Методика преподавания курса "высшая математика" на химических факультетах классических университетов

Мацур, Франческа Казимировна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика преподавания курса "высшая математика" на химических факультетах классических университетов

Автореферат

Автор научной работы: Мацур, Франческа Казимировна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Чебоксары
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика преподавания курса "высшая математика" на химических факультетах классических университетов"

На правах рукописи

Мацур Франческа Казимировна

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ

13.00.02 — теория и методика обучения и воспитания (математика в системе начального, среднего и высшего образования)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Орел - 2006

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Чувашского государственного университета имени И.Н. Ульянова.

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор Мерлппа Надежда Ивановна

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор Шабунин Михаил Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Соломатпн Олег Дмитриевич

Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет.

Защита состоится « _» октября 2006 г. в_ 77 часов на заседании диссертационного совета К 212. 183. 03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Орловском государственном университете по адресу: 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного университета.

Автореферат разослан « сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета / У^ Селютин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности химика, которое связано с широким внедрением в эту деятельность математического моделирования явлений, имеющих место в химическом производстве. Кроме того, общественные и экономические процессы, происходящие в государстве, динамичное развитие науки, техники и информационных технологий оказывают прямое влияние на систему образования в целом и высшее образование как ее компонент.

Таким образом, высшее учебное заведение в процессе обучения должно обеспечивать условия для формирования личности, обладающей высокой общей культурой, фундаментальной профессиональной подготовкой, готовностью самостоятельно осваивать новые знания и овладевать новой техникой и технологиями.

Проецируя общие требования вузовского образования в область математической подготовки, можно сформулировать следующие основные задачи курса высшей математики на химических факультетах университетов:

• обеспечение уровня общей образованности и общекультурное развитие студентов;

• обеспечение базовой подготовки для изучения специальных дисциплин и последующей профессиональной деятельности;

• развитие навыков самостоятельной работы с математическим материалом, необходимых для непрерывного самообразования.

Комплексное решение перечисленных задач позволит сформировать математический аспект готовности будущего специалиста к профессиональной деятельности.

Проблема прикладной направленности обучения достаточно широко представлена в педагогических исследованиях. Различные стороны этой проблемы отражены в работах Н.Н. Грачева, В.А. Гусева, Ю.М. Колягина, Л.Д. Кудрявцева, Б.Ф. Ломова, Г.Л. Луканкина, Н.И. Мерлиной, А.Г. Мордковича, З.А. Решето-вой, В.Д. Шадрикова, Т.В. Якиманской и др.

Проблема профессиональной направленности подготовки специалистов в большей мере разработана в области технического образования. Так, вопросы совершенствования профессиональной направленности обучения математике на технических специальностях в вузах исследовались в трудах математиков и методистов Г.А. Бокаревой, А.Г. Головенко, A.B. Дюнди-на, Р.П. Исаевой, Б.А. Константинова, И.Г. Михайловой, C.B. Плотниковой, С.А. Розановой, С.И. Федоровой и др.

Проблеме профессиональной направленности обучения математике на химических факультетах посвящено существенно меньше работ, хотя всестороннее изучение как теоретических, так и практических аспектов этой проблемы имеет большое значение для повышения эффективности обучения химиков по различным специальностям и направлениям.

Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил сделать вывод: для выявления условий, способствующих реализации профессиональной направленности обучения математике в технических вузах целесообразно провести системно - методологическое исследование ее содержательного, методического и мотивациошю-психологического компонентов. Однако до настоящего времени этот вопрос в отношении курса высшей математики на химическом факультете не стал предметом всестороннего рассмотрения педагогов и методистов.

Таким образом, недостаточная разработанность проблемы системного изучения содержательных и методических особенностей математической подготовки студентов химического факультета с учетом профессиональной направленности и мотива-ционно - психологических особенностей студентов обусловила актуальиость тематики нашего исследования.

Проблема исследования состоит в разработке научных основ отбора содержания и подходов, реализующих требования профессиональной направленности обучения высшей математике на химическом факультете.

Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения высшей математике студентов химического факультета.

Предмет исследования - содержательные и методические особенности реализации профессиональной направленности обучения математике на химическом факультете.

Гипотеза исследования состоит в том, что целенаправленное внедрение в методическую систему обучения высшей математике на химическом факультете его профессионально значимого компонента позволит существенно повысить качество базовых математических знаний, одновременно способствуя формированию и актуализации определенных профессионально значимых умений.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ содержания и путей реализации профессиональной направленности обучения высшей математике на химическом факультете. Выявить психологические особенности и структуру мотивационной сферы студентов химического факультета.

2. Разработать модель методической системы математической подготовки студентов-химиков, исследовать ее компоненты и связи между ними.

3. Выявить принципы профессионально значимого содержания математического образования и реализовать эти принципы в ходе создания учебного пособия по математике и комплекса учебных материалов для использования на химических специальностях университетов.

4. Определить систему методических требований, обеспечивающих полноце1шую реализацию профессиональной направленности обучения математике студентов-химиков.

5. Обосновать целесообразность использования математических задач химической ориентации как средства реализации принципа профессиональной направленности и продемонстрировать возможность такого использования на примере одной из тем курса математики.

6. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического метода.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют основные положения дидактики, системный подход,

концепция учебной деятельности, теория формирования мотивации, теория проблемного обучения.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

• изучение и анализ философской, психолого - педагогической, научно-методической и математической литературы по проблеме исследования;

• анализ вузовских учебных планов, учебно-программной документащш по математике и специальным дисциплинам для различных специальностей;

• анализ учебной и учебно-методической литературы по высшей математике и дисциплинам спецциклов;

• обобщение опыта преподавания высшей математики на химическом факультете; .

• наблюдение за студентами, беседы с преподавателями;

• анкетирование преподавателей и студентов;

• педагогический эксперимент и обработка его результатов.

Диссертационное исследование проводилось с 2001 по 2006

год.

Основные этапы исследования:

I. Выявление состояния рассматриваемой проблемы в практике работы химического факультета. Изучение теоретических основ проблемы. Определение цели и задач исследования. Разработка методики экспериментальной работы (2001 - 2002 гг.).

II. Научное обоснование проблемы. Выявление методических путей и средств реализации основных теоретических положений. Разработка материалов для обучающего эксперимента (2002-2004 гг.).

III. Проведение обучающего эксперимента и анализ его результатов. Внедрение результатов исследования в практику преподавания математики на химическом факультете (2004 -2006 гг.).

