (рабочие тетради, элементы мультимедийного обеспечения, дидактические материалы), позволяющие организовать с материалом темы «Векторы» адекватную этому материалу собственную работу учеников. Это позволяет обеспечить активное участие учеников в работе с определениями и теоремами темы. В частности, активное участие учеников в поиске доказательств практически всех теорем темы «Векторы».

Решению пятой задачи исследования посвящен §6 «~?рой главы. Установлено, что предложенный в исследовании способ введения понятия вектора и доказательства «векторных теорем» позволяет устранить выявленные недостатки. Тем самым в ходе педагогического эксперимента было доказано, что разработанная в исследовании методика способствует лучшему усвоению темы «Векторы».

Таким образом, решена проблема исследования.

Проведенное исследование позволяет предположить, что использование таких средств обучения, как рабочие тетради, мультимедийное обеспечение, позволят реализовать деятельностный подход при изучении практически всех тем школьного курса математики. В перспективе считаем целесообразным реализовать разработанную в исследовании методику организации усвоения основных тем курса геометрии основной школы.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Новгородова, Ольга Ивановна, Москва

1. Актуальные проблемы преподавания математики в школе и ВУЗе. Тверь. Тверской государственный университет, 1995. - 45 с.4

2. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Координаты. Векторы. Углы: Учебные материалы для учащихся X класса. М.: АПН СССР НИИ содержания и методов обучения, 1981. - 77 с.

3. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1996. - 415 с.

4. Александрова Г.А., Беляева И.С. Применение векторов к решению геометрических задач. Методические рекомендации в помощь учителю общеобразовательной школы. Орел. 1982.-42 с.

5. Атанасян J1.C. , Бутузов В.Ф., Глазков Ю. А., и др. Изучение геометрии в 7-9 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1997 .- 255 с.

6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1998 . -с.335.

7. Бабаджанян С. В. Система изучения векторов на факультативных занятиях как пример осуществления межпредметных связей дисциплин естественно-математического цикла: Дис. .канд. пед. наук: М.:1970. -218 с.

8. Баум И. В. Об элементах векторной алгебры в средней школе// Математика в школе. 1963. № 2. с.56-59.

9. Бевз Г.П. Об определении понятия «вектор».// Математика в школе 1980. -№2.-С. 58-59

10. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия. Учебник для 7-114классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1996 — 351 с.

11. Болтянский В. Г. Анализ поиск решения задач// Математика в школе — 1974. -С.34-42.

12. Болтянский В. Г. Как устроена теорема?// Математика в школе— 1973— №1- С.41—49

13. Болтянский В. Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие. -М.: Пайдейя, 1998. 239 с.

14. Болтянский В. Г., Глейзер Г.Д. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных учреждений. М.: Пайдейя, 1998. - 239 с.

15. Болтянский В.Г., Волович М.Б. Учебные материалы по геометрии для экспериментальных классов. (8 класс) -М.: НИИШОТСО, 1984. 64 с.

16. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д., Геометрия: Пробный учебник для 6-8 классов. -М.: Просвещение, 1979. 272 с.

17. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторы в курсе геометрии средней школы: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1962. - 96 с.

18. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторы в школьном курсе геометрии. // Математика в школе. 1962. № 2. с. 14-21

19. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Геометрия. Учебное пособие для 9 класса средней школы. М.: Просвещение, 1964. -127 с.

20. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1964. 304 с.

21. Боцу А.А. Векторы в курсе геометрии средней школы. В кн. Вопросы введения современных идей математики в школу. В помощь учителю математики. Картя молдовеняскэ. 1966г., с. 3-21.

22. Вайсман В. С. Векторы / Изучение в школьном курсе геометрии/ //Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1993. № 21—22. с.8.

23. Василенко Е.А. Систематизация и закрепление знаний учащихся в процессе решения задач при изучении векторов в курсе планиметрии средней школы : Дис. .канд. пед. наук: М.:1987. -157с.

24. Бахтин Б.М. Элементы векторного исчисления на занятиях в средней школе. //Вопросы преподавания математики в средней школе. Воронеж. 1962.-с. 123-139.

25. Вейц Б.Е. Векторы в школьном курсе математики.// Математика в школе.1979. -№4.-C.19-27. *

26. Векторное решение геометрических задач. Материал в помощь слушателям курсов. Минск, 1981. 28 с.

27. Векторы и их пропедевтика в VII классе. В кн. Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе. М.: 1981. 4.1. с.68-78.