Научная новнзна исследования состоит в следующем: - разработаны основные направления совершенствования формирования математических знаний студентов химических факультетов классических университетов на основе межпредметных задач;

- разработан учебно-методический комплекс изучения высшей математики на химическом факультете согласно построенной методической модели, позволяющей обеспечить качественное обучение высшей математике на химическом факультете и применение полученных знаний в других областях науки;

- подготовлены методические рекомендации изучения темы «Производная и ее приложения» с применением межпредметных задач;

- разработана и внедрена в учебный процесс компьютерная обучающая программа по основным темам курса «Высшая математика» для студентов химических факультетов.

Теоретическая значимость исследования заключается в уточнении содержания понятия профессиональной направленности обучения математике студентов — химиков, определении базовых предпосылок для ее реализации, выявлении возможностей целесообразной реализации межпредметных связей математики и спеццисциплин. Сформулированные положения системы обучения реализованы при рассмотрении планирования и разработки методики проведения занятий по высшей математике, и самостоятельной активной познавательной деятельности. В диссертационном исследовании положения, охватывающие раздел «Производная и ее применение» представлены в виде фрагмента лекционного занятия. Их реализация с помощью межпредметных задач позволяет существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения высшей математике на химических факультетах классических университетов.

Практическая значимость исследования выражается в том, что разработанные подходы к определению курса математики для химических специальностей по принципу профессиональной направленности, соответствующее им методическое обеспечение могут применяться при подготовке программного обеспечения, учебных пособий и материалов, тематики курсовых и дипломных работ в целях эффективной организации процесса обучения студентов—химиков. Разработанное учебное пособие «Высшая математика для химиков» и компьютерная обучающая программа могут непосредственно использоваться в

учебной практике преподавания математики на химических специальностях вузов.

Сформулированные в исследовании теоретические положения и практические рекомендации могут учитываться преподавателями смежных дисциплин при организации учебного процесса.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование учебно -методического комплекса для изучения математики на химическом факультете на основе межпредметных связей математических и химических дисциплин и компьютерной обучающей программы.

2. Методическая модель использования межпредметных задач и компьютерной обучающей программы для студентов химического факультета.

3. Разработанный учебно-методический комплекс, обеспечивающий повышение математической подготовки студентов химического факультета, включающий базовую программу изучения дисциплины «Высшая математика», учебно-методическое обеспечение изучения отдельных ключевых разделов курса (курс лекций, практические занятия, контрольные работы для студентов на примере темы «Производная и ее приложения»), компьютерную обучающую программу.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их соответствием принципам базисных наук, адекватностью используемого в исследовании методологического и методического инструментария его целям, предмету и задачам, результатам педагогического эксперимента.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись при изучении курса высшей математики в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова. Основные положешм и результаты эксперимента докладывались на кафедре методики преподавания математики, на научном межвузовском семинаре в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова (2001-2005 гг.). Были опубликованы в виде научных статей в журнале «Вестник Чувашского университета №2. Естественные и технические науки» (г. Чебоксары, 2005),

а также в сборниках научных трудов и материалов конференций: Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе: сб. науч. тр. (г. Пермь, 2006); Математика в высшем образовании: XII междунар. конф. (г. Чебоксары, 2004); Методики и технологии математического образования: П междунар. конф. «Математика. Образование. Культура» (г. Тольятти, 2005); Математика. Экономика. Образование: XIV междунар. конф. (г. Ростов-на-Дону, 2006); Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации: материалы региональной науч.-метод. конф. (г. Чебоксары, 2004); Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: тез. докл XXIV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педвузов (г. Москва, Саратов, 2005).

Структура диссертации: диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 214 страниц машинописного текста, 31 рисунок, 15 таблиц, список литературы из 201 наименования и 4 приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель, объект и предмет исследования, формулируются гипотеза и задачи научного поиска, раскрываются научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Теоретические основы профессиональной направленности преподавания курса высшей математики для будущих специалистов химиков» рассматриваются вопросы: краткий экскурс в историю зарождения и современное состояние математического образования в России, психолого - педагогические аспекты математического образования, профессиональная направленность в обучении высшей математике на химических факультетах.

В параграфе 1 «Краткий экскурс в историю зарождения и современное состояние математического образования в России» рассмотрены этапы развития отечественного математического

образования и возможные направления решения данной проблемы в перспективе.

В параграфе 2 «Психолого-педагогические аспекты математического образования» рассматриваются некоторые психологические положения теории обучения и психологические основы личностно ориентированного образования.

В параграфе 3 «Профессиональная направлешюсть в обучении высшей математике на химических факультетах» рассматривается профессиональная направлешюсть в обучении высшей математике на химических факультетах.

В учебном процессе высшей школы одной из важнейших является закономерность, касающаяся межпредметных связей. Особое значение при этом уделяется связи фундаментальных и профилирующих специальных дисциплин. Типичный пример межпредметных связей при подготовке инженеров — это связь курса математики с общетехническими и специальными курсами, так как математика является их основой.

Особенно важно, чтобы студенты научились применять в рамках других предметов знания и умения, полученные на занятиях по математике, так как без хорошего знания математики невозможно изучение химии, физики и других дисциплин. На занятиях по химии студенты «забывают» о своем знании математики, а на занятиях по математике часто не понимают, зачем нужно изучать столь сложные ее разделы и где эти знания могут пригодиться.

Требования, в основу которых положены наиболее важные закономерности, становятся принципами обучения — определенной системой исходных, основополагающих требований, выполнение которых обеспечивает необходимую эффективность обучения.

Такими принципами являются:

1. Принцип направленности обучения на решение во взаимосвязи задач образования, воспитания и развития.

2.Принцип научности обучения.

3.Принцип единства конкретного и абстрактного в обучении.

4.Принцип сочетания различных методов, средств и форм обучения в зависимости от его задач и содержания.

Данные принципы реализуются как в учебном процессе в целом, так и в отдельных его компонентах.

В своем исследовании мы рассматриваем обучение студентов применению математических знаний и умений при решении химических задач, с которыми они встречались (или встретятся) в процессе обучения химии. Рассмотрим пример.

Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Найти концентрацию кислорода, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с максимальной скоростью.

Решение:

В условиях практической необратимости скорость V реакции 2ЛГ0 + 02 = 2Ы02 выражается формулой У = сх2у, где х - концентрация N0 в любой момент времени; у — концентрация 02; с - константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры (с>0).

Выражая концентрации газов в объемных процентах, получаем

_у = 100 —х, V = сх1 (100 -х) = с (Ю0х2 -х3).

Исследуем на экстремум функцию V — V (х). Находим производные:

V' (х) = с (200х- Зх2), V" (х) = с (200 - бх).

Приравнивая нулю первую производную, получаем уравнение с (20Ох — Зх2) = 0, из которого находим критические точки

п 200

(200^

Поскольку Vй (О) > 0, Vй - < 0, то х1 = 0 - точка

V 3 )

200

минимума, х2 = —--точка максимума.

Таким образом, при

х = х2 =66,7%, >> = 100-х = 33,3%; при у : х = 0,5" скорость окисления имеет максимальное значе-

ние.

Из решения данной задачи видно, что необходимо не только применить знания по химии, но и математические знания и умения по нахождению аналитического выражения функции с помощью химических формул, нахождению максимального значения функции и значения аргумента, при котором достигается это максимальное значение.

Рассматриваемые нами задачи реализуют межпредметные связи математики и химии; помогают формировать умение применять математические понятия при изучении химических законов; подбирать и анализировать химические примеры математических зависимостей; сравнивать разные химические примеры с точки зрения отражения в них общих математических понятий; выводить математические формулы известных химических явлений; производить химическое прочтение математического графика; строить математический график, соответствующий химическому закону.

В итоге получаем требования к межпредметным задачам:

1. Простой анализ химической ситуации.

2. Направленность на формирование математических знаний и умений.

3. Органичная связь с программным материалом.

4. Применение математических знаний и умений в химии.

5. Развитие интереса к изучению математики и химии.

В результате проводимой работы студенты достаточно хорошо ориентируются в решении прикладных задач, не испытывают трудности при изучении химии, и у них повышается математическая грамотность.

Во второй главе рассматриваются методические особенности курса «Высшая математика» на химических факультетах классических университетов.

В параграфе 1 «Основные методические принципы изучения курса «Высшая математика» перечислены принципы, необходимые для формирования математических знаний в современном университете. К ним относятся целенаправленность, преемственность, непрерывность, мотивация, а также неформальная строгость, математическая интуиция, моделирование, универ-

сальность, уровень развития интеллекта, самообучение и самовоспитание.

На основе этих принципов была разработана учебная программа курса математики на химическом факультете.

Для реализации программы был разработан учебно-методический комплекс, который используется на занятиях.

В структуру комплекса входят- следующие составляющие: государственные стандарты по специальностям 510500 - Химия и 511100 - Экология и природопользование; программа по математике для специальности; требования к базисным умениям и навыкам по математике, которыми должен обладать специалист (принцип целенаправленности); рекомендации для повторения основных разделов элементарной математики (принцип преемственности). Кроме того, имеются курсы лекций по всем разделам математики, в которых использованию математических методов в сфере специальности и в других областях жизни должно быть отведено определенное место (принцип непрерывности); разработки упражнений; типовые расчеты с профессиональными задачами (принцип мотивации), а также имеются темы докладов, рефератов, развивающих интеллект (принцип уровня развития интеллекта); основная и дополнительная литература, включающая интернет - сведения, обучающая компьютерная программа.

Такой комплекс - интеллектуальный самоучитель - поможет становлению и развитию личности специалиста.

Реализация методического комплекса рассмотрена на примере темы «Производная и ее приложения».

В параграфе 2 рассмотрена методика изучения темы «Производная и ее приложения». Основная цель изучения данной темы - обобщить имеющиеся у студентов знания о производной и применении ее для исследования функций; изучить дифференцирование неявной и параметрически заданной функции, понятие дифференциала. Изучение этой темы должно быть направлено в первую очередь на овладение практическими навыками, т. е. студенты должны научиться применять дифференциалы в приближенных вычислениях и уметь решать химические задачи на экстремумы. В параграфе приведены упражнения и задачи для самостоятельной работы студентов.

Кроме традиционной формы контроля и оценивания достижений студентов по конечному результату, в современном образовательном процессе все чаще применяют современные информационные технологии. Одним из способов для получения педагогической информации могут являться результаты тестирования. По сравнению с традиционными формами контроля тесты часто оказываются более объективным и качественным способом контроля.

Параграф 3 посвящен описанию содержания компьютерной обучающей программы, которая состоит из терминала преподавателя, теоретических сведений, теста и его результатов. Программа контролирует усвоение материала из различных разделов курса «Высшая математика».

В последнем параграфе 4 этой главы рассматриваются основные этапы педагогического эксперимента и результаты выполненного исследования, проведенного в 2001-2006 гг. на базе кафедры методики преподавания математики Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова.

Педагогический эксперимент проводился на 1-П курсах химического факультета Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова.

Эксперимент включал в себя несколько этапов: констатирующий, поисковый и обучающий.

Цель констатирующего эксперимента заключалась в оценке состояния процесса обучения математике студентов химических факультетов вузов и выявлении проблем, связанных с его осуществлением. В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи: изучение истории преподавания математики на химических факультетах высших учебных заведений; выявление проблем, возникающих при обучении математике студентов химических факультетов.

Выяснилось, что при подготовке и проведении занятий по курсу у преподавателей возникают трудности, связанные с отсутствием соответствующей учебной литературы, а также с методикой проведения занятий.

Целью поискового эксперимента стала разработка методики преподавания курса математики для студентов химических фа-

культетов вузов, построенной на основе принципов профессионально-педагогической направленности обучения.

Поисковый эксперимент проходил в два этапа. На первом этапе в ходе анализа психолого-педагогической и методической литературы нами были выявлены теоретические основы построения курса «Высшей математики» для химических факультетов классических университетов.

На втором этапе поискового эксперимента нами разрабатывалась учебная программа курса математики и методика преподавания математики на химических факультетах.

В результате анкетирования, в котором приняло участие 180 студентов, а также анализа математической литературы были разработаны лекции и практические занятия по высшей математике, методы изложения, закрепления и проверки учебной информации, а также формы проведения занятий.

В ходе проведения обучающего эксперимента следовало:

1) уточнить содержание, объем и структуру построения учебного материала;

2) выяснить, в чем состоят особенности методических приемов при изучении курса «Высшая математика» на химическом факультете;

3) проверить эффективность разработанной нами методики изучения курса на занятиях со студентами химического факультета.

Эффективность методики проверялась по следующим критериям: доступность материала, качество его усвоения и влияние данного курса на интеллектуальное развитие студентов.