28. Вершинина Е.Г., Плюсина З.Б., Самарина Э.Ф., и др. Наши предложения по проектам программ. // Математика в школе. 1979 - №5 - с. 20 -29.

29. Волович М. Б. Не мучить, а учить / О пользе педагогической психологии. -М.: изд. Российского открытого университета, 1992. 232 с.

30. Волович М. Б. Наука обучать./ Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с. «

31. Волович М.Б. Как сделать геометрию понятной и интересной. //Математика: Еженедельное учебно-методическое прил. К газ. «Первое сентября». 2001. - №15. С.13-16.

32. Волович М.Б. Ключ к пониманию геометрии. Пособие для учителя, ученика и его родителей. М.: Аквариум. 1997. - 271 с.

33. Волович М.Б. О новой эффективной технологии обучения математике, разработанной в России.// Проблемы теории и методики обучения. 2002. -№ 6. -с.9-13.

34. Волович М.Б. Планиметрия на геометрических преобразованиях и векторах. — М.: Вузовская книга. 2001.- 456 с.

35. Выготский JI.C. Избранные психологические исследоваь.^? М.: МГУ, 1950.-393 с.

36. Выготский JI.C. Собрание сочинений. Т.2. М.: Педагогика, 1952. - 352 с.

37. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М.: Издательство МГУ, 1985. - 259 с.

38. Гальперин П.Я., Талызина Р.Ф. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий.- М.: МГУ. 1968. 197 с.

39. Глазков Ю.А. Об углубленном изучении геометрии в VIII классе. //

40. Математика в школе. 1994. -№2. -с. 26-33.

41. Глейзер Г.Д. Геометрия: Учебное пособие для 7-11 классов вечерней (сменной) школы и самообразования- 12е издание. -М.: Просвещение, 1992.-351 с. 4

42. Глейзер Г.Д., Кеян Г.И. К истории вопроса об изучении вектора. // Математика в школе. -1986. -№ 5. -с. 54-57.

43. Гнеденко Б.В. Мнение кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В. Ломоносова об учебниках для средней школы по математике. //Математика в школе. -1978. -№5. -с. 26-30.

44. Григорьева Т.П. К изучению скалярного произведения векторов// Математика в школе. -1979 №6. - с.43-44.

45. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981.-320 с.

46. Гусев В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе Ъ Математика в школе. 1990. - № 4.- С. 27-31.

47. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. — М.: Вербум-М: Академия, 2003. -432 с.

48. Гусев В. А. Сборник задач по геометрии. 5-9 кл.: Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. М.ЮОО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2005. —480 с.

49. Гусев В.А. Геометрия 8. Экспериментальный учебник. Часть 5. М.: Авангард, 1997.-153 с.

50. Гусев В.А. Геометрия 8. Экспериментальный учебник. Часть 6. М.: Авангард, 1997. - 137 с.

51. Гусев В.А. Геометрия 9. Экспериментальный учебник. 4асть 7— М.: Авангард, 1998. 172 с.

52. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. 1990. -№4. - С. 27-31.

53. Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии? // Математика в школе. -2002-№ 3. с. 8-13.

54. Гусев В.А., Иванов А.И, Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. (Из опыта работы в школе). М.: Просвещение, 1981.-79 с.

55. Гусев В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976. .

56. Гусев В.А., Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2004. 96 с.

57. Гусев В.А., Орлов В.Д., Панчищина В.А. и др. Методика обучения геометрии: Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. /Под ред. В.А. Гусева. М.: Academia, 2004. - 368 с.

58. Даданян А.А. Об определении вектора в курсе математики средней школы.// Педагогика. Вып. 20. Вопросы методики преподавания математики. Минск, 1982.-с. 31-35.

59. Джапаров С. Р. Векторный метод как средство систематизации геометрических знаний и умений учащихся: Дис. .канд. пед. наук : М.: 1987.- 171 с. «

60. Дырченко И.И., Мусурманов А.Л. Сравнительный анализ изложения темы «Векторы» в различных учебных пособиях. В кн. Повышение эффективности обучения физике и математике в средней школе. Ташкент, 1981.-с. 25-34.

61. Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003- 223с.

62. Захарова А.Е. Векторы и их пропедевтика в VII классе. В кн. Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе. М.: 1981.-с.69-76.

63. Искакова Н.М. Векторы в курсе математики восьмилетней школы // Актуальные вопросы преемственности в обучении матема-"*?" Алма-Ата. 1980. -С.70-76.