Для оценки доступности содержания курса использовался устный опрос студентов, наличие активности при изучении материала на занятиях.

Онытно-экспериментальнос обучение показало, что содержание тем «Линейная и векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Производная и ее приложения», «Комплексные числа» затруднений в понимании не вызывали. Наиболее трудными для студентов оказались следующие вопросы: «Теория пределов», «Интегралы» и «Дифференциальные уравнения», поэтому необходим более тщательный разбор этих тем, заключающийся не только в доступности изложения лекционного ма-

териала, но ив хорошо продуманных примерах. Кроме того, число упражнений на закрепление желательно увеличить.

Проверка качества знаний и наличия умений, которые характеризуют готовность применять полученные в курсе математики знания при изучении спецдисциплин и в профессиональной деятельности, осуществлялась по результатам контрольной работы по разделу «Производная и ее приложения».

Для статистической обработки результатов контрольной работы применялся метод Стьюдента для независимых выборок. Полученные данные позволили констатировать, что на уровне значимости а 0,05 подтверждается положительное влияние разработанной методики обучения на успешность усвоения знаний и формирование необходимых умений.

Характер влияния методики на формирование мотивации изучения математики исследовался также по методу Стьюдента для независимых выборок. На уровне значимости а = 0,05 было установлено, что проверяемая методика способствует формированию у студентов мотивации изучения высшей математики, выраженной в осознанности необходимости математических знаний для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности.

Следовательно, результаты эксперимента подтверждают правильность выдвинутой гипотезы, в связи с чем сконструированный курс «Высшей математики» для студентов химического факультета может быть рекомендован для изучения в классических университетах.

Основные выводы и результаты исследования сформулированы в заключении.

1. Проанализированное содержание курса математики на химических факультетах доказало необходимость разработки методики повышения математической подготовки студентов химических факультетов на основе межпредметных задач и компьютерной обучающей программы.

2. Уточнены научно-методические основы и принципы методики повышения математической подготовки специалистов химического профиля, и построена методическая модель обучения высшей математике на химическом факультете на основе межпредметных задач и компьютерной обучающей программы.

3. Создан учебно-методический комплекс изучения высшей математики на химическом факультете согласно построенной методической модели. Его структуру составляет базовая программа изучения дисциплины «Высшая математика» и учебно-методическое обеспечение отдельных прикладных тем. По всем узловым темам курса высшей математики нами разработаны учебно-методические рекомендации изучения их студентами с использованием межпредметных задач и компьютерной обучающей программы.

4. Разработано учебно-методическое обеспечение основных разделов курса, позволяющее существенно улучшить самостоятельную работу студентов. Для контроля усвоения знаний применяются тесты компьютерной обучающей программы.

5. Экспериментальная проверка разработанной методики повышения математической подготовки студентов химического факультета показала её эффективность. Экспериментом установлено, что данная методика способствует более глубокому пониманию студентами роли и места математических методов в химических исследованиях, осознанному применению этих методов, позволяет более эффективно организовать самостоятельную работу студентов, формируя у них правильный образ мышления, научное миропонимание, обеспечивает тесные межпредметные связи математических и химических дисциплин.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1. Мацур Ф.К. Методы активизации усвоения материала по высшей математике на химических факультетах классических университетов [Текст] / Ф.К Мацур // Математика в высшем образовании: тез. докл. 12-й Межд. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. — С. 61.

2. Мацур Ф.К Организация самостоятельной работы студентов на химическом факультете ЧТУ [Текст] / Ф.К. Мацур // Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации общества: мат. региональной науч.-метод. конф. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. — С. 230-232.

3. Мсщур Ф.К. О содержании учебно-методического комплекса по курсу «Высшая математика» для студентов химического факультета [Текст] / Ф.К. Мацур, Н.И. Мерлина // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: тез. докл XXIV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов; под ред. А.Г. Мордковича, И.К. Коццауро-вой. — М.: Ред.-изд. отдел Моск. гор. пед. ун-та, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 64-65. '

4. Мацур Ф.К. Некоторые подходы к преподаванию высшей математики на химическом факультете [Текст] / Ф.К. Мацур // Методики и технологии математического образования: сб. тр. по матер. II мезкд. конф. «Математика. Образование. Культура», 1-3 ноября 2005 года, Тольятти; под общ. ред. P.A. Утеевой. Тольятти: ТГУ, 2005. - Ч. 3. - С. 204-207.

5. Мацур Ф.К Структура курса «Высшая математика» для студентов химического факультета [Текст] / Ф.К. Мацур // Вестник Чувашского университета. Естественные и технические науки. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2005. - №2.-С. 12-17.

6. Мацур Ф.К Высшая математика (планы учебных занятий и контрольные задания для студентов дневного отделения химического факультета): учеб. метод, пособие [Текст] / Ф.К. Мацур. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2005. -88 с.

7. Мацур Ф.К. О преподавании математики на химическом факультете [Текст] / Ф.К. Мацур // Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе: сб. науч. тр.; отв. ред. А.Е. Малых. — Пермь: Перм. гос. пед. ун-т. - 2006. - С. 172-176.

8. Мацур Ф.К Применение программированного опроса при изучении высшей математики на химическом факультете [Текст] / Ф.К. Мацур // Математика. Экономика. Образование: тр. XTV межд. конф. — Ростов н/Д.: Изд-во ООО «ЦВВР», - 2006. - С. 247-248.

Мацур Ф.К.

Методика преподавания курса «Высшая математика» на химических факультетах классических университетов: автореф. дис. ... канд. пед. наук. — Чебоксары, 2006. — 18 с.

Подписано в печать 23.08.06. Формат 60x84/16.

Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,03. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

428015, г. Чебоксары, Московский просп., 15

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Мацур, Франческа Казимировна, 2006 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ

ХИМИКОВ.

§ 1. Краткий экскурс в историю зарождения и современное состояние математического образования в России.

§2. Психолого - педагогические аспекты математического образования.

§3. Профессиональная направленность в обучении высшей математике на химических факультетах.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ

КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ.

§ 1. Основные методические принципы изучения курса «Высшая математика».

§2. Методика изучения темы «Производная и ее приложения».

§3. Компьютерная обучающая программа по курсу «Высшая математика».

§4. Постановка и результат педагогического эксперимента.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика преподавания курса "высшая математика" на химических факультетах классических университетов"

Актуальность исследования

Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности химика, которое связано с широким внедрением в эту деятельность математического моделирования явлений, имеющих место в химическом производстве. Кроме того, общественные и экономические процессы, происходящие в государстве, динамичное развитие науки, техники и информационных технологий оказывают прямое влияние на систему образования в целом и высшее образование как ее компонент.

Существование конкурентных отношений в сфере производства обусловливает действие фактора конкуренции и на рынке труда, что предусматривает повышение требований к профессиональной подготовке специалистов. Резкое ускорение процесса обновления знаний, возникновение новых технологий, непрерывное техническое переоснащение производства требуют от специалиста не только качественных знаний, но и высокой профессиональной мобильности, умения самостоятельно ориентироваться в обширной научно-технической и экономической информации, постоянно пополнять и обновлять свои профессиональные знания.

Каждый вузовский курс призван внести свой вклад в реализацию общих требований высшего образования. При этом в технических вузах особая роль принадлежит фундаментальным общетеоретическим курсам и в первую очередь курсу высшей математики. Математика - универсальный язык для описания процессов и явлений различной природы, без овладения которым сегодня немыслима ни качественная подготовка, ни эффективная деятельность специалиста. Не менее важна роль математики в формировании мышления будущих химиков, экологов и других специалистов.

• обеспечение уровня общей образованности и общекультурное развитие студентов;

Проблема прикладной направленности обучения достаточно широко представлена в педагогических исследованиях. Различные стороны этой проблемы отражены в работах Н.Н. Грачева, В.А. Гусева, Ю.М. Колягина, Л.Д. Кудрявцева, Б.Ф. Ломова, Г.Л. Луканкина, Н.И. Мерлиной, А.Г. Мордко-вича, З.А. Решетовой, В.Д. Шадрикова, Т.В. Якиманской и др.

Проблема профессиональной направленности подготовки специалистов в большей мере разработана в области технического образования. Так, вопросы совершенствования профессиональной направленности обучения математике на технических специальностях в вузах исследовались в трудах математиков и методистов Г.А. Бокаревой, А.Г. Головенко, А.В. Дюндина, Р.П. Исаевой, Б.А. Константинова, И.Г. Михайловой, С.В. Плотниковой, С.А. Розановой, С.И. Федоровой и др.

В структуре профессиональной направленности математической подготовки студентов химического факультета можно выделить содержательный, методический и мотивационно - психологический компоненты.

Содержательный компонент регулирует отбор и структурирование учебного материала с учетом его внутрипредметных и межпредметных связей, необходимых для изучения специальных дисциплин и последующей профессиональной деятельности.

Методический компонент определяет выбор форм, методов и средств, оптимальных для осуществления профессиональной направленности обучения, формирования профессионально значимых способов умственной деятельности и навыков самостоятельной работы.

Мотивационно-психологический компонент позволяет построить обучение с учетом психологических особенностей студентов и взаимовлияния моти-вационно-целевых установок профессиональной направленности обучения математике и интереса к профессии в целом.

Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил сделать вывод: для выявления условий, способствующих реализации профессиональной направленности обучения математике в технических вузах целесообразно провести системно - методологическое исследование ее содержательного, методического и мотивационно-психологического компонентов. Однако до настоящего времени этот вопрос в отношении курса высшей математики на химическом факультете не стал предметом всестороннего рассмотрения педагогов и методистов.

Таким образом, недостаточная разработанность проблемы системного изучения содержательных и методических особенностей математической подготовки студентов химического факультета с учетом профессиональной направленности и мотивационно - психологических особенностей студентов обусловила актуальность тематики нашего исследования.

Проблема определила выбор темы исследования: «МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ»

Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения высшей математике студентов химического факультета.

4. Определить систему методических требований, обеспечивающих полноценную реализацию профессиональной направленности обучения математике студентов-химиков.

6. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического метода.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют основные положения дидактики, системный подход, концепция учебной деятельности, теория формирования мотивации, теория проблемного обучения.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

• изучение и анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической и математической литературы по проблеме исследования;

• анализ вузовских учебных планов, учебно-программной документации по математике и специальным дисциплинам для различных специальностей;

• анализ учебной и учебно-методической литературы по высшей математике и дисциплинам спецциклов;

• обобщение опыта преподавания высшей математики на химическом факультете;

• наблюдение за студентами, беседы с преподавателями;

• анкетирование преподавателей и студентов;

• педагогический эксперимент и обработка его результатов.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

- разработаны основные направления совершенствования формирования математических знаний студентов химических факультетов классических университетов на основе межпредметных задач; • - разработан учебно-методический комплекс изучения высшей математики на химическом факультете согласно построенной методической модели, позволяющей обеспечить качественное обучение высшей математике на химическом факультете и применение полученных знаний в других областях науки;

- разработана компьютерная обучающая программа по основным темам курса «Высшая математика» для студентов химических факультетов.

Теоретическая значимость исследования заключается в уточнении содержания понятия профессиональной направленности обучения математике студентов - химиков, определении базовых предпосылок для ее реализации, выявлении возможностей целесообразной реализации межпредметных связей математики и спеццисциплин. Сформулированные положения системы обучения реализованы при рассмотрении планирования и разработки методики проведения занятий по высшей математике, и самостоятельной активной познавательной деятельности. В диссертационном исследовании положения, охватывающие раздел «Производная и ее применение» представлены в виде фрагментов лекционных и практических занятий, заданий для самоподготовки. Их реализация с помощью межпредметных задач позволяет существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения высшей математике на химических факультетах классических университетов.

Практическая ценность исследования выражается в том, что разработанные подходы к определению курса математики для химических специальностей по принципу профессиональной направленности, соответствующее им методическое обеспечение могут применяться при подготовке программного обеспечения, учебных пособий и материалов, тематики курсовых и дипломных работ в целях эффективной организации процесса обучения студентов-химиков. Разработанное учебное пособие «Высшая математика для химиков» и компьютерная обучающая программа могут непосредственно использоваться в учебной практике преподавания математики на химических специальностях вузов.

Апробация результатов исследования осуществлялась через:

- выступления на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, май 2004 г.); региональной научно-методической конференции «Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации общества» (Чебоксары, ноябрь 2004 г.); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, сентябрь 2005 г.); на II международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, ноябрь 2005 г.) и XIV международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, май 2006 г.).

- отражение результатов исследования в публикациях (опубликовано 8 работ по теме исследования).

Внедрение результатов исследования в практику обучения курса высшей математики осуществлялось на химическом факультете Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова, г. Чебоксары.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование учебно - методического комплекса для изучения математики на химическом факультете на основе межпредметных связей математических и химических дисциплин и компьютерной обучающей программы.