64. Кабанова — Меллер Е.И. психология формирования знаний и навыков у школьников. АПН СССР. М.: 1962. 251 с.

65. Кагазбаева А. К .Методика использования идей векторно-координатного метода при изучении геометрии в 6-8 классах : Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. пед. наук: Минск, 1987. -192 с.

66. Канторович J1.B. Соболев C.JI. Математика в современной школе.// Математика в школе. 1979. - №4. - с.10-13.

67. Карнацевич J1.C. Изучение геометрии в 8 классе. Из опыта работы: Пособие для учителя/ Под ред. И.Ф. Тесленко. М.: Просвещение, 1984. -143 с. *

68. Киселев А.П. Элементарная геометрия: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1996. - 302с.

69. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия. Планиметрия. 7-9 класс. Учебник и задачник. М.: Дрофа, 1995.-352 с.

70. Клейн Л.Б. Прикладные аспекты изучения векторов в курсе математики средней школы: Дис. .канд. пед. наук: М.:1985. -171с.

71. Клопский В.М., Ягодовский М.И, Скопец З.Я. Об изучении темы «Векторы» в IV классе// Математика в школе.- 1981. №1- С. 22-28. №2. -С.35-41.

72. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.-201с. *

73. Колмогоров А.Н. О понятии вектора в курсе средней школы. // Математика в школе. 1981- №3 . - с.7-8.

74. Колмогоров А.Н. Об обучении геометрии по новой программе. //Математика в школе.- 1972. -№2. с. 21-26.

75. Колмогоров А.Н., Абрамов A.M. К вопросу о проведении первых уроков по теме «Векторы» //Математика в школе. 1981. - №3- с. 8-11.

76. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Нагибин Ф.Ф, Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 7 класса средней школы. Изд. 6-е. М.:1. Просвещение, 1977. 160 с.

77. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. Издание 4-е. —М.: просвещение, 1982.-384 с.

78. Колмогоров А.Н., Черкасов Р.С., Семенович А.Ф. Об учебном пособии «Геометрия 6-8».// Математика в школе 1979. -№3. - С.23-29.

79. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики. // Математика в школе. -1965. № 4. -с. 53-62.

80. Колягин Ю. М. Отечественное образование: наша гордость и наша боль.// Математика в школе. 2002. -№1. - с. 7-14.

81. Корикова Т.М. Обучение основам векторной алгебры в решения геометрических задач в средней школе: Дис. . канд. пед. наук: Ярославль. 1978. -191с.

82. Краткий психологический словарь./ Сост. J1.A. Карпенко. 110Д общ. ред. А.В.Петровского и М.Г. Ярошевского. М.: Издательство политической литературы. 1985. 400с.

83. Крысин К.Я. О понятии вектора в науке и школьном курсе математики. //Актуальные вопросы совершенствования школьного математического образования.-М.: 1988. с. 51-57.

84. Левитас Г.Г. Геометрия без доказательств. Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995. 80 с.

85. Левитас Г.Г. Лекции по методике преподавания математики: Общая методика. М.: МГУ, 1996. - 88 с.

86. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Прогресс, 1975. -248 с. ♦

87. Лобеева А.А. К вопросу о векторах в школьном курсе математики // Математика в школе. 1963 - №2. - с.64-68.

88. Лурье И.А., Тхамафокова С.И. Об одном из вариантов изложения темы «Векторы» в курсе геометрии 7 класса: Сб. науч. тр./Основные направления математического образования. Вып.1/-М.: НИИ содержания и методовобучения, 1975.-48 с.

89. Лурье И.А., Тхамафокова С.И. Векторы и параллельные переносы. Проект учебника для VII класса. М.: НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, 1975.-39 с.

90. Мельникова Н.Б., Лудина Г.Б., Лепихова Н.М. Геометрия: Дидактические материалы для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений . % : издание. -М.: Мнемозина, 1999. 272 с.

91. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. -М.: Педагогика, 1989. 163 с.

92. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/ А.Я. Блох, Е.С. Канин; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение. - 1985. - 548с.

93. Милин Н.Я. Преподавание курса геометрии IX класса на основе векторной аксиоматики: Дис. .канд. пед. наук: Баку. 1973. -194с.

94. Михеева В.Г. О введении понятия «вектор» в курсе геометрии VI класса.// Перспективы развития математики в средней школе 90х гг. М. 1979. С.35-46. *

95. Мищенко А.С. О некоторых проблемах школьного математического образования. // Методологические проблемы преподавания математики. -М.: 1987. — с.82-104.