Базой исследования послужил Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова, г. Чебоксары.

Основные этапы исследования:

Объем и структура диссертации определены целью и задачами исследования. Общий объем работы составляет 214 страниц. Диссертация включает в себя введение (8 е.), две главы (гл. 1-80 е., гл. II - 79 е.), заключение (1 е.), список литературы (201 наименований) и 4 приложения. Текст диссертации содержит 15 таблиц и 31 рисунок.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по первой главе

1. К настоящему времени российское математическое образование обладает богатым опытом создания локальных образовательных и содержательными педагогическими и методическими идеями, воплощенными в учебники, методические пособия и т. д. Все это вместе составляет математическую культуру как часть интеллектуальной культуры общества.

Идеи мыслителей прошлого и современных педагогов о необходимости серьезного профессионального образования с акцентом на математическую составляющую как основу экономического, политического, интеллектуального развития общества, а также о профессионально-прикладной направленности математических курсов в учебных заведениях профессионального профиля приобретают особую актуальность.

2. Анализ психолого-педагогической литературы показал, что наличие профессиональной мотивации, активности студента и благоприятных условий в процессе обучения способствуют повышению качества приобретаемых им знаний, умений и навыков; а также позволил уточнить, какие психологические моменты, прежде всего, должен иметь в виду педагог высшей школы.

3. Для обеспечения ориентированности курса высшей математики на практику необходимо создать запас математических моделей, которые описывают явления и процессы, изучаемые в различных учебных дисциплинах; сформировать знания и умения, необходимые для исследования выделенных математических моделей. В связи с этим при обучении математике студентов химического факультета целесообразно использовать межпредметные задачи. Нами был уточнен список требований к межпредметным задачам: простой анализ химической ситуации; направленность на формирование математических знаний и умений; органичная связь с программным материалом; применение математических знаний и умений в химии; развитие интереса к изучению математики и химии.

ГЛАВА 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НА ХИМИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ

§1. Основные методические принципы изучения курса «Высшая математика»

Формирование математических знаний в современном университете, должно включать:

• обеспечение связи математических курсов с соответствующей специальностью (принцип целенаправленности);

• изучение математических методов на протяжении всего периода обучения и использование их в курсах специальных дисциплин, а также в дипломных проектах (принцип непрерывности);

• совершенствование довузовской, вузовской и послевузовской математической подготовки (принцип преемственности);

• формирование математического мышления (абстрактного, логического и алгоритмического), с помощью которого обучаемый выявляет причинно-следственные связи не только в самой математике, но и в профессиональной и другой социокультурной деятельности — общественной, политической, экономической, семейной (принцип моделирования);

• развитие принципа математической интуиции;

• преподавание математики студентам химического факультета на уровне неформальной строгости, т.е. с выделением ядра математического курса, в котором сохраняется строгость и точность рассуждений, и части курса, в которой акцент делается на геометрические иллюстрации и прикладной смысл (принцип неформальной строгости);

• определение содержания курса математики, форм и методов учебного процесса, обеспечивающих повышение заинтересованности студентов в изучении математики: введение профессиональной и гуманитарной составляющих и наглядности с помощью технических средств обучения и персональных компьютеров (принцип мотивации);

• введение профессионально-прикладной составляющей, формирующей представление об универсальности математических формул и методов (принцип универсальности);

• обеспечение развития интеллекта обучаемого (принцип уровня развития интеллекта);

• развитие способности студента к самообучению (принцип самообучения и самовоспитания).

Такое видение учебного процесса по математике позволит обеспечить единство математического, профессионального, духовно-нравственного и интеллектуального развития личности, создать целостную методическую систему, направленную на улучшение качества образовательного процесса на химических факультетах в целом [49, 97, 134, 145, 151, 175, 184,186].

Научно-методическим советом по математике Министерства образования РФ разработана программа по высшей математике для специальностей 510500 -Химия и 511100 - Экология и природопользование.

В пояснительной записке к программе говорится [132], что программа рассчитана на 600 часов трудоемкости. Рабочие программы, составляемые вузами на ее основе, должны быть ориентированы на объем часов, указанный в Государственных образовательных стандартах по соответствующим направлениям.

Программа предназначена для подготовки бакалавров. Это накладывает на нее определенные особенности, заключающиеся в том, что выпускник должен получить базовое, общее, широкое высшее образование, способствующее дальнейшему развитию личности. В этой программе не следует особенно акцентироваться на будущую профессиональную деятельность, но следует создать общее видение мировоззренческого характера.

Высшее учебное заведение должно в процессе обучения обеспечивать условия для формирования личности, обладающей высокой общей культурой, фундаментальной профессиональной подготовкой, готовностью самостоятельно осваивать новые знания и овладевать новой техникой и технологиями [36].

Выпускник химического факультета должен иметь профессиональную компетентность, что должно стать основой организации всего процесса подготовки специалиста, для этого необходимы профессионально-ориентированные задачи и модельные задачи по специальности.

Каждый вузовский курс вносит свой вклад в реализацию общих требований высшего образования. При этом математика - универсальный язык для описания процессов и явлений различной природы, без овладения которым сегодня не возможна ни качественная подготовка, ни эффективная деятельность специалиста.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра.

Однако при составлении или корректировки программы математического курса на химическом факультете необходимо:

- взять за основу государственный эталон — упомянутую Программу по математике, разработанную Научно-методическим советом;

- во введении отразить мировоззренческое, общеобразовательное, профессиональное и прикладное значение курса математики;

- реализовать профессионально-прикладную и гуманитарную составляющие по возможности во всех формах обучения, но при ограниченном количестве аудиторных часов с переносом центра тяжести на самостоятельную работу студентов (типовые расчеты, рефераты, курсовые работы);

- привести укрупненную структурно-логическую схему взаимосвязи разделов математики с общеобразовательными, общепрофессиональными и ведущими специальными дисциплинами;

- сформулировать основные умения и навыки, которыми должен овладеть студент, выделив особенно умение составлять математические модели профессиональных и других прикладных задач.

Кроме того, было бы полезно включить в программу дидактические материалы для студентов.

Составленные таким образом программы способствуют реализации введенных десяти принципов: целенаправленности, преемственности, непрерывности, мотивации, неформальной строгости, математической интуиции, моделирования, универсальности, уровня развития интеллекта, самообучения и самовоспитания [11,33,63, 65,143,147].

Курс «Высшая математика» для студентов химического факультета Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова по специальности -«химия» читается 4 семестра и содержит 193 лекционных часов, практических занятий 193 часа и 4 контрольные работы.

Выяснилось, что при подготовке и проведении занятий по курсу, у преподавателей возникают трудности, связанные с отсутствием соответствующей учебной литературы, а также с методикой проведения занятий. Поэтому была поставлена цель - разработать методику преподавания курса математики для студентов химических факультетов вузов, построенной на основе принципов профессиональной направленности обучения.

Были выявлены теоретические основы построения курса «Высшей математики» для химических факультетов классических университетов и на основе этого необходимо было разработать учебную программу курса высшей математики на химическом факультете.

Кроме этого выяснилось, что студентам необходим учебно-методический комплекс, содержащий тематику лекционных и практических занятий, задания по самостоятельной работе и образцы решений задач для основных разделов данного курса [127].

Для реализации программы по высшей математике на химическом факультете, соответствующей перечисленным принципам на кафедре «методики преподавания математики» Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова, нами был разработан учебно-методический комплекс, который используется на занятиях [118,124].

В структуру комплекса входят следующие составляющие: государственные стандарты по специальностям 510500 - Химия и 511100 - Экология и природопользование; программа по математике для специальности; требования к базисным умениям и навыкам по математике, которыми должен обладать специалист (принцип целенаправленности); рекомендации для повторения основных разделов элементарной математики (принцип преемственности); курсы лекций по всем разделам математики, в которых использованию математических методов в сфере специальности и в других областях жизни должно быть отведено определенное место (принцип непрерывности); разработки упражнений; типовые расчеты с профессиональными задачами (принцип мотивации); темы докладов, рефератов, развивающих интеллект (принцип уровня развития интеллекта); основная и дополнительная литература, включающая интернет -сведения, обучающая компьютерная программа.

Такой комплекс — интеллектуальный самоучитель — поможет становлению и развитию личности специалиста.

Ниже дано описание основных структурных составляющих данного комплекса и приведены некоторые их фрагменты.

Комплекс состоит из трех частей: I. Первая часть содержит в себе:

• государственный стандарт и рекомендованную Министерством образования Примерную программу по математике для направлений 510500 - Химия и 511100 - Экология и природопользование. Стандарт целесообразно внести в учебно-методический комплекс для преподавателей и студентов (Приложение 1);

• учебную (рабочую) программу - представлена рабочая программа курса «Высшая математика» в соответствии с государственным образовательным стандартом;

• тематику лекционных и практических занятий - представлено почасовое планирование всего лекционного и практического материала по семестрам;

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Мацур, Франческа Казимировна, Чебоксары

1. В контрольной работе 1 представлены разделы: элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, элементы линейной алгебры, теория пределов.

2. В контрольной работе 2 представлены задания по темам: производная и дифференциал; приложение дифференциального исчисления; неопределенные и определенные интегралы.

3. В контрольной работе 3 представлены разделы: функция нескольких переменных; кратные интегралы; дифференциальные уравнения; ряды.

4. Реализацию методического комплекса можно рассмотреть на примере темы «Производная и ее приложения».

5. Примерный план семинарских занятий

6. На последнем занятии (9-10 ч.) рассматриваются профессионально ориентированные задач.

7. Методика изучения темы «Производная и ее применение» рассмотренав§2.

8. Цели обучения и воспитания. Обеспечение уровня математических знаний, умений и навыков, гарантирующего овладение фундаментом специальных дисциплин, изучаемых на химическом факультете.

9. Формирование представлений о роли математики в построении материальной и духовной основы общества, о связи математики с другими науками и выбранной специальностью, об истории математики.

10. Формирование математического мышления (абстрактного, логического и алгоритмического).

11. Обучение построению математических моделей для профессиональных (химических) и других прикладных задач.

12. Воспитание интереса к математике как основному инструментарию и универсальному языку всех специальностей.

13. Воспитание стремления к выбору эффективных и рациональных методов исследования профессиональных процессов.

14. Развитие интереса к профессии средствами математики.

15. Методы обучения. Мотивационное обеспечение всего математического курса (учет межпредметных связей).

16. Введение профессиональных и других прикладных задач во все формы обучения (лекции, семинары, самостоятельная работа студентов: практические занятия, типовые расчеты, курсовые работы) как дополнение и расширение банка классических задач.

17. Использование элементов пропедевтики и связанная с ней идея незавершенности знания.

18. Воплощение принципа «неформальной строгости» с помощью геометрической иллюстрации, математической и химической интуиции там, где это возможно.

19. Формирование математического мышления. Обучение математическому моделированию профессиональных задач. Развитие математической интуиции. Обучение умению учиться в течение всей жизни.

20. Формы обучения. В традиционные формы обучения (лекции, практические занятия, типовые расчеты) включаются профессиональные задачи, которые активизируют процесс обучения математике и развивают интеллект студента.

21. Для самостоятельной работы студентов подбираются темы рефератов, устанавливающие взаимосвязь математики со специальностью и другими науками.

22. Преимущества программированного контроля перед традиционным методом опроса студентов для учета их успеваемости несомненны, но оно не исключает и других форм контроля (ответы у доски, устный опрос и др.), особенно при текущем контроле.

23. Использование программированных заданий является одним из путей установления обратной связи между преподавателем и студентом и позволяет улучшить организацию учебного процесса, способствует приобретению студентами более глубоких и прочных знаний.

24. Рассмотрим методику введения понятия производной.

25. Задача о скорости химической реакции:

26. Обозначим через М количество вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени очевидно, М=М (/).За промежуток времени At это количество изменится на А М.

27. Средней скоростью химической реакции за указанный промежуток времени называется отношение1. AM M(t+At)-M(t)а скоростью реакции в момент времени t предел указанного отношения при Д/->0

28. AM . M(t + At)-M(t) v= lim-= lim —i---—.1. Л/->0 Д t Ы-уО Д /

29. Задача о теплоемкости тела:

30. Рассмотрим процесс нагревания некоторого тела. Предположим, что функция Q = Q{t) определяет количество тепла (выраженное, например, в калориях) Q, которое нужно сообщить телу для нагревания этого тела от 7| до Т2.

31. В результате рассмотрения задач такого рода студенты должны прийти к выводу о том, что понятие скорости изменения функции необходимо при решении большого числа задач, важных в практическом отношении.