96. Моиз Э., Дауне Ф. Геометрия. Перевод с англ. Вайнштейн И.А. Под ред. Яглома И.М. М.: Просвещение, 1972. - 622 с.

97. Новгородова О.И. Векторы в школьных учебниках геометрии. //Проблемы школьного учебника. Сборник научных трудов. Под ред. А.А. Кузнецова, М.В. Рыжакова, Т.Б. Захаровой и др. М.: 2005.

98. Новгородова О.И. Использование векторов при доказательстве теорем.// Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 10.-М.: Прометей, МПГУ. 2005. -с.45-48. «

99. Новгородова О.И. Трудности, связанные с введением определения вектора,и возможные пути их решения.// Научные труды Mill У. Серия: Естественные науки. Сборник статей. — М.: ГНО издательство «Прометей» МПГУ, 2005.-с. 101-105.

100. Новгородова О.И. Что называют вектором?// Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 9. -М.: Прометей, МПГУ. -2004. -с. 128-131.

101. Новгородова О.И. Об определениях вектора.// информационные технологии в образовательном процессе школы. Сборник статей. Под ред. В.П. Симонова. Выпуск 4. Международная педагогическая академия. М.: 2005.-с. 47-51.

102. Петрова Р.Г. Зависимость между векторным выражением и и его геометрическим толкованием.// Математика в школе.- 1985. №3.- С.40-42.

103. Пичурин А.Ф., Сазанова Т.А. О значении темы: «Скалярное произведение векторов» // Воспитание учащихся при обучении математике. М.: 1987. -с. 144-149.

104. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение, 1998 .-384 с.

105. Юб.Понарин Я.П. Геометрия 7-10 класс: Учебное пособие для учащихся школ, лицеев, колледжей. Ростов н/Д.: Феникс, 1997. 508 с.

106. Попов Ю.И. Векторы в школьном курсе геометрии: Методическое пособие. Калининград. Янтарный сказ, 1998. - 63с.

107. Розов Н.И. Вечные вопросы о школьном курсе математики: чему учить? Как учить? //Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1999. -№11.-с. 1-2,5.

108. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия: Пробный Учебник для 7-9 классов средней школы. /Под ред. А.Я. Цукаря. М.: Просвещение, 1992. - 382 с.

109. Ю.Рыбакова Т. В. Интенсификация методической подготовки будущего учителя математики при изучении темы "векторы" и приложений векторов в школьном математическом образовании: Дис. . канд. пед. наук: М.: 2003. -222 с.

110. Рыжик В. И. 30 ООО уроков математики: Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003. - 288 с.

111. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов М.: Просвещение, 2002. - 224с.

112. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. М.: Просвещение, 2000. - 231 с.

113. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях. // Математика в школе.- 1999. №6.- С.36-41.

114. Сергеева А.С. Методика изучения и применения векторов в курсе 7-го класса средней школы.// Пути повышения качества знаний учащихся по математике. Вып. 11. Калинин. 1970. - С.70-104.

115. Смирнова И.М. Координаты и векторы в пространстве: Завершая тема в изучении стереометрии.// Математика в школе. -1995.-№2 с.35-40.

116. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение, 2001. -271 с.

117. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Дидактические материалы по геометрии для 7-9 классов. М.: Просвещение, 2004. 205 с.

118. Старцева Е. В. Реализация межпредметных связей физики и математики в средней школе: На примере факультативного курса "Вектор в физике и математике": Дис. канд. пед. наук М.: 2000. 154 с.

119. Суфиев А. А. Методика использования вектора для решения прикладных задач на уроках математики в неполной средней школе: Дис. канд. пед. наук : М.: 1989.-174 с.

120. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Знание, 1975. с.58-59,68

121. Финкелыптейн В.М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы // Математика в школе. 1996. - № 6. - с.21-25

122. Халиков А.В. Примеры применения скалярного произведения векторов.// Математика в школе. -1991. -№ 2. -с.59-60.

123. Хан Д.И. Обучение решению задач с помощью векторов в курсе планиметрии: Дис. .канд. пед. наук: М.:1975. -180 с.

124. Черкасов Р.С. Очерк истории отечественного математического образования // Вестник Московского университета. Серия 20. Педагогическое образование. -2002. -№1. с. 43-84

125. Шарыгин И. Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 1999. 304 с.

126. Яглом И.М. Элементарная геометрия прежде и теперь. М.: «Знание». 1972.-47 с.