32. Внимание студентов обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к следующему:

33. Рассматривается приращение функции, соответствующее приращениюаргумента ду\ Ау = f(x + Ax)~ f(x), и затем отношение приращения функции

34. Ау к вызвавшему его приращению аргумента Ах:

35. Af = f(x + Ax)-f(x) = F(Ax) Ах Ах v

36. Данное отношение есть функция переменной д*, определенная для всехзначений Ах из интервала (а-х,Ь-х), кроме Дх = 0. Ищется предел функции F(Ax) при Дх-»0, и, если он существует, то его и называют производной функции f(x) в данной точке х.

37. Q(t), получаемого телом, по температуре Т, т. е. с(т) = = q' (7-),dT

38. Другим важным моментом, на который нужно обратить внимание студентов, является следующий.

39. Дать аргументу х приращение Ах и рассмотреть функцию для значения аргумента х+Ах, т. е. /(х+Дх).

40. Вычислить приращение А у функции, вызываемое приращением Ах аргумента: А/ = /(х+Дх)-/(х).

41. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента:1. Ах

42. Вычислить предел этого отношения при Дх -» 0: f'(x) = lim —.1. Дг-^ОДх

43. Это правило нахождения производной необходимо детально разобрать на примерах. Рассмотрим один из таких примеров. Дано: /(х) = х3. Найти производную f'(x).

44. Даем аргументу л; приращение Дх и рассматриваем значение функции для аргумента х + Дх, т. е. /(х+Дх) = (х + Дх)\2. Вычисляем А/:

45. Д/ = /(х + Дх)-/(х)=(х + АхУ-х3 =х3 + Зх2-Дх + Зх-(Дх)2+(Дх)3-х3 = = Зх2 • А х + Зх • (Д х)2 + (Д х)3.3. Находим отношение —:1. Дх1. Дх Дх

46. Вычисляем предел отношения — при Дх -> 0:1. Дхfix) = lim У- = lira (ъх2 + Зх • Ax + (АхУ)= Ъх2 , т. е.

47. J V ' Дг-»0 Дх Л*-*0 v / /f<(x)=(x*)<= Ъх\

48. Пусть х<-1, тогда /(x) = x2-x-2. Выберем теперь Ах таким, чтобы -1 + Ах<-1, т. е. Ах<0. Поэтому, учитывая, что /(-1) = 0, получим:

49. Дг-Ю Дх Д*-»0 Дх Д1-»0 дх Дг-»0 дх1. ДкОlim1. Дх-»0 ДкО1. ДкО1. ДкО1. ДкОl-2.Ax+(A,y +1-Ах-2 . -3-Ах+(Ах)2 = (.3+Д;с)=.з.1. Ах Ах р-у1. ДкОд»-»о1. ДкО

50. Так как 3*-3, поэтому для функции /(х) = |х2-х-2| в точке х = -1 производной не существует.

51. Аналогично можно доказать, что у данной функции не существует производной и в точке х = 2.

52. Пример 2. Найти производную /(x) = |sinx| на интервале от (-я-;я-) (рис. 3).л x1. Рис. 3.

53. Решение. Используя понятие модуля, запишем данную функцию в следующем виде:ч , . , Гsinx, 0<х<л, Дх) = srnx \ = \ .1 ' -SU1X, -7г<х<0.

54. Так как для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству 0<х<л, данная функция совпадает с /(x)=sinx, то f'(x) = cosx для 0<х<я, а в точкех = 0 имеем:дв =м 0=щ =1.дх-»о д г Д1->о Д г дх->о А г1. Лх>0 Д1>0 Дх>0

55. Аналогично для значений х, удовлетворяющих неравенству -л- <х < 0, данная функция совпадает с функцией /(x) = -sinx, поэтому f'(x) = -cosx для-жх<0, а в точке х = 0 имеем:ы /(0+Ах)-/(0) м -sin(Ax)+sin 0 = ы -sin(Ax) = 1 Ах Ах А*

56. Итак, функция /(x) = |sinx|, для |х| ся-, имеет производные в любойточке х, где я- < х < О и 0<х< л-, а в точке х = 0 данная функция производной не имеет, так как 1 * -1.

57. Рассмотренные примеры показывают, что существуют функции, которые не имеют производных в некоторых точках из области определения.

58. Кроме этого полезно рассмотреть необходимое условие существования производной, т. е. изучить следующую теорему: если функция /(х) имеет производную в точке а, то она непрерывна в этой точке.

59. Доказательство. По условию в точке а существует производная функции /(х), т. е. существует конечный предел:а + Ах)-/(а) /(а)

60. Сделав замену переменной х = а + Ах, с учетом того, что из условия х -> а следует Ах 0, получим:

61. М/(*)-/(а).= Hm Аа + Ах)-/(д) /(а+Ах)-/(а), Дх = /,(а),0 = Qх-*а v ' J v /J Д1->0 Дх Д*-+0 Дх V '

62. Таким образом, Шп /(х)-/(а).=0, т. е. Иш /(*) = /(а).ч. т. д.

63. Рассмотрим геометрическое истолкование производной функции в данной точке. Оно связано с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, прежде всего надо дать определение касательной к графику функции в точке.

64. Пусть дана непрерывная функция у = /(х). Ее график изображен на рис. 4.

65. На графике функции рассмотрим точку М, абсцисса которой х0 и точку N, абсцисса которой равна х0 + Дх. Через точки Mu N проведем прямую MN, которая называется секущей к графику функции. Угловой коэффициент секущей MN равен:1. Ах

66. Итак, если касательная существует, получим:tga = limА: = lim — = lim /fe + **)-/(*) = yfr.).1. Дг->0 Дг-+0Дх Д1-+0 Ax

67. Рассмотрим вывод основных теорем и формул дифференцирования элементарных функций.

68. Используя основные теоремы о производных, можно вывести формулу дифференцирования степенной функции с целым показателем, правило дифференцирования многочлена (целой рациональной функции), дробно рациональной функции.

69. При рассмотрении теоремы о дифференцировании сложной функции, необходимо научить студентов четко раскладывать сложную функцию на элемен-f тарные составляющие.

70. Решение вопроса о производных показательной и логарифмической функций возможно несколькими вариантами изложения. Этот вопрос мы излагаем следующим образом.

71. При изучении теории пределов нами было доказано существование предела вида lim (l + а Уа = е (второй замечательный предел), тогда легко устаноа->0вить, чтоlim(l + акУа = ека->0

72. Действительно, сделав замену а к = /?, т. е. а-—, получим с учетом непрерывкности показательной функции: